高中数学必修五月考考试

高一学科素养测评数学注意事项：1.答题前，务必将自己的姓名､考号填写在答题卡规定的位置上.2.答选择题时，必须使用2B 铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦擦干净后，再选涂其它答案标号.3.答非选择题时，必须使用0.5毫米黑色签字笔，将答案书写在答题卡规定的位置上.4.所有题目必须在答题卡上作答，在试题卷上答题无效.5.考试时间120分钟，满分150分，考试结束后，只将答题卡交回.一､单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.（智能题卡第67页9题改编）1. 复数的模为（ ）11i z =-A.B. 1C.D.12【答案】A 【解析】【分析】利用复数的除法化简复数，利用复数的模长公式可求得结果.z 【详解】因为，因此，()()1i 11i 1i 1i 211i 2z +==+-=-+z ==故选：A.（导学讲义第69页随堂演练3改编） 2. 下列说法正确的是（ ） A. 棱台的侧棱长都相等B. 棱锥被平面截成的两部分是棱锥和棱台C. 棱柱的侧棱都相等，侧面都是全等的平行四边形D. 棱台的两个底面相似 【答案】D 【解析】【分析】对于AD ，根据棱台的定义判断，对于B ，由棱锥的性质判断，对于C ，由棱柱的性质判断. 【详解】由棱台的定义知棱台的侧棱长不一定都相等，而棱台的两个底面相似，所以不正确，正A D确；若平面沿棱锥的高去截，则棱锥被平面截成的两部分可能都是棱锥，不正确； B 棱柱的侧棱都相等且相互平行，且侧面是平行四边形，但侧面并不一定全等，不正确， C 故选：D3. 如图所示，点为的边的中点，为线段上靠近点B 的三等分点，则（ ）E ABC ACF BE AF =A.B.C.D.1233BA BC +4233BA BC +5166BA BC -+2133BA BC -+【答案】C 【解析】【分析】根据平面向量的线性运算结合图像将用、表示，即可得出答案.AF BABC【详解】解：112()22323AF AE EF AC EB AC AB AE =+=+=+-1211223336AC AB AC AC BA =+-=-. 1251()6366BC BA BA BA BC =--=-+故选：C.4. 若的直观图如图所示，，，则顶点到轴的距离是（ ） OAB π2B A O '''∠=2B A ''=B xA. 2B. 4C.D.【答案】D 【解析】【分析】过点作轴交于点，求得到B '//B D y '''x 'D ¢B D ''=B x的距离即为，即可求解.2BD B D ''=【详解】如图（1）所示，在的直观图中，过点作轴交于点，OAB B '//B D y '''x 'D ¢又因为且，可得， π,22B B A O A ''''∠'==4B D A π'''∠=B D ''=作出直角坐标系中，作出的图形，如图（2）所示，OAB根据斜二测画法的规则，可得轴，即点到的距离即为. BD x ⊥B x 2BD B D ''==故选：D.（导学讲义第10页跟踪训练3改编）5. 设两个非零向量不共线，且，，，则（ ）21,e e 122AB e e =+ 1227BC e e =+()123CD e e =+ A. 三点共线 B. 三点共线 ,,A C D ,,A B C C. 三点共线 D. 三点共线,,B C D ,,A B D 【答案】D 【解析】【分析】根据平面向量共线定理依次判断各个选项即可.【详解】对于A ，，，1239AC AB BC e e =+=+ ()123CD e e =+不存在实数，使得成立，三点不共线，A 错误；∴λAC CD λ=,,A C D ∴对于B ，，，122AB e e =+ 1239AC AB BC e e =+=+不存在实数，使得成立，三点不共线，B 错误；∴λAB AC λ=,,A B C ∴对于C ，，，1227BC e e =+ ()123CD e e =+不存在实数，使得成立，三点不共线，C 错误；∴λBC CD λ=,,B C D ∴对于D ，，，122AB e e =+ 12510BD BC CD e e =+=+，三点共线，D 正确.15AB BD ∴=,,A B D ∴故选：D.6. 将一个大圆锥截去一个小圆锥得到圆台，圆台的上、下底面圆的半径之比为1:3，若大圆锥的高为15，则圆台的高为（ ）A. 10B.154C.D. 5454【答案】A 【解析】【分析】画出轴截面，利用圆锥与圆台的特征，列出关系式，求解即可． 【详解】由题意画出轴截面如下所示，可知，， 13CD SC AB SA ==15SA =可得，所以圆台的高为．5SC =15510CA SA SC =-=-=故选：A7. 在中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若，且ABC ()2tan tan c b B b A -=，则的形状为（ ） 23cos cos cos 24A C A C --=ABC A. 等腰或直角三角形 B. 等边三角形C. 直角三角形D. 等腰直角三角形【答案】B 【解析】【分析】根据同角关系以及正弦定理边角互化可得，由余弦二倍角公式以及和差角公式可得60A = ，即可判断三角形形状.60B = 【详解】由得, ()2tan tan c b B b A -=()2cos sin cos sin c b B A b A B -=由正弦定理得,()2sin sin cos sin sin i c s s n o C B B A B A B -=由于,所以， sin 0B ≠()2sin cos sin cos cos sin sin sin C A A B A B A B C =+=+=sin 0C ≠ 所以,由于为三角形的内角，所以, 1cos 2A =A 60A = 又得23coscos cos 24A C A C --=, ()()111cos 2cos cos cos cos sin sin cos 222A C A C A C A C A C --=⇒-=-⇒+=-进而可得,而为三角形内角，故， 1cos 2B -=-B 60B = 进而，故三角形为等边三角形， 60C = 故选：B8. 如图，已知圆锥的顶点为S ，AB 为底面圆的直径，点M ，C 为底面圆周上的点，并将弧AB 三等分，过AC 作平面，使，设与SM 交于点N ，则的值为（ ） α//SB ααSNSMA.B.C.D.13122334【答案】C 【解析】【分析】连接交于点，连接，根据线面平行得性质证明，再根据MB AC D ,,ND NA NC SB DN ∥可得，进而可得出答案. //MC AB DM MCDB AB=【详解】连接交于点，连接，则平面即为平面， MB AC D ,,ND NA NC NAC α因为，平面，平面， //SB αSMB DN α⋂=SB ⊂SMB 所以，//SB DN 因为AB 为底面圆的直径，点M ，C 将弧AB 三等分，所以，， 30ABM BMC MBC BAC ∠=∠=∠=∠=︒12MC BC AB ==所以且， //MC AB 12MC AB =所以， 12DM MC DB AB ==又，所以， //SB DN 12MN DM SN DB ==所以. 23SN SM =故选：C .【点睛】关键点点睛：根据线面平行得性质及平行线分线段成比例定理得到是解决本题得关MN DMSN DB=键.二､多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.（智能题卡第129页第10题）9. 一个圆柱和一个圆锥的底面直径和它们的高都与一个球的直径2R 相等，则下列结论正确的是（ ）A. 圆柱的侧面积为 22πRB. 圆锥的侧面积为22πR C. 圆柱的侧面积与球的表面积相等 D. 圆柱､圆锥､球的体积之比为 3:1:2【答案】CD 【解析】【详解】根据圆柱，圆锥，球体的侧面积，表面积，和体积公式依次判断选项即可. 【点睛】对选项A ，圆柱的侧面积为，故A 错误； 22π24πR R R ⨯=对选项B ，=圆锥的侧面积为，故B 错误. 212π2R R ⨯=对选项C ，球的表面积为，故C 正确.24πR 对选项D ，圆柱的体积，231π22πV R R R =⨯=圆锥的体积，球的体积， 23212π2π33V R R R =⨯⨯=334π3V R =所以圆柱､圆锥､球的体积之比为，故D 正确.333242π:π:π3:1:233R R R =故选：CD（智能题卡第113页第2题改编）10. 设是不同的直线，是不同的平面，则下列命题不正确的是（ ） ,m n ,a βA. ，则 ,//m n n α⊥m α⊥B. ，则 //,m ββα⊥m α⊥C. ，则 ,ααβ⊥⊥m //m βD. ，则 ,m m αβ⊥⊥//αβ【答案】ABC 【解析】【分析】举例说明判断ABC ；利用线面垂直的性质判断D. 【详解】对于A ，在长方体中， 1111ABCD A B C D -平面为平面分别为直线，ABCD 1111,,A B B C α,m n 显然满足，而，此时不成立，A 不正确； ,//m n n α⊥//m αm α⊥对于B ，在长方体中，1111ABCD A B C D -平面，平面分别为平面为直线， ABCD 11CDD C 11,,A B αβm 显然满足，而，此时不成立，B 不正确；//,m ββα⊥//m αm α⊥对于C ，在长方体中，1111ABCD A B C D -平面，平面分别为平面为直线，ABCD 11CDD C 1,,CC αβm显然满足，而，此时不成立，C 不正确； ,ααβ⊥⊥m m β⊂//m β对于D ，因为，由线面垂直的性质知，，D 正确. ,m m αβ⊥⊥//αβ故选：ABC.11. 已知平面向量，，与的夹角为，则（ ）||1a =r ||2b =r a b π3A. ·= 1B.a b()a b b -⊥C.D. 在上的投影向量的模为||a b -=b a 32【答案】AC 【解析】【分析】根据平面向量的数量积的定义及数量积的运算律逐项判断.【详解】对于A ：，故A 正确；π1cos 12132a b a b ⋅=⋅=⨯⨯= 对于B ：∵，()21430a b b a b b -⋅=⋅-=-=-≠r r r r r r ∴与不垂直，故B 错误；a b - b对于C ：∵，222||21243a b a a b b -=-⋅+=-+=r r r r r r∴C 正确；||a b -=对于D ：在上的投影向量的模为，故D 错误.b a π1cos 2132b =⨯=r 故选：AC.12. 如图，在正方体中，是的中点，分别是的中点，则以1111ABCD A B C D -S 11B D ,,E F G ,,BC DC SC 下结论正确的是（ ）A. 直线//平面 EG 11BDD BB. 平面//平面EFG 11BDD BC. 平面平面 EFG ⊥ABCDD. 与不垂直 SC BD 【答案】ABC 【解析】【分析】A 选项，连接，利用中位线可得出//，从而得到线面平行；B 选项，根据面面平行SB EG SB 的判定并结合A 选项，只需要再证一次线面平行即可；C 选项，根据B 选项的结论容易得出；D 选项，通过证明平面得出矛盾.BD ⊥SOC 【详解】如图，连接分别是的中点，//，又平面平面,,SB E G ,BC SC EG ∴SB SB ⊂ 11,BDD B EG ⊄，直线/平面，所以A 正确；11BDD B ∴EG 11BDD B 连接，分别是的中点，//. 又平面平面，SD ,F G ,DC SC FG ∴SD SD ⊂ 11,BDD B FG ⊄11BDD B //平面，又//平面，且平面平面，FG ∴11BDD B EG 11BDD B EG ⊂,EFG FG ⊂,EFG EG FG G ⋂=平面//平面，故B 正确；∴EFG 11BDD B 在正方体中显然侧棱底面，又平面，故平面平面，根1BB ⊥ABCD 1BB ⊂11BDD B 11BDD B ⊥ABCD 据B 选项：平面//平面，故平面平面，C 选项正确；EFG 11BDD B EFG ⊥ABCD 所以平面平面，故C 正确；，，所以平面EFG ⊥ABCD ,AC BD BD SO ⊥⊥AC SO O = BD ⊥，平面，故，故D 错误.SOC SC ⊂SOC SC BD ⊥故选：ABC三､填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填在答题卡中的横线上.（课本第132页第4题（3）问）13. 已知两条相交直线a ，b ，且a //平面，则b 与的位置关系是____________. αα【答案】b //平面或b 与平面相交 αα【解析】 【分析】画出图形不难看出直线与平面的位置关系，平行或相交.b α【详解】由题意画出图形，当所在平面与平面平行时，与平面平行， ,a b αb α当所在平面与平面相交时，与平面相交. ,a b αb α故答案为: b //平面a 或b 与平面相交.α【点睛】本题考查空间中直线与平面之间的位置关系，考查空间想象能力，是基础题.14. 已知向量满足，且，则与的夹角为__________.,,a b c 3250a b c ++=||2,||4,||2a b c === a b 【答案】##90° π2【解析】【分析】利用向量数量积的运算律可得，结合已知、向量数量积定义求夹角即222912425a a b b c+⋅+=可.【详解】由题设，则，325a b c +=- 2222(32)912425a b a a b b c +=+⋅+= 所以，则，3696cos ,64100a b ++= cos ,0a b =又，则.,],0π[a b ∈ π,2a b = 故答案为：π2（智能题卡第124页15题）15. 正四棱锥S -ABCD ，点S 、A 、B 、C 、D 都在同一个球面上，则该球的体积为______． 【答案】 43π【解析】【详解】如图，过S 作SO 1⊥平面ABCD ，由已知=1.在Rt △SO 1C 中， 1112O C AC =∵ SC ，∴ ，∴ O 1S ＝O 1A ＝O 1B ＝O 1C ＝O 1D ，故O 1是过S ，A ，B ，11SO ==C ，D 点的球的球心，∴ 球的半径为r ＝1，∴ 球的体积为. 34433r π=π点睛：与球有关的组合体问题，一种是内切，一种是外接．解题时要认真分析图形，明确切点和接点的位置，确定有关元素间的数量关系，并作出合适的截面图，如球内切于正方体，切点为正方体各个面的中心，正方体的棱长等于球的直径；球外接于正方体，正方体的顶点均在球面上，正方体的体对角线长等于球的直径.（智能题卡第100页15题改编）16. 如图，在棱长为2的正方体中，点､分别是棱，的中点，是侧面1111ABCD A B C D -E F BC 1CC P 内（不含边界）一点，若平面，则线段长度的最小值是___________.11BCC B 1//A P AEF 1A P【解析】【分析】分别取棱的中点、，连接，易证平面平面，由题意知111,BB B C M N 1,MN BC 1//A MN AEF 点必在线段上，由此可判断P 位于线段中点处时最短，通过解直角三角形即可求出结P MN MN 1A OM 果．【详解】如下图所示，分别取棱的中点、，连接，111,BB B C M N 1,MN BC ∵分别为所在棱的中点，则，,,,M N E F 11//,//MN BC EF BC ∴，又平面， 平面，//MN EF MN ⊄AEF EF ⊂AEF ∴平面．//MN AEF ∵， ，∴四边形为平行四边形，1//AA NE 1AA NE =1AENA ∴，1//A N AE 又平面，平面，1A N ⊄AEF AE ⊂AEF ∴平面，又，1//A N AEF 1A N MN N = ∴平面平面．1//A MN AEF ∵是侧面内一点，且平面，P 11BCC B 1//A P AEF ∴点必在线段上．P MN在中，11Rt A B M 1A M ===同理，在中，可得，11Rt A B N 1A N =∴为等腰三角形． 1A MN 当点为中点时，即 ，此时最短；P MN O 1A P MN ⊥1A P又 1A O ===∴线段． 1A P．四､解答题：本题共6小题.共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. （导学讲义第59页7题改编）17. 已知复数. ()()()222762i R z m m m m m =-++--∈（1）若复数为纯虚数，求实数的值；z m （2）若复数在复平面内对应的点在第四象限，求实数的取值范围.z m 【答案】（1）32（2） 312m -<<【解析】【分析】（1）直接根据实部为零，虚部不为零列式计算即可；（2）直接根据实部大于零，虚部小于零列不等式计算即可；【小问1详解】，且复数为纯虚数， ()()()222762i R z m m m m m =-++--∈ z ， 22276020m m m m ⎧-+=∴⎨--≠⎩解得； 32m =【小问2详解】复数在复平面内对应的点在第四象限，z ， 22276020m m m m ⎧-+>∴⎨--<⎩解得. 312m -<<（课本第138页2题改编）18. 如图：在正方体中，为的中点.1111ABCD A B C D -M 1DD（1）试判断直线与平面的位置关系，并说明理由；1BD AMC（2）若为的中点，求证：平面平面.N 1CC //AMC 1BND 【答案】（1）直线平面，理由见解析1//BD AMC （2）证明见解析【解析】【分析】（1）利用三角形中位线性质可得，由线面平行的判定可证得结论；1//OM BD （2）根据四边形为平行四边形可得，由线面平行判定可得平面，结合1CMD N 1//CM D N 1//D N AMC （1）中结论，由面面平行的判定可证得结论. 【小问1详解】直线平面，理由如下：1//BD AMC 连接，交于点，连接，BD AC O OM四边形为正方形，为中点，又为中点，，ABCD O ∴BD M 1DD 1//OM BD ∴平面，平面，平面.OM ⊂ AMC 1BD ⊄AMC 1//BD ∴AMC 【小问2详解】分别为中点，，又，,M N 11,DD CC 1D M CN ∴=1//D M CN 四边形为平行四边形，，∴1CMD N 1//CM D N ∴平面，平面，平面，CM ⊂ AMC 1D N ⊄AMC 1//D N ∴AMC 由（1）知：平面，又，平面，1//BD AMC 111BD D N D = 11,BD D N ⊂1BND 平面平面.∴//AMC 1BND19. 在中，内角，，所对的边分别为，，，． ABC A B C a b c 2ABC AC S ⋅=△8+=b c （1）求角的大小；A （2）求的最小值． a【答案】（1）3A π=（2）4【解析】【分析】（1，对其进行1cos 2sin 2A bc A =⨯化简、整理，即可求出结果. （2）由余弦定理可得，再结合，并利用基本不等式，即可求出结果.()222a b c bc bc =+--8+=b c 【小问1详解】， 2ABC AC S ⋅= △1cos 2sin 2A bc A =⨯整理得，所以 sin A A =tan A =又，所以． ()0,A π∈3A π=【小问2详解】解：因为，， 2222cos3a b c bc π=+-8+=b c 所以，()222643a b c bc bc bc =+--=-故，即， 22643162b c a +⎛⎫≥-⨯= ⎪⎝⎭4a ≥当且仅当时，等号成立，所以的最小值为4． 4b c ==a 20. 如图，在中，点D 为边的中点，． ABC AB 14BE BC =（1）若，求；3,1,60AC BC ACB ==∠=︒||CD （2）若，求的值．CO CD λ= λ【答案】（1； （2）. 67【解析】【分析】（1）将用表示，再利用平面向量数量积的运算律以及定义求解作答. CD CA CB,（2）取平面向量的基底，再利用平面向量基本定理求解作答.{,}CA CB 【小问1详解】在中，点D 为边的中点，则， ABC AB 1()2CD CA CB =+ 因此 222221113||(2(31231cos 60444))CD CA CB CA CB =++⋅=++⨯⨯⨯︒= 所以||CD = 【小问2详解】在中，不共线，ABC CA CB ,因为，则，而在上，即有，14BE BC = 34CE CB = O AE ,R EO EA μμ=∈ ()CO CE CA CE μ-=- ，于是，而， 3(1)(1)4CO CA CE CA CB μμμμ-=+-=+ 22CO CD CA CB λλλ==+ 因此，解得， ()23124λμλμ⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩6737λμ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩所以的值为. λ67（导学讲义第98页4题改编）21. 如图，已知正方体.1111ABCD A B C D -（1）求证：直线平面；1BD ⊥1AB C （2）若正方体的棱长为2，求点到平面的距离.1111ABCD A B C D -B 1AB C 【答案】（1）证明见解析（2【解析】【分析】（1）连接，由正方体的结构特征结合线面垂直性质，证得平面，再由线1,BD BC AC ⊥1BDD 面垂直性质和判定推理作答；（2）利用等体积法求解即可.【小问1详解】在正方体中，连接，如图，1111ABCD A B C D -1,BD BC因为四边形为正方形，则，ABCD AC BD ⊥而平面平面，即有， 1DD ⊥,ABCD AC ÌABCD 1DD AC ⊥又平面，11,,BD DD D BD DD =⊂ 1BDD 则平面，而平面，因此， AC ⊥1BDD 1BD ⊂1BDD 1BD AC ⊥同理平面，又平面，1B C ⊥11BC D 1BD ⊂11BC D 即有，因为平面， 11BD B C ⊥11,,AC B C C AC B C ⋂=⊂1AB C 所以平面；1BD ⊥1AB C 【小问2详解】在三棱锥中，，1B AB C -11AC AB CB ===则的面积， 1AB C V 111sin6022AB C S AC AB =⋅=⨯= 的面积， ABC 122ABC S AB BC =⋅=△设点到平面的距离为，B 1ABC h 由得：， 11B AB C B ABC V V --=111133AB C ABC S h S BB ⋅=⋅于是11ABC AB C S BB h S ⋅===所以点到平面. B 1AB C 22. 已知正方体的棱长为3，，分别为棱，上的动点，1111ABCD A B C D -E F BC CD ．若直线与平面所成角为．::CF DF CE EB =1CC 1EFC π6（1）求二面角的平面角的大小．1C EF C --（2）求线段的长度．EF （3）求二面角平面角的余弦值．11C BD A --【答案】（1） π3（2） （3） 13【解析】【分析】（1）确定是二面角的平面角，是直线与平面所成的1C MC ∠1C EF C --1CC M ∠1CC 1C EF 角，计算得到答案.（2）在中，，，得到答案. CEF △CM =2EF CM =（3）确定为二面角的一个平面角，再利用余弦定理计算得到答案.11AOC ∠11C BD A --【小问1详解】如图，作，垂足为，连接，作于，CM EF ⊥M 1C M 1CH MC ⊥H平面，平面，故，，， 1CC ⊥ABCD EF ⊂ABCD 1CC EF ⊥CM EF ⊥1CM CC C ⋂=平面，故平面，平面，故， 1,CM CC ⊂1MCC EF ⊥1MCC 1MC ⊂1MCC 1C M EF ⊥是二面角的平面角，1C MC ∠1C EF C --平面，故，，，平面， CH ⊂1MCC EF CH ⊥1CH MC ⊥1EF MC M = 1,EF MC ⊂1EFC 故平面，CH ⊥1EFC 是直线与平面所成的角，1CC M ∠1CC 1C EF 是直角三角形，由已知，所以． 1C CM 1π6CC M ∠=1π3C MC ∠=【小问2详解】在中，，CEF △CM =2EF CM ==【小问3详解】连接交于点，连接， AC BD O 11,AO C O在中，，在中，， 1B DC 1C O DB ⊥1A DB △1AO DB ⊥故即为二面角的一个平面角，11AOC ∠11C BD A --在中，，， 11AOC △11AO C O ==11A C =，即二面角平面角的余弦值为．222111111111cos 23AO C O AC AOC AO C O +-∠==⋅11C BD A --13。

.绝密★启用前高中数学必修五综合考试卷第I 卷（选择题）一、单选题1．数列的一个通项公式是（ ）0,23,45,67⋯A ．B ． a n =n -1n +1（n ∈N *)a n =n -12n +1（n ∈N *)C ．D ．a n =2（n -1）2n -1（n ∈N *)a n =2n2n +1（n ∈N *)2．不等式的解集是（ ）x -12-x ≥0A ．B ．C ．D ． [1,2](-∞,1]∪[2,+∞)[1,2)(-∞,1]∪(2,+∞)3．若变量满足 ，则的最小值是（ ）x,y {x +y ≥0x -y +1≥00≤x ≤1x -3y A ．B ．C ．D ． 4-5-314．在实数等比数列{a n }中，a 2，a 6是方程x 2－34x ＋64＝0的两根，则a 4等于( )A ． 8B ． －8C ． ±8D ． 以上都不对5．己知数列为正项等比数列，且，则（ ）{a n }a 1a 3+2a 3a 5+a 5a 7=4a 2+a 6=A ． 1B ． 2C ． 3D ． 46．数列前项的和为（ ）11111,2,3,4,24816n A ． B ． C ．D ．2122nn n ++21122n n n +-++2122n n n +-+21122n n n +--+7．若的三边长成公差为的 等差数列，最大角的正弦值为ΔABC a,b,c 232的面积为（ ）A ．B ．C ．D ．1541534213435348．在△ABC 中，已知,则B 等于( )a =2,b =2,A =450A ． 30°B ． 60°C ． 30°或150°D ． 60°或120°9．下列命题中正确的是( )A ． a ＞b ⇒ac 2＞bc 2B ． a ＞b ⇒a 2＞b 2C ． a ＞b ⇒a 3＞b 3D ． a 2＞b 2⇒a ＞b.10．满足条件，的的个数是 ( )a =4,b =32,A =45∘A ． 1个B ． 2个C ． 无数个D ． 不存在11．已知函数满足：则应满足（ ）f(x)=ax 2-c -4≤f(1)≤-1,-1≤f(2)≤5.f(3)A ．B ．C ．D ．-7≤f(3)≤26-4≤f(3)≤15-1≤f(3)≤20-283≤f(3)≤35312．已知数列{a n }是公差为2的等差数列，且成等比数列，则为（ ）a 1,a 2,a 5a2A ． -2B ． -3C ． 2D ． 313．等差数列的前10项和，则等于（）{a n }S 10=15a 4+a 7A ． 3B ． 6C ． 9D ． 1014．等差数列的前项和分别为，若，则的值为（ ）{a n },{b n }n S n ,T nS nT n=2n3n +1a 3b 3A ．B ．C ．D ． 3547581219第II 卷（非选择题）二、填空题15．已知为等差数列，且－2＝－1,＝0,则公差={a n }a 7a 4a3d 16．在中，，，面积为，则边长=_________.△ABC A =60∘b =13c 17．已知中，，， ，则面积为_________.ΔABC c =3a =1acosB =bcosA ΔABC 18．若数列的前n 项和，则的通项公式____________{a n }S n =23a n +13{a n }19．直线下方的平面区域用不等式表示为________________．x -4y +9=020．函数的最小值是 _____________．y =x +4x -1(x >1)21．已知，且，则的最小值是______．x ，y ∈R +4x +y =11x +1y三、解答题22．解一元二次不等式（1） （2）-x 2-2x +3>0x 2-3x +5>0.（1）求边上的中线的长；BC AD （2）求△的面积。

高一第二学期5月月考数学试卷一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的 1.( ) 如果复数z 满足z(1−i)=2−i ，则复数z 在复平面内对应的点所在象限为A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限2.在△OAB 中，P 为线段AB 上的一点，＝x ＋y ，且＝2，则( )OP → OA → OB → BP → PA →A ．x ＝，y ＝B ．x ＝，y ＝C ．x ＝，y ＝D ．x ＝，y ＝23131323143434143．已知m ，n 是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，则下列命题正确的是（ ）A ．若，，，则B ．若，，则 α⊥βα∩β=n m ⊥n m ⊥βm ∥n n ⊂αm ∥αC ．若，，，则D ．若，，则m ∥αm ∥βα∩β=n m ∥n m ⊥αm ⊥n n ∥α4.已知点，，，，则在方向上的投影向量为 A(−2,1)B(−1,−1)C(1,2)D(3,4)AB CD A.B.C.D.(−12,−12)(−22,−22)(12,12)(22,22)5．如图，点P ，Q ，R ，S 分别在正方体的四条棱上，且是所在棱的中点，则直线PQ 与RS 不是共面直线的图是（ ）A ．B ．C ．D ．6.已知向量与共线，其中是的内角.1sin ,2m A ⎛⎫= ⎪⎝⎭ (3,sin )n A A = A ABC ∆若BC=4，则面积的最大值（ ）ABC ∆SA.4B.6C.D.4 4√3√27. 已知一个圆锥和圆柱的底面半径和高分别相等，若圆锥的轴截面是等边三角形，则这个圆锥和圆柱的侧面积之比为（ ）A ．B ．C ．D 1222338. 如图，在正四棱台中，，且各顶点都在同一ABCD −A 1B 1C 1D 1AB =2AA 1=2A 1B 1=23球面上，则该球体的表面积为 A ．B ．C ．D ．16π974π1054π30π二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

唐山开滦第二中学2022—2023年高三下学期5月考试数学注意事项：1.本卷满分150分，考试时间120分钟.答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置.2.选择题的作答：每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效.3.非选择题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内.写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效.4.考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交.一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 设复数满足，则（ ）z 1i 1zz +=-1z +=A. B.C.D.12【答案】B 【解析】【分析】利用已知条件可得出，化简复数，利用复数的模长公式可求得结果. 1i1iz -+=+z 【详解】因为，则，所以，， 1i 1z z +=-()1i 1z z +=-()()()21i 1i 2ii 1i 1i 1i 2z ---+====++-因此，.11i z +=+==故选：B.2. 设集合，，则下列关系式正确的是（ ） {}254,R M x x a a a ==-+∈{}e 1,R aN y y a ==+∈A. B. C.D.M N =M N ⋂=∅M N N ⋃=()()M N ⊆R R ðð【答案】D 【解析】【分析】先利用二次函数和指数函数求值域分别化简集合M,N ,再判断包含关系即可 【详解】，{}(){}{}2254,R 21,R 1M x x a a a x x a a x x ==-+∈==-+∈=≥ ，{}{}e 1,R 1a N y y a y y ==+∈=>可得 ，，，， N M M N ∴≠M N ⋂≠∅M N M ⋃=()()M N ⊆R R ðð故选：D.3. 若，，，（ ）π02α<<π02β-<<π1cos 43α⎛⎫+= ⎪⎝⎭πcos 42β⎛⎫-= ⎪⎝⎭sin 2βα⎛⎫+= ⎪⎝⎭A. B. C.D.【答案】D 【解析】【分析】先计算出，，再根据利用两角差πsin()4α+πsin(42β-sin(sin ()()2442βππβαα⎡⎤+=+--⎢⎥⎣⎦的正弦公式展开计算可得. 【详解】因为所以， π0,2α<<ππ3π444α<+<所以，πsin 4α⎛⎫+=== ⎪⎝⎭因为所以， π0,2β-<<πππ4422β<-<因为，πcos 42β⎛⎫-=⎪⎝⎭πsin(42β-===所以ππsin(sin ()(2442ββαα⎡⎤+=+--=⎢⎥⎣⎦ππππsin()cos(cos()sin()442442ββαα+--+-. 13=-=故选：D4. 如图，在中，是线段上的一点，且，过点的直线分别交直线，于ABC D BC 4BC BD =D AB AC 点，，若，，则的最小值是（ ）M NAM AB λ= ()0,0AN AC μλμ=>>u u ur u u u r 1μλ-A.B.C.D.7【答案】A 【解析】【分析】根据三点共线以及平面向量基本定理推出，再根据基本不等式可求出结果. 14133λμ=-【详解】因为三点共线，所以可设，,,M D N MD tDN =则，()AD AM t AN AD -=-又，14AD AB BD AB BC =+=+ 1()4AB AC AB =+- 3144AB AC =+所以，3131()4444AB AC AM t AN AB AC +-=--又，，AM AB λ= AN AC μ=所以，3131()4444AB AC AB t AC AB AC λμ+-=--所以，3131()(4444AB AC t AB t AC λμ-+=-+-所以，消去得，334411()44t t λμ⎧-=-⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩t 14133λμ=-所以， 14133μμλμ-=-+因为，，得，得，0λ>0μ>141033λμ=->14μ>所以，当且仅当，即144333μμ+-≥-=13μμ=μ=所以. 1μλ-故选：A5. 若，，，则（ ） ln5a =43b =4cos1c =A. B.C.D.a cb >>bc a >>c b a >>c a b >>【答案】D 【解析】【分析】根据给定条件，利用对数函数、余弦函数的单调性，借助“媒介数”比较大小作答. 【详解】函数在上单调递增，，ln y x =(0,)+∞2ln5ln e 2a =<=，因此， 34344111125ln 5(ln 5ln e )(ln 5ln 3)ln 0333381a b -=-=->-=>2b a <<而，余弦函数在上单调递减，于是，即， ππ143<<cos y x =π(0,)2π1cos1cos 32>=4cos12c =>所以.c a b >>故选：D6. 已知两个圆锥侧面展开图均为半圆，侧面积分别记为，且，对应圆锥外接球体积分别为12,S S 122S S =，则（ ） 12,V V 12V V=A. 8B.C.D. 2【答案】C 【解析】【分析】利用圆锥的体积公式及侧面积公式，及圆锥的外接球半径求法，即可得解. 【详解】设两个圆锥的母线长分别为，高分别为，底面圆的半径分别为， 12,l l 12,h h 12,r r 对应圆锥的外接球半径分别为， 12,R R 由题可得，，同理得：，111122l r l r ππ⇒==11h =222l r =22h =由，得 1111122222222S rl r r S r l r r ππππ⋅===⋅21222r r =又，化简得，222()R r hR =+-222h r Rh += 221112222222212122h r R h r h r R r h +∴====+331113322243==43R V R V R R π∴π故选：C7. 已知函数，若方程在的解为，则()πsin 23f x x ⎛⎫=-⎪⎝⎭()13f x =()0,π()1212,x x x x <（ ）()12cos 22x x -=A.B. C.D.7979-1313-【答案】B 【解析】【分析】结合图形得，利用二倍角的余弦公式和诱导公式将化为125π6x x +=()12cos 22x x -即可求解.1πsin(23x -【详解】当时，， π()0,x ∈ππ5π2(,333x -∈-依题意有， 12ππ1sin(2sin(2)0333x x -=-=>结合图象可知，，即，， 12πππ222332x x -+-=⨯125π6x x +=215π6x x =-所以 21212cos(22)2cos ()1x x x x -=--2115π2cos (())16x x =---21π2cos (2)16x 5=--. 21ππ2cos (2132x =---21π2sin (2)13x =--2172(139=⨯-=-故选：B8. 已知抛物线的焦点为，过点且倾斜角为锐角的直线与交于、两()2:20C y px p =>F F l C A B 点，过线段的中点且垂直于的直线与的准线交于点，若，则的斜率为AB M l CNAB MN =l （ ）A.B.C.D.12【答案】C 【解析】【分析】设直线的方程为，其中，设点、、，将直l 2px my =+0m >()11,A x y ()22,B x y ()00,M x y 线的方程与抛物线的方程联立，列出韦达定理，求出、，根据条件可求得l C AB MN AB MN =的值，即可得出直线的斜率.m l 【详解】抛物线的焦点为，设直线的方程为，其中，C ,02p F ⎛⎫⎪⎝⎭l 2p x my =+0m >设点、、，()11,A x y ()22,B x y ()00,M x y 联立可得，，，222p x my y px⎧=+⎪⎨⎪=⎩2220y mpy p --=222440m p p ∆=+>122y y mp +=所以，，()21212222AB x x p m y y p m p p =++=++=+，， 1202y y y mp +==20022p px my m p =+=+直线的斜率为，则直线的斜率为， l 1mMN m -所以，，3222p p MN m p p ⎛⎫=++=⋅⎪⎝⎭因为，则，因为，解得，ABMN =()3221p m+=⋅0m >m =因此，直线的斜率为. l 1m=故选：C.二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9. 已知圆，则（ ） ()()22:ln 1C x a y a -+-=A. 存在个不同的，使得圆与轴相切2a C x B. 存在个不同的，使得圆在两坐标轴上截得的线段长度相等 2a C C. 存在个不同的，使得圆过坐标原点2a C D. 存在个不同的，使得圆的面积被直线平分 2a C 1y x =-【答案】AC 【解析】【分析】根据圆与轴相切，可得出，解此方程可判断A 选项；分析可得，判断出x ln 1a =()221ln 1ln a a a a ⎧<⎪⎪<⎨⎪=⎪⎩满足条件的实数的个数，可判断B 选项；数形结合可判断C 选项；由已知可得出，构造a ln 10a a --=，其中，利用导数法可判断D 选项.()1l n h a a a =--0a >【详解】由题意可知，，且圆的圆心为，半径为. 0a >C (),ln C a a 1对于A 选项，若圆与轴相切，则，解得或，A 对； C x ln 1a =e a =1ea =对于B 选项，若圆在两坐标轴上截得的线段长度相等，则，可得，C 1ln 1a a ⎧<⎪⎨<⎪⎩11e a <<圆截轴所得弦长为截轴所得弦长为，C x Cy所以，，所以，，=()()()22ln ln ln 0a a a a a a -=-+=令，，其中， ()ln f a a a =-()ln g a a a =+11ea <<所以，，， ()1110a f a a a -'=-=<()110g a a'=+>所以，函数在上单调递减，在上单调递增，()f a 1,1e ⎛⎫ ⎪⎝⎭()g a 1,1e ⎛⎫ ⎪⎝⎭所以，当时，，，， 11e a <<()()110f a f >=>1110e eg ⎛⎫=-< ⎪⎝⎭()110g =>所以，函数在上无零点，函数在上只有一个零点，B 错； ()f a 1,1e ⎛⎫⎪⎝⎭()g a 1,1e ⎛⎫ ⎪⎝⎭对于C 选项，若圆过原点，则，C ()22ln 1a a +=由图可知，与有两个交点，所以满足要求的有个，故C 正确；ln y x =221x y +=a 2对于D 选项，若圆的面积被直线平分，则直线过圆心， C 1y x =-1y x =-C 所以，，即， 1ln a a -=ln 10a a --=令，其中，则. ()1l n h aa a =--0a >()111a h a a a-'=-=当时，，此时函数单调递减， 01a <<()0h a '<()h a 当时，，此时函数单调递增， 1a >()0h a '>()h a 所以，，()()10h a h ≥=因此，存在唯一的，使得圆的面积被直线平分，D 错. a C 1y x =-故选：AC.10. 棱长为1的正方体中，，，分别是，，的中点，则下列说法1111ABCD A B C D -E F G AB BC 11B C 正确的有（ ）A. 点在直线上运动时，三棱锥的体积不变 P 1BC 1A D PC -B. 点在直线上运动时，直线始终与平面平行 Q EF GQ 11AAC CC. 直线与直线所成的角为EG 1AD π6D. 三棱锥的体积为D EFG -38【答案】ABC 【解析】【分析】根据的面积为矩形的面积的一半，且点到平面的距离不变，可判定1AD P △11ABC D C 11ABC DA 正确；由平面和平面，证得平面平面，可判定B 正//EF 11AAC C //GF 11AAC C //EFG 11AAC C 确；取的中点，把直线与直线所成的角即为直线与所成的角，在中，1BB M EG 1AD MG EG MEG 利用余弦定理求得C 正确；结合，可判定D 错误. cos θ=D EFG G DEF V V --=【详解】对于A 中，点在直线上运动时，的面积为矩形的面积的一半， P 1BC 1AD P △11ABC D 且点到平面的距离不变，所以三棱锥的体积不变，所以A 正确； C 11ABC D 1A D PC -对于B 中，点在直线上运动时，Q EF 由分别为的中点，可得， ,,E F G 11,,AB BC B C 1//,//EF AC GF CC 又由平面，平面，所以平面， EF ⊄11AAC C AC ⊂11AAC C //EF 11AAC C 同理可证：平面，//GF 11AAC C 因为且平面，所以平面平面， EF GF F = ,EF GF ⊂EFG //EFG 11AAC C 又因为平面，所以平面，所以B 正确； GQ ⊂EFG //GQ 11AAC C 对于C 中，取的中点，分别连接，1BB M ,ME MG 因为的中点，所以，又由，所以，G 1//MG BC 11//AD BC 1//MG AD 所以异面直线与直线所成的角即为直线与所成的角，设， EG 1AD MG EG EGM θ∠=设正方体的棱长为，可得， 1111ABCD A B C D -1MG ME ==在直角中，可得，所以EFG 1EF FG ==EG =所以，所以C 正确；222cos 2EG GM ME EG GMθ+-===⋅π6θ=对于D 中，由， 1111111311122222228DEF S =-⨯⨯-⨯⨯-⨯⨯= 所以，所以D 错误.113113388D EFG G DEF DEF V V S GF --==⨯⨯=⨯⨯= 故选：ABC.11. 已知是数列的前项和，，则（ ）n S {}n a n 21n n S S n +=-+A. 121n n a a n ++=-B .当时，10a =501225S =C. 当时，为等差数列11a ={}n a D. 当数列单调递增时，的取值范围是 {}n a 1a 11,44⎛⎫- ⎪⎝⎭【答案】BD 【解析】【分析】对于A ，由，多写一项，两式相减得到，注意检验21n n S S n +=-+121(2)n n a a n n ++=-≥时是否成立即可；1n =对于B ，先根据题意求得，从而得到奇数项是以为首项，2为公差的等差数列，22n n a a +-={}n a 10a =偶数项是以为首项，2为公差的等差数列，再根据等差数列得前项和公式即可求解；21a =n 对于C ，结合B 选项求得，，得到数列为，进而223n a n =-2122n a n +=+{}n a 1,4,1,6,3,8,5,10,- 判断即可；对于D ，先结合选项C 求得，，再根据数列单调递增，则必有21221n a n a =--21122n a n a +=+{}n a ，且，求解即可得出的取值范围．22212n n n a a a ++>>21a a >1a 【详解】对于A ，因为，当，，21n n S S n +=-+2n ≥21(1)n n S S n -=-+-两式相减得，121(2)n n a a n n ++=-≥但当时，，即，得，不符合，故A 错误；1n =2211S S =-+21211a a a +=-+1221a a +=对于B ，结合A 选项有，所以， 121(2)n n a a n n ++=-≥122(1)121n n a a n n +++=+-=+两式相减得，22(2)n n a a n +-=≥又，21n n S S n +=-+令，则，，得，又，所以，1n =211S S =-+1211a a a +=-+2121a a =-+10a =21a =令，则，，得，所以2n =324S S =-+112324a a a a a ++=--+312122422a a a a =--+=+32a =，则，所以，312a a -=22n n a a +-=所以奇数项是以为首项，2为公差的等差数列，偶数项是以为首项，2为公差的等差数{}n a 10a =21a =列，则100123495013492450()()S a a a a a a a a a a a =+++++=+++++++ ，所以B 正确； 25242524(2502)(2512)122522⨯⨯=⨯+⨯+⨯+⨯=对于C ，结合B 选项有，，， 22(2)n n a a n +-=≥2121a a =-+3122a a =+又，11a =则，()()()()2222222442211212122123n n n n n a a a a a a a a n a n a n ---=-+-++-+=--+=--=- ，()()()()21212121235333121222222n n n n n a a a a a a a a n a n a n ++---=-+-++-+=-+=-++=+ 即数列的偶数项和奇数项都是等差数列，但数列为， {}n a {}n a 1,4,1,6,3,8,5,10,- 所以数列不是等差数列，故C 错误；{}n a 对于D ，结合选项C 有，， 21221n a n a =--21122n a n a +=+又数列单调递增，则必有，且， {}n a 22212n n n a a a ++>>21a a >所以，且，解得， 111222122221n a n a n a +-->+>--1112a a ->11144a -<<所以的取值范围是，所以D 正确．1a 11,44⎛⎫- ⎪⎝⎭故选：BD ．【点睛】关键点点睛：数列单调性问题或不等式问题，要充分挖掘题干条件，通常由递推公式求通项公式，或研究出数列的性质，结合等差数列或等比数列的性质进行求解．12. 已知，若，且，则（ ） ,,a b c ∈R 2221a b c ++=()()()111a b c abc ---=A. B. 1a b c ++=1ab bc ca ++<C. 的最大值为1 D. 的最小值为1c a 【答案】ABC 【解析】【分析】由题可得，设，则可得，即可解出1ab bc ca a b c ++=++-a b c x ++=22(1)1x x --=，，判断AB 正确；将条件转化为，利用判别式1a b c ++=0ab bc ca ++=22(1)0b a b a a +-+-=可求出的范围，同理求出的范围.a c 【详解】由，得，(1)(1)(1)a b c abc ---=1abc ab bc ca a b c abc ---+++-=，1ab bc ca a b c ∴++=++-设，则.a b c x ++=1ab bc ca x ++=-，2222()2()1a b c a b c ab bc ca ++=++-++= ，解得，即，，故AB 正确； 22(1)1x x ∴--=1x =1a b c ++=0ab bc ca ++=，即.()0ab a b c ∴++=()(1)0ab a b a b ++--=，即.220a b ab a b ∴++--=22(1)0b a b a a +-+-=由a ，知，.R b ∈()()22140a a a ∆=---≥∴，解得，同理可得，故C 正确，D 错误. 23210a a --£113a -≤≤113c -≤≤故选：ABC.【点睛】关键点睛：本题考查根据已知等量关系求范围，解题的关键是根据条件令，转化出a b c x ++=，即可求出，进一步利用判别式可求出范围. 22(1)1x x --=1a b c ++=,a c 三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13. 若函数在上有最大值4，则的值为________．()221f x ax ax =++[1,2]a 【答案】38【解析】【分析】化简函数，分，和，三种情况讨论，得到函数的单调()2(1)1f x a x a =++-0a =0a >a<0性和最值，即可求解.【详解】由题意，函数，()2221(1)1f x ax ax a x a =++=++-①当时，函数在区间上的值为常数，不符合题意，舍去； 0a =()f x [1,2]1②当时，函数在区间上是单调递增函数， 0a >()f x [1,2]此时最大值为，解得； ()2814f a =+=38a =③当时，函数在区间上是单调递减函数，a<0()f x [1,2]此时最大值为，解得，不符合题意，舍去．()1314f a =+=1a =综上可知，的值为.a 38【点睛】本题主要考查了二次函数的图象与性质的应用，以及二次函数的最值问题，其中解答中熟记二次函数的图象与性质，合理分类讨论得到函数的单调性是解答的关键，着重考查了分类讨论思想，以及推理与运算能力，属于基础题.14. 过点且与双曲线的一条渐近线平行的直线方程为______. ()2,3M -22:19y C x -=【答案】（或） 390x y -+=330x y ++=【解析】【分析】由双曲线方程得渐近线方程，进而求出结果.【详解】因为双曲线方程为，所以渐近线方程为，即渐近线的斜率为或，2219y x -=3y x =±33-所以与渐近线平行的直线方程为或， ()332y x -=+()332y x -=-+即或.390x y -+=330x y ++=故答案为：（或）.390x y -+=330x y ++=15. 设展开式中的常数项为，则实数的值为______.()51mx x ⎛- ⎝80m 【答案】 1-【解析】【分析】写出展开式的通项，分析可知的展开式中不含常数项，从而可知5x ⎛-⎝5x ⎛⎝的常数项为，结合已知条件可求得实数的值.()51mx x ⎛-- ⎝()445C 2m -⋅-m 【详解】的展开式通项为， 5x ⎛⎝()()3552155C C 20,1,2,,5kk k k k k k T x xk --+⎛=⋅⋅=⋅-⋅= ⎝，()5551mx x x x mx ⎛⎛⎛--- ⎝-⎝⎝= 在的展开式中，令，可得，不合乎题意；5x ⎛⎝3502k -=103k =∉N 在的展开式中，，5mx x ⎛- ⎝()()36215C 20,1,2,,5r r r r mxT m x r -+=⋅-⋅= 令，可得， 3602r -=4r =所以，展开式中的常数项为，解得. ()51mx x ⎛-- ⎝()445C 28080m m -⋅-=-=1m =-故答案为：.1-16. 已知定义在上的函数满足：，，当时，R ()f x ()()0f x f x -+=()()2f x f x -=01x ≤≤，则______.()21x f x =-()2log 2023f =【答案】 9991024-【解析】【分析】根据已知条件推导出函数是周期为的周期函数，求得，结合()f x 422log 202383<-<，结合已知条件代值计算即可得解.()()()222log 2023log 20238log 202310f f f =-=--【详解】因为定义在上的函数满足：，， R ()f x ()()0f x f x -+=()()2f x f x -=所以，，即函数为奇函数，()()f x f x -=-()f x 则，所以，， ()()()22f x f x f x =-=--()()()22f x f x f x +=-=-故函数是周期为的周期函数，()f x 4因为，所以，， 101121024202322048=<<=210log 202311<<则，，22log 202383<-<2110log 20230-<-<所以，()()()()2222log 2023log 202382log 2023810log 2023f f f f =-=--=-⎡⎤⎣⎦. ()2log 2023102102023999log 20231012121024f -=--=-=-=-故答案为：. 9991024-四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17. 休闲服装是现代一种新兴流行服装类别名称，是一种运动衣式的服装，如网球装、慢跑装、高尔夫球装等，是运动服和平时的生活服的结合，常用于晨间的拳操、爬山、郊游、打球等.休闲服装受到当今社会各类人士的热爱.现某机构针对本地区成年人爱穿休闲服装与性别是否有关联进行了问卷调查，在本地区随机抽取了名成年人样本进行分析，得到列联表如下：200 爱穿休闲服装不爱穿休闲服装总计 男性 90 30120女性30 50 80总计12080200（1）根据以上数据，依据小概率值的独立性检验，能否认为本地区成年人爱穿休闲服装与性0.001α=别有关？（2）将此样本频率视为总体的概率，从本地区随机抽取名成年男性，记这人中“不爱穿休闲服装”44的人数为，求随机变量时的概率和随机变量的数学期望.Y 2Y =Y ()E Y附：，其中.()()()()()22n ad bc a b c d a c b d χ-=++++n a b c d =+++ α 0.15 0.10 0.05 0.01 0.001o x2.0722.7063.8416.63510.828【答案】（1）能，理由见解析（2）， ()272128P Y ==()1E Y =【解析】【分析】（1）提出零假设本地区成年人爱穿休闲服装与性别相互独立，计算出的观测值，结合临0:H 2χ界值表可得出结论； （2）分析可知，利用独立重复实验的概率公式可求得的值，利用二项分布的期1~4,4Y B ⎛⎫⎪⎝⎭()2P Y =望公式可求得的值. ()E Y 【小问1详解】解：零假设本地区成年人爱穿休闲服装与性别相互独立，0:H 根据列联表中的数据可得，()229050303020022528.12510.82812080120808χ⨯-⨯⨯===>⨯⨯⨯所以，根据小概率值的独立性检验，能认为本地区成年人爱穿休闲服装与性别有关.0.001α=【小问2详解】解：由表格中的数据可知，本地区成年男性不爱穿休闲服装的概率为， 3011204=将此样本频率视为总体的概率，从本地区随机抽取名成年男性， 4记这人中“不爱穿休闲服装”的人数为，则， 4Y 1~4,4Y B ⎛⎫ ⎪⎝⎭所以，，. ()222413272C 44128P Y ⎛⎫⎛⎫==⋅⋅=⎪⎪⎝⎭⎝⎭()1414E Y =⨯=18. 已知数列为等差数列，且，.{}ln n a 5228a a -=25678a a a =（1）求数列的通项公式； {}n a （2）求数列的前项和. {}n n a ⋅n n T 【答案】（1）2n n a =（2）1(1)22n n T n +=-⋅+【解析】【分析】（1）根据数列为等差数列，推出数列为等比数列，再根据等比数列的通项公式列式{}ln n a {}n a 求出首项和公比，可得通项公式； （2）根据错位相减法可求出结果. 【小问1详解】设数列的公差为，则，即，则， {}ln n a d 1ln ln n n a a d +-=1ln n n a d a +=1e d n naa +=则数列为等比数列，设其公比为，{}n a q 由，得，解得， 5228a a -=25678a a a =()4112456111288a q a q a q a q a q ⎧-=⎪⎨⋅=⎪⎩122a q =⎧⎨=⎩所以. 2n n a =【小问2详解】由（1）得，2nn n a n ⋅=⋅， 231222322n n T n =⨯+⨯+⨯++⋅ ，234121222322n n T n +=⨯+⨯+⨯++⋅ 所以，231222222n n n n T T n +-=++++-⋅ 12(12)212n n n +-=-⋅-1(1)22n n +=-⋅-所以.1(1)22n n T n +=-⋅+19. 在中，角，，所对的边分别为，，，.ABC A B C a b c 222sin sin 2sin 2sin ab A ab Ba b c B A+=+-（1）求证：； π03C <≤（2）若，求. 111tan tan tan B A C=+cos A 【答案】（1）证明过程见详解（2【解析】【分析】（1）根据题意利用正弦定理可得，再利用余弦定理和基本不等式即可证明；2222a b c +=（2）利用切化弦，结合两角和的正弦公式和正、余弦定理可得，再结合（1）的结论和余2223a c b +=弦定理即可求解. 【小问1详解】在中，因为，ABC 222sin sin 2sin 2sin ab A ab Ba b c B A+=+-由正弦定理可得，化简可得，2222222a b ab a b c b a +=+-2222a b c +=由余弦定理可得，当且仅当时取等222222222212cos 22442a b a b a b c a b ab C ab ab ab ab ++-+-+===≥=a b =号，所以，因为角是的内角，所以， 1cos 2C ≥C ABC 0πC <<所以. π03C <≤【小问2详解】 由111cos cos sin cos cos sin tan tan tan sin sin sin sin A C C A C A B A C A C A C+=+=+=，则， sin()sin cos sin sin sin sin sin C A B B A C A C B +===22sin cos sin sin B b B A C ac==即，所以，又，22222a c b b ac ac +-=2223ac b +=2222a b c +=所以，在中，由余弦定理可得，,b a ==ABC .222cos 2b c a A bc+-===20. 三棱锥中，，，，直线与平面所成的角-P ABCPAB PAC ≅△△BC PA AB ⊥PC ABC 为，点在线段上.3πD PA（1）求证：； BD AC ⊥（2）若点在上，满足，点满足，求实数使得二面角E PC 34PE PC =D (01)AD AP λλ=<<λ的余弦值为. A BE D --25【答案】（1）证明见解析；（2）. 12λ=【解析】【分析】（1）证明平面，利用线面垂直的性质可证得结论成立；AC ⊥PAB （2）设，以点为坐标原点，、、所在直线分别为、、轴建立空间直1AB AC ==A AB AC AP x y z 角坐标系，利用空间向量法可得出关于实数的等式，即可解得实数的值. λλ【小问1详解】证明：因为，，则且，PAB PAC ≅△△PA AB ⊥PA AC ⊥AB AC =，平面，AB AC A ⋂= PA ∴⊥ABC 所以为直线与平面所成的线面角，即，PCA ∠PC ABC 3PCA π∠=，故，，BC == 222AB AC BC +=AC AB ∴⊥，平面，PA AB A = AC ∴⊥PAB 平面，因此，.BD ⊂Q PAB BD AC ⊥【小问2详解】解：设，由（1）可知且，1AB AC ==3PCA π∠=PA AC ⊥tan3PA AC π∴==因为平面，，以点为坐标原点，、、所在直线分别为、、轴PA ⊥ABC AB AC ⊥A AB AC AP x y z 建立如下图所示的空间直角坐标系，则、、、、，()1,0,0B ()0,1,0C (P 30,4E ⎛ ⎝()()01D λ<<设平面的法向量为，，，ABE ()111,,m x y z =()1,0,0AB = 30,4AE⎛= ⎝ 则，取，可得， 110304m AB x y m AE ⎧⋅==⎪⎨⋅=+=⎪⎩1y =(0,1,m =设平面的法向量为，，， BDE ()222,,n x y z =()1,0,DB =31,4BE ⎛=- ⎝ 由，取，则，222220304n DB x z n BE x y z ⎧⋅==⎪⎨⋅=-+=⎪⎩23x λ=(3,4n λλ=- 由已知可得，解得.2cos ,5m n m n m n ⋅<>===⋅ 12λ=当点为线段的中点时，二面角的平面角为锐角，合乎题意. D AP A BE D --综上所述，. 12λ=21. 椭圆：的上顶点为，下顶点为，点.Γ()222210x y a b a b +=>>(A B ()0,2P （1）水椭圆的方程；Γ（2）过点的动直线交椭圆于，两点（不同于，两点），若直线与直线交于点P l C M N A B AN BM Q ，试问点是否在一条定直线上？若是，求出该直线方程；若不是，说明理由.Q 【答案】（1）22142x y +=（2）点在定直线上. Q1y =【解析】【分析】（1）先利用题给条件求得a 、b 的值，进而求得椭圆的方程；（2）设出直线的方程，并与椭圆的方程联立，利用设而不求的方法求得直线AN 与直线BM 交点Q 的纵坐标，化简整理即可求得点的纵坐标为定值，可得答案． 【小问1详解】，则，则，又，c a =c =222,a b c b =+=则，解得，22221a a =+24a =则椭圆的方程为；22142x y +=【小问2详解】由题意可得，，过点的直线斜率存在，(0,A B (0,2)P设直线的方程为，令，，2y kx =+()11,M x y ()22,N x y 由，整理得， 221422x y y kx ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩()2212840k x kx +++=则，即，()222(8)161232160k kk∆=-+=->k >k <， 12122284,1212kx x x x k k -+=⋅=++又直线AN 的方程为，直线BM 的方程为，y x =+y x =-由，可得y x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩又，12122x x kx x +=-⋅则1y ===则直线AN 与直线BM 交点的纵坐标为定值1， Q 所以点在定直线上. Q 1y =22. 已知函数.()e 2xf x x =-（1）求证：当时，；()0,1x ∈()3ln 2x x x f x x ++>（2）求函数在上的零点个数. ()()cos g x f x x =-π,2⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭【答案】（1）证明见解析（2） 2【解析】【分析】（1）先证明出当时，，将所证不等式变形为，先证0x >e 1xx >+2e ln 0xx x x+->，其中，构造函数，其中，利用导数分析21ln 0x x x x ++->()0,1x ∈()21ln 1p x x x x=++-()0,1x ∈函数在上的单调性，证得，即可证得结论成立；()p x ()0,1()0p x >（2）求导得到，因无法轻易求得的解，故根据导函数的性质将的取值()e sin 2xg x x '=+-()0g x '=x 范围分为三段分别讨论，即可求解零点个数. 【小问1详解】证明：构造函数，其中，则，()e 1xh x x =--0x >()e 10xh x '=->所以，函数在上为增函数，则当时，，即， ()h x ()0,∞+0x >()()00h x h >=e 1x x >+当时，要证，即证，()0,1x ∈()3ln 2x x x f x x ++>3ln e x x x x +>即证，先证， 2e ln 0xx x x+->21ln 0x x x x ++->令，其中，则， ()21ln 1p x x x x =++-()0,1x ∈()22111220x p x x x x x x-'=--=-<所以，函数在上单调递减，()p x ()0,1故当时，，即，则， ()0,1x ∈()()110p x p >=>21ln 0x x x x ++->2eln 0xx x x+->故当时，.()0,1x ∈()3ln 2x x x f x x ++>【小问2详解】解：由已知得，，则． ()e 2cos xg x x x =--π,2x ⎛⎫∈-+∞ ⎪⎝⎭()e sin 2x g x x '=+-①当时，因为，π,02x ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭()()()e 1sin 10xg x x '=-+-<所以在上单调递减，所以．()g x π,02⎛⎫- ⎪⎝⎭()()00g x g >=所以在上无零点；()g x π,02⎛⎫- ⎪⎝⎭②当时，因为单调递增，且，，π0,2x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦()g x '()010g '=-<π2πe 102g ⎛⎫'=-> ⎪⎝⎭所以存在，使． 00,2x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭()00g x '=当时，；当时，．[)00,x x ∈()0g x '<0π,2x x ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦()0g x '>所以在上单调递减，在上单调递增，且． ()g x [)00,x 0π,2x ⎛⎤ ⎥⎝⎦()00g =所以．设，，则． ()00g x <()e 2x m x x =-0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦()e 2x m x '=-令，得．()0m x '=ln 2x =所以在上单调递减，在上单调递增． ()m x ()0,ln 2πln 2,2⎛⎫ ⎪⎝⎭所以．()()min ln 222ln 20m x m ==->所以．所以． π2πe π02m ⎛⎫=-> ⎪⎝⎭π2πe π02g ⎛⎫=-> ⎪⎝⎭所以．所以在上存在一个零点． ()0π02g x g ⎛⎫⋅< ⎪⎝⎭()g x 0π,2x ⎛⎫ ⎪⎝⎭所以在有个零点； ()g x π0,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦2③当时，， π,2x ⎛⎫∈+∞ ⎪⎝⎭()2e sin 2e 30x g x x π'=+->->所以在上单调递增． ()g x π,2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭因为，所以在上无零点． 0πg 2⎛⎫> ⎪⎝⎭()g x π,2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭综上所述，在上的零点个数为． ()g x π,2⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭2【点睛】方法点睛：利用导数解决函数零点问题的方法：（1）直接法：先对函数求导，根据导数的方法求出函数的单调区间与极值，根据函数的基本性质作出图象，然后将问题转化为函数图象与轴的交点问题，突出导数的工具作用，体现了转化与化归思想、数形x 结合思想和分类讨论思想的应用；（2）构造新函数法：将问题转化为研究两函数图象的交点问题；（3）参变量分离法：由分离变量得出，将问题等价转化为直线与函数()0f x =()a g x =y a =的图象的交点问题. ()y g x =。

江苏省东台中学2012-2013学年度第二学期高一五月月考试卷班级 学号 姓名一．填空题1.在ABC ∆中，已知3=b ，33=c ，ο30=B ，则=a ．2.已知数列{}n a 是公比为q 的等比数列，且134a a ⋅=，48a =，则=q a 1 ．3.过点)0,1(，且与直线0102=-+y x 的斜率相同的直线方程是 ．4.正方体的全面积是2a ,它的顶点都在球面上，这个球的表面积是______.5.将正方形ABCD 沿对角线BD 折成直二面角，则折后ACD ∆的形状为 ．6.设,,X Y Z 是空间不同的直线或平面，对下面四种情形,使“X Z ⊥且Y Z ⊥//X Y ⇒”成立的是 ．①,,X Y Z 是直线； ②,X Y 是直线，Z 是平面； ③Z 是直线，,X Y 是平面； ④,,X Y Z 是平面.7.已知数列{}n a 中，11a =且12n n a a n +=-，则=20a ．8.已知n S 是等差数列{}n a 的前n 项和，若77=S ，7515=S ，则数列n S n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前20项和为 ．9.用半径为cm 310，面积为23100cm π的扇形铁皮制作一个无盖的圆锥形容器（衔接部分忽略不计）， 则该容器盛满水时的体积是 3cm ．10.在ABC ∆中，三个内角C B A ,,的对边分别是c b a ,,，已知b c a 222=-，且C A C A sin cos 3cos sin =,则边长=b ．11.如图，直三棱柱'''ABC A B C -中，1,2,'3,AB BC AC AA M ====为线段'BB 上的一动点，则当'AM MC +最小时，'AMC ∆的面积为 ．12.设四面体的六条棱的长分别为2,2,2,2,22和a ，且长为a 的棱与长为22的棱异面，则a 的取值范围是 ．13.有一个正四面体，它的棱长为a ，现用一张圆型的包装纸将其完全包住（不能裁剪纸，但可以折叠），那么包装纸的最小半径为 ．14.在数列{}n a 中，若对任意的*n ∈N ，都有211n n n n a at a a +++-=（t 为常数），则称数列{}n a 为比等差数列，t 称为比公差．现给出以下命题：①等比数列一定是比等差数列，等差数列不一定是比等差数列；②若数列{}n a 满足122n n a n -=，则数列{}n a 是比等差数列，且比公差12t =；③若数列{}n c 满足11c =，21c =，12n n n c c c --=+（3n ≥），则该数列不是比等差数列； ④若{}n a 是等差数列，{}n b 是等比数列，则数列{}n n a b 是比等差数列． 其中所有真命题的序号是 ． 二．解答题15.已知直线l ：0355=+--a y ax ,（I ）求证：不论a 为何值，直线l 总经过第一象限； （II ）为使直线不经过第二象限，求a 的取值范围．BA'16.在ABC ∆中，三个内角C B A ,,的对边分别是c b a ,,，且a A b B A a 2cos sin sin 2=+．（I ）求b a； （II ）若2223a b c +=，求B ．17.已知数列{}a n 的前n 项和为n S ,且满足21),2(0211=≥=⋅+-a n S S a n n n ． (Ⅰ)证明}1{nS 是等差数列； (Ⅱ)求数列{}a n 的通项n a .18.如图，在四棱锥ABCD P -中，PD ⊥平面ABCD ,四边形ABCD 为菱形，8PD =，6AC =，8BD =，O BD AC =I ，E 是棱PB 上的中点．(Ⅰ)求证：//OE 面PAD ； (Ⅱ)求证：DE AC ⊥；(Ⅲ)是否存在点F ，且F 在棱PB 上,使ACF ∆的面积最小？若存在，试求出ACF ∆面积最小值及对应线段BF 的长；若不存在，请说明理由．BC ADHF E20.设数列{}n a 对任意*N n ∈都有112()()2()n n kn b a a p a a a +++=++L (其中k 、b 、p 是常数).(I)当0k =,3b =,4p =-时,求123n a a a a ++++L ；(II)当1k =,0b =,0p =时,若33a =,915a =,求数列{}n a 的通项公式；(III)若数列{}n a 中任意(不同)两项之和仍是该数列中的一项,则称该数列是“封闭数列”.当1k =,0b =,0p =时,设n S 是数列{}n a 的前n 项和,212a a -=,试问:是否存在这样的“封闭数列”{}n a ,使得对任意*N n ∈,都有0n S ≠,且12311111111218n S S S S <++++<L .若存在,求数列{}n a 的首项1a 的所有取值；若不存在,说明理由.江苏省东台中学2012-2013学年度第二学期高一五月月考试卷答题纸（2013.05）一、填空题：（本大题共14小题，每小题5分，共70分）二、解答题：(本大题共6小题，共90分)O19、（本题共16分） 解：（1）()θθθθcos sin 1cos sin 10++=L ⎥⎦⎤⎢⎣⎡∈3,6ππθ （2）令θθcos sin +=t ，且⎥⎦⎤⎢⎣⎡+∈2,213t则()()1201211102-=-+=t t t L 在⎥⎦⎤⎢⎣⎡+∈2,213t 上单调递减， 故当2=t 时达到最小值因此，当4πθ=时，管道最小值为()1220+米.20、（本题共16分）解:(I) 数列{}n a 是等比数列,∴123n a a a a ++++L =312n -(II) 数列数列{}n a 是等差数列. ∴23n a n =-(III)知{}n a 是等差数列, ∴12(1)n a a n =+-. 又{}n a 是“封闭数列”,1112(1)2(1)2(1)a n a m a p +-++-=+-得12(1)a p m n =--+,故1a 是偶数, 又由已知,111111218S <<, 故1181211a <<.一方面,当1181211a <<时,1(1)n S n n a =+-0>,对任意*N n ∈,都有123111111112n S S S S S ++++≥>L . 另一方面,当12a =时,(1)n S n n =+,1111n S n n =-+, 则1231111111n S S S S n ++++=-+L ,-------------------------------------------------------------------奋斗没有终点任何时候都是一个起点-----------------------------------------------------信达 取2n =,则1211121113318S S +=-=>,不合题意. 当14a =时,(3)n S n n =+,1111()33n S n n =-+,则 1231111111111()183123n S S S S n n n ++++=-+++++L 1118<, 当16a ≥时,1(1)n S n n a =+-(3)n n >+,1111()33n S n n <-+, 123111*********()18312318n S S S S n n n ++++<-++<+++L , 又1181211a <<,∴14a =或16a =或18a =或110a =。

高一年段五月月考数学科试题（考试时间：120分钟；满分：150分）一､选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 已知向量，若，则（）()()2,4,6,a b m ==-()a a b⊥+ m =A. B.C. 0D. 32-1-【答案】A 【解析】【分析】求出，利用向量垂直列出方程，求出答案.()4,4a b m +=-+【详解】因为，由，得，所()()()2,4,6,,4,4a b m a b m ==-+=-+()a ab ⊥+ ()8440m -+⨯+=以． 2m =-故选：A ．2. 已知函数是定义在上的单调减函数：若，则的取值范围是（ ） ()f x [)0,∞+()1213f a f ⎛⎫-> ⎪⎝⎭a A. B. C. D.2,3⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭12,23⎛⎫⎪⎝⎭2,3⎛⎫+∞⎪⎝⎭12[,23【答案】D 【解析】【分析】根据函数的单调性即可解不等式． 【详解】由已知，解得， 10213a ≤-<1223a ≤<故选：D3. 已知复数是关于的方程的一个根，则 （ ）2i -x ()20,x px q p q R ++=∈pi q +=A. 25B. 5C.D. 41【答案】C 【解析】【分析】将代入原方程，然后根据复数相等求解出的值，则可求.2i -,p q pi q +【详解】因为复数是关于的方程的一个根， 2i -x 20x px q ++=所以，所以， ()()2220i p i q -+-+=423pi q i p +=+-所以，所以， 4,23p q p ==-4,5p q ==则，45pi q i +=+=故选：C .4. 设有两条不同的直线和两个不同的平面，则下列命题正确的是（ ） m n 、αβ、A. 若，则,m n αα∥∥m n ∥B. 若，则 ,,,m n m n ααββ⊂⊂∥∥αβ∥C. 若，则 ,m n m α⊂∥n α∥D. 若，则 ,m αβα⊂∥//m β【答案】D 【解析】【分析】根据线面平行的性质与判定逐个选项分析即可.【详解】若，则可以平行､相交或异面，故A 错误； ,m n αα∥∥,m n 若与相交，则，故B 错误； ,,,,m n m n m ααββ⊂⊂∥∥n αβ∥若，则或，故C 错误； ,m n m α⊂∥n α∥n ⊂α若，则，故D 正确. ,m αβα⊂∥//m β故选：D.5. 如图是底面半径为的圆锥，将其放倒在一平面上，使圆锥在此平面内绕圆锥顶点滚动，当这个圆3S 锥在平面内转回原位置时，圆锥本身恰好滚动了周，则该圆锥的表面积为（ ）3A. B.C.D.36π27π9π【答案】A 【解析】【分析】设圆锥的母线长为，题意可知，再利用圆锥的表面积公式进行计算． l 2π33πl l =⨯【详解】设圆锥的母线长为，以为圆心，母线为半径的圆的面积为， l S l 2πS l =又圆锥的侧面积，π3πS rl l ==圆锥侧因为圆锥在平面内转到原位置时，圆锥本身滚动了周，所以，解得，32π33πl l =⨯9l =所以圆锥的表面积，23π9π336πS S S =+=⨯⨯+⨯=圆锥侧底故选：A ． 6. 函数的图象大致是（ ） ()21sin 1e xf x x ⎛⎫=-⎪+⎝⎭A.B.C.D.【答案】A 【解析】【分析】根据奇偶性和的符号，使用排除法可得. ()2f 【详解】的定义域为R ，()f x 因为 ()e 12122e e 1sin()1sin sin 11e e x x xx x f x x x x -⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=--=--=- ⎪ ⎪ ⎪++++⎭⎝-⎝⎝⎭⎭，所以为偶函数，故CD 错误；1sin 1sin ()e e 2211x x x x f x ⎛⎫⎛⎫=--=-= ⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭()f x 又因为，，所以，故B 错误. ()2221sin 21e f ⎛⎫=- ⎪+⎝⎭2210,sin 201e -<>+()20f <故选：A7. 正方体的棱长为2，点分别是棱中点，则过点三点1111ABCD A B C D -,,P Q R 1111,,A D C D BC ,,P Q R 的截面面积是（ ）A.B.C. D. 【答案】D 【解析】【分析】作图作出过点三点的截面，说明截面为正六边形，求得边长皆可求得截面面积. ,,P Q R 【详解】如图，设AB 的中点为H ，连接HR 并延长，交DA 延长线于E ,交DC 延长线于F ，连接PE 交于G ,连接QF 交 于I ，连接GH,RI ,则六边形PQIRHG 为过点三点的截面，1A A 1C C ,,P Q R由题意可知， ,则 ,AHE BHR A A ≌1AE BR ==故,可知 ,即G 为的中点， 1AGE AGP A A ≌1AG A G =1A A 同理可证I 为的中点，故可知六边形PQIRHG 为正六边形， 1C C，故其面积为 ，即过点三点的截面面积是， 26=,,P Q R 故选：D8. 将边长为2的正沿着高折起，使，若折起后四点都在球的ABC ∆AD 120BDC ∠= A B C D 、、、O 表面上，则球的表面积为（ ）OA.B. C.D.72π7π132π133π【答案】B 【解析】【分析】通过底面三角形BCD 求出底面圆的半径DM ，判断球心到底面圆的距离OM ，求出球O 的半径，即可求解球O 的表面积．【详解】△BCD 中，BD=1，CD=1，∠BDC=120°，底面三角形的底面外接圆圆心为M ，半径为：r,由余弦定理得到，再由正弦定理得到2 1.r r =⇒=见图示：AD 是球的弦，，将底面的圆心M 平行于AD 竖直向上提起，提起到AD 的高度的一半，即为球心的位置O ，∴在直角三角形OMD 中，应用勾股定理得到OD ，OD 即为球的半径.∴球的半径． 该球的表面积为：4π×OD 2=7π； 故选B ．【点睛】涉及球与棱柱、棱锥的切、接问题时，一般过球心及多面体中的特殊点(一般为接、切点)或线作截面，把空间问题转化为平面问题，再利用平面几何知识寻找几何体中元素间的关系，或只画内切、外接的几何体的直观图，确定球心的位置，弄清球的半径(直径)与该几何体已知量的关系，列方程(组)求解.二､多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9. 已知向量，，则（ ）()2,1a = ()1,3b =-A.B.1a b ⋅= 2-=a b C. 与同向的单位向量是D. 向量在上的投影向量是aa b 110b 【答案】ABD 【解析】【分析】由向量的数量积的坐标运算可判断A ；由向量的坐标减法运算和模长计算可判断B ；由单位向量的定义可判断C ；由投影向量的定义可判断D.【详解】对于A ，由题意可得，则A 正确．()21131⋅=⨯-+⨯=a b 对于B ，因为，，所以，所以，则B正确．()2,1a = ()1,3b =-()25,1-=-ab2-=a b 对于C ，与同向的单位向量是，则C 错误．a )2,1==对于D ，向量在上的投影向量是，则D 正确． a b110a b b b bb ⋅⋅=故选：ABD.10. 若函数图象的一个最高点为，且相邻两条对()()πsin 0,0,02f x A x A ωϕωϕ⎛⎫=+>><<⎪⎝⎭π,26⎛⎫⎪⎝⎭称轴间的距离为，则下列各选项正确的是（ ） π2A.π2,2,6A ωϕ===B. 在上单调递增()f x π0,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦C.是的一个零点 5π12()f x D. 的图象向右平移个单位得到的图象()f x π62sin2y x =【答案】AC 【解析】【分析】根据已知可求出，，进而得出，.代入点的坐标，结合2A =πT =2ω=()()2sin 2x x f ϕ=+的范围即可得出，，得出A 项；求出，根据正弦函数ϕπ6ϕ=()π2sin 26f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭ππ7π2666x ≤+≤的单调性，即可判断B 项；将代入解析式，即可判断C 项；根据图象平移变换得出解析式，即可判5π12断D 项.【详解】对于A 项，由已知可得，，，所以，，，2A =π22T =πT =2π2πω==所以，. ()()2sin 2x x f ϕ=+又， πππ2sin 22sin 2663f ϕϕ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⨯+=+=⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭所以，，所以，sin 13πϕ⎫⎛+= ⎪⎝⎭ππ2π,32k k ϕ+=+∈Z 所以，. π2π,6k k ϕ=+∈Z 因为，所以，，故A 项正确； π02ϕ<<π6ϕ=()π2sin 26f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭对于B 项，因为，所以， π02x ≤≤ππ7π2666x ≤+≤函数在上单调递增，在上单调递减，故B 项错误； sin y x =ππ,62⎡⎤⎢⎥⎣⎦π7π,26⎡⎤⎢⎥⎣⎦对于C 项，因为，所以是的一个零点，故C 项正5π5ππ2sin 22sin π012126f ⎛⎫⎛⎫=⨯+== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭5π12()f x 确；对于D 项，将的图象向右平移个单位，可以得到的图()f x π6πππ2sin 22sin 2666y x x ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=-+=- ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦象，故D 错误. 故选：AC.11. 对于，角所对的边分别为，下列说法正确的有（ ） ABC A ,,A B C ,,a b c A. 若，则一定为等腰三角形 sin2sin2A B =ABC A B. 若，则一定为等腰三角形 sin sin A B =ABC A C. 若，则有两解 ,5π6,4A b a ===ABC A D. 若，则一定为锐角三角形 tan tan tan 0A B C ++>ABC A 【答案】BD 【解析】【分析】根据已知可得或，即可判断A 项；根据正弦定理可得，即可判断22A B =22πA B +=a b =B 项；根据已知可推得只有一解，即可判断C 项；根据两角和的正切公式，可推得B ，即可得出D 项.tan tan tan 0A B C ⋅⋅>【详解】对于A 项，由可知，或， sin2sin2A B =22A B =22πA B +=所以，或， A B =π2A B +=所以，为等腰三角形或直角三角形，故A 错误； ABC A 对于B 项，根据正弦定理可得，，所以， sin sin a bA B =sin 1sin a A b B==a b =所以一定为等腰三角形，故B 正确； ABC A 对于C 项，因为，所以，又， a b >A B >sin 20sin 15b A B a <==<所以只有一解，所以，有一解，故C 错误； B ABC A 对于D 项，因为， ()πC A B =-+所以，，()tan tan tan tan 1tan tan A B C A B A B+=-+=--整理可得，. tan tan tan tan tan tan A B C A B C ++=⋅⋅因为，所以，tan tan tan 0A B C ++>tan tan tan 0A B C ⋅⋅>所以，都是锐角，所以一定为锐角三角形，故D 正确. ,,A B C ABC A 故选：BD .12. 已知点O 为所在平面内一点，且，则下列选项正确的是（）ABC A 230AO OB OC ++=u u u r u u u r u u u r rA.1324AO AB AC =+u u u r u u u r u u u rB. 直线必过边的中点 AO BCC.:3:2AOB AOC S S =△△D. 若，且，则1OB OC ==u u u r u u u r OB OC ⊥OA =u u r 【答案】ACD 【解析】【分析】根据题设条件，化简得到，可判定A 是正确的；根据向量的线性运算法423AO AB AC =++u u u r u u u r u u u r则，化简得到，可判定B 不正确；根据，得到，结2()4OB OC AC OD +=-=- 4AC OD =- 32BE EC =合三角形的面积公式，可判定C 正确；根据向量的数量积和模的运算公式，可判定D 是正确的.【详解】如图所示，点O 为所在平面内一点，且，ABC A 230AO OB OC ++=u u u r u u u r u u u r r可得，即，223350AO OB OA OC OA OA +-+-+=u u u r u u u r u u r u u u r u u r u u r r()()23AO OB OA OC OA =-+- 即，所以，所以A 是正确的；423AO AB AC =+1324AO AB AC =+u u u r u u u r u u u r 在中，设为的中点，ABC A D BC 由，可得，230AO OB OC ++=u u u r u u u r u u u r r()2()0AO OC OB OC +++=u u u r u u u r u u u r u u u r r 所以，所以直线不过边的中点，所以B 不正确；2()4OB OC AC OD +=-=-AO BC 由，可得且，4AC OD =-4AC OD = //AC OD 所以，所以，可得，所以 14DE OD EC AC ==14DE EC =25EC BC =32BE EC =所以，所以C 正确； 1sin 3212sin 2AOB AOC AD BE AEB S BE S EC AD EC OEC ⨯∠===⨯∠△△由，可得230AO OB OC ++=u u u r u u u r u u u r r 23OA OB OC =+u u r u u u r u u u r 因为，且，1OB OC ==u u u r u u u r OB OC ⊥ 可得， 222223412913OA OB OC OB OB OC OC =+=+⋅+=u u r u u u r u u u r u uu r u u u r u uu r u u u r 所以D 是正确的.OA =u u r故选：ACD.【点睛】本题主要考查了平面向量的基本概念，向量的线性运算，以及向量的数量积和向量的模的运算及应用，其中解答中熟记向量的线性运算法则，以及平面向量的数量积和模的计算公式是解答的关键，着重考查推理与运算能力.三､填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13. 已知复数满足（是虚数单位），则 ．z ()117i z i +=-i z =【答案】5 【解析】【分析】把已知等式变形，然后利用复数代数形式的乘除运算化简，再由复数求模公式计算得答案．【详解】由（1+i ）z=1﹣7i ， 得， ()()()()1711768341112i i i iz i i i i -----====--++-则． 5=故答案为5．【点睛】本题考查了复数代数形式的乘除运算，考查了复数模的求法，是基础题． 14. 如图是用斜二测画法画出的直观图，则的面积是________.AOB A AOB A【答案】. 16【解析】 【分析】根据斜二测法，所得直观图中三角形的高为4，即有的高为8，而底边为4不变，根据三角形面积AOB A 公式即可求的面积.AOB A 【详解】由斜二测法画图原则：横等纵半， ∴的高为8，即， AOB A 184162AOB S =⨯⨯=A 故答案为：.16【点睛】本题考查了根据斜二测法所得直观图求原图面积，属于基础题. 15. 图（1）阴影部分是由长方体和抛物线围成，图（2）阴影部分是由半径为3的半圆ABCD 213y x =和直径为3的圆围成的，这两个阴影部分高度相同，利用祖暅原理，可得出图（1）阴影部分绕轴O P y 旋转而成的几何体的体积为______．【答案】## 272π13.5π【解析】【分析】分析图一与图二旋转后的几何体的结构特征，根据祖暅原理，求几何体一的体积. 【详解】图一绕轴旋转一周可得一圆柱挖去中间的部分， y 将图二以小圆的直径为轴旋转一周可得一个半球挖去一个小球，将两个几何体放在同一水平面上，用与圆柱下底面距离为的平面截两个几何体，可得截面都(03)t t <<为圆环，纵截面图如下，几何体一的截面面积为223=93t ππππ⨯--几何体二的截面面积为，22=93t ππππ⨯--又两几何体等高，由祖暅原理可得两几何体的体积相等，又几何体二的体积332144327323322V πππ⎛⎫=⨯⨯⨯-⨯⨯=⎪⎝⎭所以几何体一的体积, 1272V π=故答案为：272π16. 如图，在Rt △AOC 中，，圆O 为单位圆．3AO CO ==（1）若点P 在圆O 上，，则______________60AOP ∠=︒AP =（2）若点P 在△AOC 与圆O 的公共部分的圆弧上运动，则的取值范围为__________14PA PC ⋅ 【答案】 ①.②.12⎡⎤--⎣⎦【解析】【分析】（1）根据结合数量积的运算律即可求出；AP =AP （2）法一：根据，结合余弦函数的性()()1,PA PC PO OA PO OC PO OA OC ⋅=+⋅+=++质即可得解.法二：以O 为原点，OA 所在直线为y 轴，OC 所在直线为x 轴建立坐标系，设，再根据数量积的坐标运算结合三角函数的性质即可得解.()πcos ,sin ,0,2P θθθ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦【详解】（1）在△AOP 中，，，，3AO =1OP =60AOP ∠=︒，AP OP OA =- 则，AP ====即AP =（2）法一：()()()2PA PC PO OA PO OC PO PO OA OC OA OC ⋅=+⋅+=+⋅++⋅()11cos ,PO OA OC PO OA OC PO OA OC =+⋅+=+++，1,PO OA OC =++因为，所以，3,π,π4PO OA OC ⎡⎤+∈--⎢⎥⎣⎦cos ,1,PO OA OC ⎡+∈-⎢⎣ 故的取值范围为．PA PC ⋅12⎡⎤--⎣⎦法二：以O 为原点，OA 所在直线为y 轴，OC 所在直线为x 轴建立坐标系， 设，，，()πcos ,sin ,0,2P θθθ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦()0,3A ()3,0C 所以，，()cos ,3sin PA θθ=-- ()3cos ,sin PC θθ=--则 ()()22cos cos 3sin sin 3cos sin 3cos 3sin PA PC θθθθθθθθ⋅=-+-=+--，()π13cos sin 14θθθ⎛⎫=-+=-+ ⎪⎝⎭∵，则，∴， π0,2θ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦ππ3π,444θ⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦πsin 4θ⎤⎛⎫+∈⎥ ⎪⎝⎭⎦， π1124θ⎛⎫⎡⎤-+∈-- ⎪⎣⎦⎝⎭即．12PA PC ⎡⎤⋅∈--⎣⎦故答案为：（1；（2）.12⎡⎤--⎣⎦【点睛】方法点睛：求向量模的常见思路与方法：（1）求模问题一般转化为求模的平方，与向量数量积联系，并灵活应用，勿忘记开方； 22a a =（2）或，此性质可用来求向量的模，可实现实数运算与向量运算的相互转化； 22a a a a ⋅== = a （3）一些常见的等式应熟记：如，等.()2222a ba ab b ±=±⋅+()()22a b a b a b +⋅-=- 四､解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.17. 已知圆锥的侧面展开图为半圆，母线长为（1）求圆锥的表面积；（2）如图，过的中点作平行于底面的截面，以该截面为底面挖去一个圆柱，求剩下几何体的体AO 1O 积．【答案】（1）；9π（2）. 158π【解析】【分析】（1）设圆锥的底面半径为r ，高为h ，分别求出侧面积和底面积即可得到答案.（2）先求出圆锥的体积，为的中点，利用相似比求出圆柱的底面半径，即可求出圆柱的体积，剩1O AO 下几何体的体积为圆锥体积减去圆柱体积，即可得到答案. 【小问1详解】设圆锥的底面半径为r ，高为h由题意，得：，∴，∴2r π=r =3h =∴圆锥的侧面积 16S rl ππ===圆锥的底面积 223S r ππ==∴圆锥的表面积 129S S S π=+=【小问2详解】由（1）可得：圆锥的体积为 211133333V r h πππ==⨯⨯=又圆柱的底面半径为，高为 2r =322h =∴圆柱的体积为 2233922428r hV πππ⎛⎫==⨯⨯=⎪⎝⎭∴剩下几何体的体积为 12915388V V V πππ=-=-=18. 如图，在平面内将两块直角三角板接在一起，已知，记.45,60ABC BCD ∠=∠= ,AB a AC b →→→→==（1）试用表示向量; ,a b →→,AD CD →→（2）若，求.1b →=AB CD →→⋅【答案】（1），；（2.AD a →→=+)1CD a b →→→=+-1+【解析】【分析】（1）由题易知，再结合即可得，进而即CB a b →→→=-BD →=AD a →→=CD AD AC →→→=-可得答案；（2）由题知，，进而根据向量数量积运算求解即可.1a b →→⋅=a →=【详解】（1）因为，所以，,AB a AC b →→→→==CB AB AC a b →→→→→=-=-由题意可知， ，//,AC BD BD ==所以，则，BD →=AD AB BD a →→→→=+=)1CD AD AC a b →→→→→=-=+（2）因为，所以， ，1b →=a →=cos 114a b a b π⋅=⋅==所以))211211AB CD a a b a a b →→→→→→→→⎡⎤⋅=⋅+=+-⋅==+⎢⎥⎣⎦19. 某学校开展“测量故宫角楼高度”的综合实践活动.如图1所示，线段表示角楼的高，为AB ,,C D E 三个可供选择的测量点，点在同一水平面内，与水平面垂直.从以下六个几何量中选择三个进行,B C CD 测量，并根据所选择的几何量测量故宫角楼高度，请写出选择的编号（只需写出一种方案）①D ，E 两点间的距离； ②C ，E 两点间的距离； ③由点观察点A 的仰角； C α④由点观察点A 的仰角； D β⑤和； ACE ∠AEC ∠⑥和.ADE ∠AED ∠【答案】①③④（答案不唯一，也可选择②③⑤） 【解析】【分析】要想求出角楼的高，应该知道其中一边的长度，即应选择①②中的一个，然后在对应的三角形中，找寻其他的量，逐步求解，即可得出答案.【详解】若要求角楼的高即长，必要知道一边长，若知，两点间的距离长，在梯形AB C D CD ABCD 中解和即可，此时可选①③④；若知，两点间的距离即长，则解和ACD A ABC A C E CE ACE △即可得解，此时可选②③⑤.ABC A 若选①③④，由已知可得，， π2ABC BCD ∠=∠=在中，，，， ACD A π2ACD α∠=-π2ADC β∠=+CAD αβ∠=-所以， πsin()sin 2AC CDαββ=-⎛⎫+ ⎪⎝⎭所以，cos sin()AC CD βαβ=⋅-所以，其中各个量均已知；cos sin sin sin()AB AC CD βαααβ=⋅=⋅-若选②③⑤，已知和，则，ACE ∠AEC ∠πCAE ACE AEC ∠=-∠-∠由，sin sin sin()AC CE CEAEC CAE ACE AEC ==∠∠∠+∠所以，sin sin()AECAC CE ACE AEC ∠=⋅∠+∠所以 其中各个量均已知.sin sin sin sin()AEC AB AC CE ACE AEC αα∠⋅==⋅∠+∠其他选择方案均不可求得长.AB 20. 如图：在正方体中，，为的中点.1111ABCD A B C D -2AB =M 1DD（1）求证：平面；1//BD AMC （2）若为的中点，求证：平面平面. N 1CC //AMC 1BND 【答案】（1）证明见解析（2）证明见解析 【解析】【分析】（1）连接，交于点，连接，由已知可证明，再根据线面平行的判定BD AC O OM 1//OM BD 定理即可得证；（2）证明四边形为平行四边形，从而可得，即可证得平面，再根据1CND M 1//D N CM 1//D N AMC 面面平行的判定定理即可得证. 【小问1详解】如图1，连接，交于点，连接， BD AC O OM 根据正方体的性质可知，是中点. O BD 因为是的中点，M 1DD 所以在中，有.1DBD △1//OM BD 因为平面，平面， 1BD ⊄AMC OM ⊂AMC 所以，平面. 1//BD AMC 【小问2详解】如图2，连接，1,D N BN 因为为的中点，为的中点， N 1CC M 1DD 所以.1CN D M =根据正方体的性质可知，，所以. 11//CC DD 1//CN D M 所以，四边形为平行四边形， 1CND M 所以.1//D N CM 因为平面，平面，1D N ⊄AMC CM ⊂AMC 所以，平面.1//D N AMC 因为，平面，平面， 111D N BD D = 1D N ⊂1BND 1BD ⊂1BND 所以，平面平面.//AMC 1BND 21. 的角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知. ABC A sin sin (sin sin )bA CBC a c-=-+（1）求角A ；（2）从三个条件：①；②；③的面积为周3a =3b =ABC A ABC A长的取值范围. 【答案】（1）；（2）答案不唯一，具体见解析.3A π=【解析】【分析】（1）利用正弦定理将角化边，可得，然后利用余弦定理，可得. 222b c a bc +-=A （2）若选①，使用正弦定理以及辅助角公式可得，根据的范围可得结果；选6sin 36π⎛⎫=++ ⎪⎝⎭l B B ②，利用正弦定理可得，可得结果.选③结合不等式可得结果. 92=+l 【详解】（1）因为， sin sin (sin sin )bA CBC a c-=-+所以，得， ()ba cbc a c-=-+222b c a bc +-=所以，因为，所以. 2221cos 22b c a A bc +-==(0,)A π∈3A π=（2）分三种情况求解： 选择①，因为，3a =,33Aa π==由正弦定理得sin sin sin b c aB CA===即的周长ABC A 3=++=++l ab c B C233π⎛⎫=+-+ ⎪⎝⎭l B B3cos 3B B =++，6sin 36B π⎛⎫=++ ⎪⎝⎭因为，所以， 20,3B π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭51,sin 166626B B ππππ⎛⎫<+<<+ ⎪⎝⎭…即周长的取值范围是. ABC A (6,9]选择②,因为，3b=,33A b π==由正弦定理得=a23sin 3sin 33sin sin 2π⎛⎫- ⎪⎝⎭===+B C c B B 即的周长ABCA 92=++=+l a b c992222B B =+=+，92=+因为，所以，所以20,3B π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭023B π<<0tan 2B <<即周长的取值范围是.ABC A (6,)+∞选择③. ABC S =A 因为，得， 1,sin 32ABC A S bc A π====A 12bc =由余弦定理得， 22222()3()36a b c bc b c bc b c =+-=+-=+-即的周长，ABCAl a b c b c =++=++因为，当且仅当时等号成立，b c +=…b c ==所以l +=…即周长的取值范围是.ABC A )+∞【点睛】本题考查正弦定理、余弦定理、面积公式的应用，熟练掌握公式，边角互化化繁为简，考查分析问题的能力，属中档题.22. 已知为坐标原点，对于函数，称向量为函数的伴随向O ()sin cos f x a x b x =+(),OM a b =()f x 量，同时称函数为向量的伴随函数.()f x OM（1）设函数，试求的伴随向量；()2π3πsin cos 32g x x x ⎛⎫⎛⎫=+++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭()g x OM（2）记向量的伴随函数为，求当且时，的值；(ON = ()f x ()65f x =ππ,36x ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭sin x （3）当向量时，伴随函数为，函数，求在区间OM = ()f x ()()2h x f x =()h x π,4t t ⎡⎤+⎢⎥⎣⎦上最大值与最小值之差的取值范围.【答案】（1）12OM ⎛= ⎝ （2）sin x =（3）【解析】【分析】（1）化简的解析式，从而求得伴随向量.()g x OM （2）先求得，由求得，进而求得，从而求得. ()f x ()65f x =πsin 3x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭πcos 3x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭sin x （3）先求得，然后根据三角函数的最值求得正确答案.()h x 【小问1详解】()2π3πsin cos 32g x x x ⎛⎫⎛⎫=+++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，11sin sin sin 22x x x x x =-++=所以.12OM ⎛= ⎝ 【小问2详解】依题意， ()πsin 2sin 3f x x x x ⎛⎫=+=+ ⎪⎝⎭由得， ()65f x =π6π32sin ,sin 3535x x ⎛⎫⎛⎫+=+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以， ππππ,,0,3632x x ⎛⎫⎛⎫∈-+∈ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭π4cos 35x ⎛⎫+= ⎪⎝⎭所以ππ1ππsin sin sin 33233x x x x ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+-=+-+= ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦【小问3详解】的函数解析式， ()f x ()πsin 4f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭所以 ()sin 24h x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭区间的长度为，函数的周期为， ,4t t π⎡⎤+⎢⎥⎣⎦4π()sin 24h x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭π若的对称轴在区间内， ()h x π,4t t ⎡⎤+⎢⎥⎣⎦不妨设对称轴在内，最大值为1， 8x π=,4t t π⎡⎤+⎢⎥⎣⎦当即在区间上的最大值与最小值之差取得()π4h t h t ⎛⎫+= ⎪⎝⎭()π04h h ⎛⎫== ⎪⎝⎭()h x ,4t t π⎡⎤+⎢⎥⎣⎦最小值为； 1=其它的对称轴在， ,4t t π⎡⎤+⎢⎥⎣⎦若的对称轴不在区间内，则在区间内单调，在两端点处取得最大值与最()h x ,4t t π⎡⎤+⎢⎥⎣⎦()h x ,4t t π⎡⎤+⎢⎥⎣⎦小值，则最大值与最小值之差为：()sin 2sin 24244h t h t t t ππππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫+-=++-+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，()cos 2sin 2224π⎛⎫⎛⎛=+-+≤ ⎪ ⎝⎭⎝⎝t t t t故函数在区间上的最大值与最小值之差的取值范围为 ()sin 24h x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭,4t t π⎡⎤+⎢⎥⎣⎦【点睛】方法点睛：求解新定义函数有关的问题，关键点在于理解新的定义，解题过程中，要将“新”问题，转化为所学的知识来进行求解，体现了化归与转化的数学思想方法.。

枣阳市白水高级中学xx学年高一下学期5月月考数学试题一、选择题（10小题，每小题5分，共50分）1．已知数列那么它的一个通项公式是( )A. B. C. D.2．设是等差数列，且，则这个数列的前5项和（）A．10 B．15 C．20 D．253．若，三角函数式的化简结果为（）（A）（B）（C）（D）4．在中，已知，，，则的面积是( ).A. B. C. D.5．在等差数列中，若，则的值为（A）A、9B、12C、16D、176．在等比数列｛a n｝中，，，则（）A． 81 B. 27 C. D. 2437．若关于的不等式对恒成立，则（）A. B.C. D.8．若，则，则的值为（）A． B． C． D．9．已知正的顶点，顶点在第一象限，若点是内部或其边界上一点，则的最小值为（）A. B. C. D.10．下列推理正确的是( ).A．如果不买彩票，那么就不能中奖．因为你买了彩票，所以你一定中奖B．因为a>b，a>c，所以a－b>a－cC．若a>0，b>0，则lga＋lgb≥2D．若a>0，b<0二、填空题（5小题，每小题5分，共25分）11．在中，，则角A =12．已知是4和16的等差中项,则=______13．在等比数列{a n}中,a5a7=6,a2+a10=5,则等于_____________.14．等差数列的前10项和为30，则___________.15．某单位某年十二月份的产值是同年一月份产值的m倍.那么该单位此年的月平均增长率是_________________________.三、解答题（题型注释）16．（本小题满分12分）已知函数(R).当取什么值时,函数取得最大值,并求其最大值;(2)若为锐角，且，求的值.17．本题满分10分)一艘轮船按照北偏西50°的方向，以15海里每小时的速度航行，一个灯塔M原来在轮船的北偏东10°方向上，经过40分钟，轮船与灯塔的距离是海里，则灯塔和轮船原来的距离为多少？18．(满分12分) 在中，分别是角的对边，且。

高一年级5月月考数学试题一、单选题（每题5分，共12题）1. 已知向量，，则（ ）()1,2a =r ()0,1b = a b -=A. B.C.D.()1,3()3,1()1,1()1,1--【答案】C 【解析】【分析】由向量减法的坐标运算求解．【详解】由题设，．(1,2)(0,1)(1,1)a b -=-=故选：C ．2. 已知向量，，且，则（ ）()1,2a =- ()21,1b m =- a b ⊥2a b += A. 5 B. 4C. 3D. 2【答案】A 【解析】【分析】由，可得，求出的值，从而可求出的坐标，进而可求出a b ⊥1220m -+=m 2a b + 2a b +【详解】解：因为向量，，且，()1,2a =- ()21,1b m =- a b ⊥所以，解得， 1220m -+=32m =所以，()2,1b =r所以，2(1,2)2(2,1)(3,4)a b +=-+=所以，25a b +== 故选：A3. 若单位向量，满足，则与的夹角为（ ）a b ()2a b a -⊥ a b A.B.C.D.6π3π2ππ【答案】B 【解析】【分析】先求出，然后用夹角公式求解.12a b ⋅= 【详解】由，得，()2a b a -⊥()20a b a -⋅=r r r所以，所以， 12a b ⋅= 1cos ,2||||a b a b a b ⋅==⋅又，所以.[],0,a b π∈,3a b π=r r 故选：B.4. 如图，用斜二测画法画一个水平放置的平面图形的直观图为一个正方形，则原图的面积为（）A. B.C.D.2【答案】A 【解析】【分析】方法一：还原原图形，再求出面积；方法二：先求出直观图的面积，再根据直观图和原图形的面积比进行求解【详解】方法一：如图所示：根据斜二测画法，可知原图形为平行四边形，其中，1OB O B ''==，故面积为.2OAO A ''==OAOB ⋅=方法二：直观图的面积为，原图的面积与直观图的面积之比为， 111⨯=故原图的面积为1=故选：A5. 在正方体中，是正方形的中心，则直线与直线所成角大小为1111ABCD A B C D -M ABCD 1A D 1B M （ ）A. 30°B. 45°C. 60°D. 90°【答案】A 【解析】【分析】如图，连接，，，利用余弦定理可求的值，从而可得直线与直线1B C MC MB 1CB M ∠1A D 所成角大小.1B M 【详解】设正方体的棱长为，连接，，，2a 1B C MC MB 因为，故或其补角为直线与直线所成角. 11//B C A D 1CB M ∠1A D 1B M而，，，1B C =MC =1B M ===故，所以，22211B C B M CM =+1MB CM ⊥所以为锐角，故， 1cos CB M ∠==1CB M ∠130CB M ∠=︒故选：A.6. 在中，角所对的边分别为．若，则ABC A A B C ，，a b c ，，1111sin sin tan tan c A c B b A a B-=-ABC A 为（ ） A. 等腰三角形 B. 直角三角形 C. 等腰直角三角形 D. 等腰或直角三角形【答案】D 【解析】【分析】利用正弦定理，化简得，进而对进行分类讨论，分为①sin cos sin cos 0A C B C -=cos C ；②两种情况进行求解，即可得到答案.cos 0C =cos 0C ≠【详解】，利用正弦定理，可得， 1111sin sin tan tan c A c B b A a B-=-，1111sin sin sin sin sin tan sin tan C A C B B A A B -=-，11cos cos sin sin sin sin sin sin A BC A C B B A--=，sin sin sin cos sin cos B A C A C B -=-，sin()sin()sin cos sin cos A C B C C A C B +-+=-，sin cos sin cos 0A C B C -=①时，有等式成立，此时；cos 0C =2C π=②时，有，因为，所以，.cos 0C≠sin sin A B =0,0A B ππ<<<<A B =故为等腰或直角三角形. ABC A 故选：D7. 如图，△ABC 是简易遮阳棚，A ，B 是南北方向上两个定点，正东方向射出的太阳光线与地面成40°角，为了使遮阴影面ABD 面积最大，遮阳棚ABC 与地面所成的角应为（ ）A. 75°B. 60°C. 50°D. 45°【答案】C 【解析】【分析】作出遮阳棚ABC 与地面所成二面的平面角，再借助正弦定理推理、计算作答. 【详解】过C 作平面于E ，连DE 并延长交AB 于O ，连CO ，如图，CE ⊥ABD依题意，，而，，则平面，又平面，有⊥DO AB CE AB ⊥CE DO E ⋂=AB ⊥COD CO ⊂COD ，CO AB ⊥因此，是遮阳棚ABC 与地面所成二面的平面角，令，而， COD ∠COD α∠=40CDO ∠= 由于AB 长一定，要使遮阴影面ABD 面积最大，当且仅当最长，DO在中，长是定值，由正弦定理得：，当且仅当COD △CO sin(40)sin 40sin 40CO COOD α+=≤，即取“=”， sin(40)1α+= 50α= 所以遮阳棚ABC 与地面所成的角应为. 50 故选：C8. 锐角中，已知，则取值范围是（ ）ABC ∆3a A π==223b c bc ++A. B.C.D.(]5,15(]7,15(]7,11(]11,15【答案】D 【解析】【分析】由余弦定理得：，再由正弦定理得：，则223b c bc +=+2sin ,2sin b B c C ==4sin sin bc B C =，利用三角形内角和定理和三角函数的恒等变换，转化为求三角函数的值域，求出范围即可得到结果. bc 【详解】，由余弦定理得：，即，3a A π==∴2222cos a b c bc A =+-223b c bc +=+由正弦定理得：，， 2sin sin sin a b cA B C===2sin ,2sin b B c C ∴==，4sin sin 4sin sin 2sin 2136bc B C B B B ππ⎛⎫⎛⎫∴==+=-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭又由得：，， 022032B C B πππ⎧<<⎪⎪⎨⎪<=-<⎪⎩62B ππ<<52,666B πππ⎛⎫-∈ ⎪⎝⎭， 1sin 21,2326B bc π⎛⎫∴<-≤∴<≤ ⎪⎝⎭.(]2234311,15b c bc bc ∴++=+∈故选：D【点睛】本题主要考查了正余弦定理的应用，三角函数的性质，解题的关键是将边化角转化为三角函数的值域求解.二、多选题（每题选全得5分，错选不得分，漏选得2分）9. 已知a ，，，，则下列说法正确的是（ ）b ∈R ()1i 32i a b --=-()1i a bz -=+A. z 的虚部是B.2i 2z =C. D. z 对应的点在第二象限2i z =-【答案】BC 【解析】【分析】根据复数相等的定义，结合复数虚部定义、复数模的定义、共轭复数的定义、复数在复平面内对应点的特征逐一判断即可.【详解】由复数相等可得解得所以，3,12,b a -=⎧⎨-=-⎩1,3,a b =-⎧⎨=-⎩2(1i)(1i)2i a bz -=+=+=对于A ，的虚部是2，故A 错误； z 对于B ，，故B 正确； |||2i |2z ==对于C ，，故C 正确；2i z =-对于D ，对应的点在虚轴上，故D 错误. z 故选：BC10. 向量是近代数学中重要和基本的概念之一，它既是代数研究对象，也是几何研究对象，是沟通代数与几何的桥梁若向量，满足，）.a b2a b ==a b +=A.B. 与的夹角为2a b ⋅=-a bπ3C.D. 在上的投影向量为a b a b -<+ a b - b 12b r 【答案】BC 【解析】【分析】利用向量的模长公式以及题中条件即可判断A,C,由夹角公式可判断B ，根据投影向量的求法即可判断D.【详解】，,2a b ==a b += ,解得,故A 错误22212||2424a b a a b b a b =+=+⋅+=+⋅+2⋅= a b ,，·cos ,2a b a b a b ⋅== 1cos ,2a b a b a b ⋅==由于，与的夹角为，故B 正确, ()0π，，a b ∈a ∴r bπ3故C 正确2a b a b -====<+=在上的投影向量为，故D 错误, a b - b()21··22b a b b a b b b b b b b b b⋅-⋅-==-=-故选：BC11. 设，为不同的直线，，为不同的平面，则下列结论中正确的是（ ） m n αβA. 若，，则 B. 若，，则//m α//n α//m n m α⊥n α⊥//m n C. 若，，则 D. 若，，，则//m αm β⊂//αβm α⊥n β⊥m n ⊥αβ⊥【答案】BD 【解析】【分析】根据线线、线面、面面的位置关系，逐一分析各选项即可得答案.【详解】解：对A ：若，，则或与相交或与异面，故选项A 错误； //m α//n α//m n m n m n 对B ：若，，则，故选项B 正确；m α⊥n α⊥//m n 对C ：若，，则或与相交，故选项C 正确； //m αm β⊂//αβαβ对D ：若，，，则，故选项D 正确. m α⊥n β⊥m n ⊥αβ⊥故选：BD.12. 如图所示，在三棱锥中，，且，为线段V ABC -AB BC =90VAB VAC ABC ∠=∠=∠=︒P VC 的中点.则（ ）A. 与垂直 PB ACB. 与平行PB VA C. 点到点，，，的距离相等P A B C V D. 与平面，与平面所成的角可能相等 VB ABC PB ABC 【答案】AC 【解析】 【分析】由题设可证底面，作中点，由中位线定理可证，易证，再由为VA ⊥ABC AC H //PH VA PB AC ⊥H 外心得到三点距离相等，为外心，可证点到点，，，的距Rt ABC A P ,,A B C P Rt VAC △P A B C V离相等；结合正切定义可证与平面，与平面所成的角不相等 VB ABC PB ABC 【详解】过点作，垂足为，连接，可得为的中点.P PH AC ⊥H BH H AC 因为，所以，所以平面，所以，从而A 正确； AB BC =BH AC ⊥AC ⊥PBH AC PB ⊥由条件可知，而与有交点，因而与不平行，B 错误； //PH VA PH PB PB VA 点是的外心，所以到，，的距离相等，P Rt VAC △P V A C 根据条件可知平面，从而平面，又因为是的外心，所以点到VA ⊥ABC PH ⊥ABC H Rt ABC △P A ，，的距离相等，所以点到，，，四点的距离都相等，C 正确； B C P A B C V 与平面所成的角即，与平面所成的角即，，VB ABC VBA ∠PB ABC PBH ∠tan VAVBA AB∠=，所以两个角不可能相等，D 错误.tan tan PH PBH VBA BH ∠===<∠故选：AC【点睛】方法点睛：本题考查锥体基本性质的应用，线线垂直的证明，两直线平行的判断，锥体外接球球心的判断，线面角大小的判断，综合性强，需掌握以下方法： （1）能利用线面垂直的性质和判定定理证明线线垂直；（2）要证两直线不平行只需证明两直线或对应的平行直线相交即可；（3）寻找锥体外接球球心关键在于先寻找底面三角形外接圆圆心，在垂直于底面外接圆圆心的线段上，再寻找跟顶点与底面任意一顶点相等的点.三、填空题（13、14五分，第一空2分，第二个空3分） 1516、13. 已知，若向量与共线，则____________．(1,),(3,1)a b λ== a b 2a = 【答案】## 109119【解析】【分析】首先根据向量共线的坐标表示得到方程，求出，再根据向量数量积的坐标运算计算可得； λ【详解】解：因为且，所以，解得， (1,),(3,1)a b λ==//a b r r113λ⨯=13λ=所以，所以; 11,3a ⎛⎫= ⎪⎝⎭ 222110139a ⎛⎫=+=⎪⎝⎭故答案为：10914. 如果三棱锥的三条侧棱两两垂直，且侧棱长度都是2，则它的外接球的体积是___________. 【答案】 【解析】【分析】将此三棱锥放入正方体中，即转化为正方体的外接球的问题，而正方体的体对角线即为相应的外接球的球直径，进而可以求得体积.【详解】因为三棱锥的三条侧棱两两互相垂直，且侧棱均为， 2所以它的外接球就是它扩展为正方体的外接球， 求出正方体的对角线的长为，2所以球的直径是.343π⨯=故答案为：.15. 在中，，D 是AC 中点，，试用表示为___________，若ABC A ,CA a CB b == 2CB BE = ,a bDE ，则的最大值为____________AB DE ⊥ACB ∠【答案】 ①. ②.3122b a - 6π【解析】【分析】法一：根据向量的减法以及向量的数乘即可表示出，以为基底，表示出，由DE{},a b ,A B D E 可得，再根据向量夹角公式以及基本不等式即可求出．AB DE ⊥2234b a b a +=⋅法二：以点为原点建立平面直角坐标系，设，由可得点E (0,0),(1,0),(3,0),(,)E B C A x y AB DE ⊥A 的轨迹为以为圆心，以为半径的圆，方程为，即可根据几何性质可知，(1,0)M -2r =22(1)4x y ++=当且仅当与相切时，最大，即求出． CA M A C ∠【详解】方法一：，，31=22DE CE CD b a -=- ,(3)()0AB CB CA b a AB DE b a b a =-=-⊥⇒-⋅-=，当且仅当2234b a a b +=⋅223cos 4a b b a ACB a b a b ⋅+⇒∠==≥ a = 而，所以．0πACB <∠<(0,]6ACB π∠∈故答案为：；．3122b a - 6π方法二：如图所示，建立坐标系：，，(0,0),(1,0),(3,0),(,)E B C A x y 3(,),(1,)22x y DE AB x y +=--=--，所以点的轨迹是以为圆心，以23(1)022x y DE AB x +⊥⇒-+= 22(1)4x y ⇒++=A (1,0)M -为半径的圆，当且仅当与相切时，最大，此时． 2r =CA M A C ∠21sin ,426r C C CM π===∠=故答案为：；．3122b a - 6π16. 已知是虚数单位.若为实数，则___________，的最小值为,, a b R i ∈(2)(1)z a i bi =-+ab =||z ___________. 【答案】 ①. 2②. 4【解析】【分析】由题设条件计算出复数z ,再由复数是实数的条件即可得ab 值；计算出|z |，配方即可得解. 【详解】，则，而，所以，即2；,a b R ∈(2)(2)z a b ab i =++-z R ∈20-=ab ab =，，当且仅当a =2b ，即2z a b =+|||2|4z a b =+===≥a =2，b =1时取“=”，所以的最小值为4.||z 故答案为：2；4四、解答题（17题10分，其它五题每题12分）17. 已知△的内角，，的对边分别为，，，若．ABC A B C a b c sin cos a C A =（1）求角．A（2）若，求△的面积．a =2c =ABC【答案】（1）；（23A π=【解析】【分析】（1）由正弦定理边角关系，结合三角形内角性质得，进而求角． sin A A =A （2）由余弦定理得求b ，再利用三角形面积公式求△的面积．2230b b --=ABC【详解】（1）由正弦定理，，又，sin sin cos A C C A =sin 0C ≠，即，由，得. sin A A ∴=tan A =(0,)A π∈3A π=（2）由余弦定理知：，2222cos a b c bc A =+-∴，解得，2230b b --=3b =1sin 2ABC S bc A ∴==A 18. 如图，在三棱锥中，分别为的中点，，且，-P ABC D E ，AB PB ，EB EA =PA AC ⊥．求证：平面．PC BC ⊥BC ⊥PAC【答案】证明见解析.【解析】【分析】由题可得，利用线面垂直的判定定理可得平面，进而可得，然PA AB ⊥PA ⊥ABC PA BC ⊥后利用线面垂直的判定定理即得.【详解】∵在中，D 是AB 的中点，，AEB △EB EA =∴,ED AB ⊥∵E 是PB 的中点，D 是AB 的中点，∴，ED PA ∥∴，PA AB ⊥又，，平面，平面， PA AC ⊥AB ACA ⋂=AB ⊂ABC AC ⊂ABC ∴平面，PA ⊥ABC ∵平面，BC ⊂ABC ∴，PA BC ⊥又，，平面，平面，PC BC ⊥PA PC P = PA ⊂PAC PC⊂PAC ∴平面． BC ⊥PAC 19. 如图所示，在四棱锥中，平面PAD ，，E 是PD 的中点． P ABCD -//BC 12BC AD =（1）求证：；//BC AD （2）线段AD 上是否存在点N ，使平面平面PAB ，若不存在请说明理由：若存在给出证明．//CEN 【答案】（1）证明见解析；（2）存在，当点是的中点时满足题意. 证明见解析解.N AD 【解析】【分析】（1）由线面平行性质定理可以得证；（2）存在，且当点是的中点时，平面平面. 分别证得平面和平N AD //CEN PAB //EN PAB //CN 面，由面面平行判定定理可证得结论.PAB 【详解】（1）因为平面，平面，平面平面，所以//BC PAD BC ⊂ABCD PAD ⋂ABCD AD =；//BC AD （2）存在，且当点是的中点时，平面平面. 下面给出证明：N AD //CEN PAB 因为、分别是、的中点，所以，E N PD AD //EN PA 又平面，平面，所以平面.EN ⊄PAB PA ⊂PAB //EN PAB 由（1）知，，又是的中点，，所以，所以四边形是平//BC AN N AD 12BC AD =BC AN =ABCN 行四边形，从而，//CN BA 又平面，平面，所以平面.CN ⊄PAB BA ⊂PAB //CN PAB 又因为，所以，平面平面 CN EN N = //CEN PAB【点睛】关键点点睛：本题第（2）问的关键点是证明平面.//CN PAB20. 某海域的东西方向上分别有，两个观测点（如图），它们相距海里.现有一艘轮船在点发A B D 出求救信号，经探测得知点位于点北偏东，B 点北偏西，这时位于点南偏西且与相D A 45 75 B 45 B 距海里的点有一救援船，其航行速度为海里/小时.80C 35（1）求点到点的距离；B D BD （2）若命令处的救援船立即前往点营救，求该救援船到达点需要的时间.C D D 【答案】（1）海里；（2）小时502【解析】【分析】（1）根据已知条件求出，在中利用正弦定理即可求解；ADB ∠ABD △（2）求出，在中由余弦定理求出，再根据速度即可得所需要的的时间.CBD ∠BCD △CD 【详解】（1）由题意知：，，，AB =907515DBA ∠=-= 904545DAB ∠=-= 所以，1804515120ADB ∠=--= 在中，由正弦定理可得：即， ABD△sin sin BD AB DAB ADB =∠∠sin 45BD = 所以海里，50BD ===（2）在中，，，，BCD △180754560CBD ∠=--= 80BC =50BD =由余弦定理可得：2222cos CD BC BD BC BD CBD =+-⋅∠， 1640025002805049002=+-⨯⨯⨯=所以海里，70CD =所以需要的时间为小时， 70235=所以点到点的距离海里，救援船到达点需要的时间为小时.B D 50BD =D 221. 如图，在正三棱柱中，分别为，的中点.ABC A B C '''-22,,AC AA E F ='=BC A C ''（1）证明：平面.EF A ABB A ''（2）求直线与平面所成角的正切值.EF ACC A ''【答案】（1）证明见解析（2【解析】【分析】（1）依据线面平行判定定理去证明平面；EF A ABB A ''（2）先作出直线与平面所成角，再求其正切值即可解决.EF ACC A ''【小问1详解】如图，取的中点，连接.A B ''M ,FM BM 为的中点，，且. F A C ''MF B C ∴''∥12MF B C =''，且，，且， BE B C ''∥ 12BE B C =''MF BE ∴∥MF BE =四边形是平行四边形，.∴BEFM EF BM ∴∥平面，平面平面.BM ⊂ ABB A ''EF ⊄,//ABB A EF '∴'ABB A ''【小问2详解】取的中点的中点，连接.AC ,N CN D ,,,BN DE DF NF 平面平面，平面平面，ABC ⊥ACC A ''ABC ⋂,ACC A AC BN AC ''=⊥平面.BN ∴⊥ACC A ''平面，//,DE BN DE ∴⊥ ACC A ''直线与平面所成的角为.∴EF ACC A ''DFE ∠， 12DE BN DF ====tan DE DFE DF ∠∴==22. 在中，角，，的对边分别为，，，． ABC A A B C a b c 22sin1sin 2B C A +=+（1）求； A ∠（2）再从条件①、条件②这两组条件中选择一组作为已知，使存在且唯一确定，求． ABC A c 条件①：，；2a =3b =条件②：；cos B ab ==【答案】（1）4A π=（2）1c =【解析】【分析】（1）根据已知条件代入二倍角的余弦公式，化简可得，即可求解；tan 1A =（2）若选条件①：根据余弦定理得到，则，无解；250c -+=182020∆=-=-<c 若选条件②：根据，，得到，又根据正弦定理得到，解得cos B =0B π<<1sin 3B=a =a ，后代入正弦定理即可求解．b 【小问1详解】解：因为，所以， 22sin 1sin 2B C A +=+()1cos 1sin B C A -+=+所以，则， 1cos 1sin A A +=+sin tan 1cos A A A ==又，；0A π<<4A π∴=【小问2详解】 若选条件①：因为， 222cos 2b c a A bc +-=222326c c+-=所以，则，250c -+=182020∆=-=-<故无解；c 若选条件②：因为，又，所以， cos B =0B π<<1sin3B =由正弦定理得：，sin sin a b A B =13b =所以，又，，a =ab =3a=b =因为，()1sin sin sin cos cos sin 3C A B A B A B =+=+==所以. sin 1sin a C c A ===+。

2025届梅河口市第五中学高三5月学段考试数学试题考生须知：1．全卷分选择题和非选择题两部分，全部在答题纸上作答。

选择题必须用2B 铅笔填涂；非选择题的答案必须用黑色字迹的钢笔或答字笔写在“答题纸”相应位置上。

2．请用黑色字迹的钢笔或答字笔在“答题纸”上先填写姓名和准考证号。

3．保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，在草稿纸、试题卷上答题无效。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．已知m ，n 是两条不重合的直线，α是一个平面，则下列命题中正确的是（ ） A ．若//m α，//n α，则//m n B ．若//m α，n ⊂α，则//m n C ．若m n ⊥，m α⊥，则//n αD ．若m α⊥，//n α，则m n ⊥2．已知AB 是过抛物线24y x =焦点F 的弦，O 是原点，则OA OB ⋅=（ ） A ．－2B ．－4C ．3D ．－33．某四棱锥的三视图如图所示，该几何体的体积是（ ）A ．8B ．83C ．4D ．434．1x <是12x x+<-的（ ）条件 A ．充分不必要B ．必要不充分C ．充要D ．既不充分也不必要5．已知命题p ：1m =“”是“直线0x my -=和直线0x my +=互相垂直”的充要条件；命题q ：函数4()f x x x=+的最小值为4. 给出下列命题：①p q ∧；②p q ∨；③()p q ∧⌝；④()()p q ⌝∧⌝，其中真命题的个数为( ) A ．1B ．2C ．3D ．46．如图所示是某年第一季度五省GDP 情况图，则下列说法中不正确的是（ ）A ．该年第一季度GDP 增速由高到低排位第3的是山东省B ．与去年同期相比，该年第一季度的GDP 总量实现了增长C ．该年第一季度GDP 总量和增速由高到低排位均居同一位的省份有2个D ．去年同期浙江省的GDP 总量超过了4500亿元7．函数sin y x x =+在[]2,2x ππ∈-上的大致图象是（ ）A ．B ．C ．D ．8．要得到函数32sin 2y x x =-的图像，只需把函数sin 232y x x =的图像（ ）A ．向左平移2π个单位 B ．向左平移712π个单位 C ．向右平移12π个单位D ．向右平移3π个单位 9．已知函数()(0x f x m m m =->，且1)m ≠的图象经过第一、二、四象限，则|2)|a f =，384b f ⎛⎫= ⎪⎝⎭，|(0)|c f =的大小关系为( ) A ．c b a << B ．c a b << C ．a b c <<D ．b a c <<10．在直角ABC ∆中，2C π∠=，4AB =，2AC =，若32AD AB =，则CD CB ⋅=（ ）A ．18-B ．63-C ．18D ．6311．设1tan 2α=，4cos()((0,))5πββπ+=-∈，则tan 2()αβ-的值为（ ）A ．724-B ．524-C ．524D ．72412．直线经过椭圆的左焦点，交椭圆于两点，交轴于点，若，则该椭圆的离心率是（） A ．B ．C ．D ．二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

安居育才中学高2015级高一（下）3月月考数学试题一、选择题（10×5=50分） 1．若，则k=（）A ．38B 、－38C ．6D ．－6 2、2(sin 22.5cos 22.5)︒+︒的值为（）A ．21-B ．21+C ．21-D ．2 3．在△ABC 中，已知2sin A cos B ＝sin C ，那么△ABC 一定是（）A ．直角三角形B ．等腰三角形C ．等腰直角三角形D ．正三角形4．设实数(3,4),(2,1),a b a b b λ==-+-r r r r r若与互相垂直，则实数λ的值是（）A ．232B ．323C ．2D ．25-5．若ΔABC 的内角A 、B 、C 所对的边a 、b 、c 满足22()4,60a b c C +-==o且，则ab 的值为（）A ．43B ．843-C ．1D ．236、函数()3sin 2cos 2f x x x =+（）A ．在(,)36ππ--单调递减B ．在(,)63ππ单调递增 C ．在(0,)6π单调递增D ．在(,0)6π-单调递减7、在ABC ∆中，若,24,34,60==︒=AC BC A 则角B 的大小为（） A ．30°B ．45°C ．135° D ．45°或135°8．已知||1,||,120OA OB k AOB ==∠=ou u u r u u u r ，点C 在ΔAOB 内部，,2,||23OC OA OC m OA m OB OC ⊥=⋅+⋅=u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r若，则k 等于（）A ．1B ．2C ．3D ．49、已知i j r r 与为互相垂直的单位向量。

2a i j b i j λ=-=+r r r r r r，　，且a b r r 与的夹角为锐角， 则实数λ的取值范围是（ ）A ．1(,2)(2,)2-∞--U B ．1(,)2+∞C ．22(2,)(,)33-+∞U D ．1(,)2-∞10、已知函数f (x )＝A sin(ϕπ+x 6)(A >0，0<ϕ<2π)的部分图象如图所示，P 、Q 分别为该图象的最高点和最低点，点P 的坐标为(2，A )，点R 的坐标为(2，0)。