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第三章土体中的应力计算

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第三章 土体中的应力计算(1-3节)

第三章 土体中的应力计算(1-3节)
4
3.均质、等向问题 理想弹性体是均质且各向同性的。天然
地基是各向异性的。但当土层性质变化 不大时，这样假定对竖直应力分布引起 的误差通常在容许范围之内。
5
二、地基中的几种应力状态
1．三维应力状态（空间应力状态）
局部荷载作用下，地基中的应力状态属 三维应力状态。每一点的应力可写成矩 阵形式
24
25
在空间将z相同的点连 接成曲面即形成应力泡。
当地基表面作用有几个集中力时，根据弹 性体应力叠加原理求出附加应力的总和
26
（二）水平集中力作用-西罗提解
z

3Ph
2
xz 2 R5
(3- 9)
27
28
二、矩形面积上各种分布荷载作用下的附 加应力计算
（一）矩形面积竖直均布荷载 1．角点下的应力
x

K
s x
p
τ
xz
K
s xz
p
(3- 25) (3- 26)
剪Kx应s和力K分xzs布分系别数为（水表平3向-5应）力，m分布x ,系n 数z和。
BB
55
P
56
57
（三）条形面积竖直三角形分布荷载 条形面积上竖直三角形分布荷载在地基
内引起的应力也可利用应力叠加原理， 通过积分求得。
zM ' (KsI KsII KsIII KsIV ) p
(3 -13a)
37
第二种情况：计算矩形面积外任一点M’ 下深度为z的附加应力(图3-17b)。设法使 M’点为几个小矩形的公共角点，然后将 其应力进行代数迭加。
zM ' (KsI KsII KsIII KsIV ) p
29

土力学：第三章土中应力计算

土力学：第三章土中应力计算

附加应力的分布规律
平面分布规律
附加应力在平面上的分布呈扩散状，随着深度的 增加而减小。
深度分布规律
在一定深度范围内，附加应力随深度的增加而增 大，达到一定深度后基本保持稳定。
方向分布规律
附加应力在不同方向上的分布不同，与外部荷载 的方向和土体的性质有关。
附加应力的影响因素
01
外部荷载
外部荷载的大小、分布和作用方 式直接影响附加应力的分布和大 小。
在水平方向上，自重应力 表现为均匀分布。
侧向应力
在土体边缘，自重应力表 现为侧向应力，对土体的 稳定性产生影响。
自重应力的影响因素
土的密度
土的密度越大，自重应力越大。
重力加速度
重力加速度越大，自重应力越大。
土体的几何形状和尺寸
土体的几何形状和尺寸对自重应力的分布和大小有显著影响。
04 土中附加应力计算
02
03
土体的性质
边界条件
土体的容重、压缩性、内摩擦角、 粘聚力等性质对附加应力的影响 较大。
土体的边界条件，如固定边界、 自由边界等，对附加应力的分布 和大小也有影响。
05 土中有效应力计算
CHAPTER
有效应力的概念与计算方法
有效应力的概念
有效应力是指土壤颗粒之间的法向应 力，是土壤保持其结构稳定和防止剪 切破坏的主要因素。
土中应力计算的重要性
01
02
03
工程安全
准确的土中应力计算是确 保工程安全的前提，能够 预测可能出现的危险和制 定应对措施。
设计优化
通过土中应力计算，可以 优化设计方案，提高工程 结构的稳定性和经济性。
科学研究
土中应力计算有助于深入 研究土力学性质和规律， 推动土力学学科的发展。

第三章 土中应力计算习题与答案

第三章 土中应力计算习题与答案

第三章土中应力计算一、填空题1.由土筑成的梯形断面路堤，因自重引起的基底压力分布图形是梯形，桥梁墩台等刚性基础在中心荷载作用下，基底的沉降是相同的。

2.地基中附加应力分布随深度增加呈曲线减小，同一深度处，在基底中心点下，附加应力最大。

3.单向偏心荷载作用下的矩形基础，当偏心距e > l/6时，基底与地基局部脱开，产生应力重分部。

4.在地基中，矩形荷载所引起的附加应力，其影响深度比相同宽度的条形基础浅，比相同宽度的方形基础深。

5.上层坚硬、下层软弱的双层地基，在荷载作用下，将发生应力扩散现象，反之，将发生应力集中现象。

6.土中应力按成因可分为自重应力和附加应力。

7.计算土的自重应力时，地下水位以下的重度应取有效重度（浮重度）。

8.长期抽取地下水位，导致地下水位大幅度下降，从而使原水位以下土的有效自重应力增加，而造成地基沉降的严重后果。

9.饱和土体所受到的总应力为有效应力与孔隙水压力之和。

二、名词解释1.基底附加应力：基底压应力与基底标高处原土层自重应力之差。

2.自重应力：由土层自身重力引起的土中应力。

3.基底压力：建筑物荷载通过基础传给地基，在基础底面与地基之间的接触应力。

三、选择题1.成层土中竖向自重应力沿深度的增大而发生的变化为：（B ）（A）折线减小（B）折线增大（C）斜线减小（D）斜线增大2.宽度均为b，基底附加应力均为P0的基础，同一深度处，附加应力数值最大的是：（C ）（A）方形基础（B）矩形基础（C）条形基础（D）圆形基础（b为直径）3.可按平面问题求解地基中附加应力的基础是：（B ）（A）柱下独立基础（B）墙下条形基础（C）片筏基础（D）箱形基础4.基底附加应力P0作用下，地基中附加应力随深度Z增大而减小，Z的起算点为：（A ）（A）基础底面（B）天然地面（C）室内设计地面（D）室外设计地面5.土中自重应力起算点位置为：（B ）（A）基础底面（B）天然地面（C）室内设计地面（D）室外设计地面6.地下水位下降，土中有效自重应力发生的变化是：（A ）（A）原水位以上不变，原水位以下增大（B）原水位以上不变，原水位以下减小（C）变动后水位以上不变，变动后水位以下减小（D）变动后水位以上不变，变动后水位以下增大7.深度相同时，随着离基础中心点距离的增大，地基中竖向附加应力：（D ）（A）斜线增大（B）斜线减小（C）曲线增大（D）曲线减小8.单向偏心的矩形基础，当偏心距e < l/6（l为偏心一侧基底边长）时，基底压应力分布图简化为：（B ）（A）矩形（B）梯形（C）三角形（D）抛物线形9.宽度为3m的条形基础，作用在基础底面的竖向荷载N＝1000kN/m ，偏心距e＝0.7m，基底最大压应力为：（C ）（A）800 kPa （B）417 kPa （C）833 kPa （D）400 kPa10.矩形面积上作用三角形分布荷载时，地基中竖向附加应力系数K t是l/b、z/b的函数，b指的是：（D ）（A）矩形的长边（B）矩形的短边（C）矩形的短边与长边的平均值（D）三角形分布荷载方向基础底面的边长11.某砂土地基，天然重度γ＝18 kN/m3，饱和重度γsat＝20 kN/m3，地下水位距地表2m，地表下深度为4m处的竖向自重应力为：（A ）（A）56kPa （B）76kPa （C）72kPa （D）80kPa12.均布矩形荷载角点下的竖向附加应力系数当l/b＝1、Z/b＝1时，K C＝0.1752；当l/b＝1、Z/b＝2时，K C＝0.084。

土力学与地基基础(土中的应力计算)

土力学与地基基础(土中的应力计算)
此时基底平均压力按下式计算： 此时基底平均压力按下式计算：
矩形基础：A=b× 矩形基础：A=b×L
d1 + d2 Gk =A
Gk = γ G Ad
γG=20kN/m3
2、偏心荷载下的基底压力 单向偏心荷载下的矩形基础如图。 单向偏心荷载下的矩形基础如图。 设计时， 设计时，通常基底长边方向取与偏心 方向一致， 方向一致，最大压力值与最小压力值 按材料力学短柱偏心受压公式计算： 按材料力学短柱偏心受压公式计算：
p0 = pk − σ c
四、地基附加应力
地基附加应力是指建筑物荷载在土体中引起的附加于原有应力之上的应力。 地基附加应力是指建筑物荷载在土体中引起的附加于原有应力之上的应力。
（一）竖向集中应力作用下的地基附加应力
1、布辛奈斯克解 、
3p z3 3 1 p σz = = 2π ( r 2 + z 2 )5 / 2 2π ( r / z )2 + 1 5 / 2 z 2
第三章 地基土中的应力计算
一、概述 地基土中的应力： 地基土中的应力： 1、自重应力 2、附加应力
建筑物修建以前， 建筑物修建以前，地基中由于土 体本身的有效重量所产生的应力。 体本身的有效重量所产生的应力。 建筑物修建以后，建筑物重量等 建筑物修建以后， 外荷载在地基中引起的应力， 外荷载在地基中引起的应力，所 谓的“附加” 谓的“附加”是指在原来自重应 力基础上增加的压力。 力基础上增加的压力。
γ
γ′
均质地 基
γ1(γ
1
< γ2 )
γ2 γ′ 2
成层地基
（二）水平向自重应力
σ cx = σ cy = K 0σ cz
式中： 土的侧压力系数或静止土压力系数， 式中：K0——土的侧压力系数或静止土压力系数，经验值可查课本 土的侧压力系数或静止土压力系数 表3.1

土力学第三章

土力学第三章

向下渗流
z z u H w h
存在向下渗流，有效自重应力增大γw⊿h

A点的有效自重应力：
3.4 基底压力计算
上部结构
建筑物设计
基础 地基
上部结构的自重及各 种荷载都是通过基础 传到地基中的。
基础结构的外荷载 基底反力 基底压力 基底附加压力 地基附加应力 地基沉降变形 基底压力：基础底面传递 给地基表面的压力，也称 基底接触压力。 暂不考虑上部结构的影响， 使问题得以简化； 用荷载代替上部结构。
Aw 1 A
PSi
PaVi
有效应力σ′
'u
3.2 有效应力原理
2. 有效应力原理
'u
σ：作用在饱和土中任意面上的总应力 σ′：作用在同一平面土骨架上的有效应力 u：作用于同一平面上孔隙水压力 土的变形和强度变化只取 决于有效应力的变化
3.2 有效应力原理
①变形的原因 颗粒间克服摩擦相对滑移、滚动—与 σ’ 有关； 接触点处应力过大而破碎—与 σ’ 有关。
②强度的成因 凝聚力和摩擦—与σ’ 有关 ③孔隙水压力的作用 对土颗粒间摩擦、土粒的破碎没有贡献， 并且水不能承受剪应力，因而孔隙水压力 对土的强度没有直接的影响； 它在各个方向相等，只能使土颗粒本身 受到等向压力，由于颗粒本身压缩模量很 大，故土粒本身压缩变形极小。因而孔隙 水压力对变形也没有直接的影响，土体不 会因为受到水压力的作用而变得密实。
pmax
min
y
P 6e 1 A b
3.5.2 基础底面接触压力
2、偏心荷载作用——单向偏心荷载 P b e x y
p max
pmax
min

土力学-第三章-土中应力计算详解

土力学-第三章-土中应力计算详解

基本假定
地基土是各向同性、均质、半无限空间弹性体 地基土在深度和水平方向都是无限的
地 表 临 空
地基：均质各向同性线性变形半空间体
应用弹性力学关于弹性半空间的理论解答
1.均质土竖向自重应力
若将地基视为均质半无限空间弹性体，土体在自重作用下只能产 生竖向变形，而无侧向位移及剪切变形存在，因此在深度z处平面上， 土体因自身重力产生的竖向应力等于单位面积上土柱体的重力。
3.水平向自重应力
天然地面
地基土在重力作用下，除承受 作用于水平面上的竖向自重应力外， 在竖直面上还作用有水平向自重应 力。由于土柱体在重力作用下无侧 向变形和剪切变形，因此可以证明 侧向自重应力与竖向自重应力成正 比，剪应力均为零。
cz z
cx cy K0 cz
cz
z
cx
cy
侧压力系数或静止 土压力系数
4 地下水位升降对自重应力的影响
自重应力分布曲线的变化规律
土的自重应力分布曲线是一条折线，拐点在土 层交界处和地下水位处。
同一层土的自重应力按直线变化。
自重应力随深度的增加而增大。
【例题3-1 】计算自重应力，并绘分布图。
4. 例题分析 【例】一地基由多层土组成，地质剖面如下图所示，试计算并绘制 自重应力σcz沿深度的分布图。
57.0kPa
80.1kPa
103.1kPa 150.1kPa 194.1kPa
cz 1h1 2 h2 n hn i hi
i 1
n


均质地基
1 (
1
2)
2 2
成层地基
3.2 基底压力与基底附加应力
上部结构

第3章土体中的应力计算

第3章土体中的应力计算

▪应力条件
z
x y; z xy , yz , zx 0
x y; z xy , yz , zx 0
zx
▪独立变量：x y , z ; x y , z
xy
x
y yz
ij =
x 0xy 0xz 0yx y 0yz 0zx 0 zy z
ij=
第8页/共68页
x 0xy 0xz 0yx yy 0yz
x
y yz
y z
∞
ij=
x xy xz yx y yz
zx zy z
应力张量矩阵形式
第5页/共68页
一. 土力学中应力符号的规定
摩尔圆应力分析
材料力学 土力学
- zx
z
+
xz
x
正应力
拉为正 压为负
z
- zx +
xz
x
压为正 拉为负
第6页/共68页
剪应力 顺时针为正 逆时针为负
逆时针为正 顺时针为负
cy
K0 cz
K0
iHi
H2
思考题：水位骤降后，原水位到现水位之间
的饱和土层用什么容重？
H3
第16页/共68页
2. 分布规律
▪自重应力分布线的斜率是容重； ▪自重应力在等容重地基中随深度呈直线分布； ▪自重应力在成层地基中呈折线分布； ▪在土层分界面处和地下水位处发生转折。
1 (1 2)
2
2
第3页/共68页
第3章 土体中的应力计算
3.1 概述 3.2 自重应力 3.3 基底压力计算 3.4 地基附加应力 3.5 有效应力原理
o
x
y x
z
y
σz

土力学与地基基础-第三章.土中应力分布及计算解析

土力学与地基基础-第三章.土中应力分布及计算解析

从上式可知，自重应力随深度z线性增
加，呈三角形分布图形。
2019/8/25
土中自重应力的计算
8
3.2 土中自重应力的计算
2. 成层土的压力计算
地基土通常为成层土。当地基为成层土体时，设各土层
的厚度为hi，重度为 ，则在i 深度z处土的自重应力计算公式 为：
n
cz ihi i 1


剪应力
xy
yx

3Q xyz
2

R5
1 2 3
xy(2R z)
R3
(
R

z)2

yz
zy

3Q 2
yz 2 R5
ZX
XZ
3Q 2
xz 2 R5
3.4 集中力作用下土中应力计算
X、Y、Z轴方向的位移
分别为：
刚性基础在中心载荷作用下，地基反力呈马鞍形，随着外 力的增大，其形状相应改变。如下图
2019/8/25
基础底面压力的分布和计算
15
3.3 基础底面压力的分布和计算
2019/8/25
基础底面压力的分布和计算
16
3.3 基础底面压力的分布和计算
2. 地基反力的简化计算方法
根据弹性理论的圣维南原理及土中实测结果，当作用在 基础上的总载荷为定值时，地基反力分布的形状对土中 应力分布的影响，只在一定深度范围内，当基底的深度 超过基础宽度的1.5-2.0倍时，它的影响已不显著。因此， 在实用上采用材料力学方法，即将地基反力分布认为是 线性分布的简化计算方法。
因此，基底附加压力p0是上部结构和基础传到基底的地基反力 与基底处原先存在于土中的自重应力之差(新增加的应力)(如图)

土力学地基中的应力计算

土力学地基中的应力计算

p
arctan
1
2(x / b) 2(z / b)
arctan 1 2(x / b) 2(z / b)
4 z [4( x )2 4( z )2 1]
bb
b
[4( x )2 4( z )2 1]2 16( z )2
b b
b
b
b
13
•带状三角形荷载
b
p
x
z
Mx
(x, z)
z
查表3－3
e 基底压力呈三角形分布
e 基底局部出现拉应力
基底与地基脱开
对于矩形底面，＝ b
6
37
(1) 矩形底面单轴偏心荷载作用时(e)
由竖向、弯矩平衡方程
P
b 2
(
p1
p2 ) a
M
b 2 ( p1
p2
)
a
(
b 2
b) 3
p1 p2
PM AW
P (1 A
e)
P 1 A
6e b
e a
b
P M Pe
z
p
{x b
(arctan
x z
/ /
b b
arctan
x
/b 1) z/b
z b
(x
/
b
x/b 1)2
1 (z
/
b)2
}
k(x b
,
z b
)
p
•带状梯形荷载
14
5、矩形均布面积荷载作用下附加应力旳计算
1）角点下旳垂直附加应力
dP pdxdy
d z
3dP 2
z3 R5
3p 2
z3 R5
dxdy

第3章 土体中的应力计算

第3章 土体中的应力计算
Chapter
3
土体中的应力计算
概
述
研究土中的应力和分布规律是研究地基和土工建筑物变形
和稳定问题的依据
自重应力 附加应力 惯性力 渗透力
: 由土体自身重量所产生的应力 ：由外荷载引起的土中应力
1 地基中的几种应力状态 a、三维（空间）应力状态
xy xy xz ij yz yy yz zx zy zz
zz (OXAY ) zz (OYBZ) zz (OZCT) zz (OTDX )
A
Y O
B
Z
Point of interest
zo ( KsI KsII KsIII KsIV ) p
（b）O 在荷载面外部
O D C X D Z O
(q)
C
(q)
影响因素 （1） 分布荷载p(x,y)的分布规律及其大小 （2） 分布荷载作用面积 A 的几何形状及大小
（3） 应力计算点的坐标值
z p0
3.3.2.1 空间问题的附加应力计算 （一） 矩形面积竖直均布荷载 1. 角点下应力
B
dP dA
x
p
x L y x
R z
R
z
集中荷载 dP = dxdyp0, M点处 dz 为
基压缩变形的主要原因。因为一般基础都埋臵于地面下一定深度，因此在计
算由建筑物造成的基底附加压力时，应扣除基底标高处土中原有的自重应力
p0 p cd p 0 d
cd
cd
p
cd
p0
3.3 地基中的附加应力
附加应力：指建筑物荷重在土体中引起的附加于原有应力之上 的应力。

第三章-土体中的应力计算

第三章-土体中的应力计算

3P z 3 z 5 2 R
式中
P z K 2 z
为竖向集中力作用竖向附加应力系 数（查表）。
§3 土体中的应力计算
P z K 2 z
特点
§3.3 地基中附加应力的计算
一. 竖直集中力作用下的附加应力计算－布辛内斯克课题
3 1 K 2 [1 (r / z )2 ]5 / 2
3.P作用线上，r=0, K=3/(2π）,z=0, σz→∞，z→∞，σz=0 4.在某一水平面上z=const，r=0, K最大，r↑，K减小，σz减小 5.在某一圆柱面上r=const，z=0, σz=0，z↑，σz先增加后减小
6.σz 等值线－应力泡
P
P
球根 应力 球根
0.1P
0.05P
0.02P 0.01P
cy

假设土体为均匀连续介质，并为半无限空 间体，在距地表深度z处，土体的自重应力 为：

cz = z
自重产生的水平应力将在土压力计算部分 介绍。


若地基由多层土所组成
c 1h1 2 h2 ...... n hn h
i 1
n
i i
c 1h1 2 h2 ...... n hn h
七. 条形面积竖直均布荷载作用下的附加应力计算
任意点下的附加应力—F氏解的应用
p
z K s zp x K s xp xz K s xz p
y
B
x
z
x
z
M
x z s s Ks , K , K F ( B , x , z ) F ( , ) F( m , n ) z x xz B B

第3章土体应力计算

第3章土体应力计算
3
σ v = σ cz + u0 = γ 1h1 + γ 2 h2 + γ ' h3 + γ w h3 = γ 1h1 + γ 2 h2 + γ 3 sat h3
σ h = σ ch + u0 = K 0σ cz + u0
3-2
地基中的自重应力
γ
γ′
均质地基
γ1 (γ < γ ) γ2
1 2
γ′ 2
d rd
p n = p m in − γ 0 d
p t = p m ax − p m in
3-4
地基中的附加应力计算
计算假定：地基土是各项同性的、均质的、线性变形体，而 计算假定：地基土是各项同性的 均质的 线性变形体， 各项同性 且在深度和水平方向上都是无限的 深度和水平方向上都是无限的。 且在深度和水平方向上都是无限的。 应力计算可分为空间问题和平面问题。 应力计算可分为空间问题和平面问题。 空间问题
y c x b b c b p1 pmax
pmax pmin
Fv M x M y = ± ± l ⋅ b Wx Wy
a
x a d
L
p2
y
p1 Fv Mx My = ∓ ± p2 l ⋅ b W底压力与基底附加应力
二、刚性基础下基底压力分布
（二）偏心荷载下的基底压力 3. 偏心荷载下条形基础的基底压力
'
3
3-2
地基中的自重应力
无侧向变形条件下，侧向应力： 无侧向变形条件下，侧向应力：
σ ch = σ cx = σ cy = K 0σ cz
K0——静止侧压力系数，它是土体在无侧向变形条件下侧 静止侧压力系数， 无侧向变形条件下 静止侧压力系数 它是土体在无侧向变形条件下侧 向（水平向）有效应力与竖向有效应力之比。 水平向）有效应力与竖向有效应力之比。 之比

第3章 土中应力计算

第3章 土中应力计算

表3-1 z=3m处水平面上竖应力计算
r(m)
0
1
2
3
4
5
r/z
0
0.33
0.67
1
1.33
1.67
K
0.478 0.369
0.189
0.084
0.038
0.017
z(kPa)
10.6
8.2
4.2
1.9
0.8
0.4
表3-2 r=1m处竖直面上竖应力z的计算
z(m)
0
1
2
3
4
5
6
r/z
1
0.5
0.33
M(x,y,0)
z
附加应力系数
z
K
P z2
M(x,y,z) z
1885年法国学者 布辛内斯克解
z
3Pz 3
2R5
3P
2R2
cos3 q
图 直角坐标表示
❖ 讨论6个应力分量和3个位移分量：
法向应力：
z
3Fz3
2 R5
x
3F
2
zx2
R5
1 2
3
R2 Rz z2 R3(R z)
x2 (2R z)
(a) 马鞍形分布 (b) 抛物线分布 (c) 钟形分布
▪上述演化只是一典型的情形，实际情况十分复杂 ▪大多数情况处于上述两种极端情况之间。
（3）情况3 弹塑性地基上有限刚性的基础
3.2.2 基底压力的简化计算
❖ 基底压力分布十分复杂；
❖ 但是，根据弹性理论中圣维南原理，在基底一定深度 处引起的地基附加应力与基底荷载分布形状无关，只与 其合力的大小和位置有关。

土力学与地基基础——第3章 地基土中的应力计算

土力学与地基基础——第3章 地基土中的应力计算
编辑ppt
三、水平向自重应力 土的水平向自重应力cx和cy可按下式计算：
cxcyK0cz
天然地面
土的侧压力系数/ 静止土压力系数
cz cx
广义虎克定律推导出
理论关系为
K0
1
。
值K可0 以在实验室测定。
cy
编辑ppt
z
四、例题分析
【例】一地基由多层土组成，地质剖面如下图所示，试计
算并绘制自重应力σcz沿深度的分布图
土中应力
自重应力
附加应力
编辑ppt
建筑物修建以前，地 基中由土体本身重量 所产生的应力
建筑物重量等外荷载 在地基中引起的应力 增量
土中应力计算的目的：
第一节 概述
土中应力过大时，会使土体因强度不够发生破坏， 甚至使土体发生滑动失去稳定。
土中应力的增加会引起土体变形，使建筑物发生沉 降，倾斜以及水平位移。
布。根据平衡条件求得重分布后的基底最大压应力。
pmax
pmin pmax
pmin=0
e<l/6
e=l/6
pmax
e>l/6
pmin<0 基底压力重分编布辑pppt max
2(F G) pmax 3( l e)b pmin=0
基底压力重分布
l
l/2-e e>l/6
偏心荷载作用线
应与基底压力的
b
编辑ppt
法国数学家布辛内斯克（J. Boussinesq）1885年推出了该
问题的理论解，包括六个应力分量和三个方向位移的表达
式
教材P48页
其中，竖向应力z：
z3 2 PR z3 52 3 [1(r1 /z)2]5/2zP 2z P 2

土力学与地基基础第三章土的自重应力计算

土力学与地基基础第三章土的自重应力计算
土力学与地基基础第三章土的 自重应力计算
3.1 概述
一 土中应力
目的
自重应力： 附加应力
应力—应变关系假设及计算方法
目前在计算地基中的应力时，常 假设土体为连续体、线弹性及均 质各向同性体。实际上土是各向 异性的、弹塑性体。
自重应力：地基中源于土体自身重量的应力。
基底压力：建筑物的荷载通过基础传递给地基，在基础底面与地基之间产 生的接触应力。
二、基底压力分布
基础按刚度分为： （1）柔性基础（抗弯曲变形能力为0） （2）刚性基础（抗弯曲变形能力为∞） （3）有限刚性基础（弹性地基上梁板分析方法）
（1）柔性基础。基底压力大小、分布状况与上部荷载的大小、 分布状况相同。
荷载
变形地面
反力
二、基底压力分布
（2）刚性基础。基底压力大小、分布状况与上部荷载的大小、分布状
d
c
d
c
Ⅱ o
Ⅰ
ⅤⅢ o
ⅠⅡ
a
b
a
b
(1)o点在荷载面边缘
σz＝（αcⅠ＋αcⅡ）p0
(2)o点在荷载面内
σz＝(αcⅠ＋αcⅡ＋αcⅢ＋αcⅣ)p0 o点位于荷载面中心，因αcⅠ=αcⅡ=αcⅢ=αcⅣ
σz=4αp0
二、矩形和圆形荷载下的地基附加应力
1、均布矩形荷载
d
c

Ⅳ
Ⅲ
o
Ⅱ
Ⅰ
d
c
Ⅰ Ⅲ
a
b
Ⅳa
1
1
p 0 [1
( z2
1 1 / r0 2
1) 3 / 2
]
r
p0
] r p0
1)3 / 2
/ r0 2

土体中的应力计算

土体中的应力计算

土体中的应力计算1.格令法格令法是土力学中常用的一种计算土体中应力的方法，它基于土体中的格令应力体系。

格令应力体系是指土体中各个方向上的应力分量。

常见的格令应力体系包括水平应力(σ_h)，垂直应力(σ_v)和剪应力(τ)。

格令法计算土体中应力的基本过程如下：(1)确定水平应力(σ_h)：水平应力是以土体排列方向为基准的应力分量，通过土体中的外加荷载和支持条件来计算。

常见的计算方法有：a.一维法：当土体受到轴对称荷载时，可以使用一维法计算水平应力。

其中σ_h=P/A，其中P为荷载大小，A为土体的横截面积。

b.二维法：当土体受到平面荷载时，可以使用二维法计算水平应力。

其中σ_h=P/A，P为荷载大小，A为土体的接触面积。

c.三维法：当土体受到体力荷载时，可以使用三维法计算水平应力。

其中σ_h=F/A，F为荷载大小，A为土体的接触面积。

(2)确定垂直应力(σ_v)：垂直应力是指土体中垂直于排列方向的应力分量。

垂直应力的计算方法如下：a.压力传递原理：假设土体为均质、无阻性及无滑动的情况下，垂直应力可通过压力传递原理计算。

垂直应力由上层土体通过土粒间的压缩传递给下层土体，下层土体又继续传递给更下层土体，以此类推。

b.常用公式：经验公式计算垂直应力可使用τ=kσ_v，其中k为土体的地层系数，可以根据实际情况选择合适的数值。

(3)确定剪应力(τ)：剪应力是土体中沿一定面域内的剪力分量。

剪应力的计算方法如下：a.剪切试验：通过进行剪切试验，可以直接测得土体中的剪应力。

b.运动原理：当土体处于平衡状态时，土粒间的剪应力满足平衡条件。

可以根据平衡条件求解土体中剪应力的大小和方向。

2.应变法应变法是另一种常用的计算土体中应力的方法，它基于土体中的应变体系。

应变是指在外力作用下，土体中产生的形变量。

常见的应变体系包括线性应变和体积应变。

应变法计算土体中应力的基本过程如下：(1)确定线性应变(ε)：线性应变是土体中只考虑线性部分的应变。

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cy

假设土体为均匀连续介质，并为半无限空 间体，在距地表深度z处，土体的自重应力 为：

cz = z
自重产生的水平应力将在土压力计算部分 介绍。


若地基由多层土所组成
c 1h1 2 h2 ...... n hn h
i 1
n
i i
c 1h1 2 h2 ...... n hn h
z Kp
•K=F（底面形状；荷载分布；计算点位置） •K ——竖直集中荷载作用下 •Ks ——矩形面积竖直均布荷载作用角点下 •Kt ——矩形面积三角形分布荷载作用角点下 •Kh ——矩形面积水平均布荷载作用角点下 •Kzs——条形面积竖直均布荷载作用时 •Kzt——条形面积三角形分布荷载作用时 •Kzh——条形面积水平均布荷载作用时 •K0 ——圆形面积均布荷载作用时园心点下 •KzL——条形面积梯形分布荷载作用时 (表3-1) (表3-2) (表3-3) (表3-4) (表3-5) (表3-7) (表3-8) (表3-9) (图3-26)
§3 土体中的应力计算
§3.3 地基中附加应力的计算
八. 条形面积其它分布荷载作用下的附加应力计算
表 3－ 6
九. 圆形面积均布荷载作用时圆心下的附加应力计算
z K 0p
K 0 F(r / z )
R--圆形面积的半径
查表3-9
§3 土体中的应力计算
小结
§3.3 地基中附加应力的计算
P z K 2 z
i 1
n
i i
式中，
1、各层土容重地下水位以上取天然容重；
2、地下水位以下砂土取浮容重
3、粘性土液性指数IL大于1时取浮容重； 4、粘性土液性指数IL小于等于0时取天然容重，
5、IL在0～1之间时依最不利原则取天然或浮容重。
§3 土体中的应力计算 §3.2 基底压力计算
上部结构
建筑物设计
基础 地基
§3.4 基底压力计算
•大小 •方向 •分布
荷载条件
基础条件 基底压力
•刚度 •形状 •大小 •埋深
地基条件
•土类 •密度 •土层结构等
§3 土体中的应力计算
二.基底压力分布
条形基础，竖直均布荷载
§3.4 基底压力计算
基础抗弯刚度EI=0 → M=0；
基础变形能完全适应地基表面的变形;
基础上下压力分布必须完全相同，若不 同将会产生弯矩。 弹性地基，绝对刚性基础 抗弯刚度EI=∞ → M≠0； 反证法: 假设基底压力与荷载分布相同， 则地基变形与柔性基础情况必然一致； 分布: 中间小, 两端无穷大。
有效应力——由土骨架传递（或承担）的应力。 孔隙应力——由土中孔隙流体水和气体传递 （或承担）的应力。 对于饱和土体，由于孔隙应力是通过土中孔隙 水来传递的，它不会使土体产生变形，土体的 强度也不会改变。 孔隙应力分为：静孔隙应力和超静孔隙应力。



第2节 地基中的自重应力
地面
z
cz
cx
L
0
d z z (p t , m, n)
pt
z K t pt
L z K t F( B , L , z ) F( , ) F(m , n ) B B
z
M
B
x
z
查表3-3
矩形面积竖直三角分布荷载角点下的应力分布系数

（三）矩形面积基底受水平荷载
作用时角点下的竖向附加应力
式中
对HAcQ，HAdS两块面积：
l/b=2/0.5=4; z/b=1/0.5=2
查表2－2，得Ks2=0.1350，
则：
σzH=2(Ks1-Ks2) pn=26.2(kPa)
§3 土体中的应力计算
§3.3 地基中附加应力的计算
y
dP
L
四. 矩形面积三角形分布荷载作用下的附加应力计算
z
B
0

z K sp
z
M
m=L/B, n=z/B
z
L z K s F(B, L, z ) F( , ) F(m, n) B B
Ks查表获得
矩形竖直向均布荷载角点下的应力分布系数Ks
§3 土体中的应力计算
§3.3 地基中附加应力的计算 三. 矩形面积竖直均布荷载作用下的附加应力计算
2. 任意点的垂直附加应力—角点法 角点法 角点下垂直附加 应力的计算公式
§3 土体中的应力计算
§3.3 地基中附加应力的计算
三. 矩形面积竖直均布荷载作用下的附加应力计算
1. 角点下的垂直附加应力 ——B氏解的应用
dP pdxdy
3dP z 3 3p z 3 d z dxdy 5 5 2 R 2 R
dP
p
y
x
B
L
z
B
0

L
0
d z z (p, m, n)
6.σz 等值线－应力泡
P
P
球根 应力 球根
0.1P
0.05P
0.02P 0.01P
§3 土体中的应力计算
§3.3 地基中附加应力的计算
二. 水平集中力作用下的附加应力计算－西罗提课题
Ph
o
x
α
x
r
M’ β z M y
z
R
zx
xy
x
y
y yz
2
z
3Ph xz z 2 R 5

【解】(1)先求基底净压力（基底附加应力）
pn，由已知条件，得:
pn=p-γod=140-18×0.5=131kPa

(2)求O点下1m深处地基附加应力σzo。
根据l，b，z的值可得:
l/b=2/1=2
z/b=1/1=1
查表2－2得
Ks=0.1999
所以
σzo=4KSpn=104.75（kPa）
三、倾斜偏心荷载作用下的基底压力

倾斜偏心合力R分解为: Fv=Rcosβ Fh ＝Rsinβ Fv的基底反力同前讲 Fh的基底反力计算式 ph= Fh／lb
倾斜偏心合力R分解 Fv=Rcosβ Fh ＝Rsinβ Fv的基底反力同前讲 Fh的基底反力计算式 ph= Fh／b

（二）偏心荷载下的基底压力 单向偏心荷载作用
e＜L/6时，基底压力成梯 形分布;
e ＝ L/6 时，基底压力为三角 形分布； e＞L/6时，基底压力pmin＜0， 由于地基与基础之间不能承 受拉力，此时基底与地基局 部脱离而使基底压力重新分 布。


基础边缘的最大压力pmax为
pmax=2Fv／3kb
E2>E1
B
中轴线附近σz比均质时明显减小的现象 —应力扩散； 应力扩散程度，与土层刚度和厚度有关； 随H/B的增大，应力扩散现象逐渐减弱。
B
C
A
D
叠加原理
地基中任意点的附加应力 两种情况：
a.矩形面积内 B D z (K sA K s KC K s s )p b.矩形面积外
afgh cegi dfgi z (K begh K K K s s s s )p
h
i
d
g f
a
b
c
e
习题
如图所示，矩形基底长为4m、 宽为2m，基础埋深为0.5m， 基础两侧土的重度为18kN/m3， 由上部中心荷载和基础自重 计算的基底均布压力为 140kPa。试求基础中心O点 下及边缘A点下、基础外H点 下z＝1m深度处的竖向附加 应力。
§3 土体中的应力计算
十. 影响土中应力分布的因素
1. 非线性和弹塑性 应力水平较高时影响较大 2. 非均匀性—成层地基 (1)上层软弱，下层坚硬的成层地基
§3.3 地基中附加应力的计算
B
成层 H
均匀 E1
中轴线附近σz比均质时明显增大的现象 —应力集中； 应力集中程度与土层刚度和厚度有关； 随H/B增大，应力集中现象逐渐减弱。 (2)上层坚硬，下层软弱的成层地基 H 成层
z x zx
2p z
3
p
( x 2 z 2 ) 2 2p x 2 z ( x z ) 2p xz
2 2 2 2
x
z
y
x
z
M
( x 2 z 2 ) 2
y x z
§3 土体中的应力计算
§3.3 地基中附加应力的计算
七. 条形面积竖直均布荷载作用下的附加应力计算

（3）求A点下1m深处竖向附加应力σzA。
l /b=2/2=1 z/b=1/2=0.5
根据l，b，z的值可得
查表2－1可得 Ks=0.2315 所以 σzA=2 Kspn=60.65（kPa）

（4）求H点下1m深度处竖向应力σzH。
对HGbQ，HSaG两块面积： l/b=2.5/2=1.25; z/b=1/2=0.5 查表2－2得Ks1=0.2350
P z K 2 z
为竖向集中力作用竖向附加应力系 数（查表）。
§3 土体中的应力计算
P z K 2 z
特点
§3.3 地基中附加计算－布辛内斯克课题
3 1 K 2 [1 (r / z )2 ]5 / 2
3.P作用线上，r=0, K=3/(2π）,z=0, σz→∞，z→∞，σz=0 4.在某一水平面上z=const，r=0, K最大，r↑，K减小，σz减小 5.在某一圆柱面上r=const，z=0, σz=0，z↑，σz先增加后减小
与建筑物基础底面直接接触的土层称为持力层。 将持力层下面的土层称为下卧层。 土体的应力按引起的原因分为自重应力和附加 应力.