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北京高二高中数学期末考试班级:___________ 姓名：___________ 分数：___________一、选择题1.圆的半径为( )A．B．C．D．2.双曲线的实轴长为 ( )A．B．C．D．3.若，，且，则 ( )A．B．C．D．4.命题“,”的否定为 ( )A．，B．，C．，D．，5.“”是“方程表示圆”的 ( )A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件6.关于直线以及平面,下列命题中正确的是 ( )A．若，，则B．若，，则C．若，且，则D．若，，则7.已知为椭圆的两个焦点，过的直线交椭圆于两点，，则 ( ) A．B．C．D．8.某几何体的三视图如图所示，则它的体积等于（）A．B．C．D．9.已知平面内两个定点，过动点作直线的垂线，垂足为.若，则动点的轨迹是（）A．圆B．抛物线C．椭圆D．双曲线10.已知正方体，点，，分别是线段，和上的动点，观察直线与，与．给出下列结论：①对于任意给定的点，存在点，使得；②对于任意给定的点，存在点，使得；③对于任意给定的点，存在点，使得；④对于任意给定的点，存在点，使得．其中正确结论的个数是（）A．1个B．2个C．3个D．4个二、填空题1.已知抛物线的准线为，则其标准方程为_______.2.命题“若，则”的否命题是：__________________.3.双曲线的离心率为_______；渐近线方程为_______.4.一个正方体的八个顶点都在同一个球面上，则球的表面积与这个正方体的表面积之比为_______.5.如图，长方体中，是边长为的正方形，与平面所成的角为，则棱的长为_______；二面角的大小为_______.6.已知为椭圆上一点，为椭圆长轴上一点，为坐标原点.给出下列结论：①存在点，使得为等边三角形；②不存在点，使得为等边三角形；③存在点，使得；④不存在点，使得.其中，所有正确结论的序号是__________.三、解答题1.如图，在四棱锥中，底面为矩形，底面，、分别是、中点.（1）求证：平面；（2）求证：.2.已知圆经过坐标原点和点，且圆心在轴上.（1）求圆的方程；（2）设直线经过点，且与圆相交所得弦长为，求直线的方程.3.如图，在直三棱柱中，，，是中点.（1）求证：平面；（2）求直线与平面所成角的正弦值.4.如图所示，四边形为直角梯形，，，为等边三角形，且平面平面，，为中点．（1）求证：；（2）求平面与平面所成的锐二面角的余弦值；（3）在内是否存在一点，使平面，如果存在，求的长；如果不存在，说明理由．5.已知抛物线，点，过的直线交抛物线于两点.（1）若线段中点的横坐标等于，求直线的斜率；（2）设点关于轴的对称点为，求证：直线过定点.6.已知为椭圆上的三个点，为坐标原点.（1）若所在的直线方程为，求的长；（2）设为线段上一点，且，当中点恰为点时，判断的面积是否为常数，并说明理由.北京高二高中数学期末考试答案及解析一、选择题1.圆的半径为( )A．B．C．D．【答案】B【解析】由圆，通过配方可得.所以圆的半径为.故选B.本小题关键知识点是通过二次方的配方，把圆的一般方程化为圆的标准方程，从而得到圆心的坐标和圆的半径，属于基础题型.【考点】1.圆的一般方程.2.圆的标准方程.3.配方公式.2.双曲线的实轴长为 ( )A．B．C．D．【答案】C【解析】由双曲线对应的标准方程的.所以.又因为双曲线的长轴为，故选C.本小题关键是考查双曲线的标准方程，以及双曲线实轴长为，这也是易错点，值得注意.【考点】1.双曲线的标准方程.2.实轴的概念.3.若，，且，则 ( )A．B．C．D．【答案】A【解析】由于空间向量，坐标形式的平行关系要符合.所以向量，，且.则由向量的平行条件可得，，即，所以解得.故选A.【考点】1.空间向量的平行关系.2.解方程组的能力.4.命题“,”的否定为 ( )A．，B．，C．，D．，【答案】D【解析】由于含全称量词的否定，要把全称量词改为特称量词，所以命题“,”的否定把全称改为特称，结论的“”为“>”即，.故选D.本小题关键是考查全称命题与特称命题的否定的互相转化.【考点】全称命题改为特称命题.5.“”是“方程表示圆”的 ( )A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件【答案】B【解析】因为若则当时方程不能表示一个圆.所以充分性不成立；当方程表示圆时，即.即有成立.所以必要性成立.综上“”是“方程表示圆”的必要不从分条件.故选B.【考点】1.圆的方程.2.充分必要条件.6.关于直线以及平面,下列命题中正确的是 ( )A．若，，则B．若，，则C．若，且，则D．若，，则【答案】D【解析】若，则直线与三种位置关系都有，所以A选项不正确；若，则直线与平面M可能是平行，也可能是相交，所以B选项不正确；若，则直线可能与平面M平行或相交，所以C选项不正确.D选项是面面垂直的判定定理.综上故选D.【考点】1.线面平行与垂直的判定.2.面面垂直的判定.7.已知为椭圆的两个焦点，过的直线交椭圆于两点，，则 ( ) A．B．C．D．【答案】C【解析】由椭圆可知.又由椭圆的定义可知，.所以.即，即.所以.故选C.【考点】1.椭圆的定义.2.椭圆的标准方程.8.某几何体的三视图如图所示，则它的体积等于（）A．B．C．D．【答案】C【解析】根据题意可得该三视图是一个倒着放的三棱柱.三棱柱的底面是一个直角边为2的等腰直角三角形，高为2.所以由棱柱的体积公式，可得.故选C.本小题的关键是通过三视图画出相应的直观图.【考点】1.三视图的知识.2.棱柱的体积的计算.9.已知平面内两个定点，过动点作直线的垂线，垂足为.若，则动点的轨迹是（）A．圆B．抛物线C．椭圆D．双曲线【答案】D【解析】设点M(x,y)，N(x，0).则，,所以.由可得.即.所以动点的轨迹是双曲线.故选D.【考点】1.向量的数量积.2.圆锥曲线与方程的关系.3.用方程解决问题的思想.10.已知正方体，点，，分别是线段，和上的动点，观察直线与，与．给出下列结论：①对于任意给定的点，存在点，使得；②对于任意给定的点，存在点，使得；③对于任意给定的点，存在点，使得；④对于任意给定的点，存在点，使得．其中正确结论的个数是（）A．1个B．2个C．3个D．4个【答案】B【解析】因为对任意的E点，则直线CE所形成的轨迹都在平面上，所以要使得，即要存在平面，显然是不成立的，所以①不正确；因为对于任意点，由形成的轨迹在平面上，所以要存在只需要即可，这显然可以成立，所以②正确.同理③只要G点移到点即可成立，所以③正确.与①类似④不成立.故选B.【考点】1.线面垂直的判定.2.线线垂直的判定.3.线动成面的思维.二、填空题1.已知抛物线的准线为，则其标准方程为_______.【答案】【解析】因为抛物线的准线为，所以可以设抛物线的标准方程为.所以由抛物线准线方程可得.所以抛物线的标准方程为.本小题的关键就是根据抛物线准线的定义求得的值，即可求得抛物线方程.【考点】1.抛物线的定义.2.抛物线的准线方程公式.2.命题“若，则”的否命题是：__________________.【答案】若，则【解析】命题的否命题是将命题的题设与结论都否定，所以若，则的否命题是“若，则”.故填若，则.本题的关键是命题的四种形式间的关系，这些题型都要要分清命题的题设与结论，才能正确解题.【考点】1.命题的否命题的表示形式.2.大于的否定是小于等于.3.双曲线的离心率为_______；渐近线方程为_______.【答案】2;【解析】由于双曲线，所以，所以所以离心率.故填2.由于双曲线的焦点在x轴上，所以渐近线的方程为.故填.【考点】1.双曲线的性质.2.双曲线中三个基本量的关系.4.一个正方体的八个顶点都在同一个球面上，则球的表面积与这个正方体的表面积之比为_______.【答案】【解析】由于正方体的八个顶点都在球的表面上，所以正方体的体对角线就是球的直径，由于正方体的棱长为，所以体对角线，与正方体的棱长的关系为.所以，及球的直径.由球的表面积公式.可得.又因为正方体的表面积为6.所以球的表面积与这个正方体的表面积之比为.故填.【考点】1.球内接正方体中的等量关系.2.球的表面积公式.3.空间的想象能力.5.如图，长方体中，是边长为的正方形，与平面所成的角为，则棱的长为_______；二面角的大小为_______.【答案】;【解析】因为是边长为的正方形，所以对角线.又因为与平面所成的角为即.所以.由于.又因为平面平面.所以二面角的平面角为【考点】1.直线与平面所成的角.2.平面与平面所成的角.3.空间想象力6.已知为椭圆上一点，为椭圆长轴上一点，为坐标原点.给出下列结论：①存在点，使得为等边三角形；②不存在点，使得为等边三角形；③存在点，使得；④不存在点，使得.其中，所有正确结论的序号是__________.【答案】①④【解析】若过存在点，使得为等边三角形，由椭圆的对称性设点在第一象限.代入椭圆方程可得.解得.所以.所以存在点.所以①正确；若存在点，使得，同样设，代入椭圆方程可得，解得.所以.所以不存在点.所以④正确.故填①④.【考点】1.直线与椭圆的位置关系.2.利用方程的思想解决问题.三、解答题1.如图，在四棱锥中，底面为矩形，底面，、分别是、中点.（1）求证：平面；（2）求证：.【答案】（1）参考解析；（2）参考解析【解析】（1）要证直线与平面平行，根据直线与平面平行的判定定理，需要在平面内找一条直线与已知直线平行，由于本小题中点较多，所以想到作出四边形AMNQ.通过判定平行四边形，然后再用平行四边形的性质得到所需要的两直线平行，这种方法也是在证明直线与平面平行时的常用的方法.（2）直线与直线垂直的证明根据判断定理，一般需要转化为证明直线与平面的垂直.这题是根据第一步的结论证明AB与平面PAD垂直，从而可得结论.试题解析：证明：（1）取中点，连结.因为是中点，所以.又是中点，,所以，四边形是平行四边形.所以.因为平面，平面，所以平面. 7分（2）因为平面,所以.又是矩形，所以.所以平面,所以.又,所以.【考点】1.直线与平面平行的判断定理.2.直线与直线垂直的判断方法.2.已知圆经过坐标原点和点，且圆心在轴上.（1）求圆的方程；（2）设直线经过点，且与圆相交所得弦长为，求直线的方程.【答案】（1）；（2）或【解析】（1）本题求圆的方程，已知圆上两点即圆心的纵坐标，所以需要求出圆的半径和圆心的横坐标两个值即可确定圆的方程，通过列解方程即可求出相应的量，该题的半径的长刚好就是圆心的横坐标的值，这个条件要用上. （2）该小题是直线与圆的位置关系问题，特别要先判断直线的斜率不存在的时候的情况，通过画图可知符合条件，其次是斜率存在时，通过重点三角形（弦心距，半弦长，半径）的关系可以求出弦心距的长，从而再用圆心到直线的距离公式求出直线的斜率，又过已知点即可写出直线方程.试题解析：（1）设圆的圆心坐标为，依题意，有，即，解得，所以圆的方程为.（2）依题意，圆的圆心到直线的距离为，所以直线符合题意.另，设直线方程为，即，则，解得，所以直线的方程为，即.综上，直线的方程为或.【考点】1.直线与圆的关系.2.圆的标准方程.3.分类归纳思想.4.运算能力的锻炼.3.如图，在直三棱柱中，，，是中点.（1）求证：平面；（2）求直线与平面所成角的正弦值.【答案】（1）参考解析；（2）【解析】（1）直线与平面垂直的证明，对于理科生来说主要是以建立空间直角坐标系为主要方法，所以根据题意建立坐标系后，写出相应的点的坐标.根据向量证明向量与平面内的两个相交向量的数量积为零即可.（2）证明直线与平面所成的角的正弦值，主要是通过求出平面的法向量与该直线的夹角的余弦值，再通过两角的互余关系转化为正弦值.试题解析：（1）证明:因为是直三棱柱，所以，又，即.如图所示，建立空间直角坐标系.,,,，所以，，.又因为，，所以，，平面.（2）解：由（1）知，是平面的法向量，，则.设直线与平面所成的角为，则.所以直线与平面所成角的正弦值为.【考点】1.线面垂直.2.线面所成的角.3.空间直角坐标系的解决线面问题.4.如图所示，四边形为直角梯形，，，为等边三角形，且平面平面，，为中点．（1）求证：；（2）求平面与平面所成的锐二面角的余弦值；（3）在内是否存在一点，使平面，如果存在，求的长；如果不存在，说明理由．【答案】（1）参考解析；（2）；（3），【解析】（1）根据题意，由于三角形ABE是等边三角形，所以以线段AB的中点为坐标原点建立空间直角坐标系.写出相应点的坐标，表示出向量AB与向量DE，并求出两个向量的数量积为零，所以两个向量垂直，及对应的两条直线垂直.（2）平面与平面垂直关键是求出两个平面的法向量，再根据法向量的夹角的余弦值的绝对值等于锐二面角的余弦值.（3）用待定系数的方法，假设存在该点Q，要满足平面，只需要向量PQ，与平面内任一两条直线所对应的向量的数量积为零即可，从而求出点Q的坐标即线段PQ的长.试题解析：（1）证明：取中点，连结，因为△是正三角形，所以.因为四边形是直角梯形，，，所以四边形是平行四边形，，又，所以.所以平面，所以.（2）解：因为平面平面，，所以平面，所以.如图所示，以为原点建立空间直角坐标系.则，，，，.所以,，设平面的法向量为，则，令，则,.所以.同理求得平面的法向量为，设平面与平面所成的锐二面角为，则.所以平面与平面所成的锐二面角的余弦值为.（3）解：设，因为，所以，,.依题意即解得，.符合点在三角形内的条件.所以，存在点，使平面，此时.【考点】1.空间坐标系的建立.2.平面与平面所成的角.3.直线与平面垂直.4.代数运算能力.5.向量的数量积.6.相应的公式.5.已知抛物线，点，过的直线交抛物线于两点.（1）若线段中点的横坐标等于，求直线的斜率；（2）设点关于轴的对称点为，求证：直线过定点.【答案】（1）;（2）【解析】（1）因为点M在抛物线外面，所以过M与抛物线相交的直线斜率存在，用点斜式假设直线方程并联立抛物线方程，消去y，即可得一个关于x的一元二次方程，由韦达定理及已知中点的横坐标，即可求出斜率的值. （2）由点A,B的横坐标满足（1）式中的一元二次方程，由韦达定理可得根与系数的等式，再写出直线的方程，利用点差法将点A,B的坐标带入抛物线方程.即可求出直线过定点，要做点是否存在的判定.试题解析：（1）设过点的直线方程为，由得因为，且，所以，.设，，则，.因为线段中点的横坐标等于，所以，解得，符合题意.（2）依题意，直线，又，，所以因为，且同号，所以，所以，所以，直线恒过定点.【考点】1.直线与抛物线的位置关系.2.解方程的能力.3.恒过定点的问题.4.直线方程的表示.6.已知为椭圆上的三个点，为坐标原点.（1）若所在的直线方程为，求的长；（2）设为线段上一点，且，当中点恰为点时，判断的面积是否为常数，并说明理由.【答案】（1）;（2）定值为【解析】（1）因为求所在的直线方程为与椭圆方程相交所得的弦长.一般是通过联立两方程，消去y，得到关于x的一元二次方程，可以解得两个交点的坐标的横坐标，确定点的坐标，从而根据两点的距离公式求出弦长.（2）直线与圆的位置关系，首先考虑直线的斜率是否存在，做好分类的工作.若当斜率存在时，通过联立方程，应用韦达定理知识，求出弦长，利用点到直线的距离公式求出三角形的高的长.从而写出三角形的面积（含斜率的等式）.再根据的关系求出点P的坐标，带到椭圆方程中，即可求出含斜率的一个等式，从而可得结论.试题解析：（1）由得，解得或，所以两点的坐标为和所以.（2）①若是椭圆的右顶点（左顶点一样），则，因为，在线段上，所以，求得，所以的面积等于.②若B不是椭圆的左、右顶点，设，，由得，，所以，的中点的坐标为，所以，代入椭圆方程，化简得.计算.因为点到的距离所以，的面积.综上，面积为常数.【考点】1.直线与椭圆的位置关系.2.弦长公式.3.点到直线的距离公式.4.向量的知识.5.整体的解题思想.6.过定点的问题.。
2019-2020学年北京市101中学高二（下）期末数学试卷一、选择题（本大题共10小题，共40.0分）1. 已知集合A ={x|x 2−x −2>0}，则∁R A =( )A. {x|−1<x <2}B. {x|−1≤x ≤2}C. {x|x <−1}∪{x|x >2}D. {x|x ≤−1}∪{x|x ≥2} 2. 令a =60.7，b =0.76，c =log 0.76，则三个数a 、b 、c 的大小顺序是( )A. b <c <aB. b <a <cC. c <a <bD. c <b <a3. 设x ∈R ，则“0<x <5”是“|x −1|<1”的( )A. 充分而不必要条件B. 必要而不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件4. 某班由24名男生和16名女生组成，现按分层抽样的方法选取10名同学参加志愿者服务，某男同学必须参加，则志愿者人员组成的不同方法种数为( )A. C 246C 164B. C 244C 166C. C 235C 164D. C 246C 1535. 若对于任意实数x ，有x 3=a 0+a 1(x −2)+a 2(x −2)2+a 3(x −2)3，则a 2的值为( ) A. 3 B. 6 C. 9 D. 12 6. 下列函数f(x)图象中，满足f(14)>f(3)>f(2)的只可能是( )A.B.C.D.7. 如图所示，1，2，3表示三个开关，若在某段时间内它们每个正常工作的概率都是0.9，那么此系统的可靠性是( )A. 0.999B. 0.981C. 0.980D. 0.7298. 设函数f(x)(x ∈R)为奇函数，f(−1)=−12，f(x +2)=f(x)+f(2)，则f(5)=( )A. 0B. 1C. 52D. 59. 已知函数f(x)=(x 2+a)e x 有最小值，则函数y =f′(x)的零点个数为( )A. 0.B. 1C. 2D. 不确定 10. 设直线l 1，l 2分别是函数f(x)={−lnx,0<x <1lnx,x >1图象上点P 1，P 2处的切线，l 1与l 2垂直相交于点P ，且l 1，l 2分别与y 轴相交于点A ，B ，则△PAB 的面积的取值范围是( )A. (0,1)B. (0,2)C. (0,+∞)D. (1,+∞)二、填空题（本大题共5小题，共25.0分）11.函数f(x)=√x−1x+1的定义域为______．12.函数f(x)=lnx+x+√2的零点个数是______．13.已知log5x+log5y=2，则x+4y的最小值为______．14.设函数f(x)=x|x−2|，则f(x)的极小值是______．15.定义在R上的函数f(x)满足f(x)={log2(1−x),x≤0f(x−12)−f(x−1),x>0，则f(2020)的值是______．三、解答题（本大题共5小题，共55.0分）16.设A={x∈R|y=log2x}，B={x∈R|2x−21−x>1}，则求A∩B．17.已知关于x的不等式kx2−2x+6k<0(k≠0)，(1)若不等式的解集为{x|x<−3或x>−2}，求k的值；(2)若不等式的解集为R，求k的取值范围．18.已知函数f(x)=x2+ax(x≠0，常数a∈R)．(1)讨论函数f(x)的奇偶性，并说明理由；(2)若函数f(x)在[2,+∞)上为增函数，求实数a的取值范围．19.某中学号召学生在今年春节期间至少参加一次社会公益活动(以下简称活动).该校合唱团共有100名学生，他们参加活动的次数统计如图所示．(1)求合唱团学生参加活动的人均次数；(2)从合唱团中任意选两名学生，求他们参加活动次数恰好相等的概率．(3)从合唱团中任选两名学生，用ξ表示这两人参加活动次数之差的绝对值，求随机变量ξ的分布列及数学期望Eξ．20.对于函数y=H(x)，若在其定义域内存在x0，使得x0⋅H(x0)=1成立，则称x0为函(x+1)2−1．数H(x)的“倒数点”.已知函数f(x)=lnx，g(x)=12(1)求证：函数f(x)有“倒数点”，并讨论函数f(x)的“倒数点”的个数；(2)若当x≥1时，不等式xf(x)≤m[g(x)−x]恒成立，试求实数m的取值范围．答案和解析1.【答案】B【解析】【分析】本题考查一元二次不等式的解法，补集及其运算，属于基础题．通过求解不等式，得到集合A，然后求解补集即可．【解答】解：集合A={x|x2−x−2>0}，可得A={x|x<−1或x>2}，则∁R A={x|−1≤x≤2}．故选：B．2.【答案】D【解析】【分析】本题考查利用指数函数、对数函数的图象和性质比较大小，属于基础题．由指数函数和对数函数的图象和性质可以判断a、b、c与0和1的大小，从而可以判断a、b、c的大小．【解答】解：由指数函数和对数函数的性质可知：a>1，0<b<1，c<0，所以c<b<a，故选D．3.【答案】B【解析】【分析】本题考查了充分必要条件，考查解不等式问题，是一道基础题．解出关于x的不等式，结合充分必要条件的定义，从而求出答案．【解答】解：∵|x−1|<1，∴0<x<2，∵0<x<5推不出0<x<2，0<x<2⇒0<x<5，∴0<x<5是0<x<2的必要不充分条件，即0<x<5是|x−1|<1的必要不充分条件．故选B．4.【答案】C【解析】解：由24名男生和16名女生组成，现按分层抽样的方法选取10名同学参加志愿者服务，则男生选6人，女生选4人，某男同学必须参加，则志愿者人员组成的不同方法种数为C235C164，故选：C．先根据分层抽样，求出男生选6人，女生选4人，再根据组合的定义即可求出．本题考查组合的基本知识，解题时要注意公式的正确选用．5.【答案】B【解析】解：x3=(2+x−2)3，故a2=C322=6故选B由等式右边可以看出是按照x −2的升幂排列，故可将x 写为2+x −2，利用二项式定理的通项公式可求出a 2的值．本题考查二项式定理及通项公式的运用，观察等式右侧的特点，将x 3=(2+x −2)3是解题的关键． 6.【答案】D【解析】解：由所给的不等式可得，函数是先减后增型的，故排除A ，B ， 由于C 的图象关于x =1对称，左减右增，有f(14)=f(74)<f(3)，故排除CD 图象在(0,1)上递减且递减较快，在(1,+∞)递增，递增较慢，可能满足f(14)>f(3)>f(2)， 故选：D ．根据所给的不等式，推测出函数图象可能的单调性，由此判断出正确选项． 本题考查函数图象的变化与函数值变化的对应关系，熟练掌握单调性变化与图象变化的对应是解答的关键 7.【答案】B【解析】解：如图所示，1，2，3表示三个开关， 在某段时间内它们每个正常工作的概率都是0.9， 那么此系统的可靠性是：P =0.9+(1−0.9)×0.9×0.9=0.981． 故选：B ．利用并联电路和串联电路的性质，结合相互独立事件概率乘法公式，能求出此系统的可靠性．本题考查概率的求法，考查并联电路和串联电路的性质、相互独立事件概率乘法公式等基础知识，考查运算求解能力，是基础题． 8.【答案】C【解析】解：因为f(x)为奇函数且f(−1)=−12，f(x +2)=f(x)+f(2)， 所以f(1)=f(−1)+f(2)=−f(−1)， 即−12+f(2)=12， 故f(2)=1，则f(5)=f(3)+f(2)=f(1)+2f(2)=12+2=52，故选：C ．由已知结合奇函数的性质对x 进行合理的赋值即可求解．本题主要考查了函数值的求解，解题的关键是进行合理的赋值，属于基础试题． 9.【答案】C【解析】解：f′(x)=(x 2+2x +a)e x ， 若函数f(x)=(x 2+a)e x 有最小值，则g(x)=x 2+2x +a 不能恒大于等于0， 故存在x 使得g(x)<0，即g(x)=x 2+2x +a 有2个不相等的实数根， 即函数y =f′(x)的零点个数为2个，求出函数的导数，结合二次函数的性质判断即可．本题考查了函数的单调性，零点问题，考查二次函数的性质以及转化思想，是一道常规题．10.【答案】A【解析】【分析】本题考查利用导数研究过曲线上某点处的切线方程，训练了利用对勾函数的性质求最值，考查了数学转化思想方法，属中档题．设出点P 1，P 2的坐标，求出原分段函数的导函数，得到直线l 1与l 2的斜率，由两直线垂直求得P 1，P 2的横坐标的乘积为1，再分别写出两直线的点斜式方程，求得A ，B 两点的纵坐标，得到|AB|，联立两直线方程求得P 的横坐标，然后代入三角形面积公式，利用对勾函数的性质求得△PAB 的面积的取值范围． 【解答】解：设P 1(x 1,y 1)，P 2(x 2,y 2)(0<x 1<1<x 2)， 当0<x <1时，f′(x)=−1x ，当x >1时，f′(x)=1x ， ∴l 1的斜率k 1=−1x 1，l 2的斜率k 2=1x 2，∵l 1与l 2垂直，且x 2>x 1>0， ∴k 1⋅k 2=−1x 1⋅1x 2=−1，即x 1x 2=1．直线l 1：y =−1x 1(x −x 1)−lnx 1，l 2：y =1x 2(x −x 2)+lnx 2．取x =0分别得到A(0,1−lnx 1)，B(0,−1+lnx 2)，|AB|=|1−lnx 1−(−1+lnx 2)|=|2−(lnx 1+lnx 2)|=|2−lnx 1x 2|=2． 联立两直线方程可得交点P 的横坐标为x P =2x 1x 2x 1+x 2=2x 1+x 2，∴S △PAB =12|AB|⋅|x P |=12×2×2x 1+x 2=2x 1+x 2=2x 1+1x 1．∵函数y =x +1x 在(0,1)上为减函数，且0<x 1<1，∴x 1+1x 1>1+1=2，则0<1x1+1x1<12，∴0<2x 1+1x 1<1．∴△PAB 的面积的取值范围是(0,1)． 故选A ．11.【答案】{x|x ≥1}【解析】解：由{x −1≥0x +1≠0，得：x ≥1，∴函数f(x)=√x−1x+1的定义域为：{x|x ≥1}．故答案为：{x|x ≥1}．直接由根式内部的代数式大于等于0，分式的分母不等于0求解得答案． 本题考查了函数的定义域及其求法，考查了不等式的解法，是基础题．【解析】解：令f(x)=lnx+x+√2=0，即lnx=−x−√2，则函数零点个数等价于y=lnx与y=−x−√2图象交点个数，作出两函数图象如图：由图可得只有1个交点，故答案为：1．条件等价于y=lnx与y=−x−√2图象交点个数，数形结合即可．本题考查方程零点个数与函数图象交点个数之间的转化，数形结合思想，数基础题．13.【答案】20【解析】解：∵log5x+log5y=2，∴x和y均为正数，由指数和对数的关系可得xy=52=25，∴x+4y≥2√x⋅4y=20，当且仅当x=4y即x=10且y=5时等号成立，2∴x+4y的最小值是20；故答案为：20．由题意可得x和y均为正数且xy=25，可得x+4y≥2√x⋅4y=20，注意等号成立的条件即可．本题考查基本不等式，涉及对数的运算，属基础题．14.【答案】0【解析】解：当x>2时，f(x)=x2−2x=(x−1)2−1，当x≤2时，f(x)=−x2+2x=−(x−1)2+1，则其图象如图所示，由图象可得f(x)在(−∞,1)，(2,+∞)上单调递增，在(1,2)上单调递减，∴函数f(x)的极小值为f(2)=0，故答案为：0．去绝对值，化为分段函数，画出函数的图象，由图象可得答案．本题考查了函数极值的问题，关键是画出函数的图象，属于基础题．15.【答案】−log 232【解析】解：∵f(x)={log 2(1−x),x ≤0f(x −12)−f(x −1),x >0， ∴当x 大于0时，f(x +3)=f(x +52)−f(x +2)=f(x +2)−f(x +32)−f(x +2) =−f(x +32)=f(x +12)−f(x +1)=f(x +12)−f(x +12)+f(x)=f(x)，即大于0的部分函数值重复出现，间隔为3，则f(2020)=f(1)=f(12)−f(0)=f(0)−f(−12)−f(0)=−f(−12)=−log 232． 故答案为：−log 232．由分段函数的性质求出大于0的部分函数值重复出现，间隔为3，结合周期即可求解 本题考查分段函数的性质和应用，解题时要认真审题，仔细解答，注意对数的性质和应用，易错点是找不到分段函数的规律性，导致出错．16.【答案】解：A ={x|x >0}，设f(x)=2x −21−x ，该函数在R 上是增函数，且f(1)=1， 由2x −21−x >1得，x >1， ∴B ={x|x >1}， ∴A ∩B ={x|x >1}．【解析】可设f(x)=2x −21−x ，可知该函数为增函数，且f(1)=1，从而可得出集合B ={x|x >1}，并可得出集合A ，然后进行交集的运算即可．本题考查了构造函数解决问题的方法，指数函数的单调性，增函数的定义，对数函数的定义域，考查了计算能力，属于基础题．17.【答案】解(1)∵关于x 的不等式kx 2−2x +6k <0(k ≠0)的解集为{x|x <−3或x >−2}，∴x 1=−3，x 2=−2是方程kx 2−2x +6k =0的两根，所以x 1+x 2=2k =−5，∴k =−25． (2)若不等式的解集为R ，即kx 2−2x +6k <0恒成立， 则满足{k <0△=4−24k 2<0，求得k <−√66．【解析】(1)根据一元二次不等式的解法，二次函数的性质，可得x 1=−3，x 2=−2是方程kx 2−2x +6k =0的两根，利用韦达定理求得k 的值． (2)由题意利用二次函数的性质，求得k 的取值范围．本题主要考查一元二次不等式的解法，二次函数的性质，函数的恒成立问题，属于基础题．18.【答案】解：(1)当a =0时，f(x)=x 2对任意x ∈(−∞,0)∪(0,+∞)，有f(−x)=(−x)2=x 2=f(x)， ∴f(x)为偶函数．当a ≠0时，f(x)=x 2+ax (x ≠0，常数a ∈R)， 取x =±1，得f(−1)+f(1)=2≠0， f(−1)−f(1)=−2a ≠0，∴f(−1)≠−f(1)，f(−1)≠f(1)． ∴函数f(x)既不是奇函数也不是偶函数．(2)设2≤x 1<x 2，f(x 1)−f(x 2)=x 12+a x 1−x 22−a x 2=(x 1−x 2)x 1x 2[x 1x 2(x 1+x 2)−a]，要使函数f(x)在x ∈[2,+∞)上为增函数，必须f(x 1)−f(x 2)<0恒成立． ∵x 1−x 2<0，x 1x 2>4， 即a <x 1x 2(x 1+x 2)恒成立．又∵x 1+x 2>4，∴x 1x 2(x 1+x 2)>16， ∴a 的取值范围是(−∞,16]．【解析】(1)x 2为偶函数，欲判函数f(x)=x 2+ax 的奇偶性，只需判定ax 的奇偶性，讨论a 判定就可．(2)处理函数的单调性问题通常采用定义法好用． 单调性的证明步骤：取值(在定义域范围内任取两个变量，并规定出大小) 做差(即f(x 1)−f(x 2)，并且到“积”时停止) 判号(判“积”的符号) 结论(回归题目)19.【答案】解：由图可知，参加活动1次、2次和3次的学生人数分别为10、50和40． (1)该合唱团学生参加活动的人均次数为1×10+2×50+3×40100=230100=2.3．(2)从合唱团中任选两名学生，他们参加活动次数恰好相等的概率为 P 0=10×9+50×49+39×40100×99=4199．(3)从合唱团中任选两名学生，记“这两人中一人参加1次活动，另一人参加2次活动”为事件A ，“这两人中一人参加2次活动，另一人参加3次活动”为事件B ，“这两人中一人参加1次活动，另一人参加3次活动”为事件C.易知 P(ξ=1)=P(A)+P(B)=C 101C 501C 1002+C 501C 401C 1002=5099；P(ξ=2)=P(C)=C 101C 401C 1002=899；ξ的分布列：ξ的数学期望：Eξ=0×4199+1×5099+2×899=23．【解析】(1)由图可知，参加活动1次、2次和3次的学生人数分别为10、50和40，根据平均数的求法，计算可得答案．(2)欲求他们参加活动次数恰好相等的概率，频数分布直方图，清楚显示在各个不同区间内取值，各组频数分布情况，利用公式P 0=10×9+50×49+39×40100×99即可；(3)ξ可能取值是：0，1，2.分别计算出取这此值时的概率即得分布列，再根据数学期望即可计算出结果．考点：①求概率②求随机变量的分布列和期望，本题考查读频数分布直方图的能力和利用统计图获取信息的能力．利用统计图获取信息时，必须认真观察、分析、研究统计图，才能作出正确的判断和解决问题．20.【答案】解：(1)令f(x)=lnx =1x ，可得lnx −1x =0，故函数f(x)有倒数点等价于方程lnx −1x =0有解， 令m(x)=lnx −1x (x >0)，则m′(x)=1x +1x 2>0， 故m(x)在(0,+∞)上单调递增， ∵m(1)=−1<0，m(e)=1−1e >0，∴m(x)在(1,e)上必存在一个零点，即方程lnx −1x =0有解， ∴f(x)有倒数点．∵m(x)为单调递增函数，∴m(x)在(0,+∞)上只有1个零点， ∴f(x)只有1个倒数点．(2)∵xf(x)≤m[g(x)−x]在[1,+∞)上恒成立，即xlnx ≤12m(x 2−1)在[1,+∞)上恒成立．当x =1时，显然不等式恒成立，当x ≠1时，由xlnx ≤12m(x 2−1)可得：m ≥2xlnx x 2−1(x >1)，令ℎ(x)=2xlnxx 2−1，则ℎ′(x)=−2(x 2lnx+lnx−x 2+1)(x 2−1)2，令p(x)=x 2lnx +lnx −x 2+1，则p′(x)=2xlnx −x +1x ，p″(x)=2lnx +1−1x 2， ∵x >1，∴2lnx >0，1−1x 2>0，∴p″(x)>0， ∴p′(x)在(1,+∞)上单调递增，故p′(x)>p′(1)=0，∴p(x)在(1,+∞)上单调递增，故p(x)>p(1)=0， ∴ℎ′(x)<0在(1,+∞)上恒成立，∴ℎ(x)在(1,+∞)单调递减，又当x →1时，ℎ(x)→x →1lim2lnx+22x =1，故ℎ(x)<1在(1,+∞)上恒成立． ∴m ≥1．【解析】(1)令m(x)=f(x)−1x ，判断m(x)的零点个数得出倒数点个数； (2)分离参数可得m ≥2xlnxx 2−1(x >1)，利用导数求出ℎ(x)=2xlnx x 2−1的最大值，从而得出m的范围．本题考查了函数零点的个数判断，函数单调性的判断与最值的计算，属于中档题．。
北京市一零一实验学校2020-2021学年高二数学下学期期末考试试题（含解析）一、选择题（共10小题）.1．若全集U＝R，A＝{x|x＜1}，B＝{x|x＞﹣1}，则（）A．A⊆B B．B⊆A C．B⊆∁U A D．∁U A⊆B2．下列数列中，156是其中一项的是（）A．{n2+1} B．{n2﹣1} C．{n2+n} D．{n2+n﹣1}3．已知x＝51 2log，y＝（）0.1，z＝132，则（）A．x＜y＜z B．x＜z＜y C．y＜x＜z D．z＜x＜y4．已知a，b，c满足c＜b＜a，且ac＜0，那么下列选项中不一定成立的是（）A．ab＞ac B．c（b﹣a）＜0 C．cb2＜ab2D．ac（a﹣c）＜0 5．已知x＞0，y＞0，且x+y＝8，则（1+x）（1+y）的最大值为（）A．16 B．25 C．9 D．366．设a∈R，若关于x的不等式x2﹣ax+1≥0在区间[1，2]上有解，则（）A．a≤2 B．a≥2 C．a≥D．a≤7．已知函数f（x）是定义在R上的偶函数，且在区间[0，+∞）上单调递增，若实数a满足f（log2a）+f（）≤2f（1），则a的取值范围是（）A．B．[1，2] C．D．（0，2]8．设S n是等差数列{a n}的前n项和，且S6＞S7＞S5，则下列结论正确的是（）A．S11＞0 B．S12＜0 C．S13＞0 D．S8＞S69．已知函数f（x）＝，若关于x的额方程a＝f（x）恰有两个不同实根，则实数a的取值范围是（）A．B．C．D．10．关于函数f（x）＝sin x﹣x cos x，下列说法错误的是（）A．f（x）是奇函数B．0不是f（x）的极值点C．f（x）在，上有且仅有3个零点D．f（x）的值域是R二、填空题共5小题11．若集合A＝{x|﹣1≤2x+1≤3}，B＝{x|≤0}，则A∩B＝．12．写出“”成立的一个充分不必要条件．13．已知函数f（x），g（x）分别由下表给出x 1 2 3f（x） 1 3 1x 1 2 3g（x） 3 2 1则满足f[g（x）]＞g[f（x）]的x为．14．已知f（x）＝ln（x2+1），g（x）＝（）x﹣m，若对∀x1∈[0，3]，∃x2∈[1，2]，使得f（x1）≥g（x2），则实数m的取值范围是．15．数列{a n}中，如果存在a k，使得“a k＞a k﹣1且a k＞a k+1”成立（其中k≥2，k∈N*），则称a k为{a n}的一个峰值．（1）若，则{a n}的峰值为；（2）若，且{a n}不存在峰值，则实数t的取值范围是．三、解答题共4小题。
2023-2024学年北京市101中学高二（上）期末数学试卷一、选择题共10小题，每小题4分，共40分。
在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。
1．在等差数列{a n}中，a2＝1，a4＝5，则a8＝（）A．9B．11C．13D．152．若直线2x+y﹣1＝0与直线x﹣my＝0垂直，则m＝（）A．﹣2B．−12C．2D．123．已知{a n}为等比数列，公比q＞0，a2+a3＝12，a1•a5＝81，则a5＝（）A．81B．27C．32D．164．已知圆C的圆心在抛物线y2＝4x上，且此圆C过定点（1，0），则圆C与直线x+1＝0的位置关系为（）A．相切B．相交C．相离D．不能确定5．平面α的斜线AB交α于点B，过定点A的动直线l与AB垂直，且交α于点C，则动点C的轨迹是（）A．一条直线B．一个圆C．一个椭圆D．双曲线的一支6．在各项均不为零的等差数列{a n}中，若a n+1−a n2+a n﹣1＝0（n≥2），则S2n﹣1﹣4n＝（）A．﹣2B．0C．1D．27．在平面直角坐标系xOy中，已知双曲线C：x 2a2−y2b2=1(a＞0，b＞0)的左、右焦点分别为F1，F2，A为双曲线右支上一点，连接AF1交y轴于点B．若△ABF2为等边三角形，则双曲线C的离心率为（）A．2√3B．32C．√3D．3√328．已知等比数列{a n}的前n项和为S n，则“a1＞0”是“S2024＞0”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件9．如图，动点P在正方体ABCD﹣A1B1C1D1的对角线BD1上．过点P作垂直于平面BB1D1D的直线，与正方体表面相交于M，N．设BP＝x，MN＝y，则函数y＝f（x）的图象大致是（）A ．B ．C ．D ．10．已知F 1，F 2同时为椭圆C 1：x 2a 12+y 2b 12=1(a 1＞b 1＞0)与双曲线C 2：x 2a 22−y 2b 22=1（a 2＞0，b 2＞0）的左、右焦点，设椭圆C 1与双曲线C 2在第一象限内交于点M ，椭圆C 1与双曲线C 2的离心率分别为e 1，e 2，O 为坐标原点，给出下列四个结论：①a 12−b 12=a 22+b 22；②若∠F 1MF 2=π3，则b 12=3b 22；③|F 1F 2|＝2|MO |的充要条件是1e 12+1e 22=2；④若|F 1F 2|＝3|MF 2|，则e 1e 2的取值范围是(35，3)．其中正确结论的个数是（ ） A ．1B ．2C ．3D ．4二、填空题共5小题，每小题5分，共25分。
北京高二高中数学期末考试班级:___________ 姓名：___________ 分数：___________一、选择题1.命题“若，则”的逆命题是（）A．若，则B．若，则C．若，则D．若，则2.圆心为，且与轴相切的圆的方程是（）A．B．C．D．3.在空间中，给出下列四个命题：①平行于同一个平面的两条直线互相平行；②垂直于同一个平面的两个平面互相平行；③平行于同一条直线的两条直线互相平行；④垂直于同一条直线的两条直线互相平行．其中真命题的序号是（）A．①B．②C．③D．④4.实轴长为，虚轴长为的双曲线的标准方程是（）A．B．C．，或D．，或5.“直线垂直于平面内无数条直线”是“直线垂直于平面”的（）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件6.某几何体的三视图如图所示．其中主视图中△是边长为的正三角形，俯视图为正六边形，那么该几何体的体积为（）A．B．C．D．7.已知椭圆的两个焦点分别为，，若椭圆上存在点使得是钝角，则椭圆离心率的取值范围是（）A．B．C．D．8.已知四面体的侧面展开图如图所示，则其体积为（）A．B．C．D．二、填空题1.命题“，”的否定是_______2.已知直线：，：. 若∥，则实数 _______3.已知双曲线的一个焦点是，则其渐近线的方程为_____4.如图，正方体中，直线和所成角的大小为_______；直线和平面所成角的大小为_______.5.在空间直角坐标系中，已知平面的一个法向量是，且平面过点若是平面上任意一点，则点的坐标满足的方程是_______.6.平面内到定点和定直线的距离之和等于的动点的轨迹为曲线．关于曲线的几何性质，给出下列三个结论：①曲线关于轴对称；②若点在曲线上，则；③若点在曲线上，则.其中，所有正确结论的序号是_______.三、解答题1.如图，四棱锥的底面为菱形，是棱的中点．（Ⅰ）求证：∥平面；（Ⅱ）若，求证：平面平面．2.已知抛物线的准线方程是.（Ⅰ）求抛物线的方程；（Ⅱ）设直线与抛物线相交于，两点，为坐标原点，证明：.3.如图，在直三棱柱中，，，，，点在棱上，且.（Ⅰ）求证：；（Ⅱ）求二面角的大小.4.如图，在直角坐标系中，已知圆：．点，在圆上，且关于轴对称．（Ⅰ）当点的横坐标为时，求的值；（Ⅱ）设为圆上异于，的任意一点，直线，与轴分别交于点，，证明：为定值．5.如图1，四棱锥中，底面，底面是直角梯形，为侧棱上一点．该四棱锥的俯视图和左视图如图2所示．（Ⅰ）求证：平面；（Ⅱ）求证：∥平面；（Ⅲ）线段上是否存在点，使与所成角的余弦值为？若存在，找到所有符合要求的点；若不存在，说明理由．6.如图，已知四边形是椭圆的内接平行四边形，且，分别经过椭圆的焦点，.（Ⅰ）若直线的方程为，求的长；（Ⅱ）求平行四边形面积的最大值.北京高二高中数学期末考试答案及解析一、选择题1.命题“若，则”的逆命题是（）A．若，则B．若，则C．若，则D．若，则【答案】A【解析】命题的逆命题需将条件和结论交换，因此逆命题为：若，则【考点】四种命题2.圆心为，且与轴相切的圆的方程是（）A．B．C．D．【答案】B【解析】圆心到y轴的距离，所以圆的半径为1，圆的方程为【考点】圆的方程3.在空间中，给出下列四个命题：①平行于同一个平面的两条直线互相平行；②垂直于同一个平面的两个平面互相平行；③平行于同一条直线的两条直线互相平行；④垂直于同一条直线的两条直线互相平行．其中真命题的序号是（）A．①B．②C．③D．④【答案】C【解析】①中两直线可能相交平行或异面；②中两平面可能平行或相交；③中结论成立；④中两直线可能相交平行或异面【考点】空间线面平行的性质4.实轴长为，虚轴长为的双曲线的标准方程是（）A．B．C．，或D．，或【答案】D【解析】由题意可知，双曲线焦点可能在x轴可能在y轴，所以方程为，或【考点】双曲线方程及性质5.“直线垂直于平面内无数条直线”是“直线垂直于平面”的（）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件【答案】B【解析】由“直线垂直于平面”可得到“直线垂直于平面内无数条直线”，反之不成立，所以两者间是必要而不充分条件【考点】充分条件与必要条件6.某几何体的三视图如图所示．其中主视图中△是边长为的正三角形，俯视图为正六边形，那么该几何体的体积为（）A．B．C．D．【答案】C【解析】由三视图可知，该几何体的空间图形为正六棱锥，依题意，底面边长为1，侧棱为2，高∴【考点】三视图7.已知椭圆的两个焦点分别为，，若椭圆上存在点使得是钝角，则椭圆离心率的取值范围是（）A．B．C．D．【答案】B【解析】当动点P在椭圆长轴端点处沿椭圆弧向短轴端点运动时，P对两个焦点的张角渐渐增大，当且仅当P点位于短轴端点处时，张角达到最大值．由此可得：∵椭圆上存在点P使得是钝角，∴中，＞90°，∴Rt△中，＞45°，所以b＜c，∴∵0＜e＜1，∴【考点】椭圆的简单性质8.已知四面体的侧面展开图如图所示，则其体积为（）A．B．C．D．【答案】D【解析】将展开图围成一个三棱锥B-ACD如图示，其中三侧棱均为，底面是∠A=90°的等腰直角三角形，且AC＝AD＝，∴CD=2，∵BC=BA=BD，∴B底面射影O为CD中点，∴AO=1，BO＝2，【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积二、填空题1.命题“，”的否定是_______【答案】【解析】全称命题的否定是特称命题，并将结论加以否定，因此否定为：【考点】全称命题与特称命题2.已知直线：，：. 若∥，则实数 _______【答案】【解析】两直线平行，系数满足【考点】两直线平行的判定3.已知双曲线的一个焦点是，则其渐近线的方程为_____【答案】【解析】由焦点坐标可知，渐近线方程为【考点】双曲线方程及性质4.如图，正方体中，直线和所成角的大小为_______；直线和平面所成角的大小为_______.【答案】，【解析】连结，设，连结BO，∵∥BD，∴是线和所成角，∵，∴=60°，∴直线和所成角的大小为60°；正方体中，∵⊥，⊥，∩=，∴⊥平面，∴是直线和平面所成角，∵，∴，∴．∴直线和平面所成角的大小为30°【考点】异面直线所成角；线面所成角5.在空间直角坐标系中，已知平面的一个法向量是，且平面过点若是平面上任意一点，则点的坐标满足的方程是_______.【答案】【解析】由题意可知=（x，y-3，z-1）；平面α的一个法向量是=（1，-1，2），所以，即：（x，y-3，z-1）(1，-1，2）=0；∴x-y+3+2z-2=0，即x-y+2z+1=0，点P的方程是x-y+2z+1=0【考点】轨迹方程6.平面内到定点和定直线的距离之和等于的动点的轨迹为曲线．关于曲线的几何性质，给出下列三个结论：①曲线关于轴对称；②若点在曲线上，则；③若点在曲线上，则.其中，所有正确结论的序号是_______.【答案】①②③【解析】设P（x，y）是曲线C上的任意一点，因为曲线C是平面内到定点F（0，1）和定直线l：y=-1的距离之和等于4的点的轨迹，所以|PF|+|y+1|=4．即，解得y≥-1时，，当y＜-1时，；显然①曲线C关于y轴对称；正确．②若点P（x，y）在曲线C上，则|y|≤2；正确．③若点P在曲线C上，|PF|+|y+1|=4，|y|≤2，则1≤|PF|≤4．正确．【考点】轨迹方程三、解答题1.如图，四棱锥的底面为菱形，是棱的中点．（Ⅰ）求证：∥平面；（Ⅱ）若，求证：平面平面．【答案】（Ⅰ）详见解析（Ⅱ）详见解析【解析】（Ⅰ）设AC交BD于点O，连结OQ，证明OQ∥PC．即可利用直线与平面平行的判定定理证明PC∥平面BDQ；（Ⅱ）连结OP．说明BD⊥AC，BD⊥PO，然后证明BD⊥平面PAC，利用平面与平面垂直的判定定理证明平面PAC⊥平面BDQ试题解析：（Ⅰ）证明：设交于点，连结．因为底面为菱形，所以为中点．因为是的中点，所以∥．因为平面，平面，所以∥平面．（Ⅱ）证明：连结．因为底面为菱形，所以，为中点．因为，所以．所以平面．因为平面，所以平面平面．【考点】平面与平面垂直的判定；直线与平面平行的判定2.已知抛物线的准线方程是.（Ⅰ）求抛物线的方程；（Ⅱ）设直线与抛物线相交于，两点，为坐标原点，证明：.【答案】（Ⅰ）（Ⅱ）详见解析【解析】（Ⅰ）利用排趋性的准线方程求出p，即可求解抛物线的方程；（Ⅱ）直线y=k（x-2）（k≠0）与抛物线联立，通过韦达定理求解直线的斜率关系即可证明OM⊥ON试题解析：（Ⅰ）解：因为抛物线的准线方程为，所以，解得，所以抛物线的方程为.（Ⅱ）证明：设，.将代入，消去整理得.所以.由，，两式相乘，得，注意到，异号，所以.所以直线与直线的斜率之积为，即.【考点】直线与抛物线的位置关系；抛物线的标准方程3.如图，在直三棱柱中，，，，，点在棱上，且.（Ⅰ）求证：；（Ⅱ）求二面角的大小.【答案】（Ⅰ）详见解析（Ⅱ）【解析】（Ⅰ）以A为原点，建立空间直角坐标系A-xyz，求出相关点的坐标，求出．通过数量积为0，证明;（Ⅱ）求出平面的一个法向量，平面的一个法向量，利用斜率的数量积求解二面角的平面角即可试题解析：（Ⅰ）证明：因为直三棱柱，所以，.又，所以，，两两互相垂直.如图，以为原点，建立空间直角坐标系.则，，，，.由，得.所以，.因为，所以.（Ⅱ）解：，.设平面的一个法向量为，则所以取，得.又平面的一个法向量为，所以，因为二面角的平面角是锐角，所以二面角的大小是.【考点】二面角的平面角及求法；直线与平面垂直的判定4.如图，在直角坐标系中，已知圆：．点，在圆上，且关于轴对称．（Ⅰ）当点的横坐标为时，求的值；（Ⅱ）设为圆上异于，的任意一点，直线，与轴分别交于点，，证明：为定值．【答案】（Ⅰ）2（Ⅱ）详见解析【解析】（Ⅰ）求出B，C的坐标，利用数量积求解即可；（Ⅱ）设B，P（），然后求解|OM||ON|即可试题解析：（Ⅰ）解：因为点在圆上，横坐标为．不妨设，由对称性知，所以．（Ⅱ）解：设，由对称性知，且．设，则．，．在上述方程中分别令，解得，．所以．所以．【考点】平面向量数量积的运算；向量在几何中的应用5.如图1，四棱锥中，底面，底面是直角梯形，为侧棱上一点．该四棱锥的俯视图和左视图如图2所示．（Ⅰ）求证：平面；（Ⅱ）求证：∥平面；（Ⅲ）线段上是否存在点，使与所成角的余弦值为？若存在，找到所有符合要求的点；若不存在，说明理由．【答案】（Ⅰ）详见解析（Ⅱ）详见解析（Ⅲ）位于点处，或中点处时【解析】（Ⅰ）利用俯视图和勾股定理的逆定理可得BC⊥BD，利用线面垂直的性质定理可得BC⊥PD，再利用线面垂直的判定定理即可证明；（Ⅱ）取PC上一点Q，使PQ：PC=1：4，连接MQ，BQ．利用左视图和平行线分线段成比例的判定和性质即可得出MQ∥CD，MQ＝CD．再利用平行四边形的判定和性质定理即可得出AM∥BQ，利用线面平行的判定定理即可证明．（Ⅲ）通过建立空间直角坐标系，利用异面直线的方向向量所成的角的夹角公式即可得出试题解析：（Ⅰ）证明：由俯视图可得，，所以．又因为平面，所以，所以平面．（Ⅱ）证明：取上一点，使，连结，．由左视图知，所以∥，．在△中，易得，所以，又，所以，．又因为∥，，所以∥，．所以四边形为平行四边形，所以∥．因为平面，平面，所以直线∥平面．（Ⅲ）解：线段上存在点，使与所成角的余弦值为．证明如下：因为平面，，建立如图所示的空间直角坐标系．所以．设，其中．所以，．要使与所成角的余弦值为，则有．所以，解得或，均适合．故点位于点处，或中点处时，均符合题意【考点】直线与平面垂直的判定；异面直线及其所成的角；直线与平面平行的判定6.如图，已知四边形是椭圆的内接平行四边形，且，分别经过椭圆的焦点，.（Ⅰ）若直线的方程为，求的长；（Ⅱ）求平行四边形面积的最大值.【答案】（Ⅰ）（Ⅱ）6【解析】（Ⅰ）通过，求出x，得到A，C两点的坐标，利用距离公式求解即可；（Ⅱ）①当直线AD的斜率不存在时，求出三个点的坐标，然后求解平行四边形的面积．②当直线AD的斜率存在时，设直线AD 的方程为y=k（x-1），与椭圆方程联立，设点A，B，C，D，利用韦达定理，连结AF1，DF1，表示出面积表达式，然后求解最值试题解析：（Ⅰ）解：由解得，所以两点的坐标为和，所以.（Ⅱ）解：①当直线的斜率不存在时，此时易得，，，，所以平行四边形的面积为.②当直线的斜率存在时，设直线的方程为，将其代入椭圆方程，整理得.设点，，，.则，.连结，，则平行四边形的面积.又.所以.综上，平行四边形面积的最大值是.【考点】圆锥曲线的最值问题；直线与圆锥曲线的关系。
2020–2021学年高二下学期期末测试卷01数学·全解全析1．B 【解析】设等差数列{}n a 的公差为d ，由已知条件可得出关于1a 、d 的方程组，解出两个量的值，利用等差数列的求和公式可求得7S 的值.因为4516127053a a a d a a d +=+=⎧⎨=+=⎩，所以172a d =-⎧⎨=⎩，因此，()7176767772722S a d ⨯⨯=+=-⨯+⨯=-. 故选：B. 2．A 【解析】根据等差数列片断和的性质得出4S 、84S S -、128S S -、1612S S -成等差数列，并将8S 和16S 都用4S 表示，可得出816S S 的值．若数列{}n a 为等差数列，则4841281612,,,S S S S S S S ---也成等差数列， 因为4825S S =，所以48423S S S =-， 则数列4841281612,,,S S S S S S S ---是以4S 为首项，以412S 为公差的等差数列， 则84412841612435,2,22S S S S S S S S S -=-=-=， 所以841645,72S S S S ==，所以816514S S =. 故选：A ． 3．D 【解析】由题意，判断出数列{}n a 是公差为0的等差数列，然后分别利用等差数列的定义与等比数列的定义判断每个选项即可.因为数列{}n a 和{}n S 都是等差数列，1n n n a S S -=-，所以可判断n a 为定值，所以数列{}n a 是公差为0的等差数列，即10n n a a --=.对A ，()()1111----++-=-+-=n n n n n n n n n a S a S S S a a a ，所以数列{}n n a S +是等差数列；对B ，1121----=⋅⋅⋅⋅-=n n n n n n n n n a S a S a S a S a ，所以数列{}n n a S ⋅是等差数列；对C ，222211-==n n n n a a a a ，所以数列{}2n a 是等比数列；对D ，设n a a =，则222,==n n S na S n a ，则221222222(1)(1)-==--n n n a n n a n S S ，所以数列{}2nS 不是等比数列. 故选：D 【点睛】解答本题的关键在于判断出数列{}n a 是公差为0的等差数列，然后结合等差数列的定义，等比数列的定义列式判断是否为等差或者等比数列. 4．A 【解析】首先根据极值点为1，求得a e =，再结合函数的单调性，判断实根个数.由()'xf x e a =-，得()10'=-=f e a则a e =()x f x e ex =-函数()f x 在()2,+∞，()()'0,f x f x >单调递增，()222f e e e =-<,函数()y f x =与y a =的交点个数为1个.故选：A 5．B 【解析】由()20f '=求出a 的值，然后利用导数可求得函数()f x 在1,32⎡⎤⎢⎥⎣⎦的最大值.()22ln 3f x x ax x =+-，则()223f x ax x=+-'， 由题意可得()2420f a '=-=，解得12a =，则()212ln 32f x x x x =+-， ()22323x x f x x x x-+'=+-=，令()0f x '=，可得1x =或2x =，列表如下：x1,12⎡⎫⎪⎢⎣⎭1()1,22(]2,3()f x '+0 -+()f x极大值极小值所以，函数()f x 的极大值为()12f =-，极小值为()22ln 24f =-， 又1112ln 228f ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭，()932ln 32f =-，()()()95312ln 32ln 322ln 31022f f -=-+=-=->，则()()13f f <，所以，()()max 932ln 32f x f ==-.故选：B. 【点睛】思路点睛：利用导数求函数()y f x =在[],a b 上的最大值和最小值的步骤如下： （1）求函数()y f x =在(),a b 内的极值；（2）将函数()y f x =的各极值与端点处的函数值()f a 、f b 比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值. 6．D 【解析】根据数列递推公式与数列的前n 项和n S ，判断数列{}n a 的单调性与临界值，对每个序号逐一判断.①()2212101n n n n n a a a a a +-+=-=≥-，所以数列{}n a 是递增数列，又()111n n n a a a +-=-，所以11n a +-与1n a -同号，又因为1112a -=-，所以110n a +-<，即11n a +<，故①错；()()1221211123n n n n n n a a a a a a +--+=--=-，由①知，数列{}n a 是递增数列且恒小于1，所以112n a ≤<，所以()()2101n n a a -<-即1210n n a a +--≤恒成立，故②正确；因为1n n n a S ∞==∑，15566n n ∞==∑，56n S n <等价于15()06n n a ∞=-<∑，因为数列{}n a 是递增数列且恒小于1，所以存在N n +∈，当n N >时，有561n a <<，因为N 为固定的值，记为0M <，n 趋向于+∞，51066n a -→>，所以+1+2555+++666n n n p a a a M +⎛⎫⎛⎫⎛⎫--->- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，所以1155()()066N p n n n n a a +∞==->->∑∑，故③错误；因为1n n n a S ∞==∑，21n n n a T ∞==∑，11n n ∞==∑，所以2n n S T n -≤等价于211(2)0n n n a a ∞-=-≤∑，因为()21210n n n a aa --=--≤恒成立，所以211(2)0n n n a a ∞-=-≤∑恒成立，故④正确；故选：D. 【点睛】解答该题的关键在于判断数列{}n a 的单调性与临界值，根据数列的递推公式判断数列1n n a a +-的正负，从而得数列的单调性，同时需要利用数列相关不等式的推断数列的临界值. 7．D 【解析】①对函数求导得22()0(1)xf x e x '=+>-，只能说明()f x 在(,1)-∞和()1,+∞上都是增函数，不能说明()f x 在其整个定义域上为增函数；②直接计算()f a 的值，分离常数后，在1a <的条件下与1-比较大小即可； ③可得()f x 在(,1)-∞和()1,+∞上都是增函数，由零点存在性定理即可判断； ④先写出x y e =在()()000,1x x ex≠处的切线方程l ，再设直线l 与 ln y x =相切于()11,ln A x x ，化简整理可得()00001011xx e x x +-=≠-.①函数()f x 的定义域为()(),11,-∞+∞，且22()0(1)x f x e x '=+>-，∴()f x 在(,1)-∞和()1,+∞上都是增函数，但不能说明()f x 在其整个定义域上为增函数，故①错误；②当1a <时，有201ae a ->-，12()1111a a a f a e e a a +∴=-=-+->---，故②正确； ③()f x 在(,1)-∞上是增函数，且22111(2)033f e e --=-=-<，(0)20f =>，()f x ∴在(,1)-∞上有且仅有1个零点；()f x 在()1,+∞上是增函数，且55244593304e ⎛⎫=-<-< ⎪⎝⎭，2e (2)30f =->，()f x ∴在()1,+∞上有且仅有1个零点，故()f x 有且仅有两个零点，故③正确；④x y e =在点()()000,1x x e x ≠处的切线方程l 为()000-=-x xy e e x x ，又l 也是ln y x =的切线，设其切点为()11,ln A x x ，则l 的斜率为11k x =，则011x e x =，01xx e -∴=，即()00,x A e x --，又点A 在l 上，()0000x x x x e eex -∴--=-，()00001011xx e x x +∴-=≠-，0x ∴必是()f x 零点，故④正确. 故选：D. 【点睛】关键点睛：本题考查利用导数研究函数的切线方程、单调性和零点问题，有一定的综合性，解题的关键是利用清楚导数的几何意义以及导数与单调性的关系. 8．D 【解析】分析得出0a <，利用导数分析函数()f x 的单调性，可得知1x 为函数()f x 的极大值点，2x 为函数()f x 的极小值点，再由()()1f x f n =、()()2f x f m =结合因式分解可得出结论.当0a ≥时，()230f x x a '=+≥，此时，函数()f x 在R 上为增函数，当1x 、()2,x m n ∈时，()()1f x f n <，()()2f x f m >，不合乎题意，所以，0a <. 由()0f x '=可得3ax =±-当3a x或3ax 时，()0f x '>；当33a ax时，()0f x '<. 所以，函数()f x 的单调递增区间为,3a ⎛-∞-- ⎝，,3a ⎫-+∞⎪⎪⎭，单调递减区间为,33a a ⎛---⎝. 对任意的[],x m n ∈恒有()()()f m f x f n ≤≤，()()min f x f m =，()()max f x f n =， 又当1x 、()2,x m n ∈且满足()()1f x f n =，()()2f x f m =，所以，1x 为函数()f x 的极大值点，2x 为函数()f x 的极小值点，则13a x =--，23a x =-，由()()1f x f n =可得3311x ax b n an b ++=++，可得()()33110x n a x n -+-=， 即()()221110x n x nx n a -+++=，因为1x n ≠，则22110x nx n a +++=，13a x =--213a x =-，所以，221120n nx x +-=，即()()1120n x n x -+=， 所以，120n x +=，同理可得220m x +=， 故选：D. 【点睛】关键点点睛：解本题的关键在于以下两点：（1）利用已知条件分析出1x 、2x 为函数()f x 的极值点；（2）利用等式()()1f x f n =，()()2f x f m =结合因式化简得出结果. 9．ABC 【解析】由11a =，12n n n a a +⋅=可求出44a =判断A ，由+1+122n n n a a +⋅=与12n n n a a +⋅=相比即可判断B ，由等比数列通项公式即可判断C ，D.因为11a =，12nn n a a +⋅=，所以2342,2,4a a a ===， 由12nn n a a +⋅=可得1122n n n a a +++⋅=，所以22n na a +=， 所以{}2n a ，{}21n a -分别是以2,1为首项，公比为2的等比数列， 所以111221222,122n n n n n n a a ----=⋅==⋅=，所以12212n n n a a ---=，11212322n n n n a a -+-+=⋅≠，综上可知，ABC 正确，D 错误. 故选：ABC 【点睛】关键点点睛：根据数列的递推关系，等比数列的定义，判断出数列{}2n a ，{}21n a -是等比数列，是解题的关键，属于中档题. 10．BD 【解析】A 选项借助导数研究函数的极值情况；BC 选项，构造新函数研究函数的零点问题以及参数取值范围；D 选项根据新函数单调性比较函数值的大小，从而得到双变量的关系．A ：函数()f x 的定义域为()0,∞+，()22212x f x x x x-'=-+=， 当()0,2x ∈时，()0f x '<，()f x 单调递减；当()2,x ∈+∞时，()0f x '>，()f x 单调递增， 所以2x =是()f x 的极小值点，故A 错误；B ：()2ln y f x x x x x=-=+-，22221210x x y x x x -+'=-+-=-<， 所以函数在()0,∞+上单调递减，又()112ln1110f -=+-=>，()221ln22ln210f -=+-=-<， 所以函数()y f x x =-有且只有1个零点，故B 正确；C ：若()f x kx >，即2ln x kx x +>，则22ln x k x x<+， 令()22ln x g x x x =+，则()34ln x x xg x x-+-'=， 令()4ln h x x x x =-+-，则()ln h x x '=-，当()0,1x ∈时，()0h x '>，()h x 单调递增；当()1,x ∈+∞时，()0h x '<，()h x 单调递减， 所以()()130h x h ≤=-<，所以()0g x '<， 所以()22ln xg x x x=+在()0,∞+上单调递减，函数无最小值， 所以不存在正实数k ，使得()f x kx >恒成立，故C 错； D ：因为()f x 在()0,2上单调递减，在()2,+∞上单调递增， ∴2x =是()f x 的极小值点，∵对任意两个正实数1x ，2x ，且21x x >，若()()12f x f x =，则1202x x <<<． 令()211x t t x =>，则21x tx =， 由()()12f x f x =，得121222ln ln x x x x +=+，∴211222ln ln x x x x -=-，即()2121212ln x x x x x x -=，即()11121ln t x t x tx -=⋅，解得()121ln t x t t-=，()2121ln t t x tx t t -==，所以21222ln t x x t t-+=．故要证124x x +>，需证1240x x +->，需证22240ln t t t -->，需证2224ln 0ln t t tt t-->． ∵211x t x =>，则ln 0t t >，∴证2224ln 0t t t -->． 令()()2224ln 1H t t t t t =-->，()()44ln 41H t t t t '=-->，()()()414401t H t t t t-''=-=>>，所以()H t '在()1,+∞上是增函数． 因为1t →时，()0H t '→，则()0H t '>，所以()H t 在()1,+∞上是增函数．因为1t →时，()0H t →，则()0H t >，所以2224ln 0ln t t tt t-->，∴124x x +>，故D 正确， 故选：BD ． 【点睛】思路点睛：借助导数研究函数的极值情况，构造新函数研究函数的零点问题以及参数取值范围；可以将自变量的大小比较通过构造新函数，通过单调性转化为函数值的大小比较，从而得到自变量间的关系． 11．BC 【解析】 由()f x 求导3()42f x x ax a '=++，再由()'f x 求导得到2()122f x x a ''=+，然后分0a > ，2732a <-，27032a -<讨论分析选项ABC ，选项D 根据12120,0x x x x <<+>，作差()()12f x f x -()()()()22121212x x x x x x a a =-++++，取()2212a x x =-+判断。
北京高二高中数学期末考试班级:___________ 姓名：___________ 分数：___________一、选择题1.设命题：，则为（）A．B．C．D．2.直线在轴上的截距为（）A．B．C．D．3.双曲线的渐近线方程为（）A．B．C．D．4.如图，函数在，两点间的平均变化率是()A．1B．C．2D．5.设点关于原点的对称点为，则等于（）A．B．C．D．6.若图中直线，，的斜率分别为，，，则()A．<<B．<<C．<<D．<<7.已知为椭圆上的一点，，分别为椭圆的上、下顶点，若△的面积为6，则满足条件的点的个数为（）A．0B．2C．4D．68.“”是“直线相切”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件9.已知表示空间一条直线，，表示空间两个不重合的平面，有以下三个语句：①；②∥；③.以其中任意两个作为条件，另外一个作为结论，可以得到三个命题，其中正确命题的个数是（）A．0B．1C．2D．310.若圆关于直线和直线都对称，则的值为（）A．B．C．D．11.若函数在内单调递增，则的取值范围为()A．B．C．D．12.抛物线的准线与双曲线交于两点，点为抛物线的焦点，若△为直角三角形，则双曲线的离心率为（）A．B．C．D．二、填空题1.曲线在点处的切线的斜率为 .2.若直线与直线互相垂直，则的值为 .3.已知，是椭圆的左、右焦点，过的直线交椭圆于两点，若△的周长为，则的值为 .4.一个几何体的三视图如图所示，其中正视图和侧视图是腰长为4的两个全等的等腰直角三角形，则这个几何体的体积为 .5.若直线与圆相交于，两点，且(其中为原点)，则的值为 .6.已知椭圆：（）和椭圆：（）的离心率相同，且.给出如下三个结论：①椭圆和椭圆一定没有公共点；②；③其中所有正确结论的序号是________.三、解答题1.如图，矩形所在的平面与正方形所在的平面相互垂直，是的中点.（1）求证：∥平面；（2）求证：平面⊥平面.2.已知圆的圆心在直线上，且与轴交于两点,.（1）求圆的方程；（2）求过点的圆的切线方程.3.已知函数.（1）当时，的图象在点处的切线平行于直线，求的值；（2）当时，在点处有极值，为坐标原点，若三点共线，求的值.4.已知曲线：.（1）若曲线是焦点在轴上的椭圆，求的取值范围；（2）设，过点的直线与曲线交于,两点，为坐标原点，若为直角，求直线的斜率.北京高二高中数学期末考试答案及解析一、选择题1.设命题：，则为（）A．B．C．D．【答案】A【解析】命题：为特称命题，它的否定应为：，故选A.【考点】全称命题与特称命题.2.直线在轴上的截距为（）A．B．C．D．【答案】C【解析】直线中令，则即，所以在轴上的截距为，故选C.【考点】截距的概念.3.双曲线的渐近线方程为（）A．B．C．D．【答案】D【解析】因为双曲线的方程为，故，所以该双曲线的渐近线方程为，故选D.【考点】双曲线的性质.4.如图，函数在，两点间的平均变化率是()A．1B．C．2D．【答案】B【解析】依题意可知，，所以函数在，两点间的平均变化率为,故选B.【考点】1.平均变化率的计算问题；2.函数的表示.5.设点关于原点的对称点为，则等于（）A．B．C．D．【答案】A【解析】关于原点对称的两个点的坐标之间横坐标、纵坐标、坚坐标的数都是相反数，故，所以，故选A.【考点】1.关于原点对称的两个点的坐标；2.空间中两点间的距离公式.6.若图中直线，，的斜率分别为，，，则()A．<<B．<<C．<<D．<<【答案】B【解析】由于的倾斜角都是锐角，且直线的倾斜角大于直线的倾斜角，可得，而直线的倾斜角为钝角，所以，由此可得结论：，故选答案B.【考点】直线的倾斜角与斜率.7.已知为椭圆上的一点，，分别为椭圆的上、下顶点，若△的面积为6，则满足条件的点的个数为（）A．0B．2C．4D．6【答案】C【解析】依题意可知且，设点，则，所以，而，将代入，可求出四组解，，故选C.【考点】椭圆的标准方程与性质.8.“”是“直线相切”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件【答案】A【解析】直线与圆相切，则圆心到直线的距离等于半径即，化简得或，故“”是“直线与圆相切”的充分不必要条件，选A.【考点】1.直线与圆的位置关系；2.充分条件与必要条件；3.点到直线的距离公式.9.已知表示空间一条直线，，表示空间两个不重合的平面，有以下三个语句：①；②∥；③.以其中任意两个作为条件，另外一个作为结论，可以得到三个命题，其中正确命题的个数是（）A．0B．1C．2D．3【答案】B【解析】命题①：若，则是正确的命题，如图（1）过直线作一个平面，，则由，结合线面平行的性质可知，因为，所以，而，所以由面面垂直的判定可得；命题②：若，则是错误的命题，如图（2），直线可能在平面内；命题③：若，则是错误的命题，如图（3），直线可能在内，如图（4），直线也可能与平行，综上可知，三个命题中只有一个命题是正确的，故选B.【考点】1.线面平行的性质；2.面面垂直的判定；3.命题真假的判断.10.若圆关于直线和直线都对称，则的值为（）A．B．C．D．【答案】D【解析】由圆的方程可得圆心的坐标为，又圆关于直线对称，所以直线都经过圆的圆心，所以，解得，所以，故选D.【考点】1.圆的方程；2.直线与圆的位置关系.11.若函数在内单调递增，则的取值范围为()A．B．C．D．【答案】A【解析】因为，由函数在上单调递增，可知在恒成立，即在恒成立，而在上单调递减，所以，故选A.【考点】1.导数在单调性上的应用；2.不等式的恒成立问题.12.抛物线的准线与双曲线交于两点，点为抛物线的焦点，若△为直角三角形，则双曲线的离心率为（）A．B．C．D．【答案】D【解析】先根据抛物线方程求得准线方程，代入双曲线方程求得，根据双曲线的对称性可知为等腰直角三角形，进而可求得或的纵坐标为，进而求得，利用和的关系求得，则双曲线的离心率可得. 解：依题意知抛物线的准线方程为，代入双曲线的方程得，不妨设，设准线与轴的交点为，∵是直角三角形，所以根据双曲线的对称性可知，为等腰直角三角形，所以即，解得，∴，所以离心率为，选D.【考点】双曲线的性质.二、填空题1.曲线在点处的切线的斜率为 .【答案】【解析】因为，所以，所以曲线在点处的切线的斜率为1.【考点】导数的几何意义.2.若直线与直线互相垂直，则的值为 .【答案】【解析】由两直线垂直的充要条件是，得，解得.【考点】两直线垂直的条件.3.已知，是椭圆的左、右焦点，过的直线交椭圆于两点，若△的周长为，则的值为 .【答案】【解析】由椭圆的方程，可知即，此时，而的周长等于，所以，所以即.【考点】椭圆的定义及其标准方程.4.一个几何体的三视图如图所示，其中正视图和侧视图是腰长为4的两个全等的等腰直角三角形，则这个几何体的体积为 .【答案】【解析】由三视图可知，该几何体是四棱锥，底面为正方形，有一条棱垂直于底面（如下图），根据正视图和侧视图均是腰长为4的等腰直角三角形，知，底面边长为4，几何体的高为4，所以，它的体积为.【考点】1.三视图；2.空间几何体的体积计算.5.若直线与圆相交于，两点，且(其中为原点)，则的值为 .【答案】或【解析】设点为弦的中点，连接，则由圆的知识可知且，而圆的半径为，所以，另一方面原点到直线的距离为，所以，解得.【考点】1.直线与圆的位置关系；2.点到直线的距离公式.6.已知椭圆：（）和椭圆：（）的离心率相同，且.给出如下三个结论：①椭圆和椭圆一定没有公共点；②；③其中所有正确结论的序号是________.【答案】①②【解析】设椭圆、的离心率分别为、，则依题意有即，所以，所以即，从而有，所以②正确；假设两椭圆有公共点，则方程组有解，两式相减可得，一方面由与可得，所以，从而，即不存在使得成立，所以假设不成立，故①正确；由与可得即，也就是，故③错误，综上可知，正确结论的序号是①②.【考点】椭圆的标准方程及其性质.三、解答题1.如图，矩形所在的平面与正方形所在的平面相互垂直，是的中点.（1）求证：∥平面；（2）求证：平面⊥平面.【答案】（1）证明详见解析；（2）证明详见解析.【解析】（1）要证线面平行，只须在平面内找到一条直线与这条直线平行，对本小题来说，连接交于点，由三角形的中位线定理可证得，问题得证；（2）要证面面垂直，只要在其中一个平面内找到一条直线与另一个平面垂直即可，由四边形为正方形且为对角线的中点，所以有，故可考虑证明平面，故需要在平面内再找一条直线与垂直即可，由平面平面，交线为且，从而平面，可得，从而问题得证.试题解析：（1）连接交于,连接在三角形中，，分别为和的中点所以∥． 2分又平面，平面所以∥平面 4分（2）因为矩形所在的平面与正方形所在的平面相互垂直平面平面=，，所以又，所以 6分又因为，是的中点，所以又，所以 7分由，所以平面⊥平面 8分.【考点】1.线面平行的证明；2.面面垂直的判定与性质.2.已知圆的圆心在直线上，且与轴交于两点,.（1）求圆的方程；（2）求过点的圆的切线方程.【答案】（1）；（2）.【解析】（1）先联立直线的中垂线方程与直线方程，求出交点的坐标即圆心的坐标，然后再计算出，最后就可写出圆的标准方程；（2）求过点的圆的切线方程问题，先判断点在圆上还是在圆外，若点在圆上，则所求直线的斜率为，由点斜式即可写出切线的方程，若点在圆外，则可设切线方程为（此时注意验证斜率不存在的情形），然后由圆心到切线的距离等于半径，求出即可求出切线的方程.试题解析：（1）因为圆与轴交于两点,,所以圆心在直线上由得即圆心的坐标为 2分半径所以圆的方程为 4分（2）由坐标可知点在圆上，由，可知切线的斜率为 6分故过点的圆的切线方程为 8分.【考点】1.圆的方程；2.直线与圆的位置关系.3.已知函数.（1）当时，的图象在点处的切线平行于直线，求的值；（2）当时，在点处有极值，为坐标原点，若三点共线，求的值.【答案】（1）；（2）.【解析】（1）本小题考查导数在切线上的应用问题，根据所给的切点及切线所平行的直线方程，可得，从中求解关于的方程组即可；（2）将所给的代入得，通过求导，先求出函数的极值，写出极值点，然后根据三点共线，利用，即可计算出的值.试题解析：（1）当时，所以 2分依题意可得,即解得 5分（2）当时，所以 7分令，解得，当变化时，变化情况如下表：00所以当时，；当时，不妨设 8分因为三点共线，所以即，解得故所求值为 9分.【考点】1.导数的几何意义；2.函数的极值与导数；3.三点共线的条件.4.已知曲线：.（1）若曲线是焦点在轴上的椭圆，求的取值范围；（2）设，过点的直线与曲线交于,两点，为坐标原点，若为直角，求直线的斜率.【答案】（1）；（2）的值为.【解析】（1）曲线是焦点在轴上的椭圆，则求解不等式组即可得到参数的取值范围；（2）设的方程为（注意检验斜率不存在的情况是否符合要求），再设出两点的坐标，当，由即与联立可求解出点的坐标，然后再代入直线方程，即可求出的值.试题解析：（1）若曲线：是焦点在轴上的椭圆，则有解得 3分（2）时，曲线的方程为，为椭圆由题意知，点的直线的斜率存在，所以设的方程为由消去得 5分，当时，解得设两点的坐标分别为因为为直角，所以，即整理得① 7分又,②将①代入②，消去得解得或（舍去）将代入①，得，所以故所求的值为 9分.【考点】1.椭圆的方程；2.直线与椭圆的位置关系；3.两直线垂直的条件.。
2020-2021北京市高中必修二数学下期末试题(附答案)一、选择题1．设n S 是等差数列{}n a 的前n 项和,若1353a a a ++=,则5S =A ．5B ．7C ．9D ．112．若，则（ ）A ．B ．C ．D ．3．已知ABC V 为等边三角形，2AB =，设P ，Q 满足AP AB λ=uu u r uu u r ，()()1AQ AC λλ=-∈R u u u r u u u r ，若32BQ CP ⋅=-uu u r uu r ，则λ=（）A ．12B ．122± C ．1102± D ．3222± 4．在ABC ∆中，2AB =，2AC =，E 是边BC 的中点.O 为ABC ∆所在平面内一点且满足222OA OB OC ==u u u v u u u v u u v ，则·AE AO u u u v u u u v 的值为（ ）A ．12B ．1C ．2 D ．325．《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中有如下问题：“今有女子善织，日益功，疾，初日织五尺，今一月织九匹三丈（1匹=40尺，一丈=10尺），问日益几何？”其意思为：“有一女子擅长织布，每天比前一天更加用功，织布的速度也越来越快，从第二天起，每天比前一天多织相同量的布，第一天织5尺，一月织了九匹三丈，问每天增加多少尺布？”若一个月按30天算，则每天增加量为A ．12尺 B ．815尺 C ．1629尺 D ．1631尺 6．已知函数21(1)()2(1)a x x f x x x x x ⎧++>⎪=⎨⎪-+≤⎩在R 上单调递增，则实数a 的取值范围是 A ．[]0,1B ．(]0,1C ．[]1,1-D ．(]1,1-7．函数()lg ||f x x x =的图象可能是（ ）A ．B ．C ．D ．8．函数()(1)lg(1)35f x x x x =-+--的零点个数为（ ） A ．3B ．2C ．1D ．09．在空间四边形ABCD 的边AB ，BC ，CD ，DA 上分别取E ，F ，G ，H 四点，如EF 与HG 交于点M ，那么 ( ) A ．M 一定在直线AC 上 B ．M 一定在直线BD 上C ．M 可能在直线AC 上，也可能在直线BD 上 D ．M 既不在直线AC 上，也不在直线BD 上10．已知()f x 是定义在R 上的奇函数，当0x >时，()32f x x =-，则不等式()0f x >的解集为（ ）A ．33,0,22⎛⎫⎛⎫-∞- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭UB ．33,,22⎛⎫⎛⎫-∞-⋃+∞ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭C ．33,22⎛⎫- ⎪⎝⎭D ．33,0,22⎛⎫⎛⎫-⋃+∞ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭11．已知圆()()22:341C x y -+-=和两点(),0A m -，()(),00B m m >，若圆C 上存在点P ，使得90APB ∠=︒，则m 的最大值为（ ） A ．7B ．6C ．5D ．412．若函数()(1)(0xxf x k a a a -=-->且1a ≠）在R 上既是奇函数,又是减函数,则()log ()a g x x k =+的图象是（ ）A ．B ．C ．D ．二、填空题13．设a ＞0，b ＞0，若3是3a 与3b的等比中项，则11a b+的最小值是__． 14．()sin1013tan 70+=oo_____15．△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若cos A =45，cos C =513，a =1，则b =___.16．设向量(12)(23)a b ==r r ，，，，若向量a b λ+r r 与向量(47)c =--r ，共线，则λ= 17．已知点G 是ABC ∆的重心，内角A 、B 、C 所对的边长分别为a 、b 、c ，且0578a b c GA GB GC ++=u u ur u u u r u u u r r ，则角B 的大小是__________． 18．在圆x 2＋y 2＋2x ＋4y －3＝0上且到直线x ＋y ＋1＝0的距离为2的点共有________个．19．函数sin 3cos y x x =-的图像可由函数2sin y x =的图像至少向右平移________个单位长度得到．20．如图，在正方体1111ABCD A B C D -中，点E 是棱1CC 上的一个动点，平面1BED 交棱1AA 于点F ．下列命题正确的为_______________.①存在点E ，使得11A C //平面1BED F ； ②对于任意的点E ，平面11AC D ⊥平面1BED F ； ③存在点E ，使得1B D ⊥平面1BED F ；④对于任意的点E ，四棱锥11B BED F -的体积均不变．三、解答题21．投资商到一开发区投资72万元建起一座蔬菜加工厂，经营中，第一年支出12万元，以后每年支出增加4万元，从第一年起每年蔬菜销售收入50万元，设表示前n 年的纯利润总和（前年总收入-前年的总支出 -投资额72万元）（Ⅰ）该厂从第几年开始盈利？（Ⅱ）该厂第几年平均纯利润达到最大？并求出年平均纯利润的最大值. 22．已知数列{}n a 满足：()*22,21,n n a S n a n N ==+∈（1）设数列{}n b 满足()11nn b n a =•+，求{}n b 的前n 项和n T ：（2）证明数列{}n a 是等差数列，并求其通项公式；23．如图，在正方体1111ABCD A B C D -中，S 是11B D 的中点，E ，F ，G 分别是BC ，DC ，SC 的中点.求证：（1）直线//EG 平面11BDD B ； （2）平面//EFG 平面11BDD B .24．等比数列{}n a 的各项均为正数，且212326231,9a a a a a +==.（1）求数列{}n a 的通项公式； （2）设 31323log log ......log nn b a a a =+++，求数列1n b ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和n T . 25．设函数2()cos 2sin 3f x x x π⎛⎫=++ ⎪⎝⎭． （1）求函数()f x 的最小正周期． （2）求函数()f x 的单调递减区间；（3）设,,A B C 为ABC V 的三个内角，若1cos 3B =，124C f ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，且C 为锐角，求sin A ．26．已知函数f(x)＝log 4(4x ＋1)＋kx(k ∈R)是偶函数． (1)求k 的值；(2)设g(x)＝log 44•23xa a ⎡⎤⎢⎥⎣⎦－，若函数f(x)与g(x)的图象有且只有一个公共点，求实数a 的取值范围．【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．A 解析：A 【解析】1353333,1a a a a a ++===，5153355()25522S a a a a =+=⨯==，选A. 2．D解析：D 【解析】试题分析：，且，故选D.【考点】三角恒等变换【名师点睛】对于三角函数的给值求值问题，关键是把待求角用已知角表示： （1）已知角为两个时，待求角一般表示为已知角的和或差．（2）已知角为一个时，待求角一般与已知角成“倍的关系”或“互余、互补”关系．3．A解析：A 【解析】 【分析】运用向量的加法和减法运算表示向量BQ BA AQ =+u u u r u u u r u u u r ，CP CA AP =+u u u r u u u r u u u r，再根据向量的数量积运算，建立关于λ的方程，可得选项. 【详解】∵BQ BA AQ =+u u u r u u u r u u u r ，CP CA AP =+u u u r u u u r u u u r ，∴()()BQ CP BA AQ CA AP AB AC AB AP AC AQ AQ AP ⋅=+⋅+=⋅-⋅-⋅+⋅u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r()()2211AB AC AB AC AB AC λλλλ=⋅---+-⋅u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r()()232441212222λλλλλλ=---+-=-+-=-，∴12λ=.故选：A. 4．D解析：D 【解析】【分析】根据平面向量基本定理可知()12AE AB AC =+u u u vu u uv u u u v ，将所求数量积化为1122AB AO AC AO ⋅+⋅u u uv u u u v u u u v u u u v ；由模长的等量关系可知AOB ∆和AOC ∆为等腰三角形，根据三线合一的特点可将AB AO ⋅u u u v u u u v 和AC AO ⋅u u u v u u u v 化为212AB u u uv 和212AC u u u v ，代入可求得结果.【详解】E Q 为BC 中点 ()12AE AB AC ∴=+u u u v u u u v u u u v()111222AE AO AB AC AO AB AO AC AO ∴⋅=+⋅=⋅+⋅u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v222OA OB OC ==u u u v u u u v u u u v Q AOB ∴∆和AOC ∆为等腰三角形211cos 22AB AO AB AO OAB AB AB AB ∴⋅=∠=⋅=u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v ，同理可得：212AC AO AC ⋅=u u u v u u u v u u u v22111314422AE AO AB AC ∴⋅=+=+=u u u v u u u v u u u v u u u v本题正确选项：D 【点睛】本题考查向量数量积的求解问题，关键是能够利用模长的等量关系得到等腰三角形，从而将含夹角的运算转化为已知模长的向量的运算.5．C解析：C 【解析】试题分析：将此问题转化为等差数列的问题，首项为，,求公差，，解得：尺，故选C.考点：等差数列6．C解析：C 【解析】x ⩽1时,f (x )=−(x −1)2+1⩽1，x >1时,()()21,10a a f x x f x x x=++'=-…在(1,+∞)恒成立， 故a ⩽x 2在(1,+∞)恒成立， 故a ⩽1，而1+a +1⩾1，即a ⩾−1， 综上,a ∈[−1,1]， 本题选择C 选项.点睛：利用单调性求参数的一般方法：一是求出函数的单调区间，然后使所给区间是这个单调区间的子区间，建立关于参数的不等式组即可求得参数范围；二是直接利用函数单调性的定义：作差、变形，由f (x 1)－f (x 2)的符号确定参数的范围，另外也可分离参数转化为不等式恒成立问题．7．D解析：D 【解析】 【分析】分析函数()y f x =的定义域、奇偶性及其在()0,1上的函数值符号，可得出结论. 【详解】函数()lg f x x x =的定义域为{}0x x ≠，定义域关于原点对称，()()lg lg f x x x x x f x -=--=-=-，函数()y f x =为奇函数，排除A 、C 选项；当01x <<时，lg 0x <，此时()lg 0f x x x =<，排除B 选项. 故选：D. 【点睛】本题考查由函数的解析式选择函数图象，一般分析函数的定义域、奇偶性、单调性、零点以及函数值符号，考查推理能力，属于中等题.8．B解析：B 【解析】 【分析】可采用构造函数形式，令()()()35lg 1,1x h x x g x x +=+=-，采用数形结合法即可求解 【详解】由题可知，1x >-，当1x =时，()80f x =-≠， 令358()(1)lg(1)350lg(1)311x f x x x x x x x +=-+--=⇒+==+--， 令()()()35lg 1,1x h x x g x x +=+=-，画出函数图像，如图：则两函数图像有两交点，故函数()(1)lg(1)35f x x x x =-+--的零点个数为2个 故选：B 【点睛】本题考查函数零点个数的求解，数形结合思想，属于中档题9．A解析：A 【解析】如图，因为EF∩HG=M，所以M∈EF，M∈HG，又EF ⊂平面ABC ，HG ⊂平面ADC ， 故M∈平面ABC ，M∈平面ADC ， 所以M∈平面ABC∩平面ADC=AC. 选A. 点睛：证明点在线上常用方法先找出两个平面，然后确定点是这两个平面的公共点，再确定直线是这两个平面的交线．10．A解析：A 【解析】 【分析】根据题意，结合函数的解析式以及奇偶性分析可得()f x 的图象，据此分析可得答案. 【详解】解：因为()f x 是定义在R 上的奇函数， 所以它的图象关于原点对称，且()00f =， 已知当0x >时，()32f x x =-， 作出函数图象如图所示，从图象知：33022f f ⎛⎫⎛⎫=-=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 则不等式()0f x >的解集为33,0,22⎛⎫⎛⎫-∞-⋃ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭. 故选：A.【点睛】本题考查函数的奇偶性与单调性的综合应用，以及函数的解析式，考查数形结合思想.11．B解析：B 【解析】由题意知，点P 在以原点（0，0）为圆心，以m 为半径的圆上，又因为点P 在已知圆上，所以只要两圆有交点即可，所以15m -=，故选B.考点：本小题主要考查两圆的位置关系，考查数形结合思想，考查分析问题与解决问题的能力.12．A解析：A 【解析】 【分析】由题意首先确定函数g (x )的解析式，然后结合函数的解析式即可确定函数的图像. 【详解】∵函数()(1)xxf x k a a -=--(a >0,a ≠1)在R 上是奇函数，∴f (0)=0，∴k =2， 经检验k =2满足题意， 又函数为减函数， 所以01a <<， 所以g (x )=log a (x +2)定义域为x >−2，且单调递减， 故选A . 【点睛】本题主要考查对数函数的图像，指数函数的性质，函数的单调性和奇偶性的应用等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.二、填空题13．【解析】由已知是与的等比中项则则当且仅当时等号成立故答案为2【点睛】本题考查基本不等式的性质等比数列的性质其中熟练应用乘1法是解题的关键 解析：【解析】由已知0,0a b >>33a 与b 的等比中项，则233,1a b ab =⋅∴=则111111122ab a b ab a b a b a b ⎛⎫⎛⎫+=+⨯=+⨯=+≥= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，当且仅当1a b ==时等号成立 故答案为2【点睛】本题考查基本不等式的性质、等比数列的性质，其中熟练应用“乘1法”是解题的关键．14．【解析】【分析】将写成切化弦后利用两角和差余弦公式可将原式化为利用二倍角公式可变为由可化简求得结果【详解】本题正确结果：【点睛】本题考查利用三角恒等变换公式进行化简求值的问题涉及到两角和差余弦公式二 解析：1【解析】 【分析】3tan 60o，切化弦后，利用两角和差余弦公式可将原式化为sin10cos10cos 60cos 70o o o o，利用二倍角公式可变为1sin 202cos 60cos 70⋅oo o，由sin 20cos70=o o 可化简求得结果. 【详解】()()cos 60cos 7060sin 70sin1013tan70sin101tan 60tan70sin1s 0co i s 60o 7n c s 0=++⋅=o o o ooooo ooo o()cos 7060sin10cos101sin 201sin101cos60cos70cos60cos702cos60cos702cos60-=⋅==⋅==o oo o o oo o o o o o o本题正确结果：1 【点睛】本题考查利用三角恒等变换公式进行化简求值的问题，涉及到两角和差余弦公式、二倍角公式的应用.15．【解析】试题分析：因为且为三角形的内角所以又因为所以【考点】正弦定理两角和差的三角函数公式【名师点睛】在解有关三角形的题目时要有意识地考虑用哪个定理更合适或是两个定理都要用要抓住能够利用某个定理的信解析：2113【解析】试题分析：因为45cos ,cos 513A C ==，且,A C 为三角形的内角，所以312sin ,sin 513A C ==，63sin sin[()]sin()sin cos cos sin 65B AC A C A C A C π=-+=+=+=，又因为sin sin a b A B =，所以sin 21sin 13a Bb A ==. 【考点】 正弦定理，两角和、差的三角函数公式【名师点睛】在解有关三角形的题目时，要有意识地考虑用哪个定理更合适，或是两个定理都要用，要抓住能够利用某个定理的信息．一般地，如果式子中含有角的余弦或边的二次式时，要考虑用余弦定理；如果式子中含有角的正弦或边的一次式时，则考虑用正弦定理；以上特征都不明显时，则要考虑两个定理都有可能用到．16．2【解析】【分析】由题意首先求得向量然后结合向量平行的充分必要条件可得的值【详解】=由向量共线的充分必要条件有：故答案为2【点睛】本题主要考查平面向量的坐标运算向量平行的充分必要条件等知识意在考查学解析：2 【解析】 【分析】由题意首先求得向量a b λ+rr，然后结合向量平行的充分必要条件可得λ的值. 【详解】a bλ+r r =(,2(2,3)(2,23λλλλ+=++））， 由向量共线的充分必要条件有：()()(2)7(23)42λλλ+⋅-=+⋅-⇒=. 故答案为2． 【点睛】本题主要考查平面向量的坐标运算，向量平行的充分必要条件等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.17．【解析】由向量的平行四边形法则可得代入可得故则由余弦定理可得故应填答案点睛：解答的关键是如何利用题设中所提供的向量等式中的边的关系探求处来这是解答本题的难点也是解答本题的突破口求解时充分利用已知条件 解析：3π【解析】由向量的平行四边形法则可得GA GC BG +=u u u r u u u r u u u r ，代入0578a b c GA GB GC ++=u u ur u u u r u u u r r 可得()()05787a b c b GA GC -+-=u u u r u u u r r ，故578a b c==，则5,7,8a t b t c t ===．由余弦定理可得22222564491cos 802t t t B t +-==，故3B π=，应填答案3π． 点睛：解答的关键是如何利用题设中所提供的向量等式中的边的关系探求处来，这是解答本题的难点，也是解答本题的突破口．求解时充分利用已知条件及向量的平行四边形法则，将其转化为()()05787a b c b GA GC -+-=u u ur u u u r r ，然后再借助向量相等的条件待定出三角形三边之间的关系578a b c==，最后运用余弦定理求出3B π=，使得问题获解． 18．3【解析】【分析】圆方程化为标准方程找出圆心坐标与半径求出圆心到已知直线的距离判断即可得到距离【详解】圆方程变形得：（x+1）2+（y+2）2＝8即圆心（﹣1-2）半径r ＝2∴圆心到直线x+y+1＝解析：3 【解析】 【分析】圆方程化为标准方程，找出圆心坐标与半径，求出圆心到已知直线的距离，判断即可得到距离． 【详解】圆方程变形得：（x +1）2+（y +2）2＝8，即圆心（﹣1，-2），半径r ＝，∴圆心到直线x +y +1＝0的距离d ==，∴r ﹣d =则到圆上到直线x +y +1＝03个， 故答案为3. 【点睛】本题考查了直线与圆的位置关系，解题时注意点到直线的距离公式的合理运用.19．【解析】试题分析：因为所以函数的的图像可由函数的图像至少向右平移个单位长度得到【考点】三角函数图像的平移变换两角差的正弦公式【误区警示】在进行三角函数图像变换时提倡先平移后伸缩但先伸缩后平移也经常出 解析：3π【解析】试题分析：因为sin 2sin()3y x x x π==-，所以函数sin y x x =的的图像可由函数2sin y x =的图像至少向右平移3π个单位长度得到． 【考点】三角函数图像的平移变换、两角差的正弦公式【误区警示】在进行三角函数图像变换时，提倡“先平移，后伸缩”，但“先伸缩，后平移”也经常出现在题目中，所以也必须熟练掌握，无论是哪种变形，切记每一个变换总是对字母x 而言，即图像变换要看“变量”变化多少，而不是“角”变化多少．20．①②④【解析】【分析】根据线面平行和线面垂直的判定定理以及面面垂直的判定定理和性质分别进行判断即可【详解】①当为棱上的一中点时此时也为棱上的一个中点此时//满足//平面故①正确；②连结则平面因为平面解析：①②④ 【解析】 【分析】根据线面平行和线面垂直的判定定理，以及面面垂直的判定定理和性质分别进行判断即可． 【详解】①当E 为棱1CC 上的一中点时，此时F 也为棱1AA 上的一个中点，此时11A C //EF ，满足11A C //平面1BED F ，故①正确；②连结1BD ，则1B D ⊥平面11AC D ，因为1BD ⊂平面1BED F ，所以平面11A C D ⊥平面1BED F ，故②正确；③1BD ⊂平面1BED F ，不可能存在点E ，使得1B D ⊥平面1BED F ，故③错误； ④四棱锥11B BED F -的体积等于1111D BB F D BB E V V --+，设正方体的棱长为1. ∵无论E 、F 在何点，三角形1BB E 的面积为111122⨯⨯=为定值，三棱锥11D BB E -的高111D C =，保持不变，三角形1BB F 的面积为111122⨯⨯=为定值，三棱锥11D BB F -的高为111D A =，保持不变.∴四棱锥11B BED F -的体积为定值，故④正确. 故答案为①②④. 【点睛】本题主要考查空间直线和平面平行或垂直的位置关系的判断，解答本题的关键正确利用分割法求空间几何体的体积的方法，综合性较强，难度较大．三、解答题21．（I ）从第三年开始盈利；（II ）第6年，投资商年平均纯利润达到最大，年平均纯利润最大值16万元 【解析】 【分析】 【详解】 (Ⅰ)依题意前年总收入- 前年的总支出- 投资额72万元,可得由得,解得由于,所以从第3年开始盈利.(Ⅱ)年平均利润当且仅当,即时等号成立即第6年, 投资商平均年平均纯利润最大,最大值为16万元 22．（1）()1122n n T n +=-⋅+（2）证明见解析,n a n =【解析】 【分析】（1）令n =1，即可求出11a =，计算出2nn b n =•，利用错位相减求出n T 。
北京高二高中数学期末考试班级:___________ 姓名：___________ 分数：___________一、选择题1.已知全集，集合，那么集合的子集有（）A．6 个B．7个C．8个D．9个2.是虚数单位，复数等于（）A．B．C．D．3.下列函数中，图象关于y轴对称，且在上单调递增的函数是（）A．B．C．D．4.若，则“”是“”的（）A．充分但不必要条件B．必要但不充分条件C．充要条件D．既不是充分条件也不是必要条件5.对于，函数满足，且在上单调递减，，那么使得成立的x的范围是（）A．B．C．D．6.在数列中，，其中。
记的前n项和为，那么等于（）A．B．C．D．7.已知函数在区间上存在零点，那么实数a的取值范围是（）A．B．C．D．8.设函数的定义域为R，如果存在函数为常数），使得对于一切实数都成立，那么称为函数的一个承托函数. 已知是函数的一个承托函数，那么实数a的取值范围是（）A．B．C．D．二、填空题1.已知命题：，，那么命题为____________________________.2.已知函数若，则实数_________.3.设，那么实数a, b, c的大小关系是_________.4.在等比数列中，，，则________.5.设函数，，则的最大值为____________，最小值为_________。
6.如图，设是抛物线上一点，且在第一象限. 过点作抛物线的切线，交轴于点，过点作轴的垂线，交抛物线于点，此时就称确定了.依此类推，可由确定，.记，。
给出下列三个结论：①；②数列是公比为的等比数列；③当时，.其中所有正确结论的序号为___________.三、解答题1.设，集合，.（Ⅰ）当a=3时，求集合；（Ⅱ）若，求实数的取值范围.2.已知公差不为0的等差数列的首项，且成等比数列.（Ⅰ）求数列的通项公式；（Ⅱ）设数列的前项和为，求数列的前n项和.3.已知函数，其中.（Ⅰ）若函数为奇函数，求实数的值；（Ⅱ）若函数在区间上单调递增，求实数的取值范围.4.如图，要建一间体积为，墙高为的长方体形的简易仓库. 已知仓库屋顶每平方米的造价为500元，墙壁每平方米的造价为400元，地面造价忽略不计. 问怎样设计仓库地面的长与宽，能使总造价最低？最低造价是多少？5.设函数，其中.（Ⅰ）若函数的图象在点处的切线与直线平行，求实数的值；（Ⅱ）求函数的极值.6.在数列中，对于任意，等式成立，其中常数. （Ⅰ）求的值；（Ⅱ）求证：数列为等比数列；（Ⅲ）如果关于n的不等式的解集为，求b和c的取值范围.北京高二高中数学期末考试答案及解析一、选择题1.已知全集，集合，那么集合的子集有（）A．6 个B．7个C．8个D．9个【答案】C【解析】解：因为全集，集合，那么集合的子集个数为8，选C2.是虚数单位，复数等于（）A．B．C．D．【答案】D【解析】解：因为，选D3.下列函数中，图象关于y轴对称，且在上单调递增的函数是（）A．B．C．D．【答案】B【解析】解：因为函数为偶函数关于y轴对称，排D,A，因为在x>0增函数，则排除C，选B4.若，则“”是“”的（）A．充分但不必要条件B．必要但不充分条件C．充要条件D．既不是充分条件也不是必要条件【答案】A【解析】解：因为，则“”是“”的充分但不必要条，选A5.对于，函数满足，且在上单调递减，，那么使得成立的x的范围是（）A．B．C．D．【答案】C【解析】解：因为函数是偶函数，且在x>0递减，则利用函数的对称性可知，f(2)=f(-2)=0,那么使得成立的x的范围是,选C6.在数列中，，其中。
2020年北京第一零一中学高二数学理下学期期末试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。
在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. 如图，正四面体ABCD的顶点C在平面α内，且直线BC与平面α所成角为45°，顶点B在平面α上的射影为点O，当顶点A与点O的距离最大时，直线CD与平面α所成角的正弦值等于（）A．B．C．D．参考答案：A【考点】直线与平面所成的角．【分析】由题意，可得当O、B、A、C四点共面时顶点A与点O的距离最大，设此平面为β．由面面垂直判定定理结合BO⊥α，证出β⊥α．过D作DE⊥α于E，连结CE，根据面面垂直与线面垂直的性质证出DH∥α，从而点D到平面α的距离等于点H到平面α的距离．设正四面体ABCD的棱长为1，根据BC与平面α所成角为45°和正四面体的性质算出H到平面α的距离，从而在Rt△CDE中，利用三角函数的定义算出sin∠DCE=，即得直线CD与平面α所成角的正弦值．【解答】解：∵四边形OBAC中，顶点A与点O的距离最大，∴O、B、A、C四点共面，设此平面为β∵BO⊥α，BO?β，∴β⊥α过D作DH⊥平面ABC，垂足为H，设正四面体ABCD的棱长为1，则Rt△HCD中，CH=BC=∵BO⊥α，直线BC与平面α所成角为45°，∴∠BCO=45°，结合∠HCB=30°得∠HCO=75°因此，H到平面α的距离等于HCsin75°=×=过D作DE⊥α于E，连结CE，则∠DCE就是直线CD与平面α所成角∵DH⊥β，α⊥β且DH?α，∴DH∥α由此可得点D到平面α的距离等于点H到平面α的距离，即DE=∴Rt△CDE中，sin∠DCE==，即直线CD与平面α所成角的正弦值等于故选：A2. 已知点A（0，1），B（3，2），向量=（﹣4，﹣3），则向量=（）A．（﹣7，﹣4）B．（7，4）C．（﹣1，4）D．（1，4）参考答案：A【考点】9J：平面向量的坐标运算．【分析】顺序求出有向线段，然后由=求之．【解答】解：由已知点A（0，1），B（3，2），得到=（3，1），向量=（﹣4，﹣3），则向量==（﹣7，﹣4）；故答案为：A．3. 命题“，都有”的否定是（）A x>0，使得B ，都有x2－x>0C x>0，都有x2－x>0D ，使得x2－x>0参考答案：D略4. 如图，汉诺塔问题是指有3根杆子A，B，C，杆上有若干碟子，把所有的碟子从B杆移到A杆上，每次只能移动一个碟子，大的碟子不能叠在小的碟子上面，把B杆上的3个碟子全部移动倒A杆上，最少需要移动的次数是（）A、12B、9C、6D、7参考答案：D5. 已知抛物线的准线与圆相切，则的值为（）A．B．C．D．参考答案：D略6. 如图，正方形SG1G2G3中，E，F分别是G1G2，G2G3中点，D是EF与SG2的交点，现沿SE，SF及EF把这个正方形折成一个四面体，使G1，G2，G3三点重合，重合后的点记为G，则在四面体G﹣SEF中必有（）A．SD⊥平面EFG B．SE⊥GF C．EF⊥平面SEG D．SE⊥SF参考答案：B【考点】直线与平面垂直的性质．【专题】计算题；转化思想；综合法；空间位置关系与距离．【分析】根据题意，在折叠过程中，始终有SG1⊥G1E，SG3⊥G3F，即SG⊥GE，SG⊥GF，由线面垂直的判定定理，得SG⊥平面EFG，分析四个答案，即可给出正确的选择．【解答】解：在A中：设正方形的棱长为2a，则DG=a，SD=a，∵SG2≠DG2+SD2，∴SD与DG不垂直，∴SD不垂直于平面EFG，故A错误；在B 中：∵在折叠过程中，始终有SG1⊥G1E，SG3⊥G3F，∴SG⊥GE，SG⊥GF，又∵EG⊥GF，SG∩EG=G，∴GF⊥平面SEG，∵SE?平面SGE，∴SE⊥GF，故B正确；在C中：△EFG中，∵EG⊥GF，∴EF不与GF垂直，∴EF不垂直于平面SEG，故C错误；在D中：由正方形SG1G2G3中，E，F分别是G1G2，G2G3中点，得∠ESF＜∠G1SG3=90°，∴SE与SF不垂直，故D错误．故选：B．【点评】线线垂直可由线面垂直的性质推得，直线和平面垂直，这条直线就垂直于平面内所有直线，这是寻找线线垂直的重要依据．垂直问题的证明，其一般规律是“由已知想性质，由求证想判定”，也就是说，根据已知条件去思考有关的性质定理；根据要求证的结论去思考有关的判定定理，往往需要将分析与综合的思路结合起来．7. 椭圆的左右焦点分别为，若椭圆上恰好有6个不同的点，使得△F1F2P为等腰三角形，则椭圆的离心率的取值范围是（A）（B）（C）（D）参考答案：D略8. 已知直线与曲线有两个公共点，则实数的取值范围是（）A．（－2，2） B．（－1，1） C． D．参考答案：C9. 数列{a n}是等差数列，若＜﹣1，且它的前n项和S n有最大值，那么当S n取的最小正值时，n=（）A．11 B．17 C．19 D．21参考答案：C【考点】等差数列的性质．【分析】根据题意判断出d＜0、a10＞0＞a11、a10+a11＜0，利用前n项和公式和性质判断出S20＜0、S19＞0，再利用数列的单调性判断出当S n取的最小正值时n的值．【解答】解：由题意知，S n有最大值，所以d＜0，因为＜﹣1，所以a10＞0＞a11，且a10+a11＜0，所以S20=10（a1+a20）=10（a10+a11）＜0，则S19=19a10＞0，又a1＞a2＞…＞a10＞0＞a11＞a12所以S10＞S9＞…＞S2＞S1＞0，S10＞S11＞…＞S19＞0＞S20＞S21又S19﹣S1=a2+a3+…+a19=9（a10+a11）＜0，所以S19为最小正值，故选：C．10. 掷一枚质地均匀的骰子，则掷得点数为1的概率是（）A. B. C. D.参考答案：A二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11. 已知在矩形ABCD中，AB=5，BC=7，在其中任取一点P，使满足∠APB＞90°，则P点出现的概率为．参考答案：【考点】几何概型．【专题】计算题；概率与统计．【分析】在矩形ABCD内以AB为直径作半圆，如图所示．由直径所对的圆周角为直角，可得当点P位于半圆内部满足∠APB＞90°．因此，算出半圆的面积和矩形ABCD的面积，利用几何概型公式加以计算，即可得到P点出现的概率．【解答】解：在矩形ABCD内，以AB为直径作半圆，如图所示．∵P点在半圆上时，∠APB=90°，∴当点P位于半圆内部满足∠APB＞90°．∵矩形ABCD中，AB=5，BC=7，∴矩形ABCD的面积S=AB×BC=35．又∵半圆的面积S'=×π×（）2=，∴点P出现的概率为P===．故答案为：【点评】本题给出矩形ABCD，求矩形内部一点P满足∠APB＞90°的概率．着重考查了半圆、矩形的面积公式和几何概型计算公式等知识，属于基础题．12. 若方程有实根，则实数m的取值范围是▲．参考答案：由题得若方程有实根等价于=x+m有解，y=等价于：表示x 轴上方的部分椭圆，当直线y=x+m经过椭圆的又顶点（2,0）时为相交的一个临界值此时m=-2，当直线与椭圆的左上半部分相切时为第二个临界值，此时联立方程得：，求得：，因为与上半部分相交故直线与y轴的交点为正值，故m=，所以综合得：m的取值范围是.13. 由曲线，y=e x，直线x=1所围成的区域的面积为．参考答案：e﹣ln2﹣1【考点】定积分在求面积中的应用．【分析】作出两个曲线的图象，求出它们的交点，由此可得所求面积为函数y=e x﹣在区间[0，1]上的定积分的值，再用定积分计算公式加以运算即可得到本题答案．【解答】解：∵曲线，y=e x，直线x=1交点为（0，1）、（1，e）和（1，）∴曲线，y=e x，直线x=1所围图形的面积为S===﹣=e﹣ln2﹣1故答案为：e﹣ln2﹣114. 在正方体上任意选择4个顶点，它们可能是如下各种几何形体的4个顶点，这些几何形体是__________（写出所有正确结论的编号）．①矩形；②不是矩形的平行四边形；③有三个面为等腰直角三角形，有一个面为等边三角形的四面体；④每个面都是等边三角形的四面体；⑤每个面都是直角三角形的四面体．参考答案：①③④⑤考点：棱柱的结构特征．专题：综合题．分析：先画出图形，再在底面为正方形的长方体上选择适当的4个顶点，观察它们构成的几何形体的特征，从而对五个选项一一进行判断，对于正确的说法只须找出一个即可．解答：解：如图：①正确，如图四边形A1D1BC为矩形②错误任意选择4个顶点，若组成一个平面图形，则必为矩形或正方形，如四边形ABCD为正方形，四边形A1D1BC为矩形；③正确，如四面体A1ABD；④正确，如四面体A1C1BD；⑤正确，如四面体B1ABD；则正确的说法是①③④⑤．故答案为①③④⑤点评：本题主要考查了点、线、面间位置特征的判断，棱柱的结构特征，能力方面考查空间想象能力和推理论证能力，属于基础题．找出满足条件的几何图形是解答本题的关键15.已知正数x、y满足x + y = 5，若lg x + lg y ≤ k恒成立，则k的最小值是_ _ 。
