高三导数压轴题题型归纳

导数压轴题题型归纳

1. 高考命题回顾

例1已知函数f(x)＝ex－ln(x＋m)．（2013全国新课标Ⅱ卷）

(1)设x＝0是f(x)的极值点，求m，并讨论f(x)的单调性；

(2)当m≤2时，证明f(x)>0.

例2已知函数f(x)＝x2＋ax＋b，g(x)＝ex(cx＋d)，若曲线y＝f(x)和曲线y＝g(x)都过点P(0，2)，且在点P处有相同的切线y＝4x+2（2013全国新课标Ⅰ卷）

（Ⅰ）求a，b，c，d的值

（Ⅱ）若x≥－2时, ()()fxkgx，求k的取值范围。

例3已知函数)(xf满足2121)0()1(')(xxfefxfx（2012全国新课标）

(1)求)(xf的解析式及单调区间；

(2)若baxxxf221)(，求ba)1(的最大值。

例4已知函数ln()1axbfxxx，曲线()yfx在点(1,(1))f处的切线方程为230xy。（2011全国新课标）

（Ⅰ）求a、b的值；

（Ⅱ）如果当0x，且1x时，ln()1xkfxxx，求k的取值范围。

例5设函数2()1xfxexax（2010全国新课标）

(1)若0a，求()fx的单调区间；

(2)若当0x时()0fx，求a的取值范围

例6已知函数f(x)＝(x3+3x2+ax+b)e－x. （2009宁夏、海南） (1)若a＝b＝－3,求f(x)的单调区间;

(2)若f(x)在(－∞,α),(2,β)单调增加,在(α,2),(β,+∞)单调减少,证明β－α＞6.

2. 在解题中常用的有关结论※

(1)曲线()yfx在0xx处的切线的斜率等于0()fx，且切线方程为

000()()()yfxxxfx。

(2)若可导函数()yfx在 0xx 处取得极值，则0()0fx。反之，不成立。

(3)对于可导函数()fx，不等式()fx00（）的解集决定函数()fx的递增（减）区间。

(4)函数()fx在区间I上递增（减）的充要条件是：xI()fx0(0)恒成立（()fx 不恒为0）.

(5)函数()fx（非常量函数）在区间I上不单调等价于()fx在区间I上有极值，则可等价转化为方程()0fx在区间I上有实根且为非二重根。（若()fx为二次函数且I=R，则有0）。

(6) ()fx在区间I上无极值等价于()fx在区间在上是单调函数，进而得到()fx0或()fx0在I上恒成立

(7)若xI，()fx0恒成立，则min()fx0; 若xI，()fx0恒成立，则max()fx0

(8)若0xI，使得0()fx0，则max()fx0；若0xI，使得0()fx0，则min()fx0.

(9)设()fx与()gx的定义域的交集为D，若xD ()()fxgx恒成立，则有 min()()0fxgx.

(10)若对11xI、22xI ，12()()fxgx恒成立，则minmax()()fxgx.

若对11xI，22xI，使得12()()fxgx,则minmin()()fxgx.

若对11xI，22xI，使得12()()fxgx，则maxmax()()fxgx.

（11）已知()fx在区间1I上的值域为A,，()gx在区间2I上值域为B，

若对11xI,22xI，使得1()fx=2()gx成立，则AB。

(12)若三次函数f(x)有三个零点，则方程()0fx有两个不等实根12xx、，且极大值大于0，极小值小于0.

(13)证题中常用的不等式:

① ln1(0)xxx ②≤ln+1(1)xxx（）

③ 1xex ④ 1xex

⑤ ln1(1)12xxxx ⑥ 22ln11(0)22xxxx

3. 题型归纳

①导数切线、定义、单调性、极值、最值、的直接应用

例7（构造函数，最值定位）设函数21xfxxekx(其中kR).

(Ⅰ) 当1k时,求函数fx的单调区间;

(Ⅱ) 当1,12k时,求函数fx在0,k上的最大值M. 例8（分类讨论，区间划分）已知函数3211()(0)32fxxaxxba,'()fx为函数()fx的导函数.

(1)设函数f(x)的图象与x轴交点为A,曲线y=f(x)在A点处的切线方程是33yx,求,ab的值;

(2)若函数()'()axgxefx,求函数()gx的单调区间.

例9（切线）设函数axxf2)(.

（1）当1a时，求函数)()(xxfxg在区间]1,0[上的最小值；

（2）当0a时，曲线)(xfy在点)))((,(111axxfxP处的切线为l，l与x轴交于点)0,(2xA求证：axx21.

例10（极值比较）已知函数22()(23)(),xfxxaxaaexR其中aR

⑴当0a时，求曲线()(1,(1))yfxf在点处的切线的斜率；

⑵当23a时，求函数()fx的单调区间与极值.

例11（零点存在性定理应用）已知函数()ln,().xfxxgxe

⑴若函数φ (x) = f (x)－11xx+-，求函数φ (x)的单调区间；

⑵设直线l为函数f (x)的图象上一点A(x0，f (x0))处的切线，证明：在区间(1,+∞)上存在唯一的x0，使得直线l与曲线y=g(x)相切．

例12（最值问题，两边分求）已知函数1()ln1afxxaxx()aR.

⑴当12a≤时，讨论()fx的单调性；

⑵设2()24.gxxbx当14a时，若对任意1(0,2)x，存在21,2x，使12()()fxgx≥，求实数b取值范围. 1 x

x + 例13（二阶导转换）已知函数xxfln)(

⑴若)()()(RaxaxfxF，求)(xF的极大值；

⑵若kxxfxG2)]([)(在定义域内单调递减，求满足此条件的实数k的取值范围.

例14（综合技巧）设函数1()ln().fxxaxaRx

⑴讨论函数()fx的单调性；

⑵若()fx有两个极值点12,xx，记过点11(,()),Axfx22(,())Bxfx的直线斜率为k,问：是否存在a，使得2ka？若存在，求出a的值；若不存在，请说明理由.

②交点与根的分布

例15（切线交点）已知函数323,fxaxbxxabR在点1,1f处的切线方程为20y．

⑴求函数fx的解析式；

⑵若对于区间2,2上任意两个自变量的值12,xx都有12fxfxc，求实数c的最小值；

⑶若过点2,2Mmm可作曲线yfx的三条切线，求实数m的取值范围．

例16（根的个数）已知函数xxf)(，函数xxfxgsin)()(是区间[-1，1]上的减函数.

（I）求的最大值； （II）若]1,1[1)(2xttxg在上恒成立，求t的取值范围；

（Ⅲ）讨论关于x的方程mexxxfx2)(ln2的根的个数．

例17（综合应用）已知函数.23)32ln()(2xxxf

⑴求f(x)在[0,1]上的极值；

⑵若对任意0]3)(ln[|ln|],31,61[xxfxax不等式成立，求实数a的取值范围；

⑶若关于x的方程bxxf2)(在[0，1]上恰有两个不同的实根，求实数b的取值范围.

③不等式证明

例18(变形构造法)已知函数1)(xax，a为正常数．

⑴若)(ln)(xxxf，且a29，求函数)(xf的单调增区间；

⑵在⑴中当0a时，函数)(xfy的图象上任意不同的两点11,yxA，22,yxB，线段AB的中点为),(00yxC，记直线AB的斜率为k，试证明：)(0xfk．

⑶若)(ln)(xxxg，且对任意的2,0,21xx，21xx，都有1)()(1212xxxgxg，求a的取值范围．

例19(高次处理证明不等式、取对数技巧)已知函数)0)(ln()(2aaxxxf.

（1）若2)('xxf对任意的0x恒成立，求实数a的取值范围； （2）当1a时，设函数xxfxg)()(，若1),1,1(,2121xxexx，求证42121)(xxxx

例20（绝对值处理）已知函数cbxaxxxf23)(的图象经过坐标原点，且在1x处取得极大值．

（I）求实数a的取值范围；

（II）若方程9)32()(2axf恰好有两个不同的根，求)(xf的解析式；

（III）对于（II）中的函数)(xf，对任意R、，求证：81|)sin2()sin2(|ff．

例21（等价变形）已知函数xaxxfln1)(()aR．

（Ⅰ）讨论函数)(xf在定义域内的极值点的个数；

（Ⅱ）若函数)(xf在1x处取得极值，对x),0(,2)(bxxf恒成立，

求实数b的取值范围；

（Ⅲ）当20eyx且ex时，试比较xyxyln1ln1与的大小．

例22（前后问联系法证明不等式）已知217()ln,()(0)22fxxgxxmxm，直线l与函数(),()fxgx的图像都相切，且与函数()fx的图像的切点的横坐标为1。

（I）求直线l的方程及m的值；

（II）若()(1)'()()hxfxgx其中g'(x)是g(x)的导函数，求函数()hx的最大值。

（III）当0ba时，求证：()(2).2bafabfaa

例23(整体把握，贯穿全题)已知函数ln()1xfxx．

（1）试判断函数()fx的单调性； （2）设0m，求()fx在[,2]mm上的最大值；

（3）试证明：对任意*nN，不等式11ln()ennnn都成立（其中e是自然对数的底数）．

例24(化简为繁，统一变量)设aR,函数()lnfxxax.

（Ⅰ）若2a，求曲线()yfx在1,2P处的切线方程；

（Ⅱ）若()fx无零点,求实数a的取值范围；

（Ⅲ）若()fx有两个相异零点12,xx,求证: 212xxe.

例25（导数与常见不等式综合）已知函数211()()1(1)tfxtxxx，其中为正常数．

（Ⅰ）求函数()tfx在(0,)上的最大值；

（Ⅱ）设数列{}na满足：153a，132nnaa，

（1）求数列{}na的通项公式na； （2）证明：对任意的0x，231()(*)nnfxnNa；

（Ⅲ）证明：2121111nnaaan．

例26（利用前几问结论证明立体不等式）已知函数f(x)=ex-ax(e为自然对数的底数).

(I )求函数f(x)的单调区间；

(II)如果对任意],2[x，都有不等式f(x)> x + x2成立，求实数a的取值范围；