第二章 投影的基本知识
【学习目的】 掌握正投影的基本原理，掌握三视图的形成及其投影规律，掌握点、线、面的投影特性。
【学习要点】投影的基本特性；物体的三视图的绘制；点、线、面的投影特性。
第一节 投影方法
一、 投影的概念
（一）投影法的概念
在日常生活中，我们看到在太阳光或灯光照射物体时，在地面或墙壁上出现物体的影子，这就是一种投影现象。
投影法与自然投影现象类似，就是投影线通过物体向选定的投影面投射，并在该面上得到图形的方法，用投影法得到的图形称作投影图或投影，如图2-1所示。
CBA投影中心投影线abcP投影面空间物体投影
图2-1 投影的产生
产生投影时必须具备的三个基本条件是投影线、被投影的物体和投影面。
需要注意的是，生活中的影子和工程制图中的投影是有区别的，投影必须将物体的各个组成部分的轮廓全部表示出来，而影子只能表达物体的整体轮廓，并且内部为一个整体如图2-2所示。
(a)影子 (b)投影
图2-2 投影与影子的区别 二、 投影法分类
根据投影线与投影面的相对位置的不同，投影法分为两种。
（一） 中心投影法
投影线从一点出发，经过空间物体，在投影面上得到投影的方法（投影中心位于有限远处），如图2-3所示。
CBA投影中心投影线abcP投影面空间物体投影
图2-3 中心投影法
缺点：中心投影不能真实地反映物体的大小和形状，不适合用于绘制水利工程图样。
优点：中心投影法绘制的直观图立体感较强，适用于绘制水利工程建筑物的透视图。
（二） 平行投影法
投影线相互平行经过空间物体，在投影面上得到投影的方法（投影中心位于无限远处），称为平行投影法。平行投影法根据投影线与投影面的角度不同,又分为正投影法和斜投影法，如图2-4所示。（a）为斜投影法，（b）为正投影法。
(b)(a)cbaCBAcbaCBA 图2-4 平行投影法
优点：正投影法能够表达物体的真实形状和大小，作图方法也较简单，所以广泛用于绘制工程图样。
点的投影定理
点的投影定理：
点的投影规律是投影连线垂直于投影轴;投影与投影轴的距离,反映该点的坐标,也就是该点与相应的投影面的距离;点动成线,线动成面,点的投影是直线投影和平面投影的基础。
点的投影性质：
由空间点A分别作垂直于H、V和W的投射线，其垂足a、a′、a″即为点A在H面、V面和W面上的投影。空间点用大写字母如A、B表示，水平投影用相应的小写字母表示。
点的两面投影规律(V/H两面投影体系中)
1、点的投影连线垂直于投影轴。
2、点的投影到投影轴的距离，等于该点到相邻投影面的距离。
点的三面投影规律（V/H/W三面投影体系中）
1、点的投影连线垂直于投影轴。
2、点的投影到投影轴的距离，等于点的坐标，也就是该点与对应的相邻投影面的距离。
在几何学、拓扑学以及数学的相关分支中，空间中的点用于描述给定空间中的 1 种特别的对象，在空间中有类似于体积、面积、长、宽、高的类似物。1 个点是 1 个 0 维的对象。点作为最简单的图形概念，通常作为几何学、物理学、矢量图形和其他领域中最基本的组成部分。
扩展资料：
在v面上的投影称为正面投影，以b'表示;在H面上的投影称为水平投影，以b表示;在W面上的投影称为侧面投影，以b"表示.然后，将投影面进行旋转，V面不动，H，W面按箭头方向旋转90°，即将三个投影面展成一个平面，从而得到点的三个投影的正投影图。
物体在太阳光的照射下形成的影子（简称日影）就是平行投影。日影的方向可以反映时间，古埃及的绿石板影钟和我国古代的计时器日晷，就是根据日影，来观测时间的。皮影戏是利用自然光或蜡烛光源的照射，把影子的形态反映在银幕（投影面）上的表演艺术。
1 第2章点、直线、平面的投影复习 思考题答案
复习思考题：
2.1 简述为什么不能用单一的投影面来确定空间点的位置？
答：因为投影不具有可逆性。从投影不能确定点的空间位置。
2.2 为什么根据点的两个投影便能作出其第三投影？具体作图方法是怎样的？
答：因为点的任意两个投影的坐标已经标识了空间坐标情况，故可以通过点的两个投影作出第三个投影。作图方法是：
（1）点的正面投影和水平投影的连线垂直于OX轴（a′a丄OX）,即长对正；
（2）点的正面投影和侧面投影的连线垂直于OZ轴（a′a"丄OZ），即高平齐；（3）点的水平投影到OX轴的距离等于点的侧面投影到OZ轴的距离（a" az =a
ax ），即宽相等。
2.3如何判断重影点在投影中的可见性？怎么标记？
答：重影点在投影中的可见性根据点的坐标值大小来判断。坐标值大者可见，反之不可见。不可见点加（）标识。
2.4空间直线有哪些基本位置？
答：空间直线与投影面的位置关系有倾斜、垂直、平行。
2.5如何检查投影图上点是否属于直线？
答：检查投影图上点是否属于直线可以采用定比法或者第三面投影法。
2.6什么是直线的迹点？在投影图中如何求直线的迹点？
答：空间直线与投影面的交点称为迹点。在投影图中利用迹点是属于投影面上的点的特征及属于直线上的点的投影特征（从属性）求解。
2.7试叙述直角三角形法的原理，即直线的倾角、线段的实长、与其直线的投影之间的关系。
答：以线段在某个投影面上的投影为一直角边，以线段的两端点到这个投影面的距离差为另一直角边，作一个直角三角形，此直角三角形的斜边就是所求线段的实长，而且此斜边和投影的夹角，就等于线段对该投影面的倾角。
2.8两直线的相对位置有几种？它们的投影各有什么特点？
2 答：两直线的相对位置关系有平行、相交、交叉。
两直线在空间相互平行，则它们的同面投影也相互平行。
两直线在空间相交，则它们的同面投影也相交，而且交点符合空间点的投影特性。
第二章
点、直线、平面的投影
§2.1
投影法
工程式样，工程技术等问题，一般都采用工程图样来表示．工程图样根据使用要求
和使用场合的不同，获得的方法也不同．在绘制工程图样时，通常采用投影法．所谓投
影法，就是用投影的方法获得图样．在日常生活中，人们常见到，当物体受到光线照射
时，在物体背光一面的地上或墙上就会投下该物体的影子，这就是投影．这样的影子只
能反映该物体的轮廓形状，不能反映物体内外各部分的具体形状，在工程上没有实用价
值．经过人们长期研究，对日常生活中的投影加以提
炼，对物体内外各部分的所有空间几何元素 (点、线、
面) 用各种不同的线型加以具体化，从而形成工程上实
用的、完整的投影法．
投影法一般分为两类：中心投影法和平行投影法．
一 中心投影法
如图 2.1 所示，投影线都自投影中心 S 出发，将空
图 2.1 中心投影法 间△ABC 投射到投影面 P 上，所得△abc 就是ABC
的投影．这种投影线都从投影中心出发的投影法，称
为中心投影法．所得的投影称为中心投影．
中心投影法主要用于绘制建筑物或产品的富有逼真感的立体图，也称透视图．
二 平行投影法
若将投影中心 S 移到无穷远处，则所有的投影线就互相平行，这种投影线互相平行
的投影法称为平行投影法，见图 2.2，所得投影称为平行投影．
(a) 正投影法
图 2.2
平行投影法
(b) 斜投影法
1
平行投影法中，若投影线垂直于投影面，称为正投影法，所得投影称为正投影．投
影线也可以倾斜于投影面，称为斜投影法，所得投影称为斜投影。
正投影法主要用于绘制机械图样．斜投影法主要用于绘制有立体感的图形．
三 正投影法的主要特性
点在任何情况下的投影都是点．为了充分反映正投影法的投影特性，我们对直线和
平面的投影进行阐述．直线和平面与投影面之间的位置关系只有三种：平行、垂直、倾
斜．若直线和平面就在投影面上，则可归入平行即可．在这三种情况下．直线和平面的
