完全平方公式几何意义专题
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1、(2010•乌鲁木齐)有若干张面积分别为纸片,阳阳从中抽取了1张面积为a2的正方形纸片,4张面积为ab的长方形纸片,若他想拼成一个大正方形,则还需要抽取面积为b2的正方形纸片()A、2张B、4张C、6张D、8张考点:完全平方公式的几何背景。
分析:由题意知拼成一个大正方形长为a+2b,宽也为a+2b,面积应该等于所有小卡片的面积.解答:解:∵正方形和长方形的面积为a2、b2、ab,∴它的边长为a,b,b.∴它的边长为(a+2b)的正方形的面积为:(a+2b)(a+2b)=a2+4ab+4b2,∴还需面积为b2的正方形纸片4张.故选B.点评:此题考查的内容是整式的运算与几何的综合题,考法较新颖.2、(2010•丹东)图①是一个边长为(m+n)的正方形,小颖将图①中的阴影部分拼成图②的形状,由图①和图②能验证的式子是()A、(m+n)2﹣(m﹣n)2=4mnB、(m+n)2﹣(m2+n2)=2mnC、(m﹣n)2+2mn=m2+n2D、(m+n)(m﹣n)=m2﹣n2考点:完全平方公式的几何背景。
专题:计算题。
分析:根据图示可知,阴影部分的面积是边长为m+n的正方形减去中间白色的正方形的面积m2+n2,即为对角线分别是2m,2n的菱形的面积.据此即可解答.解答:解:(m+n)2﹣(m2+n2)=2mn.故选B.点评:本题是利用几何图形的面积来验证(m+n)2﹣(m2+n2)=2mn,解题关键是利用图形的面积之间的相等关系列等式.3、利用图形中面积的等量关系可以得到某些数学公式.例如,根据图甲,我们可以得到两数和的平方公式:(a+b)2=a2+2ab+b2.你根据图乙能得到的数学公式是()A、(a+b)(a﹣b)=a2﹣b2B、(a﹣b)2=a2﹣2ab+b2C、a(a+b)=a2+abD、a(a﹣b)=a2﹣ab考点:完全平方公式的几何背景。
分析:根据图形,左上角正方形的面积等于大正方形的面积减去两个矩形的面积,然后加上多减去的右下角的小正方形的面积.解答:解:大正方形的面积=(a﹣b)2,还可以表示为a2﹣2ab+b2,∴(a﹣b)2=a2﹣2ab+b2.故选B.点评:正确列出正方形面积的两种表示是得出公式的关键,也考查了对完全平方公式的理解能力.4、已知如图,图中最大的正方形的面积是()A、a2B、a2+b2C、a2+2ab+b2D、a2+ab+b2考点:完全平方公式的几何背景。
8.3 完全平方公式与平方差公式1.了解乘法公式的几何背景,掌握公式的结构特征,并能熟练运用公式进行简单的计算.2.感受生活中两个乘法公式存在的意义,养成“观察—归纳—概括”的数学能力,体会数形结合的思想方法,提高学习数学的兴趣和运用知识解决问题的能力,进一步增强符号感和推理能力.1.完全平方公式(1)完全平方公式:(a+b)2=a2+2ab+b2,(a-b)2=a2-2ab+b2.上式用语言叙述为:两个数的和(或差)的平方,等于这两个数的平方和加(或减)这两个数乘积的2倍.(2)完全平方公式的证明:(a±b)2=(a±b)(a±b)=a2±ab±ab+b2(多项式乘多项式)=a2±2ab+b2(合并同类项).(3)完全平方公式的特点:①左边是一个二项式的完全平方,右边是一个二次三项式,其中有两项是公式左边二项式中每一项的平方,另一项是左边二项式中两项乘积的2倍.可简单概括为“首平方,尾平方,积的2倍夹中央”.②公式中的a,b可以是单项式,也可以是多项式.③对于符合两数和(或差)的平方的乘法,均可用上述公式计算.【例1-1】用完全平方公式计算(1)(x+2y)2;(2)(2a-5)2;(3)(-2s+t)2;(4)(-3x-4y)2;(5)(2x+y-3z)2.分析:第(1)、(2)两题可直接用和、差平方公式计算;第(3)题可先把它变成(t-2s)2,然后再计算,也可以把-2s看成一项,用和平方公式计算;第(4)题可看成-3x与4y差的平方,也可以看成-3x与-4y和的平方;(5)可把2x+y看成一项,用差平方公式计算,然后再用和平方公式计算,也可以把它看成2x与y-3z的和平方,再用差平方公式计算.解:(1)(x +2y )2=x 2+2·x ·2y +(2y )2=x 2+4xy +4y 2;(2)(2a -5)2=(2a )2-2·2a ·5+52=4a 2-20a +25;(3)(-2s +t )2=(t -2s )2=t 2-2·t ·2s +(2s )2=t 2-4ts +4s 2;(4)(-3x -4y )2=(-3x )2-2·(-3x )·4y +(4y )2=9x 2+24xy +16y 2;(5)(2x +y -3z )2=[2x +(y -3z )]2=(2x )2+2·2x ·(y -3z )+(y -3z )2=4x 2+4xy -12xz +y 2-2·y ·3z +(3z )2=4x 2+y 2+9z 2+4xy -12xz -6yz .(1)千万不要与公式(ab )2=a 2b 2混淆,发生类似(a ±b )2=a 2±b 2的错误;(2)切勿把“乘积项”2ab 中的2漏掉;(3)计算时,应先观察所给题目的特点是否符合公式的条件,如符合,则可以直接套用公式进行计算;如不符合,应先变形,使其具备公式的结构特点,再利用公式进行计算,如变形后仍不具备公式的结构特点,则应运用乘法法则进行计算.此外,在运用公式时要灵活,如第(4)题,由于(-3x -4y )2与(3x +4y )2是相等关系,故可以把(-3x -4y )2转化为(3x +4y )2,再进行计算,再如(5)题,也有许多不同的方法.(4)完全平方公式的几何解释.如图是对(a +b )2=a 2+2ab +b 2几何意义的阐释.大正方形的面积可以表示为(a +b )2,也可以表示为S =S Ⅰ+S Ⅱ+S Ⅲ+S Ⅳ,又S Ⅲ,SⅠ,S Ⅳ,S Ⅱ分别等于a 2,ab ,ab ,b 2,所以S =a 2+ab +ab +b 2=a 2+2ab +b 2.从而验证了完全平方公式(a +b )2=a 2+2ab +b 2.如图是对(a-b)2=a2-2ab+b2几何意义的阐释.正方形Ⅰ的面积可以表示为(a-b)2,也可以表示为SⅠ=S大-SⅡ-SⅣ+SⅢ,又S大,SⅡ,SⅢ,SⅣ分别等于a2,ab,b2,ab,所以SⅠ=a2-ab-ab+b2=a2-2ab+b2.从而验证了完全平方公式(a-b)2=a2-2ab+b2.【例1-2】下图是四张全等的矩形纸片拼成的图形,请利用图中的空白部分面积的不同表示方法,写出一个关于a,b的恒等式:__________________.解析:根据图中的面积写一个恒等式,需要用两种方法表示空白正方形的面积.首先观察大正方形是由四个矩形和一个空白正方形组成,所以空白正方形的面积等于大正方形的面积减去四个矩形的面积,即(a+b)2-4ab,空白正方形的面积也等于它的边长的平方,即(a-b)2,根据面积相等有(a+b)2-4ab=(a-b)2.答案:(a+b)2-4ab=(a-b)22.平方差公式(1)平方差公式:(a+b)(a-b)=a2-b2.上式用语言叙述为:两个数的和与这两个数的差的积,等于这两个数的平方差.(2)平方差公式的证明:(a+b)(a-b)=a2-ab+ab+b2(多项式乘多项式)=a2-b2(合并同类项).(3)平方差公式的特点:①左边是两个二项式相乘,这两项中有一项完全相同,另一项互为相反数;②右边是乘式中两项的平方差(相同项的平方减去互为相反数项的平方);③公式中的a和b可以是具体的数,也可以是单项式或多项式.利用此公式进行乘法计算时,应仔细辨认题目是否符合公式特点,不符合平方差公式形式的两个二项式相乘,不能用平方差公式.如(a+b)(a-2b)不能用平方差公式计算.【例2-1】计算:(1)(3x+2y)(3x-2y);(2)(-m+n)(-m-n);(3)(-2x-3)(2x-3).分析:(1)本题符合平方差公式的结构特征,其中3x对应“a”,2y对应“b”;(2)题中相同项为-m,互为相反数的项为n与-n,故本题也符合平方差公式的结构特征;(3)利用加法交换律将原式变形为(-3+2x)(-3-2x),然后运用平方差公式计算.解:(1)(3x+2y)(3x-2y)=(3x)2-(2y)2=9x2-4y2.(2)(-m+n)(-m-n)=(-m)2-n2.(3)(-2x-3)(2x-3)=(-3+2x)(-3-2x)=(-3)2-(2x)2=9-4x2.利用公式计算,关键是分清哪一项相当于公式中的a,哪一项相当于公式中的b,通常情况下,为防止出错,利用公式前把相同项放在前面,互为相反数的项放在后面,然后套用公式.(4)平方差公式的几何解释如图,阴影部分的面积可以看成是大正方形的面积减去小正方形的面积,即a2-b2;若把小长方形Ⅲ旋转到小长方形Ⅳ的位置,则此时的阴影部分的面积又可以看成SⅠ+SⅢ=SⅠ+SⅣ=(a+b)(a-b).从而验证了平方差公式(a+b)(a-b)=a2-b2.【例2-2】下图由边长为a和b的两个正方形组成,通过用不同的方法,计算图中阴影部分的面积,可以验证的一个乘法公式是____________________.分析:要表示阴影部分的面积,可以从两个方面出发:一是观察阴影部分是由边长为a的正方形除去边长为b的正方形得到的,所以它的面积等于a2-b2;二是阴影部分是由两个直角梯形构成的,所以它的面积又等于两个梯形的面积之和.这两个梯形的面积都等于12 (b+a)(a-b),所以梯形的面积和是(a+b)(a-b),根据阴影部分的面积不变,得(a+b)(a-b)=a2-b2.因此验证的一个乘法公式是(a+b)(a-b)=a2-b2.答案:(a+b)(a-b)=a2-b23.运用乘法公式简便计算平方差公式、完全平方公式不但是研究整式运算的基础,而且在许多的数字运算中也有广泛地运用.不少数字计算题看似与平方差公式、完全平方公式无关,但若根据数字的结构特点,灵活巧妙地运用平方差公式、完全平方公式,常可以使运算变繁为简,化难为易.解答此类题,关键是分析数的特点,看能否将数改写成两数和的形式及两数差的形式,若改写成两数和的形式乘以两数差的形式,则用平方差公式;若改写成两数和的平方形式或两数差的平方形式,则用完全平方公式.【例3】计算:(1)2 0132-2 014×2 012;(2)1032;(3)1982.分析:(1)2 014=2 013+1,2 012=2 013-1,正好符合平方差公式,可利用平方差公式进行简便运算;(2)可将1032改写为(100+3)2,利用两数和的平方公式进行简便运算;(3)可将1982改写为(200-2)2,利用两数差的平方公式进行简便运算.解:(1)2 0132-2 014×2 012=2 0132-(2 013+1)×(2 013-1)=2 0132-(2 0132-12)=2 0132-2 0132+1=1.(2)1032=(100+3)2=1002+2×100×3+32=10 000+600+9=10 613.(3)1982=(200-2)2=2002-2×200×2+22=40 000-800+4=39 204.4.利用乘法公式化简求值求代数式的值时,一般情况是先化简,再把字母的值代入化简后的式子中求值.在化简的过程中,合理地利用乘法公式能使整式的运算过程变得简单.在代数式化简过程中,用到平方差公式及完全平方公式时,要特别注意应用公式的准确性.【例4】先化简,再求值:5(m +n )(m -n )-2(m +n )2-3(m -n )2,其中m =-2,n =15. 解:5(m +n )(m -n )-2(m +n )2-3(m -n )2=5(m 2-n 2)-2(m 2+2mn +n 2)-3(m 2-2mn +n 2)=5m 2-5n 2-2m 2-4mn -2n 2-3m 2+6mn -3n 2=-10n 2+2mn .当m =-2,n =15时,原式=-10n 2+2mn =-10×⎝ ⎛⎭⎪⎫152+2×(-2)×15=-65. 5.乘法公式的运用技巧一些多项式的乘法或计算几个有理数的积时,表面上看起来不能利用乘法公式,实际上经过简单的变形后,就能直接运用乘法公式进行计算了.有些题目往往可用不同的公式来解,此时要选择最恰当的公式以使计算更简便.在运用平方差公式时,注意以下几种常见的变化形式:①位置变化:(b +a )(-b +a )=a 2-b 2.②符号变化:(-a +b )(-a -b )=(-a )2-b 2=a 2-b 2.③系数变化:(0.5a +3b )(0.5a -3b )=(0.5a )2-(3b )2.④指数变化:(a 2+b 2)(a 2-b 2)=(a2)2-(b2)2=a4-b4.⑤增项变化:(a-b-c)(a-b+c)=(a-b)2-c2,(a+b-c)(a-b+c)=a2-(b-c)2.⑥增因式变化:(a+b)(a-b)(-a-b)(-a+b)=(a2-b2)(a2-b2)=(a2-b2)2.⑦连用公式变化:(a-b)(a+b)(a2+b2)(a4+b4)=a8-b8.【例5-1】计算:(1)(a+b+1)(a+b-1);(2)(m-2n+p)2;(3)(2x-3y)2(2x+3y)2.解:(1)(a+b+1)(a+b-1)=[(a+b)+1][(a+b)-1]=(a+b)2-1=a2+2ab+b2-1.(2)(m-2n+p)2=[(m-2n)+p]2=(m-2n)2+2·(m-2n)·p+p2=m2-4mn+4n2+2mp-4np+p2.(3)(2x-3y)2(2x+3y)2=[(2x-3y)(2x+3y)]2=(4x2-9y2)2=(4x2)2-2×4x2×9y2+(9y2)2=16x4-72x2y2+81y4.在运用平方差公式时,应分清两个因式是否是两项之和与差的形式,符合形式才可以用平方差公式,否则不能用;完全平方公式就是求一个二项式的平方,其结果是一个三项式,在计算时不要发生:(a+b)2=a2+b2或(a-b)2=a2-b2这样的错误;当因式中含有三项或三项以上时,要适当的分组,看成是两项,从而应用平方差公式或完全平方公式.【例5-2】计算:(2+1)(22+1)(24+1)(28+1)…(22n+1)的值.分析:为了能便于运用平方差公式,观察到待求式中都是和的形式,没有差的形式,可设法构造出差的因数,于是可乘以(2-1),这样就可巧妙地运用平方差公式了.解:(2+1)(22+1)(24+1)(28+1)…(22n+1)=(2-1)(2+1)(22+1)(24+1)(28+1)…(22n+1)=(22-1)(22+1)(24+1)(28+1)…(22n+1)=(24-1)(24+1)(28+1)…(22n+1)=…=(22n-1)(22n+1)=24n-1.6.乘法公式的实际应用在解决生活中的实际问题时,经常把其中的一个量或几个量先用字母表示,然后列出相关式子,进而化简,这往往涉及到整式的运算.解题时,灵活运用乘法公式,往往能事半功倍,使问题得到快速解答.【例6】一个正方形的边长增加3 cm,它的面积就增加39 cm2,这个正方形的边长是多少?分析:如果设原正方形的边长为x cm,根据题意和正方形的面积公式可列出方程(x+3)2=x2+39,求解即可.解:设原正方形的边长为x cm,则(x+3)2=x2+39,即x2+6x+9=x2+39,解得x=5(cm).故这个正方形的边长是5 cm.7.完全平方公式的综合运用学习乘法公式应注意掌握公式的特征,认清公式中的“两数”,注意为使用公式创造条件.(1)完全平方公式变形后可得到以下一些新公式:①a 2+b 2=(a +b )2-2ab ;②a 2+b 2=(a -b )2+2ab ;③(a +b )2=(a -b )2+4ab ;④(a -b )2=(a +b )2-4ab ;⑤(a +b )2+(a -b )2=2(a 2+b 2);⑥(a +b )2-(a -b )2=4ab 等.在公式(a ±b )2=a 2±2ab +b 2中,如果把a +b ,ab 和a 2+b 2分别看做一个整体,则知道了其中两个就可以求第三个.(2)注意公式的逆用不仅会熟练地正用公式,而且也要求会逆用公式,乘法公式均可逆用,特别是完全平方公式的逆用——a 2+2ab +b 2=(a +b )2,a 2-2ab +b 2=(a -b )2.【例7-1】已知a 2+b 2+4a -2b +5=0,则a +b a -b的值是__________.解析:原等式可化为(a 2+4a +4)+(b 2-2b +1)=0,即(a +2)2+(b -1)2=0,根据非负数的特点知a +2=0且b -1=0,从而可知a =-2且b =1.然后将其代入求a +b a -b的值即可. 答案:13【例7-2】已知a +b =2,ab =1,求a 2+b 2的值.分析:利用完全平方公式有(a +b )2=a 2+2ab +b 2,把2ab 移到等式的左边,可得(a +b )2-2ab =a 2+b 2,然后代入求值即可.解:∵(a +b )2=a 2+2ab +b 2,∴a 2+b 2=(a +b )2-2aB .∵a +b =2,ab =1,∴a 2+b 2=22-2×1=2.涉及两数和或两数差及其乘积的问题,就要联想到完全平方公式.本题也可从条件出发解答,如因为a+b=2,所以(a+b)2=22,即a2+2ab+b2=4.把ab=1代入,得a2+2×1+b2=4,于是可得a2+b2=4-2=2.。
第3讲 平方差公式与完全平方式专题第一部分 知识梳理1.平方差公式两数和与这两数差的积,等于它们的平方差。
公式:()()22a b a b a b +-=- 平方差公式的几何意义:如图利用面积相等的方法验证平方差公式2.完全平方公式两数和的平方,等于它们的平方和,加上它们的积的2倍;公式:222()2a b a ab b +=++ 两数差的平方,等于它们的平方和,减去它们的积的2倍;公式:222()2a b a ab b -=-+ 完全平方公式的几何意义:如图甲,大正方形的面积从整体看为2()a b +,分开看为22a ab ab b +++,从而得出22222()2a b a ab ab b a ab b +=+++=++;如图乙,左上角的正方形面积可表示为2()a b -,也可表示为22()()a b a b b a b b -----,从而得出22222()()()2a b a b a b b a b b a ab b -=-----=-+3.完全平方公式常见的变形 ①222()2a b a b ab +=+- ②222()2a b a b ab +=-+ ③22()()4a b a b ab +=-+第二部分 例题精讲与练习考点1.直接运用公式计算 例1. 计算(12)(12)c c +- 22()()()a b a b a b +-+ (2)(2)x y x y ---(2)(2)a b c a b c +++- 2(4)m n + 2()a b c ++22)3(x x -+变式训练 计算(23)(23)a b a b ---+ 2111()()()242x x x --+ (1)(1)ab ab +-+()()m n p m n p -+-- 2(21)t -- 2(2)a b c -+22)(y x y +-考点2.利用公式进行简便计算 例2. 简便运算19982002⨯ 12(100)(99)33-⨯- 21022201020092011-⨯变式训练 简便运算30.829.2⨯ 18(20)(19)99-⨯- 22032220132201320122012-⨯⨯+考点3.公式几何意义的应用例3.如图,从边长为(1)a cm +的正方形纸片中剪去一个边长为(1)a cm -的正方形(1)a >,剩余部分沿虚线又剪拼成一个矩形(不重叠无缝隙),则该矩形的面积是( )A .22cm B .22acm C .24acm D .22(1)a cm - 变式训练(1题图) (2题图)2.如图所示,在边长为a 的正方形中,剪去一个边长为b 的小正方形(a >b ),将余下部分拼成一个梯形,根据两个图形阴影部分面积的关系,可以得到一个关于a 、b 的恒等式为( )A .222()2a b a ab b -=-+ B .222()2a b a ab b +=++ C .()()22a b a b a b +-=- D .2()a ab a a b +=+ 考点4.利用公式化简例4. 化简:)43)(34()32(2y x x y y x +---变式训练化简:)4)(12(3)32(2+--+a a a考点5.利用公式及变形求值例5.(1)若25m n m n -=+=,,则22m n -的值为 。
《几何原本》中完全平方公式
《几何原本》是古希腊数学家欧几里得所著的一部数学著作,其中包含了许多几何学的定理和证明。
其中,完全平方公式是其中的一个重要内容,它用于求解一元二次方程的解。
完全平方公式可以表示为:
(a + b)² = a² + 2ab + b²
其中,a和b是已知的常数,(a+b)²表示将a和b相加后再平方的结果。
这个公式可以用来解决一元二次方程的问题,例如求解x² + 4x - 5 = 0的解。
首先,我们将方程改写为(x + 2)² - 9 = 0的形式。
然后,我们可以使用完全平方公式将其转化为(x + 2 - √9)(x + 2 + √9) = 0的形式。
这样,我们就可以得到方程的两个解:x = -2 - √9 和x = -2 + √9。
其中,√9表示9的平方根,即3。
完全平方公式是解决一元二次方程问题的重要工具,它可以帮助我们快速地求出方程的解。
8.3 完全平方公式与平方差公式1.了解乘法公式的几何背景,掌握公式的结构特征,并能熟练运用公式进行简单的计算.2.感受生活中两个乘法公式存在的意义,养成“观察—归纳—概括”的数学能力,体会数形结合的思想方法,提高学习数学的兴趣和运用知识解决问题的能力,进一步增强符号感和推理能力.1.完全平方公式(1)完全平方公式:(a+b)2=a2+2ab+b2,(a-b)2=a2-2ab+b2.上式用语言叙述为:两个数的和(或差)的平方,等于这两个数的平方和加(或减)这两个数乘积的2倍.(2)完全平方公式的证明:(a±b)2=(a±b)(a±b)=a2±ab±ab+b2(多项式乘多项式)=a2±2ab+b2(合并同类项).(3)完全平方公式的特点:①左边是一个二项式的完全平方,右边是一个二次三项式,其中有两项是公式左边二项式中每一项的平方,另一项是左边二项式中两项乘积的2倍.可简单概括为“首平方,尾平方,积的2倍夹中央”.②公式中的a,b可以是单项式,也可以是多项式.③对于符合两数和(或差)的平方的乘法,均可用上述公式计算.【例1-1】用完全平方公式计算(1)(x+2y)2;(2)(2a-5)2;(3)(-2s+t)2;(4)(-3x-4y)2;(5)(2x+y-3z)2.分析:第(1)、(2)两题可直接用和、差平方公式计算;第(3)题可先把它变成(t-2s)2,然后再计算,也可以把-2s看成一项,用和平方公式计算;第(4)题可看成-3x与4y差的平方,也可以看成-3x与-4y和的平方;(5)可把2x+y看成一项,用差平方公式计算,然后再用和平方公式计算,也可以把它看成2x与y-3z的和平方,再用差平方公式计算.解:(1)(x+2y)2=x2+2·x·2y+(2y)2=x2+4xy+4y2;(2)(2a-5)2=(2a)2-2·2a·5+52=4a2-20a+25;(3)(-2s +t )2=(t -2s )2=t 2-2·t ·2s +(2s )2=t 2-4ts +4s 2;(4)(-3x -4y )2=(-3x )2-2·(-3x )·4y +(4y )2=9x 2+24xy +16y 2;(5)(2x +y -3z )2=[2x +(y -3z )]2=(2x )2+2·2x ·(y -3z )+(y -3z )2=4x 2+4xy -12xz +y 2-2·y ·3z +(3z )2=4x 2+y 2+9z 2+4xy -12xz -6yz .(1)千万不要与公式(ab )2=a 2b 2混淆,发生类似(a ±b )2=a 2±b 2的错误;(2)切勿把“乘积项”2ab 中的2漏掉;(3)计算时,应先观察所给题目的特点是否符合公式的条件,如符合,则可以直接套用公式进行计算;如不符合,应先变形,使其具备公式的结构特点,再利用公式进行计算,如变形后仍不具备公式的结构特点,则应运用乘法法则进行计算.此外,在运用公式时要灵活,如第(4)题,由于(-3x -4y )2与(3x +4y )2是相等关系,故可以把(-3x -4y )2转化为(3x +4y )2,再进行计算,再如(5)题,也有许多不同的方法.(4)完全平方公式的几何解释.如图是对(a +b )2=a 2+2ab +b 2几何意义的阐释.大正方形的面积可以表示为(a +b )2,也可以表示为S =S Ⅰ+S Ⅱ+S Ⅲ+S Ⅳ,又S Ⅲ,S Ⅰ,S Ⅳ,S Ⅱ分别等于a 2,ab ,ab ,b 2,所以S =a 2+ab +ab +b 2=a 2+2ab +b 2.从而验证了完全平方公式(a +b )2=a 2+2ab +b 2.如图是对(a -b )2=a 2-2ab +b 2几何意义的阐释.正方形Ⅰ的面积可以表示为(a -b )2,也可以表示为S Ⅰ=S 大-S Ⅱ-S Ⅳ+S Ⅲ,又S 大,S Ⅱ,S Ⅲ,S Ⅳ分别等于a 2,ab ,b 2,ab ,所以SⅠ=a 2-ab -ab +b 2=a 2-2ab +b 2.从而验证了完全平方公式(a -b )2=a 2-2ab +b 2.【例1-2】下图是四张全等的矩形纸片拼成的图形,请利用图中的空白部分面积的不同表示方法,写出一个关于a ,b 的恒等式:__________________.解析:根据图中的面积写一个恒等式,需要用两种方法表示空白正方形的面积.首先观察大正方形是由四个矩形和一个空白正方形组成,所以空白正方形的面积等于大正方形的面积减去四个矩形的面积,即(a +b )2-4ab ,空白正方形的面积也等于它的边长的平方,即(a-b )2,根据面积相等有(a +b )2-4ab =(a -b )2.答案:(a +b )2-4ab =(a -b )22.平方差公式(1)平方差公式:(a+b)(a-b)=a2-b2.上式用语言叙述为:两个数的和与这两个数的差的积,等于这两个数的平方差.(2)平方差公式的证明:(a+b)(a-b)=a2-ab+ab+b2(多项式乘多项式)=a2-b2(合并同类项).(3)平方差公式的特点:①左边是两个二项式相乘,这两项中有一项完全相同,另一项互为相反数;②右边是乘式中两项的平方差(相同项的平方减去互为相反数项的平方);③公式中的a和b可以是具体的数,也可以是单项式或多项式.利用此公式进行乘法计算时,应仔细辨认题目是否符合公式特点,不符合平方差公式形式的两个二项式相乘,不能用平方差公式.如(a+b)(a-2b)不能用平方差公式计算.【例2-1】计算:(1)(3x+2y)(3x-2y);(2)(-m+n)(-m-n);(3)(-2x-3)(2x-3).分析:(1)本题符合平方差公式的结构特征,其中3x对应“a”,2y对应“b”;(2)题中相同项为-m,互为相反数的项为n与-n,故本题也符合平方差公式的结构特征;(3)利用加法交换律将原式变形为(-3+2x)(-3-2x),然后运用平方差公式计算.解:(1)(3x+2y)(3x-2y)=(3x)2-(2y)2=9x2-4y2.(2)(-m+n)(-m-n)=(-m)2-n2.(3)(-2x-3)(2x-3)=(-3+2x)(-3-2x)=(-3)2-(2x)2=9-4x2.利用公式计算,关键是分清哪一项相当于公式中的a,哪一项相当于公式中的b,通常情况下,为防止出错,利用公式前把相同项放在前面,互为相反数的项放在后面,然后套用公式.(4)平方差公式的几何解释如图,阴影部分的面积可以看成是大正方形的面积减去小正方形的面积,即a2-b2;若把小长方形Ⅲ旋转到小长方形Ⅳ的位置,则此时的阴影部分的面积又可以看成SⅠ+SⅢ=SⅠ+SⅣ=(a+b)(a-b).从而验证了平方差公式(a+b)(a-b)=a2-b2.【例2-2】下图由边长为a和b的两个正方形组成,通过用不同的方法,计算图中阴影部分的面积,可以验证的一个乘法公式是____________________.分析:要表示阴影部分的面积,可以从两个方面出发:一是观察阴影部分是由边长为a的正方形除去边长为b 的正方形得到的,所以它的面积等于a 2-b 2;二是阴影部分是由两个直角梯形构成的,所以它的面积又等于两个梯形的面积之和.这两个梯形的面积都等于12(b+a )(a -b ),所以梯形的面积和是(a +b )(a -b ),根据阴影部分的面积不变,得(a +b )(a-b )=a 2-b 2.因此验证的一个乘法公式是(a +b )(a -b )=a 2-b 2.答案:(a +b )(a -b )=a 2-b23.运用乘法公式简便计算平方差公式、完全平方公式不但是研究整式运算的基础,而且在许多的数字运算中也有广泛地运用.不少数字计算题看似与平方差公式、完全平方公式无关,但若根据数字的结构特点,灵活巧妙地运用平方差公式、完全平方公式,常可以使运算变繁为简,化难为易.解答此类题,关键是分析数的特点,看能否将数改写成两数和的形式及两数差的形式,若改写成两数和的形式乘以两数差的形式,则用平方差公式;若改写成两数和的平方形式或两数差的平方形式,则用完全平方公式.【例3】计算:(1)2 0132-2 014×2 012;(2)1032;(3)1982.分析:(1)2 014=2 013+1,2 012=2 013-1,正好符合平方差公式,可利用平方差公式进行简便运算;(2)可将1032改写为(100+3)2,利用两数和的平方公式进行简便运算;(3)可将1982改写为(200-2)2,利用两数差的平方公式进行简便运算.解:(1)2 0132-2 014×2 012=2 0132-(2 013+1)×(2 013-1)=2 0132-(2 0132-12)=2 0132-2 0132+1=1.(2)1032=(100+3)2=1002+2×100×3+32=10 000+600+9=10 613.(3)1982=(200-2)2=2002-2×200×2+22=40 000-800+4=39 204. 4.利用乘法公式化简求值求代数式的值时,一般情况是先化简,再把字母的值代入化简后的式子中求值.在化简的过程中,合理地利用乘法公式能使整式的运算过程变得简单.在代数式化简过程中,用到平方差公式及完全平方公式时,要特别注意应用公式的准确性.【例4】先化简,再求值:5(m +n )(m -n )-2(m +n )2-3(m -n )2,其中m =-2,n =15.解:5(m +n )(m -n )-2(m +n )2-3(m -n )2=5(m 2-n 2)-2(m 2+2mn +n 2)-3(m 2-2mn +n 2)=5m 2-5n 2-2m 2-4mn -2n 2-3m 2+6mn -3n 2=-10n 2+2mn .当m =-2,n =15时,原式=-10n2+2mn =-10×⎝ ⎛⎭⎪⎫152+2×(-2)×15=-65.5.乘法公式的运用技巧一些多项式的乘法或计算几个有理数的积时,表面上看起来不能利用乘法公式,实际上经过简单的变形后,就能直接运用乘法公式进行计算了.有些题目往往可用不同的公式来解,此时要选择最恰当的公式以使计算更简便.在运用平方差公式时,注意以下几种常见的变化形式:①位置变化:(b+a)(-b+a)=a2-b2.②符号变化:(-a+b)(-a-b)=(-a)2-b2=a2-b2.③系数变化:(0.5a+3b)(0.5a-3b)=(0.5a)2-(3b)2.④指数变化:(a2+b2)(a2-b2)=(a2)2-(b2)2=a4-b4.⑤增项变化:(a-b-c)(a-b+c)=(a-b)2-c2,(a+b-c)(a-b+c)=a2-(b-c)2.⑥增因式变化:(a+b)(a-b)(-a-b)(-a+b)=(a2-b2)(a2-b2)=(a2-b2)2.⑦连用公式变化:(a-b)(a+b)(a2+b2)(a4+b4)=a8-b8.【例5-1】计算:(1)(a+b+1)(a+b-1);(2)(m-2n+p)2;(3)(2x-3y)2(2x+3y)2.解:(1)(a+b+1)(a+b-1)=[(a+b)+1][(a+b)-1]=(a+b)2-1=a2+2ab+b2-1.(2)(m-2n+p)2=[(m-2n)+p]2=(m-2n)2+2·(m-2n)·p+p2=m2-4mn+4n2+2mp-4np+p2.(3)(2x-3y)2(2x+3y)2=[(2x-3y)(2x+3y)]2=(4x2-9y2)2=(4x2)2-2×4x2×9y2+(9y2)2=16x4-72x2y2+81y4.在运用平方差公式时,应分清两个因式是否是两项之和与差的形式,符合形式才可以用平方差公式,否则不能用;完全平方公式就是求一个二项式的平方,其结果是一个三项式,在计算时不要发生:(a+b)2=a2+b2或(a-b)2=a2-b2这样的错误;当因式中含有三项或三项以上时,要适当的分组,看成是两项,从而应用平方差公式或完全平方公式.【例5-2】计算:(2+1)(22+1)(24+1)(28+1)…(22n+1)的值.分析:为了能便于运用平方差公式,观察到待求式中都是和的形式,没有差的形式,可设法构造出差的因数,于是可乘以(2-1),这样就可巧妙地运用平方差公式了.解:(2+1)(22+1)(24+1)(28+1)…(22n+1)=(2-1)(2+1)(22+1)(24+1)(28+1)…(22n+1)=(22-1)(22+1)(24+1)(28+1)…(22n+1)=(24-1)(24+1)(28+1)…(22n+1)=…=(22n-1)(22n+1)=24n-1.6.乘法公式的实际应用 在解决生活中的实际问题时,经常把其中的一个量或几个量先用字母表示,然后列出相关式子,进而化简,这往往涉及到整式的运算.解题时,灵活运用乘法公式,往往能事半功倍,使问题得到快速解答.【例6】一个正方形的边长增加3 cm ,它的面积就增加39 cm 2,这个正方形的边长是多少?分析:如果设原正方形的边长为x cm ,根据题意和正方形的面积公式可列出方程(x +3)2=x 2+39,求解即可.解:设原正方形的边长为x cm ,则(x +3)2=x 2+39,即x 2+6x +9=x 2+39,解得x =5(cm). 故这个正方形的边长是5 cm. 7.完全平方公式的综合运用学习乘法公式应注意掌握公式的特征,认清公式中的“两数”,注意为使用公式创造条件.(1)完全平方公式变形后可得到以下一些新公式: ①a 2+b 2=(a +b )2-2ab ; ②a 2+b 2=(a -b )2+2ab ;③(a +b )2=(a -b )2+4ab ;④(a -b )2=(a +b )2-4ab ;⑤(a +b )2+(a -b )2=2(a 2+b 2);⑥(a +b )2-(a -b )2=4ab 等.在公式(a ±b )2=a 2±2ab +b 2中,如果把a +b ,ab 和a 2+b 2分别看做一个整体,则知道了其中两个就可以求第三个.(2)注意公式的逆用不仅会熟练地正用公式,而且也要求会逆用公式,乘法公式均可逆用,特别是完全平方公式的逆用——a 2+2ab +b 2=(a +b )2,a 2-2ab +b 2=(a -b )2.【例7-1】已知a 2+b 2+4a -2b +5=0,则a +b a -b的值是__________.解析:原等式可化为(a 2+4a +4)+(b 2-2b +1)=0,即(a +2)2+(b -1)2=0,根据非负数的特点知a +2=0且b -1=0,从而可知a =-2且b =1.然后将其代入求a +ba -b的值即可.答案:13【例7-2】已知a +b =2,ab =1,求a 2+b 2的值.分析:利用完全平方公式有(a +b )2=a 2+2ab +b 2,把2ab 移到等式的左边,可得(a +b )2-2ab =a 2+b 2,然后代入求值即可.解:∵(a +b )2=a 2+2ab +b 2,∴a 2+b 2=(a +b )2-2aB .∵a +b =2,ab =1,∴a 2+b 2=22-2×1=2.涉及两数和或两数差及其乘积的问题,就要联想到完全平方公式.本题也可从条件出发解答,如因为a +b =2,所以(a +b )2=22,即a 2+2ab +b 2=4.把ab =1代入,得a 2+2×1+b 2=4,于是可得a 2+b 2=4-2=2.。
完全平方公式的几何意义
完全平方公式是指一元二次方程ax2+bx+c=0的一种解法,其中可将根式表示为:x1=(-b+√(b2-4ac))/(2a),x2=(-b-√(b2-4ac))/(2a)。
本文主要讨论此方程的几何意义:
根据了解,双曲线的公式可表示为:x2/a2-y2/b2=1,看似非常复杂的双曲线,其实只要将参数a、b、c不断变化,就能绘制出不同的双曲线图。
事实上,完全平方公式不仅和双曲线有直接关系,而且还与标准椭圆有关联。
研究发现,从完全平方公式中求出的两个根x1,x2,它们可从不同的角度来看:
通俗来讲,椭圆是一种特殊的圆形,是以圆心为中心,以任意两点为焦点画圆得到的。
完全平方公式可以帮助求出椭圆的三点,也就是圆心、焦点以及中心点得到的一条直线。
据理论分析,完全平方公式的根式可以求出平行四边形的两条对角线上的点,同时这也意味着,通过完全平方公式可以快速计算出一个平行四边形的面积。
总结:完全平方公式不仅可以求解一元二次方程,而且还与双曲线、标准椭圆和平行四边形有着深层次的关系,其中椭圆可以帮助理解根式x1,x2是椭圆轴上的端点,而双曲线可以理解x1,x2是顶点;同样完全平方公式可以快速计算平行四边形的面积。
1、(Ⅰ)请你根据①中的面积写出它所能说明的乘法公式(a+b)2=a2+2ab+b2.(Ⅱ)如图②(2)所示是2002年8月20日在北京召开的国际数学家大会的会标.它是由四个全等的如图②(1)所示的直角三角形(每个直角三角形两直角边分别是a和b,斜边长为c)与中间的小正方形拼成的一个大正方形.请你根据图②(2)中的面积写出它所能说明的等式,并写出推导过程.考点:完全平方公式的几何背景。
专题:常规题型。
分析:(1)根据大正方形的面积等于被分成的四部分的面积的和进行解答;(2)先根据图②(2)表示出中间小正方形的边长,然后根据大正方形的面积等于四个直角三角形的面积加上中间小正方形的面积列出等式,然后整理即可得解.解答:解:(1)大正方形的面积为:(a+b)2,四个部分的面积的和为:a2+2ab+b2,∴能说明的乘法公式是:(a+b)2=a2+2ab+b2;(2)它能说明的等式为:c2=a2+b2.推导如下:中间小正方形的边长为(b﹣a),∴大正方形的面积可表示为:c2=4×ab+(b﹣a)2,整理得,c2=2ab+b2﹣2ab+a2,即c2=a2+b2.点评:本题考查了完全平方公式的几何背景,根据同一个图形的面积的不同表示相等进行列式是解题的关键.2、用四个相同的长方形与一个小正方形无重叠、无缝隙地拼成一个大正方形的图案(如图)(1)若长方形的长为a,宽为b,则小正方形面积为(a﹣b)2或(a2﹣2ab+b2);(2)根据图案,利用面积关系,你能得到一个等式为(a﹣b)2=a2﹣2ab+b2;(3)若这个大正方形边长为16,每个长方形的面积为63,求小正方形的边长.考点:完全平方公式的几何背景。
分析:(1)根据图形先求出小正方形的边长即可得到面积,或者先求出大正方形的面积,然后再减去四个长方形的面积;(2)根据同一个小正方形的面积,利用两种不同的求法得出,应该相等即可得到等式;(3)代入等式计算求解即可.解答:解:(1)小正方形的边长为:(a﹣b),∴面积为(a﹣b)2,小正方形的面积=大正方形的面积﹣4×长方形的面积=(a+b)2﹣4×ab=(a2﹣2ab+b2),∴小正方形面积为:(a﹣b)2或(a2﹣2ab+b2);(2)∵小正方形的面积是同一个图形的面积,∴(a﹣b)2=a2﹣2ab+b2;(3)小正方形的面积为:162﹣4×63=256﹣252=4,∴小正方形的边长为2.故答案为:(1)(a﹣b)2或(a2﹣2ab+b2);(2)(a﹣b)2=a2﹣2ab+b2;(3)2.点评:本题考查了完全平方公式的几何解释,根据同一个图形的面积利用不同的方法求解,结果相等解答即可,难度不大.3、某镇正在建造的文化广场工地上,有两种铺设广场地面的材料,一种是长为acm,宽为bcm 的矩形板材(如图),另一种是边长为ccm的正方形地砖(如图②)(1)用几块如图②所示的正方形地砖能拼出一个新的正方形?并写出新正方形的面积(写出一个符合条件的答案即可);(2)用如图①所示的四块矩形板材铺成如图③的大正方形或如图④的大矩形,中间分别空出一个小正方形和小矩形(即图中阴影部分);①请用含a、b的代数式分别表示图③和图④中阴影部分的面积;②试比较图③和图④中阴影部分的面积哪个大?大多少?考点:完全平方公式的几何背景。
学好完全平方公式的三点提示完全平方公式是两个形式相同的多项式相乘得到的公式,它的应用十分广泛,是教材中的重点和难点.那么如何掌握完全平方公式呢?下面给予三点提示,供参考.一、意义特征要牢记 1、完全平方公式:(1)(a+b)2=a 2+2ab+b 2 ;(2)(a -b)2=a 2-2ab+b 22、文字描述:这两个公式的左边是一个二项式的完全平方,右边是三项式,而且每一项都是二次式,其中有两项是公式左边二项式中每一项的平方,而第三项是左边二项式中两项乘积的2倍(或-2倍).可用以下口诀来记忆:“头平方和尾平方,头(乘)尾两倍在中央,中间符号是一样”.这里的“头”指的是a ,“尾”指的是b .这两个公式实质上是统一的,即都是二项式的平方展开式.其中第一个公式是基本的,第二个公式可由第一个公式导出.如:(a-b )2=[a+(-b )]2=a 2+2a (-b )+(-b )2= a 2-2ab+b 2.3、完全平方公式的几何意义图1ababb 2a 2b aba 图2(a -b )b (a -b )b(a -b)2b 2ba ba在图1中,大正方形的面积是(a+b)2,它等于两个小正方形的面积a 2、b 2及两个等积的长方形面积ab 的和,因此有(a+b)2=a 2+2ab+b 2.在图2中,大正方形的面积是a 2,它等于两个小正方形的面积b 2、(a -b)2及两个等积的长方形面积(a-b)b 的和,因此有(a -b)2=a 2-2(a-b)b-b 2= a 2-2ab+b 2.二、两个公式的区别要清楚在运用完全平方公式时,经常会出现类似于(a+b)2=a 2+b 2、(a -b)2=a 2 -b 2的错误.要注意从以下几个方面进行区别:(1)意义不同:(a+b)2表示数a 与数b 和的平方,(a -b)2表示数a 与数b 差的平方;而a 2+b 2表示数a 的平方与数b 的平方和,a 2-b 2表示数a 的平方与数b 的平方差.(2)读法不同:(a+b)2读作两数a 、b 和的平方,(a -b)2读作两数a 、b 差的平方;而a 2+b 2读作两数a 、b 平方的和,a 2-b 2读作两数a 、b 平方的差.(3)运算顺序不同:(a+b)2的运算顺序是先算a+b ,然后再算和的平方,(a -b)2的运算顺序是先算a -b ,然后再算差的平方;而a 2+b 2是先算a 2与b 2,再求和a 2+b 2,a 2-b 2是先算a 2与b 2,再求差a 2-b 2.(4)一般情况下它们的值不相等:如当a=2,b=1时,(a+b)2=(2+1)2= 32=9,(a -b)2=(2-1)2=12=1;而a 2+b 2= 22+12=5,a 2-b 2= 22-12=3.三、应用方法要掌握完全平方公式中的字母可以表示具体的数,也可以表示单项式,还可以表示多项式及各种代数式.应用时要认真观察题目是否符合公式的特征和条件,变形后是否符合公式的特征和条件,若符合,再把公式中的字母同具体题目中的数或式对照,再逐项对照着计算;若不符合就不能应用公式.要搞清楚公式中各项的符号,灵活地进行公式的各种变形应用.例1、计算222213⎪⎭⎫⎝⎛--y x xy分析:把23xy -看成a ,y x 221看成b ,原式即为两项差的平方,然后套用完全平方差公式.解:222213⎪⎭⎫⎝⎛--y x xy=()()⎪⎭⎫⎝⎛---y x xy xy222221323+(y x 221)2=2433424139y x y x y x ++例2、计算:(a-2b-c )2分析:可以把(a-2b )看作公式中a ,把c 看作公式中的b ,然后套用完全平方差公式. 解:2222)2(2)2(])2[()2(c c b a b a c b a c b a +---=--=-- =2a bc ac abc b a c bc ac b ab 4244424422222+--++=++-+-. 说明:本题还可以进行如下变形:222]2)[()2(b c a c b a --=--或22)]2([)2(c b a c b a +-=--完全平方公式应用错例分析完全平方公式是乘法公式中的重要组成部分,它能帮助同学们简捷、灵活的完成整式的乘法运算,但在运用公式解题的过程中,却经常出现这样或那样的错误,现将典型错例进行评析.一、漏掉“中间项” 例1 计算:(a+3)2 错解:(a+3)2=a 2+9分析:完全平方公式的结果有三项:首平方,末平方,乘积的2倍写中央.因此,运用公式时不要漏掉乘积项.不能将完全平方公式与平方差公式混淆.正解:(a+3)2=a 2+6a+9 二、“中间项”漏乘2例2 计算(2y+21)2错解:(2y+21)2 = 4y 2+2y ×21+41 分析:没有理解完全平方公式的中间项“2ab ”中2的意义,2y 中的2表示首项的一部分,不是乘积的2倍.防止发生这样错误的关键是要将题目中项与公式中的项进行对应,一定要找准哪个代表字母a ,哪个代表字母b .正解:(2y+21)2 = 4y 2+2⨯2y ⨯21+41=4y 2+2y+41三、“-”处理错误例3 计算(-t-1) 2错解:(-t-1) 2=t 2 -2t+1 或 (-t-1) 2= -t 2 +2t+1分析:本题可以看成首项-t 与末项1的差的平方,应把-t 看做一个整体. 正解:(-t-1) 2=(-t) 2-2 (-t) ×1 +12=t 2+2t+1. 四、系数未平方 例4 计算(3x-2y) 2错解:(3x-2y) 2=3x 2-12xy+2y 2分析:首项3x 与末项2y 都应看成一个整体进行平方. 正解:(3x-2y) 2 = (3x)2-12xy+(2y)2 = 9x 2-12xy+4y 2 五、问题考虑不全面例5 已知x 2-2mx+1是一个完全平方式,则m= 错解:因为12=1由乘积项-2mx=2x ×1得m=-1.分析:错解忽略了另一种情况:因为(-1) 2=1,由-2mx=2x ×(-1)得m=1,所以m=±1. 正解:m=±1. 六、运算顺序错误 例6 计算2(a-) 2 错解:2(a-2b ) 2=(2a-b) 2 分析:由乘方的定义知:2(a-2b ) 2=2(a-2b )(a-2b )=(2a-b) (a-2b),这与(2a-b) 2的结果是不相等的.因此,应按照运算顺序先算乘方,再算乘除进行化简.正解:2(a-2b ) 2=2(a 2-ab+41b 2)=2a 2-2ab+21b 2. 总之,运用完全平方公式进行整式的运算时,应牢固掌握公式的实质,并与其它相关法则、运算顺序有机的结合,才能简便、准确地进行整式的运算.完全平方公式学习导航1.完全平方公式有两个:2222)(b ab a b a ++=+,2222)(b ab a b a +-=-.即,两数和(或差)的平方,等于这两个数的平方和,加上(或者减去)这两个数的积的2倍.这两个公式叫做完全平方公式.它们可以合写在一起,为2222)(b ab a b a ++=±.记忆口诀:“首平方、尾平方,2倍乘积在中央”.2.公式的条件是:两数和的平方或两数差的平方.3.公式的结果是:这两数的平方和,加上(或减去)这两数积的2倍.4.公式的特征是:左边是两个相同的二项式相乘,右边是三项式,是左边二项式中两项的平方和,加上(这两项相加时)或减去(这两项相减时)这两项乘积的2倍.公式中的字母可以表示具体的数(正数或负数),也可以表示单项式或多项式等代数式.只要符合这一公式的结构特征,就可以运用这一公式.5. 完全平方公式的几何意义如图1,大正方形的面积可以表示为2)(b a +,也可以表示为IV III II I S S S S S ++=,同时22222b ab a b ab ab a S ++=+++=.从而验证了完全平方公式2222)(b ab a b a ++=+.6.完全平方公式重难点重点1 (1)公式右边是这两个数的平方和与这两个数乘积的2倍的和(差)。
完全平方公式的几何解释例题
问题:
给定一个边长为a的正方形,我们可以将正方形分成4个等边长的小正方形。
现在我们将每个小正方形的顶点连接起来,形成一个内切于原正方形的大正方形。
求内切正方形的边长。
解答:
我们设内切正方形的边长为x。
由于内切正方形的边长等于原正方形边长的一半,可得以下等式:
x = a/2
我们知道内切正方形的面积可以通过正方形的面积减去四个小正方形的面积来计算。
正方形的面积为a*a,小正方形的面积为
x*x。
所以有以下等式:
a*a - 4*(x*x) = x*x
我们把上述等式变形,得到以下等式:
a*a - 4*x*x = x*x
a*a = 5*x*x
上述等式告诉我们,正方形的面积等于5倍内切正方形的面积。
也就是说,正方形的面积是内切正方形面积的5倍。
根据几何学的知识,正方形的面积可以表示为边长的平方。
所
以我们可以将上述等式改写为以下形式:
a*a = 5*(x*x)
a^2 = 5*x^2
上述等式是一个关于a和x的平方关系,在数学中被称为完全
平方公式。
根据完全平方公式,我们知道两个平方数之间的关系。
在这个例子中,a^2和5*x^2是两个平方数,所以它们之间存在着
某种关系。
我们可以将完全平方公式应用到这个例子中,得到以下结论:
a = √(5)*x
这个结果告诉我们,正方形的边长等于√(5)乘以内切正方形的
边长。
综上所述,内切正方形的边长可以通过原正方形的边长除以√(5)来计算。
即:
内切正方形的边长= a/√(5)。
完全平方公式几何意义专题
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1、图a 是一个长为2 m 、宽为2 n 的长方形, 沿图中虚线用剪刀均分成四块小长方形, 然后按图b 的形状拼成一个正方形。
图a
图b
(1)你认为图b 中的阴影部分的正方形的边长等于 。
(2)请用两种不同的方法求图b 中阴影部分的面积。
方法1:
方法2:
(3)观察图b 你能写出下列三个代数式之间的等量关系吗?
代数式: ()(). , ,2
2mn n m n m -+ (4) 根据(3)题中的等量关系,解决如下问题:若5,7==+ab b a ,求2)(b a -的值。
2、乘法公式的探究及应用.
(1)将左图阴影部分裁剪下来,重新拼成一个长方形(右图所示),那么这个长方形的宽是 ,长是 ,面积是 .
(2)比较左、右两图的阴影部分面积,可以得到乘法公式 .(用式子表达)
(3)运用你所得到的公式,计算(2m+n ﹣p )(2m ﹣n+p )
3、乘法公式的探究与应用:
(1)如图甲,边长为a的大正方形中有一个边长为b的小正方形,请你写出阴影部分面积是(写成两数平方差的形式)
(2)小颖将阴影部分裁下来,重新拼成一个长方形,如图乙,则长方形的长是,宽是,面积是(写成多项式乘法的形式).
(3)比较甲乙两图阴影部分的面积,可以得到公式(用式子表达)
(4)运用你所得到的公式计算:10.3×9.7.
4、(1)将下列左图剪切拼成右图,比较两图的阴影部分面积,可以得到乘法公式:(用式子表达).(2)运用你所得到的乘法公式,计算:(a+b﹣c)(a﹣b﹣c).
5、如图1是一个长为4a、宽为b的长方形,沿图中虚线用剪刀平均分成四块小长方形,然后用四块小长方形拼成的一个“回形”正方形(如图2).
(1)图2中的阴影部分的面积为;
(2)观察图2请你写出(a+b)2、(a﹣b)2、ab之间的等量关系是;
(3)根据(2)中的结论,若x+y=5,x•y=,则x﹣y=;
(4)实际上通过计算图形的面积可以探求相应的等式.如图3,你有什么发现?.
6、图a是一个长为2m,宽为2n的长方形,沿图a中虚线用剪刀把它均分成四块小长方形,然后按图b的形状拼成一个正方形.
(1)请用两种不同的方法求图b中阴影部分的面积:
方法1:(只列式,不化简)
方法2:(只列式,不化简)
(2)观察图b,写出代数式(m+n)2,(m﹣n)2,mn之间的等量关系:;
(3)根据(2)题中的等量关系,解决如下问题:若a+b=7,ab=5,则(a﹣b)2=.
7、先阅读材料,解答下列问题:
我们已经知道,多项式与多项式相乘的法则可以用平面几何图形的面积来表示,实际上还有一些代数恒等式也可以用这种形式表示,例如:等式(a+2b)(2a+b)=2a2+5ab+2b2就可以用图形①的面积来表示.
(1)请写出图②所表示的代数恒等式.
(2)画出一个几何图形,使它的面积能表示(a+b+c)2=a2+b2+c2+2ab+2ac+2bc;
(3)请仿照上述方法写出另一个含a、b的代数恒等式,并画出与之对应的几何图形.
8、图①是一个长为2m、宽为2n的长方形,沿图中虚线用剪刀平均分成四块小长方形,然后按图②的形状拼成一个正方形.
(1)将图②中的阴影部分面积用2种方法表示可得一个等式,这个等式为.
(2)若m+2n=7,mn=3,利用(1)的结论求m﹣2n的值.
9、已知图甲是一个长为2m,宽为2n的长方形,沿图中虚线用剪刀均匀分成四小块长方形,然后按图乙的形状拼成一个正方形.
(1)你认为图乙中阴影部分的正方形的边长等于多少?.
(2)请用两种不同的方法求图乙中阴影部分的面积.
方法一:;方法二:.
(3)观察图乙,你能写出下列三个代数式之间的等量关系吗?
(m+n)2;(m﹣n)2;mm
(4)根据(3)题中的等量关系,解决如下问题:若a+b=8,ab=5,求(a﹣b)2的值.。