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教学时数： 3学时
课 题：点的投影
教学目标：
1、了解点的投影规律与投影轴投影面的关系；
2、掌握求作、分析点的方法。
教学重点：
求点的投影的几种方法及投影分析。
教学难点：
点与投影轴、投影面关系的分析判断。
教学方法：
讲授法、演示法
教 具：
教材
教学步骤：
（复习提问）
1、三视图的三等关系是如何叙述的？
2、三投影面体系中各个平面的代号分别是什么？
（引入新课）
点、线、面是构成物体形状的基本几何元素。学习和掌握它们的投影特性和规律，能够透彻理解机械图样所表达的内容。
（讲授新课）
69 任务二点的投影
一、点的投影特性：点的投影永远是点。
二、点的投影标记（图3-9）
空间点用：A、B、C、D ……标记。
空间点在H面上的投影用：a、b、c、d ……标记；
空间点在V面上的投影用：a´、b´、c´、d´ ……标记；
空间点在W面上的投影用：a´´、b´´、c´´、d´´ ……标记。
三、点的三面投影
四、点的投影规律
（1）点的正面投影与水平面投影的连线一定垂直于OX轴，即aa´⊥OX；
（2）点的正面投影与侧面投影的连线一定垂直于OZ轴，即
70 a´a´´⊥OZ；
（3）点的水平面投影到OX轴的距离等于点的侧面投影到OZ轴的距离，即aaX=aaZ
例：找一点的三面投影（已知一点的两面投影，求第三面投影）
五、点的坐标
A点到W面的距离为X的坐标值
A点到H面的距离为Z的坐标值A点表示为A（x,y,z）
A点到V面的距离为Y的坐标值
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X坐标确定空间点在投影面体系中的左右位置；（横标）
Y坐标确定空间点在投影面体系中的前后位置；（纵标）
Z坐标确定空间点在投影面体系中的高低位置。（高标）
六、点的投影与坐标
水平面投影a由A点的x、y两坐标确定。
正面投影a´由A点的x、z两坐标确定。
侧面投影a´´由A点的y、z两坐标确定。
Projection of a point
点的投影
Relative position of two points on a solid
立体上二点的相对位置
Identification and labeling of coincident point
重影点的判别与标注
Exercises
练习题 Projection of Points on a Solid
立体上点的投影
请点击相应标题显示其内容 2 W
Y
V
H
x
Z
O A Projection of a point
点的投影 1.
Projection of the point A 空间点 A 的投影
请点击鼠标左键显示后面内容
a —— The horizontal projection of the point A
点A
在水平面 H上的投影；
a' —— The frontal projection of the point A
点A在正平面 V上的投影；
a"—— The profile projection of the point A
点A在侧平面 W上的投影。 a' a"
a 3 Z
= a'ax =
a"
a
Yw
→
The distance of
A
to H. (
A
点到水平面
H
的距离
)
a'a"OZ The height alignment, Z equal.
即高平齐,
Z相等
H
X
O Yw
YH Z
V W
X Y Y Z 2. The principle of points
点的投影规律
3. Relation of points projection & coordinate
点的坐标与投影的关系
请点击鼠标左键显示后面内容 Projection of a point 点的投影
aa' OX The length alignment, X equal.
即长对正, X相等
aa" OY The width equality , Y equal.
高一数学投影的基础知识点
在高一数学学习中，投影是一个非常重要的概念和技巧。投影常常涉及到三维几何问题，它可以帮助我们理解和解决空间中的各种计算和分析。本文将介绍高一数学中投影的基础知识点，帮助同学们对这一内容有更深入的了解。
一、点的投影
在空间中，点的投影是指从该点引一条垂直于某个平面的线段，该线段与该平面的交点称为该点在该平面上的投影点。对于给定的点P和平面α，求解点P在平面α上的投影点是一个常见的问题。
1.1 点到平面的投影
设点P(x, y, z)是空间中的一个点，平面α的方程为Ax + By +
Cz + D = 0。对于点P，我们需要求解点P在平面α上的投影点Q的坐标。由于点Q是在平面α上的，所以它满足平面α的方程。我们可以通过求解联立方程组来求解点Q的坐标。具体而言，我们可以将点Q的坐标表示为(x, y, z) + λ(A, B, C)，其中λ为实数。代入平面α的方程，即可得到关于λ的方程，解出λ，从而求得点Q的坐标。
1.2 点到直线的投影
与点到平面的投影类似，我们也可以求解点在直线上的投影。设点P(x, y, z)是空间中的一个点，直线l的方程为
l:
由于点Q在直线l上，所以它满足直线l的方程。同样的，我们可以通过求解联立方程组来求解点Q的坐标。具体而言，我们可以将点Q的坐标表示为(x, y, z) + λ(a, b, c)，其中λ为实数。代入直线l的方程，即可得到关于λ的方程，解出λ，从而求得点Q的坐标。
二、直线的投影
在高一数学中，求解直线在平面上的投影也是一个重要的技巧。同样地，我们需要考虑直线与平面的关系来求解直线在平面上的投影。
2.1 直线与平面的关系
设直线l的方程为
l: 平面α的方程为Ax + By + Cz + D = 0。对于直线l，我们需要求解直线l在平面α上的投影直线m的方程。首先，我们需要找到直线l与平面α的交点，即求解联立方程组。将交点表示为(x0,
2投影法和三视图
2.1体的三视图及其投影规律
2.1.1常用的投影方法
在工程上常用各种投影方法绘制工程图，常用投影方法有中心投影法、平行投影法。
（1） 中心投影法
如图2-1-1所示的投影法中，所有的投影线都汇交于一点，称为中心投影法。中心投影法得到的物体的投影与投影中心、空间物体和投影面三者之间位置有关，投影不能反映物体的真实大小，但是图形富有立体感。因此，中心投影法通常用来绘制建筑物或富有逼真感的立体图，也称为透视图。
图2-1-1 中心投影法
（2） 平行投影法
如图2-1-2所示，投射线Aa、Bb、Cc是相互平行的，称为平行投影法。平行投影法又称为正投影法和斜投影法。
(a)正投影法 (b)斜投影法
图2-1-2 平行投影法
投射线垂直于投影面，为正投影法；投影线倾斜于投影面为斜投影法。在平行投影法中，如果平面与投影面平行，得到的投影就能反映平面的真实形状和大小并且投影同平面和投影面的距离无关。
2.1.2投影规律
在机械图中常用正投影法，它具有以下规律：
1. 真实性：当空间物体平行于投影面时，投影反映空间物体的实形。
2. 积聚性：当空间物体垂直于投影面时，投影积聚为直线和点。
3. 类似性：当空间物体倾斜于投影面时，投影与原图形类似。
2.2点的投影特性
点是组成形体的最基本的几何要素。
2.2.1点的单面投影（如图2-2-1所示）
设定投影面P，由一个空间点A做垂直于P面的投影线，相交于P面上一点a，点a就是空间点A在P面上的投影。由此可见：一个空间点在一个投影面上有唯一确定的投影。反之，如果已知点A在投影面P上的投影a，不能唯一地确定该点的空间位置，这是由于在从点A所做的P面的垂直线上所有各点的投影都位于a处。
图2-2-1 点的单面投影
由于单面投影不能够确定点的唯一位置，所以在工程上常把几何体想象成放在相互垂直的两个或两个以上投影面间，在投影面上形成的投影就是多面正投影。
