求最大公因数的特殊方法

公因数和公倍数知识梳理
一、公因数和最大公因数
概念：几个数公有的因数，叫做这几个数的公因数；其中最大的一个，叫做这几个数的最大公因数。

12的因数有：1,2,3,4,6,12
18的因数有：1,2,3,6,9,18
12和18的公因数有：1,2,3,6
12和18的最大公因数是：6 记作：（12,18）=6
二、公倍数和最小公倍数
概念：几个数公有的倍数，叫做这几个数的公倍数；其中最小的一个，叫做这几个数的最小公倍数。

12的倍数有：12,24,36,48,60……
18的倍数有：18,36,54,72,90……
12和18的公倍数有：36,72……
12和18的最小公倍数是：36 记作：[12,18]=36
三、求最大公因数和最小公倍数的方法
方法：短除法
特殊规律：
（1）如果两数是倍数关系时，那么较小的数就是它们的最大公因数，较大的数就是它们的最小公倍数。

（2）如果两数互质时，那么1就是它们的最大公因数，它们的积就是它们的最小公倍数。

浅谈最小公倍数和最大公因数的教学明光市桥头镇司巷中心小学黄海燕摘要: 准确快速地求出两个数的最大公因数与最小公倍数的学习是小学生很难掌握的内容，又是至关重要的。

通过观察比较不难发现，当两数成倍数关系或互质关系时可直接写出它们的最大公因数和最小公倍数。

当既要求最大公因数又要求最小公倍数时，用短除法或分解质因数法比较简便；当只求最大公因数时，用除法算式法或小数缩小法比较简便；当只求最小公倍数时用大数翻倍法比较简便。

当这两个数比较大，比较复杂时用短除法比较简便。

看清之间关系，看清数据特征，看清条件与要求，用好最佳方法，认真细心计算。

一、教材分析苏教版小学数学第十册中第22页—31页第三单元公倍和公因数数的教学，从教材分析，这章内容特别重要。

准确迅速的找出它们的最大公因数与最小公倍数，是分数通分、约分必不可少的基础，而分数的通分、约分是进行分数加、减、乘、除四则运算的关键。

对于求最大公因数与最小公倍数能否熟练掌握，直接决定了分数四则运算的准确率，因此求两个数的最大公因数与最小公倍数的学习之重要。

而求两个数的最大公因数与最小公倍数的学习又牵涉到很多的概念。

而且概念间内在联系紧密，可以说是环环相扣，有一个环节学习不好也都会直接影响到下后面的学习，所以最大公因数与最小公倍数的学习是小学生很难掌握的内容，又是至关重要的。

它的概念多，环环相扣主要表现在：在学习最大公因数与最小公倍数时，学生要先掌握因数和倍数的概念，而要掌握因数与倍数的概念还要先掌握整除的概念，而整除这里又需要同学们能够掌握能被2、3、5整除的特征；除此之外，在求地大公因数与最小公倍数时，还讲到了两种特殊的关系，其中互质关系的两个数的最小公倍数是它们的乘积，最大公因数是1，而要正确是判断出两个数是不是互质关系，又要掌握质数与合数的概念；这里有需要同学们记住100以内的质数，这是有一定的难度的。

只有这些都能够熟练地掌握，学习起来最大公因数与最小公倍数才会感觉到轻松自如。

公因数和公倍数知识点公因数和公倍数公因数是指两个或多个数公有的因数，而公倍数是指两个或多个数公有的倍数。

在数学中，我们常常需要求两个数的最大公因数和最小公倍数。

首先，我们需要了解一些基本知识。

两个自然数如果公因数只有1，那么它们就是互素数。

而分子、分母是互素数的分数则被称为简分数。

求最大公因数的方法有分解素因数法和短除法。

最小公倍数的求法有分解素因数和短除法，即用最大公因数乘以各自独有的因数。

对于两个数的最大公因数和最小公倍数，有三种基本情况：特殊互素、较大数是较小数的倍数、一般关系。

对于特殊情况，我们可以直接求解，而对于一般情况，我们可以使用列举法、单列举法、分解质因数法、短除法、除法算式法等方法来求解最大公因数。

对于最小公倍数的求解，我们可以使用列举法、单列举法、大数翻倍法、分解质因数法或短除法等方法。

最后，我们需要记住，当两个数是倍数关系时，最大公因数是较小的数，最小公倍数是较大的数；当两个数是互质关系时，最大公因数是1，最小公倍数是它们的乘积。

12的倍数为12、24、36、48.一种方法是单列举法，比如求18和12的最小公倍数，先找出18的倍数：18、36、54、72，再从小到大找这些倍数中哪个同时也是另一个数的倍数，最小公倍数为36.另一种方法是大数翻倍法，将较大的数翻倍，每次翻倍后检查结果是否也是另一个数的倍数，直到找到最小公倍数为止。

比如求18和12的最小公倍数，可以将18翻倍，得到36，而36又是12的倍数，因此36是18和12的最小公倍数。

还有一种方法是短除法，先用两个数同时除以一个质数（要能整除），再同时除以另一个质数，直到得到两个互质的商为止，最后将所有的除数和商相乘即可得到最小公倍数。

对于问题1，（1）既是30的因数又是45的因数的数共有4个，其中最大的是15；（2）既是30的倍数又是45的倍数的数最小是90.对于问题2，将168分解质因数得到2×2×2×3×7，其中一个因数必为7，因此这三个连续自然数只有6、7、8和7、8、9两种可能，而7、8、9这三个数任意两个数的公因数都是1，因此这三个连续自然数只能是6、7和8，它们的和为21.随堂练：1、既是30的倍数又是45的倍数还是75的倍数的数最小是450；2、三个连续自然数的最小公倍数是660，这三个连续自然数分别是220、221和222.最小公倍数和最大公因数在数学中有着广泛的应用。

公因数和公倍数知识点————————————————————————————————作者：————————————————————————————————日期:ﻩ公因数和公倍数【知识点回顾】1、公因数（1）互素数:公因数只有１的两个自然数叫做互素数。

(2)简分数：分子、分母是互素数的分数叫做简分数。

(３)求最大公因数的方法：分解素因数法和短除法。

2、公倍数求最小公倍数的方法:分解素因数和短除法，即用最大公因数×各自独有的因数。

3、求两个数的最大公因数和最小公倍数,有３种基本情况，区别如下:两个数的关系最大公因素最小公倍数特殊关系互素（７和８） 1 两个数的积（7×8=５6）较大数是较小数的倍数(12和48）较小数(1２) 较大数(48）一般关系（12和1８) 用短除法将除数连乘(2×３=6) 将除数和商连乘（2×3×2×3=3６）4、求最大公因数和最小公倍数的方法：一、特殊情况：(１）倍数关系的两个数,最大公因数是较小的数，最小公倍数是较大的数。

(如；6和12的最大公因数是6,最小公倍数是1２。

）(2）互质关系的两个数,最大公因数是１,最小公倍数是它们的乘积。

（如，5和7的最大公因数时1,最小公倍数是５×７＝３５)二、一般情况:（1)求最大公因数:列举法、单列举法、分解质因数法、短除法、除法算式法。

①列举法：如，求18和27的最大公因数先找出两个数的所有因数１8的因数有：1、2、3、６、９、１82７的因数有:１、３、9、27再找出两个数的公因数：１8的因数有:1、2、３、6、9、1827的因数有:1、3、９、271、3、９最后找出最大公因数： 9②单列举法:如,求1８和27的最大公因数先找出其中一个数的因数:１8的因数有:１、２、３、６、9、18再找这些因数中那些又是另一个数的因数：1、3、9又是27的因数最后找出最大公因数: 9③短除法:３ 18 ２73 6 92 ３除到商是互质数为止,最后把所有的除数相乘3×3＝9 ④除法算式法:用这两个数同时除以公因数,除到最大公因数为止。

约分【知识归纳】1.公因数和最大公因数的意义:几个数公有的因数叫做这几个数的公因数,其中最大的一个叫做它们的最大公因数。

2.求两个数的最大公因数的方法:(1)列举法;(2)先找出两个数中较小数的因数,再从中圈出另一个数的因数,找出最大公因数;(3)分解质因数法;(4)短除法3.求两个数的最大公因数的特殊方法:(1)当两个数成倍数关系时,较小数是这两个数的最大公因数;(2)当两个数是互质数时,这两个数的最大公因数是1。

4.约分的意义:把一个分数化成和它相等,但分子和分母都比较小的分数,叫做约分5.最简分数的意义:分子和分母只有公因数1的分数6.约分的方法:(1)逐步约分法;(2)一次约分法。

【重难点点拨】1.把一个分数的分子、分母同时除以公因数,分数的值不变,这个过程叫作约分;像4这样,不能再约分了,叫作最简分数。

2.倍数关系的两个数,最大公因数是较小的数;互质关系的两个数,最大公因数是1.【精典例题】例1、18和27的最大公因数是多少?例2、把2418化简。

专题训练【基础知识】1.求出下面每组数的最大公因数2和6 13和26 1和7 8和92.你能很快说出下列各组数的最大公因数吗?并对每组数的公因数的特点进行总结。

6和12 13和7 1和14 8和9 2和9【能力提高】3.把下列分数化成分母是36的分数(分数的大小不变)43 7212 654.把下列分数化成分子是28的分数(分数的大小不变)6314 41 725.把下面分数约分成最简分数2612 4030 4816123 5511 45256.把43的分子扩大到原来的3倍分母应该怎样变化才能使分数的大小不变?变化后的分数是多少?7.有两根铁丝,一根长12米,另一根长30米,现在要把它们截成相等的小段每根不许有剩余每小段最长多少米?一共可以截成多少段？8.把长是12厘米宽是8厘米的纸板裁成面积相等,最大的正方形而且没有剩余,可以裁成多少块？9.一个分数用3约分了一次,用4约分了两次得52,原来这个分数是多少?通分【知识归纳】1、公倍数和最小公倍数的意义:几个数公有的倍数叫做这几个数的公倍数,其中最小的个数叫做它们的最小公倍数。

110的最大公因数1.引言1.1 概述概述:公因数指的是能够同时整除给定数字的因数。

在这篇长文中，我们将探讨如何找出数字110的最大公因数。

通过寻找110的因数并找出它们的公共因数，我们可以确定110的最大公因数。

本文将介绍一种简单而有效的方法来找出110的最大公因数，并展示这个方法的正确性和可行性。

同时，我们还将讨论该方法的应用场景和潜在的扩展性，以及它在数学和实际生活中的重要性。

通过深入研究110的最大公因数，我们将能够提高我们对数学概念的理解，并拓宽我们的数学思维。

1.2 文章结构文章结构部分的内容为：文章将分为引言、正文和结论三个主要部分。

1. 引言部分将提供对整篇文章的概述。

我们将介绍本文主题——110的最大公因数，并说明本文的结构和目的。

2. 正文部分将包含两个要点。

在第一个要点中，我们将探讨如何确定110的所有因数，并找出其中的最大公因数。

我们将介绍因数的定义和110的素因数分解，并运用数学方法确定最大公因数。

在第二个要点中，我们将介绍另一种方法——欧几里得算法，用于求解110的最大公因数。

我们将详细阐述该算法的原理和步骤，并运用该算法找出110的最大公因数。

3. 结论部分将分别总结第一个和第二个要点的内容。

我们将强调110的最大公因数是多少，并总结两种方法的优缺点。

同时，我们还将指出本文的研究对于理解公因数和欧几里得算法的应用具有重要意义。

通过上述文章结构，我们将全面讨论110的最大公因数的确定方法，使读者对该问题有一个清晰的理解。

1.3 目的目的：本文旨在探讨110的最大公因数，并通过详细的分析和解释，帮助读者了解最大公因数的概念、计算方法和与110的关系。

通过阅读本文，读者将能够更好地理解最大公因数的概念，并学会如何通过算法求解110的最大公因数。

此外，本文还将提供一些关于最大公因数的实际应用示例，以帮助读者在实际生活中运用最大公因数的概念。

最终，希望通过本文的阅读，读者能够深入理解和掌握110的最大公因数的概念及其应用。

公因数、最大公因数、公倍数和最小公倍数公因数、最大公因数、公倍数和最小公倍数在数学中，我们常常需要求出多个数的公因数、最大公因数、公倍数和最小公倍数。

掌握这些概念和求法是非常重要的。

最大公因数是几个数公有的因数中最大的那个，可以用列举法、观察法和短除法等方法求得。

例如，求8和6的最大公因数，我们可以先列出它们的因数，然后找出它们的公因数，最后找出它们的最大公因数，即2.观察法可以应用于特殊情况，例如两个数具有倍数关系时，它们的最大公因数就是其中较小的数；两个数是互质数时，它们的最大公因数就是1.如果两个数不是倍数和互质关系，我们可以用小数缩小法，即把较小的数缩小，每次缩小后看得到的商是不是另一个数的因数，直到所得的商是另一个数的因数为止。

短除法是一般情况下求最大公因数的常用方法。

我们可以用这两个数除以它们的公因数，一直除到所得的两个商只有公因数1为止。

然后把最后所有的除数连乘，就得到了二个数最大公因数。

除了最大公因数，我们还需要掌握最小公倍数的求法。

最小公倍数是几个数公有的倍数中最小的那个，可以用列举法、分解质因数法和公式法等方法求得。

例如，求6和8的最小公倍数，我们可以先列出它们的倍数，然后找出它们的公倍数，最后找出它们的最小公倍数，即24.最后，我们需要学会如何解有关最大公因数和最小公倍数的应用题，例如求某些数的最大公因数或最小公倍数，或者求某些数的倍数关系等。

通过练，我们可以更好地掌握这些知识点，并在实际问题中灵活运用。

12和24的最大公因数是4，可以表示为（12，24）=4.互质数是指公因数只有1的两个数，例如1和任何自然数都是互质数，相邻两个自然数如2和3、8和9也是互质数。

两个质数一定是互质数，而两个合数可能是互质数，例如8和9、25和49.2和所有奇数都是互质数，质数与比它小的合数也是互质数。

需要注意的是，质数是对一个数来说，而互质数是对两个数的关系来说的。

在练中，需要判断每组数是不是互质关系或倍数关系，并求出它们的最大公因数。

求最大公因数和最小公倍数的方法：一、 特殊情况：1、倍数关系的两个数，最大公因数是较小的数，最小公倍数是较大的数。

（如；6和12的最大公因数是6，最小公倍数是12。

）2、互质关系的两个数，最大公因数是１，最小公倍数是它们的乘积。

（如，5和7的最大公因数时1，最小公倍数是5×7=35）二、一般情况：1求最大公因数：列举法、单列举法、分解质因数法、短除法、除法算式法。

①列举法：如，求18和27的最大公因数：先找出两个数的所有因数 18的因数有：1、2、3、6、9、1827的因数有：1、3、9、27再找出两个数的公因数： 18的因数有：1、2、3、6、9、1827的因数有：1、3、9、27 1、3、9最后找出最大公因数： 9②单列举法：如，求18和27的最大公因数先找出其中一个数的因数：18的因数有：1、2、3、6、9、18再找这些因数中那些又是另一个数的因数：1、3、9又是27的因数最后找出最大公因数： 9> ③短除法：3 18 273 6 9 除到商是互质数为止，最后把所有的除数相乘2 3 3×3=9④除法算式法：用这两个数同时除以公因数，除到最大公因数为止。

18. 9就是18和27的最大公因数 27)2、求最小公倍数：列举法、单列举法、大数翻倍法、分解质因数法或短除法。

①列举法：如，求18和12的最小公倍数先按从小到大的顺序找出这两个数的倍数： 18的倍数：18、36、54、7212的倍数：12、24、36、48再找出两个数的最小公倍数： 18的倍数：18、36、54、7212的倍数：12、24、36、48 :②单列举法：如，求18和12的最小公倍数先找出一个数的倍数： 18的倍数有：18、36、54、72再按从小到大的顺序找这些倍数中那个又是另一个数的倍数，找出最小公倍数： 36 ③大数翻倍法：如，求18和12的最小公倍数把较大的数翻倍（2倍开始），每次翻倍后看结果是不是另一个数的倍数，直到找到最小公倍数为止。

小学五年级数学求最大公因数九种方法，替孩子收藏！求最大公因数是小学重点掌握的知识点，不仅关系到小学重要考试，在初中数学学习中，也是很多重点知识点的学习根基。

很多同学认为在小学课本中，最大公约数已学的很透，当你认真看完这篇文章后，你会发现数学真的是一门神奇的学科。

01观察法运用能被2、3、5整除的数的特征进行观察．例如，求225和105的最大公因数．因为225、105都能被3和5整除，所以225和105至少含有公因数（3×5）15．因为225÷15＝15，105÷15＝7．15与7互质，所以225和105的最大公因数是1502 查找因数法先分别找出每个数的所有因数，再从两个数的因数中找出公有的因数，其中最大的一个就是最大公因数．例如，求12和30的最大公因数．12的因数有：1、2、3、4、6、12；30的因数有：1、2、3、5、6、10、15、30．12和30的公因数有：1、2、3、6，其中6就是12和30的最大公因数．03分解因式法先分别把两个数分解质因数，再找出它们全部公有的质因数，然后把这些公有质因数相乘，得到的积就是这两个数的最大公因数．例如：求125和300的最大公因数．因为125＝5×5×5，300＝2×2×3×5×5，所以125和300的最大公因数是5×5＝25．04关系判断法当两个数关系特殊时，可直接判断两个数的最大公因数．例如，两个数互质时，它们的最大公因数就是这两个数的乘积；两个数成倍数关系时，它们的最大公因数就是其中较小的那个数．05短除法例如：求180和324的最大公因数．因为：5和9互质，所以180和324的最大公因数是4×9＝36．06 除法法当两个数中较小的数是质数时，可采用除法求解．即用较大的数除以较小的数，如果能够整除，则较小的数是这两个数的最大公因数．例如：求19和152，13和273的最大公因数．因为152÷19＝8，273÷13＝21．（19和13都是质数．）所以19和152的最大公因数是19，13和273的最大公因数是13．07缩倍法如果两个数没有之间没有倍数关系，可以把较小的数依次除以2、3、4……直到求得的商是较大数的因数为止，这时的商就是两个数的最大公因数．例如：求30和24的最大公因数．24÷4＝6，6是30的因数，所以30和24的最大公因数是6．08求差判定法如果两个数相差不大，可以用大数减去小数，所得的差与小数的最大公因数就是原来两个数的最大公因数．例如：求78和60的最大公因数．78－60＝18，18和60的最大公因数是6，所以78和60的最大公因数是6．如果两个数相差较大，可以用大数减去小数的若干倍，一直减到差比小数小为止，差和小数的最大公因数就是原来两数的最大公因数．例如：求92和16的最大公因数．92－16＝76，76－16＝60，60－16＝44，44－16＝28，28－16＝12，12和16的最大公因数是4，所以92和16的最大公因数就是4．09 辗转相除法我们在求两个数的最大公约数时，通常的方法是短除，或者分别对两个数分解质因数，但是如果遇到两个比较麻烦的较大的数，比如：9193和3567，我们怎么办呢？我们的祖先很久之前就帮我们搞定了，那个时候信息不畅，东西方人都各自用了几乎相同的方法，分别记载于欧几里得的《几何原本》（第VII卷，命题yⅠ和Ⅱ）和《九章算术》“更相减损术”中。

求两个数的最大公约数算法用的最多的是辗转相除法。

基本思路就是getCommonMutiple(a,b){ //这里假定a 是较大的数，实际编码时要先判断谁大谁小；r = a%b;if(r != 0){a = b;b = r;getCommonMutiple(a ,b);}return b;}但是如何求N个数的最大公因数呢？（N > 1）在初等数学里，有这么几个定理1、任何一个整数，都可以分解为素数因子的乘积比如24 = 2* 2* 2 * 3；26 = 2 * 13；分解时应该从2开始分解起2、若干个数的最大公因数是共同素数因子的乘积比如求48 60 72 的最大公因数48 = 2*2*2*2*360 = 2*2*3*572 = 2*2*2*3*3共同的素数因子为 2 * 2 * 3 = 12 所以他们的最大公因数就是12有了这两个知识点之后，我们开始写程序详见代码/***Aug 25, 2013*Copyright(c)JackWang*All rights reserve*@Author<ahref="mailto:*********************">JackWang</a> */package com.example.blog;import java.util.ArrayList;import java.util.List;/*** 计算机里求最大公因数的方法通常是辗转相除法* 但是这个方法的缺陷在与一次只能求两个数的最大公因数* 如果需要求若干个数的最大公因数呢？* 需求：设计一个算法，可以求出若干个整数的最大公因数* @author Administrator**/public class CommonMutiple {public static void main(String[] args) {int[] data1 = {26,13};int[] data2 = {735000,421160,238948};int[] data3 = {1008,1260,882,1134};int result1 = getCommonMutiple(data1);int result2 = getCommonMutiple(data2);int result3 = getCommonMutiple(data3);System.out.println(result1);System.out.println(result2);System.out.println(result3);}/*** 得到最大公倍数的方法* @param data1 传入数组* @return 返回最大公倍数*/private static int getCommonMutiple(int[] data1) {List<List<Integer>> divisorList = new ArrayList<>();for(int data :data1){divisorList.add(getDivisors(data));}return getResult(divisorList);}/*** 得到一个数的全部素数因子* @param data 传入一个整数* @return 返回素数因子*/private static List<Integer> getDivisors(int data) {List<Integer> primeList = new ArrayList<>();int k = Math.abs(data);int sum = 1;if(!isPrime(data)){ //如果这个数是素数的话，直接返回int len = (int)Math.sqrt(Math.abs(data));for(int i = 2; i <= len; i++){ //任何一个数都可以分解为素数因子的乘积if(isPrime(i)){while(data % i == 0){sum *= i;if(sum <= k){primeList.add(i);}data = data / i;if(isPrime(data)){primeList.add(data);sum *= data;break;}}if(sum == k)break;}}}else {primeList.add(data);}return primeList;}private static boolean isPrime(int data) {for(int i = 2;i <= Math.sqrt(Math.abs(data)); i++){if (data % i == 0)return false;}return true;}/*** 通过将各个数的素数因子传入该方法，得到最大公因数* 实际就是求一组数的交集* 如果这组数存在最大公因数，则最大公因数必定在素数因子最小的集合里* @param divisorList* @return*/private static int getResult(List<List<Integer>> divisorList) {int result = 1; //存储最终结果，如果返回是1的话，则说明不存在最大公因数for(int element :divisorList.get(0)){boolean flag = true;for(int j = 1;j < divisorList.size();j++){if(!divisorList.get(j).contains(element)){flag = false;break;}divisorList.get(j).remove(divisorList.get(j).indexOf(element));}if (flag) {result *= element;}}// int k = divisorList.get(0).size();// int j = 0; //记录最小元素数的脚标// for(int i = 1 ; i < divisorList.size(); i++){// if (divisorList.get(i).size() <= k) {// k = divisorList.get(i).size();// j = i;// }// }//// for(List<Integer> list :divisorList){// divisorList.get(j).retainAll(list);// }//// for (int i = 0; i <divisorList.get(j).size() ; i++) {// System.out.println(divisorList.get(j).get(i));//// }//// if(divisorList.get(j).size() != 0){// for (int r : divisorList.get(j)) {// result = result * r;// }// }return result;}}这里两个较为重要的算法是1、如何将一个整数分解为素数因子的乘积2、如何找出若干个素数因子中共同的素数因子对于第一个算法，对应的代码为private static List<Integer> getDivisors(int data) {List<Integer> primeList = new ArrayList<>();int k = Math.abs(data);int sum = 1;if(!isPrime(data)){ //如果这个数是素数的话，直接返回int len = (int)Math.sqrt(Math.abs(data));for(int i = 2; i <= len; i++){ //任何一个数都可以分解为素数因子的乘积if(isPrime(i)){while(data % i == 0){sum *= i;if(sum <= k){primeList.add(i);}data = data / i;if(isPrime(data)){primeList.add(data);sum *= data;break;}}if(sum == k)break;}}}else {primeList.add(data);}return primeList;}思路为：先判断传入的数据是否为素数，如果是素数直接加到list中返回即可，否则从素数2开始分解，如果能整除2，则说明2是一个素因子，继续整除2，如果不能整除了先要判断这个已经是不是一个素数了，如果是的话就要加到list里，这是非常容易忽略的地方，我也是用26这个数据做测试的时候才发现（26 = 2* 13）在判断过程中，要将素数因子乘积存到sum变量里，因为当sum = data时就应该已经分解完成了。

最大公因数和最小公倍数的表示方法《最大公因数和最小公倍数的表示方法》嗨，小伙伴们！今天咱们来好好唠唠最大公因数和最小公倍数的表示方法。

这听起来可能有点复杂，不过别担心，就像解开一团有趣的毛线球一样，只要咱们一步一步来，就肯定能弄明白。

先来说说最大公因数吧。

最大公因数呢，就是几个数公有的因数里面最大的那个。

比如说，我有6个苹果和9个橘子，我想把它们分成同样多的堆，每堆里面苹果和橘子的数量都得是整数。

那这个时候呀，就得找6和9的最大公因数啦。

6的因数有1、2、3、6，9的因数有1、3、9，它们公有的因数是1和3，其中最大的就是3。

这就像我们找小伙伴一起玩游戏，要找那个能让大家都玩得开心、都能遵守规则的最大的那种组合。

那怎么表示最大公因数呢？我们可以用小括号来表示哦。

就像(6, 9) = 3，这个小括号就代表着求6和9的最大公因数，等号后面的3就是结果啦。

这就好像是给这个最大公因数穿上了一件特殊的小衣服，让我们一眼就能认出来。

我记得有一次，我和我的好朋友小明、小红一起分糖果。

我有12颗糖果，小明有18颗糖果。

我们想把糖果分成一样多的小包，这样每个人拿到的包数都是整数。

我们就开始找12和18的最大公因数。

12的因数有1、2、3、4、6、12，18的因数有1、2、3、6、9、18。

公有的因数有1、2、3、6，最大公因数就是6。

我们就可以写成(12, 18) = 6。

然后我们就按照这个结果把糖果分成了包，每人都拿到了整数包的糖果，可开心了呢。

再来说说最小公倍数吧。

最小公倍数是几个数公有的倍数里面最小的那个。

比如说，2的倍数有2、4、6、8、10、12……3的倍数有3、6、9、12、15……那2和3的最小公倍数就是6啦。

这就好比是我们要找一个能同时满足好几个条件的最小的那个东西。

最小公倍数的表示方法呢，是用中括号。

就像[2, 3] = 6。

这就像是给最小公倍数也打造了一个独特的标志，让我们能很快区分出来。

我和我的同学们在做数学作业的时候，就遇到过这样的题。

求最大公因数最快方法最大公因数（GCD）是指两个或多个整数中最大的公约数。

求最大公因数的方法有很多种，包括穷举法、辗转相除法、质因数分解法、更相减损法等。

下面将分别介绍这些方法的原理和优劣势，以及一些其他方法。

1. 穷举法：穷举法是最直观的方法，即对两个整数的所有因数进行穷举，找出它们的公约数中最大的一个。

这个方法的优势是简单易理解，适用于较小的整数。

但当整数较大时，穷举的范围较大，速度较慢。

2. 辗转相除法（欧几里得算法）：辗转相除法利用了两个整数之间的整除关系，即两个整数a和b（a>b），它们的最大公约数等于b与a%b的最大公约数。

通过不断地将较大数与余数计算最大公约数，直到余数为0，则较小的数即为最大公约数。

这个方法的优势在于计算速度较快，适用于大整数。

但当两个整数相差很大时，此方法可能效率较低。

3. 更相减损法：更相减损法是一种辗转相减的方法，它使用的原理是任何一个奇数减去另一个奇数的差是偶数，一个奇数减去一个偶数的差是奇数。

因此，我们可以不断地将两个整数中较大的减去较小的，直到两个整数相等，这时的整数即为最大公约数。

这个方法的优势在于可以减少除法运算，但当两个整数相差很大时，辗转相减的次数较多，效率较低。

4. 质因数分解法：质因数分解法是将两个整数进行质因数分解，然后找出它们公共的质因数，再将这些质因数相乘。

这个方法的优势在于可以避免不必要的除法运算，尤其对于较大的整数来说，计算速度较快。

但它的劣势在于复杂度较高，需要先将两个整数进行质因数分解。

除了上述传统的方法，还有一些更高效的方法，如辗转相减法与移位法相结合的二进制算法和Stein算法等。

这些方法主要基于更相减法和移位运算的思想，利用位运算和递归来提高计算速度。

它们的优势在于减少了运算次数和数据规模，适用于非常大的整数。

总而言之，要确定最大公因数最快的方法，需要根据具体情况选择合适的算法。

对于小整数，穷举法和辗转相除法都是简单有效的选择；对于大整数，质因数分解法和二进制算法等更高级的方法能够提供更快的计算速度。

一、教材分析苏教版小学数学第十册中第22页—31页第三单元公倍和公因数数的教学，从教材分析，这章内容特别重要。

准确迅速的找出它们的最大公因数与最小公倍数，是分数通分、约分必不可少的基础，而分数的通分、约分是进行分数加、减、乘、除四则运算的关键。

对于求最大公因数与最小公倍数能否熟练掌握，直接决定了分数四则运算的准确率，因此求两个数的最大公因数与最小公倍数的学习之重要。

而求两个数的最大公因数与最小公倍数的学习又牵涉到很多的概念。

而且概念间内在联系紧密，可以说是环环相扣，有一个环节学习不好也都会直接影响到下后面的学习，所以最大公因数与最小公倍数的学习是小学生很难掌握的内容，又是至关重要的。

它的概念多，环环相扣主要表现在：在学习最大公因数与最小公倍数时，学生要先掌握因数和倍数的概念，而要掌握因数与倍数的概念还要先掌握整除的概念，而整除这里又需要同学们能够掌握能被2、3、5整除的特征；除此之外，在求地大公因数与最小公倍数时，还讲到了两种特殊的关系，其中互质关系的两个数的最小公倍数是它们的乘积，最大公因数是1，而要正确是判断出两个数是不是互质关系，又要掌握质数与合数的概念；这里有需要同学们记住100以内的质数，这是有一定的难度的。

只有这些都能够熟练地掌握，学习起来最大公因数与最小公倍数才会感觉到轻松自如。

所以这单元应该多用一到两课时。

我在上这单元时，我是这么教学的：二、教学思路（一）用一课时复习相关的概念整除：整数A除以整数B，除得的商正好是整数而没有余数，我们就说A能被B整除。

如15÷3=5，15、3、5都是整数而没有余数，我们就说15能被3整除。

在此基础上再来复习倍数与因数的概念：如果A能被B整除，我们就说A是B的倍数，B是A的因数。

在这里还要强调说明一点，倍数和因数是相互依存的，不能独立存在；我们只能说谁是谁的倍数或谁是谁的因数，不能单独说谁是倍数或谁是因数。

如：15÷3=5正好能够整除，我们就可以说15是3的倍数，也可以说3是15的因数。

第11讲约分（讲义）（知识梳理+易错汇总+易错精讲+易错专练）1、公因数和最大公因数的意义。

几个数公有的因数，叫作它们的公因数；其中最大的公因数叫作它们的最大公因数。

2、求两个数的最大公因数的方法。

（1）列举法；（2）筛选法；（3）分解质因数法；（4）短除法。

3、互质数的意义。

只有公因数1的两个数，叫作互质数。

4、求两个数的最大公因数的特殊方法。

（1）当两个数成倍数关系时，较小数是它们的最大公因数；（2）当两个数是互质数时，最大公因数是1。

5、用公因数、最大公因数解决实际问题。

当所求量分别与两个已知量的因数有关时，可以用公因数、最大公因数知识解决。

6、约分的意义。

把一个分数化成和它相等，但分子和分母都比较小的分数，叫作约分。

7、最简分数的意义。

分子和分母只有公因数1的分数叫作最简分数。

8、约分的方法。

（1）逐次约分法；（2）一次约分法。

1、最大公因数必须是两个数的公因数里面最大的一个，两个合数的最大公因数也可能是1。

2、约分是把一个分数化成和它相等，但分子和分母都比较小的分数。

3、最简分数的分子和分母不是没有公因数，而是只有公因数1。

【易错一】“五月五，过端午，粽香艾香飘满堂”。

小明一家一共包了24个豆沙粽和16个火腿粽，把它们分别放在包装盒里，要使每盒的数量相等，每盒最多放（）个。

A．4 B．6 C．8 D．12【解题思路】根据题意可知，求每盒最多装几个，也就是求24和16的最大公因数，先把这两个数分解质因数，它们公有质因数的乘积就是它们的最大公因数，由此解答。

【完整解答】24＝2×2×2×316＝2×2×2×224和16的最大公因数是2×2×2＝8故答案为：C【点睛】此题属于最大公因数的实际应用，利用分解质因数的方法，求出它们的最大公因数，由此解决问题。

【易错二】工作人员要把96条肉干和72袋狗粮平均分给动物救助站的小狗，刚好全部分完。

一、知识点整理：1、一个数最小的因数是1,最大的因数是它本身,一个数因数的个数是有限的.一个数最小的倍数是它本身,没有最大的倍数.一个数倍数的个数是无限的.一个数最大的因数等于这个数最小的倍数.2、几个数公有的倍数,叫做这几个数的公倍数,其中最小的一个,叫做这几个数的最小公倍数,用符号,表示.几个数的公倍数也是无限的.3、两个数公有的因数,叫做这两个数的公因数,其中最大的一个,叫做这两个数的最大公因数,用符号, .两个数的公因数也是有限的.4、两个素数的积一定是合数.举例：3×5=15,15是合数.5、两个数的最小公倍数一定是它们的最大公因数的倍数.举例：6,8=24,6,8=2,24是2的倍数.6、求最大公因数和最小公倍数的方法：倍数关系的两个数,最大公因数是较小的数,最小公倍数是较大的数.举例：15和5,15,5=15,15,5=5素数关系的两个数,最大公因数是１,最小公倍数是它们的乘积.举例：3,7=21,3,7=1一个素数和一个合数,最大公因数是１,最小公倍数是它们的乘积.5,8=40,5,8=1相邻关系的两个数,最大公因数是１,最小公倍数是它们的乘积.9,8=72,9,8=1特殊关系的数两个都是合数,一个是奇数,一个是偶数,但他们之间只有一个公因数1,比如4和9、4和15、10和21,最大公因数是１,最小公倍数是它们的乘积.一般关系的两个数,求最大公因数用列举法或短除法,求最小公倍数用大数翻倍法或短除法.二、经典例题：例1,写出每组数的最大公因数7和9 5和25 10和4写出每组数的最小公倍数8和10 51和3 5和4例2：有一批地砖,每块长45厘米、宽30厘米,至少要用多少块这样的地砖才能铺成一个正方形在一张长40厘米,宽32厘米的长方形红纸上裁出同样大小,面积最大的正方形,并且没有剩余.一共可以裁出多少个这样的正方形例3：五1班学生人数不超过50人,在分小组做游戏时,可以分为每组6人或者每组8人,两种分法都刚好分完.这个班的学生可能有多少人例4：甲、乙两人到图书馆去借书,甲每4天去一次,乙每5天去一次,如果7月1日他们两人在图书馆相遇,那么他们下一次同时到图书馆是几月几日三、课堂练习1,暑假期间,小华,小明和小芳都去图书馆借书,小华每3天去一次,小明每4天去一次,小芳每6天去一次,8月1日他们都去借了书,那么小芳每次去借书的那天也去了,三人同一天去借书的时间是.2、一个数的最大因数是13,这个数的最小倍数是.3、两个自然数a、b的最大公因数是1,它们的最小公倍数是.4、如果A＝2×2×3,B＝2×3×3,那么它们的最大公因数是,最小公倍数是.5、一个数是3的倍数,又是5的倍数,还有因数7.这个数最小是.6、一个数既是30的因数、又是45的因数,最大的是.7、如果两个数的最大公因数是1,它们最小公倍数是91,那么这两个数的和最大是.8、任何两个奇数的和是.A、奇数B、合数C、偶数9、12是的最大公因数.A、1和12B、12和24C、3和410、任何两个自然数的的个数是无限的.A、公倍数B、公因数C、倍数11、A是B倍数,那么它们的最小公倍数是.A、ABB、AC、B12、两个数的最大公因数是15,最小公倍数是90,这两个数一定不是.A、15和90B、45和90C、45和30用短除法求出每组数的最大公因数和最小公倍数.32和612和1872和4813,在周长是400米的椭圆形跑道上插彩旗,原来每间隔8米插一面彩旗,现在改为每隔10米插一面彩旗,如果以其中的一面彩旗为起点不改变,那么一共需要移动多少面彩旗14、把两根长度分别是45厘米和60厘米的铁丝,截成长度相等的小段,每根都不能有剩余.每小段最长多少厘米可以剪成多少段15、李刚和李强是兄弟,两人都在外地工作.李刚隔6天回家一次,李强隔8天回家一次,十月一日这天他们同时回家,再过多少天他们才能再一次见面16,把48米,60米的两根钢管锯成长度一样的钢管且没有剩余.（1）,锯好的钢管每段最长是多少米2,如果每锯一次需要2分钟,一共需要锯多少分钟17、在一根长100厘米的木棍上,自左至右每隔6厘米染一个红点,同时自右至左每隔5厘米染一个蓝点,有多少个点同时染了红色和蓝色18、植树节那天,园林工人在一段公路的一边每隔4米栽一棵树,一共栽了40棵,现在改成每隔5米栽一棵树,那么有多少棵树不用移动四：课堂检测1、两个数的最大公因数是1,最小公倍数是21,这两个数分别是和,或者和2、已知A=5B,则A,B=,A,B=3、已知a=b+2,则a,b=4、a是一个素数,则a的倍数有个A、1个B、2个C、无数个5、如果b是一个整数,那么2b一定是A、合数B、偶数C、素数写出每组数的最小公倍数和最大公因数.4和155和790和306、甲,乙两人到图书馆借书,甲每4天去一次,乙每6天去一次,如果3月16日他们两人到图书馆相遇,那么下一次都到图书馆是几月几日7、有一包糖果.如果平均分给8个小朋友,正好分完；如果平均分给10个小朋友,也正好分完.这包糖果至少有多少块8、有两根彩带,一根长45厘米,另一根长30厘米.现在要把它们剪成长度一样的短彩带且没有剩余,每根短彩带最长是多少厘米9、在一张长60厘米的纸条上,从左端起,先每隔3厘米画一个红点,再从左端起,每隔4厘米画一个红点.纸条的两端都不画.最后,纸条上共有多少个红点五、课后作业1、如果A=2×3×7,B=2×5×7,那么A和B的最大公因数是,最小公倍数是.2、要使601□既是2的倍数,又是3的倍数,那么□里可以填.3、如果a÷b=4a、b为整数那么a和b的最大公因数是4.4、一个数最小的倍数与它最大的因数相等.5、任何一个自然数的因数至少有2个.6、1和任何自然数0除外都没有公因数.7、写出每组数的最大公因数7和9 5和25 10和48、写出每组数的最小公倍数8和10 51和3 5和49、a与b的最大公因数是6,最小公倍数是72,a是18,b是多少10、从小明家到学校原来每隔5米安装一根电线杆,加上两端的两根一共是25根电线杆,现在改成每隔6米安装一根电线杆,除两端的两根不需要移动外,中间有多少根不必移动。

找特殊公因数的方法,书写格式1、质因数分解法
把几个数先分别分解质因数，再把各数中的全部公有的质因数和独有的质因数提取出来连乘，所得的积就是这几个数的最小公倍数。

例如：求6和15的最小公倍数。

先分解质因数，得6=2×3，15=3×5，6和15的全部公有的质因数是3，6独有质因数是2，15独有的质因数是5，2×3×5=30，30里面包含6的全部质因数2和3，还包含了15的全部质因数3和5，且30是6和15的公倍数中最小的一个，所以[6，15]=30。

2、短除法
短除法：短除法求最大公约数，先用这几个数的公约数连续去除，一直除到所有的商互质为止，然后把所有的除数连乘起来，所得的积就是这几个数的最大公约数。

短除法的本质就是质因数分解法，只是将质因数分解用短除符号来进行。

短除符号就是除号倒过来。

短除就是在除法中写除数的地方写两个数共有的质因数，然后落下两个数被公有质因数整除的商，之后再除，以此类推，直到结果互质为止（两个数互质）。