【精品解析】浙江省杭师大附中2020届高三数学第一次月考 文(学生版)

2022年浙江省杭州市师范大学东城中学高三数学文月考试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. 已知单位向量满足，向量，（t为正实数），则的最小值为（）A．B．C．D．参考答案：A由题意可得，，而，所以，，所以，设，则，所以，因为，所以．故选A．2. 实数，，的大小关系正确的是( )A． B． C． D．参考答案：C略3. 已知函数的图像关于原点对称，且周期为4，当时，，则（）[参考数据：]A．36 B．-36 C. 18 D．-18参考答案：B 依题意，函数为奇函数，则，因为，故，故选B.4. 命题：“”，则（）A．是假命题；： B．是假命题；：C．是真命题；： D．是真命题；：参考答案：B5. 下列关于命题的说法错误的是 ( )A．命题“若，则”的逆否命题为“若，则”；B．“”是“函数在区间上为增函数”的充分不必要条件；C．若命题：，则：；D．命题“”是真命题参考答案：D6. 已知，，，则（）A. B. C. D.参考答案：D【分析】利用指数和对数函数的单调性比较、、三个数与0和1的大小关系，进而可得出、、的大小关系.【详解】指数函数是上的增函数，则；指数函数是上的减函数，则，即；对数函数是上的增函数，则.因此，.故选：D.【点睛】本题考查指数幂与对数式的大小比较，一般利用指数函数与对数函数结合中间值法来比较，考查分析问题和解决问题的能力，属于基础题.7. 过正方体的顶点的平面与直线垂直，且平面与平面的交线为直线，平面与平面的交线为直线，则直线与直线所成角的大小为（）A．B． C. D．参考答案：C8. 将4个颜色互不相同的球全部放入编号为1和2的两个盒子里，使得放入每个盒子里的球的个数不小于该盒子的编号，则不同的放球方法有（）A． 10种B．20种C． 36种D．52种参考答案：A9. 由直线，，与曲线所围成的图形的面积等于( )A． B． C． D．参考答案：A10. 已知向量满足则向量夹角的余弦值为( )参考答案：C二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11. 设是定义在上的奇函数，且的图象关于直线对称，则参考答案：12. 已知向量，，，若，则实数_参考答案：【知识点】平面向量共线（平行）的坐标表示． F2【答案解析】1. 解析：，∵，∴解得k=1，故答案为1.【思路点拨】利用向量的坐标运算求出的坐标；利用向量共线的坐标形式的充要条件列出方程，求出k的值．13. 已知等比数列的前项和为，若，则的值是▲ .参考答案：14. 在平面直角坐标系xOy中，抛物线y2＝4x上的点P到其焦点的距离为3，则点P到点O的距离为．参考答案：抛物线的准线为x＝?1，所以P横坐标为2，带入抛物线方程可得P(2，)，所以OP＝．15. 在三棱锥P-ABC中，平面PAB⊥平面ABC，△ABC是边长为6的等边三角形，△PAB是以AB为斜边的等腰直角三角形，则该三棱锥外接球的表面积为_______．参考答案：【分析】在等边三角形中，取的中点，设其中心为，则，再利用勾股定理可得，则为棱锥的外接球球心，利用球的表面积公式可得结果.【详解】如图，在等边三角形中，取的中点，设其中心为，由，得，是以为斜边的等腰角三角形，,又因为平面平面，平面，，，则为棱锥的外接球球心，外接球半径，该三棱锥外接球表面积为，故答案为.【点睛】本题考查主要四面体外接球表面积，考查空间想象能力，是中档题. 要求外接球的表面积和体积，关键是求出球的半径，求外接球半径的常见方法有：①若三条棱两垂直则用（为三棱的长）；②若面（），则（为外接圆半径）；③可以转化为长方体的外接球；④特殊几何体可以直接找出球心和半径.16. 已知、是不等式组所表示的平面区域内的不同两点，则、两点之间距离的最大值是_______________.参考答案：略17. 函数的图像向右平移个单位后，与函数的图像重合，则___________.参考答案：略三、解答题：本大题共5小题，共72分。

杭师大附中2010学年高三年级第一次月考数学试卷（文科）本试卷分选择题和非选择题两部分。

满分150分，考试时间120分钟。

请考生按规定用笔将所有试题的答案涂、写在答题纸上。

选择题部分（共50分）一、选择题（本大题共10个小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中有且只有一项是符合题目要求的。

）1、若集合},1{R x x x A ∈≤=，},1{2R x x y y B ∈-==，则=B A （ ）A (A) {}|11x x -≤≤ (B) }1{-≥x x (C) {}|01x x ≤≤ (D) ∅2、“)(4Z k k x ∈+=ππ”是“tan 1x =”成立的 （ ）C（A ）充分不必要条件 （B ）必要不充分条件 （C ）充要条件 （D ）既不充分也不必要条件 3、函数33)(3--=x x x f 有零点的区间是 （ ）D（A ）)1,0( （B ）)2,1( （C ）)0,1(- （D ）)3,2( 4、已知2sin 3α=，则=-)2cos(απ （ ）B（A ） （B ）19- （C ）19 （D 5、为了得到函数sin(2)3y x π=-的图像，只需把函数sin(2)6y x π=+的图像（ ）C（A ）向右平移2π个长度单位向 （B ）向左平移2π个长度单位 （C ）向右平移4π个长度单位 （D ）左平移4π个长度单位6、已知向量,满足2,1,0===⋅a ，则=2（ ）B（A ） 0 （B ） （C ） 4 （D ）87、已知()f x 为定义在R 上的奇函数，且当0x ≥时，()22xf x x b =++（b 为常数），则=)1(f （ ）D（A ）3- （B ）1- （C ）1 (D) 38、下列四类函数中，满足性质“对任意的实数0>x 、0>y ，函数)(x f 满足=⋅)(y x f)()(y f x f +”的是 （ ） C（A ）幂函数 （B ）指数函数 （C ）对数函数 （D ）余弦函数9、已知0a >，函数2()f x ax bx c =++，若0x 满足关于x 的方程20ax b +=，则下列选项的命题中为真命题的是 （ ） B（A ）)()(,0x f x f R x <∈∃使得 （B ）)()(,0x f x f R x >∈∃使得 （C ）)()(,0x f x f R x <∈∀有 （D ）)()(,x f x f R x>∈∀有 10、如右图所示，一个对称图形做的薄片（其对称轴与水面垂直）匀速地升出水面，记t 时刻该薄片露出水面部分的图形面积为)0)0(()(=S t S，那么导函数)('t S y =的图像大致为（ ）A 非选择题部分（共100分）二、填空题（本大题共7小题，每小题4分，共28分。

2020年杭州师范大学附属中学高三语文下学期期中试卷及答案一、现代文阅读（36分）(一)现代文阅读I(9分)阅读下面的文字，完成各题。

材料一：我国首次火星探测任务天问一号探测器由着陆巡视器（进入舱和火星车）和环绕器组成此次任务要一次实现“绕、着、巡”三步走的目标。

探测器发射后，将被火箭送入地火转移轨道。

器箭分离后，探测器的太阳翼和定向天线将相继展开，在测控系统支持下朝火星飞去，约7个月抵达火星。

探测器进入环火轨道并经过制动后，要进行2至3个月的环绕飞行。

在着陆前，会在着陆区上空对着陆区开展探测。

接着，探测器择机实施降轨机动，着陆巡视器与环绕器分离。

环绕器升轨返回到停泊轨道，为着陆过程提供中继通信。

着陆巡视器进入火星大气，依次完成配平翼展开、悬停、避障及缓速下降、着陆缓冲等动作，着陆于火星表面。

着陆后，火星车与着陆平台解锁分离。

火星车驶离着陆平台，开始巡视探测。

着陆巡视器安全着陆后，环绕器进入中继轨道，为火星车提供中继通信，兼顾科学探测。

火星车完成探测任务后，环绕器进入使命轨道，开展火星全球遥感探测，兼顾火星车扩展任务中继通信。

（摘编自陈海波《揭秘天问一号的火星之旅》材料二：以往的航天产业耗资巨大，然而随着电子技术的发展，现在的卫星元器件体积更小，性能却更高，这意味着大幅度节约制造和发射成本，大规模使用航天资源，甚至可能让老百姓都可以利用它。

航天资源本身就具有共享特点。

卫星发射成功后，都在围绕着地球转，让全球所有人都充分使用每一颗卫星资源，才符合它的运动规律。

因此，要想让空间资源价值最大化，让每个人分摊的成本更低，就应该实现全世界共享。

大家都能以较低的成本从太空资源中获益，航天技术就会发展成为人类的基础设施，低廉的成本又可以促使大家将空间基础设施建设得更好、更便捷，形成良性循环。

航天科工三院近日已经联合国内十几家卫星企业成立了“卫星即服务产业联盟”，这个联盟不仅要打通卫星通信、导航、遥感、监测、运行、姿态控制一体的技术架构，还要建设若干面向应用市场的架构。

一中2021-2021学年第一学期高三年级阶段性检测〔一〕创作人：历恰面日期：2020年1月1日数学学科一、填空题：本大题一一共14小题，每一小题5分，一共70分．，，那么___________．【答案】【解析】【分析】此题是集合A与集合B取交集。

【详解】因为，所以【点睛】交集是取两集合都有的元素。

是虚数单位)是纯虚数，那么实数的值是___________．【答案】-2【解析】【分析】此题考察的是复数的运算，可以先将复数化简，在通过复数是纯虚数得出结果。

【详解】，因为是纯虚数，所以。

【点睛】假如复数是纯虚数，那么。

3.“〞是“直线与直线互相垂直〞的___________条件〔填“必要不充分〞“充分不必要〞“充要〞或者“既不充分又不必要〞〕．【答案】充分不必要【解析】【分析】可以先通过“直线与直线互相垂直〞解得的取值范围，再通过与“〞进展比照得出结论。

【详解】因为直线与直线互相垂直，所以两直线斜率乘积为或者者一条直线与轴平行、一条与轴平行，所以或者者，解得或者者，由“〞可以推出“或者者〞，但是由“或者者〞推不出“〞，所以为充分不必要条件。

【点睛】在判断充要条件的时候，可以先将“假设A那么B〞中的A和B化为最简单的数集形式，在进展判断。

的递增区间是___________．【答案】【解析】【分析】此题可以先通过的取值范围来将函数分为两段函数，再依次进展讨论。

【详解】当时，，开口向下，对称轴为，所以递增区间是，当时，，开口向上，对称轴是，所以在定义域内无递增区间。

综上所述，递增区间是。

【点睛】在遇到带有绝对值的函数的时候，可以根据的取值范围来将函数分为数段函数，在依次求解。

5.按如下图的程序框图运行后，输出的结果是63，那么判断框中的整数的值是___________．【答案】5【解析】【分析】此题中，，可根据这几个式子依次推导出每一个A所对应的S的值，最后得出结果。

【详解】因为当时输出结果，所以【点睛】在计算程序框图时，理清每一个字母之间的关系，假如次数较少的话可以依次罗列出每一步的运算结果，最后得出答案。

浙江省杭州师范大学附属中学2025届高三数学第一学期期末达标检测试题注意事项：1． 答题前，考生先将自己的姓名、准考证号填写清楚，将条形码准确粘贴在考生信息条形码粘贴区。

2．选择题必须使用2B 铅笔填涂；非选择题必须使用0．5毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整、笔迹清楚。

3．请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。

4．保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．函数1()ln ||1x f x x+=-的图象大致为 A ． B ． C ．D ．2．已知集合2{|log (1)2},,A x x B N =-<=则A B =（ ）A ．{}2345，，，B ．{}234，，C ．{}1234，，，D ．{}01234，，，， 3．已知m ，n 是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，给出四个命题：①若m αβ=，n ⊂α，n m ⊥，则αβ⊥；②若m α⊥，m β⊥，则//αβ；③若//m n ，m α⊂，//αβ，则βn//；④若m α⊥，n β⊥，m n ⊥，则αβ⊥其中正确的是（ ）A ．①②B ．③④C ．①④D ．②④4．不等式组201230x y y x x y -≥⎧⎪⎪≥⎨⎪+-≤⎪⎩表示的平面区域为Ω，则（ ） A ．(),x y ∀∈Ω，23x y +>B ．(),x y ∃∈Ω，25x y +>C ．(),x y ∀∈Ω，231y x +>-D ．(),x y ∃∈Ω，251y x +>-5．设数列{}()*na n N ∈的各项均为正数，前n 项和为n S ，212log 1log n n a a +=+，且34a =，则6S =（ ） A ．128 B ．65 C ．64D ．63 6．已知直线l ：310kx y k --+=与椭圆22122:1(0)x y C a b a b+=>>交于A 、B 两点，与圆2C ：()()22311x y -+-=交于C 、D 两点.若存在[]2,1k ∈--，使得AC DB =，则椭圆1C 的离心率的取值范围为（ ）A ．36,33⎡⎤⎢⎥⎣⎦B ．3[,1)3C ．3(0,]3D ．6[,1)3 7．已知复数(2)1ai i z i +=-是纯虚数，其中a 是实数，则z 等于（ ） A ．2i B ．2i - C ．i D ．i -8．如图，正方形网格纸中的实线图形是一个多面体的三视图，则该多面体各表面所在平面互相垂直的有（ ）A ．2对B ．3对C ．4对D ．5对9．有一圆柱状有盖铁皮桶（铁皮厚度忽略不计），底面直径为20cm ，高度为100cm ，现往里面装直径为10cm 的球，在能盖住盖子的情况下，最多能装（ ）235 2.236≈≈≈）A ．22个B ．24个C ．26个D ．28个10．已知n S 是等差数列{}n a 的前n 项和，1252a a +=，234+=a a ，则10S =（ ） A ．85 B ．852 C ．35 D ．35211．已知实数x 、y 满足约束条件103300x y x y y -+≥⎧⎪--≤⎨⎪≥⎩，则2z x y =+的最大值为（ ）A ．1-B ．2C ．7D ．812．已知我市某居民小区户主人数和户主对户型结构的满意率分别如图和如图所示，为了解该小区户主对户型结构的满意程度，用分层抽样的方法抽取30%的户主进行调查，则样本容量和抽取的户主对四居室满意的人数分别为A ．240，18B ．200，20C ．240，20D ．200，18二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

2020届云师大附中高三高考适应性月考（一）数学（文）试题一、单选题1．已知集合(){}2,A x y y x ==，(){}22,1B x y xy =+=，则集合A B I 中元素的个数为（ ）A ．0B ．1C ．2D ．3【答案】C【解析】作出函数2y x =和圆221x y +=的图象，观察两曲线的交点个数，可得出集合A B I 的元素个数.【详解】如下图所示，由函数2y x =与圆221x y +=的图象有两个交点，因此，集合A B I 含有两个元素，故选：C.【点睛】本题考查集合的元素个数，考查曲线的交点个数问题，考查数形结合思想的应用，属于中等题.2．瑞士数学家欧拉在1748年得到复数的三角方程：cos sin ix e x i x =+，根据三角方程，计算1i e π+的值为（ ）A ．1-B ．0C ．1D ．i【答案】B【解析】根据复数的三角方程将复数i e π表示为复数的一般形式，然后利用复数的加法法则可得出结果.【详解】由cos sin ix e x i x =+，则1cos sin 1110i e i πππ+=++=-+=，故选B.【点睛】本题考查复数的加法运算，解题的关键就是理解题中复数三角方程的定义，考查计算能力，属于基础题.3．移动支付、高铁、网购与共享单车被称为中国的新“四大发明”，某中学为了解本校学生中新“四大发明”的普及情况，随机调査了100位学生，共中使用过移动支付或共享单车的学生共90位，使用过移动支付的学生共有80位，使用过共享单车的学生且使用过移动支付的学生共有60位，则该校使用共享单车的学生人数与该校学生总数比值的估计值为（ ）A ．0.5B ．0.6C ．0.7D ．0.8【答案】C【解析】作出韦恩图，根据题中的信息得出样本中使用共享单车和移动支付的学生人数，将人数除以100可得出所求结果.【详解】根据题意使用过移动支付、共享单车的人数用韦恩图表示如下图，因此，该校使用共享单车的学生人数与该校学生总数比值的估计值700.7100=，故选：C.【点睛】本题考查韦恩图的应用，同时也考查了频率的计算，考查数据处理能力，属于中等题.4．已知x 、y 满足的约束条件02300x x y y ≥⎧⎪+-≥⎨⎪≥⎩22x y +的最小值为（ ） A 35B 25C 3D 5【答案】A【解析】22x y +的几何意义为可行域内22x y +的最小值为原点到直线230x y +-=的距离，由此可得出结果.【详解】作出不等式组02300x x y y ≥⎧⎪+-≥⎨⎪≥⎩所表示的可行域如下图所示：()()222200x y x y +=-+-()0,0的距离，过点O 作直线230x y +-=的垂线OH 22x y +223512OH ==+， 故选：A.【点睛】本题考查线性规划问题，考查距离型非线性函数的最值问题，要理解非线性目标函数的几何意义，借助数形结合思想进行求解，考查分析问题和解决问题的能力，属于中等题. 5．函数()cos ln f x x x =-的零点个数是（ ）A ．1B ．2C ．3D ．4【答案】B【解析】在平面直角坐标系内作出函数cos y x =与函数ln y x =的图象，观察两函数的交点个数，即为函数()cos ln f x x x =-的零点个数.【详解】令()0f x =，得cos ln x x =，则函数()y f x =的的零点个数等价于函数cos y x =与函数ln y x =图象的交点个数，如下图所示：由图象知cos y x =与ln y x =的交点个数为2， 因此，函数()y f x =的零点个数也为2，故选：B.【点睛】本题考查函数零点个数问题，常用的方法有两种：一种是代数法，另一种是图象法，转化为两个函数的交点个数，考查数形结合思想的应用，属于中等题.6．在等差数列{}n a 中，51340a a +=，则7891011a a a a a ++++=（ ）A ．40B ．60C ．80D ．100【答案】D【解析】利用等差中项的性质得出9a 的值，再利用等差中项的性质可得出7891011a a a a a ++++的值.【详解】由等差中项的性质可得5139240a a a +==，920a ∴=，因此，()()7891011711810995100a a a a a a a a a a a ++++=++++==，故选：D.【点睛】本题考查等差中项性质的应用，在求解等差数列的问题时，常用基本量法与等差数列性质来进行求解，考查计算能力，属于中等题.7．函数sin y x x =的大致图象为（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】B【解析】考查函数sin y x x =的奇偶性以及该函数在区间()0,π上的函数值符号进行排除，可得出正确选项.【详解】设()sin f x x x =，该函数的定义域为R ，且()()()sin sin f x x x x x f x -=--==，所以，函数()sin f x x x =为偶函数，排除A 、C 选项，且当0πx <<时，sin 0x >，此时()0f x >，排除D 选项，故选：B.【点睛】本题考查函数图象的识别，一般从函数的定义域、奇偶性、单调性、零点以及函数值符号等基本要素进行逐一排除，考查推理能力，属于中等题.8．如图，执行程序框图后，输出的结果是（ ）A ．140B ．204C ．245D ．300【答案】B【解析】根据程序框图列举出算法的每一步，可得出输出结果.【详解】18n =>不成立，执行第一次循环，211b ==，011s =+=，112n =+=； 28n =>不成立，执行第二次循环，224b ==，145s =+=，213n =+=；38n =>不成立，执行第三次循环，239b ==，5914s =+=，314n =+=； 48n =>不成立，执行第四次循环，2416b ==，141630s =+=，415n =+=；58n =>不成立，执行第五次循环，2525b ==，302555s =+=，516n =+=； 68n =>不成立，执行第六次循环，2636b ==，553691s =+=，617n =+=；78n =>不成立，执行第七次循环，2749b ==，9149140s =+=，718=+=n ；88n =>不成立，执行第八次循环，2864b ==，14064204s =+=，819n =+=；98n =>成立，跳出循环体，输出s 的值为204，故选B.【点睛】本题考查程序框图运行结果的计算，一般利用算法程序框图将算法的每一步列举出来，考查计算能力，属于中等题.9．已知函数()sin f x x =，将()f x 的图象上的所有点的横坐标缩短到原来的12，纵坐标扩大为原来的3倍，再把图象上所有的点向上平移1个单位长度，得到函数()y g x =的图象，则函数()g x 的周期可以为（ ）A ．2π B ．πC ．32π D ．2π【答案】B【解析】先利用三角函数图象变换规律得出函数()y g x =的解析式，然后由绝对值变换可得出函数()y g x =的最小正周期.【详解】()sin f x x =Q ，将函数()y f x =的图象上的所有点的横坐示缩短到原来的12，可得到函数sin 2y x =的图象，再将所得函数图象上所有点的纵坐标扩大为原来的3倍，得到函数3sin 2y x =的图象，再把所得图象向上平移1个単位长度，得到()3sin 21g x x =+，由绝对值变换可知，函数()y g x =的最小正周期为22T ππ==，故选B.【点睛】本题考查三角函数变换，同时也考查三角函数周期的求解，解题的关键就是根据图象变换的每一步写出所得函数的解析式，考查推理能力，属于中等题.10．若函数()2f x ax =与函数()lng x x =存在公共点()P m n ,，并且在()P m n ,处具有公共切线，则实数a =（ ）A ．1eB ．2eC ．12eD ．32e【答案】C【解析】由题意得出()()()()f m g m f m g m ⎧=⎪⎨=''⎪⎩，解此方程组，可得出实数a 的值. 【详解】因为()2f x ax =，所以()2f x ax '=；由()lng x x =，得()1g x x'=. 因为()2f x ax =与()lng x x =在它们的公共点()P m n ,处具有公共切线，则()()()()f m g m f m g m ⎧=⎪⎨=''⎪⎩，即2ln 12am mam m ⎧=⎪⎨=⎪⎩，解得12m e a e ⎧=⎪⎨=⎪⎩，故选：C. 【点睛】本题考查两函数在公共点处有公切线问题，解题时要将问题转化为在公共点处函数值和导数值分别相等，并利用方程组求解，考查化归与转化思想以及方程思想的应用，属于中等题.11．阿波罗尼斯（约公元前262190-年）证明过这样一个命题:平面内到两定点距离之比为常数()0,1k k k >≠的点的轨迹是圆，后人将这个圆称为阿波罗尼斯圆.若平面内两定点A 、B 间的距离为2，动点P 满足2PA PB=则22PA PB +的最小值为（ ）A ．36242-B ．48242-C ．2D ．242【答案】A【解析】以经过A 、B 的直线为x 轴，线段AB 的垂直平分线y 轴，建立直角坐标系，得出点A 、B 的坐标，设点(),P x y ，利用两点间的距离公式结合条件2PA PB=点P 的轨迹方程，然后利用坐标法计算出22PA PB +的表达式，再利用数形结合思想可求出22PA PB +的最小值.【详解】以经过A 、B 的直线为x 轴，线段AB 的垂直平分线y 轴，建立直角坐标系，则()1,0A -、()10B ,，设(),P x y ，2PA PB=Q ，2222(1)2(1)x y x y++=-+两边平方并整理得()222261038x y x x y +-+=⇒-+=，所以P 点的轨迹是以()3,0为圆心，22则有()222222222PA PB x yOP+=++=+，如下图所示：当点P 为圆与x 轴的交点（靠近原点）时，此时，OP 取最小值，且322OP =-，因此，(22223222362PA PB +≥⨯-+=- A.【点睛】本题考查动点的轨迹方程的求法，考查坐标法的应用，解题的关键就是利用数形结合思想，将代数式转化为距离求解，考查数形结合思想的应用以及运算求解能力，属于中等题.12．四边形ABDC 是菱形，60BAC ∠=o ，3AB =BC 翻折后，二面角A BC D --的余弦值为13-，则三棱锥D ABC -的外接球的体积为（ ）A 5πB 6πC 7πD ．22π【答案】B【解析】取BC 的中点为M ，设球心O 在平面ABC 内的射影为1O ，在平面BCD 内的射影为2O ，利用二面角的定义得出1cos 3AMD ∠=-，并设2AMD θ∠=，计算出tan θ的值，可得出2OO 的长度和2DO 的长度，然后利用勾股定理得出三棱锥D ABC -外接球的半径R ，最后利用球体体积公式可计算出结果.【详解】如下图所示，取BC 的中点为M ，设球心O 在平面ABC 内的射影为1O ，在平面BCD 内的射影为2O ，则二面角A BC D --的平面角为AMD ∠，3AB =，所以32DM =，2213DO DM ==，212O M =，设2AMD θ∠=， 则21cos 22cos 13θθ=-=-，21cos 3θ∴=，则22sin 3θ=，2tan 2θ∴=，tan 2θ∴=222tan 2OO O M θ∴=⋅=， 球O 的半径22226R DO OO =+=，所求外接球的体积为246632V ππ⎛=⋅= ⎝⎭， 故选：B.【点睛】本题考查外接球体积的计算，同时也考查了二面角的定义，解题的关键就是要找出球心的位置，并分析几何图形的形状，借助相关定理进行计算，考查推理能力与计算能力，属于中等题.二、填空题13．已知a v 、b v 为单位向量，,3a b π=v v ，则2a b +=v v ____________.7【解析】利用平面向量数量积的运算律和定义计算()222a b a b+=+r rr r .【详解】由于a r 、b r 为单位向量，,3a b π<>=r r ，则1a b ==r r ，且1cos ,2a b a b a b ⋅=⋅<>=r r r r r r ，因此，()2222212244414172a b a ba ab b +=+=+⋅+=⨯+⨯+=r rr r r r r r ，7【点睛】本题考查利用平面向量的数量积计算向量的模，在计算向量的模时，一般将向量的模进行平方，结合平面向量数量积的运算律和定义来进行计算，考查计算能力，属于中等题.s 14．等比数列{}n a 的首项11a =，48a =，则4S =___________.【答案】15【解析】设等比数列{}n a 的公比为q ，根据题中条件求出q 的值，再利用等比数列求和公式可计算出4S 的值.【详解】11a =Q ，48a =，所以3418a q a ==，所以2q =，因此，()()4414111215112a q S q-⨯-===--，故答案为：15.【点睛】本题考查等比数列求和，对于等比数列，一般是通过建立首项和公比的方程组，求出这两个量，再结合相关公式进行计算，考查运算求解能力，属于中等题.15．设1F 、2F 为椭圆C :2214x y +=的两个焦点，M 为C 上点，122F MF π∠=，则12F MF ∆的面积为______.【答案】1【解析】利用勾股定理和椭圆的定义列等式求出12MF MF ⋅的值，然后利用三角形的面积公式可计算出12F MF ∆的面积.【详解】由题意可知，2a =，1b =，223c a b =-12223F F c ==.如下图，由题意知122F MF π∠=，由勾股定理得222121212MF MF F F +==，由椭圆定义得1224MF MF a +==，将该等式两边平方得221122216MF MF MF MF +⋅+=，122MF MF ∴⋅=，因此，12F MF ∆的面积为1212112122F MF S MF MF ∆=⋅=⨯=，故答案为1.【点睛】本题考查椭圆焦点三角形面积的计算，解题时应充分利用椭圆的定义与余弦定理求解，并结合三角形的面积公式进行计算，考查运算求解能力，属于中等题.16．边长为1的正方体1111ABCD A B C D -中，点M 为上底面1111D C B A 的中心，N 为下底面ABCD 内一点，且直线MN 与底面ABCD 所成线面角的正切值为2，则点N 的轨迹围成的封闭图象的面积为_____.【答案】【解析】作出图形，设正方体底面ABCD 的中心为点O ，可得出MO ⊥平面ABCD ，由直线与平面所成角的定义得出tan 2MNO ∠=，可得出12ON =，从而可知点N 的轨迹是半径为12的圆，然后利用圆的面积公式可得出结果. 【详解】如下图所示，由题意知，M 在底面ABCD 内的投影为底面ABCD 的中心O ，连接ON ，则MNO ∠即为直线MN 与底面ABCD 所成的角，所以，tan 2OMMNO ON∠==， 则12ON =，所以N 的轨迹是以底面ABCD 的中心O 为圆心，以12为半径的圆， 因此，N 的轨迹围成的封闭图象的面积为2124S ππ⎛⎫=⨯= ⎪⎝⎭，故答案为：4π. 【点睛】本题考查立体几何中的轨迹问题，同时也考查直线与平面所成角的定义，解题时要熟悉几种常见曲线的定义，考查空间想象能力，属于中等题.三、解答题17．某调研机构，对本地[]22,50岁的人群随机抽取200人进行了一次生活习惯是否符合低碳观念的调查，将生活习惯符合低碳观念的称为“低碳族”，否则称为“非低碳族”，结果显示，有100人为“低碳族”，该100人的年龄情况对应的频率分布直方图如图.（1）根据频率分布直方图，估计这100名“低碳族”年龄的平均值，中位数； （2）若在“低碳族”且年龄在[)30,34、[)34,38的两组人群中，用分层抽样的方法抽取30人，试估算每个年龄段应各抽取多少人？【答案】（1）平均值为36，中位数为36；（2）年龄在[)30,34的8人，在[)34,38的22人.【解析】（1）将频率分布直方图中每个矩形底边的中点值乘以矩形的面积，再将这些乘积相加可得出平均值，利用中位数左右两边的矩形面积和均为0.5计算出矩形的面积； （2）先计算出年龄在[)30,34、[)34,38的频率之比，再利用分层抽样的特点得出样本中年龄段在[)30,34、[)34,38的人数.【详解】（1）100位“低碳族”的年龄平均值x 为240.04280.08320.16360.44x =⨯+⨯+⨯+⨯400.16440.1480.0235.9236+⨯+⨯+⨯=≈，设中位数为a ，前三个矩形的面积为0.040.080.160.28++=， 前四个矩形的面积为0.040.080.160.440.72+++=，则()34,38a ∈，由题意可得()0.28340.110.5a +-⨯=，解得36a =，因此，中位数为36； （2）年龄在[)30,34、[)34,38的频率分别为0.0440.16⨯=，0.1140.44⨯=， 频率之比为0.16:0.444:11=，所抽取的30人中，年龄在[)30,34的人数为430815⨯=， 年龄在[)34,38的人数为11302215⨯=. 【点睛】本题考查频率分布直方图中平均数和中位数的计算，同时也考查了分层抽样相关的计算，考查计算能力，属于基础题.18．在ABC ∆中，角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，且满足sin cos 6b A a B π⎛⎫=- ⎪⎝⎭.（1）求角B 的大小；（2）若D 为AC 的中点，且1BD =，求ABC S ∆的最大值.【答案】（1）3π；（23【解析】（1）利用正弦定理边角互化思想得出sin cos 6B B π⎛⎫=- ⎪⎝⎭，再利用两角差的余弦公式可得出tan B 的值，结合角B 的范围可得出角B 的大小；（2）由中线向量得出2BD BA BC =+uu u r uu r uu u r，将等式两边平方，利用平面向量数量积的运算律和定义，并结合基本不等式得出ac 的最大值，再利用三角形的面积公式可得出ABC ∆面积的最大值.【详解】（1）由正弦定理及sin cos 6b A a B π⎛⎫=-⎪⎝⎭得sin sin sin cos 6B A A B π⎛⎫=-⎪⎝⎭， 由()0,A π∈知sin 0A >，则31sin cos cos sin 62B B B B π⎛⎫=-=+ ⎪⎝⎭，化简得sin 3cos B B =，tan 3B ∴=.又()0,B π∈，因此，3B π=；（2）如下图，由13sin 24ABC S ac B ac ∆==，又D 为AC 的中点，则2BD BA BC =+uu u r uu r uu u r，等式两边平方得22242BD BC BC BA BA =+⋅+u u u r u u u r u u u r u u r u u r ，所以2222423a c BA BC a c ac ac =++⋅=++≥u u u r u u u r，则43ac ≤，当且仅当a c =时取等号，因此，ABC ∆的面积最大值为343433=. 【点睛】本题考查正弦定理边角互化思想的应用，同时也考查了三角形的中线问题以及三角形面积的最值问题，对于三角形的中线计算，可以利用中线向量进行计算，考查分析问题和解决问题的能力，属于中等题.19．如图甲，在直角梯形ABCD 中，//AB CD ，AB BC ⊥，224CD AB BC ===，过A 点作AE CD ⊥，垂足为E ，现将ADE ∆沿AE 折叠，使得DE EC ⊥.取AD 的中点F ，连接BF 、CF 、EF ，如图乙.（1）求证：BC ⊥平面DEC ； （2）求三棱锥E FBC -的体积.【答案】（1）证明见解析；（2）23. 【解析】（1）可证明出//BC AE ，由折叠的性质得出AE CE ⊥，AE DE ⊥，利用直线与平面垂直的判定定理得出AE ⊥平面DEC ，再由//BC AE ，可得出BC ⊥平面DEC ；（2）证明DE ⊥平面ABCE ，由E 为AD 的中点可知三棱锥F BCE -的高为12DE ，计算出BCE ∆的面积，然后利用锥体体积公式可计算出三棱锥F BCE -的体积，即为所求结果.【详解】（1）在图甲中，直角梯形ABCD 中，//AB CD ，AB BC ⊥，BC CD ∴⊥，AE CD ⊥Q ，则//BC AE .折叠后，在图乙中，AE CE ⊥，AE DE ⊥，又CE DE E =I ，AE ∴⊥平面DCE .//BC AE Q ，BC ∴⊥平面DCE ；（2）由（1）知，DE AE ⊥，又DE CE ⊥，且AE CE E =I ，DE ∴⊥平面ABCE .F Q 为AD 的中点，所以，三棱锥F BCE -的高为112122DE =⨯=，224CD AB BC ===Q ，易知四边形ABCE 是矩形，则2CD AB ==，BCE ∆的面积为2112222BCE S BC CE ∆=⋅=⨯=， 因此，1112123233E FBCF BCE BCEV V DE S --∆==⨯⨯=⨯⨯=. 【点睛】本题考查立体几何的翻折问题，考查直线与平面垂直的证明以及三棱锥体积的计算，在处理翻折问题时，要注意翻折前后相关直线的位置关系以及长度的变化，考查推理能力与计算能力，属于中等题.20．已知()xf x e =，()lng x x =.（1）令()()()h x f x g x =-，求证：()h x 有唯一的极值点；（2）若点A 为函数()g x 上的任意一点，点B 为函数()g x 上的任意一点，求A 、B 两点之间距离的最小值.【答案】（1）证明见解析；（22. 【解析】（1）求出函数()y h x =的导数，利用函数()y h x '=的单调性以及零点存在定理，说明函数()y h x '=在定义域上有唯一零点，再分析函数()y h x '=在该零点处函数值符号，可得证函数()y h x =有唯一极值点；（2）根据函数()xf x e =与()lng x x =关于直线y x =，将直线y x =平移后与分别与曲线()y f x =、()y g x =切于A 、B ，由此可得出AB 的最小值.【详解】（1）由题意知()ln x h x e x =-，所以()1xh x e x'=-，由xy e =单调递增，1y x=在()0,∞+上单调递减，()y h x '∴=在()0,∞+上单调递增，又1202h e ⎛⎫'=< ⎪⎝⎭，()110h e '=->， 所以存在唯一的01,12x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，使得()00h x '=，当()00,x x ∈时，()00h x '<，函数()y h x =单调递减； 当()0,x x ∈+∞时，()00h x '>，函数()y h x =单调递增；因此，函数()y h x =有唯一的极值点；（2）由于()xf x e =与()lng x x =互为反函数，两个函数图象关于直线y x =对称，如下图，将直线y x =平移使得平移后的直线与函数()y f x =的图象相切，()xf x e '=，令()1xf x e '==，0x ∴=，可得点()0,1A .将直线y x =平移使得平移后的直线与函数()y g x =的图象相切，()1g x x'=， 令()11g x x'==，1x ∴=，可得点()10B ,， 因此，A 、B ()()2201102-+-=.【点睛】本题考查函数极值点个数，同时也考查反函数对称性的应用，在求解函数极值点个数问题时，要结合导数的单调性与零点存在定理来分析求解，考查数形结合思想的应用，属于中等题.21．已知抛物线()2:20E y px p =>，过其焦点F 的直线与抛物线相交于()11,A x y 、()22,B x y 两点，满足124y y =-.（1）求抛物线E 的方程；（2）已知点C 的坐标为()2,0-，记直线CA 、CB 的斜率分别为1k ，2k ，求221211k k +的最小值.【答案】（1）24y x =；（2）92. 【解析】（1）设直线AB 的方程为2px my =+，将直线AB 的方程与抛物线E 的方程联立，消去x ，利用韦达定理并结合条件124y y =-可求出实数p 的值，由此得出抛物线E 的方程；（2）由（1）得出直线AB 的方程为1x my =+，将该直线方程与抛物线E 的方程联立，并列出韦达定理，利用斜率公式结合韦达定理得出221211k k +关于m 的表达式，可得出221211k k +的最小值. 【详解】（1）因为直线AB 过焦点,02p F ⎛⎫⎪⎝⎭，设直线AB 的方程为2p x my =+，将直线AB 的方程与抛物线E 的方程联立222p x my y px⎧=+⎪⎨⎪=⎩，消去x 得2220y mpy p --=，所以有2124y y p =-=-，0p >Q ，2p ∴=，因此，抛物线E 的方程24y x =；（2）由（1）知抛物线的焦点坐示为()1,0F ，设直线AB 的方程为1x my =+，联立抛物线的方程2440y my --=，所以124y y m +=，124y y =-，则有1113m k y =+，2213m k y =+， 因此22222221212121211331111=269m m m m k k y y y y y y ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=+++++++ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭()()221212222122212122484926926954162y y y y m y y m m m m m m y y y y +-++=+⋅+⋅=+⋅+⋅=+-.因此，当且仅当0m =时，221211k k +有最小值92. 【点睛】本题考查抛物线方程的求解，同时也考查了直线与抛物线中的最值问题的求解，对于直线与抛物线的综合问题，一般将直线方程与抛物线方程联立，利用韦达定理设而不求法进行计算，计算量较大，考查方程思想的应用，属于中等题.22．在平面直角坐标系xOy 中，曲线1C 的参数方程为3sin 3cos x y θθ=⎧⎨=⎩（其中θ为参数）曲线2C 的普通方程为2214x y +=，以坐标原点为极点，以x 轴正半轴为极轴建立极坐标系.（1）求曲线1C 和曲线2C 的极坐标方程；（2）射线1l :000,2πθθθ⎡⎤⎛⎫=∈ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦依次与曲线1C 和曲线2C 交于A 、B 两点，射线2l :000,22ππθθθ⎡⎤⎛⎫=+∈⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦依次与曲线1C 和曲线2C 交于C 、D 两点，求AOC BODS S ∆∆的最大值.【答案】（1）1C 的极坐标方程为3ρ=，2C 的极坐标方程为2224cos 4sin ρθθ=+；（2）458. 【解析】（1）将两曲线的方程均化为普通方程，然后由cos sin x y ρθρθ=⎧⎨=⎩可将两曲线的方程化为极坐标方程；（2）作出图形，设点B 、D 的极坐标分别为()10,ρθ、20,2πρθ⎛⎫+⎪⎝⎭，将这两点的极坐标代入椭圆的极坐标方程可得出1ρ、2ρ的表达式，可得出1212BOD S ρρ∆=，利用基本不等式可求出AOCBODS S ∆∆的最大值.【详解】（1）由曲线1C 的参数方程为3sin 3cos x y θθ=⎧⎨=⎩（其中θ为参数），所以曲线1C 的普通方程为229x y +=，由cos sin x y ρθρθ=⎧⎨=⎩则曲线1C 的极坐标方程为3ρ=. 又曲线2C 的普通方程为2214x y +=，由cos sin x y ρθρθ=⎧⎨=⎩，得曲线2C 的极坐标方程为2224cos 4sin ρθθ=+； （2）如图，由题意知1922AOC S OA OC ∆=⋅=，点B 、D 的极坐标分别为()10,ρθ、20,2πρθ⎛⎫+⎪⎝⎭， 将这两点的极坐标代入椭圆的极坐标方程得12200cos 4sin ρθθ=+，222220000sin 4cos cos 4sin 22ρππθθθθ==+⎛⎫⎛⎫+++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，12222200001122cos 4sin sin 4cos BOD S ρρθθθθ∆=⋅=++()()22220000cos 4sin sin 4cos θθθθ=++()()2222000099545cos 4sin sin 4cos 4428AOC BOD S S θθθθ∆∆∴=++⨯=， 当且仅当22220000cos 4sin sin 4cos θθθθ+=+，即04θπ=，不等式取等号， 因此，AOC BOD S S ∆∆的最大值为458.【点睛】本题考查参数方程、极坐标方程与普通方程的互化，以及利用极坐标解决最值问题，解题时要注意极坐标方程法的适用情况，考查运算求解能力，属于中等题.23．已知函数()1f x x a x =-+-.（1）若不等式()3f x ≤的解集为{}03x x ≤≤，求实数a 的值； （2）当2a = 时，若()1422nn f x +≥--对一切实数x 恒成立，求实数n 的取值范围.【答案】（1）2a =；（2）(]2,log 3-∞. 【解析】（1）由题意得出关于x 的方程()3f x =的两根分别为0和3，可得出()()0333f f ⎧=⎪⎨=⎪⎩，从而求出实数a 的值； （2）利用绝对值三角不等式得出函数()y f x =的最小值为1，可得出14223n n +--≤，再令2n t =，可得出2230t t --≤，解出3t ≤，即23n ≤，从而可解出实数n 的取值范围.【详解】（1）由题意得出关于x 的方程()3f x =的两根分别为0和3，则()()0333f f ⎧=⎪⎨=⎪⎩，即13323a a ⎧+=⎪⎨-+=⎪⎩，解得2a =；（2）当2a =时，由绝对值三角不等式得()21211f x x x x x =-+-≥--+=， 又()1422nn f x +≥--对一切实数x 恒成立，所以11422n n +≥--，令2n t =，化简得2230t t --≤，解得3t ≤， 所以2log 3n ≤，实数n 的取值范围为(]2,log 3-∞.【点睛】本题考查不等式的解集与不等式之间的关系，同时也考查了绝对值不等式恒成立，解题时根据不等式恒成立转化为函数的最值，并借助三角不等式求解，考查化归与转化思想，属于中等题.。

浙江省宁波市杭州师范大学附属中学2023-2024学年九年级上学期月考数学试题一、单选题1．二次函数2(1)3y x =++图像的顶点坐标是（ ）A ．(1,3)-B ．(1,3)-C ．(1,3)D ．(1,3)-- 2．抛掷一枚质地均匀的立方体骰子一次，骰子的六个面上分别标有数字1，2，3，4，5，6．则朝上一面的数字为偶数的概率是（ ）A ．16B ．13C ．12 D ．563．已知实数a 、b 满足32a b =，则a b的值为（ ） A ．32 B ．23 C ．6 D ．944．如图，O e 的半径为5，直角三角板30︒角的顶点A 落在O e 上，两边与O e 交于点,B C ，则弦BC 的长为（ ）A ．3B ．4C ．5D ．65．如图，下列条件中能判定DAC ABC V V ∽的是（ ）A ．2AC BC CD =⋅B ．2CD AD DB =⋅C ．AC AB CD BC = D ．CD BC DA AC= 6．如图，在⊙O 的内接四边形ABCD 中，AB 是直径，∠BCD=120°，∠APD=30°，则∠ADP 的度数为（ ）A ．45°B ．40°C ．35°D ．30°7．已知点()11,A y 、()2B y 、()32,C y -在函数()()210y a x m a =+->上，则1y 、2y 、3y 的大小关系是（ ） A ．132y y y >> B ．123y y y >> C ．312y y y >> D ．213y y y >> 8．如图，AB 是O e 的直径，弦CD AB ⊥，垂足为点M ．连接OC DB ，．如果60COB ∠=︒，图中阴影部分的面积是2π，那么图中阴影部分的弧长是（ ）A B C D ．9．如图，抛物线2(0)y ax bx c a =++≠与轴交于点(3,0)-，其对称轴为直线12x =-，结合图象分析下列结论：0abc >①；30a c +>②；③当0x <时，y 随x 的增大而增大；④一元二次方程20ax bx c ++=的两根分别为13x =-， 22x =；⑤若m ， n m n <（）为方程(3)(2)30a x x +-+=的两个根，则3m <-且2n >，其中正确的结论有（ ）个．A ．2B ．3C ．4D ．510．由四个全等的直角三角形和一个小正方形组成的大正方形ABCD 如图所示．过点D 作DF 的垂线交小正方形对角线EF 的延长线于点G ，连结CG ，延长BE 交CG 于点H ．若2AE BE =，则CG BH的值为（ ）A ．32BC D二、填空题11．八年级的小亮和小明是好朋友，他们都报名参加学校的田径运动会，将被教练随机分进甲、乙、丙三个训练队，他俩被分进同一训练队的概率是．12．在平面直角坐标系中，将抛物线223y x =-+向左平移1个单位，再向下平移1个单位后所得抛物线的表达式为．13．一条弦恰好等于圆的半径，则这条弦所对的圆周角为 ．14．如图，在钝角ABC V 中，6cm AB =，12cm AC =，点D 从A 点出发沿AB 以1cm /s 的速度向B 点移动，点E 从C 点出发沿CA 以2cm /s 的速度向A 点移动，如果两点同时移动，经过秒时，ADE V 与ABC V 相似．15．定义：我们将顶点的横坐标和纵坐标互为相反数的二次函数称为“互异二次函数”．如图，在正方形OABC 中，点()0,2A ，点()2,0C ，则互异二次函数()2y x m m =--与正方形OABC 有公共点时m 的最大值是．16．如图，E，F是正方形ABCD的边AD上两个动点，满足AE＝DF．连接CF交BD于G，连接BE交AG于点H．若正方形的边长为2，则线段DH长度的最小值是．三、解答题17．为庆祝中国共产党建党100周年，某校组织七、八、九年级学生参加了“颂党恩，跟党走”作文大赛．该校对参赛作文分年级进行了统计，并绘制了图1和图2不完整的统计图，各年级参赛作文篇数统计图请根据图中信息回答下面的问题：（1）参赛作文的篇数共篇：（2）图中：m=，扇形统计图中九年级所对应的圆心角度数为︒；（3）把条形统计图补充完整：（4）经过评审，全校共有4篇作文获得特等奖，其中有一篇来自七年级，学校准备从特等奖作文中选取2篇刊登在学校校报上请用树状图或列表法求七年级特等奖作文被刊登在校报上的概率．18．如图，在66 的正方形方格中，每个小正方形的边长都是1，顶点都在网格线的交点处的三角形，ABC V 是一个格点三角形．(1)在图①中，ABC V 与DEF V 的相似比为______；(2)在图②，中，以O 为位似中心，再画一个格点三角形，使他与ABC V 的位似比为2:1；(3)在图③中，请画出所有满足条件的格点三角形，它与ABC V 相似，且有一条公共边和一个公共角．19．如图，⊙O 是△ABD 的外接圆，AB 为直径．点C 是弧AD 的中点，连接OC ，BC 分别交AD 于点E ，F ．(1)求证：∠CAD ＝∠CBA ；(2)若AB ＝10，BC ＝8，求OE 的长．20．某商店销售一种商品，经市场调查发现：在实际销售中，售价x 为整数，且该商品的月销售量y （件）是售价x （元/件）的一次函数，其售价x （元/件）、月销售量y （件）、月销售利润w （元）的部分对应值如表：注：月销售利润＝月销售量×（售价－进价）(1)求y 关于x 的函数表达式；(2)当该商品的售价是多少元时，月销售利润最大？并求出最大利润；(3)现公司决定每销售1件商品就捐赠m 元利润（6m ≤）给“精准扶贫”对象，要求：在售价不超过52元时，每月扣除捐赠后的月销售利润随售价x 的增大而增大，求m 的取值范围．21．[概念引入]在一个圆中，圆心到该圆的任意一条弦的距离，叫做这条弦的弦心距．[概念理解](1)如图1，在O e 中，半径是5，弦8AB =，则这条弦的弦心距OC 长为 ．(2)通过大量的做题探究；小明发现：在同一个圆中，如果两条弦相等，那么这两条弦的弦心距也相等．但是小明想证明时却遇到了麻烦．请结合图2帮助小明完成证明过程如图2，在O e 中，AB CD =，OM AB ⊥，ON CD ⊥，求证：OM ON =．[概念应用]如图3，在O e 中16AB CD ==，O e 的直径为20，且弦AB 垂直于弦CD 于E ，请应用上面得出的结论求OE 的长．22．【感知】（1）如图①，在四边形ABCD 中，∠C=∠D=90°，点E 在边CD 上，∠AEB=90°，求证：AE EB =DE CB． 【探究】（2）如图②，在四边形ABCD 中，∠C=∠ADC=90°，点E 在边CD 上，点F 在边AD 的延长线上，∠FEG=∠AEB=90°，且EF EG =AE EB，连接BG 交CD 于点H ．求证：BH=GH ． 【拓展】（3）如图③，点E 在四边形ABCD 内，∠AEB+∠DEC=180°，且AE EB =DE EC ，过E 作EF 交AD 于点F ，若∠EFA=∠AEB ，延长FE 交BC 于点G ．求证：BG=CG ．23．如图，在平面直角坐标系中，直线y＝12x＋2与x轴交于点A，与y轴交于点C．抛物线y＝ax2＋bx＋c的对称轴是x＝－32且经过A、C两点，与x轴的另一交点为点B．(1)求二次函数y＝ax2＋bx＋c的表达式；(2)点P为线段AB上的动点，求AP＋2PC的最小值；(3)抛物线上是否存在点M，过点M作MN垂直x轴于点N，使得以点A，M，N为顶点的三角形与△ABC相似？若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．。

浙江省杭州高中2020学年度第一学期高三数学文科第三次月考试卷第I卷（选择题共50分）一、选择题（每题5分，共50分）1．设会合A{1,2},则知足A B{1,2,3}的会合B的个数是（）A．1B．3C．4D．82．“a=1”是“函数f(x)x a在区间1，＋上为增函数”的（）A．充足不用要条件C．充要条件B．必需不充足条件D．既不充足也不用要条件3．已知等差数列{an}中，a1>0，a5=3a7,该数列前n项和为Sn，当Sn获得最大值时，n等于）A．7B．8C．7或8D．6或74．已知f(x)的反函数为f1(x)，g(x)的图像与f1(x1)图像对于直线y=x对称，则g(x)为）A．f-B．f C．f D．f(1(x)-1(x+1)(x)+1x)-15．设0≤x<2π,且1sin2x=sinx－cosx,则）A．0≤x≤πB．≤x≤5C．≤x≤7D．≤x≤344426．定义在R上的偶函数f(x)知足f(x)=f(x+2)，当x∈3,4时，f(x)=x－2,则1)<f(cos1B．f(sin)>f(cos)A．f(sin)2233C．f( sin1)<f(cos1)1)<f(cos1D．f(sin)447．已知是三角形的一个内角，且sin1cos等于）cos，则sin5B．7C．77A．55D．58．在各项均不为零的等差数列a 中，若a n1a n2an10(n≥2)，则S2n14n（nA．－2B．0C．1D．29．设f(x)定义在R上的奇函数，f(x)的导函数为fˊ(x).当x>0时，f′(x)>0，又f(-3)=0，则{x|x·f(x)<0}可表述为）A．{x|x∈(-3,0)∪(3,+∞)}B．{x|x∈(-∞,-3)∪(0,3)}C．{x|x∈(-∞,-3)∪(3,+∞)}D．{x|x∈(-3,0)∪(0,3)}1(–1，1)时，恒有2f(x)=f(2x2)，10．已知函数f(x)在(–1，1)上有定义，f()=–1，且当x,y21数列{an}中a1,an+1=2a n2(nN*)，则f(an)等于（）1a nA．2n1B．2n1－2C．2n＋1D．2n－3第II卷（非选择题共100分）二、填空题（每题4分，共16分）11．已知cosα=1，cos(α+β)=－11，α,β∈(0,)，则β=14212．a1=1,a n1n1,则an＝____________ n(n1)13．曲线y=x3－3x2+1在点（1，－1）处的切线方程是14．设函数f(x)的定义域为R，若存在与x没关的正常数M，使|f(x)|M |x|对一确实数x都建立，则称函数f(x)为有界泛函，在函数(1)f(x)2x,(2)g(x)x2，(3)v(x)xsinx中，属于有界泛函的有_________________（写序号）三、解答题（每题14分，共84分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。

绝密★启用前数学试题学校：___________姓名：___________班级：___________考号：___________注意事项：1、答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2、请将答案正确填写在答题卡上本试卷分选择题和非选择题两部分.满分150分，考试时间120分钟. 参考公式：如果事件B A ,互斥，那么 柱体的体积公式)()()(B P A P B A P +=+； V Sh =如果事件B A ,相互独立，那么 椎体的体积公式)()()(B P A P B A P ⋅=⋅； 13V Sh =如果事件A 在一次试验中发生的概率是P ，那么 球的表面积公式n 次独立重复试验中事件A 恰好发生k 次的概率 24S R π=kn k kn n P P C k P --=)1()((k = 0,1,…,n). 球的体积公式台体的体积公式 343V R π=1(+3V h S S =+下上选择题部分（共40分）一、 选择题 : 本大题共10小题, 每小题4分, 共40分． 在每小题给出的四个选项中, 只有一项是符合题目要求的.1. 设集合则},2,1,2{},2,1{},2,1,0,1,2{--==--=B A U ()U A C B =U （ ）A. {1}B. {1,2}C. {2}D. {0,1,2} 2. 复数)31(i i z -=的虚部是 （ ）A. －1B. 1C. iD. 33. 双曲线2213x y -=的离心率是 （ ）A.3C. 2D.34. 若变量x 、y 满足约束条件6321x y x y x +≤⎧⎪-≤⎨⎪≥⎩，则23z x y =+的最大值为 （ ）A. 17B. 13C. 5D. 1 5. 下列函数为偶函数的是 （ ）A ．cos sin y x x =+B ．cos sin y x x =⋅C ．xxy e e -=- D ．xxy e e -=+6. 设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，则670a a +>是93S S ≥的（ ）A ．充分但不必要条件B ．必要但不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件7. 函数sin 2cos 2y x x =+的图像可由函数sin 2y a x =的图像向左平移b 个单位得到，则有序数对(,)a b 的取值可以是（ ） A 、(1,)8πB、)4πC、()8πD、5()8π 8 . 已知向量a ，b ，c 满足|a |＝|b |＝a •b ＝2，(a －c )•(b －2c )＝0，则|b －c |的最小值为（ ）ABCD9. 等腰直角ABC V 斜边CB 上一点P 满足14CP CB ≤，将CAP V 沿着AP 翻折至C AP '∆，使二面角C AP B '--为60°，记直线,,C A C B C P '''与平面APB 所成角分别为,,αβγ，则（ ） A 、αβγ<<B 、αγβ<<C 、βαγ<<D 、γαβ<<10. 设f (x )是定义在(0,)+∞上的单调增函数，且对任意的正数x ，都有1(())f f x x+1()f x =， 则f (1) = （ ） (A)12 (B)12+ (C)12 (D)12+ 非选择题部分（共110分）二、填空题：本大题共7个小题，多空题每题6分，单空题每题4分，共36分. 11. 一个几何体的三视图如图所示，则这个几何体的体积等于__，表面积等于 ___（第11题图） 12. 随机变量ξ的分布列如下：ξ 1- 0 1Pabc其中a b c ，，成等差数列，若3E ξ=，则D ξ的值是 ． 13、设函数()31,1,2,1xx x f x x -<⎧=⎨≥⎩则8(log 9)f =_________，满足()()2f f a ≥的a 取值范围是_______14、在ABC ∆中，角,,A B C 所对应的边分别为,,a b c ，其中222a bc c b =-+且321+=b c ，则A ∠__,=▲B tan __.=▲ 15、已知1021001210(1)(1)(1)(1),x a a x a x a x +=+-+-++-L 则08__,__a a ==▲▲.16、设6,,1≤≤z y x ，且自然数x ，y ，z 的乘积能被10整除，则有序自然数组(,,)x y z 共有 组.17、正项递增数列{}n a 满足*121()n n na a n N a +=+-∈，则首项1a 的取值范围为____ 三、简答题：本大题共5小题，共74分.解答应写出文字说明、证明过程和演算步骤. 18．（本小题14分）已知函数22sin c ()2cos os x x x x f +=（x R ∈）． （Ⅰ）求()f x 的最小正周期，并求()f x 的最小值．（Ⅱ）令π()18g x f x ⎛⎫=+- ⎪⎝⎭，若()2g x a <-对于[,]63x ππ∈-恒成立，求实数a 的取值范围.19. （本小题15分）如图，直三棱柱111C B A ABC -中，121AA BC AC ==，D 是棱1AA的中点，BD DC ⊥1 (Ⅰ) 证明：BC DC ⊥1(Ⅱ) 求二面角11C BD A --的大小.20. （本小题15分）设n S 是数列{}n a 的前n 项和，11=a ，)2(212≥⎪⎭⎫⎝⎛-=n S a S n n n . ⑴求{}n S 及{}n a 的通项； ⑵设22n n S b n =+，若数列{}n b 的前n 项和为n T ，证明12n T <；21. （本小题15分）已知抛物线C ：2x y =.过点)5,1(M 的直线l 交C 于A ,B 两点,抛物线C 在点A 处的切线与在点B 处的切线交于P ．(Ⅰ)求抛物线C 的焦点坐标及准线方程； (Ⅱ) 求PAB ∆面积的最小值．22. （本小题15分）已知函数121()(1)(0)2x f x f ef x x -'=-+.(Ⅰ) 求)(x f 的解析式及单调区间；(Ⅱ) 若b ax x x f ++≥221)(，求b a )1(+的最大值数学试题参考答案及评分标准 一、 选择题 : 本大题共10小题, 每小题4分, 共40分． 在每小题给出的四个选项中, 只有一项是符合题目要求的.二、填空题：本大题共7个小题，多空题每题6分，单空题每题4分，共36分.11. 12.5923a ≥ 14. 132π， 15. 1024,180 16. 72 17. 112a <<三、简答题：本大题共5小题，共74分.解答应写出文字说明、证明过程和演算步骤.18、解（Ⅰ）()sin 2cos 21214f x x x x π⎛⎫=++=++ ⎪⎝⎭， …..3分其最小正周期是22T ππ==， …..5分 又当2242x k πππ+=-+，即()38x k k Z ππ=-∈时，sin 24x π⎛⎫+ ⎪⎝⎭取得最小值1-，所以函数()x f 的最小值是1x 的集合为3|,8x x k k Z ππ⎧⎫=-∈⎨⎬⎩⎭． ….. 7分（Ⅱ）ππ()12()228842g x f x x x x ππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+-=++=+= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭….. 9分由[,]63x ππ∈-，得22[,]33x ππ∈-，则1cos 2[,1]2x ∈-， ….. 11分()2[2g x x ∴=∈-， ….. 12分若()2g x a <-对于[,]63x ππ∈-恒成立，则max 2()2a g x a ->=> ….. 15分 19、解(Ⅰ) 证明：设112AC BC AA a ===， Q 直三棱柱111C B A ABC -，1DC DC ∴==， 12CC a =，22211DC DC CC ∴+=，1DC DC ∴⊥. …..3分又1DC BD ⊥，1DC DC D =I ，1DC ∴⊥平面BDC . 又BC ⊂平面BDC ,1DC BC ∴⊥. …..7分(Ⅱ)由 (Ⅰ)知，1DC =，1BC =，又已知BD DC ⊥1，BD ∴=.在Rt ABD △中，,,90BD AD a DAB ==∠=o ，AB ∴=.222AC BC AB ∴+=，AC BC ∴⊥. …..9分法一：取11A B 的中点E ，则易证1C E ⊥平面1BDA ，连结DE ，则1C E ⊥BD ，已知BD DC ⊥1，BD ∴⊥平面1DC E ，BD ∴⊥DE ，1C DE ∴∠是二面角11C BD A --平面角. …..11分在1Rt C DE △中，1111sin 2C EC DE C D∠===，130C DE ∴∠=o .即二面角11C BD A --的大小为30o. …..15分法二：以点C 为坐标原点，为x 轴，CB 为y 轴,1CC 为z 轴,建立空间直角坐标系C xyz -.则()()()()11,0,2,0,,0,,0,,0,0,2A a a B aD a a C a . …..9分()()1,,,,0,DB a a a DC a a =--=-u u u r u u u u r ，设平面1DBC 的法向量为()1111,,n x y z =u r，则11111100n DB ax ay az n DC ax az ⎧=-+-=⎪⎨=-+=⎪⎩r u u u r g r u u u u r g ,不妨令11x =,得112,1y z ==,故可取()11,2,1n =u r.同理,可求得平面1DBA 的一个法向量()21,1,0n =u u r. …..12分设1n u r 与2n u u r 的夹角为θ,则1212cos n n n n θ⋅===u r u u ru r u u r 30θ∴=o. 由图可知, 二面角的大小为锐角,故二面角11C BD A --的大小为30o. ....15分1211(2)11()()()22n n n nn n n n n a S S n S a S S S S --=-≥∴=-=--Q 20、解（）由题意2111122n n n n n S S S S S --=--+ …..3分 化简得：1121n n n S S S --=+1112n n S S -∴=+ 即1{}n S 是公差为2 的等差数列，又11111S a ==， *1121,()21n n n S n N S n ∴=-=∈- …..6分 111,1,111,2,22123n n n n a n a S S n n n n -=⎧=⎧⎪∴==⎨⎨-≥-≥⎩⎪--⎩， …..8分 （2）11111()22(21)(22)(21)(21)22121n n S b n n n n n n n ==<=-+-+-+-+ …..12分12111...(1)2212n n T b b b n ∴=+++<-<+ …..15分（其他证明可酌情给分）21、解: （Ⅰ）（0，14） ，直线14y =-； …..4分 （Ⅱ）16设直线l 的方程为y ＝k (x －1)＋5，设点A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)．由⎩⎨⎧=+-=25)1(xy x k y ，消去y 整理得 x 2－kx ＋k －5＝0，x 1＋x 2＝k ， x 1x 2＝k －5，又因为y ′＝(x 2) ′＝2x ，所以，抛物线y ＝x 2在点A ，B 处的切线方程分别为y ＝2x 1x －21x ， y ＝2x 2x －22x ．得两切线的交点P (2k，k －5)． ….8分 所以点P 到直线l 的距离为1220422++-=k k k d ． ….10分又因为|AB |204122+-+k k k ．….12分设△PAB 的面积为S ，所以S ＝12|AB |·d ＝32)16)2((41+-k ≥16（当k ＝2时取到等号）．所以△PAB 面积的最小值为16． ….15分22、解: (Ⅰ) 1()(1)(0)x f x f ef x -''=-+, ....1分令1x =得,(0)1f =, 再由121()(1)(0)2x f x f ef x x -'=-+,令0x =得()1f e '=.所以)(x f 的解析式为21()2xf x e x x =-+. ....3分 ()1x f x e x '=-+,易知()1x f x e x '=-+是R 上的增函数,且(0)0f '=.所以()00,()00,f x x f x x ''>⇔><⇔<所以函数)(x f 的增区间为()0,+∞,减区间为(),0-∞. ....6分 (Ⅱ) 若b ax x x f ++≥221)(恒成立, 即()()21()102x h x f x x ax b e a x b =---=-+-≥恒成立， ()()1x h x e a '=-+Q ,(1)当10a +<时,()0h x '>恒成立, ()h x 为R 上的增函数,且当x →-∞时,()h x →-∞,不合题意;(2)当10a +=时,()0h x >恒成立, 则0b ≤,(1)0a b +=; ....8分 (3)当10a +>时, ()()1xh x e a '=-+为增函数,由()0h x '=得()ln 1x a =+,故()()()0ln 1,()0ln 1,f x x a f x x a ''>⇔>+<⇔<+当()ln 1x a =+时, ()h x 取最小值()()()()ln 111ln 1h a a a a b +=+-++-. ....10分 依题意有()()()()ln 111ln 10h a a a a b +=+-++-≥, 即()()11ln 1b a a a ≤+-++,10a +>Q ,()()()()22111ln 1a b a a a ∴+≤+-++, ....12分令()()22ln 0 u x x x x x =->,则()()22ln 12ln u x x x x x x x '=--=-,()00()0u x x u x x ''>⇔<<<⇔>所以当x =, ()u x 取最大值2eu=.故当1a b +==时, ()1a b +取最大值2e. 综上, 若b ax x x f ++≥221)(，则 b a )1(+的最大值为2e . ....15分。

杭师大附中2021学年高三年级第一次月考数学试卷(文科)一、选择题：本大题共10小题，每题5分，共50分．在每题给出的四个选项中，只有一项为哪一项符合题目要求的．1．设集合{|2}M x x =<，集合{|01}N x x =<<，那么以下关系中正确的选项是 〔 〕 A ．M N R = B ．R N C M R = C ．R M C N R = D ．M N M =2．函数43cos2cos 224cos2sin 22)(ππx x x f +=的最大值是〔 〕 A ．2B ．1C ．22D ．23．假设点(,27)t 在函数3x y =的图象上，那么tan9t π的值为 〔 〕A ．．3C ．1D ．0 4．假设ABC ∆的内角,,A B C 所对的边,,a b c 满足22()4a b c +-=，且60C =︒，那么ab的值为〔 〕 A ．43 B．8- C ．1 D ．235．条件p ：不等式210x mx ++>的解集为R ；条件q ：指数函数()(3)x f x m =+为增函数．那么p 是q 的〔 〕 A ．充要条件B ．必要不充分条件C ．充分不必要条件D ．既不充分也不必要条件6．函数sin()(0)y x ϕϕ=π+>的局部图象如右图所示，设P 是 图象的最高点，,A B 是图象与x 轴的交点，那么tan APB ∠= 〔 〕A ．10B ．8C ．87D ．477．定义一种运算bc ad d c b a -=*),(),(，假设函数))51(,413(tan )log 1()(3xx x f π*=，，0x是方程)(=x f 的解，且10x x <<，那么)(1x f 的值〔 〕A ．恒为正值B ．等于0C ．恒为负值D ．不大于0 8. 函数⎩⎨⎧>+-≤-=2,3)1(log 2,1)(x x x ax x f a 是定义域上的单调函数，那么a 的取值范围是〔 〕 A. ()+∞,1B. [)+∞,2C. ()2,1D. (]2,19．函数()sin (0)f x x x ωωω=>的图象与x 轴的两个相邻交点的距离等于2π，假设将函数()y f x =的图象向左平移6π个单位得到函数()y g x =的图象，那么()y g x =是减函数的区间为〔 〕 A. (,0)3π-B. (,)44ππ-C. (0,)3πD. (,)43ππ10. 集合U = {(x ，y)| x ∈R, y ∈R}, M = {(x ，y) | |x | + | y | < a }，P = {(x ，y)|y = f (x ) }，现给出以下函数： ①y = a x, ② y = log a x , ③y = sin(x + a ), ④y = cosa x ，假设0 < a < 1时，恒有P ∩C U M = P ，那么 f (x)可以取的函数有 〔 〕A.①②③B.①②④C. ①③④ D . ②③④二、填空题：本大题共7小题，每题4分，共28分．请将答案填写在答题卷的横线上.11．设()()()⎩⎨⎧>≤=-0ln 0x x x e x f x ，那么⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛21f f =_________1y =___________13．()f x 为奇函数,()()9,(2)3,(2)g x f x g f =+-==则 14．),)44x y x y ππαα+=+-=-，那么22x y +的值是15．函数2()2(2)f x x xf =-',那么函数)(x f 的图象在点()()2,2f 处的切线方程是 .16．由命题“存在x ∈R ，使|1|0x e m --≤〞是假命题，得m 的取值范围是(,)a -∞，那么实数a 的值是 ．17．函数()⎪⎩⎪⎨⎧>+-≤<=10,621100,lg x x x x x f ，假设c b a ,,互不相同，且()()()c f b f a f ==，那么abc的取值范围是_________三、解答题：本大题有5小题，共72分,解容许写出文字说明、证明过程或演算步骤.[来18．〔本小题共14分〕函数.cos sin )32cos()(22x x x x f -+-=π〔I 〕求函数)(x f 的最小正周期及图象的对称轴方程；〔II 〕设函数),()]([)(2x f x f x g +=求)(x g 的值域.19．〔本小题共14分〕在ABC ∆中，角A ，B ，C 所对的边分别为c b a ,,，4102sin =C 〔I 〕求C cos 的值 〔II 〕假设ABC ∆的面积为4153，且C B A 222sin 1613sin sin =+，求c b a 及,的值20．〔本小题共14分〕设命题p ：函数()ax x f -=2在区间()+∞,1上单调递增；命题q ：{}R x y y a x ∈-=∈,416，如果“p 且q 〞是假命题，“p 或q 〞是真命题，求实数a 的取值范围。

2019-2020学年浙江省杭州市人民中学高三数学文月考试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. 若（（））=A. B.1 C. D.2参考答案：C略2. 设离心率为的双曲线的右焦点为，直线过焦点，且斜率为，则直线与双曲线的左、右两支都相交的充要条件是（）A、 B、 C、D、参考答案：C3. 在中，是以－4为第3项，4为第5项的等差数列的公差，是以为第3项，9为第6项的等比数列的公比，则该三角形是A. 锐角三角形B.直角三角形C.钝角三角形D.等腰三角形参考答案：A4. 已知函数，若存在x1＜x2，使得f（x1）=f（x2），则x1?f（x2）的取值范围为（）A．B．C．D．参考答案：C【考点】函数的零点；函数的值域；不等关系与不等式．【专题】函数的性质及应用．【分析】根据函数的解析式画出函数的图象，根据题意数形结合求得x1?f（x2）的取值范围．【解答】解：①当0≤x＜时，≤f（x）=x+＜1．故当x=时，f（x）=．②当≤x≤1时，≤f（x）=3x2≤3，故当x=时，f（x）=1．若存在x1＜x2，使得f（x1）=f（x2）=k，则≤x1 ＜≤x2 ＜1，如图所示：显然当k=f（x1）=f（x2）=时，x1?f（x2）取得最小值，此时，x1=，x2=，x1?f（x2）的最小值为=．显然，当k=f（x1）=f（x2）趋于1时，x1?f（x2）趋于最大，此时，x1趋于，x2趋于，x1?f（x2）趋于=．故x1?f（x2）的取值范围为，故选C．【点评】本题考查函数的单调性，考查学生分析解决问题的能力，体现了数形结合的数学思想，属于中档题．5. 若复数在复平面内所对应的点在实轴上，则实数a=（）A. 2B. -2C. 1D. 0参考答案：B【分析】算出后利用对应的点在实轴上可求.【详解】，因复平面内所对应的点在实轴上，所以为实数，故，故选B.【点睛】本题考查复数的四则运算和复数的几何意义，属于基础题.6. 如图是一个空间几何体的三视图，则该几何体的外接球的表面积是（）A.24πB.36πC.48πD.60π参考答案：C7. 已知函数f（x）＝ax3＋bx2＋cx＋d的图象如右图所示，且|x1|<|x2|，则有A．a>0，b>0，c<0， d>0B．a<0，b>0，c<0，d>0[C．a<0，b>0，c>0，d>0D．a>0，b<0，c>0，d<0参考答案：C8. 已知=2，=，=1，则向量与的夹角为（）A. B. C.D.参考答案：B9. 已知直线y=x+1与曲线y=f（x）=ln（x+a）相切，则f′（x﹣2）dx=（）A．1 B．ln2 C．2ln2 D．2参考答案：B【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程．【分析】设切点为（m，n），求出函数的导数，求得切线的斜率，运用切点的特点，代入切线的方程和曲线方程，解得a=2，再由定积分的运算公式，即可得到所求值．【解答】解：设切点为（m，n），y=f（x）=ln（x+a）的导数为f′（x）=，可得切线的斜率为k==1，又n=1+m=ln（a+m），可得a=2，m=﹣1，n=0，可得f（x）=ln（x+2），f′（x）=，即有f′（x﹣2）dx=dx=lnx|=ln2﹣ln1=ln2．故选：B．【点评】本题考查导数的运用：求切线的斜率，考查定积分的运算，考查化简整理的运算能力，属于中档题．10. 设函数，[x]表示不超过x的最大整数，则函数y＝[f(x)]的值域是() A．{0,1} B．{0，－1} C．{－1,1}D．{1,1}参考答案：B二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11. 设复数，其中，则______．参考答案：-2/5略12. 在△ABC中，角A,B,C的对边分别为a，b，c，若，且，则角C的大小为.参考答案：13. 已知不等式组表示的平面区域为.若直线与区域有公共点，则实数a的取值范围是.参考答案：画出不等式表示的平面区域，如图所示，即B（3,3），A（1,1），14. 定义运算，若函数在上单调递减，则实数的取值范围是参考答案：15. 已知圆的弦AB的中点为(－1,1)，直线AB交x轴于点P，则的值为.参考答案：－516.在的展开式中，的系数是 .（用数字作答）参考答案：答案：17. 设P为△ABC中线AD的中点，D为边BC中点，且AD=2，若，则= ．参考答案：考点：平面向量数量积的运算．专题：平面向量及应用．分析：利用向量的三角形法则可得=（）?（）=﹣（）?+，由数量积运算即可得出结论．解答：解：由题意可得PA=PD=1，=2，∴=（）?（）=﹣（）?+=﹣3+2×1×1+1=0．故答案为0．点评：本题主要考查向量加减的运算法则及数量积运算等知识，属于基础题．三、解答题：本大题共5小题，共72分。

【精品解析】浙江省杭师大附中2012届高三数学第一次月考 文（教师版）【试题总体说明】试题总体看来,结构是由易到难,梯度把握比较好,有利于各类考生的发展,具有一定的区分度,整体难度适中.无偏、难、怪题出现,遵循了科学性、公平性、规范性的原则,彰显了时代精神,为新课标的高考进行了良好的铺垫。

主要通过以下命题特点来看：第一,立足教材,紧扣考纲,突出基础。

理科试卷立足教材,紧扣考纲,试题平稳而又不乏新意,平中见奇。

第二,强化主干知识,知识涵盖广,题目亲切,难度适中。

第三,突出思想方法,注重能力考查。

"考查基础知识的同时,注重考查能力"为命题的指导思想,将知识、能力和素质融为一体,全面检测了考生的数学素养,几乎每个试题都凝聚了命题人对数学思维和方法的考查第四,结构合理,注重创新,展露新意。

杭师大附中2011学年高三年级第一次月考数学试卷(文科)一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．设集合{|2}M x x =<，集合{|01}N x x =<<，则下列关系中正确的是 （ ） A ．MN R = B ．R N C M R = C ．R M C N R = D ．M N M =【答案】B【解析】解：因为{|2},M x x =<{|01}N x x =<<所以{|01}R C N x x x =≤≥或，R MC N R ∴=2．函数43cos2cos 224cos 2sin 22)(ππx x x f +=的最大值是 （ ） A ．2B ．1C ．22D ．2【答案】C 【解析】 解：3()22sin 2cos22cos 2cos22sin 2cos 22cos 2sin 444422sin(2)sin(2)=1()2244f x x x x x x x f x ππππππ=+=-=-∴-当时，有最大值3．若点(,27)t 在函数3xy =的图象上，则tan 9t π的值为（ ）A ． 3B ．33C ．1D ．0【答案】A 【解析】解：27=333tan =tan tan 3993t t t πππ∴=∴==x （t,27)在函数y=3上，则， 因为：不等式210x mx ++>的解集为R ，故有24022m m -<∴-<< 又因为指数函数()(3)xf x m =+为增函数，所以m+3>1,m>-2 故p ⊆q ，p q ≠,故选答案C6．函数sin()(0)y x ϕϕ=π+>的部分图象如右图所示，设P 是 图象的最高点，,A B 是图象与x 轴的交点，则tan APB ∠= （ ） A ．10 B ．8 C ．87 D ．47【答案】B【解析】解：由已知，函数的周期为2，点p 的纵坐标为1，过点p 作PQ AB ⊥,则14AQ = 则在13tan ,tan 2213222tan tan()81311224APQ APQ BPQ BPQ APB APQ BPQ ∆∠=∆∠=+∴∠=∠+∠===-中，中，7．定义一种运算bc ad d c b a -=*),(),(，若函数))51(,413(tan )log 1()(3xx x f π*=，， 是方程0)(=x f 的解，且010x x <<，则)(1x f 的值（ ）A ．恒为正值B ．等于0C ．恒为负值D ．不大于0 【答案】A【解析】解：由新定义333313111311()(1log )(tan,())()log tan ()log tan ()log 4554545x x x x f x x x x x πππ=*=-⋅=-⋅=-，然后作图，31()log 5xy y x ==和，01x >，在点01x >的左侧指数函数图像在对数函数图像的上方，显然应该是选择A 。

2020届云师大附中高三高考适应性月考（一）数学（文）试题一、单选题 1．已知集合(){}2,A x y y x ==，(){}22,1B x y xy =+=，则集合A B 中元素的个数为（ ） A ．0 B ．1C ．2D ．3【答案】C 【解析】作出函数2y x 和圆221x y +=的图象，观察两曲线的交点个数，可得出集合A B的元素个数. 【详解】如下图所示，由函数2y x 与圆221x y +=的图象有两个交点，因此，集合AB 含有两个元素，故选：C.【点睛】本题考查集合的元素个数，考查曲线的交点个数问题，考查数形结合思想的应用，属于中等题.2．瑞士数学家欧拉在1748年得到复数的三角方程：cos sin ix e x i x =+，根据三角方程，计算1i e π+的值为（ ） A ．1- B ．0C ．1D ．i【答案】B【解析】根据复数的三角方程将复数i e π表示为复数的一般形式，然后利用复数的加法法则可得出结果. 【详解】由cos sin ix e x i x =+，则1cos sin 1110i e i πππ+=++=-+=，故选B. 【点睛】本题考查复数的加法运算，解题的关键就是理解题中复数三角方程的定义，考查计算能力，属于基础题.3．移动支付、高铁、网购与共享单车被称为中国的新“四大发明”，某中学为了解本校学生中新“四大发明”的普及情况，随机调査了100位学生，共中使用过移动支付或共享单车的学生共90位，使用过移动支付的学生共有80位，使用过共享单车的学生且使用过移动支付的学生共有60位，则该校使用共享单车的学生人数与该校学生总数比值的估计值为（ ） A ．0.5 B ．0.6C ．0.7D ．0.8【答案】C【解析】作出韦恩图，根据题中的信息得出样本中使用共享单车和移动支付的学生人数，将人数除以100可得出所求结果. 【详解】根据题意使用过移动支付、共享单车的人数用韦恩图表示如下图，因此，该校使用共享单车的学生人数与该校学生总数比值的估计值700.7100=，故选：C. 【点睛】本题考查韦恩图的应用，同时也考查了频率的计算，考查数据处理能力，属于中等题.4．已知x 、y 满足的约束条件02300x x y y ≥⎧⎪+-≥⎨⎪≥⎩22x y + ）A ．355B 25C 3D 5【答案】A【解析】作出不等式组作表示的可行域，22x y +22x y +的最小值为原点到直线230x y +-=的距离，由此可得出结果. 【详解】作出不等式组02300x x y y ≥⎧⎪+-≥⎨⎪≥⎩所表示的可行域如下图所示：()()222200x y x y +=-+-的几何意义为可行域内的点到点()0,0的距离，过点O 作直线230x y +-=的垂线OH ，则22x y +的最小值为2235512OH ==+， 故选：A. 【点睛】本题考查线性规划问题，考查距离型非线性函数的最值问题，要理解非线性目标函数的几何意义，借助数形结合思想进行求解，考查分析问题和解决问题的能力，属于中等题. 5．函数()cos ln f x x x =-的零点个数是（ ） A ．1 B ．2C ．3D ．4【答案】B【解析】在平面直角坐标系内作出函数cos y x =与函数ln y x =的图象，观察两函数的交点个数，即为函数()cos ln f x x x =-的零点个数. 【详解】令()0f x =，得cos ln x x =，则函数()y f x =的的零点个数等价于函数cos y x =与函数ln y x =图象的交点个数，如下图所示：由图象知cos y x =与ln y x =的交点个数为2， 因此，函数()y f x =的零点个数也为2，故选：B. 【点睛】本题考查函数零点个数问题，常用的方法有两种：一种是代数法，另一种是图象法，转化为两个函数的交点个数，考查数形结合思想的应用，属于中等题.6．在等差数列{}n a 中，51340a a +=，则7891011a a a a a ++++=（ ） A ．40 B ．60C ．80D ．100【答案】D【解析】利用等差中项的性质得出9a 的值，再利用等差中项的性质可得出7891011a a a a a ++++的值.【详解】由等差中项的性质可得5139240a a a +==，920a ∴=，因此，()()7891011711810995100a a a a a a a a a a a ++++=++++==，故选：D. 【点睛】本题考查等差中项性质的应用，在求解等差数列的问题时，常用基本量法与等差数列性质来进行求解，考查计算能力，属于中等题. 7．函数sin y x x =的大致图象为（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】B【解析】考查函数sin y x x =的奇偶性以及该函数在区间()0,π上的函数值符号进行排除，可得出正确选项. 【详解】设()sin f x x x =，该函数的定义域为R ，且()()()sin sin f x x x x x f x -=--==，所以，函数()sin f x x x =为偶函数，排除A 、C 选项，且当0πx <<时，sin 0x >，此时()0f x >， 排除D 选项，故选：B. 【点睛】本题考查函数图象的识别，一般从函数的定义域、奇偶性、单调性、零点以及函数值符号等基本要素进行逐一排除，考查推理能力，属于中等题.8．如图，执行程序框图后，输出的结果是（ ）A ．140B ．204C ．245D ．300【答案】B【解析】根据程序框图列举出算法的每一步，可得出输出结果. 【详解】18n =>不成立，执行第一次循环，211b ==，011s =+=，112n =+=； 28n =>不成立，执行第二次循环，224b ==，145s =+=，213n =+=； 38n =>不成立，执行第三次循环，239b ==，5914s =+=，314n =+=； 48n =>不成立，执行第四次循环，2416b ==，141630s =+=，415n =+=； 58n =>不成立，执行第五次循环，2525b ==，302555s =+=，516n =+=； 68n =>不成立，执行第六次循环，2636b ==，553691s =+=，617n =+=； 78n =>不成立，执行第七次循环，2749b ==，9149140s =+=，718=+=n ； 88n =>不成立，执行第八次循环，2864b ==，14064204s =+=，819n =+=； 98n =>成立，跳出循环体，输出s 的值为204，故选B.【点睛】本题考查程序框图运行结果的计算，一般利用算法程序框图将算法的每一步列举出来，考查计算能力，属于中等题.9．已知函数()sin f x x =，将()f x 的图象上的所有点的横坐标缩短到原来的12，纵坐标扩大为原来的3倍，再把图象上所有的点向上平移1个单位长度，得到函数()y g x =的图象，则函数()g x 的周期可以为（ ） A ．2π B ．πC ．32π D ．2π【答案】B【解析】先利用三角函数图象变换规律得出函数()y g x =的解析式，然后由绝对值变换可得出函数()y g x =的最小正周期. 【详解】()sin f x x =，将函数()y f x =的图象上的所有点的横坐示缩短到原来的12，可得到函数sin 2y x =的图象，再将所得函数图象上所有点的纵坐标扩大为原来的3倍，得到函数3sin 2y x =的图象，再把所得图象向上平移1个単位长度，得到()3sin 21g x x =+，由绝对值变换可知，函数()y g x =的最小正周期为22T ππ==，故选B. 【点睛】本题考查三角函数变换，同时也考查三角函数周期的求解，解题的关键就是根据图象变换的每一步写出所得函数的解析式，考查推理能力，属于中等题.10．若函数()2f x ax =与函数()lng x x =存在公共点()P m n ,，并且在()P m n ,处具有公共切线，则实数a =（ ） A ．1eB ．2eC ．12eD ．32e【答案】C【解析】由题意得出()()()()f mg m f m g m ⎧=⎪⎨=''⎪⎩，解此方程组，可得出实数a 的值.【详解】因为()2f x ax =，所以()2f x ax '=；由()ln g x x =，得()1g x x'=. 因为()2f x ax =与()lng x x =在它们的公共点()P m n ,处具有公共切线，则()()()()f m g m f m g m ⎧=⎪⎨=''⎪⎩，即2ln 12am mam m ⎧=⎪⎨=⎪⎩，解得12m a e ⎧=⎪⎨=⎪⎩，故选：C. 【点睛】本题考查两函数在公共点处有公切线问题，解题时要将问题转化为在公共点处函数值和导数值分别相等，并利用方程组求解，考查化归与转化思想以及方程思想的应用，属于中等题.11．阿波罗尼斯（约公元前262190-年）证明过这样一个命题:平面内到两定点距离之比为常数()0,1k k k >≠的点的轨迹是圆，后人将这个圆称为阿波罗尼斯圆.若平面内两定点A 、B 间的距离为2，动点P 满足2PA PB=，则22PA PB +的最小值为（ ）A ．36242-B ．48242-C ．362D ．242【答案】A【解析】以经过A 、B 的直线为x 轴，线段AB 的垂直平分线y 轴，建立直角坐标系，得出点A 、B 的坐标，设点(),P x y ，利用两点间的距离公式结合条件2PA PB=得出点P 的轨迹方程，然后利用坐标法计算出22PA PB +的表达式，再利用数形结合思想可求出22PA PB +的最小值.【详解】以经过A 、B 的直线为x 轴，线段AB 的垂直平分线y 轴，建立直角坐标系，则()1,0A -、()10B ,，设(),P x y ，2PA PB=，2222(1)2(1)x y x y++∴=-+，两边平方并整理得()222261038x y x x y +-+=⇒-+=， 所以P 点的轨迹是以()3,0为圆心，22为半径的圆， 则有()222222222PA PB x yOP+=++=+，如下图所示：当点P 为圆与x 轴的交点（靠近原点）时，此时，OP 取最小值，且322OP =- 因此，(2222322236242PA PB +≥⨯-+=- A.【点睛】本题考查动点的轨迹方程的求法，考查坐标法的应用，解题的关键就是利用数形结合思想，将代数式转化为距离求解，考查数形结合思想的应用以及运算求解能力，属于中等题. 12．四边形ABDC 是菱形，60BAC ∠=，3AB =，沿对角线BC 翻折后，二面角A BC D --的余弦值为13-，则三棱锥D ABC -的外接球的体积为（ ）A ．5πB ．6πC ．7πD ．22π【答案】B【解析】取BC 的中点为M ，设球心O 在平面ABC 内的射影为1O ，在平面BCD 内的射影为2O ，利用二面角的定义得出1cos 3AMD ∠=-，并设2AMD θ∠=，计算出tan θ的值，可得出2OO 的长度和2DO 的长度，然后利用勾股定理得出三棱锥D ABC -外接球的半径R ，最后利用球体体积公式可计算出结果.【详解】如下图所示，取BC 的中点为M ，设球心O 在平面ABC 内的射影为1O ，在平面BCD 内的射影为2O ，则二面角A BC D --的平面角为AMD ∠，3AB =，所以32DM =，2213DO DM ==，212O M =，设2AMD θ∠=， 则21cos 22cos 13θθ=-=-，21cos 3θ∴=，则22sin 3θ=，2tan 2θ∴=，tan 2θ∴=222tan 2OO O M θ∴=⋅=， 球O 的半径22226R DO OO =+=，所求外接球的体积为246632V ππ⎛=⋅= ⎝⎭， 故选：B. 【点睛】本题考查外接球体积的计算，同时也考查了二面角的定义，解题的关键就是要找出球心的位置，并分析几何图形的形状，借助相关定理进行计算，考查推理能力与计算能力，属于中等题.二、填空题13．已知a 、b 为单位向量，,3a b π=，则2a b +=____________.【解析】利用平面向量数量积的运算律和定义计算()222a b a b +=+，可得出结果.【详解】由于a 、b 为单位向量，,3a b π<>=，则1a b ==，且1cos ,2a b a b a b ⋅=⋅<>=，因此，()2222224441a b a ba ab b +=+=+⋅+=⨯=，. 【点睛】本题考查利用平面向量的数量积计算向量的模，在计算向量的模时，一般将向量的模进行平方，结合平面向量数量积的运算律和定义来进行计算，考查计算能力，属于中等题.s 14．等比数列{}n a 的首项11a =，48a =，则4S =___________. 【答案】15【解析】设等比数列{}n a 的公比为q ，根据题中条件求出q 的值，再利用等比数列求和公式可计算出4S 的值. 【详解】11a =，48a =，所以3418a q a ==，所以2q，因此，()()4414111215112a q S q-⨯-===--，故答案为：15. 【点睛】本题考查等比数列求和，对于等比数列，一般是通过建立首项和公比的方程组，求出这两个量，再结合相关公式进行计算，考查运算求解能力，属于中等题.15．设1F 、2F 为椭圆C :2214x y +=的两个焦点，M 为C 上点，122F MF π∠=，则12F MF ∆的面积为______. 【答案】1【解析】利用勾股定理和椭圆的定义列等式求出12MF MF ⋅的值，然后利用三角形的面积公式可计算出12F MF ∆的面积. 【详解】由题意可知，2a =，1b =，223c a b =-=，则12223F F c ==. 如下图，由题意知122F MF π∠=，由勾股定理得222121212MF MF F F +==，由椭圆定义得1224MF MF a +==，将该等式两边平方得221122216MF MF MF MF +⋅+=，122MF MF ∴⋅=，因此，12F MF ∆的面积为1212112122F MF S MF MF ∆=⋅=⨯=，故答案为1.【点睛】本题考查椭圆焦点三角形面积的计算，解题时应充分利用椭圆的定义与余弦定理求解，并结合三角形的面积公式进行计算，考查运算求解能力，属于中等题.16．边长为1的正方体1111ABCD A B C D -中，点M 为上底面1111D C B A 的中心，N 为下底面ABCD 内一点，且直线MN 与底面ABCD 所成线面角的正切值为2，则点N 的轨迹围成的封闭图象的面积为_____. 【答案】【解析】作出图形，设正方体底面ABCD 的中心为点O ，可得出MO ⊥平面ABCD ，由直线与平面所成角的定义得出tan 2MNO ∠=，可得出12ON =，从而可知点N 的轨迹是半径为12的圆，然后利用圆的面积公式可得出结果. 【详解】 如下图所示，由题意知，M 在底面ABCD 内的投影为底面ABCD 的中心O ，连接ON ， 则MNO ∠即为直线MN 与底面ABCD 所成的角，所以，tan 2OMMNO ON∠==， 则12ON =，所以N 的轨迹是以底面ABCD 的中心O 为圆心，以12为半径的圆， 因此，N 的轨迹围成的封闭图象的面积为2124S ππ⎛⎫=⨯= ⎪⎝⎭，故答案为：4π. 【点睛】本题考查立体几何中的轨迹问题，同时也考查直线与平面所成角的定义，解题时要熟悉几种常见曲线的定义，考查空间想象能力，属于中等题.三、解答题17．某调研机构，对本地[]22,50岁的人群随机抽取200人进行了一次生活习惯是否符合低碳观念的调查，将生活习惯符合低碳观念的称为“低碳族”，否则称为“非低碳族”，结果显示，有100人为“低碳族”，该100人的年龄情况对应的频率分布直方图如图.（1）根据频率分布直方图，估计这100名“低碳族”年龄的平均值，中位数；（2）若在“低碳族”且年龄在[)30,34、[)34,38的两组人群中，用分层抽样的方法抽取30人，试估算每个年龄段应各抽取多少人？【答案】（1）平均值为36，中位数为36；（2）年龄在[)30,34的8人，在[)34,38的22人. 【解析】（1）将频率分布直方图中每个矩形底边的中点值乘以矩形的面积，再将这些乘积相加可得出平均值，利用中位数左右两边的矩形面积和均为0.5计算出矩形的面积； （2）先计算出年龄在[)30,34、[)34,38的频率之比，再利用分层抽样的特点得出样本中年龄段在[)30,34、[)34,38的人数. 【详解】（1）100位“低碳族”的年龄平均值x 为240.04280.08320.16360.44x =⨯+⨯+⨯+⨯400.16440.1480.0235.9236+⨯+⨯+⨯=≈，设中位数为a ，前三个矩形的面积为0.040.080.160.28++=， 前四个矩形的面积为0.040.080.160.440.72+++=，则()34,38a ∈， 由题意可得()0.28340.110.5a +-⨯=，解得36a =，因此，中位数为36； （2）年龄在[)30,34、[)34,38的频率分别为0.0440.16⨯=，0.1140.44⨯=， 频率之比为0.16:0.444:11=，所抽取的30人中，年龄在[)30,34的人数为430815⨯=， 年龄在[)34,38的人数为11302215⨯=. 【点睛】本题考查频率分布直方图中平均数和中位数的计算，同时也考查了分层抽样相关的计算，考查计算能力，属于基础题.18．在ABC ∆中，角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，且满足sin cos 6b A a B π⎛⎫=- ⎪⎝⎭.（1）求角B 的大小；（2）若D 为AC 的中点，且1BD =，求ABC S ∆的最大值.【答案】（1）3π；（2）【解析】（1）利用正弦定理边角互化思想得出sin cos 6B B π⎛⎫=- ⎪⎝⎭，再利用两角差的余弦公式可得出tan B 的值，结合角B 的范围可得出角B 的大小；（2）由中线向量得出2BD BA BC =+，将等式两边平方，利用平面向量数量积的运算律和定义，并结合基本不等式得出ac 的最大值，再利用三角形的面积公式可得出ABC ∆面积的最大值. 【详解】（1）由正弦定理及sin cos 6b A a B π⎛⎫=- ⎪⎝⎭得sin sin sin cos 6B A A B π⎛⎫=- ⎪⎝⎭，由()0,A π∈知sin 0A >，则1sin cos sin 622B B B B π⎛⎫=-=+ ⎪⎝⎭，化简得sin B B =，tan B ∴=.又()0,B π∈，因此，3B π=；（2）如下图，由13sin 24ABC S ac B ac ∆==，又D 为AC 的中点，则2BD BA BC =+， 等式两边平方得22242BD BC BC BA BA =+⋅+， 所以2222423a c BA BC a c ac ac =++⋅=++≥， 则43ac ≤，当且仅当a c =时取等号，因此，ABC ∆的面积最大值为343433⨯=. 【点睛】本题考查正弦定理边角互化思想的应用，同时也考查了三角形的中线问题以及三角形面积的最值问题，对于三角形的中线计算，可以利用中线向量进行计算，考查分析问题和解决问题的能力，属于中等题.19．如图甲，在直角梯形ABCD 中，//AB CD ，AB BC ⊥，224CD AB BC ===，过A 点作AE CD ⊥，垂足为E ，现将ADE ∆沿AE 折叠，使得DE EC ⊥.取AD 的中点F ，连接BF 、CF 、EF ，如图乙.（1）求证：BC ⊥平面DEC ； （2）求三棱锥E FBC -的体积. 【答案】（1）证明见解析；（2）23. 【解析】（1）可证明出//BC AE ，由折叠的性质得出AE CE ⊥，AE DE ⊥，利用直线与平面垂直的判定定理得出AE ⊥平面DEC ，再由//BC AE ，可得出BC ⊥平面DEC ； （2）证明DE ⊥平面ABCE ，由E 为AD 的中点可知三棱锥F BCE -的高为12DE ，计算出BCE ∆的面积，然后利用锥体体积公式可计算出三棱锥F BCE -的体积，即为所求结果. 【详解】（1）在图甲中，直角梯形ABCD 中，//AB CD ，AB BC ⊥，BC CD ∴⊥，AE CD ⊥，则//BC AE .折叠后，在图乙中，AE CE ⊥，AE DE ⊥，又CEDE E =，AE ∴⊥平面DCE .//BC AE ，BC ∴⊥平面DCE ；（2）由（1）知，DE AE ⊥，又DE CE ⊥，且AE CE E =，DE ∴⊥平面ABCE .F 为AD 的中点，所以，三棱锥F BCE -的高为112122DE =⨯=，224CD AB BC ===，易知四边形ABCE 是矩形，则2CD AB ==，BCE ∆的面积为2112222BCE S BC CE ∆=⋅=⨯=，因此，1112123233E FBCF BCE BCE V V DE S --∆==⨯⨯=⨯⨯=.【点睛】本题考查立体几何的翻折问题，考查直线与平面垂直的证明以及三棱锥体积的计算，在处理翻折问题时，要注意翻折前后相关直线的位置关系以及长度的变化，考查推理能力与计算能力，属于中等题.20．已知()xf x e =，()lng x x =.（1）令()()()h x f x g x =-，求证：()h x 有唯一的极值点；（2）若点A 为函数()g x 上的任意一点，点B 为函数()g x 上的任意一点，求A 、B 两点之间距离的最小值.【答案】（1）证明见解析；（22.【解析】（1）求出函数()y h x =的导数，利用函数()y h x '=的单调性以及零点存在定理，说明函数()y h x '=在定义域上有唯一零点，再分析函数()y h x '=在该零点处函数值符号，可得证函数()y h x =有唯一极值点；（2）根据函数()xf x e =与()lng x x =关于直线y x =，将直线y x =平移后与分别与曲线()y f x =、()y g x =切于A 、B ，由此可得出AB 的最小值.【详解】（1）由题意知()ln xh x e x =-，所以()1xh x e x'=-， 由xy e =单调递增，1y x=在()0,∞+上单调递减，()y h x '∴=在()0,∞+上单调递增， 又1202h e ⎛⎫'=-<⎪⎝⎭，()110h e '=->， 所以存在唯一的01,12x ⎛⎫∈⎪⎝⎭，使得()00h x '=， 当()00,x x ∈时，()00h x '<，函数()y h x =单调递减； 当()0,x x ∈+∞时，()00h x '>，函数()y h x =单调递增； 因此，函数()y h x =有唯一的极值点；（2）由于()xf x e =与()lng x x =互为反函数，两个函数图象关于直线y x =对称，如下图，将直线y x =平移使得平移后的直线与函数()y f x =的图象相切，()xf x e '=，令()1xf x e '==，0x ∴=，可得点()0,1A .将直线y x =平移使得平移后的直线与函数()y g x =的图象相切，()1g x x'=， 令()11g x x'==，1x ∴=，可得点()10B ,， 因此，A 、B ()()2201102-+-=【点睛】本题考查函数极值点个数，同时也考查反函数对称性的应用，在求解函数极值点个数问题时，要结合导数的单调性与零点存在定理来分析求解，考查数形结合思想的应用，属于中等题.21．已知抛物线()2:20E y px p =>，过其焦点F 的直线与抛物线相交于()11,A x y 、()22,B x y 两点，满足124y y =-.（1）求抛物线E 的方程；（2）已知点C 的坐标为()2,0-，记直线CA 、CB 的斜率分别为1k ，2k ，求221211k k +的最小值.【答案】（1）24y x =；（2）92. 【解析】（1）设直线AB 的方程为2px my =+，将直线AB 的方程与抛物线E 的方程联立，消去x ，利用韦达定理并结合条件124y y =-可求出实数p 的值，由此得出抛物线E 的方程； （2）由（1）得出直线AB 的方程为1x my =+，将该直线方程与抛物线E 的方程联立，并列出韦达定理，利用斜率公式结合韦达定理得出221211k k +关于m 的表达式，可得出221211k k +的最小值. 【详解】（1）因为直线AB 过焦点,02p F ⎛⎫⎪⎝⎭，设直线AB 的方程为2p x my =+，将直线AB 的方程与抛物线E 的方程联立222p x my y px⎧=+⎪⎨⎪=⎩，消去x 得2220y mpy p --=，所以有2124y y p =-=-，0p >，2p ∴=，因此，抛物线E 的方程24y x =；（2）由（1）知抛物线的焦点坐示为()1,0F ，设直线AB 的方程为1x my =+，联立抛物线的方程2440y my --=，所以124y y m +=，124y y =-，则有1113m k y =+，2213m k y =+， 因此22222221212121211331111=269m m m m k k y y y y y y ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=+++++++ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭()()221212222122212122484926926954162y y y y m y y mm m m m m y y y y +-++=+⋅+⋅=+⋅+⋅=+-.因此，当且仅当0m =时，221211k k +有最小值92. 【点睛】本题考查抛物线方程的求解，同时也考查了直线与抛物线中的最值问题的求解，对于直线与抛物线的综合问题，一般将直线方程与抛物线方程联立，利用韦达定理设而不求法进行计算，计算量较大，考查方程思想的应用，属于中等题. 22．在平面直角坐标系xOy 中，曲线1C 的参数方程为3sin 3cos x y θθ=⎧⎨=⎩（其中θ为参数）曲线2C 的普通方程为2214x y +=，以坐标原点为极点，以x 轴正半轴为极轴建立极坐标系.（1）求曲线1C 和曲线2C 的极坐标方程； （2）射线1l :000,2πθθθ⎡⎤⎛⎫=∈ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦依次与曲线1C 和曲线2C 交于A 、B 两点，射线2l :000,22ππθθθ⎡⎤⎛⎫=+∈⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦依次与曲线1C 和曲线2C 交于C 、D 两点，求AOC BODS S ∆∆的最大值. 【答案】（1）1C 的极坐标方程为3ρ=，2C 的极坐标方程为2224cos 4sin ρθθ=+；（2）458. 【解析】（1）将两曲线的方程均化为普通方程，然后由cos sin x y ρθρθ=⎧⎨=⎩可将两曲线的方程化为极坐标方程；（2）作出图形，设点B 、D 的极坐标分别为()10,ρθ、20,2πρθ⎛⎫+ ⎪⎝⎭，将这两点的极坐标代入椭圆的极坐标方程可得出1ρ、2ρ的表达式，可得出1212BOD S ρρ∆=，利用基本不等式可求出AOCBODS S ∆∆的最大值. 【详解】（1）由曲线1C 的参数方程为3sin 3cos x y θθ=⎧⎨=⎩（其中θ为参数），所以曲线1C 的普通方程为229x y +=，由cos sin x y ρθρθ=⎧⎨=⎩则曲线1C 的极坐标方程为3ρ=.又曲线2C 的普通方程为2214x y +=，由cos sin x y ρθρθ=⎧⎨=⎩，得曲线2C 的极坐标方程为2224cos 4sin ρθθ=+； （2）如图，由题意知1922AOC S OA OC ∆=⋅=，点B 、D 的极坐标分别为()10,ρθ、20,2πρθ⎛⎫+⎪⎝⎭， 将这两点的极坐标代入椭圆的极坐标方程得12200cos 4sin ρθθ=+，222220000sin 4cos cos 4sin 22ρππθθθθ==+⎛⎫⎛⎫+++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，12222200001122cos 4sin sin 4cos BOD S ρρθθθθ∆=⋅=++()()22220000cos 4sin sin 4cos θθθθ=++()()2222000099545cos 4sin sin 4cos 4428AOC BOD S S θθθθ∆∆∴=++≤⨯=， 当且仅当22220000cos 4sin sin 4cos θθθθ+=+，即04θπ=，不等式取等号， 因此，AOC BOD S S ∆∆的最大值为458.【点睛】本题考查参数方程、极坐标方程与普通方程的互化，以及利用极坐标解决最值问题，解题时要注意极坐标方程法的适用情况，考查运算求解能力，属于中等题. 23．已知函数()1f x x a x =-+-.（1）若不等式()3f x ≤的解集为{}03x x ≤≤，求实数a 的值； （2）当2a = 时，若()1422nn f x +≥--对一切实数x 恒成立，求实数n 的取值范围.【答案】（1）2a =；（2）(]2,log 3-∞.【解析】（1）由题意得出关于x 的方程()3f x =的两根分别为0和3，可得出()()0333f f ⎧=⎪⎨=⎪⎩，从而求出实数a 的值；（2）利用绝对值三角不等式得出函数()y f x =的最小值为1，可得出14223n n +--≤，再令2n t =，可得出2230t t --≤，解出3t ≤，即23n ≤，从而可解出实数n 的取值范围. 【详解】（1）由题意得出关于x 的方程()3f x =的两根分别为0和3，则()()0333f f ⎧=⎪⎨=⎪⎩，即13323a a ⎧+=⎪⎨-+=⎪⎩，解得2a =；（2）当2a =时，由绝对值三角不等式得()21211f x x x x x =-+-≥--+=， 又()1422nn f x +≥--对一切实数x 恒成立，所以11422n n +≥--，令2n t =，化简得2230t t --≤，解得3t ≤， 所以2log 3n ≤，实数n 的取值范围为(]2,log 3-∞. 【点睛】本题考查不等式的解集与不等式之间的关系，同时也考查了绝对值不等式恒成立，解题时根据不等式恒成立转化为函数的最值，并借助三角不等式求解，考查化归与转化思想，属于中等题.。

A . B. 8-4^3 C. 1 4. 已知 0 < 6 < 兀，tan(6* + —) = — ,那么 sin 6 + cos 0 = 4 7A 1D 1 八 7 n 7 A.B. —C. ---------D.— 5 5 5 55. 函数y = sin(7Lx + 9)(°〉0)的部分图象如右图所示，设F 是图象的最高点，是图象与］轴的交点，则tan£4P8=()8 4定义一种运算(a,b)*(c,d) = ad - be ,若函数 /(x) = (Llog 3 x)* (tan — 是方程/(x) = 0的解，且0 v M <尤。

，则/(xj 则沥的 杭师大附中2011学年高三年级第一次月考卷数学试卷(理科)—、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只 有一项是符合题目要求的.1.设集合M =(xlx<2},集合N = {xl0<x<l},则下列关系中正确的是()A. MUN = RB. M\JC R N = RC. N\JC R M =RD. MC\N = M 2. 若点(r,27)在函数y=3,的图象上，则tany 的值为A. V3B. —C. 1D. 0 3 3. 若AA3C 的内角A,B,C 所对的边a,b,c 满足(a + bf-c 2 =4,且C = 60°值为A.恒为正值B.等于0C.恒为负值D.不大于07. 是定义在R 上且以3为周期的奇函数，当xe(0,-)时，/(x)=ln(x 2-x + l), 则函数/(%)在区间［0,6］上的零点个数是A. 3B. 5C. 7D. 9 8.已知函数/(x) = sin a)x-y/3 cos a)x(co > 0)的图象与x 轴的两个相邻交点的距离等于TT TT—,若将函数y = /(x)的图象向左平移一个单位得到函数y = g(x)的图象，则y = g(x)是 2 61 Q 1减函数的区间为( )A.弓号) BC. (0,勺 D.(一剥)9.若&外接圆的半径为1,圆心为。