【人教B版】高中数学函数的单调性精品系列推荐1

引例2：画出下列函数的图象
（1）y = x
y
y=x
f(x6)
f(x5)
· 1 f(x4)
x1
O 1· x2 x3
x4
x5 x6
x
f(x3)
f(x2)
f(x1)
此函数在区间（-∞, +∞ ）内y随x的增大而增大；
引例2：画出下列函数的图象
（2）y = x2
y f(x1)
y = x2
f(x6)
f(x2)
y=f(x)
·
f(x2)
·
0
x1
x2 x
0
x1
图象 特征
从左至右，图象上升
数量 特征
y随x的增大而增大
x2 x
在区间I内
在区间I内
y
f(x2)
图 象 f(x1)
·
y=f(x)
y
· f(x1)
f(x2)
y=f(x)
·
·
0
x1
x2 x
图象 特征
从左至右，图象上升
数量 特征
y随x的增大而增大
0
x1
x2 x
主要步骤
1. 任取x1，x2∈D，且x1<x2； 2. 作差f(x1)－f(x2)； 3. 变形（通常是因式分解和配方）； 4. 定号（即判断差f(x1)－f(x2)的正负）； 5. 下结论
证明：在区间 1, 上任取两个值 x1, x2 且 x1 x2 取值
则
f
( x1 )
f
(x2 )
( x1
那么就说f(x)在这个区间上是单调增 那么就说f(x)在这个区间上是单调
函数，I称为f(x)的单调增区间.

【解析】 (1)×.由函数单调性的定义可知，要证明一个函数是增函数，需对 定义域内的任意的自变量都满足自变量越大，函数值也越大，而不是个别的自变 量.
(2)×.不能改为“存在两个自变量的值x1、x2”. (3)×.反例：f (x)＝－－12，，xx∈∈12，，23]，. 【答案】 (1)× (2)× (3)×
1.求函数单调区间的方法 (1)利用基本初等函数的单调性，如本例(1)和(2)，其中分段函数的单调区间 要根据函数的自变量的取值范围分段求解； (2)利用函数的图象，如本例(3). 2.若所求出函数的单调增区间或单调减区间不唯一，函数的单调区间之间要 用“，”隔开，如本例(3).
[再练一题] 1.函数f (x)＝－x2＋2ax＋3(a∈R)的单调减区间为________. 【导学号： 60210039】 【解析】 因为函数f (x)是开口向下的二次函数，其对称轴为x＝a，所以f (x) 的单调减区间为(a，＋∞). 【答案】 (a，＋∞)
1.增函数与减函数的定义 x2，改设变函量数yΔ＝x＝f (xx2)－的x定1>义0 域，为则A，当区间ΔyM＝⊆f (Ax2，)－如f果(x1取)>区0 间时M，中就的称任函意数两y＝个f值(xx)1在， 区间M上是增函数，如图2-1-4(1)；当Δy＝f (x2)－f (x1)<0 时，就称函数y＝f (x)在
阶
阶
段
段
1
3
2.1.3 函数的单调性
学
阶 段
业 分 层
2
测
评
1.理解单调函数的定义，理解增函数、减函数的定义.(重点) 2.掌握定义法判断函数单调性的步骤.(重点) 3.掌握求函数单调区间的方法(定义法、图象法).(难点)

（2） =
2 2 −3
.

【解析】因为 =
2 2 −3

3

= 2 − ，且函数的定义域为 −∞, 0 ∪ 0, +∞ ，
（切勿认为定义域为）
3

3

又函数 = 2和 = − 在区间 −∞, 0 上均单调递增，所以 = 2 − 在区间
−∞, 0 上单调递增.
同理可得 = 2
3
[ , 4),
2
4, +∞ .1源自又 = 在 ∈ −∞, 0 和(0,
=
25
]上单调递减，所以由复合函数的单调性可知函数
4
1
3
的单调递增区间为[ , 4)和
4+3− 2
2
4, +∞ ．
例13 设 是定义在上的函数，对, ∈ ，恒有
( + ) = ⋅ ≠ 0, ≠ 0 ，且当 > 0时，0 < < 1.
−
2 +
2 +
→2.作差.
∵ > > 0,2 > 1 > −,
∴ − > 0,2 − 1 > 0,2 + > 0,1 + > 0,
∴
− 2 −1
1 + 2 +
> 0,→4.定号.
即 1 > 2 ,∴ 函数 在 −, +∞ 上单调递减.→5.下结论.
递增
【解析】A是假命题，“无穷多个”不能代表“所有”“任意”；
以 =
1
为例，

在 −∞, 0 和 0, +∞ 上均单调递减，但在整个区间上并不是减

高中数学学习材料马鸣风萧萧*整理制作２.１.３函数的单调性【目标要求】1．理解函数的单调性的概念．2．掌握判断和证明函数单调性的方法． 3．会求某些函数的单调区间．【巩固教材——稳扎马步】 1．下列命题正确的是 （ ） Ａ．2x y =在Ｒ上是单调递增函数 Ｂ．ｙ＝x1在()()+∞⋃∞-,00,上是减函数 Ｃ．函数ｙ＝ｘ２和ｙ＝｜ｘ｜的单调性相同 Ｄ．ｙ＝ａｘ＋１（ａ≠０）是单调递增函数2．下列函数中,在()0,∞-上为减函数的是 ( ) A ．ｙ＝3x Ｂ．3x y = Ｃ．ｙ＝321x Ｄ．2x y =3．设函数b x a x f +-=)12()(在Ｒ上是减函数，则有 （ ） Ａ．21≥a Ｂ．21≤a Ｃ．21.->a Ｄ．21<a 4．若3=y 42+-x 的最大值和最小值分别分别为Ｍ和ｍ，则Ｍ＋ｍ＝ （ ） Ａ．10 Ｂ．6 Ｃ．9 Ｄ．33【重难突破——重拳出击】 5．关于ｙ＝11-x 的单调性的说法，正确的是 （ ）Ａ．在定义域内单调递减Ｂ．在()0,∞-上递减，在()+∞,0上递增 Ｃ．在()0,∞-上递减，在()+∞,0上也递减 Ｄ．除ｘ＝１外在()+∞∞-,上递减6．函数)(x f 在定义域[]4,3-内是增函数，且有>---)1()12(m f m f ０，则ｍ的取值范围是 （ ） Ａ．ｍ＞32 Ｂ．ｍ＜32 Ｃ．2532≤<m Ｄ．321m <- 7．已知函数)(x f 在Ｒ上是递减函数，b a , R ∈且0≤+b a ，则有 （ ） Ａ．)()(b f a f + ≤０ Ｂ．)()(b f a f +≥０Ｃ．)()(b f a f +≤)()(b f a f -+- Ｄ．)()(b f a f +≥)()(b f a f -+-8．已知函数)(x f 在区间[]5,1-上具有单调性，且有)5()1(f f -＜０，则方程0)(=x f 在区间[]5,1-上 （ ） Ａ．至少有一个实根 Ｂ．至多有一个实根Ｃ．没有实根 Ｄ．必有唯一实根9．已知函数ｙ＝)(x f 在(,)-∞+∞上单调递减，则函数(|2|)y f x =+的单调递减区间是 （ ）Ａ．(,)-∞+∞ Ｂ．(],2-∞- Ｃ．[)2,+∞ Ｄ．[)2,-+∞ 10．设)(x f 、)(x g 都是单调函数，有如下４个命题：①．若)(x f 单调递增，)(x g 单调递增，则)(x f －)(x g 单调递增； ②．若)(x f 单调递增，)(x g 单调递减，则)(x f －)(x g 单调递增； ③．若)(x f 单调递减，)(x g 单调递增，则)(x f －)(x g 单调递减； ④．若)(x f 单调递减，)(x g 单调递减，则)(x f －)(x g 单调递减．其中，正确的命题是 （ ） Ａ．①③ Ｂ．①④ Ｃ．②③ Ｄ．②④11．函数||)(x x f =和)(x g ＝)2(x x -的递减区间依次是 （ ） Ａ．(][)+∞∞-,1,0, Ｂ．(](]1,,0,∞-∞-Ｃ．[)(]1,,,0∞-+∞ Ｄ．[)[)+∞+∞,1,,012．若函数)(x f ＝b b x a +-||在[)+∞,0上为增函数，则 （ ）Ａ．0,0≥<b a Ｂ．0,0≤>b a Ｃ．0,0<≥b a Ｄ．0,0≤<b a【巩固提高——登峰揽月】 13．给出下列命题：①．若)(x f 为增函数，则)(1x f 为减函数； ②．若)(x f 为减函数，则2)]([x f 为增函数； ③．若)(x f 为增函数，则2)]([x f 为增函数；④．若)(x f 为增函数，)(x g 为减函数，且g ［)(x f ］和f ［)(x g ］都有意义，则g ［)(x f ］和ｆ［)(x g ］都为减函数．其中正确命题的序号是 ． 14．讨论函数)(x f ＝xax +（ａ＞０）的单调性．【课外拓展——超越自我】15．求函数)(x f ＝30|10|--x a （0≠a ）单调区间．16．已知函数ｙ＝)(x f 的定义域是()+∞,0，满足)2(f ＝１，且对任意正实数ｘ，ｙ都有)()()(y f x f xy f ==：（１）．求)4(),1(),0(f f f ；（２）．求不等式2)3()(>--x f x f 的解集．２.１.３函数的单调性题号 1 234 5 6 7 8 9 10 11 12 答案 ＣＤ DＢCＣDDＤCAＢ13．④14．先讨论)(x f 在()+∞,0上的单调性，设021>>x x ，则)()(21x f x f -＝（11x a x +）－（22x ax +）＝（21x x -）（211x x a-）． 当a x x >>21时， 1021<<x x a ，且021>-x x ，∴0)()(21>-x f x f ，故)(x f 在()+∞,a上是增函数；同理：)(x f 在[)+∞-,a 上也是增函数，在[)(]a a ,0,0,-上是减函数．15．)(x f ＝⎩⎨⎧<-+-≥--)10(3010)10(3010x a ax x a ax ，所以当ａ＞０时，)(x f 在[)+∞,10单调递增，在()10,∞-单调递减；当ａ＜０时，)(x f 在[)+∞,10单调递减，在()10,∞-单调递增．16．（１）由)()()(y f x f xy f +=，令ｘ＝ｙ＝０，则)0()0()0(f f f +=所以)0(f ＝０，令ｘ＝ｙ＝１，则)1()1()1(f f f +=，所以0)1(=f ，令ｘ＝ｙ＝２，则212)2(2)22()4(=⨯==⨯=f f f ；（２）由)(x f －)3(-x f ＞２，)4(f ＝２得)(x f ＞)3(-x f ＋)4(f ，所以)(x f ＞))3(4(-x f ．又)(x f 在()+∞,0上是增函数，所以⎪⎩⎪⎨⎧->>->)3(4030x x x x 即⎪⎩⎪⎨⎧<>>430x x x 所以３＜ｘ＜４即不等式解集为{}43|<<x x。