五年级奥数几何专项五 五大模型(一)
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一、等积模型
①等底等高的两个三角形面积相等；
②两个三角形高相等，面积比等于它们的底之比；
两个三角形底相等，面积比等于它们的高之比；
③夹在一组平行线之间的等积变形，如右图ACDBCDSS△△；
反之，如果ACDBCDSS△△，则可知直线AB平行于CD．
④等底等高的两个平行四边形面积相等(长方形和正方形可以看作特殊的平行四边形)；
⑤三角形面积等于与它等底等高的平行四边形面积的一半；
⑥两个平行四边形高相等，面积比等于它们的底之比；两个平行四边形底相等，面积比等于它们的高之比．
二、共角定理（鸟头定理）
两个三角形中有一个角相等或互补，这两个三角形叫做共角三角形．
共角三角形的面积比等于对应角(相等角或互补角)两夹边的乘积之比． DCBA知识框架 专项五 五大模型(一) 第 2 页 共 22 页 :():()ABCADESSABACADAE△△
三、蝴蝶定理
任意四边形中的比例关系(“蝴蝶定理”)：
①1243::SSSS或者1324SSSS②1243::AOOCSSSS
蝴蝶定理为我们提供了解决不规则四边形的面积问题的一个途径．通过构造模型，一方面可以使不规则四边形的面积关系与四边形内的三角形相联系；另一方面，也可以得到与面积对应的对角线的比例关系．
梯形中比例关系(“梯形蝴蝶定理”)：
①2213::SSab
②221324::::::SSSSababab；
③S的对应份数为2ab． (1)(2)(3)(4)S4S3S2S1ODCBA 第 3 页 共 22 页
四、相似模型
(一)金字塔模型 (二) 沙漏模型
①ADAEDEAFABACBCAG；
②22:ADEABCSSAFAG△△：．
所谓的相似三角形，就是形状相同，大小不同的三角形(只要其形状不改变，不论大小怎样改变它们都相似)，与相似三角形相关的常用的性质及定理如下：
⑴相似三角形的一切对应线段的长度成比例，并且这个比例等于它们的相似比；
⑵相似三角形的面积比等于它们相似比的平方；
⑶连接三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线．
三角形中位线定理：三角形的中位线长等于它所对应的底边长的一半．
相似三角形模型，给我们提供了三角形之间的边与面积关系相互转化的工具．
在小学奥数里，出现最多的情况是因为两条平行线而出现的相似三角形．
五、共边定理（燕尾定理）
有一条公共边的三角形叫做共边三角形。
共边定理：设直线AB与PQ交于点M，则SPMPABSQMQAB ABCDObaS3S2S1S4GFEABCDABCDEFG 第 4 页 共 22 页
特殊情况：当PQ∥AB时，易知△PAB与△QAB的高相等，从而S△PAB=S△QAB
一、鸟头定理
【例 1】 如图16-4，已知．AE=15AC，CD=14BC，BF=16AB，那么DEFABC 三角形的面积三角形的面积等于多少?
例题精讲 第 5 页 共 22 页
如图，在ABC△中，延长AB至D，使BDAB，延长BC至E，使12CEBC，F是AC的中点，若ABC△的面积是2，则DEF△的面积是多少？
ABCDEF 第 6 页 共 22 页
二、三角形相似模型
【例 2】 如图，三角形PDM的面积是8平方厘米，长方形ABCD的长是6厘米，宽是4厘米，M是BC的中点，则三角形APD的面积是 平方厘米．
【巩固】 如图，三角形ABC的面积为60平方厘米，D、E、F分别为各边的中点，那么阴影部分的面积是 平方厘米． ABCDPM 第 7 页 共 22 页
【例 3】 如图，已知14ABCS△,点,,DEF分别在,,ABBCCA上，且2,5,ADBDAFFC，ABEDBEFSS△四边形则ABES△是多少？ FEDABC 第 8 页 共 22 页
【巩固】 如图，ABCD为正方形，1cmAMNBDEFC且2cmMN，请问四边形PQRS的面积为多少？
FEDCBASRBCDAEQNMFP 第 9 页 共 22 页
三、蝴蝶模型
【例 4】 梯形的下底是上底的1.5倍，三角形OBC的面积是29cm，问三角形AOD的面积是多少？
1. 如图，梯形ABCD中，AOB、COD的面积分别为1.2和2.7，求梯形ABCD的面积．
ABCDOODCBA 第 10 页 共 22 页 【例 5】 如图，长方形中，若三角形1的面积与三角形3的面积比为4比5，四边形2的面积为36，则三角形1的面积为________．
【巩固】 如图，正方形ABCD面积为3平方厘米，M是AD边上的中点．求图中阴影部分的面积．
【例 6】 在下图的正方形ABCD中，E是BC边的中点，AE与BD相交于F点，三角形BEF的面积为1平方厘米，那么正方形ABCD面积是 平方厘米．
321GMDCBAABCDEF 第 11 页 共 22 页 a) 右图中ABCD是梯形，ABED是平行四边形，已知三角形面积如图所示(单位：平方厘米)，阴影部分的面积是 平方厘米．
【例 7】 E是平行四边形ABCD的CD边上的一点，BD、AE相交于点F，已知三角形AFD的面积是6，三角形DEF的面积是4，求四边形BCEF的面积为多少？
【巩固】 如图所示，BD、CF将长方形ABCD分成4块，DEF的面积是5平方厘米，CED的面积是10平方厘米．问：四边形ABEF的面积是多少平方厘米？
1682ABCDE46FEDCBAFABCDE105 第 12 页 共 22 页
【例 8】 如图所示，BD、CF将长方形ABCD分成4块，DEF的面积是4平方厘米，CED的面积是6平方厘米．问：四边形ABEF的面积是多少平方厘米？
b) 如图，长方形ABCD被CE、DF分成四块，已知其中3块的面积分别为2、5、8平方厘米，那么余下的四边形OFBC的面积为___________平方厘米． 64ABCDEF 第 13 页 共 22 页
【例 9】 正方形ABCD的边长为6，E是BC的中点（如图）。四边形OECD的面积为 。
?852OABCDEFOEDCBA 第 14 页 共 22 页 c) 如图，长方形ABCD中，AOB是直角三角形且面积为54，OD的长是16，OB的长是9．那么四边形OECD的面积是 ．
四、燕尾定理
【例 10】 如右图，面积为1的ABC△中，::1:2:1BDDEEC，::1:2:1CFFGGA，::1:2:1AHHIIB，求阴影部分面积．
ABCDEOIHGFEDCBA 第 15 页 共 22 页
【巩固】 如图，ABC的面积为1，点D、E是BC边的三等分点，点F、G是AC边的三等分点，那么四边形JKIH的面积是多少？
KJIHABCDEFG 第 16 页 共 22 页
【随练1】 四个面积为1的正六边形如图摆放，求阴影三角形的面积．
课堂检测 第 17 页 共 22 页
【随练2】 已知图中每个正六边形的面积都是1，则图中虚线围成的五边形ABCDE的面积是 ．
BDCEA 第 18 页 共 22 页
1. 仅用下图这把刻度尺，最少测量
次，就能得出三角形ABC和三角形BCD的面积比。
2. 如图，正方形ABCD中，E、F、G、H分别为各边的中点，J为GD的中点，EJ交CD于I。已知正方形ABCD边长为10cm，则图中阴影部分的面积是__ ___ cm2.
HIJGF EDCBA家庭作业 第 19 页 共 22 页
3. 如图，三角形ABC的面积是1，BDDEEC，CFFGGA，三角形ABC被分成9部分，请写出这9部分的面积各是多少?
GFEDCBA 第 20 页 共 22 页
4. 如图，1ABCS△，5BCBD，4ACEC，DGGSSE，AFFG．求FGSSV．
5. 如图所示，正方形ABCD边长为8厘米，E是AD的中点，F是CE的中点，G是BF的中点，三角形ABG的面积是多少平方厘米？ SGFEDCBA 第 21 页 共 22 页
ABCDEFG教学反馈 第 22 页 共 22 页
