中考数学专题复习——操作探究(详细答案)

(第5题)(第3题)专题训练20 操作探究型问题一、选择题（每小题3分，共24分）1．如图1-1所示，将长为20cm ，宽为2cm 的长方形白纸条，折成图1-2所示的图形并在其一面着色，则着色部分的面积为（ ） A ．234cmB.236cmC.238cmD.240cm2．拃是姆指和食指在平面上伸直时，两者端点之间的距离．则以下估计正确的是( ) A ．课本的宽度约为4拃 B ．课桌的高度约为4拃 C ．黑板的长度约为4拃 D ．字典的厚度约为4拃3. 把图①的纸片折成一个三棱柱，放在桌面上如图②所示，则从左侧看到的面为（ ）． A 、Q B 、R C 、S D 、T4．将一张长与宽的比为2∶1的长方形纸片按如图①、②所示的方式对折，然后沿图③中的虚线裁剪，得到图④，最后将图④的纸片再展开铺平，则所得到的图案是（ ）图① 图② 图③ 图④A ．B ．C ．D ．5.如图，正方形ABCD 的边长是3cm ，一个边长为1cm 的小正方形沿着正方形ABCD 的边AB →BC →CD →DA →AB 连续地翻转，那么这个小正方形第一次回到起始位置时，它的方向是( )6．某小区现有一块等腰直角三角形形状的绿地，腰长为100米，直角顶点为A ．小区物业管委会准备把它分割成面积相等的两块，有如下的分割方法：方法一：在底边BC 上找一点D ，连接AD 作为分割线；图1-1图1-2A ．B ．C ．D ．(第2题)CA ''(第9题)方法二：在腰AC 上找一点D ，连接BD 作为分割线；方法三：在腰AB 上找一点D ，作DE ∥BC ，交AC 于点E ，DE 作为分割线；方法四：以顶点A 为圆心，AD 为半径作弧，交AB 于点D ，交AC 于点E ，弧DE 作为分割线．这些分割方法中分割线最短的是( )A. 方法一B. 方法二C. 方法三D. 方法四7．有30张分别标示1~30号的纸牌. 先将号码数为3的倍数的纸牌拿掉, 然后从剩下的纸牌中, 拿掉号码数为2的倍数的纸牌. 若将最后剩下的纸牌, 依号码数由小到大排列, 则第5张纸牌的号码为( ) A. 7 B. 11 C. 13 D. 178．如图，Rt △ABC 绕O 点旋转90°得Rt △BDE ，其中∠ACB =∠E = 90°，AC =3，DE =5， 则OC 的长为（ ） A．52+ B ．C ．3+ D ．4二、填空题（每小题3分，共18分）9.如图，一块等腰直角的三角板ABC ，在水平桌面上绕点C 按顺时针方向旋转到A B C ''的位置，使A CB '，，三点共线，那么旋转角度的大小为．10.如图，把一张矩形纸片ABCD 沿EF 折叠后，点C D ，分别落在C D ''，的位置上，EC '交AD 于点G ．已知58EFG ∠=°，那么BEG ∠= °．11. 如图，是用七巧板拼成的一艘帆船，其中全等的三角形共有 对．12.如图，小亮从A 点出发前进10m ，向右转15，再前进10m ，又向右转15，…，这样一直走下去，他第一次回到出发点A 时，一共走了 m ．(第8题)ABECDFGC 'D '（第10题）13．在五环图案内，分别填写五个数a b c d e ，，，，a b c ，，是三个连续偶数()a b d e <，，是两个连续奇数()d e <，且满足a b c ++．请你在0到20之间选择另一组符号条件的数填入下图： ．14．如图，将一张等腰直角三角形纸片沿中位线剪开可以拼成不同形状的四边形，请写出其中一种四边形的名称．三、解答题（每小题6分，共24分）15．如图，正方形ABCD的周长为40米，甲、乙两人分别从A 、B 同时出发， 沿正方形的边行走，甲按逆时针方向每分钟行55米，乙按顺时针方向每分钟行 30米。

操作探究一、选择题1.（•德州,第12题3分）如图,在一张矩形纸片ABCD中,AB=4,BC=8,点E,F分别在AD,BC 上,将纸片ABCD沿直线EF折叠,点C落在AD上地一点H处,点D落在点G处,有以下四个结论：①四边形CFHE是菱形；②EC平分∠DCH；③线段BF地取值范围为3≤BF≤4；④当点H与点A重合时,EF =2．以上结论中,你认为正确地有（）个．A．1B．2C．3D．4[来源:学科网]考点：翻折变换（折叠问题）[来源:学科网ZXXK]分析：先判断出四边形CFHE是平行四边形,再根据翻折地性质可得CF=FH,然后根据邻边相等地平行四边形是菱形证明,判断出①正确；根据菱形地对角线平分一组对角线可得∠BCH=∠ECH,然后求出只有∠DCE=30°时EC 平分∠DCH,判断出②错误；点H与点A重合时,设BF=x,表示出AF=FC=8﹣x,利用勾股定理列出方程求解得到BF 地最小值,点G与点D重合时,CF=CD,求出BF=4,然后写出BF地取值范围,判断出③正确；过点F作FM⊥AD于M,求出ME,再利用勾股定理列式求解得到EF,判断出④正确．解答：解：∵FH与CG,EH与CF都是矩形ABCD地对边AD、BC地一部分,∴FH∥CG,EH∥CF,∴四边形CFHE是平行四边形,由翻折地性质得,CF=FH,∴四边形CFHE是菱形,故①正确；∴∠BCH=∠ECH,∴只有∠DCE=30°时EC平分∠DCH,故②错误；点H与点A重合时,设BF=x,则AF=FC=8﹣x,在Rt△ABF中,AB2+BF2=AF2,即42+x2=（8﹣x）2,解得x=3,点G与点D重合时,CF=CD=4,∴BF=4,∴线段BF地取值范围为3≤BF≤4,故③正确；过点F作FM⊥AD于M,则ME=（8﹣3）﹣3=2,由勾股定理得,EF===2,故④正确；综上所述,结论正确地有①③④共3个．故选C．点评：本题考查了翻折变换地性质,菱形地判定与性质,勾股定理地应用,难点在于③判断出BF最小和最大时地两种情况．二.填空题三.解答题1. （•福建泉州,第25题12分）如图,在锐角三角形纸片ABC中,AC＞BC,点D,E,F分别在边AB,BC,CA上．（1）已知：DE∥AC,DF∥B C．①判断四边形DECF一定是什么形状？②裁剪当AC=24cm,BC=20cm,∠ACB=45°时,请你探索：如何剪四边形DECF,能使它地面积最大,并证明你地结论；（2）折叠请你只用两次折叠,确定四边形地顶点D,E,C,F,使它恰好为菱形,并说明你地折法和理由．四边形综合题考点：[来源:学科网]分析：（1）①根据有两组对边互相平行地四边形是平行四边形即可求得,②根据△ADF∽△ABC推出对应边地相似比,然后进行转换,即可得出h与x之间地函数关系式,根据平行四边形地面积公式,很容易得出面积S关于h地二次函数表达式,求出顶点坐标,就可得出面积s最大时h地值．（2）第一步,沿∠ABC地对角线对折,使C与C1重合,得到三角形ABB1,第二步,沿B1对折,使DA1⊥BB1．解答：解：（1）①∵DE∥AC,DF∥BC,[来源:学_科_网Z_X_X_K]∴四边形DECF是平行四边形．②作AG⊥BC,交BC于G,交DF于H,∵∠ACB=45°,AC=24cm∴AG ==12,设DF=EC=x,平行四边形地高为h,则AH =12h,[来源:学科网ZXXK]∵DF∥BC,∴=,∵BC=20cm,即：=∴x=×20,∵S=xh=x•×20=20h﹣h2．∴﹣=﹣=6,∵AH=12,∴AF=FC,∴在AC中点处剪四边形DECF,能使它地面积最大．（2）第一步,沿∠ABC地对角线对折,使C与C1重合,得到三角形ABB1,第二步,沿B1对折,使DA1⊥BB1．理由：对角线互相垂直平分地四边形是菱形．点评：本题考查了相似三角形地判定及性质、菱形地判定、二次函数地最值．关键在于根据相似三角形及已知条件求出相关线段地表达式,求出二次函数表达式,即可求出结论．2. （•福建泉州,第26题14分）如图,直线y=﹣x+3与x,y轴分别交于点A,B,与反比例函数地图象交于点P（2,1）．（1）求该反比例函数地关系式；（2）设PC⊥y轴于点C,点A关于y轴地对称点为A′；①求△A′BC地周长和sin∠BA′C地值；②对大于1地常数m,求x轴上地点M地坐标,使得sin∠BMC=．[来源:学|科|网]考点：反比例函数综合题；待定系数法求反比例函数解析式；勾股定理；矩形地判定与性质；垂径定理；直线与圆地位置关系；锐角三角函数地定义专题：压轴题；探究型．分析：（1）设反比例函数地关系式y=,然后把点P地坐标（2,1）代入即可．（2）①先求出直线y=﹣x+3与x、y轴交点坐标,然后运用勾股定理即可求出△A′BC 地周长；过点C作CD⊥AB,垂足为D,运用面积法可以求出CD长,从而求出sin∠BA′C 地值．②由于BC=2,sin∠BMC=,因此点M在以BC为弦,半径为m地⊙E上,因而点M应是⊙E与x轴地交点．然后对⊙E与x轴地位置关系进行讨论,只需运用矩形地判定与性质、勾股定理等知识就可求出满足要求地点M地坐标．解答：解：（1）设反比例函数地关系式y=．∵点P（2,1）在反比例函数y=地图象上,∴k=2×1=2．∴反比例函数地关系式y=．（2）①过点C作CD⊥AB,垂足为D,如图1所示．当x=0时,y=0+3=3,则点B地坐标为（0,3）．OB=3．当y=0时,0=﹣x+3,解得x=3,则点A地坐标为（3,0）,OA=3．∵点A关于y轴地对称点为A′,∴OA′=OA=3．∵PC⊥y轴,点P（2,1）,∴OC=1,PC=2．∴BC=2．∵∠AOB=90°,OA′=OB=3,OC=1,∴A′B=3,A′C=．∴△A′BC地周长为3++2．∵S△ABC=BC•A′O=A′B•CD,∴BC•A′O=A′B•C D．∴2×3=3×C D．∴CD=．∵CD⊥A′B,∴sin∠BA′C===．∴△A′BC地周长为3++2,sin∠BA′C地值为．②当1＜m＜2时,作经过点B、C且半径为m地⊙E,连接CE并延长,交⊙E于点P,连接BP,过点E作EG⊥OB,垂足为G,过点E作EH⊥x轴,垂足为H,如图2①所示．∵CP是⊙E地直径,∴∠PBC=90°．∴sin∠BPC===．[来源:学&科&网]∵sin∠BMC=,∴∠BMC=∠BP C．∴点M在⊙E上．∵点M在x轴上∴点M是⊙E与x轴地交点．∵EG⊥BC,∴BG=GC=1．∴OG=2．∵∠EHO=∠GOH=∠OGE=90°,∴四边形OGEH是矩形．∴EH=OG=2,EG=OH．∵1＜m＜2,∴EH＞E C．∴⊙E与x轴相离．∴x轴上不存在点M,使得sin∠BMC=．②当m=2时,EH=E C．∴⊙E与x轴相切．Ⅰ．切点在x轴地正半轴上时,如图2②所示．∴点M与点H重合．∵EG⊥OG,GC=1,EC=m,∴EG==．∴OM=OH=EG=．∴点M地坐标为（,0）．Ⅱ．切点在x轴地负半轴上时,同理可得：点M地坐标为（﹣,0）．[来源:学科网ZXXK] ③当m＞2时,EH＜E C．∴⊙E与x轴相交．Ⅰ．交点在x轴地正半轴上时,设交点为M、M′,连接EM,如图2③所示．∵∠EHM=90°,EM=m,EH=2,∴MH===．∵EH⊥MM′,∴MH=M′H．∴M′H═．∵∠EGC=90°,GC=1,EC=m,∴EG===．∴OH=EG=．∴OM=OH﹣MH=﹣,∴OM′=OH+HM′=+,∴M（﹣,0）、M′（+,0）．Ⅱ．交点在x轴地负半轴上时,同理可得：M（﹣+,0）、M′（﹣﹣,0）．综上所述：当1＜m＜2时,满足要求地点M不存在；当m=2时,满足要求地点M地坐标为（,0）和（﹣,0）；当m＞2时,满足要求地点M地坐标为（﹣,0）、（+,0）、（﹣+,0）、（﹣﹣,0）．点评：本题考查了用待定系数法求反比例函数地关系式、勾股定理、三角函数地定义、矩形地判定与性质、直线与圆地位置关系、垂径定理等知识,考查了用面积法求三角形地高,考查了通过构造辅助圆解决问题,综合性比较强,难度系数比较大．由BC=2,sin∠BMC=联想到点M在以BC为弦,半径为m地⊙E上是解决本题地关键．3．（•浙江宁波,第25题12分）课本地作业题中有这样一道题：把一张顶角为36°地等腰三角形纸片剪两刀,分成3张小纸片,使每张小纸片都是等腰三角形,你能办到吗？请画示意图说明剪法．我们有多少种剪法,图1是其中地一种方法：定义：如果两条线段将一个三角形分成3个等腰三角形,我们把这两条线段叫做这个三角形地三分线．[来源:学§科§网Z§X§X§K]（1）请你在图2中用两种不同地方法画出顶角为45°地等腰三角形地三分线,并标注每个等腰三角形顶角地度数；（若两种方法分得地三角形成3对全等三角形,则视为同一种）（2）△ABC中,∠B=30°,AD和DE是△ABC地三分线,点D在BC边上,点E在AC边上,且AD=BD,DE=CE,设∠C=x°,试画出示意图,并求出x所有可能地值；（3）如图3,△ABC中,AC=2,BC=3,∠C=2∠B,请画出△ABC地三分线,并求出三分线地长．。

第40章操作探究一、选择题1.（2011广东广州市，8, 3分）如图1所示，将矩形纸片先沿虚线AB按箭头方向回有对折，接着将对折后的纸片沿虚线CD向下对折，然后剪下一个小三角形，再将纸片打开, 则打开后的展开图是（）【答案】D2.（2011安徽芜湖，9,4分）如图，从边长为（a+4） cm的正方形纸片中剪去一个边长为（a+1） cm的正方形（a〉0）,剩余部分沿虚线又剪拼成一个矩形（不重叠无缝隙）,则矩形的面积为（）.A. (2a2 +5cz)cm2B. (3<7 + 15)cm2C. (6a + 9)cm2D. (6a + 15)cm2二、填空题二、解答题1.（2011江西南昌，25, 10分）某数学兴趣小组开展了一次活动，过程如下: 设ZBAC=0（0。

<0<90。

）.现把小棒依次摆放在两射线AB, AC之间，并使小棒两端分别落在两射线上. 活动一：如图甲所示，从点Ai开始，依次向右摆放小棒，使小棒与小棒在两端点处互相垂直，A1A2 为第1根小棒.数学思考：（1）小棒能无限摆下去吗？答：.（填“能”或“不能”）（2）设AAi=A I A2=A2A J= 1.①9=度；②若记小棒A2n.iA2n的长度为（〃为正整数，如活血=心拱泌4=心2,），求此时a2, a3的值,并直接写出a,,（用含n的式子表示）.图甲活动二：如图乙所示，从点A开始，用等长的小棒依次向右摆放，其中Ail为第1根小棒，且人仍2= AA”数学思考：（3） _____________________________________________________________________ 若已经向右摆放了3根小棒，则。

］=, 6*2=，。

3=_____________________________________ ；（用含。

的式子表示）（4）若只熊摆放4根小棒，求0的范围.【答案】解：（1）能(2)①22.5°②方法一：VAA1=A1A2=A2A3=1, A J A^XA^A J,:.AiA3=42 , AA3=1+V2 .又•.•A2A3_LA3A4, •••A1A2〃A3A4.同理：A3A4#A5A6, A ZA=ZAA2A I=ZAA4A3=ZAA6A5,.♦ AN疔N3A", AA.5=A.5Ag? ♦♦ a?= A3A4=AA3=1+A/^" ,a3=AA3+A3A5=a2+A3As. ♦AsAs= a^, .I a3=A5A6=AA5=a2+ V2 a2=( V2 +1)2.方法二：VAA I=A1A2=A2A3=1,A J A^XA^A J, .,.A1A3=V2 , AA3=1+V2 .XVA2A3±A3A4, /.A I A^^A J A^同理：A3A4#A5A6, AZA=ZAA2A I=ZAA4A3=ZAA6A5,.•.a2=A3A4=AA3=l + 41 ,又,/ZA2A3A4=ZA4A5A6=90O,ZA2A4A3=ZA4A6A5 ,Z\ A2 A3 A4 00 Z\ A4 A5 Ag,— = — , a3= =( V2 +1 )2.6^2 ^^3 1a n=(V2 +l)n-1.⑶ O x = 20, a = 30, 03 = 40)56><900(4)由题意得，•••15°<9W18°.2.(2011福建福州，21, 12分)已知，矩形ABCD中,AB = 4c〃z,BC = , AC的垂直平分线EF分别交A。

专题34 操作探究问题☞解读考点☞2年中考【2019年题组】 1．（2019荆州）如图所示，将正方形纸片三次对折后，沿图中AB线剪掉一个等腰直角三角形，展开铺平得到的图形是（ ）A． B ． C ． D ．【答案】A ． 【解析】 试题分析：找一张正方形的纸片，按上述顺序折叠、裁剪，然后展开后得到的图形如图所示：故选A ．考点：剪纸问题． 2．（2019深圳）如图，已知△ABC ，AB ＜BC ，用尺规作图的方法在BC 上取一点P ，使得PA+PC=BC ，则下列选项正确的是（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】D．考点：作图—复杂作图．3．（2019三明）如图，在△ABC中，∠ACB=90°，分别以点A和B为圆心，以相同的长（大于12AB）为半径作弧，两弧相交于点M和N，作直线MN交AB于点D，交BC于点E，连接CD，下列结论错误的是（）A．AD=BD B．BD=CD C．∠A=∠BED D．∠ECD=∠EDC【答案】D．【解析】试题分析：∵MN为AB的垂直平分线，∴AD=BD，∠BDE=90°；∵∠ACB=90°，∴CD=BD；∵∠A+∠B=∠B+∠BED=90°，∴∠A=∠BED；∵∠A≠60°，AC≠AD，∴EC≠ED，∴∠ECD≠∠EDC．故选D．考点：1．作图—基本作图；2．线段垂直平分线的性质；3．直角三角形斜边上的中线．4．（2019潍坊）如图，在△ABC中，AD平分∠BAC，按如下步骤作图：第一步，分别以点A、D为圆心，以大于12AD的长为半径在AD两侧作弧，交于两点M、N；第二步，连接MN分别交AB、AC于点E、F；第三步，连接DE、DF．若BD=6，AF=4，CD=3，则BE的长是（）A．2 B．4 C．6 D．8【答案】D．考点：1．平行线分线段成比例；2．菱形的判定与性质；3．作图—基本作图．5．（2019嘉兴）数学活动课上，四位同学围绕作图问题：“如图，已知直线l和l外一点P，用直尺和圆规作直线PQ，使PQ⊥l于点Q．”分别作出了下列四个图形．其中作法错误的是（）A．B．C．D．【答案】A．【解析】试题分析：A．根据作法无法判定PQ⊥l；B．以P为圆心大于P到直线l的距离为半径画弧，交直线l，于两点，再以两点为圆心，大于它们的长为半径画弧，得出其交点，进而作出判断；C．根据直径所对的圆周角等于90°作出判断；D．根据全等三角形的判定和性质即可作出判断．从以上分析可知，选项B、C、D都能够得到PQ⊥l于点Q；选项A不能够得到PQ⊥l于点Q．故选A．考点：作图—基本作图．6．（2019北京市）阅读下面材料：在数学课上，老师提出如下问题：小芸的作法如下：老师说：“小芸的作法正确．”请回答：小芸的作图依据是．【答案】到线段两个端点距离相等的点在线段的垂直平分线上；两点确定一条直线．考点：1．作图—基本作图；2．作图题．7．（2019天津市）在每个小正方形的边长为1的网格中．点A，B，D均在格点上，点E、F分别为线段BC、DB上的动点，且BE=DF．（1）如图①，当BE=52时，计算AE+AF的值等于；（2）当AE+AF取得最小值时，请在如图②所示的网格中，用无刻度的直尺，画出线段AE，AF，并简要说明点E和点F的位置如何找到的（不要求证明）．【答案】（1）52；（2）取格点H，K，连接BH，CK，相交于点P，连接AP，与BC相交，得点E，取格点M，N连接DM，CN，相交于点G，连接AG，与BD相交，得点F，线段AE，AF即为所求．（2）如图，首先确定E点，要使AE+AF最小，根据三角形两边之和大于第三边可知，需要将AF移到AE的延长线上，因此可以构造全等三角形，首先选择格点H使∠HBC=∠ADB，其次需要构造长度BP使BP=AD=4，根据勾考点：1．轴对称-最短路线问题；2．勾股定理；3．作图题；4．最值问题；5．综合题． 8．（2019杭州）如图，在四边形纸片ABCD 中，AB=BC ，AD=CD ，∠A=∠C=90°，∠B=150°．将纸片先沿直线BD 对折，再将对折后的图形沿从一个顶点出发的直线裁剪，剪开后的图形打开铺平．若铺平后的图形中有一个是面积为2的平行四边形，则CD= ．【答案】2+4+【解析】 试题分析：如图1所示：延长AE 交CD 于点N ，过点B 作BT ⊥EC 于点T ，当四边形ABCE 为平行四边形，∵AB=BC ，∴四边形ABCE 是菱形，∵∠A=∠C=90°，∠B=150°，BC ∥AN ，∴∠ADC=30°，∠BAN=∠BCE=30°，则∠NAD=60°，∴∠AND=90°，∵四边形ABCE 面积为2，∴设BT=x ，则BC=EC=2x ，故2x×x=2，解得：x=1（负数舍去），则AE=EC=2，AN=2+AD=DC=4+如图2，当四边形BEDF 是平行四边形，∵BE=BF ，∴平行四边形BEDF 是菱形，∵∠A=∠C=90°，∠B=150°，∴∠ADB=∠BDC=15°，∵BE=DE ，∴∠AEB=30°，∴设AB=y ，则BE=2y ，，∵四边形BEDF 面积为2，∴AB×DE=222y =，解得：y=1，故，DE=2，则AD=2+综上所述：CD 的值为：2+4+故答案为：2+4+考点：1．剪纸问题；2．操作型；3．分类讨论；4．综合题；5．压轴题． 9．（2019自贡）如图，将线段AB 放在边长为1的小正方形网格，点A 点B 均落在格点上，请用无刻度直尺在线段AB 上画出点P ，使AP=3172，并保留作图痕迹．（备注：本题只是找点不是证明，∴只需连接一对角线就行）【答案】作图见试题解析．考点：作图—应用与设计作图． 10．（2019北海）如图，已知BD 平分∠ABF ，且交AE 于点D ，（1）求作：∠BAE 的平分线AP （要求：尺规作图，保留作图痕迹，不写作法）；（2）设AP 交BD 于点O ，交BF 于点C ，连接CD ，当AC ⊥BD 时，求证：四边形ABCD 是菱形．【答案】（1）作图见试题解析；（2）证明见试题解析．试题解析：（1）如图所示：（2）如图：在△ABO和△CBO中，∵∠ABO=∠CBO，OB=OB，∠AOB=∠COB=90°，∴△ABO ≌△CBO（ASA），∴AO=CO，AB=CB．在△ABO和△ADO中，∵∠OAB=∠OAD，OA=OA，∠AOB=∠AOD=90°，∴△ABO≌△ADO（ASA），∴BO=DO．∵AO=CO，BO=DO，∴四边形ABCD是平行四边形，∵AB=CB，∴平行四边形ABCD是菱形．考点：1．菱形的判定；2．作图—基本作图．11．（2019南宁）如图，在平面直角坐标系中，已知△ABC的三个顶点的坐标分别为A（﹣1，1），B（﹣3，1），C（﹣1，4）．（1）画出△ABC关于y轴对称的△A1B1C1；（2）将△ABC绕着点B顺时针旋转90°后得到△A2BC2，请在图中画出△A2BC2，并求出线段BC旋转过程中所扫过的面积（结果保留π）．【答案】（1）作图见试题解析；（2）作图见试题解析，134．考点：1．作图-旋转变换；2．作图-轴对称变换；3．作图题；4．扇形面积的计算．12．（2019崇左）如图，△A1B1C1是△ABC向右平移四个单位长度后得到的，且三个顶点的坐标分别为A1（1，1），B1（4，2），C1（3，4）．（1）请画出△ABC，并写出点A、B、C的坐标；（2）求出△AOA1的面积．【答案】（1）作图见试题解析，A （－3，1）， B （0，2），C （－1，4）；（2）2．（2）A1A=4，OD=1，∴1ΔA OA S=21A1A ×CD=21×4×1=2．考点：作图-平移变换． 13．（2019桂林）如图，△ABC 各顶点的坐标分别是A （﹣2，﹣4），B （0，﹣4），C （1，﹣1）．（1）在图中画出△ABC 向左平移3个单位后的△A1B1C1； （2）在图中画出△ABC 绕原点O 逆时针旋转90°后的△A2B2C2； （3）在（2）的条件下，AC 边扫过的面积是 ．【答案】（1）作图见试题解析；（2）作图见试题解析；（3）92π．（2）如图所示，△A2B2C2为所求的三角形；（3）在（2）的条件下，AC边扫过的面积S=290360π⨯=52ππ-=92π．故答案为：92π．考点：1．作图-旋转变换；2．作图-平移变换；3．作图题；4．扇形面积的计算．14．（2019百色）已知⊙O为△ABC的外接圆，圆心O在AB上．（1）在图1中，用尺规作图作∠BAC的平分线AD交⊙O于D（保留作图痕迹，不写作法与证明）；（2）如图2，设∠BAC的平分线AD交BC于E，⊙O半径为5，AC=4，连接OD交BC 于F．①求证：OD ⊥BC ；②求EF 的长．【答案】（1）作图见试题解析；（2）①证明见试题解析；②7．试题解析：（1）尺规作图如图1所示：（2）①如图2，∵AD 平分∠BAC ，∴∠DAC=∠BAD ，∴CD BD =， ∵OD 过圆心，∴OD ⊥CB ；②∵AB 为直径，∴∠C=90°，∵OD ⊥CB ，∴∠OFB=90°，∴AC ∥OD ，∴OF OB AC AB =，，即5410OF =，∴OF=2，∵FD=5﹣2=3，在RT △OFB 中，，∵OD ⊥BC ，∴CF=BF=，∵AC ∥OD ，∴△EFD ∽△ECA ，∴34EF FD CE AC ==，∴37EF CF =，∴EF=37CF=377．考点：1．相似三角形的判定与性质；2．全等三角形的判定与性质；3．勾股定理；4．圆周角定理；5．作图—复杂作图；6．压轴题．15．（2019贵港）如图，已知△ABC三个顶点坐标分别是A（1，3），B（4，1），C（4，4）．（1）请按要求画图：①画出△ABC向左平移5个单位长度后得到的△A1B1C1；②画出△ABC绕着原点O顺时针旋转90°后得到的△A2B2C2．（2）请写出直线B1C1与直线B2C2的交点坐标．【答案】（1）①作图见试题解析；②作图见试题解析；（2）（﹣1，﹣4）．试题解析：（1）如图所示：△A1B1C1即为所求；（2）如图所示：△A2B2C2，即为所求；（3）由图形可知：交点坐标为（﹣1，﹣4）．考点：1．作图-旋转变换；2．两条直线相交或平行问题；3．作图-平移变换．16．（2019南京）如图，在边长为4的正方形ABCD中，请画出以A为一个顶点，另外两个顶点在正方形ABCD的边上，且含边长为3的所有大小不同的等腰三角形．（要求：只要画出示意图，并在所画等腰三角形长为3的边上标注数字3）【答案】答案见试题解析．试题解析：满足条件的所有图形如图所示：考点：1．作图—应用与设计作图；2．等腰三角形的判定；3．勾股定理；4．正方形的性质；5．综合题；6．压轴题．17．（2019常州）设ω是一个平面图形，如果用直尺和圆规经过有限步作图（简称尺规作图），画出一个正方形与ω的面积相等（简称等积），那么这样的等积转化称为ω的“化方”．（1）阅读填空如图①，已知矩形ABCD ，延长AD 到E ，使DE=DC ，以AE 为直径作半圆．延长CD 交半圆于点H ，以DH 为边作正方形DFGH ，则正方形DFGH 与矩形ABCD 等积． 理由：连接AH ，EH ．∵AE 为直径，∴∠AHE=90°，∴∠HAE+∠HEA=90°．∵DH ⊥AE ，∴∠ADH=∠EDH=90°∴∠HAD+∠AHD=90°∴∠AHD=∠HED ，∴△ADH ∽ ． ∴DE DH DH AD ，即DH2=AD×DE ． 又∵DE=DC∴DH2= ，即正方形DFGH 与矩形ABCD 等积．（2）操作实践平行四边形的“化方”思路是，先把平行四边形转化为等积的矩形，再把矩形转化为等积的正方形．如图②，请用尺规作图作出与▱ABCD 等积的矩形（不要求写具体作法，保留作图痕迹）．（3）解决问题三角形的“化方”思路是：先把三角形转化为等积的 （填写图形名称），再转化为等积的正方形．如图③，△ABC 的顶点在正方形网格的格点上，请作出与△ABC 等积的正方形的一条边（不要求写具体作法，保留作图痕迹，不通过计算△ABC 面积作图）．（4）拓展探究n 边形（n ＞3）的“化方”思路之一是：把n 边形转化为等积的n ﹣1边形，…，直至转化为等积的三角形，从而可以化方．如图④，四边形ABCD 的顶点在正方形网格的格点上，请作出与四边形ABCD 等积的三角形（不要求写具体作法，保留作图痕迹，不通过计算四边形ABCD 面积作图）．【答案】（1）△HDE ，AD×DC ；（2）作图见试题解析；（3）矩形，作图见试题解析；（4）作图见试题解析．（4）先根据由AG ∥EH ，得到AG=2EH ，再由CF=2DF ，得到CF•EH=DF•AG ，由此得出S △CEF=S △ADF ，S △CDI=S △AEI ，所以S △BCE=S 四边形ABCD ，即△BCE 与四边形ABCD 等积．试题解析：（1）如图①，连接AH ，EH ，∵AE 为直径，∴∠AHE=90°，∴∠HAE+∠HEA=90°，∵DH ⊥AE ，∴∠ADH=∠EDH=90°，∴∠HAD+∠AHD=90°，∴∠AHD=∠HED ，∴△ADH∽△HDE ，∴DE DH DHAD ，即DH2=AD×DE ，又∵DE=DC ，∴DH2=AD×DC ，即正方形DFGH 与矩形ABCD 等积，故答案为：△HDE，AD×DC；（3）如图③，延长MD到E，使DE=DC，连接MH，EH，∵矩形MDBC的长等于△ABC 的底，矩形MDBC的宽等于△ABC的高的一半，∴矩形MDBC的面积等于△ABC的面积，∵ME为直径，∴∠MHE=90°，∴∠HME+∠HEM=90°，∵DH⊥ME，∴∠MDH=∠EDH=90°，∴∠HMD+∠MHD=90°，∴∠MHD=∠HED，∴△MDH∽△HDE，∴MD DHDH DE=，即DH2=MD×DE，又∵DE=DC，∴DH2=MD×DC，∴DH即为与△ABC等积的正方形的一条边；（4）如图④，延长BA、CD交于点F，作AG⊥CF于点G，EH⊥CF于点H，△BCE与四边形ABCD等积，理由如下：∵AG∥EH，∴12EH EFAG AF==，∴AG=2EH，又∵CF=2DF，∴CF•EH=DF•AG，∴S△CEF=S△ADF，∴S△CDI=S△AEI，∴S△BCE=S四边形ABCD，即△BCE与四边形ABCD等积．考点：1．相似形综合题；2．阅读型；3．新定义；4．压轴题；5．操作型．18．（2019广安）手工课上，老师要求同学们将边长为4cm的正方形纸片恰好剪成六个等腰直角三角形，聪明的你请在下列四个正方形中画出不同的剪裁线，并直接写出每种不同分割后得到的最小等腰直角三角形面积（注：不同的分法，面积可以相等）【答案】答案见试题解析．（2）正方形ABCD中，E、F分别是AB、BC的中点，O是AC、BD的交点，连接OE、OF，即可把正方形纸片恰好剪成六个等腰直角三角形；然后根据三角形的面积公式，求出分割后得到的最小等腰直角三角形面积即可；（3）正方形ABCD中，F、H分别是BC、DA的中点，O是AC、BD的交点，连接HF，即可把正方形纸片恰好剪成六个等腰直角三角形；然后根据三角形的面积公式，求出分割后得到的最小等腰直角三角形面积即可；（4）正方形ABCD中，E、F分别是AB、BC的中点，O是AC的中点，I是AO的中点，连接OE、OB、OF，即可把正方形纸片恰好剪成六个等腰直角三角形；然后根据三角形的面积公式，求出分割后得到的最小等腰直角三角形面积即可．试题解析：根据分析，可得：．考点：1．作图—应用与设计作图；2．操作型．【2019年题组】1．（2019年崇左中考）如图，下面是利用尺规作∠AOB的角平分线OC的作法，在用尺规作角平分线过程中，用到的三角形全等的判定方法是（）作法：①以O为圆心，适当长为半径画弧，分别交OA，OB于点D，E；②分别以D，E为圆心，大于12DE的长为半径画弧，两弧在∠AOB内交于一点C；③画射线OC，射线OC就是∠AOB的角平分线．A．ASA B．SAS C．SSS D．AAS 【答案】C．考点：1．作图（基本作图）；2．全等三角形的判定．2．（2019年台州中考）如图，菱形ABCD的对角线AC＝4cm，把它沿着对角线AC方向平移1cm，得到菱形EFGH，则图中阴影部分图形的面积与四边形EMCN的面积之比为（）A．4∶3 B．3∶2 C．14∶9 D．17∶9【答案】C．考点：1．面动平移问题；2．菱形的性质；3．平移的性质；4．相似三角形的判定和性质；5．转换思想的应用．3．（2019年无锡中考）已知△ABC的三条边长分别为3，4，6，在△ABC所在平面内画一条直线，将△ABC分割成两个三角形，使其中的一个是等腰三角形，则这样的直线最多可画（）A．6条B．7条C．8条D．9条【答案】B．【解析】试题分析：如图，当BC1=AC1，AC=CC2，AB=BC3，AC4=CC4，AB=AC5，AB=AC6，BC7=CC7时，都能得到符合题意的等腰三角形．故选B ．考点：1．作图（应用与设计作图）；2．等腰三角形的判定和性质；3．分类思想的应用．4．（2019年苏州中考）如图，△AOB 为等腰三角形，顶点A 的坐标为（2，底边OB 在x 轴上．将△AOB 绕点B 按顺时针方向旋转一定角度后得△A'O'B ，点A 的对应点A'在x 轴上，则点O'的坐标为（ ）A ．（203，103）B ．（163，3）C ．（203，3）D ．（163，【答案】C ．在Rt△O’FB中，由勾股定理可求83=，∴OF=820433+=．∴O’的坐标为（20,3）．故选C．考点：1．坐标与图形的旋转变化；2．勾股定理；3．等腰三角形的性质；4．三角形面积公式．5．（2019年南充中考）如图，矩形ABCD中，AB=5，AD=12，将矩形ABC D按如图所示的方式在直线l上进行两次旋转，则点B在两次旋转过程中经过的路径的长是（）A．252πB．13πC．25πD．【答案】A．考点：1．弧长的计算；2．矩形的性质；3．旋转的性质．6．（2019年浙江台州中考）如图折叠一张矩形纸片，已知∠1＝70°，则∠2的度数是．【答案】55°．【解析】试题分析：如答图，根据折叠得出∠EFG=∠2,∵AB ∥DC ，∠1=70°，∴∠EFD=∠1=70°，∴EFC 180EFD 110∠=︒-∠=︒，∴∠2=∠EFG=21∠EFC=55°．考点：1．翻折变换（折叠问题）；2．平行线的性质；3．平角定义．7．（2019年宁波中考）课本作业题中有这样一道题：把一张顶角为36°的等腰三角形纸片剪两刀，分成3张小纸片，使每张小纸片都是等腰三角形，你能办到吗？请画示意图说明剪法．我们有多种剪法，图1是其中的一种方法：定义：如果两条线段将一个三角形分成3个等腰三角形，我们把这两条线段叫做这个三角形的三分线．（1）请你在图2中用两种不同的方法画出顶角为45°的等腰三角形的三分线，并标注每个等腰三角形顶角的度数（若两种方法分得的三角形成3对全等三角形，则视为同一种）；（2）△ABC 中，∠B=30°，AD 和DE 是△ABC 的三分线，点D 在BC 边上，点E 在AC 边上，且AD=BD ，DE=CE ，设∠C=︒x ，试画出示意图，并求出x 所有可能的值；（3）如图3，△ABC 中，AC=2，BC=3，∠C=2∠B ，请画出△ABC 的三分线，并求出三分线的长．【答案】（1）画图看解析；（2）∠C的度数是20°或40°；（３）三分线长分别是510 2和510 3．（2）如图当AD=AE时，2X+X=30+30，∴X=20；当AE=DE时，30+30+2X+X=180，∴X=40；当AE=DE时，不存在；∴∠Ｃ的度数是20°或40°．考点：1、等腰三角形，2、三角形内角和与外角，3、图形的分割；4、分类讨论．8．（2019年阜新中考）已知，在矩形ABCD中，连接对角线AC，将△ABC绕点B顺时针旋转90°得到△EFG，并将它沿直线AB向左平移，直线EG与BC交于点H，连接AH，CG．（1）如图①，当AB=BC，点F平移到线段BA上时，线段AH，CG有怎样的数量关系和位置关系？直接写出你的猜想；（2）如图②，当AB=BC，点F平移到线段BA的延长线上时，（1）中的结论是否成立，请说明理由；AB=()1≠n时，对矩形ABCD进行如已知同样的变换操作，线段（3）如图③，当nBCAH，CG有怎样的数量关系和位置关系？直接写出你的猜想．【答案】（1）AH=CG，AH⊥CG；AH=CG，AH⊥CG，理由见解析；AH=nCG，AH⊥CG．试题解析：（1）AH=CG，AH⊥CG．延长AH与CG交于点T ，如图①，由旋转和平移的性质可得：EF=AB，FG=BC，∠EFG=∠ABC．∵四边形ABCD是矩形，AB=BC，∴EF=GF，∠EFG=∠ABC=90°．∴∠CBG=90°，∠EGF=45°．∴∠BHG=90°﹣45°=45°=∠EGF．∴BH=BG．在△ABH和△CBG中，⎪⎩⎪⎨⎧=∠=∠=BGBHCBGABHBCAB，∴△ABH≌△CBG（SAS），∴AH=CG，∠HAB=∠GCB．AH=nCG ，AH ⊥CG理由如下：延长AH 与CG 交于点N ，如图③，由旋转和平移的性质可得：EF=AB ，FG=BC ，∠EFG=∠ABC ．∵四边形ABCD 是矩形，AB=nBC ，∴EF=nGF ，∠EFG=∠ABC=90°．∴∠EFG+∠ABC=180°．∴BH ∥EF ．∴△GBH ∽△GFE ． ∴FG FE BG BH =．∵n BC AB FG FE ==，∴BC AB BG BH =．∵∠ABH=∠CBG ，∴△ABH ∽△CBG ． ∴CB AB CG AH ==n ，∠HAB=∠GCB ．∴AH=nCG ，∠HAB+∠AGC=∠GCB+∠AGC=90°．∴∠ANC=90°．∴AH⊥CG．考点：1、旋转的性质；2、矩形的性质3、全等三角形的判定与性质4、相似三角形的判定与性质．9．（2019年常州中考）在平面直角坐标系xOy中，如图，已知Rt△DOE，∠DOE=90°，OD=3，点D在y轴上，点E在x轴上，在△ABC中，点A，C在x轴上，AC=5．∠ACB+∠ODE=180°，∠ABC=∠OED，BC=DE．按下列要求画图（保留作图痕迹）：（1）将△ODE绕O点按逆时针方向旋转90°得到△OMN（其中点D的对应点为点M，点E的对应点为点N），画出△OMN；（2）将△ABC沿x轴向右平移得到△A′B′C′（其中点A，B，C的对应点分别为点A′，B′，C′），使得B′C′与（1）中的△OMN的边NM重合；（3）求OE的长．【答案】（1）作图见解析；（2）作图见解析；（3）6．（3）设OE=x，则ON=x，作MF⊥A′B′于点F，判断出B′C′平分∠A′B′O，再根据角平分线上的点到角的两边距离相等和角平分线的对称性可得B′F=B′O=OE=x，F C′=O C′=OD=3，利用勾股定理列式求出A′F，然后表示出A′B′、A′O，在Rt△A′B′O中，利用勾股定理列出方程求解即可．试题解析：（1）△OMN如图所示．（2）△A′B′C′如图所示．考点：1．作图（旋转和平移变换）；2．旋转和平移变换的性质；3．勾股定理；4．方程思想的应用．10．（2019年宿迁中考）如图，已知△BAD和△BCE均为等腰直角三角形，∠BAD=∠BCE=90°，点M为DE的中点，过点E与AD平行的直线交射线AM于点N．（1）当A，B，C三点在同一直线上时（如图1），求证：M为AN的中点；（2）将图1中的△BCE绕点B旋转，当A，B，E三点在同一直线上时（如图2），求证：△ACN为等腰直角三角形；（3）将图1中△BCE绕点B旋转到图3位置时，（2）中的结论是否仍成立？若成立，试证明之，若不成立，请说明理由．【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析；（3）△ACN仍为等腰直角三角形，证明见解析．在△ADM和△NEM中，∵MADMNEADMNEMDMEM∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△ADM≌△NEM（AAS）．∴AM=MN．∴M为AN的中点．（2）如图2,∵△BAD和△BCE均为等腰直角三角形，∴AB=AD，CB=CE，∠CBE=∠CEB=45°．∵AD∥NE，∴∠DAE+∠NEA=180°．∵∠DAE=90°，∴∠NEA=90°．∴∠NEC=135°．∵A，B，E三点在同一直线上，∴∠ABC=180°﹣∠CBE=135°．∴∠ABC=∠NEC．∵△ADM≌△NEM（已证），∴AD=NE．∵AD=AB，∴AB=NE．在△ABC和△NEC中，∵AB NEABC NECBC EC=⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△ABC≌△NEC（SAS）．∴AC=NC，∠ACB=∠NCE．∴∠ACN=∠BCE=90°．∴△ACN为等腰直角三角形．（3）△ACN仍为等腰直角三角形．证明如下：如图3，此时A、B、N三点在同一条直线上．∵AD∥EN，∠DAB=90°，∴∠ENA=∠DAN=90°．∵∠BCE=90°，∴∠CBN+∠CEN=360°﹣90°﹣90°=180°．∵A、B、N三点在同一条直线上，∴∠ABC+∠CBN=180°．∴∠ABC=∠NEC．∵△ADM ≌△NEM（已证），∴AD=NE．∵AD=AB，∴AB=NE．在△ABC和△NEC中，∵AB NEABC NECBC EC=⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△ABC≌△NEC（SAS）．∴AC=NC，∠ACB=∠NCE．∴∠ACN=∠BCE=90°．∴△ACN为等腰直角三角形．考点：1．面动旋转问题；2．等腰直角三角形的判定和性质；3．平行线的性质；4．全等三角形的判定和性质；5．多边形内角与外角．☞考点归纳归纳1：利用图形的变换作图基础知识归纳：平移：把一个图形沿一定方向平移一定距离．旋转：把一个图形沿一个定点旋转一定角度．轴对称：作出一个图形的轴对称图形．位似：把一个图形放大或缩小．注意问题归纳：要掌握各种变换的基本特征，应用这些基本特征来作图．【例1】如图，方格纸中每个小正方形的边长都是1个单位长度，Rt△ABC的三个顶点A （﹣2，2），B（0，5），C（0，2）．（1）将△ABC以点C为旋转中心旋转180°，得到△A1B1C，请画出△A1B1C的图形．（2）平移△ABC，使点A的对应点A2坐标为（﹣2，﹣6），请画出平移后对应的△A2B2C2的图形．（3）若将△A1B1C绕某一点旋转可得到△A2B2C2，请直接写出旋转中心的坐标．【答案】（1）图形见解析；（2）图形见解析；（3）旋转中心坐标（0，﹣2）．考点：作图-平移变换．归纳2：设计测量方案基础知识归纳：对于较高不能直接测量或有障碍物不能直接进行测量的物体，利用全等、相似、三角函数等所学的数学知识，设计测量方案，通过测量得出结果．注意问题归纳：要注意根据具体的问题选择适当的方法进行测量．【例2】从一栋二层楼的楼顶点A处看对面的教学楼，探测器显示，看到教学楼底部点C 处的俯角为45°，看到楼顶部点D处的仰角为60°，已知两栋楼之间的水平距离为6米，则教学楼的高CD是（）A．（6+6）米B．（6+3）米C．（6+2）米D． 12米【答案】A．考点：解直角三角形的应用-仰角俯角问题．归纳3：动手操作基础知识归纳：可分为折叠型动手操作题、拼接型动手操作题、分割型动手操作题和作图型动手操作题等四种类型．注意问题归纳：要利用折叠的性质、拼接、分割时图形面积的不变性以及利用好平移、旋转、对称和位似等变换作出已知图形的变换图形，从而解决问题．【例3】如图，在边长为2的菱形ABCD中，∠A=60°，M是AD边的中点，N是AB边上一动点，将△AMN沿MN所在的直线翻折得到△A′MN，连接A′C．则A′C长度的最小值是．1．【解析】如图1，连接CM，过M点作MH⊥CD交CD的延长线于点H,则由已知可得，在Rt△DHM中，DM=1，∠HDM=60°，∴1HD,HM2==．∴15HC222=+=．∴MC===．又∵根据翻折对称的性质，A′M=AM=1,∴△CA′M中，两边一定，要使A′C长度的最小即要∠CM A′最小，此时点A′落在MC上，如图2．∵M A′=NA=1，∴A C NC MA1'=-'=．∴A′C1．考点：1.操作型；2.最值问题．☞1年模拟1．（2019届河北省中考模拟二）已知∠BOP与OP上点C，点A（在点C的右边），李玲现进行如下操作：①以点O为圆心，OC长为半径画弧，交OB于点D，连接CD；②以点A 为圆心，OC长为半径画弧MN，交OA于点M；③以点M为圆心，CD长为半径画弧，交弧MN于点E，连接ME，操作结果如图所示，下列结论不能由上述操作结果得出的是（）A．CD∥ME B．OB∥AE C．∠ODC=∠AEM D．∠ACD=∠EAP【答案】D．∵△OCD≌△AME，∴∠DCO=∠AME，则∠ACD=∠EAP不一定得出．故选D．考点：作图—复杂作图．2．（2019届河北省邯郸市九年级第一次模拟考试数学试卷）如下图，将半径为3的圆形纸片，按下列顺序折叠．若AB和BC都经过圆心O，则阴影部分的面积是（结果保留π）【答案】3π．考点：折叠图形的性质．3．（2019届安徽省安庆市中考二模）如图所示，折线AOB可以看成是函数y=|x|（﹣1≤x ≤1）的图象．（1）将折线AOB向右平移4个单位，得到折线A1O1B1，画出折线A1O1B1；（2）直接写出折线A1O1B1的表达式．【答案】（1）作图见解析；（2）y=|x﹣4|（3≤x≤5）．【解析】试题分析：（1）根据题意找出点A、O、B向右平移4个单位后的对应点A1、O1、B1的位置，然后连接A1O1、O1B1即可；（2）根据函数图象“左加右减”的平移规律即可写出折线A1O1B1的表达式．试题解析：（1）折线A1O1B1如图所示：（2）∵将函数y=|x|（﹣1≤x≤1）的图象向右平移4个单位，得到折线A1O1B1，∴折线A1O1B1的表达式为y=|x﹣4|（3≤x≤5）．考点：1．作图-平移变换；2．一次函数图象与几何变换．4．（2019届山东省日照市中考模拟）如图：在矩形ABCD中，AD=60cm，CD=120cm，E、F为AB边的三等分点，以EF为边在矩形内作等边三角形MEF，N为AB边上一点，EN=10cm；请在矩形内找一点P，使△PMN为等边三角形（画出图形，并直接写出△PMF的面积）．【答案】作图见解析．连接PE，∵△MEF和△PMN为等边三角形，∴∠PMN=∠EMF=∠MFE=60°，MN=MP，NE=NF，∴∠PME=∠NMF，在△MPE和△MNF中，PM PNPME NMFME MF⎨⎩∠⎪⎪∠⎧＝＝，＝∴△MPE≌△MNF（SAS），∴∠MEP=∠MFE=60°，∴∠PEN=60°，∴PE∥MF，∴S△PMF=S△MEF=4．考点：1．矩形的性质；2．等边三角形的判定与性质；3．作图—应用与设计作图．5．（2019届山东省青岛市李沧区中考一模）如图，有分别过A、B两个加油站的公路l1、l2相交于点O，现准备在∠AOB内建一个油库，要求油库的位置点P满足到A、B两个加油站的距离相等，而且P到两条公路l1、l2的距离也相等．请用尺规作图作出点P（不写作法，保留作图痕迹）【答案】作图见解析．试题解析：作图如下：考点：作图—应用与设计作图．6．（2019届浙江省宁波市江东区4月中考模拟）如图1是一种包装盒的表面展开图，将它围起来可得到一个几何体的模型．（1）这个几何体模型的名称是．（2）如图2是根据a，b，h的取值画出的几何体的主视图和俯视图（图中实线表示的长方形），请在网格中画出该几何体的左视图．（3）若h=a+b，且a，b满足14a2+b2﹣a﹣6b+10=0，求该几何体的表面积．【答案】（1）长方体或底面为长方形的直棱柱；（2）图形略；（3）62．试题解析：解：（1）根据该包装盒的表面展开图知，该几何体模型的名称为：长方体或底面为长方形的直棱柱．故答案为：长方体或底面为长方形的直棱柱；（2）如图所示：；（3）由题意得，（12a﹣1）2+（b﹣3）2=0，则a=2，b=3，所以h=a+b=2+3=5．所以表面积为：2（2×3+5×2+3×5）=62．考点：1．因式分解的应用；2．由三视图判断几何体；3．作图-三视图．7．（2019届北京市门头沟区中考二模）在平面直角坐标系xOy中，抛物线214y x bx c =-++经过点A（4，0）和B（0，2）．（1）求该抛物线的表达式；（2）在（1）的条件下，如果该抛物线的顶点为C，点B关于抛物线对称轴对称的点为D，求直线CD的表达式；（3）在（2）的条件下，记该抛物线在点A，B之间的部分（含点A，B）为图象G，如果图象G向上平移m（m＞0）个单位后与直线CD只有一个公共点，请结合函数的图象，直接写出m的取值范围．【答案】（1）211242y x x =-++；（2）1542y x =-+；（3）0.5＜m ≤1.5．试题解析：解：（1）∵ 抛物线214y x bx c=-++经过点A （4，0）和B （0，2）．∴ 2144042b c c ⎧-⨯++=⎪⎨⎪=⎩，解得 122b c ⎧=⎪⎨⎪=⎩，∴ 此抛物线的表达式为211242y x x =-++；（2）∵()221119214244y x x x =-++=--+， ∴ C （1，94）．∵ 该抛物线的对称轴为直线x=1，B （0，2），∴ D （2，2）．设直线CD 的表达式为y=kx+b ．由题意得 9422k b k b ⎧+=⎪⎨⎪+=⎩，解得 1452k b ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，∴ 直线CD 的表达式为1542y x =-+．（3）0.5＜m≤1.5．考点：二次函数综合题．8．（2019届湖北省咸宁市嘉鱼县城北中学中考模拟考试数学试卷）如图1，小明将一张直角梯形纸片沿虚线剪开，得到矩形和三角形两张纸片，测得AB=5，AD=4．在进行如下操作时遇到了下面的几个问题，请你帮助解决．（1）将△EFG的顶点G移到矩形的顶点B处，再将三角形绕点B顺时针旋转使E点落在CD边上，此时，EF恰好经过点A（如图2），请你求出AE和FG的长度．（2）在（1）的条件下，小明先将三角形的边EG和矩形边AB重合，然后将△EFG沿直线BC向右平移，至F点与B重合时停止．在平移过程中，设G点平移的距离为x，两纸片重叠部分面积为y，求在平移的整个过程中，y与x的函数关系式，并求当重叠部分面积为10时，平移距离x的值（如图3）．（3）在（2）的操作中，小明发现在平移过程中，虽然有时平移的距离不等，但两纸片重叠的面积却是相等的；而有时候平移的距离不等，两纸片重叠部分的面积也不可能相等．请探索这两种情况下重叠部分面积y的范围（直接写出结果）．【答案】（1）∴AE=25，FG=10．（2）当0≤x≤4时，2154y x x=-+；当4＜x≤10时，y=－2x+24，当y=10时，x=7或10 x=-当0≤x≤4时，()22115102544y x x x=-+=--+，顶点为（10，25），∴当0≤x≤4时，0≤y≤16．当4＜x≤10时，y=－2x+24，4≤y＜16．∴当4≤y<16时，平移的距离不等，两纸片重叠的面积y可能相等．当0≤y＜4或y=16时，平移的距离不等，两纸片重叠部分的面积也不可能相等．试题解析：（1）过B作BM⊥AE于M．由AB=BE=5，BC=4．∴CE=3．∴DE=2．∴AE=．。

实验操作专题实验操作型试题是近几年中考数学的热点试题，这类试题就是让同学们在通过实际操作的基础上设计的问题，需要动手操作（包括裁剪、折叠、拼图等），合情猜想和验证，它既考查学生的动手能力，又考查学生的想象能力，不但有利于培养同学们的创新能力和实践能力，更有助于养成实验研究的习惯，体现新课程理念.，符合新课程标准强调的发现式学习、探究式学习和研究式学习，因此，实验与操作问题将成为今后中考的热点题型. 一、折叠类例1 如图1，小娟将一条直角边长为1的一个等腰直角三角形纸片（图①），沿它的对称轴折叠1次后得到一个等腰直角三角形（图②），再将图②的等腰直角三角形沿它的对称轴折叠后得到一个等腰直角三角形（图③），则图③中的等腰直角三角形的一条腰长为________；同上操作，若小娟连续将图①的等腰直角三角形折叠n次后所得到的等腰直角三角形（图n+1）的一条腰长为_______.分析：已知图①的等腰直角三角形的直角边长为1，即112-⎛⎝⎭，则可以利用勾股定理求出其斜边的长为，通过第一次折叠后，图①的等腰直角三角形的斜边的一半即变成图②的直角边，即图②的直角边长为2，即212-⎛⎫⎪⎪⎝⎭，同理，可以得到图③的直角边长为12，即312-⎛⎫⎪⎪⎝⎭，图④的直角边长为4，即412-⎛⎝⎭，由此可以猜想第n个图形中的等腰直角三角形的腰长为12n-⎛⎫⎪⎪⎝⎭，折叠n次后所得到的等腰直角三角形，即如图n+1的一条腰长为11n+-⎝⎭，即n⎝⎭.解：图③中的等腰直角三角形的一条腰长为12；将图①的等腰直角三角形折叠n次后所得到的第n+1个等腰直角三角形的一条腰长为n⎝⎭.①②③n+1图1１２评注：求解本题时，一定要动手操作，经过大胆地猜想、归纳与验证，即可获得正确的结果.跟踪训练:1. 如图，将一正方形纸片按下列顺序折叠，然后将最后折叠的纸片沿虚线（直角三角形的中位线）剪去上面的小直角三角形.将留下的纸片展开，得到的图形是（ ）2. 如图，将一个长为10cm ，宽为8cm 的矩形纸片对折两次后，沿所得矩形两邻边中点的连线（虚线）剪下，再打开，得到的菱形的面积为（ ）A ．10 cm 2B ．20 cm 2C ．40 cm 2D ．80 cm 2第2题图二、裁剪类例2 如图2，有一块边长为1米的正方形钢板，被裁去长为14米、宽为16米的矩形两角，现要将剩余部分重新裁成一正方形，使其四个顶点在原钢板边缘上，且P 点在裁下的正方形一边上，问：如何剪裁使得该正方形面积最大？最大面积是多少？图2 图3分析：本题是一道与正方形裁剪有关的操作型问题，解决问题首先要画出草图，然后从A B CD 第1题图 A B C D３图形中寻找解决问题的模型．如何剪裁使得该正方形面积最大，实际上是确定正方形顶点的位置，可借助相似三角形的性质构造方程解决．解：如图3，设原正方形为ABCD ，正方形EFGH 是要裁下的正方形，且EH 过点P ．设AH=x ，则BE=AH=x ，AE=1-x ．∵MP∥AH，∴△EMP∽△EAH．∴111641x x x--=-．整理，得12x 2-11x+2=0．解得114x =，223x =． 当14x =时，221151448EFGH S ⎛⎫⎛⎫=+-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭正方形．当23x =时，22225513398EFGH S ⎛⎫⎛⎫=+-=< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭正方形．∴当BE ＝DG ＝14米，BF ＝DH ＝34米时，裁下的正方形面积最大，最大面积为58米2． 评注：解决问题利用相似三角形的性质构造方程，并借助一元二次方程的知识解决，既体现数形结合思想，又体现了方程思想．例3 如图4，将正方形沿图中虚线（其中x ＜y ）剪成①②③④四块图形，用这四块图形恰能拼成一个．．．．．．矩形（非正方形）． （1） 画出拼成的矩形的简图； （2） （2）求xy的值．分析：拼接时抓住相等的边进行拼接（重合），再利用面积相等写出等式，合理整理就可求出（2）的值.解：（1）如图4.（2）解法一：由拼图前后的面积相等，得[(x+y)+y]y=(x+y)2.∵y ≠0，整理,得01)(2=-+yx yx .解得215-=yx （负值不合题意，舍去）.解法二：由拼成的矩形可知yxy y x y x =+++)(.以下同解法一． 跟踪训练：3.如图，△ABC 是一张等腰直角三角形纸板，∠C=90°,AC=BC=2.图4 ②④① ③４（1）要在这张纸板中剪出一个尽可能大的正方形，有甲、乙两种剪法（如图①），比较甲、乙两种剪法，哪种剪法所得的正方形面积更大？请说明理由.（2）图①中甲种剪法称为第1次剪取，记所得的正方形面积为S 1；按照甲种剪法，在余下的△ADE 和△BDF 中，分别剪取正方形，得到两个相同的正方形，称为第2次剪取，并记这两个正方形的面积和为S 2 (如图②)，则S 2= ；再在余下的四个三角形中，用同样的方法分别剪取正方形，得到四个相同的正方形，称为第3次剪取，并记这四个正方第3题图形的面积和为S 3 (如图③)；继续操作下去…则第10次剪取时，S 10= . （3）求第10次剪取后，余下的所有小三角形的面积和.三、探究类例4 如图6，小明将一张矩形纸片沿对角线剪开，得到两张三角形纸片（如图②），量得他们的斜边长为10 cm ，较小锐角为30°，再将这两张三角纸片摆成如图③的形状，但点B ，C ，F ，D 在同一条直线上，且点C 与点F 重合（在图③至图④中统一用F 表示）. 小明在对这两张三角形纸片进行如下操作时遇到了三个问题，请你帮助解决.（1）将图③中的△ABF 沿BD 向右平移到图④的位置，使点B 与点F 重合，请你求出平移的距离；（2）将图③中的△ABF 绕点F 顺时针方向旋转30°到图⑤的位置，A 1F 交DE 于点G ，请你求出线段FG 的长度；（3）将图③中的△ABF 沿直线AF 翻折到图⑥的位置，AB 1交DE 于点H ，请说明AH ＝DH.图6分析：（1）根据题意，由对图形的操作过程可知图形平移的距离就是线段BC 的长. （2）依题意运用勾股定理求解.EBQ④ ⑥ ⑤ ③ ②①５（3）要说明AH ＝DH ，由于∠FAB 1＝∠EDF ＝30°，可知FD ＝FA ，EF ＝FB ＝FB 1，从而得到AE ＝DB 1，可以说明△AHE ≌△DHB 1，问题得解.解：（1）图形平移的距离就是线段BC 的长.∵在Rt△ABC 中，斜边长为10cm ，∠BAC＝30°，∴BC ＝5cm ，即平移的距离为5cm.（2）∵∠A 1FA ＝30°，∴∠GFD＝60°，∠D＝30°.∴∠FGD ＝90°.在Rt △EFD 中，ED ＝10 cm ，∵FD ＝，∴FGcm. （3）在△AHE 与△DHB 1中，∵∠FAB 1＝∠EDF ＝30°，∴FD ＝FA ，EF ＝FB ＝FB 1， ∴FD －FB 1＝FA －FE ，即AE ＝DB 1.又∵∠AHE ＝∠DHB 1，∴△AHE ≌△DHB 1，∴AH ＝DH.评注：动手操作的证明问题，既体现此类题型的动手能力，又能利用几何图形的性质进行全等、相似等证明，同时，从动手操作中学到知识，从操作中得到结论，这些都是借助图形的平移、旋转，读者应注意多加体会.跟踪训练： 4.，我们把这样的矩形叫做黄金矩形．（1）操作：请你在如图所示的黄金矩形ABCD （AB >AD ）中，以短边AD 为一边作正方形AEFD ； （2）探究：在（1）中的四边形EBCF 是不是黄金矩形？若是，请予以证明；若不是，请说明理由；（3）归纳：通过上述操作及探究，请概括出具有一般性的结论（不需要证明）．第4题图参考答案1. 此题我们可以用一张纸按图示过程动手剪一剪，选A.2. 剪下来的图形展开前是一个直角三角形，它的面积是所求菱形面积的四分之一；易知直角三角形的两直角边分别为2，25，∴菱形面积为4S △=4×21×2×25=10，故选A.3.解： (1)如图甲，由题意，得AE=DE=EC.因为AC=2,所以EC=1,S 正方形CFDE=1.如图乙，设MN=x ，则由题意，得AM=MQ=PN=NB=MN=x.33x x ∴==解得，28(39PNMQ S ∴==正方形.６又819>∴甲种剪法所得的正方形的面积更大 注：图甲可另解为：由题意得点D ，E ，F 分别为AB,AC,BC 的中点，112ABCCFDE S S ==正方形.(2)212S =，10912S =. (3)探索规律可知112n n S -=,剩余三角形的面积和为()12109911112212422S S S ⎛⎫-+++=-++++= ⎪⎝⎭. 4．解：（1）如图所示．第4题图（2）四边形EBCF 是黄金矩形．证明：由题意知，215-=AB AD ,所以AD=215-AB ．因为四边形ADFE是正方形，所以AD=AE.所以在四边形EBCF中215215215-=---=-=AB ABAB ADAFAB BC BF ，所以四边形EBCF 是黄金矩形. （3）在黄金矩形内以短边为边作一个正方形后，所得到的另外一个四边形是矩形，而且是黄金矩形．。

操作与探究1、〔13年北京5分22〕阅读下面材料：小明遇到这样一个问题：如图1，在边长为)2(>a a 的正方形ABCD 各边上分别截取AE=BF=CG=DH=1，当∠AFQ=∠BGM=∠CHN=∠DEP=45°时，求正方形MNPQ 的面积。

小明发现：分别延长QE ，MF ，NG ，PH ，交FA ，GB ，HC ，ED 的延长线于点R ，S ，T ，W ，可得△RQF ，△SMG ，△TNH ，△WPE 是四个全等的等腰直角三角形〔如图2〕 请答复：〔1〕假设将上述四个等腰直角三角形拼成一个新的正方形〔无缝隙，不重叠〕，那么这个新的正方形的边长为__________；〔2〕求正方形MNPQ 的面积。

参考小明思考问题的方法，解决问题：如图3，在等边△ABC 各边上分别截取AD=BE=CF ，再分别过点D ，E ，F 作BC ，AC ，AB 的垂线，得到等边△RPQ ，假设33=∆RPQ S ，那么AD 的长为__________。

解析：考点：操作与探究〔旋转、从正方形到等边三角形的变式、全等三角形〕2、〔2021成都市〕如图，A B C ，，，为⊙O 上相邻的三个n 等分点，弧AB BC =，点E 在弧BC 上，EF 为⊙O 的直径，将⊙O 沿EF 折叠，使点A 与'A 重合，连接'EB ，EC ，'EA .设'EB b =，EC c =，'EA p =.先探究,,b c p 三者的数量关系：发现当3n =时，p b c =+.请继续探究,,b c p 三者的数量关系：当4n =时，p =_______；当12n =时，p =_______. 〔参考数据：62sin15cos 754-==， 62cos15sin 754+==〕答案：c b ±2； c b 21322-+或c b --226解析：3、〔2021山西，21，8分〕〔此题8分〕如图，在△ABC中，AB=AC，D是BA延长线上的一点，点E是AC的中点。

专题：操作探究型1. (12分)综合与实践问题情景在综合与实践课上，老师出示了这样一个问题：在矩形纸片ABCD和矩形纸片EFGH 中，BC＝GF＝1，AB＝EF＝3.将两张矩形纸片按照如图①所示的方式摆放，使点E与点A 重合，点F落在AB的垂直平分线l上．试判断点H是否在线段AD的垂直平分线上．探究展示勤奋小组发现点H在线段AD的垂直平分线上，并展示了如下的证明方法：证明：如图①，连接BF，∵点F是AB垂直平分线上的点，∴EF＝BF.∵AB＝EF，∴AB＝EF＝BF，∴△ABF是等边三角形．(依据1)∴∠F AB＝60°，∠DAF＝∠DAB－∠F AB＝90°－60°＝30°.∴∠HAD＝∠HEF－∠DAF＝90°－30°＝60°.连接DH.∵AD＝EH，∴△ADH是等边三角形．∴HA＝H D.∴点H在线段AD的垂直平分线上．(依据2)反思交流(1)上述证明过程中的“依据1”、“依据2”分别指什么？(2)创新小组受勤奋小组的启发继续探究，将两张矩形纸片按照如图②所示的方式摆放，使点H与点B重合，边HG与边CD相交于点P，且PB＝PD，连接PF，发现PD＝PF.请你给予证明；探索发现(3)将两张矩形纸片按照如图③所示的方式摆放，使点C与点E重合，边EF与边AB相交于点P.若CP平分∠BCD，过点G作GM⊥CD于点M，交EF于点N，延长CB交GH于点Q，连接NQ.试判断四边形MNQC的形状并加以证明；(4)在如图③四边形BPNQ中，你可以求出这个四边形的哪几条边长？请你任选一条边并求出它的长度．图②图③2. (12分)综合与实践——猜想、证明与拓广问题情境：数学课上同学们探究正方形边上的动点引发的有关问题，如图①，正方形ABCD中，点E是BC边上的一点，点D关于直线AE的对称点为点F，直线DF交AB于点H，直线FB与直线AE交于点G，连接DG，CG.猜想证明：(1)当图①中的点E与点B重合时得到图②，此时点G也与点B重合，点H与点A重合，同学们发现线段GF与GD有确定的数量关系和位置关系，其结论为：__________；(2)希望小组的同学发现，图①中的点E在边BC上运动时，(1)中结论始终成立．为证明这两个结论，同学们展开了讨论：小敏：根据轴对称的性质，很容易得到“GF与GD的数量关系”…小丽：连接AF，图中出现新的等腰三角形，如△AFB，…小凯：不妨设图中不断变化的角∠BAF度数为n，并设法用n表示图中的一些角，可证明结论．请你参考同学们的思路，完成证明；(3)创新小组的同学在图①中，发现线段CG∥DF.请你说明理由；联系拓广：(4)如图③，若将题中的“正方形ABCD”变为“菱形ABCD”，∠ABC＝α，其余条件不变，请探究∠DFG的度数，直接写出结果(用含α的式子表示)．3. (12分)综合与实践问题情境在数学活动课上，老师提出了这样一个问题，如图①，四边形ABCD是正方形，点E 是CB延长线上的一点(BE<AB)，连接AE，过点A作AG⊥AE交边CD于点G，连接EG.独立思考(1)勤奋小组发现AE＝AG，请你证明这个结论；合作交流(2)希望小组受勤奋小组的启发，继续探究，提出了这样的问题：如图②，当BE>AB时，过点A作AG⊥AE，交DC的延长线于点G.连接EG，过点A作AF⊥EG，F为垂足，F A，CD的延长线交于点H，连接EH.①求证：DH ＋BE ＝EH ；②当点A 是GH 垂直平分线上的点时，请判断DH ，AD 的数量关系，并说明理由； 深入探究(3)四边形ABCD 是正方形，AB ＝4，点E 为直线BC 上任意一点，过点A 作AG ⊥AE 交直线CD 于点G ，连接BG .若CE AB ＝12，参照以上探究过程，试探究当点E 在BC 上或点E在BC 延长线上，任选一种情况，在图③中画出图形，并直接写出此时BG 的长．参考答案1. (1)解：依据1：三边都相等的三角形是等边三角形；依据2：到线段两端距离相等的点在线段的垂直平分线上；(2分) (2)证明：如解图①，连接DG . ∵CD ＝BG ，PD ＝PB ， ∴CD －PD ＝BG －PB . ∴CP ＝GP .在△PBC 和△PDG 中， ⎩⎪⎨⎪⎧PB ＝PD ，∠1＝∠2，CP ＝GP ，∴△PBC ≌△PDG (SAS)． ∴DG ＝BC . ∵BC ＝GF ， ∴DG ＝GF .∵∠DGP ＝∠C ＝90°，∠BGF ＝90°， ∴∠DGF ＝∠DGP ＋∠FGB ＝90°＋90°＝180°. ∴D 、G 、F 三点在同一直线上． ∴PG 垂直平分DF . ∴PD ＝PF ；(6分)(3)解：四边形MNQC 是正方形．证明：如解图②，分别延长DC 、GH 相交于点K . ∵∠BCD ＝90°，CP 平分∠BCD ， ∴∠1＝∠2＝12∠BCD ＝12×90°＝45°.∴∠3＝∠4＝45°.∴在Rt △CHK 中，∠K ＝45°. ∴CH ＝KH ＝1.根据勾股定理可得，CK ＝12＋12＝ 2. 在Rt △CMN 中，∵∠1＝45°， ∴∠MNC ＝∠1＝45°. ∴∠FNG ＝∠MNC ＝45°. ∴Rt △FGN 是等腰直角三角形． ∴FN ＝FG ＝1.∴CN ＝CF －FN ＝3－1＝2. 由勾股定理得，CM ＝ MN ＝ 2. ∴CQ ＝ MN ＝ 2. 又∵MN ∥CQ ，∴四边形MNQC 是平行四边形． ∵∠QCM ＝90°， ∴四边形MNQC 是矩形． ∵CM ＝MN ，∴四边形MNQC 是正方形；(10分)(4)解：(答案不唯一)由(3)可知MC∥NQ，又∵四边形ABCD是矩形，∴BP∥NQ.∴△CPB∽△CNQ.∴PBNQ＝CBCQ.∵CQ＝NQ＝2，CB＝1，∴PB＝CBCQ·NQ＝12×2＝1.(12分)2. (1)解：GF＝GD，GF⊥GD；(1分)(2)证明：如解图①，连接AF.∵点D关于直线AE的对称点为点F，∴直线AE是线段DF的垂直平分线，∴AF＝AD，GF＝GD，∴∠1＝∠2，∠3＝∠4，∴∠1＋∠3＝∠2＋∠4，即∠AFG＝∠ADG.(2分)∵四边形ABCD是正方形，∴AB＝AD，∠BAD＝90°.设∠BAF的度数为n，∴∠F AD＝90°＋n.(3分)∵AF ＝AD ＝AB ， ∴∠AFB ＝∠ABF ，∴∠AFB ＋∠ABF ＝180°－n ， ∴∠AFB ＋∠ADG ＝180°－n ，(4分)∴∠FGD ＝360°－∠F AD －∠AFG －∠ADG ＝360°－(90°＋n )－(180°－n )＝90°， ∴GF ⊥GD ；(5分)(3)解：如解图②，连接AF ，BD . 由(2)得FG ＝DG ，FG ⊥DG ，∴∠GFD ＝∠GDF ＝180°－∠FGD2＝45°.(6分)∵四边形ABCD 是正方形， ∴BC ＝CD ，∠BCD ＝90°， ∴∠BDC ＝∠DBC ＝45°， ∴∠FDG ＝∠BDC ，∴∠FDG －∠BDG ＝∠BDC －∠BDG ； 即∠FDB ＝∠GDC .(7分)∵在Rt △FDG 中，sin ∠DFG ＝DG DF ＝sin45°＝22，在Rt △BDC 中，sin ∠DBC ＝DC DB ＝sin45°＝22， ∴DG DF ＝DC DB ，∴DG DC ＝DFDB，(8分) ∴△BDF ∽△CDG ，∴∠DGC ＝∠DFG ＝45°，(9分) ∴∠DGC ＝∠FDG ， ∴CG ∥DF ；(10分) (4)∠DFG ＝90°－α2.(12分)【解法提示】如解图③连接AF ，BD ，∵点D 与点F 关于AE 对称，∴AE 是线段DF 的垂直平分线，∴AD ＝AF ，∠1＝∠2，AE ⊥DF ，∠DAE ＝∠F AE ，∴∠DAE ＝90°－∠2，∴∠DAF ＝2∠DAE ＝180°－2∠2.∵四边形ABCD 是菱形，∴AB ＝AD .∴∠AFB ＝∠ABF ＝∠DFG ＋∠1.∵BD 是菱形ABCD 的对角线，∴∠ADB ＝∠ABD ＝12α.∴在四边形ADBF 中，(∠DFG ＋∠1)＋(∠DFG ＋∠1＋12α)＋12α＋(180°－2∠1)＝360°.∴2∠DFG ＋2∠1＋α－2∠1＝180°.∴∠DFG ＝90°－12α.3. (1)证明：∵四边形ABCD 是正方形， ∴AD ＝AB ，∠D ＝∠ABC ＝∠BAD ＝90°. ∵∠ABE ＋∠ABC ＝180°， ∴∠ABE ＝90°， ∴∠D ＝∠ABE . ∵AG ⊥AE ， ∴∠EAG ＝90°，∵∠EAB ＋∠BAG ＝∠DAG ＋∠BAG ＝90°， ∴∠EAB ＝∠GAD ， 在△ADG 和△ABE 中，⎩⎪⎨⎪⎧∠DAG ＝∠BAE ，AD ＝AB ，∠D ＝∠ABE ，∴△ADG ≌△ABE (ASA)， ∴AG ＝AE ；(4分)(2)①证明：根据题意可得∠ABE ＝∠ADG ＝90°， ∵AG ⊥AE ， ∴∠EAG ＝90°，∴∠EAB ＋∠BAG ＝∠DAG ＋∠BAG ＝90°， ∴∠EAB ＝∠DAG ， 在△ADG 和△ABE 中， ⎩⎪⎨⎪⎧∠DAG ＝∠BAE ，AD ＝AB ，∠ADG ＝∠ABE ， ∴△ADG ≌△ABE (ASA)， ∴DG ＝BE ，AG ＝AE ， ∴△AEG 是等腰直角三角形， 又∵AF ⊥EG ，∴AF 是EG 边上的中线， ∴AF 垂直平分EG ， ∴EH ＝GH ，∴GH ＝DH ＋DG ＝DH ＋BE . ∴DH ＋BE ＝EH ；(7分) ②解：DH ＝(2＋1)AD ；理由如下：∵A 是GH 垂直平分线上的点，∴AD ⊥HG ，DH ＝DG ，由(2)①知DG ＝BE ，∴DH ＝BE ，∴DH ＋DC ＝BE ＋BC ，即CH ＝CE ，∴△CEH 是等腰直角三角形，∴∠CHE ＝45°.∵HE ＝HG ，HF ⊥EG ，∴HF 平分∠CHE ，∴∠AHD ＝12∠CHE ＝12×45°＝22.5°， 如解图①，在DH 上取一点K ，使DK ＝AD ，则∠AKD ＝45°，∴∠HAK ＝∠AKD －∠AHD ＝45°－22.5°＝22.5°，∴∠HAK ＝∠AHD ，∴AK ＝HK .在Rt △ADK 中，AK ＝2AD ，∴KH ＝2AD ，∴HD ＝HK ＋DK ＝2AD ＋AD ＝(2＋1)AD ；(10分)(3)解：(答案不唯一)答案1：当点E 在BC 上时，画出图形如解图②，此时BG ＝213.(12分)答案2：当点E 在BC 延长线上时，画出图形如解图③，此时BG ＝229.。

操作探究型+最值问题1.如图,将△ABC 绕点C 顺时针旋转90°得到△EDC .若点A ,D ,E 在同一条直线上,∠ACB ＝20°,则∠ADC 的度数是 ( )A .55°B .60°C .65°D .70°答案：C2.如图,在边长为a 的正方形ABCD 中,把边BC 绕点B 逆时针旋转60°,得到线段BM ,连接AM 并延长交CD 于N ,连接MC ,则△MNC 的面积为 ( ) A .2312a - B . 2212a - C . 2314a - D . 2214a -答案：C3.如图,Rt △ABC 中,∠B ＝90°,AB ＝3 cm ,AC ＝5 cm ,将△ABC 折叠,使点C 与A 重合,得折痕DE ,则△ABE 的周长等于 cm .答案：74.如图,把等边三角形ABC 沿着DE 折叠,使点A 恰好落在BC 边上的点P 处,且DP ⊥BC ,若BP ＝4 cm ,则EC ＝ cm .答案：2＋2[解析] 根据“30°角所对的直角边等于斜边的一半”可求得BD ＝8,再由勾股定理求得DP ＝4.根据折叠的性质可以得到∠DPE ＝∠A ＝60°,DP ＝DA ＝4,易得∠EPC ＝30°,∠PEC ＝90°,所以EC ＝PC ＝(8＋4－4)＝2＋2.5.如图,P 是等边三角形ABC 内一点,将线段AP 绕点A 顺时针旋转60°得到线段AQ ,连接BQ .若PA ＝6,PB ＝8,PC ＝10,则四边形APBQ 的面积为 .答案：24＋9[解析] 连接PQ,如图,∵△ABC为等边三角形,∴∠BAC＝60°,AB＝A C.∵线段AP绕点A顺时针旋转60°得到线段AQ,∴AP＝AQ＝6,∠PAQ＝60°,∴△APQ为等边三角形,∴PQ＝AP＝6.∵∠CAP＋∠BAP＝60°,∠BAP＋∠BAQ＝60°,∴∠CAP＝∠BAQ.∴△APC≌△AQB,∴PC＝QB＝10,[来源:学|科|网]在△BPQ中,∵PB2＝82＝64,PQ2＝62＝36,BQ2＝102＝100,而64＋36＝100,∴PB2＋PQ2＝BQ2,∴△PBQ为直角三角形,∠BPQ＝90°,∴S四边形APBQ＝S△BPQ＋S△APQ＝×6×8＋×62＝24＋9.6.如图,折叠矩形纸片ABCD时,发现可以进行如下操作:①把△ADE翻折,点A落在DC边上的点F处,折痕为DE,点E在AB边上;②把纸片展开并铺平;③把△CDG翻折,点C落在线段AE上的点H处,折痕为DG,点G在BC边上.若AB＝AD＋2,EH＝1,则AD ＝.答案：.3＋27.如图,在边长为1的正方形ABCD中,动点E,F分别在边AB,CD上,将正方形ABCD沿直线EF折叠,使点B的对应点M始终落在边AD上(点M不与点A,D重合),点C落在点N 处,MN与CD交于点P,设BE＝x.(1)当AM＝13时,求x的值.(2)随着点M在边A D上位置的变化,△PDM的周长是否发生变化?如果变化,请说明理由;如果不变,请求出该定值.(3)设四边形BEFC的面积为S,求S与x之间的函数表达式,并求出S的最小值.解: (1)由折叠可知ME＝BE＝x,∴AE＝1－x.在Rt△AEM中,由AM＝13,得（13）2＋(1－x)2＝x2.解得x＝.(2)不发生变化.如图,连接BM,BP,过点B作BH⊥MN,垂足为H.∵EB＝EM,∴∠EBM＝∠EM B.∵∠EBC＝∠EMN,∴∠MBC＝∠BMN.∵AD∥BC,∴∠AMB＝∠MBC,∴∠AMB＝∠BMN,又∵∠A＝∠MHB,BM＝BM,∴△BAM≌△BHM.∴AM＝HM,BH＝A B.∵BC＝AB,∴BH＝B C.又∵BP＝BP,∴Rt△BHP≌Rt△BCP.∴HP＝P C.∴△MDP的周长＝MD＋DP＋MP＝MD＋DP＋MH＋HP＝MD＋AM＋DP＋PC＝AD＋DC＝2.∴△MDP的周长为定值,周长为2.(3)如图,连接BM,过点F作FQ⊥AB,垂足为Q.则QF＝BC＝A B.∵∠BEF＋∠EBM＝90°,∠AMB＋∠EBM＝90°,∴∠BEF＝∠AM B.又∵∠A＝∠EQF＝90°,∴△AMB≌△QEF.∴AM＝EQ.设AM＝a,则a2＋(1－x)2＝x2.∴a＝.∴CF＝QB＝x－.∴S＝(CF＋BE)×1 ＝(x－＋x) ＝(2x－).设＝t,则2x＝t2＋1.∴S＝(t2＋1－t)＝t－2＋.∴当t＝,即x＝时,S的最小值为.8.如图,一副直角三角板满足AB＝BC,AC＝DE,∠ABC＝∠DEF＝90°,∠EDF＝30°.【操作】将三角板DEF的直角顶点E放置于三角板ABC的斜边AC上,再将三角板DEF绕点E旋转,并使边DE与边AB交于点P,边EF与边BC交于点Q.【探究一】在旋转过程中,(1)如图②,当CEAE＝1时,EP与EQ满足怎样的数量关系?并给出证明.(2)如图③,当CEAE＝2时,EP与EQ满足怎样的数量关系?并说明理由.(3)根据你对(1),(2)的探究结果,试写出当CEAE＝m时,EP与EQ满足的数量关系式为,其中m的取值范围是(直接写出结论,不必证明).【探究二】若CEAE＝2且AC＝30 cm,连接PQ,设△EPQ的面积为S(cm2),在旋转过程中:(1)S是否存在最大值或最小值?若存在,求出最大值或最小值;若不存在,说明理由.(2)随着S取不同的值,对应△EPQ的个数有哪些变化?求出相应S的值或取值范围.答案:探究一:(1)EP＝EQ.证明如下:连接BE,根据E是AC的中点和等腰直角三角形的性质,得BE＝CE,∠PBE＝∠C,又∠BEP＝∠CEQ,则△BEP≌△CEQ,∴EP＝EQ.(2)EQ＝2EP.如图,作EM⊥AB于M,EN⊥BC于N,则∠EMP＝∠ENC,∵∠MEP＋∠PEN＝∠PEN＋∠NEF＝90°,∴∠MEP＝∠NEF,∴△MEP∽△NEQ,∴EP∶EQ＝EM∶EN＝AE∶CE＝1∶2.∴EQ＝2EP.(3)过E点作EM⊥AB于点M,作EN⊥BC于点N,∵在四边形PEQB中,∠B＝∠PEQ＝90°,∴∠EPB＋∠EQB＝180°,又∵∠EPB＋∠MPE＝180°,∴∠MPE＝∠EQN,∴Rt△MEP∽Rt△NEQ,∴,∵＝m＝,∴,∴EP与EQ满足的数量关系式为EP∶EQ＝1∶m,∴0＜m≤2＋(当m＞2＋时,EF与BC不会相交).探究二:若AC＝30 cm,(1)设EQ＝x cm,则S＝x2,所以当x＝10cm时,面积最小,是50 cm2;当x＝10cm时,面积最大,是75 cm2.(2)当x＝EB＝5cm时,S＝62.5 cm2, 故当50＜S≤62.5时,这样的三角形有2个;当S＝50或62.5＜S ≤75时,这样的三角形有一个.9．如图，∠MON＝90°，点B在射线ON上且OB＝2，点A在射线OM上，以AB为边在∠MON内部作正方形ABCD，其对角线AC、BD交于点P．在点A从O点出发，沿射线OM 的运动过程中，下列说法正确的是（）A．点P始终在∠MON的平分线上，且线段OP的长有最小值等于2B．点P始终在∠MON的平分线上，且线段OP的长有最大值等于2C．点P不一定在∠MON的平分线上，但线段OP的长有最小值等于2D．点P运动路径无法确定解：作PE⊥ON、PF⊥OM垂足分别为E、F，∠PEB＝∠PFA＝90°，∵ABCD是正方形，∴PA＝PB，∵∠BOA＝∠BAC＝90°，∴∠DAM＝∠OBA，∠POD＝∠PBA＝45°，∴∠DMA＋∠POD＝∠PBA＋∠OBA，即∠PBE＝∠PAF，∴△PBE≌△PAF，∴PE＝PF，即P在∠MON的平分线上，当点A在点O时，OP最小，此时，OP是正方形ABCD的对角线的一半，而此时，正方形的边长为2，OP＝22OB＝2，10.如图，在等腰Rt△ABC中，AC＝BC＝22，点P在以斜边AB为直径的半圆上，M为PC的中点．当点P沿半圆从点A运动至点B时，点M运动的路径长是________答案：取AB的中点O、AE的中点E、BC的中点F，连结OC、OP、OM、OE、OF、EF，如图，∵在等腰Rt△ABC中，AC＝BC＝22，∴AB＝2BC＝4，∴OC＝12AB＝2，OP＝12AB ＝2，∵M为PC的中点，∴OM⊥PC，∴∠CMO＝90°，∴点M在以OC为直径的圆上，点P点在A点时，M点在E点；点P点在B点时，M点在F点，易得四边形CEOF为正方形，EF＝OC＝2，∴M点的路径为以EF为直径的半圆，∴点M运动的路径长＝12•2π•1＝π．11.如图，在等边△ABC中，AB＝10，BD＝4，BE＝2，点P从点E出发沿EA方向运动，连结PD，以PD为边，在PD的右侧按如图所示的方式作等边△DPF，当点P从点E运动到点A时，点F运动的路径长是________．答案：如图，∵△ABC为等边三角形，∴∠B＝60°，过D点作DE′⊥AB，则BE′＝12BD＝2，∴点E′与点E重合，∴∠BDE＝30°，DE＝3BE＝23，∵△DPF为等边三角形，∴∠PDF＝60°，DP＝DF，∴∠EDP＋∠HDF＝90°∵∠HDF＋∠DFH＝90°，∴∠EDP＝∠DFH，∴△DPE≌△FDH，∴FH＝DE＝23，∴点P从点E运动到点A时，点F运动的路径为一条线段，此线段到BC的距离为23，当点P在E点时，作等边三角形DEF1，∠BDF1＝30°＋60°＝90°，则DF1⊥BC，当点P在A点时，作等边三角形DAF2，作F2Q⊥BC于Q，则△DF2Q≌△ADE，所以DQ ＝AE＝10﹣2＝8，∴F1F2＝DQ＝8，∴当点P从点E运动到点A时，点F运动的路径长为8．12.如图：已知AB＝10，点C、D在线段AB上且AC＝DB＝2；P是线段CD上的动点，分别以AP、PB为边在线段AB的同侧作等边△AEP和等边△PFB，连接EF，设EF的中点为G；当点P从点C运动到点D时，则点G移动路径的长是________。

中考数学备考专题复习：操作探究问题（含解析）中考备考专题复习：操作探究问题一、单选题1、如图，矩形纸片ABCD中，AB=4，BC=6．将该矩形纸片剪去3个等腰直角三角形，所有剪法中剩余部分面积的最小值是（）A、6B、3C、2.5D、22、用直尺和圆规作Rt△ABC斜边AB上的高线CD，以下四个作图中，作法错误的是（）A、B、C、D、3、小明用计算器计算（a+b）c的值，其按键顺序和计算器显示结果如表：这时他才明白计算器是先做乘法再做加法的，于是他依次按键：从而得到了正确结果，已知a是b的3倍，则正确的结果是（）A、24B、39C、48D、964、下列尺规作图，能判断AD是△ABC边上的高是（）A、B、C、D、5、如图，C，E是直线l两侧的点，以C为圆心，CE长为半径画弧交l于A，B两点，又分别以A，B为圆心，大于AB的长为半径画弧，两弧交于点D，连接CA，CB，CD，下列结论不一定正确的是（）A、CD⊥lB、点A，B关于直线CD对称C、点C，D关于直线l对称D、CD平分∠ACB6、任意一条线段EF，其垂直平分线的尺规作图痕迹如图所示．若连接EH，HF，FG，GE，则下列结论中，不一定正确的是（）A、△EGH为等腰三角形B、△EGF为等边三角形C、四边形EGFH为菱形D、△EHF为等腰三角形7、如图，将一张等边三角形纸片沿中位线剪成4个小三角形，称为第一次操作；然后，将其中的一个三角形按同样方式再剪成4个小三角形，共得到7个小三角形，称为第二次操作；再将其中一个三角形按同样方式再剪成4个小三角形，共得到10个小三角形，称为第三次操作；…根据以上操作，若要得到100个小三角形，则需要操作的次数是（）A、25B、33C、34D、508、运行程序如图所示，规定：从“输入一个值x”到“结果是否＞95”为一次程序操作，如果程序操作进行了三次才停止，那么x的取值范围是（）A、x≥11B、11≤x＜23C、11＜x≤23D、x≤239、为了丰富学生课外小组活动，培养学生动手操作能力，王老师让学生把5m长的彩绳截成2m或1m的彩绳，用来做手工编织，在不造成浪费的前提下，你有几种不同的截法（）A、1B、2C、3D、4二、填空题10、如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，BC=6，AC=8，分别以点A，B为圆心，大于线段AB长度一半的长为半径作弧，相交于点E，F，过点E，F作直线EF，交AB于点D，连结CD，则CD的长是________．11、如图，在▱ABCD中，AB=3，BC=5，以点B为圆心，以任意长为半径作弧，分别交BA、BC于点P、Q，再分别以P、Q为圆心，以大于 PQ的长为半径作弧，两弧在∠ABC内交于点M，连接BM并延长交AD于点E，则DE的长为________12、下面是“经过已知直线外一点作这条直线的垂线”的尺规作图过程：已知：直线l和l外一点P．（如图1）求作：直线l的垂线，使它经过点P．作法：如图2（1）在直线l上任取两点A，B；（2）分别以点A，B为圆心，AP，BP长为半径作弧，两弧相交于点Q；（3）作直线PQ．所以直线PQ就是所求的垂线．请回答：该作图的依据是________13、对一个实数x按如图所示的程序进行操作，规定：程序运行从“输入一个实数x”到“结果是否大于88？”为一次操作．如果操作只进行一次就停止，则x的取值范围是________．14、甲乙二人在环形跑道上同时同地出发，同向运动．若甲的速度是乙的速度的2倍，则甲运动2周，甲、乙第一次相遇；若甲的速度是乙的速度3倍，则甲运动周，甲、乙第一次相遇；若甲的速度是乙的速度4倍，则甲运动周，甲、乙第一次相遇，…，以此探究正常走时的时钟，时针和分针从0点（12点）同时出发，分针旋转________周，时针和分针第一次相遇．15、某学习小组为了探究函数y=x2﹣|x|的图象和性质，根据以往学习函数的经验，列表确定了该函数图象上一些点的坐标，表格中的m=________．三、作图题16、由一些相同的小正方体搭成的几何体的左视图和俯视图如图所示，请在网格中涂出一种该几何体的主视图，且使该主视图是轴对称图形．四、综合题17、如图，在平面直角坐标系中，已知△ABC 的三个顶点的坐标分别为A （﹣3，5），B （﹣2，1），C （﹣1，3）．(1)若△ABC 经过平移后得到△A 1B 1C 1 ， 已知点C 1的坐标为（4，0），写出顶点A 1 ， B 1的坐标；(2)若△ABC 和△A 1B 2C 2关于原点O 成中心对称图形，写出△A 1B 2C 2的各顶点的坐标；(3)将△ABC 绕着点O 按顺时针方向旋转90°得到△A 2B 3C 3 ， 写出△A 2B 3C 3的各顶点的坐标．18、P n 表示n 边形的对角线的交点个数（指落在其内部的交点），如果这些交点都不重合，那么P n 与n 的关系式是：P n =•（n 2﹣an+b ）（其中a ，b 是常数，n≥4）(1)通过画图，可得：四边形时，P 4=________ ；五边形时，P 5=________ (2)请根据四边形和五边形对角线交点的个数，结合关系式，求a ，b 的值．19、如图，在平面直角坐标系中，已知△ABC 三个顶点的坐标分别是A （2，2），B （4，0），C （4，﹣4）(1)请画出△ABC 向左平移6个单位长度后得到的△A 1B 1C 1；(2)以点O为位似中心，将△ABC 缩小为原来的，得到△A 2B 2C 2 ， 请在y 轴右侧画出△A 2B 2C 2 ， 并求出∠A 2C 2B 2的正弦值．20、已知：如图△ABC 三个顶点的坐标分别为A （0，﹣3）、B （3，﹣2）、C （2，﹣4），正方形网格中，每个小正方形的边长是1个单位长度．(1)画出△ABC 向上平移6个单位得到的△A 1B 1C 1；(2)以点C 为位似中心，在网格中画出△A 2B 2C 2 ， 使△A 2B 2C 2与△ABC 位似，且△A 2B 2C 2与△ABC 的位似比为2：1，并直接写出点A 2的坐标．21、）如图，在平面直角坐标系中，直角△ABC 的三个顶点分别是A （﹣3，1），B （0，3），C （0，1）(1)将△ABC 以点C 为旋转中心旋转180°，画出旋转后对应的△A 1B 1C 1；(2)分别连结AB 1、BA 1后，求四边形AB 1A 1B 的面积．22、如图，在平行四边形ABCD 中，以点A 为圆心，AB 长为半径画弧交AD 于点F ，再分别以点B 、F 为圆心，大于BF 长为半径画弧，两弧交于一点P ，连接AP 并延长交BC 于点E ，连接EF ．(1)四边形ABEF 是________；（选填矩形、菱形、正方形、无法确定）（直接填写结果）(2)AE ，BF 相交于点O ，若四边形ABEF 的周长为40，BF=10，则AE 的长为________，∠ABC=________°．（直接填写结果）23、如图，在▱ABCD 中，AC 为对角线，AC=BC=5，AB=6，AE 是△ABC 的中线．(1)用无刻度的直尺画出△ABC 的高CH （保留画图痕迹）； (2)求△ACE 的面积．24、如图，在每个小正方形的边长为1的网格中，A ，E 为格点，B ，F 为小正方形边的中点，C 为AE ，BF 的延长线的交点．(1)AE 的长等于________；(2)若点P 在线段AC 上，点Q 在线段BC 上，且满足AP=PQ=QB ，请在如图所示的网格中，用无刻度的直尺，画出线段PQ ，并简要说明点P ，Q 的位置是如何找到的（不要求证明）________． 25、如图，在平面直角坐标系网格中，将△ABC 进行位似变换得到△A 1B 1C 1 ．(1)△A 1B 1C 1与△ABC 的位似比是________；(2)画出△A 1B 1C 1关于y 轴对称的△A 2B 2C 2；(3)设点P （a ，b ）为△ABC 内一点，则依上述两次变换后，点P 在△A 2B 2C 2内的对应点P 2的坐标是________．26、【操作发现】在计算器上输入一个正数，不断地按“”键求算术平方根，运算结果越来越接近1或都等于1．【提出问题】输入一个实数，不断地进行“乘以常数k，再加上常数b”的运算，有什么规律？【分析问题】我们可用框图表示这种运算过程（如图a）．也可用图象描述：如图1，在x轴上表示出x1，先在直线y=kx+b上确定点（x1， y1），再在直线y=x上确定纵坐标为y1的点（x2， y1），然后再x轴上确定对应的数x2，…，以此类推．【解决问题】研究输入实数x1时，随着运算次数n的不断增加，运算结果x，怎样变化．(1)若k=2，b=﹣4，得到什么结论？可以输入特殊的数如3，4，5进行观察研究；(2)若k＞1，又得到什么结论？请说明理由；(3)①若k=﹣，b=2，已在x轴上表示出x1（如图2所示），请在x轴上表示x 2， x3， x4，并写出研究结论；②若输入实数x1时，运算结果xn互不相等，且越来越接近常数m，直接写出k的取值范围及m的值（用含k，b的代数式表示）27、问题背景：如图①，在四边形ADBC中，∠ACB=∠ADB=90°，AD=BD，探究线段AC，BC，CD之间的数量关系．小吴同学探究此问题的思路是：将△BCD绕点D，逆时针旋转90°到△AED处，点B，C分别落在点A，E 处（如图②），易证点C，A，E在同一条直线上，并且△CDE是等腰直角三角形，所以CE= CD，从而得出结论：AC+BC= CD．简单应用：(1)在图①中，若AC= ，BC=2 ，则CD=________．(2)如图③，AB是⊙O的直径，点C、D在⊙上，= ，若AB=13，BC=12，求CD的长．拓展规律：(3)如图④，∠ACB=∠ADB=90°，AD=BD，若AC=m，BC=n（m＜n），求CD的长（用含m，n的代数式表示）(4)如图⑤，∠ACB=90°，AC=BC，点P为AB的中点，若点E满足AE= AC，CE=CA，点Q为AE的中点，则线段PQ与AC的数量关系是________．28、某班“数学兴趣小组”对函数y=x2﹣2|x|的图象和性质进行了探究，探究过程如下，请补充完整．(1)自变量x的取值范围是全体实数，x与y的几组对应值列表如下：﹣3 ﹣﹣ 2 3m 0 3其中，m=________．(2)根据表中数据，在如图所示的平面直角坐标系中描点，并画出了函数图象的一部分，请画出该函数图象的另一部分．(3)观察函数图象，写出两条函数的性质．(4)进一步探究函数图象发现：①函数图象与x轴有________个交点，所以对应的方程x2﹣2|x|=0有________个实数根；②方程x2﹣2|x|=2有________个实数根；③关于x的方程x2﹣2|x|=a有4个实数根时，a的取值范围是________．29、阅读：我们约定，在平面直角坐标系中，经过某点且平行于坐标轴或平行于两坐标轴夹角平分线的直线，叫该点的“特征线”．例如，点M（1，3）的特征线有：x=1，y=3，y=x+2，y=﹣x+4．问题与探究：如图，在平面直角坐标系中有正方形OABC，点B在第一象限，A、C分别在x轴和y轴上，抛物线经过B、C两点，顶点D在正方形内部．(1)直接写出点D（m，n）所有的特征线；(2)若点D有一条特征线是y=x+1，求此抛物线的解析式；(3)点P是AB边上除点A外的任意一点，连接OP，将△OAP沿着OP折叠，点A落在点A′的位置，当点A′在平行于坐标轴的D点的特征线上时，满足（2）中条件的抛物线向下平移多少距离，其顶点落在OP上？30、问题探究：①新知学习若把将一个平面图形分为面积相等的两个部分的直线叫做该平面图形的“面线”，其“面线”被该平面图形截得的线段叫做该平面图形的“面径”（例如圆的直径就是圆的“面径”）．②解决问题已知等边三角形ABC的边长为2．(1)如图一，若AD⊥BC，垂足为D，试说明AD是△ABC的一条面径，并求AD的长；(2)如图二，若ME∥BC，且ME是△ABC的一条面径，求面径ME的长；(3)如图三，已知D为BC的中点，连接AD，M为AB上的一点（0＜AM＜1），E是DC上的一点，连接ME，ME与AD交于点O，且SMOA=S△DOE．△①求证：ME是△ABC的面径；②连接AE，求证：MD∥AE；(4)请你猜测等边三角形ABC的面径长l的取值范围（直接写出结果）31、已知y是x的函数，自变量x的取值范围x＞0，下表是y与x的几组对应值：小腾根据学习函数的经验，利用上述表格所反映出的y与x之间的变化规律，对该函数的图象与性质进行了探究．下面是小腾的探究过程，请补充完整：(1)如图，在平面直角坐标系xOy中，描出了以上表格中各对对应值为坐标的点，根据描出的点，画出该函数的图象；(2)根据画出的函数图象，写出：①x=4对应的函数值y约为________②该函数的一条性质：________32、如图，将正n边形绕点A顺时针旋转60°后，发现旋转前后两图形有另一交点O，连接AO，我们称AO为“叠弦”；再将“叠弦”AO所在的直线绕点A逆时针旋转60°后，交旋转前的图形于点P，连接PO，我们称∠OAB为“叠弦角”，△AOP为“叠弦三角形”．【探究证明】(1)请在图1和图2中选择其中一个证明：“叠弦三角形”（△AOP）是等边三角形；(2)如图2，求证：∠OAB=∠OAE′．(3)图1、图2中的“叠弦角”的度数分别为________，________；(4)图n中，“叠弦三角形”________等边三角形（填“是”或“不是”）(5)图n中，“叠弦角”的度数为________（用含n的式子表示）33、数学活动课上，某学习小组对有一内角为120°的平行四边形ABCD（∠BAD=120°）进行探究：将一块含60°的直角三角板如图放置在平行四边形ABCD所在平面内旋转，且60°角的顶点始终与点C重合，较短的直角边和斜边所在的两直线分别交线段AB，AD于点E，F（不包括线段的端点）．(1)初步尝试如图1，若AD=AB，求证：①△BCE≌△ACF，②AE+AF=AC；(2)类比发现如图2，若AD=2AB，过点C作CH⊥AD于点H，求证：AE=2FH；(3)深入探究如图3，若AD=3AB，探究得：的值为常数t，则t=________．34、在学习了图形的旋转知识后，数学兴趣小组的同学们又进一步对图形旋转前后的线段之间、角之间的关系进行了探究．（一）尝试探究如图1，在四边形ABCD中，AB=AD，∠BAD=60°，∠ABC=∠ADC=90°，点E、F分别在线段BC、CD上，∠EAF=30°，连接EF．(1)如图2，将△ABE绕点A逆时针旋转60°后得到△A′B′E′（A′B′与AD重合），请直接写出∠E′AF=________度，线段BE、EF、FD之间的数量关系为________．(2)如图3，当点E、F分别在线段BC、CD的延长线上时，其他条件不变，请探究线段BE、EF、FD之间的数量关系，并说明理由．35、爱好思考的小茜在探究两条直线的位置关系查阅资料时，发现了“中垂三角形”，即两条中线互相垂直的三角形称为“中垂三角形”．如图（1）、图（2）、图（3）中，AM、BN是△ABC的中线，AN⊥BN于点P，像△ABC这样的三角形均为“中垂三角形”．设BC=a，AC=b，AB=c．【特例探究】(1)如图1，当tan∠PAB=1，c=4 时，a=________，b=________；如图2，当∠PAB=30°，c=2时，a=________，b=________；(2)【归纳证明】请你观察（1）中的计算结果，猜想a2、b2、c2三者之间的关系，用等式表示出来，并利用图3证明你的结论．(3)【拓展证明】如图4，▱ABCD中，E、F分别是AD、BC的三等分点，且AD=3AE，BC=3BF，连接AF、BE、CE，且BE⊥CE于E，AF与BE相交点G，AD=3 ，AB=3，求AF的长．36、阅读下面材料：小明遇到这样一个问题：如图1，△ABC中，AB=AC，点D在BC边上，∠DAB=∠ABD，BE⊥AD，垂足为E，求证：BC=2AE．小明经探究发现，过点A作AF⊥BC，垂足为F，得到∠AFB=∠BEA，从而可证△ABF≌△BAE（如图2），使问题得到解决．(1)根据阅读材料回答：△ABF与△BAE全等的条件是 AAS（填“SSS”、“SAS”、“ASA”、“AAS”或“HL”中的一个）参考小明思考问题的方法，解答下列问题：(2)如图3，△ABC中，AB=AC，∠BAC=90°，D为BC的中点，E为DC的中点，点F在AC的延长线上，且∠CDF=∠EAC，若CF=2，求AB的长；(3)如图4，△ABC中，AB=AC，∠BAC=120°，点D、E分别在AB、AC边上，且AD=kDB（其中0＜k＜），∠AED=∠BCD，求的值（用含k的式子表示）．答案解析部分一、单选题1、【答案】C【考点】等腰三角形的性质【解析】【解答】解：如图以BC为边作等腰直角三角形△EBC，延长BE交AD于F，得△ABF是等腰直角三角形，作EG⊥CD于G，得△EGC是等腰直角三角形，在矩形ABCD中剪去△ABF，△BCE，△ECG得到四边形EFDG，此时剩余部分面积的最小=4×6﹣×4×4﹣×3×6﹣×3×3=2.5．故选C．【分析】以BC为边作等腰直角三角形△EBC，延长BE交AD于F，得△ABF是等腰直角三角形，作EG⊥CD 于G，得△EGC是等腰直角三角形，在矩形ABCD中剪去△ABF，△BCE，△ECG得到四边形EFDG，此时剩余部分面积的最小本题考查几何最值问题、等腰直角三角形性质等知识，解题的关键是探究出如何确定三个等腰直角三角形，属于中考选择题中的压轴题．2、【答案】D【考点】作图—复杂作图【解析】【解答】解：A、根据垂径定理作图的方法可知，CD是Rt△ABC斜边AB上的高线，不符合题意；B、根据直径所对的圆周角是直角的方法可知，CD是Rt△ABC斜边AB上的高线，不符合题意；C、根据相交两圆的公共弦的性质可知，CD是Rt△ABC斜边AB上的高线，不符合题意；D、无法证明CD是Rt△ABC斜边AB上的高线，符合题意．故选：D．【分析】根据过直线外一点作已知直线的垂线作图即可求解．考查了作图﹣复杂作图，关键是熟练掌握作过直线外一点作已知直线的垂线的方法．3、【答案】 C【考点】解三元一次方程组，科学计算器的使用【解析】【解答】解：由题意可得：，则，解得：，故（9+3）×4=48．故选：C．【分析】根据题意得出关于a，b，c的方程组，进而解出a，b，c的值，进而得出答案．此题主要考查了计算器的应用以及方程组的解法，正确得出关于a，b，c的等式是解题关键．4、【答案】B【考点】作图—基本作图【解析】【解答】解：过点A作BC的垂线，垂足为D，故选B．【分析】过点A作BC的垂线，垂足为D，则AD即为所求．本题考查了作图﹣复杂作图：复杂作图是在五种基本作图的基础上进行作图，一般是结合了几何图形的性质和基本作图方法．解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图．5、【答案】C【考点】线段垂直平分线的性质，作图—基本作图，轴对称的性质【解析】【解答】解：由作法得CD垂直平分AB，所以A、B选项正确；因为CD垂直平分AB，所以CA=CB，所以CD平分∠ACB，所以D选项正确；因为AD不一定等于AD，所以C选项错误．故选C．【分析】利用基本作图可对A进行判断；利用CD垂直平分AB可对B、D进行判断；利用AC与AD不一定相等可对C进行判断．本题考查了作图﹣基本作图：掌握基本作图（作一条线段等于已知线段；作一个角等于已知角；作已知线段的垂直平分线；作已知角的角平分线；过一点作已知直线的垂线）．6、【答案】B【考点】线段垂直平分线的性质，作图—基本作图【解析】【解答】解：A、正确．∵EG=EH，∴△EGH是等边三角形．B、错误．∵EG=GF，∴△EFG是等腰三角形，若△EFG是等边三角形，则EF=EG，显然不可能．C、正确．∵EG=EH=HF=FG，∴四边形EHFG是菱形．D、正确．∵EH=FH，∴△EFH是等边三角形．故选B．【分析】根据等腰三角形的定义、菱形的定义、等边三角形的定义一一判断即可．本题考查线段的垂直平分线的性质、作图﹣基本作图、等腰三角形的定义等知识，解题的关键是灵活一一这些知识解决问题，属于中考常考题型．7、【答案】 B【考点】探索图形规律【解析】【解答】解：∵第一次操作后，三角形共有4个；第二次操作后，三角形共有4+3=7个；第三次操作后，三角形共有4+3+3=10个；…∴第n次操作后，三角形共有4+3（n﹣1）=3n+1个；当3n+1=100时，解得：n=33，故选：B．【分析】由第一次操作后三角形共有4个、第二次操作后三角形共有（4+3）个、第三次操作后三角形共有（4+3+3）个，可得第n次操作后三角形共有4+3（n﹣1）=3n+1个，根据题意得3n+1=100，求得n的值即可．此题主要考查了图形的变化类，根据已知得出第n次操作后，三角形的个数为3n+1是解题关键．8、【答案】 C【考点】一元一次不等式组的应用【解析】【解答】解：由题意得，，解不等式①得，x≤47，解不等式②得，x≤23，解不等式③得，x＞11，所以，x的取值范围是11＜x≤23．故选C．【分析】根据运算程序，前两次运算结果小于等于95，第三次运算结果大于95列出不等式组，然后求解即可．本题考查了一元一次不等式组的应用，读懂题目信息，理解运输程序并列出不等式组是解题的关键．9、【答案】C【考点】二元一次方程的应用【解析】【解答】解：截下来的符合条件的彩绳长度之和刚好等于总长5米时，不造成浪费，设截成2米长的彩绳x根，1米长的y根，由题意得，2x+y=5，因为x，y都是正整数，所以符合条件的解为：、、，则共有3种不同截法，故选：C．【分析】截下来的符合条件的彩绳长度之和刚好等于总长9米时，不造成浪费，设截成2米长的彩绳x根，1米长的y根，由题意得到关于x与y的方程，求出方程的正整数解即可得到结果．此题考查了二元一次方程的应用，弄清题意列出方程是解本题的关键．二、填空题10、【答案】5【考点】直角三角形斜边上的中线，勾股定理，作图—基本作图【解析】【解答】解：由题意EF是线段AB的垂直平分线，∴AD=DB，Rt△ABC中，∵∠ACB=90°，BC=6，AC=8，∴AB= = =10，∵AD=DB，∠ACB=90°，∴CD= AB=5．故答案为5．【分析】首先说明AD=DB，利用直角三角形斜边中线等于斜边一半，即可解决问题．本题考查勾股定理．直角三角形斜边中线性质、基本作图等知识，解题的关键是知道线段的垂直平分线的作法，出现中点想到直角三角形斜边中线性质，属于中考常考题型．11、【答案】 2【考点】平行四边形的性质【解析】【解答】解：根据作图的方法得：AE平分∠ABC，∴∠ABE=∠CBE∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，AD=BC=5，∴∠AEB=∠CBE，∴∠ABE=∠AEB，∴AE=AB=3，∴DE=AD﹣AE=5﹣3=2；故答案为：2．【分析】根据作图过程可得得AE平分∠ABC；再根据角平分线的性质和平行四边形的性质可证明∠AEB=∠CBE，证出AE=AB=3，即可得出DE的长．此题考查了平行四边形的性质、等腰三角形的判定．熟练掌握平行四边形的性质，证出AE=AB是解决问题的关键．12、【答案】到线段两个端点的距离相等的点在线段的垂直平分线上（A、B都在线段PQ的垂直平分线上）【考点】作图—基本作图【解析】【解答】解：到线段两个端点的距离相等的点在线段的垂直平分线上（A、B都在线段PQ的垂直平分线上），理由：如图，∵PA=PQ，PB=PB，∴点A、点B在线段PQ的垂直平分线上，∴直线AB垂直平分线段PQ，∴PQ⊥AB．【分析】只要证明直线AB是线段PQ的垂直平分线即可．本题考查作图﹣基本作图，解题的关键是理解到线段两个端点的距离相等的点在线段的垂直平分线上，属于中考常考题型．13、【答案】x＞49【考点】一元一次不等式的应用【解析】【解答】解：第一次的结果为：2x﹣10，没有输出，则2x﹣10＞88，解得：x＞49．故x的取值范围是x＞49．故答案为：x＞49【分析】表示出第一次的输出结果，再由第三次输出结果可得出不等式，解不等式求出即可．本题考查了一元一次不等式的应用，解答本题的关键是读懂题意，根据结果是否可以输出，得出不等式．14、【答案】【考点】一元一次方程的应用【解析】【解答】解：设分针旋转x周后，时针和分针第一次相遇，则时针旋转了（x﹣1）周，根据题意可得：60x=720（x﹣1），解得：x= ．故答案为：．【分析】此题主要考查了一元一次方程的应用，根据题意结合时针与分针转动的时间得出等式是解题关键．直接利用时针和分针第一次相遇，则时针比分针少转了一周，再利用分针转动一周60分钟，时针转动一周720分钟，进而得出等式求出答案．15、【答案】 0.75【考点】绝对值，二次函数图象上点的坐标特征【解析】【解答】解：当x＞0时，函数y=x2﹣|x|=x2﹣x，当x=1.5时，y=1.52﹣1.5=0.75，则m=0.75．故答案为：0.75．【分析】当x＞0时，去掉绝对值符号，找出此时y关于x的函数关系式，将x=1.5代入其中即可得出m 的值．本题考查了二次函数图象上点的坐标特征以及绝对值，解题的关键是找出当x＞0时，函数的关系式．本题属于基础题，难度不大，解决该题型题目时，根据绝对值的性质找出当x＞0时y关于x的函数关系式是关键．三、作图题16、【答案】解：如图所示，【考点】轴对称图形，由三视图判断几何体，作图-三视图【解析】【分析】根据俯视图和左视图可知，该几何体共两层，底层有9个正方体，上层中间一行有正方体，若使主视图为轴对称图形可使中间一行、中间一列有一个小正方体即可．本题主要考查三视图还原几何体及轴对称图形，解题的关键是根据俯视图和左视图抽象出几何体的大概轮廓． 四、综合题17、【答案】 （1）解：如图，△A 1B 1C 1为所作，因为点C （﹣1，3）平移后的对应点C 1的坐标为（4，0），所以△ABC 先向右平移5个单位，再向下平移3个单位得到△A 1B 1C 1 ， 所以点A 1的坐标为（2，2），B 1点的坐标为（3，﹣2） （2）解：因为△ABC 和△A 1B 2C 2关于原点O 成中心对称图形， 所以A 2（3，﹣5），B 2（2，﹣1），C 2（1，﹣3）；（3）解：如图，△A 2B 3C 3为所作，A 3（5，3），B 3（1，2），C 3（3，1）；【考点】坐标与图形变化-平移，坐标与图形变化-旋转【解析】【分析】（1）利用点C 和点C 1的坐标变化得到平移的方向与距离，然后利用此平移规律写出顶点A 1 ， B 1的坐标；（2）根据关于原点对称的点的坐标特征求解；（3）利用网格和旋转的性质画出△A 2B 3C 3 ， 然后写出△A 2B 3C 3的各顶点的坐标．本题考查了坐标与图形变化﹣旋转：图形或点旋转之后要结合旋转的角度和图形的特殊性质来求出旋转后的点的坐标．常见的是旋转特殊角度如：30°，45°，60°，90°，180°．18、【答案】（1）1；5（2）解：将（1）中的数值代入公式，得： ，解得：【考点】二元一次方程的应用，多边形的对角线 【解析】【解答】解：（1）画出图形如下．由画形，可得：当n=4时，P 4=1；当n=5时，P 5=5． 故答案为：1；5．【分析】（1）依题意画出图形，数出图形中对角线交点的个数即可得出结论；（2）将（1）中的数值代入公式可得出关于a 、b 的二元一次方程组，解方程组即可得出结论．本题考查了多边形的对角线、作图以及二元一次方程组的应用，解题的关键是：（1）画出图形，数出对角线交点的个数；（2）代入数据得出关于a 、b 的二元一次方程组．本题属于基础题，难度不大，解决该题型题目时，依据题意画出图形，利用数形结合解决问题是关键．19、【答案】 （1）解：请画出△ABC 向左平移6个单位长度后得到的△A 1B 1C 1 ， 如图1所示，（2）解：以点O 为位似中心，将△ABC 缩小为原来的，得到△A 2B 2C 2 ， 请在y 轴右侧画出△A 2B 2C 2 ，如图2所示，∵A （2，2），C （4，﹣4），B （4，0）， ∴直线AC 解析式为y=﹣3x+8，与x 轴交于点D （ ，0），∵∠CBD=90°， ∴CD= = ， ∴sin ∠DCB===．∵∠A 2C 2B 2=∠ACB ， ∴sin ∠A 2C 2B 2=sin ∠DCB=【考点】作图-平移变换，作图-位似变换【解析】【解答】本题考查位似变换、平移变换等知识，锐角三角函数等知识，解题的关键是理解位似变换、平移变换的概念，记住锐角三角函数的定义，属于中考常考题型． 20、【答案】 （1）解：如图所示：△A 1B 1C 1 ， 即为所求（2）解：如图所示：△A 2B 2C 2 ， 即为所求，A 2坐标（﹣2，﹣2）．【考点】作图-平移变换，作图-位似变换【解析】【分析】（1）直接利用平移的性质得出对应点位置进而得出答案；（2）利用位似图形的性质得出对应点位置进而得出．此题主要考查了位似变换和平移变换，根据题意正确得出对应点位置是解题关键． 21、【答案】 （1）解：如图，△A 1B 1C 1为所作，（2）解：四边形AB 1A 1B 的面积= ×6×4=12【考点】作图-旋转变换【解析】【分析】（1）利用网格特点，延长AC 到A 1使A 1C=AC ，延长BC 到B 1使B 1C=BC ，C 点的对应点C 1与C 点重合，则△A 1B 1C 1满足条件；（2）四边形AB 1A 1B 的对角线互相垂直平分，则四边形AB 1A 1B 为菱形，然后利用菱形的面积公式计算即可．本题考查了作图﹣旋转变换：根据旋转的性质可知，对应角都相等都等于旋转角，对应线段也相等，由此可以通过作相等的角，在角的边上截取相等的线段的方法，找到对应点，顺次连接得出旋转后的图形． 22、【答案】（1）菱形 （2）10；120【考点】平行四边形的性质，菱形的判定与性质，作图—基本作图 【解析】【解答】解：（1）在△AEB 和△AEF 中，，∴△AEB ≌△AEF ， ∴∠EAB=∠EAF ， ∵AD ∥BC ，。

专题：操作探究问题【考情分析】操作探究问题是指通过动手测量、作图、取值、计算等试验，猜想获得数学结论的探索研究性活动，完全模拟以动手为基础的首脑结合的科学研究模式，需要动手操作、合理猜想和验证。

侧重培养观察分析、类比联想、归纳总结、应用创新的思维品质，包含观测、操作、猜想、收集整理、思考、推理、交流和应用等。

操作与探究问题，主要分为以下类型：（1）已知设计好的图案，求设计方案（如在基础图案的基础上，进行何种图形变换等）；（2）利用基本图案设计符合要求的图案（如设计轴对称图形，中心对称图形、面积或者形状符合特定要求的图形等）；（3）图形的分割与重组（如通过对原图形进行分割、重组，使形状满足特定要求）；（4）动手操作（通过折叠、剪拼、作图等手段制作特定图案）解决这样的问题，除了需要运用各种基本的图形变换外，还需要综合运用代数、几何知识。

【考法展示】类型1：数与式的操作探究例1．【问题提出】用n根相同的木棒搭一个三角形（木棒无剩余），能搭成多少种不同的等腰三角形？【问题探究】不妨假设能搭成m种不同的等腰三角形，为探究m与n之间的关系，我们可以先从特殊入手，通过试验、观察、类比、最后归纳、猜测得出结论．【探究一】（1）用3根相同的木棒搭一个三角形，能搭成多少种不同的等腰三角形？此时，显然能搭成一种等腰三角形．所以，当n=3时，m=1．（2）用4根相同的木棒搭一个三角形，能搭成多少种不同的等腰三角形？只可分成1根木棒、1根木棒和2根木棒这一种情况，不能搭成三角形．所以，当n=4时，m=0．（3）用5根相同的木棒搭一个三角形，能搭成多少种不同的等腰三角形？若分成1根木棒、1根木棒和3根木棒，则不能搭成三角形．若分成2根木棒、2根木棒和1根木棒，则能搭成一种等腰三角形．所以，当n=5时，m=1．（4）用6根相同的木棒搭一个三角形，能搭成多少种不同的等腰三角形？若分成1根木棒、1根木棒和4根木棒，则不能搭成三角形．若分成2根木棒、2根木棒和2根木棒，则能搭成一种等腰三角形．所以，当n=6时，m=1．综上所述，可得：表①【探究二】（1）用7根相同的木棒搭一个三角形，能搭成多少种不同的三角形？（仿照上述探究方法，写出解答过程，并将结果填在表②中）（2）用8根、9根、10根相同的木棒搭一个三角形，能搭成多少种不同的等腰三角形？（只需把结果填在表②中）表②你不妨分别用11根、12根、13根、14根相同的木棒继续进行探究，…【问题解决】：用n根相同的木棒搭一个三角形（木棒无剩余），能搭成多少种不同的等腰三角形？（设n分别等于4k﹣1，4k，4k+1，4k+2，其中k是正整数，把结果填在表③中）表③【问题应用】：用2016根相同的木棒搭一个三角形（木棒无剩余），能搭成多少种不同的等腰三角形？（写出解答过程），其中面积最大的等腰三角形每腰用了根木棒．（只填结果）类型2：图形的操作探究例2．已知直线m∥n，点C是直线m上一点，点D是直线n上一点，CD与直线m、n不垂直，点P 为线段CD的中点．（1）操作发现：直线l⊥m，l⊥n，垂足分别为A、B，当点A与点C重合时（如图①所示），连接PB，请直接写出线段PA与PB的数量关系：．（2）猜想证明：在图①的情况下，把直线l向上平移到如图②的位置，试问（1）中的PA与PB 的关系式是否仍然成立？若成立，请证明；若不成立，请说明理由．（3）延伸探究：在图②的情况下，把直线l绕点A旋转，使得∠APB=90°（如图③所示），若两平行线m、n之间的距离为2k．求证：PA•PB=k•AB．例3．如图，在△ABC中，AB=AC，∠DAC是△ABC的一个外角．实验与操作：根据要求进行尺规作图，并在图中标明相应字母（保留作图痕迹，不写作法）（1）作∠DAC的平分线AM；（2）作线段AC的垂直平分线，与AM交于点F，与BC边交于点E，连接AE，CF．猜想并证明：判断四边形AECF的形状并加以证明．例4．问题：如图（1），在Rt△ACB中，∠ACB=90°，AC=CB，∠DCE=45°，试探究AD、DE、EB 满足的等量关系．[探究发现]小聪同学利用图形变换，将△CAD绕点C逆时针旋转90°得到△CBH，连接EH，由已知条件易得∠EBH=90°，∠ECH=∠ECB+∠BCH=∠ECB+∠ACD=45°．根据“边角边”，可证△CEH≌，得EH=ED．在Rt△HBE中，由定理，可得BH2+EB2=EH2，由BH=AD，可得AD、DE、EB之间的等量关系是．[实践运用]（1）如图（2），在正方形ABCD中，△AEF的顶点E、F分别在BC、CD边上，高AG与正方形的边长相等，求∠EAF的度数；（2）在（1）条件下，连接BD，分别交AE、AF于点M、N，若BE=2，DF=3，BM=，运用小聪同学探究的结论，求正方形的边长及MN的长．例5．阅读理解：如图①，如果四边形ABCD满足AB=AD，CB=CD，∠B=∠D=90°，那么我们把这样的四边形叫做“完美筝形”．将一张如图①所示的“完美筝形”纸片ABCD先折叠成如图②所示形状，再展开得到图③，其中CE，CF为折痕，∠BCE=∠ECF=∠FCD，点B′为点B的对应点，点D′为点D的对应点，连接EB′，FD′相交于点O．简单应用：（1）在平行四边形、矩形、菱形、正方形四种图形中，一定为“完美筝形”的是；（2）当图③中的∠BCD=120°时，∠AEB′= °；（3）当图②中的四边形AECF为菱形时，对应图③中的“完美筝形”有个（包含四边形ABCD）．拓展提升：当图③中的∠BCD=90°时，连接AB′，请探求∠AB′E的度数，并说明理由．参考答案例1．解：（1）用7根相同的木棒搭一个三角形，能搭成多少种不同的等腰三角形？此时，能搭成二种等腰三角形，即分成2根木棒、2根木棒和3根木棒，则能搭成一种等腰三角形分成3根木棒、3根木棒和1根木棒，则能搭成一种等腰三角形当n=7时，m=2．（2）用8根相同的木棒搭一个三角形，能搭成多少种不同的等腰三角形？分成2根木棒、2根木棒和4根木棒，则不能搭成一种等腰三角形，分成3根木棒、3根木棒和2根木棒，则能搭成一种等腰三角形，所以，当n=8时，m=1．用9根相同的木棒搭一个三角形，能搭成多少种不同的等腰三角形？分成3根木棒、3根木棒和3根木棒，则能搭成一种等腰三角形分成4根木棒、4根木棒和1根木棒，则能搭成一种等腰三角形所以，当n=9时，m=2．用10根相同的木棒搭一个三角形，能搭成多少种不同的等腰三角形？分成3根木棒、3根木棒和4根木棒，则能搭成一种等腰三角形分成4根木棒、4根木棒和2根木棒，则能搭成一种等腰三角形所以，当n=10时，m=2．故答案为：2；1；2；2．问题解决：由规律可知，答案为：k；k﹣1；k；k．问题应用：2016÷4=504，504﹣1=503，当三角形是等边三角形时，面积最大，2016÷3=672，∴用2016根相同的木棒搭一个三角形，能搭成503种不同的等腰三角形，其中面积最大的等腰三角形每腰用672根木棒．例2．解：（1）∵l⊥n，∴BC⊥BD，∴三角形CBD是直角三角形，又∵点P为线段CD的中点，∴PA=PB．（2）把直线l向上平移到如图②的位置，PA=PB仍然成立，理由如下：如图②，过C作CE⊥n于点E，连接PE，，∵三角形CED是直角三角形，点P为线段CD的中点，∴PD=PE，又∵点P为线段CD的中点，∴PC=PD，∴PC=PE；∵PD=PE，∴∠CDE=∠PEB，∵直线m∥n，∴∠CDE=∠PCA，∴∠PCA=∠PEB，又∵直线l⊥m，l⊥n，CE⊥m，CE⊥n，∴l∥CE，∴AC=BE，在△PAC和△PBE中，∴△PAC≌△PBE，∴PA=PB．（3）如图③，延长AP交直线n于点F，作AE⊥BD于点E，，∵直线m∥n，∴，∴AP=PF，∵∠APB=90°，∴BP⊥AF，又∵AP=PF，∴BF=AB；在△AEF和△BPF中，∴△AEF∽△BPF，∴，∴AF•BP=AE•BF，∵AF=2PA，AE=2k，BF=AB，∴2PA•PB=2k．AB，∴PA•PB=k•AB．例3．解：如图所示，四边形AECF的形状为菱形．理由如下：∵AB=AC，∴∠ABC=∠ACB，∵AM平分∠DAC，∴∠DAM=∠CAM，而∠DAC=∠ABC+∠ACB，∴∠CAM=∠ACB，∴EF垂直平分AC，∴OA=OC，∠AOF=∠COE，在△AOF和△COE中，∴△AOF≌△COE，∴OF=OE，即AC和EF互相垂直平分，∴四边形AECF的形状为菱形．例4．解：根据“边角边”，可证△CEH≌△CDE，得EH=ED．在Rt△HBE中，由勾股定理，可得BH2+EB2=EH2，由BH=AD，可得AD、DE、EB之间的等量关系是AD2+EB2=DE2；故答案为：△CDE；勾股；AD2+EB2=DE2；（1）在Rt△ABE和Rt△AGE中，，∴Rt△ABE≌Rt△AGE（HL），∴∠BAE=∠GAE，同理，Rt△ADF≌Rt△AGF，∴∠GAF=∠DAF，∵四边形ABCD是正方形，∴∠BAD=90°，∴∠EAF=∠BAD=45°；（2）由（1）知，Rt△ABE≌Rt△AGE，Rt△ADF≌Rt△AGF，∴BE=EG=2，DF=FG=3，则EF=5，设AG=x，则CE=x﹣2，CF=x﹣3，∵CE2+CF2=EF2，∴（x﹣2）2+（x﹣3）2=52，解这个方程，得x1=6，x2=﹣1（舍去），∴AG=6，∴BD=，∴AB=6，∵MN2=MB2+ND2设MN=a，则，所以a=，即MN=．例5．解：（1）①∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB=CD，AD=BC，∠A=∠C≠90°，∠B=∠D≠90°，∴AB≠AD，BC≠CD，∴平行四边形不一定为“完美筝形”；②∵四边形ABCD是矩形，∴∠A=∠B=∠C=∠D=90°，AB=CD，AD=BC，∴AB≠AD，BC≠CD，∴矩形不一定为“完美筝形”；③∵四边形ABCD是菱形，∴AB=BC=CD=AD，∠A=∠C≠90°，∠B=∠D≠90°，∴菱形不一定为“完美筝形”；④∵四边形ABCD是正方形，∴∠A=∠B=∠C=∠D=90°，AB=BC=CD=AD，∴正方形一定为“完美筝形”；∴在平行四边形、矩形、菱形、正方形四种图形中，一定为“完美筝形”的是正方形；故答案为：正方形；（2）根据题意得：∠B′=∠B=90°，∴在四边形CBEB′中，∠BEB′+∠BCB′=180°，∵∠AEB′+∠BEB′=180°，∴∠AEB′=∠BCB′，∵∠BCE=∠ECF=∠FCD，∠BCD=120°，∴∠BCE=∠ECF=40°，∴∠AEB′=∠BCB′=40°+40°=80°；故答案为：80；（3）当图②中的四边形AECF为菱形时，对应图③中的“完美筝形”有5个；理由如下；根据题意得：BE=B′E，BC=B′C，∠B=∠CB′E=90°，CD=CD′，FD=FD′，∠D=∠CD′F=90°，∴四边形EBCB′、四边形FDCD′是“完美筝形”；∵四边形ABCD是“完美筝形”，∴AB=AD，CB=CD，∠B=∠D=90°，∴CD′=CB′，∠CD′O=∠CB′O=90°，∴∠OD′E=∠OB′F=90°，∵四边形AECF为菱形，∴AE=AF，CE=CF，AE∥CF，AF∥CE，∴D′E=B′F，∠AEB′=∠CB′E=90°，∠AFD′=∠CD′F=90°，在△OED′和△OFB′中，，∴△OED′≌△OFB′（AAS），∴OD′=OB′，OE=OF，∴四边形CD′OB′、四边形AEOF是“完美筝形”；∴包含四边形ABCD，对应图③中的“完美筝形”有5个；故答案为：5；当图③中的∠BCD=90°时，如图所示：四边形ABCD是正方形，∴∠BAD=90°，∵∠EB′F=90°，∴∠BAD+∠EB′F=180°，∴A、E、B′、F四点共圆，∵AE=AF，∴，∴∠AB′E=∠AB′F=∠EB′F=45°．。

热点专题5 操作探究问题实践操作性问题以趣味性强、思维含量高为特点，在具体的实践操作中主要有以下类型：（1）裁剪、折叠、拼图等问题，往往与面积与对称性相联系；（2）画图、测量、猜想、证明等探究性问题，往往要求答题者在给定的操作规则下，进行探索研究、大胆猜想、发现结论，进而提高个人的创新能力与实践能力.在2019年的中考中，操作性行问题主要包含几何体的展开与折叠，图案设计、程序框输入，尺规作图、几何图形的探究等题型，分值不一，难度不等.考向1几何体的展开与折叠1.（2019·济宁）如图，一个几何体上半部为正四校锥，下半部为立方体，且有一个面涂有颜色，该几何体的表面展开图是（）A B C D【答案】B【解析】选项A和C带图案的一个面是底面，不能折叠成原几何体的形式；选项B能折叠成原几何体的形式；选项D折叠后下面带三角形的面与原几何体中的位置不同．2．（2019·山西）某正方体的每个面上都有一个汉字，如图是它的一种展开图，那么在原正方体中，与"点"字所在面相对的面上的汉字是( )A．青B．春C．梦D．想【答案】B【解析】根据正方体的展开与折叠中面的关系，可知与"点"字所在面相对的面上的汉字是春，故选B ． 考向2 图案设计与几何变换1．（2019·烟台）小明将一张正方形纸片按如图所示的顺序折叠成纸飞机，当机翼展开在同一平面时（机翼间无缝隙），AOB ∠的度数是 ．【答案】22.5︒【解析】在解本题的过程中，可以找一张正方形的纸片进行如题操作，通过测量，来得到答案，也可以利用图形的轴对称的性质，直接得到AOB ∠的度数是22.5︒．2.（2019·南充）如图，正方形MNCB 在宽为2的矩形纸片一端，对折正方形MNCB 得到折痕AE ，再翻折纸片，使AB 与AD 重合，以下结论错误的是( )A ．210AB =+B ．CD BC C ．2BC CD EH =g D ．sin AHD ∠【答案】A【解析】在Rt AEB ∆中，AB == //AB DH Q ，//BH AD ，∴四边形ABHD 是平行四边形，AB AD =Q ，∴四边形ABHD 是菱形，AD AB ∴=1CD AD AD ∴===，∴CD BC =，故选项B 正确，24BC =Q ，1)4CD EH ==g ，2BC CD EH ∴=g ，故选项C 正确， Q 四边形ABHD 是菱形，AHD AHB ∴∠=∠，sin sin AE AHD AHB AH ∴∠=∠==D 正确，故选：A ． 3．（2019 · 北京）已知30AOB ∠=︒，H 为射线OA 上一定点，1OH =，P 为射线OB 上一点，M 为线段OH 上一动点，连接PM ，满足OMP ∠为钝角，以点P 为中心，将线段PM 顺时针旋转150︒，得到线段PN ，连接ON ．（1）依题意补全图1；（2）求证：OMP OPN ∠=∠；（3）点M 关于点H 的对称点为Q ，连接QP ．写出一个OP 的值，使得对于任意的点M 总有ON=QP ，并证明．解：（1）见下图（2）证明：∵30AOB ∠=︒，∴在△OPM 中，=180150OMP POM OPM OPM ︒-∠-∠=︒-∠∠， 又∵150MPN ∠=︒，∴150OPN MPN OPM OPM ∠=∠-∠=︒-∠，∴OMP OPN ∠=∠. （3）如下图，过点P 作PK ⊥OA 于K ，过点N 作NF ⊥OB 于F∵∠OMP=∠OPN ，∴∠PMK=∠NPF ， 在△NPF 和△PMK 中，90NPF PMKNFO PKM PN PM ∠=∠⎧⎪∠=∠=︒⎨⎪=⎩，∴△NPF ≌△PMK （AAS ），∴PF=MK ，∠PNF=∠MPK ，NF=PK ， 又∵ON=PQ ，在Rt △NOF 和Rt △PKQ 中，ON PQ NF PK =⎧⎨=⎩，∴Rt △NOF ≌Rt △PKQ （HL ），∴KQ=OF ，备用图图1A设,MK y PK x ==，∵∠POA=30°，PK ⊥OQ ，∴2OP x =，∴,OK OM y ==-，∴2OF OP PF x y =+=+，)1MH OH OM y =-=--，1KH OH OK =-.∵M 与Q 关于H 对称，∴MH=HQ ，∴11y -++=2y -+，又∵KQ=OF ，∴22y x y -+=+，∴(22x =+，∴1x =，即PK=1， 又∵30POA ∠=︒，∴OP=2. 考向3 程序输入与规律探究1.（2019·重庆A 卷）按如图所示的运算程序，能使输出y 值为1的是 （ ） A ．m=1，n=1 B ．m=1，n=0 C ．m=1，n=2D ．m=2，n=1【答案】D ．【解析】∵m=1，n=1，∴y=2m ＋1=3；∵m=1，n=0，∴y=2n －1=－1；∵m=1，n=2，∴y=2m ＋1=3；∵m=2，n=1，∴y=2n －1=1．故选D ．18.(2019·东营)如图，在平面直角坐标系中，函数x y 33=和x y 3-=的图象分别为直线1l ，2l ，过1l 上的点A 1（1，33）作x 轴的垂线交2l 于点A 2，过点A 2作y 轴的垂线交1l 于点A 3，过点A 3作x 轴的垂线交2l 于点A 4…，一次进行下去，则点2019A 的横坐标为 .【答案】：-31009【解析】：本题考查坐标里的点规律探究题，观察发现规律：A 1（1，33），A 2（1，3-），A 3（-3，3-），A 4（-3，33），A 5（9，33），A 6（9，39-），A 7（-27，39-），……A 2n+1[(-3)n ，3×(-3)n ]（n 为自然数），2019=1009×2+1，所以A 2019的横坐标为：(-3)1009=-31009. 考向4 尺规作图1．（2019·长沙）如图，Rt △ABC 中，∠C=90°，∠B=30°，分别以点A 和点B 为圆心，大于12AB 的长为半径作弧，两弧相交于M 、N 两点，作直线MN ，交BC 于点D ，连接AD ，则∠CAD 的度数是（ ）A ．20°B ．30°C ．45°D ．60°【答案】B【解析】在△ABC 中，∵∠B=30°，∠C=90°，∴∠BAC=180°-∠B -∠C=60°，由作图可知MN 为AB 的中垂线，∴DA=DB ，∴∠DAB=∠B=30°，∴∠CAD=∠BAC -∠DAB=30°，故本题选：B ．2．（2019·兰州）如图，矩形ABCD ，∠BAC=60°，以点A 为圆心，以任意长为半径作弧分别交AB ，AC 于点M ，N 两点，再分别以点M ，N 为圆心，以大于21MN 的长作半径作弧交于点P ，作射线AP 交BC 于点E ，若BE=1，则矩形ABCD 的面积等于 .【答案】【解析】在矩形ABCD 中，∠BAC=60°，∴∠B=90°，∠BCA=30°，∵AE 平分∠BAC ，∴∠BAE=∠EAC=30°∵在Rt △ABE 中，BE=1，∴AE=1sin30︒=2，AB=1tan30=︒EAC=∠ECA=30°，∴EC=AE=2，∴S矩形ABCD=AB ⋅BC=3.（2019·济宁）如图，点M 和点N 在∠AOB 内部．（1）请你作出点P ，使点P 到点M 和点N 的距离相等，且到∠AOB 两边的距离也相等（保留作图痕迹，不写作法）；（2）请说明作图理由．解：(1)画出∠AOB 的角平分线，画出线段MN 的垂直平分线，两者的交点就得到P 点．（2）作图的理由：点P 在∠AOB 的角平分线上，又在线段MN 的垂直平分线上，∠AOB 的角平分线和线段MN 的垂直平分线的交点即为所求．4. （2019·长春）图①、图②、图③处均是6×6的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点，小正方形的边长为1，点A、B、C、D、E、F均在格点上.在图①、图②、图③中，只用无刻度的直尺，在给定的网格中按要求画图，所画图形的顶点均在格点上，不要求写出画法.（1）在图①中以线段AB为边画一个△ABM，使其面积为6.（2）在图②中以线段CD为边画一个△CDN，使其面积为6.（3）在图③中以线段EF为边画一个四边形EFGH，使其面积为9，且∠EFG=90°.解：（1）如图所示；（2）如图所示；（3）如图所示.考向5 几何探究1．（2019·武汉）问题背景：如图1，将△ABC绕点A逆时针旋转60°得到△ADE，DE与BC交于点P，可推出结论：PA＋PC=PE．问题解决：如图2，在△MNG中，MN=6，∠M=75°，MG=24．点O是△MNG内一点，则点O到△MNG 三个顶点的距离和的最小值是___________．【答案】【解析】由题构造等边△MFN，△MHO，图中2个彩色三角形全等（△MFH≌△MNO（SAS））∴OM＋ON＋OG=HO＋HF＋OG，∴距离和最小值为（Rt△FQG勾股定理）2．（2019·山西）综合与实践动手操作:第一步:如图1，正方形纸片ABCD沿对角线AC所在的直线折叠，展开铺平，再沿过点C的直线折叠，使点B，点D都落在对角线AC上.此时，点B与点D重合，记为点N，且点E，点N，点F三点在同一条直线上，折痕分别为CE，CF.如图2.第二步:再沿AC所在的直线折叠，△ACE与△ACF重合，得到图3.第三步:在图3的基础上继续折叠，使点C与点F重合，得到图4，展开铺平，连接EF，FG，GM，ME，如图5.图中的虚线为折痕.问题解决:（1）在图5中，∠BEC的度数是_____，AEBE的值是_____;（2）在图5中，请判断四边形EMGF的形状，并说明理由;（3）在不增加字母的条件下，请你以图5中的字母表示的点为顶点，动手画出．．．．一个菱形（正方形除外），并写出这个菱形:_______.【解题过程】（1）∵正方形ABCD，∴∠ACB=45°，由折叠知:∠1=∠2=22.5°，∠BEC=∠CEN，BE=EN，∴∠BEC=90°－∠1=67.5°，∴∠AEN=180°－∠BEC－∠CEN=45°，∴cos45°=ENAE=，AEEN=，AE AEBE EN=（2）四边形EMGF是矩形.理由如下:∵四边形ABCD是正方形，∴∠B=∠BCD=∠D=90°，由折叠可知:∠1=∠2=∠3=∠4，CM=CG，∠BEC=∠NEC=∠NFC=∠DFC，∴∠1=∠2=∠3=∠4=°904=22.5°，∴∠BEC=∠NEC=∠NFC=∠DFC=67.5°，由折叠知:MH，GH分别垂直平分EC，FC，∴MC=ME，GC=GF.∴∠5=∠1=22.5°，∠6=∠4=22.5°，∴∠MEF=∠GFE=90°.∵∠MCG=90°，CM=CG，∴∠CMG=45°，又∵∠BME=4图2F∠1+∠5=45°，∴∠EMG=180°－∠CMG －∠BME=90°，∴四边形EMGF 是矩形; （3）答案不唯一，画出正确的图形（一个即可）.菱形FGCH （或菱形EMCH ）3．（2019·淮安）如图①，在△ABC 中，AB=AC=3，∠BAC=100°，D 是BC 的中点.小明对图①进行了如下探究：在线段AD 上任取一点P ，连接PB ．将线段PB 绕点P 按逆时针方向旋转80°，点B 的对应点是点E ，连接BE ，得到△BPE.小明发现，随着点P 在线段AD 上位置的变化，点E 的位置也在变化，点E 可能在直线AD 的左侧，也可能在直线AD 上，还可能在直线AD 的右侧. 请你帮助小明继续探究，并解答下列问题：(1)当点E 在直线AD 上时，如图②所示.①∠BEP= °； ②连接CE ，直线CE 与直线AB 的位置关系是 .(2)请在图③中画出△BPE ，使点E 在直线AD 的右侧，连接CE.试判断直线CE 与直线AB 的位置关系，并说明理由.(3)当点P 在线段AD 上运动时，求AE 的最小值.【解题过程】（1）①由题意得，PE=PB ，∠BPE=80°，∴∠BEP=︒=︒-︒50280180； ②如图所示，∵AB=AC ，D 是BC 的中点，∠BAC=100°，∴∠ABC=︒=︒-︒402100180，∵∠BEP=50°，∴∠BCE=∠CBE=40°，∴∠ABC=∠BCE ，∴CE ∥AB ．答案：①50°；②平行 （2）在DA 延长线上取点F ，使∠BFA=∠CFA=40°，总有△BPE ∽△BFC ． 又∵△BPF ∽△BEC ，∴∠BCE=∠BFP=40°，∴∠BCE=∠ABC=40°，∴CE ∥AB ．(3)当点P 在线段AD 上运动时，由题意得PB=PE=PC ， ∴点B 、E 、C 在以P 为圆心、PB 为半径的圆上，如图所示：∴AE 的最小值为AC=3.。

操作探究型+最值问题1.如图,将△ABC 绕点C 顺时针旋转90°得到△EDC .若点A ,D ,E 在同一条直线上,∠ACB ＝20°,则∠ADC 的度数是 ( )A .55°B .60°C .65°D .70°答案：C2.如图,在边长为a 的正方形ABCD 中,把边BC 绕点B 逆时针旋转60°,得到线段BM ,连接AM 并延长交CD 于N ,连接MC ,则△MNC 的面积为 ( )A .212a B . 212a C . 214a D . 214a答案：C3.如图,Rt △ABC 中,∠B ＝90°,AB ＝3 cm ,AC ＝5 cm ,将△ABC 折叠,使点C 与A 重合,得折痕DE ,则△ABE 的周长等于 cm .答案：74.如图,把等边三角形ABC 沿着DE 折叠,使点A 恰好落在BC 边上的点P 处,且DP ⊥BC ,若BP ＝4 cm , 则EC ＝ cm .答案：2＋2√3 [解析] 根据“30°角所对的直角边等于斜边的一半”可求得BD ＝8,再由勾股定理求得DP ＝4√3.根据折叠的性质可以得到∠DPE ＝∠A ＝60°,DP ＝DA ＝4√3,易得∠EPC ＝30°,∠PEC ＝90°,所以EC ＝12PC ＝12(8＋4√3－4)＝2＋2√3.5.如图,P 是等边三角形ABC 内一点,将线段AP 绕点A 顺时针旋转60°得到线段AQ ,连接BQ .若PA ＝6,PB ＝8,PC ＝10,则四边形APBQ 的面积为 .答案：24＋9√3 [解析] 连接PQ ,如图,∵△ABC 为等边三角形, ∴∠BAC ＝60°,AB ＝A C .∵线段AP 绕点A 顺时针旋转60°得到线段AQ , ∴AP ＝AQ ＝6,∠PAQ ＝60°,∴△APQ 为等边三角形,∴PQ ＝AP ＝6.∵∠CAP ＋∠BAP ＝60°,∠BAP ＋∠BAQ ＝60°, ∴∠CAP ＝∠BAQ . ∴△APC ≌△AQB ,∴PC ＝QB ＝10,[来源:学|科|网]在△BPQ 中,∵PB 2＝82＝64,PQ 2＝62＝36,BQ 2＝102＝100,而64＋36＝100,∴PB 2＋PQ 2＝BQ 2, ∴△PBQ 为直角三角形,∠BPQ ＝90°,∴S 四边形APBQ ＝S △BPQ ＋S △APQ ＝12×6×8＋√34×62＝24＋9√3.6.如图,折叠矩形纸片ABCD 时,发现可以进行如下操作:①把△ADE 翻折,点A 落在DC 边上的点F 处,折痕为DE ,点E 在AB 边上;②把纸片展开并铺平;③把△CDG 翻折,点C 落在线段AE 上的点H 处,折痕为DG ,点G 在BC 边上.若AB ＝AD ＋2,EH ＝1,则AD ＝ .答案：.3＋2√37.如图,在边长为1的正方形ABCD 中,动点E ,F 分别在边AB ,CD 上,将正方形ABCD 沿直线EF 折叠,使点B 的对应点M 始终落在边AD 上(点M 不与点A ,D 重合),点C 落在点N 处,MN 与CD 交于点P ,设BE ＝x . (1)当AM ＝13时,求x 的值. (2)随着点M 在边A D 上位置的变化,△PDM 的周长是否发生变化?如果变化,请说明理由;如果不变,请求出该定值.(3)设四边形BEFC 的面积为S ,求S 与x 之间的函数表达式,并求出S 的最小值.解: (1)由折叠可知ME ＝BE ＝x ,∴AE ＝1－x . 在Rt △AEM 中,由AM ＝13, 得（13）2＋(1－x )2＝x 2.解得x ＝59. (2)不发生变化.如图,连接BM ,BP ,过点B 作BH ⊥MN ,垂足为H .∵EB ＝EM ,∴∠EBM ＝∠EM B .∵∠EBC ＝∠EMN ,∴∠MBC ＝∠BMN .∵AD ∥BC ,∴∠AMB ＝∠MBC ,∴∠AMB ＝∠BMN , 又∵∠A ＝∠MHB ,BM ＝BM ,∴△BAM ≌△BHM . ∴AM ＝HM ,BH ＝A B .∵BC ＝AB ,∴BH ＝B C . 又∵BP ＝BP ,∴Rt △BHP ≌Rt △BCP .∴HP ＝P C .∴△MDP 的周长＝MD ＋DP ＋MP ＝MD ＋DP ＋MH ＋HP ＝MD ＋AM ＋DP ＋PC ＝AD ＋DC ＝2. ∴△MDP 的周长为定值,周长为2.(3)如图,连接BM ,过点F 作FQ ⊥AB ,垂足为Q .则QF ＝BC ＝A B . ∵∠BEF ＋∠EBM ＝90°,∠AMB ＋∠EBM ＝90°, ∴∠BEF ＝∠AM B .又∵∠A ＝∠EQF ＝90°,∴△AMB ≌△QEF .∴AM ＝EQ .设AM ＝a ,则a 2＋(1－x )2＝x 2. ∴a ＝√2x －1.∴CF ＝QB ＝x －√2x －1.∴S ＝12(CF ＋BE )×1 ＝12(x －√2x －1＋x ) ＝12(2x －√2x －1).设√2x －1＝t ,则2x ＝t 2＋1.∴S ＝12(t 2＋1－t )＝12t －122＋38.∴当t ＝12,即x ＝58时,S 的最小值为38.8.如图,一副直角三角板满足AB ＝BC ,AC ＝DE ,∠ABC ＝∠DEF ＝90°,∠EDF ＝30°.【操作】将三角板DEF 的直角顶点E 放置于三角板ABC 的斜边AC 上,再将三角板DEF 绕点E 旋转,并使边DE 与边AB 交于点P ,边EF 与边BC 交于点Q . 【探究一】在旋转过程中,(1)如图②,当CEAE ＝1时,EP 与EQ 满足怎样的数量关系?并给出证明. (2)如图③,当CEAE＝2时,EP 与EQ 满足怎样的数量关系?并说明理由.(3)根据你对(1),(2)的探究结果,试写出当CE AECEEA ＝m 时,EP 与EQ 满足的数量关系式为 ,其中m的取值范围是 (直接写出结论,不必证明). 【探究二】若CEAE＝2且AC ＝30 cm ,连接PQ ,设△EPQ 的面积为S (cm 2),在旋转过程中: (1)S 是否存在最大值或最小值?若存在,求出最大值或最小值;若不存在,说明理由. (2)随着S 取不同的值,对应△EPQ 的个数有哪些变化?求出相应S 的值或取值范围.答案:探究一:(1)EP ＝EQ .证明如下:连接BE ,根据E 是AC 的中点和等腰直角三角形的性质,得BE ＝CE ,∠PBE ＝∠C ,又∠BEP ＝∠CEQ , 则△BEP ≌△CEQ ,∴EP ＝EQ .(2)EQ＝2EP.如图,作EM⊥AB于M,EN⊥BC于N, 则∠EMP＝∠ENC,∵∠MEP＋∠PEN＝∠PEN＋∠NEF＝90°,∴∠MEP＝∠NEF,∴△MEP∽△NEQ,∴EP∶EQ＝EM∶EN＝AE∶CE＝1∶2.∴EQ＝2EP.(3)过E点作EM⊥AB于点M,作EN⊥BC于点N, ∵在四边形PEQB中,∠B＝∠PEQ＝90°,∴∠EPB＋∠EQB＝180°,又∵∠EPB＋∠MPE＝180°,∴∠MPE＝∠EQN,∴Rt△MEP∽Rt△NEQ,∴EPEQ ＝MEEN,∵CEEA＝m＝ENME,∴EPEQ＝1m,∴EP与EQ满足的数量关系式为EP∶EQ＝1∶m,∴0＜m≤2＋√6(当m＞2＋√6时,EF与BC不会相交).探究二:若AC＝30 cm,(1)设EQ＝x cm,则S＝14x2,所以当x＝10√2cm时,面积最小,是50 cm2;当x＝10√3cm时,面积最大,是75 cm2.(2)当x＝EB＝5√10cm时,S＝62.5 cm2,故当50＜S≤62.5时,这样的三角形有2个;当S＝50或62.5＜S≤75时,这样的三角形有一个.9．如图，∠MON＝90°，点B在射线ON上且OB＝2，点A在射线OM上，以AB为边在∠MON内部作正方形ABCD，其对角线AC、BD交于点P．在点A从O点出发，沿射线OM的运动过程中，下列说法正确的是（）A．点P始终在∠MON的平分线上，且线段OP的长有最小值等于2B．点P始终在∠MON的平分线上，且线段OP的长有最大值等于2C．点P不一定在∠MON的平分线上，但线段OP的长有最小值等于2D．点P运动路径无法确定解：作PE⊥ON、PF⊥OM垂足分别为E、F，∠PEB＝∠PFA＝90°，∵ABCD是正方形，∴PA＝PB，∵∠BOA＝∠BAC＝90°，∴∠DAM＝∠OBA，∠POD＝∠PBA＝45°，∴∠DMA＋∠POD＝∠PBA＋∠OBA，即∠PBE＝∠PAF，∴△PBE≌△PAF，∴PE＝PF，即P在∠MON的平分线上，当点A在点O时，OP最小，此时，OP是正方形ABCD的对角线的一半，而此时，正方形的边长为2，OP＝22OB＝2，10.如图，在等腰Rt△ABC中，AC＝BC＝，点P在以斜边AB为直径的半圆上，M为PC的中点．当点P沿半圆从点A运动至点B时，点M运动的路径长是________答案：取AB的中点O、AE的中点E、BC的中点F，连结OC、OP、OM、OE、OF、EF，如图，∵在等腰Rt△ABC中，AC＝BC＝AB＝4，∴OC＝12AB＝2，OP＝12AB＝2，∵M为PC的中点，∴OM⊥PC，∴∠CMO＝90°，∴点M在以OC为直径的圆上，点P点在A点时，M点在E点；点P点在B点时，M点在F点，易得四边形CEOF为正方形，EF＝OC＝2，∴M点的路径为以EF为直径的半圆，∴点M运动的路径长＝12•2π•1＝π．11.如图，在等边△ABC中，AB＝10，BD＝4，BE＝2，点P从点E出发沿EA方向运动，连结PD，以PD 为边，在PD的右侧按如图所示的方式作等边△DPF，当点P从点E运动到点A时，点F运动的路径长是________．答案：如图，∵△ABC为等边三角形，∴∠B＝60°，过D点作DE′⊥AB，则BE′＝12BD＝2，∴点E′与点E重合，∴∠BDE＝30°，DE BE＝，∵△DPF为等边三角形，∴∠PDF＝60°，DP＝DF，∴∠EDP＋∠HDF＝90°∵∠HDF＋∠DFH＝90°，∴∠EDP＝∠DFH，∴△DPE≌△FDH，∴FH＝DE＝∴点P从点E运动到点A时，点F运动的路径为一条线段，此线段到BC的距离为，当点P在E点时，作等边三角形DEF1，∠BDF1＝30°＋60°＝90°，则DF1⊥BC，当点P在A点时，作等边三角形DAF2，作F2Q⊥BC于Q，则△DF2Q≌△ADE，所以DQ＝AE＝10﹣2＝8，∴F1F2＝DQ＝8，∴当点P从点E运动到点A时，点F运动的路径长为8．12.如图：已知AB＝10，点C、D在线段AB上且AC＝DB＝2；P是线段CD上的动点，分别以AP、PB 为边在线段AB的同侧作等边△AEP和等边△PFB，连接EF，设EF的中点为G；当点P从点C运动到点D时，则点G移动路径的长是________。

38 操作探究(含解析)一、选择题1．（3分）（2016•台湾）如图（一），OP为一条拉直的细线，A、B两点在OP上，且OA：AP=1：3，OB：BP=3：5．若先固定B点，将OB折向BP，使得OB重迭在BP上，如图（二），再从图（二）的A点及与A点重迭处一起剪开，使得细线分成三段，则此三段细线由小到大的长度比为何？（）A．1：1：1 B．1：1：2 C．1：2：2 D．1：2：5【分析】根据题意可以设出线段OP的长度，从而根据比值可以得到图一中各线段的长，根据题意可以求出折叠后，再剪开各线段的长度，从而可以求得三段细线由小到大的长度比，本题得以解决．【解答】解：设OP的长度为8a，∵OA：AP=1：3，OB：BP=3：5，∴OA=2a，AP=6a，OB=3a，BP=5a，又∵先固定B点，将OB折向BP，使得OB重迭在BP上，如图（二），再从图（二）的A 点及与A点重迭处一起剪开，使得细线分成三段，∴这三段从小到大的长度分别是：2a、2a、4a，∴此三段细线由小到大的长度比为：2a：2a：4a=1：1：2，故选B．【点评】本题考查比较线段的长短，解题的关键是理解题意，求出各线段的长度．2．1．1．（3分）（2016•黑龙江）若点O是等腰△ABC的外心，且∠BOC=60°，底边BC=2，则△ABC的面积为（）A．2+3B．332C．2+3或2﹣3D．4+23或2﹣3【考点】三角形的外接圆与外心；等腰三角形的性质．【专题】探究型．【分析】根据题意可以画出相应的图形，然后根据不同情况，求出相应的边的长度，从而可以求出不同情况下△ABC 的面积，本题得以解决．【解答】解：由题意可得，如右图所示，存在两种情况，当△ABC 为△A 1BC 时，连接OB 、OC ，∵点O 是等腰△ABC 的外心，且∠BOC=60°，底边BC=2，OB=OC ，∴△OBC 为等边三角形，OB=OC=BC=2，OA 1⊥BC 于点D ，∴CD=1，OD=31222=-， ∴2)32(221-⨯=⨯='∆D A BC S C B A =2﹣3，当△ABC 为△A 2BC 时，连接OB 、OC ，∵点O 是等腰△ABC 的外心，且∠BOC=60°，底边BC=2，OB=OC ，∴△OBC 为等边三角形，OB=OC=BC=2，OA 1⊥BC 于点D ，∴CD=1，OD=31222=-，∴S △A2BC =2)32(222+⨯=⨯DA BC =2+3，由上可得，△ABC 的面积为32-或2+3，故选C ．【点评】本题考查三角形的外接圆和外心，等腰三角形的性质，解题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用分类讨论的数学思想解答问题．2．3．4．5．6．7．8．9．10．11．12．13．14．15．16．17．18．19．20．二、填空题1．1．1．（4分）（2016•重庆）正方形ABCD 中，对角线AC ，BD 相交于点O ，DE 平分∠ADO 交AC 于点E ，把△ADE 沿AD 翻折，得到△ADE ′，点F 是DE 的中点，连接AF ，BF ，E ′F ．若AE ABFE ′的面积是 62．【考点】正方形的性质；翻折变换（折叠问题）．【分析】如图，连接EB 、EE ′，作EM ⊥AB 于M ，EE ′交AD 于N ．易知△AEB ≌△AED ≌△ADE ′，先求出正方形AMEN 的边长，再求出AB ，根据S 四边形ABFE ′=S 四边形AEFE ′+S △AEB +S △EFB 即可解决问题．【解答】解：如图，连接EB 、EE ′，作EM ⊥AB 于M ，EE ′交AD 于N ．∵四边形ABCD 是正方形，∴AB =BC =CD =DA ，AC ⊥BD ，AO =OB =OD =OC ，∠DAC =∠CAB =∠DAE ′=45°，根据对称性，△ADE ≌△ADE ′≌△ABE ，∴DE =DE ′，AE =AE ′，∴AD 垂直平分EE ′，∴EN =NE ′，∵∠NAE =∠NEA =∠MAE =∠MEA =45°，AE∴AM =EM =EN =AN =1，∵ED 平分∠ADO ，EN ⊥DA ，EO ⊥DB ，∴EN =EO =1，AO ，∴AB∴S △AEB =S △AED =S △ADE ′=12×1×（=1+2，S △BDE =S △ADB ﹣2S △AEB ∵DF =EF ，∴S △EFB =12S △BDE =12，∴S △DEE ′=2S △ADE ﹣S △AEE ′，S △DFE ′=12S △DEE ′=12，∴S 四边形AEFE ′=2S △ADE ﹣S △DFE ′=32+，∴S 四边形ABFE ′=S 四边形AEFE ′+S △AEB +S △EFB ．． 【点评】本题考查正方形的性质、翻折变换、全等三角形的性质，角平分线的性质、等腰直角三角形的性质等知识，解题的关键是添加辅助线，学会利用分割法求四边形面积，属于中考填空题中的压轴题．2．3．4．5．6．7．8．9．10．11．12．13．14．15．16．17．18．19．20．三、解答题1．（12分）（2016•攀枝花）如图，抛物线y=x2+bx+c与x轴交于A、B两点，B点坐标为（3，0），与y轴交于点C（0，﹣3）（1）求抛物线的解析式；（2）点P在抛物线位于第四象限的部分上运动，当四边形ABPC的面积最大时，求点P的坐标和四边形ABPC的最大面积．（3）直线l经过A、C两点，点Q在抛物线位于y轴左侧的部分上运动，直线m经过点B 和点Q，是否存在直线m，使得直线l、m与x轴围成的三角形和直线l、m与y轴围成的三角形相似？若存在，求出直线m的解析式，若不存在，请说明理由．【考点】二次函数综合题．【分析】（1）由B、C两点的坐标，利用待定系数法可求得抛物线的解析式；（2）连接BC，则△ABC的面积是不变的，过P作PM∥y轴，交BC于点M，设出P点坐标，可表示出PM的长，可知当PM取最大值时△PBC的面积最大，利用二次函数的性质可求得P点的坐标及四边形ABPC的最大面积；（3）设直线m与y轴交于点N，交直线l于点G，由于∠AGP=∠GNC+∠GCN，所以当△AGB 和△NGC相似时，必有∠AGB=∠CGB=90°，则可证得△AOC≌△NOB，可求得ON的长，可求出N点坐标，利用B、N两的点坐标可求得直线m的解析式．【解答】解：（1）把B、C两点坐标代入抛物线解析式可得9303b cc++=⎧⎨=-⎩，解得23bc=-⎧⎨=-⎩，∴抛物线解析式为y=x2﹣2x﹣3；（2）如图1，连接BC，过Py轴的平行线，交BC于点M，交x轴于点H，在y=x2﹣2x﹣3中，令y=0可得0=x2﹣2x﹣3，解得x=﹣1或x=3，∴A点坐标为（﹣1，0），∴AB=3﹣（﹣1）=4，且OC=3，∴S△ABC=12AB•OC=12×4×3=6，∵B（3，0），C（0，﹣3），∴直线BC解析式为y=x﹣3，设P点坐标为（x，x2﹣2x﹣3），则M点坐标为（x，x﹣3），∵P点在第四限，∴PM=x ﹣3﹣（x 2﹣2x ﹣3）=﹣x 2+3x ，∴S △PBC =12PM•OH+12PM•HB=12PM•（OH+HB ）=12PM•OB=32PM ， ∴当PM 有最大值时，△PBC 的面积最大，则四边形ABPC 的面积最大， ∵PM=﹣x 2+3x=23924x ⎛⎫--+ ⎪⎝⎭， ∴当x=32时，PM max =94，则S △PBC =32×94=278， 此时P 点坐标为（32，154-），S 四边形ABPC =S △ABC +S △PBC =6+278=758， 即当P 点坐标为（32，154-）时，四边形ABPC 的面积最大，最大面积为758； （3）如图2，设直线m 交y 轴于点N ，交直线l 于点G ，则∠AGP=∠GNC+∠GCN ，当△AGB 和△NGC 相似时，必有∠AGB=∠CGB ，又∠AGB+∠CGB=180°，∴∠AGB=∠CGB=90°，∴∠ACO=∠OBN ，在Rt △AON 和Rt △NOB 中AOC NOB OC OBACO NBO ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩∴Rt △AON ≌Rt △NOB （ASA ），∴ON=OA=1，∴N 点坐标为（0，﹣1），设直线m 解析式为y=kx+d ，把B 、N 两点坐标代入可得301k d d +=⎧⎨=-⎩，解得131k d ⎧=⎪⎨⎪=-⎩，∴直线m解析式为113y x=-，即存在满足条件的直线m，其解析式为113y x=-．【点评】本题为二次函数的综合应用，涉及知识点有待定系数法、二次函数的最值、相似三角形的判定、全等三角形的判定和性质等．在（2）中确定出PM的值最大时四边形ABPC 的面积最大是解题的关键，在（3）中确定出满足条件的直线m的位置是解题的关键．本题考查知识点较多，综合性较强，特别是第（2）问和第（3）问难度较大．2．（2016•台湾）图1为长方形纸片ABCD，AD=26，AB=22，直线L、M皆为长方形的对称轴．今将长方形纸片沿着L对折后，再沿着M对折，并将对折后的纸片左上角剪下直角三角形，形成一个五边形EFGHI，如图2．最后将图2的五边形展开后形成一个八边形，如图2，且八边形的每一边长恰好均相等．（1）若图2中HI长度为x，请以x分别表示剪下的直角三角形的勾长和股长．（2）请求出图3中八边形的一边长的数值，并写出完整的解题过程．【考点】翻折变换（折叠问题）．【分析】（1）延长HI与FE相交于点N，根据折叠的性质找出HN、NF的长，再根据边与边之间的关系即可求出NI、NE的长度，由此即可得出剪下的直角三角形的勾长与股长；（2）结合（1）的结论利用勾股定理得出线段EI的长，再根据正八边形的性质即可列出关于x的方程，解方程即可得出结论．【解答】解：（1）延长HI与FE相交于点N，如图所示．∵HN=12AD=13，NF=12AB=11，HI=EF=x，∴NI=HN﹣HI=13﹣x，NE=NF﹣EF=11﹣x，∴剪下的直角三角形的勾长为11﹣x，股长为13﹣x．（2）在Rt△ENI中，NI=13﹣x，NE=11﹣x，∴．∵八边形的每一边长恰好均相等，∴解得：x=5，或x=﹣29（舍去）．∴EI=2×5=10．故八边形的边长为10．【点评】本题考查了翻折变换中的折叠问题、勾股定理以及解无理方程，解题的关键是：（1）根据边与边之间的关系计算出线段NI、NE的长；（2）列出关于x的无理方程．本题属于基础题，难度不大，解决该题型题目时，巧妙的利用勾股定理列出关于x的方程是关键．2．（2016•台湾）如图，正方形ABCD是一张边长为12公分的皮革．皮雕师傅想在此皮革两相邻的角落分别切下△PDQ与△PCR后得到一个五边形PQABR，其中PD=2DQ，PC=RC，且P、Q、R三点分别在CD、AD、BC上，如图所示．（1）当皮雕师傅切下△PDQ时，若DQ长度为x公分，请你以x表示此时△PDQ的面积．（2）承（1），当x的值为多少时，五边形PQABR的面积最大？请完整说明你的理由并求出答案．【分析】（1）根据条件表示出PD，从而得到△PDQ的面积；（2）分别求出正方形ABCD的面积，△PDQ，△PCR的面积，再作差求出五边形的面积，最后确定出取极值时的x值．【解答】解：（1）设DQ=x公分，∴PD=2DQ=2x公分，∴S△PDQ=12x×2x=x2（平方公分），（2）∵PD=2x公分，CD=12公分，∴PC=CR=12﹣2x（公分），∴S五边形PQABR=S正方形ABCD﹣S△PDQ﹣S△PCR=122﹣x2﹣12（12﹣2x）2=144﹣x2﹣12（144﹣48x+4x2）=144﹣x2﹣72+24x﹣2x2=﹣3x2+24x+72=﹣3（x2﹣8x+42）+72+3×16=﹣3（x﹣4）2+120，故当x=4时，五边形PQABR有最大面积为120平方公分．【点评】此题是四边形综合题，主要考查了三角形面积的计算，五边形面积的计算方法，解本题的关键是三角形的面积的计算．3．1．1．（7分）（2016•陕西）某超市为了答谢顾客，凡在本超市购物的顾客，均可凭购物小票参与抽奖活动，奖品是三种瓶装饮料，它们分别是：绿茶（500ml）、红茶（500ml）和可乐（600ml），抽奖规则如下：①如图，是一个材质均匀可自由转动的转盘，转盘被等分成五个扇形区域，每个区域上分别写有“可”、“绿”、“乐”、“茶”、“红”字样；②参与一次抽奖活动的顾客可进行两次“有效随机转动”（当转动转盘，转盘停止后，可获得指针所指区域的字样，我们称这次转动为一次“有效随机转动”）；③假设顾客转动转盘，转盘停止后，指针指向两区域的边界，顾客可以再转动转盘，直到转动为一次“有效随机转动”；④当顾客完成一次抽奖活动后，记下两次指针所指区域的两个字，只要这两个字和奖品名称的两个字相同（与字的顺序无关），便可获得相应奖品一瓶；不相同时，不能获得任何奖品．根据以上规则，回答下列问题：（1）求一次“有效随机转动”可获得“乐”字的概率；（2）有一名顾客凭本超市的购物小票，参与了一次抽奖活动，请你用列表或树状图等方法，求该顾客经过两次“有效随机转动”后，获得一瓶可乐的概率．【考点】列表法与树状图法；概率公式．【分析】（1）由转盘被等分成五个扇形区域，每个区域上分别写有“可”、“绿”、“乐”、“茶”、“红”字样；直接利用概率公式求解即可求得答案；（2）首先根据题意画出树状图，然后由树状图求得所有等可能的结果与该顾客经过两次“有效随机转动”后，获得一瓶可乐的情况，再利用概率公式求解即可求得答案．【解答】解：（1）∵转盘被等分成五个扇形区域，每个区域上分别写有“可”、“绿”、“乐”、“茶”、“红”字样；∴一次“有效随机转动”可获得“乐”字的概率为：15；（2）画树状图得：∵共有25种等可能的结果，该顾客经过两次“有效随机转动”后，获得一瓶可乐的有2种情况，∴该顾客经过两次“有效随机转动”后，获得一瓶可乐的概率为：2 25．【点评】此题考查了列表法或树状图法求概率．注意此题是放回实验；用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．2．1．（12分）（2016•龙岩）图1是某公交公司1路车从起点站A 站途经B 站和C 站，最终到达终点站D 站的格点站路线图．（8×8的格点图是由边长为1的小正方形组成）（1）求1路车从A 站到D 站所走的路程（精确到0.1）；（2）在图2、图3和图4的网格中各画出一种从A 站到D 站的路线图．（要求：①与图1路线不同、路程相同；②途中必须经过两个格点站；③所画路线图不重复）【考点】作图—应用与设计作图；勾股定理的应用．【分析】（1）先根据网格求得AB 、BC 、CD 三条线段的长，再相加求得所走的路程的近似值；（2）根据轴对称、平移或中心对称等图形的变换进行作图即可．【解答】解：（1）根据图1可得： AB == BC ==CD=3∴A 站到B 站的路程=33AB BC CD ++==+；（2）从A 站到D 站的路线图如下：【点评】本题主要考查了作图，解决问题的关键是掌握勾股定理以及图形的基本变换．在作图时要理解题意，弄清问题中对所作图形的要求，结合对应几何图形的性质和基本作图的方法作图．1．（13分）（2016•泉州）如图，在四边形ABCD 中，AD ∥BC ，∠A =∠C ，点P 在边AB 上．（1）判断四边形ABCD 的形状并加以证明；（2）若AB =AD ，以过点P 的直线为轴，将四边形ABCD 折叠，使点B 、C 分别落在点B ′、C ′上，且B ′C ′经过点D ，折痕与四边形的另一交点为Q ．①在图2中作出四边形PB ′C ′Q （保留作图痕迹，不必说明作法和理由）；②如果∠C =60°，那么AP PB为何值时，B ′P ⊥AB ．【考点】四边形综合题；平行四边形的判定；菱形的判定与性质；翻折变换（折叠问题）．【分析】（1）根据两组对边分别平行的四边形是平行四边形进行判断；（2）①根据轴对称的性质进行作图即可；②先根据折叠得出一些对应边相等，对应角相等，并推导出B′D=B′E，再设AP=a，BP=b，利用解直角三角形将DQ和CQ长用含a的代数式表示出来，最后根据CD=DQ+CQ列出关于a、b的关系式，求得a、b的比值即可．【解答】解：（1）四边形ABCD是平行四边形证明：∵在四边形ABCD中，AD∥BC，∴∠A+∠B=180°，∵∠A=∠C，∴∠C+∠B=180°，∴AB∥CD，∴四边形ABCD是平行四边形；（2）①作图如下：②当AB=AD时，平行四边形ABCD是菱形，由折叠可得，BP=B′P，CQ=C′Q，BC=B′C′，∠C=∠C′=60°=∠A，∠B=∠B′=180°-60°=120°. 当B′P⊥AB时，由B′P∥C′Q，可得C′Q⊥CD，∴∠PEA=30°=∠DEB′，∠QDC′=30°，∠B′DE=180°-∠B′-∠DEB′=30°，即∠B′DE=∠DEB′，∴B′D=B′E，设AP=a，BP=b，则直角三角形APE中，PE，且B′P=b，BC=B′C′=CD=a+b，∴B′E=b=B′D，∴C′D=a+b﹣（b）=a，∴直角三角形C′QD中，C′Q=CQ，DQ′Q，∵CD =DQ +CQ =a +b ，=a +b ，）a =b ，∴12a b ==，即12AP PB =．当AP PB =时，B ′P ⊥AB ． 【点评】本题主要考查了平行四边形以及菱形，解题的关键是掌握平行四边形的判定以及菱形的判定与性质．在解题时注意，菱形的四条边都相等，此外在折叠问题中，需要抓住对应边相等，对应角相等这些等量关系，折叠问题的实质是轴对称的性质．2．2．3．3．4．3．4．5．6．7．8．9．10．11．12．13．14．15．16．17．18．19．20．25．（12分）（2016•十堰）如图1，在平面直角坐标系xOy 中，抛物线y =ax 2+1经过点A （4，﹣3），顶点为点B ，点P 为抛物线上的一个动点，l 是过点（0，2）且垂直于y 轴的直线，过P 作PH ⊥l ，垂足为H ，连接PO ．（1）求抛物线的解析式，并写出其顶点B 的坐标；（2）①当P 点运动到A 点处时，计算：PO = 5 ，PH = 5 ，由此发现，PO = PH （填“＞”、“＜”或“=”）；②当P 点在抛物线上运动时，猜想PO 与PH 有什么数量关系，并证明你的猜想；（3）如图2，设点C （1，﹣2），问是否存在点P ，使得以P ，O ，H 为顶点的三角形与△ABC 相似？若存在，求出P 点的坐标；若不存在，请说明理由．【分析】（1）利用待定系数法即可解决问题．（2）①求出PO 、PH 即可解决问题．②结论：PO =PH ．设点P 坐标（m ， 2114m -+），利用两点之间距离公式求出PH 、PO 即可解决问题．（3）首先判断PH 与BC ，PO 与AC 是对应边，设点P （m ，2114m -+），由PH BC HO BA =列出方程即可解决问题．【解答】（1）解：∵抛物线y =ax 2+1经过点A （4，﹣3），∴﹣3=16a +1，∴a =14-， ∴抛物线解析式为2114y x =-+，顶点B （0，1）． （2）①当P 点运动到A 点处时，∵PO =5，PH =5，∴PO =PH ，故答案分别为5，5，=．②结论：PO =PH ．理由：设点P 坐标（m ，2114m -+）， ∵221121144PH m m =+=+-（-）2114PO m ==+， ∴PO =PH ．（3）∵BC=ACAB， ∴BC =AC ，∵PO =PH ，又∵以P ，O ，H 为顶点的三角形与△ABC 相似，∴PH 与BC ，PO 与AC 是对应边， ∴PH BC HO BA=，设点P （m ，2114m -+），211m += 解得m =±1，∴点P 坐标（1，34）或（﹣1，34）．【点评】本题考查二次函数综合题、待定系数法、相似三角形的判定和性质等知识，解题的关键是记住两点之间的距离公式，学会转化的思想，用方程去解决问题，属于中考压轴题．。

专题复习操作探究操作探究题的特点是通过动手操作(测量、作图、取值、计算)等实验，展示思考过程，总结和发现新规律,并运用这些新知识去解决问题.操作探究主要考查学生是否具有良好的思维品质以及学习能力、发现能力及创新能力等.在学习中要注意课本上的*课题学习,积极进行研究性学习的尝试.题型解读类型1 展示问题解决，逐步推进，探究解题过程例 1 小明在一次数学兴趣小组活动中，对一个数学问题作如下探究：问题情境：如图1，四边形ABCD 中，AD∥BC，点E 为DC 边的中点，连接AE 并延长=S△ABF（S 表示面积）交BC 的延长线于点F，求证：S四边形ABCD问题迁移：如图2：在已知锐角∠AOB 内有一个定点P．过点P 任意作一条直线MN，分别交射线OA、OB 于点M、N．小明将直线MN 绕着点P 旋转的过程中发现，△MON 的面积存在最小值，请问当直线MN 在什么位置时，△MON 的面积最小，并说明理由．实际应用：如图3，若在道路OA、OB 之间有一村庄Q 发生疫情，防疫部门计划以公路OA、OB 和经过防疫站P 的一条直线MN 为隔离线，建立一个面积最小的三角形隔离区△MON．若测得∠AOB=66°，∠POB=30°，OP=4km，试求△MON的面积．（结果精确到0.1km2）（参考数据：sin66°≈0.91，tan66°≈2.25，≈1.73）拓展延伸：如图4，在平面直角坐标系中，O 为坐标原点，点A、B、C、P 的坐标分别为（6，0）（6，3）（，）、（4、2），过点p的直线l与四边形OABC一组对边相交，将四边形OABC 分成两个四边形，求其中以点O 为顶点的四边形面积的最大值．思路点拨: 问题情境：根据条件可以求得△ADE≌△FCE，就可以得出S△ADE=S△FCE，就可以得出结论；问题迁移：根据问题情境的结论可以得出当直线旋转到点P 是MN 的中点时S△MON 最小，如图2 过点P 作EF 交OA、OB 于点E、F，过点M 作MG∥OB 交EF 于G．由全等三角形的性质可以得出结论；实际运用：如图 3，作 PP 1⊥OB ，MM 1⊥OB ，垂足分别为 P 1，M 1，再根据条件由三角函数值就可以求出结论；拓展延伸：分情况讨论当过点 P 的直线 l 与四边形 OABC 的一组对边 OC 、A B 分别交于点 M 、N ，延长 OC 、AB 交于点 D ，由条件可以得出 AD=6，就可以求出△OAD 的面积， 再根据问题迁移的结论就可以求出最大值；当过点 P 的直线 l 与四边形 OABC 的另一组对边 CB 、OA 分别交 M 、N ，延长 CB 交 x 轴于 T ，由 B 、C 的坐标可得直线 BC 的解析式， 就可以求出 T 的坐标，从而求出△OCT 的面积，再由问题迁移的结论可以求出最大值，通过比较久可以求出结论． 解答：问题情境：∵AD ∥BC ， ∴∠DAE=∠F ，∠D=∠FCE ． ∵点 E 为 DC 边的中点， ∴DE=CE ．∵在△ADE 和△FCE 中，，∴△ADE ≌△FCE （AAS ）.∴S △ADE =S △FCE .∴S 四边形ABCE +S △ADE =S 四边形 ABCE +S △FCE ， 即 S 四边形ABCD =S △ABF .问题迁移：当直线旋转到点 P 是 MN 的中点时 S △MON 最小， 如图 2，过点 P 的另一条直线 EF 交 OA 、OB 于点 E 、F ，设 PF ＜PE ， 过点 M 作 MG ∥OB 交 EF 于 G. 由问题情境可以得出当 P 是MN 的中点时 S 四边形MOFG =S △MON ． ∵S 四边形MOFG ＜S △EOF ，∴S △MON ＜S △EOF ，∴当点 P 是 MN 的中点时 S △MON 最小；实际运用：如图 3，作 PP 1⊥OB ，MM 1⊥OB ，垂足分别为 P 1、M 1， 在 Rt △OPP 1 中， ∵∠POB=30°， ∴PP 1= OP=2，OP 1=2．由问题迁移的结论知道，当 PM=PN 时，△MON 的面积最小，∴MM 1=2PP 1=4，M 1P 1=P 1N ． 在 Rt △OMM 1 中，tan ∠AOB=，∴2.25=.∴OM 1=.∴M 1P 1=P 1N=2﹣.∴ON=OP 1+P 1N=2+2﹣ =4﹣ ．∴S △MON = ON •MM 1= （4 ﹣ ）×4=8﹣ ≈10.3(km 2)．拓展延伸：①如图 4，当过点 P 的直线 l 与四边形 OABC 的一组对边 OC 、AB 分别交于点 M 、N ，延长 OC 、AB 交于点 D ， ∵C （，）， ∴∠AOC=45°. ∴AO=AD ． ∵A （6，0），∴OA=6. ∴AD=6．∴S △AOD = ×6×6=18.由问题迁移的结论可知，当 PN=PM 时，△MND 的面积最小， ∴四边形 ANMO 的面积最大．作 PP 1⊥OA ，MM 1⊥OA ，垂足分别为 P 1，M 1， ∴M 1P 1=P 1A=2. ∴OM 1=M 1M=2. ∴MN ∥OA.∴S 四边形OANM =S △OMM1+S 四边形 ANMM1=×2×2+2×4=10.②如图 5，当过点 P 的直线 l 与四边形 OABC 的另一组对边 CB 、OA 分别交 M 、N ，延长CB 交 x 轴于 T ，∵C （，）、B （6，3），设直线 BC 的解析式为 y=kx+b ，由题意，得，∴y=﹣x+9.当 y=0 时，x=9. ∴T （9，0）．∴S= 9= ．△OCT由问题迁移的结论可知，当PM=PN 时，△MNT 的面积最小，∴四边形CMNO 的面积最大．∴NP1=M1P1，MM1=2PP1=4.∴4=﹣x+9.∴x=5.∴M（5，4）.∴OM1=5．∵P（4，2）.∴OP1=4.∴P1M1=NP1=1.∴ON=3.∴NT=6．∴S= ×4×6=12.△MNT= ﹣12= ＜10．∴S四边形OCMN∴综上所述：截得四边形面积的最大值为10．方法归纳：本题考查了由特殊到一般的数学思想的运用，全等三角形的判定及性质的运用，勾股定理的运用，待定系数法求一次函数的解析式的运用，四边形的面积公式的运用，三角形的面积公式的运用，分类讨论思想的运用，解答时建立数学模型解答是关键．类型2展示操作过程，在操作中探究解题过程例 2 、如图1，将两个完全相同的三角形纸片ABC 和DEC 重合放置，其中∠C=90°，∠B=∠E=30°．（1）操作发现如图2，固定△ABC，使△DEC 绕点 C 旋转，当点D 恰好落在AB 边上时，填空：①线段DE 与AC 的位置关系是；②设△BDC 的面积为S1，△AEC 的面积为S2，则S1与S2的数量关系是．（2）猜想论证当△DEC 绕点C 旋转到如图3 所示的位置时，小明猜想（1）中S1与S2的数量关系仍然成立，并尝试分别作出了△BDC 和△AEC 中BC、CE 边上的高，请你证明小明的猜想．（3）拓展探究已知∠ABC=60°，点 D 是角平分线上一点，BD=CD=4，DE ∥AB 交 BC 于点 E （如图 4）．若在射线 BA 上存在点 F ，使 S △DCF =S △BDE ，请直接写出相应的 BF 的长．思路点拨（1）①根据旋转的性质可得 AC=CD ，然后求出△ACD 是等边三角形，根据等边三角形的性质可得∠ACD=60°，然后根据内错角相等，两直线平行解答；②根据等边三角形的性质可得 AC=AD ，再根据直角三角形 30°角所对的直角边等于斜边的一半求出 AC=AB ，然后求出 AC=BE ，再根据等边三角形的性质求出点 C 到 AB 的距离等于点 D 到 AC 的距离，然后根据等底等高的三角形的面积相等解答；（2） 根据旋转的性质可得 BC=CE ，AC=CD ，再求出∠ACN=∠DCM ，然后利用“角角边” 证明△ACN 和△DCM 全等，根据全等三角形对应边相等可得 AN=DM ，然后利用等底等高的三角形的面积相等证明；（3） 过点 D 作 DF 1∥BE ，求出四边形 BEDF 1 是菱形，根据菱形的对边相等可得 BE=DF 1，然后根据等底等高的三角形的面积相等可知点 F 1 为所求的点，过点 D 作 DF 2⊥BD ，求出 ∠F 1DF 2=60°，从而得到△DF 1F 2 是等边三角形，然后求出 DF 1=DF 2，再求出∠CDF 1=∠CDF 2，利用“边角边”证明△CDF 1 和△CDF 2 全等，根据全等三角形的面积相等可得点 F 2 也是所求的点，然后在等腰△BDE 中求出 BE 的长，即可得解 解答：（1）①∵△DEC 绕点 C 旋转点 D 恰好落在 AB 边上， ∴AC=CD.∵∠BAC=90°﹣∠B=90°﹣30°=60°， ∴△ACD 是等边三角形. ∴∠ACD=60°.又∵∠CDE=∠BAC=60°， ∴∠ACD=∠CDE. ∴DE ∥AC.②∵∠B=30°，∠C=90°， ∴CD=AC= AB.∴BD=AD=AC ，根据等边三角形的性质，△ACD 的边 AC 、AD 上的高相等，∴△BDC 的面积和△AEC 的面积相等（等底等高的三角形的面积相等），即 S 1=S 2.故答案为：DE ∥AC ；S 1=S 2.（2） 如图，∵△DEC 是由△ABC 绕点 C 旋转得到，过点 A 作 AN ⊥CE,交 EC 延长线于点N,作 DM ⊥BC 于 M 。