第八章小波分析及应用8.1 引言把函数分解成一系列简单基函数的表示，无论是在理论上，还是实际应用中都有重要意义。
1822年法国数学家傅里叶(J. Fourier 1768-1830)发表的研究热传导理论的“热的力学分析”，提出并证明了将周期函数展开为正弦级数的原理，奠定了傅里叶级数理论的基础[1]。
傅里叶级数理论研究的是把函数在三角函数系下的展开，使得对信号和系统的研究归结为对简单的三角函数的研究。
傅里叶级数与傅里叶变换共同组成了平常所说的傅里叶分析[2]。
傅里叶级数用于分析周期性的函数或分布，理论分析时经常假定周期是π2，定义如式(8.1-1)、(8.1-2)()()π2,02L x f ∈∀，()∑∞-∞==k ikxkec x f (8.1-1)其中 ()dx e x f c ikx k -⎰=ππ2021 (8.1-2) 然而，被分析函数的性质并不能完整地由傅里叶系数来刻划，这里有一个例子来说明[3]：从任一个平方可和的函数)(x f 出发，为了得到一个连续函数)(x g ，只需或者增大f(x)的傅里叶系数的模，或者保持它不变并适当地改变系数的位相。
因此，不可能仅根据傅里叶系数大小的阶就预知函数的性质（如大小、正则性）。
傅里叶变换的定义如式(8.1-3)、(8.1-4)()()dx e x f F x j ωω⎰∞∞-= (8.1-3)()()ωωπωd e F x f x j -∞∞-⎰=21 (8.1-4) 通过引入广义函数或分布的概念，可获得奇异函数（如冲击函数）的傅里叶变换的存在。
对于时域的常量函数，在频域将表现为冲击函数，表明具有很好的频域局部化性质。
由式(8.1-3)可知，为了得到()ωF ，必须有关于f(x)的过去和未来的所有知识，而且f(x)在时域局部值的变化会扩散到整个频域，也就是()ωF 的任意有限区域的信息都不足以确定任意小区域的f(x)。
在时域，哈尔(Haar)基是一组具有最好的时域分辨能力的正交基，它在时域上是完全局部化的，但在频域的局部化却很不好，这是由于哈尔系的两个缺点：缺乏正则性与缺乏振动性。
研究者们希望寻找关于空间变量（或时间变量）与频域变量都同时好的希尔伯特(Hilbert)基，R. Balian 认为：“在通讯理论中，人们对于在完全给定的时间内，把一个振动信号表示成由其中每一个都拥有足够确定的位置与有一个频率的小波的叠加这件事感兴趣。
事实上，有用的信息常常同时被发射信号的频率与信号的时间结构（如音乐）所传递。
当把一个信号表达成时间的函数时，其中的频谱表现并不好；相反地，信号的傅里分析却显示不了信号每一分量发射信号的瞬时与持续时间。
一个适当的表示应结合这两者互补描述的优点，并用一个离散的刻划来表示，以适应通讯理论[3]。
”为此，人们提出了短时傅里叶变换（STFT ）的概念：定义8.1-1若()R L W 2∈选择得使W 与它的傅里叶变换Wˆ满足： ()()()()R L WR L t tW 22ˆ,∈∈ωω 那么使用W 作为窗函数，在式(8.1-5)中引入的窗口傅里叶变换称为“短时傅里叶变换”(STFT)：()()()()()()dt b t W t f e f g t j b -=⎰∞∞--ωω~ (8.1-5)当窗函数选择为高斯(Gaussian)函数时，则为Gabor 变换[2]。
STFT 的缺点是分析窗的大小和形状是恒定的。
因为频率与周期成反比，所以反映信号的高频成份需要窄的时间窗，而反映信号的低频成份需要宽的时间窗，STFT 无法满足要求，此外，STFT 的冗余很大，增加了不必要的计算量。
小波变换作为能随频率的变化自动调整分析窗大小的分析工具，自八十处代中期以来得到了迅猛的发展，并在信号处理、计算机视觉、图像处理、语音分析与合成等众多的领域得到应用。
小波分析方法的出现可以追溯到1910年Haar 提出Haar 规范正交基，以及1938年Littlewood-Paley 对傅里叶级数建立的L-P 理论。
为克服传统傅里叶分析的不足，在八十年代初，便有科学家使用“小波”的概念来进行数据处理，比较著名的是1984年法国地球物理学家Morlet 引入小波的概念对石油勘探中的地震信号进行存贮和表示。
在数学方面所做的探索主要是R. Coifman 和G . Weiss 创立的“原子”和“分子”学说，这些“原子”和“分子”构成了不同函数空间的基的组成部分。
L. Carleron 使用了非常象“小波”的函数构造了Stein 和Weiss 的空间1H 的无条件基。
直到1986年，法国数学家Meyer 成功地构造出了具有一定衰减性的光滑函数ψ，它的二进伸缩与平移()(){}Z k j k t t j j k j ∈-=--,:222/,ψψ构成()R L 2的规范正交基。
此前，人们普遍认为这是不可能的，如Daubechies,Grossman 和Meyer 都退而研究函数系()002/0kb t a a jj ---ψ构成()R L 2的框架的条件去了。
Lemarie 和Battle 继Meyer 之后也分别独立地给出了具有指数衰减的小波函数。
1987年，Mallat 利用多分辨分析的概念，统一了这之前的各种具体小波的构造，并提出了现今广泛应用的Mallat 快速小波分解和重构算法。
1988年Daubechies 构造了具有紧支集的正交小波基。
Coifman, Meyer 等人在1989年引入了小波包的概念。
基于样条函数的单正交小波基由崔锦泰和王建忠在1990年构造出来。
1992年A. Cohen, I. Daubechhies 等人构造出了紧支撑双正交小波基。
同一时期，有关小波变换与滤波器组之间的关系也得到了深入研究。
小波分析的理论基础基本建立起来。
近年来，一种简明有效的构造小波基的方法--提升方案(Lifting Scheme)得到很大的发展和重视[4,5]。
利用提升方案可把现存的所有紧支撑小波分解成更为基本的步骤[6]，另外，它还为构造非线性小波提供了一种有力的手段，所以，利用提升方案构造的小波被认为是第二代小波[5]。
小波理论及其应用仍然处在发展中，其未来将在非线性多尺度方法、非规则集上的小波构造以及非平稳、非均匀、时变信号处理等方面等到更深入的研究。
8.2 小波变换及其基本性质 8.2.1 连续小波变换()()R L t f 2∈∀，()t f 的连续小波变换（有时也称为积分小波变换）定义为：()()0,,2/1≠⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎰∞∞--a dt a b t t f ab a WT f ψ (8.2-1)或用内积形式：()b a f f b a WT ,,,ψ=(8.2-2)式中()⎪⎭⎫⎝⎛-=-a b t at b a ψψ2/1, 要使逆变换存在，()t ψ要满足允许性条件：()∞<=⎰∞∞-ωωωψψd C 2ˆ (8.2-3)式中()ωψˆ是()t ψ的傅里叶变换。
这时，逆变换为()()()2,1,ada dbb a WT t C t f f b a ⎰⎰∞∞-∞∞--=ψψ(8.2-4)ψC 这个常数限制了能作为“基小波（或母小波）”的属于()R L 2的函数ψ的类，尤其是若还要求ψ是一个窗函数，那么ψ还必须属于()R L 1，即()∞<⎰∞∞-dt t ψ故()ωψˆ是R 中的一个连续函数。
由式(8.2-3)可得ψˆ在原点必定为零，即 ()()00ˆ==⎰∞∞-dt t ψψ(8.2-5) 从式(8.2-5)可以发现小波函数必然具有振荡性。
连续小波变换具有如下性质： 性质1（线性）：设()()()t h t g t f βα+=，则()()()b a W T b a W T b a W T h g f ,,,βα+=性质2（平移不变性）：若()()b a W T t f f ,↔，则()()ττ-↔-b a W T t f f ,。
平移不变性是一个很能好的性质，在实际应用中，尽管离散小波变换要用得广泛一些，但在需要有平移不变性的情况下，离散小波变换是不能直接使用的。
性质3（伸缩共变性）：若()()b a W T t f f ,↔，则()()cb ca WT cct f f ,1↔，其中c>0。
性质4（冗余性）：连续小波变换中存在信息表述的冗余度。
其表现是由连续小波变换恢复原信号的重构公式不是唯一的，小波变换的核函数()t b a ,ψ存在许多可能的选择。
尽管冗余的存在可以提高信号重建时计算的稳定性，但增加了分析和解释小波变换的结果的困难。
8.2.2连续小波变换的离散化由于连续小波变换存在冗余，因而有必要搞清楚，为了重构信号，需针对变换域的变量 a ，b 进行何种离散化，以消除变换中的冗余，在实际中，常取Z k j a k b jj ∈==,;21,2，这时 ()()()k t t t j j kb a jj -==222/2,21,ψψψ常简写为：()t k j ,ψ。
变换形式为：k j j j f f k WT ,,2,21ψ=⎪⎭⎫⎝⎛为了能重构信号()t f ，要求{}Zk j kj ∈,,ψ是()R L 2的Riesz 基。
定义8.2-1一个函数()R L 2∈ψ称为一个R 函数，如果{}Zk j kj ∈,,ψ在下述意义上是一个Risez基：Z k j k j ∈,,,ψ的线性张成在()R L 2中是稠密的，并且存在正常数A 与B ，∞<≤<B A 0，使{}{}2,22,,2,22lk j j k kj k j l k j c B c c A ≤≤∑∑∞-∞=∞-∞=ψ对所有二重双无限平方可和序列{}k j c ,成立，即对于{}∞<=∑∑∞-∞=∞-∞=2,2,2j k kj l k j cc 的{}k j c ,成立。
假定ψ是一个R 函数，那么存在()R L 2的一个唯一的Riesz 基{}Zk j kj ∈,,ψ，它在意义Z m l k j m k l j m l k j ∈=,,,,,,,,,δδψψ上与{}k j ,ψ对偶。
这时，每个()()R L t f 2∈有如式(8.2-6)的唯一级数表示：()()∑∑∞-∞=∞-∞==j k kj k j t f t f ,,,ψψ (8.2-6)特别地，若{}Zk j k j ∈,,ψ构成()R L 2的规范正交基时，有kj k j ,,ψψ= 重构公式为：()()t f t f j k j k k j ∑∑∞-∞=∞-∞==,,,ψψ (8.2-7)8.3 多分辨分析与Mallat 算法 8.3.1 多分辨分析Mallat 使用多分辨分析的概念统一了各种具体小波基的构造方法，并由此提出了现今广泛使用的Mallat 快速小波分解和重构算法，它在小波分析中的地位与快速傅里叶变换在傅里叶分析中的地位相当[7]。
