完全平方公式几何意义专题

1、（2010•乌鲁木齐）有若干张面积分别为纸片，阳阳从中抽取了1张面积为a2的正方形纸片，4张面积为ab的长方形纸片，若他想拼成一个大正方形，则还需要抽取面积为b2的正方形纸片（）A、2张B、4张C、6张D、8张考点：完全平方公式的几何背景。

分析：由题意知拼成一个大正方形长为a+2b，宽也为a+2b，面积应该等于所有小卡片的面积．解答：解：∵正方形和长方形的面积为a2、b2、ab，∴它的边长为a，b，b．∴它的边长为（a+2b）的正方形的面积为：（a+2b）（a+2b）=a2+4ab+4b2，∴还需面积为b2的正方形纸片4张．故选B．点评：此题考查的内容是整式的运算与几何的综合题，考法较新颖．2、（2010•丹东）图①是一个边长为（m+n）的正方形，小颖将图①中的阴影部分拼成图②的形状，由图①和图②能验证的式子是（）A、（m+n）2﹣（m﹣n）2=4mnB、（m+n）2﹣（m2+n2）=2mnC、（m﹣n）2+2mn=m2+n2D、（m+n）（m﹣n）=m2﹣n2考点：完全平方公式的几何背景。

专题：计算题。

分析：根据图示可知，阴影部分的面积是边长为m+n的正方形减去中间白色的正方形的面积m2+n2，即为对角线分别是2m，2n的菱形的面积．据此即可解答．解答：解：（m+n）2﹣（m2+n2）=2mn．故选B．点评：本题是利用几何图形的面积来验证（m+n）2﹣（m2+n2）=2mn，解题关键是利用图形的面积之间的相等关系列等式．3、利用图形中面积的等量关系可以得到某些数学公式．例如，根据图甲，我们可以得到两数和的平方公式：（a+b）2=a2+2ab+b2．你根据图乙能得到的数学公式是（）A、（a+b）（a﹣b）=a2﹣b2B、（a﹣b）2=a2﹣2ab+b2C、a（a+b）=a2+abD、a（a﹣b）=a2﹣ab考点：完全平方公式的几何背景。

分析：根据图形，左上角正方形的面积等于大正方形的面积减去两个矩形的面积，然后加上多减去的右下角的小正方形的面积．解答：解：大正方形的面积=（a﹣b）2，还可以表示为a2﹣2ab+b2，∴（a﹣b）2=a2﹣2ab+b2．故选B．点评：正确列出正方形面积的两种表示是得出公式的关键，也考查了对完全平方公式的理解能力．4、已知如图，图中最大的正方形的面积是（）A、a2B、a2+b2C、a2+2ab+b2D、a2+ab+b2考点：完全平方公式的几何背景。

8.3 完全平方公式与平方差公式1．了解乘法公式的几何背景，掌握公式的结构特征，并能熟练运用公式进行简单的计算．2．感受生活中两个乘法公式存在的意义，养成“观察—归纳—概括”的数学能力，体会数形结合的思想方法，提高学习数学的兴趣和运用知识解决问题的能力，进一步增强符号感和推理能力．1．完全平方公式(1)完全平方公式：(a＋b)2＝a2＋2ab＋b2，(a－b)2＝a2－2ab＋b2.上式用语言叙述为：两个数的和(或差)的平方，等于这两个数的平方和加(或减)这两个数乘积的2倍．(2)完全平方公式的证明：(a±b)2＝(a±b)(a±b)＝a2±ab±ab＋b2(多项式乘多项式)＝a2±2ab＋b2(合并同类项)．(3)完全平方公式的特点：①左边是一个二项式的完全平方，右边是一个二次三项式，其中有两项是公式左边二项式中每一项的平方，另一项是左边二项式中两项乘积的2倍．可简单概括为“首平方，尾平方，积的2倍夹中央”．②公式中的a，b可以是单项式，也可以是多项式．③对于符合两数和(或差)的平方的乘法，均可用上述公式计算．【例1－1】用完全平方公式计算(1)(x＋2y)2；(2)(2a－5)2；(3)(－2s＋t)2；(4)(－3x－4y)2；(5)(2x＋y－3z)2.分析：第(1)、(2)两题可直接用和、差平方公式计算；第(3)题可先把它变成(t－2s)2，然后再计算，也可以把－2s看成一项，用和平方公式计算；第(4)题可看成－3x与4y差的平方，也可以看成－3x与－4y和的平方；(5)可把2x＋y看成一项，用差平方公式计算，然后再用和平方公式计算，也可以把它看成2x与y－3z的和平方，再用差平方公式计算．解：(1)(x ＋2y )2＝x 2＋2·x ·2y ＋(2y )2＝x 2＋4xy ＋4y 2；(2)(2a －5)2＝(2a )2－2·2a ·5＋52＝4a 2－20a ＋25；(3)(－2s ＋t )2＝(t －2s )2＝t 2－2·t ·2s ＋(2s )2＝t 2－4ts ＋4s 2；(4)(－3x －4y )2＝(－3x )2－2·(－3x )·4y ＋(4y )2＝9x 2＋24xy ＋16y 2；(5)(2x ＋y －3z )2＝[2x ＋(y －3z )]2＝(2x )2＋2·2x ·(y －3z )＋(y －3z )2＝4x 2＋4xy －12xz ＋y 2－2·y ·3z ＋(3z )2＝4x 2＋y 2＋9z 2＋4xy －12xz －6yz .(1)千万不要与公式(ab )2＝a 2b 2混淆，发生类似(a ±b )2＝a 2±b 2的错误；(2)切勿把“乘积项”2ab 中的2漏掉；(3)计算时，应先观察所给题目的特点是否符合公式的条件，如符合，则可以直接套用公式进行计算；如不符合，应先变形，使其具备公式的结构特点，再利用公式进行计算，如变形后仍不具备公式的结构特点，则应运用乘法法则进行计算．此外，在运用公式时要灵活，如第(4)题，由于(－3x －4y )2与(3x ＋4y )2是相等关系，故可以把(－3x －4y )2转化为(3x ＋4y )2，再进行计算，再如(5)题，也有许多不同的方法．(4)完全平方公式的几何解释．如图是对(a ＋b )2＝a 2＋2ab ＋b 2几何意义的阐释．大正方形的面积可以表示为(a ＋b )2，也可以表示为S ＝S Ⅰ＋S Ⅱ＋S Ⅲ＋S Ⅳ，又S Ⅲ，SⅠ，S Ⅳ，S Ⅱ分别等于a 2，ab ，ab ，b 2，所以S ＝a 2＋ab ＋ab ＋b 2＝a 2＋2ab ＋b 2.从而验证了完全平方公式(a ＋b )2＝a 2＋2ab ＋b 2.如图是对(a－b)2＝a2－2ab＋b2几何意义的阐释．正方形Ⅰ的面积可以表示为(a－b)2，也可以表示为SⅠ＝S大－SⅡ－SⅣ＋SⅢ，又S大，SⅡ，SⅢ，SⅣ分别等于a2，ab，b2，ab，所以SⅠ＝a2－ab－ab＋b2＝a2－2ab＋b2.从而验证了完全平方公式(a－b)2＝a2－2ab＋b2.【例1－2】下图是四张全等的矩形纸片拼成的图形，请利用图中的空白部分面积的不同表示方法，写出一个关于a，b的恒等式：__________________.解析：根据图中的面积写一个恒等式，需要用两种方法表示空白正方形的面积．首先观察大正方形是由四个矩形和一个空白正方形组成，所以空白正方形的面积等于大正方形的面积减去四个矩形的面积，即(a＋b)2－4ab，空白正方形的面积也等于它的边长的平方，即(a－b)2，根据面积相等有(a＋b)2－4ab＝(a－b)2.答案：(a＋b)2－4ab＝(a－b)22．平方差公式(1)平方差公式：(a＋b)(a－b)＝a2－b2.上式用语言叙述为：两个数的和与这两个数的差的积，等于这两个数的平方差．(2)平方差公式的证明：(a＋b)(a－b)＝a2－ab＋ab＋b2(多项式乘多项式)＝a2－b2(合并同类项)．(3)平方差公式的特点：①左边是两个二项式相乘，这两项中有一项完全相同，另一项互为相反数；②右边是乘式中两项的平方差(相同项的平方减去互为相反数项的平方)；③公式中的a和b可以是具体的数，也可以是单项式或多项式．利用此公式进行乘法计算时，应仔细辨认题目是否符合公式特点，不符合平方差公式形式的两个二项式相乘，不能用平方差公式．如(a＋b)(a－2b)不能用平方差公式计算．【例2－1】计算：(1)(3x＋2y)(3x－2y)；(2)(－m＋n)(－m－n)；(3)(－2x－3)(2x－3)．分析：(1)本题符合平方差公式的结构特征，其中3x对应“a”，2y对应“b”；(2)题中相同项为－m，互为相反数的项为n与－n，故本题也符合平方差公式的结构特征；(3)利用加法交换律将原式变形为(－3＋2x)(－3－2x)，然后运用平方差公式计算．解：(1)(3x＋2y)(3x－2y)＝(3x)2－(2y)2＝9x2－4y2.(2)(－m＋n)(－m－n)＝(－m)2－n2.(3)(－2x－3)(2x－3)＝(－3＋2x)(－3－2x)＝(－3)2－(2x)2＝9－4x2.利用公式计算，关键是分清哪一项相当于公式中的a，哪一项相当于公式中的b，通常情况下，为防止出错，利用公式前把相同项放在前面，互为相反数的项放在后面，然后套用公式．(4)平方差公式的几何解释如图，阴影部分的面积可以看成是大正方形的面积减去小正方形的面积，即a2－b2；若把小长方形Ⅲ旋转到小长方形Ⅳ的位置，则此时的阴影部分的面积又可以看成SⅠ＋SⅢ＝SⅠ＋SⅣ＝(a＋b)(a－b)．从而验证了平方差公式(a＋b)(a－b)＝a2－b2.【例2－2】下图由边长为a和b的两个正方形组成，通过用不同的方法，计算图中阴影部分的面积，可以验证的一个乘法公式是____________________．分析：要表示阴影部分的面积，可以从两个方面出发：一是观察阴影部分是由边长为a的正方形除去边长为b的正方形得到的，所以它的面积等于a2－b2；二是阴影部分是由两个直角梯形构成的，所以它的面积又等于两个梯形的面积之和．这两个梯形的面积都等于12 (b＋a)(a－b)，所以梯形的面积和是(a＋b)(a－b)，根据阴影部分的面积不变，得(a＋b)(a－b)＝a2－b2.因此验证的一个乘法公式是(a＋b)(a－b)＝a2－b2.答案：(a＋b)(a－b)＝a2－b23．运用乘法公式简便计算平方差公式、完全平方公式不但是研究整式运算的基础，而且在许多的数字运算中也有广泛地运用．不少数字计算题看似与平方差公式、完全平方公式无关，但若根据数字的结构特点，灵活巧妙地运用平方差公式、完全平方公式，常可以使运算变繁为简，化难为易．解答此类题，关键是分析数的特点，看能否将数改写成两数和的形式及两数差的形式，若改写成两数和的形式乘以两数差的形式，则用平方差公式；若改写成两数和的平方形式或两数差的平方形式，则用完全平方公式．【例3】计算：(1)2 0132－2 014×2 012；(2)1032；(3)1982.分析：(1)2 014＝2 013＋1,2 012＝2 013－1，正好符合平方差公式，可利用平方差公式进行简便运算；(2)可将1032改写为(100＋3)2，利用两数和的平方公式进行简便运算；(3)可将1982改写为(200－2)2，利用两数差的平方公式进行简便运算．解：(1)2 0132－2 014×2 012＝2 0132－(2 013＋1)×(2 013－1)＝2 0132－(2 0132－12)＝2 0132－2 0132＋1＝1.(2)1032＝(100＋3)2＝1002＋2×100×3＋32＝10 000＋600＋9＝10 613.(3)1982＝(200－2)2＝2002－2×200×2＋22＝40 000－800＋4＝39 204.4．利用乘法公式化简求值求代数式的值时，一般情况是先化简，再把字母的值代入化简后的式子中求值．在化简的过程中，合理地利用乘法公式能使整式的运算过程变得简单．在代数式化简过程中，用到平方差公式及完全平方公式时，要特别注意应用公式的准确性．【例4】先化简，再求值：5(m ＋n )(m －n )－2(m ＋n )2－3(m －n )2，其中m ＝－2，n ＝15. 解：5(m ＋n )(m －n )－2(m ＋n )2－3(m －n )2＝5(m 2－n 2)－2(m 2＋2mn ＋n 2)－3(m 2－2mn ＋n 2)＝5m 2－5n 2－2m 2－4mn －2n 2－3m 2＋6mn －3n 2＝－10n 2＋2mn .当m ＝－2，n ＝15时，原式＝－10n 2＋2mn ＝－10×⎝ ⎛⎭⎪⎫152＋2×(－2)×15＝－65. 5．乘法公式的运用技巧一些多项式的乘法或计算几个有理数的积时，表面上看起来不能利用乘法公式，实际上经过简单的变形后，就能直接运用乘法公式进行计算了．有些题目往往可用不同的公式来解，此时要选择最恰当的公式以使计算更简便．在运用平方差公式时，注意以下几种常见的变化形式：①位置变化：(b ＋a )(－b ＋a )＝a 2－b 2.②符号变化：(－a ＋b )(－a －b )＝(－a )2－b 2＝a 2－b 2.③系数变化：(0.5a ＋3b )(0.5a －3b )＝(0.5a )2－(3b )2.④指数变化：(a 2＋b 2)(a 2－b 2)＝(a2)2－(b2)2＝a4－b4.⑤增项变化：(a－b－c)(a－b＋c)＝(a－b)2－c2，(a＋b－c)(a－b＋c)＝a2－(b－c)2.⑥增因式变化：(a＋b)(a－b)(－a－b)(－a＋b)＝(a2－b2)(a2－b2)＝(a2－b2)2.⑦连用公式变化：(a－b)(a＋b)(a2＋b2)(a4＋b4)＝a8－b8.【例5－1】计算：(1)(a＋b＋1)(a＋b－1)；(2)(m－2n＋p)2；(3)(2x－3y)2(2x＋3y)2.解：(1)(a＋b＋1)(a＋b－1)＝[(a＋b)＋1][(a＋b)－1]＝(a＋b)2－1＝a2＋2ab＋b2－1.(2)(m－2n＋p)2＝[(m－2n)＋p]2＝(m－2n)2＋2·(m－2n)·p＋p2＝m2－4mn＋4n2＋2mp－4np＋p2.(3)(2x－3y)2(2x＋3y)2＝[(2x－3y)(2x＋3y)]2＝(4x2－9y2)2＝(4x2)2－2×4x2×9y2＋(9y2)2＝16x4－72x2y2＋81y4.在运用平方差公式时，应分清两个因式是否是两项之和与差的形式，符合形式才可以用平方差公式，否则不能用；完全平方公式就是求一个二项式的平方，其结果是一个三项式，在计算时不要发生：(a＋b)2＝a2＋b2或(a－b)2＝a2－b2这样的错误；当因式中含有三项或三项以上时，要适当的分组，看成是两项，从而应用平方差公式或完全平方公式．【例5－2】计算：(2＋1)(22＋1)(24＋1)(28＋1)…(22n＋1)的值．分析：为了能便于运用平方差公式，观察到待求式中都是和的形式，没有差的形式，可设法构造出差的因数，于是可乘以(2－1)，这样就可巧妙地运用平方差公式了．解：(2＋1)(22＋1)(24＋1)(28＋1)…(22n＋1)＝(2－1)(2＋1)(22＋1)(24＋1)(28＋1)…(22n＋1)＝(22－1)(22＋1)(24＋1)(28＋1)…(22n＋1)＝(24－1)(24＋1)(28＋1)…(22n＋1)＝…＝(22n－1)(22n＋1)＝24n－1.6．乘法公式的实际应用在解决生活中的实际问题时，经常把其中的一个量或几个量先用字母表示，然后列出相关式子，进而化简，这往往涉及到整式的运算．解题时，灵活运用乘法公式，往往能事半功倍，使问题得到快速解答．【例6】一个正方形的边长增加3 cm，它的面积就增加39 cm2，这个正方形的边长是多少？分析：如果设原正方形的边长为x cm，根据题意和正方形的面积公式可列出方程(x＋3)2＝x2＋39，求解即可．解：设原正方形的边长为x cm，则(x＋3)2＝x2＋39，即x2＋6x＋9＝x2＋39，解得x＝5(cm)．故这个正方形的边长是5 cm.7．完全平方公式的综合运用学习乘法公式应注意掌握公式的特征，认清公式中的“两数”，注意为使用公式创造条件．(1)完全平方公式变形后可得到以下一些新公式：①a 2＋b 2＝(a ＋b )2－2ab ；②a 2＋b 2＝(a －b )2＋2ab ；③(a ＋b )2＝(a －b )2＋4ab ；④(a －b )2＝(a ＋b )2－4ab ；⑤(a ＋b )2＋(a －b )2＝2(a 2＋b 2)；⑥(a ＋b )2－(a －b )2＝4ab 等．在公式(a ±b )2＝a 2±2ab ＋b 2中，如果把a ＋b ，ab 和a 2＋b 2分别看做一个整体，则知道了其中两个就可以求第三个．(2)注意公式的逆用不仅会熟练地正用公式，而且也要求会逆用公式，乘法公式均可逆用，特别是完全平方公式的逆用——a 2＋2ab ＋b 2＝(a ＋b )2，a 2－2ab ＋b 2＝(a －b )2.【例7－1】已知a 2＋b 2＋4a －2b ＋5＝0，则a ＋b a －b的值是__________．解析：原等式可化为(a 2＋4a ＋4)＋(b 2－2b ＋1)＝0，即(a ＋2)2＋(b －1)2＝0，根据非负数的特点知a ＋2＝0且b －1＝0，从而可知a ＝－2且b ＝1.然后将其代入求a ＋b a －b的值即可． 答案：13【例7－2】已知a ＋b ＝2，ab ＝1，求a 2＋b 2的值．分析：利用完全平方公式有(a ＋b )2＝a 2＋2ab ＋b 2，把2ab 移到等式的左边，可得(a ＋b )2－2ab ＝a 2＋b 2，然后代入求值即可．解：∵(a ＋b )2＝a 2＋2ab ＋b 2，∴a 2＋b 2＝(a ＋b )2－2aB ．∵a ＋b ＝2，ab ＝1，∴a 2＋b 2＝22－2×1＝2.涉及两数和或两数差及其乘积的问题，就要联想到完全平方公式．本题也可从条件出发解答，如因为a＋b＝2，所以(a＋b)2＝22，即a2＋2ab＋b2＝4.把ab＝1代入，得a2＋2×1＋b2＝4，于是可得a2＋b2＝4－2＝2.。

第3讲 平方差公式与完全平方式专题第一部分 知识梳理1．平方差公式两数和与这两数差的积，等于它们的平方差。

公式：()()22a b a b a b +-=- 平方差公式的几何意义：如图利用面积相等的方法验证平方差公式2．完全平方公式两数和的平方，等于它们的平方和，加上它们的积的2倍；公式：222()2a b a ab b +=++ 两数差的平方，等于它们的平方和，减去它们的积的2倍；公式：222()2a b a ab b -=-+ 完全平方公式的几何意义：如图甲，大正方形的面积从整体看为2()a b +，分开看为22a ab ab b +++，从而得出22222()2a b a ab ab b a ab b +=+++=++；如图乙，左上角的正方形面积可表示为2()a b -，也可表示为22()()a b a b b a b b -----，从而得出22222()()()2a b a b a b b a b b a ab b -=-----=-+3．完全平方公式常见的变形 ①222()2a b a b ab +=+- ②222()2a b a b ab +=-+ ③22()()4a b a b ab +=-+第二部分 例题精讲与练习考点1．直接运用公式计算 例1． 计算(12)(12)c c +- 22()()()a b a b a b +-+ (2)(2)x y x y ---(2)(2)a b c a b c +++- 2(4)m n + 2()a b c ++22)3(x x -+变式训练 计算(23)(23)a b a b ---+ 2111()()()242x x x --+ (1)(1)ab ab +-+()()m n p m n p -+-- 2(21)t -- 2(2)a b c -+22)(y x y +-考点2．利用公式进行简便计算 例2． 简便运算19982002⨯ 12(100)(99)33-⨯- 21022201020092011-⨯变式训练 简便运算30.829.2⨯ 18(20)(19)99-⨯- 22032220132201320122012-⨯⨯+考点3．公式几何意义的应用例3．如图，从边长为(1)a cm +的正方形纸片中剪去一个边长为(1)a cm -的正方形(1)a >，剩余部分沿虚线又剪拼成一个矩形（不重叠无缝隙），则该矩形的面积是（ ）A ．22cm B ．22acm C ．24acm D ．22(1)a cm - 变式训练（1题图） （2题图）2．如图所示，在边长为a 的正方形中，剪去一个边长为b 的小正方形（a ＞b ），将余下部分拼成一个梯形，根据两个图形阴影部分面积的关系，可以得到一个关于a 、b 的恒等式为（ ）A ．222()2a b a ab b -=-+ B ．222()2a b a ab b +=++ C ．()()22a b a b a b +-=- D ．2()a ab a a b +=+ 考点4.利用公式化简例4. 化简：)43)(34()32(2y x x y y x +---变式训练化简：)4)(12(3)32(2+--+a a a考点5.利用公式及变形求值例5.（1）若25m n m n -=+=，，则22m n -的值为 。

《几何原本》中完全平方公式
《几何原本》是古希腊数学家欧几里得所著的一部数学著作，其中包含了许多几何学的定理和证明。

其中，完全平方公式是其中的一个重要内容，它用于求解一元二次方程的解。

完全平方公式可以表示为：
(a + b)² = a² + 2ab + b²
其中，a和b是已知的常数，(a+b)²表示将a和b相加后再平方的结果。

这个公式可以用来解决一元二次方程的问题，例如求解x² + 4x - 5 = 0的解。

首先，我们将方程改写为(x + 2)² - 9 = 0的形式。

然后，我们可以使用完全平方公式将其转化为(x + 2 - √9)(x + 2 + √9) = 0的形式。

这样，我们就可以得到方程的两个解：x = -2 - √9 和x = -2 + √9。

其中，√9表示9的平方根，即3。

完全平方公式是解决一元二次方程问题的重要工具，它可以帮助我们快速地求出方程的解。

8.3 完全平方公式与平方差公式1．了解乘法公式的几何背景，掌握公式的结构特征，并能熟练运用公式进行简单的计算．2．感受生活中两个乘法公式存在的意义，养成“观察—归纳—概括”的数学能力，体会数形结合的思想方法，提高学习数学的兴趣和运用知识解决问题的能力，进一步增强符号感和推理能力．1．完全平方公式(1)完全平方公式：(a＋b)2＝a2＋2ab＋b2，(a－b)2＝a2－2ab＋b2.上式用语言叙述为：两个数的和(或差)的平方，等于这两个数的平方和加(或减)这两个数乘积的2倍．(2)完全平方公式的证明：(a±b)2＝(a±b)(a±b)＝a2±ab±ab＋b2(多项式乘多项式)＝a2±2ab＋b2(合并同类项)．(3)完全平方公式的特点：①左边是一个二项式的完全平方，右边是一个二次三项式，其中有两项是公式左边二项式中每一项的平方，另一项是左边二项式中两项乘积的2倍．可简单概括为“首平方，尾平方，积的2倍夹中央”．②公式中的a，b可以是单项式，也可以是多项式．③对于符合两数和(或差)的平方的乘法，均可用上述公式计算．【例1－1】用完全平方公式计算(1)(x＋2y)2；(2)(2a－5)2；(3)(－2s＋t)2；(4)(－3x－4y)2；(5)(2x＋y－3z)2.分析：第(1)、(2)两题可直接用和、差平方公式计算；第(3)题可先把它变成(t－2s)2，然后再计算，也可以把－2s看成一项，用和平方公式计算；第(4)题可看成－3x与4y差的平方，也可以看成－3x与－4y和的平方；(5)可把2x＋y看成一项，用差平方公式计算，然后再用和平方公式计算，也可以把它看成2x与y－3z的和平方，再用差平方公式计算．解：(1)(x＋2y)2＝x2＋2·x·2y＋(2y)2＝x2＋4xy＋4y2；(2)(2a－5)2＝(2a)2－2·2a·5＋52＝4a2－20a＋25；(3)(－2s ＋t )2＝(t －2s )2＝t 2－2·t ·2s ＋(2s )2＝t 2－4ts ＋4s 2；(4)(－3x －4y )2＝(－3x )2－2·(－3x )·4y ＋(4y )2＝9x 2＋24xy ＋16y 2；(5)(2x ＋y －3z )2＝[2x ＋(y －3z )]2＝(2x )2＋2·2x ·(y －3z )＋(y －3z )2＝4x 2＋4xy －12xz ＋y 2－2·y ·3z ＋(3z )2＝4x 2＋y 2＋9z 2＋4xy －12xz －6yz .(1)千万不要与公式(ab )2＝a 2b 2混淆，发生类似(a ±b )2＝a 2±b 2的错误；(2)切勿把“乘积项”2ab 中的2漏掉；(3)计算时，应先观察所给题目的特点是否符合公式的条件，如符合，则可以直接套用公式进行计算；如不符合，应先变形，使其具备公式的结构特点，再利用公式进行计算，如变形后仍不具备公式的结构特点，则应运用乘法法则进行计算．此外，在运用公式时要灵活，如第(4)题，由于(－3x －4y )2与(3x ＋4y )2是相等关系，故可以把(－3x －4y )2转化为(3x ＋4y )2，再进行计算，再如(5)题，也有许多不同的方法．(4)完全平方公式的几何解释．如图是对(a ＋b )2＝a 2＋2ab ＋b 2几何意义的阐释．大正方形的面积可以表示为(a ＋b )2，也可以表示为S ＝S Ⅰ＋S Ⅱ＋S Ⅲ＋S Ⅳ，又S Ⅲ，S Ⅰ，S Ⅳ，S Ⅱ分别等于a 2，ab ，ab ，b 2，所以S ＝a 2＋ab ＋ab ＋b 2＝a 2＋2ab ＋b 2.从而验证了完全平方公式(a ＋b )2＝a 2＋2ab ＋b 2.如图是对(a －b )2＝a 2－2ab ＋b 2几何意义的阐释．正方形Ⅰ的面积可以表示为(a －b )2，也可以表示为S Ⅰ＝S 大－S Ⅱ－S Ⅳ＋S Ⅲ，又S 大，S Ⅱ，S Ⅲ，S Ⅳ分别等于a 2，ab ，b 2，ab ，所以SⅠ＝a 2－ab －ab ＋b 2＝a 2－2ab ＋b 2.从而验证了完全平方公式(a －b )2＝a 2－2ab ＋b 2.【例1－2】下图是四张全等的矩形纸片拼成的图形，请利用图中的空白部分面积的不同表示方法，写出一个关于a ，b 的恒等式：__________________.解析：根据图中的面积写一个恒等式，需要用两种方法表示空白正方形的面积．首先观察大正方形是由四个矩形和一个空白正方形组成，所以空白正方形的面积等于大正方形的面积减去四个矩形的面积，即(a ＋b )2－4ab ，空白正方形的面积也等于它的边长的平方，即(a－b )2，根据面积相等有(a ＋b )2－4ab ＝(a －b )2.答案：(a ＋b )2－4ab ＝(a －b )22．平方差公式(1)平方差公式：(a＋b)(a－b)＝a2－b2.上式用语言叙述为：两个数的和与这两个数的差的积，等于这两个数的平方差．(2)平方差公式的证明：(a＋b)(a－b)＝a2－ab＋ab＋b2(多项式乘多项式)＝a2－b2(合并同类项)．(3)平方差公式的特点：①左边是两个二项式相乘，这两项中有一项完全相同，另一项互为相反数；②右边是乘式中两项的平方差(相同项的平方减去互为相反数项的平方)；③公式中的a和b可以是具体的数，也可以是单项式或多项式．利用此公式进行乘法计算时，应仔细辨认题目是否符合公式特点，不符合平方差公式形式的两个二项式相乘，不能用平方差公式．如(a＋b)(a－2b)不能用平方差公式计算．【例2－1】计算：(1)(3x＋2y)(3x－2y)；(2)(－m＋n)(－m－n)；(3)(－2x－3)(2x－3)．分析：(1)本题符合平方差公式的结构特征，其中3x对应“a”，2y对应“b”；(2)题中相同项为－m，互为相反数的项为n与－n，故本题也符合平方差公式的结构特征；(3)利用加法交换律将原式变形为(－3＋2x)(－3－2x)，然后运用平方差公式计算．解：(1)(3x＋2y)(3x－2y)＝(3x)2－(2y)2＝9x2－4y2.(2)(－m＋n)(－m－n)＝(－m)2－n2.(3)(－2x－3)(2x－3)＝(－3＋2x)(－3－2x)＝(－3)2－(2x)2＝9－4x2.利用公式计算，关键是分清哪一项相当于公式中的a，哪一项相当于公式中的b，通常情况下，为防止出错，利用公式前把相同项放在前面，互为相反数的项放在后面，然后套用公式．(4)平方差公式的几何解释如图，阴影部分的面积可以看成是大正方形的面积减去小正方形的面积，即a2－b2；若把小长方形Ⅲ旋转到小长方形Ⅳ的位置，则此时的阴影部分的面积又可以看成SⅠ＋SⅢ＝SⅠ＋SⅣ＝(a＋b)(a－b)．从而验证了平方差公式(a＋b)(a－b)＝a2－b2.【例2－2】下图由边长为a和b的两个正方形组成，通过用不同的方法，计算图中阴影部分的面积，可以验证的一个乘法公式是____________________．分析：要表示阴影部分的面积，可以从两个方面出发：一是观察阴影部分是由边长为a的正方形除去边长为b 的正方形得到的，所以它的面积等于a 2－b 2；二是阴影部分是由两个直角梯形构成的，所以它的面积又等于两个梯形的面积之和．这两个梯形的面积都等于12(b＋a )(a －b )，所以梯形的面积和是(a ＋b )(a －b )，根据阴影部分的面积不变，得(a ＋b )(a－b )＝a 2－b 2.因此验证的一个乘法公式是(a ＋b )(a －b )＝a 2－b 2.答案：(a ＋b )(a －b )＝a 2－b23．运用乘法公式简便计算平方差公式、完全平方公式不但是研究整式运算的基础，而且在许多的数字运算中也有广泛地运用．不少数字计算题看似与平方差公式、完全平方公式无关，但若根据数字的结构特点，灵活巧妙地运用平方差公式、完全平方公式，常可以使运算变繁为简，化难为易．解答此类题，关键是分析数的特点，看能否将数改写成两数和的形式及两数差的形式，若改写成两数和的形式乘以两数差的形式，则用平方差公式；若改写成两数和的平方形式或两数差的平方形式，则用完全平方公式．【例3】计算：(1)2 0132－2 014×2 012；(2)1032；(3)1982.分析：(1)2 014＝2 013＋1,2 012＝2 013－1，正好符合平方差公式，可利用平方差公式进行简便运算；(2)可将1032改写为(100＋3)2，利用两数和的平方公式进行简便运算；(3)可将1982改写为(200－2)2，利用两数差的平方公式进行简便运算．解：(1)2 0132－2 014×2 012＝2 0132－(2 013＋1)×(2 013－1)＝2 0132－(2 0132－12)＝2 0132－2 0132＋1＝1.(2)1032＝(100＋3)2＝1002＋2×100×3＋32＝10 000＋600＋9＝10 613.(3)1982＝(200－2)2＝2002－2×200×2＋22＝40 000－800＋4＝39 204. 4．利用乘法公式化简求值求代数式的值时，一般情况是先化简，再把字母的值代入化简后的式子中求值．在化简的过程中，合理地利用乘法公式能使整式的运算过程变得简单．在代数式化简过程中，用到平方差公式及完全平方公式时，要特别注意应用公式的准确性．【例4】先化简，再求值：5(m ＋n )(m －n )－2(m ＋n )2－3(m －n )2，其中m ＝－2，n ＝15.解：5(m ＋n )(m －n )－2(m ＋n )2－3(m －n )2＝5(m 2－n 2)－2(m 2＋2mn ＋n 2)－3(m 2－2mn ＋n 2)＝5m 2－5n 2－2m 2－4mn －2n 2－3m 2＋6mn －3n 2＝－10n 2＋2mn .当m ＝－2，n ＝15时，原式＝－10n2＋2mn ＝－10×⎝ ⎛⎭⎪⎫152＋2×(－2)×15＝－65.5．乘法公式的运用技巧一些多项式的乘法或计算几个有理数的积时，表面上看起来不能利用乘法公式，实际上经过简单的变形后，就能直接运用乘法公式进行计算了．有些题目往往可用不同的公式来解，此时要选择最恰当的公式以使计算更简便．在运用平方差公式时，注意以下几种常见的变化形式：①位置变化：(b＋a)(－b＋a)＝a2－b2.②符号变化：(－a＋b)(－a－b)＝(－a)2－b2＝a2－b2.③系数变化：(0.5a＋3b)(0.5a－3b)＝(0.5a)2－(3b)2.④指数变化：(a2＋b2)(a2－b2)＝(a2)2－(b2)2＝a4－b4.⑤增项变化：(a－b－c)(a－b＋c)＝(a－b)2－c2，(a＋b－c)(a－b＋c)＝a2－(b－c)2.⑥增因式变化：(a＋b)(a－b)(－a－b)(－a＋b)＝(a2－b2)(a2－b2)＝(a2－b2)2.⑦连用公式变化：(a－b)(a＋b)(a2＋b2)(a4＋b4)＝a8－b8.【例5－1】计算：(1)(a＋b＋1)(a＋b－1)；(2)(m－2n＋p)2；(3)(2x－3y)2(2x＋3y)2.解：(1)(a＋b＋1)(a＋b－1)＝[(a＋b)＋1][(a＋b)－1]＝(a＋b)2－1＝a2＋2ab＋b2－1.(2)(m－2n＋p)2＝[(m－2n)＋p]2＝(m－2n)2＋2·(m－2n)·p＋p2＝m2－4mn＋4n2＋2mp－4np＋p2.(3)(2x－3y)2(2x＋3y)2＝[(2x－3y)(2x＋3y)]2＝(4x2－9y2)2＝(4x2)2－2×4x2×9y2＋(9y2)2＝16x4－72x2y2＋81y4.在运用平方差公式时，应分清两个因式是否是两项之和与差的形式，符合形式才可以用平方差公式，否则不能用；完全平方公式就是求一个二项式的平方，其结果是一个三项式，在计算时不要发生：(a＋b)2＝a2＋b2或(a－b)2＝a2－b2这样的错误；当因式中含有三项或三项以上时，要适当的分组，看成是两项，从而应用平方差公式或完全平方公式．【例5－2】计算：(2＋1)(22＋1)(24＋1)(28＋1)…(22n＋1)的值．分析：为了能便于运用平方差公式，观察到待求式中都是和的形式，没有差的形式，可设法构造出差的因数，于是可乘以(2－1)，这样就可巧妙地运用平方差公式了．解：(2＋1)(22＋1)(24＋1)(28＋1)…(22n＋1)＝(2－1)(2＋1)(22＋1)(24＋1)(28＋1)…(22n＋1)＝(22－1)(22＋1)(24＋1)(28＋1)…(22n＋1)＝(24－1)(24＋1)(28＋1)…(22n＋1)＝…＝(22n－1)(22n＋1)＝24n－1.6．乘法公式的实际应用 在解决生活中的实际问题时，经常把其中的一个量或几个量先用字母表示，然后列出相关式子，进而化简，这往往涉及到整式的运算．解题时，灵活运用乘法公式，往往能事半功倍，使问题得到快速解答．【例6】一个正方形的边长增加3 cm ，它的面积就增加39 cm 2，这个正方形的边长是多少？分析：如果设原正方形的边长为x cm ，根据题意和正方形的面积公式可列出方程(x ＋3)2＝x 2＋39，求解即可．解：设原正方形的边长为x cm ，则(x ＋3)2＝x 2＋39，即x 2＋6x ＋9＝x 2＋39，解得x ＝5(cm)． 故这个正方形的边长是5 cm. 7．完全平方公式的综合运用学习乘法公式应注意掌握公式的特征，认清公式中的“两数”，注意为使用公式创造条件．(1)完全平方公式变形后可得到以下一些新公式： ①a 2＋b 2＝(a ＋b )2－2ab ； ②a 2＋b 2＝(a －b )2＋2ab ；③(a ＋b )2＝(a －b )2＋4ab ；④(a －b )2＝(a ＋b )2－4ab ；⑤(a ＋b )2＋(a －b )2＝2(a 2＋b 2)；⑥(a ＋b )2－(a －b )2＝4ab 等．在公式(a ±b )2＝a 2±2ab ＋b 2中，如果把a ＋b ，ab 和a 2＋b 2分别看做一个整体，则知道了其中两个就可以求第三个．(2)注意公式的逆用不仅会熟练地正用公式，而且也要求会逆用公式，乘法公式均可逆用，特别是完全平方公式的逆用——a 2＋2ab ＋b 2＝(a ＋b )2，a 2－2ab ＋b 2＝(a －b )2.【例7－1】已知a 2＋b 2＋4a －2b ＋5＝0，则a ＋b a －b的值是__________．解析：原等式可化为(a 2＋4a ＋4)＋(b 2－2b ＋1)＝0，即(a ＋2)2＋(b －1)2＝0，根据非负数的特点知a ＋2＝0且b －1＝0，从而可知a ＝－2且b ＝1.然后将其代入求a ＋ba －b的值即可．答案：13【例7－2】已知a ＋b ＝2，ab ＝1，求a 2＋b 2的值．分析：利用完全平方公式有(a ＋b )2＝a 2＋2ab ＋b 2，把2ab 移到等式的左边，可得(a ＋b )2－2ab ＝a 2＋b 2，然后代入求值即可．解：∵(a ＋b )2＝a 2＋2ab ＋b 2，∴a 2＋b 2＝(a ＋b )2－2aB ．∵a ＋b ＝2，ab ＝1，∴a 2＋b 2＝22－2×1＝2.涉及两数和或两数差及其乘积的问题，就要联想到完全平方公式．本题也可从条件出发解答，如因为a ＋b ＝2，所以(a ＋b )2＝22，即a 2＋2ab ＋b 2＝4.把ab ＝1代入，得a 2＋2×1＋b 2＝4，于是可得a 2＋b 2＝4－2＝2.。

完全平方公式的几何意义
完全平方公式是指一元二次方程ax2+bx+c=0的一种解法，其中可将根式表示为：x1=(-b+√(b2-4ac))/(2a)，x2=(-b-√(b2-4ac))/(2a)。

本文主要讨论此方程的几何意义：
根据了解，双曲线的公式可表示为：x2/a2-y2/b2=1，看似非常复杂的双曲线，其实只要将参数a、b、c不断变化，就能绘制出不同的双曲线图。

事实上，完全平方公式不仅和双曲线有直接关系，而且还与标准椭圆有关联。

研究发现，从完全平方公式中求出的两个根x1,x2，它们可从不同的角度来看：
通俗来讲，椭圆是一种特殊的圆形，是以圆心为中心，以任意两点为焦点画圆得到的。

完全平方公式可以帮助求出椭圆的三点，也就是圆心、焦点以及中心点得到的一条直线。

据理论分析，完全平方公式的根式可以求出平行四边形的两条对角线上的点，同时这也意味着，通过完全平方公式可以快速计算出一个平行四边形的面积。

总结：完全平方公式不仅可以求解一元二次方程，而且还与双曲线、标准椭圆和平行四边形有着深层次的关系，其中椭圆可以帮助理解根式x1,x2是椭圆轴上的端点，而双曲线可以理解x1,x2是顶点；同样完全平方公式可以快速计算平行四边形的面积。