2020-2021杭州市高一数学下期末模拟试题带答案

第八章 立体几何初步（章节复习专项训练）一、选择题1．如图，在棱长为1正方体ABCD 中，点E ，F 分别为边BC ，AD 的中点，将ABF ∆沿BF 所在的直线进行翻折，将CDE ∆沿DE 所在直线进行翻折，在翻折的过程中，下列说法错误．．的是A ．无论旋转到什么位置，A 、C 两点都不可能重合B ．存在某个位置，使得直线AF 与直线CE 所成的角为60︒C ．存在某个位置，使得直线AF 与直线CE 所成的角为90︒D ．存在某个位置，使得直线AB 与直线CD 所成的角为90︒【答案】D【详解】解：过A 点作AM⊥BF 于M ，过C 作CN⊥DE 于N 点在翻折过程中，AF 是以F 为顶点，AM 为底面半径的圆锥的母线，同理，AB ，EC ，DC 也可以看成圆锥的母线；在A 中，A 点轨迹为圆周，C 点轨迹为圆周，显然没有公共点，故A 正确；在B 中，能否使得直线AF 与直线CE 所成的角为60°，又AF ，EC 分别可看成是圆锥的母线，只需看以F 为顶点，AM 为底面半径的圆锥的轴截面的顶角是否大于等于60°即可，故B 正确；在C 中，能否使得直线AF 与直线CE 所成的角为90°，只需看以F 为顶点，AM 为底面半径的圆锥的轴截面的顶角是否大于等于90°即可，故C 正确；在D 中，能否使得直线AB 与直线CD 所成的角为90︒，只需看以B 为顶点，AM 为底面半径的圆锥的轴截面的顶角是否大于等于90°即可，故D 不成立；故选D ．2．如图所示，多面体ABCDEF 中，已知平面ABCD 是边长为3的正方形，//EF AB ，32EF =，EF 到平面ABCD 的距离为2，则该多面体的体积V 为（ ）A ．92B ．5C ．6D ．152【答案】D【详解】解法一：如图，连接EB ，EC ，AC ，则213263E ABCD V -=⨯⨯=.2AB EF =，//EF AB2EAB BEF S S ∆∆∴=.12F EBC C EFB C ABE V V V ---=∴= 11132222E ABC E ABCD V V --==⨯=. E ABCDF EBC V V V --∴=+315622=+=. 解法二：如图，设G ，H 分别为AB ，DC 的中点，连接EG ，EH ，GH ，则//EG FB ，//EH FC ，//GH BC ，得三棱柱EGH FBC -，由题意得123E AGHD AGHD V S -=⨯ 1332332=⨯⨯⨯=， 133933332222GH FBC B EGH E BGH E GBCH E AGHD V V V V V -----===⨯==⨯=⨯， 915322E AGHD EGH FBC V V V --=+=+=∴. 解法三：如图，延长EF 至点M ，使3EM AB ==，连接BM ，CM ，AF ，DF ，则多面体BCM ADE -为斜三棱柱，其直截面面积3S =，则9BCM ADE V S AB -=⋅=.又平面BCM 与平面ADE 平行，F 为EM 的中点，F ADE F BCM V V --∴=，2F BCM F ABCD BCM ADE V V V ---∴+=， 即12933233F BCM V -=-⨯⨯⨯=， 32F BCM V -∴=，152BCM ADE F BCM V V V --=-=∴. 故选：D 3．下列命题中正确的是A ．若a ，b 是两条直线，且a ⊥b ，那么a 平行于经过b 的任何平面B ．若直线a 和平面α满足a ⊥α，那么a 与α内的任何直线平行C ．平行于同一条直线的两个平面平行D ．若直线a ，b 和平面α满足a ⊥b ，a ⊥α，b 不在平面α内，则b ⊥α【答案】D【详解】解：如果a ，b 是两条直线，且//a b ，那么a 平行于经过b 但不经过a 的任何平面，故A 错误； 如果直线a 和平面α满足//a α，那么a 与α内的任何直线平行或异面，故B 错误；如果两条直线都平行于同一个平面，那么这两条直线可能平行，也可能相交，也可能异面，故C 错误； D 选项：过直线a 作平面β，设⋂=c αβ，又//a α//a c ∴又//a b//b c ∴又b α⊂/且c α⊂//b α∴．因此D 正确．故选：D ．4．如图，正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，O 为底面ABCD 的中心，M 为棱BB 1的中点，则下列结论中错误的是( )A ．D 1O⊥平面A 1BC 1B ．MO⊥平面A 1BC 1C ．二面角M －AC －B 等于90°D ．异面直线BC 1与AC 所成的角等于60°【答案】C【详解】对于A ，连接11B D ，交11AC 于E ，则四边形1DOBE 为平行四边形 故1D O BE1D O ⊄平面11,A BC BE ⊂平面111,A BC DO ∴平面11A BC ，故正确对于B ，连接1B D ，因为O 为底面ABCD 的中心，M 为棱1BB 的中点，1MO B D ∴,易证1B D ⊥平面11A BC ，则MO ⊥平面11A BC ，故正确；对于C ，因为,BO AC MO AC ⊥⊥，则MOB ∠为二面角M AC B --的平面角，显然不等于90︒，故错误对于D ，1111,AC AC AC B ∴∠为异面直线1BC 与AC 所成的角，11AC B ∆为等边三角形，1160AC B ∴∠=︒，故正确故选C5．如图，在长方体1111ABCD A BC D -中，E 、F 分别是棱1AA 和1BB 的中点，过EF 的平面EFGH 分别交BC 和AD 于点G 、H ，则GH 与AB 的位置关系是A ．平行B ．相交C ．异面D ．平行或异面【答案】A【详解】 在长方体1111ABCD A BC D -中，11//AA BB ，E 、F 分别为1AA 、1BB 的中点，//AE BF ∴，∴四边形ABFE 为平行四边形，//EF AB ∴， EF ⊄平面ABCD ，AB 平面ABCD ，//EF ∴平面ABCD ，EF ⊂平面EFGH ，平面EFGH平面ABCD GH =，//EF GH ∴， 又//EF AB ，//GH AB ∴，故选A.6．如图所示，点S 在平面ABC 外，SB⊥AC ，SB=AC=2，E 、F 分别是SC 和AB 的中点，则EF 的长是A ．1 BC ．2D ．12【答案】B【详解】取BC 的中点D ，连接ED 与FD⊥E 、F 分别是SC 和AB 的中点，点D 为BC 的中点⊥ED⊥SB ，FD⊥AC,而SB⊥AC ，SB=AC=2则三角形EDF 为等腰直角三角形,则ED=FD=1即故选B.7．如图，AB 是圆O 的直径，PA 垂直于圆O 所在的平面，C 是圆O 上一点（不同于A ，B 两点），且PA AC =，则二面角P BC A --的大小为A ．60°B ．30°C ．45°D ．15°【答案】C【详解】 解：由条件得,PA BC AC BC ⊥⊥.又PAAC A =，PA ⊂平面PAC ，AC ⊂平面PAC ，所以BC ⊥平面PAC .又因为PC ⊂平面PAC ， 所以BC PC ⊥.所以PCA ∠为二面角P BC A --的平面角.在Rt PAC ∆中，由PA AC =得45PCA ︒∠=. 故选：C .8．在空间四边形ABCD 中，若AD BC BD AD ⊥⊥，，则有A ．平面ABC ⊥平面ADCB ．平面ABC ⊥平面ADBC ．平面ABC ⊥平面DBCD ．平面ADC ⊥平面DBC【答案】D【详解】 由题意，知AD BC BD AD ⊥⊥，，又由BC BD B =，可得AD ⊥平面DBC ，又由AD ⊂平面ADC ，根据面面垂直的判定定理，可得平面ADC ⊥平面DBC9．直三棱柱111ABC A B C -中，若90BAC ∠=︒，1AB AC AA ==，则异面直线1BA 与1AC 所成的角等于 A ．30°B ．45°C ．60°D ．90°【答案】C【详解】本试题主要考查异面直线所成的角问题，考查空间想象与计算能力．延长B 1A 1到E ，使A 1E =A 1B 1，连结AE ，EC 1，则AE ⊥A 1B ，⊥EAC 1或其补角即为所求，由已知条件可得⊥AEC 1为正三角形，⊥⊥EC 1B 为60，故选C ．10．已知两个平面相互垂直，下列命题⊥一个平面内已知直线必垂直于另一个平面内的任意一条直线⊥一个平面内已知直线必垂直于另一个平面内的无数条直线⊥一个平面内任意一条直线必垂直于另一个平面⊥过一个平面内任意一点作交线的垂线，则此垂线必垂直于另一个平面其中正确命题个数是（ ）A ．1B ．2C ．3D ．4 【答案】A【详解】由题意，对于⊥，当两个平面垂直时，一个平面内的不垂直于交线的直线不垂直于另一个平面内的任意一条直线，故⊥错误；对于⊥，设平面α∩平面β=m ，n⊥α，l⊥β，⊥平面α⊥平面β， ⊥当l⊥m 时，必有l⊥α，而n⊥α， ⊥l⊥n ，而在平面β内与l 平行的直线有无数条，这些直线均与n 垂直，故一个平面内的已知直线必垂直于另一个平面内的无数条直线，即⊥正确；对于⊥，当两个平面垂直时，一个平面内的任一条直线不不一定垂直于另一个平面，故⊥错误；对于⊥，当两个平面垂直时，过一个平面内任意一点作交线的垂线，若该直线不在第一个平面内，则此直线不一定垂直于另一个平面，故⊥错误；故选A ．11．在空间中，给出下列说法：⊥平行于同一个平面的两条直线是平行直线；⊥垂直于同一条直线的两个平面是平行平面；⊥若平面α内有不共线的三点到平面β的距离相等，则//αβ；⊥过平面α的一条斜线，有且只有一个平面与平面α垂直.其中正确的是（ ）A ．⊥⊥B ．⊥⊥C ．⊥⊥D ．⊥⊥ 【答案】B【详解】⊥平行于同一个平面的两条直线可能平行、相交或异面，不正确；易知⊥正确；⊥若平面α内有不共线的三点到平面β的距离相等，则α与β可能平行，也可能相交，不正确；易知⊥正确.故选B.12．下列结论正确的选项为( )A ．梯形可以确定一个平面；B ．若两条直线和第三条直线所成的角相等，则这两条直线平行；C ．若l 上有无数个点不在平面α内，则l⊥αD ．如果两个平面有三个公共点，则这两个平面重合．【答案】A【详解】因梯形的上下底边平行，根据公理3的推论可知A 正确．两条直线和第三条直线所成的角相等，这两条直线相交、平行或异面，故B 错．当直线和平面相交时，该直线上有无数个点不在平面内，故C 错．如果两个平面有三个公共点且它们共线，这两个平面可以相交，故D 错．综上，选A ．13．已知圆柱的轴截面为正方形，且圆柱的体积为54π，则该圆柱的侧面积为A ．27πB ．36πC ．54πD ．81π 【答案】B【详解】设圆柱的底面半径为r ．因为圆柱的轴截面为正方形，所以该圆柱的高为2r ．因为该圆柱的体积为54π，23π2π54πr h r ==，解得3r =，所以该圆柱的侧面积为2π236r r ⨯=π．14．用与球心距离为1的平面去截球，所得截面圆的面积为π，则球的表面积为A ．8π3B ．32π3C ．8πD 【答案】C【详解】设球的半径为R ，则截面圆的半径为，⊥截面圆的面积为S ＝π2＝（R 2－1）π＝π，⊥R 2＝2，⊥球的表面积S ＝4πR 2＝8π．故选C. 15．已知圆柱的侧面展开图是一个边长为2的正方形，那么这个圆柱的体积是A ．2πB ．1πC ．22πD ．21π【答案】A【详解】由题意可知，圆柱的高为2，底面周长为2，故半径为1π，所以底面积为1π，所以体积为2π，故选A ． 16．用斜二测画法画水平放置的平面图形的直观图，对其中的线段说法不正确的是（ ）A ．原来相交的仍相交B ．原来垂直的仍垂直C ．原来平行的仍平行D ．原来共点的仍共点【答案】B【详解】解：根据斜二测画法作水平放置的平面图形的直观图的规则，与x 轴平行的线段长度不变，与y 轴平行的线段长度变为原来的一半，且倾斜45︒，故原来垂直线段不一定垂直了；故选：B ．17．如图所示为一个水平放置的平面图形的直观图，它是底角为45︒，腰和上底长均为1的等腰梯形，则原平面图形为 ( )A ．下底长为1B ．下底长为1+C ．下底长为1D ．下底长为1+【答案】C【详解】45A B C '''∠=，1A B ''= 2cos451B C A B A D ''''''∴=+=∴原平面图形下底长为1由直观图还原平面图形如下图所示：可知原平面图形为下底长为1故选：C18．半径为R 的半圆卷成一个圆锥，则它的体积是（ ）A 3RB 3RC 3RD 3R 【答案】C【详解】设底面半径为r ，则2r R ππ=，所以2R r =.所以圆锥的高2h R ==.所以体积22311332R V r h R ππ⎛⎫=⨯== ⎪⎝⎭.故选：C .19．下列说法中正确的是A ．圆锥的轴截面是等边三角形B ．用一个平面去截棱锥，一定会得到一个棱锥和一个棱台C ．将一个等腰梯形绕着它的较长的底边所在的直线旋转一周，所围成的几何体是由一个圆台和两个圆锥组合而成D ．有两个面平行，其余各面都是四边形，并且每相邻两个四边形的公共边都互相平行的几何体叫棱柱【答案】D【详解】圆锥的轴截面是两腰等于母线长的等腰三角形，A 错误；只有用一个平行于底面的平面去截棱锥，才能得到一个棱锥和一个棱台，B 错误；等腰梯形绕着它的较长的底边所在的直线旋转一周的几何体，是由一个圆柱和两个圆锥组合而成，故C 错误；由棱柱的定义得，有两个面平行，其余各面都是四边形，并且每相邻两个四边形的公共边都互相平行的几何体叫棱柱，故D 正确．20．如图，将矩形纸片ABCD 折起一角落()EAF △得到EA F '△，记二面角A EF D '--的大小为π04θθ⎛⎫<< ⎪⎝⎭，直线A E '，A F '与平面BCD 所成角分别为α，β，则（ ）．A ．αβθ+>B ．αβθ+<C ．π2αβ+>D ．2αβθ+> 【答案】A【详解】如图，过A '作A H '⊥平面BCD ，垂足为H ，过A '作A G EF '⊥，垂足为G ，设,,A G d A H h A EG γ'''==∠=，因为A H '⊥平面BCD ，EF ⊂平面BCD ，故A H EF '⊥，而A G A H A '''⋂=，故EF ⊥平面A GH '，而GH ⊂平面A GH '，所以EF GH ⊥，故A GH θ'∠=，又A EH α'∠=，A FH β'∠=.在直角三角形A GE '中，sin d A E γ'=，同理cos d A F γ'=， 故sin sin sin sin sin h h d dαγθγγ===，同理sin sin cos βθγ=， 故222sin sin sin αβθ+=，故2cos 2cos 21sin 22αβθ--=， 整理得到2cos 2cos 2cos 22αβθ+=， 故()()2cos cos cos 22αβαβαβαβθ+--⎡⎤++-⎣⎦+=， 整理得到()()2cos cos cos αβαβθ+-=即()()cos cos cos cos αβθθαβ+=-， 若αβθ+≤，由04πθ<< 可得()cos cos αβθ+≥即()cos 1cos αβθ+≥， 但αβαβθ-<+≤，故cos cos αβθ->，即()cos 1cos θαβ<-，矛盾， 故αβθ+>.故A 正确，B 错误. 由222sin sin sin αβθ+=可得sin sin ,sin sin αθβθ<<，而,,αβθ均为锐角，故,αθβθ<<，22παβθ+<<，故CD 错误.故选：D.二、填空题 21．如图，已知六棱锥P ﹣ABCDEF 的底面是正六边形，P A ⊥平面ABC ，P A ＝AB ，则下列结论正确的是_____．（填序号）⊥PB ⊥AD ；⊥平面P AB ⊥平面PBC ；⊥直线BC ⊥平面P AE ；⊥sin⊥PDA =．【答案】⊥【详解】⊥P A ⊥平面ABC ，如果PB ⊥AD ，可得AD ⊥AB ，但是AD 与AB 成60°，⊥⊥不成立，过A 作AG ⊥PB 于G ，如果平面P AB ⊥平面PBC ，可得AG ⊥BC ，⊥P A ⊥BC ，⊥BC ⊥平面P AB ，⊥BC ⊥AB ，矛盾，所以⊥不正确；BC 与AE 是相交直线，所以BC 一定不与平面P AE 平行，所以⊥不正确；在R t⊥P AD 中，由于AD ＝2AB ＝2P A ，⊥sin⊥PDA =，所以⊥正确；故答案为: ⊥22．如图，已知边长为4的菱形ABCD 中，,60AC BD O ABC ⋂=∠=︒.将菱形ABCD 沿对角线AC 折起得到三棱锥D ABC -，二面角D AC B --的大小为60°，则直线BC 与平面DAB 所成角的正弦值为______.【详解】⊥四边形ABCD 是菱形，60ABC ∠=︒，,,AC OD AC OB OB OD ∴⊥⊥==，DOB ∴∠为二面角D AC B --的平面角，60DOB ∠=︒∴，OBD ∴△是等边三角形.取OB 的中点H ，连接DH ，则,3DH OB DH ⊥=.,,AC OD AC OB OD OB O ⊥⊥⋂=，AC ∴⊥平面,OBD AC DH ∴⊥，又,AC OB O AC ⋂=⊂平面ABC ，OB ⊂平面ABC ，DH ∴⊥平面ABC ，2114333D ABC ABC V S DH -∴=⋅=⨯=△4,AD AB BD OB ====ABD ∴∆的边BD 上的高h =1122ABD S BD h ∴=⋅=⨯=△设点C 到平面ABD 的距离为d ，则13C ABD ABD V S d -=⋅=△.D ABC C ABD V V --=，d ∴=∴=⊥直线BC 与平面DAB 所成角的正弦值为d BC = 23．球的一个内接圆锥满足：球心到该圆锥底面的距离是球半径的一半，则该圆锥的体积和此球体积的比值为_______． 【答案】932或332【解析】设圆锥的底面半径为r,高为h,球的半径为R ．由立体几何知识可得，连接圆锥的顶点和底面的圆心，必垂直于底面，且球心在连线所成的直线上．分两种情况分析：（1）球心在连线成构成的线段内因为球心到该圆锥底面的距离是球半径的一半，所以,故圆锥的体积为．该圆锥的体积和此球体积的比值为（2）球心在连线成构成的线段以外因为球心到该圆锥底面的距离是球半径的一半，所以,故圆锥的体积为．该圆锥的体积和此球体积的比值为24．如图，四棱台''''ABCD A B C D -的底面为菱形，P 、Q 分别为''''B C C D ，的中点．若'AA ⊥平面BPQD ，则此棱台上下底面边长的比值为___________．【答案】2 3【详解】连接AC，A′C′，则AC⊥A′C′，即A，C，A′，C′四点共面，设平面ACA′C′与PQ和QB分别均于M，N点，连接MN，如图所示：若AA′⊥平面BPQD，则AA′⊥MN，则AA'NM为平行四边形，即A'M＝AN，即31''42A C=AC，''23A BAB∴=，即棱台上下底面边长的比值为23．故答案为23．三、解答题25．如图，在直四棱柱ABCD–A1B1C1D1中，已知底面ABCD是菱形，点P是侧棱C1C的中点．（1）求证：AC 1⊥平面PBD ；（2）求证：BD ⊥A 1P ．【答案】（1）见解析；（2）见解析【详解】（1）连接AC 交BD 于O 点，连接OP ，因为四边形ABCD 是正方形，对角线AC 交BD 于点O ，所以O 点是AC 的中点，所以AO =OC ．又因为点P 是侧棱C 1C 的中点，所以CP =PC 1，在⊥ACC 1中，11C P AO OC PC==，所以AC 1⊥OP ， 又因为OP ⊥面PBD ，AC 1⊥面PBD ，所以AC 1⊥平面PBD ．（2）连接A 1C 1．因为ABCD –A 1B 1C 1D 1为直四棱柱，所以侧棱C 1C 垂直于底面ABCD ，又BD ⊥平面ABCD ，所以CC 1⊥BD ，因为底面ABCD 是菱形，所以AC ⊥BD ，又AC ∩CC 1=C ，AC ⊥面AC 1，CC 1⊥面AC 1，所以BD ⊥面AC 1，又因为P ⊥CC 1，CC 1⊥面ACC 1A 1，所以P ⊥面ACC 1A 1，因为A 1⊥面ACC 1A 1，所以A 1P ⊥面AC 1，所以BD ⊥A 1P ．26．如图，在直三棱柱111ABC A B C -中，1BC BB =，12BAC BCA ABC ∠=∠=∠，点E 是1A B 与1AB 的交点，D 为AC 的中点.（1）求证：1BC 平面1A BD ；（2）求证：1AB ⊥平面1A BC .【答案】（1）见解析（2）见解析【解析】分析：（1）连结ED ，E 为1A B 与1AB 的交点，E 为1AB 中点，D 为AC 中点，根据三角形中位线定理可得1//ED B C ，由线面平行的判定定理可得结果；（2）由等腰三角形的性质可得AB BC ⊥，由菱形的性质可得11AB A B ⊥，1BB ⊥平面ABC ，可得1BC BB ⊥，可证明1BC AB ⊥，由线面垂直的判定定理可得结果.详解：（1）连结ED ，⊥直棱柱111ABC A B C -中，E 为1A B 与1AB 的交点，⊥E 为1AB 中点，D 为AC 中点，⊥1//ED B C又⊥ED ⊂平面1A BD ，1B C ⊄平面1A BD⊥1//B C 平面1A BD .（2）由12BAC BCA ABC ∠=∠=∠知,AB BC AB BC =⊥ ⊥1BB BC =，⊥四边形11ABB A 是菱形，⊥11AB A B ⊥. ⊥1BB ⊥平面ABC ，BC ⊂平面ABC⊥1BC BB ⊥⊥1AB BB B ⋂=,1,AB BB ⊂平面11ABB A ，⊥BC ⊥平面11ABB A⊥1AB ⊂平面11ABB A ，⊥1BC AB ⊥⊥1BC A B B ⋂=，1,BC A B ⊂平面1A BC ，⊥1AB ⊥平面1A BC27．如图，在四棱锥P ﹣ABCD 中，底面ABCD 是平行四边形，平面PBC ⊥平面ABCD ，⊥BCD 4π=，BC ⊥PD ，PE ⊥BC ．（1）求证：PC ＝PD ；（2）若底面ABCD 是边长为2的菱形，四棱锥P ﹣ABCD 的体积为43，求点B 到平面PCD 的距离．【答案】（1）证明见解析 （2）3． 【详解】 （1）证明：由题意，BC ⊥PD ，BC ⊥PE ，⊥BC ⊥平面PDE ，⊥DE ⊥平面PDE ，⊥BC ⊥DE .⊥⊥BCD 4π=，⊥DEC 2π=，⊥ED ＝EC ，⊥Rt⊥PED ⊥Rt⊥PEC ，⊥PC ＝PD .（2）解：由题意，底面ABCD 是边长为2的菱形，则ED ＝EC =⊥平面PBC ⊥平面ABCD ，PE ⊥BC ，平面PBC ∩平面ABCD ＝BC ，⊥PE ⊥平面ABCD ，即PE 是四棱锥P ﹣ABCD 的高.⊥V P ﹣ABCD 13=⨯2PE 43=，解得PE = ⊥PC ＝PD ＝2.设点B 到平面PCD 的距离为h ，⊥V B ﹣PCD ＝V P ﹣BCD 12=V P ﹣ABCD 23=， ⊥1132⨯⨯2×2×sin60°×h 23=，⊥h 3=.⊥点B 到平面PCD 的距离是3. 28．如图，在以A 、B 、C 、D 、E 、F 为顶点的五面体中，面ABCD 是等腰梯形，//AB CD ，面ABFE 是矩形，平面ABFE ⊥平面ABCD ，BC CD AE a ===，60DAB ∠=.（1）求证：平面⊥BDF 平面ADE ；（2）若三棱锥B DCF -a 的值. 【答案】（1）证明见解析；（2）1.【详解】（1）因为四边形ABFE 是矩形，故EA AB ⊥，又平面ABFE ⊥平面ABCD ，平面ABFE 平面ABCD AB =，AE ⊂平面ABFE ， 所以AE ⊥平面ABCD ，又BD ⊂面ABCD ，所以AE BD ⊥，在等腰梯形ABCD 中，60DAB ∠=，120ADC BCD ︒∴∠=∠=，因BC CD =，故30BDC ∠=，1203090ADB ∠=-=，即AD BD ⊥， 又AE AD A =，故BD ⊥平面ADE ，BD ⊂平面BDF ，所以平面⊥BDF 平面ADE ；（2）BCD 的面积为2213sin12024BCD S a ==， //AE FB ，AE ⊥平面ABCD ，所以，BF ⊥平面ABCD ，2313D BCF F BCD V V a --∴==⋅==，故1a =.。

2020-2021学年浙江省绍兴市高一(下)期末数学试卷一、单项选择题(本大题共8小题，每小题3分，共24分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1.i 是虚数单位，复数z =1-i 在复平面上对应的点位于(D )A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限【解析】复数z =1-i 在复平面上对应的点的坐标为(1,-1)，位于第四象限．故选：D ．【点评】本题考查复数的代数表示法及其几何意义，是基础题．2.抛掷两枚质地均匀的骰子，设事件A =“第一枚出现奇数点”，事件B =“第二枚出现偶数点”，则A 与B 的关系是(C )A.互斥B.互为对立C.相互独立D.相等【解析】由题可知，抛掷两枚质地均匀的骰子，第一枚和第二枚出现点数的分类情况如下，①(奇数，奇数)，②(奇数，偶数)，③(偶数，奇数)，④(偶数，偶数)，事件A =“第一枚出现奇数点”={①，②}，事件B =“第二枚出现偶数点”={②，④}，两个事件不相等，排除D ，A ∩B ≠∅，所以不是互斥事件，排除A ，B ，C 选项，事件A =“第一枚出现奇数点”，P (A )=36=12，事件B =“第二枚出现偶数点”，P (B )=36=12，事件AB =“第一枚出现奇数点，第二枚出现偶数点”，P (AB )=3×336=14，满足P (AB )=P (A )⋅P (B )，所以事件A 和事件B 是相互独立事件，故选：C ．【点评】本题考查事件关系，判断两个事件是否相互独立，利用定义法，满足P (AB )=P (A )⋅P (B )即独立，本题属于基础题．3.已知向量a=(1,-2)，b =(2,-4)，则(A )A.a 与b 同向B.a 与b 反向C.(a +b )⊥aD.(a +b)⊥b【解析】∵向量a =(1,-2)，b =(2,-4)，∴b =2a，∴a 与b同向，故选：A ．【点评】本题主要考查两个向量同向的条件，属于基础题．4.袋中装有大小质地完全相同的5个球，其中2个红球，3个黄球，从中有放回地依次随机摸出2个球，则摸出的2个球颜色不同的概率是(D )A.35B.310C.625D.1225【解析】设摸出的2个球颜色不同为事件A ，∵基本事件总数n =5×5=25，事件A 包含的基本事件数为C 12C 12C 13=12，∴p (A )=1225，故选：D ．【点评】本题考查概率的求法，考查古典概型、排列组合等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．5.已知m ，n 是两条不同的直线，α，β，γ是三个不同的平面，(C )A.若m ⎳n ，n ⊂α，则m ⎳αB.若n ⊥α，m ⊂β，n ⊥m ，则α⎳βC.若α⊥γ，β⊥γ，α∩β=m ，则m ⊥γD.若m ⊂α，n ⊂α，m ⎳β，n ⎳β，则α⎳β【解析】m ，n 是两条不同的直线，α，β，γ是三个不同的平面，对于A ，若m ⎳n ，n ⊂α，则m ⎳α或m ⊂α，故A 错误；对于B ，若n ⊥α，m ⊂β，n ⊥m ，则α与β相交或平行，故B 错误；对于C ，若α⊥γ，β⊥γ，α∩β=m ，则由面面垂直的性质、线面垂直的判断定理得m ⊥γ，故C 正确；对于D ，若m ⊂α，n ⊂α，m ⎳β，n ⎳β，则α与β相交或平行，故D 错误．故选：C ．【点评】本题考查命题真假的判断，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系，考查推理论证能力，是中档题．6.如图，在正三棱柱ABC -A 1B 1C 1中，AB =AA 1，则异面直线AC 1与A 1B 所成角的余弦值是(B )A.0B.14C.64D.22【解析】由题意可知正三棱柱ABC -A 1B 1C 1中，所有棱长相等，设棱长为1，则cos <AC 1 ，A 1B >=AC 1 ⋅A 1B |AC 1 ||A 1B |=(AA 1 +A 1C 1 )⋅(A 1A +AB )2×2=-1+0+0+122=-14．∴异面直线AC 1与A 1B 所成角的余弦值14．故选：B ．【点评】本题异面直线所成角算法，考查数学运算能力及抽象能力．7.若满足∠ACB =30°，BC =2的ΔABC 有且只有一个，则边AB 的取值范围是(B )A.[1，2)B.{1}∪[2，+∞)C.(2,+∞)D.[2，+∞)【解析】∵满足∠ACB =30°，BC =2的ΔABC 有且只有一个，如图，AB ⊥AC ，或AB ≥2，∴AB =1或AB ≥2，∴边AB 的取值范围是{1}∪[2，+∞)．故选：B ．【点评】本题考查了数形结合解题的方法，属于基础题．8.已知向量a ，b 满足|a |=1，|b |=2，|a +b |=2|a -b |，则a 在a -b上的投影向量的模长为(A )A.3060B.11210210C.16D.116【解析】因为|a +b |=2|a -b|，所以|a +b |2=(2|a -b |)2，所以a 2+2a ⋅b +b 2=2(a 2-2a ⋅b +b 2)，所以a 2-6a ⋅b +b2=0，所以1-6a ⋅b+22=0，所以a ⋅b =56，所以a ⋅(a -b )=a 2-a ⋅b =12-56=16，所以|a -b |2=a 2-2a ⋅b +b 2=1-2×56+22=103，所以a 在a -b 上的投影向量为a ⋅(a -b )|a -b |=16103=3060，故选：A ．【点评】本题考查向量数量积的运算，解题中需要一定的计算能力，属于中档题．二、多项选择题(本大题共4小题，每小题3分，共12分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得3分，部分选对的得1分，有选错的得0分)9.已知i 是虚数单位，复数z =(1-i )i ，则(BD )A.z 的实部为-1B.z 的共轭复数是1-iC.|z |=2D.z 2=2i【解析】因为z =(1-i )i =1+i ，所以z 的实部为1，故A 错误，z 的共轭复数为1-i ，故B 正确，|z |=12+12=2，故C 错误，z 2=(1+i )2=2i ，故D 正确，故选：BD ．【点评】本题考查了复数的运算性质，涉及到复数的共轭复数以及模的求解，考查了学生的运算能力，属于基础题．10.如图是甲、乙两人在射击测试中6次命中环数的折线图，(CD )A.若甲、乙射击成绩的平均数分别为x 1，x 2，则x 1<x2B.若甲、乙射击成绩的方差分别为s 21，s 22，则s 21<s 22C.乙射击成绩的中位数小于甲射击成绩的中位数D.乙比甲的射击成绩稳定【解析】甲射击测试中6次命中环数为：6，7，8，9，9，10，乙射击测试中6次命中环数为：5，5，6，7，7，7，甲、乙射击成绩的平均数分别为x 1，x 2，甲、乙射击成绩的方差分别为s 21，s 22，则x 1 =16×(9+10+6+7+9+8)=8.17，x 2=16×(6+7+5+5+7+7)=6.17，所以x 1>x 2，故选项A 错误；由折线图可以看出，乙的射击成绩比甲的射击成绩波动较小，所以s 21>s 22，乙比甲的射击成绩稳定，故选项错误，选项D 正确；甲射击成绩的中位数为8+92=7.5，乙射击成绩的中位数为6+72=6.5，故选项C 正确．故选：CD ．【点评】本题考查了折线图的应用，平均数与方差计算公式的应用，读懂统计图并能从统计图得到必要的信息是解决问题的关键，属于基础题．11.在正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，P 是线段B 1C 上动点，F 是BD 1的中点，则(ABC )A.AP ⎳平面A 1DC 1B.AP ⊥BD 1C.直线BB 1与平面BPD 1所成角可以是∠D 1BB 1D.二面角C 1-BD 1-C 的平面角是∠C 1FC【解析】以点D 为坐标原点建立空间直角坐标系如图所示，设正方体棱长为1，则D (0，0，0)，A (1，0，0)，C (0，1，0)，B 1(1，1，1)，A 1(1，0，1)，C 1(0，1，1)，对于A ，设P (a ，1，a )，则AP =(a -1,1,a ),A 1D =(-1,0,-1)，DC 1 =(0,1,1)，设平面A 1DC 1的法向量为n=(x ,y ,z )，则n ⋅A 1D=0n ⋅DC 1 =0，即-x -z =0y +z =0 ，令x =1，则y =1，z =-1，故n=(1,1,-1)，则AP ⋅n=(a -1)×1+1×1-1×a =0，又AP ⊄平面A 1DC 1，所以AP ⎳平面A 1DC 1，故选项A 正确；对于B ，因为B (1，1，0)，D 1(0，0，1)，所以BD 1 =(-1-1,1),AP=(a -1,1,a )，所以AP ⋅BD 1=0，则AP ⊥BD 1，故选项B 正确；对于C ，当点P 为B 1C 的中点时，直线BB 1与平面BPD 1所成的角可以是∠D 1BB 1，故选项C 正确；对于D ，因为F 为BD 1的中点，所以C 1F ⊥BD 1，但CF 不垂直于BD 1，此时二面C 1-BD 1-C 的平面角不可以是∠C 1FC ，故选项D 错误．故选：ABC ．【点评】本题以命题的真假判断为载体考查了空间中线线、线面、面面的位置关系，空间角的求解，考查了空间向量在立体几何中的应用，考查了逻辑推理能力、空间想象能力、化简运算能力，属于中档题．12.在ΔABC 中，D ，E 分别是BC ，AC 的中点，且BC =6，AD =2，则(BD )A.ΔABC 面积最大值是12B.cos B ≥53C.|AD +BE|不可能是5D.BE ⋅AC ∈112,352【解析】设ΔABC 三个内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，对于A ，S ΔABC =12⋅a ⋅h a =12⋅6⋅h a =3h a ≤3⋅AD =6，当AD ⊥BC 时不等式等号成立，所以ΔABC 面积最大值为6，故A 错误；对于B ，在ΔABD 中，cos B =32+AB 2-42⋅3⋅AB =AB 2+56AB =AB 6+56AB≥2AB 6⋅56AB =53，当AB =5时，不等式等号成立，故B 正确；对于C ，因为AD +BE =-DA +BD +DA +AE =BD +12AC =DC +12(DC -DA )=32DC -12DA ，所以|AD +BE |=|DC -DA |2=(3DC -DA )22=9|DC |2+|DA |2-6DC ⋅DA 2=85-6DC ⋅DA2=5，解得DC ⋅DA =-52，因为|DC |⋅|DA |=6，所以DC ⋅DA ∈(-6,6)，故|AD +BE|可能是5，故C 错误；对于D ,BE =(AD +BE )-AD =32DC -12DA+DA =32DC +12DA ，AC =DC -DA ，所以BE ⋅AC =32DC +12DA ⋅(DC -DA )=32DC 2-12DA 2-DC ⋅DA =232-DC ⋅DA ，又DC ⋅DA ∈(-6,6)，所以232-DC ⋅DA ∈112,352．故选：BD ．【点评】本题考查余弦定理在解三角形中的应用，考查基本不等式在求最值中的应用，考查平面向量数量积和模的运算，考查数学运算和直观想象的核心素养，属于中档题．三、填空题(本大题共4小题，每小题3分，共12分)13.已知一组数据：15，17，14，10，15，17，17，16，14，12，则该组数据的众数是17．【解析】该组数据从小到大排列为：10，12，14，14，15，15，16，17，17，17，这组数据出现次数最多的是17，所以众数是17．故答案为：17．【点评】本题考查了求一组数据的众数问题，通常是先按从小到大排列，再找出现次数最多的数据，是基础题．14.已知向量a ，b 满足|a |=1，|b |=3，且(2a -b )⊥b ，则a 与b夹角的余弦值是32．【解析】∵向量a ，b 满足|a |=1，|b |=3，且(2a -b)⊥b ，∴(2a -b )⋅b =2a ⋅b -b 2=2×1×3×cos <a ,b>-3=0，∴cos <a ,b >=323=32．∴a 与b 夹角的余弦值为32．故答案为：32．【点评】本题考查向量夹角的余弦值的求法，考查向量垂直的性质等基础知识，考查推理论证能力，是基础题．15.已知某运动员每次投篮命中的概率为0.5，现采用随机模拟的方法估计该运动员三次投篮恰有两次命中的概率：用计算机产生0~999之间的随机整数，以每个随机整数(不足三位的整数，其百位或十位用0补齐)为一组，代表三次投篮的结果，指定数字0，1，2，3，4表示命中，数字5，6，7，8，9表示未命中．如图，在R 软件的控制平台，输入“sample (0:999，20，replace =F )”，按回车键，得到0~999范围内的20个不重复的整数随机数，据此估计，该运动员三次投篮恰有两次命中的概率为310．【解析】在20个不重复的整数随机数中，表示该运动员三次投篮恰有两次命中的随机数有：633，309，16，543，247，62，共6个，∴据此估计，该运动员三次投篮恰有两次命中的概率为：P =620=310．故答案为：310．【点评】本题考查概率的求法，考查古典概型、列举法等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．16.已知四面体ABCD 的所有棱长均为4，点O 满足OA =OB =OC =OD ，则以O 为球心，2为半径的球与四面体ABCD 表面所得交线总长度为1633π．【解析】∵正四面体A -BCD 的中心与球心O 重合，正四面体的棱长为4，取CD 中点E ，连结BE ，AE ，过A 作AF ⊥底面BCD ，交BE 于F ，则BE =4sin60°=23，BF =23BE =433，∴AF =AB 2-BF 2=463，又(AF -OF )2=OF 2+BF 2，∴OF =63，由球的半径知球被平面截得小圆半径为r =(2)2-63 2=233．而ΔABC 的内切圆半径为233，故球被正四面体一个平面截曲线为圆弧，∴正四面体表面与球面的交线的总长度为：4×2π×233=1633π．故答案为：1633π．【点评】本题考查正四面体表面与球面的交线的总长度的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想，是中档题．四、解答题(本大题共6小题，共52分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)17.已知向量a=(m -1,1)，b =(1,3)．(Ⅰ)若m =0，求a ⋅b；(Ⅱ)若|a +b|=5，求实数m 的值．【解析】(Ⅰ)因为m =0，所以a=(-1,1)，所以a ⋅b=-1×1+1×3=2．(Ⅱ)因为a +b =(m ,4)，|a +b|=5，所以|a +b|=m 2+16，所以m 2+16=25，所以m =±3．【点评】本题考查向量的数量积的求法与应用，向量的模的运算法则的应用，是基础题．18.如图，在长方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，AB =AD =3，AC 1=34．(Ⅰ)求长方体的表面积；(Ⅱ)若E 是棱AA 1的中点，求四棱锥E -BB 1C 1C 的体积．【解析】(Ⅰ)因为AB=AD=3，AC1=34，又AC1=AB2+AD2+AA12=9+9+AA12=34，所以AA1=4，所以，长方体的表面积为S=2×(3×3+3×4+3×4)=66．(Ⅱ)因为AA1⎳平面BB1C1C，E是棱AA1的中点，所以点E到平面BB1C1C的距离等于A到平面BB1C1C的距离，所以四棱锥E-BB1C1C的体积为V=13S矩形BB1C1C⋅AB=13×3×4×3=12．【点评】本题考查了长方体的表面积和棱锥的体积计算问题，是基础题．19.甲、乙两位射手对同一目标各射击两次，且每人每次击中目标与否均互不影响．已知甲每次击中目标的概率为23，乙每次击中目标的概率为34．(Ⅰ)求甲两次都没有击中目标的概率；(Ⅱ)在四次射击中，求甲、乙恰好各击中一次目标的概率．【解析】(Ⅰ)设甲两次都没有击中目标为事件A，则p(A)=1-2 31-23=19．(Ⅱ)设甲、乙恰好各击中一次目标为事件B，∵甲恰好击中一次目标的概率为C12×23×1-23=49，乙恰好击中一次目标的概率为C12×34×1-34=38，∴甲、乙恰好各击中一次目标的概率为p(B)=49×38=16．【点评】本题考查的知识点是相互独立事件的概率乘法公式，互斥事件概率加法公式，属于基础题．20.用分层随机抽样从某校高一年级学生的数学期末成绩(满分为100分，成绩都是整数)中抽取一个样本量为100的样本，其中男生成绩数据40个，女生成绩数据60个，再将40个男生成绩样本数据分为6组：[40，50)，[50，60)，[60，70)，[70，80)，[80，90)，[90，100]，绘制得到如图所示的频率分布直方图．(Ⅰ)估计男生成绩样本数据的第80百分位数；(Ⅱ)在区间[40，50)和[90，100]内的两组男生成绩样本数据中，随机抽取两个进行调查，求调查对象来自不同分组的概率；(Ⅲ)已知男生成绩样本数据的平均数和方差分别为71和187.75，女生成绩样本数据的平均数和方差分别为73.5和119，求总样本的平均数和方差．【解析】(Ⅰ)由频率分布直方图可知，在[40，80)内的成绩占比为70%，在[40，90)内的成绩占比为95%，因此第80百分位数一定位于[80，90)内．因为80+10×0.8-0.70.95-0.7=84，所以估计男生成绩样本数据的第80百分位数约是84．(Ⅱ)在区间[40，50)和[90，100]内的男生成绩样本数据分别有4个和2个，则在这6个数据中随机抽取两个的样本空间Ω包含的样本点个数为n (Ω)=5+4+3+2+1=15．记事件A =“调查对象来自不同分组”，则事件A 包含的样本点个数为n (A )=4×2=8，所以P (A )=n (A )n (Ω)=815．(Ⅲ)设男生成绩样本数据为x 1，x 2，⋯，x 40，其平均数为x =71，方差为s x 2=187.75；女生成绩样本数据为y 1，y 2，⋯，y 60，其平均数为y =73.5，方差为s y 2=119；总样本的平均数为z，方差为s 2．由按比例分配分层随机抽样总样本平均数与各层样本平均数的关系，得z =40100x +60100y =72.5．因为s 2=110040i =1(x i -z ) 2+60j =1(y j -z ) 2 =110040i =1(x i -x +x -z ) 2+60j =1(y j -y +y -z ) 2 ，又40i =12 (x i -x )(x -z )=2(x -z )40i =1(x i -x )=2(x -z )40i =1x i -40x=0，同理60j =12 (y j -y )(y -z)=0，所以s 2=110040i =1(x i -x ) 2+40i =1(x -z ) 2+60j =1(y j -y ) 2+60j =1(y -z ) 2 =1100{40[s x 2+(x -z )2]+60[s y 2+(y -z )2]}=1100{40[187.75+(71-72.5)2]+60[119+(73.5-72.5)2]}=148．所以总样本的平均数和方差分别为72.5和148．【点评】本题主要考查频率分布直方图，概率的计算，百分位数、平均数、方差的计算，考查运算求解能力，属于中档题，21.在ΔABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且2c -a =2b cos A ，b =3．(Ⅰ)求B 的大小；(Ⅱ)若a =3，求ΔABC 的面积；(Ⅲ)求aca +c的最大值．【解析】(Ⅰ)因为2c-a=2b cos A，又asin A=bsin B=csin C，所以2sin C-sin A=2sin B cos A，所以2sin(A+B)-sin A=2sin B cos，所以2sin A cos B-sin A=0，因为A∈(0,π)，sin A≠0，所以cos B=1 2，可得B=π3．(Ⅱ)因为b2=a2+c2-ac，所以c2-3c-6=0，所以c=23，所以ΔABC的面积为S=12ac sin B=332．(Ⅲ)由a2+c2-ac=9，得(a+c)2=9+3ac，因为ac≤(a+c)24，所以(a+c)2≤9+34(a+c)2，所以3<a+c≤6(当且仅当a=c=3时取等号)．设t=a+c，则t∈(3，6]，所以aca+c=t2-93t，设f(t)=t2-93t=13t-9t，则f(t)在区间(3，6]上单调递增，所以f(t)的最大值为f(6)=3 2，所以，aca+c的最大值为3 2．【点评】本题考查余弦定理，三角形的面积公式，三角函数恒等变换，基本不等式以及二次函数的性质在解三角形中的应用，考查了转化思想和函数思想，属于中档题．22.如图，四棱台ABCD-EFGH的底面是矩形，EH=DH=1，AD=2，AB=4，AD⊥DH．(Ⅰ)证明：BC⊥平面DCG；(Ⅱ)设平面DBG与平面ADHE的交线为l，求直线l与平面BCG所成角的正弦值的取值范围．【解析】(Ⅰ)证明：∵底面ABCD是矩形，∴AD⊥DC又AD⊥DH，且DC∩DH=D，∴AD⊥平面DCG，又∵AD⎳BC，∴BC⊥平面DCG；(Ⅱ)在四棱台ABCD-EFGH中，延长AE，BF，CG，DH交于S．∵GH⎳AB，GH=12AB，∴直线BG，AH相交，设交点为P，连结DP，SP．∵P∈AH，AH⊂平面ADHE，又P∈BG，BG⊂平面DBG，且平面ADHE∩平面DBG=l，∴P∈l，又D∈l，∴平面ADHE∩平面DBG=DP．过点D作DM⊥SC，垂足为M，连结PM．∵BC⊥平面DCG，BC⊂平面BCG，∴平面BCG⊥平面DCG，又平面BCG∩平面DCG=SC，∴DM⊥平面BCG，则直线l与平面BCG所成的角为∠MPD．当M与S重合时，DM=SD=2；当M与S不重合时，在RtΔDMS中，0<DM<SD．∴0<DM≤2，又∵DP=SA=22，∴在RtΔMPD中，有sin∠MPD=DMPD=DM22∈0，22．∴直线l与平面BCG所成角的正弦值的取值范围是0，22．【点评】本题考查直线与平面垂直的判定，考查空间角的求法，考查空间想象能力与思维能力，是中档题．第11页共11页。

2020-2021学年高一数学第一册单元提优卷（人教A 版（2019））期末测试卷（二）(满分：150分，测试时间：120分钟)一、单选题1．【2020年高考全国Ⅰ卷理数】设集合A ={x |x 2–4≤0}，B ={x |2x +a ≤0}，且A ∩B ={x |–2≤x ≤1}，则a =A ．–4B ．–2C ．2D ．42.【2020·广东省高三月考（文）】命题“10,ln 1x x x∀>≥-”的否定是A ．10ln 1x x x ∃≤≥-,B ．10ln 1x x x ∃≤<-,C ．10ln 1x x x∃>≥-,D ．10ln 1x x x∃><-,．3.【2020·北京市八一中学高三月考】函数()()213f x ax a x =---在区间[)1,-+∞上是增函数，则实数a 的取值范围是A ．1,3⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦B ．(],0-∞C ．10,3⎛⎤ ⎥⎝⎦D ．10,3⎡⎤⎢⎥⎣⎦4.【2020·福建省福州第一中学高三其他（理）】已知函数()f x 的定义域为[0，2]，则()()21f xg x x =-的定义域为A ．[)(]0,11,2B ．[)(]0,11,4C ．[)0,1D ．(]1,45.设函数要想得到函数sin21y x =+的图像，只需将函数cos2y x =的图象（）A ．向左平移4π个单位，再向上平移1个单位B ．向右平移4π个单位，再向上平移1个单位C ．向左平移2π个单位，再向下平移1个单位D ．向右平移2π个单位，再向上平移1个单位6.【2020·北京高三月考】已知函数()y f x =满足(1)2()f x f x +=，且(5)3(3)4f f =+，则(4)f =A ．16B ．8C ．4D ．27.已知3sin(3)cos()0πθπθ-++-=，则sin cos cos 2θθθ＝（）A ．3B ．﹣3C ．38D ．38-8.【2020·南昌市八一中学】已知函数sin (0)y ax b a =+>的图象如图所示，则函数log ()a y x b =-的图象可能A ．B ．C ．D ．9.【2020年新高考全国Ⅰ卷】基本再生数R 0与世代间隔T 是新冠肺炎的流行病学基本参数.基本再生数指一个感染者传染的平均人数，世代间隔指相邻两代间传染所需的平均时间.在新冠肺炎疫情初始阶段，可以用指数模型：(e )rtI t =描述累计感染病例数I (t )随时间t (单位:天)的变化规律，指数增长率r 与R 0，T 近似满足R 0=1+rT .有学者基于已有数据估计出R 0=3.28，T =6.据此，在新冠肺炎疫情初始阶段，累计感染病例数增加1倍需要的时间约为(ln2≈0.69)A ．1.2天B ．1.8天C ．2.5天D ．3.5天10.【2020年高考北京】已知函数()21x f x x =--，则不等式()0f x >的解集是A ．(1,1)-B ．(,1)(1,)-∞-+∞C ．(0,1)D ．(,0)(1,)-∞⋃+∞11.【2020年高考全国Ⅱ卷理数】若2x −2y <3−x −3−y ，则A ．ln(y −x +1)>0B ．ln(y −x +1)<0C ．ln|x −y |>0D ．ln|x −y |<012.【2020年高考天津】已知函数3,0,(),0.x x f x x x ⎧≥=⎨-<⎩若函数2()()2()g x f x kx x k =--∈R 恰有4个零点，则k 的取值范围是A ．1(,))2-∞-+∞ B ．1(,)(0,2-∞-C ．(,0)-∞D ．(,0))-∞+∞ 二.填空题13.【2020年高考北京】函数1()ln 1f x x x =++的定义域是____________．14.【2020年高考江苏】已知2sin ()4απ+=23，则sin 2α的值是____________．15.【2020·江苏省高三月考】已知函数()2,0228,2x x x f x x x ⎧+<<=⎨-+≥⎩，若()()2f a f a =+，则1f a ⎛⎫⎪⎝⎭的值是____________.16.【2020·六盘山高级中学高三其他（理）】设函数2()2cos ()sin(284f x x x ππ=+++，(0,3π)∈x 则下列判断正确的是____________.①．函数的一条对称轴为6x π=②．函数在区间5,24ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦内单调递增③．0(0,3π)x ∃∈，使0()1f x =-④．∃∈R a ，使得函数()y f x a =+在其定义域内为偶函数三．解答题17.（本题满分10分）已知0a >，0b >.（1）求证：()2232a b b a b +≥+；（2）若2a b ab +=，求ab 的最小值.18.（本题满分12分）已知集合，2|2162xA x ⎧⎫⎪⎪=<<⎨⎬⎪⎪⎩⎭，{|3221}B x a x a =-<<+.（1）当0a =时，求A B ；（2）若A B φ⋂=，求a 的取值范围.19.（本题满分12分）已知函数()21sin sin cos 2f x x x x =+-，x ∈R ．（1）求函数()f x 的最大值，并写出相应的x 的取值集合；（2）若()26f α=，3,88ππα⎛⎫∈-⎪⎝⎭，求sin 2α的值．20．（本题满分12分）已知函数()0.52log 2axf x x -=-为奇函数．(1)求常数a 的值；(2)若对任意10,63x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦都有()3f x t >-成立，求t 的取值范围.21（本题满分12分）【江苏省盐城市第一中学2020届高三下学期6月调研考试数学试题某乡镇响应“绿水青山就是金山银山”的号召，因地制宜的将该镇打造成“生态水果特色小镇”．经调研发现：某珍稀水果树的单株产量W （单位：千克）与施用肥料x （单位：千克）满足如下关系：()253,02()50,251x x W x x x x⎧+≤≤⎪=⎨<≤⎪+⎩，肥料成本投入为10x 元，其它成本投入（如培育管理、施肥等人工费）20x 元．已知这种水果的市场售价大约为15元／千克，且销路畅通供不应求．记该水果树的单株利润为()f x （单位：元）．（Ⅰ）求()f x 的函数关系式；（Ⅱ）当施用肥料为多少千克时，该水果树的单株利润最大?最大利润是多少?22．（本题满分12分）已知函数2()2sin cos 0)f x x x x ωωωω=+->的最小正周期为π.（1）求函数()f x 的单调增区间；（2）将函数()f x 的图象向左平移6π个单位，再向上平移1个单位，得到函数()y g x =的图象，若()y g x =在[0,](0)b b >上至少含有10个零点，求b 的最小值.2020-2021学年高一数学第一册单元提优卷期末测试卷（二）(满分：150分，测试时间：120分钟)一、单选题1．【2020年高考全国Ⅰ卷理数】设集合A ={x |x 2–4≤0}，B ={x |2x +a ≤0}，且A ∩B ={x |–2≤x ≤1}，则a =A ．–4B ．–2C ．2D ．4【答案】B求解二次不等式240x -≤可得{}2|2A x x -=≤≤，求解一次不等式20x a +≤可得|2a B x x ⎧⎫=≤-⎨⎩⎭.由于{}|21A B x x ⋂=-≤≤，故12a-=，解得2a =-.故选B ．2.【2020·广东省高三月考（文）】命题“10,ln 1x x x∀>≥-”的否定是A ．10ln 1x x x ∃≤≥-,B ．10ln 1x x x ∃≤<-,C ．10ln 1x x x ∃>≥-,D ．10ln 1x x x∃><-,【答案】D【解析】因为全称命题的否定是特称命题，所以命题“0x ∀>，1ln 1x x ≥-”的否定为“0x ∃>，1ln 1x x<-”.故选D ．3.【2020·北京市八一中学高三月考】函数()()213f x ax a x =---在区间[)1,-+∞上是增函数，则实数a 的取值范围是A ．1,3⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦B ．(],0-∞C ．10,3⎛⎤ ⎥⎝⎦D ．10,3⎡⎤⎢⎥⎣⎦【答案】D【解析】若0a =，则()3f x x =-，()f x 在区间[)1,-+∞上是增函数，符合.若0a ≠，因为()f x 在区间[)1,-+∞上是增函数，故0112a a a>⎧⎪-⎨≤-⎪⎩，解得103a <≤.综上，103a ≤≤.故选：D ．4.【2020·福建省福州第一中学高三其他（理）】已知函数()f x 的定义域为[0，2]，则()()21f xg x x =-的定义域为A ．[)(]0,11,2 B ．[)(]0,11,4 C ．[)0,1D ．(]1,4【答案】C【解析】函数()f x 的定义域是[0，2]，要使函数()()21f xg x x =-有意义,需使()2f x 有意义且10x -≠.所以10022x x -≠⎧⎨≤≤⎩,解得01x ≤<.故答案为C ．5.设函数要想得到函数sin21y x =+的图像，只需将函数cos2y x =的图象（）A ．向左平移4π个单位，再向上平移1个单位B ．向右平移4π个单位，再向上平移1个单位C ．向左平移2π个单位，再向下平移1个单位D ．向右平移2π个单位，再向上平移1个单位【答案】B【解析】cos 2sin(2)sin 2()24y x x x ππ==+=+，因此把函数cos 2y x =的图象向右平移4π个单位，再向上平移1个单位可得sin 21y x =+的图象，故选B6.【2020·北京高三月考】已知函数()y f x =满足(1)2()f x f x +=，且(5)3(3)4f f =+，则(4)f =A ．16B ．8C ．4D ．2【答案】B【解析】因为(1)2()f x f x +=,且(5)3(3)4f f =+,故()()324442f f =+,解得()48f =.故选：B7.已知3sin(3)cos()0πθπθ-++-=，则sin cos cos 2θθθ＝（）A ．3B ．﹣3C ．38D ．38-【答案】D 【解析】∵3sin(3)cos()0πθπθ-++-=，∴3sin cos 0θθ--=，即cos 3sin θθ=-，∴sin cos cos 2θθθ2222sin cos sin (3sin )3cos sin (3sin )sin 8θθθθθθθθ⋅-===----．故选：D ．8.【2020·南昌市八一中学】已知函数sin (0)y ax b a =+>的图象如图所示，则函数log ()a y x b =-的图象可能A ．B ．C ．D ．【答案】C【解析】由函数sin (0)y ax b a =+>的图象可得201,23b a πππ<<<<，213a ∴<<，故函数log ()a y xb =-是定义域内的减函数，且过定点(1,0)b +.结合所给的图像可知只有C 选项符合题意.故选：C ．9.【2020年新高考全国Ⅰ卷】基本再生数R 0与世代间隔T 是新冠肺炎的流行病学基本参数.基本再生数指一个感染者传染的平均人数，世代间隔指相邻两代间传染所需的平均时间.在新冠肺炎疫情初始阶段，可以用指数模型：(e )rt I t =描述累计感染病例数I (t )随时间t (单位:天)的变化规律，指数增长率r 与R 0，T 近似满足R 0=1+rT .有学者基于已有数据估计出R 0=3.28，T =6.据此，在新冠肺炎疫情初始阶段，累计感染病例数增加1倍需要的时间约为(ln2≈0.69)A ．1.2天B ．1.8天C ．2.5天D ．3.5天【答案】B【解析】因为0 3.28R =，6T =，01R rT =+，所以 3.2810.386r -==，所以()0.38rt t I t e e ==，设在新冠肺炎疫情初始阶段，累计感染病例数增加1倍需要的时间为1t 天，则10.38()0.382t t t e e +=，所以10.382t e =，所以10.38ln 2t =，所以1ln 20.691.80.380.38t =≈≈天.故选：B ．10.【2020年高考北京】已知函数()21x f x x =--，则不等式()0f x >的解集是A ．(1,1)-B ．(,1)(1,)-∞-+∞C ．(0,1)D ．(,0)(1,)-∞⋃+∞【解析】因为()21xf x x =--，所以()0f x >等价于21x x >+，在同一直角坐标系中作出2x y =和1y x =+的图象如图：两函数图象的交点坐标为(0,1),(1,2)，不等式21x x >+的解为0x <或1x >.所以不等式()0f x >的解集为：()(),01,-∞⋃+∞.故选：D ．11.【2020年高考全国Ⅱ卷理数】若2x −2y <3−x −3−y ，则A ．ln(y −x +1)>0B ．ln(y −x +1)<0C ．ln|x −y |>0D ．ln|x −y |<0【答案】A【解析】由2233x y x y ---<-得：2323x x y y ---<-，令()23ttf t -=-，2x y = 为R 上的增函数，3x y -=为R 上的减函数，()f t ∴为R 上的增函数，x y ∴<，0y x ->Q ，11y x ∴-+>，()ln 10y x ∴-+>，则A 正确，B 错误；x y -Q 与1的大小不确定，故CD 无法确定.12.【2020年高考天津】已知函数3,0,(),0.x x f x x x ⎧≥=⎨-<⎩若函数2()()2()g x f x kx x k =--∈R 恰有4个零点，则k 的取值范围是A ．1(,))2-∞-+∞ B ．1(,(0,2-∞-C ．(,0)-∞D ．(,0))-∞+∞ 【答案】D【解析】注意到(0)0g =，所以要使()g x 恰有4个零点，只需方程()|2|||f x kx x -=恰有3个实根即可，令()h x =()||f x x ，即|2|y kx =-与()()||f x h x x =的图象有3个不同交点.因为2,0()()1,0x x f x h x x x ⎧>==⎨<⎩，当0k =时，此时2y =，如图1，2y =与()()||f x h x x =有2个不同交点，不满足题意；当k 0<时，如图2，此时|2|y kx =-与()()||f x h x x =恒有3个不同交点，满足题意；当0k >时，如图3，当2y kx =-与2y x =相切时，联立方程得220x kx -+=，令0∆=得280k -=，解得k =k >.综上，k 的取值范围为(,0))-∞+∞ .故选：D ．二.填空题13.【2020年高考北京】函数1()ln 1f x x x =++的定义域是____________．【答案】(0,)+∞【解析】由题意得010x x >⎧⎨+≠⎩，0x ∴>故答案为：(0,)+∞14.【2020年高考江苏】已知2sin ()4απ+=23，则sin 2α的值是____________．【答案】13【解析】22221sin ()(cos sin )(1sin 2)4222παααα+=+=+Q 121(1sin 2)sin 2233αα∴+=∴=故答案为：1315.【2020·江苏省高三月考】已知函数()2,0228,2x x x f x x x ⎧+<<=⎨-+≥⎩，若()()2f a f a =+，则1f a ⎛⎫ ⎪⎝⎭的值是____________.【答案】2【解析】由2x ≥时，()28f x x =-+是减函数可知，当2a ≥，则()()2f a f a ≠+，所以02a <<，由()(+2)f a f a =得22(2)8a a a +=-++，解得1a =，则21(1)112f f a ⎛⎫==+= ⎪⎝⎭.故答案为：2.16.【2020·六盘山高级中学高三其他（理）】设函数2()2cos ()sin(2)84f x x x ππ=+++，(0,3π)∈x 则下列判断正确的是_____.①．函数的一条对称轴为6x π=②．函数在区间5,24ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦内单调递增③．0(0,3π)x ∃∈，使0()1f x =-④．∃∈R a ，使得函数()y f x a =+在其定义域内为偶函数【答案】④【解析】函数()1cos 2sin 21244f x x x x ππ⎛⎫⎛⎫=++++=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，当(0,3π)∈x 时，当6x π=时，23x π=不能使函数取得最值，所以不是函数的对称轴，①错；当5,24x π⎡⎤∈π⎢⎥⎣⎦时，52,2x ⎡⎤∈ππ⎢⎥⎣⎦，函数先增后减，②不正确；若()1f x =-，那么cos 2x =不成立，所以③错；当3 2a =π时，()12f x a x +=函数是偶函数，④正确，三．解答题17.（本题满分10分）已知0a >，0b >.（1）求证：()2232a b b a b +≥+；（2）若2a b ab +=，求ab 的最小值.【答案】（1）证明见解析；（2）1.【解析】证明：（1）∵()()222223220a b b a b a ab b a b +-+=-+=-≥，∴()2232a b b a b +≥+.（2）∵0a >，0b >，∴2ab a b =+≥2ab ≥1≥，∴1≥ab .当且仅当1a b ==时取等号，此时ab 取最小值1.18.（本题满分12分）已知集合，|2162x A x ⎧⎫⎪⎪=<<⎨⎬⎪⎪⎩⎭，{|3221}B x a x a =-<<+.（1）当0a =时，求A B ；（2）若A B φ⋂=，求a 的取值范围.【答案】（1）1|12A B x x ⎧⎫⋂=-<<⎨⎬⎩⎭；（2）3,[2,)4⎛⎤-∞-⋃+∞ ⎥⎝⎦.【解析】（1）1|42A x x ⎧⎫=-<<⎨⎬⎩⎭，0a =时，{|21}B x x =-<<，∴1|12A B x x ⎧⎫⋂=-<<⎨⎬⎩⎭（2）∵A B φ⋂=，∴当B φ=时，3221a a -≥+，即3a ≥，符合题意；当B φ≠时，31213242a a a <⎧⎪⎨+≤--≥⎪⎩或，解得34a ≤-或23a ≤<，综上，a 的取值范围为3,[2,)4⎛⎤-∞-⋃+∞ ⎥⎝⎦.19.（本题满分12分）已知函数()21sin sin cos 2f x x x x =+-，x ∈R ．（1）求函数()f x 的最大值，并写出相应的x 的取值集合；（2）若()26f α=，3,88ππα⎛⎫∈- ⎪⎝⎭，求sin 2α的值．【答案】（1）()f x 的最大值为22，此时x 的取值集合为3,8x x k k Z ππ⎧⎫=+∈⎨⎬⎩⎭；（2）4sin 26α=.【解析】（1）因为()()211cos 2111sin sin cos sin 2sin 2cos 222222x f x x x x x x x -=+-=+-=-22sin 2cos cos 2sin sin 224424x x x πππ⎛⎫⎛⎫=-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，当()2242x k k Z πππ-=+∈，即()38x k k Z ππ=+∈时，函数()y f x =取最大值2，所以函数()y f x =的最大值为22，此时x 的取值集合为3,8x x k k Z ππ⎧⎫=+∈⎨⎬⎩⎭；（2）因为()26f α=，则sin 2246πα⎛⎫-= ⎪⎝⎭，即1sin 243πα⎛⎫-= ⎪⎝⎭，因为3,88ππα⎛⎫∈- ⎪⎝⎭，所以2,422πππα⎛⎫-∈- ⎪⎝⎭，则cos 243πα⎛⎫-= ⎪⎝⎭，所以sin 2sin 2sin 2cos cos 2sin 444444ππππππαααα⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+=-+- ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦1432326+=+⋅=.20．（本题满分12分）已知函数()0.52log 2ax f x x -=-为奇函数．(1)求常数a 的值；(2)若对任意10,63x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦都有()3f x t >-成立，求t 的取值范围.【答案】(1)1a =-；(2)(),1-∞【解析】(1)因为函数()0.52log 2ax f x x -=-为奇函数，所以()()220.50.50.52224log log log 0224ax ax a x f x f x x x x-+-+-=+==----，所以222414a x x-=-，即21a =，1a =或1-，当1a =时，函数()0.50.52log log 12x f x x -==--，无意义，舍去，当1a =-时，函数()0.52log 2x f x x +=-定义域（-∞，-2）∪（2，+∞），满足题意，综上所述，1a =-。

2020-2021杭州市育才中学高一数学下期末第一次模拟试卷(含答案)一、选择题1．执行右面的程序框图，若输入的,,a b k 分别为1,2,3，则输出的M =( )A ．203B ．72C ．165D ．1582．已知集合{}220A x x x =-->，则A =R ðA ．{}12x x -<< B ．{}12x x -≤≤ C ．}{}{|12x x x x <-⋃D ．}{}{|1|2x x x x ≤-⋃≥3．设集合{1,2,3,4}A =，{}1,0,2,3B =-，{|12}C x R x =∈-≤<，则()A B C =U IA ．{1,1}-B ．{0,1}C ．{1,0,1}-D ．{2,3,4}4．已知不等式()19a x y x y ⎛⎫++ ⎪⎝⎭≥对任意实数x 、y 恒成立，则实数a 的最小值为（ ） A ．8 B ．6 C ．4 D ．25．在ABC V 中，角A ，B ，C 所对的边为a ，b ，c ，且B 为锐角，若sin 5sin 2A cB b=，7sin B =，57ABC S =△b =（ ） A ．3B ．7C 15D 146．《九章算术》中，将底面是直角三角形的直三棱柱称为“堑堵”．某“堑堵”的三视图如图所示，则它的表面积为（ ）A ．2B ．422+C ．442+D ．642+7．已知()f x 是定义域为(,)-∞+∞的奇函数，满足(1)(1)f x =f +x -，若(1)2f =，则(1)(2)f +f (3)(2020)f f +++=L （ ）A ．50B ．2C ．0D ．50-8．为了解儿子身高与其父亲身高的关系，随机抽取5对父子的身高数据如下： 父亲身高x （cm ）174176176176178儿子身高y （cm ）175175176177177则y 对x 的线性回归方程为 A ．y = x-1B ．y = x+1C ．y =88+12x D ．y = 1769．《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中有如下问题：“今有女子善织，日益功，疾，初日织五尺，今一月织九匹三丈（1匹=40尺，一丈=10尺），问日益几何？”其意思为：“有一女子擅长织布，每天比前一天更加用功，织布的速度也越来越快，从第二天起，每天比前一天多织相同量的布，第一天织5尺，一月织了九匹三丈，问每天增加多少尺布？”若一个月按30天算，则每天增加量为A ．12尺 B ．815尺 C ．1629尺 D ．1631尺 10．定义在R 上的奇函数()f x 满足()()2f x f x +=-，且当[]0,1x ∈时，()2cos x f x x =-，则下列结论正确的是（ ）A ．()20202019201832f f f ⎛⎫⎛⎫<<⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭B ．()20202019201832f f f ⎛⎫⎛⎫<<⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭C ．()20192020201823f f f ⎛⎫⎛⎫<< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭D ．()20192020201823f f f ⎛⎫⎛⎫<< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭11．已知二项式2(*)nx n N ⎛∈ ⎝的展开式中第2项与第3项的二项式系数之比是2︰5，则3x 的系数为（ ） A ．14B ．14-C ．240D ．240-12．设n S 为等差数列{}n a 的前n 项和，若3243S S S =+，12a =，则5a = A ．12-B ．10-C ．10D ．12二、填空题13．已知数列{}n a 前n 项和为n S ，若22nn n S a =-，则n S =__________．14．设n S 是数列{}n a 的前n 项和，且11a =-，11n n n a S S ++=，则n S =__________． 15．若,a b 是函数()()20,0f x x px q p q =-+>>的两个不同的零点，且,,2a b -这三个数可适当排序后成等差数列，也可适当排序后成等比数列，则p q +的值等于________．16．设向量(12)(23)a b ==r r ，，，，若向量a b λ+r r 与向量(47)c =--r ，共线，则λ= 17．若x ，y 满足约束条件10,{30,30,x y x y x -+≥+-≥-≤则z=x−2y 的最小值为__________.18．关于函数()sin sin f x x x =+有如下四个结论： ①()f x 是偶函数；②()f x 在区间,2ππ⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增；③()f x 最大值为2；④()f x 在[],ππ-上有四个零点，其中正确命题的序号是_______． 19．若a 10=12，a m，则m =______． 20．若1tan 46πα⎛⎫-= ⎪⎝⎭,则tan α=____________. 三、解答题21．已知数列{a n }是一个等差数列，且a 2＝1，a 5＝－5. (1)求{a n }的通项a n ；(2)求{a n }前n 项和S n 的最大值．22．已知函数f （x ）是定义在R 上的偶函数，且当x ≥0时，f （x ）＝x 2﹣2x ． （1）求f （0）及f （f （1））的值； （2）求函数f （x ）的解析式；（3）若关于x 的方程f （x ）﹣m ＝0有四个不同的实数解，求实数m 的取值范围，23．在ABC ∆中，内角A ，B ，C 的对边a ，b ，c ，且a c >，已知2BA BC ⋅=u u u r u u u r，1cos 3B =，3b =，求：（1）a 和c 的值； （2）cos()B C -的值.24．在甲、乙两个盒子中分别装有标号为1、2、3、4的四个球，现从甲、乙两个盒子中各取出1个球，每个球被取出的可能性相等． （Ⅰ）求取出的两个球上标号为相同数字的概率； （Ⅱ）求取出的两个球上标号之积能被3整除的概率． 25．将函数()4sin cos 6g x x x π⎛⎫=+⎪⎝⎭的图象向左平移02πϕϕ⎛⎫<≤ ⎪⎝⎭个单位长度后得到()f x 的图象．（1）若()f x 为偶函数，求()fϕ的值；（2）若()f x 在7,6ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭上是单调函数，求ϕ的取值范围．26．以原点为圆心，半径为r 的圆O 222:()0O x y r r +=>与直线380x y --=相切.（1）直线l 过点(2,6)-且l 截圆O 所得弦长为43求直线l l 的方程；（2）设圆O 与x 轴的正半轴的交点为M ，过点M 作两条斜率分别为12,k k 12,k k 的直线交圆O 于,A B 两点，且123k k ⋅=-，证明：直线AB 恒过一个定点，并求出该定点坐标.【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．D解析：D 【解析】 【分析】 【详解】试题分析：根据题意由13≤成立，则循环，即1331,2,,2222M a b n =+====;又由23≤成立，则循环，即28382,,,33323M a b n =+====;又由33≤成立，则循环，即3315815,,,428838M a b n =+====;又由43≤不成立，则出循环，输出158M =． 考点：算法的循环结构2．B解析：B 【解析】分析：首先利用一元二次不等式的解法，求出220x x -->的解集，从而求得集合A ，之后根据集合补集中元素的特征，求得结果. 详解：解不等式220x x -->得12x x -或， 所以{}|12A x x x =<->或，所以可以求得{}|12R C A x x =-≤≤，故选B.点睛：该题考查的是有关一元二次不等式的解法以及集合的补集的求解问题，在解题的过程中，需要明确一元二次不等式的解集的形式以及补集中元素的特征，从而求得结果.3．C解析：C 【解析】分析：由题意首先进行并集运算，然后进行交集运算即可求得最终结果. 详解：由并集的定义可得：{}1,0,1,2,3,4A B ⋃=-， 结合交集的定义可知：(){}1,0,1A B C ⋃⋂=-. 本题选择C 选项.点睛：本题主要考查并集运算、交集运算等知识，意在考查学生的计算求解能力.4．C解析：C 【解析】 【分析】由题意可知，()min 19a x y x y ⎡⎤⎛⎫++≥⎢⎥ ⎪⎝⎭⎣⎦，将代数式()1a x y x y ⎛⎫++ ⎪⎝⎭展开后利用基本不等式求出该代数式的最小值，可得出关于a 的不等式，解出即可. 【详解】()11a ax yx y a x y y x⎛⎫++=+++ ⎪⎝⎭Q .若0xy <，则0yx<，从而1ax y a y x +++无最小值，不合乎题意； 若0xy >，则0yx>，0x y >.①当0a <时，1ax ya y x+++无最小值，不合乎题意； ②当0a =时，111ax y y a y x x +++=+>，则()19a x y x y ⎛⎫++ ⎪⎝⎭≥不恒成立； ③当0a >时，())211111a ax y x y a a a x y y x⎛⎫++=+++≥+=+= ⎪⎝⎭，当且仅当=y 时，等号成立.所以，)219≥，解得4a ≥，因此，实数a 的最小值为4.故选：C. 【点睛】本题考查基本不等式恒成立问题，一般转化为与最值相关的不等式求解，考查运算求解能力，属于中等题.5．D解析：D 【解析】 【分析】 利用正弦定理化简sin 5sin 2A cB b=，再利用三角形面积公式，即可得到,a c ，由sin 4B =，求得cos B ，最后利用余弦定理即可得到答案． 【详解】 由于sin 5sin 2A c B b=，有正弦定理可得： 52a c b b =，即52a c =由于在ABC V 中，sin 4B =，4ABC S =△1sin 24ABC S ac B ==V ，联立521sin 24sin 4a c ac B B ⎧=⎪⎪⎪=⎨⎪⎪=⎪⎩，解得：5a =，2c = 由于B为锐角，且sin B =，所以3cos 4B ==所以在ABC V 中，由余弦定理可得：2222cos 14b a c ac B =+-=，故b =（负数舍去） 故答案选D 【点睛】本题考查正弦定理，余弦定理，以及面积公式在三角形求边长中的应用，属于中档题．6．D解析：D 【解析】 【分析】根据题意和三视图知几何体是一个放倒的直三棱柱，由三视图求出几何元素的长度，由面积公式求出几何体的表面积． 【详解】根据题意和三视图知几何体是一个放倒的直三棱柱，底面是一个直角三角形，两条直角边,斜边是2，且侧棱与底面垂直，侧棱长是2，∴几何体的表面积12222262S =⨯+⨯⨯=+ 故选D ． 【点睛】本题考查三视图求几何体的表面积，由三视图正确复原几何体是解题的关键，考查空间想象能力．7．C解析：C 【解析】 【分析】利用()f x 是定义域为(,)-∞+∞的奇函数可得：()()f x f x -=-且()00f =，结合(1)(1)f x =f +x -可得：函数()f x 的周期为4；再利用赋值法可求得：()20f =，()32f =-，()40f =，问题得解.【详解】因为()f x 是定义域为(,)-∞+∞的奇函数，所以()()f x f x -=-且()00f = 又(1)(1)f x =f +x -所以()()()()()21111f x f x f x f x f x ⎡⎤⎡⎤+=++=-+=-=-⎣⎦⎣⎦ 所以()()()()()4222f x f x f x f x f x ⎡⎤⎡⎤+=++=-+=--=⎣⎦⎣⎦ 所以函数()f x 的周期为4，在(1)(1)f x =f +x -中，令1x =，可得：()()200f f ==在(1)(1)f x =f +x -中，令2x =，可得：()()()3112f f f =-=-=- 在(1)(1)f x =f +x -中，令3x =，可得：()()()4220f f f =-=-= 所以(1)(2)f +f ()()()()2020(3)(2020)12344f f f f f f ⎡⎤+++=⨯+++⎣⎦L 50500=⨯=故选C 【点睛】本题主要考查了奇函数的性质及函数的周期性应用，还考查了赋值法及计算能力、分析能力，属于中档题．8．C解析：C 【解析】 【分析】 【详解】试题分析：由已知可得176,176x y ==∴中心点为()176,176， 代入回归方程验证可知，只有方程y =88+12x 成立，故选C 9．C解析：C 【解析】试题分析：将此问题转化为等差数列的问题，首项为，,求公差，，解得：尺，故选C.考点：等差数列10．C解析：C 【解析】 【分析】根据f （x ）是奇函数，以及f （x+2）=f （-x ）即可得出f （x+4）=f （x ），即得出f （x ）的周期为4，从而可得出f （2018）=f （0），2019122f f ⎛⎫⎛⎫=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，20207312f f ⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭然后可根据f （x ）在[0，1]上的解析式可判断f （x ）在[0，1]上单调递增，从而可得出结果. 【详解】∵f（x ）是奇函数；∴f（x+2）=f （-x ）=-f （x ）；∴f（x+4）=-f （x+2）=f （x ）； ∴f（x ）的周期为4；∴f（2018）=f （2+4×504）=f （2）=f （0），2019122f f ⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,20207 312f f ⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭∵x∈[0，1]时，f （x ）=2x -cosx 单调递增；∴f(0)＜12f ⎛⎫⎪⎝⎭ ＜712f ⎛⎫ ⎪⎝⎭ ∴()20192020201823f f f ⎛⎫⎛⎫<< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,故选C. 【点睛】本题考查奇函数，周期函数的定义，指数函数和余弦函数的单调性，以及增函数的定义，属于中档题.11．C解析：C 【解析】 【分析】由二项展开式的通项公式为()12rn rr r nT C x -+⎛= ⎝及展开式中第2项与第3项的二项式系数之比是2︰5可得：6n =，令展开式通项中x 的指数为3，即可求得2r =，问题得解． 【详解】二项展开式的第1r +项的通项公式为()12rn rrr n T C x -+⎛= ⎝由展开式中第2项与第3项的二项式系数之比是2︰5，可得：12:2:5n n C C =. 解得：6n =. 所以()()366216221rr n rr rr r r nT C x C x---+⎛==- ⎝ 令3632r -=，解得：2r =， 所以3x 的系数为()2262621240C --=故选C 【点睛】本题主要考查了二项式定理及其展开式，考查了方程思想及计算能力，还考查了分析能力，属于中档题．12．B解析：B 【解析】分析：首先设出等差数列{}n a 的公差为d ，利用等差数列的求和公式，得到公差d 所满足的等量关系式，从而求得结果3d =-，之后应用等差数列的通项公式求得51421210a a d =+=-=-，从而求得正确结果.详解：设该等差数列的公差为d ， 根据题中的条件可得32433(32)224222d d d ⨯⨯⨯+⋅=⨯++⨯+⋅， 整理解得3d =-，所以51421210a a d =+=-=-，故选B.点睛：该题考查的是有关等差数列的求和公式和通项公式的应用，在解题的过程中，需要利用题中的条件，结合等差数列的求和公式，得到公差d 的值，之后利用等差数列的通项公式得到5a 与1a d 和的关系，从而求得结果.二、填空题13．【解析】分析：令得当时由此推导出数列是首项为1公差为的等差数列从而得到从而得到详解：令得解得当时由）得两式相减得整理得且∴数列是首项为1公差为的等差数列可得所以点睛：本题考查数列的通项公式的求法是中解析：*2()n n S n n N =∈g【解析】分析：令1n =，得12a =，当2n ≥ 时，11122n n n S a ---=-，由此推导出数列{}2n na 是首项为1公差为12的等差数列，从而得到()112n n a n -+＝，从而得到n S . 详解：令1n =，得11122a a =-，解得12a = ，当2n ≥ 时，由22n n n S a =-），得11122n n n S a ---=-，两式相减得()()1112222,n n n n n n n a S S a a ---=-=--- 整理得111222n n n n a a ---=，且111,2a = ∴数列{}2n n a是首项为1公差为12 的等差数列， ()111,22n na n ∴=+- 可得()112,n n a n -=+ 所以()12221222.nn n nn n S a n n -⎡⎤=-=+-=⋅⎣⎦点睛：本题考查数列的通项公式的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意构造法的合理运用．14．【解析】原式为整理为：即即数列是以-1为首项-1为公差的等差的数列所以即【点睛】这类型题使用的公式是一般条件是若是消就需当时构造两式相减再变形求解；若是消就需在原式将变形为：再利用递推求解通项公式解析：1n-【解析】原式为1111n n n n n n n a S S S S S S ++++=⇔-=，整理为：1111n n S S +-= ，即1111n n S S +-=-，即数列1n S ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是以-1为首项，-1为公差的等差的数列，所以()()1111n n n S =-+--=- ，即1n S n=-. 【点睛】这类型题使用的公式是11{n n n S a S S -=- 12n n =≥ ，一般条件是()n n S f a = ，若是消n S ，就需当2n ≥ 时构造()11n n S f a --= ，两式相减1n n n S S a --= ，再变形求解；若是消n a ，就需在原式将n a 变形为：1n n n a S S -=- ，再利用递推求解通项公式.15．9【解析】【分析】由一元二次方程根与系数的关系得到a+b=pab=q 再由ab ﹣2这三个数可适当排序后成等差数列也可适当排序后成等比数列列关于ab 的方程组求得ab 后得答案【详解】由题意可得：a+b=p解析：9 【解析】 【分析】由一元二次方程根与系数的关系得到a+b=p ，ab=q ，再由a ，b ，﹣2这三个数可适当排序后成等差数列，也可适当排序后成等比数列列关于a ，b 的方程组，求得a ，b 后得答案． 【详解】由题意可得：a+b=p ，ab=q ， ∵p＞0，q ＞0， 可得a ＞0，b ＞0，又a ，b ，﹣2这三个数可适当排序后成等差数列， 也可适当排序后成等比数列， 可得①或②． 解①得：；解②得：．∴p=a+b=5，q=1×4=4， 则p+q=9． 故答案为9．点评：本题考查了一元二次方程根与系数的关系，考查了等差数列和等比数列的性质，是基础题． 【思路点睛】解本题首先要能根据韦达定理判断出a ，b 均为正值，当他们与-2成等差数列时，共有6种可能，当-2为等差中项时，因为，所以不可取，则-2只能作为首项或者末项，这两种数列的公差互为相反数；又a,b 与-2可排序成等比数列，由等比中项公式可知-2必为等比中项，两数列搞清楚以后，便可列方程组求解p ，q ．16．2【解析】【分析】由题意首先求得向量然后结合向量平行的充分必要条件可得的值【详解】=由向量共线的充分必要条件有：故答案为2【点睛】本题主要考查平面向量的坐标运算向量平行的充分必要条件等知识意在考查学解析：2 【解析】 【分析】由题意首先求得向量a b λ+r r ，然后结合向量平行的充分必要条件可得λ的值.【详解】a bλ+r r =(,2(2,3)(2,23λλλλ+=++））， 由向量共线的充分必要条件有：()()(2)7(23)42λλλ+⋅-=+⋅-⇒=. 故答案为2． 【点睛】本题主要考查平面向量的坐标运算，向量平行的充分必要条件等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.17．【解析】【分析】【详解】试题分析：由得记为点；由得记为点；由得记为点分别将ABC 的坐标代入得所以的最小值为【考点】简单的线性规划【名师点睛】利用线性规划求最值一般用图解法求解其步骤是：（1）在平面直 解析：5-【解析】 【分析】 【详解】 试题分析：由10{30x y x y -+=+-=得12x y =⎧⎨=⎩，记为点()1,2A ；由10{30x y x -+=-=得34x y =⎧⎨=⎩，记为点()3,4Β；由30{30x x y -=+-=得3x y =⎧⎨=⎩，记为点()3,0C .分别将A ，B ，C 的坐标代入2z x y =-，得1223Αz =-⨯=-，3245Βz =-⨯=-，3203C z =-⨯=，所以2z x y =-的最小值为5-．【考点】 简单的线性规划 【名师点睛】利用线性规划求最值，一般用图解法求解，其步骤是： （1）在平面直角坐标系内作出可行域；（2）考虑目标函数的几何意义，将目标函数进行变形；（3）确定最优解：在可行域内平行移动目标函数变形后的直线，从而确定最优解； （4）求最值：将最优解代入目标函数即可求出最大值或最小值．18．①③【解析】【分析】利用奇偶性的定义判定函数的奇偶性可判断出命题①的正误；在时去绝对值化简函数的解析式可判断函数在区间上的单调性可判断命题②的正误；由以及可判断出命题③的正误；化简函数在区间上的解析解析：①③ 【解析】 【分析】利用奇偶性的定义判定函数()y f x =的奇偶性，可判断出命题①的正误；在,2x ππ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，去绝对值，化简函数()y f x =的解析式，可判断函数()y f x =在区间,2ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭上的单调性，可判断命题②的正误；由22f π⎛⎫=⎪⎝⎭以及()2f x ≤可判断出命题③的正误；化简函数()y f x =在区间[],ππ-上的解析式，求出该函数的零点，即可判断命题④的正误. 【详解】对于命题①，函数()sin sin f x x x =+的定义域为R ，关于原点对称，且()()()sin sin sin sin sin sin f x x x x x x x f x -=-+-=+-=+=，该函数为偶函数，命题①正确； 对于命题②，当2x ππ<<时，sin 0x >，则()sin sin 2sin f x x x x =+=，则函数()y f x =在,2ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递减，命题②错误；对于命题③，sin 1x ∴≤，sin 1x ≤，()2f x ∴≤，又22f π⎛⎫=⎪⎝⎭Q ，所以，函数()y f x =的最大值为2，命题③正确；对于命题④，当0πx <<时，sin 0x >，()sin sin 2sin 0f x x x x =+=>， 由于该函数为偶函数，当0x π-<<时，()0f x >， 又()()()00ff f ππ=-==Q ，所以，该函数在区间[],ππ-上有且只有三个零点.因此，正确命题的序号为①③. 故答案为：①③. 【点睛】本题考查与三角函数相关命题真假的判断，涉及三角函数的奇偶性、单调性、最值以及零点的判断，解题的关键就是将三角函数的解析式化简，考查推理能力，属于中等题.19．5【解析】解析：5 【解析】5,52a m ==== 20．【解析】故答案为 解析：75【解析】1tan tan 17446tan tan 144511tan tan644ππαππααππα⎛⎫-++ ⎪⎡⎤⎛⎫⎝⎭=-+=== ⎪⎢⎥⎛⎫⎝⎭⎣⎦--- ⎪⎝⎭故答案为75.三、解答题21．（1）a n ＝－2n ＋5.（2）4 【解析】（Ⅰ）设{a n }的公差为d ，由已知条件，，解出a 1＝3，d ＝－2．所以a n ＝a 1＋(n －1)d ＝－2n ＋5．（Ⅱ）S n ＝na 1＋d ＝－n 2＋4n ＝－(n －2)2＋4，所以n ＝2时，S n 取到最大值4．22．（1）f （0）＝0，f （1）＝﹣1（2）()222,02,0x x x f x x x x ⎧-≥=⎨+<⎩（3）（﹣1，0）【解析】 【分析】（1）根据题意，由函数的解析式，将x ＝0代入函数解析式即可得f （0）的值， 同理可得f （1）的值，利用函数的奇偶性分析可得f （f （1））的值；（2）设x ＜0，则﹣x ＞0，由函数的解析式分析f （﹣x ）的解析式，进而由函数的奇偶性分析可得答案；（3）若方程f （x ）﹣m ＝0有四个不同的实数解，则函数y ＝f （x ）与直线y ＝m 有4个交点，作出函数f （x ）的图象，由数形结合法分析即可得答案． 【详解】（1）根据题意，当x ≥0时，f （x ）＝x 2﹣2x ； 则f （0）＝0， f （1）＝1﹣2＝﹣1，又由函数f （x ）为偶函数，则f （1）＝f （﹣1）＝﹣1， 则f （f （1））＝f （﹣1）＝﹣1； （2）设x ＜0，则﹣x ＞0，则有f （﹣x ）＝（﹣x ）2﹣2（﹣x ）＝x 2+2x ， 又由函数f （x ）为偶函数， 则f （x ）＝f （﹣x ）＝x 2+2x ， 则当x ＜0时，f （x ）＝x 2+2x ，∴()222,02,0x x x f x x x x ⎧-≥=⎨+<⎩（3）若方程f （x ）﹣m ＝0有四个不同的实数解， 则函数y ＝f （x ）与直线y ＝m 有4个交点， 而y ＝f （x ）的图象如图：分析可得﹣1＜m ＜0；故m 的取值范围是（﹣1，0）． 【点睛】本题考查偶函数的性质以及函数的图象，涉及方程的根与函数图象的关系，注意利用数形结合法分析与应用，是中档题． 23．（1）3,2a c ==；（2）2327【解析】试题分析：（1）由2BA BC ⋅=u u u r u u u r和1cos 3B =，得ac=6.由余弦定理，得2213a c +=. 解，即可求出a ，c ；（2） 在ABC ∆中，利用同角基本关系得22sin .3B =由正弦定理，得42sin sin 9c C B b ==，又因为a b c =>，所以C 为锐角，因此27cos 1sin 9C C =-=，利用cos()cos cos sin sin B C B C B C -=+，即可求出结果. （1）由2BA BC ⋅=u u u r u u u r得，，又1cos 3B =，所以ac=6. 由余弦定理，得2222cos a c b ac B +=+. 又b=3，所以2292213a c +=+⨯=. 解，得a=2，c=3或a=3，c=2.因为a>c,∴ a=3，c=2.（2）在ABC ∆中，22122sin 1cos 1().3B B =-=-= 由正弦定理，得22242sin sin 339c C B b ==⋅=，又因为a b c =>，所以C 为锐角，因此22427cos 1sin 1()99C C =-=-=.于是cos()cos cos sin sin B C B C B C -=+=17224223393927⋅+⋅=. 考点：1.解三角形；2.三角恒等变换. 24．(1) ． (2)．【解析】 【分析】【详解】设从甲、乙两个盒子中各取1个球，其数字分别为x ，y ． 用（x ，y ）表示抽取结果，则所有可能的结果有16种，即（1，1），（1，2），（1，3），（1，4），（2，1），（2，2），（2，3），（2，4），（3，1），（3，2），（3，3），（3，4），（4，1），（4，2），（4，3），（4，4）．（1）设“取出的两个球上的标号相同”为事件A ， 则A ＝{（1，1），（2，2），（3，3），（4，4）}． 事件A 由4个基本事件组成，故所求概率P （A ）＝＝．（2）设“取出的两个球上标号的数字之积能被3整除”为事件B ，则B ＝{（1，3），（3，1），（2，3），（3，2），（3，3），（3，4），（4，3）} 事件B 由7个基本事件组成，故所求概率P （A ）＝．考点：古典概型的概率计算 25．（1）0；（2）,62ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦． 【解析】 【分析】（1）首先化简()g x 解析式，然后求得左移ϕ个单位后函数()f x 的解析式，根据()f x 的奇偶性求得ϕ的值，进而求得()fϕ的值.（2）根据（1）中求得的()2sin 2216f x x ϕπ⎛⎫=++- ⎪⎝⎭，求得226x πϕ++的取值范围，根据ϕ的取值范围，求得22πϕ+的取值范围，根据()f x 在7,6ππ⎛⎫⎪⎝⎭上是单调函数，以及正弦型函数的单调性列不等式，解不等式求得ϕ的取值范围. 【详解】（1）()()314sin sin 321cos 22g x x x x x x ⎫=-=--⎪⎪⎝⎭Q 2sin 216x π⎛⎫=+- ⎪⎝⎭，()2sin 2216f x x πϕ⎛⎫∴=++- ⎪⎝⎭，又()f x 为偶函数，则262k ϕππ+=+π（k Z ∈），02πϕ<≤Q ，6πϕ∴=．()06f f πϕ⎛⎫∴== ⎪⎝⎭．（2）7,6x ππ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭Q ，2222,22662x πππϕπϕπϕ⎛⎫∴++∈++++ ⎪⎝⎭， 02πϕ<≤Q ，72,666πππϕ⎛⎤∴+∈ ⎥⎝⎦，32,222πππϕ⎛⎤+∈ ⎥⎝⎦， ()f x Q 在7,6ππ⎛⎫⎪⎝⎭上是单调函数．262ππϕ∴+≥且02πϕ<≤． ,62ππϕ⎡⎤∴∈⎢⎥⎣⎦．【点睛】本小题主要考查三角恒等变换，考查根据三角函数的奇偶性求参数，考查三角函数图像变换，考查三角函数单调区间有关问题的求解，考查运算求解能力，属于中档题. 26．（1）2x =-或20x +-=100x +-=；（2）(2,0). 【解析】分析：（1）先由直线和圆相切得到圆的方程，再由垂径定理列式，分直线斜率存在与不存在两种情况得到结果；（3）联立直线和圆，由韦达定理得到交点的坐标，由这两个点写出直线方程，进而得到直线过定点. 详解：(1)∵圆222:(0)O x y r r +=>与直线0x y -+=80x --=相切， ∴圆心O到直线的距离为4d ==，∴圆O 的方程为：2216x y +=若直线l 的斜率不存在，直线l 为2x =- 1x =， 此时直线l截圆所得弦长为若直线l 的斜率存在，设直线l为()2y k x =+()1y k x =-，由题意知，圆心到直线的距离为1d == 2d =，解得：k = 此时直线l为100x +-=，则所求的直线l 为2x =-或20x +-=-100x += （2）由题意知，()4,0M ()2,0A -，设直线()1:4MA y k x =-，与圆方程联立得：()12224y k x x y ⎧=+⎨+=⎩ ()122416y k x x y ⎧=-⎨+=⎩， 消去y 得：()()222211114440k x k x k +++-= ()22221111816160k x k x k +-+-=，∴()21211611M A k x x k -=+∴()2121411Ak xk -=+，12181Ak yk -=+ 用13k -换掉1k 得到B 点坐标 ∴21213649B k x k -=+，121249B k y k =+ 12141B k y k =+ ∴直线AB 的方程为21112221118444131k k k y x k k k ⎛⎫-+=- ⎪+-+⎝⎭整理得：()121423k y x k =-- 则直线AB 恒过定点为()2,0.点睛：本题主要考查直线与圆锥曲线位置关系，所使用方法为韦达定理法：因直线的方程是一次的，圆锥曲线的方程是二次的，故直线与圆锥曲线的问题常转化为方程组关系问题，最终转化为一元二次方程问题，故用韦达定理及判别式是解决圆锥曲线问题的重点方法之一，尤其是弦中点问题，弦长问题，可用韦达定理直接解决，但应注意不要忽视判别式的作用．。

数学模拟试卷03第I 卷 选择题部分（共40分）一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（2020·河北高二学业考试）已知集合{}012M =,,，{}1,2N =，则M N ⋃=（ ）．A ．{}1,2B ．{}0C ．{}0,1,2D ．{}0,1【答案】C 【解析】由并集定义可得：{}0,1,2M N =.故选：C.2．（2019·浙江高二学业考试）已知a ，b 是实数，则“a b >”是“22a b >”的（ ）． A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件【答案】A 【解析】若a b >，则a b b >≥，即a b >，故22a b >. 取1,2a b ==-，此时22a b >，但a b <， 故22a b >推不出a b >， 故选：A.3．（2019·伊宁市第八中学高一期中）若偶函数()f x 在区间(]1-∞-，上是增函数，则( ) A ．3(1)(2)2f f f ⎛⎫-<-< ⎪⎝⎭B ．3(1)(2)2f f f ⎛⎫-<-< ⎪⎝⎭C ．3(2)(1)2f f f ⎛⎫<-<- ⎪⎝⎭D ．3(2)(1)2f f f ⎛⎫<-<- ⎪⎝⎭【答案】D 【解析】函数()f x 为偶函数,则()()22f f =-.又函数()f x 在区间(]1-∞-，上是增函数. 则()()3122f f f ⎛⎫<-<- ⎪⎝⎭-，即()()3212f f f ⎛⎫<-<- ⎪⎝⎭故选：D.4．（2020·黑龙江哈尔滨市第六中学校高三开学考试（理））设2313a ⎛⎫= ⎪⎝⎭，532b =，21log 3c =，则（ ）A ．b a c <<B ．a b c <<C ．c a b <<D ．b c a <<【答案】C 【解析】23110133⎛⎫⎛⎫<<= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，503221>=，221log log 103<=， ∴c a b <<. 故选：C5．（2020·江苏南通市·高三期中）已知角α的终边经过点()3,4P ，则πcos 24α⎛⎫+= ⎪⎝⎭（ ）A ．50-B ．50C ．50-D ．50【答案】A 【解析】角α的终边经过点()3,4P ，5OP ∴==，由三角函数的定义知：3cos 5α=，4sin 5α， 2237cos 22cos 121525αα⎛⎫∴=-=⨯-=- ⎪⎝⎭，4324sin 22sin cos 25525ααα==⨯⨯=，()()π724cos 2cos2cos sin 2sin 4442525ππααα∴+=-=-=.故选：A.6．（2020·甘肃兰州市·西北师大附中高三期中）函数()f x 在[)0,+∞单调递增，且()3f x +关于3x =-对称，若()21f -=，则()21f x -≤的x 的取值范围（ ）A ．[]22-,B ．(][),22,-∞-+∞C ．()[),04,-∞+∞D ．[]0,4【答案】D 【解析】因为()3f x +关于3x =-对称，所以()f x 关于y 轴对称，所以()()221f f -==， 又()f x 在[)0,+∞单调递增，由()21f x -≤可得222x -≤-≤，解得：04x ≤≤， 故选：D7．（2020·浙江高一期末）对于函数()12sin 3()42f x x x R π⎛⎫=-++∈ ⎪⎝⎭，有以下四种说法： ①函数的最小值是32-②图象的对称轴是直线()312k x k Z ππ=-∈ ③图象的对称中心为,0()312k k Z ππ⎛⎫-∈⎪⎝⎭ ④函数在区间7,123ππ⎡⎤--⎢⎥⎣⎦上单调递增． 其中正确的说法的个数是（ ） A ．1 B ．2C ．3D ．4【答案】A 【解析】函数()12sin 3()42f x x x R π⎛⎫=-++∈ ⎪⎝⎭， 当3=42x ππ+时，即=12x π，函数()f x 取得最小值为132122-⨯+=-，故①正确；当342x k πππ+=+时，即=,123k x k Z ππ+∈，函数()f x 的图象的对称轴是直线=,123k x k Z ππ+∈，故②错误； 当34x k ππ+=时，即,123k x k Z ππ=-+∈，函数()f x 的图象的对称中心为1,,1232k k Z ππ⎛⎫-+∈ ⎪⎝⎭，故③错误； 当3232242k x k πππππ+≤+≤+，即2523,123123k k x k Z ππππ+≤≤+∈，函数()f x 的递增区间为252,,123123k k k Z ππππ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦， 当1k =-时，()f x 的递增区间为7,124ππ⎡⎤--⎢⎥⎣⎦，故④错误. 故选：A8．（2020·山西吕梁市·高三期中（文））函数1()11f x x=+-的图象与函数()2sin 1(24)g x x x π=+-的图象所有交点的横坐标之和等于（ ） A ．8 B ．6C ．4D ．2【答案】A 【解析】由函数图象的平移可知， 函数1()11f x x=+-与函数()2sin 1g x x π=+的图象都关于(1,1)M 对称. 作出函数的图象如图，由图象可知交点个数一共8个（四组，两两关于点(1,1)对称）， 所以所有交点的横坐标之和等于428⨯=.故选：A9．（2020·山西吕梁市·高三期中（文））已知函数2,0()()21,0x e a x f x a R x x ⎧+=∈⎨->⎩，若函数()f x 在R 上有两个零点，则a 的取值范围是（ ） A ．(,1)-∞- B ．[2,0)-C ．(1,0)-D ．[1,0)-【答案】B 【解析】当0x >时，()21f x x =-有一个零点12x =，只需当0x ≤时，20x e a +=有一个根，利用“分离参数法”求解即可.解：因为函数()2,021,0x e a x f x x x ⎧+≤=⎨->⎩, 当0x >时，()21f x x =-有一个零点12x =， 所以只需当0x ≤时，202x xa e a e +==-即有一个根即可，因为2xy e =单调递增，当0x ≤时，(]0,1xe ∈，所以(]0,2a -∈，即[)2,0a ∈-，故选：B.10．（2020·河北高二学业考试）已知函数()f x 是定义在R 上的奇函数，当0x ≥时，()()2log 1f x x =+，则不等式()2f x ≤的解集是（ ）． A ．[]3,3- B ．[]4,4-C ．(][),33,-∞-+∞D ．(][),44,-∞-⋃+∞【答案】A 【解析】0x ≥时，()()2log 1f x x =+，()f x ∴在[)0,+∞上单调递增，又()f x 是定义在R 上的奇函数，()f x ∴在R 上单调递增，易知()()223log 31log 42f =+==，()()332f f -=-=-， 由()2f x ≤， 解得：()22f x -≤≤， 由()f x 在R 上单调递增， 解得：33x -≤≤，()2f x ∴≤的解集是[]3,3-.故选：A.第II 卷 非选择题部分（共110分）二、填空题：本大题共7小题，多空题每题6分，单空题每题4分，共36分.11．（2020·上海青浦区·高三一模）圆锥底面半径为1cm ，母线长为2cm ，则其侧面展开图扇形的圆心角θ=___________.【答案】π； 【解析】因为圆锥底面半径为1cm ，所以圆锥的底面周长为2cm π， 则其侧面展开图扇形的圆心角22πθπ==， 故答案为：π.12．（2020·浙江宁波市·高三期中）设2log 3a =，则4a =______（用数值表示），lg 36lg 4=______.（用a 表示）【答案】9 1a + 【解析】2log 3a =，22394429log log a ∴===，4222236log 36log 6log (23)log 2log 314lg a lg ===⨯=+=+， 故答案为：9，1a +．13．（2020·深圳科学高中高一期中）某移动公司规定，使用甲种卡，须付“基本月租费”（每月需交的固定费用）30元，在国内通话时每分钟另收话费0.10元；使用乙种卡，不收“基本月租费”，但在国内通话时每分钟话费为0.2元．若某用户每月手机费预算为50元，则使用__________种卡才合算；若要使用甲种卡合算，则该用户每月手机费预算（元）的区间为__________． 【答案】乙 (60,)+∞ 【解析】由题意，设月通话时间为t 分钟，有甲费用为300.1t +，乙费用为0.2t ， ∴每月手机费预算为50元，则：由300.150t +=知，甲的通话时间为200分钟， 由0.250t =知，乙的通话时间为250分钟， ∴用户每月手机费预算为50元，用乙种卡合算；要使用甲种卡合算，即月通话时间相同的情况下甲费用更低，即300.10.2t t +<， 解得300t >时，费用在(60,)+∞. 故答案为：乙，(60,)+∞14．（2020·商丘市第一高级中学高一期中）设函数()112,1,1x e x f x x x -⎧<⎪=⎨⎪≥⎩则()3f x ≤成立的x 的取值范围为______． 【答案】(],9-∞ 【解析】当1x <时，由13x e -≤得1ln3x ≤+，所以1x <； 当1≥x 时，由213x ≤得9x ≤，所以19x ≤≤． 综上，符合题意的x 的取值范围是(,9]-∞． 故答案为：(,9]-∞.15．（2020·辽宁本溪市·高二月考）摩天轮是一种大型转轮状的机械建筑设施，稳坐于永乐桥之上的“天津之眼”作为世界上唯一一座建在桥上的摩天轮，其巧夺天工和奇思妙想确是当之无愧的“世界第一”.如图，永乐桥摩天轮的直径为110m ，到达最高点时，距离地面的高度为120m ，能看到方圆40km 以内的景致，是名副其实的“天津之眼”.实际上，单从高度角度来看，天津之眼超越了曾大名鼎鼎的伦敦之眼而跃居世界第一.永乐桥摩天轮设置有48个座舱，开启后按逆时针方向匀速旋转，游客在座舱转到距离地面最近的位置进舱，转一周大约需要30min .游客甲坐上摩天轮的座舱，开始转到min t 后距离地面的高度为m H ，则转到10min 后距离地面的高度为______m ，在转动一周的过程中，H 关于t 的函数解析式为______.【答案】1852 π55cos 6515H t =-+，030t ≤≤. 【解析】如图，设座舱距离地面最近的位置为点P ，以轴心O 为原点，与地面平行的直线为x 轴，建立直角坐标系.设0min t =时，游客甲位于点()0,55P -，以OP 为终边的角为π2-； 根据摩天轮转一周大约需要30min ， 可知座舱转动的角速度约为πmin 15rad ， 由题意可得πππ55sin 6555cos 6515215H t t ⎛⎫=-+=-+⎪⎝⎭，030t ≤≤.当10t =时，π18555cos 1065152H ⎛⎫=-⨯+= ⎪⎝⎭. 故答案为：1852；π55cos 6515H t =-+，030t ≤≤ 16．（2020·浙江建人专修学院高三三模）已知2,0()(),0x x f x f x x ⎧≥=⎨--<⎩，若4log 3a =，则()f a =___________；()1f a -=___________.3 233-因为4log 3a =，所以43a =，即2a =01a <<，所以()2a f a ==1(1)(1)2a f a f a --=--=-==3-17．（2020·上海虹口区·高三一模）已知(0,)απ∈，且有12sin2cos2αα-=，则cos α=___________.【解析】2212sin 2cos214sin cos 12sin sin 2sin cos αααααααα-=⇒-=-⇒=，因为(0,)απ∈，所以sin 0α≠，因此由2sin 2sin cos sin 2cos tan 2(0,)2πααααααα=⇒=⇒=⇒∈，而22sin cos 1(1)αα+=，把sin 2cos αα=代入(1)得：22214cos cos 1cos cos 5αααα+=⇒=⇒=(0,)2πα∈，因此cos α=.三、解答题：本大题共5小题，共74分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.18．（2020·黑龙江工农�鹤岗一中高二期末（文））函数()22xxaf x =-是奇函数． ()1求()f x 的解析式；()2当()0,x ∈+∞时，()24x f x m ->⋅+恒成立，求m 的取值范围．【答案】（1）()122xxf x =-；（2）5m <-.() 1函数()22x x af x =-是奇函数， ()()1222222x x x x x x a af x a f x --∴-=-=-+=-+=-，故1a =， 故()122xx f x =-； ()2当()0,x ∈+∞时，()24x f x m ->⋅+恒成立，即21(2)42x xm +<-⋅在()0,x ∈+∞恒成立，令()2(2)42x xh x =-⋅，(0)x >，显然()h x 在()0,+∞的最小值是()24h =-， 故14m +<-，解得：5m <-．19．（2020·宁夏长庆高级中学高三月考（理））已知函数()22sin cos 22222x x x f x ππ⎛⎫⎛⎫=-++- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭（1）求()f x 的最小正周期；（2）求()f x 在区间[]0,π上的最小值及单调减区间.【答案】（1）最小正周期为2π；（2）()min f x =()f x 的单调递减区间为,6ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦. 【解析】(1)1cos ()2sin cos 222x x xf x +=+sin x x =+12sin cos 2sin 223x x x π⎛⎫⎛⎫=+=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.所以()f x 的最小正周期为2π. (2)因为[]0,x π∈，所以4,333x πππ⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦，所以当433x ππ+=，即x π=时，函数()f x 取得最小值由4233x πππ≤+≤，得6x ππ≤≤，所以函数()f x 的单调递减区间为,6ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦. 20．（2019·河北师范大学附属中学高一期中）已知二次函数()f x 的图象经过点()4,4-，方程()0f x =的解集为{}0,2.（1）求()f x 的解析式；（2）是否存在实数(),m n m n <，使得()f x 的定义域和值域分别为[],m n 和[]2,2m n ？若存在，求出m ，n 的值；若不存在，说明理由.【答案】（1）21()2f x x x =-+；（2）存在；2m =-，0n =. 【解析】（1）由已知，设()()2f x ax x =-.因为()f x 的图象经过点()4,4-，所以()4442a -=-，解得12a =-， 即()f x 的解析式为21()2f x x x =-+； （2）假设满足条件实数m ，n 的存在， 由于221111()(1)2222f x x x x =-+=--+≤，因此122n ≤，即14n ≤. 又()f x 的图象是开口向下的抛物线，且对称轴方程1x =，可知()f x 在区间[],m n 上递增，故有()2()2f m m f n n=⎧⎨=⎩，并注意到14m n <≤，解得2m =-，0n =. 综上可知，假设成立，即当2m =-，0n =时，()f x 的定义域和值域分别为[],m n 和[]2,2m n .21．（2020·山西吕梁市·高三期中（文））已知函数()sin (0)3f x x πωω⎛⎫=+> ⎪⎝⎭，在,63ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭上有最小值，无最大值，且满足63f f ππ⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭. （1）求()f x 的最小正周期；（2）将函数()f x 的图象向右平移06πϕϕ⎛⎫<< ⎪⎝⎭个单位后得到函数()g x 的图象，若对满足()()122f x g x -=的1x 、2x 有12min 7x x π-=，求ϕ的值. 【答案】（1）37π；（2）14π. 【解析】（1）由()sin ,(0)3f x x πωω⎛⎫=+> ⎪⎝⎭，在,63ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭上有最小值，无最大值， 可知：236T πππω-≤=，故有012ω<≤. 又6x π=与3x π=在一个周期内，且63f f ππ⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭； 4x π∴=时，函数取到最小值.2,()432k k Z πππωπ∴+=-+∈ 故有1083k ω=-+， 又因为012ω<≤，所以143ω=. 所以函数()f x 的最小正周期为37π. （2）由()()122f x g x -=∣∣可知的()()12,f x g x 中一个对应最大值，一个对应最小值. 对于函数()f x 其最大值与最小值对应的x 的距离为半个周期314π. ∴有12min 314x x πϕ-+=. 即314714πππϕ=-=.22．（2020·安徽省蚌埠第三中学高一月考）设函数()()21x x a t f x a--=（0a >，且1a ≠）是定义域为R 的奇函数.（1）求t 的值；（2）若函数()f x 的图象过点31,2⎛⎫ ⎪⎝⎭，是否存在正数()1m m ≠，使函数()()22log x x m g x a a mf x -⎡⎤=+-⎣⎦在[]21,log 3上的最大值为0，若存在，求出m 的值；若不存在，请说明理由.【答案】（1）2t =；（2）不存在，理由见解析.【解析】（1）∵()f x 是定义域为R 的奇函数，∴()00f =，∴2t =；经检验知符合题意.（2）函数()f x 的图象过点31,2⎛⎫ ⎪⎝⎭，所以2132a a -=， ∴2a =（12a =-舍去）， 假设存在正数m ，且1m ≠符合题意，由2a =得()()22log 2222x x x x m g x m --⎡⎤=+--⎣⎦， 设22x x t -=-，则()()22222222x x x x m t mt -----+=-+，∵[]21,log 3x ∈，2[2,3]x ∈，∴38,23t ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，记()22h t t mt =-+， ∵函数()g x 在[]21,log 3上的最大值为0，∴（i ）若01m <<时，则函数()22h t t mt =-+在38,23⎡⎤⎢⎥⎣⎦有最小值为1， 由于对称轴122m t =<，∴()min 31731312426h t h m m ⎛⎫==-=⇒= ⎪⎝⎭，不合题意. （ii ）若1m 时，则函数()220h t t mt =-+>在38,23⎡⎤⎢⎥⎣⎦上恒成立，且最大值为1，最小值大于0， ①()max 1252512212736873241324m m m h t h m ⎧⎧<≤<≤⎪⎪⎪⎪⇒⇒=⎨⎨⎛⎫⎪⎪=== ⎪⎪⎪⎩⎝⎭⎩， 而此时7338,24823m ⎡⎤=∈⎢⎥⎣⎦，又()min 73048h t h ⎛⎫=< ⎪⎝⎭， 故()g x 在[]21,log 3无意义， 所以7324m =应舍去； ②()max 25252126313126m m h t h m ⎧⎧>>⎪⎪⎪⎪⇒⇒⎨⎨⎛⎫⎪⎪=== ⎪⎪⎪⎩⎝⎭⎩m 无解， 综上所述：故不存在正数m ，使函数()g x 在[]21,log 3上的最大值为0．。

最新浙江省杭州市高一（下）期末数学试卷一、选择题（共25小题，每小题2分，满分55分）1．函数f（x）=的定义域是（）A．[1，+∞）B．（1，+∞）C．（0，1）D．[0，1]2．函数f（x）=sin2x，x∈R的一个对称中心是（）A．（，0）B．（，0）C．（，0）D．（，0）3．设向量=（m，2）（m≠0），=（n，﹣1），若∥，则=（）A．B．﹣C．2 D．﹣24．函数f（x）=lnx+x﹣2的零点位于区间（）A．（0，1）B．（1，2）C．（2，3）D．（3，4）5．已知幂函数f（x）=kxα（k∈R，α∈R）的图象过点（，），则k+α=（）A．B．1 C．D．26．在区间（﹣1，1）上单调递增且为奇函数的是（）A．y=ln（x+1）B．y=xsinx C．y=x﹣x3D．y=3x+sinx7．若向量=﹣2，||=4，||=1，则向量，的夹角为（）A．B．C．D．8．设函数f（x）=x2+ax，a∈R，则（）A．存在实数a，使f（x）为偶函数B．存在实数a，使f（x）为奇函数C．对于任意实数a，f（x）在（0，+∞）上单调递增D．对于任意实数a，f（x）在（0，+∞）上单调递减9．若偶函数f（x）在区间（﹣∞，0]上单调递减，且f（7）=0，则不等式（x﹣1）f（x）＞0的解集是（）A．（﹣∞，﹣1）∪（1，+∞）B．（﹣∞，﹣7）∪（7，+∞）C．（﹣7，1）∪（7，+∞）D．（﹣7，1]∪（7，+∞）A．2 B．﹣2 C．±2 D．11．函数f（x）=sin2x与函数g（x）=2x的图象的交点的个数是（）A．1 B．3 C．5 D．712．设a=log2π，b=logπ，c=π﹣2，则（）A．a＞b＞c B．b＞a＞c C．a＞c＞b D．c＞b＞a13．函数y=cos2x﹣sin2x的图象可以由函数y=cos2x+sin2x的图象经过下列哪种变换得到（）A．向右平移B．向右平移πC．向左平移D．向左平移π14．函数f（x）=ln（x2+1）的图象大致是（）A．B．C． D．15．设函数f（x）=min{2，|x﹣2|}，其中min|a，b|=．若函数y=f（x）﹣m有三个不同的零点x1，x2，x3，则x1+x2+x3的取值范围是（）A．（2，6﹣2）B．（2，+1）C．（4，8﹣2）D．（0，4﹣2）16．设M是△ABC边BC上任意一点，N为AM上一点且AN=2NM，若，则λ+μ=（）A．B．C．1 D．17．计算：=（）A．B．C．D．﹣18．若函数f（x）=x2﹣2x+1在区间[a，a+2]上的最小值为4，则a的取值集合为（）A．[﹣3，3] B．[﹣1，3] C．{﹣3，3} D．[﹣1，﹣3，3]19．若不等式|ax+1|≤3的解集为{x|﹣2≤x≤1}，则实数a=（）A．1 B．2 C．3 D．420．如图，己知||=5，||=3，∠AOB为锐角，OM平分∠AOB，点N为线段AB的中点，=x+y，若点P在阴影部分（含边界）内，则在下列给出的关于x、y的式子中，①x≥0，y≥0；②x﹣y≥0；③x﹣y≤0；A．①②④B．①③④C．①③⑤D．②⑤21．设不等式4x﹣m（4x+2x+1）≥0对于任意的x∈[0，1]恒成立，则实数m的取值范围是（）A．（﹣∞，] B．[] C．[] D．[，+∞）22．设O为△ABC的外心（三角形外接圆的心），若=||2，则=（）A．1 B．C．2 D．23．设函数f（x）=．若方程f（x）=1有3个不同的实数根，则实数a的取值范围是（）A．（1，+∞）B．{﹣1}∪（1，+∞）C．（﹣∞，﹣1）D．（﹣∞，﹣1）∪（1，+∞）24．函数的值域为（）A．[1，] B．[1，] C．[1，] D．[1，2]25．在△ABC中，BC=6，若G，O分别为△ABC的重心和外心，且=6，则△ABC的形状是（）A．锐角三角形B．钝角三角形C．直角三角形D．上述三种情况都有可能二、填空题（共5小题，每小题3分，满分15分）26．若函数f（x）=2sin（ωx）（ω＞0）的最小正周期为，则ω= ．27．设tanx=2，则cos2x﹣2sinxcosx= ．28．计算：log89log32﹣lg4﹣lg25= ．29．已知A、B、C是单位圆上三个互不相同的点，若||=||，则的最小值是．30．若函数f（x）=﹣﹣a存在零点，则实数a的取值范围是．三、解答题（共3小题，满分30分）31．已知向量，如图所示．（Ⅰ）作出向量2﹣（请保留作图痕迹）；（Ⅱ）若||=1，||=2，且与的夹角为45°，求与的夹角的余弦值．32．设α是三角形的一个内角，且sin（）=cos（）．（Ⅰ）求tan2α的值；（Ⅱ）求函数f（x）=4sinxcosxcos2α+cos2xsin2α﹣1的最大值．33．设函数f（x）=（x﹣2）||x|﹣a|，a＞0．（Ⅰ）当a=3时，求f（x）的单调递增区间；（Ⅱ）求f（x）在[﹣3，3]上的最小值．参考答案与试题解析一、选择题（共25小题，每小题2分，满分55分）1．函数f（x）=的定义域是（）A．[1，+∞）B．（1，+∞）C．（0，1）D．[0，1] 【考点】函数的定义域及其求法．【专题】函数的性质及应用．【分析】根据函数成立的条件即可求函数的定义域．【解答】解：要使函数有意义，则x﹣1≥0，即x≥1，故函数的定义域为[1，+∞），故选：A【点评】本题主要考查函数的定义域的求解，要求熟练掌握常见函数成立的条件．2．函数f（x）=sin2x，x∈R的一个对称中心是（）A．（，0）B．（，0）C．（，0）D．（，0）【考点】正弦函数的图象．【专题】三角函数的图像与性质．【分析】由条件利用余弦函数的图象的对称性求得函数的对称中心，从而得出结论．【解答】解：对于函数f（x）=sin2x，x∈R，令2x=kπ，k∈z，求得x=，故函数的对称中心为（，0），k∈z，故选：D．【点评】本题主要考查余弦函数的图象的对称性，属于基础题．3．设向量=（m，2）（m≠0），=（n，﹣1），若∥，则=（）A．B．﹣C．2 D．﹣2【考点】平面向量共线（平行）的坐标表示．【专题】计算题；平面向量及应用．【分析】根据两向量平行的坐标表示，列出方程，求出m的值．【解答】解：∵向量=（m，2）（m≠0），=（n，﹣1），且∥，∴﹣1m﹣2n=0∴=﹣．故选：B．【点评】本题考查了平面向量的坐标运算问题，是基础题目．4．函数f（x）=lnx+x﹣2的零点位于区间（）A．（0，1）B．（1，2）C．（2，3）D．（3，4）【考点】函数零点的判定定理．【专题】函数的性质及应用．【分析】求导函数，确定函数f（x）=lnx+x﹣2单调增，再利用零点存在定理，即可求得结论．【解答】解：求导函数，可得f′（x）=+1，∴函数f（x）=lnx+x﹣2单调增∵f（1）=ln1+1﹣2=﹣1＜0，f（2）=ln2＞0∴函数在（1，2）上有唯一的零点故选：B．【点评】本题考查函数的零点，解题的关键是确定函数的单调性，利用零点存在定理进行判断．5．已知幂函数f（x）=kxα（k∈R，α∈R）的图象过点（，），则k+α=（）A．B．1 C．D．2【考点】幂函数的概念、解析式、定义域、值域．【专题】函数的性质及应用．【分析】根据幂函数f（x）的定义与性质，求出k与α的值即可．【解答】解：∵幂函数f（x）=kxα（k∈R，α∈R）的图象过点（，），∴k=1，=，∴α=﹣；∴k+α=1﹣=．故选：A．【点评】本题考查了幂函数的定义与性质的应用问题，是基础题．6．在区间（﹣1，1）上单调递增且为奇函数的是（）A．y=ln（x+1）B．y=xsinx C．y=x﹣x3D．y=3x+sinx【考点】函数单调性的判断与证明；函数奇偶性的判断．【专题】函数的性质及应用．【分析】利用奇偶函数的定义判断奇偶性，再确定函数的单调性，即可得到结论【解答】解：对于A，函数不是奇函数，在区间（﹣1，1）上是增函数，故不正确；对于B，函数是偶函数，故不正确；对于C，函数是奇函数，因为y′=1﹣3x2，所以函数在区间（﹣1，1）不恒有y′＞0，函数在区间（﹣1，1）上不是单调递增，故不正确；对于D，以y=3x+sinx是奇函数，且y′=3+cosx＞0，函数在区间（﹣1，1）上是单调递增，故D正确【点评】本题考查函数单调性与奇偶性的结合，正确运用定义是关键7．若向量=﹣2，||=4，||=1，则向量，的夹角为（）A．B．C．D．【考点】平面向量数量积的运算．【专题】平面向量及应用．【分析】根据平面向量的数量积公式求向量的夹角．【解答】解：由已知向量=﹣2，||=4，||=1，则向量，的夹角的余弦值为：，由向量的夹角范围是[0，π]，所以向量，的夹角为；故选：A．【点评】本题考查了利用平面向量的数量积公式求向量的夹角；熟记公式是关键．8．设函数f（x）=x2+ax，a∈R，则（）A．存在实数a，使f（x）为偶函数B．存在实数a，使f（x）为奇函数C．对于任意实数a，f（x）在（0，+∞）上单调递增D．对于任意实数a，f（x）在（0，+∞）上单调递减【考点】函数奇偶性的性质；函数单调性的性质．【专题】函数的性质及应用．【分析】根据偶函数、奇函数的定义，二次函数的单调性即可判断每个选项的正误．【解答】解：A．a=0时，f（x）=x2为偶函数，∴该选项正确；B．若f（x）为奇函数，f（﹣x）=x2﹣ax=﹣x2﹣ax；∴x2=0，x≠0时显然不成立；∴该选项错误；C．f（x）的对称轴为x=；当a＜0时，f（x）在（0，+∞）没有单调性，∴该选项错误；【点评】考查偶函数、奇函数的定义，以及二次函数单调性的判断方法．9．若偶函数f（x）在区间（﹣∞，0]上单调递减，且f（7）=0，则不等式（x﹣1）f（x）＞0的解集是（）A．（﹣∞，﹣1）∪（1，+∞）B．（﹣∞，﹣7）∪（7，+∞）C．（﹣7，1）∪（7，+∞）D．（﹣7，1]∪（7，+∞）【考点】奇偶性与单调性的综合．【专题】函数的性质及应用．【分析】根据函数奇偶性和单调性之间的关系，将不等式进行转化即可．【解答】解：∵偶函数f（x）在区间（﹣∞，0]上单调递减，且f（7）=0，∴f（x）在区间[0，+∞）上单调递增，且f（﹣7）=f（7）=0，即f（x）对应的图象如图：则不等式（x﹣1）f（x）＞0等价为：或，即或，即x＞7或﹣7＜x＜1，故选：C【点评】本题主要考查不等式的求解，利用函数奇偶性和单调性的性质是解决本题的关键．10．函数f（x）=asin2x+cos2x，x∈R的最大值为，则实数a的值为（）A．2 B．﹣2 C．±2 D．【考点】两角和与差的正弦函数．【分析】通过辅助角公式，化简函数为一个角的一个三角函数的形式，通过函数的最大值求出a．【解答】解：函数f（x）=asin2x+cos2x=sin（2x+φ），其中tanφ=，…（2分）因为函数f（x）=asin2x+cos2x的最大值为，∴=，解得a=±2．故选：C．…（4分）【点评】本题主要考查了正弦函数的单调性，考查了计算能力，属于基础题．11．函数f（x）=sin2x与函数g（x）=2x的图象的交点的个数是（）A．1 B．3 C．5 D．7【考点】正弦函数的图象．【专题】三角函数的图像与性质．【分析】在同一个坐标系中分别画出函数f（x）=sin2x与函数g（x）=2x的图象，数形结合可得它们的图象的交点个数．【解答】解：在同一个坐标系中分别画出函数f（x）=sin2x与函数g（x）=2x的图象，如图所示，结合图象可得它们的图象的交点个数为1，故选：A．【点评】本题主要考查正弦函数的图象特征，体现了数形结合的数学思想，属于基础题．12．设a=log2π，b=logπ，c=π﹣2，则（）A．a＞b＞c B．b＞a＞c C．a＞c＞b D．c＞b＞a【考点】对数值大小的比较．【专题】函数的性质及应用．【分析】根据对数函数和幂函数的性质求出，a，b，c的取值范围，即可得到结论．【解答】解：log2π＞1，logπ＜0，0＜π﹣2＜1，即a＞1，b＜0，0＜c＜1，∴a＞c＞b，故选：C【点评】本题主要考查函数值的大小比较，利用对数函数和幂函数的性质是解决本题的关键，比较基础．13．函数y=cos2x﹣sin2x的图象可以由函数y=cos2x+sin2x的图象经过下列哪种变换得到（）A．向右平移B．向右平移πC．向左平移D．向左平移π【考点】函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换．【专题】三角函数的图像与性质．【分析】根据函数y=cos2x+sin2x=sin（2x+），y=cos2x﹣sin2x=sin（），利用y=Asin（ωx+φ）的图象变化规律，可得结论．【解答】解：∵y=cos2x+sin2x=sin（2x+），y=cos2x﹣sin2x=sin（），又∵y=sin[2（x﹣）+]=sin（2x﹣）=﹣sin（π+﹣2x）=sin（），∴函数y=cos2x+sin2x的图象向右平移可得函数y=cos2x﹣sin2x的图象．故选：A．【点评】本题主要考查两角和差的正弦公式，y=Asin（ωx+φ）的图象变化规律，属于基础题．14．函数f（x）=ln（x2+1）的图象大致是（）A．B．C． D．【专题】函数的性质及应用．【分析】∵x2+1≥1，又y=lnx在（0，+∞）单调递增，∴y=ln（x2+1）≥ln1=0，函数的图象应在x轴的上方，在令x取特殊值，选出答案．【解答】解：∵x2+1≥1，又y=lnx在（0，+∞）单调递增，∴y=ln（x2+1）≥ln1=0，∴函数的图象应在x轴的上方，又f（0）=ln（0+1）=ln1=0，∴图象过原点，综上只有A符合．故选：A【点评】对于函数的选择题，从特殊值、函数的性质入手，往往事半功倍，本题属于低档题．15．设函数f（x）=min{2，|x﹣2|}，其中min|a，b|=．若函数y=f（x）﹣m有三个不同的零点x1，x2，x3，则x1+x2+x3的取值范围是（）A．（2，6﹣2）B．（2，+1）C．（4，8﹣2）D．（0，4﹣2）【考点】函数零点的判定定理．【专题】函数的性质及应用．【分析】先比较2与|x﹣2|的大小以确定f（x）的解析式，然后结合函数的图象即可判断符合条件的m的范围，求出x1，x2，x3，的值从而求出x1+x2+x3的取值范围．【解答】解：令y=f（x）﹣m=0，得：f（x）=m，由2≥|x﹣2|可得x2﹣8x+4≤0，解可得4﹣2≤x≤4+2，当4﹣2≤x≤4+2时，2≥|x﹣2|，此时f（x）=|x﹣2|当x＞4+2或0≤x＜4﹣3时，2＜|x﹣2|，此时f（x）=2，其图象如图所示，，∵f（4﹣2）=2﹣2，由图象可得，当直线y=m与f（x）图象有三个交点时m的范围为：0＜m＜2﹣2，不妨设0＜x1＜x2＜2＜x3，则由2=m得x1=，由|x2﹣2|=2﹣x2=m，得x2=2﹣m，由|x3﹣2|=x3﹣2=m，得x3=m+2，+x2+x3=+2﹣m+m+2=+4，∴x1当m=0时，+4=4，m=2﹣2时，+4=8﹣2，+x2+x3＜8﹣2．∴4＜x1故选：C．【点评】本题以新定义为载体，主要考查了函数的交点个数的判断，解题的关键是结合函数的图象．16．设M是△ABC边BC上任意一点，N为AM上一点且AN=2NM，若，则λ+μ=（）A．B．C．1 D．【考点】平面向量的基本定理及其意义．【专题】平面向量及应用．【分析】利用平面向量基本定理，用、表示出、，从而得出结论．【解答】解：如图所示，∵M是△ABC边BC上任意一点，设=m+n，∴则m+n=1，又∴AN=2NM，∴=，∴==m+n=λ+μ，∴λ+μ=（m+n）=．故选：B．【点评】本题考查了平面向量基本定理的应用问题，解题的关键是用、表示出向量，属于基础题．17．计算：=（）A．B．C．D．﹣【考点】三角函数中的恒等变换应用．【专题】计算题；三角函数的求值．【分析】利用诱导公式，倍角公式，同角三角函数关系式将所求式子转化为10°角的正弦函数值，即可得解．【解答】解：===．故选：A．【点评】本题主要考查了诱导公式，倍角公式，同角三角函数关系式的应用，属于基础题．18．若函数f（x）=x2﹣2x+1在区间[a，a+2]上的最小值为4，则a的取值集合为（）A．[﹣3，3] B．[﹣1，3] C．{﹣3，3} D．[﹣1，﹣3，3]【考点】二次函数在闭区间上的最值．【专题】函数的性质及应用．【分析】配方法得到函数的对称轴为x=1，将对称轴移动，讨论对称轴与区间[a，a+2]的位置关系，合理地进行分类，从而求得函数的最小值【解答】解：∵函数f（x）=x2﹣2x+1=（x﹣1）2，对称轴x=1，∵区间[a，a+2]上的最小值为4，=f（a）=（a﹣1）2=4，a=﹣1（舍去）或a=3，∴当1≤a时，ymin当a+2≤1时，即a≤﹣1，y min=f（a+2）=（a+1）2=4，a=1（舍去）或a=﹣3，当a＜a＜a+2时，y min=f（1）=0≠4，故a的取值集合为{﹣3，3}．故选：C．【点评】配方求得函数的对称轴是解题的关键．由于对称轴所含参数不确定，而给定的区间是确定的，这就需要分类讨论．利用函数的图象将对称轴移动，合理地进行分类，从而求得函数的最值，当然应注意若求函数的最大值，则需按中间偏左、中间偏右分类讨论19．若不等式|ax+1|≤3的解集为{x|﹣2≤x≤1}，则实数a=（）A．1 B．2 C．3 D．4【考点】绝对值不等式的解法．【专题】不等式的解法及应用．【分析】由题意可得﹣3≤ax≤2，即﹣2≤x≤1，由此可得a的值．【解答】解：由题意可得，不等式|ax+1|≤3，即﹣3≤ax+1≤3，即﹣4≤ax≤2，即﹣2≤x≤1，∴a=2，故选：B．【点评】本题主要考查绝对值不等式的解法，属于基础题．20．如图，己知||=5，||=3，∠AOB为锐角，OM平分∠AOB，点N为线段AB的中点，=x+y，若点P在阴影部分（含边界）内，则在下列给出的关于x、y的式子中，①x≥0，y≥0；②x﹣y≥0；③x﹣y≤0；④5x﹣3y≥0；⑤3x﹣5y≥0．满足题设条件的为（）A．①②④B．①③④C．①③⑤D．②⑤【考点】向量的线性运算性质及几何意义．【专题】平面向量及应用．【分析】利用向量共线定理，及三角形法则，将向量表示出来，的系数对应等于x，y．由此即可解题【解答】解：设线段OP与AB的交点为C，则由向量共线定理知：存在实数λ，，其中λ＞0，∴==，∵共线，∴存在实数μ，使得，∵N为AB的中点，∴μ'又∵||=5，||=3，OM平分∠AOB，∴由正弦定理知，AM=BM∴AC≤AM=AB，故，∴==∴x=λ（1﹣μ），y=λμ，∴x≥0，y≥0；∴x﹣y=λ（1﹣2μ）≤0；∴5x﹣3y=λ（5﹣8μ）≥0．故选：B．【点评】本题主要考察了平面向量的共线定理以及向量的三角形法则，并涉及到了正弦定理，难度较大，属于难题．21．设不等式4x﹣m（4x+2x+1）≥0对于任意的x∈[0，1]恒成立，则实数m的取值范围是（）A．（﹣∞，] B．[] C．[] D．[，+∞）【考点】指数函数综合题．【专题】计算题；函数思想；综合法；函数的性质及应用．【分析】把已知不等式变形，分离参数m，然后结合指数式的值域，利用配方法求得的范围得答案．【解答】解：由4x﹣m（4x+2x+1）≥0，得m（4x+2x+1）≤4x，即m≤=，∵x∈[0，1]，∴∈[，1]，则∈[]，∴∈[]，则m．故选：A．【点评】本题考查恒成立问题，考查了分离变量法，训练了利用配方法求函数的最值，是中档题．22．设O为△ABC的外心（三角形外接圆的心），若=||2，则=（）A．1 B．C．2 D．【考点】平面向量数量积的运算．【专题】平面向量及应用．【分析】利用三角形的外心，得到，，两式平方相减化简，得到2，又=||2，得到AB，AC的关系【解答】解：因为O是三角形的外心，所以，，，两式平方相减得2，即2，又=||2，所以2，所以；故选：B．【点评】本题考查了三角形外心性质以及向量数量积等运算；考查学生的运算能力；属于中档题．23．设函数f（x）=．若方程f（x）=1有3个不同的实数根，则实数a的取值范围是（）A．（1，+∞）B．{﹣1}∪（1，+∞）C．（﹣∞，﹣1）D．（﹣∞，﹣1）∪（1，+∞）【考点】根的存在性及根的个数判断．【专题】计算题；作图题；函数的性质及应用．【分析】当x＜0时，由f（x）=x2=1得x=﹣1；从而可得，当0≤x≤π时，方程sin2x=有2个不同的解；作函数y=sin2x，（0≤x≤π）的图象，结合图象求解即可．【解答】解：当x＜0时，f（x）=x2=1，解得，x=﹣1；∵方程f（x）=1有3个不同的实数根，∴当0≤x≤π时，方程f（x）=1可化为asin2x=1；显然可知a=0时方程无解；故方程可化为sin2x=，且有2个不同的解；作函数y=sin2x，（0≤x≤π）的图象如下，结合图象可得，0＜＜1或﹣1＜＜0；解得，a∈（﹣∞，﹣1）∪（1，+∞）；故选D．【点评】本题考查了分段函数的应用及方程的根与函数的图象的交点的应用，同时考查了数形结合的思想应用，属于中档题．24．函数的值域为（）A．[1，] B．[1，] C．[1，] D．[1，2]【考点】函数的值域．【专题】综合题；压轴题；转化思想；综合法．【分析】先求出函数的定义域，观察发现，根号下两个数的和为1，故可令则问题可以转化为三角函数的值域问题求解，易解【解答】解：对于f（x），有3≤x≤4，则0≤x﹣3≤1，令，则=∵，∴．函数的值域为[1，2]故选D【点评】本题考查求函数的值域，求解的关键是观察到问题可以转化为三角函数求解，注意本题转化的依据，两数的和为1，此是一个重要的可以转化为三角函数的标志，切记．25．在△ABC中，BC=6，若G，O分别为△ABC的重心和外心，且=6，则△ABC的形状是（）A．锐角三角形B．钝角三角形C．直角三角形D．上述三种情况都有可能【考点】平面向量数量积的运算．【专题】平面向量及应用．【分析】在△ABC中，G，O分别为△ABC的重心和外心，取BC的中点为D，连接AD、OD、GD，运用重心和外心的性质，运用向量的三角形法则和中点的向量形式，以及向量的平方即为模的平方，可得2﹣=﹣36，又BC=6，则有||=||2+||2，运用勾股定理逆定理即可判断三角形的形状．【解答】解：在△ABC中，G，O分别为△ABC的重心和外心，取BC的中点为D，连接AD、OD、GD，如图：则OD⊥BC，GD=AD，∵，，由=6，则（）==﹣（）=6，即﹣（）（）=6，则，又BC=6，则有||=||2+||2，即有C为直角．则三角形ABC为直角三角形．故选：C．【点评】本题考查向量的数量积的性质和运用，主要考查向量的三角形法则和向量的平方即为模的平方，运用勾股定理逆定理判断三角形的形状．二、填空题（共5小题，每小题3分，满分15分）26．若函数f（x）=2sin（ωx）（ω＞0）的最小正周期为，则ω= 4 ．【考点】三角函数的周期性及其求法．【专题】计算题；三角函数的图像与性质．【分析】由三角函数的周期性及其求法可得T==，即可解得ω的值．【解答】解：由三角函数的周期性及其求法可得：T==，解得：ω=4．故答案为：4．【点评】本题主要考查了三角函数的周期性及其求法，属于基本知识的考查．27．设tanx=2，则cos2x﹣2sinxcosx= ﹣．【考点】同角三角函数基本关系的运用．【专题】三角函数的求值．【分析】原式分母看做“1”，利用同角三角函数间的基本关系化简，把tanx的值代入计算即可求出值．【解答】解：∵tanx=2，∴原式====﹣，故答案为：﹣【点评】此题考查了同角三角函数基本关系的运用，熟练掌握基本关系是解本题的关键．28．计算：log89log32﹣lg4﹣lg25= ．【考点】对数的运算性质．【专题】函数的性质及应用．【分析】根据对数的运算性质计算即可．【解答】解：log89log32﹣lg4﹣lg25=log23log32﹣lg100=﹣2=﹣，故答案为：【点评】本题考查了对数的运算性质，属于基础题．29．已知A、B、C是单位圆上三个互不相同的点，若||=||，则的最小值是．【考点】平面向量数量积的运算．【专题】平面向量及应用．【分析】如图所示，取=（1，0），不妨设B（cosθ，sinθ），（θ∈（0，π））．由于，可得C（cosθ，﹣sinθ）．再利用数量积运算、二次函数的单调性、余弦函数的单调性即可得出．【解答】解：如图所示，取=（1，0），不妨设B（cosθ，sinθ），（θ∈（0，π））．∵，∴C（cosθ，﹣sinθ）．∴=（cosθ﹣1，sinθ）（cosθ﹣1，﹣sinθ）=（cosθ﹣1）2﹣sin2θ=，当且仅当，即时，上式取得最小值．即的最小值是﹣．故答案为：﹣．【点评】本题考查了数量积运算、二次函数的单调性、余弦函数的单调性，考查了推理能力和计算能力，属于难题．30．若函数f（x）=﹣﹣a存在零点，则实数a的取值范围是（﹣1，1）．【考点】函数零点的判定定理．【专题】计算题；数形结合；函数的性质及应用．【分析】化简a=﹣，从而利用其几何意义及数形结合的思想求解．【解答】解：由题意得，a=﹣=﹣；表示了点A（﹣，）与点C（3x，0）的距离，表示了点B（，）与点C（3x，0）的距离，如下图，结合图象可得，﹣|AB|＜﹣＜|AB|，即﹣1＜﹣＜1，故实数a的取值范围是（﹣1，1）．故答案为：（﹣1，1）．【点评】本题考查了数形结合的思想应用．三、解答题（共3小题，满分30分）31．已知向量，如图所示．（Ⅰ）作出向量2﹣（请保留作图痕迹）；（Ⅱ）若||=1，||=2，且与的夹角为45°，求与的夹角的余弦值．【考点】向量的线性运算性质及几何意义．【专题】平面向量及应用．【分析】（I）运用向量的加减运算的几何性质求解绘画，（II）根据向量的运算得出==，=利用夹角得出cosθ=，求解即可．【解答】解：（I）先做出2，再作出，最后运用向量的减法得出2，如图表示红色的向量，（II）设，的夹角θ，∵||=1，||=2，且与的夹角为45°∴=1×2×cos45°=，∴==，=，（）=1﹣4=﹣3，cosθ=====．【点评】本题考察了平面向量的加减运算，数量积，向量的模的计算，属于向量的典型的题目，难度不大，计算准确即可．32．设α是三角形的一个内角，且sin（）=cos（）．（Ⅰ）求tan2α的值；（Ⅱ）求函数f（x）=4sinxcosxcos2α+cos2xsin2α﹣1的最大值．【考点】三角函数的最值；两角和与差的余弦函数；两角和与差的正弦函数．【专题】三角函数的求值．【分析】（Ⅰ）花间条件可得tanα=﹣，求得α的值，可得tan2α的值．（Ⅱ）利用三角恒等变换化简函数f（x）的解析式，再利用正弦函数的值域求得它的最大值．【解答】解：（Ⅰ）∵sin（）=cos（），∴2sinαcos+2cosαsin=cosαcos+sinαsin，化简可得sinα+cosα=0，即tanα=﹣．又α是三角形的一个内角，可得α=，故tan2α=tan=tan=．（Ⅱ）求函数f（x）=4sinxcosxcos2α+cos2xsin2α﹣1=2sin2xcos+cos2xsin﹣1=﹣sin2x﹣cos2x﹣1=﹣sin（2x+θ）﹣1，故当sin（2x+θ）=﹣1时，f（x）取得最大值为﹣1．【点评】本题主要考查三角恒等变换，根据三角函数的值求角，正弦函数的值域，属于中档题．33．设函数f（x）=（x﹣2）||x|﹣a|，a＞0．（Ⅰ）当a=3时，求f（x）的单调递增区间；（Ⅱ）求f（x）在[﹣3，3]上的最小值．【考点】分段函数的应用．【专题】分类讨论；函数的性质及应用；不等式的解法及应用．【分析】（Ⅰ）当a=3时，f（x）=（x﹣2）||x|﹣3|，对x讨论，去掉绝对值，再由二次函数的对称轴和单调性，即可得到所求增区间；（Ⅱ）对x讨论，去绝对值，再对a讨论，分0＜a≤2，2＜a＜3时，3≤a＜8，a≥8，结合对称轴和区间[﹣3，3]的关系，即可得到最小值．【解答】解：（Ⅰ）当a=3时，f（x）=（x﹣2）||x|﹣3|，当x≥3时，f（x）=（x﹣2）（x﹣3）=x2﹣5x+6在[3，+∞）递增；当0＜x＜3时，f（x）=（x﹣2）（3﹣x）=﹣x2+5x﹣6在（0，]递增；当﹣3＜x≤0时，f（x）=（x﹣2）（x+3）=x2+x﹣6在[﹣，0]递增；当x≤﹣3时，f（x）=（x﹣2）（﹣x﹣3）=﹣x2﹣x﹣6在（﹣∞，﹣3]递增．综上可得，f（x）的增区间为（﹣∞，﹣3]，[﹣，]，[3，+∞）．（Ⅱ）f（x）=，（1）若0＜a≤2，则f（x）min=min{f（﹣3），f（0）}=min{﹣5|3﹣a|，﹣2a}，当﹣5|3﹣a|=﹣2a，解得a=或a=5，即当0＜a≤2时，f（x）min=﹣5（3﹣a）；（2）若2＜a＜3时，f（x）min=min{f（﹣3），f（）}=min{﹣5|3﹣a|，﹣}，当﹣5|3﹣a|=﹣，解得a=10﹣12∈（2，3），即f（x）min=，（3）若﹣a≤﹣3＜，即3≤a＜8时，f（x）min=f（﹣）=﹣，（4）若≤﹣3，则a≥8，f（x）min=f（﹣3）=15﹣5a．综上可得，f（x）min=．【点评】本题考查分段函数的单调性和最值求法，注意讨论对称轴和区间的关系，运用分类讨论的思想方法是解题的关键．。

2020学年第二学期杭州市高一年级期末教学质量检测数学试题卷考生须知：1．本试卷分试题卷和答题卡两部分。

满分150分，考试时间120分钟。

2．答题前，必须在答题卡指定位置上用黑笔填写学校名、姓名、试场号、座位号、准考证号，并用2B 铅笔将准考证号所对应的数字涂黑。

3．答案必须写在答题卡相应的位置上，写在其他地方无效。

一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．每小题列出的四个选项中只有一个是符合题目要求的，不选、多选、错选均不得分．1．设全集U =R ，{}2M x x =≥，{}13N x x =<<，则图中阴影部分集合是（ ）A ．{}21x x -<<B ．{}22x x -<<C ．{}12x x <<D ．{}2x x <2．设复数z 满足i 12i z =-（i 是虚数单位），则z =（ ） A ．2i +B ．2i -C ．2i -+D ．2i --3．已知2log 0.2a =，0.22b =，sin 2c =，则（ ） A ．a b c <<B ．a c b <<C ．c a b <<D ．b c a <<4．风光秀丽的千岛湖盛产鳙鱼，记鳙鱼在湖中的游速为m/s v ，鳙鱼在湖中的耗氧量的单位数为x ，已知鳙鱼的游速v 与2log 100x （100x ≥）成正比，当鳙鱼的耗氧量为200单位时，其游速为1m/s 2．若某条鳙鱼的游速提高了1m/s ，那么它的耗氧量的单位数是原来的（ ） A ．2倍 B ．4倍 C ．6倍 D ．8倍5．两个体积分别为1V ，2V 的几何体夹在两个平行平面之间，任意一个平行于这两个平面的平面截这两个几何体，截得的截面面积分别为1S ，2S ，则“12V V =”是“12S S =”的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件6．如图，一个半径为2的水轮，圆心O 距离水面1米，水轮做匀速圆周运动，每分钟逆时针旋转4圈．水轮上的点P 到水面的距离y （米）与时间x （秒）满足()sin y A x k ωϕ=++（0A >），则（ ）A ．2π15ω=B ．3A =C ．2k =D ．0ϕ=7．如图是第24届国际数学家大会的会标，是根据中国古代数学家赵爽的弦图设计的．已知图中正方形ABCD 的边长为1，DAE θ∠=，则小正方形EFGH 的面积为（ ）A ．1sin 2θ-B ．1cos 2θ-C ．12sin θ-D ．12cos θ-8．若0x ∈R ，0x ∆>，函数()f x 满足()()()()()()()()()000000002321f x x f x x f x x f x n x f x f x x f x x f x n x +∆+∆+∆+∆===⋅⋅⋅=+∆+∆+-∆，*n ∈N ，则函数()y f x =可能是（其中0a >且1a ≠）（ ） A ．()f x ax = B ．()af x x =C ．()x f x a =D ．()log a f x x =二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分．9．已知不等式20ax bx c ++≥的解集是{}12x x -≤≤，则（ ） A ．0b <B ．0a b c ++>C ．0c >D ．0a b +=10．已知平面向量a ，b ，若3a =，13a b -=，6a b ⋅=，则（ ） A ．4b =B ．向量a 与向量b 的夹角为2π3C ．7a b +=D ．向量a 与向量b 的夹角为π311．已知某湖泊蓝藻面积y （单位：2m ）与时间t （单位：月）满足t y a =．若第1个月的蓝藻面积为22m ，则（ ）A ．蓝藻面积每个月的增长率为100%B ．蓝藻每个月增加的面积都相等C ．第6个月时，蓝藻面积就会超过260mD ．若蓝藻面积到22m ，23m ，26m 所经过的时间分别是1t ，2t ，3t ，则123t t t += 12．某演讲比赛冠军奖杯由一个水晶球和一个金属底座组成（如图①）．已知球的体积为4π3，金属底座是由边长为4的正三角形ABC 沿各边中点的连线向上垂直折叠而围成的几何体（如图②），则（ ）A ．A ，B ，D ，F 四点共面B ．经过A ，B ，C 三点的截面圆的面积为π4C ．直线AD 与平面DEF 所成的角为π3D 1+ 三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．已知lg 2a =，lg3b =，则2log 12=________．（用a ，b 表示）14．半正多面体亦称为“阿基米德多面体”，是由边数不全相同的正多边形为面围成的多面体，如图所示．这是一个将正方体沿交于一顶点的三条棱的中点截去一个三棱锥，共截去八个三棱锥，得到八个面为正三角形，六个面为正方形的“阿基米德多面体”花岗岩石凳，已知此石凳的棱长为，则此石凳的体积是________3cm ．15．已知区间()0,1中的实数m 在数轴上的对应点为M ，如图1；将线段AB 围成一个圆（端点A ，B 重合），如图2；再将这个圆放在平面直角坐标系中，使其圆心在y 轴上，点A 的坐标为()0,1，如图3．直线AM 与x 轴交于点(),0N n ，把m 与n 的函数关系记作()n f m =，则方程()1f x =-的解是x =________．16．已知1m =，向量n 满足n m n m -=⋅，当向量m ，n 夹角最大时，n =________． 四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．（本题满分10分）在①a =cos 2c S B =；③π3C =，这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，并对其进行求解．问题 在ABC △中，设内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，ABC △的面积为S ，cos cos cos A a C c A =+，1b =，______，求c 的值．注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．18．（本题满分12分）如图，在OAB △中，P 为边AB 上的一点，2BP PA =，6OA =，2OB =，且OA 与OB 的夹角为60°．（Ⅰ）设OP xOA yOB =+，求x ，y 的值；（Ⅱ）求OP AB ⋅的值．19．（本题满分12分）四棱柱1111ABCD A BC D -的所有棱长都相等，1160A AB A AD BAD ∠=∠=∠=︒．（Ⅰ）求证：1AA BD ⊥；（Ⅱ）求直线1A B 与平面11AA D D 所成角的正弦值．20．（本题满分12分）如图是函数()()sin A f x x ωϕ=+（0A >，0ω>，πϕ<）的部分图象，()5π60f f ⎛⎫= ⎪⎝⎭，0π6f ⎛⎫= ⎪⎝⎭．（Ⅰ）求()f x 的解析式； （Ⅱ）将()f x 的图象向右平移π3，得函数()g x ，记()()()h x f x g x =+，求()h x 的单调递减区间． 21．（本题满分12分）将一张长8cm ，宽6cm 的长方形纸片沿着直线MN 折叠，折痕MN 将纸片分成两部分，面积分别为21cm S ，22cm S ．设cm MN l =． 若12:1:2S S =，求l 的取值范围．22．（本题满分12分）设函数()2f x x x a a x =-+-（0a >），方程()f x t =有三个不同的实数根1x ，2x ，3x ，且123x x x <<．（Ⅰ）当2a =时，求实数t 的取值范围； （Ⅱ）当2t =时，求正数a 的取值范围；（Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下，若231x x x λ>恒成立，求实数λ的取值范围．2020学年第二学期杭州市高一年级期末教学质量检测数学参考答案及评分标准一、选择题：（本大题共10小题，每小题4分，计40分）．二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分． 9．BCD 10．AD 11．ACD12．ACD三、填空题：（本大题共4小题，每小题5分，共20分）．13．2b a +14．1600003 15．1416四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．在ABC △cos cos cos A a C c A =+，cos sin cos sin cos B A A C C A =+，()cos sin sin B A A C B =+=，因为cos A =选择①，由余弦定理2222cos a b c bc A =+-得210c --=，解得c = 选择②，1cos sin 22c S B bc A ==， 所以cos sin co πs 2B A A ⎛⎫==-⎪⎝⎭，所以π2B A =-，即π2C =，解得c =选择③，π3C =，因为sin sin sin cos cos sin 33π3ππB A A A ⎛⎫=+=+= ⎪⎝⎭， 所以由sin sin c b C B=，得sin sin b Cc B== 18．（1）如下图，过点P 作//PM OB ，//PN OA 分别交OA ，OB 点M ，N ，因为2BP PA =，所以12AP BP =， 所以23OM OA =，13ON OB =， 又四边形OMPN 为平行四边形，所以2133OP OM ON OA OB =+=+， 又因为OA ，OB 不共线，所以23x =，13y =． （2）由（1）知()2133OP AB OA OB OB OA ⎛⎫⋅=+- ⎪⎝⎭22121333OB OA OA OB =-+⋅47216243323=-+⨯=-． 19．（1）取BD 的中点O 连接OA ，1OA ，BD OA ⊥，1BD OA ⊥，所以直线BD ⊥平面1A AO ， 所以1BD AA ⊥．（2）不妨设1AB =，由题意可知1B A AD -为正四面体，1A B 与平面11AA D D 所成的角即侧棱与底面所成的角，过B 作底面1AA D 的垂线，垂足为正1AA D △的中心O ，连接1AO ，所以1BAO ∠为1A B 与平面11AA D D所成的角．设11A B =，则13AO=，3BO =，所以1sin 3BAO ∠=．20．（1）由图可知2A =，5π12x =是图中的一条对称轴， 且5π126π44πT-==，∴2ω=， ∴()()2sin 2x f x ϕ=+又2ππ6ϕ⨯+=得2π3ϕ=，∴()2π2sin 23x f x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭． （2）()2sin 2g x x =，()2π2sin 22sin 22sin 2π33x x x h x ⎛⎫⎛⎫=++=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 3π7π2π22πππ23π2121π2πk x k k x k +≤+≤+⇒+≤≤+，k ∈Z ． 所以()h x 的单调递减区间为7ππ,π1212πk k ⎡⎤++⎢⎥⎣⎦（k ∈Z ）21．如图所示，不妨设纸片为长方形ABCD ，8cm AB =，6cm AD =，其中点A 在面积为1S 的部分内．折痕有下列三种情形：①折痕的端点M ，N 分别在AB ，AD 上； ②折痕的端点M ，N 分别在AB ，CD 上； ③折痕的端点M ，N 分别在AD ，BC 上．由题意知，长方形的面积为6848S =⨯=．因为12:1:2S S =，12S S ≤，所以116S =，232S =． 当折痕是情形①时，设cm AM x =，cm AN y =，则1162xy =，即32y x=． 设()22232f x xx =+，1683x ≤≤，所以()f x 的取值范围为[]64,80，从而l 的范围是8,⎡⎣．当折痕是情形②时，设cm AM x =，cm DN y =，则()16162x y +⨯=，即163y x =-．所以l 的范围为⎡⎢⎣⎦．当折痕是情形③时，设cm BN x =，cm AM y =，则()18162x y +⨯=，即4y x =-． 由06,046,x x ≤≤⎧⎨≤-≤⎩得04x ≤≤．所以l ==04x ≤≤．所以l 的取值范围是8,⎡⎣．8>（即145144>）， 所以l 的取值范围为⎡⎢⎣⎦． 22．（1）2a =，()()()()22422242x x f x x x x x ⎧-≥⎪=+-=⎨-+<⎪⎩ ()f x 在(),0-∞单调递增，在()0,2单调递减，在()2,+∞单调递增，所以()()20f t f <<，即04t <<．（2）①当02a <≤时，()2222,22,22,2x a x a f x x ax a a x x a x ⎧-+<⎪=-+≤≤⎨⎪->⎩()f x 在(),0-∞单调递增，在()0,a 单调递减，在(),2a 单调递增，在()2,+∞单调递增，所以()()20f a f <<即2222a a a -<<，所以12a <≤②当2a >时，()2222,222,22,x a x f x x ax a x a x a x a ⎧-+<⎪=-+-≤≤⎨⎪->⎩()f x 在(),0-∞单调递增，在()0,2单调递减，在()2,a 单调递增，在(),a +∞单调递增，所以()()220f f <<即2422a a -<<，所以23a <<，由①②可知，13a <<．（3）由（2）可知，①当12a <≤时，()f x 在(),0-∞单调递增，在()0,a 单调递减，在(),2a 单调递增，在()2,+∞单调递增， 因为()2422f a =-<，所以1x ，2x 为方程222x a -+=的两个根，120x x +=3x 为方程222x a -=的正根，所以3x =231x x x =≥，所以λ< ②当23a <<时，()f x 在(),0-∞单调递增，在()0,2单调递减，在()2,a 单调递增，在(),a +∞单调递增，()()22211a a f a a =-=--．i ）当()2f a ≥13a ≤<时，3x 为方程2222x ax a -+-=的较小根，()3111x a a =-=-=+在)1,3a ∈单调递减，(31x ⎤∈⎦，()233min 1min 1x x x x λ⎛⎫<=-= ⎪⎝⎭．ii ）当()2f a <，即21a <<时，3x 为方程222x a -=的正根，3x =2311x x x =，所以1λ<．综上，1λ<．。

2020-2021杭州市高一数学下期末模拟试题(及答案)一、选择题1．已知向量()cos ,sin a θθ=，()1,2b =，若a 与b 的夹角为6π，则a b +=（ ） A ．2B ．7C ．2D ．12．如图，在ABC ∆中，已知5AB =，6AC =，12BD DC =，4AD AC ⋅=，则AB BC ⋅=A ．-45B ．13C ．-13D ．-373．某空间几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（ ）A ．73B ．8π3- C ．83D ．7π3- 4．如图，圆O 的半径为1，A 是圆上的定点，P 是圆上的动点，角x 的始边为射线OA ，终边为射线OP ，过点P 作直线OA 的垂线，垂足为M ，将点M 到直线OP 的距离表示成x 的函数()f x ，则()y f x =在[0,]π上的图象大致为（ ）A ．B ．C ．D ．5．已知数列{}n a 的前n 项和22n S n n =+，那么它的通项公式是（ ）A ．21n a n =-B ．21n a n =+C ．41n a n =-D ．41n a n =+6．我国古代数学名著《九章算术》对立体几何也有深入的研究，从其中的一些数学用语可见，譬如“堑堵”意指底面为直角三角形，且侧棱垂直于底面的三棱柱，“阳马”指底面为矩形且有一侧棱垂直于底面的四棱锥．现有一如图所示的“堑堵”即三棱柱111ABC A B C -，其中AC BC ⊥，若11AA AB ==，当“阳马”即四棱锥11B A ACC -体积最大时，“堑堵”即三棱柱111ABC A B C -的表面积为A 21B 31C 223+D 33+7．若,αβ均为锐角，25sin α=()3sin 5αβ+=，则cos β=A 25B 25C 25或25 D ．258．《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中有如下问题：“今有女子善织，日益功，疾，初日织五尺，今一月织九匹三丈（1匹=40尺，一丈=10尺），问日益几何？”其意思为：“有一女子擅长织布，每天比前一天更加用功，织布的速度也越来越快，从第二天起，每天比前一天多织相同量的布，第一天织5尺，一月织了九匹三丈，问每天增加多少尺布？”若一个月按30天算，则每天增加量为A ．12尺 B ．815尺 C ．1629尺 D ．1631尺 9．若||1OA =，||3OB =，0OA OB ⋅=，点C 在AB 上，且30AOC ︒∠=，设OC mOA nOB =+(,)m n R ∈，则mn的值为（ ） A ．13B ．3C ．33D ．310．设函数()sin()cos()f x x x ωϕωϕ=+-+0,||2πωϕ⎛⎫><⎪⎝⎭的最小正周期为π，且f x f x -=（）（），则（ ）A ．()f x 在0,2π⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增B ．()f x 在,22ππ⎛⎫- ⎪⎝⎭上单调递减C ．()f x 在0,2π⎛⎫⎪⎝⎭上单调递减D ．()f x 在,22ππ⎛⎫- ⎪⎝⎭上单调递增11．函数2ln ||y x x =+的图象大致为（ ）A ．B ．C ．D ．12．若tan()24πα+=，则sin cos sin cos αααα-=+（ ）A ．12B ．2C ．2-D ．12-二、填空题13．在区间[]0,1上随机选取两个数x 和y ，则满足20-<x y 的概率为________． 14．()sin1013tan 70+=_____15．已知抛物线()220y px p =>的准线与圆()22316x y -+=相切，则p 的值为__________．16．已知定义在实数集R 上的偶函数()f x 在区间(],0-∞上是减函数,则不等式()()1ln f f x <的解集是________.17．函数()12x f x -的定义域是__________．18．已知l ，m 是平面α外的两条不同直线．给出下列三个论断： ①l ⊥m ；②m ∥α；③l ⊥α．以其中的两个论断作为条件，余下的一个论断作为结论，写出一个正确的命题：__________．19．在200m 高的山顶上，测得山下一塔顶与塔底的俯角分别是30°,60°，则塔高 为20．已知点()M a b ，在直线3415x y +＝22a b +_______． 三、解答题21．某公司计划购买1台机器,该种机器使用三年后即被淘汰.机器有一易损零件,在购进机器时,可以额外购买这种零件作为备件,每个200元.在机器使用期间,如果备件不足再购买,则每个500元.现需决策在购买机器时应同时购买几个易损零件,为此搜集并整理了100台这种机器在三年使用期内更换的易损零件数,得下面柱状图：记x 表示1台机器在三年使用期内需更换的易损零件数,y 表示1台机器在购买易损零件上所需的费用（单位：元）,n 表示购机的同时购买的易损零件数. （Ⅰ）若n =19,求y 与x 的函数解析式；（Ⅱ）若要求“需更换的易损零件数不大于n ”的频率不小于0.5,求n 的最小值； （Ⅲ）假设这100台机器在购机的同时每台都购买19个易损零件,或每台都购买20个易损零件,分别计算这100台机器在购买易损零件上所需费用的平均数,以此作为决策依据,购买1台机器的同时应购买19个还是20个易损零件？22．如图，四棱锥P ABC -中，PA ⊥平面ABCD ，AD BC ∥，3AB AD AC ===，4PA BC，M 为线段AD 上一点，2AM MD =，N 为PC 的中点．（I ）证明MN ∥平面PAB ； （II ）求四面体N BCM -的体积.23．如图，在等腰直角OPQ ∆中，090POQ ∠=，22OP =，点M 在线段PQ 上.(Ⅰ) 若5OM =PM 的长；（Ⅱ）若点N 在线段MQ 上，且030MON ∠=，问：当POM ∠取何值时，OMN ∆的面积最小？并求出面积的最小值.24．如图，在三棱柱111ABC A B C -中，侧棱垂直于底面，1,2,1,,AB BC AA AC BC E F ⊥===分别是11,AC BC 的中点．（1）求证: 平面ABE ⊥平面11B BCC ； （2）求证:1C F ∥平面ABE ； （3）求三棱锥E ABC -体积．25．已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且28S =，38522a a a +=+． （1）求n a ； （2）设数列1{}n S 的前n 项和为n T ，求证：34n T <． 26．ABC ∆中，三个内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，若(cos ,cos )m B C =，(2,)n a c b =+，且m n ⊥.（1）求角B 的大小；（2）若7b =，8a c +=，求ABC ∆的面积.【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．B 解析：B 【解析】 【分析】先计算a 与b 的模，再根据向量数量积的性质22()a b a b +=+即可计算求值. 【详解】因为()cos ,sin a θθ=，()1,2b =， 所以||1a =，||3b =.又222222()2||2||||cos||6a b a b a a b b a a b b +=+=+⋅+=+π+1372=++=， 所以7a b +=，故选B. 【点睛】本题主要考查了向量的坐标运算，向量的数量积，向量的模的计算，属于中档题.2．D解析：D 【解析】 【分析】先用AB 和AC 表示出2A AB BC AB C AB ⋅=⋅-， 再根据，12BD DC =用用AB 和AC 表示出AD ，再根据4AD AC ⋅=求出A AB C ⋅的值，最后将A AB C ⋅的值代入2A AB BC AB C AB ⋅=⋅-，，从而得出答案． 【详解】()2A =A AB BC AB C AB AB C AB ⋅=⋅-⋅-，∵12BD DC =， ∴111B C ?C B 222AD A A AD AD A AD A -=-=-+（）， 整理可得：12AB 33AD AC +＝， 221A A 433AD AC AB C C ∴⋅⋅+=＝∴ A =-12AB C ⋅，∴2=A =122537AB BC AB C AB ⋅⋅---=-．， 故选：D ． 【点睛】本题考查了平面向量数量积的运算，注意运用平面向量的基本定理，以及向量的数量积的性质，考查了运算能力，属于中档题．3．B解析：B 【解析】 【分析】由三视图可知，该几何体是由一个四棱锥挖掉半个圆锥所得，故利用棱锥的体积减去半个圆锥的体积，就可求得几何体的体积. 【详解】由三视图可知，该几何体是由一个四棱锥挖掉半个圆锥所得，故其体积为21118222123233ππ-⋅⋅⋅-⋅⋅⋅⋅=.故选B. 【点睛】本小题主要考查由三视图判断几何体的结构，考查不规则几何体体积的求解方法，属于基础题.4．B解析：B 【解析】 【分析】计算函数()y f x =的表达式，对比图像得到答案. 【详解】 根据题意知：cos cos OM OP x x ==M 到直线OP 的距离为：sin cos sin OM x x x = 1()cos sin sin 22f x x x x ==对应图像为B 故答案选B 【点睛】本题考查了三角函数的应用，意在考查学生的应用能力.5．C解析：C 【解析】分类讨论：当1n =时，11213a S ==+=，当2n ≥时，221(2)2(1)141n n n a S S n n n n n -⎡⎤=-=+--+-=-⎣⎦， 且当1n =时：1414113n a -=⨯-== 据此可得，数列的通项公式为：41n a n =-. 本题选择C 选项.6．C解析：C 【解析】分析：由四棱锥11B A ACC -的体积是三棱柱体积的23，知只要三棱柱体积最大，则四棱锥体积也最大，求出三棱柱的体积后用基本不等式求得最大值，及取得最大值时的条件，再求表面积．详解：四棱锥11B A ACC -的体积是三棱柱体积的23，11111122ABC A B C V AC BC AA AC BC -=⋅⋅=⋅222111()444AC BC AB ≤+==，当且仅当22AC BC ==时，取等号． ∴122222(1)122222S =⨯⨯⨯+++⨯3222+=． 故选C ．点睛：本题考查棱柱与棱锥的体积，考查用基本不等式求最值．解题关键是表示出三棱柱的体积．7．B解析：B 【解析】 【分析】利用角的等量代换，β=α+β-α，只要求出α的余弦，α+β的余弦，利用复合角余弦公式展开求之． 【详解】∵α为锐角，252sin 52α=＞s ，∴α＞45°且55cos α= ， ∵()3sin 5αβ+=，且132252＜＜ ，2παβπ∴+＜＜，∴45cosαβ+=-（） ， 则cosβ=cos[（α+β）-α]=cos（α+β）cosα+sin（α+β）sinα4532525555525=-⨯+⨯=．故选B. 【点睛】本题考查两角和与差的正弦、余弦函数公式，以及同角三角函数间的基本关系，熟练掌握公式是解本题的关键．8．C解析：C 【解析】试题分析：将此问题转化为等差数列的问题，首项为，,求公差，，解得：尺，故选C.考点：等差数列9．B解析：B【解析】 【分析】利用向量的数量积运算即可算出． 【详解】 解：30AOC ︒∠=3cos ,2OC OA ∴<>=32OC OA OC OA⋅∴=()32mOA nOB OA mOA nOB OA+⋅∴=+ 2222322m OA nOBOAm OA mnOAOB n OB OA+⋅=+⋅+1OA =，3OB =，0OA OB ⋅=2=229m n∴=又C 在AB 上 0m ∴>，0n > 3m n∴= 故选：B 【点睛】本题主要考查了向量的基本运算的应用，向量的基本定理的应用及向量共线定理等知识的综合应用．10．A解析：A 【解析】 【分析】将f(x)化简，求得ωφ，，再进行判断即可. 【详解】()πf x ωx φ,4⎛⎫=+- ⎪⎝⎭∵最小正周期为2ππ,π,ω∴=得ω2=，又f x f x （）（）-=为偶函数，所以ππφk π42-=+, k Z ∈∵πφ2<,∴k=-1,()πππφ,f x 2x 444⎛⎫=-∴=--= ⎪⎝⎭,当2k π2x 2k ππ≤≤+,即πk πx k π2≤≤+,f(x)单调递增，结合选项k=0合题意， 故选A. 【点睛】本题考查三角函数性质，两角差的正弦逆用，熟记三角函数性质，熟练计算f(x)解析式是关键，是中档题.11．A解析：A 【解析】 【分析】先确定函数定义域，再确定函数奇偶性，最后根据值域确定大致图像。

2020-2021高一下学期期末考试考前必刷题 07（基本立体图形）试卷满分：150分 考试时长：120分钟注意事项：1.本试题满分150分，考试时间为120分钟.2.答卷前务必将姓名和准考证号填涂在答题纸上.3.使用答题纸时，必须使用0.5毫米的黑色签字笔书写，要字迹工整，笔迹清晰.超出答题区书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效.一、单选题（本大题共8小题，共40.0分）1．（2021·全国高一课时练习）下面四个几何体中，是棱台的是（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】C【分析】根据棱柱、棱锥、棱台的结构特征，观察可得答案.【详解】A 项中的几何体是棱柱．B 项中的几何体是棱锥；D 项中的几何体的棱AA ′，BB ′，CC ′，DD ′没有交于一点，则D 项中的几何体不是棱台； C 项中的几何体是由一个棱锥被一个平行于底面的平面截去一个棱锥剩余的部分，符合棱台的定义，是棱台．故选：C2．（2021·湖南长沙市·雅礼中学高一月考）如图，已知等腰三角形O A B '''△，OA AB ''''=是一个平面图形的直观图，斜边2O B ''=，则这个平面图形的面积是（ ）A B ．1 C D ．【答案】D【分析】利用斜二测画法，由直观图作出原图三角形，再利用三角形面积公式即可求解.【详解】因为O A B '''△是等腰直角三角形，2O B ''=，所以O A A B ''''==，所以原平面图形为：且2OB O B ''==，OA OB ⊥，2OA O A ''==所以原平面图形的面积是122⨯⨯=， 故选：D3．（2020·陕西西安市第三中学高一月考）如果圆锥的侧面展开图是半圆，那么这个圆锥的轴截面对应的等腰三角形的底角是（ ）A ．30°B ．45°C ．60°D ．90°【答案】C【分析】由圆锥侧面展开所得扇形的弧长与底面周长相等可得圆锥母线与底面半径的数量关系，即可求轴截面底角的大小.【详解】若圆锥如下图所示，则侧面展开图半圆的半径R PA PB ==，底面半径r OA OB ==，由题意知：1222R r ππ⨯=，即2R r =， ∴轴截面对应等腰三角形的底角1cos 2OB r PBA PB R ∠===， ∴60PBA ∠=︒，故选：C4．（2020·四川省广元市八二一中学高一月考）某数学小组进行“数学建模”社会实践调查.他们在调查过程中将一实际问题建立起数学模型，现展示如下：四个形状不同、内空高度相等、杯口半径相等的圆口容器，如图所示.盛满液体后倒出一半，设剩余液体的高度从左到右依次为1h ，2h ，3h ，4h .则它们的大小关系正确的是（ ）A ．214h h h >>B ．123h h h >>C ．324h h h >>D ．241h h h >>【答案】A【分析】可根据几何体的图形特征，结合题目，选择答案.【详解】观察图形可知体积减少一半后剩余就的高度最高为2h ，最低为4h .故选：A【点睛】本题考查旋转体的结构特征，属于基础题.5．（2020·山东德州市·高一期末）一个正三棱锥的底面边长是6（ ）A ．B ．C ．D ．3【答案】D【分析】画出正三棱锥A BCD -的图像，得到底面正三角形的中心O 到正三角形的CD 的距离，再利用勾股定理求斜高即可.【详解】正三棱锥A BCD -的底面边长6BC CD DB ===,高AO =所以底面正三角形的中心O 到正三角形的CD 的距离为1623OH =⨯=故正三棱锥的斜高3AH ==；故选：D.6．（2020·全国高一单元测试）某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的侧棱最长的是（ ）A ．2B C D ．【答案】C【分析】 画出几何体的直观图，利用三视图的数据，求解棱锥最长的棱长即可．【详解】由三视图可知，该三棱锥的直观图如图所示，取AB 的中点O ，则OC AB ⊥，易知2AB OC ==，1PC =，又PC ⊥底面ABC ，所以PC BC ⊥，从而最长棱为PA 和PB ，=．故选：C ．【点睛】本题考查三视图求解几何体的几何量，考查空间想象能力以及计算能力，属于中档题．关键在于根据三视图还原出几何体的形状，画出直观图，并分析几何体的结构特征.7．（2020·南阳市第四中学高一月考）给出下列四个命题：①各侧面都是全等四边形的棱柱一定是正棱柱；②对角面是全等矩形的六面体一定是长方体；③棱锥的侧棱长与底面多边形的边长相等，则该棱锥可能是正六棱锥；④长方体一定是正四棱柱．其中正确的命题个数是（ ）A ．0B ．1C ．2D ．3【答案】A【分析】利用底面为菱形的直四棱柱可判断①的正误；利用底面为等腰梯形的直四棱柱可判断②的正误；利用正六棱锥的几何特征可判断③的正误；取长、宽、高都不相等的长方体可判断④的正误.【详解】对于①，底面是菱形（不是正方形）的直四棱柱满足条件，但它不是正棱柱，①错误； 对于②，底面为等腰梯形的直四棱柱的对角面全等，但它不是长方体，②错误； 对于③，如下图所示：在正六棱锥P ABCDEF -中，六边形ABCDEF 为正六边形，设O 为正六边形的中心，则PO ⊥平面ABCDEF ，OA ⊂平面ABCDEF ，则PO OA ⊥，由正六边形的几何性质可知，OAB 为等边三角形，则AB OA =，PA OA ∴>，③错误；对于④，在长方体1111ABCD A BC D -中，若AB 、AD 、1AA 的长两两不相等， 则长方体1111ABCD A BC D -不是正四棱柱，④错误.故选：A.8．（2020·武汉市钢城第四中学高一月考）小蚂蚁的家住在长方体1111ABCD A BC D -的A 处，小蚂蚁的奶奶家住在1C 处，三条棱长分别是12AA =，3AB =，4=AD ，小蚂蚁从A 点出发，沿长方体的表面到小蚂蚁奶奶家1C 的最短距离是（ ）A B ． C D 【答案】D【分析】根据题意知蚂蚁所走的路线有三种情况，利用勾股定理能求出小蚂蚁从A 点出发，沿长方体的表面到小蚂蚁奶奶家1C 的最短距离．【详解】解：根据题意知：蚂蚁所走的路线有三种情况，如下图所示①②③，由勾股定理得：图①中，1AC =图②中，1AC ==图③中，1AC故小蚂蚁从A 点出发，沿长方体的表面到小蚂蚁奶奶家1C 故选：D ．【点睛】本题考查最短距离的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查推理论证能力、空间想象能力、运算求解能力，考查化归与转化思想、数形结合思想、函数与方程思想，属于中档题．二、多选题（本大题共4小题，共20.0分）9．（2020·山东枣庄市·滕州市第一中学新校高一月考）已知圆锥的顶点为P ，母线长为2，A ，B 为底面圆周上两个动点，则下列说法正确的是A ．圆锥的高为1B ．三角形PAB 为等边三角形C ．三角形PABD ．直线PA 与圆锥底面所成角的大小为π6 【答案】AD【分析】根据圆锥的性质判断各选项．【详解】由题意圆锥的高为1h ===，A 正确；PAB △中PA PB =是母线长，AB 是底面圆的一条弦，与PA 不一定相等，B 错；当PAB △是轴截面时，cos PAB ∠=，30PAB ∠=︒，则120APB ∠=︒，当,A B 在底面圆上运动时，21sin 2sin 22PAB S PA APB APB =∠=∠≤△，当且仅当90PB ∠=︒时取等号．即PAB △面积最大值为2．C 错；设底面圆圆心为O ，则PAO ∠为PA 与底面所成的角，易知cos 26PAO PAO π∠=∠=，D 正确． 故选：AD ．本题考查圆锥的性质，圆锥的轴截面是等腰三角形，腰即为圆锥的母线，底为底面直径，轴截面的高即为圆锥的高.10．（2020·江苏泰州市·兴化一中高一期中）下列命题中正确的有A ．空间内三点确定一个平面B ．棱柱的侧面一定是平行四边形C ．分别在两个相交平面内的两条直线如果相交，则交点只可能在两个平面的交线上D ．一条直线与三角形的两边都相交，则这条直线必在三角形所在的平面内【答案】BC【分析】利用平面的定义，棱柱的定义，对选项逐一判断即可.【详解】对于A 选项，要强调该三点不在同一直线上，故A 错误；对于B 选项，由棱柱的定义可知，其侧面一定是平行四边形，故B 正确；对于C 选项，可用反证法证明，故C 正确；对于D 选项，要强调该直线不经过给定两边的交点，故D 错误.故选：BC.【点睛】本题考查平面的基本性质及其推论的应用，考查棱柱的定义，属于基础题.11．（2020·全国高一课时练习）长方体1111ABCD A BC D 的长、宽、高分别为3，2，1，则（ ）A ．长方体的表面积为20B ．长方体的体积为6C ．沿长方体的表面从A 到1C 的最短距离为D ．沿长方体的表面从A 到1C 的最短距离为【答案】BC【分析】由题意，可利用柱体体积公式和多面体表面积公式进行计算，沿表面最短距离可将临近两个面侧面展开图去计算，即可求解正确答案.长方体的表面积为2(323121)22⨯⨯+⨯+⨯=，A 错误.长方体的体积为3216⨯⨯=，B 正确.如图（1）所示，长方体1111ABCD A BC D -中，3AB =，2BC =，11BB =.求表面上最短（长）距离可把几何体展开成平面图形，如图（2）所示，将侧面11ABB A 和侧面11BCC B 展开，则有1AC ==，即经过侧面11ABB A 和侧面11BCC B如图（3）所示，将侧面11ABB A 和底面1111D C B A 展开，则有1AC ==过侧面11ABB A 和底面1111D C B A 时的最短距离是4）所示，将侧面11ADD A 和底面1111D C B A 展开，则有1AC ==11ADD A 和底面1111D C B A 时的最短距离是因为<，所以沿长方体表面由A 到1C 的最短距离是C 正确，D 不正确.故选：BC .【点睛】本题考查长方体体积公式、表面积公式和沿表面的最短距离，考查空间想象能力，属于基础题.12．（2020·瓦房店市高级中学高一期末）如图，透明塑料制成的长方体容器1111ABCD A BC D -内灌进一些水，固定容器一边AB 于地面上，再将容器倾斜，随着倾斜度的不同，有下面几个结论，其中正确的命题有（ ）A ．没有水的部分始终呈棱柱形B ．水面EFGH 所在四边形的面积为定值C ．随着容器倾斜度的不同，11AC 始终与水面所在平面平行D ．当容器倾斜如图（3）所示时，AE AH ⋅为定值【答案】AD【分析】想象容器倾斜过程中，水面形状（注意AB 始终在桌面上），可得结论．【详解】由于AB 始终在桌面上，因此倾斜过程中，没有水的部分，是以左右两侧的面为底面的棱柱，A 正确；图（2）中水面面积比（1）中水面面积大，B 错；图（3）中11AC 与水面就不平行，C 错；图（3）中，水体积不变，因此AEH △面积不变，从而AE AH ⋅为定值，D 正确． 故选：AD ．【点睛】本题考查空间线面的位置关系，考查棱柱的概念，考查学生的空间想象能力，属于中档题．三、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13．（2020·浙江高一期末）如果用半径为R =个圆锥筒的高是___________.【答案】3【分析】先求半圆的弧长，就是圆锥的底面周长，求出底面圆的半径，然后利用勾股定理求出圆锥的高.【详解】半径为R =，圆锥的底面圆的周长为，3=，故答案为：3.14．（2020·河南）若正三棱锥A BCD -的侧棱长为8，底面边长为4，E ，F 分别为AC ，AD 上的动点（如图），则截面BEF 的周长最小值为______．【答案】11【分析】将正三棱锥A BCD -的侧面沿AB 剪开，然后展开'BB 即为所求，然后利用相似，分别求得BE ，EF ，'FB 即可.【详解】正三棱锥A BCD -的侧面展开图如图，由平面几何知识可得//BB CD '，所以BEC ECD ACB ∠=∠=∠，所以BE =BC =4，BCE ABC ∽， 所以CE BC BC AB =．即448CE =， 所以2CE =，所以6AE =， 又34EF AE CD AC ==， 解得3EF =．所以截面BEF 的周长最小值为：''BB BE EF FB =++=43411++=．故答案为：1115．（2020·浙江杭州市·高一期末）正方体1111ABCD A BC D -中，棱长为2，E 是线段1CD 上的动点，则||||AE DE +的最小值是_______．【分析】在正方体中，由图形可知||||,||||AE AP DE DP ≥≥，且当,E P 重合时，等号同时成立，即可求解.【详解】如图，取1CD 的中点为P ,连接AP ，DP则由1AC AD =，1DC DD =知，1AP CD ⊥, 1DP CD ⊥,所以||||,||||AE AP DE DP ≥≥，所以||||||||AE DE AP DP +≥+，在正方体中，棱长为2，所以2AP ==, 122DP ==故当E 在线段1CD 上运动，E 与P 重合时，||||AE DE +【点睛】关键点点睛：根据图象可知，当E 在线段1CD 上运动时，垂线段最短，可得||||AE AP ≥，同理，当E 在线段1CD 上运动时，||||DE DP ≥，且当E 与P 重合时等号同时成立. 16．（2020·浙江杭州市·高一期末）如图，圆锥的底面直径2AB =，母线长3VA =，点C 在母线VB 上，且1VC =，有一只蚂蚁沿圆锥的侧面从点A 到达点C ，则这只蚂蚁爬行的最短距离是______．【分析】蚂蚁爬行距离最短，即将圆锥侧面展开后A 到C 的直线距离，根据已知条件、余弦定理可求出最短距离.【详解】圆锥的侧面展开图为半径为3的扇形，弧AB 长为122ππ⨯=，∴3AVB π∠=，则3AVC π∠=， 由余弦定理可知22212cos 9123172AC VA VC VA VC AVC =+-⋅⋅∠=+-⨯⨯⨯=，AC =四、解答题（本大题共6小题，共70.0分）17．（2020·全国高一单元测试）画出图中水平放置的四边形ABCD 的直观图.【答案】图见解析.【分析】在四边形ABCD 中，过A 作出x 轴的垂直确定坐标，进而利用斜二测画法画出直观图.【详解】由斜二测画法：纵向减半，横向不变；即可知A 、C 在对应点1(3,1),(0,)2A C ''，而B 、D 对应点,B D ''位置不变，如下图示：18．（2020·福建漳州市·高一期末）已知球O 的半径为5.（1）求球O 的表面积；（2）若球O 有两个半径分别为3和4的平行截面，求这两个截面之间的距离.【答案】（1）100π；（2）1或7.【分析】（1）利用球的表面积公式计算即可；（2）先求球心到两个截面的距离，再计算即可.【详解】解：（1）因为球O 的半径为5R =，所以球O 的表面积为24100S R ππ==.（2）设两个半径分别为13r =和24r =的平行截面的圆心分别为1O 和2O ，所以14OO ===，所以23OO ===， 所以1212347O OO OO O =+=+=， 或1122431O OO OO O =-=-=，所以两个截面之间的距离为1或7.【点睛】本题考查了球的表面积和截面问题，属于基础题.19．（2020·河北沧州市一中高一月考）如图所示，在正三棱柱111ABC A B C -中，3AB =，14AA =，M 为1AA 的中点，P 是BC 上的一点，且由P 沿棱柱侧面经过棱1CC 到M 的最.设这条最短路线与1CC 的交点为N ，求：（1）该三棱柱的侧面展开图的对角线的长；（2）PC 和NC 的长.【答案】（1（2）PC 的长为2，NC 的长为45. 【分析】（1）由展开图为矩形，用勾股定理求出对角线长；（2）在侧面展开图中三角形MAP 是直角三角形，可以求出线段AP 的长度，进而可以求PC 的长度，再由相似比可以求出CN 的长度.【详解】（1）由题意，该三棱柱的侧面展开图是宽为4，长为339⨯=的矩形，=（2）将该三棱柱的侧面沿棱1BB 展开，如图所示.设PC 的长为x ，则222()MP MA AC x =++.因为MP =2MA =，3AC =，所以2x =(负值舍去)，即PC 的长为2.又因为//NC AM ， 所以PC NC PA AM =，即252NC =， 所以45NC =. 【点睛】 本题考查求侧面展开图的对角线长，以及三棱柱中的线段长，熟记三棱柱的结构特征即可，属于常考题型.20．（2020·湖北武汉市·华中师大一附中高一月考）已知一个圆锥的底面半径为2，母线长为4.（1）求圆锥的侧面展开图的扇形的圆心角;（2.求圆柱的表面积.【答案】（1）π （2）(2π+【分析】（1）由圆锥侧面展开图的定义计算；（2）由圆锥截面性质，在轴截面中得到相似三角形，由比例性质可得圆柱的底面半径后可得圆柱表面积．【详解】（1）244r l ππαπ=== （2）如图所示，设圆锥的底面半径为R ,圆柱的底面半径为r ，表面积为S ,则2,4,R OC AC AO =====易知AEB AOC ∆∆AE EBAO OC ∴=,12r r =∴= 222,223S r S r h ππππ====底侧(22S S S ππ∴=+=+=+底侧【点睛】本题考查圆锥的侧面展开图，考查圆柱表面积，考查圆锥的内接圆柱性质．解题关键是掌握圆锥平行于底面的截面的性质．21．（2020·全国高一课时练习）如图，在三棱柱111ABC A B C -中，,E F 分别是11A B ，11AC 的中点，连接,,BE EF FC ，试判断几何体1A EF ABC -是什么几何体，并指出它的底面与侧面.【答案】几何体1A EF ABC -是三棱台.面ABC 是下底面，面1A EF 是上底面，面1ABEA ，面BCFE 和面1ACFA 是侧面【分析】根据题意以及三棱台的结构特征，可以猜想几何体1A EF ABC -是三棱台，再根据三棱台的定义证明即可，然后由三棱台定义可指出它的底面与侧面．【详解】,E F 分别是1111,A B AC 的中点，且11A B AB =，11ACAC =，11B C BC =， 1112A E A F EF AB AC BC ∴===.1~A EF ABC ∴，且1,,AA BE CF 延长后交于一点.又面111A B C 与面ABC 平行，∴几何体1A EF ABC -是三棱台.其中面ABC 是下底面，面1A EF 是上底面，面1ABEA ，面BCFE 和面1ACFA是侧面. 【点睛】本题主要考查三棱台的结构特征，以及利用三棱台定义判断几何体的形状，属于基础题． 22．（2020·全国）在正三棱台111ABC A B C -中，已知10AB =，棱台一个侧面梯形的面积，1,O O 分别为上、下底面正三角形的中心，连接11AO ，AO 并延长，分别交11B C ，BC 于点1D ，D ，160D DA ︒∠=，求上底面的边长.【答案】【分析】由题意，可设上底面边长为x ，利用题中所给侧面梯形面积列方程，求x 值即可.【详解】10AB =，2AD AB ∴==133OD AD ==.设上底面的边长为(0)x x >，则116O D x =. 如图所示，连接1O O ，过1D 作1D H AD ⊥于点H ，则四边形11OHD O 为矩形，且116OH O D x ==.36DH OD OH x ∴=-=-，在1Rt D DH 中，12cos 6036DH D D x ︒⎛⎫==- ⎪ ⎪⎝⎭. 四边形11BC CB 的面积为()11112B C BC D D +⋅，1(10)22x x ⎫=+⨯⎪⎪⎝⎭， 即40(10)(10)x x =+-，x ∴=【点睛】本题考查正棱台几何性质，空间想象能力，计算能力，属于中等题型.。

2020-2021高一下学期期末考试考前必刷题（苏教版 2019）（统计、概率基础题）一、单选题1．（2021·江苏高一课时练习）某棉纺厂为了了解一批棉花的质量，从中随机抽取了100根棉花纤维的长度(棉花纤维的长度是棉花质量的重要指标)，所得数据都在区间[5，40]中，其频率直方图如图所示，估计棉花纤维的长度的样本数据的80百分位数是（）A．29 mm B．29.5 mmC．30 mm D．30.5 mm【答案】A【分析】先求得棉花纤维的长度在30 mm以下的比例为85%，在25 mm以下的比例为85%－25%＝60%，从而可得80百分位数一定位于[25，30)内，进而可求出答案【详解】棉花纤维的长度在30 mm以下的比例为(0.01＋0.01＋0.04＋0.06＋0.05)×5＝0.85＝85%，在25 mm以下的比例为85%－25%＝60%，因此，80百分位数一定位于[25，30)内，由0.800.60 255290.850.60-+⨯=-，可以估计棉花纤维的长度的样本数据的80百分位数是29 mm.故选：A2．（2021·江苏高一课时练习）某单位有职工750人，其中青年职工350人，中年职工250人，老年职工150人，为了了解该单位职工的健康情况，用分层抽样的方法从中抽取样本．若样本中的青年职工为7人，则样本容量为（）A．12B．13C．14D．15【答案】D【分析】先计算抽样比，从而求出样本容量.【详解】抽样比是，所以样本容量是.故选：D.3．（2021·江苏高一课时练习）某校对全校1200名男女学生进行健康调查，采用分层抽样法抽取一个容量为200的样本．已知女生抽了85人，则该校的男生人数为（）A．670B．680C．690D．700【答案】C【分析】先计算男生抽取人数，进一步求出该校男生人数.【详解】⨯=人每层的抽样比为，女生抽了85人，所以男生抽取115人，因此共有男生1156690故选：C.4．（2021·江苏高一课时练习）某高三学生在连续五次月考中的数学成绩(单位：分)为：90,90,93,94,93，则该学生在这五次月考中数学成绩的平均数和方差分别为（）A．92,2.8B．92,2C．93,2D．93,2.8【答案】A【分析】根据5个样本，分别计算平均数和方差.【详解】该学生在这五次月考中数学成绩的平均数为×(90＋90＋93＋94＋93)＝92，方差为s2＝×[(90－92)2＋(90－92)2＋(93－92)2＋(94－92)2＋(93－92)2]＝2.8.故选：A5．（2021·江苏高一课时练习）某市有15个旅游景点，经计算，黄金周期间各个景点的旅游人数平均为20万，标准差为s，后来经核实，发现甲、乙两处景点统计的人数有误，甲景点实际为20万，被误统计为15万，乙景点实际为18万，被误统计成23万；更正后重新计算，得到标准差为s1，则s与s1的大小关系为（）A．s＝s1B．s<s1C．s>s1D．不能确定【答案】C 【分析】首先由统计总数没变，可知两次统计的平均数没有变，再分别列出标准差公式，判断大小关系. 【详解】由已知，两次统计所得的旅游人数总数没有变，即两次统计的各景点旅游人数的平均数是相同的，设为，则s =1s =若比较与的大小，只需比较()()221523x x -+-与()()222018x x -+-的大小即可，而()()2221523754762x x x x -+-=-+，()()2222018724762x x x x -+-=-+，所以()()221523x x -+->()()222018x x -+-，从而.故选：C 【点睛】关键点点睛：本题考查样本平均数和标准差，关键是判断平均数没有变，才能利用标准差公式判断大小. 6．（2021·江苏高一课时练习）已知下表为随机数表的一部分，将其按每5个数字编为一组： 08015 17727 45318 22374 21115 78253 77214 77402 43236 00210 45521 64237 29148 66252 36936 87203 76621 13990 68514 14225 46427 56788 96297 78822已知甲班有60位同学，编号为01～60号，现在利用上面随机数表的某一个数为起点，用简单随机抽样的方法在甲班中抽取4位同学，得到下列四组数据，则抽到的4位同学的编号不可能是（ ） A ．08，01，51，27 B ．27，45，31，23 C ．15，27，18，74 D ．14，22，54，27【答案】C 【分析】根据选项C 中编号74大于甲班同学的总人数60，即可得到答案. 【详解】因为C中编号74大于甲班同学的总人数60，则抽出的4位同学的编号不可能是C选项．故选：C7．（2021·江苏高一课时练习）某厂10名工人在一小时内生产零件的个数分别是15，17，14，10，15，17，17，16，14，12，设该组数据的平均数为a，50百分位数为b，则有（）A．a＝13.7，b＝15.5B．a＝14，b＝15C．a＝12，b＝15.5D．a＝14.7，b＝15【答案】D【分析】可直接求出平均数，然后对这一列数排列，从而可求出50百分位数【详解】把该组数据按从小到大的顺序排列为10，12，14，14，15，15，16，17，17，17，其平均数a＝×(10＋12＋14＋14＋15＋15＋16＋17＋17＋17)＝14.7，因为50×＝5，所以这10名工人一小时内生产零件的50百分位数为b＝＝15.故选：D8．（2021·江苏高一课时练习）年月日，欧盟特别峰会在布鲁塞尔举行，主要讨论年至年长期预算，有个国家代表参加，最终因各方分歧太大，未达成共识．会后某记者从每个国家与会人员中采访了两名成员，调查得到各成员国在预算总量、主要政策领域分配额、欧盟收入来源以及激励机制等多方面都存在分歧．在这个问题中样本容量是（）A．B．C．D．不确定【答案】C【分析】根据样本容量的定义可得结果.【详解】⨯=名参会人员，参会国家共有个，记者采访了每个国家的两名成员，共采访了27254得到名参会人员的意见，在这个问题中，样本容量为.故选：C.9．（2021·江苏高一课时练习）下列调查方式中合适的是（）A．某单位将新购买的准备开业庆典的箱礼炮全部进行质检B．某班有名同学，指定家庭最富有的人参加“学代会”C．某服装厂的一批件出口服装，随机抽件进行抽样调查D．为了调查最近上映影片的一周内的票房情况，特选周六、周日两天进行调查【答案】C【分析】分析题意，要选择合适的调查方法，需要对全面调查的局限性和抽样调查的必要性结合起来.结合抽样调查和普查的特点逐项判断即可得出合适的选项.【详解】对于A选项，对礼炮的质检带有破坏性，虽然总量不大，但不宜采用普查的方式；对于B选项，“家庭最富有”不具备代表性，样本选择错误；对于C选项，件服装容量较大，随机抽件进行抽样调查较为合适；对于D选项，因调查一周的票房，时间不长，周六、周日是双休日，这两天的票房较高，所以，周六、周日这两天的选取也不具备代表性.故选：C.10．（2021·苏州市第三中学校高一月考）袋内红、白、黑球分别为3个、2个、1个，从中任取2个，则互斥而不对立的两个事件是（）A．至少有一个白球；至少有一个红球B．恰有一个白球；一个白球一个黑球C．至少有一个白球；都是白球D．至少有一个白球；红、黑球各1个【答案】D【分析】利用互斥事件、对立事件的定义直接求解．【详解】袋中装有红球3个、白球2个、黑球1个，从中任取2个，在A中，至少有一个白球和至少有一个红球两个事件能同时发生，不是互斥事件，故A不成立；在B中，恰有一个白球和一个白球一个黑球两个事件能同时发生，不是互斥事件，故B不成立；在C中，至少有一个白球和都是白球两个事件能同时发生，不是互斥事件，故C不成立．在D中，至少有一个白球和红、黑球各一个两个事件不能同时发生但能同时不发生，是互斥而不对立的两个事件，故D成立.故选：D.11．（2021·江苏高一课时练习）某中学高一年级有400人，高二年级有320人，高三年级有280人，若每人被抽到的可能性都为0.2，用随机数表法在该中学抽取容量为n 的样本，则n 等于（ ） A ．80 B ．160 C ．200 D ．280【答案】C 【分析】每个个体被抽的可能性等于样本容量除以总体数，由此列出关于的方程并求解出结果. 【详解】 由题意可知：0.2400320280n=++，解得，故选：C.12．（2021·江苏高一课时练习）下列调查方案中，抽样方法合适､样本具有代表性的是（ ） A ．用一本书第1页的字数估计全书的字数B ．为调查某校学生对航天科技知识的了解程度，上学期间，在该校门口，每隔2分钟随机调查一位学生C ．在省内选取一所城市中学，一所农村中学，向每个学生发一张卡片，上面印有一些名人的名字，要求每个学生只能在一个名字下面画“√”，以了解全省中学生最崇拜的人物是谁D ．为了调查我国小学生的健康状况，共抽取了100名小学生进行调查 【答案】B 【分析】根据抽取的样本具有代表性，即抽取的样本是随机的，逐个分析判断 【详解】A 中，样本缺少代表性(第1页的字数一般较少)；B 中，抽样保证了随机性原则，样本具有代表性；C 中，城市中学与农村中学的规模往往不同，学生崇拜的人物也未必在所列的名单之中，这些都会影响数据的代表性；D 中，总体数量很大，而样本容量太少，不足以体现总体特征. 故选：B13．（2021·江苏高一课时练习）“中国天眼”为500米口径球面射电望远镜(FivehundredmetersApertureSphericalTelescope ，简称FAST )，是具有我国自主知识产权、世界最大单口径、最灵敏的射电望远镜.建造“中国天眼”的目的是（ ）A ．通过调查获取数据B ．通过试验获取数据C．通过观察获取数据D．通过查询获得数据【答案】C【分析】根据“中国天眼”的特点求解.【详解】“中国天眼”主要是通过观察获取数据.故选：C【点睛】本题主要考查抽样获取数据的方法，还考查了理解辨析的能力，属于基础题.14．（2020·江苏苏州市·高一期末）围棋盒子中有若干粒黑子和白子，从中任意取出2粒，2粒都是黑子的概率为，都是白子的概率为，则取出的2粒颜色不同的概率为（）A．B．C．D．【答案】D【分析】先计算2粒都是黑子或2粒都是白子的概率，而取出的2粒颜色不同的对立事件是2粒都是黑子或2粒都是白子，利用对立事件的概率公式求得答案.【详解】2粒都是黑子或2粒都是白子的概率为，取出的2粒颜色不同的概率为.故选：D.【点睛】本题考查了互斥事件的概率加法公式，和对立事件的概率计算公式，属于基础题.15．（2020·江苏常州市·高一期末）抛掷一枚硬币，连续出现9次正面向上，则第10次出现正面向上的概率为（）A．B．C．D．【答案】D【分析】由正面向上或正面向下可能性相同可求出所求概率.【详解】第10次抛硬币结果不受前9次结果的影响，由于硬币正面向上或正面向下可能性相同，则概率为，故选:D．【点睛】本题考查了等可能事件的概率，属于基础题.16．（2020·江苏省如东高级中学高一月考）抛掷一个质地均匀的骰子的试验，事件A表示“小于5的偶数点出现”，事件B表示“不小于5的点数出现”，则一次试验中，事件A或事件B至少有一个发生的概率为（）A．B．C．D．【答案】A【分析】由古典概型概率公式分别计算出事件A和事件B发生的概率，又通过列举可得事件A和事件B为互斥事件，进而得出事件A或事件B至少有一个发生的概率即为事件A和事件B的概率之和．【详解】事件A表示“小于5的偶数点出现”，事件B表示“不小于5的点数出现”，∴P(A)，P(B)，又小于5的偶数点有2和4，不小于5的点数有5和6，所以事件A和事件B为互斥事件，则一次试验中，事件A或事件B至少有一个发生的概率为P（A∴B）＝P(A)+P(B)，故选：A．【点睛】本题主要考查古典概型计算公式，以及互斥事件概率加法公式的应用，属于中档题．二、填空题17．（2021·江苏高一课时练习）为了分析高三年级的8个班400名学生第一次高考模拟考试的数学成绩，决定在8个班中每班随机抽取12份试卷进行分析，这个问题中样本容量是________.【答案】96【分析】由于每个班抽12份，所以8个班共抽96份，所以样本容量为96本题中，400名学生第一次高考模拟考试的数学成绩是总体，从8个班中每班抽取的12名学生的数学成绩是样本，400是总体个数，96是样本容量.故答案为：9618．（2021·江苏高一课时练习）为了了解高一年级学生的视力情况，特别是近视率问题，抽测了其中100名同学的视力情况.在这个过程中，100名同学的视力情况(数据)是________.【答案】总体的一个样本【分析】由样本的定义进行判断即可【详解】100名同学的视力情况(数据)是从总体中抽取的一部分个体所组成的集合，所以是总体的一个样本.故答案为：总体的一个样本19．（2020·江苏常州市·高一期末）如图，把一个表面涂有蓝漆的正方体木块锯成64个完全相同的小正方体，若从中任取一块，则这一块至多有一面涂有蓝漆的概率为_______．【答案】【分析】求出至多有一面涂有蓝漆的小木块个数，即可求出概率大小.【详解】解：有两面涂有蓝漆的小木块有24个，有三面涂有蓝漆的小木块有8个，则至多有一面涂有蓝漆的小木块有32个，故．故答案为: .【点睛】本题考查了等可能事件的概率，属于基础题.本题的关键是准确找到至多有一面涂有蓝漆的小木块个数. 20．（2021·江苏高一课时练习）一个容量为20的样本数据，分组与频数如下表：则样本在[10，50)内的频率为__________【答案】0.7用[10，50)的频数除以20求得[10，50)的频率. 【详解】数据落在区间[10，50)的频率为. 故答案为：0.721．（2021·江苏高一课时练习）1,2,3,4,5,6,7,8,9,10的分位数为______，分位数为________，分位数为________． 【答案】 【分析】直接利用分位数的定义求解. 【详解】因为数据个数为，且已经按照从小到大的顺序排列，又1025% 2.5⨯=，10757.5%⨯=，1090%9⨯=，所以该组数据的分位数为，分位数为，分位数为9109109.522++==x x ； 故答案为：；；.22．（2021·江苏高一课时练习）从一群做游戏的小孩中随机抽出人，一人分一个苹果，让他们返回继续做游戏．过了一会儿，再从中任取人，发现其中有个小孩曾分过苹果，估计参加游戏的小孩的人数为________． 【答案】 【分析】根据随机抽样中每个个体被抽到的概率是相等的，列出方程，即可求解. 【详解】设参加游戏的小孩有人，根据随机抽样中每个个体被抽到的概率是相等的，可得，解得， 即参加游戏的小孩的人数为. 故答案为：.23．（2021·江苏高一课时练习）某中学举行电脑知识竞赛，现将高一参赛学生的成绩进行整理后分成五组，绘制成如图所示的频率直方图，已知图中从左到右的第一､二､三､四､五小组的频率分别是0.30，0.40，0.15，0.10，0.05.则估计高一参赛学生的成绩的众数､中位数分别为____________.【答案】65，65【分析】频率分布直方图中最高矩形的中点横坐标即为众数，利用平分矩形面积可得中位数．【详解】由题图可知众数为65，又∴第一个小矩形的面积为0.3，∴设中位数为60+x，则0.3+x×0.04=0.5，得x=5，∴中位数为60+5=65.故答案为：65，6524．（2021·江苏高一课时练习）用简单随机抽样的方法从含n个个体的总体中，逐个抽取一个容量为3的样本，若个体a在第一次被抽到的可能性为，那么n＝________，在整个抽样中，每个个体被抽到的可能性为________．【答案】8【分析】依据简单随机抽样方式，总体中的每个个体被抽到的概率都是一样的，再结合容量是3，可以看成是抽3次，从而可求得概率.【详解】简单随机抽样时第一次抽样可以理解为从n个个体中抽取一个个体，则每个个体被抽到的可能性是，因此n＝8；整个抽样过程中每个个体被抽到的可能性是.故答案为：8，.25．（2021·江苏高一课时练习）将全班同学按学号编号，制作相应的卡片号签，放入同一个箱子里搅拌均匀，从中抽取15个号签，就相应的15名学生对看足球比赛的喜爱程度(很喜爱、喜爱、一般、不喜爱、很不喜爱)进行调查，使用的是________．【答案】抽签法【分析】根据调查过程的特点直接判断所使用的抽样方法.【详解】抽签法分为编号、制签、取样三步，这里用了学生的学号作为编号，后面的抽取过程符合抽签法的实施步骤，所以采用的是抽签法，故答案为：抽签法.26．（2021·江苏高一课时练习）在用抽签法抽样时，有下列五个步骤：（1）从箱中每次抽出1个号签，并记录其编号，连续抽取k次；（2）将总体中的所有个体编号；（3）制作号签；（4）将总体中与抽到的签的编号相一致的个体取出构成样本；（5）将号签放在同一箱中，并搅拌均匀．以上步骤的次序是______________．【答案】（2）（3）（5）（1）（4）【分析】按照抽签法的步骤判断，即编号，做号签，放入容器，进行抽取，构成样本.【详解】利用抽签法第一步要进行编号，然后做号签，放入容器，接下来按照逐个不放回地抽取号签，最后将与编号一致的个体取出构成样本，故这些步骤的先后顺序为（2）（3）（5）（1）（4）.故答案为：（2）（3）（5）（1）（4）.27．（2021·江苏高一课时练习）已知30个数据的60百分位数是8.2，这30个数据从小到大排列后第18个数据是7.8，则第19个数据是________．【答案】8.6【分析】由题意设第19个数据为x，则＝8.2，从而可求得结果【详解】由于60×＝18，设第19个数据为x，则＝8.2，解得x＝8.6，即第19个数据是8.6.故答案为：8.628．（2021·江苏高一课时练习）已知样本数据x1，x2，…，x10，其中x1，x2，x3的平均数为a，x4，x5，x6，…，x10的平均数为b，则样本数据的平均数为________.【答案】【分析】根据题意得出前3个数的和与后7个数的和，从而得出这10个数的和，得到平均数前3个数据的和为3a，后7个数据的和为7b，则这10个数据的和为则样本平均数为10个数据的和除以10，即.故答案为：29．（2021·江苏高一课时练习）某歌手电视大奖赛中，七位评委对某选手打出如下分数：7.9,8.1,8.4,8.5,8.5,8.7,9.9，则其百分位数为________．【答案】【分析】由题意，数据按照从小到大的顺序排列，分析得百分位数即为这组数据的中位数，所以找第个数据.【详解】由题意可知，共有个数据并且已经按照从小到大的顺序排列，其百分位数即为这组数据的中位数，所以其百分位数是第个数据为.故答案为：30．（2021·江苏高一课时练习）下列调查中：①考察一片经济林中树木的平均直径；②疫情开学前，某市对全体高三教师和学生进行血清抗体检测；③省教育机构调查参加高考模拟考试的60万名考生的英语答题情况；④某市委书记用一上午时间随机到全市高中学校检查高三开学情况.适合用抽样调查方法获取数据的是________.(填序号)【答案】①③④【分析】根据抽样调查的特点逐个判断即可【详解】①该问题用普查的方法很难实现，适合用抽样调查的方法获取数据；②检测必须要知道每一位老师和学生是否正常，不能用抽样调查的方法获取数据；③60万名考生的答题情况用普查的方法获取数据不合适，适合用抽样调查的方法获取数据；④一上午时间，市委书记无法检查到全市每一所高中学校，该问题只能用抽样调查的方法获取数据.故答案为：①③④31．（2021·江苏高一课时练习）若样本数据x1，x2，…,x10的标准差为8，则数据2x1-1，2x2-1，…，2x10-1的标准差为______．【答案】16DX=，数据的方差为，则对应的标准差为因为样本数据的标准差为，，即64=，故答案为.1632．（2021·江苏高一课时练习）用随机数表法从名学生（男生人）中抽取人进行评教，某男生被抽取的机率是__________【答案】【详解】试题分析：每个个体被抽到的概率是相等的，均为．考点：等可能性事件的概率计算．。

第 1 页 共 14 页2020-2021学年浙江省杭州市高一下学期期末数学模拟试卷一．选择题（共10小题，满分40分，每小题4分）1．（4分）设集合A ＝{x |x ＞0}，集合B ={x|y =√x −1}，则A ∪B ＝（ ） A ．{x |x ＞0}B ．{x |0＜x ≤1}C ．{x |0≤x ＜1}D ．{x |x ≥1}2．（4分）函数y =√2x −3+1x−3的定义域为（ ） A ．[32，+∞）B ．（﹣∞，3）∪（3，+∞）C ．[32，3）∪（3，+∞）D ．（3，+∞）3．（4分）已知常数a ∈Q ，如图为幂函数y ＝x a 的图象，则a 的值可以为（ ）A ．23B ．32C ．−23D ．−324．（4分）函数f （x ）＝sin （2x +φ）（|φ|＜π2）的图象向左平移π6个单位后关于原点对称，则函数f （x ）在[0，π2]上的最小值为（ ）A ．−√32B ．−12C ．12D ．√325．（4分）已知向量a →，b →，c →满足|a →|=√3，|b →|＝2，a →与b →的夹角为5π6，（c →+a →）•（c →+b →）=−94，则|c →−a →|的最大值为（ ） A ．√132+2 B ．√132+1 C ．√13+1 D ．√13+26．（4分）若sinθ=√5cosθ，则tan2θ＝（ ） A ．−√53B ．√53C ．−√52D ．√527．（4分）设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，已知a 5+a 6＝0，S 12＝24，则nS n 的最小值为（ ） A ．﹣144B ．﹣145C ．﹣146D ．﹣1478．（4分）已知角α的终边经过点p （﹣2，4），则sin α﹣cos α的值等于（ ） A ．3√55B ．−3√35C ．15D ．−2√339．（4分）若关于x 的不等式ax ﹣2a ＞2x ﹣lnx ﹣4有且只有两个整数解，则实数a的取值范。