二年级奥数第八讲差倍问题演示教学

差倍问题
一、差倍定义
已知两个数的差和两个数之间的倍数关系，求这两个数
二、方法（画线段图）
先画一倍数
再画多倍数
找到“整倍差”
先求一倍数
再求多倍数
三、公式
一倍数= “整倍差” ÷（倍– 1）
多倍数有两种求法：利用差，利用倍
四、非整倍差要变整倍差
1、几倍多几：把多的小尾巴去掉
2、几倍少几：把少的给补上
“多去少补”
五、暗差类型
给一份，差改变成两份
给1份差相等，差其实是2份
六、典型例题
1、甲农场比乙农场多种植了80万吨高粱，如果甲农场种植的高粱数量是乙农场的5
倍，则甲农场种了多少万吨高粱？
2、甲农场比乙农场多种植了50万吨玉米，如果甲农场种植的玉米比乙农场的3倍多
20万吨，则甲农场种了多少万吨玉米？
3、甲农场比乙农场多种值了500万吨小麦，如果甲农场种植的小麦比乙农场的4倍少
100万吨，则甲农场种了多少万吨小麦？
4、有大小两个盘子，大盘子里的饺子是小盘子里的5倍，如果从大盘子里拿出10个
饺子到小盘子里，则两盘饺子一样多，那么原来大小两个盘子各有饺子多少个？。

第八讲差倍问题智慧屋已知几个数的差与这几个数的倍数关系，求这两数是多少的问题是差倍问题。

差倍问题也类似于和倍问题，先确定较小的数是一倍数，再根据倍数关系确定差是一倍数的多少倍，先求出较小数，再求出其他数。

例1、明明和丽丽踢毽子。

丽丽踢的个数是明明的4倍，比明明多36个。

丽丽和明明各踢了多少个？画图：同步演练1小红家养的白兔比黑兔少24只，黑兔只数是白兔的5倍。

小红家养的白兔、黑兔各多少只？例2、食堂买来大米比面粉多450千克，大米比面粉的3倍还多50千克。

食堂买来大米多少千克？同步演练2 公园里的杨树比柳树多255棵，杨树的棵数是柳树的2倍多95棵，杨树有多少棵？例3 有甲、乙两根同样长的绳子，甲绳子用去15米，乙绳用去10米后，乙绳是甲绳的2倍。

原来两根绳子各长多少米？同步演练3小红和小强有同样多的练习本，小红用了17本，小强又买来10本，这时小强的本数是小红的4倍。

两人原来各有多少本？例4、被除数除以除数等于3，被除数比除数多6。

求被除数与除数？同步演练4被除数除以除数等于7，并比除数大42。

被除数和除数各是几？形成平台：1、小红和小明有同样多的巧克力，后来妈妈又给了小红10颗，而小明吃了14颗。

这时小红的巧克力颗数就是小明的3倍了。

他们两人原来各有多少颗巧克力？2、有两盘苹果，如果从第一盘拿2个给第二盘，两盘就同样多；如果从第二盘拿2个给第一盘，第一盘的个数就是第二盘的2倍。

第一盘有多少个苹果？家庭作业：1、甲桶油是乙桶的4倍，如果从甲桶倒出15千克给乙桶，两桶油的重量就相等地。

两桶原来各有油多少千克？哈佛思维训练：惨遭“失手”身为举重运动员的Tim，能轻易地举起400斤的东西，可有一天，他竟然连一件200斤重的东西都举不起来，请问是什么原因造成Tim失手？当然，他没有生病也没有受伤。

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知新思维训练二年级补充讲义所对应的份数，即是单一量。

所以，本质上，“差倍问题”与“和倍问题”，原理是相同的。

初 学阶段，要善于利用线段图，找到对应量。

和倍问题：小数+大数=和 小数=和+（倍数+1）大数二和一小数例1.红梅和李米共有30本书，红梅是李米5倍，两个人各有多少本？ 即学即练11.两个数的和是54，大数是小数的5倍。

求这两个数。

2.甲、乙两人共有30张卡片，甲的张数是乙的4。

两人各有多少张卡片？ 例2.今年晴晴和小丽共16岁，晴晴的年龄比小丽多2倍。

则晴晴和小丽各多少岁？知识要点 和倍、 差倍问：和倍问题与差倍问题，都包含了最宝贵的数学思想 对应。

一个量，除以它 差倍问题：小 大»=小 ＋差1.红红和绿绿有铅笔28支，其中红红比绿绿多2倍。

两人各有几支铅笔？2.小龙和李辉课共有外书40本，小龙的书比李辉多3倍。

则小龙和李辉各有课外书多少本？例3.甲、乙两人共有钱47元，乙的钱比甲的3倍多7元。

甲、乙两人各有多少钱？即学即练31.师徒两人共做了40个零件，师傅做的比徒弟的2倍少5个。

师徒两人各做了多少个零件？例4.实验小学购买的足球是排球的3倍，足球比排球多18只。

购买足球和排球各多少只？1.手表的单价是闹钟的6倍，手表比闹钟贵50元。

手表和闹钟的单价各是多少元？2.商店里买来面包和矿泉水，矿泉水比面包少9箱，面包的箱数是矿泉水的4倍。

面包和矿泉水各有多少箱？例5.李明和张立原来的钱相等，李明给张立10元后，张立的钱是李明的5倍。

李明和张立原来各有多少钱？即学即练51.书架两层数相等，第二层给第一层8本后，第一层的本数是第二层的3倍。

原来每层书架有书多少本？2.弟弟和哥哥的钱数相等，哥哥要给弟弟18元钱，弟弟的钱才是哥哥的7倍。

哥哥和弟弟原来有钱多少？综合练习：1.食堂有大米和面粉共60袋，其中大米的数量是面粉的2倍。

大米和面粉各有多少袋？2.有两个数，大数是小数的4倍，大数比小数多24。

第八讲倍数问题本节课中，我们主要引导学生通过具体的题目分析，来理解什么是“和倍”“差倍”问题，然后再通过相同类型题目的层层训练，让学生掌握运用图示法解决“和倍”“差倍”问先帮小动物找座位.然后说一说，哪一个数是另一个数的2倍？【分析】和倍问题就是已知两个数的和以及它们之间的倍数关系，求这两个数各是多少的问题．差倍问题就是已知大小两数的差，以及大小两数的倍数关系，求大小两数的问题．例1 学校买来一些乒乓球和羽毛球共40个，乒乓球的个数是羽毛球的4倍.买来的乒乓球和羽毛球和倍问题48是24的2倍36是18的2倍【分析】根据题意和线段图可知，羽毛球的个数看作1份数，乒乓球的个数就是4份数，40个就相当于(4+1)份数，这样就可求出1份数，也就是羽毛球的个数，把羽毛球的个数乘4就是乒乓球的个数.羽毛球有多少个？40(41)4058()÷+=÷=个乒乓球有多少个？8432⨯=(个)[铺垫]如下图，前两排是女孩，合唱队一共有多少人？总人数是女孩人数的几倍？男孩数比女孩数多几倍？［分析］总人数有6排，总人数应是6的6倍，即36人.男孩占4排，女孩占2排，女孩有12人.6636⨯=(人)……总人数623÷=……总人数是女孩的倍数(42)21-÷=……男孩比女孩多的倍数答：合唱队一共有36人，总人数是女孩的3倍，男孩数比女孩数多1倍.例2 果园里有梨树和苹果树共54棵，苹果树的棵数是梨树的5倍，苹果树比梨树多多少棵？【分析】把梨树的棵数看作l份数，苹果树的棵数就是5份数，54棵就相当于(5+1)份数，分别求出梨树和苹果树的棵数，再把苹果树的棵数减去梨树的棵数，就是苹果树比梨树多的棵数.这道题还可以这样想，先求出1份数，再求苹果树比梨树多几份，就可直接求出苹果树比梨树多多少棵了.（法１）梨树：54(51) 9÷+=(棵)，苹果树：9545⨯=(棵)，苹果树比梨树多：45936-=(棵) （法２）梨树：54(51)9÷+=(棵)，苹果树比梨树多：9(51)36⨯-=(棵)【分析】列式：28(31)7÷+=（米）例3 师、徒两人共加工105个零件，师傅加工的个数比徒弟的3倍还多5个，师傅和徒弟各加工零件多少个？啊！真甜根据线段图列式：【分析】 从线段图上可以看出，把徒弟加工的个数看作1份数，师傅加工的个数就比3份数还多5个，如果师傅少加工5个，两人加工的总数就少5个，总数变为(1055)-个，这样这道题就转化为例5类型的题目，就可以求出师傅和徒弟各加工多少个了.列式：如果师傅少做5个，师、徒共做： 1055100-=(个)， 徒弟做了：100(31)25÷+=(个)师傅做了：253580⨯+=(个)．［拓展］ 实验小学共有学生956人，男生比女生2倍少4人.问：实验小学男学生和女学生各有多少人？［分析］ 女生：(9564)3320+÷=（人），男生：956320636-=（人）或32024636⨯-=（人） 例4 二(1)班的图书角里有故事书和连环画共47本，如果故事书拿走7本后，故事书的本数就是连环画的4倍.原有连环画和故事书各有多少本？【分析】 从线段图可以看出，如果故事书拿走7本以后，则正好是连环画的4倍.这时故事书与连环画总数应减少7本，列式成47740-= (本)，正好是连环画本数的(1+4)倍.(1)如果故事书拿走7本，总本数为： 47740-=(本)(2) 现在连环画与故事书的倍数和为： 4+1=5(3) 连环画有：4058÷= (本) (4) 故事书有：84739⨯+= (本)［拓展］ 在一道减法算式中，已知被减数、减数、差的和是240，而减数是差的5倍.求差是多少？［分析］ 我们先看下面一道简单的减法算式： 15 － 10 = 5 哈哈，真好玩被减数、减数、差这三个数有下面的关系：被减数=差+减数，如15=5+10这道题中，被减数、减数、差的和是15+5+10=30，30是被减数的2倍，30215÷=，就得被减数，也就是减数与差的和，这样题目就转化为：“已知减数与差的和是15，减数是差的2倍”，按照和倍问题的解题方法，就可求出差是：15(21)5÷+=.列式：减数与差的和： 2402120÷=，差：120(51)20÷+=．例5 大红有贺卡54张，小琴有贺卡70张，大红给小琴几张卡片后，小琴的卡片张数就是大红的3倍？【分析】现在大红和小琴共有贺卡(54+70)张，大红拿出几张贺卡给小琴后，他们的贺卡总数还是(54+70)张.根据例1的解题思路，可求出当小琴的贺卡张数是大红的3倍时，大红有多少张贺卡.比大红原来的54张少了几张，就是大红给小琴的张数.大红、小琴共有贺卡多少张？54+70=124(张)小琴贺卡的张数是大红的3倍时大红有多少张？÷+= (张)124(31)31大红给了小琴多少张？-=(张)543123例6 学校买来篮球、足球、排球共49个，其中篮球的个数是足球的3倍.排球比足球多4个.问学校买来的篮球、足球、排球各多少个？【分析】从线段图上可以看出，把足球的个数看作1份数，篮球的个数是3份数，如果排球少买4个，也是l份数，这时三种球一共(494-)个，总份数是(131++)，就可先求出足球的个数，再分别求篮球和排球的个数.如果排球减少4个，三种球一共多少个？49445-=(个)足球多少个？÷++=(个)45(131)9篮球多少个？⨯=(个)9327排球多少个？9+4=13(个)［拓展］一筐苹果、一筐梨、一筐香蕉共重112千克.已知苹果的重量是梨的3倍，香蕉的重量比梨少3千克.一筐苹果、一筐梨、一筐香蕉各重多少千克？［分析］梨的重量是：(1123)(113)23+÷++=（千克）苹果的重量是：23369⨯=（千克）香蕉的重量是：23320-=（千克）［拓展］小红家养了一些鸡，黄鸡比黑鸡多13只，比白鸡少18只.白鸡的只数是黄鸡的2倍，白鸡、黄鸡、黑鸡一共有多少只？［分析］(1)黄鸡多少只？18(21)18÷-=(只)(2)白鸡多少只？18236⨯=(只)(3)黑鸡多少只？18135-=(只)(4)白鸡、黄鸡、黑鸡共多少只？1836559++=(只)和倍问题的特点是已知两个数的和与大数是小数的几倍，要求两个数，一般是把较小数看作1倍数，大数就是几倍数，这样就可知总和相当于小数的几倍了，可求出小数，再求大数.和倍问题的数量关系式是：和÷(倍数+1)=小数小数×倍数=大数或和一小数=大数如果要求两个数的差，要先求1份数.l份数×(倍数－1)=两数差.解决和倍问题，关键是学会画线段图，这样可以帮助我们更好的弄清各数量之间的关系. 小结：例7 李爷爷家养的鸭比鹅多18只，鸭的只数是鹅的3倍，你知道李爷爷家养的鸭和鹅各有多少只吗？【分析】与18只相对应，这样就可以求出一倍数也就是鹅的只数，求出了鹅的只数，鸭的只数就容易求出来了．鸭与鹅只数的倍数差是312-=（倍），鹅有1829÷= (只)，鸭有9327⨯=(只).例8 某校五年级比六年级人数少154人，若六年级学生再转来46人，则六年级学生是五年级学生的3倍，问五、六年级各有多少人？【分析】五年级人数为：(15446)(31)100+÷-=（人），六年级的人数：100154254+=（人）．例9 有两根铁丝，第一根长18米，第二根长10米，两根铁丝用去同样长的一段后，第一根剩下的长度是第二根剩下长度的3倍，两根铁丝各剩下多少米？【分析】用去同样长的一段后，两段长度差为：18108-=（米），且第一根比第二根多：312-=（倍），则第二根剩下：824÷=（米），第一根剩下：4312⨯=（米）．【分析】长纸带剩下长度比短纸带剩下的长度长：21138-=（厘米），短纸带剩下：8(31)4÷-=（厘米），剪下：1349-=（厘米）．例10 有大小两个桶原来水一样多，如果从小桶倒8千克水到大桶，则大桶中水是小桶的3倍，求原来大桶有水多少千克？哇！好重呀！有两条纸带，一条长21厘米，一条长13厘米，两条纸带都剪下同样的一段后，长纸带剩下的长度是短纸带剩下的3倍，问剪下的一段有多长？中的水是：16(31)8÷-=（千克），而原来大桶中有水是：⨯=（千克）．8216［拓展］某迎春茶话会上，买来苹果4箱，已知每箱苹果取出24千克后，剩余的各箱苹果总和等于原来一箱苹果的重量，问原来一箱苹果多重？［分析］取出24496⨯=千克，即原来的比剩下的多96千克，原来有4箱，剩下一箱的重量，即原来的是剩下的4倍，所以96(41)32÷-=（千克）为剩下的重量，即一箱的重量．［拓展］学而思学校买来白粉笔比彩色粉笔多15箱，白粉笔的箱数比彩色笔的4倍还多3箱，学而思学校买来白粉笔和彩色粉笔各多少箱？［分析］这不是一道典型的“差倍问题”，但我们可以通过适当的变形，将其作为一个典型的“差倍问题”来解决．见上图，由于白笔比彩笔的4倍多3箱，故把彩笔看做1倍数，(白笔－3)就相当于彩笔的4倍，即彩笔比(白笔－3)少3倍，注意此时白笔比彩笔多15312-=箱．彩色粉笔的箱数1234÷=(箱)，白色粉笔的箱数：4+15=19(箱)．［拓展］学而思学校买来白粉笔比彩色粉笔多15箱，白粉笔的箱数比彩色笔的4倍少3箱，学而思学校买来白粉笔和彩色粉笔各多少箱？［分析］把彩笔看做1倍数，(白笔＋3)就相当于彩笔的4倍，即彩笔比(白笔－3)少3倍，注意此时白笔比彩笔多15+3=18箱．彩色粉笔的箱数1836+=(箱)．÷=(箱)，白色粉笔的箱数：61521小结：差倍问题的特点与和倍问题类似。

知新思维训练二年级补充讲义和倍、差倍问题知识要点：和倍问题与差倍问题，都包含了最宝贵的数学思想——对应。

一个量，除以它所对应的份数，即是单一量。

所以，本质上，“差倍问题”与“和倍问题”，原理是相同的。

初学阶段，要善于利用线段图，找到对应量。

和倍问题：小数＋大数＝和小数＝和÷（倍数＋1）大数＝和—小数差倍问题：小数＝差÷（倍数－1）大数＝小数＋差例1.红梅和李米共有30本书，红梅是李米5倍，两个人各有多少本？即学即练11.两个数的和是54，大数是小数的5倍。

求这两个数。

2.甲、乙两人共有30张卡片，甲的张数是乙的4。

两人各有多少张卡片？例2.今年晴晴和小丽共16岁，晴晴的年龄比小丽多2倍。

则晴晴和小丽各多少岁？即学即练21.红红和绿绿有铅笔28 支，其中红红比绿绿多2倍。

两人各有几支铅笔？2.小龙和李辉课共有外书40本，小龙的书比李辉多3倍。

则小龙和李辉各有课外书多少本？例3.甲、乙两人共有钱47元，乙的钱比甲的3倍多7元。

甲、乙两人各有多少钱？即学即练31.师徒两人共做了40个零件，师傅做的比徒弟的2倍少5个。

师徒两人各做了多少个零件？例4.实验小学购买的足球是排球的3倍，足球比排球多18只。

购买足球和排球各多少只？即学即练41.手表的单价是闹钟的6倍，手表比闹钟贵50元。

手表和闹钟的单价各是多少元？2.商店里买来面包和矿泉水，矿泉水比面包少9箱，面包的箱数是矿泉水的4倍。

面包和矿泉水各有多少箱？例5.李明和张立原来的钱相等，李明给张立10元后，张立的钱是李明的5倍。

李明和张立原来各有多少钱？即学即练51.书架两层数相等，第二层给第一层8本后，第一层的本数是第二层的3倍。

原来每层书架有书多少本？2.弟弟和哥哥的钱数相等，哥哥要给弟弟18元钱，弟弟的钱才是哥哥的7倍。

哥哥和弟弟原来有钱多少？综合练习：1.食堂有大米和面粉共60袋，其中大米的数量是面粉的2倍。

大米和面粉各有多少袋？2.有两个数，大数是小数的4倍，大数比小数多24。

知新思维训练二年级补充讲义和倍、差倍问题知识要点：和倍问题与差倍问题，都包含了最宝贵的数学思想——对应。

一个量，除以它所对应的份数，即是单一量。

所以,本质上，“差倍问题”与“和倍问题”,原理是相同的。

初学阶段,要善于利用线段图,找到对应量。

和倍问题:小数＋大数=和小数＝和÷（倍数＋１）大数＝和—小数差倍问题:小数＝差÷(倍数－1) 大数=小数+差例１.红梅和李米共有30本书,红梅是李米5倍，两个人各有多少本？即学即练11.两个数的和是54，大数是小数的５倍。

求这两个数。

2.甲、乙两人共有3０张卡片，甲的张数是乙的４。

两人各有多少张卡片？例2.今年晴晴和小丽共１６岁，晴晴的年龄比小丽多2倍。

则晴晴和小丽各多少岁？即学即练２1.红红和绿绿有铅笔28 支，其中红红比绿绿多2倍。

两人各有几支铅笔？2．小龙和李辉课共有外书4０本，小龙的书比李辉多3倍。

则小龙和李辉各有课外书多少本? 例３．甲、乙两人共有钱47元，乙的钱比甲的3倍多7元。

甲、乙两人各有多少钱？即学即练31．师徒两人共做了40个零件,师傅做的比徒弟的2倍少５个。

师徒两人各做了多少个零件?例４.实验小学购买的足球是排球的3倍，足球比排球多18只。

购买足球和排球各多少只？即学即练４１.手表的单价是闹钟的6倍，手表比闹钟贵５0元。

手表和闹钟的单价各是多少元？２．商店里买来面包和矿泉水，矿泉水比面包少9箱,面包的箱数是矿泉水的４倍。

面包和矿泉水各有多少箱？例5.李明和张立原来的钱相等，李明给张立10元后,张立的钱是李明的５倍。

李明和张立原来各有多少钱？即学即练5１.书架两层数相等，第二层给第一层8本后，第一层的本数是第二层的3倍。

原来每层书架有书多少本?2.弟弟和哥哥的钱数相等,哥哥要给弟弟１8元钱,弟弟的钱才是哥哥的７倍。

哥哥和弟弟原来有钱多少?综合练习：1.食堂有大米和面粉共60袋,其中大米的数量是面粉的2倍。

大米和面粉各有多少袋?2.有两个数,大数是小数的4倍,大数比小数多２4。