原函数与不定积分的概念教学案例

8.1 不定积分概念与基本积分公式(2学时)【教学目的】深刻理解原函数与不定积分的概念；牢记基本积分表；掌握不定积分的线形运算法则。

【教学重点】不定积分的概念，基本积分表，不定积分的线形运算法则。

【教学难点】求不定积分的技巧。

【教学过程】一、原函数与不定积分(一) 原函数定义1 设函数与在区间)(x f )(x F I 上有定义。

若)()(x f x F =′， I x ∈，则称为在区间)(x F )(x f I 上的一个原函数。

如：331x 是在R 上的一个原函数；2x x 2cos 21−， 12cos 21+x ，，等都有是在R 上的原函数——若函数存在原函数，则其原函数不是唯一的。

x 2sin x 2cos −x 2sin )(x f 问题1 在什么条件下必存在原函数？若存在，其个数是否唯一；又若不唯一，则有多少个？)(x f 问题 2 若函数的原函数存在，如何将它求出？（这是本章的重点内容）。

)(x f 定理1 若在区间)(x f I 上连续，则在)(x f I 上存在原函数。

)(x F （证明在第九章中进行。

）说明：（1）由于初等函数在其定义域内都是连续的，故初等函数在其定义域内必存在原函数（但其原函数不一定仍是初等函数）。

（2）连续是存在原函数的充分条件，并非必要条件。

定理2 设是在在区间)(x F )(x f I 上的一个原函数，则（1）设是在在区间C x F +)()(x f I 上的原函数，其中C 为任意常量（若存在原函数，则其个)(x f数必为无穷多个）。

（2）在)(x f I 上的任何两个原函数之间，只可能相差上个常数（揭示了原函数间的关系）。

证：(i)这是因为[].),()()(I x x f x F C x F ∈=′=′+(ii)设F 和G 是f 在I 上的任意两个原函数，则有[]I x x f x f x G x F C x F ∈=−=′−′=′+,0)()()()()(根据第六章拉格朗日中值定理的推论，知道I x C x G x F ∈≡−,)()(． 口（二） 不定积分定义 2 函数在区间)(x f I 上的原函数的全体称为在)(x f I 上的不定积分，记作：∫dx x f )(其中∫积分号；被积函数； −−−−)(x f −−dx x f )(被积表达式；−−x 积分变量。

第四章 不定积分§4-1 不定积分的概念与性质一、不定积分的概念1.原函数定义定义1：如果在区间I 上，可导函数()F x 的导数为()f x ，即对任一xI ，都有()()F x f x 或()()dF x f x dx ，则称()F x 为()f x 在区间I 上的一个原函数。

例：(sin )cos x x ，则sin x 是cos x 的一个原函数；1(sin 1)(sin )(sin 3)cos 2x xx x ，则都是cos x 的原函数。

2.原函数性质定理1：如果()f x 在区间I 上连续，则在该区间原函数一定存在。

定理2：如果()F x 是()f x 的一个原函数，则()F x C 是()f x 的全体原函数，且任一原函数与()F x 只差一个常数。

例：验证2211cos 2,sin 2,cos 233x x x 都是sin 2x 的原函数 证：2211(cos 2)sin 233(sin 2)sin 2(cos 2)sin 2x x x x xx，则三个函数都是sin 2x 的原函数3.不定积分定义定义2：()f x 的全体原函数称为()f x 的不定积分，记作()f x dx ，其中称为积分号，()f x 称为被积函数，()f x dx 称为被积表达式，x 称为积分变量。

说明：如果()F x 是()f x 在区间I 上的一个原函数，则()F x C 就是()f x 的不定积分，即()()f x dxF x C例1：求23x dx解：因为32()3x x ，所以3x 是23x 的一个原函数则233x dx x C例2：求1dx x解：当0x时，1(ln )x x当0x 时，11ln()x xx 所以1 ln ||(0)dx x C xx4.不定积分几何意义在相同横坐标的点处切线是平行的，切线斜率都为()f x ，可由()yF x 沿y 轴平移得到。

例：一条积分曲线过点(1,3)，且平移后与231y x x 重合，求该曲线方程解：设2()31f x x x C由于曲线过(1,3) 则3131C ，2C2()31f x xx二、不定积分性质性质1：[()()]()()f x g x dx f x dx g x dx性质2：()(0)()0(0)kf x dx k kf x dxdxC k性质3：(())(),()()f x dx f x f x dx f x C三、基本积分表(1)kdx kx C (k 是常数) (2)111ααx dxx C α(3)1ln ||dx x C x (4)x xe dx e C (5)ln x xa a dxC a(6)sin cos xdxxC(7)cos sin xdx x C (8)221sec tan cos dx xdx x C x(9)221csc cot sin dx xdx x C x (10)sec tan sec x xdx xC(11)csc cot csc x dx xC (12)21arctan 1dxx C x(13)21arcsin 1dx x C x例1：求51dx x解：55154111514dx x dxx CC x x例2：求x xdx解：313522223512x x xdx x dxCx C例3：求3(sin )xx dx解：433(sin )sin cos 4x x x dx xdxx dxxC例4：求2(1)x dx x解：22(1)211(2)x x x dx dx x dx xx x2122ln ||2x xdx dxdx xx C x注：根式或多项式函数需化成αx 形式，再利用公式。

第一节 不定积分的概念与性质一．原函数与不定积分的概念1.原函数的概念引例 设x x f cos )(=',求)(x f . 解 因为x x cos )(sin =',所以c x x f +=sin )(.此时称x sin 为x cos 的一个原函数.定义 如果在区间I 上,可导函数)(x F 的导函数为)(x f ,即I x ∈∀,有 )()(x f x F =' (或dx x f x dF )()(=)则称)(x F 为)(x f (或))(dx x f 在区间I 上的一个原函数.如x arctan 是211x +的原函数;211x +是)1ln(2x x ++的原函数.什么样的函数具有原函数呢?有定理(原函数存在定理) 连续函数必有原函数.即如果函数)(x f 在区间I 上连续,则在区间I 上存在可导函数)(x F ,使得对I x ∈∀,有 )()(x f x F ='即)(x F 为)(x f 在区间I 上的一个原函数.其证明见289P . 注意 (1)由原函数的定义可知:如果)(x F 为)(x f 在区间I 上的原函数,则C x F +)(也是)(x f 的原函数,即)(x f 若有原函数,则)(x f 有无限多个原函数.(2)设)(x F 和)(x Φ都是)(x f 在区间I 上的原函数,则)(x F =C x +Φ)(.事实上 0)()()()(])()([=-=Φ'-'='Φ-x f x f x x F x x F所以)(x F C x =Φ-)(,即)(x F =C x +Φ)(.2.不定积分的概念 定义 在区间I 上, )(x f 的原函数的全体,称为)(x f (或))(dx x f 在区间I 上的不定积分,记作⎰dx x f )(.其中:‘⎰’——积分符号; )(x f ——被积函数;dx x f )(—被积表达式;x ——积分变量.显然,如果)(x F 是)(x f 的一个原函数,则 ⎰dx x f )(C x F +=)(.因此,求)(x f 的不定积分归结于求)(x f 的一个原函数)(x F .如x arctan 是211x +的一个原函数,所以 ⎰+=+C x dx x arctan 112. 又如211x +是)1ln(2x x ++的一个原函数,则=+⎰dx x 211C x x +++)1ln(2.例1 求⎰dx x 1.解 当),0(+∞∈x 时,x x 1)(ln =',所以C x dx x +=⎰ln 1. 当)0,(-∞∈x 时, x x 1])[ln(='-,所以C x dx x +-=⎰)ln(1. 综上,有 C x dx x +=⎰ln 1.例2 设,2cos )(sin x x f ='求)(x f .解 ,c o s 21)(s i n 2x x f -='故221)(t t f -='.因为 2321)32(t t t -='- 所以332t t -是221t -的一个原函数,故 ⎰+-=-C t t dt t 3232)21( 即)(x f =C x x +-332. 例3 设曲线过点)2,1(,且其上任一点处的切线斜率等于这点横坐标的两倍,求此曲线的方程.解 设曲线方程为)(x f y =,则x dxdy 2=. 所以C x y +=2.又2|1==x y ,所以C +=12,从而1=C .故所求曲线方程为12+=x y .3.不定积分与微分的关系(1)⎰=dx x f dx x f d )()( 或⎰=')(])([x f dx x f ; (2)⎰+=C x F x dF )()( 或⎰+='C x F dx x F )()(. 即先积后微,形式不变;先微后积,添个常数.二.基本积分表1.⎰+=C kx kdx (k 是常数);2.⎰++=+C x dx x 111μμμ (1-≠μ); 3. C x dx x +=⎰ln 1; 4. ⎰+=+C x dx x arctan 112; 5.⎰+=-C x dx x arcsin 112; 6.⎰+=C x xdx sin cos ;7.⎰+=C x xdx cos sin ; 8.⎰⎰+==C x xdx dx x tan sec cos 122; 9.⎰⎰+-==C x xdx dx x cot csc sin 122;10.⎰+=C x xdx x sec tan sec ;11.⎰+-=C x xdx x csc cot csc ; 12.⎰+=C e dx e x x ; 13.⎰+=C a a dx a x x ln ; 14.⎰+=C chx shxdx ;15.⎰+=C shx chxdx .例4 ⎰⎰+==C x dx x dx x x 2725272.三.不定积分的性质性质1 ⎰⎰⎰+=+dx x g dx x f dx x g x f )()()]()([. 性质2 ⎰⎰=dx x f k dx x kf )()( (k 是常数).例5 求dx xx ⎰-23)1(. 解 原式⎰⎰⎰⎰⎰-+-=-+-=dx xdx x dx xdx dx x x x 221133)133( C xx x x +++-=1ln 3322. 例6 ⎰⎰++=+==C e C e e dx e dx e xx x x x x 12ln 2)2ln()2()2(2. 例7 ⎰⎰⎰++=+++=+++dx x x dx x x x x dx x x x x )111()1()1()1(122222 ⎰⎰++=++=C x x dx x dx x arctan ln 1112. 例8 ⎰⎰⎰++-=++-=+dx xx dx x x dx x x )111(11)1(1222424 C x x x ++-=arctan 313.例9 ⎰⎰+-=-=C x x dx x xdx tan )1(sec tan 22.例10 ⎰⎰⎰+-=-=-=C x x dx x dx x dx x )sin (21)cos 1(212cos 12sin2. 例11 ⎰⎰⎰+-====C x xdx dx x dx x x cot 4csc 4sin 142cos 2sin 12222.例12 ⎰⎰⎰+=+=dx x x dx x x x x dx x x )sec (csc sin cos sin cos sin cos 122222222C x x +-=cot tan .。

第一节 不定积分的概念及其性质教学目的：使学生掌握原函数与不定积分的概念及性质;基本积分公式.教学重点：基本积分公式的推导及应用. 教学过程：一、原函数与不定积分的概念定义1 如果在区间I 上 可导函数F (x )的导函数为f (x ) 即对任一x ∈I 都有F '(x )=f (x )或dF (x )=f (x )dx那么函数F (x )就称为f (x )(或f (x )dx )在区间I 上的原函数例如 因为(sin x )'=cos x 所以sin x 是cos x 的原函数又如当x ∈(1 +∞)时因为xx 21)(=' 所以x 是x21的原函数提问:cos x 和x21还有其它原函数吗？原函数存在定理 如果函数f (x )在区间I 上连续 那么在区间I 上存在可导函数F (x ) 使对任一x ∈I 都有F '(x )=f (x )简单地说就是 连续函数一定有原函数两点说明 第一 如果函数f (x )在区间I 上有原函数F (x ) 那么f (x )就有无限多个原函数F (x )+C 都是f (x )的原函数 其中C 是任意常数第二 f (x )的任意两个原函数之间只差一个常数 即如果Φ(x )和F (x )都是f (x )的原函数 则Φ(x )-F (x )=C (C 为某个常数) 定义2 在区间I 上 函数f (x )的带有任意常数项的原函数称为f (x )(或f (x )dx )在区间I 上的不定积分 记作⎰dx x f )(其中记号⎰称为积分号 f (x )称为被积函数 f (x )dx 称为被积表达式 x 称为积分变量 根据定义 如果F (x )是f (x )在区间I 上的一个原函数 那么F (x )+C 就是f (x )的不定积分 即⎰+=C x F dx x f )()(因而不定积分dx x f )(⎰可以表示f (x )的任意一个原函数例1因为sin x 是cos x 的原函数所以C x x d x +=⎰s i n c o s因为x 是x21的原函数所以C x dx x +=⎰21例2. 求函数xx f 1)(=的不定积分 解：当x >0时(ln x )'x1=C x dx x+=⎰ln 1(x >0)当x <0时[ln(x )]'xx1)1(1=-⋅-=C x dx x+-=⎰)ln( 1(x <0)合并上面两式得到C x dx x+=⎰||ln 1(x ≠0)例3 设曲线通过点(1 2) 且其上任一点处的切线斜率等于这点横坐标的两倍 求此曲线的方程解 设所求的曲线方程为y =f (x ) 按题设 曲线上任一点(x y )处的切线斜率为y '=f '(x )=2x ,,即f (x )是2x 的一个原函数 因为 ⎰+=C x x d x22故必有某个常数C 使f (x )=x 2+C 即曲线方程为y =x 2+C因所求曲线通过点(1 2) 故2=1+C C =1于是所求曲线方程为y =x 2+1积分曲线 函数f (x )的原函数的图形称为f (x )的积分曲线从不定积分的定义 即可知下述关系 ⎰=)(])([x f dx x f dxd或 ⎰=dx x f dx x f d )(])([ 又由于F (x )是F '(x )的原函数 所以⎰+='C x F dx x F )()(或记作 ⎰+=C x F x dF )()(由此可见 微分运算（以记号d 表示）与求不定积分的运算（简称积分运算以记号⎰表示）是互逆的 当记号⎰与d 连在一起时 或者抵消 或者抵消后差一个常数二、基本积分表(1)C kx kdx +=⎰(k 是常数) (2)C x dx x ++=+⎰111μμμ(3)C x dx x+=⎰||ln 1 (4)C e dx e x x +=⎰(5)C aa dx a xx+=⎰ln (6)C x xdx +=⎰sin cos(7)C x xdx +-=⎰cos sin (8)C x xdx dx x+==⎰⎰tan sec cos 122(9)C x xdx dx x +-==⎰⎰cot csc sin 122 (10)C x dx x+=+⎰arctan 112 (11)C x dx x +=-⎰arcsin 112(12)C x xdx x +=⎰sec tan sec(13)C x dx x +-=⎰csc cot csc例4 ⎰⎰-=dx x dx x 331C x C x +-=++-=+-21321131例5 ⎰⎰=dxx dx x x 252C x ++=+1251251C x +=2772C x x +=372例6 ⎰⎰-=dxx xx dx 343Cx ++-=+-134134Cx +-=-313C x+-=33三、不定积分的性质性质1 函数的和的不定积分等各个函数的不定积分的和 即⎰⎰⎰+=+dx x g dx x f dx x g x f )()()]()([这是因为, ])([])([])()(['+'='+⎰⎰⎰⎰dx x g dx x f dx x g dx x f =f (x )+g (x ).性质2 求不定积分时 被积函数中不为零的常数因子可以提到积分号外面来即⎰⎰=dx x f k dx x kf )()((k 是常数 k ≠0)例7. ⎰⎰-=-dx x x dx x x )5()5(21252 ⎰⎰-=dxx dx x 21255⎰⎰-=dxx dx x 21255C x x +⋅-=232732572例8 dx xx x dx xx x x dx x x )133(133)1(222323-+-=-+-=-⎰⎰⎰ C x x x x dx x dx x dx dx x +++-=-+-=⎰⎰⎰⎰1||ln 3321113322例9 ⎰⎰⎰-=-xdx dx e dx x e x x cos 3)cos 3(C x e x +-=sin 3例10 C e C e e dx e dx e x x xxxx ++=+==⎰⎰2ln 12)2ln()2()2(2例11 dx xx dx x x x x dx x x x x )111()1()1()1(122222++=+++=+++⎰⎰⎰ C x x dx x dx x++=++=⎰⎰||ln arctan 1112. 例12 dx x x x dx x x dx x x ⎰⎰⎰++-+=++-=+222242411)1)(1(1111⎰⎰⎰⎰++-=++-=dx x dx dx x dx x x 222211)111(C x x x ++-=a r c t a n 313例13 ⎰⎰⎰⎰-=-=dx xdx dx x dx x 222sec )1(sec tan = tan x - x + C例14 ⎰⎰⎰-=-=dx x dx x dx x )cos 1(212cos 1 2sin 2 C x x +-=)s i n (21例15 C x dx x dx xx +-==⎰⎰cot 4sin 142cos 2sin 1222.。

第四章不定积分§ 4.1不定积分概念微分学的基本问题是：已知一个函数，求它的导数。

但是，在科学技术领域中往往还会遇到与此相反的问题:已知一个函数的导数，求原来的函数，由此产生了积分学。

''积分'是•微分、旳逆运算一、原函数1、原函数定义我们在讨论导数的槪念时，解决了这样一个问题：已知某物体作直线运动时，路程随时间/变化的规律为S = s(t),那么，在任意时刻/物体运动的速度为V(r) = s\t)。

现在提岀相反的问题：例1 已知某物体运动的速度随时间/变化的规律为V = V(r),要求该物体运动的路程随时间变化的规律S = s(0。

显然，这个问题就是在关系式V(r) = S f(t)中，当W/)为已知时，要求$(/)的问题。

例2 已知曲线y = /(x)上任意点(x,y)处的切线的斜率为2x,要求此曲线方程，这个问题就是要根拯关系式y = 2x ,求出曲线y = /(A)。

从数学的角度来说，这类问题是在关系式F\x) = /(x)中，当函数/(x)已知时，求出函数F(x) o由此引岀原函数的槪念。

定义4.1 :设f(x)是左义在某区间/内的已知函数,如果存在一个函数F(x),对于每一点xe/,都有：F3 = f(x)或dFg = f\x) • dx则称函数F(x)为已知函数f(x)在区间/内的一个原函数例如，由于(sinx)' = cosx,所以在(YO,+S)内，sinx是cosx的一个原函数：又因为(sinx + 2)'= cosx ,所以在(Y>,+s)内，sinx+2是cosx的一个原函数：更进一步，对任意常数C,有(sinx + C)'= cosx,所以Id在(Y\+8)内，sinx+C都是cosx的原函数。

2、原函数性质(1)如果函数/(x)在区间/内连续，则/(兀)在区间/内一定有原函数；(2)若F f(x) = /(x),则对于任意常数C, F(A)+C都是/(X)的原函数“即如果/(X)在/上有原函数，则它有无穷多个原函数；(3)若F(x)和G(x)都是/(X)的原函数，则F(x) - G(x) = C，(C为任意常数)。