轴向拉伸与压缩

第二篇材料力学教学目标：掌握截面法求解轴力；会画轴力图；掌握拉伸变形求解；掌握拉伸、压缩相关强度计算。

重点、难点：轴向拉伸、压缩件的强度计算。

学时分配：8学时。

一构件的承载能力承载能力：为了保证工程结构在载荷的作用下正常工作，要求每个构件应有足够的承受载荷的能力，简称为承载能力。

承载能力的大小主要有以下三个方面来衡量：1. 足够的强度强度：是指构件抵抗破坏的能力。

构件能够承受载荷而不破坏，就认为满足了强度要求。

2. 足够的刚度刚度：是指构件抵抗变形的能力。

如果构件的变形被限制在允许的范围内，就认为满足刚度要求。

3.足够的稳定性稳定性：是指构件保持其原有平衡形式（状态）的能力。

为了保证构件正常工作，必须具备以上足够的强度，足够的刚度和足够的稳定性等三个基本要求。

二材料力学的任务任务：研究构件在外力的作用下的变形，受力和破坏的规律，在保证构件安全，经济的前提下，为构件选用合理的材料，确定合理的横截面形状和尺寸。

材料力学也是一门理论和实验相结合并重的科学，应该密切注意理论和实践的结合，这是学好材料力学的基础。

三杆件1.杆件：是指纵向（长度方向）尺寸远大于横向（垂直于长度方向）尺寸的构件。

直杆：如果构件的轴线（各截面形心的连线）是直线，切各横截面积相等，这种杆件成为等截面直杆，简称为直杆。

它是材料力学研究的基本对象。

2. 杆件变形的基本形式（1）轴向拉伸或轴向压缩。

杆件受沿轴线的拉力或压力的作用，杆件沿轴线伸长或缩短。

（2）剪切。

杆件受大小相等，指向相反且相距很近的两个垂直于杆件轴线方向外力的作用，杆件在二力间的横截面产生相对的滑动。

（3）扭转。

杆件受一对大小相等，转向相反，作用面与杆件轴线垂直的力偶作用，两力偶面之间各横截面将绕轴线产生相对的转动。

（4）弯曲。

杆件受垂直于轴线的横向力作用，杆件轴线由直线变为曲线。

第四章拉伸和压缩§4-1 拉伸和压缩的概念工程中有许多构件在工作的时候是受拉伸和压缩的，如图所示的吊车，在载荷G的作用下，AB杆和钢丝绳受到拉伸，而BC杆受到压缩。

还有螺栓连接，当拧紧螺母时，螺栓受到拉伸。

受拉伸或压缩的构件大多数是等截面直杆，统称为杆件。

受力特点：作用在杆端的两个外力（或外力的合力）大小相等，方向相反，力的作用线与杆件的轴线重合。

变形特点：杆件沿着轴线方向伸长或缩短。

§4-2 截面法、轴力与轴力图一内力内力：物体内某一部分与另一部分间相互作用的力称为内力。

杆件受到外力的同时，其内部将产生相映的内力。

内力是因外力而产生的，当外力解除时，内力也随消失。

材料力学里研究的内力是指物体内部各部分之间的相互作用力；而静力学里的内力是指物体平衡时，各物体之间的相互作用力。

二截面法确定在外力的作用下，构件所产生内力的大小和方向，通常采用截面法，那么什么叫做截面法呢？1. 截面法：取杆件的一部分为研究对象，利用静力平衡方程求内力的方法，称为截面法。

截面法解题步骤：（1）截开。

假想把杆件分成两部分。

（2）代替。

取其中的一部分为研究对象，弃去另一部分，将弃去部分对研究对象的作用以截面上的内力或力偶来代替，画受力图。

（3）平衡。

列出静力平衡方程，确定未知力的大小和方向。

2. 轴力：对于受拉或压的杆件，外力的作用线与杆件的轴线重合，所以内力合力的作用线与杆件轴线重合，这种内力称为轴力。

方向：轴力的指向离开截面，杆件受拉，规定轴力为正；轴力指向截面，杆件受压，规定轴力为负；为了计算方便，我门不管杆件是受拉还是受压，在画截面图时，一律按正的轴力画出，即轴向指向离开截面。

例4-1 如图所示一液压系统中液压缸的活塞杆,已知：F1=9.2KN,F2=3.8KN,F3=5.4KN.试求：截面1-1，和2-2的轴力。

解：（1）计算截面1-1的轴力。

（2）沿截面1-1假想的截开，去左段为研究对象。

（3）画受力图，列方程。

∑Fix=0 F1-F n1=0 ∴F n1=F1=9.2KN∑Fix=0 F1+F n-F2=0 ∴F n2=F2-F1=-5.4KNF n2为负值，说明它的实际方向与假设方向相反，即为压力。

§4-3横截面上的正应力应力：构件在外力的作用下，单位面积上的内力，称为应力。

它反映了杆件受力的程度。

设杆的横截面积为A，轴力为F N，则单位面积上的内力为F N/A，即应力。

正应力：由于内力F N垂直于横截面，故应力也垂直于横截面，这样的应力称为正应力，以符号σ表示。

σ=F N/A应力的单位为帕，符号为Pa,1Pa=1N/m2.。

工程中常用MPa（兆帕）,GPa（吉帕），其换算关系为： 1GPa=103MPa=109Pa例4-2 支架中，杆AB为圆钢，直径d=20mm ，杆BC为正方形横截面的型钢，边长为La=15mm ，在铰接处受到载荷Fp作用，已知：Fp=20KN，若不计自重，求杆AB和BC横截面上的正应力。

解：（1）外力分析：支架的两杆均为二力杆，铰接点B的受力图如图所示，列平衡方程-F BC-F BA cos45=0F BA sin45-Fp=0∴F BA、=F BA=1.414×20=28.3KN(拉力)F BC、=F BC=-F BA/1.414=-20KN（压力)（2）内力分析：因为内力与外力总是平衡的，杆1和杆2的轴力分别为：F N1= F BA=28.3KNF N2= F BC=-20KN（3）计算两杆的横截面面积：杆1的横截面积：A1=πd2/4=3.14×202/4=314mm2杆2的横截面积： A2=la2=152=225mm2（4）计算正应力：σ1=F N1/A1=28.3×1000/314=90MPa(拉应力)σ2=F N2/A2=-20×1000/225=-89MPa(压应力)§4-4 轴向拉压杆的变形胡克定律一绝对变形和相对变形1. 绝对变形：杆件受拉或压的时候，其纵向尺寸和横向尺寸就会发生变化，如下图所示：设等直杆的原长为L，在轴向拉力（压力）F的作用下，杆件发生变形，变形后的长度为L1，以△L表示杆件沿轴向的伸长量，则有：△L=L1-L△L称为杆件的绝对变形。

对于拉杆，△L为正值；压杆，△L为负值。

2. 相对变形：线应变：单位原长的变形来度量杆件的变形程度。

将△L/L得：ε=△L/L=（L1-L）/L式中:ε为杆件的线应变，或者相对变形。

对于拉杆，ε为正值；对于压杆，ε为负值。

二胡克定律1.胡克定律：当杆内的轴力F N不超过某一限度时，杆的绝对变形△L与轴力F N及杆长L成正比，与杆的横截面积A成反比，即：△L=F N L/EA式中：E为材料的弹性模量。

E的值越大，变形就越小，它是衡量材料抵抗弹性变形能力的一个指标。

2. 抗拉刚度：EA值表示了杆件抵抗拉压变形能力的大小。

E的单位为帕。

符号为Pa.实际中用GPa.3.胡克定律另一形式：应力未超过一定限度时，应力与应变成正比。

∵△L=F N L/EA ε=△L/L σ=F N/A∴ε=σ/E σ=ε E例2-4 连接螺栓由Q235钢制成，螺栓杆部直径d=16mm，杆长度在L=125mm内伸长△L =0.1mm，已知E=200GP。

试计算螺栓横截面的正应力和螺栓对钢板的压紧力。

解：ε=△L/L=0.1/125=8×10-4σ=εE=8×10-4×200×103=160MPaFp=F=Aσ=(π×162/4)×160=32KN§4-5材料在轴向拉压时的力学性能一低碳钢静拉伸和压缩时的力学性能力学性能：材料在外力作用下所表现出来的各种性能，称为材料的力学性能。

材料的分类：塑性材料和脆性材料。

静载：加载的速度要平稳缓慢，常温就是室温。

1. 低碳钢拉伸时的力学性能低碳钢：含碳量在0.26%以下的碳素结构刚。

低碳钢的拉伸曲线的四个阶段：（1）弹性阶段oa是直线，表明应力σ与应变ε成正比，材料服从胡克定律，与点对应的应力称为比例极限，用σP表示。

弹性变形：作用在物体上的力，当外力去除以后，变形也随之消失。

弹性阶段：在从零增加到弹性极限的过程中，只产生弹性变形。

(2) 屈服阶段bc是波浪线，在这一阶段，应力不边，应变却在增加，材料产生明显的塑性变形。

屈服阶段：材料出现屈服现象的过程称为屈服阶段。

σs为材料的屈服点。

（3）强化阶段（cd）强度极限：试件在断裂前所能承受最大的应力值，用σb表示.(4)缩颈阶段缩颈：当应力到达强度极限时，试件某一局部的横截面面积显著缩小的现象。

二. 衡量塑性的指标1. 伸长率：标距段的残余变形△L（L1-L）与原长L的比值称为材料的伸长率，以符号δ表示，即：δ=[（L1-L）/L]×100%工程中通常把伸长率δ〈5%的材料称为脆性材料；δ≥5%的材料称为塑性材料。

2. 断面收缩率：φ=[（A-A1）/A]×100%伸长率和断面收缩率是衡量材料塑性的两个重要指标。

3. 塑性材料和脆性材料的主要区别（1）塑性材料断裂前有明显的塑性变形，还有明显的屈服现象，而脆性材料形很小时突然断裂，无屈服现象。

（2）塑性材料拉伸和压缩时的比例极限，屈服点和弹性模量均相同，因为塑性材料不允许达到屈服点，所以它的抗拉伸和压缩能力相同。

脆性材料的抗拉伸能力远低于抵抗压缩的能力。

§4-6 轴向拉压杆的强度计算一危险应力和工作应力当塑性材料达到屈服点σs时，或脆性材料达到强度极限σb时，材料将产生较大的塑性变形或断裂。

1. 极限应力：工程上把材料丧失正常工作能力的应力，称为极限应力或危险应力，用σ0表示。

对于塑性材料，σ0=σs对于脆性材料，σ0=σb2. 工作应力：由载荷引起的应力称为工作应力。

二许用应力和安全系数许用应力：把危险应力σ0除以大于1的系数n，作为材料的许用应力，用[σ][σ]= σ0/nn为安全系数,n越大，构件安全，但是材料过大，成本上升； n越小，构件不安全，所以安全系数的选取一定要适当。

对于塑性材料：n=1.5-2对于脆性材料：n=2.5-3.5三强度条件为了保证杆件正常工作而不失效，必须使其最大正应力不超过材料的许用应力，即：σ=F N/A≤[σ]上式称为拉伸或压缩的强度条件。

利用强度条件可以解决以下三个方面的问题。

1. 强度校核：σ=F N/A≤[σ]2. 选择截面尺寸：A≥ F N/[σ]3. 确定许可载荷： F N≤[σ]A例2-5某车间自制小吊车，已知在B点处铰接重物最大重量为20KN，AB=2m，BC=1m，杆AB BC匀用圆钢制造，材料的许用应力[σ]=58MP，试确定两杆的直径。

解：（1）计算两杆的内力，二杆为二力杆。

∑ Fiy=0 F N1sin60。

-G=0∑Fix=0 -F N1cos60。