位置与坐标的关系公式

二 计算坐标与坐标方位角的基本公式控制测量的主要目的是通过测量和计算求出控制点的坐标，控制点的坐标是根据边长及方位角计算出来的.下面介绍计算坐标与坐标方位角的基本公式,这些公式是矿山测量工中最基本最常用的公式.一、坐标正算和坐标反算公式1．坐标正算根据已知点的坐标和已知点到待定点的坐标方位角、边长计算待定点的坐标，这种计算在测量中称为坐标正算。

如图5—5所示，已知A 点的坐标为A x 、A y ，A 到B 的边长和坐标方位角分别为AB S 和AB α，则待定点B 的坐标为AB A B ABA B y y y x x x ∆+=∆+= ｝（5—1） 式中 AB x ∆ 、AB y ∆——坐标增量。

由图5—5可知AB AB AB AB AB AB S y S x ααsin cos =∆=∆ ｝（5—2）式中 AB S ——水平边长； AB α-—坐标方位角.将式（5-2）代入式(5—1），则有AB AB A B ABAB A B S y y S x x ααsin cos +=+= ｝（5—3)当A 点的坐标A x 、A y 和边长AB S 及其坐标方位角AB α为已知时，就可以用上述公式计算出待定点B 的坐标。

式(5—2）是计算坐标增量的基本公式，式(5-3)是计算坐标的基本公式，称为坐标正算公式.从图5—5可以看出AB x ∆是边长AB S 在x 轴上的投影长度,AB y ∆是边长AB S 在y 轴上的投影长度，边长是有向线段，是在实地由A 量到B 得到的正值。

而公式中的坐标方位角可以从0°到360°变化，根据三角函数定义，坐标方位角的正弦值和余弦值就有正负两种情况，其正负符号取决于坐标方位角所在的象限，如图5-6所示。

从式（5—2）知,由于三角函数值的正负决定了坐标增量的正负，其符号归纳成表5—3.图5-5 坐标计算图5—6 坐标增量符号表5—3 坐标增量符号表坐标方位角（°）所在象限坐标增量的正负号⊿x ⊿y0~9090～180180～270270～ⅠⅡⅢⅣ＋－－＋＋＋－－例1 已知A 点坐标A x =100。

关于坐标与坐标方位角的计算坐标与坐标方位角是地理学中经常涉及的两个概念。

坐标一般指的是其中一点在地球表面的位置，而坐标方位角是指其中一点相对于参考点的方向。

在地理信息系统、导航系统以及测量、航海等领域中，坐标与坐标方位角的计算是非常重要的。

首先，我们先来了解一下坐标的概念和表示方法。

坐标一般是由经度和纬度两个数值组成。

经度是指地球上其中一点与本初子午线的夹角，范围是从0°到180°东经或西经。

纬度是指地球上其中一点与赤道的夹角，范围是从0°到90°北纬或南纬。

经度和纬度的单位都是度（°）。

在计算坐标时，我们需要使用测量仪器（如GPS）来测定其中一点的经度和纬度数值。

这些数值可以直接使用，也可以根据仪器的输出进行转换。

例如，GPS通常会输出以度、分、秒或以十进制度表示的经纬度数值，我们可以根据需要进行转换。

将经度和纬度数值表示为十进制度，方便计算和比较。

接下来，我们来讨论坐标方位角的计算。

坐标方位角是指一个点相对于参考点的方向，也可以理解为一个点与参考点之间连线与正北方向之间的夹角。

坐标方位角的计算通常使用数学中的三角函数来实现。

首先，我们需要确定一个正北方向。

在地球表面上，通常使用地心纬度方向作为正北方向。

地心纬度是指与参考椭球体表面垂直的线所作的纬度，在地球上大致是从南向北逐渐增加的方向。

因此，我们可以将地心纬度方向作为正北方向。

其次，我们需要使用球面三角学中的公式来计算坐标方位角。

球面三角学是关于球面上的三角形的一门数学学科，可以用来解决地理测量和导航等问题。

在坐标方位角的计算中，主要使用到的公式有：1.余弦定理：可以用来计算一个球面三角形的边长，即两点之间的距离。

2.正弦定理：可以用来计算一个球面三角形的角度。

通过这些公式，我们可以计算出点A与参考点B之间的距离以及夹角。

然后，根据夹角的正负和大小，我们可以确定点A相对于参考点B的方向角。

需要注意的是，坐标方位角的计算要考虑地球的曲率。

两直线的位置关系、交点坐标与距离公式编稿：丁会敏 审稿：王静伟【学习目标】1.掌握解方程组的方法，求两条相交直线的交点坐标.2.掌握两点间距离公式，点到直线距离公式，会求两条平行直线间的距离.3．熟练掌握两条直线平行与垂直的充要条件.【要点梳理】【高清课堂：两直线的交点与点到直线的距离381525 知识要点1】要点一：直线的交点求两直线与的交点坐标，只需求两直线方程联立所得方程组的解即可.若有，则方程组有无穷多个解，此时两直线重合；若有，则方程组无解，此时两直线平行；若有，则方程组有唯一解，此时两直线相交，此解即两直线交点的坐标.要点诠释：求两直线的交点坐标实际上就是解方程组，看方程组解的个数.要点二：过两条直线交点的直线系方程一般地，具有某种共同属性的一类直线的集合称为直线系，它的方程叫做直线系方程，直线系方程中除含有以外，还有根据具体条件取不同值的变量，称为参变量，简称参数．由于参数取法不同，从而得到不同的直线系．过两直线的交点的直线系方程：经过两直线，交点的直线方程为，其中是待定系数．在这个方程中，无论取什么实数，都得不到，因此它不能表示直线．要点三：两直线平行设两条不重合的直线的斜率分别为.若，则与的倾斜角与相等.由，可得，即.因此，若，则.反之，若，则.要点诠释：1.公式成立的前提条件是①两条直线的斜率存在分别为；②不重合；2.当两条直线的斜率都不存在且不重合时，的倾斜角都是，则.要点四：两直线垂直21tan tan αα=21k k =1111110(0)A x B y C A B C ++=≠2222220(0)A x B y C A B C ++=≠11122200A xB yC A x B y C ++=⎧⎨++=⎩111222A B CA B C ==111222A B C A B C =≠1122A BA B ≠,x y 1111:0l A x B y C ++=2222:0l A x B y C ++=111222()0A x B y C A x B y C λ+++++=λλ2220A x B y C ++=2l 21,l l 21,k k 21//l l 1l 2l 1α2α21αα=21//l l 21k k =21k k =21//l l 2121//k k l l =⇔21k k ，21l l 与21l l 与90︒21//l l设两条直线的斜率分别为.若，则.要点诠释：1.公式成立的前提条件是两条直线的斜率都存在；2.当一条垂直直线的斜率不存在，另一条直线的斜率为0时，两条直线也垂直.要点五：两点间的距离公式两点间的距离公式为.要点诠释：此公式可以用来求解平面上任意两点之间的距离，它是所有求距离问题的基础，点到直线的距离和两平行直线之间的距离均可转化为两点之间的距离来解决.另外在下一章圆的标准方程的推导、直线与圆、圆与圆的位置关系的判断等内容中都有广泛应用，需熟练掌握.要点六：点到直线的距离公式点到直线的距离为要点诠释：（1）点到直线的距离为直线上所有的点到已知点的距离中最小距离；（2）使用点到直线的距离公式的前提条件是：把直线方程先化为一般式方程；（3）此公式常用于求三角形的高、两平行线间的距离及下一章中直线与圆的位置关系的判断等.要点七：两平行线间的距离本类问题常见的有两种解法：①转化为点到直线的距离问题，在任一条直线上任取一点，此点到另一条直线的距离即为两直线之间的距离；②距离公式：直线与直线的距离为要点诠释：(1)两条平行线间的距离，可以看作在其中一条直线上任取一点，这个点到另一条直线的距离，此点一般可以取直线上的特殊点，也可以看作是两条直线上各取一点，这两点间的最短距离；(2)利用两条平行直线间的距离公式时，一定先将两直线方程化为一般形式，且两条直线中x ，y 的系数分别是相同的，才能使用此公式.【典型例题】类型一、判断两直线的位置关系例1．是否存在实数a ，使三条直线，，能围成一个三角形？请说明理由．【思路点拨】 要使三条直线能围成一个三角形，则它们中任意两条都不平行，且三条直线不相交于同一点．【答案】a ≠1且a ≠－1且a ≠―221,l l 21,k k 21l l ⊥121-=⋅k k 12121-=⋅⇔⊥k k l l 111222()()P x y P x y ，，，12P P =00()P x y ，0Ax By C ++=d 00()P x y ，0Ax By C ++=P 10Ax By C ++=20Ax By C ++=d 2221||BA C C d +-=1:10l ax y ++=2:10l x ay ++=3:0l x y a ++=【解析】（1）当时，，即a=±1．（2）当时，―a=―1，即a=1．（3）当时，，即a=1．（4）当与、相交于同一点时，由得交点（―1―a ，1），将其代入ax+y+1=0中，得a=―2或a=1．故当a ≠1且a ≠－1且a ≠―2时，这三条直线能围成一个三角形．【总结升华】 本例分类讨论时容易疏忽某种情况，特别是三条直线相交于同一点这种情况更要注意．举一反三：【变式1】直线5x+4y ―2m ―1=0与直线2x+3y ―m=0的交点在第四象限，求m 的取值范围．【答案】【解析】解得所以，解得．类型二、过两条直线交点的直线系方程例2．求经过两直线2x ―3y ―3=0和x+y+2=0的交点且与直线3x+y ―1=0平行的直线方程．【思路点拨】 可先求出交点坐标，再根据点斜式求出所要求的直线方程；也可利用直线系（平行系或过定点系）求直线方程．【答案】15x+5y+16=0【解析】解法一：设所求的直线为，由方程组得．∵直线和直线3x+y ―1=0平行，∴直线的斜率k=―3．∴根据点斜式有，即所求直线方程为15x+5y+16=0．12//l l 1a a-=-13//l l 23//l l 11a-=-1l 2l 3l 10x ay x y a ++=⎧⎨++=⎩3,22⎛⎫-⎪⎝⎭54210,230,x y m x y m +--=⎧⎨+-=⎩23727m x m y +⎧=⎪⎪⎨-⎪=⎪⎩2307207m m +⎧>⎪⎪⎨-⎪<⎪⎩3,22m ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭l 233020x y x y --=⎧⎨++=⎩3575x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩l l 73355y x ⎡⎤⎛⎫⎛⎫--=--- ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦解法二：∵直线过两直线2x ―3y ―3=0和x+y+2=0的交点，∴设直线的方程为2x ―3y ―3+(x+y+2)=0，即(+2)x+(―3)y+2―3=0．∵直线与直线3x+y －1=0平行，∴，解得．从而所求直线方程为15x+5y+16=0．【总结升华】直线系是直线和方程理论的发展，是数学符号语言中一种有用的工具，是一种很有用的解题技巧，应注意掌握和应用． 举一反三：【变式1】求证：无论m 取什么实数，直线(2m ―1)x+(m+3)y ―(m ―11)=0都经过一个定点，并求出这个定点的坐标．证法一：对于方程(2m ―1)x+(m+3)y ―(m ―11)=0，令m=0，得x ―3y ―11=0；令m=1，得x+4y+10=0．解方程组，得两直线的交点为（2，―3）．将点（2，―3）代入已知直线方程左边，得(2m ―1)×2+(m+3)×(―3)―(m ―11)=4m ―2―3m ―9―m+11=0．这表明不论m 取什么实数，所给直线均经过定点（2，―3）．证法二：将已知方程以m 为未知数，整理为(2x+y ―1)m+(―x+3 y+11)=0．由于m 取值的任意性，有，解得．所以所给的直线不论m 取什么实数，都经过一个定点（2，―3）．类型三：两条直线平行的条件例3．已知ABCD 的三个顶点的坐标分别是A （0，1），B （1，0），C （4，3），求顶点D 的坐标．【答案】 （3，4）【解析】解法1：设D （m ，n ），线段AC 的中点为E （2，2），所以线段BD 的中点为E （2，2），则，解得m=3，n=4，所以D （3，4）．解法2：设D （m ，n ），由题意得AB ∥DC ，AD ∥BC ，则有k AB =k DC ，k AD =k BC ，所以，解得m=3，n=4，所以D （3，4）．【总结升华】 解决此类问题的关键是充分利用几何图形的几何性质，并用解析几何中的相关知识解决．解决本题的关键是如何利用平行四边形的几何性质，其出发点是已知平行四边形的三个顶点如何作出第四个顶点，这两种作法对应着两种解法．举一反三：l l λλλλl 2323311λλλ+--=≠-112λ=31104100x y x y ---⎧⎨++=⎩2103110x y x y +-=⎧⎨-++=⎩23x y =⎧⎨=-⎩122022m n +⎧=⎪⎪⎨+⎪=⎪⎩013104130041nmn m --⎧=⎪⎪--⎨--⎪=⎪--⎩【变式1】与直线平行，并且距离等于的直线方程是____________。

两点向量坐标公式在向量空间中，两点向量是一个非常重要的概念。

它是由两个点在空间中的位置关系所确定的向量。

在日常生活中，两点之间最直接的表示方式就是坐标。

因此，了解两点向量的坐标公式对于研究和应用向量计算具有很大的实际意义。

首先，我们来了解一下两点向量的定义。

两点向量是从一个起点到另一个终点的向量，可以用起点和终点的位置坐标来表示。

在二维平面直角坐标系中，两点向量可以用如下坐标表示：设有两点A(x1, y1)和B(x2, y2)，则两点间的向量可以表示为：AB = (x2 - x1, y2 - y1)这里，AB表示从A点到B点的向量。

接下来，我们来看一下两点向量坐标的计算公式。

在二维平面直角坐标系中，两点间的向量可以表示为：AB = (x2 - x1, y2 - y1)这意味着，我们可以通过计算两点坐标的差值来得到向量的坐标。

同样，在三维空间中，两点间的向量可以表示为：AB = (x2 - x1, y2 - y1, z2 - z1)这里，x1、y1、z1和x2、y2、z2分别表示两点在三维空间中的坐标。

为了更好地理解两点向量坐标的计算公式，我们来看一个实例。

假设有一个平面上的两点A(2, 3)和B(5, 7)，我们可以计算出向量AB的坐标：AB = (5 - 2, 7 - 3) = (3, 4)这意味着向量AB的坐标为(3, 4)。

此外，我们还需要了解坐标系的转换。

在实际应用中，有时需要将坐标系从一个基准系转换到另一个基准系。

例如，将平面上的坐标转换为空间中的坐标。

这时，我们需要用到坐标变换矩阵。

常见的坐标变换矩阵有旋转矩阵、平移矩阵等。

总之，了解两点向量坐标公式对于研究和应用向量计算具有重要意义。

通过掌握这个公式，我们可以更好地在各种坐标系中进行向量计算，从而解决实际问题。

两点间的距离公式与线段中点的坐标
d=√((x2-x1)²+(y2-y1)²)
其中，√表示求平方根的操作。

这个公式可以通过勾股定理来进行推导。

根据勾股定理，两点之间的
距离等于直角三角形的斜边的长度，而斜边的长度可以通过两个直角边的
长度来计算。

在这个公式中，x2-x1表示两点在水平方向上的距离，y2-y1表示两
点在竖直方向上的距离。

这两个距离都是直角边的长度。

根据勾股定理，
斜边的长度即为两直角边的平方和的平方根，即√((x2-x1)²+(y2-y1)²)。

线段中点的坐标是指线段的中心点的坐标。

线段中点的坐标计算公式
是将线段的两个端点的坐标进行平均。

假设线段的两个端点坐标分别为
A(x1,y1)和B(x2,y2)，则线段中点的坐标可以表示为：
M((x1+x2)/2,(y1+y2)/2)
其中，(x1+x2)/2表示两个端点在水平方向上的坐标的平均值，
(y1+y2)/2表示两个端点在竖直方向上的坐标的平均值。

通过线段中点的坐标可以知道线段的中心位置，这在很多几何问题中
都是非常有用的。

总结：
线段中点的坐标可以通过线段的两个端点的坐标进行求解，用于表示
线段的中心位置。

中点公式与距离公式讲解中点公式和距离公式是数学中常用的两种计算方法，用于求解平面上的点的位置以及点与点之间的距离。

本文将详细介绍中点公式和距离公式的相关概念和计算方法。

1. 中点公式中点公式用于确定平面上线段的中点坐标。

对于给定的两个点A(x₁, y₁)和B(x₂, y₂)，其中点的坐标可通过以下公式计算得出：中点的x坐标：x = (x₁ + x₂) / 2中点的y坐标：y = (y₁ + y₂) / 2通过这两个公式，我们可以轻松地计算出线段的中点坐标。

举例说明：假设有一条线段AB，其中A(2, 4)为起点，B(8, 10)为终点。

我们可以利用中点公式求出该线段的中点坐标。

首先，代入公式进行计算：x = (2 + 8) / 2 = 5y = (4 + 10) / 2 = 7因此，线段AB的中点坐标为C(5, 7)。

2. 距离公式距离公式用于计算平面上两点之间的距离。

对于给定的两个点A(x₁, y₁)和B(x₂, y₂)，它们之间的距离D可以通过以下公式计算得出：D = √[(x₂ - x₁)² + (y₂ - y₁)²]通过这个公式，我们可以求得两点间的距离。

举例说明：假设有两个点A(2, 4)和B(8, 10)，我们可以利用距离公式计算出这两点之间的距离。

首先，代入公式进行计算：D = √[(8 - 2)² + (10 - 4)²]= √[(6)² + (6)²]= √[36 + 36]= √72≈ 8.485因此，点A(2, 4)和点B(8, 10)之间的距离约为8.485。

通过中点公式和距离公式，我们可以方便地计算平面上的点位和距离。

这两个公式广泛应用于数学、物理等领域，并具有较高的实用性和准确性。

这篇文章对中点公式和距离公式进行了详细介绍，并通过实例进行了说明。

希望读者能够通过本文对中点公式和距离公式有更深入的理解和掌握，从而在实际问题中灵活运用。

两个坐标之间距离计算公式在数学和计算机科学中，计算两个坐标之间的距离是一个常见的需求，特别是在地理定位、位置推荐和路径规划等领域。

计算两个坐标之间的距离可以帮助我们衡量物体之间的相对位置，从而对问题进行进一步分析和解决。

1. 欧几里得距离欧几里得距离又称为直线距离或欧氏距离，是最常见和直观的计算两个坐标之间距离的方法。

欧几里得距离利用直角三角形中的勾股定理得出，它假设空间是连续且平滑的。

欧几里得距离公式如下所示：d = √((x2 - x1)² + (y2 - y1)²)其中，(x1, y1) 和 (x2, y2) 分别表示两个坐标的横纵坐标。

上述公式首先计算出横坐标的差值的平方，然后计算纵坐标的差值的平方，将它们相加，并取平方根得到最终的距离。

2. 曼哈顿距离曼哈顿距离又称为街区距离、城市街区距离或L1距离，它计算两个坐标之间沿着网格线路径的距离。

曼哈顿距离在规划路径和测量城市中的实际距离时非常有用。

曼哈顿距离公式如下所示：d = |x2 - x1| + |y2 - y1|其中，(x1, y1) 和 (x2, y2) 分别表示两个坐标的横纵坐标。

上述公式计算出横坐标的差值的绝对值，并将其与纵坐标的差值的绝对值相加得到最终的距离。

3. 切比雪夫距离切比雪夫距离衡量的是两个坐标之间的最大差异，也就是沿着任意方向的最大移动距离。

它得名于俄罗斯数学家切比雪夫。

切比雪夫距离公式如下所示：d = max(|x2 - x1|, |y2 - y1|)其中，(x1, y1) 和 (x2, y2) 分别表示两个坐标的横纵坐标。

切比雪夫距离公式首先计算出横坐标的差值的绝对值，然后计算纵坐标的差值的绝对值，最后取两者中的最大值作为最终的距离。

4. 海明顿距离海明顿距离是一种用于计算两个坐标之间的距离的度量，其基本思想是将横纵坐标的差值取平方加起来后再取其平方根。

海明顿距离公式如下所示：d = √((x2 - x1)² + (y2 - y1)²)其中，(x1, y1) 和 (x2, y2) 分别表示两个坐标的横纵坐标。

行()1112222220A B CA B CA B CÛ=¹¹。

3） 对于特殊情况（直线平行于x 轴或垂直于x 轴时需要单独讨论）轴时需要单独讨论） 3.相交：如果两条直线斜率不同那么必然相交与一点。

相交：如果两条直线斜率不同那么必然相交与一点。

1）斜截式：111:l y k x b =+与直线222:l y k x b =+相交12k k Û¹2）一般式：直线1111:0l A x B y C ++=与直线2222:0l A x B y C ++=相交1221A B A B Û¹ 3）对于特殊情况（如果一条直线有斜率，而另一条直线没有斜率，那么这两条直线相交）。

例1：已知直线()212:260,:110l ax y l x a y a ++=+-+-=，求适合下列条件的a的取值范围。

的取值范围。

1）1l 与2l 相交；相交； 2）12//l l ； 3）1l 与2l 重合。

重合。

两条直线位置关系以及点到直线距离公式两条直线位置关系以及点到直线距离公式一、两条直线相交、平行、重合条件一、两条直线相交、平行、重合条件1. 重合：如何两条直线重合，那么化简之后的重合：如何两条直线重合，那么化简之后的方程方程是相同的，具体为：是相同的，具体为：1） 斜截式：直线111:l y k x b =+与直线222:l y k x b =+重合1212,k k b b Û==。

2） 一般式：直线1111:0l A x B y C ++=与直线2222:0l A x B y C ++=重合()1112222220A B C A B C A B C Û==¹。

3） 对于特殊情况（直线平行于x 轴或垂直于x 轴时需要单独讨论）。

2．平行：如果两条．平行：如果两条直线斜率直线斜率相同或垂直于x 轴，并且不重合，那么这两条直线就是平行的。