第5讲 有理数的乘除

有理数的乘除【要点梳理】要点一、有理数的乘法1.有理数的乘法法则：（1）两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘；（2）任何数同0相乘，都得0．要点诠释： (1) 不为0的两数相乘，先确定符号，再把绝对值相乘．（2）当因数中有负号时，必须用括号括起来，如-2与-3的乘积，应列为(-2)×(-3)，不应该写成-2×-3．2. 有理数的乘法法则的推广：（1）几个不等于0的数相乘，积的符号由负因数的个数决定．当负因数有奇数个时，积为负；当负因数的个数有偶数个时，积为正；（2）几个数相乘，如果有一个因数为0，那么积就等于0．要点诠释：（1）在有理数的乘法中，每一个乘数都叫做一个因数．(2)几个不等于0的有理数相乘，先根据负因数的个数确定积的符号，然后把各因数的绝对值相乘．(3)几个数相乘，如果有一个因数为0，那么积就等于0．反之，如果积为0，那么至少有一个因数为0．3. 有理数的乘法运算律：（1）乘法交换律：两个数相乘，交换因数的位置，积相等，即：ab＝ba．（2）乘法结合律：三个数相乘，先把前两个数相乘，或者先把后两个数相乘，积相等．即：abc＝(ab)c＝a(bc)．（3）乘法分配律：一个数同两个数的和相乘，等于把这个数分别同这两个数相乘，再把积相加．即：a(b+c)＝ab+ac．要点诠释：（1）在交换因数的位置时，要连同符号一起交换．（2）乘法运算律可推广为：三个以上的有理数相乘，可以任意交换因数的位置，或者把其中的几个因数相乘．如abcd＝d(ac)b．一个数同几个数的和相乘，等于把这个数分别同这几个数相乘，再把积相加．如a(b+c+d)＝ab+ac+ad．（3）运用运算律的目的是“简化运算”，有时，根据需要可以把运算律“顺用”，也可以把运算律“逆用”．要点二、有理数的除法1.倒数的意义：乘积是1的两个数互为倒数．要点诠释：(1)“互为倒数”的两个数是互相依存的.如-2的倒数是12-，-2和12-是互相依存的；(2)0和任何数相乘都不等于1，因此0没有倒数；(3)倒数的结果必须化成最简形式，使分母中不含小数和分数；(4)互为倒数的两个数必定同号(同为正数或同为负数)．2. 有理数除法法则：法则一：除以一个不等于0的数，等于乘这个数的倒数，即1(0)a b a bb÷=≠.法则二：两数相除，同号得正，异号得负，并把绝对值相除．0除以任何一个不等于0的数，都得0.要点诠释：（1）一般在不能整除的情况下应用法则一，在能整除时应用法则二方便些．（2）因为0没有倒数，所以0不能当除数．（3）法则二与有理数乘法法则相似，两数相除时先确定商的符号，再确定商的绝对值． 要点三、有理数的乘除混合运算由于乘除是同一级运算，应按从左往右的顺序计算，一般先将除法化成乘法，然后确定积的符号，最后算出结果．要点四、有理数的加减乘除混合运算有理数的加减乘除混合运算，如无括号，则按照“先乘除，后加减”的顺序进行，如有括号，则先算括号里面的． 【典型例题】类型一、有理数的乘法运算1．计算：(1)(-5)×(-4) (2)113135⎛⎫⨯- ⎪⎝⎭ (3)5506⎛⎫-⨯ ⎪⎝⎭【思路点拨】(1)、(2)、(3)均为两数相乘，直接运用乘法法则即可． 【答案与解析】解：(1)(-5)×(-4) (两负数相乘)＝+(5×4) (同号得正，并把绝对值相乘) ＝20(2)113135⎛⎫⨯- ⎪⎝⎭（异号两数相乘）113135⎛⎫=-⨯ ⎪⎝⎭（异号得负，并把绝对值相乘）10635⎛⎫=-⨯⎪⎝⎭（化带分数为假分数便可约分） 4=-(3)55006⎛⎫-⨯= ⎪⎝⎭(任何数同0相乘，都得0)【总结升华】第一个负因数可以不用括号，但是后面的负因子必须加括号，如(-4)×(-0．25)可以写成-4×(-0.25)，但不能写成-4×-0.25．2． (1)54(3)1(0.25)65⎛⎫-⨯⨯-⨯- ⎪⎝⎭；(2)(1-2)(2-3)(3-4)…(19-20)； (3)(-5)×(-8.1)×3.14×0．【答案与解析】几个不等于零的数相乘，首先确定积的符号，然后把绝对值相乘．因数是小数的要化为分数，是带分数的通常化为假分数，以便能约分．几个数相乘，有一个因数为零，积就为零．(1)54(3)1(0.25)65⎛⎫-⨯⨯-⨯- ⎪⎝⎭591936548=-⨯⨯⨯=-；(2)(1-2)(2-3)(3-4)…(19-20)19-(1)(1)(1)(1)1=-⨯-⨯-⨯⋅⋅⋅⨯-=-个（1）相乘；(3)(-5)×(-8.1)×3.14×0＝0．【总结升华】几个不等于零的数相乘，积的符号由负因数的个数确定，与正因数的个数无关．当因数中有一个数为0时，积为0．3.运用简便方法计算： (1) 10.250.5345⎛⎫-⨯⨯-⨯ ⎪⎝⎭ ；（2）245112718839271717⎛⎫-+⨯-⨯+⨯⎪⎝⎭【答案与解析】根据题目特点，(1)可以先用乘法交换律把0.25-与4相乘，再运用乘法结合律将0.5与135-相乘．(2)．计算245273927⎛⎫-+⨯ ⎪⎝⎭的值可运用分配律，计算111881717-⨯+⨯的值则可逆用分配律． 解：(1) 原式1611680.250.54(0.254)5255=⨯⨯⨯=⨯⨯⨯=； （2）245112718839271717⎛⎫-+⨯-⨯+⨯⎪⎝⎭245112727+2718839271717⎛⎫=⨯+-⨯⨯-⨯+⨯ ⎪⎝⎭ 1118125(1+)831717=-++-⨯= 【总结升华】首先要观察几个因数之间的关系和特点．适当运用“凑整法”进行交换和结合． 举一反三：【变式1】计算：23578×(-)+(-8)×-24×(-)551215；【变式2】542(1)()( 2.5)(4)12253-⨯⨯-⨯-； 4(2)(0.125)()16(7)7-⨯-⨯⨯-类型二、有理数的除法运算4．计算：(1)(-32)÷(-8) （2）112(1)36÷-【答案与解析】 (1)(-32)÷(-8)＝+(32÷8)= 4 ……用法则二进行计算．(2)117776212363637⎛⎫⎛⎫⎛⎫÷-=÷-=⨯-=- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭……用法则一进行计算． 【总结升华】(1)乘法、除法的符号法则是一致的，两数相乘除，同号得正，异号得负；(2)除法的两个法则是一致的，应学会灵活选择．5．计算： 17(49)2(3)33⎛⎫-÷-÷÷- ⎪⎝⎭【思路点拨】对于乘除混合运算，首先由负数的个数确定结果的符号，同时应将小数化成分数，带分数化成假分数，算式化成连乘积的形式，再进行约分．但要注意除法没有分配律． 【答案与解析】 解：17(49)2(3)33⎛⎫-÷-÷÷- ⎪⎝⎭ 331(49)773⎛⎫⎛⎫=-⨯-⨯⨯- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭331493773⎛⎫=-⨯⨯⨯=- ⎪⎝⎭【总结升华】进行乘除混合运算时，往往先将除法转化为乘法，再确定积的符号，最后求出结果．举一反三： 【变式】计算：（1） 1.25(0.375)-÷- (2)111(3)(2)(1)335-÷-÷-类型三：有理数的乘除混合运算5.计算：9481(16)49-÷⨯÷- 【答案与解析】在有理数的乘除运算中，应按从左到右的运算顺序进行运算.9444181(16)811499916⎛⎫-÷⨯÷-=-⨯⨯⨯-= ⎪⎝⎭【总结升华】在有理数的乘除运算中，可将除法运算转化为乘法运算．乘除运算是同一级运算，应按从左到右的顺序进行． 举一反三【变式1】计算：(1)14410(2)893-÷⨯÷- (2)341731755⎛⎫⎛⎫⎛⎫-÷-÷⨯- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭类型四、有理数的加减乘除混合运算6. 计算（1）113512641212⎛⎫⎛⎫-+-+÷- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭； （2）111351226412⎛⎫⎛⎫-÷-+-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭【答案与解析】（1）113512641212⎛⎫⎛⎫-+-+÷- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭1135(12)26412⎛⎫=-+-+⨯- ⎪⎝⎭ 1135(12)(12)(12)(12)26412⎛⎫=-⨯-+⨯--⨯-+⨯- ⎪⎝⎭=6-2+9-5=8（2）法1：原式=16295181121()()121212121288-+-+⎛⎫⎛⎫-÷=-÷-=⨯= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭法2：由（1）知：1135182641212⎛⎫⎛⎫-+-+÷-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以16295112128-+-+⎛⎫⎛⎫-÷= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭【总结升华】除法没有分配律，在进行有理数的除法运算时，若除数是和的形式，一般先算括号内的，然后再进行除法运算，也可以仿照方法2利用倒数关系巧妙解决． 举一反三： 【变式】 (1)75318 1.456 3.9569618⎛⎫-+⨯-⨯+⨯ ⎪⎝⎭ (2)211213106530⎛⎫⎛⎫-+-÷- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭类型五：利用有理数的加减乘除，解决实际问题7.气象统计资料表明，高度每增加1000米，气温就降低6℃．如果现在地面的气温是27℃，那么8000米的高空的气温大约是多少?【思路点拨】解决此题的关键是明确高度变化与气温变化的关系．由于“高度每增加1000米，气温就降低6℃”，8000米的高空比地面高度增加8000米，因此气温降低6×8＝48℃，由此便可求出高空的气温． 【答案与解析】 解：80002762748211000-⨯=-=-(℃) 因此8000米的高空的气温大约是-21℃．【总结升华】本题是生活实际中的问题，关键是读懂题意，弄清各数量之间的关系，再列出正确的算式．举一反三：【变式】某检修小组乘一辆检修车沿铁路检修，规定向东走为正，向西走为负，•小组的出发地记为0，某天检修完毕时，行走记录（单位：千米）如下： +10，-2，+3，-1，+9，-3，-2，+11，+3，-4，+6．（1）问收工时，检修小组距出发地有多远？在东侧还是西侧？（2）若检修车每千米耗油2.8升，求从出发到收工共耗油多少升？类型六、含绝对值的化简8 已知a 、b 、c 为不等于零的有理数，你能求出||||||a b c a b c++的值吗? 【思路点拨】先分别确定a 、b 、c 的取值，再代入求值．【答案与解析】 解：分四种情况：(1)当a 、b 、c 三个数都为正数时，||||||1113a b c a b ca b c a b c++=++=++=； (2)当a 、b 、c 三个数中有两个为正数，一个为负数时，不妨设a 为负数，b 、c 为正数，||||||1111a b c a b ca b c a b c-++=++=-++=； (3)当a 、b 、c 三个数中有一个为正数，两个为负数时，不妨设a 为正数，b 、c 为负数，||||||1111a b c a b c a b c a b c--++=++=--=-； (4)当a 、b 、c 三个数都为负数时，||||||(1)(1)(1)3a b c a b ca b c a b c---++=++=-+-+-=-||||b c b c+的值为：3,3,1,1-- 【总结升华】在含有绝对值的式子中，当不知道绝对值里面的数的正负时，需分类讨论. 举一反三： 【变式】计算a bab+的取值.。

第五讲：有理数的乘法除法知识点：1、 有理数的乘法法则：①两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘 ②任何数与0相乘均为0；2、 倒数：在有理数中仍然成立，即乘积是1的两个数互为倒数；3、积的符号与负因数个数之间的关系：几个不是0的数相乘，当负因数的个数为偶数时，积是正数；当负因数的个数为奇数时，积是负数；几个数相乘时，当有因数是0时，积为0；4、有理数的乘法运算律：①乘法交换律：ab=ba; ②乘法结合律：(ab)c=a(bc);③乘法分配律： a(b+c)=ab+ac;5、有理数的除法法则：除以一个不为0的数，等于乘以其倒数；即：)0(1≠⨯=÷b ba b a 6、两数相除，同号得正，异号得负，并把绝对值相除；0除以任一不为0的数，都得0；7、在有理数的加减乘除混合运算中，若无括号，则按照先“先乘除后加减”的顺序进行运算；一、填空题1、5×（－2.4）＝____，（－1.25）×8＝____，（－6.5）×（－65）×0×0.001＝_____。

2、－8的倒数是_____，－4与51的差的倒数是____。

3、绝对值小于1000的所有整数的积是_______。

4、a ，b 若互为相反数，x ，y 互为倒数，c 的绝对值为2，则124a b xy c ++-＝______。

5、如果四个有理数相乘，积为负数，那么负因数的个数为____________。

6、若是,,,a b c d 是互不相等的整数，且abcd ＝9，则a b c d +++＝_________。

7、在有理数－5，－3，－2，4中任取三个数相乘，所得积中最大的是_____。

8、若0,0,0a b c ><<，则abc ___0，ab c -___0，45(36)y y -+ac b -____0。

9、当a ＝_____时，11a -没有意义；当a ＝______时，32a +没有意义。

―→
多种多样的气候
有利于发展多种农业经 济，旅游业等
←
自然环境复杂多样
图 1-1-1
训基础
【地理实践力】我国拥有约18 000千米的大陆海岸 线和约300万平方千米的管辖海域，面积在500平方米以 上的岛屿有6 500多个。领海基线是测量沿海国领海、 毗连区、专属经济区和大陆架的起点。图1-1-4是我国主 张管辖的海域空间结构示意图。据此回答5～6题。
训基础
3．下列国家中，与我国陆上为邻的是( C ) A．日本 B．美国 C．越南 D．菲律宾
【点拨】选项中日本、菲律宾与我国隔海相望，越南与我 国既陆上相邻又隔海相望，美国与我国既不陆上相邻又不 隔海相望。
释疑解惑
1．我国地理位置的优越性 (1)纬度位置的优越性(图1-1-1所示)：
纬度位置：大部分地区位于 中纬度，北回归线穿越南部
的海域位于图中( D ) A．甲 B．乙 C．丙 D．丁
图1-1-5
练拔高
7．下列关于我国海洋国土的说法，正确 的是( A ) A．我国的领海宽度为12海里 B．四大边缘海中，面积最大的是东海 C．钓鱼岛是中沙群岛中面积最大的岛 屿 D．黄岩岛是三沙市的政府驻地
图1-1-5
训基础
2．【大同一中阶段检测】我国陆地面积仅次于哪两个 国家( A ) A．俄罗斯、加拿大 B．俄罗斯、美国 C．加拿大、美国 D．俄罗斯、巴西
例如，可以用计算器计算例5中的 (-1.5)×3+ 2×3+1. 7×4+ (-2. 3)×2 .如果计算器带符号键 () , 只需按键 () 1 5 3 + 2 3 + 1 7 4 + ()
2 3 2，就可以得到答案3. 7. 不同品牌的计算器的操作方法可能有所不同，

第五讲有理数的加减乘除一、有理数的加法有理数的加法法则：1.同号两数相加，取相同的符号，并把相加.2.绝对值不相等的异号两数相加，取绝对值较的加数的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值.互为相反数的两个数相加得0.3.一个数同0相加，仍得 .加法交换律：a＋b＝加法结合律：(a＋b)＋c＝a＋( )二、有理数的减法有理数减法法则：减去一个数，等于加这个数的 .三、有理数的乘法1.有理数乘法法则：两数相乘，同号得，异号得，并把绝对值相乘.任何数同0相乘，都得 . 乘积是1的两个数互为 .2.积的符号判定几个不是0的数相乘，负因数的个数是偶数时，积是数；负因数的个数是奇数时，积是数.3.有理数乘法运算律（1）乘法交换律两个数相乘，交换因数的位置，积相等.用字母表达：ab＝（2）乘法结合律三个数相乘，先把前两个数相乘，或者先把后两个数相乘，积相等.用字母表达：（ab）c＝（3）乘法分配率一个数同两个数的和相乘，等于把这个数分别同这两个数相乘，再把积相加.用字母表达：a（b＋c）＝四、有理数除法有理数除法法则：除以一个不等于0 的数，等于乘这个数的倒数.用字母表示：a÷b＝ (b≠0)两数相除，同号得，异号得，并把绝对值相除.0 除以任何一个不等于0 的数，都得0.五、有理数的混合运算1.掌握有理数运算的法则2.能熟练解决有理数的混合运算问题例1．计算：4+（﹣5）=﹣1．例2．计算：3﹣|﹣5|=﹣2．例3．计算：（﹣2）×=﹣1．例4．计算：=﹣1．例5．（1）（+45）+（﹣91）+5+（﹣3）+8=﹣36；（2）（﹣4）×（﹣7）×（﹣5）=﹣140．例6．如果a＜0，b＞0，那么ab＜0，如果a＜0，b＜0，那么＞0．A档1．计算﹣2+1的结果是（）A．﹣1 B．﹣3 C．1D．32．计算﹣2﹣3的结果是（）A．﹣5 B．﹣1 C．1D．53．计算1﹣（﹣1）+（﹣2）的结果是（）A．﹣4 B．﹣2 C．0D．24．把6﹣（+3）﹣（﹣7）+（﹣2）写成省略括号的形式应是（）A．﹣6﹣3+7﹣2 B．6﹣3﹣7﹣2 C．6﹣3+7﹣2 D．6+3﹣7﹣25．计算：（﹣73）+9.1﹣（﹣7）+（﹣9），正确的结果是（）A．﹣79.9 B．61.9 C．﹣65.9 D．65.9B档6．计算16.8×+7.6×的结果是．7．计算：（﹣2）×（﹣7）=．8．计算：|﹣|×（﹣4）=．9．计算：（﹣）÷（+）=．10．计算：=．C档11．计算：6÷（﹣3）=．12．计算：=．13．若ab＜0，则的值为．14．在3，﹣4，5，﹣6这四个数中，任取两个数相乘，所得的积最大的是．15．已知|a|=3，|b|=|﹣5|，且ab＜0，则a﹣b=．1．比﹣5大3的数是．2．比﹣2小1的数是．3．计算：|+6|+|﹣5|=．4．若|a|=3，|b|=2，且ab＞0，那么a+b=．5．计算=．1．﹣3﹣（﹣5）=．2．一个数与的积是，这个数是．3．计算：（﹣2）+（+8）﹣（﹣15）=．4．计算：=．5．（）×（）=1．6．（﹣35）×（﹣53）×0×（﹣2003）×91=．7．直接写出结果：（1）﹣2+3=，（2）﹣×=．8．（﹣56）÷（﹣7）=；=．课程顾问签字： 教学主管签字：。