等腰直角三角形中的勾股定理应用

直角三角形的三边关系直角三角形是指其中一个角为直角（90度）的三角形。

在直角三角形中，三边之间存在着特殊的关系，这些关系对于数学和实际应用领域都具有重要意义。

一、勾股定理直角三角形的最重要的定理就是勾股定理，它描述了直角三角形的三边之间的关系。

勾股定理表达式如下：c^2 = a^2 + b^2其中，a和b是直角三角形的两个直角边，c是斜边（斜边是直角三角形中与直角不相邻的边）。

这个定理意味着，如果我们知道了直角三角形的两个直角边的长度，我们就可以计算出斜边的长度。

也就是说，勾股定理提供了计算直角三角形边长的方法。

二、三角函数在直角三角形中，三角函数被广泛应用来描述三边之间的关系。

常见的三角函数有正弦、余弦和正切。

1. 正弦函数（sin）：定义为直角三角形中斜边与斜边上的对边的比值。

sinA = 对边/斜边2. 余弦函数（cos）：定义为直角三角形中斜边与斜边上的邻边的比值。

cosA = 邻边/斜边3. 正切函数（tan）：定义为直角三角形中对边与邻边的比值。

tanA = 对边/邻边通过三角函数，我们可以在直角三角形中计算出任意一个角的大小。

反之，如果我们知道了三角形的某个角度和任意两个边的长度，我们也可以通过三角函数计算出第三边的长度。

三、特殊的三边关系除了勾股定理和三角函数之外，直角三角形还有一些特殊的三边关系。

1. 等腰直角三角形：当直角三角形的两个直角边相等时，称为等腰直角三角形。

在等腰直角三角形中，斜边的长度等于直角边的开根号2倍。

2. 等边直角三角形：当直角三角形的三边都相等时，称为等边直角三角形。

在等边直角三角形中，三个角都是45度。

3. 30-60-90三角形：当直角三角形的两个锐角分别为30度和60度时，称为30-60-90三角形。

在这种三角形中，边的比例关系为1:√3:2。

斜边的长度等于短直角边的开根号3倍。

4. 45-45-90三角形：当直角三角形的两个锐角都为45度时，称为45-45-90三角形。

2证法 1】（课本的证明）做 8 个全等的直角三角形，设它们的两条直角边长分别为 a 、b ，斜边长为 c ，再做三个边长分别为 a 、b 、 c 的正 方形，把它们像上图那样拼成两个正方形 .从图上可以看到，这两个正方形的边长都是 a + b ，所以面积相等 . 即证法 2】（邹元治证明）∵ Rt ΔHAE ≌ Rt ΔEBF, ∴ ∠AHE = ∠ BEF.∵ ∠AEH + ∠AHE = 90o, ∴ ∠AEH + ∠BEF = 90o.∴ ∠HEF = 180 o ― 90o= 90 o.∴ 四边形 EFGH 是一个边长为 c 的 正方形 . 它的面积等于 c 2.∵ Rt Δ GDH ≌ Rt ΔHAE,∴ ∠HGD = ∠EHA.∵ ∠HGD + ∠GHD = 90o,∴ ∠EHA + ∠GHD = 90o. 又∵ ∠GHE = 90o, ∴ ∠DHA = 90o+ 90o= 180 o.∴ ABCD 是一个边长为 a + b 的正方形，它的面积等于∠HEF = 90 o.EFGH 是一个边长为 b ―a 的正方形，它的面积等于1ab以 a 、 b 为直角边，以 c 为斜边做四个全等的直角三角形，则每个直角三角形的面积等于 角形拼成如图所示形状，使 A 、E 、B 三点在一条直线上， B 、F 、C 三点在一条直线上， 把这四个直角三 C 、G 、D 三点在一条直线上b 2 4 12 abc 24 1 ab2整理得c 21 4 ab 2c 2a 2b 2c 2【证法 3】（赵爽证明）以 a 、 b 为直角边（ b>a ）， 以 c 为斜 边作四个全等的直角三角形，则每个直角 1ab 三角形的面积等于把这四个直角三角形拼成如图所示形状∵ Rt Δ DAH ≌ Rt ΔABE, ∴ ∠HDA = ∠EAB.∵ ∠HAD + ∠HAD = 90o ， ∴ ∠EAB + ∠HAD = 90o ，∴ ABCD 是一个边长为 c 的正方形，它的面积等于 c 2. ∵ EF = FG =GH =HE = b ― a , ba1 2 24 ab b a c 2.2 2 2a b c .证法 4】（1876 年美国总统 Garfield 证明）1ab以 a 、 b 为直角边，以 c 为斜边作两个全等的直角三角形，则每个直角三角形的面积等于 角形拼成如图所示形状，使 A 、E 、B 三点在一条直线上 . 把这两个直角三∵ Rt ΔEAD ≌ Rt ΔCBE, ∴ ∠ADE = ∠BEC. ∵ ∠AED + ∠ADE = 90o, ∴ ∠AED + ∠BEC = 90o.∴ ∠DEC = 180 o ― 90o= 90 o. ∴ Δ DEC 是一个等腰直角三角形，12 c 它的面积等于 2 .又∵ ∠DAE = 90o, ∠EBC = 90o,∴ AD ∥ BC. ∴ ABCD 是一个直角梯形，它的面积等于 12 1 12a b 2 2 ab c 2 2 2 2 2 2a b c .【证法 5】（梅文鼎证明） 做四个全等的直角三角形， 设它们的两条直角边长分别为 使 D 、E 、F 在一条直线上 . 过 C 作 AC 的延长线交 DF 于点 P. ∵ D 、 E 、F 在一条直线上 , 且Rt Δ GEF ≌ Rt ΔEBD, ∴ ∠EGF = ∠BED ， ∵ ∠EGF + ∠GEF = 90 °， ∴ ∠BED + ∠GEF = 90°， ∴ ∠BEG =180o ― 90o= 90 o. 又∵ AB = BE = EG = GA = c ，∴ ABEG 是一个边长为 c 的正方形 . ∴ ∠ABC + ∠CBE = 90o.∵ Rt ΔABC ≌ Rt ΔEBD,∴ ∠ABC = ∠EBD.∴ ∠EBD + ∠CBE = 90o. 即 ∠CBD= 90o.又∵ ∠BDE = 90o ，∠ BCP = 90o ，BC = BD = a .∴ BDPC 是一个边长为 a 的正方形 . 同理， HPFG 是一个边长为 b 的正方形 .a 、b ，斜边长为 c. 把它们拼成如图那样的一个多边形，设多边形 GHCBE 的面积为 S ，则 2 21 ab 2 S2 ab,2 2S21 cab 2, ∴a2b 2c 2.【证法 6】（项明达证明） 做两个全等的直角三角形，设它们的两条直角边长分别为 a 、b （ b>a ） 形. 把它们拼成如图所示的多边形，使 E 、A 、 C 三点在一条直线上 .，斜边长为 c. 再做一个边长为 c 的正方过点 Q 作 QP ∥ BC ，交 AC 于点 P. 过点 B 作 BM ⊥ PQ ，垂足为 M ；再过点 F 作 FN ⊥ PQ ，垂足为 N. ∵ ∠BCA = 90 o ，QP ∥ BC ， ∴ ∠MPC = 90o ， ∵ BM ⊥ PQ ， ∴ ∠BMP = 90o ， ∴ BCPM 是一个矩形，即∠ MBC = 90o. ∵ ∠QBM + ∠MBA = ∠QBA = 90o ， ∠ABC + ∠MBA = ∠MBC = 90o ， ∴ ∠QBM = ∠ABC ， 又∵ ∠BMP = 90o ，∠ BCA = 90 o ，BQ = BA = c ， ∴ Rt Δ BMQ ≌ Rt ΔBCA. 同理可证 Rt Δ QNF ≌ Rt ΔAEF. 从而将问题转化为【证法 4】（梅文鼎证明） . 【证法 7】（欧几里得证明） 做三个边长分别为 a 、 b 、c 的正方形，把它们拼成如图所示形状，使 H 、 BF 、CD. 过 C 作 CL ⊥ DE ， 交 AB 于点 M ，交 DE 于点 L.∵ AF = AC ，AB = AD ， ∠FAB = ∠GAD ， ∴ ΔFAB ≌ ΔGAD ， 12a ∵ Δ FAB 的面积等于 2 ， Δ GAD 的面积等于矩形 ADLM 的面积的一半， B 三点在一条直线上，连结GK F bB 2∴ 矩形 ADLM 的面积 = a . = b 2同理可证，矩形 MLEB 的面积 ∵ 正方形 ADEB 的面积 = 矩形 ADLM 的面积 +2 2 2 ∴ c a b ，即 【证法 8】（利用相似三角形性质证明） 矩形 MLEB 的面积 2 2 2 a b c . b MAL如图，在 Rt Δ ABC 中，设直角边 AC 、 在Δ ADC 和Δ ACB 中， ∵ ∠ADC = ∠ACB = 90o ， ∠CAD = ∠BAC ， ∴ ΔADC ∽ ΔACB. AD ∶AC = AC ∶AB ， 即 AC 2AD ?AB Δ CDB ∽ Δ ACB ，从而有 BC 2 AD（杨作玫证明） BC 的长度分别为 a 、b ，斜边 AB 的长为c ，过点 C 作 CD ⊥AB ，垂足是D.同理可证， ∴ AC 2 【证法 9】 做两个全等的直角三角形， 把它们拼成如图所示的多边形 与 CB 的延长线垂直，垂足为∵ ∠BAD = 90 o ，∠ PAC = 90o ，∴ ∠DAH = ∠BAC. 又∵ ∠DHA = 90o ，∠ BCA = 90o ， AD = AB = c ， ∴ Rt Δ DHA ≌ Rt ΔBCA. ∴ DH = BC = a ，AH = AC = b . DB ?AB BC 2 BD ?AB . AB 2 ，即 a 2 b 2c 2设它们的两条直角边长分别为 a 、 b （ b>a ），斜边长为 c. 再做一个边长为 c 的正方形 . . 过A 作AF ⊥AC ，AF 交GT 于F ，AF 交DT 于 R. 过 B 作BP ⊥AF ，垂足为 P. 过 D 作DEE ，DE 交 AF 于 H. b 9 2 A由作法可知， PBCA 是一个矩形，所以 Rt ΔAPB ≌ Rt ΔBCA. 即 PB = CA = b ，AP= a ，从而 PH = b ―a.∵ Rt ΔDGT ≌ Rt ΔBCA ,Rt Δ DHA ≌ Rt ΔBCA. ∴ Rt ΔDGT ≌ Rt ΔDHA .∴ DH = DG = a ，∠ GDT = ∠HDA . 又∵ ∠DGT = 90o ，∠ DHF = 90o ，∠GDH = ∠GDT + ∠TDH = ∠HDA+ ∠TDH = 90o ， ∴ DGFH 是一个边长为 a 的正方形 .∴ GF = FH = a . TF ⊥AF ，TF = GT ―GF = b ―a .∴ TFPB 是一个直角梯形，上底 TF=b ―a ，下底 BP= b ，高 FP=a +（b ―a ） 用数字表示面积的编号（如图） ，则以 c 为边长的正方形的面积为c 2S 1S 2S 3 S 4 S 5①S 8S 3S 41b b a ? a b ab 2 1ab 2= 2S 5 S 8S 9，∴S 3S 421S8=b 2 S 1 S 8 .b 2ab 2②把②代入①，得c 2S 1S 2 2 b S 1S 8 S 8 S 9 =b 2S 2 S 9 = b 2 a 2.222a b c .【证法 10】（李锐证明）设直角三角形两直角边的长分别为 a 、 b （b>a ），斜边的长为 c. 做三个边长分别为 成如图所示形状，使 A 、E 、 G 三点在一条直线上 . 用数字表示面积的编号（如图） .∠TBE = ∠ABH = 90o ，∠TBH = ∠ABE.又∵ ∠BTH = ∠BEA = 90 o ， BT = BE = b ，∴ Rt ΔHBT ≌ Rt ΔABE.∴ HT = AE = a .∴ GH = GT ―HT = b ―a. 又∵ ∠GHF + ∠BHT = 90o ，∠DBC + ∠BHT = ∠TBH + ∠BHT = 90o ， ∴ ∠GHF = ∠DBC.∵ DB = EB ―ED = b ―a ，∠HGF = ∠BDC = 90o ，∴ Rt ΔHGF ≌ Rt ΔBDC. 即 S7 S2 .过Q 作 QM ⊥AG ，垂足是 M. 由∠BAQ = ∠BEA = 90 o ，可知 ∠ABE = ∠QAM ，而AB = AQ = c ，所以 Rt ΔABE ≌ Rt ΔQAM. 又 Rt ΔHBT ≌ Rt ΔABE. 所以 Rt Δ HBT ≌ RtΔQAM. 即 S8 S5.由 Rt Δ ABE ≌ Rt ΔQAM ，又得 QM = AE = a ，∠AQM = ∠BAE.∵ ∠AQM + ∠FQM = 90o ，∠ BAE + ∠CAR = 90 o ，∠ AQM = ∠BAE ， ∴ ∠FQM = ∠CAR.又∵ ∠QMF = ∠ARC = 90o ， QM = AR = a ，∴ Rt Δ QMF ≌ Rt ΔARC. 即 S4 S6 .S 1 S 2 S 3 S 4 S 5 S 1S 6 b 2S 3 S 7 S 8a 、b 、c 的正方形，把它们拼 b8 D61 3ME 45c7 F2C【证法 11】（利用切割线定理证明）在 Rt Δ ABC 中，设直角边 BC = a ，AC = b ，斜边 AB = c . 如图，以 B 为圆心 a 为半径作圆，交 AB 及 AB 的延长线 分别于 D 、E ，则 BD = BE = BC = a . 因为∠ BCA = 90o ，点 C 在⊙B 上，所以 AC 是⊙B 的切线 . 由切割线定理，得AC 2 AE? AD= AB BE AB BD = c a c a22= c a ， 即 b 2 c 2 a 2 ，2 2 2∴ a b c .【证法 12】（利用多列米定理证明） 在 Rt Δ ABC 中，设直角边 BC = a ，为矩形，矩形 ACBD 内接于一个圆 . 根据多列米定理，圆内接四边形对角线的乘积等于两对边乘积之和，有AB?DC AD?BC AC?BD ，∵ AB = DC = c ， AD = BC = a ，AC = BD = b ，∴AB 2 BC 2 AC 2 ，即 c 2 a 2 b 2 ， ∴ a 2 b 2 c 2 .设⊙ O 的半径为 r.又∵ S 72aS 2 b 2S 8S 5 ，S 4S6，S 1S 6 S 3 S 7 S 8=S 1S 4 S 3 S 2 S 52=cb 2c 212r c c r 2= 2= r24 r rc4S ABCrcB 作 BD ∥ CA ，则 ACBD【证法 13】（作直角三角形的内切圆证明） 在 Rt Δ ABC 中，设直角边 BC = a ，AC = b ，斜边 AB = AbC c. 作 Rt ΔABC 的内切圆⊙ O ，切点分别为 D 、 E 、F （如图），AC BC AB AE CE BD CD=C ECD = r + r = 2r,即 ab c 2r ，ab 2rc .ab22r 2 c，即2a b22ab4r2rc2 c，S ABC12ab，2ab4S ABC ，又∵ S ABC S AOB S BOC1 111 S AOC =cr ar br a b c r2 2 2 =2AC = b ，斜边 AB = c （如图） . 过点 A 作 AD ∥CB ，过点 ∵ AE = AF ，BF = BD ，CD = CE ，【证法 16】（陈杰证明） 设直角三角形两直角边的长分别为 拼成如图所示形状，使 E 、 H 、M 三点在一条直线上 . 用数字表示面积的编号（如图） 在 EH = b 上截取 ED = a ，连结 DA 、 DC ， 则 AD = c .∵ EM = EH + HM = b + a , ED = a ， ∴ DM = EM ―ED = b a ―a = b . 又∵ ∠CMD = 90o ， CM = a ， ∠AED =90o ， AE = b ，∴ Rt ΔAED ≌ Rt ΔDMC.∴ ∠EAD = ∠MDC ，DC = AD = c . ∵ ∠ADE + ∠ADC+ ∠MDC =180o ，∠ADE + ∠MDC = ∠ADE + ∠EAD = 90o ，∴4 r 2 rc 2ab ，∴，∴a 2b 2 2ab 2abc 2 ， 【证法 14】（利用反证法证明） 如图，在 Rt ΔABC 中，设直角边 AC 、 2 2 2 2假设 a b c ，即假设 ACAB 2 AB?AB = AB AD 可知AC AB ? AD ，或者 BC 在Δ ADC 和Δ ACB 中，∵ ∠A = ∠ A ，∴ 若 AD ： AC ≠ AC ：AB ，则 ∠ ADC ≠∠ ACB. 在Δ CDB 和Δ ACB 中， ∵ ∠B = ∠B ，∴ 若 BD ：BC ≠ BC ：AB ，则 ∠ CDB ≠∠ ACB. 又∵ ∠ACB = 90o ，∴ ∠ ADC ≠ 90o ，∠ CDB ≠ 90o.2这与作法 CD ⊥ AB 矛盾. 所以， AC2 b 2a 2b 2c 2a 、b ，斜边 AB 的长为c ，过点 C 作 CD ⊥AB ，垂足是D. BC 2 AB 2，则由 BD = AB ?AD BC 的长度分别为 AB ?BD . 即 AD ： BC 2证法 AB ?BDAC ≠AC ：AB ，或者 BD ： BC ≠BC ：AB.2 AB 2的假设不能成立 .2c.设直角三角形两直角边的长分别为 方左图所示的几个部分，则正方形 ABCD 的面积为b ，斜边的长为 abc. 2 作边长是 a 2 b 2 a+b 的正方形 ABCD. 把正方形 ABCD 划分成上2ab ；把正方形 ABCD 划分成上方右图所示的 b 2几个部分，则正方形 ABCD 的面积为a 2b 2 2ab 2abc 2b 2 1ab 22c . c 2=2ab c 2a 、b b>a ），斜边的长为 c. 做两个边长分别为 a 、 b 的正方形（ b>a ），把它们辛卜松证明）15】 a 、 C∴ ∠ ADC = 90o.∴ 作 AB ∥DC ，CB ∥DA ，则 ABCD 是一个边长为 c 的正方形 . ∵ ∠BAF + ∠FAD = ∠DAE + ∠FAD = 90 o ， ∴ ∠BAF=∠ DAE.连结 FB ，在Δ ABF 和Δ ADE 中，∵ AB =AD = c ，AE = AF = b ，∠ BAF=∠ DAE ，∴ ΔABF ≌ ΔADE.∴ ∠AFB = ∠AED = 90 o ， BF = DE = a . ∴ 点 B 、F 、G 、 H 在一条直线上 . 在 Rt Δ ABF 和 Rt ΔBCG 中，AB = BC = c ， BF = CG = a ， Rt ΔABF ≌ Rt ΔBCG.2cS 2 S 3 S 4S5，bS 1 S 2 S 6 ，a S 3 S 7S 1S 5S 4S 6 S 72ab 2S 3S 7S 1S 2S 6=S 2 S 3 S 1 S 6 S 7=S 2S 3 S 4S 5=c 22ab 2c 2勾股定理在实际生活中的应用勾股定理是几何中几个最重要的定理之一，它揭示了一个直角三角形三边之间的数量关系，是我们在直角三角形中解决边长计算问题的重要理论依据，同时勾股定理在我 们实际生活中应用也很广泛。

勾股定理知识点及其十五种应用归纳梳理知识点概括一：直角三角形与勾股定理直角三角形三边的性质：1、 直角三角形的两个锐角互余2、 直角三角形斜边的中线，等于斜边的一半3、 直角三角形中30°角所对的边是斜边的一半勾股定理概念：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方；表示方法：如果直角三角形的两直角边分别为a ，b ，斜边为c ，那么222a b c +=适用范围：勾股定理揭示了直角三角形三条边之间所存在的数量关系，它只适用于直角三角形，因而在应用勾股定理时，必须明了所考察的对象是直角三角形。

勾股定理的证明：勾股定理的证明方法很多，常见的是拼图的方法①图形进过割补拼接后，只要没有重叠，没有空隙，面积不会改变②根据同一种图形的面积不同的表示方法，列出等式，推导出勾股定理二：勾股数勾股数概念：能够构成直角三角形的三边长的三个正整数称为勾股数，即222a b c +=中，a ，b ，c 为正整数时，称a ，b ，c 为一组勾股数。

常见的勾股数：如3,4,5；6,8,10；5,12,13；7,24,25等扩展：用含字母的代数式表示n 组勾股数1）221,2,1n n n -+（2,n ≥n 为正整数）；2）2221,22,221n n n n n ++++（n 为正整数）3）2222,2,m n mn m n -+（,m n >m ，n 为正整数）。

注意：每组勾股数的相同整数倍，也是勾股数 应用1 勾股定理理解三角形例题1 在⊙O 中，直径AB ＝15，弦DE ⊥AB 于点C ．若OC ：OB ＝3 ：5，则DE 的长为（ ） A ．6 B ．9 C ．12 D ．15【解析】如图所示：∵直径AB ＝15，∴BO ＝7.5，∵OC ：OB ＝3：5，∴CO ＝4.5∵DE ⊥AB ，∴DC 6，∴DE ＝2DC ＝12，选C变式1 如图，在Rt △ACB 中，900.5C sinB ∠=︒=，，若6AC =，则BC 的长为（ ）A ．8B ．12C ．D ．【解析】∵s i nB =AC AB=0.5，∴AB =2AC ，∵AC =6，∴AB =12，∴BC ，选C 变式2 如图，Rt △ABC 中，∠ACB = 90°，AB = 5，AC = 3，把Rt △ABC 沿直线BC 向右平移3个单位长度得到△A 'B 'C ' ，则四边形ABC 'A '的面积是 （ ）A ．15B ．18C ．20D ．22【解析】在Rt △ACB 中，∠ACB =90°，AB =5，AC =3，由勾股定理可得： ∵Rt △A ’C ’B ’是由Rt △ACB 平移得来，A ’C ’=AC =3，B ’C ’=BC =4 ∴A'C'B 11S =A'C'B'C'=34622⋅⋅⨯⨯=△，又∵BB ’=3，A ’C ’= 3，∴ABB'A'S BB'A 'C'339=⨯=⨯=四边形 ∴A'C'B'ABC'A'ABB'A'S S S =96=15=++△四边形四边形，选A变式3 某几何体的三视图及相关数据(单位:cm )如图所示，则该几何体的侧面积是（ ）A ．2652cm πB ．260cm πC ．265cm πD ．2130cm π【解析】由三视图可判断出该几何体为圆锥，圆锥的高为12cm ，底部圆的半径为5cm ，∴圆锥母线长为：l cm ，又∵S =R l π⋅⋅圆锥侧，将R =5cm ，=13l cm 代入，∴2S ==65()R l cm ππ⋅⋅圆锥侧，选C应用2 勾股定理与网格问题例题2 如图，在3×3的网格中，每个小正方形的边长均为1，点A ，B ，C 都在格点上，若BD 是△ABC 的高，则BD 的长为（ ）A B C D【解析】由勾股定理得：AC S △ABC ＝3×3﹣111121323222⨯⨯-⨯⨯-⨯⨯＝72∴1722AC BD ⋅=BD 7=，∴BD D ． 变式4 如图，在45⨯的正方形网格中，每个小正方形的边长都是1，△ABC 的顶点都在这些小正方形的顶点上，那么sin ACB ∠的值为（ ）．A B C ．35 D ．45【解析】如图，过点A 作AD BC ⊥于点D ，则90ADC ∠=︒∴5AC ==，∴4sin 5AD ACB AC ∠==，选D 变式5 如图所示，ABC ∆的顶点在正方形网格的格点上，则tan A 的值为（ ）A ．12B ．2C ．2D ．【解析】如图，取格点E ，连接BE ，由题意得：90AEB =︒∠，BE =，AE ，∴1tan =2BE A AE ==，选A 应用3 利用勾股定理解决折叠问题例题3 如图，把某矩形纸片ABCD 沿EF ，GH 折叠（点E 、H 在AD 边上，点F ，G 在BC 边上），使点B 和点C 落在AD 边上同一点P 处，A 点的对称点为A '、D 点的对称点为D ，若90FPG ，A EP △为8，D PH △的面积为2，则矩形ABCD 的长为（ ）A．10 B ．C ．10 D ．+【解析】∵四边形ABC 是矩形，∴AB =CD ，AD =BC ，设AB =CD =x ，由翻折可知：P A ′=AB =x ，PD ′=CD =x ，∵△A ′EP 的面积为8，△D ′PH 的面积为2，又∵90FPG ，∠A ′PF =∠D ′PG =90°，∴∠A ′P D ′=90°，则∠A ′PE +∠D ′PH =90°，∴∠A ′PE =∠D ′HP ， ∴△A ′EP ∽△D ′PH ，∴A ′P 2：D ′H 2=8：2，∴A ′P ：D ′H =2：1，∵A ′P =x ，∴D ′H =12x ，∵S △D ′PH =12D ′P ·D ′H =12A ′P ·D ′H ，即11222x x ⋅⋅=，∴x （负根舍弃），∴AB =CD D ′H =DH ，D ′P =A ′P =CD ，A ′E =2D ′P ，∴PE =PH =，∴AD =D变式6 如图，对折矩形纸片ABCD ，使AD 与BC 重合，得到折痕EF ；把纸片展平后再次折叠，使点A 落在EF 上的点A '处，得到折痕BM ，BM 与FF 相交于点N ．若直线B A ’交直线CD 于点O ，BC ＝5，EN ＝1，则OD 的长为（ ）A B C D 【解析】∵EN =1，∴由中位线定理得AM =2由折叠的性质可得A ′M =2，∵AD ∥EF ，∴∠AMB =∠A ′NM∵∠AMB =∠A ′MB ，∴∠A ′NM =∠A ′MB ，∴A ′N =2，∴A ′E =3，A ′F =2过M 点作MG ⊥EF 于G ，∴NG =EN =1，∴A ′G =1（微信公众号：数学第六感）由勾股定理得MG =，∴BE =DF =MG∴OF ：BE =2：3，解得OF OD B 变式7 如图，三角形纸片ABC ，点D 是BC 边上一点，连接AD ，把ABD △沿着AD 翻折，得到△AED ，DE 与AC 交于点G ，连接BE 交AD 于点F .若DG GE =，3AF =，2BF =，△ADG 的面积为2，则点F 到BC 的距离为( )A B C D【分析】首先求出△ABD 的面积．根据三角形的面积公式求出DF ，设点F 到BD 的距离为h ，根据12•BD •h ＝12•BF •DF ，求出BD 即可解决问题．∴S △ADG ＝S △AEG ＝2，∴S △ADE ＝4 由翻折可知，ADB ≌ADE ，BE ⊥AD ，∴S △ABD ＝S △ADE ＝4，∠BFD ＝90°，∴12•（AF +DF ）•BF ＝4∴12•（3+DF ）•2＝4，∴DF ＝1，∴DB设点F 到BD 的距离为h ，则12•BD •h ＝12•BF •DF ，∴h ，选B 应用4 利用勾股定理证明线段的平方关系例题4 如图，在△ABC 中，AD ，BE 分别是BC ，AC 边上的中线，且AD ⊥BE ，垂足为点F ，设BC ＝a ，AC ＝b ，AB ＝c ，则下列关系式中成立的是（ ）A ．a 2+b 2＝5c 2B ．a 2+b 2＝4c 2C ．a 2+b 2＝3c 2D ．a 2+b 2＝2c 2【解析】设EF ＝x ，DF ＝y ，∵AD ，BE 分别是BC ，AC 边上的中线，∴点F 为△ABC 的重心，AF ＝AC ＝b ，BD ＝a ，∴AF ＝2DF ＝2y ，BF ＝2EF ＝2x ，∵AD ⊥BE ，∴∠AFB ＝∠AFE ＝∠BFD ＝90°，在Rt △AFB 中，4x 2+4y 2＝c 2，①在Rt △AEF 中，4x 2+y 2＝b 2，②；在Rt △BFD 中，x 2+4y 2＝a 2，③②+③得5x 2+5y 2＝（a 2+b 2），∴4x 2+4y 2＝（a 2+b 2），④①﹣④得c 2﹣（a 2+b 2）＝0，即a 2+b 2＝5c 2．选A ．变式8 对角线互相垂直的四边形叫做“垂美”四边形，现有如图所示的“垂美”四边形ABCD ，对角线AC BD 、交于点O ．若24AD BC ==，，则22AB CD +=__________．【解析】∵四边形ABCD 是垂美四边形，∴AC ⊥BD∴∠AOD =∠AOB =∠BOC =∠COD =90°，由勾股定理得，AD 2+BC 2=AO 2+DO 2+BO 2+CO 2AB 2+CD 2=AO 2+BO 2+CO 2+DO 2，∴AD 2+BC 2=AB 2+CD 2，∵AD =2，BC =4∴22AB CD +=AD 2+BC 2=22+42=20变式9 如图，在△ABC 中，90,ACB AC BC ∠=︒=，点P 在斜边AB 上，以PC 为直角边作等腰直角三角形PCQ ，90PCQ ∠=︒，则222,,PA PB PC 三者之间的数量关系是_____．【解析】过点C 作CD ⊥AB ，交AB 于点D ，∵△ACB 为等腰直角三角形，CD ⊥AB ，∴CD =AD =DB ，∵P A 2=（AD -PD ）2=（CD -PD ）2=CD 2-2CD •PD +PD 2，PB 2=（BD +PD ）2=（CD +PD ）2=CD 2-2CD •PD +PD 2，∴P A 2+PB 2=2CD 2+2PD 2=2（CD 2+PD 2），在Rt △PCD 中，由勾股定理可得PC 2=CD 2+PD 2，∴P A 2+PB 2=2PC 2，应用5 利用勾股定理解决实际问题：求梯子滑落高度例题5 如图，一个梯子AB 长2.5米，顶端A 靠在墙AC 上，这时梯子下端B 与墙角C 距离为1.5米，梯子滑动后停在DE 的位置上，测得BD 长为0.5米，则梯子顶端A 下落了（ ）米．A ．0.5B ．1C ．1.5D ．2【解析】在Rt △ABC 中，AB =2.5米，BC =1.5米，故AC 米．在Rt △ECD 中，AB =DE =2.5米，CD =（1.5+0.5）米，故EC 米， 故AE =AC ﹣CE =2﹣1.5=0.5米．选A ．变式10 如图所示，一架梯子AB 长2.5米，顶端A 靠在墙AC 上，此时梯子下端B 与墙角C 的距离为1.5米，当梯子滑动后停在DE 的位置上，测得BD 长为0.9米．则梯子顶端A 沿墙下移了______米．【解析】由题意得： 2.5AB =米， 1.5BC =米∴在Rt ACB ∆中，AC 2=AB 2-BC 2=2.52-1.52=4，∴AC =2米，∵BD =0.9米，∴CD =2.4米．∵ED AB =∴在Rt ECD ∆中，EC 2=ED 2-CD 2=2.52-2.42=0.49，∴EC =0.7米，∴AE =2-0.7=1.3米．变式11 如图，墙面AC 与地面BC 垂直，一个梯子AB 长2.5 米，顶端A 靠在墙AC 上，这时梯子下端B 与墙角C 距离为1.5米，梯子滑动后停在DE 的位置上，测得BD 长为0.9米，则梯子顶端A 下落了_____米.【分析】要求下滑的距离,显然需要分别放到两个直角三角形中,运用勾股定理求得AC 和CE 的长即可【解析】在Rt △ACB 中,AC 2=AB 2-BC 2=2.52-1.52=4，∴AC =2,∵BD =0.9，∴CD =2.4.在Rt △ECD 中,EC 2=ED 2-CD 2=2.52-2.42=0.49∴.EC =0.7∴AE =AC -EC =2-0.7=1.3应用6 利用勾股定理解决实际问题：求旗杆高度例题6 从电线杆离地面8米处拉一根长为10m 的缆绳，这条缆绳在地面的固定点距离电线杆底部有( )． A ．2 B ．4 C ．6 D ．8【分析】首先根据题意画出图形，得到一个直角三角形．根据勾股定理，即可解答．【解析】由题意得，在Rt △ABC 中，AC ＝8，AB ＝10，所以BC ＝6．选C变式12 如图，小华将升旗的绳子拉到竖直旗杆底端，绳子末端刚好接触到地面，然后将绳子末端拉到距离旗杆8m 处，此时绳子末端距离地面2m ，则绳子的长度为____m ．【解析】设绳子长度为xm ，则AC AD xm ==，(2)AB x m =-，8BC m =，在Rt ABC 中，222AB BC AC +=，即222(2)8x x -+=，解得：17x =，绳子的长度为17m ．应用7 利用勾股定理解决实际问题：求蚂蚁爬行距离例题7 如图，圆柱的高为8cm ，底面半径为6πcm ，一只蚂蚁从点A 沿圆柱外壁爬到点B 处吃食，要爬行的最短路程是（ ）A ．6cmB ．8cmC ．10cmD ．12cm【解析】底面圆周长为6212ππ=cm ，底面半圆弧长为6cm ，展开图如图所示，连接AB ，∵BC =8cm ，AC =6cm ，∴22226810AB AC BC ，选C 变式13 如图，有一只小鸟从小树顶飞到大树顶上，它飞行的最短路程是（ ）A ．13米B ．12米C ．5米D 米【解析】如图所示，过D 点作DE ⊥AB ，垂足为E ,∵AB =13，CD =8，又∵BE =CD ，DE =BC ，∴AE =AB −BE =AB −CD =13−8=5,∴在Rt △ADE 中，DE =BC =12，∴22222512169,AD AE DE =+=+= ∴AD =13（负值舍去） 故小鸟飞行的最短路程为13m ，选A应用8 利用勾股定理解决实际问题：求大树折断前的高度例题8“折竹抵地”问题源自《九章算术》中，即：今有竹高一丈，末折抵地，去本四尺，问折者高几何？意思是：一根竹子，原高一丈，一阵风将竹子折断，其竹梢恰好抵地，抵地处离竹子底部4尺远(如图)，则折断后的竹子高度为多少尺？(1丈=10尺)()A．3B．5C．4.2D．4【解析】设折断处离地面的高度OA是x尺，根据题意可得：x2+42=（10-x）2解得：x=4.2，答：折断处离地面的高度OA是4.2尺，选C变式14《九章算术》是我国古代一部著名的数学专著，其中记载了一个“折竹抵地”问题：今有竹高一丈，末折抵地，去本三尺，问折者高几何？其意思是：有一根与地面垂直且高一丈的竹子（1丈＝10尺），现被大风折断成两截，尖端落在地面上，竹尖与竹根的距离为三尺．问折断处高地面的距离为（）A．5.45尺B．4.55尺C．5.8尺D．4.2尺【分析】设折断后的竹子的高为x尺，根据勾股定理列出方程求解即可.【解析】设折断后的竹子高AC为x尺，则AB长为（10﹣x）尺，根据勾股定理得：AC2＋BC2＝AB2，即：x2＋32＝（10﹣x）2，解得：x＝4.55，选B.变式15如图，一根竖直的木杆在离地面3.1m处折断，木杆顶端落在地面上，且与地面成38°角，则木杆折断之前高度约为__________．（参考数据：sin380.62,cos380.79,tan380.78︒≈︒≈︒≈）【解析】如图： 3.1,38AC B =∠=︒∴ 3.15sin 0.62AC AB B ===，∴木杆折断之前高度()3.158.1AC AB m =+=+=，故答案为8.1m 应用9 利用勾股定理解决实际问题：求水杯中筷子长度问题例题9 我国古代数学著作《九章算术》记载了一道有趣的问题．原文是：今有池方一丈，葭生其中央，出水一尺，引葭赴岸，适与岸齐．问水深、葭长各几何．译为：有一个水池，水面是一个边长为10尺的正方形，在水池正中央有一根芦苇，它高出水面1尺，如果把这根芦苇拉向水池一边的中点，它的顶端恰好到达池边的水面，水的深度与这根芦苇的长度分别是多少？设芦苇的长度是x 尺．根据题意，可列方程为（ ）A ．22210(1)x x +=+B ．222(1)5x x -+=C ．2225(1)x x +=+D ．222(1)10x x -+=【解析】设芦苇的长度是x 尺，如下图，则()1OA x =-，5AB =，OB x =在Rt AOB 中，222OA AB OB +=，即()22215x x -+=，选B变式16如图，将一根长12cm的筷子置于底面半径为3cm，高为8cm的圆柱形杯子中，则筷子露在杯子外面的长度h至少为_______cm．【解析】如图所示，筷子、圆柱的高、圆柱的直径正好构成直角三角形，∵圆柱杯子的底面半径为3cm，高为8cm，∴筷子在圆柱里面的最大长度cm∴筷子露在杯子外面的长度至少为12－10=2cm变式17无盖圆柱形杯子的展开图如图所示．将一根长为20cm的细木筷斜放在该杯子内，木筷露在杯子外面的部分至少有__________cm．【解析】＝15，则木筷露在杯子外面的部分至少有：20−15＝5（cm）．故答案为5．应用10利用勾股定理解决实际问题：解决航海问题例题10如图，快艇从A地出发，要到距离A地10海里的C地去，先沿北偏东70°方向走了8海里，到达B 地，然后再从B地走了6海里到达C地，此时快艇位于B地的（）．A．北偏东20°方向上B．北偏西20°方向上C．北偏西30°方向上D．北偏西40°方向上【解析】∵AC=10海里，AB=8海里，BC=6海里，根据勾股定理的逆定理可知222=AB BC AC +，∴∠ABC =90°，∵∠DAB =70°，AD ∥BE ，∴∠ABE =110°，则∠CBE =110°－90°=20°，即点C 在点B 的北偏西20°方向上，选B变式18 如图，海中有一小岛A ，它周围10.5海里内有暗礁，渔船跟踪鱼群由西向东航行．在B 点测得小岛A 在北偏东60°方向上，航行12海里到达D 点，这时测得小岛A 在北偏东30°方向上．如果渔船不改变航线继续向东航行，那么渔船还需航行_____海里就开始有触礁的危险．【解析】只要求出A 到BD 的最短距离是否在以A 为圆心，以10.5海里的圆内或圆上即可，如图，过A 作AC ⊥BD 于点C ，则AC 的长是A 到BD 的最短距离，∵∠CAD ＝30°，∠CAB ＝60°，∴∠BAD ＝60°﹣30°＝30°，∠ABD ＝90°﹣60°＝30°，∴∠ABD ＝∠BAD ， ∴BD ＝AD ＝12海里，∵∠CAD ＝30°，∠ACD ＝90°，∴CD ＝12AD ＝6海里，由勾股定理得：AC （海里），如图，设渔船还需航行x 海里就开始有触礁的危险，即到达点D ′时有触礁的危险，在直角△AD ′C 中，由勾股定理得：（6﹣x ）2+（2＝10.52，解得x ＝4.5渔船还需航行 4.5海里就开始有触礁的危险．变式19 一艘轮船在小岛A 的北偏东60︒方向距小岛60海里的B 处，沿正西方向航行3小时后到达小岛的北偏西45︒的C 处，则该船行驶的速度为_____海里/小时．【解析】如图，过点A 作AD BC ⊥于点D ，由题意得：60,45BAD CAD ∠=︒∠=︒，60AB =海里， 在Rt ABD △中，9030B BAD ∠=︒-∠=︒，60AB =海里，1302AD AB ∴==海里，BD = 在Rt ACD △中，45CAD ∠=︒，Rt ACD ∴△是等腰直角三角形，30CD AD ∴==海里，(30BC CD BD ∴=+=+海里，则该船行驶的速度为(103BC =+海里/小时， 应用11 利用勾股定理解决实际问题：求河宽 例题11 如图，为了测量池塘的宽度DE ，在池塘周围的平地上选择了A 、B 、C 三点，且A 、D 、E 、C 四点在同一条直线上，90C ∠=︒，已测得100m AB =，60m BC =，20m AD =，10m EC =，则池塘的宽度DE （ ）A ．80mB ．60mC ．50mD ．40m【解析】在Rt △ABC 中，AC 80m所以DE ＝AC −AD −EC ＝80−20−10＝50m ，选C变式20 一条河的宽度处处相等，小强想从河的南岸横游到北岸去，由于水流影响，小强上岸地点偏离目标地点200m ，他在水中实际游了520m ，那么该河的宽度为（ ）A ．440mB ．460mC ．480mD ．500m【解析】根据已知数据，运用勾股定理求得AB 480m ，答：该河流的宽度为480m ．选C变式21 如图，为了求出湖两岸A 、B 两点之间的距离，观测者从测点A 、B 分别测得90BAC ∠=︒，又量得9AC m =，15BC m =，则A 、B 两点之间的距离为（ ）A ．10mB ．11mC ．12mD ．13m【解析】90BAC ∠=︒，9AC m =，15BC m =，()12AB m ∴===，选C ． 应用12 利用勾股定理解决实际问题：求台阶上的地毯长度例题12 地面上铺设了长为20cm ，宽为10cm 的地砖，长方形地毯的位置如图所示．那么地毯的长度最接近多少？（ ）A ．50cmB ．100cmC ．150cmD ．200cm【解析】观察图像可知，地毯长可以看做是10个等腰直角三角形的斜边长度之和则斜边=∴长方形地毯的长为：＝≈141.4cm ，选C变式22 在高5m ，长13m 的一段台阶上铺上地毯，台阶的剖面图如图所示，地毯的长度至少需要（ ）A ．13mB ．5mC ．12mD ．17m【解析】由勾股定理，12AC ===，则地毯总长为12+5=17（m ），选D 变式23 一个三级台阶，它的每一级的长宽和高分别为20、3、2，A 和B 是这个台阶两个相对的端点，A 点有一只蚂蚁，想到B 点去吃可口的食物，则蚂蚁沿着台阶面爬到B 点最短路程为（ ）A B ．25 C ．30 D ．35【解析】如图所示，∵三级台阶平面展开图为长方形，长为20，宽为(2+3)×3∴蚂蚁沿台阶面爬行到B 点最短路程是此长方形的对角线长AB ．由勾股定理得：2AB =220+()2[233]+⨯=225，解得25AB =，选B 应用13 利用勾股定理解决实际问题：判断是否超速例题13 如图，一辆小汽车在一条城市街路上直道行驶，某一时刻刚好行驶到路对面车速检测仪A 处的正前方30m 的C 处，过了2s 后，测得小汽车与车速检测仪间的距离为50m ，则这辆小汽车的速度是__m /s ．【解析】在Rt △ABC 中，AC =30m ，AB =50m ，据勾股定理可得：BC （m ） 故小汽车的速度为v=402=20m /s 变式24 《中华人民共和国道路交通管理条例》规定，小汽车在城市街道上的行驶速度不得超过70km /h .如图所示，一辆小汽车在一条城市街道沿直道向B 处行驶.某一时刻刚好行驶到路对面车速检测仪A 正前方30m 处的点C ，过了2s 后，测得小汽车与车速检测仪之间的距离AB 为50m ，这辆小汽车________.（填“超速”或“不超速”）【解析】在Rt ABC ∆中，2222250301600BC AB AC =-=--，所以40m BC =. 因此，小汽车的速度为()4020m/s 2=.20m/s 72km/h 70km/h => 故这辆小汽车超速.变式25 如图，小明家（A ）在小亮家（B ）的正北方，某日，小明与小亮约好去图书馆（D ），一小明行走的路线是A →C →D ，小亮行走的路线是B →C →D ，已知3km AB =，4km BC =，5km CD =，90ABC ∠=︒，已知小明骑自行车速度为a km /分钟，小亮走路，速度为0.1km 分钟。

勾股定理常见错例剖勾股定理是数学中非常重要的一个定理，不仅在初中数学中经常被使用，同时在高中和大学中也是非常常见的数学工具之一。

然而，由于勾股定理的使用过程比较复杂，因此在实际解题中也很容易出现一些错误。

下面将就勾股定理常见错例剖做以介绍。

首先，勾股定理最常见的错误是计算公式出错。

勾股定理的表示方法为：a²+b²=c²，其中a、b分别为直角边，c为斜边。

然而，很多学生在计算时会出现计算公式的错误，导致最终得到的结果不正确。

例如，一道常见的题目为：已知一个等腰直角三角形的直角边为3cm，求它的斜边长。

根据勾股定理，可以得到：3²+3²=c²，简化后可得：c=3√2，即斜边长为3√2cm。

然而，如果计算公式出错，可能会得到不正确的答案。

其次，勾股定理的使用条件也是一个比较容易出问题的地方。

勾股定理只能用于直角三角形，如果使用在非直角三角形中，就会导致错误的结果。

有些学生在解题时不加思考地使用勾股定理，导致得出的结果不符合实际。

因此，在使用勾股定理时，一定要首先确定这个三角形是否为直角三角形，否则勾股定理就不能生效。

第三，勾股定理的使用方法也是一个容易出错的地方。

很多学生在使用勾股定理时，并没有对a、b两条直角边进行正确的辨别，导致最终结果的错误。

此外，还可能会出现勾股定理与勾三股四五倍角、三弦定理等其他定理的混淆，导致最终结果的错误。

因此，在使用勾股定理时，一定要先仔细观察题目，分析其解题思路，尽可能准确地使用勾股定理。

最后，勾股定理的实际应用也是一个容易出错的地方。

在实际使用中，勾股定理经常用于计算斜杠长度和斜坡长度等问题。

然而，在实际问题中，所涉及的条件比较复杂，可能存在多种解决方法。

因此，在应用勾股定理时，一定要充分了解问题的背景和条件，避免出现不恰当的使用。

综上所述，勾股定理是数学学习中非常重要的一个定理，但在实际解题中也容易出现一些错误。

等腰直角三角形直角边和斜边的关系等腰直角三角形是我们初中数学学习的一个重要知识点。

在求解等腰直角三角形问题时，直角边和斜边是两个重要参数。

本文将深入探讨等腰直角三角形直角边和斜边的关系，希望能帮助大家更好地理解这一知识点。

一、什么是等腰直角三角形？等腰直角三角形是一类特殊的三角形，它的两条直角边的长度相等，而斜边长度则是直角边长度的√2倍。

用符号表示为：a=a,b=a,c=a√2,其中a表示直角边的长度，c表示斜边长度。

二、直角边和斜边的关系在一个等腰直角三角形中，直角边和斜边之间有着特定的数学关系。

我们可以通过勾股定理来证明这一关系。

勾股定理是数学中的基本定理之一，它表明：在直角三角形中，直角边的平方之和等于斜边的平方。

也就是说，如果我们已知一个等腰直角三角形的直角边长度为a，那么斜边的长度就可以表示为a√2。

三、求解等腰直角三角形的方法在求解等腰直角三角形问题时，我们通常需要求出其直角边和斜边的长度。

下面是一个具体的求解过程：假设我们已知等腰直角三角形的直角边长度为a，现在需要求解其斜边的长度c。

根据勾股定理，我们可以得到以下公式：c² = a² + a²c² = 2a²c = √(2a²)c = a√2因此，等腰直角三角形的斜边长度可以表示为直角边长度的a√2倍。

四、等腰直角三角形在实际中的应用等腰直角三角形不仅是我们数学课本中的一个知识点，它在实际中也有着广泛的应用。

比如，在建筑工程中，工人需要使用等腰直角三角形来测量墙角的正对角线长度；在制作长方形画框时，我们也需要使用等腰直角三角形来确定其对角线的长度。

总之，等腰直角三角形是一个重要的数学知识点，它涉及到了直角边和斜边之间的特定关系。

我们在学习和应用等腰直角三角形时，需要深入掌握其相关概念和求解方法，从而更好地理解并应用这一知识点。

等腰直角勾股定理等腰直角勾股定理是数学中的一条重要定理，它是勾股定理的一个特例。

在几何学中，直角三角形是最基本的三角形之一，而等腰直角三角形则更为特殊和规则。

本文将重点介绍等腰直角勾股定理的概念、证明方法和应用场景。

一、概念等腰直角三角形是指一个直角三角形的两条腰相等的三角形。

在等腰直角三角形中，有一个重要的关系：斜边的长度等于腰长的平方根的两倍。

这就是等腰直角勾股定理。

二、证明方法等腰直角勾股定理的证明可以通过几何方法和代数方法来实现。

几何方法：假设有一个等腰直角三角形ABC，其中∠ABC=90°，AB=AC=x，BC=y。

通过勾股定理可得：AB²+AC²=BC²。

由于AB=AC=x，所以x²+x²=BC²。

化简得：2x²=BC²。

再由于BC=y，所以2x²=y²。

因此，等腰直角三角形的斜边长等于腰长的平方根的两倍。

代数方法：同样假设有一个等腰直角三角形ABC，其中∠ABC=90°，AB=AC=x，BC=y。

通过勾股定理可得：AB²+AC²=BC²。

由于AB=AC=x，所以x²+x²=BC²。

化简得：2x²=BC²。

再由于BC=y，所以2x²=y²。

因此，等腰直角三角形的斜边长等于腰长的平方根的两倍。

三、应用场景等腰直角勾股定理在实际应用中有着广泛的应用场景。

1. 建筑工程：在建筑工程中，等腰直角三角形常被用来设计墙角、门窗的位置和角度。

2. 地理测量学：地理测量学中，等腰直角勾股定理被广泛应用于测量航空航天器的高度、距离和角度等。

3. 电子工程：在电子工程中，等腰直角勾股定理用于计算电路中的电压、电流和电阻等。

4. 航海导航：航海导航中，等腰直角三角形被用于计算船只的速度、方向和位置等。

勾股定理的三种证明方法过程勾股定理是初中数学中一个重要的定理，它描述了一个直角三角形中的边长关系。

勾股定理的三种证明方法为：几何证明、代数证明和物理证明。

下面将分别介绍这三种证明方法。

几何证明是最早被使用的一种方法，我们可以通过几何图形来证明勾股定理。

首先，我们画一个直角三角形ABC，其中∠ABC为直角。

然后，我们可以通过重复使用等腰直角三角形的特性来得到边长关系。

具体来说，我们可以将三角形ABC分成两个等腰直角三角形，分别记作三角形ABD和三角形CBD。

根据等腰直角三角形的性质，我们可以得出以下等式：BD=AD、BD=CD。

再根据两个等式，我们可以得到AD=CD，即a²=b²+c²，这就是勾股定理的一种几何证明方法。

代数证明是一种通过代数运算来证明勾股定理的方法。

我们可以用代数变量表示直角三角形的边长，假设直角边为a、b，斜边为c。

根据勾股定理，我们有a²+b²=c²。

接下来，我们可以使用代数运算来推导这个等式。

首先，我们可以将直角边的平方展开，得到a²=b²+c²-2bc。

然后，我们可以将等式两边同时加上2bc，得到a²+2bc=b²+c²。

再将两边同时除以2，得到(a²+2bc)/2=(b²+c²)/2。

由于等式两边相等，我们可以得到a²+bc=b²+c²/2。

最后，我们将等式两边同时减去c²/2，得到a²-bc=b²-c²/2，再整理一下得到a²-bc=b²-c²，即a²=b²+c²，这就得到了勾股定理。

物理证明是一种较为特殊的证明方法，它通过实验来验证勾股定理。

首先，我们需要准备一个光滑的斜面，并且在斜面上放置一个小球。

勾股定理在实际问题中的应用举例一、利用勾股定理解决立体图形问题勾股定理是揭示直角三角形的三条边之间的数量关系，可以解决许多与直角三角形有关的计算与证明问题，在现实生活中有着极其广泛的应用，下面就如何运用勾股定理解决立体图形问题举例说明，供参考。

一、长方体问题例1、如图1，图中有一长、宽、高分别为5cm 、4cm 、3cm 的木箱，在它里面放入一根细木条（木条的粗细、变形忽略不计），要求木条不能露出木箱，请你算一算，能放入的细木条的最大长度是（ ）A 、41cmB 、34cmC 、50cmD 、75cm分析：图中BD 为长方体中能放入的最长的木条的长度，可先连接BC ，根据已知条件，可以判断BD 是Rt △BCD 的斜边，BD 是Rt △BCD 的斜边，根据已知条件可以求出BC 的长，从而可求出BD 的长。

解：在Rt △ABC 中，AB=5，AC=4，根据勾股定理，得BC=22AC AB +=41，在Rt △BCD 中，CD=3，BC=41，BD=22CD BC +=50。

所以选C 。

说明：本题的关键是构造出直角三角形，利用勾股定理解决问题。

二、圆柱问题例2、如图2，是一个圆柱形容器，高18cm ，底面周长为60cm ，在外侧距下底1cm 的点S 处有一蜘蛛，与蜘蛛相对的容器的上口外侧距开口处1cm 的点F 出有一苍蝇，急于捕获苍蝇充饥的蜘蛛，所走的最短路线的长度是多少？分析：勾股定理是平面几何中的一个重要定理，在遇到立体图形时，需根据具体情况，把立体图形转化为平面图形，从而使空间问题转化为平面问题。

由题意可知，S 、F 两点是曲面上的两点，表示两点间的距离显然不能直接画出，但我们知道圆柱体的侧面展开图是一个长方形，，于是我们就可以画出如图3的图，这样就转化为平面中的两点间的距离问题，从而使问题得解。

解：画出圆柱体的侧面展开图，如图3，由题意，得SB=60÷2=30（cm ），FB=18―1―1=16（cm ），在Rt △SBF 中，∠SBF=90°，由勾股定理得，SF=22FB SB +=221630+=34（cm ），所以蜘蛛所走的最短路线的长度是34cm 。