8.1 坐标系中的基本公式-教学设计

【课题】8.1两点间的距离与线段中点坐标【学习目标】1、掌握平面内两点间的距离公式和中点公式2、能熟练应用平面内两点间距离公式和中点公式进行运算【学习重点】平面内两点的距离公式和中点公式的应用【学习难点】平面内两点的距离公式和中点公式的应用【课时安排】 2 课时【课堂过程】课前准备(预习46页一一48页，找出疑惑的地方)复习(如图)在数轴上有两点x i =巧公2=7，贝卩=新知1:两点间的距离公式平面直角坐标系中，已知两点P i(x i，yj , P2(X2,y2)，两点距离公式为P1P2I =1(X2 —X i)2 +M -y i)2说明(1)如果P1和P2两点在X轴上或在平行于X轴的直线上，两点距离是x2 -x1⑵如果P i和P2两点在y轴上或在平行于y轴的直线上，两点距离是目2一*试一试1:求平面上两点A(6,2) , B(5,3)间的距离|AB =试一试2:求下列两点间的距离:(1) A(—2,0), B(2,0) ⑵A(0,3), B (0,-7)(3) A(—2,3), B(2,4) ⑷ A( —5,9), B (8,6)试一试3:已知A(a ,3),点B在y轴上，点B的纵坐标为10, AB =12= 12,求a的值新知2：线段的中点公式点RXy)，P2(X2°2)之间所连线段的中点P坐标为% y2说明公式对于P i和P2两点在平面内任意位置都是成立的试一试3:求下列两点的中点坐标(1)A(-2,3), B(2,13 ) ⑵ A(-15,9), B(18 ,6)(二)典型例题: 已知三角形的顶点是，A (1,0), B (-2,1), C (0,3)，求此三角形两条中线CE和AD的长度(解题过程在书4 8页)【自我检测】1、平面直角坐标系中，已知两点，P1(X1,yJ , p2(X2,y2)两点距离公式为2、点P1(X1,y1), p2(X2,y2)之间所连线段的中点P坐标为巩固练习：1、已知下列两点，求AB及两点的中点坐标(1) A (8, 6), B (2, 1) (2) A (-2 , 4) B (-2 , -2 )3、已知A(-4 , 4) , B(8, 10)两点，求两点间的距离AB4、已知下列两点，求中点坐标：(1) A (5, 10), B (-3 , 0) (2) A (-3 , -1 ), B (5, 7)5、已知点A (-1 , -1 ), B (b, 5),且 | AB =10,求b 的值6、已知A在y轴上，B (4, -6 ),且两点间的距离|AB =5,求点A 的坐标7、已知A (a, -5 )，点B在y轴上，点B的纵坐标为10, AB=17 求a。

向量的坐标【教学目标】向量是近代数学最重要的概念之一，它的几何形式与代数形式的“双重身份”以及它的一套优良的运算系统，使得它成为数学、物理等学科中很多问题的重要工具，成为沟通“数”与“形”的桥梁，同时也为将来研究平面、空间图形做了知识和方法上的准备。

根据上述分析结合本节内容，教学大纲的要求，确定本节可的教学目标如下：掌握向量的坐标表示法,向量的加法、减法、数与向量的乘法等运算的坐标表示形式,理解定比分点公式，掌握中点公式,能应用向量的坐标表示法解决简单的实际问题.培养学生自主学习及提出、分析、解决问题的能力.关注学生的学，使学生体验探索知识的乐趣.【教学的重点与难点】重点：向量运算的坐标表示难点：定比分点公式以及向量的综合应用【教学方法与手段】教学方法：关注学生的学，引导学生在学习过程中提出问题，自主探究，合作讨论解决问题教学手段：多媒体辅助教学，充分发挥其快捷、生动、形象的特点来提高课堂效率，提供学生学习的平台。

【教学讨论】在前面的向量学习过程中，曾在直角坐标系中给出向量始点与终点的坐标，启发学生思考向量的坐标如何表示呢？与始点、终点的坐标有何关系呢？（一）位置向量在直角坐标平面内，以原点为始点，点P为终点的向量OP，叫做点P的位置向量。

*特别的，当点P与原点O重合时，这时的位置向量就是零向量。

学生疑问一：以前学习的“普通”向量与位置向量到底有什么联系呢？为什么要提出位置向量的概念？点评：根据向量的可平移性，坐标平面内的任何一个向量都有唯一确定的位置向量与它相等。

即：任何向量都可以表示为起点为原点的向量。

（二）基本单位向量回忆：单位向量的定义1． 习惯上常把与X 轴正半轴同方向的单位向量记做i ，常把与Y 轴正半轴同方向的单位向量记做ji ，j 称为基本单位向量。

请同学们阅读教材第65页2~7行提问：若P （1，1）则OP ＝？ 若P （－3，4）则OP ＝？从而很快得出P （X ，Y ），OP ＝x i +y j通常把有序实数对（x,y ）叫做位置向量OP 的坐标。

8.1.2 线段的中点坐标教案陆艳丽教学目标：1、掌握中点坐标公式，会用它解决问题2、用“数形结合”的方法，介绍两个公式．培养学生解决问题的能力与计算能力3、通过创设问题情景和多媒体教学，让学生在参与中感受和体验数学美，激发学生的学习兴趣和求知欲望。

教学重点:掌握线段中点的坐标公式并会运用教学难点：线段中点的坐标公式的理解课型：新授课教学方法：讲授法，启发式教学教具：三角板、多媒体课件一、1、复习引入：已知A（1，2）、B（3，4）、M（2，3），请在直角坐标系中描出这三点，并计算|AM|、|MB|、|AB|2、探究：从计算结果可知：|AM| |MB|结合图形：M是线段AB的点从坐标上看：总结：中点M的横坐标是两端点A、B的横坐标的平均值纵坐标是两端点A、B的纵坐标的平均值一般情况也有同样的结论吗？二、新知识：如图，在坐标平面内，线段的两端点为A(x1，y1)，B(x2，y2)，中点为M (x0，y0)，则：由于M为AB的中点，所以：于是：同样的有结论：三、强化训练1、练习：已知端点A、B坐标如下，求中点M坐标（1）A(3，1) B（5，3）（老师讲）（2）A(-5,1) B（1，2）（学生练）2、应用：例1 已知点S（0，2）、T（-6，-1），现将ST分成四等份，试求出各分点的坐标。

分析如图所示，首先求出线段ST的中点Q的坐标，然后再求SQ的中点P及QT的中点R的坐标。

解：因为Q为ST的中点所以由中点公式有，Q点的坐标为同理，线段SQ的中点线段TQ的中点例2 已知三角形ABC的三个顶点分别为点A（1,0）、B（-2,1）、C（0，3），试求BC边上的中线AD的长度。

解设BC的中点D的坐标为（x，y），则所以BC边上的中线AD的长度3、练：P48 2题四、小结五、作业：P48 1、3题。

8.1.1 数轴上的距离公式与中点公式
【教学目标】
1. 理解数轴上的点与实数之间的一一对应关系，会表示数轴上某一点的坐标．
2. 掌握数轴上的距离公式和中点公式，并能用这两个公式解决有关问题．
3. 培养学生勇于发现、勇于探索的精神；培养学生合作交流等良好品质．
【教学重点】
数轴上的距离公式、中点公式．
【教学难点】
距离公式与中点公式的应用．
【教学方法】
这节课主要采用问题解决法和分组教学法．先从数轴入手，在使学生进一步明确了数与数轴上的点的一一对应关系后，给出数轴上点的坐标的定义及记法，在此基础上进一步学习数轴上距离公式及中点公式．本节教学中，始终要坚持数形结合的思想和方法，让学生积极大胆的猜想，在探索过程中发现和归纳两个公式，以此增强学生的参与意识，提高学生的学习兴趣．。

《平面直角坐标系中的基本公式》教案2（新人教B版必修2）高一数学必修2 平面直角坐标系中的基本公式一、教学目标：1、了解两点间距离公式的推导过程；熟练掌握两点间的距离公式、中点公式；2、灵活运用两点间的距离公式和中点公式解题；3、培养学生的数学思维能力。

二、教材分析1．重点：熟记并能会运用两点间的距离公式、中点公式解简单的题目；2．难点：灵活运用两点间的距离公式和中点公式解几何综合题和对称问题．三、活动设计自主学习、归纳讲授、合作探究、分组讨论、检测反馈、总结反思．四、教学过程(一)自主学习：1. 自学"两点间的距离公式"的推导过程（课本68--69页）。

（5分钟完成）2. 准备回答下列问题：（1）公式对原点、坐标轴上的点都适应吗？（2）求两点间的距离有哪四步？（3）记忆公式有什么规律？（二）合作探究之一：两点间的距离公式思考1:在x轴上，已知点P1(x1，0)和P2(x2，0)，那么点P1和P2的距离为多少？ |P1P2|=|x1-x2|思考2:在y轴上，已知点P1(0，y1)和P2(0，y2)，那么点P1和P2的距离为多少？ |P1P2|=|y1-y2|思考3:已知x轴上一点P1(x0，0)和y轴上一点P2(0，y0)，那么点P1和P2的距离为多少？思考4:在平面直角坐标系中，已知点A(x，y) ，原点O和点A的距离d(O,A)思考5:一般地，已知平面上两点A(x1，y1)和B(x2，y2)，利用上述方法求点A和B的距离由特殊得到一般的结论公式1：A（x1,y1）、B(x2,y2)两点间的距离，用d（A，B）表示为（三）题型分类举例与练习【例1】已知A（2、-4）、B（-2，3）. 求d（A，B）〖课堂检测1〗课本第71页练习A， 1.求两点间的距离（提问学生，回答结果）【例2】已知：点A(1，2)，B(3，4)，C(5，0)求证：三角形ABC是等腰三角形。

证明：因为 d(A,B)=d(A,C)=d(C,B)=即|AC|=|BC|且三点不共线所以，三角形ABC为等腰三角形。

【课题】8．1 两点间的距离与线段中点的坐标
【教学目标】
知识目标：
掌握两点间的距离公式与中点坐标公式；
能力目标：
用“数形结合”的方法，介绍两个公式．培养学生解决问题的能力与计算能力．
【教学重点】
两点间的距离公式与线段中点的坐标公式的运用
【教学难点】
两点间的距离公式的理解
【教学设计】
两点间距离公式和中点坐标公式是解析几何的基本公式，教材采用“知识回顾”的方式给出这两个公式．讲授时可结合刚学过的向量的坐标和向量的模的定义讲解，但讲解的重点应放在公式的应用上．
例1是巩固性练习题．题目中，两个点的坐标既有正数，又有负数．讲授时，要强调两点间的距离公式的特点特别是坐标为负数的情况．
例2是中点公式的知识巩固题目．通过连续使用公式（8.2），强化学生对公式的理解与运用．
例3是本节两个公式的综合性题目，是知识的简单综合应用．要突出“解析法”，进行数学思维培养．
【教学备品】
教学课件．
【课时安排】
2课时．(90分钟)
【教学过程】
212(
==
P P P P x
、N、P、Q、R各点的坐标．在平面直角坐标系内，描出下列各点：(1,1)
A、(3,4)
B ．并计算每两点之间的距离．
第1题图
为线段AB =AM MB 012⎧⎨-=-⎩y y y y
图8－2
【教师教学后记】。

《平面直角坐标系中的基本公式》教案教学目标1、能记住平面上两点间的距离公式和中点公式.2、熟练应用两点间距离公式的推导.3、领会从特殊到一般的过程来研究两点间的距离公式及中点坐标公式．教学重难点重点：通过坐标来探究两点间的距离，进一步体会数形结合的思想，学会推导两点间的距离公式．难点：把实际问题转化为数学问题，建立相应的数学模型；结合勾股定理，通过模型来解决两点间的距离公式和中点坐标公式．教学过程一、情景导入问题：在平面坐标系中，已知两点的坐标，我们来讨论如何计算这两点的距离.可能会有同学来问，既然知道两点的距离，取一把尺子量一下就可以了，由坐标计算两点的距离有何意义？二、交流展示1、回忆勾股定理公式.2、如何计算平面坐标系中两点的距离和推导出中点公式.三、合作探究探究一：两点间的距离公式1.两点A(x1，y1)，B(x2,y2)间的距离公式表示为d(A，B2.当AB平行于x轴时，d(A，B)=|x2－x1|；当AB平行于y轴时，d(A，B)=|y2－y1|；当B为原点时，d(A，B求两点距离的步骤已知两点的坐标，为了运用两点距离公式正确地计算两点之间的距离，我们可分步骤计算：（1）给两点的坐标赋值：(x1，y1)，(x2，y2).（2）计算两个坐标的差，并赋值给另外两个变量，即△x=x2－x1，△y=y2－y1.（3）计算d22+.x y（4）给出两点的距离d .通过以上步骤，对任意的两点，只要给出两点的坐标，就可一步步地求值，最后算出两点的距离探究二：坐标法坐标法：就是通过建立坐标系（直线坐标系或者是直角坐标系），将几何问题转化为代数问题，再通过一步步地计算来解决问题的方法.用坐标法证题的步骤（1）根据题设条件，在适当位置建立坐标系（直线坐标系或者是直角坐标系）； （2）设出未知坐标；（3）根据题设条件推导出所需未知点的坐标，进而推导结论.探究三：中点坐标公式已知A (x 1，y 1),B (x 2，y 2)两点，M (x ，y )是线段AB 的中点，则有121222x x x y y y +⎧=⎪⎪⎨+⎪=⎪⎩ （1）两点间线段的中点坐标是常遇到的问题，中点法也是数形结合中常考察的知识点，这一思想常借助于图象的线段中点特征加以研究，确定解题策略.（2）若已知点P (x ，y )，则点P 关于点M (x 0，y 0)对称的点坐标为P (2x 0－x ，2y 0－y ). （3）利用中点坐标可以求得△ABC （A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，C (x 3，y 3)）的重心坐标为12312333x x x x y y y y ++⎧=⎪⎪⎨++⎪=⎪⎩四、课堂小结重点掌握平面坐标系中两点之间的距离公式，用坐标法分析问题，熟练掌握应用中点坐标公式.五、巩固练习已知A (1，2)，B (－3，b )两点间的距离等于，则b = .六、布置作业课后练习2、3.。

8.1.2 平面直角坐标系中的距离公式和中点公式【教学目标】1. 了解平面直角坐标系中的距离公式和中点公式的推导过程．2. 掌握平面直角坐标系中的距离公式和中点公式，并能熟练应用这两个公式解决有关问题．【教学重点】平面直角坐标系中的距离公式、中点公式．【教学难点】距离公式与中点公式的应用．1. 距离公式探究如图，设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)．过A ，B 分别向x 轴、y 轴作垂线AA 1，AA 2和BB 1，BB 2，垂足分别为A 1，A 2，B 1，B 2，其中直线BB 1和AA 2相交于点C ．（1）以上四个垂足的坐标分别是多少？（2）AC 与A 1B 1关系如何？如何求A 1B 1？（3）BC 等于多少？（4）在直角三角形ABC 中，如何求AB ？（5）你能表示出AB 吗？【结论】两点的距离公式：若A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则AB=()()221221y y x x -+-探究二例1 已知A (2，－4)，B (－2，3)，求AB ．解 因为x 1＝2，x 2＝－2，y 1＝－4，y 2＝3，所以AB ＝()()221221y y x x -+-＝(－4)2＋72＝65 ．x yB AC A 1 A 2 B 2 B 1O练习一求两点之间的距离：（1）A (6，2)，B (－2，5)；（2）C (2，－4)，D (7，2)．2. 中点公式探究三如图所示，若已知A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，那么怎么求它们的对称中心的坐标？设M (x ，y )是A ，B 的对称中心，即线段AB 的中点．过A ，B ，M 分别向x 轴，y 轴作垂线，AA 1，AA 2，BB 1，BB 2，MM 1，MM 2，垂足分别是A 1，A 2，B 1，B 2，M 1，M 2．教师提出要探究的问题，学生解答以下问题：（1）你能说出垂足A 1，A 2，B 1，B 2，M 1，M 2的坐标吗？（2）点M 是AB 中点吗？M 1是A 1，B 1的中点吗？它们的坐标有怎样的关系？（3）M 2是A 2，B 2的中点吗？它们的坐标有怎样的关系？（4）你能写出点M 的坐标吗？【结论】在平面直角坐标系内，两点A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)的中点M (x ，y )的坐标满足221x x x +=，221y y y +=例2 求证：任意一点P (x ，y )与点P '(－x ，－y )关于坐标原点成中心对称．证明 设P 与P '的对称中心为(x 0，y 0)，则x 0＝x +(－x )2 ＝0， y 0＝y +(－y )2＝0． 所以坐标原点为P 与P ′的对称中心．x yB AA 1 A 2B 2 B 1O M 1 M 2 M练习二求下列各点关于坐标原点的对称点：A (2，3)，B (－3，5)，C (－2，－4)，D (3，－5)．例3 已知坐标平面内的任意一点P (a ，b )，分别求它关于x 轴的对称点P ′，关于y 轴的对称点P ′′的坐标．（1）如果点P 与P ′关于x 轴对称，PP ′与x 轴垂直吗？P ′的横坐标是多少？（2）PP ′与x 轴的交点M 是线段PP ′的中点吗？M 点的纵坐标是多少？（3）你能求出P ′的纵坐标吗？怎么求的？（4）由以上分析，点P ′的坐标是多少？（5）你能求出P ′′的坐标吗？练习三求下列点关于x 轴和y 轴的对称点坐标：A (2，3)，B (－3，5)，C (－2，－4)，D (3，－5)．xyP (a ，b ) O P 'P '' ● ● ● M ●例4 已知平行四边形ABCD 的三个顶点A (－3，0)，B (2，－2)，C (5，2)，求顶点D 的坐标．解 因为平行四边形的两条对角线的中点相同，所以它们的坐标也相同．设点D 的坐标为(x ，y )，则⎩⎨⎧x +22 ＝－3+52 ＝1 y －22 ＝0＋22 ＝1 解得 ⎩⎨⎧==40y x 所以顶点D 的坐标为(0，4)．练习四已知平行四边形ABCD 的三个顶点A (0，0)，B (2，－4)，C (6，2)，求顶点D 的坐标．【小结】1．直角坐标系中两点间的 ．2．直角坐标系中两点的 ．3．点的对称．。

【课题】8. 1两点间的距离与线段中点的坐标【教学目标】知识目标:掌握两点间的距离公式与中点坐标公式; 能力目标:用“数形结合”的方法，介绍两个公式.培养学生解决问题的能力与计算能力.【教学重点】 两点间的距离公式与线段中点的坐标公式的运用【教学难点】两点间的距离公式的理解【教学设计】 两点间距离公式和中点坐标公式是解析几何的基本公式, 教材采用“知识回顾”的方式 给出这两个公式.讲授时可结合刚学过的向量的坐标和向量的模的定义讲解, 但讲解的重点 应放在公式的应用上. 例1是巩固性练习题•题目中，两个点的坐标既有正数，又有负数•讲授时，要强调两 点间的距离公式的特点特别是坐标为负数的情况. 例2是中点公式的知识巩固题目•通过连续使用公式（ 8.2）,强化学生对公式的理解与 运用. 例3是本节两个公式的综合性题目，是知识的简单综合应用•要突出 “解析法”，进行数学思维培养. 【教学备品】教学课件. 【课时安排】 2课时.（90分钟） 【教学过过行为意图程行为间平面直角坐标系中，设R(X1,y1), P2(X2,y2)，则质疑思考p P2 =(X2 -X i，y2 -%)•启发学生思考*动脑思考探索新知【新知识】我们将向量PP2的模，叫做点P、P2之间的距离，记作PP2，则1 PP2匸同=^ij PP2 =J(X2 -X1)2+(y2 -yj2(8. 1) *巩固知识典型例题例1求A (-3, 1)、B (2, -5 )两点间的距离.解 A、B两点间的距离为|AB| = J(£—2)2+1 —(―5)2=>/6?y L尸r■ s4-3H, r J _jv ¥ 2.1-Q-斗一F -2-lO--- 1-21H 3 4 X—4、R第1题图*运用知识强化练习1.请根据图形，写出 M、N、P、Q、R各点的坐标.2.在平面直角坐标系内，描出下列各点：A(1,1)、B(3,4)、C(5,7).并计算每两点之间的距离.*创设情境兴趣导入【观察】练习& 1 . 1第2题的计算结果显示, 引导分析总结归纳说明强调引领讲解说明提问巡视指导质疑15思考记忆观察思考主动求解思考口答思考带领学生分析25通例进步会30反复强调38过 行为 意图程 行为 间lABITBcJlACI . 2 这说明点B 是线段AB 的中点，而它们三个点的坐标之间 恰好存在关系 引导 分析参与 分析启发 学生思考*动脑思考探索新知 【新知识】 1+5 1+7 3 = --- , 4 = ----2 2 43设线段的两个端点分别为 A(x 1, y 1)和B(X 2, y 2)，线段的 中点为 M(x 0,y 0)(如图 8- 1),贝y AM =(x o — X i , y o —y i ), MB =(X2 -勺，丫2 - y 0),由于M 为线段AB 的中点， A M =M B,即(X 0 —X 1, y 0 —y 1)=(X 2 —X 0,y 2 — y 。

8.1（1）向量的坐标表示及其运算（1）一．教学内容分析按现行上海市中小学数学课程标准，本章内容是在初中学习了向量的基本概念、向量的加法、减法、实数与向量的积等基础之上的后继学习.但与初中有所不同的是，初中教材对向量的学习是以“形”为主，主要从“形”的角度展开，而本章内容则主要是以“数”为主，从“数”的角度进行论述.当然，由于向量本身所具有的数形结合的特点，本章教材在以“数”为主旨处理教学内容的同时并没有弱化向量的“形”的方面的特征，而是二者相得益彰，互为依赖、互为补充.以“数”为主旨研究向量，其核心手段是向量及其运算的坐标表示.向量的坐标表示，实际上是向量的代数表示.在引入向量的坐标表示后，向量的加法、减法、实数与向量的积、向量的数量积等就完全可以用它们的坐标的加法、减法、数乘、数量积等运算来进行，使向量运算完全代数化，将数与形紧密结合起来.这样，就使得很多问题，可以转化为熟知的数量的运算进行解决.向量及其运算的坐标表示，一方面为用代数方法处理几何问题提供了通道，另一方面也为向量概念推广到高维空间指明了途径，同时，它也是高中数学中描述与处理如立几、解几、三角等诸多问题的一个有力的工具，在高考中也占有一个重要的地位.作为本章的第一课时，本节课的主要内容是向量的坐标表示及其运算.它是本章重要的基础性与前提性内容，它引入了将向量问题代数化的基本手段与方法——向量的坐标表示.本节内容课本上的基本处理方法是在引入一些相关的基础性的概念之后，通过任意向量都可以正交分解为基本单位向量,i j的线性组合，在向量的正交分解的基础上抽象概括出向量的坐标表示形式，并依据向量的正交分解的本质得到向量坐标形式下的运算法则.本节课要着力解决三个问题：一是要解决引入向量的坐标形式的必要性的问题，以引起学生学习的动机，二是要解决如何引入向量的正交分解及如何由此抽象出向量的坐标形式或者说是如何让学生理解向量坐标的本质的问题，三是要解决引入向量坐标形式以后如何以坐标形式进行运算的问题.作为本节课（本章的第一个课时）来说，第二个问题是重中重之中，因为如果学生不能理解向量的坐标是怎么来的，它的本质是什么，就会对后继学习带来一定的困难.因此，我们在课上要对这一点特别的重视.二．教学目标设计1.了解基本单位向量、位置向量、向量的正交分解等概念；会用坐标表示向量；会用两向量的坐标形式的和、差及实数与向量的积等运算解决相关问题.2. 经历如何将位置向量及任意向量表示为基本单位向量的线性组合这一正交分解的过程，以及经历如何通过向量的正交分解的本质概括抽象出向量的坐标表示的过程，初步形成抽象思维的能力；理解平面向量与一对有序实数对的一一对应关系，理解向量的坐标表示方法及其运算法则；体会数形结合的思想方法.3.感知数学中的运动、变化、相互联系与相互转化的规律，加深对辩证唯物主义观点的体验；发展从数学的角度分析和解决问题的能力，以及通过积极参与数学学习和问题解决的过程，增强学习的主体意识，形成数学的应用意识，养成严谨、慎密的思维习惯.三．教学重点及难点教学重点是如何写向量的坐标以及向量坐标形式的运算及其应用；教学难点是对向量的正交分解的过程的理解以及由向量的正交分解抽象出向量的坐标表示的过程的理解.四．教学流程设计小结与作业坐标表示的运算运用与深化知起点与终点的 向量的坐标表示情境问题向量的正交分解向量的坐标表示位置向量的正交分解 任意向量的正交分解位置向量的 坐标表示 任意向量的坐标表示返回到情境问题五．教学过程设计一.情境引入上海市莘庄中学的健美操队四名队员A 、B 、C 、D 在一个长10米，宽8米的矩形表演区域EFGH 内进行健美操表演.（1）若在某时刻1t ，四名队员A 、B 、C 、D 保持如图1所示的平行四边形队形.队员A 位于点F 处，队员B 在边FG 上距F 点3米处，队员D 位于距EF 边2米距FG 边5米处.你能确定此时队员C 的位置吗？EFGHHGF E 图2图18m 10m DCBADCB A 10m8m[说明] 此时队员C 在位于距EF 边5米距FG 边5米处.这个图形比较特殊，学生很快就会得到答案，这时教师引入第二个问题.（2）若在某时刻2t ，四名队员A 、B 、C 、D 保持如图2所示的平行四边形队形.队员A 位于距EF 边2米距FG 边1米处，队员B 在距EF 边6米距FG 边3米处，队员D 位于距EF 边4米距FG 边5米处.你能确定此时队员C 的位置吗？[说明] 不要求学生写出结果，只引导学生思考.这个图形更为一般一些，学生解决的可能不是很顺，这时，教师就可以说，这一节我们就来学习一个新的内容：向量的坐标表示及其运算，学习了这个内容之后，同学们只要花上两分钟或者只要一分钟的时间就可以解决这个问题了，引起学生学习的兴趣与探究的欲望.二．学习新课 1. 向量的正交分解我们称在平面直角坐标系中，方向与x 轴和y 轴正方向分别相同的的两个单位向量叫做基本单位向量，分别记为,i j ，如图，称以原点O 为起点的向量为位置向量，如下图左，OA 即为一个位置向量.思考1：对于任一位置向量OA ，我们能用基本单位向量,i j 来表示它吗？如上图右，设如果点A 的坐标为(),x y ，它在小x 轴，y 轴上的投影分别为M ，N ，那么向量OA 能用向量OM 与ON 来表示吗？（依向量加法的平行四边形法则可得OA OM ON =+），OM与ON 能用基本单位向量,i j 来表示吗？（依向量与实数相乘的几何意义可得,OMxi ON y j ==），于是可得：OA OM ON xi y j =+=+由上面这个式子，我们可以看到：平面直角坐标系内的任一位置向量OA 都能表示成两个相互垂直的基本单位向量,i j 的线性组合，这种向量的表示方法我们称为向量的正交分解.2.向量的坐标表示思考2：对于平面直角坐标系内的任意一个向量a ，我们都能将它正交分解为基本单位向量,i j 的线性组合吗？如下图左.显然，如上图右，我们一定能够以原点O 为起点作一位置向量OA ，使O Aa=.于是，可知：在平面直角坐标系内，任意一个向量a 都存在一个与它相等的位置向量OA .由于这一点，我们研究向量的性质就可以通过研究其相应的位置向量来实现.由于任意一个位置向量都可以正交分解为基本单位向量,i j 的线性组合，所以平面内任意的一个向量a 都可以正交分解为基本单位向量,i j 的线性组合.即：a =OA =xi y j +上式中基本单位向量,i j 前面的系数x,y 是与向量a 相等的位置向量OA 的终点A 的坐标.由于基本单位向量,i j 是固定不可变的，为了简便，通常我们将系数x,y 抽取出来，得到有序实数对（x,y ）.可知有序实数对（x,y ）与向量a 的位置向量OA 是一一对应的.因而可用有序实数对（x,y ）表示向量a ，并称（x,y ）为向量a 的坐标，记作：a =（x,y ）[说明]（x,y ）不仅是向量a 的坐标，而且也是与a 相等的位置向量OA 的终点A 的坐标！当将向量a 的起点置于坐标原点时，其终点A 的坐标是唯一的，所以向量a 的坐标也是唯一的.这样，我们就将点与向量、向量与坐标统一起来，使复杂问题简单化.显然，依上面的表示法，我们有：(1,0),(0,1),0(0,0)ij ===.例1.（课本例题）如图，写出向量,,a b c 的坐标. 解：由图知()1,2a=与向量b 相等的位置向量为OA ， 可知()1,2b OA ==与向量c 相等的位置向量为OB ， 可知()1,2c OB ==-[说明] 对于位置向量a ，它的终点的坐标就是向量的坐标；对于起点不在原点的向量,b c ，我们是通过先找到与它相等的位置向量，再利用位置向量的坐标得到它们的坐标.那么，有没有不通过位置向量，直接就写出任意向量的坐标的方法呢？答案是肯定的，而且很简便，但我们需几分钟后再来解决这个问题.让我们先学习向量坐标表示的运算：3.向量的坐标表示的运算我们学过向量的运算，知道向量有加法、减法、实数与向量的乘法等运算，那么，在学习了向量的坐标表示以后，我们怎么用向量的坐标形式来表示这些运算呢？设λ是一个实数，1122(,),(,).a x y b x y == 由于1111(,),a x y x i y j ==+ 2222(,)b x y x i y j ==+所以1122(,)(,)a b x y x y ±=±()()1122x i y j x i y j=+±+ ()()()()()121212121212,x i x i y j y j x x i y y j x x y y =±+±=±+±=±±()()11111111(,),ax y x i y j x i y j x y λλλλλλλ==+=+=于是有：1122(,)(,)x y x y ±()1212,x x y y =±±()1111(,),x y x y λλλ=[说明]上面第一个式子用语言可表述为：两个向量的和(差)的横坐标等于它们对应的横坐标的和(差)，两个向量的和(差)的纵坐标也等于它们对应的纵坐标的和(差)，可笼统地简称为：两个向量和(差)的坐标等于对应坐标的和(差)；同样，第二个式子用语言可表述为：数与向量的积的横坐标等于数与向量的横坐标的积，数与向量的积的纵坐标等于数与向量的纵坐标的积，也可笼统地简称为：数与向量积的坐标等于数与向量对应坐标的积.4.应用与深化下面我们来研究刚才提出的不通过位置向量，如何直接写出任意向量的坐标的问题： 例2.如下图左，设()11,Px y 、()22,Q x y 是平面直角坐标系内的任意两点，如何用P 、Q 的坐标来表示向量PQ ？解：如上图右，向量PQ OQ OP =-()()()22112121,,,x y x y x x y y =-=--从而有 ()2121,PQ x x y y =--[说明]上面这个式子告诉我们：平面直角坐标系内的任意向量的横坐标等于它终点的横坐标与它起点的横坐标的差，纵坐标也等于它终点的纵坐标与它起点的纵坐标的差，可简称为“任意向量坐标=终点坐标-起点坐标”.例3.（课本例题）如图，平面上A 、B 、C 三点的坐标分别为()2,1、()3,2-、()1,3-.（1）写出向量,AC BC 的坐标；（2）如果四边形ABCD 是平行四边形，求D 的坐标.解：（1）()()12,313,2AC =---=-()()()13,322,1BC=----=（2）在上图中，因为四边形ABCD 是平行四边形，所以DC AB =设点D 的坐标为(),D D x y ，于是有()1,3D D x y AB ---=又 ()()32,215,1AB =---=-故()()1,35,1D D x y ---=-由此可得1531D D x y --=-⎧⎨-=⎩ 解得42D D x y =⎧⎨=⎩因此点D 的坐标为()4,2.练习：（1）请大家用两分钟的时间解答本节课一开始我们所提出的在某时刻2t ，健美操队员C 的位置问题.即：在某时刻2t ，四名队员A 、B 、C 、D 保持如图所示的平行四边形队形.如下图左，队员A 位于距EF 边2米距FG 边1米处，队员B 在距EF 边6米距FG 边3米处，队员D 位于距EF 边4米距FG 边5米处.你能确定此时队员C 的位置吗？DC(-1,3)A(2,1)B(-3,2)yxOEFGHDCB A 10m8myxOF A(2,1)B(6,3)CD(4,5)HGE解：以点F 为坐标原点，以边FG 为x 轴，以边FE 为y 轴，建立如上图右所示直角坐标系.则依题意有A(2,1),B(6,3),D(4,5),设C(x,y),则由ABCD 是平行四边形可得：(4,2)(2,4)(6,6)AC AB AD =+=+=又(,)(2,1)(2,1)ACx y x y =-=--故(2,1)(6,6)x y --= 于是 x=8, y=7,即C （8，7）.答：队员C 位于距EF 边8米、距FG 边7米处.（2）在某时刻3t ，四名队员A 、B 、C 、D 保持平行四边形队形.已知队员A 位于距EF 边2米距FG 边1米处，队员B 在距EF 边6米距FG 边3米处，队员C 位于如下图左所示的矩形阴影部分区域内（包括边界）某一位置.你能确定此时队员D 可能的位置区域吗？4m5m 8m 10mA B C DH GFEB(6,3)A(2,1)O E F G H DC 10m8m5m 4myx解：以点F 为坐标原点，以边FG 为x 轴，以边FE 为y 轴，建立如上图右所示直角坐标系.依题意有A(2,1),B(6,3),设D(x,y),则由ABCD 是平行四边形可得：(4,2)DC AB == 又D(x,y)，所以可得C(x+4,y+2)由题意54101642826x x y y ≤+≤≤≤⎧⎧⇒⎨⎨≤+≤≤≤⎩⎩ 于是可得队员D 可能的位置区域如图所示阴影部分（除去点B ）：6261yxO F A B CDHGE例4.已知向量()4,1a =-与()5,2b =，求23a b +的坐标.解：因为()28,2a=-，()315,6b =所以 ()()23815,2623,4a b +=+-+=三．巩固练习1. 如图，写出向量,,a b c 的坐标.2.已知(1,2)a =-，若其终点坐标是(2,1),则其起点的坐标是 ；若其起点坐标是(2,1),则其终点的坐标是 .3.已知向量()2,3a =-与()1,5b =-，求3a b -及3b a -的坐标.解：1.由题意：()()()()()()2,1,1,1,a b c==-=-- 2.设起点的坐标是(x,y)，则(2,1)-(x,y)=(-1,2),解得：(x,y)=(3,-1)，即起点的坐标是(3,-1)；设终点的坐标是(x,y)，则(x,y)-(2,1) =(-1,2),解得：(x,y)=(1,3)，即起点的坐标是(1,3).3. 3a b -=3()7,14---()()1,57,14-=-3b a -=()1,5--3()2,3-()7,14=-[另法]：3b a -=()3a b --=()7,14--()7,14=-四．课堂小结： 本节课我们讲了哪些内容？（请学生作答）1.向量的正交分解（是如何对向量进行正交分解的？）2.向量的坐标表示（是用什么表示向量的坐标的？）3.向量的坐标运算（运算法则是什么？）五．作业布置1.已知(2,0),(1,3),a b ==-则a b +与a b -的坐标分别为( )(A)(3,3),(3,-3) (B)(3,3),(1,-3)(C)(1,3),(3,3) (D)(1,3),(3,-3)2.若点A 坐标为(2,-1),AB 的坐标为(4,6),则B 点的坐标为( )(A)(-2,-7) (B)(2,7)(C)(6,5) (D)(-2,5)3.已知(,4),(3,2).a x b y ==-若1,2a b =则x= ,y= . 4.已知AB (1)i x j +-=(2-x)，且AB 的坐标所表示的点在第四象限，则x 的取值范围是 .5.已知A(5,-2),B(2,-5),C(7,4),D(4,1),求证：AB=CD .6.已知(1,2),(3,1),(11,7),a b c =-=-=-并且.c xa yb =+求x,y 的值.7.已知22(,2),(5,)a mn b mn =+=，且.a b =求,.m n 的值.六．教学设计说明及反思在本节课的设计上，我是先用一个实际的情境问题引入，引起学生学习的兴趣，同时也在最后通过应用向量坐标这个工具对于这个问题的简便解决以及对于这一问题的进一步深化，使学生体会到引入向量坐标形式这个工具的必要性，并培养学生数学的应用意识，体会到数学是有用的，是有价值的；另外，在新授课内容的设计上，主要采用了以知识内容本身的逻辑关系而形成的继承关系为顺序的直线型的设计，主要有四个板块：一是向量的正交分解，二是向量的坐标表示，三是向量的坐标运算，四是应用与深化.其中向量的正交分解是从介绍基本单位向量与位置向量的概念入手，然后通过先处理位置向量的正交分解，再处理任意向量的正交分解；向量的坐标表示也是先处理位置向量的坐标表示然后再处理可化为位置向量的向量的坐标表示，最后在研究了坐标形式的运算之后才以例题的形式处理任意向量的坐标表示，这样设计的思路与课本上先交代任意向量都可以作一个与之相等的位置向量，然后只要研究位置向量就能得到原来向量的性质的思路略有不同，这样设计的出发点主要是希望能够给学生的学习创造一个按知识自身的逻辑顺序而层层递进的、螺旋上升的学习过程，使学生能够步步为营的在充分弄清前一个问题的基础上进入下一个问题，从而达到有效分散学生在学习中的难点的目的.在应用与深化这一板块上，我主要设计了五个问题，第一个问题是例1，置于向量的坐标表示这一板块之中，其目的是为了在初次接触坐标表示时，加深对位置向量与可化为位置向量的坐标的理解，以及舒缓一下学生在较长时间的数学纯理论学习中所聚集的紧张或疲劳情绪，为下面的学习作点准备；第二个问题是例2，解决任意向量的坐标表示问题，这也是这一节课必须要解决的一个重点问题；第三个问题是例3，其目的是通过对任意向量的坐标表示公式的应用，强化对这一公式的记忆与掌握，同是也为下一问题即引入问题的解决作知识与方法上的铺垫；第四个问题是解决引入的情境问题并作进一步深化；第五个问题是对向量坐标表示运算公式的应用.同时，最后又设置了三个小题，作为课内练习，机动使用.整个一节课，如果用一句话概括基本的设计思路，那就是：低起点（使学生容易入手）、小步走（使学生容易理解）、重视过程（重视知识的发生过程及重视学生的学习过程）、强化训练（训练是掌握与提高的有效途径）.。

教学设计坐标系中两点距离公式华师版⼋年级下册第17章函数及其图象第4课时直⾓坐标系中点的对称、点到坐标轴的距离（习题探究课）攀枝花市第⼆⼗中⼩学校初中数学组李利⼀、本节课要达到的⽬标：1、熟练掌握坐标系中的点坐标的特点；熟练根据点位置写点坐标或者根据坐标描点。

2、探究总结坐标系中点关于坐标轴、原点对称后的坐标变化特点；3、计算坐标系中，点到原点的距离，点到坐标轴的距离，拓展两点间的距离。

⼆、本节课的重难点：1、重点：点关于坐标轴、原点对称后的坐标变化特点；点到原点的距离，点到坐标轴的距离。

2、难点：拓展两点间的距离。

三、PPT使⽤：1、教学过程中PPT、⽩板、展台随机转化。

2、全程的教学设计以PPT形式展现。

3、探究坐标系中点关于x轴、y轴、原点对称，⽤PPT展⽰。

4、学⽣练习卷中⽩板展⽰计算过程。

5、学⽣讲解时⽤展台，展⽰学⽣的解题过程和答案。

四、教学过程：1（⼆）疑1、坐标系中任意⼀点关于x 轴、y 轴、原点对称变化后的点的坐标变化有什么特点？（三）探（⼩组完成）1、坐标系中各象限内的点，关于x 轴对称是⾛向，只与坐标有关，如点P(x ，y)关于X 轴对称点是。

2、坐标系中各象限内的点，关于y 轴对称是⾛向，只与坐标有关，如点P(x ，y)关于X 轴对称点是。

3、坐标系中各象限内的点，关于原点对称是⾛向，是___ __ ___对称；与坐标有关，如点P(x ，y)关于X 轴对称点是。

4、在图2的坐标系中总结出点P （a ，b ）关于x 轴、y 轴、原点对称的点坐标特点（四）练1、点N （0，－2），关于X 轴对称的点坐标N 1（）；关于Y 轴对称的点坐标N 2（）。

2、若A(a －2，3)和A1(－1，2b ＋5)关于原点对称，则a= ,b= 。

变式：（1）若关于x 轴对称，则a= ， b= 。

（2）若关于y 轴对称，则a= ，b= 。

3、若点 A(2，a)关于x 轴的对称点是B （b ，－3），则ab 的值是。