高等数学期末题库重难点知识点总结与强化训练

高数期末必考知识点总结大一高数期末必考知识点总结高等数学是大一学生必须学习的一门重要课程，它在培养学生的数学思维、分析问题和解决问题的能力方面起着重要的作用。

期末考试是对学生整个学期所学知识的总结和检验，因此掌握必考的知识点至关重要。

本文将对高数期末必考的知识点进行总结和梳理，以帮助大家更好地备考。

一、函数与极限1. 函数的基本概念和性质：定义域、值域、奇偶性等。

2. 极限的定义与性质：极限存在准则、无穷大与无穷小、夹逼定理等。

3. 重要极限的求解方法：基本初等函数的极限、无穷小的比较、洛必达法则等。

二、导数与微分1. 导数的定义与性质：导数的几何意义、导数的四则运算、高阶导数等。

2. 基本初等函数的导数：常数函数、幂函数、指数函数、对数函数等。

3. 隐函数与反函数的导数：隐函数求导、反函数的导数等。

4. 微分的定义与性质：微分的几何意义、微分中值定理等。

三、不定积分与定积分1. 不定积分的定义与基本性质：不定积分的线性性质、换元积分法等。

2. 基本初等函数的不定积分：幂函数的不定积分、三角函数的不定积分等。

3. 定积分的定义与性质：定积分的几何意义、定积分的性质等。

4. 定积分的计算方法：换元法、分部积分法、定积分的性质等。

四、微分方程1. 微分方程的基本概念：微分方程的定义、阶数、解的概念等。

2. 一阶微分方程：可分离变量的微分方程、齐次线性微分方程等。

3. 高阶线性微分方程：齐次线性微分方程、非齐次线性微分方程等。

4. 常微分方程的初值问题：初值问题的存在唯一性、解的连续性。

五、级数1. 数项级数的概念与性质：数项级数的定义、级数的收敛与发散、级数的性质等。

2. 常见级数的判别法：比较判别法、比值判别法、根值判别法等。

3. 幂级数：幂级数的收敛半径、收敛域的判定、幂级数的和函数等。

综上所述，高数期末必考的知识点主要包括函数与极限、导数与微分、不定积分与定积分、微分方程以及级数等。

在备考期末考试时，同学们要重点复习这些知识点，并通过大量的练习题来巩固和提高自己的理论水平和解题能力。

这三篇总结文章，来自于我五一给学生的几堂总结课，当时没有做书面材料，后来才想到把它们整理成文。

考虑到现在大多数人都还在进行第一轮，也就是基础阶段的复习，所以先把自己对高数知识点的总结奉上，希望对大家能有帮助。

可能以后也会有关于线代和概率的总结。

上册除了空间解析几何基本都涉及了，这是数一数二数三数四的共通内容。

下册（一）是关于多元微积分和级数的，其中数二数四的就不用看级数了。

下册（二）是关于线面积分的，数一专题。

上册：函数（高等数学的主要研究对象）极限：数列的极限（特殊）——函数的极限（一般）极限的本质是通过已知某一个量（自变量）的变化趋势，去研究和探索另外一个量（因变量）的变化趋势由极限可以推得的一些性质：局部有界性、局部保号性……应当注意到，由极限所得到的性质通常都是只在局部范围内成立在提出极限概念的时候并未涉及到函数在该点的具体情况，所以函数在某点的极限与函数在该点的取值并无必然联系连续：函数在某点的极限等于函数在该点的取值连续的本质：自变量无限接近，因变量无限接近导数的概念本质是函数增量与自变量增量的比值在自变量增量趋近于零时的极限，更简单的说法是变化率微分的概念：函数增量的线性主要部分，这个说法有两层意思，一、微分是一个线性近似，二、这个线性近似带来的误差是足够小的，实际上任何函数的增量我们都可以线性关系去近似它，但是当误差不够小时，近似的程度就不够好，这时就不能说该函数可微分了不定积分：导数的逆运算什么样的函数有不定积分定积分：由具体例子引出，本质是先分割、再综合，其中分割的作用是把不规则的整体划作规则的许多个小的部分，然后再综合，最后求极限，当极限存在时，近似成为精确什么样的函数有定积分求不定积分（定积分）的若干典型方法：换元、分部，分部积分中考虑放到积分号后面的部分，不同类型的函数有不同的优先级别，按反对幂三指的顺序来记忆定积分的几何应用和物理应用高等数学里最重要的数学思想方法：微元法微分和导数的应用：判断函数的单调性和凹凸性微分中值定理，可从几何意义去加深理解泰勒定理：本质是用多项式来逼近连续函数。

经济数学复习考试范围：教材1－5章第一章： 函数、极限与连续1．主要内容：（1） 函数的定义域（2） 函数的简单特性：有界性、单调性、周期性和奇偶性． （3） 复合函数及分段函数（4） 极限、左极限与右极限、极限的性质及四则运算法则 （5） 极限存在的两个准则、利用两个重要极限求极限的方法 （6） 无穷小、无穷大，无穷小的比较，用等价无穷小求极限（7） 函数连续性（含左连续与右连续）、函数间断点的类型（8） 闭区间上连续函数的性质（有界性定理、最值定理、零点定理与介值定理） 注意：用函数与数列的极限定义来证明极限存在、双曲函数、映射不做要求。

2．重点：求极限 3．典型例题与习题（1）§1-1 T1-10，12，13，15-17 （2）§1-2 T6（3）§1-3 例题3-9 习题1-4 （4）§1-4 例题4-7 习题1-4 （5）§1-5 例题2-8 习题1-4 （6）§1-6 例题3-9 习题1-6 （7）§1-7 例题1-7 习题1-7 （8）§1-8 例题1-7 习题2-5（9）综合练习一：1-64．典型方法（1）求定义域的方法：①若12()()y f x f x =±或12()()y f x f x =，则12f f f D D D =⋂ ②若12()()f x y f x =，则122{|()0}f f f D D D x f x =⋂-= ③若1122(),(),f x x D y f x x D ∈⎧=⎨∈⎩，则12f D D D =⋃④若()f x 定义域为a x b <<，则(())f x ϕ定义域由()a x b ϕ<<解出例1求22ln(1),2x y x x -<<=-≥⎪⎩定义域【解】(2,2)[2.)(2,)f D =-⋃+∞=-+∞ 例2求ln(1)y x =-定义域 【解】[3,3](1.)(1,3]f D =-⋂+∞=例3求y =【解】(1,2)(2,3]f D =⋃例4 设()f x 定义域为(0,1)，求()f x a +定义域 【解】由01x a <+<得， 1a x a -<<- 例5 求1ln lg y x=定义域 【解】0lg 0ln lg 0x x x >⎧⎪>⎨⎪≠⎩ 01lg 1x x x >⎧⎪⇒>⎨⎪≠⎩ 0110x x x >⎧⎪⇒>⎨⎪≠⎩，故(1,10)(10,)f D =⋃+∞例6 设()f x 定义域为(1,4)，求2()f x 定义域【解】由214x <<得， 21x -<<-或12x <<，故2()f x 定义域为(2,1)(1,2)--⋃2.求函数极限方法：利用极限的定义、极限的四则运算法则、函数式的恒等变形、两个重要极限、无穷小量及等价无穷小代换定理、函数连续性与L ’Hospital 法则例1 求下列极限（1）22sin(2)23lim[]41x x x x x →-++--； （2）0x → （3）3x → （4）10515(51)(12)lim (31)x x x x →∞+-- （5）10sin lim(1)2xx x →-； （6）11lim()1ln x x x x →+-3.证明函数连续方法：利用连续的定义、连续的四则运算法则和复合函数连续性、可导的必要条件例1 设,0(),0x e x f x x k x ⎧≤=⎨+>⎩连续，求常数k 之值。

<∈∴
==<
+
+
.=
xgxgxgxgxgxgxggxxxgxgxg
2）令
单调下降，得证。,0)('),1,0(,1)1ln(
1)(<∈.
+
=xhxxxxh
F.中值定理问题
12.设函数具有三阶连续导数，且，
]11[)(，在.xf
1)1(,0)1(==.ff
yxyxxfxxx
3. （重要极限）
121)
12(lim.
>.+
xxxxx
4.已知a、b为正常数，
xxxxba30)
2(lim+
>.
求
解：令
]2ln)[ln(3ln,)
2(
3.+=
+
=xxxxxbaxtbat
（变量替换）
2/300)(
)ln(
23)lnln(3limlnlimabtabbbaabatxxxxxx=∴
2)1(
32()1ln(2213222.
.
.+
.
.+....+.=+nnnxonxxxxxxx
=
)(
2)1(
321543nnnxonxxxx+
.
.+....+..
2!)1()0(1)(
.
.=∴.
nnfnn
E.不等式的证明
11.设，
)1,0(∈x
211)1ln(
dxdy
2.决定，求