第8讲 和倍问题

内容：和倍问题倍数应用题基本数类形及数量关系：倍数应用题的数量名称：多倍数、1倍数、倍数例：故事书的本数是科技书本数的3倍1、求一个数是另一个数的几倍是多少，用除法。

关系式：多倍数÷1倍数=倍数例：8是4的几倍？8÷4=22、已知一个数，求这个数的几倍，用乘法。

关系式：1倍数×倍数=多倍数例：8的4倍是多少？8×4=323、已知一个数几倍是多少，求这个数，用除法。

关系式：多倍数÷倍数=1倍数例：一个数的4倍是8，求这个数是多少？8÷4=2练习：1、20的4倍是多少？什么数的8倍是160？32的3倍是多少？一个数的7倍是105，这个数是多少？252是4的几倍？54的6倍加上464的和是多少？一个数的5倍是70，那么这个数的8倍是多少？2、小明今年9岁了，妈妈的年龄正好是小明的4倍，妈妈的年龄是多少岁？4、饲养小组养的鸡的只数是兔的5倍，已知养鸡120只，养兔多少只？5、一个长方形，长是27米，是宽的3倍，这个长方形的周长是多少？6、书店运进一批儿童读物，其中故事书有135本，科技书的本数比故事书的3倍还多20本，书店运进科技书多少本？7、甲的钱数正好是乙的一半已知的钱数是40元，求甲乙二人一共有多少元？看图填空。

乙数是甲数的（）倍，乙数比甲数多（）倍，甲乙两数的和是甲数的（）倍，乙数比甲数多（），甲数是（），乙数是（），甲乙两数的和是（）。

例1、学校美术小组共有36名同学，其中女同学人数是男同学的3倍，求男、女同学各有多少人？列式计算：36÷（3＋1）=36÷4=9（人）9×3=27（人）或36－9=27（人）答：男生9人，女生27人。

和÷（倍数＋1）=1倍数和－1倍数=多倍数或：1倍数×倍数=多倍数练习（先画出线段图，再列式解答）1、果园里有梨树和苹果树一共40棵，苹果树的棵数是梨树的4倍，苹果树和梨树各多少棵？2、学校生物兴趣小组一共饲养白兔和黑兔54只，白兔只数是黑兔只数的2倍，求白兔和黑兔各有多少只？3、学校体育室有篮球、足球共48个，篮球的个数比足球多2倍，两种球各有多少个？4、甲乙二人共有90元钱，甲的钱数正好是乙的一半，二人各有多少元钱？5、小明和妈妈的年龄加在一起是40岁，妈妈的年龄比小明的年龄多3倍，求小明和妈妈各多少岁？6、学校组织三、四年级186名同学去博物馆参观四年级去的人数是三年级的2倍，三、四年级各去多少人？8、块长方形木块，长比宽多2倍，周长是88厘米，这块木板的长和宽各是多少？9、红红和兰兰一起叠纸鹤，她们2小时共叠了64只，已知红红每小时叠的只数是兰兰的3倍，问红红、兰兰每小时各叠多少只红鹤？10、先队员种柳树和杨树共96棵，杨树的棵数是柳树的3倍，两种树各种了多少棵？11、。

倍数问题（2）和倍、差倍问题姓名：本讲讲述“倍数问题”中的“和倍问题”（即“已知两数的和以及这两数之间的倍数关系，求这两个数”）、“倍差问题”（既“已知两数的差以及这两数之间的倍数关系，求这两个数”）。

“和倍问题”的解答要点是：和÷（倍数+ 1 ）= 小数小数×倍数= 大数“倍差问题”的解答要点是：差÷（倍数− 1 ）= 小数小数×倍数= 大数例1、甲、乙两人做机器零件，甲比乙多做400个，且甲做的零件个数是乙的3倍，问甲、乙两人各做多少个零件？例2、哥哥比弟弟多种了2 6 棵树，哥哥中的树是弟弟的3倍。

问兄弟两人各种多少树？例3、某班的学生参加活动小组，已知参加语文小组的同学比参加数学小组的多2 6 人，且语文小组的人数比数学小组的人数的3 倍少1 4 人，问参加两类兴趣小组的同学各多少人？例4、甲比乙多存1 4 0 元。

如果乙取出6 0元，甲存入6 0元，则甲的存款是乙的三倍。

问甲、乙两人原有存款各多少元？例5、小丽有铅笔与圆珠笔若干枝，铅笔的4倍与圆珠笔的2倍相等，且圆珠笔比铅笔多十枝。

问小丽有多少枝铅笔、多少枝圆珠笔？例6、甲、乙两人分别带1 5 0 元、7 0 元去买东西。

两人买了同样的东西之后，剩下的钱数甲是乙的5倍。

问甲、乙两人身上各剩多少钱？每人身上各剩多少钱？例7、小华在读一本童话选，第二天比第一天多读了3 0 页。

第三天比第二天多读了45页。

第三天是第一天读的页数的2倍。

问三天各读了多少页？倍数问题练习题☆☆×51、小明的爸爸办了一个养鸡厂。

今年比去年多养了4000只小鸡，且今年的小鸡数比去年的3倍少2000只。

问今年、去年各养了多少只小鸡？2、水果店有苹果120千克，梨子90千克。

卖出同样多之后，苹果的重量恰好是梨子的4倍。

问两种水果各剩下多少千克？各卖出多少千克？3、大桶装水是小桶的3倍。

如果从大桶倒出85千克，从小桶倒出5千克，那么剩下的水是一样多的。

学习奥数的优点1、激发学生对数学学习的兴趣，更容易让学生体验成功，树立自信。

2、训练学生良好的数学思维习惯和思维品质。

要使经过奥数训练的学生，思维更敏捷，考虑问题比别人更深层次。

3、锻炼学生优良的意志品质。

可以培养持之以恒的耐心和克服困难的信心，以及战胜难题的勇气。

可以养成坚韧不拔的毅力4、获得扎实的数学基本功，发挥创新精神和创造力的最大空间。

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2、训练学生良好的数学思维习惯和思维品质。

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3、锻炼学生优良的意志品质。

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学科培优数学“和倍问题”学生姓名授课日期教师姓名授课时长知识定位和倍问题是已知大小两个数的和与它们的倍数关系，求大小两个数的应用题.为了帮助我们理解题意，弄清两种量彼此间的关系，常采用画线段图的方法来表示两种量间的这种关系，以便于找到解题的途径。

和倍问题基本公式：小数=和÷（倍数+1）大数=和-小数（或者：大数=小数×倍数知识梳理和倍问题是已知大小两个数的和与它们的倍数关系，求大小两个数的应用题.为了帮助我们理解题意，弄清两种量彼此间的关系，常采用画线段图的方法来表示两种量间的这种关系，以便于找到解题的途径。

和倍问题基本公式：小数=和÷（倍数+1）大数=和-小数（或者：大数=小数×倍数例题精讲【试题来源】【题目】甲班和乙班共有图书160本.甲班的图书本数是乙班的3倍，甲班和乙班各有图书多少本？【答案】甲班有图书120本，乙班有图书40本。

【解析】设乙班的图书本数为1份，则甲班图书为乙班的3倍，那么甲班和乙班图书本数的和相当于乙班图书本数的4倍.还可以理解为4份的数量是160本，求出1份的数量也就求出了乙班的图书本数，然后再求甲班的图书本数.用下图表示它们的关系：乙班：160÷（3+1）=40（本）甲班：40×3=120（本）或160-40=120（本）验算：120＋40=160（本）120÷40=3（倍）答：甲班有图书120本，乙班有图书40本。

和倍问题的解题技巧和倍问题是数学中的一类常见问题，通常表现为“两个数的和为X，它们的乘积为Y，求这两个数”。

这种问题在生活中也经常出现，比如商场打折、分摊费用等场景。

解决和倍问题需要掌握一些解题技巧，本文将从以下几个方面进行讲解。

一、定义变量在解决和倍问题时，首先需要定义变量。

通常我们可以用x和y 来表示这两个数，因为这两个字母在数学中经常用来表示未知数。

定义变量可以帮助我们更清晰地理解问题，把问题转化为数学语言，方便后续的计算。

例如，如果问题是“两个数的和为10，它们的乘积为16，求这两个数”，我们可以定义x和y为两个未知数，那么问题可以转化为以下数学式子：x + y = 10xy = 16二、列方程求解定义好变量后，我们需要列方程求解。

列方程是指把问题转化为一个或多个等式，求解这些等式得到未知数的值。

对于和倍问题，我们通常需要列两个方程，一个是两个数的和，一个是两个数的积，然后联立求解。

以前面的例子为例，我们可以将方程组x + y = 10和xy = 16联立求解。

通过变形，我们可以得到以下式子：y = 10 - xx(10 - x) = 16将第一个式子代入第二个式子，得到一个关于x的方程：x - 10x + 16 = 0这是一个一元二次方程，我们可以用求根公式或配方法求解。

最终，我们得到x的两个解为2和8，那么y的值也就可以通过y = 10 - x得到，分别为8和2。

三、判断解的合理性在解决和倍问题时，我们需要对得到的解进行合理性判断。

因为有些问题可能存在多组解，但其中只有一组是符合实际情况的。

比如，如果问题是“两个数的和为10，它们的乘积为-24，求这两个数”，通过列方程求解我们可以得到x的两个解为-4和6，y的值分别为6和-4。

但是，由于两个数的乘积为负数，因此只有-4和6才是符合实际情况的解。

四、注意特殊情况在解决和倍问题时，还需要注意特殊情况。

有些问题可能存在无解或者多解的情况，需要进行特殊处理。

第8讲和差倍问题三兴趣篇1.有长、短两根竹竿，长竹竿的长度是短竹竿长度的3倍，将它们插入水槽中，插入水中的长度都是40厘米，而露出水面部分的总长为160厘米。

请问：短竹竿露在外面的长度是多少厘米？2.李师傅某天生产了一批零件，他把它们分成了甲、乙两堆。

如果从甲堆中拿出15个放到乙堆中，则两堆零件的个数相等；如果从乙堆中拿出15个放到甲堆中，则甲堆零件的个数是乙堆的3倍。

问：甲堆原来有零件多少个？李师傅这一天共生产了多少个零件？3.爸爸和小高一起搬砖头，爸爸所搬的砖头数是小高的3倍。

小高觉得自己搬的砖头太少了，又搬了24块砖头，于是爸爸所搬的砖头数是小高的2倍。

请问：最后爸爸和小高各搬了多少块砖？4.阿呆和阿瓜回收矿泉水瓶，一开始阿呆回收的是阿瓜的4倍，后来阿瓜又多回收了15个，结果阿呆就只是阿瓜的2倍了。

请问：阿呆回收了多少个矿泉水瓶？5.四年级三班买来单价为5角的练习本若干，如果将这些练习本只分给女生，平均每人可得15本；如果将这些练习本只分给男生，平均每人可得10本。

请问：将这些练习本平均分给全班同学，每人可以得到多少本？此时每人应付多少钱？6.有甲、乙、丙三所小学的同学来参加“幼苗杯”数学邀请赛，其中甲校参赛人数比乙校多5人，比丙校多7人。

如果乙、丙两校一共有40人参加比赛，那么三所学校各有多少人参加比赛？7.甲班比乙班多3人，丙班比丁班多9人，甲班和乙班共有87人。

那么这四个班共有多少人？8.有三个箱子，如果两箱两箱的称它们的重量，分别是83千克、85千克和86千克。

问：其中最轻的箱子重多少千克？9.萱萱和妈妈一起去家具城挑选客厅的桌椅，她们看中了两款，这两款桌椅都包含一张桌子和若干把椅子，其中桌子的价钱一样，每把椅子的价钱也一样。

第一款桌椅中有6把椅子，总价为700元；第二款桌椅中有9把椅子，总价为970元。

请问：一张桌子的价钱是多少元？10.小白兔与小黑兔一块去森林里采摘了一些胡萝卜，回家后它们就把胡萝卜平分了。

四年级上第8讲和倍问题在数学的奇妙世界里，四年级的小朋友们迎来了一个有趣又富有挑战性的知识点——和倍问题。

这可是解决很多数学难题的一把“钥匙”呢！那什么是和倍问题呢？简单来说，就是已知两个数的和以及这两个数之间的倍数关系，求这两个数分别是多少。

比如说，小明和小红一共有 30 本书，小明的书是小红的 2 倍，那小明和小红分别有多少本书？这就是一个典型的和倍问题。

要解决和倍问题，咱们得先有个小窍门。

第一步，要找到两个数的和。

就像刚刚说的 30 本书，这就是和。

第二步，找出倍数关系。

小明的书是小红的 2 倍，这就是倍数关系。

接下来，咱们就得用个神奇的公式啦！较小数＝和 ÷（倍数＋ 1）。

那在上面的例子里，小红的书就是较小数，所以小红的书的数量＝ 30 ÷（2 ＋ 1）＝ 10 本。

知道了小红有 10 本书，那小明的书的数量就好算了，因为小明的书是小红的 2 倍，所以小明有 10 × 2 ＝ 20 本书。

咱们再来看一个例子。

果园里苹果树和梨树一共有 180 棵，苹果树的棵数是梨树的3 倍。

那梨树有多少棵呢？首先，这里的和是180 棵，倍数是 3 倍。

按照公式，梨树的棵数＝ 180 ÷（3 ＋ 1）＝ 45 棵。

那苹果树的棵数就是 45 × 3 ＝ 135 棵。

同学们在做和倍问题的时候，一定要认真读题，把题目中的关键信息找出来。

比如和是多少，倍数是多少。

有时候题目可能不会直接告诉咱们倍数，而是需要咱们自己去发现。

比如说，男生比女生多2 倍，那实际上男生的数量就是女生的 3 倍。

咱们来做几道练习题巩固一下吧。

练习 1：学校买来篮球和足球共 80 个，篮球的个数是足球的 3 倍。

篮球和足球各有多少个？第一步，找出和为 80 个，倍数为 3 倍。

第二步，计算足球的个数＝ 80 ÷（3 ＋ 1）＝ 20 个。

第三步，篮球的个数＝ 20 × 3 ＝ 60 个。

1. 和倍问题就是已知两个数的和以及它们之间的倍数关系，求这两个数各是多少的问题．解答此类应用题时要根据题目中所给的条件和问题，画出线段图，使数量关系一目了然，从而找出解题规律，正确迅速地列式解答。

2. 和倍问题的数量关系式是：1) 和÷(倍数+1)=小数2) 小数×倍数=大数 或 和一小数=大数【例 1】 学校买来一些乒乓球和羽毛球共40个，乒乓球的个数是羽毛球的4倍。

买来的乒乓球和羽毛球各多少个？乒乓球羽毛球一共40个"1"【解析】 羽毛球的个数看作1份数，乒乓球的个数就是4份数。

40个就相当于(4+1)份数，这样就可求出1份数，也就是羽毛球的个数；把羽毛球的个数乘以4就是乒乓球的个数。

羽毛球有40(41)8÷+=个。

乒乓球有8432⨯=个或乒乓球有40832-=个。

第八讲和倍问题知识概述例题精讲【拓展】 小华和爷爷今年共72岁，爷爷的岁数是小华的7倍。

爷爷比小华大多少岁？爷爷小华一共72岁"1"【解析】 （方法一）小华今年72(71)9÷+=岁。

爷爷今年9763⨯=岁或爷爷今年9763⨯=岁。

爷爷比小华大63954-=岁。

（方法二）小华今年72(71)9÷+=岁。

爷爷比小华大9(71)54⨯-=岁。

【例 2】 5箱苹果和5箱葡萄共重75千克，每箱苹果是每箱葡萄重量的2倍。

每箱苹果和每箱葡萄各重多少千克？【解析】 5箱苹果和5箱葡萄共重75千克，平均分成5份，1箱苹果与1箱葡萄重量和为：75÷5=15（千克）。

把1箱葡萄的重量看作一份，重量为：15÷（2+1）=5（千克）；每箱苹果重量为：5×2=10（千克）。

【拓展】 被除数、除数、商3个数的和是212。

已知商是2，被除数和除数各是多少？ 【解析】 由商是2，可得被除数与除数的和为：212-2=210；且被除数是除数的2倍。

小学二升三年级数学讲义第八讲和倍问题学法指导：和倍问题结构特征：已知两个数的和与这两个数中以一个数为1倍数，另一个数的几倍，解题规律是：两数和÷（倍数+1）=1倍数（较小的数），1倍数×倍数=几倍数（较大的数）或两数和-小数=大数。

解题时，可以画出线段图师数量关系一目了然，以达到正确迅速求解的目的。

典例及仿真训练：例一：有两堆橘子，第一堆有47个，第二堆有51个，如果要使第二堆的橘子是第一堆的6倍，那么要从第一堆里拿出多少个橘子到第二堆？仿真训练一：有两袋米，第一袋重67千克，第二袋重53千克，从第二袋中拿出多少千克米放入第一袋中，使第一袋得重量是第二袋的2倍？例二：甲、乙、丙三人共有现金1160元，其中甲是乙的一半，乙又是丙的2倍，甲、乙、丙三人各有多少元？仿真训练二：甲、乙、丙三个数的和是270，甲数是乙数的2倍，乙数是丙数的3倍，甲、乙、丙三个数各是多少？例三：小明，小红共植树15棵，小明植树的棵数比小红的2倍少了3棵，两人各植树多少棵？仿真训练三：故事书和科幻书一共有42本，故事书比科幻书的3倍少2本，故事书和科幻书各有多少本？例四：两数相除商是8余16，被除数，除数，商与余数的和是463，被除数是多少？仿真训练四：商店运来苹果，香蕉，橘子共53千克，橘子的重量是苹果3倍少3千克，香蕉的重量是苹果2倍多2千克，橘子重多少千克？基础训练：1、两个数和是260，商是9，这两个数是多少？2、甲水池有水72吨，乙水池有水48吨，如果甲水池的水以每分钟3吨的速度流入乙水池，那么多少分钟后，乙水池的水是甲水池的3倍？3、甲乙两桶水重量相等，甲桶倒出18千克水，乙桶倒入14千克水后，乙桶水的重量是甲桶水的重量的5倍，甲桶原来有水多少千克？提高拓展：1、一根电线长240米，把它分成三段，使第一段比第二段长20米，第三段是第一段的2倍。

这三段电线各长多少米？2、被除数除以除数，商是9，且被除数，除数，商的和为249，那么被除数，除数分别是多少？挑战自我：549是甲、乙、丙、丁4个数之和，如果甲数加上2，乙数减少2，丙数乘以2，丁数除以2以后，则4个数相等，求这4个数各是多少？课堂小测姓名 ____________ 等级_____________ 一、小梅的奶奶养了56只鸡和鸭，鸡的只数是鸭的6倍，小梅的奶奶养的鸭和鸡各是多少只？二、甲有10元钱，乙有14元钱，乙给甲多少元，甲的钱比乙多2倍?三、甲乙丙三人的年龄之和是109岁，甲的年龄是乙的2倍还大3岁，乙的年龄是丙的2倍小2岁.问：甲、乙、丙三人各是多少岁？。