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线性相关的等价条件

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线性相关性

线性相关性
1,2 , ,s , 线性相关，则 可经向量组
1,2 , ,s 线性表出，且表示式唯一。(习题3)
3、线性相关性的重要性质
1）充要条件
判断向量组 i (ai1,ai2 , ,ain ), i 1, 2, , s 是否线性相关就是看方程 x11 xss 0
有无非零解，即齐次线性方程组
a11 x1 a21 x2 as1 xs 0
1 (1, 2,3), 2 (2,1,0), 3 (1, 7,9)
是否线性相关？若线性相关，求一组非零数
k1, k2 , k3 , 使 k11 k22 k33 0.
解： 设 k11 k22 k33 0, 即有方程组
k21k12kk22
k3 0 7k3 0
,
3k1 9k3 0
3) 向量组{1,2,3}线性相关 其中一向量可由其余两向量线性 表示（共面），如1 k2 l3 （1 在2 和3 所确定的平面上）.
lα3 α3
α2
α1 kα2
定义1'：向量组 1,2 , ,s (s 1) 称为线性相关
的, 如果存在 P 上不全为零的数 k1, k2 , , ks，使
②向量组和它的任一极大无关组等价.
③一个向量组的极大无关组不一定是唯一的. ④一个向量组的任意两个极大无关组都等价. ⑤Th3:一个向量组的任意两个极大无关组都含有相 同个数的向量.
（根据定理2的推论1即得）
(二)、向量组的秩
1.定义 向量组的极大线性无关组所含向量个数
称为这个向量组的秩.
注 全部由零向量组成的向量组无极大无关组，
推论2 任意 n＋1 个 n 维向量必线性相关. （任意 m( n) 个 n 维向量必线性相关.）
推论3 两个线性无关的等价向量组必含相同个数 的向量.

线性代数中的几个等价关系

线性代数中的几个等价关系

线性代数中的几个等价关系作者：李斐郭卉来源：《课程教育研究·上》2013年第08期【摘要】本文讨论了线性代数之中的四个等价关系：矩阵等价，向量组等价，矩阵相似，矩阵合同；以及和四个等价关系相关的基本性质。

【关键词】等价关系矩阵向量组相似矩阵合同矩阵【中图分类号】O151.2 【文献标识码】A 【文章编号】2095-3089（2013）08-0144-01一、等价关系的定义在一个给定的集合S上，我们可以定义元素之间的某种关系。

如果该关系满足三个性质：（1）自反性（2）对称性（3）传递性，我们称该关系为等价关系（equivalence relation[1]），记为～。

自反性就是S中的任意元素和自身有该种关系，即A～A；对称性是若对于S中两个元素A、B，如果A～B，则有B～A；传递性是指对于S中三个元素A、B、C，如果A～B，则有B～C，则有A～C。

二、等价关系与分类若集合S上具有等价关系～，则按照该等价关系对S中的元素进行分类，就是把具有等价关系的元素归为一类，称为等价类，使得S成为成为各等价类的无交并。

这样当S有一个等价关系，S也就有了一个分类标准。

反之，对于集合S，若给一个分类标准，则可以对S进行分类。

籍于此分类，我们对S中的元素可以定义一个关系～如下：A、BS，A～B当且仅当A和B属于同一类。

易于验证该关系是一个等价关系。

也就是说S上的一个分类标准就会给出一个S上的等价关系。

一般地我们有结论：集合S上的等价关系和分类方法是一一对应的。

三、线性代数中的四个等价关系3.1 矩阵的等价关系不妨设S是实数域上的矩阵组成的集合，对于矩阵A、B，如果A、B同型，即有相同的行数和列数，且A经过有限次初等变换成为B，则称A与B等价[2]。

矩阵等价，这个“等”字之后意味着什么相等呢？该“等”实际是指矩阵的行数和列数相等，同时矩阵的秩相等。

我们有如下关于矩阵等价的定理。

定理1：矩阵A和B等价的充要条件是它们同型且秩相等。

3§3 线性相关性

3§3 线性相关性

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结束
定理2 定理2
设α1 ,α 2 ,⋯,α r 与 β1 , β 2 ,⋯, β s是两个向量组，如果 1）向量组α1 ,α 2 ,⋯,α r 可以经 β1 , β 2 ,⋯, β s 线性表 出， 2）r > s， 则向量组α1 ,α 2 ,⋯,α r 必线性相关 . 证明： 1 推论1
向量组
α i = (ai1 , ai 2 ,⋯, ain ), (i = 1,2,⋯, s )
线性相关的充分必要条件是齐次线性方程组
a11x1 + a21x2 +⋯+ as1xs = 0 a x + a x +⋯+ a x = 0, 12 1 22 2 s2 s ⋯ ⋯ ⋯ a1n x1 + a2n x2 +⋯+ asn xs = 0
§3 线性相关性
定义
所谓向量 α 与 β 成比例就是说有一数k使 成比例 α = kβ. 定义9 线性组合） 定义9（线性组合） 向量 α 称为向量组 β1 , β 2 ,⋯, β s 的一个线性组合 线性组合， 线性组合 如果有数域P中的数 k1 , k2 ,⋯, ks , 使 α = k1β1 + k2 β 2 + ⋯ + k s β s . 也称向量 α 可经向量组 β1 , β 2 ,⋯, β s 线性表出 .
结束
命题1 命题
任一个n为向量α = (a1 , a2 ,⋯, an ) 都是向量组
ε1 = (1,0,⋯,0),
ε 2 = (0,1,⋯,0),
⋯⋯⋯ ε n = (0,0,⋯,1)
的一个线性组合 . 事实上， α = a1ε1 + a2ε 2 + ⋯ + anε n . 向量 ε1 , ε 2 ,⋯, ε n 称为n维单位向量 . 维单位向量

向量组等价、线性相关性

向量组等价、线性相关性

等价？ 等价？
向量组的等价与矩阵的等价 向量组的等价与矩阵的等价 的等价与矩阵
行 变 换 若矩阵A m×n Bm×n ⇔ ∃可逆阵K m , ∋ K m A = B →
⇔ B = Km A
β 1T k11 T β 2 = k21 ⇔ M L T β m km 1
⇔ R( A) = R( B ) = R( A, B ).
其 中 A = ( a1 , a2 L , am ), B = ( b1 , b2 L , bl )
例2(p86)
设
1 3 2 1 3 1 0 1 −1 , b = , b = b = −1 a1 = ,a = 1 2 1 1 1 2 0 3 2 3 1 2 −1 0
α1T T α2 L km ) M T α m
求出方程组 x α + x α + L + x α = β 1 1 2 2 m m 的解作组合系数
向量用向量组的线性表示问题归结为线性方程组解的问题！ 向量用向量组的线性表示问题归结为线性方程组解的问题！ 归结为线性方程组解的问题
所以， 的行的向量组可由 的行的向量组线性表示。 的行的向量组可由B的行的向量组线性表示 所以，A的行的向量组可由 的行的向量组线性表示
∴ 矩 阵 A r B ⇒ A的 行 组 与 B 的 行 组 等 价
同理， ~ 同理，A c B
重要
⇒
A的列组与 的列组等价 的列组与B的列组等价 的列组与 的列组等价.
⇒ 等价的必要条件 ⇒ 向量组与单位向量组等价的条件
反之不一定！ 反之不一定！

线性相关

线性相关

具有反身性、对称性、传递性
第二节
线性相关, 线性无关及其几何说明
1、定义 给定向量组 A : α 1 , α 2 , , α m , 如果存在不全为零实数 k 1 , k 2 ,
使 k 1α 1 + k 2α 2 +
, km ,
+ k mα m = 0
称向量组 A线性相关 , 否则称向量组 A线性无关 .
例1：用定义判断线性相关性。
(1) 向量 o,α , β , γ 线性______关。 相 (2) 向量 α ,α , β , γ 线性______关。 相
结论1： 包含零向量的任何向量组线性相关； 结论2： 有两个向量相等的向量组线性相关； 结论3： 单个零向量线性相关,单个非零向量线性无关； 结论4：两个向量对应分量成比例，线性相关 几何意 义： (1)两向量线性相关：两向量共线. (2)三向量线性相关：三向量共面.
1 2 3⎞ ⎛ 2 1 3 5⎟→ ⎜ 0 ⎟ ⎜ ⎜ 0 1 2⎟ ⎝ 0 ⎠ 3⎞ ⎛ 2 0 1 1 ⎟→ ⎜ 0 1 1 ⎟ ⎜ 0⎟ ⎜ 0 0 0 ⎠ ⎝
一个极大无关组。 求向量组的秩和
⎛ −7 ⎜ −2 解：8
3 1
5 3 −7 0 5 −1 1 8
−1 4 ⎛ 1 ⎜ −2 →⎜ ⎜ −7 ⎜ ⎝ − 11
−4 ⎞ −2 ⎟ ⎟ 1 ⎟ ⎟ − 11 ⎠ −1 −7 1 3 3 5 4 0
1 ⎞ −2 ⎟ ⎟ −4 ⎟ ⎟ − 11 ⎠
2. 向量组的秩
定义2：向量组的极大无关组所含向量的个数 称为这个向量组的秩, 记作 r (α 1 ,α 2 ,
,α s )
⎛ 2⎞ ⎛ 4⎞ ⎛ 2⎞ ⎜ −1 ⎟ ⎜ −2 ⎟ ⎜ −1 ⎟ ⎟ ,α 2 = ⎜ ⎟ ,α 3 = ⎜ ⎟ 的 例如： 向量组 α 1 = ⎜ ⎜ 3⎟ ⎜ 5⎟ ⎜ 4⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎝ 1⎠ ⎝ 4⎠ ⎝ −1 ⎠

向量组等价、线性相关性

向量组等价、线性相关性

方程组线性组合 方程组有解 方程组由方程组表 示方程组等价（同解）
R (A ) R (B ) R (A ,B )
n
方程组 A: ajixi bj(j1,2, m), 有解 i1 常数项列向量可由未知数的系数列向量组线性表示
增广矩阵与系数矩阵的列向量组等价
两个方程组等价（同解）
P80.19、证明
b R(A)1存在非零列向量a 及非零行向量 T ，
使得 A abT .
证
" "
R(A)1A
1
1 O
O O

可逆矩阵P,Q,
1

A PO1
其中
1

O
1
O O




0 0

1
0
0

A
P
1、 一 个 向 量 可 由 向 量 组 A : 1 ,2 ,,m 线 性 表 示 ，
存 在 数 k 1 ,k 2 ， ,k m ,使 得 k 11 k 22 k mm
方 程 组 x 1 1 x 2 2 x m m 有 解
R(A)R(B).其 A 中 (a 1 ,a 2 , ,a m )B,A
1
7

,
其标准型
2
1
F


0
0
0 1 0
0
0

,
0
R(A) 2 R(F) 2
但
R(A,F)3
A
R

F


3
所以 A F , 但其列、行组都不等价
反之 设 有 n 维 向 量 组 A : 1 ,2 , m 及 B : 1 ,2 , l ,

3-2向量的线性相关性

T T T
构成一个m n矩阵
1T T 2 B T m
线性方程组的向量表示
a11 x1 a12 x 2 a1n x n b1 , a 21 x1 a 22 x 2 a 2 n x n b2 , a m 1 x1 a m 2 x 2 a mn x n bm .
x1b1ห้องสมุดไป่ตู้ x2b2 x3b3 0
即 x1 1 2） x2 ( 2 3 ) x3 ( 3 1 ) 0, （
亦即 x1 x3 ) 1 ( x1 x2 ) 2 ( x2 x3 ) 3 0, （ 因 1， 2， 3线性无关，故有 x1 x 3 0, 方程组只有零解1 x2 x3 0， x x1 x 2 0, 所以向量组 1 , b2 , b3线性无关 b . x x 0. 2 3
有解；
定义２ 设 有 两 个 向 量 组 A : 1 , 2 , , m 及B : 1 , 2 , , s .
若B组 中 的 每 个 向 量 都 能 向 量 组 线 性 表 示 ， 则 由 A 称 向 量 组 能 由 向 量 组 线 性 表 示. 若 向 量 组 与 向 B A A 量 组B能 相 互 线 性 表 示 ， 则 这 两 个向量组等价, 称
向量组 a1, a 2 ,, a n 称为矩阵A的列向量组.
类似地, 矩阵A (aij )mn 又有m个n维行向量
a11 a12 a 21 a 22 A ai1 ai 2 a m1 am 2
T 1 T 2
a1 n a2n a in a mn

3.3 线性相关性


7）若向量组 α i = (ai 1 , ai 2 ,L , ain ), i = 1,2,L , s ） 线性无关， 线性无关，则向量组
β i = (ai 1 , ai 2 ,L , ain , ai ,n+1 ), i = 1,2,L , s
也线性无关 . 反之， 反之，若向量组 β 1 , β 2 ,L , β s 线性
4）一个向量组中若部分向量线性相关，则整个向 ）一个向量组中若部分向量线性相关， 量组也线性相关； 量组也线性相关； 一个向量组若线性无关，则它的任何一个部分组 一个向量组若线性无关，则它的任何一个部分组 都线性无关. 都线性无关 5）如果向量组 α1 ,α 2 ,L ,α s 线性无关 而向量组 ） 线性无关，而向量组
线性无关的. 则称向量组 α1 ,α 2 ,L ,α s 为线性无关的
换句话说， 换句话说，对于一个向量组α1 ,α 2 ,L,α s , 若由
k1α1 + k2α 2 + L + k sα s = 0
必有
k1 = k2 = L = k s = 0,
则称向量组 α1 ,α 2 ,L ,α s 为线性无关的 线性无关的.
二、向量组的等价 1、定义 、
若向量组 α1 ,α 2 ,L ,α s 中每一个向量 α i ( i = 1,2,L , s ) 皆可经向量组 β 1 , β 2 ,L , β t 线性表出，则称向量组 线性表出，
α1 ,α 2 ,L ,α s 可以经向量组 β 1 , β 2 ,L , β t 线性表出； 线性表出；
若两个向量组可以互相线性表出，则称这两个 若两个向量组可以互相线性表出， 向量组等价. 向量组等价.
2、性质 、
向量组之间的等价关系具有： 向量组之间的等价关系具有： 1) 反身性 2) 对称性 3) 传递性

第四章 向量组的线性相关性总结

第四章 向量组的线性相关性§1 n 维向量概念一、向量的概念定义1 n 个有次序的数12,,,n a a a 所组成的数组称为n 维向量,这n 个数称为该向量的n 个分量,第i 个数i a 称为第i 个分量.注1分量全为实数的向量称为实向量.分量不全为实数的向量称为复向量. 注2 n 维向量可以写成一行的形式()12,,,n a a a a =,出可以写成一列的形式12n a a a a ⎛⎫⎪ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭,前者称为行向量,而后者称为列向量.行向量可看作是一个1n ⨯矩阵,故又称行矩阵;而列向量可看作一个1n ⨯矩阵,故又称作列矩阵.因此它们之间的运算就是矩阵之间的运算,从而符合矩阵运算的一切性质.向量之间的运算只涉及到线性运算和转置运算.为叙述方便,特别约定:在不特别声明时说到的向量均为列向量,行向量视为列向量的转置.注3 用小写黑体字母,,,a b αβ 等表示列向量,用,,,T T T T a b αβ表示行向量. 例1 设123(1,1,0),(0,1,1),(3,4,0)T T T v v v ===，求12v v -及12332v v v +-.解 12v v -(1,1,0)(0,1,1)T T =-(10,11,01)T =---(1,0,1)T =-12332v v v +-3(1,1,0)2(0,1,1)(3,4,0)T T T =+-(31203,31214,30210)T =⨯+⨯-⨯+⨯-⨯+⨯-(0,1,2)T =定义 设v 为n 维向量的集合，如果集合v 非空，且集合v 对于加法与数乘两种运算封闭（即若α∈v,β∈v ，有α+β∈v ；若α∈v, k ∈R ，有k α∈v ），称v 为向量空间。

§2 向量组的线性相关性一、向量组的线性组合 定义3 给定向量组A :12,,,m a a a ,对于任何一组实数12,,,m k k k ,称向量1122m m a a a k k k +++ 为向量组A 的一个线性组合,12,,,m k k k 称为这个线性组合的系数.定义4 给定向量组A :12,,,m a a a 和向量b ,若存在一组实数12,,,m λλλ,使得1122m m a a a b λλλ=+++则称向量b 是向量组A 的一个线性组合,或称向量b 可由向量组A 线性表示.注1任一个n 维向量12n a a a a ⎛⎫ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭都可由n 维单位向量组12,,,n e e e 线性表示:1122n n a a a a e e e =+++ .注2向量b 可由向量组A :12,,,n a a a 线性表示（充要条件）⇔方程组1122n n a a a x x x b +++=有解m n A x b ⨯⇔=有解()(,)R A R A b ⇔=注3 由于线性方程组的解分为：无解，有唯一解，有无穷多解三种情况，所以向量β由向量12,,,n a a a 线性表示的情形也分为三种：不能线性表示，唯一线性表示，无穷多种线性表示，且线性表示式中的系数就是对应线性方程组的解。

向量的线性相关性

证明 充分性 设 a 1 , a 2 , , a m 中有一个向量（比如 a m ） 能由其余向量线性表示. 即有
a m 1 1 2 2 m 1 m 1
故
1 1 2 2 m 1 m 1 1 a m 0
a1 x1 a 2 x 2 an xn b
方程组与增广矩阵的列向量组之间一一对应．
定义１ 给定向量组 A : 1 , 2 , , m ，对于任何一
向量 组实数 k 1， k 2， , k m ， k 1 1 k 2 2 k m m 称为向量组的一个
向量 b 能
即线性方程组 x 1 1 x 2 2 x m m b 有解 .
定理1 向量 b 能由向量组 A 线性表示的充分必要
条件是矩阵 A ( 1， 2， , m )的秩等于矩阵 B ( 1， 2， , m , b )的秩 .
定义２ 设有两个向量组
a 11 a 21 a m1
a 12 a 22 am2



设矩阵 A 经初等行变换变成 向量都是 A 的行向量组的线性组合 组能由 A 的行向量组线性表示 可知， A 的行向量组能由 于是 A 的行向量组与
, 则只有当
1 n 0时 , 才有 1 1 2 2 n n 0 成立 .
2. 对于任一向量组 线性相关 . , 不是线 性无关就是
3. 向量组只包含一个向量
时 , 若 0 则说
.
线性相关 , 若 0 , 则说 线性无关
（ b1 , b 2 , , b s ) 1 , 2 , , m （
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线性相关的等价条件
1.向量组的线性相关性的定义∶若存在一组不全为零的数入;=(i = 1,2，…, n)，使得, A +A2a+…+入n a。

=入a =o,则称向量组A线性相关，否则，称向量组A线性无关。

2.若向量组(或矩阵)A的秩R(A)= r，则r<m时，向量组A线性相关，r = m时，向量组线性无关。

3.若齐次线性方程组XA=0有非零解,则向量组A线性相关，否则(方程组只有零解)，向量组A线性无关。

4.若m = n，若矩阵A可逆，则向量组A线性无关，否则向量组A线性相关。

[1][2]
5. m > n时，向量组A必线性相关。

6.若矩阵A有一个m阶非零子式，则向量组A线性无关。

7.向量组等价的概念:若向量组B中的每一个向量都能由向量组A线性表示，则称向量组B能由向曩组A线性表示;若向量组A与向量组B能互相线性表示，则称向量组A与向量组B等价，记为A ~B。

8.所含向量个数相等的两个等价的向量组具有相同的线性相关性。

9.矩阵乘积后秩不可能变大，即对任意矩阵A和B，有R( AB)≤R( A)， R(AB)≤R(B)[1][2]
10.矩阵A乘一个非奇异阵(可逆阵)P后，不改变矩阵A的秩，从而不改变向量组A的线性相关性。

11.对任意实矩阵A，有矩阵ATA 与矩阵A秩相等，即R( ATA)
12.设有n维列向量组A:aj, a2，…,à,线性无关，显然r<n。

即
矩阵A=(&, a2,…, az)= ( aj)..的秩六, . 4TA是,阶非奇异的对称阵。