多元函数微分学及其应用一.基本要求(1)理解多元函数的概念。
(2)了解二元函数的极限与连续性的概念及有界闭区域上连续函数的性质。
(3)理解偏导数和全微分的概念，了解全微分存在的必要条件和充分条件及全微分在近似计算中的应用。
(4)理解方向导数与梯度的概念并掌握其计算法。
(5)掌握复合函数一阶、二阶偏导数的求法。
(6)会求隐函数(包括由方程组确定的隐函数)的偏导数。
(7)了解空间曲线的切线和法平面及曲面的切平面和法线的概念，会求它的方程。
(8)了解二元函数的二阶泰勒公式。
(9)理解多元函数极值和条件极值的概念，掌握多元函数极值存在的必要条件，了解二元函数极值存在的充分条件，会用最小二乘法求二元函数的极值，会用拉格朗日乘数法求条件极值，会求简单多元函数的最大值和最小值，并会解决一些简单的实际问题。
二.主要内容多元函数某些概念之间关系的比较 1. 一元函数()f x 在0x x =2. 二元函数(,)f x y 在点),(000y x P不成立重要定理定理1在有界闭区域D 上的多元连续函数，在D 上一定有最大值和最小值.定理2在有界闭区域D 上的多元连续函数，如果在D 上取得两个不同的函数值，则它在D 上必取得介于两个值之间的任何值.定理3如果),(y x f z =的两个二阶混合偏导数x y z ∂∂∂2及y x z ∂∂∂2在区域D 内连续，那么在该区域内，必有x y z ∂∂∂2=yx z∂∂∂2.定理4如果函数),(y x f z =在点),(y x 可微，则该函数在点),(y x 的偏导数必定存在，且函数),(y x f z =在点),(y x 的全微分为dy yz dx x z dz ∂∂+∂∂= 定理5如果函数),(y x f z =的偏导数x z ∂∂，yz∂∂在点),(y x 连续，则函数在该点可微.定理6设函数),(y x f z =在点),(00y x 具有偏导数，且在点),(00y x 处有极值，则它在该点的偏导数必为零，即0),(00'=y x f x ，0),(00'=y x f y . 定理7设函数),(y x f z =在点),(00y x 的某邻域内连续且存在二阶连续偏导数，且0),(00'=y x f x ，0),(00'=y x f y记),(00y x f A xx =，),(00y x f B xy =，),(00y x f C yy =2B AC CB BA -==∆ 则(1)当0>∆时，),(y x f 在),(00y x 处具有极值，且当0<A 时，),(00y x f 是极大值，当0>A 时，),(00y x f 是极小值； (2)当0<∆时，),(00y x f 不是极值；(3)当0=∆时，),(y x f 在),(00y x 处是否有极值不能确定. 重要公式多元复合函数求导法则空间曲面的切平面与法线方程空间曲线的切线与法平面方程多元函数极值的求法重点: 理解多元函数的基本概念定义，掌握基本概念之间的关系，会求复合函数和隐函数的偏导数。
会求曲线的切线与法平面，曲面的切平面及法线的方程,掌握求多元函数极值、最值及其实际应用。
难点： 抽象的多元复合函数求偏导，多元函数的条件极值及其实际应用。
三、例题精选 极限与连续 求极限的方法:1. 利用连续的定义及初等函数的连续性，如000(,)P x y 是(,)f x y 的连续点，则000lim (,)(,)x xy y f x y f x y →→=； 2. 利用两边夹法则；3. 利用化简方法(恒等变形、因式分解、有理化、极限的运算性质、等价代换)；4. 换元法(转换为一元函数极限)。
例1 求下列极限(1) 22014lim x y xyx y→→-+, (2)2200lim x y x y x y →→++ (3)22220lim()x y x y x y +→→+(4)222222001cos()lim ()x y x y x y x y →→-++ 解：(1) 因224xyx y-+是初等函数，(0,1是其连续点，故22220(0,1)144lim4x y xy xyx y x y →→--==++(2)220x y x y x y +<<++ ,因为()00lim 0x y x y →→+=原式0=. (3)令22x y r +=，则原式0ln limlim ln 0lim1r r r r rr rr r e e→→→====(4)原式22222222222220000001()11112lim lim lim()()22x x x y y y x y x y x y x y x y y x →→→→→→++===+=+∞+ 证明极限不存在的方法:1. 若二元函数沿某一途径的极限不存在,则该函数的极限不存在；2. 若沿(,)y k x φ=途径的极限为()k ϕ，则极限不存在；3. 若沿两条不同途径的极限都存在，但不相等，则该函数的极限不存在.例2证明下列极限不存在(1) 00lim x y x yx y →→+- (2)2222200lim ()x y x y x y x y →→+- (3)10lim(1)(0)x yx y xy x y +→→++≠解：(1)令y kx =,则001lim1x y x y kx y k →→++=--与k 有关，所以极限不存在. (2)当,x y 沿y x =趋于零时，2242224000limlim 1()x x y x y x x y x y y →→→==+- 当,x y 沿2y k =趋于零时，原式44204lim04x x x x →==+, 所以原式极限不存在. (3)令3y x x =-+，则原式4231124240lim(1)lim (1)x x x x x x x x x x x x --→→⎡⎤=-+=-+⎢⎥⎣⎦421240lim(1)x x x x x e -→-+=4230lim x x x x→-不存在，所以原式极限不存在. 偏导与全微分例3证明：220(,)0,0x y z f x y x y +≠====⎩在点(0,0)连续，偏导数存在，但不可微.证明0(,)f x y ≤≤<=所以 0lim (,)0(0,0)x y f x y f →→==,即(,)f x y '00(,0)(0,0)0(0,0)limlim 0x x x f x f f xx →→-=== '00(0,)(0,0)0(0,0)limlim 0y y y f y f f yy →→-===(0,0)(0,0)z f x y f ∆=+∆+∆-=''2200(0,0)(0,0)lim lim0()()x x y y z f x f yx yx y ∆→∆→∆→∆→-∆-∆∆∆=≠∆+∆ 故 (,)z f x y =在点(0,0)不可微.例4 设二元函数222222(0(,)0,x y x y f x y x y ⎧++≠⎪=⎨⎪+=⎩(1) 求''(0,0),(0,0)x y f f ；(2) 证明''(0,0),(0,0)x y f f 在点(0,0)不连续. (3) 证明(,)f x y 在点(0,0)处可微. 解（1）用偏导数的定义计算.2'001cos(,0)(0,0)(0,0)limlim 0x x x x xf x f f xx→→-===2'001cos(0,)(0,0)(0,0)limlim 0y y y y yf y f f yy→→-===(2)当220x y +≠，'(,)2x f x y x =+'(,)2y f x y y ='00lim (,)lim 2xx x y kx f x y x →→-⎛⎫ =+ ⎝x →= 不存在而由(1)知'(0,0)0,x f =故''0lim (,)(0,0)x x x y f x y f →→≠，即'(0,0)x f 在点(0,0)处 不连续，同理可证'(0,0)y f 在点(0,0)处不连续. (3)(,)(0,0)(,)z f x y f f x y ∆=-= 只要证''0(0,0)(0,0)lim0x y z f x f yρρ→∆-∆-∆=因为0(,)lim0f x y ρρρρ→→→===故(,)f x y 在点(0,0)处可微.注：此题说明 函数可微≠偏导连续例5设zyxu1111++=，且 0>>>z y x .当变量 z y x ,,分别增加一个单位时,那个变量对u 的影响最大?分析: 由偏导数的几何意义可知,zuy u x u ∂∂∂∂∂∂,,分别表示函数 ),,(z y x u u =在点 ),,(z y x 沿x 轴方向,沿y 轴方向,沿z 轴方向的变化率.因此，只需求出u 的三个偏导数加以比较即可。
所给函数为隐函数形式。
将所给方程两端分别关于z y x ,,求偏导数,可求出三个偏导数。
由于2211x x u u -=∂∂-可得 22x u x u =∂∂。
同理可得2222,zu z u y u y u =∂∂=∂∂。
由于 0>>>z y x ，因此,0222>>>z y x222222z u y u x u << zu y u x u ∂∂<∂∂<∂∂ 可知z 对u 的变化影响最大。
例6 设 ),,()sin(y x x xy z φ+=其中φ有二阶连续偏导数，求2zx y∂∂∂.解''121cos()z y xy x yφφ∂=++∂ 2'''''1222222211cos()sin()()()z x x xy xy xy x y y y y yφφφ∂=-+⋅--+⋅-∂∂ '''''122222231cos()sin()x x xy xy xy y y y φφφ=-+--+- 注：1.求二阶偏导时，将一阶偏导''12,φφ仍认作是与(,)yx xφ具有相同的复合层次函数，这是计算中重要一环. 2. '1φ表示(,)y x xφ对第一个位置变元求偏导数.例7设),(y x f u =具有连续的二阶偏导数，且满足方程222220u u a x y∂∂-=∂∂，其中0a >为常数. 令,s y ax t y ax =-=+.证明20ux t∂=∂∂. 分析:本题有两种思路，一种是将,x y 表示成,s t 的函数;一种是将,s t 表示成,x y 的函数. 证法111(),()22x t s y t s a =-=+, 所以有11()22u u u s x a y ∂∂∂=-+⋅∂∂∂ 211()()22u u u u us t a t x t y∂∂∂∂∂=-⋅+∂∂∂∂∂∂ =222222111111222222u u u u a x a x y y x a y ⎡⎤⎡⎤∂∂∂∂-++⋅+⎢⎥⎢⎥∂∂∂∂∂∂⎣⎦⎣⎦ 222222221144u u u u a ax y a y x x y ⎡⎤⎡⎤∂∂∂∂=--+-⎢⎥⎢⎥∂∂∂∂∂∂⎣⎦⎣⎦又222220u u a x y ∂∂-=∂∂，22u u y x x y ∂∂=∂∂∂∂,所以,20u x y∂=∂∂. 证法2()()u u u u u a a a x s t t s ∂∂∂∂∂=-+=-∂∂∂∂∂ ，u u uy s t∂∂∂=+∂∂∂ 所以22222222u u s u u u y s y s t t s t ∂∂∂∂∂∂=⋅+++∂∂∂∂∂∂∂∂222222u s u us y s t t∂∂∂∂=⋅++∂∂∂∂∂22222222()()u u u u u a a a a a x t s t s s t ⎡⎤∂∂∂∂∂=-+⋅--+⎢⎥∂∂∂∂∂∂∂⎣⎦222222(2)u u u a t s t s ∂∂∂=++∂∂∂∂ 因为 222222(4)u u a a x y∂∂-=-⋅∂∂20u s t ∂=∂∂又240a -≠ ,所以20u s t ∂=∂∂. 隐函数求偏导数的解题方法：1. 公式法，对其中一个变量求偏导，将其他变量当作常数；2. 直接法，求偏导时，始终要注意函数是什么，自变量是什么；3. 微分法，利用一阶微分形式不变性。
