概率论与数理统计第一章课后习题及参考答案

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1．写出下列随机试验的样本空间．

(1)记录一个小班一次数学考试的平均分数(以百分制记分)；

(2)一个口袋中有5个外形相同的球，编号分别为1，2，3，4，5，从中同时取

出3个球；

(3)某人射击一个目标，若击中目标，射击就停止，记录射击的次数；

(4)在单位圆内任意取一点，记录它的坐标．

解：(1)}100,,2,1{；

(2)}345,235,234,145,135,134,125,124,123{；

(3)},2,1{；

(4)}|),{(22yxyx．

2．在}10,,2,1{，}432{，，A，}5,4,3{B，}7,6,5{C，具体写出下列各式：(1)BA；(2)BA；(3)BA；(4)BCA；(5)CBA．

解：(1),9,10}{1,5,6,7,8A，

}5{BA；(2)}10,9,8,7,6,5,4,3,1{BA；

(3)法1：}10,9,8,7,6,2,1{B，

}10,9,8,7,6,1{BA，

}5,4,3,2{BA；

法2：}5,4,3,2{BABABA；

(4)}5{BC，

}10,9,8,7,6,4,3,2,1{BC，

}4,3,2{BCA，

}10,9,8,7,6,5,1{BCA；(5)}7,6,5,4,3,2{CBA，

{1,8,9,10}CBA．

3．设}20|{xx，}1

21|{xxA，}

41|{xxB，具体写出下列各

式：(1)BA；(2)BA；(3)AB；(4)BA．

解：(1)BBA，

23,

410|{xxxBBA；(2)BA；

(3)AAB，

}21,

210|{xxxAAB；(4)}

231,

41|{xxxBA．

4．化简下列各式：(1)))((BABA；(2)))((CBBA；(3)))()((BABABA．

解：(1)ABBABABA)())((；

(2)ACBCABCBBA)())((；(3)))(())()((BABBABABABAABABAABAA)(．

5．A，B，C表示3个事件，用文字解释下列事件的概率意义：(1)CBACBACBA；(2)BCACAB；(3))(CBA；(4)BCACAB．

解：(1)A，B，C恰有一个发生；

(2)A，B，C中至少有一个发生；

(3)A发生且B与C至少有一个不发生；

(4)A，B，C中不多于一个发生．

6．对于任意事件A，B，证明：ABAAB)(．证：ABBAABAABABAAB)()(AAAA．

7．把事件CBA表示为互不相容事件的和事件．解：)(])[(CABAAACBACBA

)(BCACBABAACABAA

CBABCABAA)(

CBABAA．

8．设0)(AP，0)(BP，将下列5个数

)(AP，)()(BPAP，)(BAP，)()(BPAP，)(BAP

按有小到大的顺序排列，用符号“”联结它们，并指出在什么情况下可能

有等式成立．

解：因为0)(AP，0)(BP，)()(BPABP，

故)()()()()()()()()(BPAPBAPAPBAPABPAPBPAP，

所以)()()()()()()(BPAPBAPAPBAPBPAP．

(1)若AB，则有)()()(BAPBPAP，)()(BAPAP；

(2)若AB，则有)()(APBAP，)()()(BPAPBAP．

9．已知BA，3.0)(AP，5.0)(BP，求)(AP，)(ABP，)(BAP和)(BAP．

解：(1)7.0)(1)(APAP；

(2)BA，AAB，则3.0)()(APABP；(3)2.0)()()()(ABPBPABPBAP；(4))(1)()(BAPBAPBAP5.0)]()()([1ABPBPAP．

10．设有10件产品，其中6件正品，4件次品，从中任取3件，求下列事件的

概率．

(1)只有1件次品；(2)最多1件次品；(3)至少一件次品．解：从10件产品中任取3件，共有3

10C种取法，

(1)记A{从10件产品中任取3件，只有1件次品}，

只有1件次品，可从4件次品中任取1件次品，共1

4C中取法，另外的两件

为正品，从6件正品中取得，共2

6C种取法．则事件A共包含2

4CC个样本点，

21)(

102

4CCCAP．

(2)记B{从10件产品中任取3件，最多有1件次品}，

C{从10件产品中任取3件，没有次品}，

则CAB，且A与C互不相容．

没有次品，即取出的3件产品全是正品，共有3

6C种取法，则

61)(

103

6CCCP，

32)()()()(CPAPCAPBP．

(3)易知C{从10件产品中任取3件，至少有1件次品}，则

65)(1)(CPCP．

11．盒子里有10个球，分别标有从1到10的标号，任选3球，记录其号码，求：

(1)最小号码为5的概率；(2)最大号码为5的概率．

解：从10个球中任选3球，共有3

10C种选法，

(1)记A{从10个球中任选3球，最小标号为5}，

事件A发生，则选出球的最小标号为5，另外两个球的标号只可从6，7，8，

9，10这5个数中任选，共有2

5C种选法，则

121)(

102

5CCAP．

(2)记B{从10个球中任选3球，最大标号为5}，

事件B发生，则选出球的最大标号为5，另外两个球的标号只可从1，2，3，

4这4个数中任选，共有2

4C种选法，则

5201)(

102

4CCBP．

12．设在口袋中有a个白球，b个黑球，从中一个一个不放回地摸球，直至留在

在口袋中的球都是同一种颜色为止．求最后是白球留在口袋中的概率．

解：设A{最后是白球留在口袋中}，

事件A即把ba个球不放回地一个一个摸出来，最后摸到的是白球，此概率显然为baaAP

)(．

13．一间学生寝室中住有6位同学，假定每个人的生日在各个月份的可能性相同，

求下列事件的概率：

(1)6个人中至少有1人的生日在10月份；

(2)6个人中有4人的生日在10月份；

(3)6个人中有4人的生日在同一月份．

解：设iB{生日在i月份}，则

iB{生日不在i月份}，12,,2,1i，易知121)(

iBP，

1211)(

iBP，12,,2,1i．

(1)设A{6个人中至少有1人的生日在10月份}，则A{6个人中没有一个人的生日在10月份}，

10)

1211(1)]([1)(1)(BPAPAP；

(2)设C{6个人中有4人的生日在10月份}，则62244

104

6121115)

1211()

121()]([)]([)(CBPBPCCP；

(3)设D{6个人中有4人的生日在同一月份}，则521

12121115)()(CPCDP．

14．在半径为R的圆内画平行弦，如果这些弦与垂直于弦的直径的交点在该直径

上的位置是等可能的，即交点在这一直径上一个区间内的可能性与此区间的

长度成正比，求任意画的弦的长度大于R的概率．

解：设弦与该直径的交点到圆心的距离为x，已知，当Rx23

，弦长大于半径R，从而所求的概率为

2232



RR

P．

15．甲乙两艘轮船驶向一个不能同时停泊两艘轮船的码头停泊，它们在同一昼夜

内到达的时刻是等可能的，如果甲船的停泊时间是1h，乙船的停泊时间是2h，

求它们中的任何一艘都不需要等候码头空出的概率．

解：设A{两艘中的任何一艘都不需要等候码头空出}，则A{一艘船到达泊位时必须等待}，

分别用x和y表示第一、第二艘船到达泊位的时间，则}10,20|),{(xyyxyxA，从而1207.02422

2123

2124

)()()(

2222







AAP；

8993.0)(1)(APAP．

16．甲、乙两人独立地对同一目标射击一次，其命中率分别为0.6和0.5，现已

知目标被击中，问由甲射中的概率为多少？

解：设A{甲击中目标}，B{乙击中目标}，C{目标被击中}，

则BAC，由题设知A与B相互独立，且

6.0)(AP，5.0)(BP，

所以)()()()()(ABPBPAPBAPCP

8.0)()()()(BPAPBPAP，从而

)()(

)()()|(

CPAP

CPACPCAP．

17．某地区位于河流甲与河流乙的汇合点，当任一河流泛滥时，该地区即被淹没，

设在某时期内河流甲泛滥的概率是0.1，河流乙泛滥的概率是0.2，又当河流

甲泛滥时引起河流乙泛滥的概率为0.3，求在该时期内这个地区被淹没的概率，

概率论与数理统计课后习题及参考答案

概率论与数理统计第三章课后习题及参考答案

1．设二维随机变量),(YX只能取下列数组中的值：)0,0(，)1,1(，)

,1(及)0,2(，且取这几组值的概率依次为

61，

31，

121和

125

，求二维随机变量),(YX的联合

分布律．

解：由二维离散型随机变量分布律的定义知，),(YX的联合分布律为

10

121

125

2．某高校学生会有8名委员，其中来自理科的2名，来自工科和文科的各3名．

现从8名委员中随机地指定3名担任学生会主席．设X，Y分别为主席来自理

科、工科的人数，求：(1)),(YX的联合分布律；(2)X和Y的边缘分布律．

解：(1)由题意，X的可能取值为0，1，2，Y的可能取值为0，1，2，3，则

561

)0,0(

3

YXP，

569

)1,0(

3CCC

YXP，

569

)2,0(

3

CCC

YXP，

561

)3,0(

3

YXP，

283

)0,1(

2

CCCYXP，

289

)1,1(

2

CCCC

YXP，

283

)2,1(

2

CCC

YXP，0)3,1(YXP，

563

)0,2(

2

CCC

YXP，

563

)1,2(

2

CCC

YXP，

0)2,2(YXP，0)3,2(YXP．

),(YX的联合分布律为：

0123

ip

561

569

561

145

283

289

283

2815

563

283

285

2815

561

(2)X的边缘分布律为

X012

145

2815

283

Y的边缘分布律为

Y0123

285

2815

561

3．设随机变量),(YX的概率密度为





其他．,0,42,20),6(

),(yxyxk

yxf

求：(1)常数k；(2))3,1(YXP；(3))5.1(YP；(4))4(YXP．

《概率论与数理统计》课后习题答案第一章

概率论与数理统计课后答案

习题1.1解答

1. 将一枚均匀的硬币抛两次，事件CBA,,分别表示“第一次出现正面”，“两次出现同一面”，“至少有一次出现正面”。试写出样本空间及事件CBA,,中的样本点。

解：(正，正)，（正，反），（反，正），（反，反）

A(正，正)，（正，反）；B（正，正），（反，反）

C(正，正)，（正，反），（反，正）

2. 在掷两颗骰子的试验中，事件DCBA,,,分别表示“点数之和为偶数偶数”，“点数之和小于5”，“点数相等”，“至少有一颗骰子的点数为3”。试写出样本空间及事件DCBABCCABAAB,,,,中的样本点。

解：)6,6(,),2,6(),1,6(,),6,2(,),2,2(),1,2(),6,1(,),2,1(),1,1(；

)1,3(),2,2(),3,1(),1,1(AB；

)1,2(),2,1(),6,6(),4,6(),2,6(,),5,1(),3,1(),1,1(BA；

CA；)2,2(),1,1(BC；

)4,6(),2,6(),1,5(),6,4(),2,4(),6,2(),4,2(),5,1(DCBA

3. 以CBA,,分别表示某城市居民订阅日报、晚报和体育报。试用CBA,,表示以下事件：

（1）只订阅日报；（2）只订日报和晚报；

（3）只订一种报；（4）正好订两种报；

（5）至少订阅一种报；（6）不订阅任何报；

（7）至多订阅一种报；（8）三种报纸都订阅；

（9）三种报纸不全订阅。

解：（1）CBA；（2）CAB；（3）CBACBACBA；

（4）BCACBACAB; （5）CBA；

（6）CBA；（7）CBACBACBACBA或CBCABA