(完整版)经典特殊的平行四边形讲义+家教专用

- 1 -张老师数学一对一学科教师辅导讲义学生姓名： 年 级：九年级复习课 老 师： 张丽丽 上课日期： 2014、10、26上课时间： 16：00-14:00 课 次： 第 1 次特殊的平行四边形（基础+提高）【课前准备】： 课前检查：作业完成情况： 优 （ ） 良 （ ） 中 （ ） 差 （ ） 复习预习情况： 优 （ ） 良 （ ） 中 （ ） 差 （ ）【学习目标】： 知识点、考点：四边形1. 知识结构如下图（1）弄清定义及四边形之间关系图1：四边形之间关系图2：两组对边分别平行 四边形平行四边形 矩形 菱形 正方形 梯形只有一组对边平行一个角是直角一组邻边相等两腰相等有一个角是直角等腰梯形 直角梯形一个角是直角 一组邻边相等 平行四边形矩形 菱形正方 形等腰梯形 直角梯形梯形四边形重点、难点：重点：知识网络化：难点：解题规律化【学习内容】：知识网络详解：矩形菱形正方形的矩形菱形正方形性质边对边平行且相等对边平行，四边相等对边平行，四边相等角四个角都是直角对角相等四个角都是直角对角线互相平分且相等互相垂直平分，且每条对角线平分一组对角互相垂直平分且相等,每条对角线平分一组对角判定·有三个角是直角;·是平行四边形且有一个角是直角;·是平行四边形且两条对角线相等.·四边相等的四边形；·是平行四边形且有一组邻边相等；·是平行四边形且两条对角线互相垂直。

·是矩形，且有一组邻边相等；·是菱形，且有一个角是直角。

对称性既是轴对称图形，又是中心对称图形注：一些定理和推论：三角形中位线定理：三角形的中位线平行于第三边，且等于第三边的一半。

推论：夹在两平行线间的平行线段相等。

推论：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半；推论：如果一个三角形一边上的中线等于这边的一半，那么这个三角形是直角三角形。

重点：常见的一些思想方法：⑴方程思想：运用方程思想将一个几何问题化为一个方程的求解问题。

初中数学九年级上册第三章证明（三） 【知识点精析】 知识点一、平行四边形 （一）平行四边形的性质⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧⎩⎨⎧_____________________对角线对角线：平行四边形的角：平行四边形的对角平行四边形的对边平行四边形的对边边平行四边形的性质：（二）平行四边形的判定方法1、用边判定的四边形是平行四边形两组对边一组对边两组对边⎪⎭⎪⎬⎫________________________ 2、用角判定两组对角_________的四边形是平行四边形 3、用对角线判定对角线___________的四边形是平行四边形．（三） 三角形的中位线1、连结三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线。

2、连结三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半。

知识延伸：我们把依次连接任意一个四边形各边中点得到的四边形叫做中点四边形，此四边形为平行四边形。

①如果原来四边形对角线相等，则此四边形为菱形 ②如果原来四边形对角线垂直，则此四边形为矩形③如果原来四边形对角线垂直且相等，则此四边形为正方形知识点二、矩形 （一）矩形的性质矩形是特殊的平行四边形，因此除具备平行四边形的所有性质外，还具备一般平行四边形不具备的性质：1、 矩形的四个角都是2、矩形的对角线（二）矩形的判定方法1、有一个角是直角的 是矩形 （利用定义判定）2、有三个角是 的四边形是矩形 （利用判定定理）3、对角线相等的 是矩形 （利用判定定理)注意：定义和对角线去判定一个四边形是矩形时，一定要注意前提条件是四边形是平行四边形（三）直角三角形斜边的中线的性质直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半（此性质可以证明线段的倍分关系，也可以用来进行直角三角形的有关计算，是直角三角形中一条重要的数量关系）知识点三、菱形（一）菱形的性质菱形是特殊的平行四边形，除具有平行四边形的所有特征外，还有其特殊的性质：1、 菱形的四条边都2、 菱形的对角线 ，并且每条对角线平分一组对角知识延伸：菱形的面积有两种求法：一是利用平行四边形的面积公式，二是利用菱形的性质可得，菱形的面积等于两条对角线长乘积的一半，即如果菱形的两条对角线长分别为a 、b,则菱形的面积S=21ab（二）菱形的判定方法1、有一组 相等的平行四边形是菱形（利用定义）2、 都相等的四边形是菱形 （利用判定定理）3、对角线 的平行四边形是菱形 （利用判定定理）注意：判定方法中(1)(3) 中必须以四边形是平行四边形为前提知识点四、正方形（一）正方形的性质正方形是特殊的矩形和菱形，因此正方形具有平行四边形、矩形、菱形的一切性质1、角的关系：正方形的四个角2、边的关系：正方形的四条边3、对角线的关系：正方形的两条对角线 ，并且 ，每条对角线（二）正方形的判定方法1、有一组 相等的矩形是正形 （利用定义）2、对角线 的矩形是正方形 （利用判定定理）3、 的菱形是正方形 （利用判定定理）4、对角线 的菱形是正方形 （利用判定定理）【基础训练】1、下列命题中正确的是（）A．两条对角线相等的四边形是平行四边形B．两条对角线相等且互相垂直的四边形是正方形C．两条对角线互相垂直平分的四边形是菱形D．两条对角线平分且相等的四边形是正方形2、正方形具有而菱形不一定具有的性质是（）A．对角线相等B．对角线互相垂直平分C．对角线平分一组对角 D．四条边相等3、菱形具有而平行四边形不具有的性质是( )A .内角和是360°； B. 对角相等；C. 对边平行且相等；D. 对角线互相垂直.4、下列命题中错误的是( )A.平行四边形的对角线互相平分；B.一组对边平行，一组对角相等的四边形是平行四边形；C.等腰梯形的对角线相等；D.两对邻角互补的四边形是平行四边形. 5、下面给出的条件中，能判定一个四边形是平行四边形的是（）。

特殊平行四边形（讲义）➢课前预习➢知识点睛1.菱形的定义：________________________________________．菱形的性质边：________________________________________________；对角线：____________________________________________；面积：______________________________________________．菱形的判定边：________________________________________________；对角线：____________________________________________．2.矩形的定义：________________________________________．矩形的性质角：________________________________________________；对角线：____________________________________________．矩形的判定角：________________________________________________；对角线：____________________________________________．3.正方形的定义：___________________________________________________．正方形的性质：________________________________________________________________________________________．正方形的判定：_________________________________________________________________________________________________________________________________________________________．➢精讲精练1.在菱形ABCD中，O是两条对角线的交点，已知BD=6，AC=8，则菱形ABCD的面积是_________，周长是_________．2.如图，菱形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，OE⊥AB于点E．若∠ADC=130°，则∠AOE的度数为（）A．75°B．65°C．55°D．50°EODC BAFED CBA第2题图第4题图3.若菱形的一个内角是60°，边长是8，则菱形的两条对角线的长分别为_______________．4.如图，在□ABCD中，AE，CF分别是∠BAD和∠BCD的平分线，添加一个条件，仍无法判断四边形AECF为菱形的是（）A．AE=AF B．EF⊥ACC．∠B=60°D．AC是∠EAF的平分线5.如图，在□ABCD中，对角线BD的垂直平分线与边AD，BC分别交于点E，F，连接BE，DF．求证：四边形BEDF是菱形．OFE DCBA6. 已知：矩形ABCD 的对角线AC ，BD 相交于点O ，∠AOB =60°，AB =4，则AC =______．7. 在矩形ABCD 中，若AB =2BC ，E 为CD 上一点，且AE =AB ，则∠BEC =_________．8. 如图，O 是矩形ABCD 的对角线的交点，E ，F ，G ，H 分别是OA ，OB ，OC ，OD 上的点，且AE =BF =CG =DH ． 求证：四边形EFGH 是矩形．O HGF EDC BA9. 如图，在正方形ABCD 的外侧作等边三角形ADE ，则∠AEB =__________．ABECD10. 如图，在正方形ABCD 中，延长AB 至点E ，使BE =AC ，则∠E =___________．ECBA DF EDCB A第10题图 第11题图11. 如图，AC 为正方形ABCD 的对角线，E 为AC 上一点，连接EB ，ED ，延长BE 交AD 于点F ．当∠BED =126°时，∠EFD 的度数为___________．12. 下列说法：①对角线互相垂直的四边形是菱形；②矩形的对角线垂直且互相平分；③对角线相等的四边形是矩形；④对角线相等的菱形是正方形；⑤有一个角是直角的平行四边形是正方形． 其中正确的有（ ） A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．4个【参考答案】➢课前预习1.证明略提示：由平行四边形ABCD得OB=OD，结合AB=AD，可得AC⊥BD.2.证明略提示：由平行四边形ABCD可得OB=OD；OA=OC=12AC，结合∠BAD=90°，得到AC=BD.➢知识点睛1.有一组邻边相等的平行四边形是菱形；菱形的四条边都相等；菱形的对角线互相垂直平分，每一条对角线平分一组对角；菱形的面积等于对角线乘积的一半；四条边都相等的四边形是菱形；对角线互相垂直平分的四边形是菱形2.有一个角是直角的平行四边形是矩形；矩形的四个角都是直角；矩形的对角线相等且互相平分；有三个角是直角的四边形是矩形；对角线相等且互相平分的四边形是矩形3.有一组邻边相等且有一个角是直角的平行四边形是正方形；正方形的四条边都相等，四个角都是直角，对角线相等、垂直且互相平分，每条对角线都平分一组对角；①有一个角是直角的菱形是正方形，②有一组邻边相等的矩形是正方形，③对角线相等、垂直且互相平分的四边形是正方形➢精讲精练1.24；202. B3.8，4. C5.证明略提示：可证△EOD≌△FOB.6.87.75°8.证明略提示：由矩形ABCD得AO=BO=CO=DO，结合已知得EO=FO=GO=HO，所以四边形EFGH是矩形.9.15°10.22.5°11.108°12.A。

平行四边形专题讲义一、学习目标 复习平行四边形、特殊平行四边形性质与判定，能利用它们进行计算或证明. 二、学习重难点 重点：性质与判定的运用；难点：证明过程的书写。

三、本章知识结构图1．平行四边形是特殊的 ；特殊的平行四边形包括 、 、 。

2．梯形 （是否）特殊平行四边形， （是否）特殊四边形。

3．特殊的梯形包括 梯形和 梯形。

4、本章学过的四边形中，属于轴对称图形的有 ；属于中心对称图形的有 。

四、复习过程 （一）知识要点1：平行四边形的性质与判定1.平行四边形的性质：（1）从边看：对边 ，对边 ； （2）从角看：对角 ，邻角 ； （3）从对角线看：对角线互相 ； （4）从对称性看：平行四边形是 图形。

2、平行四边形的判定：（1）判定1：两组对边分别 的四边形是平行四边形。

（定义）（2）判定2：两组对边分别 的四边形是平行四边形。

（3）判定3：一组对边 且 的四边形是平行四边形。

（4）判定4：两组对角分别 的四边形是平行四边形。

（5）判定5：对角线互相 的四边形是平行四边形。

【基础练习】1.已知□ABCD 中，∠B =70°，则∠A =____，∠C =____，∠D =____．2.已知O 是ABCD 的对角线的交点，AC =38 mm ，BD =24 mm,AD =14 mm ，那么△BOC 的周长等于__ __.3.如图1，ABCD 中，对角线AC 和BD 交于点O ，若AC =8，BD =6，则边AB 长的取值范围是（ ）. A.1＜AB ＜7 B.2＜AB ＜14 C.6＜AB ＜8 D.3＜AB ＜44.不能判定四边形ABCD 为平行四边形的题设是（ ） A.AB=CD,AD=BC B.ABCD C.AB=CD,AD ∥BC D.AB ∥CD,AD ∥BC5.在ABCD 中，AE ⊥BC 于E ，AF ⊥CD 于F ，AE=4，AF=6，ABCD 的周长为40，则ABCD 的面积是 （ ） A 、36 B 、48 C 、 40 D 、24【典型例题】例1、若平行四边形ABCD 的周长是20cm,△AOD 的周长比△ABO 的周长大6cm.求AB,AD 的长. F DA OA B CDOA DDC AB E F M NBE F C AD例2、 如图，已知四边形ABCD 是平行四边形，∠BCD 的平分线CF 交边AB 于F ，∠ADC 的平分线DG 交边AB 于G 。

平行四边形的性质与判定（讲义）一、知识点睛1. 平行四边形的定义：________________________________．2. 平行四边形的性质边：______________________________________________； 角：______________________________________________； 对角线：__________________________________________． 3. 平行四边形的判定⎧⎨⎩；．①____________________________________________边②____________________________________________角：______________________________________________． 对角线：__________________________________________． 4. 夹在平行线之间的______________________________相等．二、精讲精练1. 已知□ABCD 的周长是100，且AB :BC =4:1，则AB 的长为___________．2. 在□ABCD 中，已知AB ，BC ，CD 三条边的长度分别为3x +，4x -，16，则这个平行四边形的周长为___________．3. 如图，在□ABCD 中，∠A 的平分线AE 交CD 于点E ，若AB =5，BC =3，则EC 的长为（ ） A ．1B ．1.5C ．2D ．3BCEDAABDEF第3题图 第5题图4. 在□ABCD 中，∠A :∠B :∠C :∠D 的值可以是（ ）A ．1:2:3:4B ．1:2:2:1C ．1:1:2:2D ．2:1:2:15. 如图，在□ABCD 中，已知∠B =110°，延长AD 至点F ，延长CD 至点E ，连接EF ，则∠E +∠F =（ ） A ．110°B ．30°C ．50°D ．70°6. 在□ABCD 中，对角线AC ，BD 相交于点O ，若△ABO 的周长为15，AB =6，则AC +BD =____________．7. 在周长为20cm 的□ABCD 中，AB ≠AD ，AC ，BD 相交于点O ，OE ⊥BD ，交AD 于点E ，连接BE ，则△ABE 的周长为____________．8. 若□ABCD 的周长为32，且5AB =3BC ，则对角线AC 的取值范围是___________________．9. 如图，四边形ABCD 是平行四边形，已知AD =12，AB =13，BD ⊥AD ，求BC ，CD ，OB 的长以及□ABCD 的面积．ABCD O10. 如图，已知四边形ABDE 是平行四边形，延长BD 至点C ，使AC=AB ，连接AD ，CE ．（1）求证：△BAD ≌△ACE ；（2）若∠B =30°，∠ADC =45°，BD =10，求□ABDE 的面积．A BCD E11. 下列说法：①如果一个四边形任意相邻的两个内角都互补，那么这个四边形是平行四边形；②一组对边平行，另一组对边相等的四边形是平行四边形；③如果AC ，BD 是四边形ABCD 的对角线，且AC 平分BD ，那么四边形ABCD 是平行四边形；④一组对边平行，一组对角相等的四边形是平行四边形． 其中正确的有（ ） A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个12. 已知四边形ABCD ，有以下四个条件：①AB ∥CD ；②AB =CD ；③BC ∥AD ；④BC =AD ．从中任选两个，能使四边形ABCD 成为平行四边形的选法共有（ ）种． A ．3B ．4C ．5D ．613. 已知四边形ABCD 是平行四边形，下列选项中，按照所给条件得到的四边形EFGH 不一定是平行四边形的是（ ）H A CDE FGBHA CDEF GBA ．EF ⊥BC ，GH ⊥ADB ．E ，F ，G ，H 分别是□ABCD 各边的中点FH A CDEG BHEF GA C DBC ．AF ，BH ，CH ，DF 分别是D ．EG ，FH 是过□ABCD□ABCD 各内角的角平分线 对角线交点的两条线段14. 如图，在□ABCD 中，E ，F 分别为边AB ，DC 的中点，则图中的平行四边形共有（ ） A ．3个 B ．4个 C ．5个D ．6个ABCD E F15. 如图，AB ∥CD ，AB =CD ，点E ，F 在BC 上，且BE =CF ．试证明：以A ，F ，D ，E 为顶点的四边形是平行四边形．ABCDEF16.上的两17. 如图，在□ABCD 中，点E ，F 分别在CD ，AB 的延长线上，且AE =AD ，CF =CB ．求证：四边形AFCE 是平行四边形．ABCDEFO三、回顾与思考【参考答案】知识点睛1．两组对边分别平行的四边形．2．平行四边形的对边相等；平行四边形的对角相等；平行四边形的对角线互相平分．3．一组对边平行且相等的四边形是平行四边形；两组对边分别相等的四边形是平行四边形．两组对角分别相等的四边形是平行四边形．对角线互相平分的四边形是平行四边形．4．平行线段．精讲精练1．402．503．C4．D5．D6．187．10cm8．416AC<<9．12BC=，13CD=，52OB=，□ABCD的面积为60．10．（1）证明略；（2）□ABDE的面积为1)．11．B12．B13．A14．B15．证明略．16．证明略．17．证明略．（提示：证明△ADE≌△CBF）平行四边形的性质与判定（随堂测试）1. 如图，在□ABCD 中，F 是BC 边的中点，连接DF 并延长，交AB 的延长线于点E ．求证：AB =BE ．FE DCBA【参考答案】1．证明略．（提示：先证明△CDF ≌△BEF ，得到CD =BE ，因为CD =AB ，所以AB =BE ）平行四边形的性质与判定（作业）1. 在□ABCD 中，若∠A :∠B =5:4，则∠C 的度数为（ ）A ．80°B ．120°C ．100°D ．110°2. 若□ABCD 的周长为40，△ABC 的周长为25，则对角线AC 的长为（ ） A ．5 B ．15 C ．6 D ．163. 已知平行四边形的一边长为10，则其两条对角线的长可能是（ ）A ．3，8B ．20，30C ．6，8D ．8，124. 已知四边形ABCD 的对角线相交于点O ，以下条件能判定四边形ABCD 为平行四边形的是（ ） A ．AB ∥CD ，BC =AD B ．AB ∥CD ，AO =CO C ．AB ∥CD ，∠DAC =∠CAB D ．AB =CD ，∠B =∠C5. 如图，在平行四边形ABCD 中，EF ∥AD ，HN ∥AB ，则图中的平行四边形共有（ ） A ．12个B ．9个C ．7个D ．5个 NHFE D C BA 第5题图 第7题图6. 已知平行四边形的周长为56，两邻边长之比为3:1，则这个平行四边形较长的边长为____________．7. 如图，在□ABCD 中，CE ⊥AB 于点E ，CF ⊥AD 于点F ．若∠B =60°，则∠ECF =___________．8. 若□ABCD 的周长为22，AC ，BD 相交于点O ，△AOD 的周长比△AOB 的周长小3，则AD =_________，AB =_________．9. 如图，在□ABCD 中，O 是AC ，BD 的交点，E ，F ，G ，H 分别是AO ，BO ，CO ，DO 的中点，求证：四边形EFGH 是平行四边形．OG HF E DC BA10. 如图，在□ABCD 中，点E ，F ，G ，H 分别在边AB ，BC ，CD ，DA 上，且AE =CG ，BF =DH ，求证：四边形EFGH 是平行四边形．GHFEDC BAF EDC BA【参考答案】1．C 2．A3．B4．B 5．B6．217．60°8．4，79．证明略． 10．证明略．每日一练（八）1. 如图，P 是等边三角形ABC 内一点，PE ∥AB 交BC 于点E ，PF ∥BC 交AC于点F ，PG ∥AC 交AB 于点G ，试判断PE ，PF ，PG 的和与△ABC 的边长a 之间的关系，并说明的理由．GFEPCBA【参考答案】1．PE PF PG a ++=，理由略．（提示：延长EP 交AC 于点H ，可证△PFH 为等边三角形，PE CF=，PF FH=，PG AH =，所以P E P F P G C F F H ++=++==）特殊平行四边形的性质与判定（讲义）一、知识点睛1. 菱形的定义：_____________________________________．菱形的性质边：_____________________________________________； 对角线：_________________________________________； 面积：___________________________________________． 菱形的判定边：_____________________________________________； 对角线：_________________________________________． 2. 矩形的定义：_____________________________________．矩形的性质角：_____________________________________________； 对角线：_________________________________________． 矩形的判定角：_____________________________________________； 对角线：_________________________________________． 3. 正方形的定义边：_____________________________________________； 角：_____________________________________________． 正方形的性质：___________________________________ _________________________________________________． 正方形的判定⎧⎨⎩；．①_______________________________________对角线②_______________________________________ 二、精讲精练1. 在菱形ABCD 中，O 是两条对角线的交点，已知BD =6，AC =8，则菱形ABCD 的面积是_________，周长是_________．2. 如图，P 是菱形ABCD 的对角线上一点，PE ⊥AD 于点E ，PF ⊥AB 于点F ．若PF =3cm ，则PE 的长为___________．PFED CBA3. 如图，菱形ABCD 的对角线AC ，BD 相交于点O ，OE ⊥AB 于点E ．若∠ADC =130°，则∠AOE 的大小为（ ） A ．75°B ．65°C ．55°D ．50°4. 若菱形的一个内角是60°，边长是8，则菱形的两条对角线的长分别为_______________．5. 已知菱形ABCD 的边长为6，∠A =60°，如果P 为菱形ABCD 内一点，且PB =PD=AP 的长为____________．6. 如图，菱形ABCD 的对角线AC ，BD 相交于点O ，且AC =16cm ，BD =12cm ，求AB 以及菱形的高DH 的长．HODCBA7. 如图，在□ABCD 中，AE ，CF 分别是∠BAD 和∠BCD 的平分线，添加一个条件，仍无法判断四边形AECF 为菱形的是（ ） A ．AE =AF B ．EF ⊥ACC ．∠B =60°D ．AC 是∠EAF 的平分线8. E ，F ，连接BE ，DF ．证明：四边形BEDF 是菱形．OFE DCBAE O DC BA9. 矩形和菱形一定都具有的性质是（ ）A ．对角线相等B ．对角线互相垂直C ．对角线互相平分D ．对角线互相平分且相等10. 矩形ABCD 的对角线AC ，BD 相交于点O ，过顶点D 作对角线AC 的平行线交BA 的延长线于点E ，若BO =2，则DE 的长为_____________．11. 如图，在矩形ABCD 中，已知AB =6，BC =8，P 为AD 边上任一点，过点P 作PE ⊥AC 于点E ，PF ⊥BD 于点F ，则PE PF =____________．12. 如图，在□ABCD 中，各内角的平分线分别相交于点E ，F ，G ，H ，求证：四边形EFGH 是矩形．HG FEDCBA13. 如图，O 是矩形ABCD 的对角线的交点，E ，F ，G ，H 分别是OA ，OB ，OC ，OD 上的点，且AE =BF =CG =DH ．求证：四边形EFGH 是矩形．O HGF EDC BAO P F E D C B A14. 下列关于正方形性质的描述：①两组对边平行，四条边相等； ②四个角相等，且都等于90°；③对角线互相垂直、平分且相等，每一条对角线都平分一组对角； ④若正方形对角线的长为2，则它的面积为2． 其中说法正确的有（ ） A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个15. 如图，在正方形ABCD 中，对角线AC ，BD 相交于点O ，则图中的等腰三角形共有（ ） A ．4个B ．6个C ．8个D ．10个ODC BA第15题图 第16题图16. 如图，在正方形ABCD 中，延长AB 至点E ，使BE =AC ，则∠E =___________．17. 如图，AC 为正方形ABCD 的对角线，E 为AC 上一点，连接EB ，ED ．当∠BED =126°时，∠EDA 的度数为（ ） A ．54°B ．27°C ．36°D ．18°18. 下列说法：①对角线互相垂直的四边形是菱形；②矩形的对角线垂直且互相平分；③对角线相等的四边形是矩形；④对角线相等的菱形是正方形；⑤有一个角是直角的平行四边形是正方形；⑥对角相等的菱形是正方形． 其中正确的有（ ） A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个ECBA D EDCB A19. 如图，在正方形ABCD 中，E ，F ，G ，H 分别在它的四条边上，且AE =BF =CG =DH ，则四边形EFGH 是什么特殊四边形？你是如何判断的？HGFE D CBA20. 如图，在矩形ABCD 中，M ，N 分别是边AD ，BC 的中点，E ，F 分别是线段BM ，CM 的中点．（1）求证：△ABM ≌△DCM ；（2）试判断四边形MENF 是什么特殊四边形，并证明你的结论；（3）当AD :AB =________时，四边形MENF 是正方形（只写结论，不需证明）．三、回顾与思考【参考答案】知识点睛1．有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形．菱形的四条边都相等；菱形的对角线互相垂直平分，每一条对角线平分一组对角；菱形的面积等于对角线乘积的一半．四条边都相等的四边形是菱形；对角线互相垂直的平行四边形是菱形．2．有一个角是直角的平行四边形叫做矩形．矩形的四个角都是直角；矩形的对角线相等且互相平分．有三个角是直角的四边形是矩形；对角线相等的平行四边形是矩形．3．有一组邻边相等的矩形叫做正方形；有一个角是直角的菱形叫做正方形．正方形的四个角都是直角，四条边都相等，正方形的两条对角线相等且互相垂直平分，每条对角线平分一组对角．对角线互相垂直平分且相等的四边形是正方形；对角线垂直且相等的平行四边形是正方形．精讲精练1．24，202．3cm3．B4．8，5．6．AB的长为10cm，DH的长为485cm．7．C8．证明略．9．C 10．411．24 512．证明略．（提示：证明三个角是直角）13．证明略．（提示：证明OE OG OF OH===）14．D15．C16．22.5°17．D18．A19．四边形EFGH是正方形，理由略．（提示：证明Rt△AEH≌Rt△BFE≌Rt△CGF≌Rt△DHG）20．（1）证明略；（2）四边形MENF是菱形，证明略；（3）当AD:AB=2:1时，四边形MENF是正方形．特殊平行四边形的性质与判定（随堂测试）2.如图，已知四边形ABCD是平行四边形，下列说法不正确的是（）A．当AC=BD时，四边形ABCD是矩形B．当AB=BC时，四边形ABCD是菱形C．当AC⊥BD时，四边形ABCD是菱形D．当∠DAB=90°时，四边形ABCD是正方形D CBA3.如图，AD是△ABC的角平分线，AD的垂直平分线EF交AB于点E，交AC于点F．（1）求证：四边形AEDF是菱形；（2）当∠BAC=90°时，求证：四边形AEDF是正方形．F EODCBA【参考答案】1．D 2．证明略．特殊平行四边形的性质与判定（作业）1. 已知菱形的周长为40，两对角线之比为3:4，则两对角线的长分别为（ ）A ．12，16B ．6，8C ．24，32D ．48，642. 添加下列条件，不能判定□ABCD 是菱形的是（ ）A ．AB =BCB ．AC ⊥BD C ．BD 平分∠ABCD ．AC =BD3. 下列关于矩形的说法正确的是（ ）A ．对角线相等的四边形是矩形B ．对角线互相平分的四边形是矩形C ．矩形的对角线互相垂直且平分D ．矩形的对角线相等且互相平分 4. 下列命题正确的是（ ）A ．一组邻边相等的平行四边形是正方形B ．一组邻边垂直，一组对边相等的四边形是正方形C ．对角线互相垂直、平分且相等的四边形是正方形D ．四条边都相等的四边形是正方形5. 已知菱形两对角线的长分别为12，16，则该菱形的面积为__________，周长为__________．6. 如图，在菱形ABCD 中，已知∠ABC =60°，E 是AD 的中点，EP ⊥AD ，交BD于点P ．若BD =12cm ，则EP 的长为______．EPDCBAEDCB A第6题图第9题图7.已知矩形ABCD中，AC，BD相交于点O，且∠AOB=60°．若BD=10cm，则AD=__________．8.已知正方形ABCD中，AC，BD相交于点O，OE⊥BC于点E．若OE=2，则正方形ABCD的面积为____________．9.如图，E为正方形ABCD内一点，且△BCE为等边三角形，则∠BAE的度数为_________．10.如图，E是边长为1的正方形ABCD的对角线BD上一点，且BE=BC．P为CE上任一点，PQ⊥BC于点Q，PR⊥BE于点R，则PQ PR=____________．11.如图，两张等宽的纸条交叉重叠在一起，重叠的部分ABCD是菱形吗？为什么？12.QREPDC BA【参考答案】1．A2．D3．D4．C5．96，406．2cm7．cm8．169．75°10．211．重叠的部分ABCD是菱形，理由略．12．证明略．提示：（1）证明△ABD≌△CBD；（2）先证明四边形MPND是矩形，然后再证明PM PN．每日一练（九）1. 如图，在菱形ABCD 中，E ，F 分别是边BC ，CD 上的点，且∠B =∠EAF =60°．求证：△AEF 是等边三角形．FEDCBA2. 如图，在菱形ABCD 中，E ，F 分别是边BC ，CD 上的点，且△AEF 是等边三角形．若△AEF 的边长与菱形ABCD 的边长相等，求∠BAD 的度数．FED CBA【参考答案】1．证明略．（提示：连接AC ，证明△ABE ≌△ACF ，则AE =AF ，进而得证） 2．100°．梯形及多边形（讲义）一、知识点睛1. 梯形的定义：_____________________________________．等腰梯形ACDB 直角梯形DACBCADB2. 等腰梯形的性质边：_____________________________________________；角：_____________________________________________； 对角线：_________________________________________． 3. 梯形的中位线：___________________________________．FEDBA 4. 梯形中位线定理：___________________________________________________________________________________． 5. 四边形中的中点6. 中心对称图形：_____________________________________________________________________________________． 7. 中心对称图形上的______________都被___________平分． 8. n 边形的内角和等于______________；外角和等于______． 9. 平面图形的镶嵌：_________________________________________________ _________________________________________________．二、精讲精练1. 如图，在等腰梯形ABCD 中，AD ∥BC ，对角线AC ，BD 相交于点O ，则下列结论不一定正确的是（ ） A ．AC =BDB ．∠OBC =∠OCB C ．S △AOB =S △DOCD ．∠BCD =∠BDCODC BA第1题图 第4题图2. 在直角梯形ABCD 中，AB ∥DC ，AD ⊥CD 于点D ．若AB =1，AD =2，DC =4，则BC 的长为____________．3. 若等腰梯形的两底之差等于腰长，则腰与下底的夹角为（ ）A ．120°B ．60°C ．45°D ．135°4. 如图，在梯形ABCD 中，AD ∥BC ，∠ABC =30°，∠BCD =60°，若AD =4，AB=BC 的长为____________．5. 如图，在梯形ABCD 中，AD ∥BC ，∠B =50°，∠C =80°．若AD =2，BC =5，则CD 的长为____________．DCBADC BA第5题图 第6题图6. 如图，在梯形ABCD 中，AD ∥BC ，AB =DC ，AC ⊥BD ．若AD =3，BC =7，则梯形ABCD 的面积为____________．7. 如图，在等腰梯形ABCD 中，AD ∥BC ，若AC =BC +AD ，则∠ACB =____________．DCB A60°30°D CB A8. 如图，DE 是△ABC 的中位线，M ，N 分别是BD ，CE 的中点．若MN =6，则BC =____________．N M E D CBAPF E D CBA第8题图 第10题图9. 若梯形中位线的长是梯形高的2倍，且梯形的面积为18cm 2，则这个梯形的高为（ ） A．B ．6cmC．D ．3cm10. 如图，在梯形ABCD 中，∠ABC 和∠DCB 的平分线相交于点P ，且点P 恰好在梯形的中位线EF 上．若EF =3，则梯形ABCD 的周长为（ ） A ．9B ．10.5C ．12D ．1511. 顺次连接四边形各边中点，所得的四边形是_____________；顺次连接对角线__________的四边形的各边中点，所得的四边形是矩形；顺次连接对角线__________的四边形的各边中点，所得的四边形是菱形；顺次连接对角线___________的四边形的各边中点，所得的四边形是正方形．12. 如图，已知四边形ABCD 的两条对角线AC ，BD 互相垂直，四边形A 1B 1C 1D 1是中点四边形．若AC =3，BD =4，则四边形A 1B 1C 1D 1的面积为___________．D 1C 1B 1A 1DCB AHGF E O DC B A第12题图 第13题图 13. 如图，在四边形ABCD 中，点E ，F ，G ，H 分别为AD ，BD ，BC ，CA 的中点．要使四边形EFGH 是菱形，则应满足的条件是（ ） A ．AC ⊥BD B ．AC =BD C ．AB =CD D ．AD =BC14. 下列图形：①等腰梯形；②菱形；③平行四边形；④正方形；⑤直角梯形；⑥矩形．其中既是轴对称图形又是中心对称图形的是_______________．（填写序号）15. 下列说法正确的是（ ）A ．各边相等的多边形是正多边形B ．各角相等的多边形是正多边形C ．正多边形边数增加时，每个内角度数随着增加D ．正五边形既是中心对称图形，又是轴对称图形16. 如图，在一个足够大的操场上的点M 处，小明沿直线向前走10米后，向左转30°，再沿直线向前走10米，又向左转30°，……，如此继续下去．则小明第一次回到出发点M 处时，一共走了_________米．N MFE DBA第16题图 第18题图17. 多边形的内角中，锐角最多有（ ）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个18. 如图，以正六边形ABCDEF 的边AB 为边，在六边形内作正方形ABMN ，连接MC ，则∠BCM 的大小为___________． 19. 边长为2的正六边形的面积为___________．20. 如图，已知六边形ABCDEF 的每个内角都是120°，且AB =1，BC =CD =7，DE =3，则这个六边形的周长为___________．AB C D EF第20题图 第21题图21. 如图是由3个完全相同的正多边形拼成的无缝隙、不重叠的图形的一部分，则这种多边形是_____边形．22. 如果要用正三角形和正方形两种图案进行密铺，那么至少需要（ ）A ．3个正三角形，2个正方形B ．2个正三角形，3个正方形C ．2个正三角形，2个正方形D ．3个正三角形，3个正方形三、回顾与思考【参考答案】知识点睛1．一组对边平行而另一组对边不平行的四边形叫做梯形．2．等腰梯形两腰相等；等腰梯形在同一底上的两角相等；等腰梯形的两条对角线相等．3．连接梯形两腰中点的线段．4．梯形的中位线平行于两底并且等于两底和的一半．6．在平面内，一个图形绕某个点旋转180°，如果旋转前后的图形互相重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点叫做它的对称中心．7．每一对对应点所连成的线段，对称中心．8．(n-2)·180°；360°．9．用形状、大小完全相同的一种或几种平面图形进行拼接，彼此之间不留空隙、不重叠地铺成一片，就是平面图形的镶嵌．精讲精练1．D 23．B4．12 5．3 6．257．60°8．8 9．D10．C11．平行四边形；互相垂直；相等；互相垂直且相等．12．3 13．C 14．②④⑥15．C 16．120 17．C18．75°19．20．3221．正六22．A梯形及多边形（随堂测试）4. 已知等腰梯形的周长为80cm ，中位线长与腰长相等，则该等腰梯形的中位线的长度为____________．5. 顺次连接任意四边形ABCD 各边中点，所得四边形EFGH 是中点四边形．下列四个叙述：①中点四边形EFGH 一定是平行四边形；②当四边形ABCD 是矩形时，中点四边形EFGH 也是矩形； ③当中点四边形EFGH 是菱形时，四边形ABCD 是矩形； ④当四边形ABCD 是正方形时，中点四边形EFGH 也是正方形． 其中正确的是_______________．（填写序号）HFA BCDE G【参考答案】1．20cm 2．①④梯形及多边形（作业）1. 如图，在矩形ABCD 中，E ，F ，G ，H 分别为边AB ，BC ，CD ，DA 的中点．若AB =2，AD =4，则图中阴影部分的面积为（ ）A ．8B ．6C ．4D ．32. 下列图形：①等边三角形；②矩形；③等腰梯形；④直角梯形；⑤角；⑥圆．其中既是轴对称图形，又是中心对称图形的有（ ） A．1个B ．2个C ．3个D ．4个G E3. 下列美丽的图案，是中心对称图形的是（ ）347 88A ．B ．C ．D ．4. 下列正多边形：①正六边形；②正五边形；③正方形；④正三角形．其中能够铺满地面的正多边形有（ ） A ．1种B ．2种C ．3种D ．4种5. 已知等腰梯形的上底为6cm ，下底为8cm ，高为cm ，则其腰长为_____________．6. 若直角梯形的一腰长为18cm ，这条腰和一个底所成的角是30°，则其另一条腰长为____________．7. 如图，梯形ABCD 中，AD ∥BC ，AC ⊥BD ，AC =6cm ，BD =8cm ，则该梯形的面积为_____________．8. 如图，在等腰梯形ABCD 中，AD ∥BC ，AB =CD ，且AC ⊥BD ，AF 是梯形的高．若梯形的面积为49，则高AF 的长为____________．FDBAGFE D BA第8题图 第9题图O D C B A9. 如图，DE 是△ABC 的中位线，FG 是梯形BCED 的中位线，若DE =4cm ，则FG 的长为____________．10. 顺次连接任意一个四边形各边中点所得的四边形叫做中点四边形．如图，四边形EFGH 为中点四边形，当AC =BD 时，四边形EFGH 是__________形；当AC ⊥BD 时，四边形EFGH 是____________形；当四边形EFGH 是正方形时，AC 与BD 满足的关系是_____________________．由此可见，中点四边形的形状与外围四边形的对角线有关．HDG F BE A第10题图 第12题图11. 若一个n 边形的各内角都相等，且内角的度数与跟它相邻的外角的度数之比为3:1，则这个多边形的边数为_______．12. 如图，小陈从点O 出发，沿直线向前走5米后，向右转20°，再沿直线向前走5米，又向右转20°，……，这样一直走下去．则他第一次回到出发点O 处时，一共走了_________米．13.如图，在正六边形ABCDEF 中，已知阴影部分的面积为12边形的边长为____________．F14. 用正六边形的地砖平面镶嵌，则围绕一点拼在一起的正六边形地砖的块数为____________．【参考答案】1．C2．B3．B4．C5．2cm6．9cm7．24cm28．79．6cm10．菱；矩；AC=BD且AC⊥BD．11．812．9013．4cm14．3每日一练（十）1. 如图，分别以Rt △ABC 的直角边AC 及斜边AB 为一边，向外作等边三角形ACD 和等边三角形ABE ．已知∠BAC =30°，EF ⊥AB 于点F ，连接DF ．求证：（1）AC =EF ；（2）四边形ADFE 是平行四边形．EF BCDA2. 如图，在△ABC 中，∠BAC =90°，AD ⊥BC 于点D ，BE 平分∠ABC ，交AD于点M ，交AC 于点E ，AN 平分∠CAD ，交BC 于点N ．求证：四边形AMNE 是菱形．ENM D CBA【参考答案】1．证明略．提示：（1）在等边三角形ABE 中，EF ⊥AB 于点F ，所以F 为AB 中点，∠AEF =30°，易证△ACB ≌△EFA ，则AC =EF ．（2）∠DAF =∠DAC +∠BAC =90°，所以AD ∥EF ． 又AD =AC =EF ，所以四边形ADFE 是平行四边形． 2．证明略．提示：由已知，∠ABE =∠CBE ，∠BAD =∠C ， 因为∠AME =∠ABE +∠BAD ，∠AEM =∠CBE +∠C ， 所以∠AME =∠AEM ．又AN 平分∠CAD ，BE 平分∠ABC ，易证AN ，ME 互相垂直平分，进而得证．四边形证明（讲义）一、知识点睛））二、精讲精练1. 如图，在□ABCD 中，E 是BC 边的中点，连接AE 并延长，交DC 的延长线于点F ．（1）求证：△ABE ≌△FCE ．（2）连接AC ，BF ，若∠AEC =2∠D ，求证：四边形ABFC 为矩形．FEDCBA2. 如图，在直角梯形ABCD 中，AD ∥BC ，∠B =90°．AG ∥CD ，交BC 于点G ，点E ，F分别为A G ，C D的中点，连接DE ，FG ．（1）求证：四边形DEGF 是平行四边形；（2）当点G 是BC 的中点时，求证：四边形DEGF 是菱形．A DFEB GC3. 如图，在□ABCD 中，E ，F 分别为边AB ，CD 的中点，BD 是对角线，过点A 作AG ∥DB 交CB 的延长线于点G ． （1）求证：DE ∥BF ；（2）若四边形DEBF 是菱形，求证：四边形AGBD 是矩形．GFED CBA4. 如图，在△ABC 中，AB =AC ，AD 是△ABC 的角平分线，O 为AB 的中点，连接DO 并延长至点E ，使OE =DO ，连接AE ，BE ． （1）求证：四边形AEBD 是矩形；（2）当△ABC 满足什么条件时，四边形AEBD 是正方形？请说明理由．OED CB A5. 如图，在△ABC 中，∠ACB =90°，BC 的垂直平分线DE 交BC 于点D ，交AB 于点E ，点F 在DE 上，且AF =CE =AE ． （1）求证：四边形ACEF 是平行四边形；（2）当∠B 满足什么条件时，四边形ACEF 是菱形？请说 明理由．FED CBA6. 如图，在△ABC 中，AD 是BC 边上的中线，E 是AD 的中点，过点A 作BC的平行线交BE 的延长线于点F ，连接CF ．若AB ⊥AC ，试判断四边形ADCF 的形状，并证明你的结论．FEDCBA7. 如图，在正方形ABCD 中，点E ，F 分别在BC ，CD 边上，且AE =AF ． （1）求证：BE =DF ；（2）连接AC ，交EF 于点O ，延长OC 至点M ，使OM =OA ，连接EM ，FM ，则四边形AEMF 是什么特殊四边形？请证明你的结论．MOFED C B A8. 如图，在□ABCD 中，AB ⊥AC ，AB =1，BCAC ，BD 相交于点O ，将直线AC 绕点O 顺时针旋转，分别交BC ，AD 于点E ，F ． （1）求证：当旋转角为90°时，四边形ABEF 是平行四边形．（2）在旋转过程中，四边形BEDF 可能是菱形吗?如果不能，请说明理由；如果能，画出相应的图形，并写出此时AC 绕点O 顺时针旋转的度数．F E ODCBAODCBA9. 如图，在△ABC 中，O 是AC 边上的一动点（不与点A ，C 重合），过点O作直线MN ∥BC ，直线MN 与∠BCA 的平分线相交于点E ，与∠DCA （△ABC 的外角）的平分线相交于点F ．（1）当点O 运动到何处时，四边形AECF 是矩形？请证明你的结论． （2）在（1）的条件下，∠ACB 的大小为多少时，四边形AECF 为正方形（不要求说明理由）？ABCD E F NMOABC D三、回顾与思考【参考答案】知识点睛精讲精练1．（1）证明略．（2）证明略．提示：由△ABE≌△FCE得，AB=FC，因为AB∥FC，所以四边形ABFC是平行四边形．又因为∠AEC=2∠D，所以AE=BE，则AF=BC．所以四边形ABFC是矩形．2．（1）证明略．提示：先证四边形AGCD是平行四边形，得到AG=CD，进而可得EG=DF，则四边形DEGF是平行四边形．（2）证明略．提示：连接DG，证明四边形ABGD是矩形，再利用直角三角形斜边中线等于斜边一半，得到DE=EG，从而得证．3．（1）证明略．提示：证明四边形DEBF是平行四边形．（2）证明略．提示：由AD∥BG，AG∥DB得，四边形AGBD是平行四边形，又因为四边形DEBF是菱形，所以DE=BE，从而得到AD⊥BD，所以四边形AGBD是矩形．4．（1）证明略．提示：由OE=DO，AO=BO得，四边形AEBD是平行四边形，又因为AB=AC，AD是△ABC的角平分线，所以AD⊥BC，进而得证．（2）当△ABC是等腰直角三角形，即AB=AC，∠BAC=90°时，四边形AEBD是正方形．5．（1）证明略．提示：先证AC∥EF，∠EAC=∠AEF，又AF=CE=AE，则∠EAF=∠AEC，AF∥CE．（2）当∠B=30°时，四边形ACEF是菱形，理由略．6．四边形ADCF是菱形，证明略．7．（1）证明略．提示：证明△ABE≌△ADF．（2）四边形AEMF是菱形，证明略．8．（1）证明略．提示：当旋转角为90°时，AB∥EF，又AF∥BE，所以四边形ABEF是平行四边形．（2）在旋转过程中，四边形BEDF可能是菱形，此时AC绕点O顺时针旋转的度数为45°，相应的图形略．9．（1）当点O运动到AC中点时，四边形AECF是矩形，证明略．（2）当∠ACB=90°时，四边形AECF为正方形．四边形证明（随堂测试）6. 如图，在□ABCD 中，E ，F 分别为边AB ，CD 的中点，连接DE ，BF ，BD ．（1）求证：△ADE ≌△CBF ．（2）若AD ⊥BD ，则四边形BFDE 是什么特殊四边形？请证明你的结论．FE D CBA【参考答案】1．（1）证明略．（2）四边形BFDE 是菱形，证明略．四边形证明（作业）1. 如图，在△ABC 中，D 是AB 的中点．E 是CD 的中点，过点C 作CF ∥AB ，交AE 的延长线于点F ，连接BF ． （1）求证：DB =CF ；（2）若AC =BC ，试判断四边形CDBF 的形状，并证明你的结论．FEDCBA2. 如图，在矩形ABCD 中，O 是对角线AC ，BD 的交点，过点O 的直线分别交AB ，CD 的延长线于点E ，F ． （1）求证：△BOE ≌△DOF ；（2）当EF 与AC 满足什么关系时，以A ，E ，C ，F 为顶点的四边形是菱形？证明你的结论．FDC OEB A3. 如图，在梯形ABCD 中，AD ∥BC ，点E ，F 在边BC 上，且AB ∥DE ，AF ∥DC ，四边形AEFD 是平行四边形．（1）AD 与BC 有何等量关系？请说明理由．（2）当AB =DC 时，求证：平行四边形AEFD 是矩形．4. 如图，在矩形ABCD 中，M ，N 分别是AD ，BC 的中点，P ，Q 分别是BM ，DN 的中点．（1）求证：△MBA ≌△NDC ；（2）四边形MPNQ 是什么样的特殊四边形？请说明理由．QPN MB CDA5. 如图，在△ABC 中，O 是AC 边上的一动点，过点O 作直线MN ∥BC ，直线MN 与∠ACB 的平分线相交于点E ，与∠DCA （△ABC 的外角）的平分线相交于点F ． （1）求证：OE =OF ；（2）若CE =12，CF =5，求OC 的长；（3）当点O 运动到何处时，四边形AECF 是矩形？请证明你的结论．AB CDE F NMOABCD【参考答案】1．（1）证明略．提示：证明△ADE ≌△FCE ，则DB =DA =CF ． （2）四边形CDBF 是矩形，证明略．提示：先证四边形CDBF 是平行四边形，因为AC =BC ，D 是AB 的中点，所以∠BDC =90°，进而得证． 2．（1）证明略．（2）当EF ⊥AC 时，以A ，E ，C ，F 为顶点的四边形是菱形． 证明略．3．（1）BC =3AD ，理由略． （2）证明略．提示：当AB =DC 时，由等腰三角形三线合一易证∠AEF =90°． 4．（1）证明略．（2）四边形MPNQ 是菱形，理由略． 提示：由△MBA ≌△NDC 得，BM =DN ．连接MN ，则四边形AMNB ，四边形DMNC 均为矩形，可利用直角三角形中斜边中线等于斜边一半进行证明． 5．（1）证明略．提示：由角平分线+平行线，可以得到OE =OC ，OF =OC ．（2）132OC ．（3）当点O 运动到AC 中点时，四边形AECF 是矩形， 证明略．每日一练（十一）1. 如图，在梯形ABCD 中，AD ∥BC ，E 是BC 的中点，AD =5，BC =12，CD =24，∠C =45°，P 是BC 边上一动点，设BP 的长为x ．（1）当x 的值为____________时，以P ，A ，D ，E 为顶点的四边形是直角梯形；（2）当x 的值为____________时，以P ，A ，D ，E 为顶点的四边形是平行四边形；（3）点P 在BC 边上运动的过程中，以P ，A ，D ，E 为顶点的四边形能否成为菱形？请说明理由．EP D C BA EDCBA2. 如图，在△ABC 中，AB =AC ，射线AM ∥BC ．点P 从点A 出发，沿射线AM运动，同时点Q 从点B 出发，沿射线BC 运动，设运动的时间为t （s ）． （1）连接PQ ，AQ ，PC ，当PQ 经过AC 的中点D 时，求证：四边形AQCP 是平行四边形．（2）若BC =6cm ，点P 运动的速度为1cm/s ，点Q 运动的速度为4cm/s ，填空：①当t 的值为_____________时，以A ，Q ，C ，P 为顶点的四边形是平行四边形；②当t 的值为_____________时，以A ，Q ，C ，P 为顶点的四边形是直角梯形．QBC DMPABCMA【参考答案】1．（1）3或8； （2）1或11；（3）能成为菱形，当x 的值为11时，以P ，A ，D ，E 为顶点的四边形是菱形，理由略． 2．（1）证明略．提示：证明△ADP ≌△CDQ ，则AP =CQ ， 又AP ∥CQ ，所以四边形AQCP 是平行四边形．四边形综合应用（讲义）一、知识点睛1. 图形面积的处理方法①公式法 ②割补法 ③转化法平行四边形中有关面积的常用处理手段 ①三个“一半”S 2S 1A BCDPD CBA1212ABCD S S S ==□ 1212ABCD S S S ==□ ②平行转化S 1S 2Q A BCDPD12PBC ABCD S S =△□12PBC QBC S S S S ==△△2. 图形的平移在平面内，将一个图形沿某个方向移动一定的距离，这样的图形运动称为平移．经过平移，对应点所连的线段_________________________；对应线段__________________，对应角_________________；平移会出现__________________． 应用：如图，已知点A ，B ，C ，在平面内确定一点M ，使以A ，B ，C ，M 为顶点的四边形是平行四边形．二、精讲精练1. 如图，在□ABCD 中，过对角线BD 上的一点P ，作EF ∥BC ，HG ∥AB ．若四边形AEPH 和四边形CFPG 的面积分别为S 1，S 2，则S 1，S 2的大小关系为（ ） A ．12S S = B ．12S S > C ．12S S <D ．不能确定A BCDE F G HPS 1S 2第1题图 第2题图2. 如图，①②③④⑤五个平行四边形拼成一个含30°内角的菱形EFGH （不重叠无缝隙）．若①②③④四个平行四边形的面积之和为14cm 2，四边形ABCD 的面积为11cm 2，则①②③④四个平行四边形的周长之和为（ ） A ．48cmB ．36cmC ．24cmD ．18cmABC DEF GH ①②③④⑤31M。

【知识体系】【要点梳理】 要点一、矩形1．定义：有一个角是直角的平行四边形叫做矩形. 2．性质：（1）具有平行四边形的所有性质；（2）四个角都是直角； （3）对角线互相平分且相等；（4）中心对称图形，轴对称图形. 3．面积：４．判定：（1) 有一个角是直角的平行四边形是矩形. （2）对角线相等的平行四边形是矩形. （3）有三个角是直角的四边形是矩形. 要点诠释：由矩形得直角三角形的性质： （1）直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半；（2）直角三角形中，30度角所对应的直角边等于斜边的一半．宽＝长矩形 S类型一、矩形1、已知：如图，D 是△ABC 的边AB 上一点，CN∥AB，DN 交AC 于点M ，MA ＝MC ．①求证：CD ＝AN ；②若∠AMD ＝2∠MCD，求证：四边形ADCN 是矩形．【思路点拨】①根据两直线平行，内错角相等求出∠DAC＝∠NCA，然后利用“角边角”证明△AMD 和△CMN 全等，根据全等三角形对应边相等可得AD ＝CN ，然后判定四边形ADCN 是平行四边形，再根据平行四边形的对边相等即可得证； ②根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和推出∠MCD＝∠MDC，再根据等角对等边可得MD ＝MC ，然后证明AC ＝DN ，再根据对角线相等的平行四边形是矩形即可得证． 【答案与解析】 证明：①∵CN∥AB，∴∠DAC＝∠NCA， 在△A MD 和△CMN 中，∵DAC NCA MA MC AMD CMN ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩， ∴△AMD≌△CMN（ASA ）， ∴AD＝CN ， 又∵AD∥CN，∴四边形ADCN 是平行四边形， ∴CD＝AN ；②∵∠AMD＝2∠MCD ，∠AMD＝∠MCD＋∠MDC， ∴∠MCD＝∠MDC， ∴MD＝MC ，由①知四边形ADCN 是平行四边形， ∴MD＝MN ＝MA ＝MC ， ∴AC＝DN ，∴四边形ADCN 是矩形．【总结升华】要判定一个四边形是矩形，通常先判定它是平行四边形，再根据平行四边形构成矩形的条件，判定有一个角是直角或对角线相等．2、如图所示，在矩形ABCD 中，AB ＝6，BC ＝8．将矩形ABCD 沿CE 折叠后，使点D 恰好落在对角线AC 上的点F 处，求EF 的长.【思路点拨】要求EF 的长，可以考虑把EF 放入Rt △AEF 中，由折叠可知CD ＝CF ，DE ＝EF ，易得AC ＝10，所以AF ＝4，AE ＝8-EF ，然后在Rt △AEF 中利用勾股定理求出EF 的值． 【答案与解析】 解：设EF ＝x ，由折叠可得：DE ＝EF ＝x ，CF ＝CD ＝6， 又∵ 在Rt △ADC 中，． ∴ AF ＝AC －CF ＝4，AE ＝AD －DE ＝8－x ． 在Rt △AEF 中，222AE AF EF =+， 即， 解得：x ＝3 ∴ EF ＝3【总结升华】在矩形折叠问题中往往根据折叠找出相等的量，然后把未知边放在合适的直角三角形中，再利用勾股定理进行求解．举一反三：【变式】把一张矩形纸片（矩形ABCD ）按如图方式折叠，使顶点B 和点D 重合，折痕为EF ．若AB ＝ 3cm ，BC ＝ 5cm ，则重叠部分△DEF 的面积是__________2cm ．226810AC =+=222(8)4x x -=+【答案】5.1.提示：由题意可知BF ＝DF ，设FC ＝x ，DF ＝5－x ，在Rt △DFC 中，，解得x ＝，BF ＝DE ＝3.4，则＝×3.4×3＝5.1.类型二、菱形3、如图,在菱形ABCD 中，∠BAD ＝80°，AB 的垂直平分线交对角线AC 于点F ，E 为垂足，连结DF ，则∠CDF 等于( ).A.80°B.70°C.65°D.60°【答案】D ； 【解析】解：连结BF ，由FE 是AB 的中垂线，知FB ＝FA ，于是∠FBA ＝∠FAB ＝＝40°.∴∠CFB ＝40°＋40°＝80°,由菱形ABCD 知，DC ＝CB ，∠DCF ＝∠BCF ，CF ＝CF ， 于是△DCF ≌△BCF ， 因此∠CFD ＝∠CFB ＝80°,在△CDF 中, ∠CDF ＝180°－40°－80°＝60°.222DC FC DF +=85DEF 1=DE AB 2S ⨯△12【总结升华】运用菱形的性质可以证明线段相等、角相等、线段的平行及垂直等问题，关键是要记住它们的判定和性质.举一反三：【变式】用两张等宽的纸带交叉重叠地放在一起，重合的四边形ABCD是菱形吗？如果是菱形请给出证明，如果不是菱形请说明理由．【答案】四边形ABCD是菱形；证明：由AD∥BC，AB∥CD得四边形ABCD是平行四边形,过A，C两点分别作AE⊥BC于E，CF⊥AB于F．∴∠CFB＝∠AEB＝90°．∵AE＝CF（纸带的宽度相等）∠ABE＝∠CBF，∴Rt△ABE≌Rt△CBF,∴AB＝BC,∴四边形ABCD是菱形.类型三、正方形4、如图，一个含45°的三角板HBE的两条直角边与正方形ABCD的两邻边重合，过E 点作EF⊥AE交∠DCE的角平分线于F点，试探究线段AE与EF的数量关系，并说明理由.【思路点拨】AE＝EF．根据正方形的性质推出AB＝BC，∠BAD＝∠HAD＝∠DCE＝90°，推出∠HAE＝∠CEF，根据△HEB 是以∠B为直角的等腰直角三角形，得到BH＝BE，∠H＝45°，HA＝CE，根据CF平分∠DCE推出∠H＝∠FCE，根据ASA 证△HAE≌△CEF即可得到答案．【答案与解析】探究：AE＝EF证明：∵△BHE为等腰直角三角形,∴∠H＝∠HEB＝45°，BH＝BE.又∵CF平分∠DCE，四边形ABCD为正方形，∴∠FCE＝12∠DCE＝45°，∴∠H＝∠FCE.由正方形ABCD知∠B＝90°，∠HAE＝90°＋∠DAE＝90°＋∠AEB,而AE⊥EF，∴∠FEC＝90°＋∠AEB，∴∠HAE＝∠FEC.由正方形ABCD知AB＝BC，∴BH－AB＝BE－BC，∴HA＝CE,∴△AHE≌△ECF （ASA）,∴AE＝EF.【总结升华】充分利用正方形的性质和题目中的已知条件，通过证明全等三角形来证明线段相等.举一反三：【变式】如图所示，E、F、G、H分别是四边形ABCD各边中点，连接EF、FG、GH、HE，则四边形EFGH为________形．(1)当四边形满足________条件时，四边形EFGH是菱形．(2)当四边形满足________条件时，四边形EFGH是矩形．(3)当四边形满足________条件时，四边形EFGH是正方形．在横线上填上合适的条件，并说明你所填条件的合理性．【答案】四边形EFGH为平行四边形；形.正方形四条边相等四个角是直角相等、垂直、平分，并且每一条对角线平分一组对角①邻边相等的矩形是正方形 ②对角线垂直的矩形是正方形 ③有一个角是直角的菱形是正方形 ④对角线相等的菱形是正方形类型一、矩形的判定1、如图，矩形ABCD 的周长为20cm ，两条对角线相交于O 点，过点O 作AC 的垂线EF ，分别交AD BC ，于E F ，点，连结CE ，则CDE △的周长为（ ） A ．5cm B ．8cmC ．9cmD ．10cm【解析】D 举一反三【变式】如图，已知矩形ABCD 沿对角线BD 折叠，记点C 的对应点为C ′，若∠ADC ′＝20°，则∠BDC 的度数为________．【答案与解析】55°【变式2】矩形的边长为10和15,其中一个内角平分线分长边为两部分,这两部分的长度分别为( ) A. 6和9 B. 5和10 C. 4和11 D. 7和8【解析】【答案】B【变式3】四边形ABCD 的对角线交于点O ，在下列条件中，不能说明它是矩形的是 （ ） A. AB=CD ，AD=BC ，∠BAD =90° B.∠BAD=∠ABC =90°,∠BAD+∠ADC=180° C 、∠BAD=∠BCD,∠ABC+∠ADC=180° D. AO=CO,BO=DO,AC=BD 【答案】C2、在平行四边形ABCD 中，过点D 作AB DE ⊥于点E ，点F 在边CD 上，BE DF =，连接AF ，BF 。

平行四边形1、平行四边形的性质考点一、平行四边形的概念（1）定义:两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形.（2） "表示，平行四边形ABCD ABCD”,读作“平行四边形ABCD”。

平行四边形一定按顺时针或逆时针依次注明各顶点。

（3）平行四边形定义的作用：平行四边形的定义既是判定，又是性质.①由定义知平行四边形两组对边分别平行；②由定义可以得出只要四边形中两组对边分别平行，那么这个四边形就是平行四边形。

（4）平行四边形的基本元素：边、角、对角线。

例1中，EF∥AB，GH∥BC,EF、GH相交于点P，写出图中的平行四边形.A E DG P HB F C考点二、平行四边形的性质（1）边的性质:平行四边形的对边平行且相等。

（2）角的性质:平行四边形的邻角互补，对角相等。

（3）对角线性质:平行四边形的对角线互相平分。

例2中，∠A+∠C=160°，求∠A、∠B、∠C、∠D的度数.A BC D 考点三、平行四边形的对角线的性质（1）平行四边形的对角线互相平分.例3中，对角线AC 、BD 相交于O 点，若AC=14，BD=8，AB=10,则△OAB 的周长为_______。

练习题 一、感受理解1．已知 ABCD 的对角线交点,AC=10cm ，BD=18cm ，AD=•12cm ，•则△BOC•的周长是_______．2的对角线AC,BD 交于点O,△AOB 的面积为2,那么平行四边形ABCD 的面积为_____．3．已知平行四边形的两邻边之比为2:3，周长为20cm ，•则这个平行四边形的两条邻边长分别为___________．4．平行四边形的周长为30，两邻边的差为5，则其较长边是________． 5．平行四边形具有，而一般四边形不具有的性质是（ ） A ．外角和等于360° B ．对角线互相平分 C ．内角和等于360° D ．有两条对角线6.如图，□ABCD 中，EF 过对角线的交点O ，AB =4，AD =3，OF =1。

【最新整理，下载后即可编辑】沃根金榜一对一学科教师辅导讲义学生姓名：年级：老师：上课日期：上课时间：上课次数：______年级第______单元课题______ ——————————————————————————————————[ 课前准备]课前检查：作业完成情况：优（）良（）中（）差（）复习预习情况：优（）良（）中（）差（）——————————————————————————————————[ 学习内容]特殊的平行四边形讲义考试考点综述：特殊平行四边形即矩形、菱形、正方形，它们是初二的必考内容之一，主要出现的题型多样，注重考查学生的基础证明和计算能力，以及灵活运用数学思想方法解决问题的能力。

内容主要包括：矩形、菱形、正方形的性质与判定，以及相关计算，了解平行四边形与矩形、菱形、正方形之间的联系，掌握平行四边形是矩形、菱形、正方形的条件。

知识目标掌握矩形、菱形、正方形等概念，掌握矩形、菱形、正方形的性质和判定，通过定理的证明和应用的教学，使学生逐步学会分别从题设和结论出发，寻找论证思路分析法和综合法。

重难点：1.矩形、菱形性质及判定的应用2. 相关知识的综合应用教学过程知识点归纳一．矩形有一角是直角的平行四边形叫做矩形．【强调】矩形（1）是平行四边形；（2）一一个角是直角．矩形的性质性质1矩形的四个角都是直角；性质2 矩形的对角线相等，具有平行四边形的所以性质。

矩形的判定矩形判定方法1:对角线相等的平行四边形是矩形．注意此方法包括两个条件：（1）是一个平行四边形；（2）对角线相等矩形判定方法2:四个角都是直角的四边形是矩形．矩形判断方法3：有一个角是直角的平行四边形是矩形。

例1：若矩形的对角线长为8cm，两条对角线的一个交角为600，则该矩形的面积为例2：菱形具有而矩形不具有的性质是（）A．对角线互相平分； B.四条边都相等； C.对角相等； D.邻角互补例3：已知：如图，□ABCD各角的平分线分别相交于点E，F，G，•H，求证：•四边形EFGH是矩形．二．菱形有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形．【强调】菱形（1）是平行四边形；（2）一组邻边相等．菱形的性质性质1菱形的四条边都相等；性质2 菱形的对角线互相平分，并且每条对角线平分一组对角；菱形的判定菱形判定方法1:对角线互相垂直的平行四边形是菱形．注意此方法包括两个条件：（1）是一个平行四边形；（2）两条对角线互相垂直．菱形判定方法2:四边都相等的四边形是菱形．例1已知：如图，四边形ABCD是菱形，F是AB上一点，DF交AC于E．求证：∠AFD=∠CBE．例2已知：如图ABCD的对角线AC的垂直平分线与边AD、BC分别交于E、F．求证：四边形AFCE 是菱形．例3、如图，在中，O 是对角线AC 的中点，过点O 作AC 的垂线与边AD 、BC 分别交于E 、F ，求证：四边形AFCE 是菱形.例4、已知如图，菱形ABCD 中，E 是BC 上一点，AE 、BD 交于M ，若AB=AE,∠EAD=2∠BAE 。

特殊平行四边形数学学科教师辅导讲义年级：辅导科目：数学课时数：3课题特殊平行四边形教学目的教学内容一、【中考要求】掌握矩形、菱形、正方形的概念和性质，了解平行四边形、矩形、菱形、正方形、梯形之间的关系，掌握矩形、菱形、正方形的性质，探索并掌握四边形是矩形、菱形、正方形的条件。

二、【三年中考】1．(2008·台州)如图，在菱形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，E为AB的中点，且OE＝a，则菱形ABCD的周长为()A．16a B．12a C．8a D．4a解析：在菱形ABCD中，AC⊥BD，又OE平分AB，∴AB＝2OE＝2a，∴菱形ABCD 的周长为8a. 答案：C2．(2009·杭州)如图，在菱形ABCD中，∠A＝110°，E，F分别是边AB和BC的中点，EP⊥CD于点P，则∠FPC＝()A．35°B．45°C．50°D．55°解析：过F作FN∥AB，交PE于点N，则FN⊥EP且FN平分EP，∴FE＝FP，∴∠FEP ＝∠FPE，∴∠FPC＝∠FEB＝55°. 答案：D3．(2010·舟山)如图，边长为(m＋3)的正方形纸片剪出一个边长为m的正方形之后，剩余部分又剪拼成一个矩形(不重叠无缝隙)，若拼成的矩形一边长为3，则另一边长是()A．2m＋3 B．2m＋6 C．m＋3 D．m＋6解析：设另一边长为a，由面积法可得：(m＋3)2＝m2＋3·a，∴a＝2m＋3. 答案：A 4．(2008·温州)如图，菱形ABCD中，∠A＝60°，对角线BD＝8，则菱形ABCD的周长等于________．解析：菱形ABCD中，AB＝AD，又∠A＝60°，∴△ABD是等边三角形，∴AB＝BD ＝8，∴菱形ABCD的周长是32. 答案：325．(2010·丽水)如图，正方形ABCD中，E与F分别是AD，BC上一点．在①AE＝CF，②BE∥DF，③∠1＝∠2中，请选择其中一个条件，证明BE＝DF.(1)你选择的条件是________；(只需填写序号)(2)证明．解：(解法一)(1)选__①__；(2)证明：∵ABCD是正方形，∴AB＝CD，∠A＝∠C＝Rt∠.又∵AE＝CF，∴△AEB≌△CFD. ∴BE＝DF.(解法二)(1)选__②__；(2)证明：∵ABCD是正方形，∴AD∥BC.又∵BE∥DF，∴四边形EBFD是平行四边形．∴BE＝DF.(解法三)(1)选__③__；(2)证明：∵ABCD是平行四边形，∴AB＝CD，∠A＝∠C＝Rt∠.又∵∠1＝∠2，∴△AEB≌△CFD. ∴BE＝DF.6．(2008·湖州)如图，在△ABC中，D是BC边的中点，F，E分别是AD及其延长线上的点，CF∥BE.(1)求证：△BDE≌△CDF.(2)请连结BF，CE，试判断四边形BECF是何种特殊四边形，并说明理由．证明：(1)∵CF∥BE，∴∠EBD＝∠FCD.又∵∠BDE＝∠CDF，BD＝CD，∴△BDE≌△CDF.(2)四边形BECF是平行四边形．由△BDE≌△CDF，得ED＝FD.∵BD＝CD，∴四边形BECF是平行四边形三、【考点知识梳理】（一）矩形的定义、性质和判定1．定义：有一个角是直角的平行四边形是矩形．2．性质：(1)矩形的四个角都是直角；(2)矩形的对角线互相平分且相等；(3)矩形既是轴对称图形，又是中心对称图形，它有两个对称轴；它的对称中心是对角线的交点．3．判定：(1)有一个角是直角的平行四边形是矩形；(2)有三个角是直角的四边形是矩形；(3)对角线相等的平行四边形是矩形．（二）菱形的定义、性质和判定1．定义：有一组邻边相等的平行四边形是菱形．2．性质：(1)菱形的四条边都相等，对角线互相互相垂直，并且每条对角线平分一组对角；(2)菱形既是轴对称图形又是中心对称图形．3．判定：(1)有一组邻边相等的平行四边形是菱形；(2)四条边都相等的四边形是菱形；(3)对角线互相垂直的平行四边形是菱形．（三）正方形的定义、性质和判定1．定义：有一个角是直角的菱形是正方形或有一组邻边相等的矩形是正方形．2．性质：(1)正方形四个角都是直角，四条边都相等；(2)正方形两条对角线相等，并且互相垂直平分，每条对角线平分一组对角．3．判定：(1)有一个角是直角的菱形是正方形；(2)有一组邻边相等的矩形是正方形．温馨提示：1.矩形、菱形和正方形具有平行四边形的所有性质；2.平行四边形及特殊平行四边形的有关知识点较多，要想做到准确而不混淆就要从“边、角、对角线、对称性”这四个方面来研究它们的性质和判定，多用数形结合法，掌握它们的区别及联系，把握它们的特征是关键。

学科教师指导讲义教课内容一、知识回首矩形、菱形、正方形1、菱形的性质：①菱形的四条边都相等．②菱形的对角线相互垂直，而且每条对角线均分一组对角．③拥有平行四边形全部性质．2．菱形的判断：①对角线相互垂直的平行四边形是菱形．②一组邻边相等的平行四边形是菱形．③四条边都相等的四边形是菱形．3．矩形的性质：①矩形的四个角都是直角．②矩形的对角线相等．③矩形拥有平行四边形的全部性质．4．矩形的判断：①有一个角是直角的平行四边形是矩形．②对角线相等的平行四边形是矩形．③有三个角是直角的四边形是矩形．5．正方形的性质：①正方形的四个角都是直角，四条边都相等．②正方形的两条对角线相等，而且相互垂直均分，每条对角线均分一组对角．6．正方形的判断：①有一个角是直角的柳是正方形．②有一组邻边相等的矩形是正方形．③对角线相等的菱形是正方形．④对角线相互垂直的矩形是正方形．课前练习 : 1 ．已知平行四边形ABCD的周长是28cm， CD-AD=2cm，那么 AB=______cm， BC=______cm．2．菱形的两条对角线分别是6cm， 8cm，则菱形的边长为_____，一组对边的距离为_____3．在菱形ABCD中，∠ ADC=120°，则 BD： AC等于 ________4．已知正方形的边长为a，则正方形内随意一点到四边的距离之和为_____．5．矩形 ABCD 被两条对角线分红的四个小三角形的周长之和是86cm，对角线长是13cm，则矩形ABCD 的周长是6．如图，将一张等腰直角三角形纸片沿中位线剪开，能够拼出不一样形状的四边形，请写出此中两个不一样的四边形的名称：．7．如图，有一张面积为 1 的正方形纸片ABCD，M，N分别是AD，BC边的中点，ＭＡＤ将 C 点折叠至 MN 上，落在 P 点的地点，折痕为BQ，连接PQ，则PQＱ8．如图，梯形ABCD中，AD∥BC，AB CD AD1，B60o，直线 MN 为梯形 ABCD 的对称轴， P 为 MN 上一点，那么PC PD 的最小值为ＢＮＣ．9．如图， OBCD是边长为 1 的正方形，∠ BOx=60°，则点 C 的坐标为 ________10．如图，把正方形 ABCD 沿着对角线 AC 的方向挪动到正方形 A B C D 的地点，它们的重叠部分的面积是正方形ABCD 面积的一半，若AC ＝2，则正方形挪动的距离AA 是A MDD DA A C CB CNB B第 3题图二、例题解说D CO矩形A B例 1．如图，已知矩形ABCD 的纸片沿对角线BD 折叠，使 C 落在 C’处， BC’边交 AD 于 E， AD=4 ， CD=2（ 1）求 AE 的长（ 2）△ BED 的面积C’A E DB C 稳固练习：1．如图，矩形ABCD中， AD=9， AB=3，将其折叠，使其点 D 与点 B 重合，折痕为EF求 DE和 EF的长。

学科教师辅导讲义D 'C 'B 'A '第3题图DCBA二、例题讲解 矩形例1．如图，已知矩形ABCD 的纸片沿对角线BD 折叠，使C 落在C ’处，BC ’边交AD 于E ，AD=4，CD=2 （1）求AE 的长 （2）△BED 的面积巩固练习：1．如图，矩形ABCD 中，AD=9，AB=3，将其折叠，使其点D 与点B 重合，折痕为EF 求DE 和EF 的长。

2．如图，已知将矩形ABCD 沿EF 所在直线翻折，使点A 与C 重合，AB=6，AD=8 求折痕EF 的长例2：如图，矩形ABCD 中，E 是BC 上一点，且AE=AD ，又DF ⊥AE ，F 为垂足。

求证：EC=EF A DFC ’DAB CEFDABCEC ’EFAB CDDA OCBCBADMN四、课后练习一.矩形1.矩形的性质：（1）矩形的四个角都是_____角.(2)矩形的对角线互相平分并且_______.2.如图1:Θ四边形ABCD 是矩形.(已知)∴BO=OD=21BD,CO=OA=21CA,BD=CA.( ) ∴BO=_____=_____=______,图中共有______个等腰三角形, _____个直角三角形,图中与∠1相等的角有_______个(∠1除外). 3.如图1,矩形ABCD 中,∠AOD=1200,AB=3cm,则∠2=____度, AC=______cm,BC=______cm,S 矩形ABCD =_____cm 2.4.如图2,矩形ABCD 中,∠AOB=600,AC==10cm,则∠2=____度, AB=______cm,BC=______cm,S 矩形ABCD =_____cm 2.5.如图3,在矩形ABCD 中,DE ⊥AC 于E,∠ADE ∶∠EDC=2∶1, 则∠ADE=________度,∠1=_____度,∠2=______度,∠3=_____度.6.证明一个四边形是矩形的方法有:(1)先证明它有____个角是直角. (2)先证明它是平行四边形,再证明它有_____个角是直角. (3)先证明它是平行四边形,再证明对角线________. 7．在直角三角形中,斜边上的中线等于__________的一半. 8.如图4,∠ACB=900,D 是斜边AB 的中点,CD=5cm,BC=8cm,则S ΔABC =____.9.如图5,在四边形ABCD 中,∠ABC=ADC=900,AE=EC,BF=FD. 求证:EF ⊥BD.10.如图6,矩形ABCD 的对角线相交于O,E 、F 、G 、H 分别是OA 、OB 、OC 、OD 的中点. 求证:四边形EFGH 是矩形.11.已知:如图7,在矩形ABCD 中,PA=PD. 求证:PB=PC.12.如图8,在矩形ABCD 中,DE 平分∠ADC,∠2=150.(1)求证:ΔDOC 是等边三角形.(2)求∠5的度数.二、菱形1.菱形的性质:(1)菱形的四条边_______.(2)菱形的两条对角线互相_________平分,并且每条对角线平分一组______角.(3)菱形的面积等于两对角线的积的___.2.菱形的两条对角线将菱形分成___个_________直角三角形.3.如图9,菱形ABCD中,对角线AC=10cm,BD=24cm,则菱形ABCD的面积为___________cm2,AO=______cm,BO=_______cm,AB=________cm,菱形ABCD的周长为________cm.4.如图10,菱形ABCD中,∠ABC∶∠BAD=1∶2,AB=2,则∠ABC=________度,∠1=_______度,AO=________,BO=_______,菱形ABCD的面积为__________.5.如图11,菱形ABCD的面积为50cm2,∠B=300,AE是BC边的高,则BC=__________cm.[提示:S菱形=底×高.设AE=x,则BA=?x,BC=?x]6.已知菱形的周长为52cm,一条对角线是24cm,则另一对角线为_____cm,它的面积为_______cm2.7.证明一个四边形是菱形的方法有:(1)先证明它的四条边______.(2)先证明它是平行四边形,再证明一组邻边________.(3)先证明它是平行四边形,再证明对角线______________.8.如图12,在四边形ABCD中,AD∥BC,EF垂直平分BD.求证:四边形BEDF是菱形.9.如图13,矩形ABCD的对角线相交于O,DE∥CO,CE∥DO. 求证:DC⊥EO.10.如图14,ΔABC中,∠ACB=900,AE平分∠BAC,CD⊥AB,EF⊥⊥AB.求证:(1)ΔAGC≌ΔAGF. (2)四边形CEFG是菱形.11.求证:一条对角线平分一个角的平行四边形是菱形.三、正方形1.正方形的性质:(1)正方形的四个角都是________,四条边________.(2)正方形的两条对角线_______,并且互相垂直_________,每条对角线平分一组______角.2.正方形的对角线与它的边所成的角是______度.3.正方形形的两条对角线将正方形分成___个全等的___________________三角形.4.正方形的面积等于两条对角线的积的_________;正方形的面积等于边长的__________.5.已知正方形的一条对角线的长为4cm,则它的面积为________cm2,边长为_______cm.6.如图16,正方形ABCD中,AC=CE,则∠1=________度,∠E=______度,∠2=________度.7.对角线相等的______形是正方形;对角线互相垂直的_____形是正方形;对角线互相垂直_______并且_______的四边形是正方形.8.如图17,正方形ABCD中,CE=CF.求证:DG⊥BF.9.如图18,在正方形ABCD作等边三角形AEF,使E是BC上,F在CD上.(1)求证:CE=CF.(2)求∠BAE的度数.10.如图19,F是正方形ABCD的边CD的中点,AE=DC+CE.求证:AF平分∠DAE.。

第一讲平行四边形的性质一、【基础知识精讲】1.平行四边形的定义：两组对边分别平行的四边形是平行四边形．用符号“”表示．2．平行四边形的性质：(1) 平行四边形的对边平行且相等．(2) 平行四边形的对角相等，邻角互补。

(3) 平行四边形的对角线互相平分．3．两条平行线间的距离：(1) 定义：两条平行线中，一条直线上的任意一点到另一条直线的距离，叫做这两条平行线间的距离．(2) 两平行线间的距离处处相等．(3)平行线间的平行线段相等．4．平行四边形的面积：(1) 如图12-1-2①，．((（2）同底(等底)同高(等高)的平行四边形面积相等．如图12-1-2②，有公共边BC，则．二、【例题精讲】例1（1）已知中，∠A比∠B小20°，那么∠C的度数是_______．（2）在中，周长为28，两邻边之比为3︰4，则各边长为_______ _．（3）一个平行四边形的一边长是8，一条对角线长是6，则它的另一条对角线x的取值范围为__________ ．（4）平行四边形邻边长是4 cm和8cm，较短边上的高是5 cm，则另一边上的高是____________．例2．已知：在□ABCD中，过AC与BD的交点O作直线，与BA、DC的两条延长线交于M、N两点，求证：OM＝ON．例3．如图，在□ABCD中，E、F分别是BC、AD上的点，且AE∥CF，AE与CF相等吗？说明理由.三、【同步练习】A组1. 已知□ABCD中，∠B=70°，则∠A=_____，∠C=_____，∠D=______．2．在ABCD中：①∠A: ∠B=5:4，则∠A=_______；②∠A+∠C=200°，则∠A=______，∠B=______；3．在□ABCD中，AB=3cm，BC=4cm，则□ABCD的周长等于_______．4. 若平行四边形周长为54，两邻边之比为4:5，则这两边长度分别______________；5. 已知ABCD对角线交点为O，AC=24mm,BD=26mm, 若AD=22mm，则△OBC的周长为_________；6．如图，在□ABCD中，AE交BD于E，CF交BD于F，AE∥CF．求证：AE＝CF．7. 如图，已知ABCD的周长为60cm，对角线交于O，△BOC的周长比△AOB的周长少8cm，求AB，BC的长．B组1.如图，P是ABCD内的一点，且S⊿PAB=5，S⊿PAD=2，则S⊿PAC等于（）A、2B、3C、3.5D、42．如图，在ABCD中，AE⊥BC于E，AF⊥CD于F，AE=2cm，AF=3cm，ABCD 的周长为20cm，求S ABCD.第二讲平行四边形的判定一、【基础知识精讲】1.平行四边形的判定方法：①两组对边分别平行FEDCB APD CBA② 两组对边分别相等③ 一组对边平行且相等④ 两组对角分别相等 ⑤ 对角线互相平分2.平行四边形性质的运用： ① 直接运用平行四边形性质解决某些问题，如求角的度数，线段的长度,证明角相等或互补,证明线段相等或倍分等． ② 判别一个四边形为平行四边形，从而得到两直线平行． ③ 先判别—个四边形是平行四边形，然后再用平行四边形的特征去解决某些问题．二、【例题精讲】例1．（1）根据下列条件，不能判别四边形是平行四边形的是( ) A ．一组对边平行且相等的四边形 B ．两组对角分别相等的四边形 C ．对角线相等的四边形 D ．对角线互相平分的四边形（2）下列条件中不能确定四边形ABCD 是平行四边形的是（ ） A ．AB=CD ，AD ∥BCB ．AB=CD ，AB ∥CDC ．AB ∥CD ，AD ∥BCD ．AB=CD ，AD=BC例2．已知：如图，□ABCD 中，点E 、F 在对角线上，且AE ＝CF ．求证：四边形BEDF 是平行四边形．例3．如图，□ABCD 的对角线AC 、BD 交于O ，EF 过点O 交AD 于E ，交BC 于F ，G 是OA 的中点，H 是OC 的中点，求证：四边形EGFH 是平行四边形．的四边形是平行四边形三、【同步练习】 A 组1．如图，四边形ABCD ，AC 、BD 相交于点O ， 若OA=OC,OB=OD,则四边形ABCD 是______, 根据是_____________________ .2．在图中，AC=BD ， AB=CD=EF ，CE=DF ，图中有哪些互相平行的线段？3．一个四边形的三个内角的度数依次如下选项，其中是平行四边形的是（ ） A ．88°，108°，88° B ．88°，104°，108° C ．88°，92°，92° D ．88°，92°，88°4．如图，四边形ABCD 中，AD=BC ，DE ⊥AC ，BF ⊥AC ，垂足分别是E 、F ，AF=CE ．求证：四边形ABCD 是平行四边形．5、已知如图：在ABCD 中，延长AB 到E ，延长CD 到F ，使BE=DF ， 则线段AC 与EF 是否互相平分？说明理由.OCDBA6．如图，在ABCD 中，点E 、F 在对角线AC 上，并且OE=OF ．（1）OA 与OC ，OB 与OD 相等吗？ （2）四边形BFDE 是平行四边形吗？（3）若点E ，F 在OA ，OC 的中点上，你能解决上述问题吗？B 组1、在ABCD 中,∠ABC=750，AF ⊥BC 于F ，AF 交BD 于E ，若DE=2AB ，则∠AED 等于（ ） A 、600 B 、650 C 、700 D 、7502．如图，在ABCD 的各边AB 、BC 、CD 、DA 上，分别取点K 、L 、M 、N ，使AK=CM 、BL=DN ，则四边形KLMN 为平行四边形第三讲 菱形一、【基础知识精讲】FED CBA1．菱形的的定义：有一组邻边相等的平行四边形叫菱形．2．菱形的性质（1）菱形具有平行四边形的一切性质．（2）菱形的四条边相等．（3）菱形的两条对角线互相垂直平分；并且每一条对角线平分一组对角．3．菱形的识别方法:（1）有一组邻边相等的平行四边形是菱形．（2）对角线互相垂直的平行四边形为菱形．（3）四条边相等的四边形是菱形．4．菱形的面积等于两对角线乘积的一半．二、【例题精讲】例1. （1）菱形的周长是8 cm，则菱形的一边长是______．（2）菱形的一个内角为1200，平分这个内角的对角线长为11厘米，菱形的周长为____．（3）菱形的面积为24 cm2，一对角线长为6 cm，则另一对角线长为______，边长为____．（4）菱形具有而一般平行四边形不具有的性质是（）A．对角相等B．对边相等C．对角线互相垂直D．对角线相等（5）能够判别一个四边形是菱形的条件是（）A．对角线相等且互相平分B．对角线互相垂直且相等C．对角线互相平分D．一组对角相等且一条对角线平分这组对角例2．□ABCD的对角线AC的垂直平分线与边AD、BC分别交于E、F，求证：四边形AFCE是菱形。

特殊的平行四边形（菱形）知识要点：一、菱形的定义：有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形.菱形的定义的两个要素：①是平行四边形.②有一组邻边相等.即菱形是一个平行四边形，然后增加一对邻边相等这个特殊条件.二、菱形的性质：菱形除了具有平行四边形的一切性质外，还有一些特殊性质：1.菱形的四条边都相等；2.菱形的两条对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角.3.菱形也是轴对称图形，有两条对称轴（对角线所在的直线），对称轴的交点就是对称中心.(1)菱形是特殊的平行四边形，是中心对称图形，过中心的任意直线可将菱形分成完全全等的两部分。

(2)菱形的面积由两种计算方法：一种是平行四边形的面积公式：底×高；另一种是两条对角线乘积的一半(即四个小直角三角形面积之和）,实际上，任何一个对角线互相垂直的四边形的面积都是两条对角线乘积的一半(3)菱形可以用来证明线段相等，角相等，直线平行垂直及有关计算问题。

三、菱形的判定1.定义：有一组邻边相等的平行四边形是菱形.2.对角线互相垂直的平行四边形是菱形.3.四条边相等的四边形是菱形.前两种方法都是在平行四边形的基础上外加一个条件来判定菱形，后一种方法是在四边形的基础上加上四条边相等.例题分析：1.菱形ABCD中，∠A∶∠B＝1∶5，若周长为8，则此菱形的高等于( )．A.0.5B.4C.1D.22.如图，在菱形ABCD中，AC、BD是对角线，若∠BAC＝50°，则∠ABC等于（）A．40°B．50°C．80°D．100°3.如图，在菱形ABCD中，对角线AC与BD交于点O，OE⊥AB，垂足为E，若∠ADC＝130°，则∠AOE的大小为（）A．75°B．65°C．55°D．50°4. 如图，菱形ABCD和菱形ECGF的边长分别为2和3，∠A＝120°，则图中阴影部分的面积是（）3 B.2 C.3 D. 25.如图,菱形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，且AC＝8，BD＝6，过点O作OH⊥AB，垂足为H，则点O到边AB的距离OH＝．6.如图，菱形ABCD中，E、F分别是BC、CD上的点，∠B＝∠EAF＝60°，∠BAE＝18°．则∠CEF的度数是________．特殊的平行四边形（正方形）知识要点：一、正方形的定义：四条边都相等，四个角都是直角的四边形叫做正方形.说明：既是矩形又是菱形的四边形是正方形，它是特殊的菱形，又是特殊的矩形，更为特殊的平行四边形，正方形是有一组邻边相等的矩形，还是有一个角是直角的菱形.二、正方形的性质具有四边形、平行四边形、矩形、菱形的一切性质.1.边——四边相等、邻边垂直、对边平行；2.角——四个角都是直角；3.对角线——①相等，②互相垂直平分，③每条对角线平分一组对角；4.是轴对称图形，有4条对称轴；又是中心对称图形，两条对角线的交点是对称中心.正方形具有平行四边形、矩形、菱形的一切性质，其对角线将正方形分为四个等腰直角三角形.三、正方形的判定正方形的判定除定义外，判定思路有两条：或先证四边形是菱形，再证明它有一个角是直角或对角线相等（即矩形）；或先证四边形是矩形，再证明它有一组邻边相等或对角线互相垂直（即菱形）.例题分析：1. 如图，在正方形ABCD的外侧，作等边三角形ADE，连接BE，则∠AEB 的度数为（）A．10°B．15°C．20°D．12.5°2. 如图，正方形ABCD的边长为4 ，则图中阴影部分的面积为( ) ．A.6B.8C.16D.不能确定3. 如图，正方形ABCD的边长为2，点E在AB边上．四边形EFGB也为正方形，设△AFC的面积为S，则( )A．S＝2 B．S＝2.4 C．S＝4 D．S与BE长度有关4. 如图，将一边长为12的正方形纸片ABCD的顶点A折叠至DC边上的点E，使DE＝5，折痕为PQ，则PQ的长为( )A.12B.13C.14D.155. 如图，四边形ABCD中，AD＝DC，∠ADC＝∠ABC＝90°，DE⊥AB，若四边形ABCD面积为16，则DE的长为（）A．3 B．2 C．4 D．86.如图，△ABC中，∠C＝90°，点O为△ABC的三条角平分线的交点，OD ⊥BC，OE⊥AC，OF⊥AB，点D，E，F分别是垂足，且BC＝8 ，CA＝6 ，则点O到三边AB，AC和BC的距离分别等于______ ．7.如图，直线a经过正方形ABCD的顶点A，分别过顶点B、D作DE⊥a 于点E、BF⊥a于点F，若DE＝4，BF＝3，则EF的长为_____.8.如图，已知正方形ABCD的边长为1，连接AC、BD，CE平分∠ACD交BD于点E，则DE＝第八讲课后作业1．已知菱形的周长为40 ，两条对角线的长度比为3：4，那么两条对角线的长分别为（）A．6 ，8 B. 3 ，4 C. 12 ，16 D. 24 ，322.(2016·遵义)如图,在▱ABCD中,对角线AC与BD交于点O,若增加一个条件,使▱ABCD成为菱形,下列给出的条件不正确的是()A.AB=ADB.AC⊥BDC.AC=BDD.∠BAC=∠DAC3.(2016·兰州)如图,矩形ABCD的对角线AC与BD相交于点O,CE∥BD,DE∥AC,AD=2错误!未找到引用源。

特殊的平行四边形讲义知识点归纳例1：若矩形的对角线长为8cm ，两条对角线的一个交角为600，则该矩形的面积为例2： 已知：如图， □ABCD 各角的平分线分别相交于点E ，F ，G ，•H ，求证：•四边形EFGH 是矩形．例3如下图，已知矩形ABCD 的对角线AC 、BD 相交于O ，OF ⊥AD 于F ，OF =3 cm ，AE ⊥BD 于E ，且BE ∶ED =1∶3，求AC 的长.例4. 如图,四边形ABCD 是边长为2的正方形，点G 是BC 延长线上一点，连结AG ，点E 、F 分别在AG 上，连接BE 、DF ，∠1=∠2 ， ∠3=∠4. （1）证明：△ABE ≌△DAF ；（2）若∠AGB=30°，求EF 的长.例5.已知：如图，在正方形ABCD 外取一点E ，连接AE 、BE 、DE ．过点A 作AE 的垂线交DE 于点P ．若AE ＝AP ＝1，PB ＝ 5 ．下列结论：①△APD ≌△AEB ；②点B 到直线AE 的距离为 2 ；③EB ⊥ED ；④S △APD ＋S △APB ＝1＋ 6 ；⑤S 正方形ABCD ＝4＋ 6 ．其中正确结论的序号是（ ） A ．①③④ B ．①②⑤ C ．③④⑤ D ．①③⑤练习:1．如图，将n 个边长都为2的正方形按如图所示摆放，点A 1，A 2，…A n 分别是正方形的中心，则这n 个正方形重叠部分的面积之和是（ ） A ．nB ．n ﹣1C ．（）n ﹣1D ．n2.四边形ABCD 的对角线AC ，BD 相交于点O ，能判断它为矩形的题设是（ ） A ．AO=CO ，BO=DO B ．AO=BO=CO=DO C ．AB=BC ，AO=CO D ．AO=CO ，BO=DO ，AC ⊥BD3.如图，已知四边形ABCD 是平行四边形，下列结论中不正确的是（ ） A ．当AB=BC 时，它是菱形 B ．当AC ⊥BD 时，它是菱形C ．当∠ABC=900时，它是矩形 D ．当AC=BD 时，它是正方形 4.如图，在ABC △中，点E D F ，，分别在边AB ，BC ，CA 上，且DE CA ∥，DF BA ∥．下列四个判断中，不正确．．．的是（ ） A ．四边形AEDF 是平行四边形 B ．如果90BAC ∠=，那么四边形AEDF 是矩形C ．如果AD 平分BAC ∠，那么四边形AEDF 是菱形D ．如果AD BC ⊥且AB AC =，那么四边形AEDF 是菱形5.如图，在矩形ABCD 中，对角线AC ，BD 交于点O ，已知0120AOD ∠=，AB=2.5，则AC 的长为 。

沃根金榜一对一学科教师辅导讲义学生姓名：年级：老师：上课日期：上课时间：上课次数：______年级第______单元课题______ ——————————————————————————————————[ 课前准备 ]课前检查：作业完成情况：优（）良（）中（）差（）复习预习情况：优（）良（）中（）差（）——————————————————————————————————[ 学习内容 ]特殊的平行四边形讲义考试考点综述：特殊平行四边形即矩形、菱形、正方形，它们是初二的必考内容之一，主要出现的题型多样，注重考查学生的基础证明和计算能力，以及灵活运用数学思想方法解决问题的能力。

内容主要包括：矩形、菱形、正方形的性质与判定，以及相关计算，了解平行四边形与矩形、菱形、正方形之间的联系，掌握平行四边形是矩形、菱形、正方形的条件。

知识目标掌握矩形、菱形、正方形等概念，掌握矩形、菱形、正方形的性质和判定，通过定理的证明和应用的教学，使学生逐步学会分别从题设和结论出发，寻找论证思路分析法和综合法。

重难点：1.矩形、菱形性质及判定的应用2. 相关知识的综合应用教学过程知识点归纳对称性既是轴对称图形，又是中心对称图形矩形，菱形和正方形之间的联系如下表所示：一．矩形矩形定义：有一角是直角的平行四边形叫做矩形．【强调】矩形（1）是平行四边形；（2）一一个角是直角．矩形的性质性质1矩形的四个角都是直角；性质2 矩形的对角线相等，具有平行四边形的所以性质。

矩形的判定矩形判定方法1:对角线相等的平行四边形是矩形．注意此方法包括两个条件：（1）是一个平行四边形；（2）对角线相等矩形判定方法2:四个角都是直角的四边形是矩形．矩形判断方法3：有一个角是直角的平行四边形是矩形。

例1：若矩形的对角线长为8cm，两条对角线的一个交角为600，则该矩形的面积为例2：菱形具有而矩形不具有的性质是（）A．对角线互相平分； B.四条边都相等； C.对角相等； D.邻角互补例3：已知：如图，□ABCD各角的平分线分别相交于点E，F，G，•H，求证：•四边形EFGH是矩形．二．菱形菱形定义：有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形．【强调】菱形（1）是平行四边形；（2）一组邻边相等．菱形的性质性质1菱形的四条边都相等；性质2 菱形的对角线互相平分，并且每条对角线平分一组对角；菱形的判定菱形判定方法1:对角线互相垂直的平行四边形是菱形．注意此方法包括两个条件：（1）是一个平行四边形；（2）两条对角线互相垂直．菱形判定方法2:四边都相等的四边形是菱形．例1已知：如图，四边形ABCD是菱形，F是AB上一点，DF交AC于E．求证：∠AFD=∠CBE．例2已知：如图ABCD的对角线AC的垂直平分线与边AD、BC分别交于E、F．求证：四边形AFCE是菱形．O 是对角线AC 的中点，过点O 作AC 的垂线与边AD 、BC 分别交例3、如图，在 ABCD 中，于E 、F ，求证：四边形AFCE 是菱形.例4、已知如图，菱形ABCD 中，E 是BC 上一点，AE 、BD 交于M ，若AB=AE,∠EAD=2∠BAE 。