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第五章分式
5.4 分式方程
第2课时分式方程的解法
学习目标：
1. 掌握解分式方程的基本思路和解法；
2. 理解分式方程可能无解的原因.
自主学习
一、复习导入
解一元一次方程
合作探究一、要点探究
知识点一：分式方程的解法
思考：你能求出上一节课列出的分式方程
的解吗？
(1)如何把它转化为熟知的整式方程呢？
(2)方程各分母最简公分母是：
追问：x = 100 是原分式方程的解吗？
【归纳总结】
【典例精析】例1 解方程：
议一议
在解方程时，小亮的解法如下：
x = 2 是原分式方程的解吗？
想一想：为什么去分母后所得整式方程的解不是原分式方程的解呢？【要点归纳】
【典例精析】例2 解方程：
练一练
1.(西安校考) 解方程：.
想一想：解分式方程一般需要经过哪几个步骤
二、课堂小结
当堂检测
1. 解分式方程时，去分母后得到的整式方程是( )
A. 2(x- 8) + 5x = 16(x- 7)
B. 2(x- 8) + 5x = 8
C. 2(x- 8) - 5x = 16(x- 7)
D. 2(x- 8) - 5x = 8
2. 若关于x的分式方程无解，则m的值为( ) A．－1，5 B．1
C．－1.5 或2 D．－0.5 或－1.5
3. 解方程：
4. 若关于x的方程有增根，求m的值.
参考答案合作探究
知识点一：分式方程的解法
例1解方程：
例2 解方程：
练一练
2.(西安校考)解方程：.
当堂检测
1. A.
2. D.
3.
4.。
4 分式方程第2课时分式方程的解法【教学目标】【知识与技能】1.理解分式方程的概念;2.会通过设适当的未知数并根据等量关系列出分式方程；3.学生掌握解分式方程的基本方法和步骤.【过程与方法】通过列出的方程归纳出它们的共同特点，得出分式方程的概念.了解分式的概念，明确分式和整式的区别；经历和体会解分式方程的必要步骤；使学生进一步了解数学思想中的“转化”思想.【情感态度】在建立分式方程的数学模型的过程中培养能力和克服困难的勇气，并从中获得成就感，提高解决问题的能力.【教学重点】1、掌握分式方程的解法、解，分式方程要验根.2、在进一步理解分式方程意义的基础上，掌握分式方程的一般解法；【教学难点】1、掌握分式方程的解法、解，分式方程要验根.2、了解解分式方程可能会产生增根，掌握解分式方程一定要验根及验根方法．【教学过程】一、情境导入问题1：填空：(1)分母中不含未知数的方程叫做整式方程；(2)分母中含有未知数的方程叫做分式方程．问题2：判断下列说法是否正确： ①2x ＋32＝5是分式方程； ②34－4x ＝4x ＋3是分式方程； ③x 2x ＝1是分式方程； ④1x ＋1＝1y －1是分式方程． 解：①不是分式方程，因为分母中不含有未知数．②是分式方程．因为分母中含有未知数．③是分式方程．因为分母中含有未知数．④是分式方程．因为分母中含有未知数．问题3：方程5x －2＝3x与以前学习的方程有什么不同？怎样解这样的方程？ 二、合作探究探究点一：分式方程的解法【类型一】 解分式方程解方程：(1)5x ＝7x －2；(2)1x －2＝1－x 2－x－3. 解析：分式方程两边同乘以最简公分母，把分式方程转化为整式方程求解，注意验根．解：(1)方程两边同乘x (x －2)，得5(x －2)＝7x ，5x －10＝7x ，2x ＝－10，解得x ＝－5，检验：把x ＝－5代入最简公分母，得x (x －2)≠0，∴x ＝－5是原方程的解；(2)方程两边同乘最简公分母(x －2)，得1＝x －1－3(x －2)，解得x ＝2，检验：把x ＝2代入最简公分母，得x －2＝0，∴原方程无解．方法总结：解分式方程的步骤：①去分母；②解整式方程；③检验；④写出方程的解．注意检验有两种方法，一是代入原方程，二是代入去分母时乘的最简公分母，一般是代入公分母检验．【类型二】由分式方程的解确定字母的取值范围关于x的方程2x＋ax－1＝1的解是正数，则a的取值范围是____________．解析：去分母得2x＋a＝x－1，解得x＝－a－1，∵关于x的方程2x＋ax－1＝1的解是正数，∴x＞0且x≠1，∴－a－1＞0且－a－1≠1，解得a＜－1且a≠－2，∴a的取值范围是a＜－1且a≠－2.方法总结：求出方程的解(用未知字母表示)，然后根据解的正负性，列关于未知字母的不等式求解，特别注意分母不能为0.探究点二：分式方程的增根【类型一】求分式方程的增根若方程3x－2＝ax＋4x（x－2）有增根，则增根为( )A．0 B．2 C．0或2 D．1解析：∵最简公分母是x(x－2)，方程有增根，则x(x－2)＝0，∴x＝0或x＝2.去分母得3x＝a(x －2)＋4，当x＝0时，2a＝4，a＝2；当x＝2时，6＝4不成立，∴增根只能为x＝0，故选A.方法总结：增根是使分式方程的分母为0的根，所以判断增根只需让分式方程的最简公分母为0，注意应舍去不合题意的解．【类型二】分式方程有增根，求字母的值如果关于x的分式方程2x－3＝1－mx－3有增根，则m的值为( )A．－3 B．－2C．－1 D．3解析：方程两边同乘以x－3，得2＝x－3－m①.∵原方程有增根，∴x－3＝0，即x＝3.把x＝3代入①，得m＝－2.故选B.方法总结：增根问题可按如下步骤进行：①让最简公分母为0确定增根；②化分式方程为整式方程；③把增根代入整式方程即可求得相关字母的值．【类型三】分式方程无解，求字母的值若关于x的分式方程2x－2＋mxx2－4＝3x＋2无解，求m的值．解析：先把分式方程化为整式方程，再分两种情况讨论求解：一元一次方程无解与分式方程有增根．解：方程两边都乘以(x＋2)(x－2)，得2(x＋2)＋mx＝3(x－2)，即(m－1)x＝－10.①当m－1＝0时，此方程无解，此时m＝1；②方程有增根，则x＝2或x＝－2，当x＝2时，代入(m－1)x＝－10得(m－1)×2＝－10，m＝－4；当x＝－2时，代入(m－1)x＝－10得(m－1)×(－2)＝－10，解得m＝6，∴m的值是1，－4或6.方法总结：分式方程无解与分式方程有增根所表达的意义是不一样的．分式方程有增根仅仅针对使最简公分母为0的数，分式方程无解不但包括使最简公分母为0的数，而且还包括分式方程化为整式方程后，使整式方程无解的数．三、板书设计1．分式方程的解法方程两边同乘以最简公分母，化为整式方程求解，再检验．2．分式方程的增根(1)解分式方程为什么会产生增根；(2)分式方程检验的方法．四、教学反思这节课主要是通过对比有分数系数的整式方程的解法来学习分式方程的解法，从而归纳出分式方程的基本解题步骤．在教学过程中要着重讲解分式方程为什么要检验，要让学生理解增根的由来，从而牢记分式方程在解题后要进行检验，避免解题出错．在完成解题步骤归纳之后，通过例题与练习让学生在出错中找到正确的解法，让学生自己归纳理解解题时容易出错的地方，防止犯错.。
4分式方程第2课时分式方程的解法教学目标【知识与技能】1.知道解分式方程的步骤;2.明确分式方程产生增根的原因及分式方程检验的方法；【过程与方法】经历和体会解分式方程的必要步骤；使学生进一步了解数学思想中的“转化”思想.【情感态度】在建立分式方程的数学模型的过程中培养能力和克服困难的勇气，并从中获得成就感，提高解决问题的能力.【教学重点】掌握分式方程的解法【教学难点】掌握分式方程的解法、解分式方程要验根.教学过程一.问题导引，初步认知我们已经学过一元一次方程，你还记得一元一次方程的解法吗？你能想象一下，如何得到分式方程的解吗？二.思考探究，获取新知探究：分式方程的解法1.解下列分式方程：【教学说明】通过观察，使学生发现可以将分式方程通过去分母转化成一元一次方程来求解.通过教师对例题讲解，让学生明确解分式方程的一般步骤.【归纳结论】1.解分式方程的一般步骤：（1）去分母（即在方程的两边都乘以最简公分母），把原分式方程化为_____；（2）解这个整式方程；（3）检验2.下列哪种解法准确？解分式方程解法一：将原方程变形为方程两边都乘以x-2,得：1-x=-1-2解这个方程，得：x=4.解法二：将原方程变形为方程两边都乘以x-2 ,得：1-x=-1-2(x-2)解这个方程，得：x=2你认为x=2是原方程的根？与同伴交流.【归纳结论】增根概念：将分式方程变形为整式方程时，方程两边同乘以一个含未知数的整式，并约去分母，有时可能产生不适合原分式方程的解(或根)，这种根通常称为增根；认识增根：①增根是去分母后所得的根；②增根使最简公分母的值为0；③增根不是原方程的根.三.运用新知，深化理解A．2个 B.3个 C.4个 D.5个答案：B.（）是分式方程,（）是整式方程.答案：B;A、C3.王军同学准备在课外活动时间组织部分同学参加电脑网络培训，按原定的人数估计共需费用300元.后因人数增加到原定人数的2倍，费用享受了优惠，一共只需要480元，参加活动的每个同学平均分摊的费用比原计划少4元，原定的人数是多少？如果设原定是x人，那么x满足怎样的分式方程?解：方程两边都乘以y（y-1），得2y2+y（y-1）=（y-1）（3y-1），2y2+y2-y=3y2-4y+1，3y=1，解得y=1/3.检验：当y=1/3时，y（y-1）=1/3×1/3-1=-2/9≠0，∴y=1/3是原方程的解，∴原方程的解为y=1/3.解：两边同时乘以（x+1）（x-2），得x（x-2）-（x+1）（x-2）=3．解这个方程，得x=-1．检验：x=-1时（x+1）（x-2）=0，x=-1不是原分式方程的解，∴原分式方程无解．（3）解：方程的两边同乘（x-1）（x+1），得3x+3-x-3=0，解得x=0．检验：把x=0代入（x-1）（x+1）=-1≠0．∴原方程的解为：x=0.（4）解：方程的两边同乘（x+2）（x-2），得2-（x-2）=0，解得x=4．检验：把x=4代入（x+2）（x-2）=12≠0．∴原方程的解为：x=4.再两边同乘以3x-1，得3（3x-1）-1=2，3x-1=1，x=2/3.检验：把x=2/3代入（3x-1）：（3x-1）≠0，∴x=2/3是原方程的根．∴原方程的解为x=2/3．（6）解：方程两边同乘以2（3x-1），得：-2+3x-1=3，解得：x=2，检验：x=2时，2（3x-1）≠0．所以x=2是原方程的解.【教学说明】通过学生的反馈练习，考察学生对分式方程概念的理解；以及解分式方程.使教师能全面了解学生对解分式方程是否清楚，以便教师能及时地进行查缺补漏.四.师生互动,课堂小结1.什么样的方程是分式方程？2.解分式方程的一般步骤：（1）去分母（即在方程的两边都乘以最简公分母），把原分式方程化为_____；（2）解这个整式方程；（3）检验：把整式方程的根代入最简公分母，使最简公分母的值不等于零的根是原分式方程的_____，使最简公分母的值等于零的根是原方程的_____.五．作业布置作业:教材“习题5.8”中第1、2、3、4题；作业本本节习题。
课时课题：第五章 第4节 分式方程 第2课时 课 型：新授课 教学目标：1.体会分式方程到整式方程的转化思想．2.掌握分式方程的解法．3.鼓励学生独立思考，认真观察，大胆猜想，积极动手，提高分析问题与解决问题能力．教学重点与难点：重点：分式方程的解法．难点：对分式方程产生增根原因的理解．教法及学法指导：根据学生已有的经验，通过一些问题的提出，诱发学生积极思考，或通过合作交流，引导学生自己解决问题，探索分式方程是如何转化为整式方程，并发现解分式方程验根的必要性，从而总结规律，采用的是启发探究与类比相结合的方法．教学准备：多媒体课件． 教学过程：一、复习回顾，引入新课师：现在我们已经知道了什么是分式方程，如果能将分式方程解出来，那么上节课我们遇到的那些实际问题便可以迎刃而解了. 这节课，我们就来学习分式方程的解法.我们不妨先来回忆一下我们曾学过的一元一次方程的解法，也许你会从中得到启示，寻找到解分式方程的方法.解下列一元一次方程 （1）12x x -=； （2）211324x x ++=． （学生独立解题，教师巡视，对学生出现的问题集中展示提问．） 师：去分母时需要注意什么？生1：方程两边同时乘以分母的最小公倍数. 生2：不要漏乘.设计意图：结合上一课时内容，开门见山引入新课，抛出问题，激发学生思考.回顾解一元一次方程的解法，着重复习去分母的方法和注意事项，为学生过渡到分式方程去分母做好铺垫．二、师生合作，探究新知想一想：师：你能解分式方程132x x=-吗？（学生小组合作尝试解方程，交流解题心得）生3：解这个方程，可以像解含有分母的一元一次方程一样去分母.师：同学们说他的想法可取吗？生：（同声）可取.师：同学们可以接着讨论，方程两边同乘以什么样的整式（或数），可以去掉分母呢？生4：乘以分式方程中所有分母的公分母.生5：解一元一次方程，去分母时，方程两边同乘以分母的最小公倍数，比较简单.解分式方程时，我认为方程两边同乘以分母的最简公分母，去分母也比较简单.师：我觉得这两位同学的想法都非常好.那么这个分式方程的最简公分母是什么呢？生6：x(x－2)师：哪位同学可以把我们刚才交流的成果展示在黑板上呢？（两位同学到黑板展示）师：第二位同学给我们展现了不同的解题方法，说明她是一位善于动脑的学生，同时也告诉我们一个问题的解决是有不同方法的，只要我们善于动脑就一定有惊喜等着我们.第二位同学的教法虽然所用的原理不同，但是也是把分式方程转化为整式方程，这是解分式方程的基本思想.设计意图：引导学生仔细观察，采用类比的方法找出解分式方程的关键――去分母，把分式方程转化为整式方程即一元一次方程．在解决问题的过程中对学生的不同见解要及时鼓励，做好引导，顺利的展开教学．议一议：师：通过刚才的尝试你能再解一个方程吗？生：（齐声）能．师：解方程215122xx x++=--．设计意图：方程中有意设计的分母互为相反数，预计到学生会有去分母、通分两种解法，这为增根概念的提出作好了准备．（两位同学到黑板做题，其他同学练习本完成，然后互相交流．）（学生做完题之后观察黑板同学的解题过程）师：出现问题了，两个同学的结论不一样谁正确呢？生11：第一个解的对，我们学习解分式方程就是要把分式方程转化为整式方程．生12：按照第一位同学的解法，求出x=2之后，如果要检验的话需要把x=2带入原方程，但是x=2时，分式无意义.第一个解法应该不准确．师：第二个解法有什么问题吗？（学生考虑回答）生：（同声）没问题，每一步都都成立.师：解法二没有任何问题，原方程应该无解.通过解法一解出的x=2经检验不是原分式方程的根，那第一种方法到底问题出现在什么地方呢？（学生产生好奇，激起讨论的积极性，小组交流．）生13：在解分式方程时，我们在分式方程两边都乘以最简公分母才得到整式方程.如果整式方程的根使得最简公分母的值为零，那么它就相当于分式方程两边都乘以零，不符合等式变形时的基本性质，得到的整式方程的解必将使分式方程中有的分式分母为零，也就不适合原方程了.师：这位同学分析的非常好.方程132x x=-和215122xx x++=--用同样方法解出的x一个是原方程的根，另一个却不是，这就提醒我们解完分式方程后我们必须检验所求的未知数的值是不是方程的解，检验的方法是未知数的值不能使分式方程的分母值为0.方程215122xx x++=--中解出的x=2，它是变形后的整式方程的根，但它却使得原分式方程的分母为0，因而不是原方程的根.我们称它是原分式方程的增根．我们把这样的不适合原方程的整式方程的根，叫原方程的增根.设计意图：有交流才会发现问题，有问题才能引起思维冲突，才能有思考与分析.通过交流，不同解法的冲突显而易见.方程（2）的解法为增根的提出作好了充分的准备.两个方程使用了同样的方法，但得到的未知数的值却未必是原方程的根，这必然引入对增根产生原因的讨论，但增根产生的原因目前学生接受起来尚有一定困难，在此不做深究.经过对解分式方程过程的探究培养了学生提出问题、分析解决问题能力及逻辑推理能力．三、例题示范，规范步骤例1解分式方程：480600452x x-=．（学生口述，教师板书步骤）解:方程两边同乘以2x，得960-600=90 x.解这个方程，得x=4.检验：将x=4代入原方程，得左边=45=右边．所以，x=4是原方程的解.师：现在大家可以说一下解分式方程的步骤了吗？（学生总结，发言）生14：1. 两边同乘最简公分母，化为整式方程；2. 解整式方程；3. 检验：将未知数的值代入原方程，检验方程左右两边是否相等．师：检验我们也可以代入最简公分母，检验最简公分母是否为0.检验方法（1）不仅可以验增根，还可以验计算正误；方法（2）简洁方便．设计意图：使学生进一步体会并熟悉分式方程的解法，并强调检验方程的解．由于可能产生增根，因此检验非常必要．通过对不同解法的简繁程度的切身体会，总结出解分式方程的基本步骤，有利于学生对基本解法的接受与理解.通过方程的解的意义容易得出检验方法（1）；通过增根产生的原因，容易得出检验方法（2）.四、强化基础，技能提升解下列分程:（1）341x x=-；（2）3542332xx x-+=--．（学生独立完成.展示学生的解答过程，对易错点进行强调．）活动效果：学生解第一小题时，从比例式的性质出发，利用外项积等于内项积的性质，交叉相乘，和利用等式性质去分母一样，都能把分式方程转化为整式方程．解第二题时，有的学生因为审题不仔细，把(23)x-和(32)x-当成两个不同的整式，给计算带来不必要的麻烦．反应出有些学生处理问题的能力的欠缺．教师对易错点强调：（1）去分母比通分相加后再去分母更简便；（2）务必要检验；通过训练强调解方程的基本步骤，进一步比较，说明同乘最简公分母的优越性．设计意图：分式方程是本节课的一个重点，也是学生应该掌握的一项基本技能.在学生对解分式方程的基本步骤及增根产生的原因有一定理解后，回归到基础技能的训练上．五、深入理解，灵活运用师：为了加深对增根的理解我们再来看一个例题．例2：关于x的方程21122x mx x--=--有增根，则m的值为．学生分析：因为最简公分母为x−2，只有当x=2时最简公分母为0.所以增根为x=2.原方程化为整式方程为：2x−1+m=x−2当x=2时，m=−3．答案：m=−3．设计意图：通过此例加深对分式方程增根的理解.注意：增根必须同时满足两个条件：（1）是分式方程化成的整式方程的根；（2）使得原分式方程最简公分母为0．六、课堂小结，畅谈收获在今天的学习活动中，你学会了哪些知识？掌握了哪些数学方法？生1：解方程时忘记检验.生2：去分母时忘记加括号.生3：去分母时漏乘不含分母的项.……设计意图：使学生对本节课所学知识的结构有一个清晰的认识，能抓住重点进行课后复习．.以及通过对学习过程的反思，掌握学习与研究的方法，学会学习，学会思考．七、知识反馈，达标检测1. 方程2111x x =-的解为（ ） A 、1 B 、-1 C 、1± D 、 0 2．方程3470x x=-的解为___________． 3．解分式方程：513443x x x+=--． 4．若关于x 的方程1101ax x +-=-有增根,则a 的值为_______． 设计意图：通过学生的反馈练习，使老师能全面了解学生对分式方程解法的掌握程度，以及对增根的理解，以便老师能及时进行查漏补缺．八、布置作业，落实目标必做题：课本90页 第1题（1）、（2）小题． 选做题：第2题. 补充：关于x 的方程1112x mx (x )(x )-=--+有增根，则m 的值为 ． 设计意图：分层布置作业．对大多同学强调基础知识与基本技能的掌握．对学有余力的同学给他们提供思考与展示的机会．板书设计：教学反思：本节课中，让学生自己通过观察、类比的方法找到分式方程的解法，向学生提供充分从事数学活动的机会，帮助他们在自主探索和合作交流的过程中真正理解和掌握基本的数学知识与技能、数学思想和方法，获得广泛的数学活动经验．学生是数学学习的主人，教师是数学学习的组织者、引导者与合作者．数学教学是数学活动的教学，是师生之间 、学生之间交往互动与共同发展的过程．数学教学应从学生实际出发，创设有助于学生自主学习的问题情境，在本节课中，关于分式方程的增根的教学，通过议一议，引导学生通过实践、思考、探索、交流，获得知识，形成技能，发展思维，学会学习， 促使学生在教师指导下 生动活泼地、主动地、富有个性地学习，使学生的学习能力得到最大限度的提升．成功之处：在教学方法上，我采用了类比渗透思想方法，通过与一元一次方程解法相比较，启发引导学生自主探究、归纳分式方程的解法．本节课具有以下优点：1.通过复习一元一次方程的解法，学生在探究、归纳分式方程解法的同时进行类比，让学生在解分式方程时有法可循，而不会觉得无从下手．2.把分式方程的解法与一元一次方程的解法进行相比较，让学生既可以温习旧知识，又可以加深对新知识的理解．3.通过对一元一次方程和分式方程解法的类比，更能突显分式方程解法中验根的重要性．不足之处：解分式方程的关键是将分式方程转化成整式方程．教学中对这一过程强化的力度不够，今后应该对其进行专项训练或重点分析．例如，对学生的不同做法进行针对性分析，让他们明白课本解法的简单方便之处．。
