原函数与不定积分

例4
求积分
( 1
3 x
2
2 )dx. 1 x2
解
( 1
3 x2
2 )dx
1 x2
3
1
1 x
2
dx
2
1 dx 1 x2
3arctan x 2arcsin x
例5
求积分
1 x x x(1 x2
2
)
dx.
解
1 x x x(1 x2
2
)
dx
x (1 x2 x(1 x2 )
)dx
1
1 x
2
1 x
dx
1
1 x2
dx
1dx x
arctan x ln x
例6
求积分
1 2x2
x2
(1
x2
dx. )
解
1 2x2
x 2 (1
x2
dx )
1 x 2 dx
1
1 x2dx
1 arctan x C. x
例7 求积分 (2x 3x )2dx.
解
(2x 3x )2dx
(22x 2 2x 3x 32x )dx
(4x 2 6x 9x )dx
4x 26x 9x C ln4 ln6 ln9
例8 求积分
(
1
2
x2
x4 1 x2
) dx.
解
(
2 1
x2
x4 1 x2
) dx.
2 dx 1 x2
x4 1 1 1 x2 dx.
2arcsin x
1
1 x
2
dx
x4 1 1 x2 dx.
证
f ( x)dx g( x)dx

定理1. 存在原函数 .
(定积分中证明)
初等函数在定义区间上连续
初等函数在定义区间上有原函数
定理 2. 原函数都在函数族
证: 1)
( C 为任意常数 ) 内 .
即
又知
[(x) F(x)] (x) F(x) f (x) f (x) 0
故
(x) F(x) C0 (C0 为某个常数)
xC
(10) sec x tan xdx sec x C
(11) csc x cot xdx csc x C
(12) exdx ex C
(13) a xdx a x C ln a
(14) sh x dx ch x C
sh x ex ex 2
即 (x) F(x) C0 属于函数族 F(x) C .
定义 2. 在区间 I 上的原函数全体称为
上的不定积分, 记作
其中
— 积分号;
— 积分变量;
若
则
— 被积函数; — 被积表达式.
( C 为任意常数 )
例如, exdx ex C
x2dx

1 3
x3
C
C 称为积分常数 , 不可丢 !
不定积分的概念与存在定理
一、 原函数与不定积分的概念 二、 原函数存在定理 三、 基本积分表
一、 原函数与不定积分的概念
引例: 一个质量为 m 的质点, 在变力
下沿直线运动 , 试求质点的运动速度
根据牛顿第二定律, 加速度
因此问题转化为: 已知 v(t) A sin t , 求 v(t) ? m
ch x ex ex 2
(15) ch x dx sh x C

= ie1+i
= ie(cos1+ i sin1).
￲ 例 5、 试沿区域 Im(z) ￲ 0, Re(z) ￲ 0 内的圆弧 z = 1，求 i ln(z +1) dz 的值.
1 z +1
解
函数
ln(z +1) z +1
在所涉区域内解析，
它的一个原函数为
ln 2
(z 2
+
1)
,
￲i ln(z +1) dz
￲i 0
z cos
zdz
= [z sin
z
+ cos z]i0
= i sin i + cos i -1
=
i
e-1 2i
e
+
e-1 + 2
e
-1
=
e-1
-1.
￲ 例 3、 求 i z cos zdz 的值. 0
￲ ￲ 另解 i z cos zdz = i zd(sin z)
0
0
第三章 复变函数的积分
第三章 复变函数的积分
第二节 原函数与不定积分
例题
￲ 例 1、 求 z1 zdz 的值. z0
解
因为
z
是解析函数，它的原函数是
1 2
z
2
.
由牛顿-莱布尼兹公式知，
￲z1 zdz z0
=
1 2
z2
z1 z0
=
1 2
( z12
-
z02 ).
￲ 例 2、 求 pi z cos z2dz 的值. 0
￲ ￲ 解
pi 0ห้องสมุดไป่ตู้
z cos

【5-1-1】
二、不定积分
1、概念
若F (x)是f (x)在I上的一个原函数,则称其原函数全体是f (x)的不定积分,
记作
f (x)dx F (x) C
2、理解
（1）积分号、积分变量、被积函数、积分表达式、积分常数
（2）不定积分的结果是一个函数集，而不是一个函数，也不是 一个数。
3、求法
找出被积函数f (x)的无穷个原函数中的任意一个F (x), 然后加上一个
(F (x) C) F(x) f (x)
(2) f (x)的任意一个原函数都可以表示成F (x) C的形式
即一个函数的任意两个原函数之间仅仅相差一个常数
(F (x) G(x)) F(x) G(x) f (x) f (x), F (x) G(x) C（常数）
因此f (x)的所有原函数全体为： {F (x) C C R}
§5.1 原函数与不定积分的概念
一、原函数 1、概念
设F (x)与f (x)在区间I上有定义, 若有F(x) f (x)或dF (x) f (x)dx, x I , 则称F (x)为f (x)在I上的一个原函数。 2、原函数的结构 若F(x)是f(x)在I上的一个原函数,则有
(1)F(x) C也是f (x)在I 上的一个原函数, C为任意常数
x2
4
4 x2
原式
x2dx
4 dx
4
dx x2
x3 3
4x
4 x
C
【5-1-6】
3、利用性质计算简单不定积分 例：求下列不定积分：
(2) (x 1)3 dx
解：(2) d (x 1)4 4(x 1)3 dx
原式 1 d (x 1)4 1 (x 1)4 C

2. 不定积分的性质: 不定积分的性质: 1) 2)
∫ ( f ( x) + g ( x))dx = ∫ f ( x)dx + ∫ g ( x)dx
∫ α f ( x ) dx = α ∫ f ( x )dx , α 为常数
∫ [k
f ( x ) + k2 f 2 ( x )]dx = k1 ∫ f1 ( x)dx + k2 ∫ f 2 ( x)dx
∫
积分号
f ( x )d x
被积函数
(3) 积分变量
注1. (3)式中积分号下的f (x)dx, 可看作是原函数 的微分. f ( x) d x 注2. 符号∫a f ( x)dx 与∫ f ( x)dx 差别: 数 一族函数
b
称为被积表达式.
定理1. 定理 设F(x)是f (x)在区间I上的一个原函数,则
第5章 不定积分
§5.1原函数与不定积分的概念 原函数与不定积分的概念
运算与逆运算
初等数学中加法与减法,乘法与除法, 初等数学中加法与减法,乘法与除法, 乘方与开方等,都是互逆的运算. 乘方与开方等,都是互逆的运算.
微分运算是对一个可导函数求导数. 微分运算是对一个可导函数求导数.
已知 f,求 f 的导数 f′ 的表达式,有一些计算 法则,例如: (f + g)′ = f′ + g′ , (f g)′ = f′ g + f g′ , (f [])′ = f ′ [] ′ 这些计算方法加上基本初等函数的导数公式, 我们可以解决初等函数的求导问题,即是,若 f 为初等函数, f ′ 的表达式能求出.
C2 C3
例4.求过点(1, 3),且其切线斜率为2x的曲线方程. . 解:设所求的曲线方程为 y=f(x),则 y′ =f ′(x) =2x, 即f(x)是2x 的一个原函数.

z1 z0
1 2
(
z12
z02 ).
例2 求 i z cos z2dz 的值. 0
解
i z cos z2dz 1 i cos z2dz2
0
20
1 sin z2 i 1 sin( 2 ) 1 sin 2 .
2
02
2
(使用了微积分学中的“凑微分”法)
例3 求 i z cos zdz 的值. 0
第四节 原函数与不定积分
一、主要定理和定义 二、典型例题 三、小结与思考
一、主要定理和定义
1. 两个主要定理: 定理一
如果函数 f (z) 在单连通域 B内处处解析,
那末积分 C f (z)dz 与连结起点及终点的路线
C 无关.
由定理一可知: 解析函数在单连通域内的积分只与起点
和终点有关, (如下页图)
f (z)z,
z
z
所以 F (z z) F (z) f (z) z
1 zz f ( )d f (z)
z z
1
z z
[ f ( ) f (z)]d
z z
B
z0 •
z z z
K
因为 f (z) 在 B内解析, 所以 f (z) 在 B内连续,
故 0, 0, 使得满足 z 的一切 都在 K 内, 即 z 时, 总有 f ( ) f (z) ,
或
z1 z0
f
( z)dz
G( z1
)
G(
z0
).
[证毕]
说明: 有了以上定理, 复变函数的积分就可以用
跟微积分学中类似的方法去计算.
二、典型例题
例1 求 z1zdz 的值. z0
解 因为 z 是解析函数, 它的原函数是 1 z2 , 2

第一节 不定积分的概念及其性质教学目的：使学生掌握原函数与不定积分的概念及性质;基本积分公式.教学重点：基本积分公式的推导及应用. 教学过程：一、原函数与不定积分的概念定义1 如果在区间I 上 可导函数F (x )的导函数为f (x ) 即对任一x ∈I 都有F '(x )=f (x )或dF (x )=f (x )dx那么函数F (x )就称为f (x )(或f (x )dx )在区间I 上的原函数例如 因为(sin x )'=cos x 所以sin x 是cos x 的原函数又如当x ∈(1 +∞)时因为xx 21)(=' 所以x 是x21的原函数提问:cos x 和x21还有其它原函数吗？原函数存在定理 如果函数f (x )在区间I 上连续 那么在区间I 上存在可导函数F (x ) 使对任一x ∈I 都有F '(x )=f (x )简单地说就是 连续函数一定有原函数两点说明 第一 如果函数f (x )在区间I 上有原函数F (x ) 那么f (x )就有无限多个原函数F (x )+C 都是f (x )的原函数 其中C 是任意常数第二 f (x )的任意两个原函数之间只差一个常数 即如果Φ(x )和F (x )都是f (x )的原函数 则Φ(x )-F (x )=C (C 为某个常数) 定义2 在区间I 上 函数f (x )的带有任意常数项的原函数称为f (x )(或f (x )dx )在区间I 上的不定积分 记作⎰dx x f )(其中记号⎰称为积分号 f (x )称为被积函数 f (x )dx 称为被积表达式 x 称为积分变量 根据定义 如果F (x )是f (x )在区间I 上的一个原函数 那么F (x )+C 就是f (x )的不定积分 即⎰+=C x F dx x f )()(因而不定积分dx x f )(⎰可以表示f (x )的任意一个原函数例1因为sin x 是cos x 的原函数所以C x x d x +=⎰s i n c o s因为x 是x21的原函数所以C x dx x +=⎰21例2. 求函数xx f 1)(=的不定积分 解：当x >0时(ln x )'x1=C x dx x+=⎰ln 1(x >0)当x <0时[ln(x )]'xx1)1(1=-⋅-=C x dx x+-=⎰)ln( 1(x <0)合并上面两式得到C x dx x+=⎰||ln 1(x ≠0)例3 设曲线通过点(1 2) 且其上任一点处的切线斜率等于这点横坐标的两倍 求此曲线的方程解 设所求的曲线方程为y =f (x ) 按题设 曲线上任一点(x y )处的切线斜率为y '=f '(x )=2x ,,即f (x )是2x 的一个原函数 因为 ⎰+=C x x d x22故必有某个常数C 使f (x )=x 2+C 即曲线方程为y =x 2+C因所求曲线通过点(1 2) 故2=1+C C =1于是所求曲线方程为y =x 2+1积分曲线 函数f (x )的原函数的图形称为f (x )的积分曲线从不定积分的定义 即可知下述关系 ⎰=)(])([x f dx x f dxd或 ⎰=dx x f dx x f d )(])([ 又由于F (x )是F '(x )的原函数 所以⎰+='C x F dx x F )()(或记作 ⎰+=C x F x dF )()(由此可见 微分运算（以记号d 表示）与求不定积分的运算（简称积分运算以记号⎰表示）是互逆的 当记号⎰与d 连在一起时 或者抵消 或者抵消后差一个常数二、基本积分表(1)C kx kdx +=⎰(k 是常数) (2)C x dx x ++=+⎰111μμμ(3)C x dx x+=⎰||ln 1 (4)C e dx e x x +=⎰(5)C aa dx a xx+=⎰ln (6)C x xdx +=⎰sin cos(7)C x xdx +-=⎰cos sin (8)C x xdx dx x+==⎰⎰tan sec cos 122(9)C x xdx dx x +-==⎰⎰cot csc sin 122 (10)C x dx x+=+⎰arctan 112 (11)C x dx x +=-⎰arcsin 112(12)C x xdx x +=⎰sec tan sec(13)C x dx x +-=⎰csc cot csc例4 ⎰⎰-=dx x dx x 331C x C x +-=++-=+-21321131例5 ⎰⎰=dxx dx x x 252C x ++=+1251251C x +=2772C x x +=372例6 ⎰⎰-=dxx xx dx 343Cx ++-=+-134134Cx +-=-313C x+-=33三、不定积分的性质性质1 函数的和的不定积分等各个函数的不定积分的和 即⎰⎰⎰+=+dx x g dx x f dx x g x f )()()]()([这是因为, ])([])([])()(['+'='+⎰⎰⎰⎰dx x g dx x f dx x g dx x f =f (x )+g (x ).性质2 求不定积分时 被积函数中不为零的常数因子可以提到积分号外面来即⎰⎰=dx x f k dx x kf )()((k 是常数 k ≠0)例7. ⎰⎰-=-dx x x dx x x )5()5(21252 ⎰⎰-=dxx dx x 21255⎰⎰-=dxx dx x 21255C x x +⋅-=232732572例8 dx xx x dx xx x x dx x x )133(133)1(222323-+-=-+-=-⎰⎰⎰ C x x x x dx x dx x dx dx x +++-=-+-=⎰⎰⎰⎰1||ln 3321113322例9 ⎰⎰⎰-=-xdx dx e dx x e x x cos 3)cos 3(C x e x +-=sin 3例10 C e C e e dx e dx e x x xxxx ++=+==⎰⎰2ln 12)2ln()2()2(2例11 dx xx dx x x x x dx x x x x )111()1()1()1(122222++=+++=+++⎰⎰⎰ C x x dx x dx x++=++=⎰⎰||ln arctan 1112. 例12 dx x x x dx x x dx x x ⎰⎰⎰++-+=++-=+222242411)1)(1(1111⎰⎰⎰⎰++-=++-=dx x dx dx x dx x x 222211)111(C x x x ++-=a r c t a n 313例13 ⎰⎰⎰⎰-=-=dx xdx dx x dx x 222sec )1(sec tan = tan x - x + C例14 ⎰⎰⎰-=-=dx x dx x dx x )cos 1(212cos 1 2sin 2 C x x +-=)s i n (21例15 C x dx x dx xx +-==⎰⎰cot 4sin 142cos 2sin 1222.。

y=∫3x2dx =x3+C, 又曲线过点(0,1)，从而得C=1,于是所求的曲线方程为
y=x3+1.
三、不定积分的几何意义
【例4】
一物体作直线运动，速度为v(t) 2t 2 1m / s,当t 1s时，物体所经过的 路程为 3m，求物体的运动方程。
解：设物体的运动方程为 s s(t).依题意有 s(t) v(t) 2t 2 1, 所以
7 sinx dx = cosx C ;
8 sec2x dx tanx C ;
9 csc2x dx cotx C ;
10
dx arcsinx C ; 1 x2
11
dx arctanx C ;
1 x2
例2：求下列函数的不定积分
01
1 dx x3
解：
1 dx x3
x 3dx
一、原函数与不定积分
一、原函数与不定积分
定义1
设f(x)是定义在区间I上的函数，若存在函数F(x)，使得对 任意x∈I均有
F′(x)=f(x)或dFx=fxdx, 则称函数Fx为fx在区间I上的一个原函数.
例如，因为(sin x)′=cos x,故sin x是cos x的一个原函数.又 如，当x>0时，(ln x)′=1/x，所以ln x是1/x在区间0,+∞上的 一个原函数. 注意：如果函数f(x)有原函数，那么原函数有无数个。
（2）
sin 2
1 x cos2
dx x
解： sin2
1 x cos2
dx x
1 cos2
dx x
1 sin 2
x
dx
sin2 x cos2 x
sin2 x cos2 x
dx

定理三 (类似于牛顿-莱布尼兹公式)
如果函f数 (z)在单连通B内 域处处解 , 析
G(z)为f(z)的一个原,函 那数 末
z1 z0
f
( z)dz
G(z1)G(z0)
这里z0,z1为域B内的两. 点
2020/4/28
11
证 因为 z f(z)dz也f是 (z)的原, 函数 z0
所以 z f(z)dzG (z)c, z0
解 因为z是解析函 , 它 数的原函1数 z2, 是 2
由牛顿-莱布尼兹公式知,
z1zdz 1z2 z1
z0
2 z0
12(z12
z02).
2020/4/28
13
例2 求izcozs2dz的值 . 0
解
i zcosz2dz 1icosz2dz212coszdz
0
20
20
1
sin
z
2
1sin(2
使得 z的 满 都 一 足 K 内 ,在 切
即 z时 , 总 f(有 ) f(z ),
由积分的估值性质, F(zz)F(z)f(z) z
B
z0 •
zzz
K
2020/4/28
7
F(z zz)F(z)f(z) 1zzzz[f()f(z)d ]
1
zz
|
z z
f()f(z)|d
1 z
z
.
根据以上讨论可知: 如果 f(z)在区 B内 域有一个 F(z原 ), 函数 那末它就有无穷多个原函数, 一般表 F (z)达 c(c为 式任 为).意常数
2020/4/28
10
3. 不定积分的定义:
称f(z)的原函数的一F般 (z)表 c达式 (c为任意)常 为f数 (z)的不定,积 记分 作

第5章 不定积分
5.1 原函数与不定积分的概念 一、原函数与不定积分
通过对求导和微分的学习，我们可以从一个函数 y＝f(x)出发，去求它的导数f'(x) 那么，我们能不能从一个函数的导数f’(x)出发， 反过来去求它是哪一个函数(原函数)的导数呢? [定义] 已知f(x)是定义在某区间上的一个函数，如果存 在函数F(x)，使得在该区间上的任何一点x处都有 F'(x)＝f(x)，那么称函数F(x)为函数f(x)在该区 间上的一个原函数。
[注意] 不能认为 arcsinx＝－arccosx，他们之间 的关系是 arcsinx＝π／2－arccosx
四、
不定积分的性质 ⑴ [∫f(x)dx]'＝f(x) 该性质表明，如果函数f(x)先求不定积分再求导， 所得结果仍为f(x) ⑵ ∫F'(x)dx＝F(x)＋C 该性质表明，如果函数F(x)先求导再求不定积分， 所得结果与F(x)相差一个常数C ⑶ ∫kf(x)dx＝k∫f(x)dx (k为常数) 该性质表明，被积函数中不为零的常数因子可以 提到积分号的前面 ⑷ ∫[f(x)±g(x)]dx＝∫f(x)dx±∫g(x)dx 该性质表明，两个函数的和或差的不定积分等于 这两个函数的不定积分的和或差
例1
[定理5.1] 设F(x)是函数f(x)在区间I上的一个原函数， C是一个任意常数，那么， ⑴ F(x)＋C也是f(x) 在该区间I上的原函数 ⑵ f(x)该在区间I上的全体原函数可以表示 为F(x)＋C 证明： ⑴∵[F(X)＋C]'＝F'(x)＋(C)'＝f(x) ∴F(x)＋C也是f(x)的原函数 ⑵略
这说明函数f(x)如果有一个原函数F(x)，那么它 就有无穷多个原函数，它们都可以表示为F(x)＋C的 形式。

1 当 1, x 0时, 有(ln x ) x
x dx
1 1 x C 1
1 dx ln x C x
因此有 x dx
1 1 x C , 1 1
ln x C, 1
【5-1-3】
4、几何意义
找出被积函数f ( x)的无穷个原函数中的任意一个F ( x), 然后加上一个 任意常数C ,即为其不定积分 f ( x)dx F ( x) C , 如
3 x 2 x dx 3 C
【5-1-2】
例: 求函数f ( x) x的不定积分
1 1 x ) x 解： 当 1时, 有( 1
§5.1
一、原函数 1、概念
原函数与不定积分的概念
设F ( x)与f ( x)在区间I 上有定义, 若有F ( x) f ( x)或dF ( x) f ( x)dx, x I , 则称F ( x)为f ( x)在I 上的一个原函数。
2、原函数的结构 若F(x)是f(x)在I上的一个原函数,则有
【5-1-5】
3、利用性质计算简单不定积分
例：求下列不定积分：
2 2 (1) ( x ) dx x

解：(1)
2 2 4 2 (x ) x 4 2 x x
3 2
dx x 4 原式 x dx 4 dx 4 2 4 x C x 3 x
【5-1-6】
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失了. 白重炙似乎感觉到了什么,缓缓睁开了眼睛. 但是—— 他眼睛看到の,却不是原来熟悉の练功房,而是来到了一处非常陌生の地方,来到一处…美轮美奂の宫殿? 突然之间他有些惶恐起来,自己竟然在不知不觉中,被转移了?在自己完全没有丝毫反应の情况下,突然来到了这个奇怪の 地方?圣级强者の感知何其敏锐?但是却丝毫没有察觉,这就有点恐怖了！ 不过,他向来是个胆子非常大の人,自从十五岁离开白家堡,遇到の事情件件都是离奇古怪. 沉吟片刻,他想到自己是在逍遥阁内突然被传送到这,他想了想,除了逍遥阁本身の禁制外,根本无人能做到. 既然是逍遥阁 传送自己の,那么就应该不危险了,所以他微微放宽了心,开始打量起这个美丽得赛过了逍遥阁の宫殿 这宫殿不大,大概只有逍遥阁正殿那么大,很奇怪の是居然没有门,并且墙壁都是一种青色の石头筑成,却散发着柔和の白光,让人感觉很是舒适. 宫殿装饰非常繁琐豪华,许多都是白重炙见 都没见过の物品.但是却让人不感觉奢华,反而感觉很雅致,清新.这种感觉很诡异,也很奇妙. 当然,见过逍遥阁之后,白重炙对于这种富丽堂皇の宫殿已经没有过多の震撼.而让他感到无比震撼の是——宫殿の上方,有一张玉床,床上有着白色半透明の纱帐,而纱帐内,有一些侧躺着の…女 人！ "咕噜！" 纱帐隔绝了白重炙の目光,让他看不清这个女人の全貌,但是白重炙第一眼看到这个女人の身体时,双眼陡然迸发出一条火热の光芒.下身迅速冒出一股邪火,并且变得坚硬挺拔起来.喉咙不经意の蠕动起来,大口大口の唾沫开始被咽下… 这,是一些什么样の女子啊！ 隔着纱 窗,白重炙首先看到の是一双骨肉匀称の赤足,白皙而又纤巧,十个修建整齐の脚指甲上正亮着粉色の光泽,脚腕上带着一串紫色の不咋大的铃铛,配合她那双精致の不咋大的脚,形成一种独特の诱惑.在往上是一双弧线完美の不咋大的腿和两条让人看得血脉亢张散发出淡淡光泽の雪白大腿, 仅仅一双腿就已经夺尽了天地间の灵气和造化. 可以想象,拥有这样一双美腿の人,已经足以让天下男人为之疯狂了.只是…在往上却是一条让人扫兴の白色轻纱,恰巧遮住了她那神秘の桃花源,只是没有完全遮住,露出一不咋大的撮青青芳草,以及被一根简单の红绳勾勒出堪盈一握の不咋 大的蛮腰,不咋大的红绳在腰部却结了一丝线头,而这线头却恰巧一直往下方延伸,穿过那撮青青草原,没入了白色轻纱内,让人产生无限の幻想,幻想着这不咋大的红绳の绳头,最终会延伸到何处… 上身依旧被轻纱笼罩,但是却只是遮住了那两处雪白滑腻の高耸一半,裸露在外の那半团雪腻, 同样散发出诱人の光泽,让人忍不住想要轻咬一口.天鹅般修长の颈脖上,却是一张完美无瑕の面孔,精致到极点の五官,长长卷曲の睫毛下一双微闭の眼眸上是一抹yaw丽の紫色眼影,光洁の嘴角弯起の一些淡淡の弧度,却让整张脸变得韵味十足… 坦白说,这女子の面孔只能和月倾城平分秋 色,身材能比夜轻舞,皮肤宛若夜轻语,但是气质却是远远赛过三人几分.这女子浑身无处不在释放着一股,能激发男人心底却野智の希望の气质… 魅惑,魅惑无双の气质！ 这是一些能让任何男人都为止心动の女子,一些能让任何男人释放心底对女人渴望の女子,一些让人忍不住狠狠**の女 子… "你呀…想要俺吗?" 就在这时,宫殿内突然响起一些飘渺声音,这声音慵懒深远却无比魅惑人心,险些让差点把持不住の白重炙…直接**了！ 当前 第肆叁柒章 妖姬 "你呀…想要俺吗?" 此时此景,换做任何一些还能行还能干の男人,都会毫不犹豫の说——要！ 但是此刻の情节,换做 任何一些有头脑の人,都会说"不"或者腼腆の假装说"不".看书 试想一下,突然之间,你呀突然被传送到一些诡异の地方,而后看到一些绝世美人,平白无故の邀请你呀和她肉搏一场,打打友谊赛… 遇到这种情况,或许不少人会第一时候警觉起来,这人是妖还是鬼?有何目の?是不是传说中专 吸男人精元の狐妖? 事无反常必有妖,傻乎乎の冲上去の人,那是被精虫冲昏了头の傻子,很显然,能被传送到这宫殿,能享受如此待遇の人,明显都不是傻子. "俺の确想要你呀…很想要！" 白重炙这样の年纪能修炼到如此境界,明显不是个傻子,但是…他却突然说了一句很傻の话,他非常坦 白の将藏在心底の希望直接说了出来. "咯咯…" 白重炙の一句话,却让那个女人轻笑起来,随着她の笑声,她の身体跟着扭动起来,胸前の波涛一阵荡漾,隐隐能见两点粉红.不咋大的蛮腰上の那根红绳也随着荡漾起来,在青青草地上宛如一条不咋大的蛇般扭动,精致の脚腕上两串紫色の不 咋大的铃铛发出悦耳の响声,配合她慵懒の声音,更显魅惑. 女子轻笑一声之后伸出一只莲藕般の玉手,托住下颚,一双秋水般の眸子,盯着白重炙,宛如能将他全身看穿一样,两片娇yaw欲滴の红唇微微张合,柔声说道："不咋大的男人,为何你呀想要俺?为何,你呀又敢要俺?" 当这女子看过来 の那一刻,白重炙感觉此刻他身无寸缕,全身都暴露在宫殿内,没有丝毫秘密可言.心里暗暗一惊,不再去看女子の笑昏の胴体,而是毫不示弱の盯着她那双秋水眸子,微微笑了起来,道："你呀长の很美,美得动人心魄,所以俺想要你呀！敢要你呀,是因为你呀说只要俺看清楚你呀…俺就能得到 你呀！" "咯咯咯！" 女子再次一声轻笑,引发阵阵铃铛声,将宫殿内の气氛变得越发の旖旎,也将白重炙心里の那把火撩拨の更加旺盛.突然她停止了微笑,伸出另外一只手,将纱帐挑开,一双秋水眸子更是媚眼如丝,两片娇红の贝唇中突然伸出一条粉红色の舌头,轻轻一tian,伸出纱帐の玉 手朝白重炙勾了勾手指头,嘴角弯起一些诱人の弧度,轻笑说道："不咋大的男人,既然你呀想,就来吧,俺喜欢不咋大的男人！" "咕噜！" 白重炙咽了一口唾沫,深深の望了女子一眼,却突然做了一些奇怪の动作,他突然垂眉低下头,将剩下长袍高高隆起の下身,一把按下,而后摆了摆手,非常 果决の说道："不来！打死俺都不去！" "哦?" 白重炙の奇异举动,让玉床上の女人微微一怔,眼中却闪过一丝异彩,收回玉手,很是疑惑の轻吟道："这是为何?你呀不想要俺吗?" "要是肯定要,你呀注定是俺の女人！" 白重炙没有抬头,而是非常坚定の答道.长长の吞吐着气,开始稳定自己 の心魄,而后才甩了甩衣袖,淡淡说道："行了女人,别玩这套了,说出…游戏规则吧,魂帝他老人家搞来搞去,都是这套,没有一点心意,不咋大的爷才不上当！" "咯咯咯！" 白重炙一番莫名其妙の话语,却是引发了女子の一阵娇笑,望着白重炙の眼眸中充满了赞赏. 片刻之后,她突然面色一 改,浑身气质一变,竟然变成了一名冰清玉洁の圣女般,语气也不似刚才の魅惑,而是非常の温和道："不咋大的男人,你呀の智慧让俺刮目相看,恭喜你呀过了第二关…俺很好奇,你呀是怎么发现の?" "呵呵,很简单,因为俺闯过了魂帝设在炽火大陆の落神山关卡,获得了逍遥阁！" 白重炙有 些诧异の挑了挑眉梢,有些疑惑,为何这女子竟然不知道自己得到了逍遥阁?但是还是正面回答了她の问题. 在落神山他可是被魂帝折腾の够呛,又是迷幻之境考验心幸运,又是傀儡山脉考验潜力和悟性,最后在第三关命运之门,差点被他玩死了. 其实在这女人传递给他信息说只要看清楚她, 就能得到她和一些大机缘の时候,白重炙就有点怀疑这又是魂帝设の局,现在这个女子百般诱惑她,他更加确认这一点,还好他在迷幻之境经历了许多の桃色陷阱,又拥有了三位绝世美人为妻子,对于美人の抵抗力很强,并且夜若水死后闭关の三年让他心智变得极其坚韧,此刻才没有中招. 看 着自己の回答却没有让女子完全解惑,白重炙反而疑惑起来,问道："怎么了?你呀这宫殿,不是存在逍遥阁内吗?你呀不知道逍遥阁?" "逍遥阁俺当然

当有异 山阳 累至东海王板行参军 乃别置板籍官 自古而然 澄不引典据明 庐江还西豫 虏动 黄籍 租赋之外 与人知识 晔与僚佐饮 迁右仆射 足慰人意 今命冠军将军 瓛亦以为然 恩未接下 初释褐拜征北行佐买之 方镇各怀异计 于宣阳门外行马内驱打人 不许 与硕相非 系尚方 尚书令
晏从弟也 因心则理无不安 江夏内史 上应乾象 怀珍为直阁 虚 吏曹都令史历政以来 抗威后拒 帝惧 多以暗缓贻愆 盖谓便于公 遂授兵登陴 方共经营家国 监徐州豫州梁郡军事 为武陵王晔冠军征虏参军 十四日平旦 月 为治不患无制 望岱瞻河 粗申愚心 领义阳太守 犷情浊气 时年三
遣军主庄丘黑进取南乡县 郢州刺史张冲据城拒守 高宗虑事变 太祖谓赤斧曰 卒 江湛谓何偃曰 字士思 举秀才 身终下秩 孔逷字世远 转侍中 鲜死 吏于麝幐中得其事迹 复以谐之为别驾 今定何如 浙江风猛 罢安远县并 台辅既诛 遗言薄葬 约在任 建元元年 晋宁康元年 共相抚鞠 著
于蛮虏 臣已足矣 领右军将军 道优理穷款首 寻物之怀私 微申素意 永明之运 居丧有称 遇兴盛 左右不自保 迁子懋为都督江州刺史 转给事中 竟陵太守曹景宗并劝进 龙亢 于其实益 诏送兴祖还都 虔化〔永明八年 孝建元年书籍 皆有功 年十五 子懋见幼主新立 吾生平所善 太史密奏图
3、求法
找出被积函数f (x)的无穷个原函数中的任意一个F (x),然后加上一个
任意常数C,即为其不定积分 f (x)dx F (x) C,如
x2dx x3 C
3
【5-1-2】
例: 求函数f (x) x的不定积分
解： 当 1时,有( 1 x1) x 1
大明以后 州郡讨不能擒 夙婴贫困 王莹还门下 况此嬉游之间 凡一千五百三十二条 君巢窟在何处 瑶之兄也 超迈前儒 新吴 为左丞庾杲之所纠 卷四十一&middot;导从卤簿 郢 太中大夫 君安乎上 迁太子中庶子 自少及长 莫不如兹 谌惧而退 世祖问融住在何处 永明六年 浃天地于挥忽

高数4.1 原函数（不定积分）我们接下来来看积分的部分。

首先是原函数的定义。

所谓的原函数，就是如果一个函数F(x)的导数F’(x)=f(x)，我们就把F(x)称为f(x)的原函数（antiderivative）。

我们把原来的常见初等函数的导数反写，就能得到对应的原函数，主要有以下这些：首先是幂函数和指数函数：然后是三角函数：对于对数函数和反三角函数，我们一般不去找他们的原函数。

这里面有几点值得说的•我们看到所有的原函数都带一个+c，这里的c是一个常数。

这是因为，F(x)和F(x)+c的导数是一样的，因为(F(x)+c)’= F’(x)+c’= F’(x)。

所以如果F(x)是f(x)的原函数，那么F(x)+c也是f(x)的原函数，所以每个函数的原函数都不是有一个，而是有无数个，他们互相之间相差一个常数。

••1/x的原函数相对有点儿奇怪，我们知道lnx’=1/x，但这只是在x>0的情况下。

而在x<0的情况下得到的是ln(-x)’=-1/(-x)，也是1/x。

因此准确的说，应该是(ln|x|)’=1/x，所以1/x的原函数应该是ln|x|+c•求原函数是整个微积分里面最难的点之一，理论上可以无限难。

而且有很多函数根本就没有原函数，比如你找不到一个函数，它的导数是lnx。

求原函数的主要方法主要有换元、分步积分等。

这里并不是我们的重点（虽然考试的时候还蛮重要的），我们只是建立一个直观上的概念。

换元法，是将某一个部分替换为一个整体，例如：分步积分法利用的是函数乘积导数的结论两端积分求原函数，有：举个例子：。

s(t), 使 s(t) v(t).
又如, 已知曲线在每一点处的切线斜率 k( x), 求 f ( x), 使 y f ( x) 的图象正是该曲线, 即使得
f ( x) k( x).
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定义1 设函数 f 与 F 在区间 I 上都有定义,若
F( x) f ( x)， x I,
dx ln( x 1 x2 ) C, 1 x2
1 x2dx 1 x 1 x2 arcsin x C. 2 前页 后页 返回
三、不定积分的几何意义
若F (x)是 f (x) 的一个原函数, 则称 y = F (x) 的图
像是 f (x) 的一条积分曲线.
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证 (i) 由 (F ( x) C ) F ( x) f ( x), 知 F ( x) C 也是 f ( x) 在 I 上的原函数. (ii) 设 F(x) 和 G(x) 是 f (x) 在 I 上的任意两个原 函数, 则
(F ( x) G( x)) F ( x) G( x) f ( x) f ( x) 0.
由导数线性运算法则可得到不定积分的线性运算
法则. 定理 8.3 (不定积分的线性运算法则)
若函数 f 与 g 在区间 I 上都存在原函数, k1, k2为
任意常数, 则 k1 f k2 g 在 I上也存在原函数, 且
( k1 f ( x) k2g( x) )dx k1 f ( x)dx k2 g( x)dx.
1
4. 1xdx ln | x | C.
5. exdx ex C. 6. a xdx a x C .
ln a
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1 dx + =∫ 2 1+ x
∫
1 dx x
= arctan x + ln x + C
高等数学（ 高等数学（上）
1 dx . 例7 求积分 ∫ 1 + cos 2 x
1 1 1 dx = 解 ∫ ∫ cos2 x dx 1 + cos 2 x 2
1 2 = ∫ sec xdx 2
1 = tan x + C 2
∫x
5 2
dx
x = +C 5 +1 2
5 +1 2
2 = x +C 7
高等数学（ 高等数学（上）
7 2
三、 不定积分的性质
(1)
∫ [ f ( x ) ± g( x )]dx = ∫ f ( x )dx ± ∫ g( x )dx;
证Q
[∫ f ( x ) dx ± ∫ g ( x ) dx ] ′ ′ = [∫ f ( x )dx ] ± [∫ g ( x )dx ]
Q
[F ( x ) − G ( x )]
′
= F ′( x ) − G ′( x )
= f ( x) − f ( x) = 0 为任意常数） ∴ F ( x ) − G ( x ) = C （C 为任意常数） 的原函数， 若 F ( x ) 为 f ( x ) 的原函数，则 f ( x ) 的所有
原函数的集合为： 原函数的集合为： F ( x ) + C − ∞ < C < +∞ } {
被 积 函 数 被 积 表 达 式
--原函数族 --原函数族
x 称为积分
高等数学（ 高等数学（上）
dx . 6 6 ′ x x 5 5 +C 解 Q = x , ∴ x dx = 6 6 1 例2 求 ∫ . 2 dx 1+ x

F (x )d xF (x )C ;
或d 记 F (x ) F 为 (x ) C .
如果不记,则 积微 分分 常运 数算是 与互 积逆 .分
二、基本积分表 根据不定积分 ,很的 容定 易义 从函数式 的 , 微 得到其积.分公式
例如 x11x(1)得 , 积分: 公式
xdx x 1 1C(1).
又s如 ix ncox,s得积分 : 公式
cx s cc x o d x t cx s C c .
axdxl1naaxC.
exdxexC.
dx arcxsiC n. 1x2
dx
1x2arcxt aCn.
三、不定积分的性质
k(x f)d x k f(x )d x (k 为非 ),零 ① 常
[ f ( x ) g ( x )d x ] f ( x ) d x g ( x ) d x . ②
即yf(x)是sinx的一个原 , 函数
又 sixn dxcox sC ,f(x)co x sC 0,
因为曲线通过点(0,2),
f(0)2, 即 1C 02 ,C03, 所以，所求曲线方程为 y co x s 3 .
思考题
求不定积分 1x(1xxx22)dx. 解 原式 xx(1(1xx22))dx 11x21xdx
第三章 积分学
§1 原函数与不定积分
一、原函数与不定积分 二、基本积分表 三、不定积分的性质 四、拓展与思考 五、小结
一、原函数与不定积分 定义一 设函f(数 x)定义在M 区 上,如 间果存在函F数 (x), 对于任 x一 M,都 点有 F ( x ) f ( x ) 或 d F ( x ) f ( x ) d x , 则称F函 (x)是 f数 (x)在 M 上的原一 函数个 .

.
于是
lim
z0
F(z

z) z
F(z)
f
(z)

0,
即 F (z) f (z).
此定理与微积分学中的对变上限积分
的求导定理完全类似 .
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3.1.2 原函数的定义 : 如果函数 (z) 在区域B 内的导数为f (z),
即 (z) f (z), 那末称 (z) 为 f (z) 在区域B 内 的 原 函 数.
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3 原函数与不定积分
3.1 主要定理和定义 3.2 例题 3.3 小结
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3.1 主要定理和定义
3.1.1 两个主要定理 定理 1 如果函数 f (z) 在单连通域B内处处解析,
那末积分C f (z)dz 与连结起点及终点的路线
C 无关. 由定理 1 可知 : 解析函数在单连通域内的积分只与起点和终点有关 .
)d
.
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定理 2如果函数 f (z) 在单连通域B内处处解析,
那 末 函 数F ( z)

z
z0
f
(
)d
必为B内的一个解
析函数, 并且 F (z) f (z).
证
利用导数的定义来证 .
设 z 为 B内任一点,
z
K
以 z 为中心作一含于B内的 B
小圆K,
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取 z 充分小使z z 在 K 内, 由 F (z)的定义,
求
i 1
ln(z 1) z1
dz
的
值.
解
函数
ln(z 1) z1
在所
设
区域
内