浙江省杭州师范大学附属中学高一数学下学期期中考试题.doc

2022-2023学年浙江省杭州地区（含周边）重点中学高一（下）期中数学试卷一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．已知a →=(2，−1)，b →=(x ，1)，且a →∥b →，则x 等于（ ） A ．﹣2B ．2C ．−12D ．122．设复数z ＝﹣1﹣i （i 为虚数单位），则2﹣z 的模等于（ ） A ．√5B ．5C ．√10D ．103．已知△ABC 中，a ：b ：c ＝1：√3：2，则A ：B ：C 等于（ ） A ．1：2：3B ．2：3：1C ．1：3：2D ．3：1：24．直径为6cm 的一个大金属球，熔化后铸成若干个直径为2cm 的小球，如果不计损耗，可铸成这样的小球的个数为（ ） A ．3B ．6C ．9D ．275．如图，梯形A 1B 1C 1D 1是一平面图形ABCD 的直观图（斜二测），若AD ∥Oy ，AB ∥CD ，A 1B 1=34C 1D 1=3，A 1D 1=1，则原平面图形ABCD 的面积是（ ）A ．14．B ．7C ．14√2D ．7√26．设a ＝log 37，b ＝21.1，c ＝0.83.1，则（ ） A ．b ＜a ＜cB ．c ＜b ＜aC ．c ＜a ＜bD ．a ＜c ＜b7．如图，正方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1的棱长为6，P 为BC 的中点，Q 为CC 1的中点，过点A 1，P ，Q 的平面截正方体所得的截面的面积S ＝（ ）A ．21√152B ．21√172C ．81√24+9√6D ．27√24+9√68．已知非零向量OA →，OB →，OC →，满足|OA →|=4，|OB →|=2|OC →|，且3+OA →⋅OC →+OC →⋅OB →=|OC →|2+OA →⋅OB →，则|AB →|的最小值为（ ） A ．2√63B ．3C ．2√53D ．1二、多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分. 9．下列说法中，正确的有（ ） A ．复数z 1，z 2满足|z 1z 2|＝|z 1||z 2|B ．“θ为钝角”是“复数z ＝cos θ+i sin θ在复平面内对应的点在第二象限”的充要条件C ．已知复数z 1，z 2，“z 1，z 2的虚部相等”是“z 1＝z 2”的必要条件D ．在复数范围内，若2i ﹣3是关于x 的实系数方程2x 2+px +q ＝0的一根，则该方程的另一根是2i +3 10．已知△ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，下列四个命题中正确的是（ ） A ．若cos A ＜sin B ，则△ABC 一定是钝角三角形B ．若a 2﹣b 2＜c 2，则△ABC 一定是锐角三角形 C ．若b cos C +c cos B ＝b ，则△ABC 一定是等腰三角形D ．若a cosA=b cosB=c cosC，则△ABC 一定是等边三角形11．已知三棱锥A ﹣BCD 中，AB ＝AC ＝DB ＝DC ＝3，AD ＝BC ＝2，E ，F 分别是BD ，CD 的中点，P 是棱AC 上（除端点外）的动点，下列选项正确的是（ ）A ．直线PF 与AB 是异面直线B ．当AP ＝2PC 时，三棱锥P ﹣ABD 体积为2√79C ．PD +PB 的最小值为√17D ．三棱锥A ﹣BCD 外接球的表面积11π12．已知函数f （x ）满足：f （x ）≠0，f （1）=14，f(s+t 2)f(s−t 2)=14(f(s)+f(t))，s ，t ∈R ，则下列判断正确的是（ ） A ．f （x ）为奇函数B ．f （x ）是周期函数且最小正周期为6C ．f(100)=14D ．f （x ）的图象关于直线x ＝3对称三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13．若向量a →=(12，√32)，b →=(−1，√3)，则a →在b →上的投影向量坐标为 ．14．已知集合A ＝{x |y ＝ln （2x 2﹣x ﹣6）}，B ＝{x |9x +m ﹣27＞0}，若“x ∈A ”是“x ∈B ”的必要不充分条件，则实数m 的取值范围为 ．15．在△ABC 中，点D 在边BC 上，B ＝30°，AD ＝2，CD ＝2BD ，若BC 边上的高与AB 边上的高之比为√33，则b ＝ ． 16．已知2a ﹣b ＝2，（a ，b ∈R ），则（4a 2﹣1）（1﹣b 2）的最大值为 ． 四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17．（10分）已知复数z 满足(1+3i)z =5+5i ． （1）求z −z ； （2）求(z 2z−3)2023． 18．（12分）正三棱台ABC ﹣A 1B 1C 1中，AB ＝AA 1＝3A 1B 1＝3． （1）求三棱台ABC ﹣A 1B 1C 1的表面积；（2）D ，E 分别是AA 1，CC 1的中点，F 为BB 1上一点，且B 1F ＝2FB ，几何体A 1B 1C 1DFE 的体积记为V 1，几何体ABCDFE 的体积记为V 2，求V 1V 2的值．19．（12分）如图所示，有两个兴趣小组同时测量一个小区内的假山高度，已知该小区每层楼高4m ． （1）兴趣小组1借助测角仪进行测量，在假山水平面C 点测得B 点的仰角为15°，在六楼A 点处测得B 点的俯角为45°，求假山的高度（精确到0.1）；（2）兴趣小组2借助测距仪进行测量，可测得AB ＝22m ，BC ＝16m ，求假山的高度（精确到0.1）． 附：√3≈1.732．20．（12分）已知函数f （x ）＝sin （ωx +φ）的部分图象如图所示，其中−π2＜φ＜0，且f(π3)=f(5π12)，f(π8)=0．（1）求函数f （x ）的解析式； （2）若tan α＝2，求f （α）的值． 21．（12分）在①b sin B sin C +c cos A ＝c cos 2B ，②sin(C+B2)cosB=sinAcos(C−B 2)这两个条件中任选一个，补充在下面问题中，并作答．问题：记△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且_____． （1）证明：A ＝2B ； （2）若ac b+c=1，求c 的取值范围．注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．22．（12分）已知函数f （x ）＝λ（x 3﹣4x 2+5x ﹣5）+x 2﹣x +3，g （x ）＝λ（﹣x 3﹣x ﹣3）+x 3﹣x 2+2x ﹣1，λ∈R ．（1）当λ＝0时．解不等式f （x ）+g （x ）≥2（x +1）；（2）记max {x ，y }表示实数x ，y 中的较大者．任意的λ∈（0，1），是否有max {|f （x ）|，|g （x ）|}＞107恒成立？若是，请证明：否则，请说明理由．2022-2023学年浙江省杭州地区（含周边）重点中学高一（下）期中数学试卷参考答案与试题解析一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．已知a →=(2，−1)，b →=(x ，1)，且a →∥b →，则x 等于（ ） A ．﹣2B ．2C ．−12D ．12解：a →=(2，−1)，b →=(x ，1)，且a →∥b →， 则2×1＝﹣x ，解得x ＝﹣2． 故选：A ．2．设复数z ＝﹣1﹣i （i 为虚数单位），则2﹣z 的模等于（ ） A ．√5B ．5C ．√10D ．10解：∵z ＝﹣1﹣i ， ∴2﹣z ＝3+i ，故|2﹣z |=√32+12=√10． 故选：C ．3．已知△ABC 中，a ：b ：c ＝1：√3：2，则A ：B ：C 等于（ ） A ．1：2：3B ．2：3：1C ．1：3：2D ．3：1：2解：令a ＝1，b =√3，c ＝2 ∴c 2＝a 2+b 2，三角形为直角三角形 ∴C ＝90° a =12c ∴A ＝30°，∴B ＝90°﹣30°＝60° ∴A ：B ：C ＝1：2：3 故选：A ．4．直径为6cm 的一个大金属球，熔化后铸成若干个直径为2cm 的小球，如果不计损耗，可铸成这样的小球的个数为（ ） A ．3B ．6C ．9D ．27解：由于大金属球的直径为6cm，故半径为3cm，所以V大球=43⋅π⋅33=36π，同理小金属球的直径为2cm，故半径为1cm，所以V小球=43⋅π⋅13=43π，故n=V大球V小球=36π4π3=27．故选：D．5．如图，梯形A1B1C1D1是一平面图形ABCD的直观图（斜二测），若AD∥Oy，AB∥CD，A1B1=34C1D1= 3，A1D1=1，则原平面图形ABCD的面积是（）A．14．B．7C．14√2D．7√2解：如图，根据直观图画法的规则，直观图中A1D1∥O′y′，A1D1＝1，⇒原图中AD∥Oy，从而得出AD⊥DC，且AD＝2A1D1＝2，直观图中A1B1∥C1D1，A1B1=34C1D1＝3，⇒原图中AB∥CD，AB=34CD＝3，即四边形ABCD上底和下底边长分别为3，4，高为2，如图．故其面积S=12（3+4）×2＝7．故选：B．6．设a＝log37，b＝21.1，c＝0.83.1，则（）A．b＜a＜c B．c＜b＜a C．c＜a＜b D．a＜c＜b 解：∵a＝log37∈（1，2），b＝21.1＞2，c ＝0.83.1＜1 故选：C ．7．如图，正方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1的棱长为6，P 为BC 的中点，Q 为CC 1的中点，过点A 1，P ，Q 的平面截正方体所得的截面的面积S ＝（ ）A ．21√152B ．21√172C ．81√24+9√6D ．27√24+9√6解：如图，延长PQ 交B 1C 1于点M ，延长QP 交B 1B 于点N ，连接A 1M 交C 1D 1于点F ，连接A 1N 交AB 于点E ，连接FQ ，EP ，则过点A 1，P ，Q 的平面截正方体所得的截面为五边形A 1EPQF ， 因为P 为BC 的中点，Q 为CC 1的中点，∴C 1M =12B 1C 1，BN =12B 1B ， ∴C 1F =12A 1D 1，BE =12AB ，在Rt △B 1MN 中，B 1M ＝B 1N ＝9，∴MN =9√2， 在Rt △A 1B 1M 中，B 1M ＝9，A 1B 1＝6，∴A 1M =3√13， 同理得，A 1N =3√13，令MN 上的高为h ，ℎ=√(3√13)2−(922)2=√172，所以S △A 1MN =12MN ⋅ℎ=12×9√2√172=27√172， 因为MF A 1M=MC 1MB 1=13=MQ MN，所以△MFQ ∽△MA 1N ，所以S △MFQ =19S △A 1MN =3√172， 同理可得S △NEP =19S △A 1MN =3√172，故截面面积S =S △A 1MN −S △MFQ −S △NEP =21√172． 故选：B ．8．已知非零向量OA →，OB →，OC →，满足|OA →|=4，|OB →|=2|OC →|，且3+OA →⋅OC →+OC →⋅OB →=|OC →|2+OA →⋅OB →，则|AB →|的最小值为（ ） A ．2√63B ．3C ．2√53D ．1解：∵3+OA →⋅OC →+OC →⋅OB →=|OC →|2+OA →⋅OB →， ∴3+OA →⋅OC →+OC →⋅(OA →+AB →)=OC →2+OA →⋅(OA →+AB →)， ∴3+2OA →⋅OC →+OC →⋅AB →=OC →2+OA →2+OA →⋅AB →， ∴OC →2−2OA →⋅OC →+OA →2+(OA →−OC →)⋅AB →=3， ∴(OC →−OA →)2+CA →⋅AB →=3，∴CA →2+CA →⋅AB →=3，CA →⋅(CA →+AB →)=3， ∴CA →⋅CB →=3，如图，设|OC →|=r ，则|OB →|=2r ，取AB 的中点M ，因为CA →⋅CB →=3，所以(CM →+MA →)⋅(CM →+MB →)=(CM →−12AB →)⋅(CM →+12AB →)=CM →2−14AB →2=3，所以|AB →|取最小值时，|CM →|也取最小值，|CM →|min =|OM →|−|OC →|，此时O ，C ，M 三点共线， 设此时|CM →|=t ，则|MA →|=|MB →|=√t 2−3，|AB →|=2√t 2−3，因为cos ∠OMA +cos ∠OMB ＝0，所以由余弦定理得OM 2+AM 2﹣OA 2+OM 2+BM 2﹣OB 2＝0， 即2（r +t ）2+2（t 2﹣3）＝16+4r 2，得r 2﹣2tr +11﹣2t 2＝0， 由Δ＝4t 2﹣44+8t 2≥0，得t 2≥113， ∴|AB →|=2√t 2−3≥2√63 ∴|AB →|的最小值为2√63．故选：A ．二、多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分. 9．下列说法中，正确的有（ ） A ．复数z 1，z 2满足|z 1z 2|＝|z 1||z 2|B ．“θ为钝角”是“复数z ＝cos θ+i sin θ在复平面内对应的点在第二象限”的充要条件C ．已知复数z 1，z 2，“z 1，z 2的虚部相等”是“z 1＝z 2”的必要条件D ．在复数范围内，若2i ﹣3是关于x 的实系数方程2x 2+px +q ＝0的一根，则该方程的另一根是2i +3 解：由复数的三角形式，设z 1＝r 1（cos α+i sin α），z 2＝r 2（cos β+i sin β）， 则z 1z 2＝r 1•r 2（cos （α+β）+i sin （α+β））， 则|z 1z 2|＝r 1•r 2，|z 1||z 2|＝r 1•r 2， 故复数z 1，z 2满足|z 1z 2|＝|z 1||z 2|， 故选项A 符合题意；“若θ为钝角，则复数z ＝cos θ+i sin θ在复平面内对应的点在第二象限”是真命题， 当θ＝﹣210°时，复数z ＝cos θ+i sin θ在复平面内对应的点在第二象限， 但θ不是钝角，故“若复数z ＝cos θ+i sin θ在复平面内对应的点在第二象限，则θ为钝角”是假命题， 故“θ为钝角”是“复数z ＝cos θ+i sin θ在复平面内对应的点在第二象限”的充分不必要条件， 故选项B 不符合题意； 由复数的定义知，已知复数z 1，z 2，“z 1，z 2的虚部相等”是“z 1＝z 2”的必要条件， 故选项C 符合题意；在复数范围内，若2i ﹣3是关于x 的实系数方程2x 2+px +q ＝0的一根， 则该方程的另一根是﹣2i ﹣3，故选项D 不符合题意． 故选：AC ．10．已知△ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，下列四个命题中正确的是（ ） A ．若cos A ＜sin B ，则△ABC 一定是钝角三角形B ．若a 2﹣b 2＜c 2，则△ABC 一定是锐角三角形 C ．若b cos C +c cos B ＝b ，则△ABC 一定是等腰三角形D ．若a cosA=b cosB=c cosC ，则△ABC 一定是等边三角形解：对于A ，令A ＝B =π3，满足cos A ＜sin B ，但△ABC 是锐角三角形，故A 错误； 对于B ，a 2﹣b 2＜c 2， 则a 2＜b 2+c 2，故cos A =b 2+c 2−a 22bc＞0，推得A 为锐角，无法判断角B ，角C ，故B 错误； 对于C ，b cos C +c cos B ＝b ，则由正弦定理可得，sin B cos C +sin C cos B ＝sin （B +C ）＝sin A ＝sin B ， 故a ＝b ，故C 正确； 对于D ，a cosA=b cosB=c cosC，则由正弦定理可得，sinAcosA=sinB cosB=sinC cosC，即tan A ＝tan B ＝tan C ，故A ＝B ＝C ，故D 正确． 故选：CD ．11．已知三棱锥A ﹣BCD 中，AB ＝AC ＝DB ＝DC ＝3，AD ＝BC ＝2，E ，F 分别是BD ，CD 的中点，P 是棱AC 上（除端点外）的动点，下列选项正确的是（ ）A ．直线PF 与AB 是异面直线 B ．当AP ＝2PC 时，三棱锥P ﹣ABD 体积为2√79C ．PD +PB 的最小值为√17D ．三棱锥A ﹣BCD 外接球的表面积11π解：∵AB ⊂平面ABC ，PF ⊄平面ABC ，P ∈平面ABC ，P ∈AB ，∴直线PF 与AB 是异面直线，故A 正确； ∵三棱锥A ﹣BCD 中，AB ＝AC ＝DB ＝DC ＝3，AD ＝BC ＝2，∴三棱锥对棱相等，故可将其补形为一长方体，如图所示，设BI ＝x ，BJ ＝y ，BK ＝z ，则{x 2+y 2=9y 2+z 2=4x 2+z 2=9，∴x 2+y 2+z 2＝11，∴z ＝y =√2，x =√7，∴三棱锥C ﹣ABD 体积为√2×√2×√7−13×12×√2×√2×√7×4=2√73， ∴三棱锥P ﹣ABD 体积为2√73×23=4√79，故B 错误； 设三棱锥A ﹣BCD 外接球的半径为r ， 则2r =√x 2+y 2+z 2=√11，∴三棱锥A ﹣BCD 外接球的表面积4πr 2＝11π，故D 正确； 把三角形ACD 与三角形ABC 沿AC 展开到一个平面内，由余弦定理可得cos ∠ACD =32+32−222×3×3=79，cos ∠ACB =32+22−322×3×2=13，∴cos ∠DCB ＝cos （∠ACD +∠ACB ）＝cos ∠ACD cos ∠ACB ﹣sin ∠ACD sin ∠ACB =727−4√29×2√23=−13， 由余弦定理可得BD 2＝32+22﹣2×3×2×（−13）＝17，∴BD =√17． ∴PD +PB 的最小值为√17，当P ，B ，D 在一直线上时取最小值． 故选：ACD ．12．已知函数f （x ）满足：f （x ）≠0，f （1）=14，f(s+t 2)f(s−t 2)=14(f(s)+f(t))，s ，t ∈R ，则下列判断正确的是（ ） A ．f （x ）为奇函数 B ．f （x ）是周期函数且最小正周期为6C ．f(100)=14D ．f （x ）的图象关于直线x ＝3对称解：令s ＝t ＝1，则f （1）f （0）=14[f （1）+f （1）]，即f （0）＝2f （1）=12≠0， 故f （x ）不是奇函数，故A 错误；令s ＝t +2，则有f （t +1）＝f （t +2）+f （t ），所以f （t +2）＝f （t +3）+f （t +1）， 所以f （t +1）+f （t +2）＝f （t +2）+f （t ）+f （t +3）+f （t +1），即有f （t ）+f （t +3）＝0， 所以f （t +3）＝﹣f （t ），所以f （t +6）＝﹣f （t +3）＝f （t ），所以f （x ）是周期函数且最小正周期为6，故B 正确；因为f （t +2）＝f （t +3）+f （t +1），所以f （1）＝f （2）+f （0），14=f （2）+12，即f （2）=−14，由f （2）＝f （3）+f （1），可得f （3）=−12， 再由f （3）＝f （4）+f （2），可得f （4）=−14， 而f （100）＝f （16×6+4）＝f （4）=−14，故C 错误；令s ＝x ，t ＝﹣x ，则4f （0）f （x ）＝f （x ）+f （﹣x ），又f （0）=12，所以f （x ）＝f （﹣x ），即函数为偶函数，由f （x +6）＝f （x ），可得f （x +3）＝f （x ﹣3）， 所以函数图象关于直线x ＝3对称，故D 正确． 故选：BD ．三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13．若向量a →=(12，√32)，b →=(−1，√3)，则a →在b →上的投影向量坐标为 （−14，√34） ．解：由题意，a →在b →上的投影为a →⋅b →|b →|=12×(−1)+√32×√3√1+3=12，则a →在b →上的投影向量坐标为12×b→|b →|=（−14，√34）． 故答案为：（−14，√34）． 14．已知集合A ＝{x |y ＝ln （2x 2﹣x ﹣6）}，B ＝{x |9x +m ﹣27＞0}，若“x ∈A ”是“x ∈B ”的必要不充分条件，则实数m 的取值范围为 {m |m ≤−12} ．解：因为A ＝{x |y ＝ln （2x 2﹣x ﹣6）}＝{x |x ＞2或x ＜−32}，B ＝{x |9x +m ﹣27＞0}＝{x |x ＞3−2m2}， 若“x ∈A ”是“x ∈B ”的必要不充分条件， 则B ⫋A ， 故3−2m 2≥2，则m ≤−12．故答案为：{m |m ≤−12}．15．在△ABC 中，点D 在边BC 上，B ＝30°，AD ＝2，CD ＝2BD ，若BC 边上的高与AB 边上的高之比为√33，则b ＝ 2√3 ． 解：由题意分别设BC ，AB 边上的高为m ，n ，则由三角形面积相等可得12×m ×a =12×n ×c ，所以m n=c a=√33，则a =√3c ， 在三角形ABD 中，∠B ＝30°，BD =13BC =13a ，AD ＝2， 由余弦定理可得：AD 2＝AB 2+BD 2﹣2AB •BD cos ∠B ， 即4=c 2+19a 2−2×c ×13a ×√32，联立a =√3c ，解得c ＝2√3，a ＝6，所以在三角形ABC 中，由余弦定理可得：b 2＝a 2+c 2﹣2ac cos B ＝36+12﹣2×2√3×6×√32=12，则b ＝2√3． 故答案为：2√3．16．已知2a ﹣b ＝2，（a ，b ∈R ），则（4a 2﹣1）（1﹣b 2）的最大值为 4 ． 解：因为2a ﹣b ＝2， 所以4a 2﹣4ab +b 2＝4，则（4a 2﹣1）（1﹣b 2）＝4a 2﹣4a 2b 2﹣1+b 2＝﹣4a 2b 2+4+4ab ﹣1＝﹣4a 2b 2+4ab +3＝﹣（2ab ）2+4ab +3， 又2ab ＝b （b +2）＝b 2+2b ＝（b +1）2﹣1≥﹣1， 令f （x ）＝﹣x 2+2x +3，x ≥﹣1，则由二次函数的性质可知，当x ＝1时，函数f （x ）取得最大值，且f （x ）max ＝f （1）＝4， 则（4a 2﹣1）（1﹣b 2）的最大值为4． 故答案为：4．四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17．（10分）已知复数z 满足(1+3i)z =5+5i ． （1）求z −z ； （2）求(z2z−3)2023．解：由(1+3i)z =5+5i ，得z =5+5i1+3i =(5+5i)(1−3i)(1+3i)(1−3i)=20−10i 12−(3i)2=2﹣i ．（1）z −z =2+i −(2−i)=2i ； （2）z 2z−3=2+i 2(2−i)−3=2+i 1−2i=(2+i)(1+2i)(1−2i)(1+2i)=5i 5=i ，则(z2z−3)2023=i 2023＝i 4×505+3＝i 3＝﹣i ．18．（12分）正三棱台ABC ﹣A 1B 1C 1中，AB ＝AA 1＝3A 1B 1＝3． （1）求三棱台ABC ﹣A 1B 1C 1的表面积；（2）D ，E 分别是AA 1，CC 1的中点，F 为BB 1上一点，且B 1F ＝2FB ，几何体A 1B 1C 1DFE 的体积记为V 1，几何体ABCDFE 的体积记为V 2，求V 1V 2的值．解：（1）∵正三棱台ABC ﹣A 1B 1C 1中，AB ＝AA 1＝3A 1B 1＝3，∴S △ABC =12×3×3×sin60°=9√34，S △A 1B 1C 1=12×1×1×sin60°=√34，过点A 1作A 1H ⊥AC ，交AC 于点H ，正三棱台ABC ﹣A 1B 1C 1的三个侧面为全等的等腰梯形， 且S ACC 1A 1=AC+A 1C 12，AH =3+12×√32−1=4√2， ∴三棱台的表面积为：S =9√34+√34+4√2×3=52√3+12√2．（2）取BB 1的中点G ，连接DG ，GE ，则DG ＝2，取△ABC ，△A 1B 1C 1，△DGE 的中心O ，O 1，O 2且共线，连接OO 1且O 2为其中点，由正棱台的性质得OO 1⊥平面ABC ，连接AO ，A 1O 1， 过A 1作A 1W ⊥AO ，交AO 于W ，则AO =23×√12−(12)2=√33， ∴OO 1=√AA 12−AW 2=√32−(23√3)2=√693，∴OO 2=12×√693=√696，点F 到平面DEG 的距离为13OO 2=√6918， S △DGE =12×2×2×sin60°=√3， 三棱台ABC ﹣A 1B 1C 1的体积为V 3=13(√34+4√39+√34⋅934)×√693=13√2312， 三棱台ABC ﹣DGE 的体积V =13(√3+9√34+√√3⋅934)×√696=19√2324， V F ﹣DGE =13S △DGE ⋅16OO 1=13×√3×√6918=13√2312， ∴几何体ABCDEF 的体积为V 2＝V ﹣V F ﹣DGE =19√2324−√2318=53√2372，几何体A 1B 1C 1DFE 的体积V 1＝V 3﹣V 2=25√2372， ∴V 1V 2=2553．19．（12分）如图所示，有两个兴趣小组同时测量一个小区内的假山高度，已知该小区每层楼高4m ． （1）兴趣小组1借助测角仪进行测量，在假山水平面C 点测得B 点的仰角为15°，在六楼A 点处测得B 点的俯角为45°，求假山的高度（精确到0.1）；（2）兴趣小组2借助测距仪进行测量，可测得AB ＝22m ，BC ＝16m ，求假山的高度（精确到0.1）． 附：√3≈1.732．解：（1）令假山的高度为h ，由题意可知，AC ＝20m ，∠CAB ＝45°，∠BCD ＝15°，则∠BCA ＝75°，∠ABC ＝60°， 根据正弦定理可得，ACsin∠ABC=BC sin∠CAB，即√32=√2，所以BC =20√63， 而sin ∠BCD =sin15°=sin(45°−30°)=sin45°cos30°−cos45°sin30°=√6−√24，所以ℎ=BCsin ∠DCB =20√63×√6−√24≈4.2， 故假山的高度大约为4.2m ；（2）根据余弦定理，可得cos ∠ACB =AC 2+BC 2−AB 22AC⋅BC =202+162−2222×20×16=43160， 则sin ∠DCB =cos ∠ACB =43160， 所以ℎ=BCsin ∠DCB =16×43160=4.3， 故假山的高度大约为4.3m ．20．（12分）已知函数f （x ）＝sin （ωx +φ）的部分图象如图所示，其中−π2＜φ＜0，且f(π3)=f(5π12)，f(π8)=0．（1）求函数f （x ）的解析式； （2）若tan α＝2，求f （α）的值．解：（1）f(π3)=f(5π12)，则f （x ）的对称轴为x =12（π3+5π12）=3π8，又f(π8)=0，则T ＝4×（3π8−π8）＝π=2πω，∴ω＝2，∴f （x ）＝sin （2x +φ），图象过点（π8，0）， 根据五点法的对应性，又−π2＜φ＜0， 有2×π8+φ＝0，φ=−π4， 则f （x ）＝sin （2x −π4）；（2）sin2α=2sinαcosαsin 2α+cos 2α=2tanα1+tan 2α=45， cos2α=cos 2α−sin 2αcos 2α+sin 2α=1−tan 2α1+tan 2α=−35， f （α））＝sin （2α−π4）=√22（sin2α﹣cos2α）=√22×（45+35）=7√210．21．（12分）在①b sin B sin C +c cos A ＝c cos 2B ，②sin(C+B2)cosB=sinA cos(C−B 2)这两个条件中任选一个，补充在下面问题中，并作答．问题：记△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且_____． （1）证明：A ＝2B ； （2）若ac b+c=1，求c 的取值范围．注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分． 证明：（1）选①：∵b sin B sin C +c cos A ＝c cos 2B ， 由正弦定理得sin 2B sin C +sin C •cos A ＝sin C •cos 2B ，∵sin C ≠0，∴sin 2B +cos A ＝cos 2B ，∴cos A ＝cos 2B ﹣sin 2B ＝cos2B ， ∵A ∈（0，π），2B ∈（0，2π），∴A ＝2B 或A +2B ＝2π，若A +2B ＝2π，则A +2B ＝2π＝2A +2B +2C ，∴﹣A ＝2C 不成立，∴A ＝2B ； 选②：sinB +sinC =sin(C+B 2−C−B 2)+sin(C+B 2+C−B 2)=sin(C+B 2)cos(C−B2)+cos(C+B2)sin(C−B2)+sin(C+B2)cos(C−B2)−cos(C+B2)sin(C−B2) =2sin(C+B 2)⋅cos(C−B2)， ∴sin(C+B 2)⋅cos(C−B 2)=12(sinB +sinC)， ∵sin(C+B 2)cosB=sinA cos(C−B 2)，∴12(sinB +sinC)=sinA ⋅cosB ，∴sin B +sin C ＝2sin A •cos B ，∴sin B +sin （A +B ）＝2sin A •cos B ，∴sin B +sin A •cos B +cos A •sin B ＝2sin A •cos B ，∴sinB =sinA ⋅cosB −cosA ⋅sinB =sin(A −B)， ∴B ＝A ﹣B 或B +A ﹣B ＝π（舍去），∴A ＝2B ； 解：（2）∵A ＝2B ，∴C ＝π﹣A ﹣B ＝π﹣3B ， ∵0＜C ＜π，∴B ∈(0，π3)， ∵ac b+c=1，∴ac ＝b +c ，由正弦定理得c •sin A ＝sin B +sin C ，∴c =sinB+sinC sinA =sinB+sin (π−3B )sin2B =sinB+sin3B sin2B =sinB+sin (2B+B )sin2B=sinB +sin2B ⋅cosB +cos2B ⋅sinB2sinBcosB=sinB+2sinB⋅cos 2B+cos2B⋅sinB 2sinBcosB =1+2cos 2B+cos2B 2cosB=4cos 2B2cosB =2cosB ∈(1，2)， ∴c ∈（1，2）．22．（12分）已知函数f （x ）＝λ（x 3﹣4x 2+5x ﹣5）+x 2﹣x +3，g （x ）＝λ（﹣x 3﹣x ﹣3）+x 3﹣x 2+2x ﹣1，λ∈R ．（1）当λ＝0时．解不等式f （x ）+g （x ）≥2（x +1）；（2）记max {x ，y }表示实数x ，y 中的较大者．任意的λ∈（0，1），是否有max {|f （x ）|，|g （x ）|}＞107恒成立？若是，请证明：否则，请说明理由． 解：（1）因为λ＝0，所以f （x ）+g （x ）＝x 2﹣x +3+x 3﹣x 2+2x ﹣1＝x 3+x +2， 所以x 3+x +2≥2（x +1），即x 3﹣x ≥0⇔x （x ﹣1）（1+x ）≥0， 解得﹣1≤x ≤0或x ≥1，所以不等式f （x ）+g （x ）≥2（x +1）的解集为：[﹣1，0]∪[1，+∞）； （2）恒成立，证明如下：证明：因为λ∈（0，1），则1﹣λ∈（0，1），所以max {|f （x ）|，|g （x ）|}＝（1﹣λ）max {|f （x ）|，|g （x ）|}+λmax {|f （x ）|，|g （x ）|}≥（1﹣λ）|f （x ）|+λ|g （x ）|≥|（1﹣λ）f （x ）﹣λg （x ）|，而（1﹣λ）f （x ）﹣λg （x ）＝（1﹣λ）[λ（x 3﹣4x 2+5x ﹣5）+x 2﹣x +3]﹣λ[λ（﹣x 3﹣x ﹣3）+x 3﹣x 2+2x ﹣1]＝（2λ﹣1）2（x 2﹣x +2）+1+λ＝（2λ﹣1）2[（x −12）2+74]+1+λ≥74（2λ﹣1）2+1+λ， 令h （λ）=74（2λ﹣1）2+1+λ＝7λ2﹣6λ+114=7（λ−37）2+4128， 因为4128＞4028=107，所以当λ∈（0，1）时恒有max {|f （x ）|，|g （x ）|}＞107成立．。

杭师大附中 第二学期期中考试高 一 数 学 试 卷I. 单项选择〔共10题，每题4分；总分值40分〕0sin <θ且02sin <θ,那么θ是 ( )A.第一象限角B. 第二象限角C. 第三象限角D. 第四象限角θ终边上一点的坐标为()()03,<a a a ,那么=⎪⎭⎫ ⎝⎛+4sin πθ ( )A.426+B. 426-C. 426+-D. 426--,545sin =⎪⎭⎫ ⎝⎛+θπ那么⎪⎭⎫ ⎝⎛+θπ252cos = ( ) A.257 B. 257- C. 2524 D. 2524- 4.在∆ABC 中,假设的,2AB CB AB >⋅那么∆ABC 是 〔 〕 A.钝角三角形B.直角三角形C.锐角三角形D.无法确定5.假设不共线的三点O,A,B 满足6,5,4===AB OB OA ,那么=⋅OB OA ( )A.25B.245C.25-D.227 6.在等差数列{}n a 中，假设4681012120a a a a a ++++=，那么 91113a a -的值为( )A.14B.15C.16D.17{}n a 中，14a ,22a ,3a 成等差数列,假设11=a ,那么4a = ( )A.1B.2C.4D.88.在ABC ∆中，3sin 4cos 6,4sin 3cos 1,A B B A +=+=那么角C 的大小为 ( ) A.30 B.150 C.30或150 D.90 1的正三角形ABC 的边AB 、AC 上分别取D 、E 两点，使沿线段DE 折叠三角形时，顶点A 正好落在边BC 上,那么AD 的长度的最小值为 ( ) A.21 B.332- C. 6233- D.213-10. 在ABC ∆中，c b a ,,是角A,B,C 的对边,假设B C C A B A tan tan tan tan tan tan +=，那么222c b a +=( )A.3B.2C.1D.21 Ⅱ.填空题〔共6题，每题4分；总分值24分〕.()()λ,1,1,2==b a ,假设b a //,那么=λ .12.数列{}n a 满足()++∈++==N n a a a a n n n ,21,111,那么它的通项=n a .()x x x f 24cos sin +=的最小周期是 .14.设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，假设0,01615<>S S ，那么15152211,,,a S a S a S 中最大的是 .15.假设把函数()⎪⎭⎫⎝⎛+=62sin πx x f 的图象沿x 轴向左平移12π个单位,得到函数()x g 的图象,那么()x g 的解析式为 . 3.在△ABC 中，AB=3，AC=5，假设O 为△ABC 内一点,且满足OC OB OA ==，那么BC AO ⋅的值是 .Ⅲ.解答题〔共4题，每题9分;总分值36分〕 函数()3cos 32cos sin 22-+=x x x x f 〔Ⅰ〕当x 为何值时,函数()x f 取得最大值. 〔Ⅱ〕求函数()x f 的单调递增区间. (Ⅲ)求函数()x f 对称中心.18.设平面上的向量b a ,n m ,满足关系n m a +=,n m b λ+=2，且1==b a ,0=⋅b a . (Ⅰ)当2-=λ时,求m 与n 的夹角的余弦值. 〔Ⅱ〕当λ为何值时,n m ⊥.19.在ABC ∆中,c b a ,,是角A,B,C 的对边,且B C A C A 222sin sin sin sin sin =⋅++. (Ⅰ)求角B. 〔Ⅱ〕假设ABC ∆的面积32且6=+c a ,求c a ,.{}n a 的首项,11=a 前n 项和为n S ,且满足()+++∈+=-N n S S S S n n n n 11.(Ⅰ)求n S 与n a〔Ⅱ〕从集合{}+∈≤≤N i i a i ,501取出三个数构成以正整数为公比的递增等比数列，放回后再取出三个数构成以正整数为公比的递增等比数列，相同的数列只取一次，按照上述取法取下去，直到取完所有满足条件的数列为止。

学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题对于④：棱台结构特征知：侧棱延长后必交于一点，故选：B3．设函数（()()sin f x x ωϕ=+A ．筒车转动的角速度 π60ω=B ．当筒车旋转100秒时，盛水筒M 对应的点P 的纵坐标为C ．当筒车旋转100秒时，盛水筒M 和初始点的水平距离为0PD ．筒车在秒的旋转过程中，盛水筒M 最高点到(]0,60【答案】ACD三、填空题【答案】2 22 +【分析】利用直观图中的信息，求出【详解】于，AE BC ⊥E 在直观图中，， 45ABC ∠= AB =，21,2BE ==1BC ∴=+【答案】334a -【分析】设，根据，得到，再利用正弦定理AC h =60ADC ∠=︒23sin 603h AD h ==︒由求解.sin sin AD DBABC DAB=∠∠【详解】解：设， AC h =因为， 60ADC ∠=︒【答案】3【分析】设32AO AD AE λλ==，求得1144AO AB AC =+ AO EC ⋅四、解答题(1)求B点的横坐标；(2)求线段AB的长度.【答案】(1)3 5 -(2)22-(1)求函数的解析式；()y f x =(2)求的单调增区间及对称轴()f x 【答案】(1)()=2sin(2f x x (2)单调递增区间为ππ3k ⎡-⎢⎣(1)用，表示；BA BCBP (2)求证：．BP CD ⊥【答案】(1)4177BP BA BC =+(2)证明见解析．则()(PA PB PM MA ⋅=+⋅ ()2PM MA MB PM =+⋅+ ，2223PM MA PM =--= 由，则2,1OP OM ==PM分析得出范围.。

浙江省杭州市高一下学期期中数学试卷姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、选择题 (共12题；共24分)1. （2分） (2016高一下·枣阳期中) △ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若C= ，3a=2c=6，则b的值为（）A .B .C . ﹣1D . 1+2. （2分）已知等差数列中, ,是方程的两根, 则等于（）A . 18B . -18C . 15D . 123. （2分）在△ABC中，cosA=， 3sinB=2sinC，且△ABC的面积为2，则边BC的长为（）A . 2B . 3C . 2D .4. （2分）等差数列中，3（a3+a5)+2(a7+a10+a13)=24，则该数列前13项的和是（）A . 13B . 26C . 52D . 1565. （2分）已知a<b，则下列不等式正确的是（）A .B .C . 2-a>2-bD .6. （2分）关于x的方程x2+（a+1）x+a+b+1=0（a≠0，a、b∈R）的两实根为x1 ， x2 ，若0＜x1＜1＜x2＜2，则的取值范围是（）A . (-2,-)B . (-,-)C . (-,-)D . (-,-)7. （2分） (2016高一上·宜春期中) 若一系列函数的解析式和值域相同，但是定义域不同，则称这些函数为“同族函数”，例如函数y=x2 ，x∈[1，2]，与函数y=x2 ，x∈[﹣2，﹣1]即为“同族函数”．下面的函数解析式也能够被用来构造“同族函数”的是（）A . y=xB . y=|x﹣3|C . y=2xD . y=log8. （2分）已知f(x)＝x3＋x ，若a ， b ，c∈R，且a＋b>0，a＋c>0，b＋c>0，则f(a)＋f(b)＋f(c)的值（）A . 一定大于0B . 一定等于0C . 一定小于0D . 正负都有可能9. （2分）(2017·三明模拟) 若变量x，y满足约束条件，则的最大值为（）A .B .C . 1D . 210. （2分）不等式(x-1)(2-x)>0的解集是（）A . （-∞，1）B . （2，+∞）C . （-∞，1）（2，+∞）D . （1，2）11. （2分） (2019高三上·德州期中) 中华人民共和国国歌有个字，小节，奏唱需要秒，某校周一举行升旗仪式，旗杆正好处在坡度的看台的某一列的正前方，从这一列的第一排和最后一排测得旗杆顶部的仰角分别为和，第一排和最后一排的距离为米（如图所示），旗杆底部与第一排在同一个水平面上．要使国歌结束时国旗刚好升到旗杆顶部，升旗手升旗的速度应为（）（米/秒）A .B .C .D .12. （2分）若正实数a,b满足a+b=1，则（）A . 有最大值4B . ab有最小值C . 有最大值D . 有最小值二、填空题 (共4题；共4分)13. （1分）(2018·榆社模拟) 在等差数列中，，则 ________.14. （1分） (2018高二上·嘉兴月考) 二次函数 f ( x ) = a x 2 −4 x + c的值域为，且，则的最大值是________．15. （1分） (2016高一上·南京期中) 已知函数f（x）=2x﹣2﹣x ，若对任意的x∈[1，3]，不等式f（x2+tx）+f（4﹣x）＞0恒成立，则实数t的取值范围是________．16. （1分）(2020·梧州模拟) 在等比数列{an}中，a4＝4（a3﹣a2），a5＝﹣16，则a1＝________．三、解答题 (共6题；共60分)17. （10分） (2016高一下·天津期中) 已知Sn是正项数列{an}的前n项和，且Sn= an2+ an﹣（1）求数列{an}的通项公式；（2）若an=2nbn，求数列{bn}的前n项和．18. （10分）(2020·山东模拟) 在中，内角，，的对边分别为，，，设的面积为， .（1）求的值；（2）若，，求的值．19. （15分） (2016高一上·胶州期中) 已知函数y=x+ 有如下性质：如果常数t＞0，那么该函数在（0，]上是减函数，在[ ，+∞）上是增函数．（1）若f（x）=x+ ，函数在（0，a]上的最小值为4，求a的值；（2）对于（1）中的函数在区间A上的值域是[4，5]，求区间长度最大的A（注：区间长度=区间的右端点﹣区间的左断点）；（3）若（1）中函数的定义域是[2，+∞）解不等式f（a2﹣a）≥f（2a+4）．20. （5分）某人在塔的正东处沿着南偏西的方向前进米后到达处，望见塔在东北方向，若沿途测得塔的最大仰角为，求塔高．21. （10分） (2019高二下·吉林月考) 已知递增的等比数列满足，且是，的等差中项.（1）求的通项公式；（2）若，求使成立的的最小值.22. （10分）乒乓球是我国的国球，在2016年巴西奥运会上尽领风骚，包揽该项目全部金牌，现某市有甲、乙两家乒乓球俱乐部，两家设备和服务都很好，但收费方式不同，甲家每张球台每小时6元；乙家按月计费，一个月中20小时以内（含20小时）每张球台90元，超过20小时的部分，每张球台每小时2元，某公司准备下个月从这两家中的一家租一张球台开展活动，其活动时间不少于12小时，也不超过30小时．（1）设在甲家租一张球台开展活动x小时收费为f（x）元（12≤x≤30），在乙家租一张球台开展活动x小时的收费为g（x）元（12≤x30），试求f（x）与g（x）的解析式；（2）选择哪家比较合算？为什么？参考答案一、选择题 (共12题；共24分)1-1、2-1、3-1、4-1、5-1、6-1、7-1、8-1、9-1、10-1、11-1、12-1、二、填空题 (共4题；共4分)13-1、14-1、15-1、16-1、三、解答题 (共6题；共60分) 17-1、17-2、18-1、18-2、19-1、19-2、19-3、20-1、21-1、21-2、22-1、22-2、。

一、单选题1．已知集合，，则（ ） {1}A xx =>∣{}240B x x =-<∣A B = A ． B ．C ．D ．(2,1)--(1,)+∞(2,)+∞(1,2)【答案】D【分析】解出不等式，然后根据交集的定义可得答案.240x -<【详解】因为，所以. {}22B x x =-<<∣{}12A B x x ⋂=<<∣故选：D2．已知，，，则a ，b ，c 的大小关系是（ ） 3log 4a =0.7log 2b =0.15c -=A ． B ． C ． D ．a b c >>a c b >>c b a >>c a b >>【答案】B【分析】利用指数函数和对数函数的单调性跟比较即可判断.0,1【详解】因为，，， 33log 43log 1a ==>0.70.7log 2log 10b =<=0.105510c -<<==所以. a c b >>故选：B3．下列各式中，值为的是（ ） 12A ．B ．C ．D ．()1cos15sin152︒-︒22cos sin 1212ππ-2tan 22.51tan 22.5︒-︒sin15cos15︒︒【答案】C【分析】利用和差角公式、二倍角公式化简各选项，计算判断作答.【详解】对于A ，A 不符合； 1(cos15sin15)15)602︒-︒=︒+︒=︒=对于B ，B 不符合； 22πππcos sin cos 12126-==对于C ，，C 符合； 22tan 22.512tan 22.511tan 451tan 22.521tan 22.522=⨯=--︒︒︒=︒︒对于D ，，D 不符合.11sin15cos15sin 3024︒︒=︒=故选：C4．已知是边长为正三角形，为线段上一点（包含端点），则的取值范围为ABC A 2P AB PB PC ⋅（ ）A ．B ．1,24⎡⎤-⎢⎥⎣⎦1,44⎡⎤-⎢⎥⎣⎦C ．D ．[]0,2[]0,4【分析】以中点为坐标原点建立平面直角坐标系，设，利用平面向量坐标AB O ()(),011P m m -≤≤运算可得，利用二次函数值域的求法可求得结果.21124PB PC m ⎛⎫⋅=-- ⎪⎝⎭ 【详解】以中点为坐标原点，正方向为轴可建立如图所示平面直角坐标系，AB O ,OB OC,x y则，，，()1,0A -()10B ,(C设，，，()(),011P m m -≤≤()1,0PB m ∴=-(PC m =- ，221124PB PC m m m ⎛⎫∴⋅=-=-- ⎪⎝⎭ 则当时，；当时，；12m =()min 14PB PC ⋅=- 1m =-()max2PB PC ⋅= 的取值范围为. PB PC ∴⋅ 1,24⎡⎤-⎢⎥⎣⎦故选：A.5．衡量钻石价值的4C 标准之一是切工．理想切工是一种高雅且杰出的切工，它使钻石几乎反射了所有进入钻石的光线．现有一理想切工的钻石，其横截面如图所示，其中为等腰直角三角ABC A 形，四边形BCDE 为等腰梯形，且，，，则（ ） 2BC DE =AB AC =34CDE π∠=CE →=A ．B ．123CA CD →→+133CA CD →→+C ．D ．12CA CD →→+13CA CD →→+【分析】如图，延长CD 和BE 交于点F ，证明四边形ABFC 为正方形，再利用平面向量的线性运算求解.【详解】解：如图，延长CD 和BE 交于点F ，由题得, 90A F FCA FBA ∠=∠=∠=∠= 所以四边形ABFC 为矩形，又,所以四边形ABFC 为正方形， AB AC =又，所以分别是中点，2BC DE =,D E ,CF BF 所以．122CE CF FE CA CD →→→→→=+=+故选：C6．函数的图象大致为（ ）()sin cos 2x xf x x ⋅=+A ． B ．C ．D ．【答案】A【分析】由函数的奇偶性质可知函数为偶函数，再结合时函数的符号即可得答案.2x π=【详解】解：由题知函数的定义域为，关于原点对称，，R ()()()()sin sin cos 2cos 2x x x xf x x x f x -⋅-⋅===-++-所以函数为偶函数，其图像关于轴对称，故排除B ，D ，当时，，y 2x π=sin22024cos 22f πππππ⋅⎛⎫==> ⎪⎝⎭+故排除C ，得A 为正确选项. 故选：A7．已知函数满足，若在区间上恒成立，则实数的取值范围()()log 8a f x ax =-1a >()1f x >[]1,2a 是（ ） A ． B ．C ．D ．()4,+∞8,43⎛⎫ ⎪⎝⎭81,3⎛⎫ ⎪⎝⎭()81,4,3⎛⎫⋃+∞ ⎪⎝⎭【答案】C【分析】首先判断函数的单调性，依题意恒成立，再根据对数函数的性质得到不等式组，()21f >解得即可.【详解】解：因为且，又单调递减，在定义域上单调递()()log 8a f x ax =-1a >8y ax =-log a y x =增，所以在定义域上单调递减，()()log 8a f x ax =-因为在区间上恒成立，所以恒成立，()1f x >[]1,2()()2log 821log a a f a a =->=所以，解得，即；821a a a ->⎧⎨>⎩813a <<81,3a ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭故选：C8．函数在上单调递减，则的取值范()sin(2)2sin cos()(0,R)f x x x ωϕϕωϕωϕ=+-+>∈3,2ππ⎛⎫⎪⎝⎭ω围是（ ） A ．B ．C ．D ．10,2⎛⎤⎝⎦(0,1]1,12⎡⎤⎢⎥⎣⎦[1,2]【答案】C【分析】先根据三角恒等变换化简的解析式，再结合单调区间即可求出的取()f x ()sin f x x ω=ω值范围.【详解】由题意可得，()sin(2)2sin cos()sin f x x x x ωϕϕωϕω=+-+=T π令，由此可得， 322()22k x k k πππωπ++∈Z ……232()22k k x k ππππωωωω++∈Z ……因为在上单调递减，所以由此解得.()f x 3,2ππ⎛⎫⎪⎝⎭23322ππωππω⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩，……1,12ω⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦故选：C.【点睛】已知三角函数的单调区间求参数，一般先求出函数的单调区间，然后利用集合间的关系求解.二、多选题9．若向量满足 ）,a b ||||2,||a b a b ==+=A ．B ．与的夹角为2a b ⋅=-a bπ3C ．D ．在上的投影向量为(2)a a b ⊥-a b - b12b r 【答案】BC【分析】由模与数量积的关系求得，再根据数量积的性质确定与的夹角，判断向量垂2a b ×=a b直，求解投影向量即可得结论.【详解】因为，所以||||2==r r a b a b +====则，故A 不正确；2a b ×=又，，所以，即与的夹角为，故B 正确； 21cos ,222a b a b a b ⋅===⨯⋅ 0,πa b ≤≤ π,3a b = a b π3又，所以，故C 正确；2(2)24220a a b a a b ⋅-=-⋅=-⨯=(2)a a b ⊥- 又在上的投影向量为，故Da b -b ()221cos ,2a b b b b a b b a b a b b a bb b b a b bb b-⋅⋅---⋅=-⋅=⋅=--⋅不正确. 故选：BC.10．已知函数（，，，）的部分图像如图所示，则下()sin()f x A x ωϕ=+R x ∈0A >0ω>||2ϕπ<列说法正确的是（ ）A ．的图像关于点对称()f x 1,06⎛⎫- ⎪⎝⎭B ．的图像关于直线对称()f x 43x =C ．在上为增函数()f x 11,23⎡⎤-⎢⎥⎣⎦D ．把的图像向右平移个单位长度，得到一个奇函数的图像 ()f x 23【答案】ABC【分析】根据函数图像求出函数解析式，然后利用三角函数的性质逐一判断即()π2sin π6f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭可.【详解】由已知，，，， 2A =514263T ⎛⎫=⨯-= ⎪⎝⎭2ππ2ω==π2sin 23ϕ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，， ππ2π32k ϕ+=+k ∈Z 又，，，π2ϕ<π6ϕ∴=()π2sin π6f x x ⎛⎫∴=+ ⎪⎝⎭对于A ，，故A 正确；1ππ2sin 0666f ⎛⎫⎛⎫-=-+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭对于B ，令，，得，，时，，故B 正确；ππππ62x k +=+k ∈Z 13x k =+k ∈Z 1k =43x =对于C ，时，令，在上递增，故C 正确；11,23x ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦ππππ,632t x ⎡⎤=+∈-⎢⎥⎣⎦sin y t =ππ,32⎡⎤-⎢⎥⎣⎦对于D ，把的图像向右平移个单位长度，得函数表达式为()f x 23，它是偶函数，故D 错误.()2ππ2sin π2sin π2cos π362g x x x x ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=-+=-=- ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦故选：ABC.11．设，，且，则（ ） 0a >0b >22a b +=A ．的最大值为 B ．的最小值为 ab 12a b +1C ．的最小值为 D ．的最小值为 22a b +452a b ab -+92【分析】利用基本不等式可判断A 选项；求出的取值范围，可得出的取值范围，可判断B b a b +选项；利用二次函数的最值可判断C 选项；求得，将与相乘，展开212a b ab a b -+=+12a b+()122a b +后利用基本不等式可判断D 选项.【详解】对于A 选项，由基本不等式可得， 22a b =+≥12≤ab 当且仅当时，等号成立，A 对；21a b ==对于B 选项，由可得，解得， 22a b +=022b <<01b <<所以，，B 错；()21,2a b b +=-∈对于C 选项，由可得，则22a b +=22a b =-()222222444225845555a b b b b b b ⎛⎫+=-+=-+=-+≥⎪⎝⎭，当且仅当时，等号成立，故的最小值为，C 对；45b =22a b +45对于D 选项，， ()22212a b a b a b a b ab ab ab a b-++-++===+因为， ()1211255922222b a a b a b a b a b ⎛⎫+=++=++≥+= ⎪⎝⎭当且仅当时，等号成立，故的最小值为，D 对. 23a b ==2a b ab -+92故选：ACD.12．已知函数的定义域为为奇函数，为偶函数，当时，()f x (),1f x -R ()1f x +()1,1x ∈-，则下列结论正确的是（ ）()21f x x =-A ．为周期函数且最小正周期为8 ()f x B ．7324f ⎛⎫= ⎪⎝⎭C ．在上为增函数()f x ()6,8D ．方程有且仅有7个实数解 ()lg 0f x x +=【答案】ABD【分析】由条件得函数的对称性，进而得到函数的周期性，然后利用数形结合结合条件逐项分析即得.【详解】因为为奇函数，所以，即关于点对称；()1f x -()()11f x f x --=--()f x ()1,0-因为为偶函数，所以，即关于直线对称； ()1f x +()()11f x f x -+=+()f x 1x =则，()()()()()()()112314f x fx f x f x f x =-+=-+=---=--所以，故的周期为，结合条件可得函数的大致图象，进而可得A 正确；()()8f x f x =-()f x 8，B 正确； 2755111131111122222224f f f f f f ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+=-+=--=--=--=---=⎢⎥ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦由于在上单调递减，且关于点对称，故在上单调递减，又()f x ()1,0-()f x ()1,0-()f x ()2,0-的周期为8，则在上也为减函数，C 错误；()f x ()f x ()6,8作出函数的图象和函数的大致图象，函数的图象与函数的图象恰()f x lg y x =-()y f x =lg y x =-有7个交点，故D 正确. 故选：ABD.【点睛】通过函数图象具有中心对称性和轴对称性，推断函数的周期性，由上的解()f x ()1,1x ∈-析式，可得函数的大致图象进而可得其他区间上函数的性质.三、填空题13．________．223ln 2338log 27e 227-⎛⎫⎛⎫-++= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭【答案】5【分析】根据指数运算和对数运算的性质即可求解.【详解】. 223ln 2338log 27e 227-⎛⎫⎛⎫-++= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭223ln 232244log 3e 3253399⎛⎫⎛⎫-++=-++= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭故答案为：514．如果光线每通过一块玻璃其强度要减少10%，那么至少需要将______块这样的玻璃重叠起来，才能使通过它们的光线强度低于原来的0.1倍，（参考数据：） lg30.4771≈【分析】由题意，建立不等式，利用对数运算，可得答案. 【详解】设光线的强度为，至少重叠玻璃的快数为，则，x n ()110%0.1nx x-<整理可得. 0.99910101lg1011log 0.1log log 1021.8910lg 9lg102lg 31lg 10n >==-=-=-=-≈--故答案为：. 2215．若，，则的值是________.sin 2α=()sin βα-=π,π4α⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦3π,π2β⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦αβ+【答案】74π【分析】依题意,可求得，进一步可知，于是可求得与ππ,42α⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦π5,π24βα⎡⎤-∈⎢⎥⎣⎦()cos βα-cos 2α的值，再利用两角和的余弦公式及角的范围即可求得答案.βα+【详解】因为，所以，π,π4α⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦π2,2π2α⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦因为，即所以sin 2α=π2,π2α⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦ππ,42α⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦cos 2=α=.因为，，所以，ππ,42α⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦3π,π2β⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦π5,π24βα⎡⎤-∈⎢⎥⎣⎦因为()sin βα-=()cos βα-==所以()()cos cos 2βαβαα+=-+ ()()=cos cos 2sin sin 2βααβαα---=⎛⎛⨯ ⎝⎝因为，，所以，ππ,42α⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦3π,π2β⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦5π,24βαπ⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦所以. 7=4παβ+故答案为：. 74π16．已知的外接圆圆心为O ， 为的重心且则ABC A H ABC A 4,6AB AC ==()B O HC A H ⋅+=【答案】 263-【分析】由三角形重心及外心的性质即可得出结果.【详解】如图所示，取中点，过作，则是的中点.BC D O ,OE AB OF AC ⊥⊥E F 、AB AC 、∵为的重心，∴， H ABC A ()21233HB HC HD AD AB AC +===+ ,同理，21cos 2OA AB AB OA OAB AB ⋅=-⋅⋅∠=-212OA AC AC ⋅=- 故 ()()()221152263663O HB HC A O B AC AB A A C A ⋅+=⋅⋅+=-+=-=-故答案为： 263-【点睛】结论点睛：（1）三角形的重心是三角形三条中线的交点，且是中线的三等分点（靠中点近），即；()123AO AB AC OD =+=（2）三角形的外心是三角形三条中垂线的交点，即有：.222111222AO AB AB ,BO BC BC ,CO CA CA ⋅=⋅=⋅=四、解答题17．已知向量，．()2,1a =-r ()1,3b →=-(1)若，求的值； ()()2a b a b λ-⊥+ λ(2)若，向量与的夹角为钝角，求的取值范围． ()1,c μ= a c μ【答案】(1)53(2)且2μ<12μ≠-【分析】（1）首先求出，的坐标，依题意，根据向量数量积的坐标2a b -r r a b λ+ ()()20a b a b λ-⋅+= 表示得到方程，解得即可；（2）依题意可得且与不反向，根据向量共线及数量积的坐标表示得到求出的取值范0a c <⋅r r a c μ围；【详解】（1）解：因为，，()2,1a =-r ()1,3b =- 所以，，()()()22,121,34,7a b -=---=-r r ()()()2,11,321,3a b λλλλ+=-+-=-+-r r 因为，所以，解得； ()()2a b a b λ-⊥+ ()()()()2421730a b a b λλλ-⋅+=--++-= 53λ=（2）解：因为，且与的夹角为钝角，()2,1a =-r ()1,c μ= a c 所以且与不反向，0a c <⋅r r a c 由，解得，20a c μ=-⋅+<r r 2μ<当即时与反向，故， 211μ-=⨯12μ=-a c 12μ≠-综上可得且 2μ<12μ≠-18．在①；②；，这三个条2sin sin 1sin sin A B c B A ab++=(2)cos cos 0a b C c A ++=sin sin 2A B c A +=件中任选一个，补充在下面的横线上，并解答.在中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且 .ABC A (1)求角C 的大小；(2)若，求周长的取值范围.4c =ABC A 【答案】(1) 2π3C =(2) (4⎤⎦【分析】（1）若选择①，利用正弦定理，化角为边后，结合余弦定理求角；若选择②，利用正弦定理，化边为角，结合三角恒等变换，求角；如选择③，利用正弦定理，将边化角，利用诱导公式，和二倍角公式，即可求角；（2）利用余弦定理，结合基本不等式，即可求三角形周长的取值范围. 【详解】（1）选择条件①：由及正弦定理，得：， 2sin sin 1sin sin A B c B A ab++=21a b c b a ab ++=即，由余弦定理，得， 222a b c ab +-=-2221cos 222a b c ab C ab ab +--===-因为，所以； 0πC <<2π3C =选择条件②：由及正弦定理，(2)cos cos 0a b C c A ++=得：，(sin 2sin )cos sin cos 0A B C C A ++=即.sin cos cos sin 2sin cos A C A C B C +=-即.sin()2sin cos A C B C +=-在中，，所以，ABC A πA B C ++=sin()sin(π)sin A C B B +=-=即，因为，所以，所以， sin 2cos sin B C B =-0πB <<sin 0B ≠1cos 2C =-因为，所以； 0πC <<2π3C =选择条件③及正弦定理， sinsin 2A B c A +=， sin sin sin 2A B A C A +=因为，. 0πA <<sin 0A ≠sin 2A B C +=在中，，则， ABC A πA B C ++=sin cos 22A B C +=. 2sin cos 222C C C =因为，所以，则， 0πC <<cos02C ≠sin 2C =故； 2π3C =（2）在中应用余弦定理得：，ABC A 2222cos c a b ab C =+-所以，因为，2216a b ab =++()2222a b a b ab +=+-所以. 因为， ()216a b ab +=+2()4a b ab +≤所以，解得：， ()()22164a b a b ++≤+()2192a b +≤又因为，a b c +>所以，当且仅当时取等号.84a b c <++≤a b =所以周长的取值范围是：(4⎤+⎦19．已知指数函数过点，函数. ()()01x f x a a a =>≠,()1,2()()()11f xg x x f x -=⋅+(1)求，的值；()1g ()1g -(2)判断函数在上的奇偶性，并给出证明；()g x R (3)已知在上是单调函数，由此判断函数，的单调性（不需证明），并()g x [)0,+∞()y g x =x ∈R 解不等式. ()1213g x +>【答案】(1)； ()()1113g g -==(2)为偶函数，证明见解析；()g x (3)增区间为，减区间为；不等式解集为.()g x ()0,+∞(),0-∞()(),10,-∞-⋃+∞【分析】（1）由指数函数过点求参数a ，即可得的解析式，进而求，的值； ()g x ()1g ()1g -（2）利用奇偶性定义判断的奇偶性；()g x （3）由题设及（1）（2）结论即可判断的单调性，再根据单调性、奇偶性求不等式的解()y g x =集.【详解】（1）由题设，，则， ()12f a ==()2121x x g x x -=⋅+所以，. ()1121111213g ----=-⨯=+()21111213g -=⨯=+（2），，定义域关于原点对称. ()2121x x g x x -=⋅+x ∈R 又， ()()()()21122121x xx x g x x x g x -----=-=-=++故为偶函数；()g x （3）由且，在上单调，()00g =()()01g g <()g x [)0,+∞所以为单调增区间，()0,+∞()g x 而为偶函数，则单调减区间为()g x ()g x (),0-∞由可得：，即，解得. ()1213g x +>()()211g x g +>211x +>()(),10,x ∈-∞-⋃+∞20．设平面向量，，函数． 21,cos 2a x x ⎫=-⎪⎭ (cos ,1)b x =- ()f x a b =⋅ (1)求的单调增区间；()f x (2)当时，求函数的值域； π0,2x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦()f x (3)若锐角满足，求的值． α124f α⎛⎫= ⎪⎝⎭2πcos 23α⎛⎫+ ⎪⎝⎭【答案】(1) πππ,π,Z 63k k k ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦(2) 1,12⎡⎤-⎢⎥⎣⎦(3) 78-【分析】（1）化简得到，取，解得答案. ()πsin 26f x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭πππ2π22π262k x k -≤-≤+（2），则，得到值域. π0,2x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦ππ5π2,666x ⎡⎤-∈-⎢⎥⎣⎦（3）代入数据得到，化简得到，计算得到π1sin 264f αα⎛⎫⎛⎫=-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭22ππcos 22sin 136αα⎛⎫⎛⎫+=-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭答案.【详解】（1） ()211cos 21cos cos 2222x x x x f x a b x +=-+=-=⋅+， 1π2cos 2sin 226x x x ⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭取，，解得，， πππ2π22π262k x k -≤-≤+Z k ∈ππππ63k x k -≤≤+Z k ∈故的单调增区间为， ()f x πππ,π,Z 63k k k ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦（2），则，故 π0,2x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦ππ5π2,666x ⎡⎤-∈-⎢⎥⎣⎦()1,12f x ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦（3）， π1sin 264f αα⎛⎫⎛⎫=-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭. 22ππππ7cos 2cos 2πcos 22sin 136668αααα⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=-+=--=--=- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭21．在梯形中，分别为线段，上的ABCD ,2,1,120,,AB CD AB BC CD BCD P Q ===∠=∥ BC CD 动点.(1)求；BC AB ⋅ (2)若，求； 14BP BC = AP (3)若，求的最小值； 1,6BP BC DQ DC μμ== AP BQ ⋅ 【答案】(1)2-(3) 43-【分析】（1）根据题意得，所以，求解计算即可； 60ABC ∠=cos BC AB BC AB BC AB =⨯⨯⋅⋅ （2）根据题意得，所以； 14AP AB BC =+ P A = （3）根据题意得，且，再分析单调性求解即可. 125536AP BQ μμ=⋅+- 116μ≤≤【详解】（1）因为，所以，,2,120AB CD AB BC BCD ==∠= ∥60ABC ∠= 所以， ,180120BC AB ABC =-∠= 所以. cos 22cos1202BC AB BC AB BC AB =⨯⨯=⨯⨯=⋅-⋅ （2）由（1）知，，因为，所以， 2BC AB ⋅=- 14BP BC = 14AP AB BP AB BC =+=+ 所以， ()222222111111322221146264AP AB AB AB BC BC BC ⎛⎫=+=+⋅+=+⨯-+⨯= ⎪⎝⎭. （3）因为，， BP BC μ= 16DQ DC μ= 则 ()()()616AP BQ AB BP BC CQ AB BC BC CD μμμ⎛⎫-⋅=+⋅+=+⋅+ ⎪⎝⎭ 2611666AB BC AB CD BC CB CD μμμμ--=⋅+⋅++⋅ ， 261161125221221566236μμμμμμ--⎛⎫=--⨯⨯+⨯+⨯⨯⨯-=+- ⎪⎝⎭因为，解得，设，，根据对勾函数的单调性可011016μμ<≤⎧⎪⎨<≤⎪⎩116μ≤≤()125536f μμμ=+-116μ≤≤知，在单调递增， ()f μ1,16⎡⎤⎢⎥⎣⎦所以当时，取得最小值：. 16μ=()f μ5254266316f ⎛⎫=+-=- ⎪⎝⎭22．设函数.2()2(,)f x ax x b a b R =-+∈（1）当时，若不等式在上恒成立，求实数的取值范围；0b =()2f x x ≤[0,2]x ∈a （2）若为常数，且函数在区间上存在零点，求实数的取值范围.a ()f x [0,2]b 【答案】（1）；（2）见解析[]0,2【分析】（1）当时，不等式恒成立，当，由条件可得在，上恒成立，0x =02x <…22x a --……(02]进一步得到，求出的范围即可；（2）函数在，上存在零点，即方程222a a -⎧⎨--⎩……a ()f x [02]在，上有解，设，然后分和两种情况求出的范||2x a xb -=-[02]22,(),x ax x a h x x ax x a⎧-≥=⎨-+<⎩0a …0a >b 围．【详解】（1）当时，若不等式在，上恒成立；0b =||2x a x x -…[0x ∈2]当时，不等式恒成立，则；0x =a R ∈当，则在，上恒成立，02x <…||2a x -…(02]即在，上恒成立，22x a --……(02]因为在，上单调增，，，y x a =-(02]2max y a =-min y a >-则，解得，； 222a a -⎧⎨--⎩……02a ……则实数的取值范围为，；a [02]（2）函数在，上存在零点，即方程在，上有解；()f x [02]||2x a x b -=-[02]设 22,(),x ax x a h x x ax x a ⎧-≥=⎨-+<⎩当时，则，，，且在，上单调递增，0a …2()h x x ax =-[0x ∈2]()h x [02]所以，（2），()(0)0min h x h ==()max h x h =42a =-则当时，原方程有解，则；0242b a --……20a b -……当时，， 0a >22,(),x ax x a h x x ax x a ⎧-≥=⎨-+<⎩则在，上单调增，在上单调减，在，上单调增；()h x [0]2a [,]2a a [a )∞+①当，即时，（2），， 22a …4a …()max h x h =24a =-()(0)0min h x h ==则当时，原方程有解，则；0224b a --......20a b -......②当，即时，，， 22a a <...24a < (2)()()24max a a h x h ==()(0)0min h x h ==则当时，原方程有解，则； 2024a b - (208)a b -……③当时，，， 02a <<2(){(),(2)}{,42}24max a a h x max h h max a ==-()(0)0min h x h ==当，即时，， 2424a a -…42a -+<2()4max a h x =则当时，原方程有解，则； 2024a b - (208)a b -……当，即时，， 2424a a <-04a <<-+()42max h x a =-则当时，原方程有解，则；0242b a --……20a b -……综上，当的取值范围为，；4a <-+b [2a -0]当时，实数的取值范围为； 44a -+<b 2[,0]8a -当时，实数的取值范围为，．4a …b [2a -0]【点睛】本题考查了函数恒成立问题和函数零点的判定定理，考查了函数最值的求法，考查了分类讨论思想和函数思想，属难题．。

2022-2023学年浙江省杭州师大附中高一（下）期中数学试卷一、选择题：（本大题共15小题，每小题3分，共45分。

每小题列出的四个选项中只有一个是符合题目要求的，不选、多选、错选均不得分。

）1．已知集合U ＝{1，2，3，4，5，6，7}，A ＝{2，3，6，7}，B ＝{2，3，4，5}，则A ∩（∁U B ）＝（ ） A ．{6，7}B ．{1，7}C ．{1，6}D ．{1，6，7}2．下列函数中不能用二分法求零点的是（ ） A ．y ＝3x ﹣1 B ．y ＝x 3C ．y ＝|x |D ．y ＝lnx3．cos17π6等于（ ）A ．−12B ．−√32C ．12D ．√324．已知角α的终边经过点P （﹣5，n ），且tanα=125，则cos α的值为（ ） A ．513B ．−513C ．1213D ．−12135．下列函数中，既是偶函数又在区间（0，+∞）上单调递增的是（ ） A ．y ＝cos xB ．y ＝e |x |C ．y ＝lgxD ．y =1x6．函数y =tan(x −π4)的定义域为（ ） A ．{x |x ∈R ，x ≠k π，k ∈Z }B ．{x|x ∈R ，x ≠π2+kπ，k ∈Z} C ．{x|x ∈R ，x ≠π4+2kπ，k ∈Z}D ．{x|x ∈R ，x ≠3π4+kπ，k ∈Z}7．若cos(π2+θ)＞0，且sin(π2−θ)＜0，则θ是（ ） A ．第一象限角 B ．第二象限角 C ．第三象限角 D ．第四象限角8．已知tan α＝2，则2sin 2α+cos 2αsin 2α−3cos 2α的值为（ ）A ．9B ．6C ．﹣2D ．﹣39．若函数f(x)=√3cos 12x ，x ∈[0，π3]，则函数f （x ）的最小值为（ ） A ．32B ．23C ．√22D ．√3210．在△ABC 中，A 为锐角，若sinA =35，cosB =513，则cos C ＝（ ） A ．1665B ．5665C ．5665或1665D ．−336511．若0＜α＜π2，0＜β＜π2，cos(α+β)=513，sin(β−π4)=35，则cos(α+π4)=（ ） A ．√22B ．32C ．5665D ．366512．函数f （x ）＝x 2cos x 的部分图象是（ ）A ．B ．C ．D ．13．设a ＝log 52，b =243，c ＝log 0.32，则（）A ．b ＞a ＞cB ．b ＞c ＞aC ．c ＞b ＞aD ．a ＞b ＞c14．已知函数f （x ）={2x −1，x ＜1(x −a)(x −2a)，x ≥1若f （x ）恰有两个零点，则正数a 的取值范围是（ ）A ．（0，12）B ．[12，2）C ．[12，1）D ．（1，2）15．设函数f(x)={1−ax ，x ＜a ，x 2−3x +2，x ≥a ．若f （x ）存在最小值，则实数a 的取值范围为（ ）A ．[−√52，√52] B ．[0，√52]C ．[−√52，√52]∪(32，+∞) D ．[0，√52]∪(32，+∞)二、多选题（本大题共3小题，每小题3分，共9分，每小题列出的四个选项中有多个是符合题目要求的，不选、多选、错选均不得分，少选得2分）16．已知函数f(x)=tan(x +π4)，则下列结论不正确的有（ ） A ．f （0）＝1B ．f （x ）的最小正周期为πC ．(π4，0)不是f （x ）的对称中心D ．f （x ）在(0，π3)上单调递增17．下列各式中值为12的是（ ）A ．2sin75°cos75°B ．1−2sin 2π12C ．sin45°cos15°﹣cos45°sin15°D ．tan20°+tan25°+tan25°tan25°18．已知实数x ，y 满足a x ＜a y （0＜a ＜1），则下列关系式恒成立的有（ ） A ．x 3＞y 3B ．1x＜1yC ．ln （x ﹣y +1）＞0D ．sin x ＞sin y三、填空题（本大题共4小题，每空3分，共15分，把答案填在题中的横线上） 19．设函数f （x ）={−x −1，x ≤0√x ，x ＞0，则f （4）＝ ；若f （x 0）＞1，则x 0的取值范围是 ．20．已知sin （π6−α）=13，0＜α＜π2，则sin （π3+α）＝ ． 21．求值：sin50°（1+√3tan10°）＝ ．22．通过科学研究发现：地震时释放的能量E （单位：焦耳）与地震里氏震级M 之间的关系为lgE ＝4.8+15M 已知2011年甲地发生里氏9级地震，2019年乙地发生里氏7级地震，若甲、乙两地地震释放能量分别为E 1，E 2，则E 1E 2= ．四、解答题（本大题共3小题，共31分） 23．（9分）已知函数f(x)=2sin(2x +π6)(x ∈R)． （1）求函数f （x ）的最小正周期及单调递减区间； （2）求f （x ）在区间[0，π2]上的最大值和最小值．24．（10分）已知A ，B 是单位圆O 上的点，点A 是单位圆与x 轴正半轴的交点，点B 在第二象限，记∠AOB ＝α且cosα=−35． （1）求cos(α+π6)的值； （2）求sin(π+2α)−sin(π2−α)3tan(π−α)的值．25．（12分）设函数f （x ）＝x 2+2tx +t ﹣1．（1）当t ＝2时，求函数f （x ）在区间[﹣3，1]中的最大值和最小值； （2）若x ∈[1，2]时，f （x ）＞0恒成立，求t 的取值范围．2022-2023学年浙江省杭州师大附中高一（下）期中数学试卷参考答案与试题解析一、选择题：（本大题共15小题，每小题3分，共45分。

杭师大附中2010学年第二学期期中考试高一数学试卷I. 选择题（共10题，每小题4分；满分40分）1、390︒-是第几象限角？ （ ）A 、第一象限角B 、第二象限角C 、第三象限角D 、第四象限角 2、sin3π等于 （ ）A 、12 B 、1-2 D 、3、已知点(tan ,cos )P αα在第三象限，则角α的终边位置在 （ ） A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限 4、下列命题中不正确的是 ( ) A.向量与的长度相等 B.两个相等向量若起点相同，则终点必相同 C.只有零向量的模等于0 D.共线的单位向量都相等5、若 =(2,3),=(4,-1+y )，且//a b ，则y = （ ）A 、6B 、5C 、7D 、86、为了得到函数sin(2)6y x π=-的图像，可以将函数sin 2y x =的图像 （ ）A 、向右平移6π个单位 B 、 向右平移12π个单位C 、向左平移12π个单位D 、向左平移6π个单位7、在ABC ∆中，::1:5:6a b c =，则sin :sin :sin A B C = （ ） A 、1:5:6 B 、6:5:1 C 、6:1:5 D 、不确定8、在ABC ∆中，a=2,b=5,c=6,则cosB 等于 （ ） A 、1524 B 、6524 C 、5760D 、720- 9、已知数列{}n a 是等差数列，且40113=+a a ，则876a a a ++= （ ） A 、72 B 、60 C 、48 D 、3610、若{}n a 、{}n b 都是等差数列，且1a =5，1b =15，100100b a +=100，则数列{}n n b a +的前100项之和100S 等于： （ ） A 、 600B 、5050C 、 6000D 、60000Ⅱ.填空题（共6题，每小题4分；满分24分）11、向量()()AB MB BO BC OM ++++化简后等于______________ 12、已知2,||||2,OA OB OA OB ∙===则cos _______AOB ∠= 13、若A(0, 1), B(1, 2), C(3, 4) 则-2=___________.14、在ABC ∆中，若45,1,b B c ︒===则C =___________. 15、51{},5_______;n n n a a a n+==已知数列的通项公式则它的第项 16、已知等差数列{n a }，满足32n a n =-，前n 项和记为S n ，则10S = _______； Ⅲ.解答题（第17,18题，每小题6分；第19,20小题，每小题12分；共36分） 17、求值： 22sin 120cos180tan 45cos (60)︒︒︒︒++--18、已知)7,11(),1,3(),2,1(-=-=-=c b a ，且b y a x c+=，求y x ,的值.19、已知函数()sin 2sin 2cos 2(66f x x x x a a R a ππ⎛⎫⎛⎫=++-++∈ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，为常数）．（1）求函数()f x 的最小正周期；（2）求函数()f x 的单调递增区间；（3）若02x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，时，()f x 的最小值为 – 2 ，求a 的值．20、等差数列{n a }中，1a +3a +5a =－12, 且 1a ·3a ·5a =80. 且公差0d > 求： （1）通项公式n a 及前n 项和n S（2）若在n a 每相邻两项中间插入一个新的数得到一个新的数列记为{n b }，求n b 的前n项和T n .杭师大附中2010学年第二学期期中考试高一数学答卷Ⅱ.填空题（共6题，每小题4分；满分24分）11、______________ 12、______________ 13、______________ 14、______________ 15、______________ 16、______________ Ⅲ.解答题（第17,18题，每小题6分；第19,20小题，每小题12分；共36分） 17、求值： 22sin 120cos180tan 45cos (60)︒︒︒︒++--18、已知)7,11(),1,3(),2,1(-=-=-=c b a ，且b y a x c+=，求y x ,的值.19、已知函数()sin 2sin 2cos 2(66f x x x x a a R a ππ⎛⎫⎛⎫=++-++∈ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，为常数）．（1）求函数()f x 的最小正周期； （2）求函数()f x 的单调递增区间；（3）若02x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，时，()f x 的最小值为 – 2 ，求a 的值．20、等差数列{n a }中，1a +3a +5a =－12, 且 1a ·3a ·5a =80.且公差0d 求： （1）通项公式n a 及前n 项和n S（2）若在n a 每相邻两项中间插入一个新的数得到一个新的数列记为{n b }，求n b 的前n项和T n杭师大附中2010学年第二学期期中考试高一数学答案。

杭师大附中2010学年第二学期期中考试高 一 数 学 试 卷I. 单项选择（共10题，每小题4分；满分40分）1。

若0sin <θ且02sin <θ，则θ是（ )A 。

第一象限角 B. 第二象限角 C 。

第三象限角 D. 第四象限角2.若角θ终边上一点的坐标为()()03,<a a a ，则=⎪⎭⎫ ⎝⎛+4sin πθ( ） A.426+ B 。

426- C 。

426+- D.426-- 3。

若,545sin =⎪⎭⎫ ⎝⎛+θπ则⎪⎭⎫⎝⎛+θπ252cos =（ ）A.257 B 。

257-C 。

2524D.2524-4。

在∆ABC 中,若的,2AB CB AB >⋅则∆ABC 是（ ）A 。

钝角三角形B 。

直角三角形 C.锐角三角形 D.无法确定5.若不共线的三点O,A,B 满足6,5,4===AB OB OA ,则=⋅OB OA （ )A.25B.245 C.25-D.2276。

在等差数列{}na 中，若4681012120aa a a a ++++=,则91113a a -的值为（ )A 。

14B 。

15 C.16 D 。

177.在等比数列{}na 中，14a ，22a ,3a 成等差数列，若11=a,则4a =( ）A 。

1 B.2 C.4 D 。

88.已知在ABC ∆中，3sin 4cos 6,4sin 3cos 1,A B B A +=+=则角C 的大小为 （ ）A 。

30 B.150 C 。

30或150 D.909。

在边长为1的正三角形ABC 的边AB 、AC 上分别取D 、E 两点，使沿线段DE 折叠三角形时，顶点A 正好落在边BC 上,则AD 的长度的最小值为 ( ）A.21 B.332- C. 6233- D 。

213-10。

在ABC ∆中，c b a ,,是角A,B ，C 的对边,若B C C A B A tan tan tan tan tan tan +=，则222c b a +=( )A.3 B 。