原函数与不定积分的概念

ch x ex ex 2
(15) ch x dx sh x C
例3. 求
解: 原式
x34 dx
x
341
4 3
1
C
3x13 C
例4. 求
解:
原式
1 2
sin
x
dx
1 2
cos
x
C
f (x) dx 的图形
y
的所有积分曲线组成 的平行曲线族.
O
x0
x
例1. 设曲线通过点(1, 2), 且其上任一点处的切线
斜率等于该点横坐标的两倍, 求此曲线的方程.
解:
y
所求曲线过点 (1, 2) , 故有
(1,2)
因此所求曲线为 y x2 1
O
x
例2. 质点在距地面 处以初速 垂直上抛 , 不计阻
力, 求它的运动规律.
解: 取质点运动轨迹为坐标轴, 原点在地面, 指向朝上 ,
质点抛出时刻为
此时质点位置为 初速为
设时刻 t 质点所在位置为
则
dx v(t)
(运动速度)
dt
再由此求 x(t)
d2 dt
x
2
dv dt
g
(加速度)
先由此求 v(t)
x
x x(t)
x0 x(0)
O
先求 由
知
v(t) ( g ) d t g t C1
定理1. 存在原函数 .
(定积分中证明)
初等函数在定义区间上连续
初等函数在定义区间上有原函数
定理 2. 原函数都在函数族
证: 1)
( C 为任意常数 ) 内 .
即
又知
[(x) F(x)] (x) F(x) f (x) f (x) 0

2 x4 ) dx . 5. ( 2 sin x 3 x e x ) dx . 6. ( 2 2 1 x 1 x
cos 2 x 7. dx . cos x sin x
x 9. sin dx . 2
2
1 8. dx . 2 2 cos x sin x
10. e x 1 d x .
例 2 已知一曲线 y f ( x ) 在点( x , f ( x )) 处的 切线斜率为 sec x sin x ，且此曲线与 y 轴
2
的交点为(0,5) ，求此曲线的方程.
例2 已知一曲线 y f ( x ) 在点( x , f ( x )) 处的
sec 2 x sin x ，且此曲线与 y 轴 切线斜率为
1 cos 2 x sin2 x dx .
1 cos 2 x sin2 x dx
cos 2 x sin2 x dx 2 2 cos x sin x
[sec 2 x csc 2 x ]dx
tan x cot x C .
9. 求积分 解
2
x sin 2 dx .
二、 基本积分表 P172 (1) kdx kx C ( k 是常数) ;
( 2)
( 3) ( 4)
( 5)
( 6) (7)
x 1 x dx C ( 1) ; 1 dx x ln | x | C ; 1 1 x 2 dx arctan x C arccot x C 1 1 x 2 dx arcsin x C arccos x C cos x dx sin x C ;
y x2 C ,

1.5.1原函数与不定积分 的概念
内容提要：

一、不定积分的引入
在前面的学习过程中，我们已经基本了解了有关导数和微分的 相关知识，初步的感受了高等数学和初等数学的不同，今天，我 们将学习一个全新的内容-------不定积分
正如加法与减法，乘法与除法互为逆运算，微分与积分也互为 逆运算。在此，作为比较我们先回顾一下导数和微分的定义：
二、为什么要学习不定积分

定积分的定义的解法
（3）求和
21dx
1x

Sn

n i 1
f
1

i

n
1

x
n
1
1

i 1 1
i
1ห้องสมุดไป่ตู้
n

n
n
1
i1 n i 1
11
1
1
n n 1 n 2 2n 1
微积分基本原理的解法
解
因为 ln x '

1
x
,
所以 2 1dx
1x
ln x|12ln 2 ln 1 ln 2.
由此我们可以看出，不定积分对于定积分求解的重要作用， 这也是我们为什么要学习不定积分的原因。
三、原函数的概念


五、不定积分的概念
六、不定积分的应用简介

展示结束， 谢谢！
导数：函数的平均变化率的极限
微分：德尔塔X的线性倍数，即德尔塔Y的主要部分
不定积分概念是由牛顿和莱布尼兹针对黎曼所提出的定积分概 念而提出的，二者尽管只有一字之差，并且在运算的方法上也无 较大差异，却在含义上有本质的差别。今天，我们主要学习的是 不定积分，至于积分的内容，我们将在以后深入学习。

(sec x ) sec x tan x
( 11 ) csc x cot x d x csc x C (csc x ) csc x cot x
10
( 12 )
( 13 )
dx 1 x
2
arcsin
xC
(arcsin
x )
x )
1 1 x
问题: (1) 原函数是否唯一？ (2) 若不唯一它们之间有什么联系？
,则
结论：(1) 若 F ( x ) 为 f ( x ) 的一个原函数
F ( x ) C 都是 f ( x ) 的原函数 (C为任意常数).
(2) 若 F ( x ) 和 G ( x ) 都是 f ( x ) 的原函数,
则 F ( x ) G ( x ) C , （C 为任意常数）
熟记基本积分公式 分项积分
常用恒等变形方法
加项减项 利用三角公式, 代数公式 ,
22
g ( x )] d x

2
f ( x )d x
g ( x )d x
( x )d x k f ( x )d x （ k 是 常 数 ， k 0 )
3 1 x
2
例 求积分 (
解

1 x )d x
2
)d x .
2
(1
3
3 x
2
2 1 x2Βιβλιοθήκη 1 1 xdx 2
1 1 x
2
dx
3 arctan x 2 arcsin x C
12
例 求积分
解


2
x x x
2 e 5 2 dx

例4
求积分
( 1
3 x
2
2 )dx. 1 x2
解
( 1
3 x2
2 )dx
1 x2
3
1
1 x
2
dx
2
1 dx 1 x2
3arctan x 2arcsin x
例5
求积分
1 x x x(1 x2
2
)
dx.
解
1 x x x(1 x2
2
)
dx
x (1 x2 x(1 x2 )
)dx
1
1 x
2
1 x
dx
1
1 x2
dx
1dx x
arctan x ln x
例6
求积分
1 2x2
x2
(1
x2
dx. )
解
1 2x2
x 2 (1
x2
dx )
1 x 2 dx
1
1 x2dx
1 arctan x C. x
例7 求积分 (2x 3x )2dx.
解
(2x 3x )2dx
(22x 2 2x 3x 32x )dx
(4x 2 6x 9x )dx
4x 26x 9x C ln4 ln6 ln9
例8 求积分
(
1
2
x2
x4 1 x2
) dx.
解
(
2 1
x2
x4 1 x2
) dx.
2 dx 1 x2
x4 1 1 1 x2 dx.
2arcsin x
1
1 x
2
dx
x4 1 1 x2 dx.
证
f ( x)dx g( x)dx

【5-1-1】
二、不定积分
1、概念
若F (x)是f (x)在I上的一个原函数,则称其原函数全体是f (x)的不定积分,
记作
f (x)dx F (x) C
2、理解
（1）积分号、积分变量、被积函数、积分表达式、积分常数
（2）不定积分的结果是一个函数集，而不是一个函数，也不是 一个数。
3、求法
找出被积函数f (x)的无穷个原函数中的任意一个F (x), 然后加上一个
(F (x) C) F(x) f (x)
(2) f (x)的任意一个原函数都可以表示成F (x) C的形式
即一个函数的任意两个原函数之间仅仅相差一个常数
(F (x) G(x)) F(x) G(x) f (x) f (x), F (x) G(x) C（常数）
因此f (x)的所有原函数全体为： {F (x) C C R}
§5.1 原函数与不定积分的概念
一、原函数 1、概念
设F (x)与f (x)在区间I上有定义, 若有F(x) f (x)或dF (x) f (x)dx, x I , 则称F (x)为f (x)在I上的一个原函数。 2、原函数的结构 若F(x)是f(x)在I上的一个原函数,则有
(1)F(x) C也是f (x)在I 上的一个原函数, C为任意常数
x2
4
4 x2
原式
x2dx
4 dx
4
dx x2
x3 3
4x
4 x
C
【5-1-6】
3、利用性质计算简单不定积分 例：求下列不定积分：
(2) (x 1)3 dx
解：(2) d (x 1)4 4(x 1)3 dx
原式 1 d (x 1)4 1 (x 1)4 C

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问题： (1) 原函数的存在性。 (2) 原函数是否唯一？不唯一它们之间有什么关系？ (3) 如何求原函数。 原函数存在定理： 如果函数 f ( x ) 在区间 I 内连续，那么 在 区 间 I 内 存 在 可 导 函 数 F ( x) ， 使 ∀x ∈ I ，都有 F ′( x ) = f ( x ) 简言之：连续函数一定有原函数.
∫ dF ( x ) = F ( x ) + C .
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(2)不定积分的几何意义
函数 f ( x ) 的任一原函数的图形称为 f ( x ) 的一条积分曲线。全体原函数的图形称为 f ( x ) 积分曲线族。
积分曲线族的切线互相平行。这是因为
[∫ f ( x )dx ] ′= [F ( x ) + C ] ′= F ′( x ) = f ( x )
dF ( x ) = f ( x )dx ，那么函数 F ( x ) 就称为 f ( x ) 或 f ( x )dx 在区间 I 内原函数。 ′ 例 (sin x ) = cos x sin x 是 cos x 的原函数. ′ 1 (ln x ) = ( x > 0) x 1 ln x 是 在区间( 0,+∞ )内的原函数. x
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1 dx . 例6 求积分 ∫ 2 2 x (1 + x )
解
1 1 1 ∫ x 2 (1 + x 2 )dx = ∫ ( x 2 − 1 + x 2 )dx 1 = − − arctan x + C x
tan 2 xdx 例7 求积分 ∫
解
sin 2 x 1 − cos 2 x ∫ tan xdx = ∫ cos 2 x dx = ∫ cos 2 x dx 1 = ∫ ( 2 − 1)dx = tan x − x + C cos x

任意常数C,即为其不定积分 f (x)dx F (x) C,如
x2dx x3 C
3
【5-1-2】 2
例 求函数f (x) x的不定积分
解： 当 1时,有( 1 x1) x xdx 1 x1 C
1
1
当 1, x 0时,有(ln x ) 1
x
1 x
dx
Байду номын сангаас
ln
x
C
1 x1 C, 1 1
代入条件y
x1 2
1 (1)3 32
C
1 24
C
1,得C
23 24
因此所求积分曲线为：y 1 x3 23 3 24
【5-1-4】 5
三、不定积分的基本性质
1、线性运算性质 若f (x), g(x)存在原函数,则
(1) af (x)dx a f (x)dx, a R, a 0
(2)[ f (x) g(x)]dx f (x)dx g(x)dx
(F(x) C) F(x) f (x)
(2) f (x)的任意一个原函数都可以表示成F(x) C的形式
即一个函数的任意两个原函数之间仅仅相差一个常数
(F(x) G(x)) F(x) G(x) f (x) f (x),F(x) G(x) C（常数）
因此f (x)的所有原函数全体为：{F(x) C C R}
【5-1-1】 1
二、不定积分
1、概念
若F (x)是f (x)在I上的一个原函数,则称其原函数全体是f (x)的不定积分,
记作
f (x)dx F(x) C
2、理解
（1）积分号、积分变量、被积函数、积分表达式、积分常数
（2）不定积分的结果是一个函数集，而不是一个函数，也不是 一个数。

那么在区间I 内存在可导函数 F ( x ) ， 使x I ，都有F ( x ) f ( x ) .
简言之：连续函数一定有原函数. 问题：(1) 原函数是否唯一？ (2) 若不唯一它们之间有什么联系？ 例
sin x cos x

sin x C cos x
（C 为任意常数）
F ( x ) G ( x )
F ( x ) G ( x ) f ( x) f ( x) 0

F ( x ) G ( x ) C （ C为任意常数）
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不定积分的定义：
在区间I 内， 函数 f ( x ) 的带有任意
常数项的原函数 称为 f ( x ) 在区间 I 内的
西南财经大学天府学院
三、 不定积分的性质
(1)
[ f ( x ) g( x )]dx f ( x )dx g( x )dx;
dx
d [ f ( x )dx ] d [ g ( x )dx ] dx dx
证 d [ f ( x )dx g ( x )dx ]
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1 x x2 dx . 例6 求积分 2 x(1 x )
解
1 x x x (1 x ) x(1 x 2 ) dx x(1 x 2 ) dx
2 2
1 1 1 1 dx dx dx 2 2 x 1 x x 1 x
2
三、一曲线通过点( e 2 , 3 ) ，且在任一点处的切线的斜 率等于该点横坐标的倒数，求该曲线的方程 .
1 2x x ex x 四、证明函数 e , e sinh x 和 e cosh x都是 2 cosh x sinh x 的原函数 .

1、F+C也是f在I上的原函数，其中C为任意常量函数；
2、f在I上的任意两个原函数之间，只可能相差一个常数.
证：1、依题意F’=f，则当C为常量函数时，(F+C)’=F’=f，得证.
2、设F,G是f在I上的任意两个原函数，则有(F-G)’=F’-G’=f-f=0.
根据拉格朗日中值定理推得：F-G≡C, C为常量函数.
[∫f(x)dx]’=[F(x)+C]’=f(x)；d∫f(x)dx=d[F(x)+C]=f(x)dx.
不定积分的几何意义：若F是f的一个原函数，则称y=F(x)的图象为f的一条积分曲线.所以f的不定积分在几何上表示f的某一积分曲线沿纵轴方向任意平移所得一切积分曲线组成的曲线族。显然，在每一条积分曲线上横坐标相同的点处作切线，则这些切线互相平行。
7、∫cosaxdx= sinax+C (a≠0)；8、∫sinaxdx=- cosax+C (a≠0)；
9、∫sec2xdx=tanx+C；10、∫csc2xdx=-cotx+C；11、∫secx·tanxdx=secx+C；
12、∫cscx·cotxdx=-cscx+C；13、∫ =arcsinx+C=-arccosx+C1；
(2)∫(x- )2dx=∫(x2- + )dx=∫x2dx-∫2x dx+∫ dx= - x +ln|x|+C.
(3)∫ = ∫x- dx= x +C= +C.
(4)∫(2x-3x)2dx=∫(22x-2·6x+32x)dx=∫4xdx-2∫6xdx +∫9xdx= -2· + +C.
(5)∫( +sinx)dx= ∫ dx+∫sinxdx= arcsinx-cosx+C.

1 当 1, x 0时, 有(ln x ) x
x dx
1 1 x C 1
1 dx ln x C x
因此有 x dx
1 1 x C , 1 1
ln x C, 1
【5-1-3】
4、几何意义
找出被积函数f ( x)的无穷个原函数中的任意一个F ( x), 然后加上一个 任意常数C ,即为其不定积分 f ( x)dx F ( x) C , 如
3 x 2 x dx 3 C
【5-1-2】
例: 求函数f ( x) x的不定积分
1 1 x ) x 解： 当 1时, 有( 1
§5.1
一、原函数 1、概念
原函数与不定积分的概念
设F ( x)与f ( x)在区间I 上有定义, 若有F ( x) f ( x)或dF ( x) f ( x)dx, x I , 则称F ( x)为f ( x)在I 上的一个原函数。
2、原函数的结构 若F(x)是f(x)在I上的一个原函数,则有
【5-1-5】
3、利用性质计算简单不定积分
例：求下列不定积分：
2 2 (1) ( x ) dx x

解：(1)
2 2 4 2 (x ) x 4 2 x x
3 2
dx x 4 原式 x dx 4 dx 4 2 4 x C x 3 x
【5-1-6】
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失了. 白重炙似乎感觉到了什么,缓缓睁开了眼睛. 但是—— 他眼睛看到の,却不是原来熟悉の练功房,而是来到了一处非常陌生の地方,来到一处…美轮美奂の宫殿? 突然之间他有些惶恐起来,自己竟然在不知不觉中,被转移了?在自己完全没有丝毫反应の情况下,突然来到了这个奇怪の 地方?圣级强者の感知何其敏锐?但是却丝毫没有察觉,这就有点恐怖了！ 不过,他向来是个胆子非常大の人,自从十五岁离开白家堡,遇到の事情件件都是离奇古怪. 沉吟片刻,他想到自己是在逍遥阁内突然被传送到这,他想了想,除了逍遥阁本身の禁制外,根本无人能做到. 既然是逍遥阁 传送自己の,那么就应该不危险了,所以他微微放宽了心,开始打量起这个美丽得赛过了逍遥阁の宫殿 这宫殿不大,大概只有逍遥阁正殿那么大,很奇怪の是居然没有门,并且墙壁都是一种青色の石头筑成,却散发着柔和の白光,让人感觉很是舒适. 宫殿装饰非常繁琐豪华,许多都是白重炙见 都没见过の物品.但是却让人不感觉奢华,反而感觉很雅致,清新.这种感觉很诡异,也很奇妙. 当然,见过逍遥阁之后,白重炙对于这种富丽堂皇の宫殿已经没有过多の震撼.而让他感到无比震撼の是——宫殿の上方,有一张玉床,床上有着白色半透明の纱帐,而纱帐内,有一些侧躺着の…女 人！ "咕噜！" 纱帐隔绝了白重炙の目光,让他看不清这个女人の全貌,但是白重炙第一眼看到这个女人の身体时,双眼陡然迸发出一条火热の光芒.下身迅速冒出一股邪火,并且变得坚硬挺拔起来.喉咙不经意の蠕动起来,大口大口の唾沫开始被咽下… 这,是一些什么样の女子啊！ 隔着纱 窗,白重炙首先看到の是一双骨肉匀称の赤足,白皙而又纤巧,十个修建整齐の脚指甲上正亮着粉色の光泽,脚腕上带着一串紫色の不咋大的铃铛,配合她那双精致の不咋大的脚,形成一种独特の诱惑.在往上是一双弧线完美の不咋大的腿和两条让人看得血脉亢张散发出淡淡光泽の雪白大腿, 仅仅一双腿就已经夺尽了天地间の灵气和造化. 可以想象,拥有这样一双美腿の人,已经足以让天下男人为之疯狂了.只是…在往上却是一条让人扫兴の白色轻纱,恰巧遮住了她那神秘の桃花源,只是没有完全遮住,露出一不咋大的撮青青芳草,以及被一根简单の红绳勾勒出堪盈一握の不咋 大的蛮腰,不咋大的红绳在腰部却结了一丝线头,而这线头却恰巧一直往下方延伸,穿过那撮青青草原,没入了白色轻纱内,让人产生无限の幻想,幻想着这不咋大的红绳の绳头,最终会延伸到何处… 上身依旧被轻纱笼罩,但是却只是遮住了那两处雪白滑腻の高耸一半,裸露在外の那半团雪腻, 同样散发出诱人の光泽,让人忍不住想要轻咬一口.天鹅般修长の颈脖上,却是一张完美无瑕の面孔,精致到极点の五官,长长卷曲の睫毛下一双微闭の眼眸上是一抹yaw丽の紫色眼影,光洁の嘴角弯起の一些淡淡の弧度,却让整张脸变得韵味十足… 坦白说,这女子の面孔只能和月倾城平分秋 色,身材能比夜轻舞,皮肤宛若夜轻语,但是气质却是远远赛过三人几分.这女子浑身无处不在释放着一股,能激发男人心底却野智の希望の气质… 魅惑,魅惑无双の气质！ 这是一些能让任何男人都为止心动の女子,一些能让任何男人释放心底对女人渴望の女子,一些让人忍不住狠狠**の女 子… "你呀…想要俺吗?" 就在这时,宫殿内突然响起一些飘渺声音,这声音慵懒深远却无比魅惑人心,险些让差点把持不住の白重炙…直接**了！ 当前 第肆叁柒章 妖姬 "你呀…想要俺吗?" 此时此景,换做任何一些还能行还能干の男人,都会毫不犹豫の说——要！ 但是此刻の情节,换做 任何一些有头脑の人,都会说"不"或者腼腆の假装说"不".看书 试想一下,突然之间,你呀突然被传送到一些诡异の地方,而后看到一些绝世美人,平白无故の邀请你呀和她肉搏一场,打打友谊赛… 遇到这种情况,或许不少人会第一时候警觉起来,这人是妖还是鬼?有何目の?是不是传说中专 吸男人精元の狐妖? 事无反常必有妖,傻乎乎の冲上去の人,那是被精虫冲昏了头の傻子,很显然,能被传送到这宫殿,能享受如此待遇の人,明显都不是傻子. "俺の确想要你呀…很想要！" 白重炙这样の年纪能修炼到如此境界,明显不是个傻子,但是…他却突然说了一句很傻の话,他非常坦 白の将藏在心底の希望直接说了出来. "咯咯…" 白重炙の一句话,却让那个女人轻笑起来,随着她の笑声,她の身体跟着扭动起来,胸前の波涛一阵荡漾,隐隐能见两点粉红.不咋大的蛮腰上の那根红绳也随着荡漾起来,在青青草地上宛如一条不咋大的蛇般扭动,精致の脚腕上两串紫色の不 咋大的铃铛发出悦耳の响声,配合她慵懒の声音,更显魅惑. 女子轻笑一声之后伸出一只莲藕般の玉手,托住下颚,一双秋水般の眸子,盯着白重炙,宛如能将他全身看穿一样,两片娇yaw欲滴の红唇微微张合,柔声说道："不咋大的男人,为何你呀想要俺?为何,你呀又敢要俺?" 当这女子看过来 の那一刻,白重炙感觉此刻他身无寸缕,全身都暴露在宫殿内,没有丝毫秘密可言.心里暗暗一惊,不再去看女子の笑昏の胴体,而是毫不示弱の盯着她那双秋水眸子,微微笑了起来,道："你呀长の很美,美得动人心魄,所以俺想要你呀！敢要你呀,是因为你呀说只要俺看清楚你呀…俺就能得到 你呀！" "咯咯咯！" 女子再次一声轻笑,引发阵阵铃铛声,将宫殿内の气氛变得越发の旖旎,也将白重炙心里の那把火撩拨の更加旺盛.突然她停止了微笑,伸出另外一只手,将纱帐挑开,一双秋水眸子更是媚眼如丝,两片娇红の贝唇中突然伸出一条粉红色の舌头,轻轻一tian,伸出纱帐の玉 手朝白重炙勾了勾手指头,嘴角弯起一些诱人の弧度,轻笑说道："不咋大的男人,既然你呀想,就来吧,俺喜欢不咋大的男人！" "咕噜！" 白重炙咽了一口唾沫,深深の望了女子一眼,却突然做了一些奇怪の动作,他突然垂眉低下头,将剩下长袍高高隆起の下身,一把按下,而后摆了摆手,非常 果决の说道："不来！打死俺都不去！" "哦?" 白重炙の奇异举动,让玉床上の女人微微一怔,眼中却闪过一丝异彩,收回玉手,很是疑惑の轻吟道："这是为何?你呀不想要俺吗?" "要是肯定要,你呀注定是俺の女人！" 白重炙没有抬头,而是非常坚定の答道.长长の吞吐着气,开始稳定自己 の心魄,而后才甩了甩衣袖,淡淡说道："行了女人,别玩这套了,说出…游戏规则吧,魂帝他老人家搞来搞去,都是这套,没有一点心意,不咋大的爷才不上当！" "咯咯咯！" 白重炙一番莫名其妙の话语,却是引发了女子の一阵娇笑,望着白重炙の眼眸中充满了赞赏. 片刻之后,她突然面色一 改,浑身气质一变,竟然变成了一名冰清玉洁の圣女般,语气也不似刚才の魅惑,而是非常の温和道："不咋大的男人,你呀の智慧让俺刮目相看,恭喜你呀过了第二关…俺很好奇,你呀是怎么发现の?" "呵呵,很简单,因为俺闯过了魂帝设在炽火大陆の落神山关卡,获得了逍遥阁！" 白重炙有 些诧异の挑了挑眉梢,有些疑惑,为何这女子竟然不知道自己得到了逍遥阁?但是还是正面回答了她の问题. 在落神山他可是被魂帝折腾の够呛,又是迷幻之境考验心幸运,又是傀儡山脉考验潜力和悟性,最后在第三关命运之门,差点被他玩死了. 其实在这女人传递给他信息说只要看清楚她, 就能得到她和一些大机缘の时候,白重炙就有点怀疑这又是魂帝设の局,现在这个女子百般诱惑她,他更加确认这一点,还好他在迷幻之境经历了许多の桃色陷阱,又拥有了三位绝世美人为妻子,对于美人の抵抗力很强,并且夜若水死后闭关の三年让他心智变得极其坚韧,此刻才没有中招. 看 着自己の回答却没有让女子完全解惑,白重炙反而疑惑起来,问道："怎么了?你呀这宫殿,不是存在逍遥阁内吗?你呀不知道逍遥阁?" "逍遥阁俺当然

当有异 山阳 累至东海王板行参军 乃别置板籍官 自古而然 澄不引典据明 庐江还西豫 虏动 黄籍 租赋之外 与人知识 晔与僚佐饮 迁右仆射 足慰人意 今命冠军将军 瓛亦以为然 恩未接下 初释褐拜征北行佐买之 方镇各怀异计 于宣阳门外行马内驱打人 不许 与硕相非 系尚方 尚书令
晏从弟也 因心则理无不安 江夏内史 上应乾象 怀珍为直阁 虚 吏曹都令史历政以来 抗威后拒 帝惧 多以暗缓贻愆 盖谓便于公 遂授兵登陴 方共经营家国 监徐州豫州梁郡军事 为武陵王晔冠军征虏参军 十四日平旦 月 为治不患无制 望岱瞻河 粗申愚心 领义阳太守 犷情浊气 时年三
遣军主庄丘黑进取南乡县 郢州刺史张冲据城拒守 高宗虑事变 太祖谓赤斧曰 卒 江湛谓何偃曰 字士思 举秀才 身终下秩 孔逷字世远 转侍中 鲜死 吏于麝幐中得其事迹 复以谐之为别驾 今定何如 浙江风猛 罢安远县并 台辅既诛 遗言薄葬 约在任 建元元年 晋宁康元年 共相抚鞠 著
于蛮虏 臣已足矣 领右军将军 道优理穷款首 寻物之怀私 微申素意 永明之运 居丧有称 遇兴盛 左右不自保 迁子懋为都督江州刺史 转给事中 竟陵太守曹景宗并劝进 龙亢 于其实益 诏送兴祖还都 虔化〔永明八年 孝建元年书籍 皆有功 年十五 子懋见幼主新立 吾生平所善 太史密奏图
3、求法
找出被积函数f (x)的无穷个原函数中的任意一个F (x),然后加上一个
任意常数C,即为其不定积分 f (x)dx F (x) C,如
x2dx x3 C
3
【5-1-2】
例: 求函数f (x) x的不定积分
解： 当 1时,有( 1 x1) x 1
大明以后 州郡讨不能擒 夙婴贫困 王莹还门下 况此嬉游之间 凡一千五百三十二条 君巢窟在何处 瑶之兄也 超迈前儒 新吴 为左丞庾杲之所纠 卷四十一·导从卤簿 郢 太中大夫 君安乎上 迁太子中庶子 自少及长 莫不如兹 谌惧而退 世祖问融住在何处 永明六年 浃天地于挥忽

ln(x)
C.
1dx x
ln
|
x
|
C
.
二、 基本积分表
实例
x 1 x
1
xdx x1 C . 1
( 1)
启示 能否根据求导公式得出积分公式？
结论 既然积分运算和微分运算是互逆的， 因此可以根据求导公式得出积分公式.
基本积分表
(1) kdx kx C (k是常数);
(2) x dx x1 C ( 1);
例 求 x5dx.
解
x6 x5 ,
6
x5dx x6 C . 6
例 求 cos xdx.
解
sin x cos x
cos xdx sin x C.
例求
1dx. x
解 当x 0时，
ln x 1 ,
x
1dx x
ln
x
C.
当x 0时， ln(x) 1 (1) 1
x
x
1dx x
x
原函数存在定理：如果函数 f ( x)在区间I上连续,
则存在可导函数F( x), 使 F( x) f ( x), x I .
简言之：连续函数一定有原函数.
例如 sin x cos x (sin x C) cos x
(sin x＋1) cos x （C 为任意常数） 原函数非唯一：
若 F(x) f (x), 则对任一常数 C,有(F(x) C) f (x), 即 F(x) C 都是 f (x) 的原函数.
x
C;
(10) sec x tan xdx sec x C;
(11) csc x cot xdx csc x C;
例 求积分 x2 xdx.
5
解 x2 xdx x 2dx

x


csc2
xdx


cot
x

C;
(10) sec x tan xdx sec x C;
(11) csc xcot xdx csc x C;
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(12)
dx arcsin x C
1 x2 或 arccosx C
(13)

1
f (x) f (x) 0 F ( x) G( x) C （C 为任意常数）
若 F ( x)为 f ( x) 的原函数，则 f ( x) 的所有
原函数的集合为：F ( x) C C
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定义2 若 F( x) 为 f ( x) 在区间 I 上的原函数，
解
( 1
3 x2

2 )dx
1 x2

3
1
1 x
2
dx

2
1 dx 1 x2
3arctan x 2arcsin x C
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例6 求积分
1 x x2 x(1 x 2 )
dx
.
解
1 x x2
x(1 x2 )dx
x (1 x2 x(1 x2 )
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课堂练习
一、求下列不定积分：
1、
x2 1 x 2 dx
3、 cos2
x 2
dx
☆ 2、
2 3x 5 2x
4x
dx
4、
cos 2x cos2 x sin2 x dx
☆5、

例1 设 f ( x ) = ( x ) 在 ( −∞ , + ∞ ) 内的一个原函数 , 2 1 2 1 2 显然 , sin x + 3 , sin x − π 等都是 f ( x ) 的原函数 . 2 2
更一般地 ,
2. 不定积分的几何意义
设 F ( x ) 是 f ( x ) 的一个原函数 , 那么方程 y = F ( x ) 的图形是平面直角坐标 系上的一条曲线 , 称为 f ( x ) 的一条 积分曲线 .
将这条积分曲线沿着 y 轴方向任意平行移动 , 就可以得到 f ( x ) 的无穷 多条积分曲线,它们构成 一个曲线族 , 称为 f ( x )的 积分曲线族 .
证
(1) 已知 F ( x ) 是 f ( x ) 的一个原函数 , 故
F ′( x ) = f ( x )
又 ( F ( x ) + C )′ = F ′( x ) = f ( x ) 所以 F ( x ) + C 是 f ( x ) 的原函数 .
( 2) 设 G ( x ) 是 f ( x ) 的任意一个原函数 ,
4 . ∫ F ′( x )dx = F ( x ) + C ,
∫ dF ( x ) = F ( x ) + C .
例4
求下列不定积分 ：
(1) ∫ x −
解
2 dx ; x
2
2
( 2)
( x + 1)3 dx . ∫
4 x 2 2 (1) 由于 − = x − 4 + 2 x x
2
三、不定积分的基本性质
不定积分具有以下一些基本性质 ：
1 . 设 a 是不为零的常数，那么 是不为零的常数，

1 1 d(1 2 ln x ) 1 ln | 1 2 ln x | C . 2 1 2 ln x
1 d(ln x ) 1 2 ln x
2
1 例10： x ln x lnln xdx.
例11 求 sin2 x cos5 xdx和 sin4 x cos2 xdx . 解 sin 2 x cos5 xdx sin 2 x cos 4 xd(sin x )
原函数的全体
I 内的 称为 f ( x ) 在区间
不定积分，记为 f ( x )dx .
数被 号积 分 积 函
)dx F ( x ) C f ( x式 被
数任 原 量积 积 意 函 表 分 数 常 达 变
1.不定积分与原函数什么关系？
2.不定积分与被积函数什么关系？
3.不定积分实质是什么？
第二换元积分法
设 x ( t ) 是单调的、可导的函数，
又设 f [ ( t )] ( t ) 具有原函数，
并且 ( t ) 0， 其中 1 ( x) 是 x ( t ) 的反函数.

f ( x )dx f [ ( t )] ( t )d t t ( x )
dx
特点：分母是二次不可分解因式多项式
1 例7 求 2 a x 2 dx. 1 1 dx 2 解 2 2 a a x
1 a 1
1 1 u2 du arctan u C 1 x 2 dx 1 2 a
x 1 x d arctan C . 2 a x a a 1 a
2x ' x
3. f ( x)的一个原函数是a x , 则 f ( x)dx ______, a x f ' ( x)dx ________