人教版八年级下册数学 第18章《平行四边形》讲义 第12讲 平行四边形-复习训练(有答案)

【人教版】数学八下：第18章《平行四边形》全章名师说课稿一. 教材分析《人教版》数学八下第18章《平行四边形》是学生在学习了三角形、四边形的基础上，进一步研究平行四边形的性质和判定。

本章内容主要包括平行四边形的定义、性质、判定以及平行四边形的应用。

通过本章的学习，使学生能理解和掌握平行四边形的性质和判定方法，提高解决实际问题的能力。

二. 学情分析学生在学习本章内容前，已经掌握了三角形、四边形的基本知识，具备了一定的逻辑思维能力和空间想象能力。

但学生在学习过程中，可能对平行四边形的性质和判定方法容易混淆，需要通过实例和练习来加深理解和掌握。

三. 说教学目标1.理解平行四边形的定义，掌握平行四边形的性质和判定方法。

2.能够运用平行四边形的性质和判定方法解决实际问题。

3.培养学生的逻辑思维能力和空间想象能力。

四. 说教学重难点1.平行四边形的性质和判定方法的掌握。

2.平行四边形在实际问题中的应用。

五. 说教学方法与手段1.采用讲授法，讲解平行四边形的定义、性质、判定方法。

2.利用多媒体演示，直观展示平行四边形的性质和判定过程。

3.运用例题和练习，让学生在实际问题中应用平行四边形的性质和判定方法。

4.小组讨论，培养学生合作学习的能力。

六. 说教学过程1.引入新课：通过复习三角形、四边形的基本知识，引导学生学习平行四边形。

2.讲解平行四边形的定义、性质、判定方法：通过多媒体演示和板书，详细讲解平行四边形的定义、性质、判定方法。

3.例题讲解：选取典型例题，讲解平行四边形的性质和判定方法在实际问题中的应用。

4.练习巩固：学生自主完成练习题，巩固对平行四边形的性质和判定方法的理解。

5.小组讨论：学生进行小组讨论，分享解题心得和方法。

6.课堂小结：总结本节课所学内容，强调平行四边形的性质和判定方法。

7.作业布置：布置相关练习题，让学生课后巩固所学知识。

七. 说板书设计板书设计如下：1.对边平行且相等2.对角相等3.对边相等4.对角线互相平分5.两组对边分别平行的四边形是平行四边形6.两组对角分别相等的四边形是平行四边形7.对边平行且相等的四边形是平行四边形八. 说教学评价通过课堂讲解、练习完成情况、小组讨论参与度等方面，评价学生对平行四边形的性质和判定方法的掌握程度。

辅导讲义学员编号：年级：课时数：学员姓名：辅导科目：学科老师：授课类型T 平行四边形的概念、性质T 平行四边形的断定C中位线定理授课日期时段教学内容一、同步学问梳理学问点1：平行四边形的定义：两组对边分别平行的四边形是平行四边形．表示：平行四边形用符号“”来表示．如图，在四边形ABCD中，AB∥DC，AD∥BC，那么四边形ABCD是平行四边形．平行四边形ABCD，记作ABCD”，读作“平行四边形ABCD”．留意：平行四边形中对边是指无公共点的边，对角是指不相邻的角，邻边是指有公共端点的边，邻角是指有一条公共边的两个角．而三角形对边是指一个角的对边，对角是指一条边的对角．学问点2：平行四边形的性质：（1）边：平行四边形的对边平行且相等．（2）角：平行四边形的对角相等．邻角互补（3）对角线：平行四边形的对角线相互平分对称性：平行四边形是中心对称图形，两条对角线的交点是对称中心；二、同步题型分析题型1：平行四边形的边、角例1：已知，如图1，四边形ABCD为平行四边形，∠A＋∠C＝80°，平行四边形ABCD的周长为46 cm，且AB－BC＝3 cm，求平行四边形ABCD的各边长和各内角的度数．分析：由平行四边形的对角相等，邻角互补可求得各内角的度数；由平行四边形的对边相等，得AB＋BC＝23 cm，解方程组即可求出各边的长．解：由平行四边形的对角相等，∠A＋∠C＝80°，得∠A＝∠C＝40°又DC∥AB，∠D及∠A为同旁内角互补，∴∠D＝180°－∠A＝180°－40°＝140°．∴∠B＝140°．由平行四边形对边相等，得AB＝CD，AD＝BC．因周长为46 am，因此AB＋BC＝23 cm，而AB－BC＝3 cm，得AB＝13 cm，BC＝10 cm，∴CD＝13 am．AD＝10 cm．题后反思：留意充分利用性质解题．例2：如图2，在平行四边形ABCD中，E、F是直线BD上的两点，且DE＝BF，你认为AE＝CF吗？试说明理由．分析：本题主要考察平行四边形的性质．要证明AE＝CF，可以把两线段分别放在两个三角形里，然后证明两三角形全等．解：AE＝CF．理由：在平行四边形ABCD中，∵AB＝CD且AB∥CD．∴∠ABE＝∠CDF．∵DE＝BF，∴ DE＋BD＝BF＋BD，即BE＝DF：∴△ABE≌△CDF ∴ AE＝CF题后反思：利用平行四边形的性质解题时，一般要用到三角形全等学问，此题还可以证明其他三角形全等来证明两线段相等．题型2：平行四边形的周长例1：如图3，在平行四边形ABCD中，AC、BD相交于点O，作OE⊥BD于O，交CD于E，连接BE，若△BCE的周长为6，则平行四边形ABCD的周长为（ B ）图3A. 6B. 12C. 18D. 不确定分析：本题主要考察平行四边形的性质:对角线相互平分。

庖丁巧解牛知识·巧学一、平行四边形的概念和性质1.平行四边形的概念（1）平行四边形是四边形，具有四边形的性质，它的内角和等于360°.（2）平行四边形是特殊的四边形，它的特征表现在：两组对边分别平行.正因为如此，它还具有许多特殊的性质.（3）平行四边形的定义有两个方面的用途，其一是作为判定定理使用，即用来判定一个四边形是不是平行四边形；其二是作为性质定理使用，即已知一个四边形是平行四边形，可以得出它的两组对边分别平行.（4）平行四边形的画法.如图19-1-2，先画∠ABC，再用平行推动三角板的方法，分别画AB、BC的平行线，它们相交于点D，则四边形ABCD是平行四边形.图19-1-2辨析比较1.四边形和平行四边形联系：平行四边形是特殊的四边形，它具有四边形的一切性质，如内角和、外角和都是360°；都有两条对角线等等.区别：平行四边形是四边形，但四边形并不都是平行四边形；平行四边形具有四边形的一切性质，但四边形不一定具有平行四边形的一切性质.2.平行四边形中对边是指无公共点的边，对角是指不相邻的角，邻边是指有公共端点的边，邻角是指有一条公共边的两个角.而三角形对边是指一个角的对边，对角是指一条边的对角.2.平行四边形的性质四边形的性质，通常从三个方面加以探究，即边、角、对角线.画一个平行四边形（画图要准确），通过度量，可以得出它的三条性质：(1)平行四边形的对边相等；(2)平行四边形的对角相等；(3)平行四边形的对角线互相平分.连结一条对角线，很容易证得全等三角形，再由全等三角形的性质即得.联想发散第三条性质“平行四边形的对角线互相平分”，是把平行四边形加以旋转得出的.这种方法有如下的几个用处：①认识到平行四边形是中心对称图形；②平行四边形绕中心旋转180°后与自身重合，可以得到相等的线段（如图19-1-3）：OA=OC，OB=OD，也得到两组对称点A与C，B与D；19-13 19-14③平行四边形绕中心旋转30°（如图19-1-4），也可以得到OA=OC，也得到A与C是对称点，这启示我们平行四边形中对称点的画法.二、平行四边形的判定及三角形中位线定理1.平行四边形的判定除了根据平行四边形的定义判定外，还有四个判定定理：(1)两组对边分别相等的四边形是平行四边形；(2)对角线互相平分的四边形是平行四边形；(3)两组对角分别相等的四边形是平行四边形；(4)一组对边平行且相等的四边形是平行四边形.每个定理都包含两个条件.如“一组对边平行且相等的四边形是平行四边形”包含：AB ∥DC ；②AB=DC ，简写成AB DC.深化升华 根据上述定理的条件，我们也可以通过添加辅助线来构造平行四边形，从而把有关三角形的问题转化为平行四边形的问题加以解决，三角形中位线定理的证明就是一个很好的例子.我们再看一例：如图19-1-5，已知AD 是△ABC 的一条中线，AB=8，AC=5，求AD 的取值范围. 由已知条件，得BD=CD ，延长AD 到E ，使AD=ED ，连结BE 、CE ，得到ABEC.图19-1-5∵AB=8，BE=AC=5，AE=2AD ，∴8-5＜2AD ＜8+5，即1.5＜AD ＜6.5.2.利用平行四边形的判定定理和性质定理证明三角形的中位线定理定义：连结三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线.三角形中位线定理：三角形的中位线平行与第三边，且等于第三边的一半.如图19-1-6，点D 、E 分别为△ABC 边AB 、AC 的中点，求证：DE ∥BC 且DE=21BC. 思路分析：所证明的结论既有平行关系，又有数量关系，联想已学过的知识，可以把要证明的内容转化到一个平行四边形中，利用平行四边形的对边平行且相等的性质来证明结论成立，从而使问题得到解决，这就需要添加适当的辅助线来构造平行四边形.解：方法1：如图19-1-6（1），延长DE 到F ，使EF=DE ，连结CF ，由△ADE ≌△CFE ，可得AD ∥FC ，且AD=FC ，因此有BD ∥FC ，BD=FC ，四边形BCFD 是平行四边形.DF ∥BC ，DF=BC ，因为DE=21DF ，所以DE ∥BC 且DE=21BC.（也可以过点C 作CF ∥AB 交DE 的延长线于F 点，证明方法与上面大体相同）图19-1-6方法2：如图19-1-6（2），延长DE 到F ，使EF=DE ，连结CF 、CD 和AF ，又AE=EC ，有四边形ADCF 是平行四边形.所以AD ∥FC ，且AD=FC.因为AD=BD ，所以BD ∥FC ，且BD=FC.因此四边形ADCF 是平行四边形.DF ∥BC ，且DF=BC.因为DE=21DF ，所以DE ∥BC 且DE=21BC. 深化升华 （1）想一想：①一个三角形的中位线共有几条？②三角形的中位线与中线有什么区别？（2）三角形的中位线与第三边有怎样的关系？答：（1）一个三角形的中位线共有三条；三角形的中位线与中线的区别主要是线段的端点不同.中位线是中点与中点的连线；中线是顶点与对边中点的连线.（2）三角形的中位线与第三边的关系：三角形的中位线平行于第三边，且等于第三边的一半.联想发散 在平面几何证题中，由中点联想到中位线，再构造中位线解题，是一种很常用的方法.如图19-1-7，在△ABC 中，AD 是∠A 的平分线，CD ⊥AD ，垂足是D ，G 是BC 的中点，求证∠DGC=∠B.图19-1-7思路分析：由点G 为BC 的中点，很容易想到，若能证明点D 是CE 的中点，那么DG 就是△CEB 的中位线，就可以证明∠DGC=∠B.点D 是CE 的中点，可以由证明△AED 和△ACD 全等得到.我们可以按照图中的辅助线完成证明.辨析比较 三角形的中位线与三角形的中线的区别和联系.（1）三角形的中位线和三角形的中线都是线段，这是它们的共同点；（2）三角形的中位线连结的是三角形两边的中点，中线是顶点与对边中点的连线.如图19-1-8中的线段DE 、EF 、DF ；三角形的中线连结的是一个顶点与它对边的中点，如图19-1-8中的线段AE 、BF 、CD.图19-1-8（3）一个三角形有三条中线，也有三条中位线.（4）三角形的三条中线相交于一点，这点叫做三角形的重心（以后要学到）；三条中位线构成一个三角形，叫做三角形的中点三角形.典题·热题知识点一 平行四边形的概念和性质例1如图19-1-9，在平行四边形ABCD 中，AE=CF ，求证：AF=CE.图19-1-9思路分析：要证AF=CE ，需证△ADF ≌△CBE ，由于四边形ABCD 是平行四边形，有∠D=∠B ，AD=BC ，AB=CD ，又AE=CF ，根据等式的性质，可得BE=DF.由“边角边”可得出所需要的结论.证明：∵四边形ABCD 是平行四边形，∴∠D=∠B ，AD=BC ，AB=CD ，又∵AE=CF ，∴BE=DF.在△ADF 和△CBE 中，∵⎪⎩⎪⎨⎧=∠=∠=.,,BE DF B D CB AD ∴△ADF ≌△CBE ，∴AF=CE.巧解提示 本题也可以通过证明四边形AECF 是平行四边形，从而证明AF=CE.例2已知：如图19-1-10(a)，ABCD 的对角线AC 、BD 相交于点O ，EF 过点O 与AB 、CD 分别相交于点E 、F.求证：OE=OF ，AE=CF ，BE=DF.思路分析：只要证明线段所在的三角形全等即可. 证明：在ABCD 中，AB ∥CD ，∴∠1=∠2，∠3=∠4.又OA=OC(平行四边形的对角线互相平分)，∴△AOE ≌△COF （ASA ）.∴OE=OF ，AE=CF （全等三角形对应边相等）. ∵ABCD ，∴AB=CD （平行四边形对边相等）.∴AB-AE=CD-CF ，即BE=FD.巧妙变式 若例2中的条件都不变，将EF 转动到图b 的位置，那么例2的结论是否成立？若将EF 向两方延长与平行四边形的两对边的延长线分别相交（图c 和图d ），例2的结论是否成立，说明你的理由.图19-1-10解略.知识点二 平行四边形的性质和判定的综合运用例3不能判定四边形ABCD 是平行四边形的是（ ）A.AB=CD ，AD=BCB.AB ∥CD ，AB=CDC.AB=CD ，AD ∥BCD.AB ∥CD ，AD ∥BC思路分析：画出草图，根据平行四边形的判定定理进行判定.A.是，两组对边分别相等的四边形是平行四边形.B.是，一组对边平行且相等的四边形是平行四边形.C.不能判定.梯形是一个反例.D.是，两组对边分别平行的四边形是平行四边形.方法归纳 熟练掌握平行四边形的判定定理是解决本题的关键.例4在给定的条件下，能画出平行四边形的是（ ）A.以60 cm 为对角线，20 cm 、34 cm 为两条邻边B.以20 cm 、36 cm 为对角线，22 cm 为一边C.以6 cm 为一条对角线，3 cm 与10 cm 为两条邻边D.以6 cm 、10 cm 为对角线，8 cm 为一边思路分析：画出草图，根据平行四边形的性质定理以及三条线段组成三角形的条件进行判断. 如图19-1-11，图19-1-11A.不能.如AC=60 cm ，AB=20 cm ，BC=34 cm ，∵AB+BC=20+34=54＜60=AC ，∴△ABC 不存在，平行四边形不能画出.B.能.如AC=20 cm ，BD=36 cm ，AB=22 cm.∵OA=21AC=21×20=10,OB=21BD=21×36=18,10+18＞22, ∴△OAB 存在，平行四边形ABCD 能画出.C.不能，如AC=6 cm ，AB=3 cm ，BC=10 cm ，∵AB+AC=3+6=9＜10=BC ，∴△ABC 不存在，平行四边形ABCD 不能画出.D.不能，如AC=6 cm ，BD=10 cm ，AB=8 cm.∵OA=21AC=21×6=3，OB=21BD=21×10=5， OA+OB=3+5=8=AB ，∴△OAB 不存在，平行四边形ABCD 不能画出.答案：B方法归纳 能不能画出平行四边形，关键看所给出的线段长是否能构成三角形. 例5已知：如图19-1-12，A′B′∥BA ，B′C′∥CB ， C′A′∥AC.图19-1-12求证：(1)∠ABC=∠B′，∠CAB=∠A′，∠BCA=∠C′；(2)△ABC 的顶点分别是△B′C′A′各边的中点.思路分析：利用平行四边形的判定定理：两组对边分别平行的四边形是平行四边形即可判定. 证明：(1)∵A′B′∥BA ，C′B′∥BC ，∴四边形ABCB′是平行四边形.∴∠ABC=∠B′(平行四边形的对角相等).同理∠CAB=∠A′，∠BCA=∠C′.(2)由(1)证得四边形ABCB′是平行四边形.同理，四边形ABA′C 是平行四边形.∴AB=B′C ， AB=A′C(平行四边形的对边相等).同理B′A=C′A ， A′B=C′B.∴△ABC 的顶点A 、B 、C 分别是△B′C′A′的边B′C′、C′A′、A′B′的中点.方法归纳 平行四边形的性质和判定的综合运用在今后的学习过程中经常用到，学习时要注意.例6小明用手中六个全等的正三角形做拼图游戏时，拼成一个六边形.你能在图19-1-13中找出所有的平行四边形吗？并说说你的理由.图19-1-13思路分析：因为正△ABO ≌正△AOF ，所以AB=BO ，OF=FA.根据“两组对边分别相等的四边形是平行四边形”，可知四边形ABCD 是平行四边形.其他五个同理.解：有6个平行四边形，分别是ABOF ，ABCO ，BCDO ，CDEO ，DEFO ，EFAO. 例7如图19-1-14，平行四边形 ABCD 的周长为60 cm ，对角线相交于点O ，△AOB 的周长比与△BOC 的周长少8 cm ，求AB 与AD 的长.图19-1-14思路分析：利用平行四边形的对角线互相平分，将△AOB 的周长，△BOC 的周长之间的关系转化为平行四边形ABCD 的边长之间的关系：C △BOC -C △AOB =8.即（OB+OC+BC ）-（OA+OB+AB ）=8.又∵OA=OC,∴BC-AB=8.解：设AB=x cm ，AD=y cm ，根据题意和平行四边形的性质，得⎩⎨⎧=-=+,8,60)(2x y y x 解得⎩⎨⎧==.19,11y x 即AB 与AD 的长分别为11 cm 和19 cm.巧解提示 数形结合是一种重要的数学思想方法.把几何量之间的关系巧妙地通过方程组求解，是几何计算中经常用到的方法.例8如图19-1-15，在平行四边形 ABCD 中，BE ⊥CD ，BF ⊥AD ，垂足分别为E 、F ，CE=2，DF=1，∠EBF=60°，则平行四边形 ABCD 的面积为多少？图19-1-15思路分析：根据平行四边形的性质定理和∠EBF=60°，可求出∠CBE=30°，在Rt △BCE 中，可求出BC ，进而求AF ，再在△ABF 中求解.解：∵四边形ABCD 是平行四边形，∴AD ∥BC.又∵BF ⊥AD ，∴∠CBF=∠AFB=90°,∴∠CBE=90°-∠EBF=90°-60°=30°.在Rt △BCE 中，BC=2CE=2×2=4， BE=32242222=-=-CE BC .∵AD=BC=4，DF=1,∴AF=3.在Rt △ABF 中，∵∠ABF=30°，∴AB=2AF=2×3=6,S ABCD =AB·BE=6×31232=.方法归纳 在直角三角形中，已知一边一锐角，可以求出其他的边和角.在本题中，我们通过解直角三角形，达到了求平行四边形面积的目的.知识点三 三角形的中位线定理例9已知：如图19-1-16，在四边形ABCD 中，E 、F 、G 、H 分别是AB 、BC 、CD 、DA 的中点.图19-1-16求证：四边形EFGH 是平行四边形.思路分析：因为已知点E 、F 、G 、H 分别是线段的中点，可以设法应用三角形中位线性质找到四边形EFGH 的边之间的关系.由于四边形的对角线可以把四边形分成两个三角形，所以添加辅助线，连结AC 或BD ，构造“三角形中位线”的基本图形后，此题便可得证. 证明：连结AC （图19-1-16），△DAG 中，∵AH=HD ，CG=GD ，∴HG ∥AC ，HG=21AC （三角形中位线性质）. 同理EF ∥AC ，EF=21AC. ∴HG ∥EF ，且HG=EF.∴四边形EFGH 是平行四边形.此题可得结论：顺次连结四边形四条边的中点，所得的四边形是平行四边形.方法归纳 连结四边形的对角线是解题过程中经常添作的辅助线.问题·探究思维发散探究问题 如果连结一个三角形的各边中点得到的一个新的三角形,这个三角形叫做原三角形的中点三角形,那么中点三角形与原三角形有什么关系?你能找到多少呢?探究过程：为了研究问题的方便,可以建立如图19-1-17的图形，点D 、E 、F 分别是△ABC 的边AB 、BC 、AC 的中点.要知道中点三角形与原三角形的关系,可以从位置关系、周长、面积等这些方面来研究.1图19-1-17（1）∵D 、F 分别是AB 、AC 的中点，∴DF ∥BC ，同理得DE ∥AC ，EF ∥AB（2）由三角形中位线定理，得 DE=21AC,EF=21AB,DF=21BC, ∴DE+EF+DF=21（AB+BC+AC ）. （3）△DEF 的面积是△ABC 的面积的41. 在ADEF 中，∵△ADF ≌△EFD ，∴S △ADF =S △EFD .同理S △BED =S △EFD ，S △CEF =S △EFD ，故S △DEF =41S △ABC . 探究结论:（1）△DEF 的三边与△ABC 的三边分别平行，即DE ∥AC ，EF ∥AB ，DF ∥BC.（2）△DEF 的周长是△ABC 的周长的一半.（3）△DEF 的面积是△ABC 的面积的四分之一.。

平行四边形【学习目标】1．理解平行四边形的概念，掌握平行四边形的性质定理和判定定理；2．能初步运用平行四边形的性质进行推理和计算，并体会如何利用所学的三角形的知识解决四边形的问题．3. 能综合运用平行四边形的判定定理和平行四边形的性质定理进行证明和计算．4. 理解三角形的中位线的概念，掌握三角形的中位线定理．【要点梳理】要点一、平行四边形的定义平行四边形的定义：两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形. 平行四边形ABCD记作“ABCD”，读作“平行四边形ABCD”.要点诠释：平行四边形的基本元素：边、角、对角线.相邻的两边为邻边，有四对；相对的边为对边，有两对；相邻的两角为邻角，有四对；相对的角为对角，有两对；对角线有两条.要点二、平行四边形的性质1．边的性质：平行四边形两组对边平行且相等；2．角的性质：平行四边形邻角互补，对角相等；3．对角线性质：平行四边形的对角线互相平分；4．平行四边形是中心对称图形，对角线的交点为对称中心.要点诠释：（1）平行四边形的性质中边的性质可以证明两边平行或两边相等；角的性质可以证明两角相等或两角互补；对角线的性质可以证明线段的相等关系或倍半关系.（2）由于平行四边形的性质内容较多，在使用时根据需要进行选择.（3）利用对角线互相平分可解决对角线或边的取值范围的问题，在解答时应联系三角形三边的不等关系来解决.要点三、平行四边形的判定1.两组对边分别平行的四边形是平行四边形；2.两组对边分别相等的四边形是平行四边形；3.一组对边平行且相等的四边形是平行四边形；4.两组对角分别相等的四边形是平行四边形；5.对角线互相平分的四边形是平行四边形.要点诠释：（1）这些判定方法是学习本章的基础，必须牢固掌握，当几种方法都能判定同一个平行四边形时，应选择较简单的方法.（2）这些判定方法既可作为判定平行四边形的依据，也可作为“画平行四边形”的依据.要点四、三角形的中位线1．连接三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线.2．定理：三角形的中位线平行于三角形的第三边，且等于第三边的一半.要点诠释：（1）三角形有三条中位线，每一条与第三边都有相应的位置关系与数量关系.（2）三角形的三条中位线把原三角形分成可重合的4个小三角形.因而每个小三角形的周长为原三角形周长的12，每个小三角形的面积为原三角形面积的14.（3）三角形的中位线不同于三角形的中线.要点五、平行线间的距离1.两条平行线间的距离：（1）定义：两条平行线中，一条直线上的任意一点到另一条直线的距离，叫做这两条平行线间的距离.注：距离是指垂线段的长度，是正值.（2）平行线间的距离处处相等任何两平行线间的距离都是存在的、唯一的，都是夹在这两条平行线间最短的线段的长度. 两条平行线间的任何两条平行线段都是相等的.2.平行四边形的面积：平行四边形的面积＝底×高；等底等高的平行四边形面积相等.【典型例题】类型一、平行四边形的性质1、如图所示，已知四边形ABCD是平行四边形，若AF、BE分别为∠DAB、∠CBA的平分线．求证：DF＝EC．【答案与解析】证明：∵在ABCD中，CD∥AB，∠DFA＝∠FAB．又∵ AF是∠DAB的平分线，∴∠DAF＝∠FAB，∴∠DAF＝∠DFA，∴ AD＝DF．同理可得EC＝BC．∵在ABCD中，AD＝BC，∴ DF＝EC．【总结升华】利用平行四边形的性质可以得到对角相等，对边平行且相等，为证明线段相等提供了条件．类型二、平行四边形的判定2、如图所示，E、F分别为四边形ABCD的边AD、BC上的点，且四边形AECF和DEBF 都是平行四边形，AF和BE相交于点G，DF和CE相交于点H．求证：四边形EGFH为平行四边形．【思路点拨】欲证四边形EGFH为平行四边形，只需证明它的两组对边分别平行，即EG∥FH ，FG ∥HE 可用来证明四边形EGFH 为平行四边形．【答案与解析】证明：∵ 四边形AECF 为平行四边形，∴ AF ∥CE ．∵ 四边形DEBF 为平行四边形，∴ BE ∥DF ．∴ 四边形EGFH 为平行四边形．【总结升华】平行四边形的定义既包含平行四边形的性质，又可以用来判定一个四边形是平行四边形，即平行四边形的两组对边分别平行，两组对边分别平行的四边形是平行四边形． 类型三、平行四边形与面积有关的计算3、如图所示，在ABCD 中，AE ⊥BC 于点E ，AF ⊥CD 于点F ．若∠EAF ＝60°，BE ＝2cm ，DF ＝3cm ，求AB ，BC 的长及ABCD 的面积．【思路点拨】在四边形AECF 中，由已知条件∠EAF ＝60°，可求出∠C ＝120°，进而求出∠B ＝60°．由于BE ＝2cm ，在Rt △ABE 中，可求出AB ．同理，在Rt △AFD 中求出AD ．要求ABCD 的面积，需求出AE 或AF 的长．【答案与解析】解：在四边形AECF 中，∵ ∠EAF ＝60°，AE ⊥BC ，AF ⊥CD ，∴ ∠C ＝360°－∠EAF －∠AEC －∠AFC ＝360°－60°－90°－90°＝120°． 在ABCD 中，∵ AB ∥CD ，∴ ∠B ＋∠C ＝180°．∠C ＋∠D ＝180°，∴ ∠B ＝∠D ＝60°．在Rt △ABE 中，∠B ＝60°，BE ＝2cm ，∴ AB ＝4cm ，CD ＝AB ＝4cm ．(平行四边形的对边相等)同理，在Rt △ADF 中，AD ＝6cm ，∴ BC ＝AD ＝6cm ，∴ 22226333AF AD DF =-=-=(cm )． ∴ ABCD S =CD ·AF ＝433⨯＝123(2cm )．【总结升华】本题除了应用平行四边形的性质及勾股定理外，还应用了“直角三角形中，30°的锐角所对的直角边等于斜边的一半”这个直角三角形的性质．类型四、三角形的中位线4、如图，已知P 、R 分别是长方形ABCD 的边BC 、CD 上的点，E 、F 分别是PA 、PR 的中点，点P 在BC 上从B 向C 移动，点R 不动，那么下列结论成立的是（ ）A．线段EF的长逐渐增大B．线段EF的长逐渐变小C．线段EF的长不变D．无法确定【答案】C；【解析】连AR，由E、F分别为PA，PR的中点知EF为△PAR的中位线, 则12EF AR，而AR长不变，故EF大小不变.【总结升华】当条件中含有中点的时候，要将它与中位线联系起来，进行联想，必要时添加辅助线，构造中位线图形．矩形【学习目标】1. 理解矩形的概念.2. 掌握矩形的性质定理与判定定理.【要点梳理】要点一、矩形的定义有一个角是直角的平行四边形叫做矩形.要点诠释：矩形定义的两个要素：①是平行四边形；②有一个角是直角.即矩形首先是一个平行四边形，然后增加一个角是直角这个特殊条件.要点二、矩形的性质矩形的性质包括四个方面：1.矩形具有平行四边形的所有性质；2.矩形的对角线相等；3.矩形的四个角都是直角；4.矩形是轴对称图形，它有两条对称轴.要点诠释：（1）矩形是特殊的平行四边形，因而也是中心对称图形.过中心的任意直线可将矩形分成完全全等的两部分.（2）矩形也是轴对称图形，有两条对称轴（分别通过对边中点的直线）.对称轴的交点就是对角线的交点（即对称中心）.（3）矩形是特殊的平行四边形，矩形具有平行四边形的所有性质，从而矩形的性质可以归结为从三个方面看：从边看，矩形对边平行且相等；从角看，矩形四个角都是直角；从对角线看，矩形的对角线互相平分且相等.要点三、矩形的判定矩形的判定有三种方法：1.定义：有一个角是直角的平行四边形叫做矩形.2.对角线相等的平行四边形是矩形.3.有三个角是直角的四边形是矩形.要点诠释：在平行四边形的前提下，加上“一个角是直角”或“对角线相等”都能判定平行四边形是矩形.要点四、直角三角形斜边上的中线的性质直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半.要点诠释：（1）直角三角形斜边上的中线的性质是矩形性质的推论.性质的前提是直角三角形，对一般三角形不可使用.（2）学过的直角三角形主要性质有：①直角三角形两锐角互余；②直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方；③直角三角形中30°所对的直角边等于斜边的一半.（3）性质可以用来解决有关线段倍分的问题.【典型例题】类型一、矩形的性质1、如图所示，在矩形ABCD中，E、F分别是BC、AD上的点，且BE＝DF．求证△ABE≌△CDF．【思路点拨】：由矩形的性质可得AB ＝CD ，∠B ＝∠D ＝90°，然后用它们作条件证明△ABE ≌△CDF ．【答案与解析】证明：∵ 四边形ABCD 是矩形．∴ AB ＝CD ，∠B ＝∠D ＝90°在△ABE 和△CDF 中90AB CD B D BE DF =⎧⎪∠=∠=⎨⎪=⎩°∴ △ABE ≌△CDF(SAS)【总结升华】矩形的性质常用于求线段的长度与角的度数，在解题过程中应根据题目选择不同的性质来加以应用．类型二、矩形的判定2、已知：平行四边形ABCD 中，E 、F 分别是AB 、CD 的中点，连接AF 、CE.（1）求证：△BEC≌△DFA；（2）连接AC ，若CA ＝CB ，判断四边形AECF 是什么特殊四边形？并证明你的结论.【答案与解析】证明：（1）∵四边形ABCD 是平行四边形，∴AB＝CD,∠B＝∠D，BC ＝AD.∵E、F 分别是AB 、CD 的中点，∴BE＝12AB ，DF ＝12CD. ∴BE＝DF. ∴△BEC≌△DFA.（2）四边形AECF 是矩形.∵四边形ABCD 是平行四边形，∴AB∥CD，且AB ＝CD.∵E、F 分别是AB 、CD 的中点，∴BE＝12AB ，DF ＝12CD. ∴AE∥CF 且AE ＝CF.∴四边形AECF 是平行四边形.∵CA＝CB，E是AB的中点，∴CE⊥AB，即∠AEC＝90°.∴四边形AECF是矩形.【总结升华】要证明△BEC和△DFA全等，主要运用判定定理（边角边）；四边形AECF是矩形，先证明四边形AECF是平行四边形，再证这个平行四边形对角线相等或者有一个角是直角.3、如图所示，ABCD四个内角的角平分线分别交于点E、F、G、H．求证：四边形EFGH是矩形．【思路点拨】AE、BE分别为∠BAD、∠ABC的角平分线，由于在ABCD中，∠BAD+∠ABC＝180°，易得∠BAE+∠ABE＝90°，不难得到∠HEF＝90°，同理可得∠H＝∠F＝90°．【答案与解析】证明：在ABCD中，AD∥BC，∴∠BAD＋∠ABC＝180°，∵ AE、BE分别平分∠BAD、∠ABC，∴∠BAE＋∠ABE＝12∠BAD＋12∠ABC＝90°．∴∠HEF＝∠AEB＝90°．同理：∠H＝∠F＝90°．∴四边形EFGH是矩形．【总结升华】 (1)利用角平分线、垂线得到90°的角，选择“有三个直角的四边形是矩形”来判定．(2)本题没有涉及对角线，所以不会选择利用对角线来判定矩形．类型三、直角三角形斜边上的中线的性质4、（2012•佳木斯）如图，△ABC中，AB＝AC＝10，BC＝8，AD平分∠BAC交BC于点D，点E为AC的中点，连接DE，则△CDE的周长为（）A．20 B．12 C．14 D．13【答案】C；【解析】解：∵AB＝AC，AD平分∠BAC，BC＝8，∴AD⊥BC，CD＝BD＝12BC＝4，∵点E为AC的中点，∴DE＝CE＝12AC＝5，∴△CDE的周长＝CD＋DE＋CE＝4＋5＋5＝14．【总结升华】本题考查了直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半的性质，等腰三角形三线合一的性质，熟记性质并准确识图是解题的关键．菱形【学习目标】1. 理解菱形的概念.2. 掌握菱形的性质定理及判定定理．【要点梳理】要点一、菱形的定义有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形.要点诠释：菱形的定义的两个要素：①是平行四边形.②有一组邻边相等.即菱形是一个平行四边形，然后增加一对邻边相等这个特殊条件.要点二、菱形的性质菱形除了具有平行四边形的一切性质外，还有一些特殊性质：1.菱形的四条边都相等；2.菱形的两条对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角.3.菱形也是轴对称图形，有两条对称轴（对角线所在的直线），对称轴的交点就是对称中心.要点诠释：（1）菱形是特殊的平行四边形，是中心对称图形，过中心的任意直线可将菱形分成完全全等的两部分.（2）菱形的面积由两种计算方法：一种是平行四边形的面积公式：底×高；另一种是两条对角线乘积的一半（即四个小直角三角形面积之和）.实际上，任何一个对角线互相垂直的四边形的面积都是两条对角线乘积的一半.（3）菱形可以用来证明线段相等，角相等，直线平行，垂直及有关计算问题.要点三、菱形的判定菱形的判定方法有三种：1.定义：有一组邻边相等的平行四边形是菱形.2.对角线互相垂直的平行四边形是菱形.3.四条边相等的四边形是菱形.要点诠释：前两种方法都是在平行四边形的基础上外加一个条件来判定菱形，后一种方法是在四边形的基础上加上四条边相等.【典型例题】类型一、菱形的性质1、如图所示，在菱形ABCD中，AC＝8，BD＝10．求：(1)AB的长．(2)菱形ABCD的面积．【答案与解析】解：(1)∵四边形ABCD是菱形．∴ AC⊥BD，AO＝12AC，OB＝12BD．又∵ AC ＝8，BD ＝10．∴ AO ＝12×8＝4，OB ＝12×10＝5． 在Rt △ABO 中，222AB OA OB =+∴ 2224541AB =+=，∴ 41AB =． (2)由菱形的性质可知：118104022S AC BD ==⨯⨯=菱形ABCD ． 【总结升华】(1)由菱形的性质及勾股定理求出AB 的长．(2)根据“菱形的面积等于两条对角线乘积的一半”来计算．类型二、菱形的判定2、如图所示，在△ABC 中，CD 是∠ACB 的平分线，DE ∥AC ，DF ∥BC ，四边形DECF 是菱形吗?试说明理由．【思路点拨】由菱形的定义去判定图形，由DE ∥AC ，DF ∥BC 知四边形DECF 是平行四边形，再由∠1＝∠2＝∠3得到邻边相等即可．【答案与解析】解：四边形DECF 是菱形，理由如下：∵ DE ∥AC ，DF ∥BC∴ 四边形DECF 是平行四边形．∵ CD 平分∠ACB ，∴ ∠1＝∠2∵ DF ∥BC ，∴ ∠2＝∠3，∴ ∠1＝∠3．∴ CF ＝DF ，∴ 四边形DECF 是菱形．【总结升华】在用菱形的定义判定一个四边形是菱形时，首先判定这个四边形是平行四边形，再由一对邻边相等来判定它是菱形．3、如图所示，在△ABC 中，∠BAC ＝90°，AD ⊥BC 于点D ，CE 平分∠ACD ，交AD 于点G ，交AB 于点E ，EF ⊥BC 于点F ． 求证：四边形AEFG 是菱形．【思路点拨】由角平分线性质易知AE ＝EF ，欲证四边形AEFG 是菱形，只要再证四边形AEFG是平行四边形或AG＝GF＝AE即可．【答案与解析】证明：方法一：∵ CE平分∠ACB，∠BAC＝90°，EF⊥BC，∴ AE＝EF，∠1＋∠3＝90°，∠4＋∠2＝90°．∵∠1＝∠2，∴∠3＝∠4．∵ EF⊥BC，AD⊥BC，∴ EF∥AD．∴∠4＝∠5．∴∠3＝∠5．∴ AE＝AG．∴ EF AG．∴四边形AEFG是平行四边形．又∵ AE＝AG，∴四边形AEFG是菱形．方法二：∵ CE平分∠ACB，∠BAC＝90°，EF⊥BC，∴ AE＝EF，∠1＋∠3＝90°，∠4＋∠2＝90°．∴∠3＝∠4．∵ EF⊥BC，AD⊥BC，∴ EF∥AD．∴∠4＝∠5．∴∠3＝∠5．∴ AE＝AG．在△AEG和△FEG中，AE＝EF，∠3＝∠4，EG＝EG，∴△AEG≌△FEG．∴ AG＝FG．∴ AE＝EF＝FG＝AG．∴四边形AEFG是菱形．【总结升华】判定一个四边形是菱形，关键是把已知条件转化成判定方法所需要的条件．类型三、菱形的应用4、如图所示，是一种长0.3m，宽0.2m的矩形瓷砖，E、F、G、H分别为矩形四边BC、CD、DA、AB的中点，阴影部分为淡黄色花纹，中间部分为白色，现有一面长4.2 m，宽2.8m的墙壁准备贴如图所示规格的瓷砖．试问：(1)这面墙最少要贴这种瓷砖多少块?(2)全部贴满后，这面墙壁会出现多少个面积相同的菱形?【答案与解析】解：墙壁长4.2m，宽2.8m，矩形瓷砖长0.3m，宽0.2m，4.2÷0.3＝14，2.8÷0.2＝14，则可知矩形瓷砖横排14块，竖排14块可毫无空隙地贴满墙面．(1)则至少需要这种瓷砖14×14＝196(块)．(2)每块瓷砖中间有一个白色菱形，则共有196个白色的菱形，它的面积等于瓷砖面积的一半．另外在同一个顶点处的瓷砖能够拼成一个淡黄色花纹的菱形，它的面积也等于瓷砖面积的一半，有花纹的菱形横排有13个，竖排也有13个，则一共有淡黄色花纹菱形13×13＝169个，面积相等的菱形一共有196＋169＝365(个)．正方形【学习目标】1．理解正方形的概念，了解平行四边形、矩形及菱形与正方形的概念之间的从属关系；2．掌握正方形的性质及判定方法．【要点梳理】要点一、正方形的定义四条边都相等，四个角都是直角的四边形叫做正方形.要点诠释：既是矩形又是菱形的四边形是正方形，它是特殊的菱形，又是特殊的矩形，更为特殊的平行四边形，正方形是有一组邻边相等的矩形，还是有一个角是直角的菱形.要点二、正方形的性质正方形具有四边形、平行四边形、矩形、菱形的一切性质.1.边——四边相等、邻边垂直、对边平行；2.角——四个角都是直角；3.对角线——①相等，②互相垂直平分，③每条对角线平分一组对角；4.是轴对称图形，有4条对称轴；又是中心对称图形，两条对角线的交点是对称中心.要点诠释：正方形具有平行四边形、矩形、菱形的一切性质，其对角线将正方形分为四个等腰直角三角形.要点三、正方形的判定正方形的判定除定义外，判定思路有两条：或先证四边形是菱形，再证明它有一个角是直角或对角线相等（即矩形）；或先证四边形是矩形，再证明它有一组邻边相等或对角线互相垂直（即菱形）.要点四、特殊平行四边形之间的关系或者可表示为：要点五、顺次连接特殊的平行四边形各边中点得到的四边形的形状（1）顺次连接平行四边形各边中点得到的四边形是平行四边形.（2）顺次连接矩形各边中点得到的四边形是菱形.（3）顺次连接菱形各边中点得到的四边形是矩形.（4）顺次连接正方形各边中点得到的四边形是正方形.要点诠释：新四边形由原四边形各边中点顺次连接而成.（1）若原四边形的对角线互相垂直，则新四边形是矩形.（2）若原四边形的对角线相等，则新四边形是菱形.（3）若原四边形的对角线垂直且相等，则新四边形是正方形.【典型例题】类型一、正方形的性质1、如图，在一正方形ABCD中．E为对角线AC上一点，连接EB、ED，（1）求证：△B EC≌△DEC；（2）延长BE交AD于点F，若∠DEB＝140°．求∠AFE的度数．【思路点拨】先由正方形的性质得出CD=CB，∠DCA=∠BCA，根据SAS证出△BEC≌△DEC，再由全等三角形的对应角相等得出∠DEC=∠BEC=70°，然后根据对顶角相等求出∠AEF，根据正方形的性质求出∠DAC，最后根据三角形的内角和定理即可求出∠AFE的度数．【答案与解析】（1）证明：∵四边形ABCD是正方形，∴CD＝CB，∠DCA＝∠BCA，∵CE＝CE，∴△BEC≌△DEC．（2）解：∵∠DEB＝140°，∵△BEC≌△DEC，∴∠DEC＝∠BEC＝70°，∴∠AEF＝∠BEC＝70°，∵∠DAB＝90°，∴∠DAC＝∠BAC＝45°，∴∠AFE＝180°－70°－45°＝65°．答：∠AFE的度数是65°．【总结升华】本题主要考查对正方形的性质，全等三角形的性质和判定，三角形的内角和定理，对顶角等知识点的理解和掌握，能熟练地运用这些性质进行推理是解此题的关键.2、如图，四边形ABCD是边长为2的正方形，点G是BC延长线上一点，连接AG，点E、F分别在AG上，连接BE、DF，∠1＝∠2，∠3＝∠4．（1）证明：△ABE≌△DAF；（2）若∠AGB＝30°，求EF的长．【思路点拨】要证明△ABE≌△DAF，已知∠1＝∠2，∠3＝∠4，只要证一条边对应相等即可．要求EF的长，需要求出AF和AE的长．【答案与解析】（1）证明：∵四边形ABCD是正方形，∴AD＝AB，∵∠1＝∠2，∠3＝∠4，∴△DAF≌△ABE．（2）解：∵四边形ABCD是正方形，∠AGB＝30°，∴AD∥BC，∴∠1＝∠AGB＝30°，∵∠1＋∠4＝∠DAB＝90°，∵∠3＝∠4，∴∠1＋∠3＝90°，∴∠AFD＝180°－（∠1＋∠3）＝90°，∴DF⊥AG，∴DF＝11 2AD=∴A F＝3∵△ABE≌△DAF，∴AE＝DF＝1，∴EF＝31-【总结升华】通过证三角形全等得到边和角相等，是有关四边形中证边角相等的最常用的方法．而正方形的四条边相等，四个角都是直角为证明三角形全等提供了条件．类型二、正方形的判定3、如图所示，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠BAC、∠ABC的平分线相交于点D，且DE ⊥BC于点E，DF⊥AC于点F，那么四边形CEDF是正方形吗?请说明理由．【答案与解析】解：是正方形，理由如下：作DG⊥AB于点G．∵ AD平分∠BAC，DF⊥AC，DG⊥AB，∴ DF＝DG．同理可得：DG＝DE．∴ DF＝DE．∵ DF⊥AC，DE⊥BC，∠C＝90°，∴四边形CEDF是矩形．∵ DF＝DE．∴四边形CEDF是正方形．【总结升华】(1)本题运用了“有一组邻边相等的矩形是正方形”来判定正方形．(2)证明正方形的方法还可以直接通过证四条边相等加一个直角或四个角都是直角来证明正方形．类型三、正方形综合应用4、如图，在平面直角坐标系xoy中，边长为a(a为大于0的常数)的正方形ABCD的对角线AC、BD相交于点P，顶点A在x轴正半轴上运动，顶点B在y轴正半轴上运动(x轴的正半轴、y轴的正半轴都不包含原点O)，顶点C、D都在第一象限．(1)当∠BAO＝45°时，求点P的坐标；(2)求证：无论点A在x轴正半轴上、点B在y轴正半轴上怎样运动，点P都在∠AOB 的平分线上；【答案与解析】解：(1)当∠BAO＝45°时，∠PAO＝90°，在Rt△AOB中，OA＝22AB＝22a，在Rt△APB中，PA＝22AB＝22a．∴点P的坐标为22,22a a⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭．(2)如图过点P分别作x轴、y轴的垂线垂足分别为M、N，则有∠PMA＝∠PNB＝∠NPM＝∠BPA＝90°，∵∠BPN＋∠BPM＝∠APM＋∠BPM＝90°∴∠APM＝∠BPN，又PA＝PB，∴△PAM≌△PBN，∴ PM＝PN，又∵ PN⊥ON，PM⊥OM于是，点P在∠AOB的平分线上.【总结升华】根据题意作出辅助线，构造全等的直角三角形是解题关键.。

平行四边形知识点复习总结四边形按两组对边是否平行可分为普通四边形（两组都不平行）、梯形（一组对边平行，另一组对边不平行）和平行四边形（两组对边分别平行），矩形、菱形、正方形都是特殊的平行四边形。

一、平行四边形1 定义：两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形。

2 平行四边形的性质：0平行四边形对边平行1平行四边形的对边相等2平行四边形的对角相等3平行四边形的两条对角线互相平分4平行四边形是中心对称图形，对称中心是两条对角线的交点3 平行四边形的判定（5种判定方法）：0两组对边分别平行的四边形是平行四边形1两组对边分别相等的四边形是平行四边形2一组对边平行且相等的四边形是平行四边形3对角线互相平分的四边形是平行四边形4两组对角分别相等的四边形是平行四边形二、矩形1 定义：有一个内角是直角的平行四边形叫做矩形。

2 矩形的性质（矩形是特殊的平行四边形，具有平行四边形的所有性质）：1矩形的四个角都是直角。

2矩形的两条对角线相等。

3矩形既是中心对称图形，也是轴对称图形。

对称中心是两条对角线的交点，对称轴是对边的中点的连线所在的直线（有两条）。

3 矩形的判定（3种判定方法）：0有一个内角是直角的平行四边形叫做矩形。

（先证平行四边形，再证一个角为直角）1有三个内角是直角的四边形是矩形。

（直接证三个内角是直角）2对角线相等的平行四边形是矩形。

（先证平行四边形，再证对角线相等）三、菱形1 定义：有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形。

2 菱形的性质（菱形是特殊的平行四边形，具有平行四边形的所有性质）：1菱形的四条边都相等。

2菱形的对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角。

3菱形既是中心对称图形，也是轴对称图形。

对称中心是两条对角线的交点，对称轴是对角线所在的直线（有两条）。

3 菱形的判定（3种判定方法）：0有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形。

（先证平行四边形，再证一组邻边相等）1四条边都相等的四边形是菱形。

（直接证四条边相等）2 对角线互相垂直的平行四边形是菱形。

辅导讲义是”；是平行四边形，可以记做“ABDC1题图2．如图所示，在ABCD所示，在ABCD125．在ABCD 中，∠B-∠A=30°，则∠A ，∠B ，∠C ，∠D 的度数是（ ）．A ．95°，85°，95°，85°B ．85°，95°，85°，95°C ．105°，75°，105°，75°D ．75°，105°，75°，105° 6．在ABCD 中，∠A ：∠B ：∠C ：∠D 的值可以是（ ）．A ．1：2：3：4B ．3：4：4：3C ．3：3：4：4D ．3：4：3：4 7．如图所示，如果ABCD 的对角线AC ，BD 相交于点O ，•那么图中的全等三角形有（ ）．A ．1对B ．2对C ．3对D ．4对8．如图所示，若平行四边形ABCD 的周长为22cm ，AC ，BD 相交于点O ，•△AOD 的周长比△AOB 的周长小3cm ，则AD=_______，AB=_______． 答案：4cm 7cm知识点3 平行四边形的面积 9．如图所示，ABCD 的对角线AC 的长为10cm ，∠CAB=30°，AB 的长为6cm.求ABCD 的面积．答案：30cm 210．如图所示，在ABCD 中，AB=10cm ，AB 边上的高DH=6cm ，BC=6cm ，求BC 边上的高DF 的长．答案：10cm知识点4 平行四边形的判定11．1已知：如图，ABCD 中，E 、F 分别是AD 、BC 的中点，求证：BE=DF ． 提示：证明DE ∥BF ，DE=BF12．1已知：如图，ABCD 中，E 、F 分别是AC 上两点，且BE ⊥AC 于E ，DF ⊥AC 于F ． 求证：四边形BEDF 是平行四边形． 提示：证明BE ∥DF ，BE=DF13．1已知：如图ABCD 的对角线AC 、BD 交于点O ，E 、F 是AC 上的两点，并且AE=CF ．求证：四边形BFDE 是平行四边形． 提示：证明OB=OD, OE=OF知识点5 三角形的中位线14．1如图，A 、B 两点被池塘隔开，在AB 外选一点C ，连结AC 和BC ，并分别找出AC 和BC 的中点M 、N ，如果测得MN=20 m ，那么A 、B 两点3题图 4题图7题图 8题图3的距离是 m ，理由是 ．答案：40 三角形两边的中点连线平行于第三边且等于第三边的一半15．1△ABC 中，D 、E 分别为AB 、AC 的中点，若DE ＝4，AD ＝3，AE ＝2，则△ABC 的周长为______． 答案：1816．1已知：如图（1），在四边形ABCD 中，E 、F 、G 、H 分别是AB 、BC 、CD 、DA 的中点． 求证：四边形EFGH 是平行四边形． 提示：连结BD ，利用中位线定理得：EH BD ，GFBD知识点6 矩形的定义与性质 17．已知在四边形ABCD 中，AB CD ，请添加一个条件，使四边形ABCD 是矩形，•加上的条件是_______．答案：AC=BD (答案不唯一) 18．如图所示，M 是ABCD 的边AD 的中点，且MB=MC ．求证：ABCD 是矩形．提示：证明△ABM ≌△DCM ，得到∠A=∠D ，又因为∠A+∠D=180°19．如图所示，矩形ABCD 的两条对角线相交于点D ，∠AOD=120°，AB=4cm ，求矩形的对角线的长．答案：8cm知识点7 直角三角形斜边中线的性质20．已知直角三角形两直角边的长分别为6cm 和8cm ，则斜边上的中线长 ． 答案：5cm21．如图所示，在△ABC 中，∠ACB=90°，点D ，E 分别为AC ，AB 的中点，点F•在BC 的延长线上，且∠CDF=∠A ．求证：四边形DECF 为平行四边形． 提示：AE=CE,得到角相等，推出DF ∥CE ，又DE ∥BF ，即证 22．如图所示，在△ABC 中，∠C=90°，AC=BC ，AD=BD ，PE ⊥AC 于点E ，PF⊥BC 于点F ，求证：DE=DF ． 提示：连结CD ，证明△ADE ≌△CDF 知识点8 矩形的判定 23．下列说法中：（1）四个角都相等的四边形是矩形．（2）两组对边分别相等并且有一个角是直角的四边形是矩形． （3）对角线相等并且有一个角是直角的四边形是矩形．B=AC，推出．如图所示，在菱形ABCD4如图，ABCD．对角线互相平分．若正方形的一条对角线长为，则它的边长是求∠AFD的度数．56提示：证明△ABE ≌△BCF知识点12 正方形的判定43．有下列命题，其中真命题有（ ）． ①四边都相等的四边形是正方形； ②四个内角都相等的四边形是正方形；③有三个角是直角，且有一组邻边相等的四边形是正方形； ④对角线与一边夹角为45°的四边形是正方形．A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个 44．如图所示，在△ABC 中，∠ABC=90°，BD 平分∠ABC ，DE ⊥BC ，DF ⊥AB. 求证：四边形BEDF 是正方形．提示：由角平分线的性质可推出：DE=DF ，又三个角为90°的四边形是矩形，所以推出四边形BEDF 是正方形．一、专题精讲专题1 动点问题例1 1如图所示，在矩形ABCD 中，AB=4cm ，BC=8cm 、点P 从点D 出发向点A 运动，同时点Q 从点B 出发向点C 运动，点P 、Q 的速度都是1cm/s ．(1）在运动过程中，四边形AQCP 可能是菱形吗？如果可能，那么经过多少秒后，四边形AQCP 是菱形？(2）分别求出菱形AQCP 的周长、面积．分析：（1）设经过x 秒后，四边形AQCP 是菱形，根据菱形的四边相等列方程即可求得所需的时间．（2）根据第一问可求得菱形的边长，从而不难求得其周长及面积． 解答：解：（1）经过x 秒后，四边形AQCP 是菱形 ∴DP=xcm，AP=CP=AD-DP=（8-x ）cm ， ∵DP 2+CD 2=PC 2，∴16+x 2=（8-x ）2，解得x=3 即经过3秒后四边形是菱形．（2）由第一问得菱形的边长为5∴菱形AQCP的周长=5×4=20（cm）菱形AQCP的面积=5×4=20（cm2）点评：此题主要考查菱形的性质及矩形的性质的理解及运用．ABC’D’是菱形，并请说8ABCFD ∴BC′=21AC ． 而∠ACB=30°， ∴AB=21AC ∴AB=BC′．∴四边形ABC′D′是菱形．点评：本题即考查了全等的判定及菱形的判定，注意对这两个判定定理的准确掌握．考查了学生综合运用数学的能力． 重合，点D 落到分析：（1）根据平行四边形的性质及折叠的性质我们可以得到∠B=∠D′，AB=AD′，∠1=∠3，从而利用ASA 判定△ABE≌△AD′F；（2）四边形AECF 是菱形，我们可以运用菱形的判定，有一组邻边相等的平行四边形是菱形来进行验证．∴△ABE≌△AD′F（ASA）．（2）解：四边形AECF是菱形．证明：由折叠可知：AE=EC，∠4=∠5．∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC．∴∠5=∠6．∴∠4=∠6．∴AF=AE．∵AE=EC，∴AF=EC．又∵AF∥EC，∴四边形AECF是平行四边形．∵AF=AE，∴平行四边形AECF是菱形．点评：此题考查了全等三角形的判定及菱形的判定方法，做题时要求学生对常用的知识点牢固掌握．分析：要证明HG与HB是否相等，可以把线段放在两个三角形中证明这两个三角形全等，或放在一个三角形中证明这个三角形是等腰三角形，而图中没有这样的三角形，因此需要作辅助线，构造三角形．910∴Rt△AGH≌Rt△ABH（HL），∴HG=HB．证法2：连接GB，∵四边形ABCD，AEFG都是正方形，∴∠ABC=∠AGF=90°，由题意知AB=AG，∴∠AGB=∠ABG，∴∠HGB=∠HBG，∴HG=HB．点评：解答本题要充分利用正方形的特殊性质．注意在正方形中的特殊三角形的应用，搞清楚矩形、菱形、正方形中的三角形的三边关系，可有助于提高解题速度和准确率．二、专题过关1. 如图所示，△ABC中，点O是AC边上一个动点，过点O作直线MN∥BC，设MN交∠BCA的平分线于E，交∠BCA的外角平分线于点F.(1)求证：EO=FO(2)当点O运动到何处时，四边形AECF是矩形？并证明你的结论.分析：（1）根据平行线性质和角平分线性质及，由平行线所夹的内错角相等易证．（2）根据矩形的判定方法，即一个角是直角的平行四边形是矩形可证解答：（1）证明：∵CE平分∠ACB，∴∠1=∠2，又∵MN∥BC，∴∠1=∠3，∴∠3=∠2，∴EO=CO，同理，FO=CO ，∴EO=FO．（2）解：当点O 运动到AC 的中点时，四边形AECF 是矩形．∵EO=FO，点O 是AC 的中点．∴四边形AECF 是平行四边形，∵C F 平分∠BCA 的外角，∴∠4=∠5，又∵∠1=∠2，∴∠2+∠4=21×180°=90°． 即∠ECF=90度，∴四边形AECF 是矩形．点评：本题涉及矩形的判定定理，解答此类题的关键是要突破思维定势的障碍，运用发散思维，多方思考，探究问题在不同条件下的不同结论，挖掘它的内在联系，向“纵、横、深、广”拓展，从而寻找出添加的条件和所得的结论．12图3【解法指导】欲证两条线段之和等于第三条线段，可通过截长补1415 分析：过F 作AB 、CD 的平行线FG ，由于F 是AD 的中点，那么G 是BC 的中点，即Rt△BCE 斜边上的中点，由此可得BC=2EG=2FG ，即△GEF、△BEG 都是等腰三角形，因此求∠B 的度数，只需求得∠B EG 的度数即可；易知四边形ABGF 是平行四边形，得∠EFG=∠AEF，由此可求得∠FEG 的度数，即可得到∠AEG 的度数，根据邻补角的定义可得∠BEG 的值，由此得解．解答：解：过F 作FG∥AB∥CD，交BC 于G ；则四边形ABGF 是平行四边形，所以AF=BG ，即G 是BC 的中点；连接EG ，在Rt△BEC 中，EG 是斜边上的中线，则BG=GE=FG=21BC ； ∵AE∥FG，∴∠EFG=∠AEF=∠FEG=54°，∴∠AEG=∠AEF+∠FEG=108°，∴∠B=∠BEG=180°-108°=72°．故选D ．点评：此题主要考查了平行四边形的性质、直角三角形的性质以及等腰三角形的判定和性质，正确地构造出与所求相关的等腰三角形是解决问题的关键．17。

第12讲平行四边形复习训练考点一、平行四边形的性质及判定 【知识要点】（1）、平行四边形的边、角、对角线性质， 对称性 （2）、平行四边形判定方法 （3）、三角形中位线【典型例题】例1、下列图形中是中心对称图形，但不是轴对称图形的是（ ） A 、菱形 B 、矩形 C 、正方形 D 、平行四边形例2、如图,□ABCD 与□DCFE 的周长相等,且∠BAD=60°,∠F=110°,则∠DAE 的度数为 例3、如图,在平行四边形ABCD 中,AB=4,∠BAD 的平分线与BC 的延长线交于点E,与DC 交于点F,且点F 为边DC 的中点,DG ⊥AE,垂足为G,若DG=1,则AE 的长为（ ） A 、2B 、4C 、4D 、8例4、平面直角坐标系中，□ABCD 的顶点，A ，B ，D 的坐标分别是（0，0）（5，0），（2，3），则顶点C 的坐标是（ ）A 、（3,7）B 、(5,3)C 、(7,3)D 、 (8,2)（例2） （例3） （例4） 例5、如图，E 是平行四边形内任一点， 若S 平行四边形ABCD＝8，则图中阴影部分的面积是（ ） A 、3B 、4C 、5D 、6例6、如图，将平行四边形ABCD 纸片沿EF 折叠，使点C 与点A 重合，点D 落在点G 处。

（1）求证：AE ＝AF （2）求证：△ABE ≌△AGF例7、如图所示：四边形ABCD 是平行四边形，DE 平分BF ADC ,∠平分ABC ∠．试证明四边形BFDE 是平行四边形．例8、如图，在△ABC 中，AB ＝4，AC ＝3，BC ＝5，以三边为边，在BC 的同侧分别作三个等边三角形即△ABD、△BCE、△ACF。

（1）求证：四边形EFAD是平行四边形；（2）求四边形EFAD的面积。

1、在平行四边形ABCD中，∠A：∠B：∠C：∠D的值可能是（）A、1：2：3：4B、2：2：3：3C、2：3：2：3D、2：3：3：22、顺次连结四边形各边的中点，所成的四边形必定是（）A、等腰梯形B、直角梯形C、矩形D、平行四边形3、如图，在ABCD中，AB＝5，AD＝8，∠BAD、∠ADC的平分线分别交BC于E、F，则EF的长为（）A、1B、2C、3D、44、如图，在□ABCD中，EF∥AD, GH∥AB,EF、GH相交于点Ｏ，则图中共有个平行四边形．（3）（4）5、如图，△ABC 中，∠ACB=90°，点D、E分别为AC，AB中点，点F在BC延长线上，且∠CDF=∠A。