高三导数压轴题题型归纳

导数压轴题题型

1. 高考命题回顾

例1已知函数f(x)＝ex－ln(x＋m)．（2013全国新课标Ⅱ卷）

(1)设x＝0是f(x)的极值点，求m，并讨论f(x)的单调性；

(2)当m≤2时，证明f(x)>0.

(1)解 f(x)＝ex－ln(x＋m)?f′(x)＝ex－1x＋m?f′(0)＝e0－10＋m＝0?m＝1，

定义域为{x|x>－1}，f′(x)＝ex－1x＋m＝ex?x＋1?－1x＋1，

显然f(x)在(－1,0]上单调递减，在[0，＋∞)上单调递增．

(2)证明 g(x)＝ex－ln(x＋2)，则g′(x)＝ex－1x＋2(x>－2)．

h(x)＝g′(x)＝ex－1x＋2(x>－2)?h′(x)＝ex＋1?x＋2?2>0，

所以h(x)是增函数，h(x)＝0至多只有一个实数根，

又g′(－12)＝1e－132<0，g′(0)＝1－12>0，

所以h(x)＝g′(x)＝0的唯一实根在区间－12，0内，

设g′(x)＝0的根为t，则有g′(t)＝et－1t＋2＝0－12

当x∈(－2，t)时，g′(x)

当x∈(t，＋∞)时，g′(x)>g′(t)＝0，g(x)单调递增；

所以g(x)min＝g(t)＝et－ln(t＋2)＝1t＋2＋t＝?1＋t?2t＋2>0，

当m≤2时，有ln(x＋m)≤ln(x＋2)，

所以f(x)＝ex－ln(x＋m)≥ex－ln(x＋2)＝g(x)≥g(x)min>0.

例2已知函数)(xf满足2121)0()1(')(xxfefxfx（2012全国新课标）

(1)求)(xf的解析式及单调区间；

(2)若baxxxf221)(，求ba)1(的最大值。

（1）1211()(1)(0)()(1)(0)2xxfxfefxxfxfefx

令1x得：(0)1f

得：21()()()12xxfxexxgxfxex

()10()xgxeygx在xR上单调递增

得：()fx的解析式为21()2xfxexx

且单调递增区间为(0,)，单调递减区间为(,0) （2）21()()(1)02xfxxaxbhxeaxb得()(1)xhxea

①当10a时，()0()hxyhx在xR上单调递增

x时，()hx与()0hx矛盾

②当10a时，()0ln(1),()0ln(1)hxxahxxa

得：当ln(1)xa时，min()(1)(1)ln(1)0hxaaab

令22()ln(0)Fxxxxx；则()(12ln)Fxxx

当xe时，max()2eFx

当1,aebe时，(1)ab的最大值为2e

例3已知函数ln()1axbfxxx，曲线()yfx在点(1,(1))f处的切线方程为230xy。（2011全国新课标）

（Ⅰ）求a、b的值；

（Ⅱ）如果当0x，且1x时，ln()1xkfxxx，求k的取值范围。

解（Ⅰ）221(ln)'()(1)xxbxfxxx 由于直线230xy的斜率为12，

且过点(1,1)，故(1)1,1'(1),2ff即1,1,22bab 解得1a，1b。 （Ⅱ）由（Ⅰ）知ln1f()1xxxx，所以

22ln1(1)(1)()()(2ln)11xkkxfxxxxxx。

考虑函数()2lnhxx2(1)(1)kxx(0)x，则22(1)(1)2'()kxxhxx。

(i)设0k，由222(1)(1)'()kxxhxx知，当1x时，'()0hx，h(x)递减。而(1)0h

故当(0,1)x时， ()0hx，可得21()01hxx；

当x（1，+）时，h（x）<0，可得211x h（x）>0

从而当x>0,且x1时，f（x）-（1lnxx+xk）>0，即f（x）>1lnxx+xk.

（ii）设00,故'h (x）>0,而h（1）=0，故当x（1，k11）时，h（x）>0，可得211xh（x）<0,与题设矛盾。

（iii）设k1.此时212xx，2(1)(1)20kxx'h（x）>0,而h（1）=0，故当x （1，+）时，h（x）>0，可得211x h（x）<0,与题设矛盾。

综合得，k的取值范围为（-，0] 例4已知函数f(x)＝(x3+3x2+ax+b)e－x. （2009宁夏、海南）

(1)若a＝b＝－3,求f(x)的单调区间;

(2)若f(x)在(－∞,α),(2,β)单调增加,在(α,2),(β,+∞)单调减少,证明β－α＞6.

解: (1)当a＝b＝－3时,f(x)＝(x3+3x2－3x－3)e－x,故

f′(x)＝－(x3+3x2－3x－3)e－x +(3x2+6x－3)e－x

＝－e－x (x3－9x)＝－x(x－3)(x+3)e－x.

当x＜－3或0＜x＜3时,f′(x)＞0;当－3＜x＜0或x＞3时,f′(x)＜0.

从而f(x)在(－∞,－3),(0,3)单调增加,在(－3,0),(3,+∞)单调减少.

(2)f′(x)＝－(x3+3x2+ax+b)e－x +(3x2+6x+a)e－x＝－e－x［x3+(a－6)x+b－a］.

由条件得f′(2)＝0,即23+2(a－6)+b－a＝0,故b＝4－a.

从而f′(x)＝－e－x［x3+(a－6)x+4－2a］.因为f′(α)＝f′(β)＝0,

所以x3+(a－6)x+4－2a＝(x－2)(x－α)(x－β)＝(x－2)［x2－(α+β)x+αβ］.

将右边展开,与左边比较系数,得α+β＝－2,αβ＝a－2.

故a4124)(2.又(β－2)(α－2)＜0，

即αβ－2(α+β)+4＜0.由此可得a＜－6. 于是β－α＞6.

2. 在解题中常用的有关结论※

(1)曲线()yfx在0xx处的切线的斜率等于0()fx，且切线方程为 000()()()yfxxxfx。

(2)若可导函数()yfx在 0xx 处取得极值，则0()0fx。反之，不成立。

(3)对于可导函数()fx,不等式()fx00（）的解集决定函数()fx的递增（减）区间。

(4)函数()fx在区间I上递增（减）的充要条件是：xI()fx0(0)恒成立（()fx 不恒为0）.

(5)函数()fx（非常量函数）在区间I上不单调等价于()fx在区间I上有极值，则可等价转化为方程()0fx在区间I上有实根且为非二重根。（若()fx为二次函数且I=R，则有0）。

(6) ()fx在区间I上无极值等价于()fx在区间在上是单调函数，进而得到()fx0或()fx0在I上恒成立

(7)若xI，()fx0恒成立，则min()fx0; 若xI，()fx0恒成立，则max()fx0

(8)若0xI，使得0()fx0，则max()fx0；若0xI，使得0()fx0，则min()fx0. (9)设()fx与()gx的定义域的交集为D，若xD ()()fxgx恒成立，则有

min()()0fxgx.

(10)若对11xI、22xI ，12()()fxgx恒成立，则minmax()()fxgx.

若对11xI，22xI，使得12()()fxgx,则minmin()()fxgx.

若对11xI，22xI，使得12()()fxgx，则maxmax()()fxgx.

（11）已知()fx在区间1I上的值域为A,，()gx在区间2I上值域为B，

若对11xI,22xI，使得1()fx=2()gx成立，则AB。

(12)若三次函数f(x)有三个零点，则方程()0fx有两个不等实根12xx、，且极大值大于0，极小值小于0.

(13)证题中常用的不等式:

① ln1(0)xxx ②≤ln+1(1)xxx（）

③ 1xex ④ 1xex

⑤ ln1(1)12xxxx ⑥ 22ln11(0)22xxxx 1 x

x ? 3. 题型归纳

①导数切线、定义、单调性、极值、最值、的直接应用

（构造函数，最值定位）（分类讨论，区间划分）（极值比较）（零点存在性定理应用）（二阶导转换）

例1（切线）设函数axxf2)(.

（1）当1a时，求函数)()(xxfxg在区间]1,0[上的最小值；

（2）当0a时，曲线)(xfy在点)))((,(111axxfxP处的切线为l，l与x轴交于点)0,(2xA求证：axx21.

例2（最值问题，两边分求）已知函数1()ln1afxxaxx()aR.

⑴当12a≤时，讨论()fx的单调性；

⑵设2()24.gxxbx当14a时，若对任意1(0,2)x，存在21,2x，使12()()fxgx≥，求实数b取值范围.

②交点与根的分布

例3（切线交点）已知函数323,fxaxbxxabR在点1,1f处的切线方程为20y．

⑴求函数fx的解析式；

⑵若对于区间2,2上任意两个自变量的值12,xx都有12fxfxc，求实数c的最小值； ⑶若过点2,2Mmm可作曲线yfx的三条切线，求实数m的取值范围．

例4（综合应用）已知函数.23)32ln()(2xxxf

⑴求f(x)在[0,1]上的极值；

⑵若对任意0]3)(ln[|ln|],31,61[xxfxax不等式成立，求实数a的取值范围；

⑶若关于x的方程bxxf2)(在[0，1]上恰有两个不同的实根，求实数b的取值范围.

③不等式证明

例5 (变形构造法)已知函数1)(xax，a为正常数．

⑴若)(ln)(xxxf，且a29，求函数)(xf的单调增区间；

⑵在⑴中当0a时，函数)(xfy的图象上任意不同的两点11,yxA，22,yxB，线段AB的中点为),(00yxC，记直线AB的斜率为k，试证明：)(0xfk．

⑶若)(ln)(xxxg，且对任意的2,0,21xx，21xx，都有1)()(1212xxxgxg，求a的取值范围．

例6 (高次处理证明不等式、取对数技巧)已知函数)0)(ln()(2aaxxxf.

（1）若2)('xxf对任意的0x恒成立，求实数a的取值范围；