第八讲 差倍问题

第八讲差倍问题（二）第一部分：趣味数学圣诞节抽奖圣诞节到了。

晚上，平平、妹妹和妈妈去泰华吃肯得基。

正巧，肯得基店举行转盘抽奖活动呢！活动的规则是：只要是在店里消费的顾客，都可以参加转盘抽奖比赛，指针转动以后，转到黄色区为一等奖，奖品为：全家桶一份。

转到蓝色区为二等奖，奖品是儿童套餐一份。

而转到红色区为三等奖，奖品是薯条一份。

四岁的妹妹一听平平的解释，高兴地蹦起来：“我要抽奖，我要抽奖，我要抽个大全家桶！”三人就让妹妹去抽奖，指针转动后，最后停下的却是红色区域，只得了一份小薯条。

妹妹不高兴了，撅着小嘴嘟囔道：“为什么不落在黄色地方呢，我可是想要一个全家桶，为什么只给了个小薯条呢？”平平听了哈哈一笑，对妹妹说道：“你没看到红色的区域是5份，黄色的区域只有一份吗？当然指针落在红色区域的可能性大，落在黄色区域的可能性小啊，要不，肯德基不赔大本了！”听了这话，妹妹似懂非懂地点了点头。

小朋友们，相信大家一定听说过“守株待兔”这个故事吧，我们都知道宋国农夫的结局可笑又可悲，之所以可笑，是由于贪心大发，被“聪明”所误罢了。

试想，自己耕作几十年，丧命于树桩的兔子只有少得可怜的一只，这种机会千载难逢，可他却把这极为偶然的事件当作了平常事看待，故而空等一场。

这里所说的机会，就是我们现在学习的“可能性”。

比如说，野兔丧命树下，事情极其偶然，发生的可能性极小。

又如在买彩票活动中，预想中的几百万，其机会更是可遇不可求的。

因此，研究事件发生可能性的大小，可以正确对待事件，避免为不可能出现或极少出现的事情而浪费时间和精力。

第二部分：奥数小练专题简析：有些差倍问题比较复杂，不能直接利用公式进行解答，这时需要我们小朋友仔细审题，尤其注意一些隐含条件，同时借助线段图帮助理解题意，从而找到解题方法。

较复杂的差倍应用题，数量关系比较隐蔽。

先依题意画出线段图，数量关系就会比较清晰地展现出来，然后借助线段图找出两个数的差以及所对应的倍数，再利用公式进行解答。

第八讲 和差倍分问题【基础概念】：1、和差问题：知道大小两个数的和与差，求这两个数是多少，数量关系式：（和+差）÷2=大数，（和－差）÷2=小数；2、和倍问题：已知两个数的和及两个数间的倍数关系，求这两个数各是多少，数量关系式：两数和÷（倍数+1）=小数，小数×倍数=大数；3、差倍问题：已知两个数的差及两个数间的倍数关系，求这两个数各是多少，数量关系式：两个数的差÷（倍数－1）=小数，小数×倍数=大数。

【典型例题1】：有两筐苹果，第一筐重30kg ，如果从第一筐中取出12kg 放入第二筐，则两筐苹果同样重．两筐苹果一共重多少千克？【思路分析】：第一筐重30kg ，如果从第一筐中取出12 kg 放入第二筐，第一筐剩30-12 kg ，因为两筐苹果同样重，所以用30- 12 kg 乘以2即可得两筐苹果一共重多少千克。

解答：（30-12 ）×2=592 ×2=59（千克）答：两筐苹果一共重59千克 。

【小结】：解决这类问题的关键是要弄清楚前后的质量关系。

【巩固练习】1、甲、乙两筐苹果共重100千克，如果从甲筐取出12千克放到乙筐，则甲、乙两筐苹果一样重．甲乙两筐苹果原来各多少千克？2、有甲、乙两筐苹果，甲筐的重量是乙筐的90%．如果从乙筐拿5千克到甲筐，则两筐苹果一样重．两筐苹果共多少千克？【典型例题2】：果园里有桃树32棵，梨树是桃树的2倍，苹果树比桃树和梨树的总数多54棵．果园里有苹果树多少棵？【思路分析】：由题意知，梨树为桃树的2倍，求出梨树的棵数后加桃树的棵数，然后再加上54棵，就是苹果树的棵数。

解答：32×2+32+54=64+32+54=96+54=150（棵）答：果园里有苹果树150棵。

【小结】：解决此类问题的关键是先求出梨树的棵数，然后再根据苹果树与桃树、梨树棵树的关系求苹果树的棵数即可。

【巩固练习】3、果园有苹果树48棵，桃树的棵数是苹果树的4倍，梨树的棵数比苹果树和桃树的总数少12棵，果园有梨树多少棵？4、果园里有梨树、桃树和苹果树共1200棵，其中梨树的棵数是苹果树的3倍，桃树的棵数是苹果树的6倍．求梨树、桃树和苹果树各有多少棵？5、果园里有桃树、梨树、苹果树共552棵．桃树比梨树的2倍多12棵，苹果树比梨树少20棵．梨树有多少棵？答案及解析：1.【解析】由“从甲筐取出12千克放到乙筐，则甲、乙两筐苹果一样重”，可知甲筐比乙筐重（12×2）千克，因此，乙筐原有苹果（100-12×2）÷2，甲筐原有苹果的重量就好求了。

第八讲差倍问题前面讲了应用线段图分析“和倍”应用题，这种方法使分析的问题具体、形象，使我们能比较顺利地解答此类应用题.下面我们再来研究与“和倍”问题有相似之处的“差倍”应用题。

“差倍问题”就是已知两个数的差和它们的倍数关系，求这两个数。

差倍问题的解题思路与和倍问题一样，先要在题目中找到1倍量，再画图确定解题方法.被除数的数量和除数的倍数关系要相对应，相除后得到的结果是一倍量，然后求出另一个数，最后再写出验算和答题。

例1甲班的图书本数比乙班多80本，甲班的图书本数是乙班的3倍，甲班和乙班各有图书多少本？分析上图把乙班的图书本数看作1倍，甲班的图书本数是乙班的3倍，那么甲班的图书本数比乙班多2倍.又知“甲班的图书比乙班多80本”，即2倍与80本相对应，可以理解为2倍是80本，这样可以算出1倍是多少本.最后就可以求出甲、乙班各有图书多少本。

解：①乙班的本数： 80÷（3-1）=40（本）②甲班的本数： 40×3=120（本）或40＋80=120（本）。

验算：120-40＝80（本）120÷40=3（倍）答：甲班有图书120本，乙班有图书40本。

例2 菜站运来的白菜是萝卜的3倍，卖出白菜1800千克，萝卜300千克，剩下的两种蔬菜的重量相等，菜站运来的白菜和萝卜各是多少千克？分析这样想：根据“菜站运来的白莱是萝卜的3倍”应把运来的萝卜的重量看作1倍；“卖出白菜1800千克，萝卜300千克后，剩下两种蔬菜的重量正好相等”，说明运来的白菜比萝卜多1800-300=1500（千克）.从上图中清楚地看到这个重量相当于萝卜重量的3-1=2（倍），这样就可以先求出运来的萝卜是多少千克，再求运来的白菜是多少千克。

解：①运来萝卜：（1800-300）÷（3-1）=750（千克）②运来白菜： 750×3=2250（千克）验算：2250-1800=450（千克）（白菜剩下部分）750-300=450（千克）（萝卜剩下部分）答：菜站运来白菜2250千克，萝卜750千克。

8 第8讲和差倍问题三第8讲和差倍问题三兴趣篇1. 有长、短两根竹竿，长竹竿的长度是短竹竿长度的3倍，将它们插入水槽中，插入水中的长度都是40厘米，而露出水面部分的总长为160厘米。

请问：短竹竿露在外面的长度是多少厘米？2. 李师傅某天生产了一批零件，他把它们分成了甲、乙两堆。

如果从甲堆中拿出15个放到乙堆中，则两堆零件的个数相等；如果从乙堆中拿出15个放到甲堆中，则甲堆零件的个数是乙堆的3倍。

问：甲堆原来有零件多少个？李师傅这一天共生产了多少个零件？3. 爸爸和小高一起搬砖头，爸爸所搬的砖头数是小高的3倍。

小高觉得自己搬的砖头太少了，又搬了24块砖头，于是爸爸所搬的砖头数是小高的2倍。

请问：最后爸爸和小高各搬了多少块砖？4. 阿呆和阿瓜回收矿泉水瓶，一开始阿呆回收的是阿瓜的4倍，后来阿瓜又多回收了15个，结果阿呆就只是阿瓜的2倍了。

请问：阿呆回收了多少个矿泉水瓶？5. 四年级三班买来单价为5角的练习本若干，如果将这些练习本只分给女生，平均每人可得15本；如果将这些练习本只分给男生，平均每人可得10本。

请问：将这些练习本平均分给全班同学，每人可以得到多少本？此时每人应付多少钱？6. 有甲、乙、丙三所小学的同学来参加“幼苗杯”数学邀请赛，其中甲校参赛人数比乙校多5人，比丙校多7人。

如果乙、丙两校一共有40人参加比赛，那么三所学校各有多少人参加比赛？7. 甲班比乙班多3人，丙班比丁班多9人，甲班和乙班共有87人。

那么这四个班共有多少人？8. 有三个箱子，如果两箱两箱的称它们的重量，分别是83千克、85千克和86千克。

问：其中最轻的箱子重多少千克？9. 萱萱和妈妈一起去家具城挑选客厅的桌椅，她们看中了两款，这两款桌椅都包含一张桌子和若干把椅子，其中桌子的价钱一样，每把椅子的价钱也一样。

第一款桌椅中有6把椅子，总价为700元；第二款桌椅中有9把椅子，总价为970元。

请问：一张桌子的价钱是多少元？10. 小白兔与小黑兔一块去森林里采摘了一些胡萝卜，回家后它们就把胡萝卜平分了。

第八讲和差倍问题综合(二)知识点睛：大家在前边的学习中已经掌握了基本的和倍、差倍、和差问题的解法，我们往往需要先分析题目中的条件，找到各个数之间的和差倍关系，然后再通过画图的方式求解。

有些题目中，涉及了量的改变，但其某个量没有发生变化，我们以“不变量”作为解题的突破口，分析其内在的变化，就可以找出其关键所在。

但有些问题中，如果已知条件涉及多个量的倍数关系，或者两者的倍数关系发生了变化，那么选择哪个量作为“1”就是解题的关键了，如果设为“1”份不好算，还可以选择一个合适的数设为多份，这就是我们的“变倍问题”。

例1：三个小组共有180人，一、二两个小组人数之和比第三小组多20人，第一小组比第二小组少2人，求第一小组的人数。

练习1：1、有一个卖油的商人，他有3个油桶，一共是200公斤，现在知道1、2号油桶的和，比3号油桶还多20公斤，1号油桶比2号油桶多30公斤，请问这3个桶分别有多少公斤油？2、甲、乙、丙三个同学一起去称重，已知他们3人一起是90斤，甲、乙一起称是比丙的两倍还多12斤，乙、丙一起比甲的两倍少8斤，请问他们三人分别有多重？例2：用中国象棋的车，马，炮分别表示不同的自然数。

如果：车÷马＝2，炮÷车＝4，炮－马＝56，那么“车＋马＋炮”等于多少？练习2：1、有大、中、小三只乌鸦在一起讨论自己过冬的粮食储备，中乌鸦说，它的粮仓是小乌鸦的两倍；大乌鸦说，中乌鸦的粮食得翻3倍才和它的储备一样多；小乌鸦说，大乌鸦和自己的储备差了整整2000个谷粒，请问它们一共有多少谷粒？2、重型卡车一次可以拉的货物是中型卡车的3倍，而中型卡车可以拉的货物是小卡车的2倍，小板车需要拉5次才赶得上小卡车拉一次的量。

现在知道中型卡车一次比小板车多拉9吨货物，请问，有一批重460吨的货物，让这4种车一起去拉，需要多少次才能运完？例3：成都市金牛区防疫站有狂犬疫苗75支，高新区防疫站有41支狂犬疫苗，成华区只有25支疫苗，现在接到上级卫生部门的要求，均衡调配各站点的储备，请问，要使这金牛区防疫站拥有的狂犬疫苗是高新区与成华区之和的两倍，请问该如何分配呢？练习3：1、有甲、乙、丙三个水库，甲水库有48亿立方米的水，乙水库只有32亿立方米的水，丙水库只有10亿立方米的水，现接到上级通知，要求准备抗旱，需要从甲水库调水至乙、丙水库，使得甲水库的库存量是乙、丙水库之和的一半，请问该怎么办？2、有大、小两瓶水，大瓶中有666毫升水，小瓶中有444毫升水，现在打算从小瓶中往大瓶倒水，使得大瓶中的水刚好是小瓶的4倍，那么应该倒多少水呢？例4：养猪场有东、西两个院子，西院的猪数是东院的3倍，有一天西院的围墙破碎，10头猪从西院跑到了东院，结果此时西院的猪就是东院的2倍，那么此时东、西两个院子各有多少头猪？练习4：1、佳佳和乐乐有一些钱，佳佳的钱数是乐乐的5倍，现在给佳佳和乐乐每人各90元，现在佳佳的钱数就是乐乐的3倍，请问现在佳佳和乐乐各有多少钱？2、3年前，爸爸的年龄是小明的5倍；4年后，爸爸的年龄是小明的3倍，那么小明和爸爸今年分别多少岁？例5：某4S店有一些宝马牌汽车和奔驰牌汽车等待销售，宝马汽车刚好是奔驰汽车数量的3倍，如果每周可以卖出4台宝马和2台奔驰，那么等奔驰汽车卖完的时候，刚好还有30台宝马汽车剩余，请问原来的宝马和奔驰各有多少台？练习51、食堂买来的大米的袋数是面粉的4倍，该食堂每天消耗面粉20袋、大米60袋，几天后面粉全部用完，大米还有200袋，这个食堂买来大米多少袋？2、箱子里有黄、白两种球，黄球数量是白球的3倍，每次从箱子里取出7只白球和14只黄球，取了若干次后，白球全部取完，箱子里还有42只黄球，那么原来箱子里黄球和白球各有多少个？例6：囡囡妈妈买来一些橘子和梨，橘子是梨个数的3倍，如果全家每天吃5个橘子2个梨，那么一周后，橘子是梨个数的4倍，原来橘子和梨各有多少个？练习6：1、超市同时购进甲、乙两种苹果，甲的重量比乙的少210千克，一开始卖这两种苹果的时候，甲非常受欢迎，每天销量是乙的2倍，一周后，超市决定对乙降价销售，结果乙的每天出售的量变成原来的4倍，甲的销量不变，这样过了两周后，两种苹果同时卖完，请问：甲、乙两种水果原来共有多少千克？例7：小真、小想和小看讨论看《黑猫警长大战奥特曼》的事，小真现在有的钱是小想的3倍，是小看的2倍。

第八讲差倍问题前面讲了应用线段图分析“和倍”应用题，这种方法使分析的问题具体、形象，使我们能比较顺利地解答此类应用题.下面我们再来研究与“和倍”问题有相似之处的“差倍”应用题。

“差倍问题”就是已知两个数的差和它们的倍数关系，求这两个数。

差倍问题的解题思路与和倍问题一样，先要在题目中找到1倍量，再画图确定解题方法.被除数的数量和除数的倍数关系要相对应，相除后得到的结果是一倍量，然后求出另一个数，最后再写出验算和答题。

例1甲班的图书本数比乙班多80本，甲班的图书本数是乙班的3倍，甲班和乙班各有图书多少本？分析上图把乙班的图书本数看作1倍，甲班的图书本数是乙班的3倍，那么甲班的图书本数比乙班多2倍.又知“甲班的图书比乙班多80本”，即2倍与80本相对应，可以理解为2倍是80本，这样可以算出1倍是多少本.最后就可以求出甲、乙班各有图书多少本。

解：①乙班的本数： 80÷（3-1）=40（本）②甲班的本数： 40×3=120（本）或40＋80=120（本）。

验算：120-40＝80（本）120÷40=3（倍）答：甲班有图书120本，乙班有图书40本。

例2 菜站运来的白菜是萝卜的3倍，卖出白菜1800千克，萝卜300千克，剩下的两种蔬菜的重量相等，菜站运来的白菜和萝卜各是多少千克？分析这样想：根据“菜站运来的白莱是萝卜的3倍”应把运来的萝卜的重量看作1倍；“卖出白菜1800千克，萝卜300千克后，剩下两种蔬菜的重量正好相等”，说明运来的白菜比萝卜多1800-300=1500（千克）.从上图中清楚地看到这个重量相当于萝卜重量的3-1=2（倍），这样就可以先求出运来的萝卜是多少千克，再求运来的白菜是多少千克。

解：①运来萝卜：（1800-300）÷（3-1）=750（千克）②运来白菜： 750×3=2250（千克）验算：2250-1800=450（千克）（白菜剩下部分）750-300=450（千克）（萝卜剩下部分）答：菜站运来白菜2250千克，萝卜750千克。

第八讲差倍问题姓名【名师导航】前面我们已经初步掌握了“和倍问题”的特征和解题方法。

如果知道了两个数的差与两个数的倍数关系，要求两个数各是多少，这一类题，我们则把它称为“差倍问题”。

解答“差倍问题”与解答“和倍问题”相类似，要先找出差所对应的倍数，先求出1倍数，再求出几倍数。

此外，还要充分利用线段图帮助分析数量关系。

用关系式可以这样表示：两数差÷（倍数－1）＝1倍数（较小的数）较小的数×倍数＝较大的数（几倍数）【经典例题】【例1】明明家饲养的白兔是黑兔的4倍，黑兔比白兔少24只，白兔和黑兔各有多少只？【练习1】小红到市场去买水果，她买的苹果个数是梨的3倍，苹果比梨多18个，小明买的苹果和梨各多少个？【例2】哥哥的课外书比弟弟多55本，后来哥哥借出去5本，哥哥剩下的书正好是弟弟的3倍，兄弟俩原来各有多少本书？【练习2】航模兴趣小组中男生比女生多25人，今年又来了5个男生，现在男生人数是女生人数的3倍，现在男、女生各有多少人？【例3】甲、乙两车间原来人数相等，因工作需要，从甲车间调24人到乙车间，这时乙车间人数是甲车间的4倍。

甲车间原来有多少人？【练习3】妈妈将一堆糖平均分给兄弟二人，若哥哥给弟弟10块后，弟弟的糖是哥哥的3倍，弟弟现在有多少块糖？【例4】甲筐苹果是乙筐苹果的3倍，如果从甲筐取出30千克放入乙筐，那么两筐苹果重量就相等，两筐苹果原来各有多少千克？【练习4】小红的铅笔枝数是小明铅笔枝数的4倍，如果小红给小明6枝，两人的铅笔枝数就刚好相等。

小红和小明原来各有铅笔多少枝？【例5】有两根同样长的绳子，第一根剪去12米，第二根接上14米，这时第二根的长度是第一根的3倍。

两根绳子原来各长多少米？【练习5】两个书架所放书的本数相等，如果从第一个书架里取出200本书，而第二个书架再放入40本书，那么第二个书架的本数是第一个书架的3倍，两个书架原来各有书多少本？【挑战自我】1.明明比妈妈小24岁，今年妈妈的年龄正好是明明的3倍，妈妈和明明今年各有多少岁？2.爸爸的身高是可可的3倍，爸爸比可可高120厘米，爸爸和可可身高各多少厘米？3.学校合唱队的女同学人数是男同学的4倍，女同学比男同学多42人，合唱队男、女同学各有多少人？4.一个两层书架，第二层的书比第一层少28本，第一层又放进8本，现在，第一层的书就是第二层的5倍，书架上现在第一、二层各有多少本书？5.学校美术小组的女同学比男同学多12人，如果再来3名女同学，女同学人数就是男同学人数的4倍，求美术小组原有男、女同学各多少人？6.有大、小两个水桶，原来装有一样多的水，如果从小桶中倒7千克到大桶，这时大桶里的水是小桶里的3倍。

第8讲和差倍问题三1.有长、短两根竹竿，长竹竿的长度是短竹竿长度的3倍，将它们插入水槽中，插入水中的长度都是40厘米，而露出水面部分的总长为160厘米。

请问：短竹竿露在外面的长度是多少厘米？2.李师傅某天生产了一批零件，他把它们分成了甲、乙两堆。

如果从甲堆中拿出15个放到乙堆中，则两堆零件的个数相等；如果从乙堆中拿出15个放到甲堆中，则甲堆零件的个数是乙堆的3倍。

问：甲堆原来有零件多少个？李师傅这一天共生产了多少个零件？3.爸爸和小高一起搬砖头，爸爸所搬的砖头数是小高的3倍。

小高觉得自己搬的砖头太少了，又搬了24块砖头，于是爸爸所搬的砖头数是小高的2倍。

请问：最后爸爸和小高各搬了多少块砖？4.阿呆和阿瓜回收矿泉水瓶，一开始阿呆回收的是阿瓜的4倍，后来阿瓜又多回收了15个，结果阿呆就只是阿瓜的2倍了。

请问：阿呆回收了多少个矿泉水瓶？5.四年级三班买来单价为5角的练习本若干，如果将这些练习本只分给女生，平均每人可得15本；如果将这些练习本只分给男生，平均每人可得10本。

请问：将这些练习本平均分给全班同学，每人可以得到多少本？此时每人应付多少钱？6.有甲、乙、丙三所小学的同学来参加“幼苗杯”数学邀请赛，其中甲校参赛人数比乙校多5人，比丙校多7人。

如果乙、丙两校一共有40人参加比赛，那么三所学校各有多少人参加比赛？7.甲班比乙班多3人，丙班比丁班多9人，甲班和乙班共有87人。

那么这四个班共有多少人？8.有三个箱子，如果两箱两箱的称它们的重量，分别是83千克、85千克和86千克。

问：其中最轻的箱子重多少千克？9.萱萱和妈妈一起去家具城挑选客厅的桌椅，她们看中了两款，这两款桌椅都包含一张桌子和若干把椅子，其中桌子的价钱一样，每把椅子的价钱也一样。

第一款桌椅中有6把椅子，总价为700元；第二款桌椅中有9把椅子，总价为970元。

请问：一张桌子的价钱是多少元？10.小白兔与小黑兔一块去森林里采摘了一些胡萝卜，回家后它们就把胡萝卜平分了。

暑假拓展提升第八讲差倍问题在数学的学习中，差倍问题是一个十分重要的知识点。

对于很多同学来说，可能一开始会觉得有些棘手，但只要掌握了其中的关键和方法，就会发现其实并不难。

那什么是差倍问题呢？简单来说，差倍问题就是已知两个数的差以及这两个数之间的倍数关系，求这两个数分别是多少。

比如说，甲数是乙数的 3 倍，甲数比乙数多 20，那么甲数和乙数分别是多少？这就是一个典型的差倍问题。

要解决差倍问题，关键在于找出两个数的差以及倍数关系。

我们通常可以通过画线段图的方法来帮助理解。

假设乙数用一段线段表示，那么甲数因为是乙数的 3 倍，就用三段线段表示。

而甲数比乙数多的20 ，正好就是两段线段的长度。

这样一来，我们就可以先算出一段线段的长度，也就是乙数，然后再求出甲数。

为了更清楚地理解差倍问题，我们来看几个具体的例子。

例 1：果园里苹果树的数量是梨树的 4 倍，苹果树比梨树多 360 棵，请问苹果树和梨树各有多少棵？首先，我们画出线段图。

梨树用一段线段表示，苹果树用四段线段表示。

那么苹果树比梨树多的 360 棵，就是三段线段的长度。

所以一段线段的长度就是 360÷3 ＝ 120（棵），这就是梨树的数量。

而苹果树的数量就是 120×4 ＝ 480（棵）。

例 2：小明的邮票数量比小红多 90 张，小明的邮票数量是小红的 2 倍，小明和小红各有多少张邮票？同样，我们画出线段图。

小红的邮票数量用一段线段表示，小明的用两段线段表示。

多出来的 90 张就是一段线段的长度，所以小红有 90 张邮票，小明则有 90×2 ＝ 180 张邮票。

通过这两个例子，相信大家对差倍问题的解法有了一定的了解。

但在实际做题过程中，可能还会遇到一些小“陷阱”。

比如，题目中给出的条件可能不是直接的差和倍数关系，需要我们自己去分析和转化。

又或者，问题可能会稍微复杂一些，涉及到多个数量之间的差倍关系。

这时候，我们千万不要慌张，还是要按照画线段图、找差和倍数关系的思路来逐步解决。

2019-2020学年度小学三年级数学奥数培优第八讲和、差、倍问题8.1和差问题[同步巩固演练]1、甲乙两个车间共有230人，甲车间比乙车间少30人，甲乙两个车间各有多少人？2、我国自行设计施工的世界最大的现代化桥梁——南京长江大桥共分两层，上层是公路桥,下层是铁路桥。

铁路桥和公路桥共长11270米，铁路桥比公路桥长2270米，问南京长江大桥的铁路桥长多少米？3、买一支自动铅笔与一支钢笔共用13元，已知铅笔比钢笔便宜5元，那么买铅笔和钢笔各花几元？4、师徒两人合做2小时，共生产零件110个，师徒每小时比徒弟多生产5个，师徒两人每小时各生产零件多少个？5、甲筐有梨400个，乙筐有梨240个，现在从两筐取出数目相等的梨，剩下梨的个数，甲筐恰好是乙筐的5倍，两筐所剩的梨各是多少个？6、两只油桶共盛油60千克，如果把第一桶里油倒出6千克，两个油桶中的油就一样多，第一桶原盛油多少千克？7、某粮库，甲仓存粮比乙仓多18吨，要使乙仓存粮比甲仓多4吨，要从甲仓取出多少吨粮食放入乙仓？8、两筐梨子共重76千克，如果从第一筐中取出10千克放入第二筐中，那么第二筐反而比第一筐多出4千克梨子，问两筐原来各有多少千克梨子？9、A、B两地相距400千米，甲、乙两人同时同地同向出发，10小时后，甲在乙前10千米，若甲、乙两人同时在A、B两地相向出发，16小时后相遇，问甲、乙两人的速度各是多少？10、一个三位数，百位数字与十位数字的和为4，十位数与个位数字的和为6，百位数字与个位数字的和为10，求这个三位数。

11、王兵和李华两家共存书960册，如果王兵送给李华130册，则两家书的册数相等，王兵和李华两家原来各存书多少册？12、四个人年龄之和是77岁，最小的10岁，他和最大的年龄之和比另外二人年龄之和大7岁，最大的年龄是多少岁？13、把90米长的一条绳子分成三段，要使后一段比前一段多3米，求三段长度各是多少米？14、某工厂开展劳动竞赛，三个小组共造零件420个，第一组比第二组多造10个，第二组比第三组少造17个，三个小组各造零件多少个？15、甲、乙两船共载乘客623人，从A港经B港往C港，在B港甲船增加34人，乙船减少57人，到C港时，两船乘客相等，求两船原有乘客各多少个？16、A、B、C、D四个数的和是270，A比B多10，比C多25，比D 多35，问这四个数各是多少？[能力拓展平台]1、小明、小强、小华共栽花100棵，小华比小强多栽10棵，小强比小明多栽9棵，问三人各栽多少棵？2、有两个养猪场，甲场比乙场少180头猪，如果再从甲场运入乙场40头猪，这时，甲场的猪数相当于乙场的一半，问两场原来各有多少猪？3、两生产队开展种田比赛，共种100公顷地。

第八讲 差倍问题知识要点：已知两个数的差及这两个数之间的倍数关系，求这两个数，这就是“差倍问题”。

差倍问题的特点与和倍问题类似。

解答差倍问题的关键是要确定两个数量的差及相对应的倍数差，然后求出1倍数，再求出几倍数。

此外，还要充分利用线段图帮助分析数量关系。

一、基础应用：【例1】 小新的妈妈到市场去买水果，他买的苹果个数是梨的5倍，苹果比梨多20个，小新的妈妈买了苹果和梨各多少个？ 【解析】 把梨看成1倍量，苹果就是5倍量。

苹果比梨多了514-=倍量，刚好是20个，可画如下线段图：因此，梨有 20(51)5÷-=（个），苹果有5525⨯=（个） 或 52025+=（个）。

【例2】 被除数比除数大60，商是6，被除数和除数各是多少？【解析】 把除数看成1倍量，则被除数是6倍量。

被除数比除数多了615-=倍量，刚好是60，可画如下线段图：则 除数为 60(61)12÷-=，被除数为 12672⨯= 或 126072+=。

【例3】 商店里有一些红气球和白气球，红气球的个数比白气球的4倍多3个，红气球的个数比白气球多27个。

红气球和白气球各有多少个? 【解析】 把白气球看成1倍量，则红气球比白气球的4倍多3个。

若去掉3个红气球，则红气球就刚好是4倍量，此时红气球比白气球多27324-=（个），可画如下线段图：梨205倍1倍6倍除数因此，白气球有 (273)(41)8-÷-=（个）， 红气球有 84335⨯+=（个） 或 82735+=（个）。

【例4】 图书馆里有一些故事书和连环画，故事书的本数比连环画的7倍少7本，故事书比连环画多47本。

图书馆里有故事书和连环画各多少本？ 【解析】 把连环画看成一倍量，则故事书比7倍量少7。

若故事书再增加7本， 刚好为7倍量，此时故事书比连环画多47754+=（本），可画如下线段图：因此，连环画有 (477)(71)9+÷-=（本），故事书有 79756⨯-=（本） 或 94756+=（本）。

第八讲差倍问题（一）知识要点已知两数的差和它们之间的倍数关系,要求出这两个数各是多少的应用题叫差倍问题。

“差倍问题”和“和倍问题”相似，解答时先要弄清什么是差、倍数、大数、小数，然后利用线段图找准与“差”所对应的倍数，即（倍数－1），从而先求出1倍数（小数），再求出几倍数（大数）。

差倍应用题的数量关系是：小数=差÷（倍数－1）；大数=小数×倍数或大数=小数+差。

典型例题例1 兄妹俩喜爱集邮，已知哥哥集的邮票数比妹妹多80枚，哥哥集的邮票是妹妹的3倍，问哥哥和妹妹各集邮票多少枚？例2 某工厂搞绿化，栽种的水杉树比桂花树多40棵，水杉树的棵数比桂花树的6倍还多5棵，问工厂栽种的桂花树和水杉树各多少棵？例3 苹果树比梨树多28棵，而且苹果树比梨树的3倍少12棵。

苹果树、梨树各多少棵？例4 两块同样长的花布，每一块用去31米，第二块用去19米后，第二块的长度是第一块的4倍，求两块花布原来长多少米？巩固练习1．科技书比故事书多12本，并且科技书的本数是故事书的3倍，问科技书和故事书各有多少本？2．科技书比故事书多12本，并且科技书的本数比故事书多3倍，问科技书和故事书各有多少本？3．仓库存有面粉和大米，已知面粉比大米多4500千克，面粉比大米的3倍还多700千克，则大米是多少千克？面粉是多少千克？4．教室里的男生比女生多18人，男生比女生的2倍少6人，教室里有男、女生各有多少人？5．有两块同样长的布，第一块卖出25米，第二块卖出14米，剩下的布第二块是第一块的2倍，求每块布原有多少米？6．有两筐重量相等的青菜，甲筐卖出4千克，乙筐卖出19千克后，甲筐余下的千克数是乙筐的4倍，两筐青菜原来各有多少千克？7．两堆煤重量相等，从甲堆运走350吨，而乙堆又运进90吨，这时乙堆煤的重量正好是甲堆煤的3倍，两堆煤原来各有几吨？课后作业1．果园里种了一批苹果树和梨树，已知苹果树比梨树多78棵，苹果树是梨树的3倍，问果园里苹果树和梨树各多少棵？2．菜场上运来的萝卜比青菜多1200千克，萝卜的重量比青菜的3倍多200千克，萝卜、青菜各有多少千克？3．某饲养场养鸡只数比养鸭只数多1000只，养鸡只数是养鸭只数的3倍少200只，饲养场养鸡、鸭各多少只？4．两根同样长的铁丝，第一根用去80厘米，第二根用去20厘米，结果所剩的铁丝，第二根是第一根的3倍，原来两根铁丝各长多少厘米？小课堂Array瑞士著名数学家欧拉在数学的每一个分支中都取得了辉煌的成就，他在双眼失明的情况下仍坚持研究和写作。

第8讲和差倍问题三知识点回顾1，分析题目中的隐藏条件，找到各个量之间的和差倍关系，再画线段图求解。

2，题中有多个倍数关系时，要选择合适的量作为“1”份量，必要是可以设多份便于计算.3，给来给去和不变，同增同减差不变。

不变量在变倍问题中是解题时常用的突破口知识点回顾4，多个对象的和差倍问题中，分组法可以让复杂的已知条件变得更加清晰。

5，在和差倍问题中，对于两组物体、两种情况或是两个状态，我们都可以通过比较法找出相同点，分析不同点，从已知条件中得到更多的隐藏信息。

李师傅将甲、乙两种零件加工成产品，开始时甲零件的数量乙零件的2倍，每件产品需要5个甲零件和2个乙零件，生产30件产品后，剩下的甲、乙零件数量相等，请问：李师傅还可以生产几件产品？原来甲的零件原来乙的零件剩下的 用掉的部分 剩下的用掉的部分2份1份一个六边形广场的边界上插有336面红旗和黄旗. 六边形的每个顶点处都插有红旗，每条边上的红旗数目一样多，并且每两面红旗间插有相同数目的黄旗. 已知每条边上黄旗比红旗的2倍还多12面，那么每两面红旗间插有几面黄旗？1份红旗57面2份黄旗12面【3】（高思学校竞赛数学导引P49）学校门口放有红、黄、蓝三种颜色的花. 其中黄花的盆数最多，既是红花盆数的4倍，也是蓝花盆数的3倍，如果蓝花比红花多20盆，请问：学校门口一共有多少盆花？黄花4份1份20 1份20 1份20 蓝花的三倍黄花12份3份4份20盆红花蓝花【4】（高思学校竞赛数学导引P49）动物园的饲养员给三群猴子分花生. 如果只分给第一群，则每只猴子可得12粒；如果只分给第二群，则每只猴子可得15粒；如果只分给第三群，则每只猴子可得20 粒，试问：现在将这些花生平均分给三群猴子，每只可得多少粒？【5】（高思学校竞赛数学导引P49）养鸡场有东、西两院，西院鸡的只数是东院的3倍. 一天有10只鸡从西院跑到东院，这时西院鸡的数是是东院的2倍，那么现在东、西两个院子各有多少只鸡？总量东院西院原来12份3份9份现在12份4份8份【6】（高思学校竞赛数学导引P49）爸爸和小高一起搬砖，原计划爸爸搬其中的一些，小高搬剩余的砖头，父子二人发现，如果爸爸帮小高搬10块，那么爸爸所搬的砖头数是小高的5倍；如果小高帮爸爸搬10 块，那么爸爸所搬的砖头数是小高的2倍. 请问：原计划爸爸搬多少块砖，小高搬多少块砖？1份10块2份10块【7】（高思学校竞赛数学导引P49）甲班和乙班共83人，乙班和丙班共86人，丙班和丁班共88人. 问：甲班和丁班共多少人？83人88人甲班乙班丙班丁班86人？人【8】（高思学校竞赛数学导引P50）卡莉娅、小高、墨莫三人去称体重，由于秤出了点问题，只能准确称出60千克与90千克之间的重量，因此他们三人只能两个两个称重. 如果卡莉娅和小高一起称，总重量是73千克；小高和墨莫一起称，总重量是80千克；墨莫和卡莉娅一起称，总重量是75千克，三人的体重分别是多少千克？卡莉73千克75千克娅小高墨莫80千克四年级有甲、乙、丙、丁四个班，不算甲班，其余三个班的总人数是131人；不算丁班，其余三个班的总人数是134人；乙、丙两班的总人数比甲、丁两班的总人数少1人. 问：这四个班共有多少人？甲乙丙丁131人134人某学生到工厂勤工俭学，按合同规定，干满30天，工厂将给他一套工作服和70玩钱，但由于学校另有安排，他工作了20天后便中止了合同，工厂只给他一套工作服和20元钱. 请问：这套工作服值多少元？【11】（高思学校竞赛数学导引P50）卡莉娅和墨莫看同一本小说，卡莉娅打算第一天看50页，接着每天看15页；墨莫则打算每天看22页，最后两人正好在同一天看完，这本小说一共多少页？一家汔车销售店有若干部福特汽车和丰田汽车等待销售. 福特汽车的数量是丰田汽车的3倍.如果每周销售2辆丰田汽车和4辆福特汽车，丰田汽车销售完时还剩下30辆福特汽车. 请问：原有丰田汽车和福特汽车各多少辆？某食堂买来的大米的袋数是面粉的4倍，该食堂每天消耗面粉20袋，大米60袋，几天后面粉全部用完，大米还剩下200袋，这个食堂买来大米多少袋？20 8020 8020 80……20 6020 6020 60剩20 面粉 大米吃掉吃 掉…… ……剩20剩20一共剩下200袋【14】 （高思学校竞赛数学导引P 51）超市运来一批水果糖和巧克力糖，其中水果糖的颗数比巧克力糖的3倍还多10颗，售货员将这些糖包装成相同的小袋，每袋内装了3颗巧克力糖和7颗水果糖，最后巧克力糖全部装完，水果糖还剩下170颗. 请问：这批糖果共有几颗水果糖，几颗巧克力糖？7份3份9份170颗10颗水果糖巧克力糖水果糖3 9……2巧克力糖 水果糖包装包 装包 装…………22最后剩下颗水果糖3 93 93 7 3 73 71010下节课见！。