中考题汇编(等腰三角形梯形勾股定理)

（2022•桂林中考）如图，在△ABC中，∠B＝22.5°，∠C＝45°，若AC＝2，则△ABC的面积是（）A．3+√22B．1+√2C．2√2D．2+√2【解析】选D．如图，过点A作AD⊥AC于A，交BC于D，过点A作AE⊥BC于E，因为∠C＝45°，所以△ADC是等腰直角三角形，所以AD＝AC＝2，∠ADC＝45°，CD=√2AC＝2√2，因为∠ADC＝∠B+∠BAD，∠B＝22.5°，所以∠DAB＝22.5°，所以∠B＝∠DAB，所以AD＝BD＝2，因为AD＝AC，AE⊥CD，所以DE＝CE，所以AE=12CD=√2，所以△ABC的面积为12•BC•AE=12×√2×（2+2√2）＝2+√2．（2022·安徽中考）已知点O是边长为6的等边△ABC的中心，点P在△ABC外，△ABC，△PAB，△PBC，△PCA（2022•泰安中考）如图，l1∥l2，点A在直线l1上，点B在直线l2上，AB＝BC，∠C＝25°，∠1＝60°．则∠2的度数是（）A．70°B．65°C．60°D．55°【解析】选A．如图，因为AB＝BC，∠C＝25°，所以∠C＝∠BAC＝25°，因为l1∥l2，∠1＝60°，所以∠BEA＝180°﹣60°﹣25°＝95°，因为∠BEA＝∠C+∠2，所以∠2＝95°﹣25°＝70°（2022•宜宾中考）如图，△ABC和△ADE都是等腰直角三角形，∠BAC＝∠DAE＝90°，点D是BC边上的动点（不与点B、C重合），DE与AC交于点F，连结CE．下列结论：①BD＝CE；②∠DAC＝∠CED；③若BD＝2CD，则CFAF =45；④在△ABC内存在唯一一点P，使得PA+PB+PC的值最小，若点D在AP的延长线上，且AP的长为2，则CE＝2+√3．其中含所有正确结论的选项是（）A．①②④ B．①②③ C．①③④ D．①②③④【解析】选B．如图1中，因为∠BAC＝∠DAE＝90°，所以∠BAD＝∠CAE，因为AB＝AC，AD＝AE，所以△BAD≌△DAE（SAS），所以BD＝EC，∠ADB＝∠AEC，故①正确，因为∠ADB+∠ADC＝180°，所以∠AEC+∠ADC＝180°，所以∠DAE+∠DCE＝180°，所以∠DAE＝∠DCE＝90°，取DE的中点O，连接OA，OA，OC，则OA＝OD＝OE＝OC，所以A，D，C，E四点共圆，所以∠DAC＝∠CED，故②正确，设CD＝m，则BD＝CE＝2m．DE=√5m，OA=√52m，过点C作CJ⊥DF于点J，因为tan∠CDF=CJDJ =CECD=2，所以CJ=2√55m，因为AO⊥DE，CJ⊥DE，所以AO∥CJ，所以CFAF =CJAO=2√55m√52m=45，故③正确．如图2中，将△BPC绕点B顺时针旋转60°得到△BNM，连接PN，所以BP＝BN，PC＝NM，∠PBN＝60°，所以△BPN是等边三角形，所以BP＝PN，所以PA+PB+PC＝AP+PN+MN，所以当点A，点P，点N，点M共线时，PA+PB+PC值最小，此时∠APB＝∠APC＝∠BPC＝120°，PB＝PC，AD⊥BC，所以∠BPD＝∠CPD＝60°，设PD＝t，则BD＝AD=√3t，所以2+t=√3t，所以t=√3+1，所以CE＝BD=√3t＝3+√3，故④错误，故正确的结论是①②③.（2022•福建中考）如图所示的衣架可以近似看成一个等腰三角形ABC，其中AB＝AC，∠ABC＝27°，BC＝44cm，则高AD约为（）（参考数据：sin27°≈0.45，cos27°≈0.89，tan27°≈0.51）A．9.90cm B．11.22cm C．19.58cm D．22.44cm【解析】选B．因为AB＝AC，BC＝44cm，所以BD＝CD＝22cm，AD⊥BC，因为∠ABC＝27°，所以tan∠ABC=ADBD≈0.51，所以AD≈0.51×22＝11.22cm．（2022•永州中考）如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，∠C＝60°，点D为边AC的中点，BD＝2，则BC 的长为（）A．√3B．2√3C．2D．4【解析】选C．在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，点D为边AC的中点，BD＝2，所以AC＝2BD＝4，因为∠C＝60°，所以∠A＝30°，所以BC=12AC＝2.（2022•鄂州中考）如图，直线l1∥l2，点C、A分别在l1、l2上，以点C为圆心，CA长为半径画弧，交l1于点B，连接AB．若∠BCA＝150°，则∠1的度数为（）A．10°B．15°C．20°D．30°【解析】选B．由题意可得AC＝BC，所以∠CAB＝∠CBA，因为∠BCA＝150°，∠BCA+∠CAB+∠CBA＝180°，所以∠CAB＝∠CBA＝15°，因为l1∥l2，所以∠1＝∠CBA＝15°．（2022•梧州中考）如图，在△ABC 中，AB ＝AC ，AD 是△ABC 的角平分线，过点D 分别作DE ⊥AB ，DF ⊥AC ，垂足分别是点E ，F ，则下列结论错误的是（ ）A ．∠ADC ＝90°B ．DE ＝DFC ．AD ＝BC D ．BD ＝CD【解析】选C ．因为AB ＝AC ，AD 是△ABC 的角平分线，所以AD ⊥BC ，BD ＝CD ，∠B ＝∠C ，所以∠ADC ＝90°，在△BDE 和△CDF 中，{∠B =∠C ∠BED =∠CFD BD =CD，所以△BDE ≌△CDF （AAS ），所以DE ＝DF .（2022•龙东中考）如图，△ABC 中，AB ＝AC ，AD 平分∠BAC 与BC 相交于点D ，点E 是AB 的中点，点F是DC 的中点，连接EF 交AD 于点P ．若△ABC 的面积是24，PD ＝1.5，则PE 的长是（ ）A ．2.5B ．2C ．3.5D ．3【解析】选A ．如图，过点E 作EG ⊥AD 于G ，因为AB ＝AC ，AD 平分∠BAC ，所以AD ⊥BC ，BD ＝CD ，所以∠PDF ＝∠EGP ＝90°，EG ∥BC ， 因为点E 是AB 的中点，所以G 是AD 的中点，所以EG =12BD ，因为F 是CD 的中点，所以DF =12CD ，所以EG ＝DF ，因为∠EPG ＝∠DPF ，所以△EGP ≌△FDP （AAS ），所以PG ＝PD ＝1.5，所以AD ＝2DG ＝6，因为△ABC 的面积是24，所以12•BC •AD ＝24，所以BC ＝48÷6＝8， 所以DF =14BC ＝2，所以EG ＝DF ＝2，由勾股定理得：PE =√22+1．52=2.5．A ．36°B ．54°C ．72°D ．108°【解析】选A ．由题意可得BP 为∠ABC 的角平分线，所以∠ABD ＝∠CBD ，因为AD ＝BD ，所以∠A ＝∠ABD ，所以∠A ＝∠ABD ＝∠CBD ，所以∠ABC ＝2∠A ，因为AB ＝AC ，所以∠ABC ＝∠C ＝2∠A ，所以∠A +∠ABC +∠C ＝∠A +2∠A +2∠A ＝180°，解得∠A ＝36°．（2022•滨州中考）如图，屋顶钢架外框是等腰三角形，其中AB ＝AC ，立柱AD ⊥BC ，且顶角∠BAC ＝120°，则∠C 的大小为 30° ．【解析】因为AB ＝AC 且∠BAC ＝120°，所以∠B ＝∠C =12（180°﹣∠BAC ）=12×60°＝30°．答案：30°．（2022•绍兴中考）如图，在△ABC 中，∠ABC ＝40°，∠BAC ＝80°，以点A 为圆心，AC 长为半径作弧，交射线BA 于点D ，连结CD ，则∠BCD 的度数是 10°或100° ．【解析】如图，点D 即为所求；在△ABC中，∠ABC＝40°，∠BAC＝80°，所以∠ACB＝180°﹣40°﹣80°＝60°，由作图可知：AC＝AD，所以∠ACD＝∠ADC=12（180°﹣80°）＝50°，所以∠BCD＝∠ACB﹣∠ACD＝60°﹣50°＝10°；由作图可知：AC＝AD′，所以∠ACD′＝∠AD′C，因为∠ACD′+∠AD′C＝∠BAC＝80°，所以∠AD′C＝40°，所以∠BCD′＝180°﹣∠ABC﹣∠AD′C＝180°﹣40°﹣40°＝100°．综上所述：∠BCD的度数是10°或100°．答案：10°或100°．（2022•娄底中考）如图，已知等腰△ABC的顶角∠BAC的大小为θ，点D为边BC上的动点（与B、C不重合），将AD绕点A沿顺时针方向旋转θ角度时点D落在D′处，连接BD′．给出下列结论：①△ACD≌△ABD′；②△ACB∽△ADD′；③当BD＝CD时，△ADD′的面积取得最小值．其中正确的结论有①②③（填结论对应的应号）．【解析】由题意可知AC＝AB，AD＝AD′，∠CAD＝∠BAD′，所以△ACD≌△ABD′，故①正确；因为AC＝AB，AD＝AD′，∠BAC＝∠D′AD＝θ，所以ACAD =ABAD′，所以△ACB∽△ADD′，故②正确；因为△ACB∽△ADD′，所以S△ADD′S△ACB=（ADAC）2，因为当AD⊥BC时，AD最小，△ADD′的面积取得最小值．而AB＝AC，所以BD＝CD，所以当BD＝CD时，△ADD′的面积取得最小值，故③正确；（2022•岳阳中考）如图，在△ABC中，AB＝AC，AD⊥BC于点D，若BC＝6，则CD＝ 3 ．【解析】因为AB＝AC，AD⊥BC，所以CD＝BD，因为BC＝6，所以CD＝3.答案：3（2022•德阳中考）如图，直角三角形ABC纸片中，∠ACB＝90°，点D是AB边上的中点，连结CD，将△ACD沿CD折叠，点A落在点E处，此时恰好有CE⊥AB．若CB＝1，那么CE＝√3．【解析】如图，设CE交AB于点O．因为∠ACB＝90°，AD＝DB，所以CD＝AD＝DB，所以∠A＝∠ACD，由翻折的性质可知∠ACD＝∠DCE，因为CE⊥AB，所以∠BCE+∠B＝90°，因为∠A+∠B＝90°，所以∠BCE＝∠A，所以∠BCE＝∠ACD＝∠DCE＝30°，，所以CO＝CB•cos30°=√32因为DA＝DE，DA＝DC，所以DC＝DE，，所以CE=√3．因为DO⊥CE，所以CO＝OE=√32答案：√3．（2022•嘉兴中考）小曹同学复习时将几种三角形的关系整理如图，请帮他在括号内填上一个适当的条件∠B＝60°．【解析】有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形，答案：∠B＝60°（2022•无锡中考）△ABC是边长为5的等边三角形，△DCE是边长为3的等边三角形，直线BD与直线AE 交于点F．如图，若点D在△ABC内，∠DBC＝20°，则∠BAF＝80°；现将△DCE绕点C旋转1周，在这个旋转过程中，线段AF长度的最小值是4−√3．【解析】因为△ACB，△DEC都是等边三角形，所以AC＝CB，DC＝EC，∠ACB＝∠DCE＝60°，所以∠BCD＝∠ACE，在△BCD和△ACE中，{CB=CA∠BCD=∠ACE CD=CE，所以△BCD≌△ACE（SAS），所以∠DBC＝∠EAC＝20°，因为∠BAC＝60°，所以∠BAF＝∠BAC+∠CAE＝80°．如图1中，设BE交AC于点T．同法可证△BCD ≌△ACE ，所以∠CBD ＝∠CAF ，因为∠BTC ＝∠ATF ，所以∠BCT ＝∠AFT ＝60°，所以点F 在△ABC 的外接圆上运动，当∠ABF 最小时，AF 的值最小，此时CD ⊥BD ，所以BD =√BC 2−CD 2=√52−32=4，所以AE ＝BD ＝4，∠BDC ＝∠AEC ＝90°，因为CD ＝CE ，CF ＝CF ，所以Rt △CFD ≌Rt △CFE （HL ），所以∠DCF ＝∠ECF ＝30°，所以EF ＝CE •tan30°=√3，所以AF 的最小值为AE ﹣EF ＝4−√3.答案：80，4−√3（2022•鄂州中考）如图，在边长为6的等边△ABC 中，D 、E 分别为边BC 、AC 上的点，AD 与BE 相交于点P ，若BD ＝CE ＝2，则△ABP 的周长为 42+18√77 ．【解析】因为△ABC 是等边三角形，所以AB ＝BC ，∠ABD ＝∠C ＝60°，在△ABD 和△BCE 中，{AB =BC∠ABD =∠C BD =CE所以△ABD ≌△BCE （SAS ），所以∠BAD ＝∠CBE ，所以∠APE ＝∠ABP +∠BAD ＝∠ABP +∠CBE ＝∠ABD ＝60°，所以∠APB ＝120°，在CB 上取一点F 使CF ＝CE ＝2，则BF ＝BC ﹣CF ＝4，所以∠C ＝60°，所以△CEF 是等边三角形，所以∠BFE ＝120°，即∠APB ＝∠BFE ，所以△APB ∽△BFE ，所以AP BP =BF EF =42=2， 设BP ＝x ，则AP ＝2x ，作BH ⊥AD 延长线于H ，因为∠BPD ＝∠APE ＝60°，所以∠PBH ＝30°，所以PH =x 2，BH =√32x ，所以AH ＝AP +PH ＝2x +x 2=52x ，在Rt △ABH 中，AH 2+BH 2＝AB 2，即（52x ）2+（√32x ）2＝62， 解得x =6√77或−6√77（舍去），所以AP =12√77，BP =6√77， 所以△ABP 的周长为AB +AP +BP ＝6+12√77+6√77=6+18√77=42+18√77， 答案：42+18√77． （2022•泰州中考）如图，△ABC 中，∠C ＝90°，AC ＝8，BC ＝6，O 为内心，过点O 的直线分别与AC 、AB边相交于点D 、E ．若DE ＝CD +BE ，则线段CD 的长为 2或12 ．【解析】如图，过点O 的直线分别与AC 、AB 边相交于点D 、E ，连接BO ，CO ，因为O 为△ABC 的内心，所以CO 平分∠ACB ，BO 平分∠ABC ，所以∠BCO ＝∠ACO ，∠CBO ＝∠ABO ，当CD ＝OD 时，则∠OCD ＝∠COD ，所以∠BCO ＝∠COD ，所以BC ∥DE ，所以∠CBO ＝∠BOE ，所以BE ＝OE ，则DE ＝CD +BE ，设CD ＝OD ＝x ，BE ＝OE ＝y ，在Rt △ABC 中，AB =√AC 2+BC 2=10，所以{AD AC =DE BC AE AB =DE BC ，即{8−x 8=x+y 610−y 10=8−x 8，解得{x =2y =52，所以CD ＝2，过点O 作D ′E ′⊥AB ，作DE ∥BC ，因为点O 为△ABC 的内心，所以OD ＝OE ′，在Rt △ODD ′和Rt △OE ′E 中，{∠OE′E =∠ODD′OE′=OD ∠EOE′=∠D′OD，所以△ODD ′≌△OE ′E （ASA ），所以OE ＝OD ′，所以D ′E ′＝DE ＝CD +BE ＝CD ′+BE ′＝2+52=92，在△AD ′E ′和△ABC 中，{∠A =∠A ∠D′E′A =∠BCA，所以△AD ′E ′∽△ABC ， 所以AD′AB =D′E′BC ，所以AD′10=926，解得：AD ′=152，所以CD ′＝AC ﹣AD ′=12. 答案：2或12． （2022•包头中考）如图，在Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，AC ＝BC ＝3，D 为AB 边上一点，且BD ＝BC ，连接CD ，以点D 为圆心，DC 的长为半径作弧，交BC 于点E （异于点C ），连接DE ，则BE 的长为 3√2−3 ．【解析】因为∠ACB ＝90°，AC ＝BC ＝3，所以AB =√2AC ＝3√2，∠A ＝∠B ＝45°，因为BD ＝BC ＝3，AC ＝BC ，所以BD ＝AC ，AD ＝3√2−3．因为DC ＝DE ，所以∠DCE ＝∠DEC ．因为BD ＝BC ，所以∠DCE ＝∠CDB ，所以∠CED ＝∠CDB ，因为∠CDB ＝∠CDE +∠EDB ，∠CED ＝∠B +∠EDB ，所以∠CDE ＝∠B ＝45°．所以∠ADC +∠EDB ＝180°﹣∠CDE ＝135°．因为∠ADC +∠ACD ＝180°﹣∠A ＝135°，所以∠ACD ＝∠EDB ．在△ADC 和△BED 中，{AC =BD ∠ACD =∠EDB CD =DE，所以△ADC ≌△BED （SAS ）．所以BE ＝AD ＝3√2−3．答案：3√2−3．【解析】过点A作AH⊥BC于点H．设AN＝CM＝x．因为AB＝AC=√2，∠BAC＝90°，所以BC=√(√2)2+(√2)2=2，因为AH⊥BC，所以BH＝AH＝1，所以AH＝BH＝CH＝1，所以AM+BN=√12+(1−x)2+√(√2)2+x2，欲求AM+BN的最小值，相当于在x轴上寻找一点P（x，0），到E（1，1），F（0，√2）的距离和的最小值，如图1中，作点F关于x轴的对称点F′，当E，P，F′共线时，PE+PF的值最小，此时直线EF′的解析式为y＝（√2+1）x−√2，当y＝0时，x＝2−√2，所以AM+BN的值最小时，CM的值为2−√2.答案：2−√2（2022•自贡中考）如图，△ABC是等边三角形，D、E在直线BC上，DB＝EC．求证：∠D＝∠E．【证明】因为△ABC是等边三角形，所以AB＝AC，∠ABC＝∠ACB＝60°，所以∠ABD＝∠ACE＝120°，在△ABD和△ACE中，{AB=AC∠ABD=∠ACE BD=CE，所以△ABD≌△ACE（SAS），所以∠D＝∠E.（2022•怀化中考）如图，在等边三角形ABC中，点M为AB边上任意一点，延长BC至点N，使CN＝AM，连接MN交AC于点P，MH⊥AC于点H．（1）求证：MP＝NP；（2）若AB＝a，求线段PH的长（结果用含a的代数式表示）．【解析】（1）证明：过点M作MQ∥BC，交AC于点Q，如图所示：在等边△ABC中，∠A＝∠B＝∠ACB＝60°，因为MQ∥BC，所以∠AMQ＝∠B＝60°，∠AQM＝∠ACB＝60°，∠QMP＝∠N，所以△AMQ是等边三角形，所以AM＝QM，因为AM＝CN，所以QM＝CN，在△QMP和△CNP中，{∠QPM=∠CPN ∠QMP=∠N QM=CN，所以△QMP≌△CNP（AAS），所以MP＝NP；（2）因为△AMQ是等边三角形，且MH⊥AC，所以AH＝HQ，因为△QMP≌△CNP，所以QP＝CP，所以PH＝HQ+QP=12 AC，因为AB＝a，AB＝AC，所以PH=1 2 a（2022•杭州中考）如图，在Rt△ACB中，∠ACB＝90°，点M为边AB的中点，点E在线段AM上，EF⊥AC 于点F，连接CM，CE．已知∠A＝50°，∠ACE＝30°．（1）求证：CE＝CM．（2）若AB＝4，求线段FC的长．（2022•绥化中考）我们可以通过面积运算的方法，得到等腰三角形底边上的任意一点到两腰的距离之和与一腰上的高之间的数量关系，并利用这个关系解决相关问题．（1）如图一，在等腰△ABC 中，AB ＝AC ，BC 边上有一点D ，过点D 作DE ⊥AB 于E ，DF ⊥AC 于F ，过点C 作CG ⊥AB 于G ．利用面积证明：DE +DF ＝CG ．（2）如图二，将矩形ABCD 沿着EF 折叠，使点A 与点C 重合，点B 落在B '处，点G 为折痕EF 上一点，过点G 作GM ⊥FC 于M ，GN ⊥BC 于N ．若BC ＝8，BE ＝3，求GM +GN 的长．（3）如图三，在四边形ABCD 中，E 为线段BC 上的一点，EA ⊥AB ，ED ⊥CD ，连接BD ，且AB CD =AE DE ，BC =√51，CD ＝3，BD ＝6，求ED +EA 的长．【解析】（1）连接AD ，因为S △ABC ＝S △ABD +S △ACD ，所以12×AB ×CG =12×AB ×DE +12×AC ×DF ，因为AB ＝AC ，所以DE +DF ＝CG ；（2）因为将矩形ABCD 沿着EF 折叠，使点A 与点C 重合，所以∠AFE ＝∠EFC ，AE ＝CE ，因为AD ∥BC ，所以∠AFE ＝∠CEF ，所以∠CEF ＝∠CFE ，所以CE ＝CF ，因为BC ＝8，BE ＝3，所以CE ＝AE ＝5，在Rt △ABE 中，由勾股定理得，AB ＝4，所以等腰△CEF 中，CE 边上的高为4， 由（1）知，GM +GN ＝4；（3）延长BA 、CD 交于G ，作BH ⊥CD 于H ，因为ABCD =AEDE ，∠BAE ＝∠EDC ＝90°，所以△BAE ∽△CDE ，所以∠ABE ＝∠C ，所以BG ＝CG ，所以ED +EA ＝BH ，设DH ＝x ，由勾股定理得，62﹣x 2＝（√51）2﹣（x +3）2，解得x ＝1，所以DH ＝1， 所以BH =√BD 2−DH 2=√62−12=√35，所以ED +EA =√35．。

2010年中考数学复习试题汇编之17.2-等腰三角形与勾股定理11．（2009年衡阳市）如图，△ABC 中，AB ＝AC ，AD 、AE 分别是∠BAC 和∠BAC 和外角的平分线，BE ⊥AE ． （1）求证：DA ⊥AE ；（2）试判断AB 与DE 是否相等？并证明你的结论． 【关键词】等腰三角形、矩形【答案】解：（1）证明：AE DA DAE BAF BAC ⊥⇒︒=∠⇒︒=︒⨯=∠+∠∠+∠⇒⎪⎪⎪⎭⎪⎪⎪⎬⎫︒=∠+∠∠∠⇒∠∠∠⇒∠909018021)(21BAE BAD 180BAF BAC BAF 21BAE BAF AE BAC 21BAD BAC AD ＝＝平分＝平分（2）AB ＝DE ，理由是：DE AB D AE DAE AEB AE BE ADB BC AD BAC AD AC AB =⇒⇒⎪⎪⎪⎭⎪⎪⎪⎬⎫︒=∠︒=∠⇒⊥︒=∠⇒⊥⇒⎭⎬⎫∠=是矩形四边形平分B 90 90 9012．（山东省临沂市）如图，A ，B 是公路l （l 为东西走向）两旁的两个村庄，A 村到公路l 的距离AC ＝1km ，B 村到公路l 的距离BD ＝2km ，B 村在A 村的南偏东45方向上． （1）求出A ，B 两村之间的距离； （2）为方便村民出行，计划在公路边新建一个公共汽车站P ，要求该站到两村的距离相等，请用尺规在图中作出点P 的位置（保留清晰的作图痕迹，并简要写明作法）．A B CD E解：（1）方法一：设AB 与CD 的交点为O ，根据题意可得45A B ∠=∠=°． ACO ∴△和BDO △都是等腰直角三角形．AO ∴=，BO = ∴A B ，两村的距离为AB AO BO =+==km ）． 方法二：过点B 作直线l 的平行线交AC 的延长线于E ． 易证四边形CDBE 是矩形， ∴2CE BD ==．在Rt AEB △中，由45A ∠=°，可得3BE EA ==．∴AB ==km ） ∴A B ，两村的距离为．（2）作图正确，痕迹清晰．作法：①分别以点A B ，为圆心，以大于12AB 的长为 半径作弧，两弧交于两点M N ，， 作直线MN ；②直线MN 交l 于点P ，点P 即为所求． （7分 13．（四川省泸州市）在某段限速公路BC 上(公路视为直线)，交通管理部门规定汽车的最高行驶速度不能超过60千米／时 (即350米／秒)，并在离该公路100米处设置了一个监测点A ．在如图8所示的直角坐标系中，点A 位于y 轴上，测速路段BC 在x 轴上，点B 在A 的北偏西60°方向上，点C 在A 的北偏东45°方向上，另外一条高等级公路在y 轴上，北东BACDlBA CDlN MOPAO 为其中的一段．(1)求点B 和点C 的坐标；(2)一辆汽车从点B 匀速行驶到点C 所用的时间是15秒，通过计算，判断该汽车在这段限速路上是否超速?(参考数据：7.13≈)(3)若一辆大货车在限速路上由C 处向西行驶，一辆小汽车在高等级公路上由A 处向北行驶，设两车同时开出且小汽车的速度是大货车速度的2倍，求两车在匀速行驶过程中的最近距离是多少?解：在Rt ΔAOB 中，OA ＝100,∠BAO ＝60° 所以OB ＝OA ·tan ∠BAO ＝Rt ΔAOC 中,∠CAO ＝45° 所以OC ＝OA ＝100,所以（100，0） （2）BC ＝BO+CO ＝18≈18>503, 所以这辆车超速了。

专题04 勾股定理压轴题型汇总一、单选题1．如图，三角形纸片ABC，点D是BC边上一点，连接AD，把△ABD沿着AD翻折，得到△AED，DE与AC交于点G，连接BE交AD于点F．若DG＝GE，AF＝4，BF＝2，△ADG的面积为52，则点F到BC的距离为（）A．55B．255C．455D．433【答案】B【分析】首先求出ABD的面积．根据三角形的面积公式求出DF，设点F到BD的距离为h，根据12•BD•h＝12•BF•DF，求出BD即可解决问题．【详解】解：∵DG＝GE，∵S∵ADG＝S∵AEG＝52，∵S∵ADE＝5，由翻折可知，ADB∵ADE，BE∵AD，∵S∵ABD＝S∵ADE＝5，∵BFD＝90°，∵12•(AF+DF)•BF＝5，∵12•(4+DF)•2＝5，∵DF＝1，∵DB＝22BF DF+＝2212+＝5，设点F到BD的距离为h，压轴题型汇总1则12•BD•h＝12•BF•DF，即：1121 22=⨯⨯，∵h，故选：B．【点睛】本题考查翻折变换，三角形的面积，勾股定理二次根式的运算等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，学会利用参数构建方程解决问题．2．七巧板是我国祖先的一项卓越创造，下列四幅图是爱思考的小红同学用如图所示的七巧板拼成的，则这四个图形的周长从大到小排列正确的是（）A．乙＞丙＞甲＞丁B．乙＞甲＞丙＞丁C．丙＞乙＞甲＞丁D．丙＞乙＞丁＞甲【答案】A【分析】设最小的直角三角形的直角边长为1，根据勾股定理，分别表示出七块七巧板各边的长度，计算每个图形中重合的线段和，和越大，周长越小．【详解】解：设七巧板中最小的边长为1根据勾股定理，可以得出其余的边长分别为2，分别求出各图中重合的线段的长度和，和越大，则周长越小；甲图中重叠的线段和为：；乙图中重叠的线段和为：；丙图中重叠的线段和为；丁图中重叠的线段和为：；∵6755++++∵乙＞丙＞甲＞丁故选：A．【点睛】本题考查了勾股定理，不规则图形的周长，解题关键是明确总周长一定，重叠的线段和越大，则周长越小．3．如图，在ABC 中，点D 是边AB 上的中点，连接CD ，将BCD △沿着CD 翻折，得到ECD ，CE 与AB 交于点F ，连接AE ．若6,42AB CD AE ===,，则点C 到AB 的距离为（ ）A ．72B ．C ．3D ．【答案】C【分析】连接BE ，延长CD 交BE 于G 点，过C 作CH ∵AB 于H ，由折叠的性质及中点性质，可得∵AEB 是直角三角形，且G 点是BE 的中点，从而CG ∵BE ，由勾股定理可求得BE 的长，则根据∵ABC 的面积相等一方面可表示为12AB CH ，另一方面其面积为∵BCD 与∵ACD 面积的和，从而可求得CH 的长．【详解】连接BE ，延长CD 交BE 于G 点，过C 作CH ∵AB 于H ，如图所示由折叠的性质，得：BD =ED ，CB =CE∵CG 是线段BE 的垂直平分线∵BG =12BE∵D 点是AB 的中点∵BD =AD ，BCD ACD SS =∵AD =ED∵∵DAE =∵DEA∵BD =ED∵ ∵DEB =∵DBE∵∵DAE +∵BEA +∵DBE =180°即∵DAE +∵DEA +∵DEB +∵DBE =180°∵2∵DEA +2∵DEB =180°∵∵DEA +∵DEB =90°即∵AEB =90°在Rt ∵AEB 中，由勾股定理得： BE∵BG =∵BCD ACD ABC S S S += ∵11222CD BG AB CH ⨯=∵224CD BG CH AB ⨯===故选：C ．【点睛】本题考查了直角三角形的判定、勾股定理、线段垂直平分线的判定，利用面积相等求线段的长，关键是得出CG ∵BE ，从而可求得∵BCD 的面积也即∵ABC 的面积．4．如图，在Rt ABC 中，90ACB ∠=︒，分别以AB ，AC ，BC 为斜边作三个等腰直角ABD △，ACE ，BCF △，图中阴影部分的面积分别记为1S ，2S ，3S ，4S ，若已知Rt ABC 的面积，则下列代数式中，一定能求出确切值的代数式是（ ）A ．4SB ．143S S S +-C ．234S S S ++D ．123S S S +-【答案】A【分析】设AC =m ，BC =n ，ABC 的面积为S ，用含有m ，n 的代数式分别表示相关线段，继而表示相应的面积，确定面积与m ，n ，S 之间的关系，从而作出判断．【详解】设AC =m ，BC =n ，ABC 的面积为S ，∵Rt ABC 中，90ACB ∠=︒，分别以AB ，AC ，BC 为斜边作三个等腰直角ABD △，ACE ，BCF △，∵S =1mn 2，AB ，∵AE =EC ，BF =CF ，AD =BD在直角三角形AED 中，ED ，∵DC =EC -ED )m n -，∵4S =11111AE ED=22222mn S •=⨯=， 故4S 的值可以确定，∵A 选项符合题意；设AC ，BD 的交点为G ，则3S +ADG S =1122)S CD AE m n =•=-△ADC =24()1m mn -， 1S +ADG S =222241S AD m n +==△ADB ， ∵143S S S +-=224m n ++12S -24()1m mn -=2+4n S ，与n 有关系，故代数式的值不能确定，∵B 选项不符合题意；∵3S +ADG S =24()1m mn -，1S +ADG S =224m n +，∵13S S -=21+42n S ， ∵234S S S ++=212BF +12S +1S -21-42n S =24n +12S +1S -21-42n S =1S ，无法确定， ∵C 选项不符合题意；∵123S S S +-=21+42n S +24n =21+22n S ，与n 有关， ∵D 选项不符合题意；故选A ．【点睛】本题考查了直角三角形的性质，等腰直角三角形的性质，勾股定理，图形面积的割补，灵活运用性质和勾股定理计算阴影的面积是解题的关键．5．已知a 、b 为两正数，且12a b += ） A ．12B ．13C ．14D ．15【答案】B【分析】如图所示，构造Rt∵BEA 和Rt∵AFC 使得 BE =a ，EA =2，AF =3，FC =b ，然后根据勾股定理构可得ABAC 当A ，B ，C 三点共线时有最小值，在根据勾股定理计算即可．【详解】解：如图所示，构造Rt∵BEA 和Rt∵AFC 使得 BE =a ，EA =2，AF =3，FC =b ，根据勾股定理可得：AB AC所以：AB AC BC +≥，∵当A ，B ，C 三点共线时+AB AC 有最小值，即BC ，在Rt∵BDC 中13BC ==．故选：B【点睛】本题主要考查勾股定理，能够根据二次根式的特点，数形结合，构造出直角三角形表示所求式子是解题的关键．6．如图，在Rt ABC △中，90,30,ACB ABC CD ︒∠︒=∠=平分ACB ∠．边AB 的垂直平分线DE 分别交,CD AB 于点,D E ．以下说法错误的是（ ）A ．60BAC ∠=︒B ．2CD BE =C ．DE AC =D 12BC AB =+ 【答案】B【分析】 利用直角三角形的性质、三角形内角和定理、勾股定理、全等三角形的判定与性质等知识对各选项的说法分别进行论证，即可得出结论．【详解】解：如图，连接BD 、AD ，过点D 作DM∵BC 于M ，DN∵CA 的延长线于N ，A 、在Rt ABC △中，90ACB ∠=︒，30ABC ∠=︒，∵60BAC ∠=︒．故此选项说法正确；B 、∵DM∵BC ，DN∵CA∵∵DNC ＝∵DMC ＝90°，∵CD 平分∵ACB ，∵∵DCN ＝∵DCM ＝45°．∵∵DCN ＝∵CDN ＝45°．∵CN=DN ．则∵CDN 是等腰直角三角形．同理可证：∵CDM 也是等腰直角三角形，=．，∵DM=DN= CM=CN ，∵MDN ＝90°．∵DE 垂直平分AB ，∵BD=AD ，AB=2BE ．∵Rt∵BDM∵∵ADN ，∵∵BDM=∵AND ．∵∵BDM+∵ADM =∵AND+∵ADM ＝∵MDN ．∵∵ADB=90°．=．即．∵在Rt∵AND 中，AD 是斜边，DN 是直角边，∵AD ＞DN ．∵2BE ＞CD ．故此选项说法错误．C 、∵BD=AD ，∵ADB=90°，∵∵ABD 是等腰直角三角形． ∵DE=12AB ．在Rt ABC △中，90ACB ∠=︒，30ABC ∠=︒， ∵AC=12AB ．∵DE=AC ．故此选项说法正确．D 、∵Rt∵BDM∵∵ADN ，∵BM=AN ．∵CN=AC+AN=AC+BM=CM ．∵BC=BM+CM=AC+2BM ．，． ∵AC=12AB ，12AB+BC ．故此选项说法正确．故选：B ．【点睛】本题属于三角形综合题，考查了直角三角形的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理等知识，难度较大，准确作出辅助线并灵活运用所学知识是解题的关键．7．如图，直角三角形纸片ABC 中，6AB =，8AC =，D 为斜边BC 中点，第1次将纸片折叠，使点A 与点D 重合，折痕与AD 交于点1P ；设1P D 的中点为1D ，第2次将纸片折叠，使点A 与点1D 重合，折痕与AD 交于点2P ；设21P D 的中点为2D ，第3次将纸片折叠，使点A与点2D重合，折痕与AD交于点3P，则3AP的长为（）A．46325⨯B．36352⨯C．35325⨯D．23352⨯【答案】D 【分析】先求出AD的长，再由折叠的性质可得AP1=23AD1，AP2=23AD2，AP3=23AD3，计算出AD3的长度，可得AP3的长．【详解】解：∵∵BAC=90°，AB=6，AC=8，，∵D为斜边BC中点，∵AD=12BC=5，由折叠可知：AD1=34AD，AP1=12AD，∵AP1=23AD1，AD2=34AD1=916AD，AP2=12AD1=38AD，∵AP2=23AD2，可知：AP3=23AD3，AD1=34AD=354⨯，AD2=34AD1=916AD=24352⨯，∵AD3=34AD2=2433542⨯⨯=36352⨯，∵AP 3=23AD 3=25352⨯， 故选D ．【点睛】本题主要考查了翻折变换的性质、勾股定理、直角三角形的性质等几何知识点及其应用问题；灵活运用翻折变换的性质，正确找出命题中隐含的数量关系是关键；对运算求解能力提出了较高的要求．8．如图，等边ABC 的边长为8．P ，Q 分别是边,AC BC 上的点，连结,AQ BP ，交于点O ．以下结论：①若AP CQ =，则BAP ACQ ≌；②若AQ BP =，则120AOB ∠=︒；③若,7AP CQ BP ==，则5PC =；④若点P 和点Q 分别从点A 和点B 同时出发，以相同的速度向点C 运动（到达点C 就停止），则点O经过的路径长为 ）A ．①②③B ．①④C ．①②D ．①③④【答案】B【分析】 第①个选项直接找到对应的条件，利用SAS 证明全等即可；第②③结论都有两种情况，准确画出图之后再来计算和判断；第四个结论要先判断判断轨迹(通过对称性)在来计算路径长．【详解】①在三角形∵BAP 和∵ACQ 中：AP CQ BAC C AB AC =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩则∵BAP∵∵ACQ (SAS) ；①正确；②如图1，题中AQ=BP，存在两种情况：在1P的位置，∵AOB=120°，在2P的位置，∵AOB的大小无法确定；②错误；③本问与AP=CQ这个条件无关，如图，P还是会有两个位置即：1P、2P，当在1P时，作BE∵AC于E点，则E为AC中点，∵AB=8，AE=12AC，∵BE=，又BP=7，∵1PE==,∵CP=CE+PE=5，当在2P时，同理解∵BCP，得CP= CE-PE=3；故③错；④由题可得：AP=BQ，由对称性可得O的运动轨迹为∵ABC中AB边上的中垂线则∵AB=8，∵BC=AB=8，则AB=∵运动轨迹路径长为④正确；∵正确的为①④；故选：B ．【点睛】此题考查了三角形全等，利用等边三角形的性质找出相应的全等条件是关键，还考查了等边三角形是周对称图形这一性质．9．图中不能证明勾股定理的是（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】A【分析】根据各个图象，利用面积的不同表示方法，列式证明结论222+=a b c ，找出不能证明的那个选项．【详解】解：A 选项不能证明勾股定理；B 选项，通过大正方形面积的不同表示方法，可以列式()22142a b ab c +=⨯+，可得222+=a b c ； C 选项，通过梯形的面积的不同表示方法，可以列式()22112222a b ab c +=⨯+，可得222+=a b c ； D 选项，通过这个不规则图象的面积的不同表示方法，可以列式222112222c ab a b ab +⨯=++⨯，可得222+=a b c ． 故选：A ．【点睛】本题考查勾股定理的证明，解题的关键是掌握勾股定理的证明方法．10．如图，在△ABC 和△ADE 中，△BAC =△DAE =90°，AB =AC ，AD =AE ，点C ，D ，E 在同一条直线上，连接B ，D 和B ，E ．下列四个结论：①BD =CE ，②BD △CE ，③△ACE +△DBC=30°，④()2222BE AD AB =+． 其中，正确的个数是（ ）A ．1B ．2C ．3D ．4【答案】B【分析】①由AB=AC ，AD=AE ，利用等式的性质得到夹角相等，利用SAS 得出三角形ABD 与三角形ACE 全等，由全等三角形的对应边相等得到BD=CE ；②由三角形ABD 与三角形ACE 全等，得到一对角相等，再利用等腰直角三角形的性质及等量代换得到BD 垂直于CE ；③由等腰直角三角形的性质得到∵ABD+∵DBC=45°，等量代换得到∵ACE+∵DBC=45°； ④由BD 垂直于CE ，在直角三角形BDE 中，利用勾股定理列出关系式，等量代换即可作出判断．【详解】解：如图，① ∵∵BAC=∵DAE=90°，∵∵BAC+∵CAD=∵DAE+∵CAD ，即∵BAD=∵CAE ，∵在∵BAD 和∵CAE 中，AB AC BAD CAE AD AE ⎧⎪∠∠⎨⎪⎩＝＝＝∵∵BAD∵∵CAE （SAS ），∵BD=CE ，故①正确；②∵∵BAD∵∵CAE ，∵∵ABD=∵ACE ，∵∵ABD+∵DBC=45°，∵∵ACE+∵DBC=45°，∵∵DBC+∵DCB=∵DBC+∵ACE+∵ACB=45°+45°=90°，∵∵BDC=90°，∵BD∵CE ，故②正确；③∵∵ABC 为等腰直角三角形，∵∵ABC=∵ACB=45°，∵∵ABD+∵DBC=45°，∵∵ABD=∵ACE∵∵ACE+∵DBC=45°，故③错误；④∵BD∵CE ，∵在Rt∵BDE 中，利用勾股定理得BE 2=BD 2+DE 2，∵∵ADE 为等腰直角三角形，∵AE=AD ，∵DE 2=2AD 2，∵BE 2=BD 2+DE 2=BD 2+2AD 2，在Rt∵BDC 中，BD BC <，而BC 2=2AB 2，∵BD 2<2AB 2，∵()2222BE AD AB <+故④错误，综上，正确的个数为2个．故选：B ．【点睛】此题考查了全等三角形的判定与性质，勾股定理，以及等腰直角三角形的性质，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解本题的关键．二、填空题11．如图，△ABC 中，AB ＝BC ，AD △BC 垂足为D ，BE ＝AC ，△EAC ＝3△C ，BD ＝7，AC ﹣2AE ＝8，则AE 的长为 __．【答案】11【分析】在BC 上截取CM ＝AE ，连接AM ，通过论证∵AFB ∵∵BDA 和Rt∵EFB ∵Rt∵EFB ，为证明∵AEM ∵∵MCA 作准备条件，设MC ＝AE ＝x ，用含x 的代数式表示AB ，AC ，进而使用勾股定理建立方程，求解AE 的长．【详解】解：过点B 作BF ∵EA 于点F ，∵∵FAO +∵AOF ＝∵OBD +∵BOD ＝90°，∵∵AOF ＝∵BOD ，∵∵FAO ＝∵OBD∵∵EAC ＝3∵C ，∵AB ＝BC ，∵∵BAC ＝∵C∵∵EAB ＝2∵C∵∵BAD +∵FAO ＝180°﹣2∵C∵∵ABC ＝180°﹣2∵C ＝∵ABF +∵OBD ，∵∵ABF +∵OBD ＝∵BAD +∵FAO∵∵ABF ＝∵BAD∵AD ∵BC ，∵∵F ＝∵ADB ＝90°在∵BFA 和∵ADB 中，F ADB ABF BAD AB AB ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∵∵AFB ∵∵BDA （AAS ）∵BF ＝AD在Rt∵EFB 和Rt∵CDA 中，EB AC BF AD =⎧⎨=⎩∵Rt∵EFB ∵Rt∵CDA （HL ）．在BC 上截取CM ＝AE ，连接AM ．在∵AEB 和∵MCA 中，AE MC E C BE AC =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩．∵∵AEB ∵∵MCA （SAS ）．∵AB ＝AM ．∵AD ∵BC ，∵AD 垂直平分BM ．∵BD ＝DM ＝7．设AE ＝MC ＝x ，∵AC ＝8+2x ，DC ＝7+x ，AB ＝14+x ．在∵ABD 和∵ADC 中，据勾股定理得，AB 2﹣BD 2＝AC 2﹣DC 2＝AD 2，即（14+x ）2﹣72＝（8+2x ）2﹣（7+x ）2．化简得x 2﹣5x ﹣66＝0，解得x 1＝11，x 2＝﹣6（舍去），∵AE 的长为11．故答案为：11．【点睛】本题考查全等三角形的判定与性质、勾股定理等知识，是重要考点，掌握相关知识是解题关键．12．如图，在ABC ∆中，90ACB ∠=︒，点D 、E 分别在AC 、BC 上，且AD BE =，连接DE ，若四边形BADE 的面积是5，6AB =，则DE 的长为________.【答案】4【分析】作DF AB ⊥交AB 于F ，EH AB ⊥交 AB 于H ，DG EH ⊥交EH 于G ，可得四边形 DFHG 为矩形，设EH a =，DF b =，则有EG EH DF a b =-=-，容易证得 ()AFD EHB AAS ≅，可得6DG a b =--，根据5BADE S =四边形，得到 5ADE DFHE EHB S S S ++=梯形，即有()()11165222ab a b a b ab ++--+=，化简得 ()22610a b a b +=+-，根据DE【详解】解：如图示，作DF AB ⊥交AB 于F ，EH AB ⊥交 AB 于H ，DG EH ⊥交EH 于G ，∵四边形DFHG 为矩形，∵DF GH =，DG FH =，设EH a =，DF b =，∵EG EH DF a b =-=-，在ABC 中，90ACB ∠=︒∵90A B ∠+∠=︒，在ADF 中，90AFD ∠=︒∵90A ADF ∠+∠=︒，∵B ADF ∠=∠又∵AD BE =，90AFD EHB ∠=∠=︒∵()AFD EHB AAS ≅∵AF EH a ==，DF BH b ==∵6FH AB AF BH a b =--=--∵6DG FH a b ==--∵5BADE S =四边形，∵5ADE DFHE EHB S S S++=梯形 即：()()11165222ab a b a b ab ++--+=∵()22610a b a b +=+- Rt DGE 中，DE =4= 故答案是：4．【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定和性质，勾股定理的应用，熟悉相关性质是解题的关键．13．如图，在Rt ABC △中，AB AC =，90BAC ∠=︒，D 、E 为BC 上两点，45DAE ∠=︒，F为ABC 外一点，且FB BC ⊥，FA AE ⊥，则下列结论：①CE BF =；②222BD CE DE +=；③14ADE EF S AD ⋅＝；④2223CE BE AE +=，其中正确的是（写代号）________．【答案】①②③【分析】根据等腰直角三角形的性质，判断出∵AFB ∵∵AEC ，即可得出CE =BF ，根据勾股定理与等量代换可得②正确，根据在等腰三角形中，角平分线与中线为一条直线即可得出③，再根据勾股定理以及等量代换即可得出④．【详解】解：①∵∵BAC =90°，FA ∵AE ，∵DAE =45°，∵∵CAE =90°-∵DAE -∵BAD =45°-∵BAD ，∵FAB =90°-∵DAE -∵BAD =45°-∵BAD ，∵∵FAB =∵EAC ，∵AB =AC ，∵BAC =90°，∵∵ABC =∵ACB =45°，∵FB ∵BC ，∵∵FBA =45°，∵∵AFB ∵∵AEC ，∵CE =BF ，故①正确，②：由①中证明∵AFB ∵∵AEC ，∵AF =AE ，∵∵DAE =45°，FA ∵AE ，∵∵FAD =∵DAE =45°，∵∵AFD ∵∵AED ，连接FD ，∵FB =CE ，∵CE 2+BD 2=FB 2+BD 2=FD 2=DE 2，故②正确，③：如图，设AD 与EF 的交点为G ，∵∵FAD =∵EAD =45°，AF =AE ，∵AD ∵EF ，EF =2EG ，∵S ∵ADE =12•AD •EG =12•AD •12EF =14• AD •EF ， 故③正确，④∵FB 2+BE 2=EF 2，CE =BF ，∵CE 2+BE 2=EF 2，在Rt ∵AEF 中，AF =AE ，AF 2+AE 2=EF 2，∵EF 2=2AE 2，∵CE 2+BE 2=2AE 2，故④错误．故答案为：①②③．【点评】本题考查了勾股定理、全等三角形的判定定理以及等腰直角直角三角形的性质，此题涉及的知识面比较广，解题时要注意仔细分析，难度较大．14．在Rt ABC ∆中，90ACB ∠=︒，30A ∠=︒，2BC =，D 为AC 中点，E 为边AB 上一动点，当四边形BCDE 有一组邻边相等时，则AE 的长为_____________．【答案】2或3或135． 【分析】分BC BE =、CD DE =、BE DE =三种情况考虑，当BC BE =时，由AE AB BE =-即可求出AE 的长度；当CD DE =时，过点D 作DF AE ⊥于F ，通过解直角三角形可得出AF 的长度，再根据等腰三角形的三线合一即可得出AE 的长度；当BE DE =时，过点D 作DF AE ⊥于F ，设EF x =，则52BE x =-，利用勾股定理表示出2DE 的值，结合BE DE =即可得出关于x 的一元一次方程，解之即可得出x 的值，进而即可得出AE 的长度，综上即可得出结论．【详解】解：在Rt ABC 中，90ACB ∠=︒，30A ∠=︒，2BC =，4AB ∴=，AC =， D 为AC 中点，AD CD ∴=当四边形BCDE 有一组邻边相等时，由以下三种情况．①如图1，当BC BE =时，2BE BC ∴==，422AE AB BE ∴=-=-=；②如图2，当CD DE =时，作DF AE ⊥，垂足为点F ，AD CD DE ∴===12AF EF AE ∴==，在Rt ADF 中，1122DF AD ===32AF ∴==， 32232AE AF ∴==⨯=； ③如图3，当BE DE =时，作DF AE ⊥，垂足为点F ，35422BF AB AF ∴=-=-=， 设EF x =，则52BE BF EF x =-=-，在Rt DEF △中，DF =，52DE BE x ==-，EF x =， 222EF DF DE ∴+=，即22252x x ⎛⎫+=- ⎪⎝⎭⎝⎭， 解得：1110x =， 即1110EF =， 311132105AE AF EF ∴=+=+=． 故答案为：2或3或135． 【点睛】 本题考查了勾股定理、等腰三角形的性质、含30度角的直角三角形以及解一元一次方程，分三种情况寻找AE 的长度是解题的关键．15．如图，在四边形ABCD 中，45B C ∠=∠=︒，P 是BC 上一点，PA PD =，90APD ∠=︒，AB CD BC+=______．【分析】 通过等腰直角三角形构建一线三等角模型求解即可．【详解】解：如图所示，分别过A 、D 作AE BC ⊥于E ，DF BC ⊥于F∵90AEP DFP ∠=∠=︒∵90APE PAE ∠+∠=︒,90DPF PDF ∠+∠=︒∵90APD ∠=︒∵90APE DPF +=︒∠∠∵APE DPF ∠=∠ ,PAE DPF ∠=∠在AEP △与DFP △中APE DPF PA PDPAE DPF ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩∵()AEP DPF ASA ≅△△∵AE PF = ，PE DF =45,C ∠=︒45,FDC C ∴∠=∠=︒,DF FC PE ∴==在Rt ABE △中，45B ∠=︒∵AB ==同理可得：CD ==∵)()2BE CF AB CD BC BE CF ++===+2 ． 【点睛】本题考察特殊的直角三角形，灵活运用一线三等角模型及特殊直角三角形三边关系是解题的关键．16．如图，在Rt ABC 中，90C ∠=︒，点D 在BC 上，点E 为Rt ABC △外一点，且ADE为等边三角形，60CBE ∠=︒，若7BC =，4BE =，则ADE 的边长为__________．【答案】【分析】在BC 的延长线上取点F ，使得60AFD ∠=︒，证()AFD DBE AAS △≌△，得4FD BE ==，AF BD =，设CF x =，则4CD x =-，3BD x =+，再由含30角的直角三角形的性质得2AF x =，则23x x =+，解得3x =，即可解决问题．【详解】解：在BC 的延长线上取点F ，使得60AFD ∠=︒，∵ADE 是等边三角形，∵AD DE AE ==，60ADE ∠=︒，∵ADB AFD DAF ADE EDB ∠=∠+∠=∠+∠，∵DAF EDB ∠=∠，在AFD 和DBE 中，60AFD DBE DAF EDBAD DE ∠=∠=︒⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∵()AFD DBE AAS △≌△，∵4FD BE ==，AF BD =，设CF x =，则4CD x =-，)743(BD x x =--=+，∵90ACB ∠=︒，∵90ACF ∠=︒，∵906030CAF ∠=︒-︒=︒，∵22AF CF x ==，∵23x x =+，解得：3x =，∵3,CF AC ==∵1CD =，∵AD ===故答案为：【点睛】本题考查等边三角形的性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理、含30°角的直角三角形的性质．三、解答题17．如图，△MON＝90°，矩形ABCD的顶点A、B分别在边OM，ON上，当B在边ON上运动时，A随之在边OM上运动，矩形ABCD的形状保持不变，其中AB＝2，BC＝1，求运动过程中，点D到点O的最大距离．＋1【分析】取AB的中点E，连接OE、DE、OD，根据三角形的任意两边之和大于第三边可知当O、D、E三点共线时，点D到点O的距离最大，再根据勾股定理列式求出DE的长，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半求出OE的长，两者相加即可得．【详解】解：如图，取AB的中点E，连接OE、DE、OD，∵OD≤OE＋DE，∵当O、D、E三点共线时，点D到点O的距离最大，此时，∵AB＝2，BC＝1，AB＝1，∵OE＝AE＝12DE，∵OD＋1．【点睛】此题考查勾股定理，三角形三边的关系，矩形的性质，直角三角形斜边上中线等于斜边的一半的性质．18．如图，是由边长为1的小正方形构成的10×10网格，每个小正方形的顶点叫做格点．五边形ABCDE的顶点在格点上，仅用无刻度的直尺在给定网格中画图，画图过程用虚线表示，画图结果用实线表示，按步骤完成下列问题：（1）五边形ABCDE的周长为．（2）在AB上找点F，使E，C两点关于直线DF对称；（3）设DF交CE于点G，连接AG，直接写出四边形AEDG的面积；（4）在直线DF上找点H，使△AHB＝135°．【答案】（1）20（2）见解析；（3）10；（4）见解析．【分析】（1）根据勾股定理求出五边形ABCDE各边的长，相加即可；（2）连接EC，作DF∵EC交AB于点F即可；（3）分成两个三角形求面积即可；（4）利用等腰直角三角形的性质求解即可．【详解】DE=，解：（1）由题意，5AB BC CD===，AE5∵五边形ABCDE的周长故答案为：20（2）如图，连接EC ，作DF ∵EC 交AB 于点F ，点F 即为所求作．∵5DE CD ==，DF ∵EC ，∵CE GE =，∵点D ，G 是CE 垂直平分线上的点，∵DF 是CE 的垂直平分线，∵E ，C 两点关于直线DF 对称；（3）∵EG =AG AE ==∵222AG AE EG +=，∵AEG △是直角三角形；∵11521022AEG DEG AEDG S S S =+=⨯⨯⨯=四边形． （4）如图，过点A 作AH ∵DF 于H ，连接BH ，则点H 即为所求作．∵BK KH =BH ==∵222KH B H K B +=．∵BHK 是等腰直角三角形．∵45BHK ∠=︒．∵135AHB ∠=︒．【点睛】本题考查作图-轴对称变换，勾股定理，三角形的面积等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．19．已知△ACB 和△ECD 都是等腰直角三角形，△ACB ＝△ECD ＝90°．（1）如图1，若D 为△ACB 内部一点，请判断AE 与BD 的数量关系，并说明理由； （2）如图2，若D 为AB 边上一点，AD ＝5，BD ＝12，求DE 的长．（3）运用（1）（2）解答中所积累的经验和知识，完成下题：如图3，已知△CAE =90°，AC =AE ，45ABC ∠=︒，AB =BC =1，求BE 的长．图1 图2 图3【答案】（1）AE BD =，理由见解析；（2）13；（3【分析】（1）证明AEC BDC ≌△△即可得AE BD =；（2）方法同（1）证明AEC BDC ≌△△，从而90,EAD ∠=︒AE BD =，最后由勾股定理即可求得DE（3）根据（1）（2）的方法作点C 关于AB 对称点C '则BC BC '=，连接,BC EC ''，证明BC E '∠=90︒，通过证明C AC '△≌C AE '△得CC C E ''=，在Rt BC E '中用勾股定理求得BE 的长．【详解】（1）如图∵ACB 和∵ECD 都是等腰直角三角形，∵ACB ＝∵ECD ＝90°,,1290,2390CE CD CA CB ∴==∠+∠=︒∠+∠=︒13∠∠∴=∴AEC BDC ≌△△(SAS)∴AE BD =．（2）如图∵ACB 和∵ECD 都是等腰直角三角形，∵ACB ＝∵ECD ＝90°,,1290,2390CE CD CA CB ∴==∠+∠=︒∠+∠=︒,45B CAB ∠=∠=︒13∠∠∴=∴AEC BDC ≌△△(SAS)∴AE BD =，4B ∠=∠490EAD CAB ∴∠=∠+∠=︒在Rt ADE △中，12,5AE BD AD ===13ED ∴==．（3）如图：作点C 关于AB 对称点C '，连接,BC EC ''则1BC BC '==,AC AC '=，455ABC ∠∠==︒90C BC '∴∠=︒C C '∴==AB BC BC '==BAC BCA BAC '∴∠=∠=∠1(18045)67.52BC A '=∠=⨯︒-︒=︒ 267.5135CAC '∴∠=⨯︒=︒360C AE CAE CAC ''∴∠=︒-∠-∠36067.5290=︒-︒⨯-︒135=︒CAC C AE ''∴∠=∠又AE AC AC '==1112(180)(180135)22.5,22C AE '∴∠=∠=⨯︒-∠=⨯︒-︒=︒ 1134(180)(180135)22.522C AC '∠=∠=⨯︒-∠=⨯︒-︒=︒ 13∠∠∴=∴167.522.590BC E BC A ''∠=∠+∠=︒+︒=︒在C AC '△与C AE '△中13AC AC C AE C AC ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠='∠''⎩'∴C AC '△≌C AE '△（AAS ）CC C E ''∴==在Rt BC E '中C E '，1BC '=BE ∴．【点睛】本题考查了轴对称图形的性质，三角形全等的判定与性质，等腰三角形的性质，勾股定理，找到三角形全等的条件或通过辅助线构造三角形全等的条件是解题的关键．20．已知在△ABC 中，AB =AC ，点D 是BC 边上一点，连接AD ，在直线AD 右侧作等腰△ADE ，AD =AE ．（1）如图1，若△BAC =△DAE =90°，连接CE ．求证：△ABD △△ACE ；（2）如图2，若△BAC =△DAE =120°，AB =AC =2．①当AE △BC 时，求线段BD 的长；②取AC 边的中点F ，连接EF ．当点D 从点B 运动到点C 过程中，求线段EF 长度的最小值与最大值．【答案】（1）证明见解析；（2）①BD =；②线段EF 长度的最小值为12【分析】（1）由“SAS ”可证得ABD ACE △≌△；（2）①如图1，过点D 作DM ∵AB 于点M ，连接CE ，根据∵BAC =∵DAE =120°求出∵BAD =∵CAE ，然后根据平行性质求出∵ABC =∵ACB =∵EAC =30°，得到ABD △是等腰三角形，然后就可以求解了．②如图2，取AB 中点G ，连接DG ，CG ，由“SAS ”可证AFE AGD △≌△，可得GD=EF , 当GD ∵BC 时，GD 有最小值．当点D 与点C 重合时，DG 有最大值为CG ，即EF 也有最大值．【详解】证明：（1）∵∵BAC =∵DAE =90°，∵∵BAD =∵CAE ．∵AB =AC ，AD =AE ，∵ABD ACE △≌△（SAS ）；（2）解：①如图1，过点D 作DM ∵AB 于点M ，连接CE ，∵∵BAC =∵DAE =120°，∵∵BAD =∵CAE ．∵∵BAC =120°，AB =AC ，∵∵ABC =∵ACB =30°．∵AE ∵BC ，∵∵EAC =∵ACB =30°，∵∵BAD =30°，∵AD =BD ，∵BM 12=AB =1，∵DM ∵BD = ②如图2，取AB 中点G ，连接DG ，CG ，∵AB =AC =2，点F 是AC 中点，点G 是AB 中点，∵AG =BG =AF =CF =1．∵∵BAC =∵DAE =120°，∵∵BAD =∵CAE ．∵AD=AE，AG=AF，∵AFE AGD△≌△（SAS），∵GD=EF，∵DG有最小值，EF也有最小值，∵当GD∵BC时，GD有最小值．∵∵BAC=120°，AB=AC，∵∵ABC=30°，GD∵BC，BG=1，∵GD12=，BD=当点D与点C重合时，DG有最大值为CG，即EF也有最大值．∵BD=BC∵CD=，∵CG==∵线段EF长度的最小值为12．故答案为：最小值是12【点睛】本题是三角形综合题，考查了平行线的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，等腰三角形的性质，直角三角形的性质，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键．一、单选题1．（2020·苏州市吴江区盛泽第二中学）如图，在△ABC中，AC=BC，△ACB=90°，点D在BC 上，BD=6，DC=2，点P是AB上的动点，则PC+PD的最小值为（）A．8B．10C．12D．14【答案】B【分析】过点C作CO∵AB于O，延长CO到C′，使OC′＝OC，连接DC′，交AB于P，连接CP，此时DP＋CP＝DP＋PC′＝DC′的值最小．由DC＝2，BD＝6，得到BC＝8，连接BC′，由对称性可知∵C′BA＝∵CBA＝45°，于是得到∵CBC′＝90°，然后根据勾股定理即可得到结论．【详解】解：过点C 作CO ∵AB 于O ，延长CO 到C ′，使OC ′＝OC ，连接DC ′，交AB 于P ，连接CP ． 此时DP ＋CP ＝DP ＋PC ′＝DC ′的值最小．∵DC ＝2，BD ＝6，∵BC ＝8，连接BC ′，由对称性可知∵C ′BA ＝∵CBA ＝45°，∵∵CBC ′＝90°，∵BC ′∵BC ，∵BCC ′＝∵BC ′C ＝45°，∵BC ＝BC ′＝8，根据勾股定理可得DC ′10．故选：B ．【点睛】此题考查了轴对称﹣线路最短的问题，确定动点P 为何位置时 PC ＋PD 的值最小是解题的关键．2．（2020·宁波市第十五中学九年级期中）如图，ACB ∆和ECD ∆都是等腰直角三角形，CA CB =，CE CD =，ACB ∆的顶点A 在ECD ∆的斜边DE 上，AB 、CD 交于F ，若6AE =，8AD =，则AF 的长为（ ）A ．5B ．407C ．285D ．6【答案】B【分析】 连接BD ，自F 点分别作FG AD ⊥，FH BD ⊥交AD 、BD 于G 、H 点，通过证明ECA DCB ≅，可得45,6E CDB AE BD ︒∠=∠===，根据勾股定理求出AB 的长度，再根据角平分线的性质可得FG FH =，根据三角形面积公式可得34BF AF =，代入10AF BF AB +==中即可求出BF 的值．【详解】如图，连接BD ，自F 点分别作FG AD ⊥，FH BD ⊥交AD 、BD 于G 、H 点∵ACB ∆和ECD ∆都是等腰直角三角形∵90,45ECD ACB EDC E ︒︒∠=∠=∠=∠=90ECA ACD DCB ︒∴∠=-∠=∠在∵ECA 和∵DCB 中CA CB ECA DCB CE CD =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩ECA DCB ∴≅45,6E CDB AE BD ︒∴∠=∠===45EDC ︒∠=90ADB EDC CDB ︒∴∠=∠+∠=在Rt∵ADB中，AB 8,6AD BD ==10AB ∴=45CDB EDC ︒∠=∠=∵DF 是∵ADB 的角平分线,FG AD FH BD ⊥⊥FG FH ∴=18421632ADF BDF AD FG S AD S BD BD FH ∆⨯∴====⨯ ∵∵ADF 底边AF 上的高h 与∵BDF 底边BF 上的高h 相同142132ADF BDF AF h S AF S BF BF h ∆∆⨯∴===⨯ 34BF AF ∴= 10AF BF AB +== 3104AF AF ∴+= 407AF ∴=故答案为：B．【点睛】本题考查了三角形的综合问题，掌握等腰直角三角形的性质、全等三角形的性质以及判定定理、勾股定理、角平分线的性质、三角形面积公式是解题的关键．3．（2020·四川）（2019秋•陇西县期中）若△ABC中，AB＝7，AC＝8，高AD＝6，则BC的长是（）A．B．C．D．以上都不对【答案】C【分析】在∵ABC中，由∵A可能是锐角或是钝角，高AD可能线段BC上或BC的延长线上，分两种情况求解，根据勾股定理，线段和差求出线段BC的长为是．【详解】解：（1）当高AD在BC上时，如图1所示：∵AD∵BC，∵在Rt∵ABD中，由勾股定理得，BD=又∵AB＝7，AD＝6，∵BD=同理可得：DC＝，又∵BC＝BD+DC，∵BC=；当高AD在BC的延长线上时，如图2所示：∵AD∵BC，∵在Rt∵ADC中，由勾股定理得，DC=又∵AC＝8，AD＝6，∵DC==，同理可得；DB=又∵BC＝DC﹣DB，∵BC＝综合所述：BC的长是故选：C．【点睛】本题综合考查了勾股定理的运用，线段的和差计算等相关知识，重点掌握勾股定理的运用，易错点三角形可能是锐角三角形或钝角三角形．BC=，AD、CE分别是4．（2019·浙江温州市·九年级）如图，在ABC中，AC=13ABC的高线与中线，点F是线段CE的中点，连接DF．若DF CE⊥，则AB=（）A．10B．11C．12D．13【答案】A【分析】连接DE，根据直角三角形的性质得到AB=2DE，根据线段垂直平分线的性质得到DE=DC，得到AB=2CD，根据勾股定理列式计算得到得到答案．解：连接DE ，∵AD∵BC ，点E 是AB 的中点，∵AB=2DE ， ∵DF∵CE ，点F 是线段CE 的中点，∵DE=DC ， ∵AB=2CD ，在Rt∵ABD 中，222AD AB BD =-，在Rt∵ACD 中，222AD AC DC =-，∵22AC DC -=22AB BD -，即2222(2)(13)CD CD CD -=--，解得，CD=5， ∵AB=2CD=10，故选：A ．【点睛】本题考查的是勾股定理、直角三角形的性质，熟练掌握定理是关键．5．（2020·杭州市建兰中学九年级月考）我国汉代数学家赵爽为了证明勾股定理，创制了一幅“弦图”，后人称其为“赵爽弦图”．如图是由弦图变化得到，它是用八个全等的直角三角形拼接而成，记图中正方形ABCD ，正方形EFGH ，正方形MNKT 的面积分别为S 1，S 2，S 3．若S 1+S 2+S 3＝12，则下列关于S 1、S 2、S 3的说法正确的是（ ）A ．S 1＝2B ．S 2＝3C ．S 3＝6D ．S 1+S 3＝8【答案】D【分析】 根据八个直角三角形全等，四边形ABCD ，EFGH ，MNKT 是正方形，得出CG NG =，CF DG NF ==，再根据三个正方形面积公式列式相加：12312S S S ++=，求出2GF 的值，从而可以计算结论即可．解：八个直角三角形全等，四边形ABCD ，EFGH ，MNKT 是正方形，CG NG ∴=，CF DG NF ==，21()S CG DG ∴=+，222CG DG CG DG =++⋅，22GF CG DG =+⋅，22S GF =，2223()2S NG NF NG NF NG NF =-=+-⋅，2222212322312S S S GF CG DG GF NG NF NG NF GF ∴++=+⋅+++-⋅==，24GF ∴=，24S ∴=，12312S S S ++=，138S S ∴+=，故选：D ．【点睛】此题主要考查了勾股定理的应用，用到的知识点是勾股定理和正方形、全等三角形的性质，根据已知得出2312GF =是解决问题的关键．6．（2019·常熟市第一中学八年级月考）如图，在ABC 中，,904C AC ︒∠==cm ，3BC =cm ，点D 、E 分别在AC 、BC 上，现将DCE 沿DE 翻折，使点C 落在点'C 处，连接AC '，则AC '长度的最小值 （ ）A ．不存在B ．等于 1cmC ．等于 2 cmD ．等于 2.5 cm【分析】当C′落在AB上，点B与E重合时，AC'长度的值最小，根据勾股定理得到AB=5cm，由折叠的性质知，BC′=BC=3cm，于是得到结论．【详解】解：当C′落在AB上，点B与E重合时，AC'长度的值最小，∵∵C=90°，AC=4cm，BC=3cm，∵AB=5cm，由折叠的性质知，BC′=BC=3cm，∵AC′=AB-BC′=2cm．故选：C．【点睛】本题考查了翻折变换（折叠问题），勾股定理，熟练掌握折叠的性质是解题的关键．7．（2020·四川省岳池中学八年级月考）在△ABC中，△BCA=90△,AC=6,BC=8,D是AB的中点，将△ACD沿直线CD折叠得到△ECD，连接BE，则线段BE的长等于（）A．5B．75C．145D．365【答案】C【分析】根据勾股定理及直角三角形的中线、翻折得CD=DE=BD=5，CE=AC=6，作DH∵BE于H，EG∵CD于G，证明∵DHE∵∵EGD，利用勾股定理求出75EH DG==，即可得到BE.【详解】∵∵BCA=90∵，AC=6，BC=8， ∵22226810AB AC BC ，∵D 是AB 的中点，∵AD=BD=CD=5，由翻折得：DE=AD=5，∵EDC=∵ADC ，CE=AC=6，∵BD=DE ，作DH∵BE 于H ，EG∵CD 于G ，∵∵DHE=∵EGD=90︒，∵EDH=12∵BDE=12（180︒-2∵EDC ）=90︒-∵EDC ，∵∵DEB= 90︒-∵EDH=90︒-(90︒-∵EDC)=∵EDC ，∵DE=DE ，∵∵DHE∵∵EGD ，∵DH=EG ，EH=DG ，设DG=x ，则CG=5-x ，∵2EG =2222DE DG CE CG -=-，∵222256(5)x x -=--，∵75x =， ∵75EH DG ==， ∵BE=2EH=145， 故选：C.【点睛】此题考查翻折的性质，勾股定理，等腰三角形的性质，将求BE 转换为求其一半的长度的想法是关键，由此作垂线，证明∵DHE∵∵EGD ，由此求出BE 的长度.8．（2021·山西）如图，在长方形纸片ABCD 中，8AB cm =，6AD cm =. 把长方形纸片沿直线AC 折叠，点B 落在点E 处，AE 交DC 于点F ，则AF 的长为（ ）A ．254cmB ．152cmC ．7cmD ．132cm 【答案】A【分析】由已知条件可证∵CFE∵∵AFD ，得到DF=EF,利用折叠知AE=AB=8cm ，设AF=xcm ，则DF=(8-x)cm ，在Rt∵AFD 中，利用勾股定理即可求得x 的值.【详解】∵四边形ABCD 是长方形，∵∵B=∵D=900，BC=AD,由翻折得AE=AB=8m ，∵E=∵B=900,CE=BC=AD又∵∵CFE=∵AFD∵∵CFE∵∵AFD∵EF=DF设AF=xcm ，则DF=（8-x ）cm在Rt∵AFD 中，AF 2=DF 2+AD 2,AD=6cm ，222(8)6x x =-+254x cm = 故选择A.【点睛】此题是翻折问题，利用勾股定理求线段的长度.二、填空题9．（2021·华东师范大学青岛实验中学八年级期中）如图，在Rt ABC 中，ACB 90,AC 6,BC 8∠=︒==，AD 平分CAB ∠交BC 于D 点，E 、F 分别是AD 、AC 上的动点，则CE EF +的最小值为________．。

勾股定理典型练习题(含答案)1.勾股定理典型练题勾股定理是几何中的一个重要定理。

在我国古算书《周髀算经》中就有“若勾三，股四，则弦五”的记载。

如图1所示，由边长相等的小正方形和直角三角形构成，可以用其面积关系验证勾股定理。

图2是由图1放入矩形内，已知AC = 4，点D，E，F，G，H，I都在矩形KLMJ的边上，则矩形KLMJ的面积为多少？已知AB = 3，得到∠BAC = 90°。

根据勾股定理，BC = 5.所以矩形KLMJ的面积为 4 × 5 + 3 × 4 = 32.因此，答案为C。

2.勾股定理典型练题XXX所示，是一株美丽的勾股树，其中所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形。

若正方形A，B，C，D的边长分别是3，5，2，3，则最大正方形E的面积是多少？根据图中所示，正方形E的边长为2，所以面积为2 × 2 = 4.因此，答案为C。

3.勾股定理典型练题如图所示，在边长为4的等边三角形ABC中，AD是BC边上的高，点E，F是AD上的两点。

则图中阴影部分的面积是多少？首先，根据勾股定理，AC = 4，BC = 4，AB = 4√2.因此，三角形ABC的面积为4√2 × 4 / 2 = 8√2.由于三角形ADE和三角形ABF相似，所以ADE的面积是ABF的面积的一半。

同理，三角形BDF和三角形BCE相似，所以BDF的面积是BCE的面积的一半。

因此，阴影部分的面积为8√2 - 2 × 2 - 2 ×1 = 8√2 - 6.因此，答案为C。

4.勾股定理典型练题如图所示，直线l上有三个正方形a，b，c，若a，c的面积分别为5和11，则b的面积为多少？根据图中所示，正方形a和正方形c的边长分别为√5和√11.因此，正方形b的边长为√11 - √5，所以面积为(√11 - √5)² = 6.因此，答案为C。

5.勾股定理典型练题如图所示，分别以直角△ABC的三边AB、BC、CA为直径向外作半圆，设直线AB左边阴影部分面积为S1，右边阴影部分面积为S2，则S1和S2的大小关系是什么？首先，根据勾股定理，AB = √(BC² + AC²) = 2√2.因此，半圆的面积为π × (2√2 / 2)² = 2π。

中考数学勾股定理知识点及练习题及解析一、选择题1．△ABC 中，AB=15，AC=13，高AD=12，则△ABC 的周长为（ ） A ．42B ．32C ．42或32D ．37或332．如图，等边ABC ∆的边长为1cm ，D ，E 分别是AB ，AC 上的两点，将ADE ∆沿直线DE 折叠，点A 落在点'A 处，且点'A 在ABC ∆外部，则阴影部分图形的周长为（ ）A ．1cmB ．1.5cmC ．2cmD ．3cm3．如图，在ABC 中，90A ∠=︒，6AB =，8AC =，ABC ∠与ACB ∠的平分线交于点O ，过点O 作⊥OD AB 于点D ，若则AD 的长为( )A ．2B ．2C ．3D ．44．如图，AB ＝AC ，∠CAB ＝90°，∠ADC=45°，AD ＝1，CD ＝3，则BD 的长为（ ）A ．3B 11C ．3D ．45．以线段a 、b 、c 的长为边长能构成直角三角形的是（ ）A ．a =3，b=4，c=6B ．a =1，2，3C ．a =5，b=6，c=8D ．a 3b=2，56．在ABC 中，90C ∠=︒，30A ∠=︒，12AB =，则AC =（ ） A ．6B ．12C ．62D ．37．如图，2002年8月在北京召开的国际数学家大会会徽取材于我国古代数学家赵爽的《勾股圆方图》（也称《赵爽弦图》），它是由四个全等的直角三角形与中间的一个小正方形拼成的一个大正方形，如图所示，如果大正方形的面积是13，小正方形的面积是1，直角三角形的短直角边为a ，较长直角边为b ，那么2a b （）+的值为（ ）A ．13B ．19C ．25D ．1698．如图，在△ABC 中，AB=8，BC=10，AC=6，则BC 边上的高AD 为（ ）A ．8B ．9C ．245D ．109．甲、乙两艘轮船同时从港口出发，甲以16海里/时的速度向北偏东75︒的方向航行，它们出发1.5小时后，两船相距30海里，若乙以12海里/时的速度航行，则它的航行方向为（ ） A ．北偏西15︒B ．南偏西75°C ．南偏东15︒或北偏西15︒D ．南偏西15︒或北偏东15︒10．如图，直角三角形两直角边的长分别为3和4，以直角三角形的两直边为直径作半圆，则阴影部分的面积是（ ）A ．6B ．32π C ．2π D ．12二、填空题11．如图所示的网格是正方形网格，则ABC ACB ∠+∠=__________°（点A ，B ，C 是网格线交点）．12．如图，在四边形ABCD 中，AB =AD ，BC=DC ，点E 为AD 边上一点，连接BD 、CE ，CE 与BD 交于点F ，且CE ∥AB ，若∠A =60°，AB=4，CE=3，则BC 的长为_______．13．如图，这是由八个全等的直角三角形拼接而成，记图中正方形ABCD ，正方形EFGH ，正方形MNKT 的面积分别为 1S ，2S ，3S ，若123144S S S ++=，则2S 的值是__________．14．如图，等腰梯形ABCD 中，//AD BC ，1AB DC ==，BD 平分ABC ∠，BD CD ⊥，则AD BC +等于_________.15．已知Rt △ABC 中，AC ＝4，BC ＝3，∠ACB ＝90°，以AC 为一边在Rt △ABC 外部作等腰直角三角形ACD ，则线段BD 的长为_____．16．如图，在锐角ABC ∆中，2AB =，60BAC ∠=，BAC ∠的平分线交BC 于点D ，M ，N 分别是AD 和AB 上的动点，则BM MN +的最小值是______.17．如图,30AOB ∠=︒，点,M N 分别在,OA OB 上，且6,8OM ON ==，点,P Q 分别在,OB OA 上运动，则PM PQ QN ++的最小值为______．18．如图，P 是等边三角形ABC 内的一点，且PA=3，PB=4，PC=5，以BC 为边在△ABC 外作△BQC ≌△BPA ，连接PQ ，则以下结论中正确有_____________ (填序号) ①△BPQ 是等边三角形 ②△PCQ 是直角三角形 ③∠APB=150° ④∠APC=135°19．如图，△ABC 中，AB=AC=13，BC=10，AD 是BAC ∠的角平分线，E 是AD 上的动点，F 是AB 边上的动点，则BE+EF 的最小值为_____．20．如图的实线部分是由Rt ABC ∆经过两次折叠得到的.首先将Rt ABC ∆沿高CH 折叠，使点B 落在斜边上的点B '处，再沿CM 折叠，使点A 落在CB '的延长线上的点A '处.若图中90ACB ∠=︒，15cm BC =，20cm AC =，则MB '的长为______.三、解答题21．阅读与理解：折纸，常常能为证明一个命题提供思路和方法．例如，在ABC 中，AB AC >（如图），怎样证明C B ∠>∠呢？分析：把AC 沿A ∠的角平分线AD 翻折，因为AB AC >，所以，点C 落在AB 上的点C '处，即AC AC '=，据以上操作，易证明ACD AC D '△△≌，所以AC D C '∠=∠，又因为AC D B '∠>∠，所以C B ∠>∠．感悟与应用：（1）如图（a ），在ABC 中，90ACB ∠=︒，30B ∠=︒，CD 平分ACB ∠，试判断AC 和AD 、BC 之间的数量关系，并说明理由；（2）如图（b ），在四边形ABCD 中，AC 平分BAD ∠，16AC =，8AD =，12DC BC ==，①求证：180B D ∠+∠=︒； ②求AB 的长．22．如图1，在等腰直角三角形ABC 中，动点D 在直线AB （点A 与点B 重合除外）上时，以CD 为一腰在CD 上方作等腰直角三角形ECD ，且90ECD ∠=︒，连接AE ．（1）判断AE 与BD 的数量关系和位置关系；并说明理由．（2）如图2，若4BD =，P ，Q 两点在直线AB 上且5EP EQ ==，试求PQ 的长． （3）在第（2）小题的条件下，当点D 在线段AB 的延长线（或反向延长线）上时，判断PQ 的长是否为定值．分别画出图形，若是请直接写出PQ 的长；若不是请简单说明理由．23．如图，将一长方形纸片OABC 放在平面直角坐标系中，(0,0)O ，(6,0)A ，(0,3)C ，动点F 从点O 出发以每秒1个单位长度的速度沿OC 向终点C 运动，运动23秒时，动点E 从点A 出发以相同的速度沿AO 向终点O 运动，当点E 、F 其中一点到达终点时，另一点也停止运动．设点E 的运动时间为t :（秒）（1）OE =_________，OF =___________（用含t 的代数式表示）（2）当1t =时，将OEF ∆沿EF 翻折，点O 恰好落在CB 边上的点D 处，求点D 的坐标及直线DE 的解析式；（3）在（2）的条件下，点M 是射线DB 上的任意一点，过点M 作直线DE 的平行线，与x 轴交于N 点，设直线MN 的解析式为y kx b =+，当点M 与点B 不重合时，设MBN ∆的面积为S ，求S 与b 之间的函数关系式．24．Rt ABC ∆中，90CAB ∠=，4AC =，8AB =，M N 、分别是边AB 和CB 上的动点，在图中画出AN MN +值最小时的图形，并直接写出AN MN +的最小值为 .25．已知ABC ∆中，AB AC =.（1）如图1，在ADE ∆中，AD AE =，连接BD 、CE ，若DAE BAC ∠=∠，求证：BD CE =（2）如图2，在ADE ∆中，AD AE =，连接BE 、CE ，若60DAE BAC ∠=∠=，CE AD ⊥于点F ，4AE =，5EC =，求BE 的长；（3）如图3，在BCD ∆中，45CBD CDB ∠=∠=，连接AD ，若45CAB ∠=，求ADAB的值.26．我国古代数学家赵爽曾用图1证明了勾股定理，这个图形被称为“弦图”.2002年在北京召开的国际数学家大会(ICM 2002)的会标(图2)，其图案正是由“弦图”演变而来.“弦图”是由4个全等的直角三角形与一个小正方形组成，恰好拼成一个大正方形请你根据图1解答下列问题:(1)叙述勾股定理(用文字及符号语言叙述); (2)证明勾股定理;(3)若大正方形的面积是13,小正方形的面积是1,求()2a b +的值.27．如图，在四边形ABCD 中，=AB AD ，=BC DC ，=60A ∠︒，点E 为AD 边上一点，连接CE ，BD . CE 与BD 交于点F ，且CE ∥AB .（1）求证:CED ADB ∠=∠； （2）若=8AB ，=6CE . 求BC 的长 .28．定义：在△ABC 中，若BC ＝a ，AC ＝b ，AB ＝c ，若a ，b ，c 满足ac +a 2＝b 2，则称这个三角形为“类勾股三角形”，请根据以上定义解决下列问题：（1）命题“直角三角形都是类勾股三角形”是命题（填“真”或“假”）；（2）如图1，若等腰三角形ABC是“类勾股三角形”，其中AB＝BC，AC＞AB，请求∠A的度数；（3）如图2，在△ABC中，∠B＝2∠A，且∠C＞∠A．①当∠A＝32°时，你能把这个三角形分成两个等腰三角形吗？若能，请在图2中画出分割线，并标注被分割后的两个等腰三角形的顶角的度数；若不能，请说明理由；②请证明△ABC为“类勾股三角形”．29．菱形ABCD中，∠BAD＝60°，BD是对角线，点E、F分别是边AB、AD上两个点，且满足AE＝DF，连接BF与DE相交于点G．（1）如图1，求∠BGD的度数；（2）如图2，作CH⊥BG于H点，求证：2GH＝GB+DG；（3）在满足（2）的条件下，且点H在菱形内部，若GB＝6，CH＝43，求菱形ABCD的面积．30．（发现）小慧和小雯用一个平面去截正方体，得到一个三角形截面（截出的面），发现截面一定是锐角三角形．为什么呢？她们带着这个疑问请教许老师．（体验）（1）从特殊入手许老师用1个铆钉把长度分别为4和3的两根窄木棒的一端连在一起（如图，）,保持不动，让从重合位置开始绕点转动，在转动的过程，观测的大小和的形状，并列出下表：的大小的形状…直角三角形…直角三角形…请仔细体会其中的道理，并填空：_____，_____；（2）猜想一般结论在中，设，，（），①若为直角三角形，则满足；②若为锐角三角形，则满足____________；③若为钝角三角形，则满足_____________．（探索）在许老师的启发下，小慧用小刀在一个长方体橡皮上切出一个三角形截面（如图1），设，，，请帮助小慧说明为锐角三角形的道理．（应用）在小慧的基础上，小雯又切掉一块“角”，得到一个新的三角形截面（如图2），那么的形状是（）A．一定是锐角三角形B．可能是锐角三角形或直角三角形，但不可能是钝角三角形C．可能是锐角三角形或直角三角形或钝角三角形【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题1．C解析：C【分析】存在2种情况，△ABC是锐角三角形和钝角三角形时，高AD分别在△ABC的内部和外部【详解】情况一：如下图，△ABC是锐角三角形∵AD是高，∴AD⊥BC∵AB=15，AD=12∴在Rt△ABD中，BD=9∵AC=13，AD=12∴在Rt△ACD中，DC=5∴△ABC的周长为：15+12+9+5=42情况二：如下图，△ABC是钝角三角形在Rt△ADC中，AD=12，AC=13，∴DC=5在Rt△ABD中，AD=12，AB=15，∴DB=9∴BC=4∴△ABC的周长为：15+13+4=32故选：C【点睛】本题考查勾股定理，解题关键是多解，注意当几何题型题干未提供图形时，往往存在多解情况.2．D解析：D根据折叠的性质可得AD=A'D，AE=A'E，易得阴影部分图形的周长为=AB+BC+AC，则可求得答案．【详解】解：因为等边三角形ABC的边长为1cm，所以AB=BC=AC=1cm，因为△ADE沿直线DE折叠，点A落在点A'处，所以AD=A'D，AE=A'E，所以阴影部分图形的周长=BD+A'D+BC+A'E+EC=BD+AD+BC+AE+EC=AB+BC+AC=1+1+1=3（cm）．故选：D．【点睛】此题考查了折叠的性质与等边三角形的性质．此题难度适中，注意掌握数形结合思想与转化思想的应用以及折叠前后图形的对应关系．3．B解析：B【分析】过点O作OE⊥BC于E，OF⊥AC于F，由角平分线的性质得到OD=OE=OF，根据勾股定理求出BC的长，易得四边形ADFO为正方形，根据线段间的转化即可得出结果.【详解】解：过点O作OE⊥BC于E，OF⊥AC于F，∵BO,CO分别为∠ABC，∠ACB的平分线，所以OD=OE=OF，又BO=BO,∴△BDO≌△BEO,∴BE=BD.同理可得，CE=CF.又四边形ADOE为矩形，∴四边形ADOE为正方形.∴AD=AF.∵在Rt△ABC中，AB=6，AC=8，∴BC=10.∴AD+BD=6①,AF+FC=8②，BE+CE=BD+CF=10③，①+②得，AD+BD+AF+FC=14，即2AD+10=14，∴AD=2.故选：B.此题考查了角平分线的定义与性质，以及全等三角形的判定与性质，属于中考常考题型．4．B解析：B【分析】过点A 作AE ⊥AD 交CD 于E ，连接BE ，利用SAS 可证明△BAE ≌△CAD ，利用全等的性质证得∠BED=90°，最后根据勾股定理即可求出BD.【详解】解：如图，过点A 作AE ⊥AD 交CD 于E ，连接BE.∵∠DAE=90°，∠ADE=45°，∴∠ADE=∠AED=45°，∴AE=AD=1，∴在Rt △ADE 中，22112+=∵∠DAE=∠BAC=90°，∴∠DAE+∠EAC=∠BAC+∠EAC ，即∠CAD=∠BAE ，又∵AB=AC,∴△BAE ≌△CAD(SAS)，∴CD=BE=3，∠AEB=∠ADC=45°，∴∠BED=90°，∴在Rt △BED 中，()22223211BE DE +=+=故选B.【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，等腰三角形的判定与性质，勾股定理等知识，作辅助线构造出全等三角形是解题的关键. 5．B解析：B【分析】根据勾股定理的逆定理对四个选项进行逐一分析即可．【详解】A 、222346+≠，C 、222568+≠，D 、222325+≠，故错误；B 、22213+==，能构成直角三角形，本选项正确. 故选B ．【点睛】本题考查了勾股定理的知识点，解题的关键是熟练的掌握勾股定理的定理与运算.6．D解析：D【分析】根据直角三角形的性质求出BC ，根据勾股定理计算，得到答案．【详解】解：∵∠C=90°，∠A=30°，∴BC=12AB=6，由勾股定理得，=故选：D ．【点睛】 本题考查的是直角三角形的性质、勾股定理，掌握在直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的一半是解题的关键．7．C解析：C【解析】试题分析：根据题意得：222c a b =+=13，4×12ab=13﹣1=12，即2ab=12，则2()a b +=222a ab b ++=13+12=25，故选C ．考点：勾股定理的证明；数学建模思想；构造法；等腰三角形与直角三角形．8．C解析：C【分析】本题根据所给的条件得知，△ABC 是直角三角形，再根据三角形的面积相等即可求出BC 边上的高.【详解】∵AB ＝8，BC ＝10，AC ＝6，∴62＋82＝102，∴△ABC 是直角三角形，∠BAC ＝90°，则由面积公式可知，S △ABC ＝12AB ⋅AC ＝12BC ⋅AD ， ∴AD ＝245.故选C. 【点睛】 本题考查了勾股定理的逆定理，需要先证得三角形为直角三角形，再利用三角形的面积公式求得AD 的值.9．C解析：C【分析】先求出出发1.5小时后，甲乙两船航行的路程，进而可根据勾股定理的逆定理得出乙船的航行方向与甲船的航行方向垂直，进一步即可得出答案．【详解】解：出发1.5小时后，甲船航行的路程是16×1.5=24海里，乙船航行的路程是12×1.5=18海里；∵222241857632490030+=+==，∴乙船的航行方向与甲船的航行方向垂直，∵甲船的航行方向是北偏东75°，∴乙船的航行方向是南偏东15°或北偏西15°．故选：C ．【点睛】本题考查了勾股定理的逆定理和方位角，属于常考题型，正确理解题意、熟练掌握勾股定理的逆定理是解题的关键．10．A解析：A【分析】分别求出以AB 、AC 、BC 为直径的半圆及△ABC 的面积，再根据S 阴影=S 1+S 2+S △ABC -S 3即可得出结论．【详解】解：如图所示：∵∠BAC=90°，AB=4cm ，AC=3cm ，BC=5cm ，∴以AB 为直径的半圆的面积S 1=2π（cm 2）；以AC 为直径的半圆的面积S 2=98π（cm 2）； 以BC 为直径的半圆的面积S 3=258π（cm 2）； S △ABC =6（cm 2）；∴S 阴影=S 1+S 2+S △ABC -S 3=6（cm 2）；故选A ．【点睛】 本题考查的是勾股定理，熟知在任何一个直角三角形中，两条直角边长的平方之和一定等于斜边长的平方是解答此题的关键．二、填空题11．45【分析】∠+∠=∠，只需证△ADC是如下图,延长BA至网络中的点D处,连接CD. ABC ACB DAC等腰直角三角形即可【详解】如下图,延长BA至网络中的点D处,连接CD设正方形网络每一小格的长度为1则根据网络，555BC=5，∴5其中BD、DC、BC边长满足勾股定理逆定理∴∠CDA=90°∵AD=DC∴△ADC是等腰直角三角形∴∠DAC=45°故答案为：45°【点睛】本题是在网格中考察勾股定理的逆定理，解题关键是延长BA，构造处△ABC的外角∠CAD 127【分析】连接AC交BD于点O，由题意可证AC垂直平分BD，△ABD是等边三角形，可得∠BAO＝∠DAO＝30°，AB＝AD＝BD，BO＝OD，通过证明△EDF是等边三角形，可得DE＝EF＝DF，由勾股定理可求OC，BC的长．【详解】连接AC，交BD于点O，∵AB ＝AD ，BC ＝DC ，∠A ＝60°，∴AC 垂直平分BD ，△ABD 是等边三角形，∴∠BAO ＝∠DAO ＝30°，AB ＝AD ＝BD ＝4，BO ＝OD ＝2，∵CE ∥AB ，∴∠BAO ＝∠ACE ＝30°，∠CED ＝∠BAD ＝60°，∴∠DAO ＝∠ACE ＝30°，∴AE ＝CE ＝3，∴DE ＝AD−AE ＝1，∵∠CED ＝∠ADB ＝60°，∴△EDF 是等边三角形，∴DE ＝EF ＝DF ＝1，∴CF ＝CE−EF ＝2，OF ＝OD−DF ＝1，22OC CF OF 3∴-=22BC=OB +OC =7∴ 7【点睛】本题考查了等边三角形的性质和判定，勾股定理，熟练运用等边三角形的判定是本题的关键．13．48【分析】用a 和b 表示直角三角形的两个直角边，然后根据勾股定理列出正方形面积的式子，求出2S 的面积．【详解】解：本图是由八个全等的直角三角形拼成的，设这个直角三角形两个直角边中较长的长度为a ，较短的长度为b ，即图中的AE a =，AH b =，则()221S AB a b ==+，2222S HE a b ==+，()223S TM a b ==-， ∵123144S S S ++=，∴()()2222144a b a b a b ++++-= 22222222144a b ab a b a b ab ++++++-=2233144a b +=2248a b +=，∴248S =．故答案是：48．【点睛】本题考查勾股定理，解题的关键是要熟悉赵爽弦图中勾股定理的应用．14．3【分析】由//AD BC ，BD 平分ABC ∠，易证得ABD ∆是等腰三角形，即可求得1AD AB ==，又由四边形ABCD 是等腰梯形，易证得2C DBC ∠=∠，然后由BD CD ⊥，根据直角三角形的两锐角互余，即可求得30DBC ∠=︒，则可求得BC 的值，继而求得AD BC +的值.【详解】解：∵//AD BC ，AB DC =，∴C ABC ∠=∠，ADB DBC ∠=∠，∵BD 平分ABC ∠，∴2ABC DBC ∠=∠，ABD DBC ∠=∠，∴ABD ADB ∠=∠，∴1AD AB ==，∴2C DBC ∠=∠，∵BD CD ⊥，∴90BDC ∠=︒，∵三角形内角和为180°，∴90DBC C ∠+∠=︒，∴260C DBC ∠=∠=︒，∴2212BC CD ==⨯=，∴123AD BC +=+=.故答案为：3．【点睛】本题主要考查对勾股定理，含30度角的直角三角形，等腰三角形的性质和判定，平行线的性质，等腰梯形的性质等知识点的理解和掌握，综合运用这些性质进行推理和计算是解此题的关键．15．7【分析】分三种情形讨论：（1）如图1中，以点C 所在顶点为直角时；（2）如图2中，以点D 所在顶点为直角时；（3）如图3中，以点A 所在顶点为直角时．【详解】（1）如图1中，以点C 所在顶点为直角时．∵AC=CD=4，BC=3，∴BD=CD+BC=7；（2）如图2中，以点D所在顶点为直角时，作DE⊥BC与E，连接BD．在Rt△BDE中DE=2，BE=5，∴BD2229=+=；DE BE（3）如图3中，以点A所在顶点为直角时，作DE⊥BC于E，在Rt△BDE中，DE=4．BE=7，∴BD2265=+=．DE BE故答案为：7或29或65．【点睛】本题考查了勾股定理、等腰直角三角形等知识，解题的关键是学会用分类讨论的思想思考问题．16．3．【分析】作点B关于AD的对称点B′，过点B′作B′N⊥AB于N交AD于M，根据轴对称确定最短路线问题，B′N的长度即为BM+MN的最小值，根据∠BAC=60°判断出△ABB′是等边三角形，再根据等边三角形的性质求解即可．【详解】如图，作点B关于AD的对称点B′，由垂线段最短，过点B′作B′N⊥AB于N交AD于M，B′N最短，由轴对称性质，BM=B′M，∴BM+MN=B′M+MN=B′N，由轴对称的性质，AD垂直平分BB′，∴AB=AB′，∵∠BAC=60°，∴△ABB′是等边三角形，∵AB=2，∴B′N=2×32=3，即BM+MN的最小值是3．故答案为3．【点睛】本题考查了轴对称确定最短路线问题，等边三角形的判定与性质，确定出点M、N的位置是解题的关键，作出图形更形象直观．17．10【分析】首先作M关于OB的对称点M′，作N关于OA的对称点N′，连接M′N′，即为MP+PQ+QN 的最小值，易得△ONN′为等边三角形，△OMM′为等边三角形，∠N′OM′=90°，继而可以求得答案．【详解】作M关于OB的对称点M′，作N关于OA的对称点N′，连接M′N′，即为MP+PQ+QN的最小值．根据轴对称的定义可知：∠N′OQ=∠M′OB=30°，∠ONN′=60°，OM′=OM=6，ON′=ON=8，∴△ONN′为等边三角形，△OMM′为等边三角形，∴∠N′OM′=90°．在Rt△M′ON′中，M′N′=22''OM ON=10．故答案为10．【点睛】本题考查了最短路径问题，根据轴对称的定义，找到相等的线段，得到直角三角形是解题的关键．18．①②③【解析】【详解】解：∵△ABC是等边三角形，60ABC ∴∠=，∵△BQC ≌△BPA ，∴∠BPA =∠BQC ，BP =BQ =4，QC =PA =3，∠ABP =∠QBC ，60PBQ PBC CBQ PBC ABP ABC ∴∠=∠+∠=∠+∠=∠=， ∴△BPQ 是等边三角形，①正确.∴PQ =BP =4，2222224325,525PQ QC PC +=+===，222PQ QC PC ∴+=，90PQC ∴∠=，即△PQC 是直角三角形，②正确.∵△BPQ 是等边三角形，60PBQ BQP ∴∠=∠=，∵△BQC ≌△BPA ，∴∠APB =∠B QC ，6090150BPA BQC ∴∠=∠=+=，③正确.36015060150APC QPC QPC ∴∠=---∠=-∠， 90PQC PQ QC ∠=≠，，45QPC ∴∠≠，即135APC ∠≠，④错误.故答案为①②③.19．12013【解析】 ∵AB=AC ，AD 是角平分线，∴AD ⊥BC ，BD=CD ， ∴B 点，C 点关于AD 对称，如图，过C 作CF ⊥AB 于F ，交AD 于E ，则CF=BE+FF 的最小值，根据勾股定理得，AD=12，利用等面积法得：AB ⋅CF=BC ⋅AD ，∴CF=BC AD AB ⋅=101213⨯=12013故答案为12013. 点睛：本题主要考查的是翻折的性质、垂线段最短、勾股定理的应用及三角形面积的等积法.明确当CF ⊥AB 时，CF 有最小值是解题的关键.20．3【分析】根据题意利用折叠后图形全等，并利用等量替换和等腰三角形的性质进行综合分析求解.【详解】解：由题意可知','ACM A CM BCH B CH ≅≅,∵15cm BC =，20cm AC =，∴'15,'20,BC B C cm AC A C cm ====''20155A B cm =-=，∵90ACB ∠=︒，∴'A M AB ⊥(等量替换)，CH AB ⊥（三线合一），∴25,AB cm = 利用勾股定理假设MB '的长为m ，'257AM AM m ==-，则有222(257)5m m +-=，解得3m =，所以MB '的长为3.【点睛】本题考查几何的翻折问题，熟练掌握并综合利用等量替换和等腰三角形的性质以及勾股定理分析是解题的关键.三、解答题21．（1）BC−AC ＝AD ；理由详见解析；（2）①详见解析；②AB=14【分析】（1）在CB 上截取CE ＝CA ，连接DE ，证△ACD ≌△ECD 得DE ＝DA ，∠A ＝∠CED ＝60°，据此∠CED ＝2∠CBA ，结合∠CED ＝∠CBA ＋∠BDE 得出∠CBA ＝∠BDE ，即可得DE ＝BE ，进而得出答案；（2）①在AB 上截取AM ＝AD ，连接CM ，先证△ADC ≌△AMC ，得到∠D ＝∠AMC ，CD ＝CM ，结合CD ＝BC 知CM ＝CB ，据此得∠B ＝∠CMB ，根据∠CMB ＋∠CMA ＝180°可得；②设BN ＝a ，过点C 作CN ⊥AB 于点N ，由CB ＝CM 知BN ＝MN ＝a ，CN 2＝BC 2−BN 2＝AC 2−AN 2，可得关于a 的方程，解之可得答案．【详解】解：（1）BC−AC ＝AD ．理由如下：如图（a ），在CB 上截取CE ＝CA ，连接DE ，∵CD 平分∠ACB ，∴∠ACD ＝∠ECD ，又CD ＝CD ，∴△ACD ≌△ECD （SAS ），∴DE ＝DA ，∠A ＝∠CED ＝60°，∴∠CED ＝2∠CBA ，∵∠CED ＝∠CBA ＋∠BDE ，∴∠CBA ＝∠BDE ，∴DE ＝BE ，∴AD ＝BE ，∵BE ＝BC−CE ＝BC−AC ，∴BC−AC ＝AD ．（2）①如图（b ），在AB 上截取AM ＝AD ，连接CM ，∵AC 平分∠DAB ，∴∠DAC ＝∠MAC ，∵AC ＝AC ，∴△ADC ≌△AMC （SAS ），∴∠D ＝∠AMC ，CD ＝CM ＝12，∵CD ＝BC ＝12，∴CM ＝CB ，∴∠B ＝∠CMB ，∵∠CMB ＋∠CMA ＝180°，∴∠B ＋∠D ＝180°；②设BN ＝a ，过点C 作CN ⊥AB 于点N ，∵CB ＝CM ＝12，∴BN ＝MN ＝a ，在Rt △BCN 中，2222212CN BC BN a --＝＝，在Rt △ACN 中，2222216(8)CN AC AN a --+＝＝， 则22221216(8)a a --+＝， 解得：a ＝3，即BN ＝MN ＝3，则AB ＝8+3+3=14，∴AB=14．【点睛】本题考查了四边形的综合题，以及全等三角形的判定与性质、勾股定理、等腰三角形的判定与性质；本题有一定难度，需要通过作辅助线证明三角形全等才能得出结果．22．（1）AE=BD 且AE ⊥BD ；（2）6；（3）PQ 为定值6，图形见解析【分析】（1）由“SAS”可证△ACE ≌△BCD ，可得AE=BD ，∠EAC=∠DBC=45°，可得AE ⊥BD ； （2）由等腰三角形的性质可得PA=AQ ，由勾股定理可求PA 的长，即可求PQ 的长； （3）分两种情况讨论，由“SAS”可证△ACE ≌△BCD ，可得AE=BD ，∠EAC=∠DBC ，可得AE ⊥BD ，由等腰三角形的性质可得PA=AQ ，由勾股定理可求PA 的长，即可求PQ 的长．【详解】解：（1）AE=BD ，AE ⊥BD ，理由如下：∵△ABC ，△ECD 都是等腰直角三角形，∴AC=BC ，CE=CD ，∠ACB=∠ECD=90°，∠ABC=∠CAB=45°，∴∠ACE=∠DCB ，且AC=BC ，CE=CD ，∴△ACE ≌△BCD （SAS ）∴AE=BD ，∠EAC=∠DBC=45°，∴∠EAC+∠CAB=90°，∴AE ⊥BD ；（2）∵PE=EQ ，AE ⊥BD ，∴PA=AQ ，∵EP=EQ=5，AE=BD=4，∴22=2516=3EQ AE --，∴PQ=2AQ=6；（3）如图3，若点D 在AB 的延长线上，∵△ABC ，△ECD 都是等腰直角三角形，∴AC=BC ，CE=CD ，∠ACB=∠ECD=90°，∠ABC=∠CAB=45°，∴∠ACE=∠DCB ，且AC=BC ，CE=CD ，∴△ACE ≌△BCD （SAS ）∴AE=BD ，∠CBD=∠CAE=135°，且∠CAB=45°，∴∠EAB=90°，∵PE=EQ ，AE ⊥BD ，∴PA=AQ ，∵EP=EQ=5，AE=BD=4，∴AQ=22=2516=3EQ AE --，∴PQ=2AQ=6；如图4，若点D 在BA 的延长线上，∵△ABC ，△ECD 都是等腰直角三角形，∴AC=BC ，CE=CD ，∠ACB=∠ECD=90°，∠ABC=∠CAB=45°，∴∠ACE=∠DCB ，且AC=BC ，CE=CD ，∴△ACE ≌△BCD （SAS ）∴AE=BD ，∠CBD=∠CAE=45°，且∠CAB=45°，∴∠EAB=90°，∵PE=EQ ，AE ⊥BD ，∴PA=AQ ，∵EP=EQ=5，AE=BD=4，∴AQ=22=2516=3EQ AE --，∴PQ=2AQ=6.【点睛】本题是三角形综合题，考查了全等三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，勾股定理等知识，证明AE ⊥BD 是本题的关键．23．（1）6-t ，t+23；（2）D(1，3)，y=34-x+154；（3）1515215()4215215()2b b S b b ⎧-+≤<⎪⎪=⎨⎪->⎪⎩【分析】（1）根据点E ，F 的运动轨迹和速度，即可得到答案；（2）由题意得：DF=OF=53，DE=OE=5，过点E 作EG ⊥BC 于点G ，根据勾股定理得DG=4，进而得D(1，3)，根据待定系数法，即可得到答案； （3）根据题意得直线直线MN 的解析式为：34y x b =-+，从而得M(443b -，3)，分2种情况：①当点M 在线段DB 上时， ②当点M 在DB 的延长线上时，分别求出S 与b 之间的函数关系式，即可．【详解】∵(0,0)O ，(6,0)A ，(0,3)C ，∴OA=6，OC=3，∵AE=t×1= t ， ∴OE =6-t ，OF =(t+23)×1=t+23， 故答案是：6-t ，t+23； （2）当1t =时，OE =6-t=5，OF =t+23=53， ∵将OEF ∆沿EF 翻折，点O 恰好落在CB 边上的点D 处，∴DF=OF=53，DE=OE=5， 过点E 作EG ⊥BC 于点G ，则EG=OC=3，CG=OE=5，∴4=，∴CD=CG-DG=5-4=1，∴D(1，3)，设直线DE 的解析式为：y=kx+b ，把D(1，3)，E(5，0)代入y=kx+b ，得350k b k b +=⎧⎨+=⎩ ，解得：34154k b ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩， ∴直线DE 的解析式为：y=34-x+154； （3）∵MN ∥DE ，∴直线直线MN的解析式为：34y x b =-+，令y=3，代入34 yxb=-+，解得：x=443b-，∴M(443b-，3)．①当点M在线段DB上时，BM=6-(443b-)=4103b-+，∴1143(10)223S BM AB b=⋅=⨯⨯-+=215b-+，②当点M在DB的延长线上时，BM=443b--6=4103b-，∴1143(10)223S BM AB b=⋅=⨯⨯-=215b-，综上所述：1515215()4215215()2b bSb b⎧-+≤<⎪⎪=⎨⎪->⎪⎩．【点睛】本题主要考查一次函数与几何图形的综合，掌握勾股定理与一次函数的待定系数法，是解题的关键．24．作图见解析，325【分析】作A点关于BC的对称点A'，A'A与BC交于点H，再作A'M⊥AB于点M，与BC交于点N，此时AN+MN最小，连接AN，首先用等积法求出AH的长，易证△ACH≌△A'NH，可得A'N=AC=4，然后设NM=x，利用勾股定理建立方程求出NM的长，A'M的长即为AN+MN的最小值．【详解】如图，作A点关于BC的对称点A'，A'A与BC交于点H，再作A'M⊥AB于点M，与BC交于点N，此时AN+MN最小，最小值为A'M的长．连接AN ，在Rt △ABC 中，AC=4，AB=8，∴2222AB AC =84=45++ ∵11AB AC=BC AH 22⋅⋅ ∴8545∵CA ⊥AB ，A 'M ⊥AB ，∴CA ∥A 'M∴∠C=∠A 'NH ，由对称的性质可得AH=A 'H ，∠AHC=∠A'HN=90°，AN=A'N在△ACH 和△A'NH 中，∵∠C=∠A 'NH ，∠AHC=∠A'HN ，AH=A 'H ，∴△ACH ≌△A'NH （AAS ）∴A'N=AC=4=AN ，设NM=x ，在Rt △AMN 中，AM 2=AN 2-NM 2=222416-=-x x在Rt △AA'M 中，165，A 'M=A 'N+NM=4+x ∴AM 2=AA '2-A 'M 2=()221654-+⎝⎭x ∴()2221654=16-+-⎝⎭x x 解得125x = 此时AN MN +的最小值=A'M=A'N+NM=4+125=325 【点睛】本题考查了最短路径问题，正确作出辅助线，利用勾股定理解直角三角形是解题的关键．25．（1）详见解析；（241；（33【分析】（1）证∠EAC=∠DAB.利用SAS 证△ACE ≌△ABD 可得；（2）连接BD ，证1302FEA AED ∠=∠=，证△ACE ≌△ABD 可得30FEA BDA ∠=∠=,CE=BD=5，利用勾股定理求解；（3）作CE 垂直于AC,且CE=AC,连接AE,则90,45ACE CAE ∠=∠=，利用勾股定理得AE 2AB =，BE=3AB ，根据（1）思路得AD=BE=3AB .【详解】(1) 证明：∵∠DAE=∠BAC ，∴∠DAE+∠CAD=∠BAC+∠CAD ，即∠EAC=∠DAB.在△ACE 与△ABD 中，AD AE EAC BAB AC AB =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩， ∴△ACE ≌△ABD(SAS)，∴BD CE =；(2)连接BD因为AD AE =， 60DAE BAC ∠=∠=，所以ADE ∆是等边三角形因为60DAE DEA EDA ∠=∠=∠=,ED=AD=AE=4因为CE AD ⊥所以1302FEA AED ∠=∠= 同(1)可知△ACE ≌△ABD(SAS)，所以30FEA BDA ∠=∠=,CE=BD=5所以90BDE BDA ADE ∠=∠+∠=所以BE=22225441BD DE +=+=(3)作CE 垂直于AC,且CE=AC,连接AE,则90,45ACE CAE ∠=∠=所以222AB AC AC +因为AB AC =所以AE 2=又因为45CAB ∠=所以90ABE ∠= 所以()222223BE AE AB AB AB AB =+=+= 因为45CBD CDB ∠=∠=所以BC=CD, 90BCD ∠=因为同(1)可得△ACD ≌△ECB(SAS)所以AD=BE=3AB所以33AD AB AB AB==【点睛】考核知识点:等边三角形;勾股定理.构造全等三角形和直角三角形是关键.26．（1）见解析；（2）证明见解析；（3）25.【分析】（1）直接叙述勾股定理的内容，并用字母表明三边关系；（2）利用大正方形面积、小正方形面积和4个直角三角形的面积和之间的关系列式整理即可证明；（3）将原式利用完全平方公式展开，由勾股定理的内容可得出()2a b +为大正方形面积和4个直角三角形的面积和，根据已知条件即可求得.【详解】解：（1）勾股定理：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方．在直角三角形中，两条直角边分别为 a 、b ，斜边为 c ，a 2+b 2= c 2．（2）∵ S 大正方形=c 2，S 小正方形=(b-a)2，4 S Rt △=4×12ab=2ab ， ∴ c 2=2ab+(b-a)2=2ab+b 2-2ab+a 2=a 2+b 2，即 a 2+b 2= c 2．（3）∵ 4 S Rt △= S 大正方形- S 小正方形=13-1=12,∴ 2ab=12.∴ (a+b)2= a 2+b 2+2ab=c 2+2ab=13+12=25.【点睛】本题考查勾股定理的内容及勾股定理的几何验证，利用等面积法证明勾股定理及运用勾股定理是解答此题的关键.27．（1）见解析；（2）27BC =.【分析】（1）由等边三角形的判定定理可得△ABD 为等边三角形，又由平行进行角度间的转化可得出结论.（2）连接AC 交BD 于点O ，由题意可证AC 垂直平分BD ，△ABD 是等边三角形，可得∠BAO=∠DAO=30°，AB=AD=BD=8，BO=OD=4，通过证明△EDF 是等边三角形，可得DE=EF=DF=2，由勾股定理可求OC ，BC 的长．【详解】（1）证明：∵AB AD =，=60A ∠︒，∴△ABD 是等边三角形.∴60ADB ∠=︒.∵CE ∥AB ，∴60CED A ∠=∠=︒.∴CED ADB ∠=∠.（2）解：连接AC 交BD 于点O ，∵AB AD =，BC DC =，∴AC 垂直平分BD .∴30BAO DAO ∠=∠=︒.∵△ABD 是等边三角形，8AB =∴8AD BD AB ===，∴4BO OD ==.∵CE ∥AB ，∴ACE BAO ∠=∠.∴6AE CE ==, 2DE AD AE =-=.∵60CED ADB ∠=∠=︒.∴60EFD ∠=︒.∴△EDF 是等边三角形.∴2EF DF DE ===,∴4CF CE EF =-=,2OF OD DF =-=.在Rt △COF 中， ∴2223OC CF OF =-=.在Rt △BOC 中，∴22224(23)27BC BO OC =+=+=. 【点睛】本题考查了等边三角形的性质和判定，勾股定理，熟练运用等边三角形的判定是本题的关键．28．（1）假；（2）∠A ＝45°；（3）①不能，理由见解析，②见解析【分析】（1）先由直角三角形是类勾股三角形得出ab+a 2=c 2，再由勾股定理得a 2+b 2=c 2，即可判断出此直角三角形是等腰直角三角形；（2）由类勾股三角形的定义判断出此三角形是等腰直角三角形，即可得出结论； （3）①分三种情况，利用等腰三角形的性质即可得出结论；②先求出CD=CB=a ，AD=CD=a ，DB=AB-AD=c-a ，DG=BG=12（c-a ），AG=12（a+c ），两个直角三角形中利用勾股定理建立方程即可得出结论．【详解】解：（1）如图1，假设Rt △ABC 是类勾股三角形，∴ab +a 2＝c 2，在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，根据勾股定理得，a 2+b 2＝c 2，∴ab +b 2＝a 2+b 2，∴ab＝a2，∴a＝b，∴△ABC是等腰直角三角形，∴等腰直角三角形是类勾股三角形，即：原命题是假命题，故答案为：假；（2）∵AB＝BC，AC＞AB，∴a＝c，b＞c，∵△ABC是类勾股三角形，∴ac+a2＝b2，∴c2+a2＝b2，∴△ABC是等腰直角三角形，∴∠A＝45°，（3）①在△ABC中，∠ABC＝2∠BAC，∠BAC＝32°，∴∠ABC＝64°，根据三角形的内角和定理得，∠ACB＝180°﹣∠BAC﹣∠ABC＝84°，∵把这个三角形分成两个等腰三角形，∴（Ⅰ）、当∠BCD＝∠BDC时，∵∠ABC＝64°，∴∠BCD＝∠BDC＝58°，∴∠ACD＝∠ACB﹣∠BCD＝84°﹣58°＝26°，∠ADC＝∠ABC+∠BCD＝122°∴△ACD不是等腰三角形，此种情况不成立；（Ⅱ）、当∠BCD＝∠ABC＝64°时，∴∠BDC＝52°，∴∠ACD＝20°，∠ADC＝128°，∴△ACD是等腰三角形，此种情况不成立；（Ⅲ）、当∠BDC＝∠ABC＝64°时，∴∠BCD＝52°，∴∠ACD＝∠ACB﹣BCD＝32°＝∠BAC，∴△ACD是等腰三角形，即：分割线和顶角标注如图2所示，Ⅱ、分∠ABC，同（Ⅰ）的方法，判断此种情况不成立；Ⅲ、分∠BAC，同（Ⅱ）的方法，判断此种情况不成立；②如图3，在AB边上取点D，连接CD，使∠ACD＝∠A图3作CG⊥AB于G，∴∠CDB＝∠ACD+∠A＝2∠A，∵∠B＝2∠A，∴∠CDB＝∠B，∴CD＝CB＝a，∵∠ACD＝∠A，∴AD＝CD＝a，∴DB＝AB﹣AD＝c﹣a，∵CG⊥AB，∴DG＝BG＝12（c﹣a），∴AG＝AD+DG＝a+12（c﹣a）＝12（a+c），在Rt△ACG中，CG2＝AC2﹣AG2＝b2﹣[12（c+a）]2，在Rt△BCG中，CG2＝BC2﹣BG2＝a2﹣[12（c﹣a）]2，∴b2﹣[12（a+c）]2＝a2﹣[12（c﹣a）]2，∴b2＝ac+a2，∴△ABC是“类勾股三角形”．【点睛】此题是三角形综合题，主要考查了等腰三角形的性质，勾股定理，新定义“类勾股三角形”，分类讨论的数学思想，解本题的关键是理解新定义．29．（1）∠BGD＝120°；（2）见解析；（3）S四边形ABCD＝3【解析】【分析】（1）只要证明△DAE≌△BDF，推出∠ADE=∠DBF，由∠EGB=∠GDB+∠GBD=∠GDB+∠ADE=60°，推出∠BGD=180°-∠BGE=120°；（2）如图3中，延长GE到M，使得GM=GB，连接BD、CG．由△MBD≌△GBC，推出DM=GC，∠M=∠CGB=60°，由CH⊥BG，推出∠GCH=30°，推出CG=2GH，由CG=DM=DG+GM=DG+GB，即可证明2GH=DG+GB；。

中考数学三角形试题归类(含答案) 以下是查字典数学网为您推荐的中考数学三角形试题归类(含答案)，希望本篇文章对您学习有所帮助。

中考数学三角形试题归类(含答案)选择题1. (天津3分)sin45的值等于(A) (B) (C) (D) 1【答案】B。

【考点】特殊角三角函数。

【分析】利用特殊角三角函数的定义，直接得出结果。

2.(河北省3分)如图，在△ABC 中，C=90，BC=6，D，E 分别在 AB、AC上，将△ABC沿DE折叠，使点A落在点A处，若A为CE的中点，则折痕DE的长为A、 B、2 C、3 D、4【答案】B。

【考点】翻折变换(折叠问题)，相似三角形的判定和性质。

【分析】∵△ABC沿DE折叠，使点A落在点A处，EDA=EDA=90，AE=AE，△ACB∽△AED。

又∵A为CE的中点，AE=AE=AC。

ED=2。

故选B。

3.(山西省2分)如图，△ABC中，AB=AC，点D、E分别是边AB、AC的中点，点G、F在BC边上，四边形DEFG是正方形.若DE=2cm，则AC的长为A. cmB.4cmC. cmD. cm【答案】D。

【考点】等腰三角形的性质，三角形中位线定理，正方形的性质，勾股定理。

【分析】根据三角形的中位线定理可得出BC=4，由AB=AC，可证明BG=CF=1，由勾股定理可求出CE= ，即可得出AC=2 。

故选D。

4.(内蒙古呼和浩特3分)如果等腰三角形两边长是6cm和3cm，那么它的周长是A、9cmB、12cmC、15cm或12cmD、15cm【答案】D。

【考点】等腰三角形的性质，三角形三边关系。

【分析】求等腰三角形的周长，即要确定等腰三角形的腰与底的长，根据三角形三边关系知当6为腰，3为底时，6﹣36+3，能构成等腰三角形，周长为6+6+3=15;当3为腰，6为底时，3+3=6，不能构成三角形。

故选D。

5.(内蒙古呼伦贝尔3分)如图，△ACB≌△A1CB1, BCB1=30，则ACA1的度数为A. 20B. 30C. 35D. 40【答案】B。

2022全国各地中考数学真题分类汇编-梯形一.选择题1．（2020无锡）如图，梯形ABCD中，AD∥BC，AD=3，AB=5，BC=9，CD的垂直平分线交BC于E，连接DE，则四边形ABED的周长等于（）A． 17 B． 18 C． 19 D．20考点：梯形；线段垂直平分线的性质。

分析：由CD的垂直平分线交BC于E，依照线段垂直平分线的性质，即可得DE=CE，即可得四边形ABED的周长为AB+BC+AD，继而求得答案．解答：解：∵CD的垂直平分线交BC于E，∴DE=CE，∵AD=3，AB=5，BC=9，∴四边形ABED的周长为：AB+BE+DE+AD=AB+BE+EC+AD=AB+BC+AD=5+9+3=17．故选A．点评：此题考查了线段垂直平分线的性质．此题比较简单，注意把握数形结合思想与转化思想的应用是解此题的关键．2.（2020呼和浩特）已知：在等腰梯形ABCD中，AD∥BC，AC⊥BD，AD=3，BC=7，则梯形的面积是A. 25B. 50 C2D.3024【解析】作DE∥AC，交BC的延长线于E，作DF⊥BE于F。

∵四边形ABCD是等腰梯形∴AD∥CE，AC=BD又∵DE∥AC，AC⊥BD∴四边形ACED是平行四边形，BD⊥DE∴DE=AC，AD=CE=3∴△BDE是等腰直角三角形又∵DF⊥BE∴BF=EF=DF=12BE=12(BC+CE)=12(BC+AD)=12(7+3)=5∴S梯形ABCD=12(AD+BC)·DF=25m(3+7)×5=25A DB C EF【答案】A【点评】本题考查了梯形作辅助线的方法，见对角线互相垂直，则平移对角线，利用平移后形成的直角三角形求解。

此题关键是做辅助线的方法。

3．（2020•台湾）如图，梯形ABCD中，∠DAB=∠ABC=90°，E点在CD上，且DE：EC=1：4．若AB=5，BC=4，AD=8，则四边形ABCE的面积为何？（）A．24 B．25 C． 26 D．27考点：直角梯形；三角形的面积。

2020中考数学 勾股定理综合练习（含答案）一、单选题（共有10道小题）1.和数轴上的点一一对应的 是（）。

A. 整数B. 有理数C. 无理数D. 实数2.如图，在矩形ABCD 中，AB=4，AD=5，AD 、AB 、BC 分别与⊙O 相切与E 、F 、G 三点，过点D 作⊙O 的切线交BC 于点M ，切点为N ，则DM 的长为（ ）A.133B.92D.3.下列说法中①一个角的两边分别垂直于另一角的两边，则这两个角相等 ②数据5，2，7，1，2，4的中位数是3，众数是2 ③等腰梯形既是中心对称图形，又是轴对称图形④Rt ABC △中，90C =o ∠，两直角边a 、b 分别是方程2770x x -+=的两个根，则AB正确命题有（ ）A ．0个B ．1个C ．2个D ．3个4.如图，在边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中，点A 、B 都是格点，则线段AB 的长度为（ ） A. 5 B.6 C.7 D.255.如图，矩形ABCD 的面积为20cm 2,对角线交于点O ；以AB 、AO 为邻边做平行四边形AOC 1B ,对角线交于点O 1；以AB 、AO 1为邻边做平行四边形AO 1C 2B ;…；以此类推，则平行四边形AO 4C 5B 的面积为（ ）A ．54cm 2B ．58cm 2C ．516cm 2 D ．532cm 26.如图，将矩形ABCD 沿EF 折叠，使顶点C 恰好落在AB 边的中点C ′上，若AB＝6，BC ＝9，则）．FA CD E MN2A ．4B．C ．4.5D ．57.如图，两个连接在一起的菱形的边长都是1 cm ，一只电子甲虫从点A 开始按ABCDAEFGAB…的顺序沿菱形的边循环爬行，当电子甲虫爬行2014cm 时停下，则它停的位置是( )A ．点FB ．点EC ．点AD ．点C8.如图，正方形网格中，每个小正方形的边长为1，则网格上的三角形ABC 中，边长为无理数的边数是（ ）A ．0B ．1C ．2D ．39.下列图形都是由边长为1厘米的小正方形连接组成的．按照图形的变化规律，第2009个图形的周长是（ ）厘米． A 、4018 B 、4020 C 、8036 D 、602710.如图，正方形ABCD 中，AB ＝6，点E 在边CD 上，且CD ＝3DE 。

2021中考数学考点归类复习——专题十五：勾股定理一、填空题1. 三角形的两边长分别为和，要使这个三角形是直角三角形，则第三条边长是________．2. 某直角三角形三条边的平方和为，则这个直角三角形的斜边长为________．3. 观察下列一类勾股数：，，；，，；，，；…请你根据规律写出第组勾股数为________．4. 如图所示，一架梯子长米，顶端靠在墙上，此时梯子下端与墙角的距离为米，当梯子滑动后停在的位置上，测得长为米．则梯子顶端沿墙下移了________米．5. 如图，边长为的正方形网格中，________．（填“”，“”或“”）6. 如图是用八个全等的直角三角形拼接而成．记图中正方形，正方形，正方形的面积分别为，，．若，则的值是________．7. 把两个全等的直角三角形拼成如图图形，那么图中三角形面积之和与梯形面积之间的关系用式子可表示为________，整理后即为________．8．如图所示，分别以直角三角形的三边为直径作半圆，其中两个半圆的面积，，则是________．9．在一个长为13米，宽为8米的矩形草地上，如图堆放着一根长方体的木块，它的棱长和场地宽平行且大于，木块的正视图是边长为1米的正方形，一只蚂蚁从点处，到达处需要走的最短路程是________米．10.如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB，垂足为D，AF平分∠CAB，交CD于点E，交CB于点F．若AC=3，AB=5，则CE的长为 .二、选择题1. 在中，，则的长是A. B. C. D.2.下列每一组数据中的三个数值分别为三角形的三边长，能构成直角三角形的是 ( )A．3，5，6 B．2，4，5 C．6，7，8 D．1.5，2，2.53. 小刚想测量教学楼的高度，他用一根绳子从楼顶垂下，发现绳子垂到地面后还多了米，当他把绳子的下端拉开米后，发现绳子下端刚好接触地面，则教学楼的高度是（）米．A. B. C. D.4. 下列几组数中，是勾股数的是（）A.，，B.，，C.，，D.，，5. 在证明“在中至少有一个角是直角和钝角”时，第一步应假设（）A.三角形至少有一个角是直角或钝角B.三角形中至少有两个直角或钝角C.三角形中没有直角或钝角D.三角形中三个角都是直角或钝角6. 由线段，，组成的三角形是直角三角形的是（）A.＝，＝，＝B.＝，＝，＝C.＝，＝，＝D.＝，＝，＝7. 若直角三角形的三边长为偶数，则这三边的边长可能是A.，，B.，，C.，，D.，，8．如图，在平面直角坐标系中，有两点坐标分别为（2，0）和（0，3），则这两点之间的距离是（）A．B．C．13 D．59．“赵爽弦图”巧妙地利用面积关系证明了勾股定理，是我国古代数学的骄傲．如图所示的“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形和一个小正方形拼成的一个大正方形．设直角三角形较长直角边长为a，较短直角边长为b．若ab＝6，大正方形的面积为16，则小正方形的面积为（）A．8 B．6 C．4 D．310．如图，在中，，平分，交于点．若，，则点到的距离为（）A．B．C．D．11．如图所示，有一根高为的木柱，它的底面周长为，在准备元旦联欢晚会时，为了营造喜庆的气氛，老师要求小明将一根彩带从底柱向柱顶均匀地缠绕7圈，一直缠到起点的正上方为止，小明需要准备的这根彩带的长至少为（）．A．B．C．D．12.如图，有一个圆锥，高为8cm，底面直径为12cm.在圆锥的底边B点处有一只蚂蚁，它想吃掉圆锥顶部A处的食物，则它需要爬行的最短路程是( )A.8cmB.9cmC. 10cmD. 11cm13.如图，点E在正方形ABCD的边AB上，若EB=3，EC=5，那么正方形ABCD的面积为（）A．9 B．16 C．25 D．414.如图，一棵大树在离地面6米高的B处断裂，树顶A落在离树底部C的8米处，则大树断裂之前的高度为（）A．10米B．16米C．15米D．14米三、解答题1.如图，在△ABC中，AB＝17cm，AC＝8cm，BC＝15cm，将AC沿AE折叠，使得点C与AB上的点D重合．（1）证明：△ABC是直角三角形；（2）求△AEB的面积．2．如图，在中，，为边上一点，且，．（1）求的长；（2）若，求的面积．3. 如图，圆柱的高为，底面半径为，在圆柱下底面的点处有一只蚂蚁，它想吃到上底面处的食物，已知四边形的边、恰好是上、下底面的直径．为：蚂蚁至少要爬行多少路程才能食到食物？4. 如图，一只蚂蚁沿边长是的正方体表面从顶点爬到顶点，求它走过的最短路程，并画出示意图．5. 如图，圆柱形容器高，底面周长，在杯口点处有一滴蜂蜜，此时蚂蚁在杯外壁底部与蜂蜜相对的处，（1）求蚂蚁从到处吃到蜂蜜最短距离；（2）若蚂蚁刚出发时发现处的蜂蜜正以每秒钟沿杯内壁下滑，秒钟后蚂蚁吃到了蜂蜜，求蚂蚁的平均速度至少是多少？6．如图，在中，点、分别是，边中点于，延长，过作于．（1）求证：．（2）若，，求的长度．7．我们在探索乘法公式时，设置由图形面积的不同表示方法验证了乘法公式．我国著名的数学家赵爽，早在公元世纪，就把一个矩形分成四个全等的直角三角形，用四个全等的直角三角形拼成了一个大的正方形（如图①），这个图形称为赵爽弦图，验证了一个非常重要的结论：在直角三角形中两直角边，与斜边满足关系式，称为勾股定理．（1）爱动脑筋的小明把这四个全等的直角三角形拼成了另一个大的正方形（如图②），也能验证这个结论，请你帮助小明完成验证的过程．（2）如图，在每个小正方形边长为的方格纸中，的顶点都在方格纸格点上．请在图中画出的高，利用上面的结论，求高的长．。

（2022•湖州中考）在每个小正方形的边长为1的网格图形中，每个小正方形的顶点称为格点．如图，在6×6的正方形网格图形ABCD中，M，N分别是AB，BC上的格点，BM＝4，BN＝2．若点P是这个网格图形中的格点，连结PM，PN，则所有满足∠MPN＝45°的△PMN中，边PM的长的最大值是（）A．4√2B．6C．2√10D．3√5【解析】选C．如图所示：△MNP为等腰直角三角形，∠MPN＝45°，此时PM最长，根据勾股定理得：PM=√22+62=√40=2√10．（2022•宁波中考）如图，在Rt△ABC中，D为斜边AC的中点，E为BD上一点，F为CE中点．若AE＝AD，DF＝2，则BD的长为（）A．2√2B．3C．2√3D．4【解析】选D．因为D为斜边AC的中点，F为CE中点，DF＝2，所以AE＝2DF＝4，因为AE＝AD，所以AD＝4，在Rt△ABC中，D为斜边AC的中点，所以BD=12AC＝AD＝4A ．2B ．32C ．12D ．√55【解析】选A ．由已知可得，大正方形的面积为1×4+1＝5，设直角三角形的长直角边为a ，短直角边为b ，则a 2+b 2＝5，a ﹣b ＝1，解得a ＝2，b ＝1，所以tan α=a b =21=2（2022·遵义中考）如图1是第七届国际数学教育大会（ICME ）会徽，在其主体图案中选择两个相邻的直角三角形，恰好能组合得到如图2所示的四边形OABC ．若AB ＝BC ＝1，∠AOB ＝30°，则点B 到OC 的距离为（ ）A ．√55B ．2√55C ．1D ．2 【解析】选B ．作BH ⊥OC 于H ，因为∠AOB ＝30°，∠A ＝90°，所以OB ＝2AB ＝2，在Rt △OBC 中，由勾股定理得，OC =√OB 2+BC 2=√22+12=√5，因为∠CBO ＝∠BHC ＝90°，所以∠CBH ＝∠BOC ，所以cos ∠BOC ＝cos ∠CBH ，所以OBOC =BHBC ，所以2√5=BH 1，所以BH =2√55.（2022•十堰中考）【阅读材料】如图①，四边形ABCD中，AB＝AD，∠B+∠D＝180°，点E，F分别在BC，CD 上，若∠BAD＝2∠EAF，则EF＝BE+DF．【解决问题】如图②，在某公园的同一水平面上，四条道路围成四边形ABCD．已知CD＝CB＝100m，∠D＝60°，∠ABC＝120°，∠BCD＝150°，道路AD，AB上分别有景点M，N，且DM＝100m，BN＝50（√3−1）m，若在M，N 之间修一条直路，则路线M→N的长比路线M→A→N的长少370 m（结果取整数，参考数据：√3≈1.7）．【解析】解法一：如图，延长DC，AB交于点G，因为∠D＝60°，∠ABC＝120°，∠BCD＝150°，所以∠A＝360°﹣60°﹣120°﹣150°＝30°，所以∠G＝90°，所以AD＝2DG，Rt△CGB中，∠BCG＝180°﹣150°＝30°，BC＝50，CG＝50√3，所以DG＝CD+CG＝100+50√3，所以BG=12所以AD＝2DG＝200+100√3，AG=√3DG＝150+100√3，因为DM＝100，所以AM＝AD﹣DM＝200+100√3−100＝100+100√3，因为BG＝50，BN＝50（√3−1），所以AN＝AG﹣BG﹣BN＝150+100√3−50﹣50（√3−1）＝150+50√3，AN＝75+25√3，AH=√3NH＝75√3+75，Rt△ANH中，因为∠A＝30°，所以NH=12由勾股定理得：MN=√NH2+MH2=√(75+25√3)2+(25√3+25)2=50（√3+1），所以AM+AN﹣MN＝100+100√3+150+50√3−50（√3+1）＝200+100√3≈370（m）．答：路线M→N的长比路线M→A→N的长少370m．解法二：如图，延长DC，AB交于点G，连接CN，CM，则∠G＝90°，因为CD＝DM，∠D＝60°，所以△BCM是等边三角形，所以∠DCM＝60°，由解法一可知：CG＝50√3，GN＝BG+BN＝50+50（√3−1）＝50√3，所以△CGN是等腰直角三角形，所以∠GCN＝45°，所以∠BCN＝45°﹣30°＝15°，所以∠MCN＝150°﹣60°﹣15°＝75°=12∠BCD，由【阅读材料】的结论得：MN＝DM+BN＝100+50（√3−1）＝50√3+50，因为AM+AN﹣MN＝AD+AG﹣MN＝100+100√3+150+50√3−50（√3+1）＝200+100√3≈370（m）．答：路线M→N的长比路线M→A→N的长少370m．答案：370．（2022•河南中考）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC＝2√2，点D为AB的中点，点P在AC上，且CP＝1，将CP绕点C在平面内旋转，点P的对应点为点Q，连接AQ，DQ．当∠ADQ＝90°时，AQ的长为√5或√13．【解析】如图：因为∠ACB＝90°，AC＝BC＝2√2，所以AB=√2AC＝4，因为点D为AB的中点，所以CD＝AD=12AB＝2，∠ADC＝90°，因为∠ADQ＝90°，所以点C、D、Q在同一条直线上，由旋转得：CQ＝CP＝CQ′＝1，分两种情况：当点Q在CD上，在Rt△ADQ中，DQ＝CD﹣CQ＝1，所以AQ=√AD2+DQ2=√22+12=√5，当点Q在DC的延长线上，在Rt△ADQ′中，DQ′＝CD+CQ ′＝3，所以AQ′=√AD2+DQ′2=√22+32=√13，综上所述：当∠ADQ＝90°时，AQ的长为√5或√13.答案：√5或√13是25，小正方形的面积是1，则AE＝3．【解析】因为大正方形的面积是25，小正方形的面积是1，所以AB＝BC＝CD＝DA＝5，EF＝FG＝GH＝HE＝1，根据题意，设AF＝DE＝CH＝BG＝x，则AE＝x﹣1，在Rt△AED中，AE2+ED2＝AD2，所以（x﹣1）2+x2＝52，解得：x1＝4，x2＝﹣3（舍去），所以x﹣1＝3.答案：3（2022•泰州中考）如图所示的象棋盘中，各个小正方形的边长均为1．“马”从图中的位置出发，不走重复路线，按照“马走日”的规则，走两步后的落点与出发点间的最短距离为√2．【解析】走两步后的落点与出发点间的最短距离为√12+12=√2．答案：√2．（2022•内江中考）勾股定理被记载于我国古代的数学著作《周髀算经》中，汉代数学家赵爽为了证明勾股定理，创制了一幅如图①所示的“弦图”，后人称之为“赵爽弦图”．图②由弦图变化得到，它是由八个全等的直角三角形拼接而成．记图中正方形ABCD、正方形EFGH、正方形MNKT的面积分别为S1、S2、S3．若正方形EFGH的边长为4，则S1+S2+S3＝48．【解析】设八个全等的直角三角形的长直角边为a，短直角边是b，则：S1＝（a+b）2，S2＝42＝16，S3＝（a﹣b）2，且：a2+b2＝EF2＝16，所以S1+S2+S3＝（a+b）2+16+（a﹣b）2＝2（a2+b2）+16＝2×16+16＝48．。

勾股定理课时练（1）1.在直角三角形ABC中，斜边AB=1，则AB222ACBC++的值是（）A.2B.4C.6D.82.如图18－2－4所示,有一个形状为直角梯形的零件ABCD，AD∥BC，斜腰DC的长为10 cm，∠D=120°，则该零件另一腰AB的长是______ cm（结果不取近似值）.3.直角三角形两直角边长分别为5和12，则它斜边上的高为_______．4.一根旗杆于离地面12m处断裂，犹如装有铰链那样倒向地面，旗杆顶落于离旗杆地步16m，旗杆在断裂之前高多少m？5.如图，如下图，今年的冰雪灾害中，一棵大树在离地面3米处折断，树的顶端落在离树杆底部4米处，那么这棵树折断之前的高度是米.6.飞机在空中水平飞行,某一时刻刚好飞到一个男孩子头顶正上方4000米处,过了20秒,飞机距离这个男孩头顶5000米,求飞机每小时飞行多少千米?7.如图所示，无盖玻璃容器，高18cm，底面周长为60cm，在外侧距下底1cm的点C处有一蜘蛛，与蜘蛛相对的容器的上口外侧距开口1cm的F处有一苍蝇，试求急于扑货苍蝇充饥的蜘蛛，所走的最短路线的长度. 8.一个零件的形状如图所示，已知AC=3cm，AB=4cm，BD=12cm。

求CD的长.9.如图，在四边形ABCD 中，∠A=60°，∠B=∠D=90°，BC=2，CD=3，求AB的长.10.如图，一个牧童在小河的南4km的A处牧马，而他正位于他的小屋B的西8km北7km处，他想把他的马牵到小河边去饮水，然后回家.他要完成这件事情所走的最短路程是多少？11如图，某会展中心在会展期间准备将高5m,长13m，宽2m的楼道上铺地毯,已知地毯平方米18元，请你帮助计算一下，铺完这个楼道至少需要多少元钱?12.甲、乙两位探险者到沙漠进行探险，没有了水，需要寻找水源．为了不致于走散，他们用两部对话机联系，已知对话机的有效距离为15千米．早晨8：00甲先出发，他以6千米/时的速度向东行走，1小时后乙出发，他以5千米/时的速度向北行进，上午10：00，甲、乙二人相距多远？还能保持联系吗？第一课时答案：1.A ，提示：根据勾股定理得122=+AC BC，所以AB 222AC BC ++=1+1=2；2.4，提示：由勾股定理可得斜边的长为5m ，而3+4-5=2m ，所以他们少走了4步.3.1360 ，提示：设斜边的高为x ，根据勾股定理求斜边为1316951222==+ ，再利用面积法得，1360,132112521=⨯⨯=⨯⨯x x ；4. 解：依题意，AB=16m ，AC=12m ，在直角三角形ABC 中,由勾股定理,222222201216=+=+=AC AB BC ,所以BC=20m ,20+12=32(m ), 故旗杆在断裂之前有32m 高. 5.86. 解:如图,由题意得,AC=4000米,∠C=90°,AB=5000米,由勾股定理得BC=30004000500022=-(米),所以飞机飞行的速度为5403600203=(千米/小时) 7. 解：将曲线沿AB 展开，如图所示，过点C 作CE ⊥AB 于E. 在R 90,=∠∆CEF CEF t ，EF=18-1-1=16（cm ），CE=)(3060.21cm =⨯，由勾股定理，得CF=)(3416302222cm EF CE =+=+8.解：在直角三角形ABC 中，根据勾股定理，得254322222=+=+=AB AC BC在直角三角形CBD 中，根据勾股定理，得CD 2=BC 2+BD 2=25+122=169，所以CD=13.9. 解：延长BC 、AD 交于点E.（如图所示）∵∠B=90°，∠A=60°，∴∠E=30°又∵CD=3，∴CE=6，∴BE=8， 设AB=x ，则AE=2x ，由勾股定理。

中考数学试题专题梯形真题试题汇编一、选择题1．（2010安徽芜湖）如图，在等腰梯形ABCD 中，AD ∥BC ，对角线AC ⊥BD 于点O ，AE ⊥BC ，DF ⊥BC ，垂足分别为E 、F ，AD ＝4，BC ＝8，则AE ＋EF 等于（）A ．9B ．10C ．11D ．12【答案】B2．（2010山东日照）已知等腰梯形的底角为45o ，高为2，上底为2，则其面积为（A ）2 （B ）6 （C ）8 （D ）12【答案】C3．（2010山东烟台）如图，小区的一角有一块形状为等梯形的空地，为了美化小区，社区居委会计划在空地上建一个四边形的水池，使水池的四个顶点恰好在梯形各边的中点上，则水池的形状一定是A 、等腰梯形B 、矩形C 、菱形D 、正方形【答案】C4．（2010山东威海）如图，在梯形ABCD 中，AB ∥CD ，AD ＝BC ，对角线AC ⊥BD ，垂足为O ．若CD ＝3，AB ＝5，则AC 的长为A ．24B ．4C ．33D ．52 【答案】A 5．（2010台湾）如图(十五)梯形ABCD 的两底长为AD =6，BC =10，中线为EF ， C A B DO且∠B=90︒，若P 为AB 上的一点，且PE 将梯形ABCD 分成面积相同的两区域，则△EFP 与梯形ABCD 的面积比为何？(A) 1：6 (B) 1：10 (C) 1：12 (D) 1：16 。

【答案】D6．（2010 浙江省温州）用若干根相同的火柴棒首尾顺次相接围成一个梯形(提供的火柴棒全部用完)，下列根数的火柴棒不能围成梯形的是(▲) ．A ．5B ．6C ．7D ．8【答案】B7．（2010 浙江台州市）梯形ABCD 中，AD ∥BC ，AB=CD=AD=2，∠B=60°，则下底BC 的长是(▲)A ．3B ．4C ． 23D ．2+23【答案】B8．（2010浙江金华） 如图，在等腰梯形ABCD 中，AB ∥CD ， 对角线AC ⊥BC ，∠B ＝60º，BC ＝2cm ，则梯形ABCD的面积为（ ▲ ） A ．33cm2 B ．6 cm2C ．36cm2D ．12 cm2 【答案】A9．（2010湖北省咸宁）如图，菱形ABCD 由6个腰长为2，且全等的等腰梯形镶嵌而成， 则线段AC 的长为A ．3B ．6 C． D．【答案】D10．（2010湖北恩施自治州）如图5,EF 是△ABC 的中位线，将△AEF 沿中线AD 方向平移 D C BAE F P图(十五) ACBD (第10题图)到△A 1E 1F 1的位置，使E 1F 1与BC 边重合，已知△AEF 的面积为7，则图中阴影部分的面积为：A. 7B. 14C. 21D. 28【答案】B11．（2010四川内江）（2010四川内江，12，3分）如图，梯形ABCD 中，AD ∥BC ， 点E 在BC 上，AE ＝BE ，点F 是CD 的中点，且AF ⊥AB ，若AD ＝2.7，AF ＝4，AB ＝6，则CE 的长为A ．2 2B ．23－1C ．2.5D ．2.3【答案】D12．（2010 湖南湘潭）在△ABC 中，D 、E 分别是AB 、AC 的中点，若DE=2cm ，则BC 的长是A ．2cmB ．3cmC ．4cmD ．5cm【答案】C13．（2010湖北十堰）如图，已知梯形ABCD 的中位线为EF ，且△AEF 的面积为6cm2，则梯形ABCD 的面积为（ ）A ．12 cm2B ．18 cm2C ．24 cm2D ．30 cm2【答案】C14．（2010 湖北咸宁）如图，菱形ABCD 由6个腰长为2，且全等的等腰梯形镶嵌而成， 则线段AC 的长为A ．3B ．6 C． D．AD BC EF （第7题） A B C DE F【答案】D15．（2010四川达州） 如图4，在一块形状为直角梯形的草坪中，修建了一条由A→M→N→C 的小路（M 、N 分别是AB 、CD 中点）.极少数同学为了走“捷径”，沿线段AC 行走，破坏了草坪，实际上他们仅少走了图4A. 7米B. 6米C. 5米D. 4米【答案】B16．（2010湖南娄底）下列说法中错误的是（ ）A. 平行四边形的对角线互相平分B. 矩形的对角线互相垂直C. 菱形的对角线互相垂直平分D. 等腰梯形的对角线相等【答案】B1二、填空题1．（2010甘肃兰州） 如图，直角梯形ABCD 中，AD ∥BC ，AB ⊥BC ，AD = 2，将腰CD 以D 为中心逆时针旋转90°至DE ，连接AE 、CE ，△ADE 的面积为3，则BC 的长为 ．【答案】52．（2010浙江宁波）如图，在等腰梯形ABCD 中，AD ∥BC ，AB=AD=CD. 若∠ABC=60°，BC=12，则梯形ABCD 的周长为 ▲.图4DCBA【答案】303．（2010湖南长沙）等腰梯形的上底是4cm，下底是10cm，一个底角是60 ，则等腰梯形的腰长是cm．【答案】64．（2010江苏无锡）如图，梯形ABCD中，AD∥BC，EF是梯形的中位线，对角线AC 交EF于G，若BC=10cm，EF=8cm，则GF的长等于▲cm．【答案】35．（2010 黄冈）如图，在等腰梯形ABCD中，AC⊥BD，AC＝6cm，则等腰梯形ABCD的面积为_____cm2.【答案】186．（2010湖北武汉）如图，在直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠ABC=90°，BD⊥DC，BD=DC，CE平分∠BCD，交AB于点E，交BD于点H，EN∥DC交BD于点N，下列结论：①BH=DH；②CH=)1EH；③EBHENHS EHS EC∆∆=.其中正确的是（）A、①②③B、只有②③C、只有②D、只有③G FEDC BA（第17题）【答案】 B7．（2010湖南怀化）如图5，在直角梯形ABCD 中，AB ∥CD ，AD ⊥CD ，AB=1cm ， AD=6cm ，CD=9cm ，则BC= cm ．【答案】108．（2010江苏扬州）如图，在直角梯形ABCD 中，∠ABC ＝90°，AD ∥BC ，AD ＝4，AB ＝5，BC ＝6，点P 是AB 上一个动点，当PC ＋PD 的和最小时，PB 的长为__________． 【答案】39．（2010湖北随州）如图，在等腰梯形ABCD 中，AC ⊥BD ，AC ＝6cm ，则等腰梯形ABCD 的面积为_____cm 2.【答案】1810．（2010云南昆明）如图，在△ABC 中，点D 、E 、F 分别是AB 、BC 、CA 的中点， 若△ABC 的周长为10 cm ，则△DEF 的周长是 cm ．【答案】511．（2010陕西西安）如图，在梯形ABCD 中，DC ∥AB ，∠A ＋∠B=90°。

勾股定理专题训练试题精选（一）一. 选择题（共30小题）1．（2014•十堰）如图, 在四边形ABCD中, AD∥BC, DE⊥BC, 垂足为点E, 连接AC交DE于点F, 点G为AF的中点, ∠ACD=2∠ACB．若DG=3, EC=1, 则DE的长为（）A．2B．C．2D．2. （2014•吉林）如图, △ABC中, ∠C=45°, 点D在AB上, 点E在BC上. 若AD=DB=DE, AE=1, 则AC的长为（）A．B．2C．D．3. （2014•湘西州）如图, 在Rt△ABC中, ∠ACB=90°, CA=CB, AB=2, 过点C作CD⊥AB, 垂足为D, 则CD的长为（）A．B．C．1D．24. （2013•和平区二模）如图, 线段AB的长为2, C为AB上一个动点, 分别以AC.BC为斜边在AB的同侧作两个等腰直角三角形△ACD和△BCE, 那么DE长的最小值是（）A．B．1C．D．5. （2012•威海）如图, a∥b, 点A在直线a上, 点C在直线b上, ∠BAC=90°, AB=AC, 若∠1=20°, 则∠2的度数为（）A．25°B．65°C．70°D．75°6. （2011•衢州）一个圆形人工湖如图所示, 弦AB是湖上的一座桥, 已知桥AB长100m, 测得圆周角∠ACB=45°, 则这个人工湖的直径AD为（）A．B．C．D．7. （2011•惠山区模拟）梯形ABCD中AB∥CD, ∠ADC+∠BCD=90°, 以AD.AB.BC为斜边向外作等腰直角三角形, 其面积分别是S1.S2.S3, 且S1+S3=4S2, 则CD=（）A．2.5AB B．3AB C．3.5AB D．4AB8. （2011•白下区二模）如图, △A1A2B是等腰直角三角形, ∠A1A2B=90°, A2A3⊥A1B, 垂足为A3, A3A4⊥A2B, 垂足为A4, A4A5⊥A3B, 垂足为A5, …, An+1An+2⊥AnB, 垂足为An+2（n为正整数）, 若A1A2=A2B=a, 则线段An+1An+2的长为（）A．B．C．D．9. （2010•西宁）矩形ABCD中, E, F, M为AB, BC, CD边上的点, 且AB=6, BC=7, AE=3, DM=2, EF⊥FM, 则EM 的长为（）A．5B．C．6D．10.A．B．C．D．2（2010•鞍山）正方形ABCD中, E、F两点分别是BC.CD上的点.若△AEF是边长为三角形,则正方形ABCD的边长为（）11. （2010•鼓楼区二模）小明将一张正方形包装纸, 剪成图1所示形状, 用它包在一个棱长为10的正方体的表面（不考虑接缝）, 如图2所示. 小明所用正方形包装纸的边长至少为（）A．40 B．30+2C．20D．10+1012.A．132 B．121 C．120 D．以上答案都不对（2009•鄞州区模拟）直角三角形有一条直角边的长是11, 另外两边的长都是自然数, 那么它的周长是（）A．有一个内角等于60°的等腰三角形是等边三角形13.（2009•宝安区一模）下列命题中,是假命题的是（）B．在直角三角形中, 斜边上的高等于斜边的一半C．在直角三角形中, 最大边的平方等于其他两边的平方和D．三角形两个内角平分线的交点到三边的距离相等14. （2008•江西模拟）已知△ABC是腰长为1的等腰直角三角形, 以Rt△ABC的斜边AC为直角边, 画第二个等腰Rt△ACD, 再以Rt△ACD的斜边AD为直角边, 画第三个等腰Rt△ADE, …, 依此类推, 第n个等腰直角三角形A．2n﹣2B．2n﹣1C．2n D．2n+115. （2007•台湾）以下是甲、乙两人证明+ ≠的过程:（甲）因为＞=3, ＞=2, 所以+ ＞3+2=5且=＜=5所以+＞5＞故+≠（乙）作一个直角三角形, 两股长分别为、利用商高（勾股）定理（）2+（）2=15+8得斜边长为因为、、为此三角形的三边长所以+＞故+≠A．两人都正确B．两人都错误C．甲正确, 乙错误D．甲错误, 乙正确对于两人的证法,下列哪一个判断是正确的（）16. （2007•宁波二模）如图, A.B是4×5网格中的格点, 网格中的每个小正方形的边长都是1, 图中使以A.B.C为顶点的三角形是等腰三角形的格点C有（）A．2个B．3个C．4个D．5个17.A．1B ．C ．D．（2006•郴州）在△ABC中, ∠C=90°,AC, BC的长分别是方程x2﹣7x+12=0根, △ABC内一点P到三边的距离都相等. 则PC为（）18. （2002•南宁）如图, 直角三角形三边上的半圆面积从小到大依次记为S1.S2.S3, 则S1.S2.S3之间的关系是（）A．S l+S2＞S3B．S l+S2＜S3C．S1+S2=S3D．S12+S22=S3219. （2001•广州）已知点A和点B（如图）, 以点A和点B为其中两个顶点作位置不同的等腰直角三角形, 一共可作出（）A．2个B．4个C．6个D．8个20. 设直角三角形的A．2B．3C．4D．5三边长分别为a、b、c, 若c﹣b=b﹣a＞0,则=（）21. （1999•A．4B．6C．8D．温州）已知△ABC中,AB=AC=10,BD是AC边上的高线,DC=2, 那么BD等于（）22. 如图, 在四边形ABCD中, ∠B=135°, ∠C=120°, AB= , BC= , CD= , 则AD边的长为（）A．B．C．D．A．16 B．18 C．12D．1223. 在△ABC中,∠A=15°,AB=12,则△ABC的面积等于（）24. 如图, 在Rt△ABC中, ∠C=90°, DE⊥AB, AC=BE=15, BC=20. 则四边形ACED的面积为（）A．54 B．75 C．90 D．9625. 如图, 在△ABC中, 分别以AB.BC为直径的⊙O1.⊙O2交于AC上一点D, 且⊙O1经过点O2, AB.DO2的延长线交于点E, 且BE=BD. 则下列结论不正确的是（）A．A B=AC B．∠BO2E=2∠E C．A B=BE D．E O2=BE26. 如图, 在正方形网格中, cosα的值为（）A．1B．C．D．27. 直角A．10 B．2C．4或10 D．10或2三角形一边长为8,另一条边是方程x2﹣2x﹣24=0的一解, 则此直角三角形的第三条边长是（）28. 如图是2002年在北京召开的国际数学家大会的会徽, 它由4个相同的直角三角形拼成, 已知直角三角形的两条直角边长分别为3和4, 则大正方形ABCD和小正方形EFGH的面积比是（）A．1：5 B．1: 25 C．5：1 D．25: 129. 如图, 已知△ABC中, AB=AC, ∠BAC=90°, 直角∠EPF的顶点P是BC中点, 两边PE、PF分别交AB.AC于点E、F, 给出以下四个结论:①AE=CF；②△EPF是等腰直角三角形；③S四边形AEPF=S△ABC；④当∠EPF在△ABC内绕顶点P旋转时（点E不与A.B重合）BE+CF=EF.上述结论中始终正确的有（）A．1个B．2个C．3个D．4个30. 如图, △ABC中, AC=BC, ∠ACB=90°, AE平分∠BAC交BC于E, BD⊥AE于D, DM⊥AC于M, 连CD. 下列结论: ①AC+CE=AB；②；③∠CDA=45°；④=定值.其中正确的有（）A．1个B．2个C．3个D．4个勾股定理专题训练试题精选（一）参考答案与试题解析一. 选择题（共30小题）1．（2014•十堰）如图, 在四边形ABCD中, AD∥BC, DE⊥BC, 垂足为点E, 连接AC交DE于点F, 点G为AF的中点, ∠ACD=2∠ACB．若DG=3, EC=1, 则DE的长为（）A．2B．C．2D．考点：勾股定理；等腰三角形的判定与性质；直角三角形斜边上的中线. 菁优网版权所有专题：几何图形问题.分析：根据直角三角形斜边上的中线的性质可得DG=AG, 根据等腰三角形的性质可得∠GAD=∠GDA, 根据三角形外角的性质可得∠CGD=2∠GAD, 再根据平行线的性质和等量关系可得∠ACD=∠CGD, 根据等腰三角形的性质可得CD=DG, 再根据勾股定理即可求解．解答：解: ∵AD∥BC, DE⊥BC,∴DE⊥AD, ∠CAD=∠ACB, ∠ADE=∠BED=90°,又∵点G为AF的中点,∴DG=AG,∴∠GAD=∠GDA,∴∠CGD=2∠CAD,∵∠ACD=2∠ACB=2∠CAD,∴∠ACD=∠CGD,∴CD=DG=3,在Rt△CED中, DE= =2 ．故选：C.故选: C．故选：C．点评：综合考查了勾股定理, 等腰三角形的判定与性质和直角三角形斜边上的中线, 解题的关键是证明CD=DG=3．2. （2014•吉林）如图, △ABC中, ∠C=45°, 点D在AB上, 点E在BC上. 若AD=DB=DE, AE=1, 则AC的长为（）A．B．2C．D．考点：等腰直角三角形；等腰三角形的判定与性质. 菁优网版权所有专题：几何图形问题.分析：利用AD=DB=DE, 求出∠AEC=90°, 在直角等腰三角形中求出AC的长．解答：解: ∵AD=DE,∴∠DAE=∠DEA,∵DB=DE,∴∠B=∠DEB,∴∠AEB=∠DEA+∠DEB= ×180°=90°,∴∠AEC=90°,∵∠C=45°, AE=1,∴AC= .故选：D.故选: D．故选：D．点评：本题主要考查等腰直角三角形的判定与性质, 解题的关键是利用角的关系求出∠AEC是直角．3. （2014•湘西州）如图, 在Rt△ABC中, ∠ACB=90°, CA=CB, AB=2, 过点C作CD⊥AB, 垂足为D, 则CD的长为（）A．B．C．1D．2考点：等腰直角三角形. 菁优网版权所有分析：由已知可得Rt△ABC是等腰直角三角形, 得出AD=BD= AB=1, 再由Rt△BCD是等腰直角三角形得出CD=BD=1．解答：解: ∵∠ACB=90°, CA=CB,∴∠A=∠B=45°,∵CD⊥AB,∴AD=BD= AB=1, ∠CDB=90°,∴CD=BD=1.故选：C.故选: C．故选：C．点评：本题主要考查了等腰直角三角形, 解题的关键是灵活运用等腰直角三角形的性质求角及边的关系．4. （2013•和平区二模）如图, 线段AB的长为2, C为AB上一个动点, 分别以AC.BC为斜边在AB的同侧作两个等腰直角三角形△ACD和△BCE, 那么DE长的最小值是（）A．B．1C．D．考点：等腰直角三角形；垂线段最短；平行线之间的距离. 菁优网版权所有分析：利用等腰直角三角形的特点知道AD=CD, CE=BE, ∠ACD=∠A=45°, ∠ECB=∠B=45°, ∠DCE=90°．利用勾股定理得出DE的表达式, 利用函数的知识求出DE的最小值．解答：解: 在等腰RT△ACD和等腰RT△CBE中AD=CD, CE=BE, ∠ACD=∠A=45°, ∠ECB=∠B=45°∴∠DCE=90°∴AD2+CD2=AC2, CE2+BE2=CB2∴CD2= AC2, CE2= CB ,∵DE2=DC2+EC2,∴DE===∴当CB=1时, DE的值最小, 即DE=1.故选：B.故选: B．故选：B．点评：此题考察了等腰直角三角形的特点及二次函数求最值的方法.5. （2012•威海）如图, a∥b, 点A在直线a上, 点C在直线b上, ∠BAC=90°, AB=AC, 若∠1=20°, 则∠2的度数为（）A．25°B．65°C．70°D．75°考点：等腰直角三角形；平行线的性质. 菁优网版权所有专题：计算题.分析：根据等腰直角三角形性质求出∠ACB, 求出∠ACE的度数, 根据平行线的性质得出∠2=∠ACE, 代入求出即可．解答：解: ∵∠BAC=90°, AB=AC,∴∠B=∠ACB=45°,∵∠1=20°,∴∠ACE=20°+45°=65°,∴∠2=∠ACE=65°,故选B．点评：本题考查了三角形的内角和定理、等腰直角三角形、平行线的性质, 关键是求出∠ACE的度数．6. （2011•衢州）一个圆形人工湖如图所示, 弦AB是湖上的一座桥, 已知桥AB长100m, 测得圆周角∠ACB=45°, 则这个人工湖的直径AD为（）A．B．C．D．考点：等腰直角三角形；圆周角定理. 菁优网版权所有专题：证明题.分析：连接OB．根据圆周角定理求得∠AOB=90°；然后在等腰Rt△AOB中根据勾股定理求得⊙O的半径AO=OB=50 m, 从而求得⊙O的直径AD=100 m．解答：解: 连接OB.∵∠ACB=45°, ∠ACB= ∠AOB（同弧所对的圆周角是所对的圆心角的一半）,∴∠AOB=90°；在Rt△AOB中, OA=OB（⊙O的半径）, AB=100m,∴由勾股定理得, AO=OB=50 m,∴AD=2OA=100m；故选B．点评：本题主要考查了等腰直角三角形、圆周角定理．利用圆周角定理求直径的长时, 常常将直径置于直角三角形中, 利用勾股定理解答．7. （2011•惠山区模拟）梯形ABCD中AB∥CD, ∠ADC+∠BCD=90°, 以AD.AB.BC为斜边向外作等腰直角三角形, 其面积分别是S1.S2.S3, 且S1+S3=4S2, 则CD=（）A．2.5AB B．3AB C．3.5AB D．4AB考点：勾股定理；等腰直角三角形；相似三角形的判定与性质. 菁优网版权所有专题：计算题；证明题；压轴题.分析：过点B作BM∥AD, 根据AB∥CD, 求证四边形ADMB是平行四边形, 再利用∠ADC+∠BCD=90°, 求证△MBC为Rt△, 再利用勾股定理得出MC2=MB2+BC2, 在利用相似三角形面积的比等于相似比的平方求出MC即可．解答：解: 过点B作BM∥AD,∵AB∥CD, ∴四边形ADMB是平行四边形,∴AB=DM, AD=BM,又∵∠ADC+∠BCD=90°,∴∠BMC+∠BCM=90°, 即△MBC为Rt△,∴MC2=MB2+BC2,∵以AD.AB.BC为斜边向外作等腰直角三角形,∴△AED∽△ANB, △ANB∽△BFC,= , = ,即AD2= , BC2= ,∴MC2=MB2+BC2=AD2+BC2= += = ,∵S1+S3=4S2,∴MC2=4AB2, MC=2AB,CD=DM+MC=AB+2AB=3AB.故选B．点评：此题涉及到相似三角形的判定与性质, 勾股定理, 等腰直角三角形等知识点, 解答此题的关键是过点B作BM∥AD, 此题的突破点是利用相似三角形的性质求得MC=2AB, 此题有一定的拔高难度, 属于难题．8. （2011•白下区二模）如图, △A1A2B是等腰直角三角形, ∠A1A2B=90°, A2A3⊥A1B, 垂足为A3, A3A4⊥A2B, 垂足为A4, A4A5⊥A3B, 垂足为A5, …, An+1An+2⊥AnB, 垂足为An+2（n为正整数）, 若A1A2=A2B=a, 则线段An+1An+2的长为（）A．B．C．D．考点：等腰直角三角形；勾股定理. 菁优网版权所有专题：计算题；规律型.分析：先根据勾股定理及等腰三角形的性质求出A2A3及A3A4的长, 找出规律即可解答．解答：解: ∵△A1A2B是直角三角形, 且A1A2=A2B=a, A2A3⊥A1B,∴A1B= = a,∵△A1A2B是等腰直角三角形,∴A2A3⊥A1B,∴A2A3=A1A3= A1B= = ,同理, A4A5= ×= ,∴线段An+1An+2的长为.故选B.故选B．点评：此题属规律性题目, 涉及到等腰三角形及直角三角形的性质, 解答此题的关键是求出A2A3及A3A4的长找出规律．灵活运用等腰直角三角形的性质, 得到等腰直角三角形的斜边是直角边的倍, 从而准确得出结论．9. （2010•西宁）矩形ABCD中, E, F, M为AB, BC, CD边上的点, 且AB=6, BC=7, AE=3, DM=2, EF⊥FM, 则EM 的长为（）A．5B．C．6D．考点：勾股定理；矩形的性质. 菁优网版权所有专题：压轴题.分析：过E作EG⊥CD于G, 利用矩形的判定可得, 四边形AEGD是矩形, 则AE=DG, EG=AD, 于是可求MG=DG ﹣DM=1, 在Rt△EMG中, 利用勾股定理可求EM．解答：解: 过E作EG⊥CD于G,∵四边形ABCD是矩形,∴∠A=∠D=90°,又∵EG⊥CD,∴∠EGD=90°,∴四边形AEGD是矩形,∴AE=DG, EG=AD,∴EG=AD=BC=7, MG=DG﹣DM=3﹣2=1,∵EF⊥FM,∴△EFM为直角三角形,∴在Rt△EGM中, EM= = = =5 ．故选B．点评：本题考查了矩形的判定、勾股定理等知识, 是基础知识要熟练掌握．10.A．B．C．D．2（2010•鞍山）正方形ABCD中, E、F两点分别是BC.CD上的点.若△AEF是边长为的等边三角形,则正方形ABCD的边长为（）考点：勾股定理；全等三角形的判定与性质；等边三角形的性质；正方形的性质. 菁优网版权所有分析：根据正方形的各边相等和等边三角形的三边相等, 可以证明△ABE≌△ADF, 从而得到等腰直角三角形CEF, 求得CF=CE=1．设正方形的边长是x, 在直角三角形ADF中, 根据勾股定理列方程求解．解答：解: ∵AB=AD, AE=AF,∴Rt △ABE≌Rt△ADF.∴BE=DF.∴CE=CF=1.设正方形的边长是x.在直角三角形ADF中, 根据勾股定理, 得x2+（x﹣1）2=2,解, 得x= （负值舍去）．即正方形的边长是.故选A．点评：此题综合运用了正方形的性质、等边三角形的性质、全等三角形的判定和性质以及勾股定理.11. （2010•鼓楼区二模）小明将一张正方形包装纸, 剪成图1所示形状, 用它包在一个棱长为10的正方体的表面（不考虑接缝）, 如图2所示. 小明所用正方形包装纸的边长至少为（）A．40 B．30+2C．20D．10+10考点：等腰直角三角形. 菁优网版权所有分析：所求正方形的边长即为AB的长, 在等腰Rt△ACF、△CDE中, 已知了CE、DE、CF的长均为10, 根据等腰直角三角形的性质, 即可求得AC、CD的长, 由AB=AC+CD+BD即可得解．解答：解: 如图；连接AB, 则AB必过C.D；Rt△ACF中, AC=AF, CF=10；则AC=AF=5；同理可得BD=5；Rt△CDE中, DE=CE=10, 则CD=10 ；所以AB=AC+CD+BD=20 ；故选C.点评：理清题意, 熟练掌握直角三角形的性质是解答此题的关键．A．132 B．121 C．120 D．以上答案都不对12.（2009•鄞州区模拟）直角三角形有一条直角边的长是11, 另外两边的长都是自然数, 那么它的周长是（）考点：勾股定理. 菁优网版权所有分析：假设另外两边后, 根据勾股定理适当变形, 即可解答．解答：解: 设另外两边是a、b（a＞b）则根据勾股定理, 得：a2﹣b2=121∵另外两边的长都是自然数∴（a+b）（a﹣b）=121=121×1即另外两边的和是121,故三角形的周长是132.故选A.故选A．点评：注意熟练进行因式分解和因数分解, 根据另外两边的长都是自然数分析结论．A．有一个内角等于60°的等腰三角形是等边三角形13.（2009•宝安区一模）下列命题中,是假命题的是（）B．在直角三角形中, 斜边上的高等于斜边的一半C．在直角三角形中, 最大边的平方等于其他两边的平方和D．三角形两个内角平分线的交点到三边的距离相等考点：勾股定理；角平分线的性质；等边三角形的判定；直角三角形斜边上的中线. 菁优网版权所有专题：计算题；证明题.分析：A.根据等腰三角形的性质求解；B.根据直角三角形的面积计算方法求斜边的高；C、根据勾股定理求解；D、求证角平分线和过角平分线交点作垂线所分的3对小三角形全等即可.C.根据勾股定理求解；D、求证角平分线和过角平分线交点作垂线所分的3对小三角形全等即可．C、根据勾股定理求解；D.求证角平分线和过角平分线交点作垂线所分的3对小三角形全等即可．C、根据勾股定理求解；D、求证角平分线和过角平分线交点作垂线所分的3对小三角形全等即可．解答：解: A.等腰三角形底角相等, 若底角为60°, 则顶角为180°﹣60°﹣60°=60°, 若顶角为60°, 则底角为=60°, 所以有一个角为60°的等腰三角形即为等边三角形, 故A选项正确；B.直角三角形中斜边的中线等于斜边的一半, 只有在等腰直角三角形中斜边的高与斜边的中线才会重合,故B选项错误；C.在直角三角形中, 最大的边为斜边, 根据勾股定理可知斜边长的平方的等于两直角边长平方的和, 故C选项正确；D.过三角形角平分线的交点作各边的垂线, 则三角形分成3对小三角形, 其中各顶点所在的两个直角三角形全等, 即过角平分线作的高线相等, 故D选项正确；即B选项中命题为假命题,故选B.故选B．点评：本题考查了全等三角形的证明, 考查了直角三角形中勾股定理的运用, 考查了等腰三角形的性质, 考查了直角三角形中斜边上的中线等于斜边长一半的性质．14. （2008•江西模拟）已知△ABC是腰长为1的等腰直角三角形, 以Rt△ABC的斜边AC为直角边, 画第二个等腰Rt△ACD, 再以Rt△ACD的斜边AD为直角边, 画第三个等腰Rt△ADE, …, 依此类推, 第n个等腰直角三角形的面积是（）A．2n﹣2B．2n﹣1C．2n D．2n+1考点：等腰直角三角形. 菁优网版权所有专题：规律型.分析：根据△ABC是边长为1的等腰直角三角形分别求出Rt△ABC、Rt△ACD、Rt△ADE的面积, 找出规律即可．解答：解: ∵△ABC是边长为1的等腰直角三角形,∴S△ABC=×1×1==21﹣2；AC= = , AD= =2…,∴S△ACD=××=1=22﹣2；S△ADE=×2×2=1=23﹣2…∴第n个等腰直角三角形的面积是2n ﹣2.故选A.故选A．点评：此题属规律性题目, 解答此题的关键是分别计算出图中所给的直角三角形的面积, 找出规律即可．15. （2007•台湾）以下是甲、乙两人证明+ ≠的过程:（甲）因为＞=3, ＞=2, 所以+ ＞3+2=5且=＜=5所以+＞5＞故+≠（乙）作一个直角三角形, 两股长分别为、利用商高（勾股）定理（）2+（）2=15+8得斜边长为因为、、为此三角形的三边长所以+＞故+≠对于两人A．两人都正确B．两人都错误C．甲正确, 乙错误D．甲错误, 乙正确的证法,下列哪一个判断是正确的（）考点：勾股定理；实数大小比较；三角形三边关系. 菁优网版权所有专题：压轴题；阅读型.分析：分别对甲乙两个证明过程进行分析即可得出结论.解答：解: 甲的证明中说明+ 的值大于5, 并且证明小于5, 一个大于5的值与一个小于5的值一定是不能相等的.乙的证明中利用了勾股定理, 根据三角形的两边之和大于第三边．故选A.故选A．点评：本题解决的关键是正确理解题目中的证明过程, 阅读理解题是中考中经常出现的问题．16. （2007•宁波二模）如图, A.B是4×5网格中的格点, 网格中的每个小正方形的边长都是1, 图中使以A.B.C为顶点的三角形是等腰三角形的格点C有（）A．2个B．3个C．4个D．5个考点：勾股定理；等腰三角形的判定. 菁优网版权所有专题：探究型.分析：先根据勾股定理求出AB的长, 再根据等腰三角形的性质分别找出以AB为腰和以AB为底边的等腰三角形即可．解答：解: ∵A.B是4×5网格中的格点,∴AB= = ,同理可得, AC=BD=AC= ,∴所求三角形有：△ABD, △ABC, △ABE．故选B．点评：本题考查的是勾股定理及等腰三角形的性质, 先根据勾股定理求出AB的长是解答此题的关键．17.A．1B．C．D．（2006•郴州）在△ABC中, ∠C=90°,AC, BC的长分别是方程x2﹣7x+12=0的两个根, △ABC内一点P到三边的距离都相等. 则PC为（）考点：勾股定理；解一元二次方程-因式分解法；三角形的内切圆与内心. 菁优网版权所有专题：压轴题.分析：根据AC、BC的长分别是方程x2﹣7x+12=0的两个根, 根据根与系数的关系求出．解答：解: 根据“AC, BC的长分别是方程x2﹣7x+12=0的两个根”可以得出:AC+BC=7, AC•BC=12,AB2=AC2+BC2=25,AB=5,△ABC内一点P到三边的距离都相等, 即P为△ABC内切圆的圆心,设圆心的半径为r, 根据三角形面积表达式:三角形周长×内切圆的半径÷2=三角形的面积,可得出, AC•BC÷2=（AC+BC+AB）×r÷2,12÷2=（7+5）×r÷2,r=1，根据勾股定理PC= = ,故选B.故选B．点评：本题中考查了勾股定理和一元二次方程根与系数的关系. 本题中三角形内心与三角形周长和面积的关系式是本题中的一个重点.18. （2002•南宁）如图, 直角三角形三边上的半圆面积从小到大依次记为S1.S2.S3, 则S1.S2.S3之间的关系是（）A．S l+S2＞S3B．S l+S2＜S3C．S1+S2=S3D．S12+S22=S32考点：勾股定理. 菁优网版权所有专题：压轴题.分析：依据半圆的面积公式, 以及勾股定理即可解决．解答：解: 设直角三角形三边分别为a, b, c, 则三个半圆的半径分别为, ,由勾股定理得a2+b2=c2, 即（）2+（）2=（）2两边同时乘以π得π（）2+π（）2=π（）2即S1.S2.S3之间的关系是S1+S2=S3故选C.故选C．点评：根据勾股定理, 然后变形, 得出三个半圆之间的关系．19. （2001•广州）已知点A和点B（如图）, 以点A和点B为其中两个顶点作位置不同的等腰直角三角形, 一共可作出（）A．2个B．4个C．6个D．8个考点：等腰直角三角形. 菁优网版权所有专题：压轴题.分析：利用等腰直角三角形的性质来作图, 要注意分不同的直角顶点来讨论．解答：解: 此题应分三种情况:①以AB为腰, 点A为直角顶点；可作△ABC1.△ABC2, 两个等腰直角三角形；②以AB为腰, 点B为直角顶点；可作△BAC3.△BAC4, 两个等腰直角三角形；③以AB为底, 点C为直角顶点；可作△ABC5.△ABC6, 两个等腰直角三角形；综上可知, 可作6个等腰直角三角形, 故选C．点评：等腰直角三角形两腰相等, 顶角为直角, 据此可以构造出等腰直角三角形．关键是以AB为腰和以AB为底来讨论．A．2B．3C．4D．520. 设直角三角形的三边长分别为a、b、c,若c﹣b=b﹣a＞0, 则=（）考点：勾股定理. 菁优网版权所有分析：根据已知条件判断c是斜边, 并且得到c+a=2b, 然后根据勾股定理得到c2﹣a2=b2, 然后因式分解可以求出c﹣a, 代入要求的式子可以求出结果了．解答：解: ∵c﹣b=b﹣a＞0∴c＞b＞a, c+a=2b根据勾股定理得, c2﹣a2=b2, （c+a）（c﹣a ）=b2,∴c﹣a= b∴=4故选C.故选C．点评：此题主要利用了勾股定理和因式分解解题, 题目式子的值不能直接求出, 把它的分子分母分别用b表示才能求出．A．4B．6C ．8D．21. （1999•温州）已知△ABC中,AB=AC=10,BD是AC边上的高线,DC=2, 那么BD等于（）考点：勾股定理. 菁优网版权所有分析：由CD的长, 可求得AD的值, 进而可在Rt△ABD中, 由勾股定理求得BD的长．解答：解: 如图；△ABC中, AB=AC=10, DC=2；∴AD=AC﹣DC=8；Rt△ABD中, AB=10, AD=8；由勾股定理, 得：BD= =6；故选B．点评：此题主要考查了等腰三角形的性质及勾股定理的应用.22. 如图, 在四边形ABCD中, ∠B=135°, ∠C=120°, AB= , BC= , CD= , 则AD边的长为（）A．B．C．D．考点：勾股定理. 菁优网版权所有专题：计算题.分析：作AE⊥BC, DF⊥BC, 构建直角△AEB和直角△DFC, 根据勾股定理计算BE, CF, DF, 计算EF的值, 并根据EF求AD．解答：解: 如图, 过点A, D分别作AE, DF垂直于直线BC, 垂足分别为E, F.由已知可得BE=AE= , CF= , DF=2 ,于是EF=4+ .过点A作AG⊥DF, 垂足为G．在Rt△ADG中, 根据勾股定理得AD= = = = = .故选D.点评：本题考查了勾股定理的正确运用, 本题中构建直角△ABE和直角△CDF是解题的关键．A．16 B．18 C．12D．1223. 在△ABC中,∠C=90°,∠A=15°,AB=12,则△ABC的面积等于（）考点：勾股定理；三角形的面积. 菁优网版权所有专题：计算题.分析：作∠ABD=∠A=15°, 则∠BDC=30°；设BC=x, 则BD=2x, CD= x, 计算AC=AD+CD=（2+ ）x, BC=x, AB=12, 根据勾股定理计算AC, BC的长度, △ABC的面积为根据•BC•AC计算可得．解答：解: 如图, 作∠ABD=∠A=15°BD交AC于D, 则∠DBC=75°﹣15°=60°在Rt△BCD中, 因为∠BDC=90°﹣∠DBC=30°所以BD=2BC, CD= BC设BC=x,所以BD=2x, CD= x因为∠A=∠ABD, 所以AD=BD=2x所以AC=AD+DC=（2+）x在Rt △ABC中AC2+BC2=AB2∴∴，故选B.点评：本题考查了勾股定理在直角三角形中的运用, 考查了直角三角形面积的计算, 本题中设BC=x, 根据直角△ABC求x的值, 是解题的关键．24. 如图, 在Rt△ABC中, ∠C=90°, DE⊥AB, AC=BE=15, BC=20. 则四边形ACED的面积为（）A．54 B．75 C．90 D．96考点：勾股定理；相似三角形的判定与性质. 菁优网版权所有分析：先利用勾股定理求出AB的长, 再根据相似三角形对应边成比例求出DE、BD的长, 然后代入面积公式即可求解．解答：解: ∵∠BDE=∠C=90°, ∠B=∠B∴△BDE∽△BCA∴BE: BA=BD: BC∵AC=BE=15, BC=20∴AB==25∴15: 25=BD: 20∴BD=12∴DE=9∴S△BDE=×12×9=54；S△ABC=×15×20=150∴四边形ACED的面积=S△ABC﹣S△BDE=150﹣54=96故选D.故选D．点评：此题主要考查了学生对相似三角形的性质及勾股定理的运用.25. 如图, 在△ABC中, 分别以AB.BC为直径的⊙O1.⊙O2交于AC上一点D, 且⊙O1经过点O2, AB.DO2的延长线交于点E, 且BE=BD. 则下列结论不正确的是（）A．A B=AC B．∠BO2E=2∠E C．A B=BE D．E O2=BE考点：勾股定理；对顶角、邻补角；三角形内角和定理；等腰三角形的性质；圆周角定理. 菁优网版权所有专题：证明题；压轴题.分析：根据等腰三角形的性质证出∠BO2E=2∠BDE, 即可得出答案B错误, 假设A成立证出C也正确, 即可判断A、C都错误, 即可选出选项．解答：解: A.∵∠ABC+∠EDA=180°, ∠ADB=90°,∴∠EDB+∠ABC=90°.∵∠BDE+∠EDC=90°, 且∠EDC=∠BCA．∴∠ABC=∠BCA.∴AB=AC. 正确, 故本选项错误；B.∵O2B=O2D,∴∠DBO2=∠EDB,∴∠BO2E=2∠BDE,∵BE=BD,∴∠BDE=∠E,∴∠BO2E=2∠E, 正确, 故本选项错误；C.∵AC=AB,∴∠C=∠ABC,∵∠BO2E=2∠BDE, ∠ABC=∠BO2E+∠E,∴∠ABC=3∠E,∵BC为⊙O2的直径,∴∠CDB=90°,∴4∠E=90°,∠E=22.5°∴∠C=∠ABC=67.5°,∴∠A=180°﹣2×67.5°=45°,在Rt△ABD中由勾股定理得：AB= BD= BE, 正确, 故本选项错误；D.故本选项正确；故选D.故选D．点评：本题主要考查了勾股定理, 三角形的内角和定理, 等腰三角形的性质, 圆周角定理, 对顶角, 邻补角等知识点, 综合运用性质进行证明是解此题的关键．26. 如图, 在正方形网格中, cosα的值为（）A ．1B ．C ．D．考点：勾股定理；锐角三角函数的定义. 菁优网版权所有专题：网格型.分析：cosα的值可以转化为直角三角形的边的比的问题, 先根据勾股定理求出AB的长, 再在Rt△ABC中根据三角函数的定义求解．解答：解: 在Rt△ABC中, BC=3, AC=4,则AB= =5,则cosα= = .故选D．点评：本题考查勾股定理和锐角三角函数的概念：在直角三角形中, 正弦等于对边比斜边；余弦等于邻边比斜边；正切等于对边比邻边．27. 直角A．10 B．2C．4或10 D．10或2三角形一边长为8,另一条边是方程x2﹣2x﹣24=0的一解, 则此直角三角形的第三条边长是（）考点：勾股定理；解一元二次方程-因式分解法. 菁优网版权所有专题：分类讨论.分析：先解方程x2﹣2x﹣24=0, 得x1=6, x2=﹣4, 所以另一条边是6, 再分两种情况考虑：①若8为斜边, 则用勾股定理得第三条边长是2 ；②若8和6是两条直角边, 再用勾股定理求斜边得10．解答：解: 根据题意得解方程x2﹣2x﹣24=0, 得x1=6, x2=﹣4,所以另一条边是6,①若8为斜边, 则用勾股定理得第三条边长是=2 ；②若8和6是两条直角边, 则此直角三角形的第三条边长是=10．故选：D.故选: D．故选：D．点评：本题考查了勾股定理、解方程. 解题的关键是要注意分情况讨论.28. 如图是2002年在北京召开的国际数学家大会的会徽, 它由4个相同的直角三角形拼成, 已知直角三角形的两条直角边长分别为3和4, 则大正方形ABCD和小正方形EFGH的面积比是（）A．1：5 B．1: 25 C．5：1 D．25: 1考点：勾股定理的证明. 菁优网版权所有分析：根据勾股定理可得大正方形ABCD的边长, 再根据和差关系得到小正方形EFGH的边长, 根据正方形的面积公式可得大正方形ABCD和小正方形EFGH的面积, 进一步即可求解．解答：解: 如图, 设大正方形的边长为xcm,由勾股定理得32+42=x2,解得：x=5,则大正方形ABCD的面积为: 52=25；∵小正方形的边长为: 4﹣3=1,∴小正方形EFGH的面积为: 12=1.则大正方形ABCD和小正方形EFGH的面积比是25：1.故选：D.故选: D．故选：D．点评：本题考查勾股定理及正方形的面积公式, 比较容易解答, 关键是求出大小正方形的边长．29. 如图, 已知△ABC中, AB=AC, ∠BAC=90°, 直角∠EPF的顶点P是BC中点, 两边PE、PF分别交AB.AC于点E、F, 给出以下四个结论:①AE=CF；②△EPF是等腰直角三角形；。

2023年中考数学高频考点突破-勾股定理的综合题1．（1）如图，在四边形ABCD中，∠C=90∘，AB=13，BC=4，CD=3，AD=12，求证：AD⊥BD．（2）如图，在离水面高度为5米的岸上，有人用绳子拉船靠岸，开始时绳子BC的长为13米，此人以0.5米每秒的速度收绳，6 秒后船移动到点D的位置，问船向岸边移动了多少米?（假设绳子是直的，结果保留根号）．2．一架方梯长13米，如图，斜靠在一面墙上，梯子底端离墙5米，（1）这个梯子的顶端距地面有多高？（2）如果梯子的顶端下滑了1米，那么梯子的底端在水平方向滑动了几米？3．如图是某学校主楼梯从底楼到二楼的楼梯截面图，已知BC=7米，AB=6+3 √3米，中间平台DE 与地面AB平行，且DE的长度为2米，DM、EN为平台的两根支柱，DM、EN垂直于AB，垂足分别为M、N，∠EAB=30°，∠CDF=45°，楼梯宽度为3米．（1）若要在楼梯上（包括平台DE）铺满地毯，求地毯的长度；（2）沿楼梯从A点到E点铺设价格为每平方米100元的地毯，从E点到C点铺设价格为每平方米120元的地毯，求用地毯铺满整个楼梯共需要花费多少元钱？4．如图，铁路MN和铁路PQ在P点处交汇，点A处是某市实验中学，AP=160米，点A到铁路MN的距离为80米，假使火车行驶时，周围100米以内会受到噪音影响.（1）火车在铁路MN上沿PN方向行驶时，学校是否会受到影响?请说明理由；（2）如果受到影响，已知火车的速度是180千米／时，那么学校受到影响的时间是多久?5．如图，A城气象台测得台风中心在A城正西方向240km的O处，以每小时30km的速度向南偏东60°的OB方向移动，距台风中心150km的范围内是受台风影响的区域．（1）A城是否受到这次台风的影响？为什么？（2）若A城受到台风的影响，求出受台风影响的时间有多长？6．如图，正方形网格中的每个小正方形的边长都是1，每个小格的顶点叫做格点.（1）在图1中以格点为顶点画一个面积为5的正方形；（2）在图2中以格点为顶点画一个三角形，使三角形三边长分别为2、√5、√13；（3）如图3，A、B、C是小正方形的顶点，求∠ABC.7．已知OA＝OB＝4，∠AOB＝60°，半∠A的半径为1，点C是半圆上任意一点，连结OC，把OC绕点O顺时针旋转60°到OD的位置，连结BD．（1）如图1，求证：AC＝BD．（2）如图2，当OC与半圆相切于点C时，求CD的长．（3）直接写出∠AOC面积的最大值．8．勾股定理是几何学中的明珠，充满着魅力，千百年来，人们对它趋之若鹜，其中有著名的数学家，也有业余数学爱好者，向常春在1994年构造发现了一个新的证法：把两个全等的直角三角形如图1放置，其三边长分别为a、b、c，显然∠DAB＝∠B＝90°，AC∠DE．（1）请用a、b、c分别表示出梯形ABCD、四边形AECD、∠EBC的面积，再通过探究这三个图形面积之间的关系，证明：勾股定理a2+b2＝c2；（2）如图2，铁路上A、B两点（看作直线上的两点）相距40千米，C、D为两个村庄（看作两个点），AD∠AB，BC∠AB，垂足分别为A、B，AD＝24千米，BC＝16千米，在AB上有一个供应站P，且PC＝PD，求出AP的距离；（3）借助（2）的思考过程与几何模型，直接写出代数式√x2+9+√(16−x)2+81(0<x< 16)的最小值为．9．在由6个边长为1的小正方形组成的方格中：（1）如图（1），A、B、C是三个格点（即小正方形的顶点），判断AB与BC的关系，并说明理由；（2）如图（2），连结三格和两格的对角线，求∠α+∠β的度数（要求：画出示意图并给出证明）10．如图，在四边形ABCD中，∠ABC=90°，∠ADC=90°，AC=AD，M，N分别为AC，AD的中点，连接BM，MN，BN．（1）求证：BM=MN；（2）∠BAD=60°，AC平分∠BAD ∠BAD，AC=2，求BN的长.11．森林火灾是一种常见的自然灾害，危害很大，随着中国科技、经济的不断发展，开始应用飞机洒水的方式扑灭火源.如图，有一台救火飞机沿东西方向AB，由点A飞向点B，已知点C为其中一个着火点，且点C与直线AB上两点A，B的距离分别为600m和800m，又AB＝1000m，飞机中心周围500m 以内可以受到洒水影响.（1）着火点C受洒水影响吗？为什么？（2）若飞机的速度为10 m/s，要想扑灭着火点C估计需要13秒，请你通过计算判断着火点C能否被扑灭？12．按照有关规定：距高铁轨道200米以内的区域内不宜临路新建学校、医院、敬老院和集中住宅区等噪声敏感建筑物．如图是一个小区平面示意图，矩形ABEF为一新建小区，直线MN为高铁轨道，C、D是直线MN上的两点，点C、A、B在一直线上，且DA∠CA，∠ACD=30°．小王看中了①号楼A单元的一套住宅，与售楼人员的对话如下：（1）小王心中一算，发现售楼人员的话不可信，请你用所学的数学知识说明理由；（2）若一列长度为228米的高铁以252千米/小时的速度通过时，则A单元用户受到影响时间有多长？（温馨提示：√2≈1.4，√3≈1.7，√37≈6.1）13．台风是一种自然灾害，它以台风中心为圆心在周围数十千米的范围内形成气旋风暴，有极强的破坏力，据气象观测，距沿海某城市A的正南方向220km的B处有一台风中心，该台风中心现在正以15km/ℎ的速度沿北偏东30°方向移动，若在距离台风中心130km范围内都要受到影响.(结果精确到0.01)(√2≈1.414，√3≈1.732，√5≈2.236)（1）该城市是否会受到这次台风的影响？说明理由.（2）若会受到台风影响，那么台风影响该城市的持续时间有多长？14．A，B 两船同时同地出发，A船以x km/h 的速度朝正北方向航行，B船以5km/h的速度朝正西方向航行，航行时间为2 h．（1）用含x的代数式表示两船的距离d(单位：km)．（2）当x=12时，两船相距多少千米？15．长方形OABC绕顶点C（0，5）逆时针方向旋转，当旋转到CO′A′B′位置时，边O′A′交边AB 于D，且A′D=2，AD=4．（1）求BC长；（2）求阴影部分的面积．16．如图，铁路MN和公路PQ在点O处交汇，∠QON＝30°.公路PQ上A处距离O点240米.如果火车行驶时，周围200米以内会受到噪音的影响.那么火车在铁路MN上沿ON方向以72千米／时的速度行驶时，（1）A处是否会受到火车的影响，并写出理由（2）如果A处受噪音影响，求影响的时间.答案解析部分1．【答案】（1）证明：∵∠C=90°，BC=4，CD=3，∴BD=√CD2+BC2=5．又∵AB=13，AD=12，∴BD2+AD2=52+122=132=AB2即：BD2+AD2=AB2．∴AD∠BD．（2）解：∵在Rt∠ABC中，∠CAB=90°，BC=13米，AC=5米，∴AB=√132−52=12（米）∵此人以0.5m/s的速度收绳，6 s后船移动到点D的位置，∴CD=13-0.5×6=10（米），∴AD＝√CD2−AC2＝√102−52＝5√3∴BD=AB−AD=12−5√3（米）答船向岸边移动了(12−5√3)米．【知识点】勾股定理；勾股定理的逆定理；勾股定理的应用【解析】【分析】（1）利用勾股定理求出BD，再利用勾股定理的逆定理推出∠ADB为直角三角形且∠ADB=90°（2）在Rt∠ABC中利用勾股定理求出AB，由题意求出CD=13-0.5×6=10（米），再利用勾股定理求出AD，根据BD=AB-AD即可求解.2．【答案】（1）解：根据勾股定理：所以梯子距离地面的高度为：AO= √AB2−OB2= √132−52=12米；（2）解：梯子下滑了1米即梯子距离地面的高度为OA′=（12﹣1）=11米，根据勾股定理：OB′= √A/B/2−OA/2=4 √3米，所以当梯子的顶端下滑1米时，梯子的底端水平后移了（4 √3﹣5）米答：当梯子的顶端下滑1米时，梯子的底端水平后移了（4 √3﹣5）米．【知识点】勾股定理的应用【解析】【分析】（1）利用勾股定理可以得出梯子的顶端距离地面的高度．（2）由（1）可以得出梯子的初始高度，下滑1米后，可得出梯子的顶端距离地面的高度，再次使用勾股定理，已知梯子的底端距离墙的距离为5米，可以得出，梯子底端水平方向上滑行的距离．3．【答案】（1）解：地毯的长度=AB+BC=7+6+3 √3=13+3 √3（米）（2）解：设EN=DM=BF=x，则BM=DF=CF=7﹣x，∵EN∠AB，∠EAB=30°，∴AN= √3EN= √3x，∵AB=AN+MN+MB，∴√3x+2+（7﹣x）=6+3 √3，解得：x=3，即平台的高度为3m，所需费用为100×3×（AN+EN）+120×3×（ED+DF+CF）=100×3×（3 √3+3）+120×3×（2+4+4）=900 √3+4500（元）；答：用地毯铺满整个楼梯共需要花费（900 √3+4500）元钱【知识点】勾股定理的应用【解析】【分析】（1）由图可知：地毯的总长度是（AB+BC）的长，已知了楼道的宽度，可由矩形的面积公式求出地毯的总面积；（2）关键是求出AN、NE、DF、FC的长，可设AN=x，然后用x表示出EN、DF、CF的长，由于∠CDF是等腰直角三角形，则DF=CF，根据这个等量关系，可求出x的值，进而可求出AN、NE、DF、CF的长，然后再根据两段地毯的单价求出铺满楼梯所花费的总价钱．4．【答案】（1）解：会受到影响.过点A作AE∠MN于点E，点A到铁路MN的距离为80米，AE=80 m，周围100米以内会受到噪音影响，80<100，学校会受到影响；（2）解：以点A为圆心，100米为半径画圆，交直线MN于BC两点，连接AB.AC。

八年级上数学专题训练一《勾股定理》典型题练习答案解析一、知识要点：1、勾股定理勾股定理：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方。

也就是说：如果直角三角形的两直角边为a、b，斜边为c ，那么 a2 + b2= c2。

公式的变形：a2 = c2- b2， b2= c2-a2 。

2、勾股定理的逆定理如果三角形ABC的三边长分别是a，b，c，且满足a2 + b2= c2，那么三角形ABC 是直角三角形。

这个定理叫做勾股定理的逆定理.该定理在应用时，同学们要注意处理好如下几个要点：①已知的条件：某三角形的三条边的长度.②满足的条件：最大边的平方=最小边的平方+中间边的平方.③得到的结论：这个三角形是直角三角形，并且最大边的对角是直角.④如果不满足条件，就说明这个三角形不是直角三角形。

3、勾股数满足a2 + b2= c2的三个正整数，称为勾股数。

注意：①勾股数必须是正整数，不能是分数或小数。

②一组勾股数扩大相同的正整数倍后，仍是勾股数。

常见勾股数有：（3，4，5）(5，12，13) (6，8，10)(7，24，25)(8，15，17)(9，12，15)常用勾股数口诀记忆常见勾股数3，4，5 ：勾三股四弦五5，12，13 ：我要爱一生6，8，10：连续的偶数7，24，25 ：企鹅是二百五8，15，17 ：八月十五在一起特殊勾股数连续的勾股数只有3，4，5连续的偶数勾股数只有6，8，104、最短距离问题：主要运用的依据是两点之间线段最短。

二、考点剖析考点一：利用勾股定理求面积1、求阴影部分面积：（1）阴影部分是正方形；（2）阴影部分是长方形；（3）阴影部分是半圆．2. 如图，以Rt △ABC 的三边为直径分别向外作三个半圆，试探索三个 半圆的面积之间的关系．3、如图所示，分别以直角三角形的三边向外作三个正三角形，其面积分别是S 1、S 2、S 3，则它们之间的关系是（ ）A.S 1- S 2= S 3 B. S 1+ S 2= S 3 C. S 2+S 3< S 1 D. S 2- S 3=S 1【类型题总结】（a ）如图（1）分别以直角三角形ABC 三边为直径向外作三个半圆，其面积（b ）如图分别用表示 S 1、S 2、S 3则它们有S 2+S 3=S 1关系．（2）分别以直角三角形ABC 三边向外作三个正方形，其面积表示 S 1、S 2、S 3．则它们有S 2+S 3=S 1关系．（c ）如图（3）分别以直角三角形ABC 三边向外作三个正三角形，面积表示S 1、S 2、S 3，则它们有S 2+S 3=S 1关系．并选择其中一个命题证明．考点：勾股定理． 专题：计算题．S 3S 2S 1分析：（a ）分别用AB 、BC 和AC 表示出 S 1、S 2、S 3，然后根据AB 2=AC 2+BC 2即可得出S 1、S 2、S 3的关系； （b ）分别用AB 、BC 和AC 表示出 S 1、S 2、S 3，然后根据AB 2=AC 2+BC 2即可得出S 1、S 2、S 3的关系； （c ）分别用AB 、BC 和AC 表示出 S 1、S 2、S 3，然后根据AB 2=AC 2+BC 2即可得出S 1、S 2、S 3的关系． 解答：解：（1）S 3=81πAC 2，S 2=81πBC 2S 1=81AB 2∴S 2+S 3=S 1．（2）S 2+S 3=S 1…（4分） 由三个四边形都是正方形则： ∵S 3=AC 2，S 2=BC 2，S 1=AB 2，…（8分） ∵三角形ABC 是直角三角形， 又∵AC 2+BC 2=AB 2…（10分） ∴S 2+S 3=S 1． （3）S 1=43AB 2S 2=43BC 2S 3=43AC 2∴S 2+S 3=S 1．点评：此题主要涉及的知识点：三角形、正方形、圆的面积计算以及勾股定理的应用，解题关键是熟练掌握勾股定理的公式，难度一般．4、四边形ABCD 中，∠B=90°，AB=3，BC=4，CD=12，AD=13，求四边形ABCD 的面积。

梯形一、选择题1. (2014年广西钦州，第10题3分)如图，等腰梯形ABCD的对角线长为13，点E、F、G、H分别是边AB、BC、CD、DA的中点，则四边形EFGH的周长是（）A．13 B．26 C．36 D．39考点：等腰梯形的性质；中点四边形．分析：首先连接AC，BD，由点E、F、G、H分别是边AB、BC、CD、DA的中点，可得EH，FG，EF，GH是三角形的中位线，然后由中位线的性质求得答案．解答：解：连接AC，BD，∵等腰梯形ABCD的对角线长为13，∴AC=BD=13，∵点E、F、G、H分别是边AB、BC、CD、DA的中点，∴EH=GF=BD=6.5，EF=GH=AC=6.5，∴四边形EFGH的周长是：EH+EF+FG+GF=26．故选B．点评：此题考查了等腰梯形的性质以及三角形中位线的性质．此题难度不大，注意掌握辅助线的作法，注意掌握数形结合思想的应用．2．（2014衡阳，第10题3分）如图，一河坝的横断面为等腰梯形ABCD，坝i ，则坝底AD的长度为【】顶宽10米，坝高12米，斜坡AB的坡度1:1.5A．26米 B．28米 C．30米 D．46米3．二、填空题1.（2014•黑龙江龙东,第3题3分）如图，梯形ABCD中，AD∥BC，点M是AD的中点，不添加辅助线，梯形满足AB=DC（或∠ABC=∠DCB、∠A=∠D）等条件时，有MB=MC（只填一个即可）．考点：梯形；全等三角形的判定．专题：开放型．分析：根据题意得出△ABM≌△△DCM，进而得出MB=MC．解答：解：当AB=DC时，∵梯形ABCD中，AD∥BC，则∠A=∠D，∵点M是AD的中点，∴AM=MD，在△ABM和△△DCM中，，∴△ABM≌△△DCM（SAS），∴MB=MC，同理可得出：∠ABC=∠DCB、∠A=∠D时都可以得出MB=MC，故答案为：AB=DC（或∠ABC=∠DCB、∠A=∠D）等．点评：此题主要考查了梯形的性质以及全等三角形的判定与性质，得出△ABM≌△△DCM是解题关键．2. （2014•青岛，第13题3分）如图，在等腰梯形ABCD中，AD=2，∠BCD=60°，对角线AC平分∠BCD，E，F分别是底边AD，BC的中点，连接EF．点P是EF上的任意一点，连接PA，PB，则PA+PB的最小值为2．考点：轴对称-最短路线问题；等腰梯形的性质．分析：要求PA+PB的最小值，PA、PB不能直接求，可考虑转化PA、PB的值，从而找出其最小值求解．解答：解：∵E，F分别是底边AD，BC的中点，四边形ABCD是等腰梯形，∴B点关于EF的对称点C点，∴AC即为PA+PB的最小值，∵∠BCD=60°，对角线AC平分∠BCD，∴∠ABC=60°，∠BCA=30°，∴∠BAC=90°，∵AD=2，∴PA+PB的最小值=AB•tan60°=．故答案为：2．点评：考查等腰梯形的性质和轴对称等知识的综合应用．综合运用这些知识是解决本题的关键．3. （2014•攀枝花，第16题4分）如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，BE平分∠ABC交CD于E，且BE⊥CD，CE：ED=2：1．如果△BEC的面积为2，那么四边形ABED的面积是．考点：相似三角形的判定与性质；等腰三角形的判定与性质；梯形．分析：首先延长BA，CD交于点F，易证得△BEF≌△BEC，则可得DF：FC=1：4，又由△ADF∽△BCF，根据相似三角形的面积比等于相似比的平方，可求得△ADF的面积，继而求得答案．解答：解：延长BA，CD交于点F，∵BE平分∠ABC，∴∠EBF=∠EBC，∵BE⊥CD，∴∠BEF=∠BEC=90°，在△BEF和△BEC中，，∴△BEF≌△BEC（ASA），∴EC=EF，S△BEF=S△BEC=2，∴S△BCF=S△BEF+S△BEC=4，∵CE：ED=2：1∴DF：FC=1：4，∵AD∥BC，∴△ADF∽△BCF，∴=（）2=，∴S△ADF=×4=，∴S四边形ABCD=S△BEF﹣S△ADF=2﹣=．故答案为：．点评：此题考查了相似三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质以及梯形的性质．此题难度适中，注意掌握辅助线的作法，注意掌握数形结合思想的应用．4．（2014•湖北黄石,第14题3分）如图，在等腰梯形ABCD中，AB∥CD，∠D=45°，AB=1，CD=3，BE∥AD交CD于E，则△BCE的周长为．第1题图考点：等腰梯形的性质．分析：首先根据等腰梯形的性质可得∠D=∠C=45°，进而得到∠EBC=90°，然后证明四边形ABED是平行四边形，可得AB=DE=1，再得EC=2，然后再根据勾股定理可得BE长，进而得到△BCE的周长．解答：解：∵梯形ABCD是等腰梯形，∴∠D=∠C=45°，∵EB∥AD，∴∠BEC=45°，∴∠EBC=90°，∵AB∥CD，BE∥AD，∴四边形ABED是平行四边形，∴AB=DE=1，∵CD=3，∴EC=3﹣1=2，∵EB2+CB2=EC2，∴EB=BC=，∴△BCE的周长为：2+2，故答案为：2+2．点评：此题主要考查了等腰梯形的性质，以及平行四边形的判定和性质，勾股定理的应用，关键是掌握等腰梯形同一底上的两个角相等．5．三、解答题1.（2014•黑龙江龙东,第26题8分）已知△ABC中，M为BC的中点，直线m绕点A旋转，过B、M、C分别作BD⊥m于D，ME⊥m于E，CF⊥m于F．（1）当直线m经过B点时，如图1，易证EM=CF．（不需证明）（2）当直线m不经过B点，旋转到如图2、图3的位置时，线段BD、ME、CF之间有怎样的数量关系？请直接写出你的猜想，并选择一种情况加以证明．考点：旋转的性质；全等三角形的判定与性质；梯形中位线定理．分析：（1）利用垂直于同一直线的两条直线平行得出ME∥CF，进而利用中位线的性质得出即可；（2）根据题意得出图2的结论为：ME= （BD+CF），图3的结论为：ME= （CF﹣BD），进而利用△DBM≌△KCM（ASA），即可得出DB=CK DM=MK即可得出答案．解答：解：（1）如图1，∵ME⊥m于E，CF⊥m于F，∴ME∥CF，∵M为BC的中点，∴E为BF中点，∴ME是△BFC的中位线，∴EM=CF．（2）图2的结论为：ME=（BD+CF），图3的结论为：ME=（CF﹣BD）．图2的结论证明如下：连接DM并延长交FC的延长线于K又∵BD⊥m，CF⊥m∴BD∥CF∴∠DBM=∠KCM在△DBM和△KCM中，∴△DBM≌△KCM（ASA），∴DB=CK DM=MK由题意知：EM=FK，∴ME= （CF+CK）= （CF+DB）图3的结论证明如下：连接DM并延长交FC于K又∵BD⊥m，CF⊥m∴BD∥CF∴∠MBD=∠KCM在△DBM和△KCM中，∴△DBM≌△KCM（ASA）∴DB=CK，DM=MK，由题意知：EM=FK，∴ME=（CF﹣CK）=（CF﹣DB）．点评：此题主要考查了旋转的性质以及全等三角形的判定与性质等知识，得出△DBM≌△KCM（ASA）是解题关键．2. （2014•乐山，第21题10分）如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，∠ADC=90°，∠B=30°，CE⊥AB，垂足为点E．若AD=1，AB=2，求CE的长．考点：直角梯形；矩形的判定与性质；解直角三角形．.分析：利用锐角三角函数关系得出BH的长，进而得出BC的长，即可得出CE的长．解答：解：过点A作AH⊥BC于H，则AD=HC=1，在△ABH中，∠B=30°，AB=2，∴cos30°=，即BH=ABcos30°=2×=3，∴BC=BH+BC=4，∵CE⊥AB，∴CE=BC=2．点评：此题主要考查了锐角三角函数关系应用以及直角三角形中30°所对的边等于斜边的一半等知识，得出BH的长是解题关键．3. （2014•攀枝花，第19题6分）如图，在梯形OABC中，OC∥AB，OA=CB，点O为坐标原点，且A（2，﹣3），C（0，2）．（1）求过点B的双曲线的解析式；（2）若将等腰梯形OABC向右平移5个单位，问平移后的点C是否落在（1）中的双曲线上？并简述理由．考点：等腰梯形的性质；反比例函数图象上点的坐标特征；待定系数法求反比例函数解析式；坐标与图形变化-平移．分析：（1）过点C作CD⊥AB于D，根据等腰梯形的性质和点A的坐标求出CD、BD，然后求出点B的坐标，设双曲线的解析式为y=（k≠0），然后利用待定系数法求反比例函数解析式解答；（2）根据向右平移横坐标加求出平移后的点C的坐标，再根据反比例函数图象上点的坐标特征判断．解答：解：（1）如图，过点C作CD⊥AB于D，∵梯形OABC中，OC∥AB，OA=CB，A（2，﹣3），∴CD=2，BD=3，∵C（0，2），∴点B的坐标为（2，5），设双曲线的解析式为y=（k≠0），则=5，解得k=10，∴双曲线的解析式为y=；（2）平移后的点C落在（1）中的双曲线上．理由如下：点C（0，2）向右平移5个单位后的坐标为（5，2），当x=5时，y==2，∴平移后的点C落在（1）中的双曲线上．点评：本题考查了等腰梯形的性质，待定系数法求反比例函数解析式，反比例函数图象上点的坐标特征，坐标与图形变化﹣平移，熟练掌握等腰梯形的性质并求出点B的坐标是解题的关键．。