数学40个考点总动员 考点01集合的概念与运算(教师版) 新课标

集合的全部知识点总结集合是数学中的重要概念之一，广泛应用于各个领域。

在本篇文章中，将对集合的定义、运算、性质以及常见的集合类型进行总结和归纳。

一、集合的基本定义集合是由不同元素组成的整体。

通常用大写字母表示集合，用大括号{}表示，元素之间用逗号分隔。

例如，集合A可以表示为A={a, b, c}。

二、集合的运算1. 并集（Union）并集是指将两个或多个集合中的所有元素合并在一起形成的新集合。

记作A∪B，其中A和B是待操作的集合。

并集包含了A和B中的所有元素，不重复计数。

2. 交集（Intersection）交集是指两个或多个集合中共有的元素所组成的集合。

记作A∩B，其中A和B是待操作的集合。

交集只包含A和B中共有的元素，重复计数一次。

3. 差集（Difference）差集是指一个集合中除去与另一个集合共有的元素后所剩下的元素。

记作A-B，其中A和B是待操作的集合。

差集包含了属于A但不属于B的元素。

4. 补集（Complement）补集是指集合在某个全集中的补集合。

一般情况下，全集为给定环境中的所有元素。

记作A的补集为A'或A^c。

补集包含了全集中属于但不属于A的元素。

三、集合的性质1. 包含关系集合A包含集合B，当且仅当B中的每个元素都属于A。

记作A⊇B。

如果A包含B且B包含A，那么A和B是相等的集合，记作A=B。

2. 互斥关系集合A和集合B互斥，当且仅当两个集合没有共同的元素，即A∩B=∅。

3. 子集关系集合A是集合B的子集，当且仅当A中的每个元素都属于B。

记作A⊆B。

空集∅是任何集合的子集。

4. 幂集幂集是指一个集合的所有子集所组成的集合。

假设集合A={a, b}，那么A的幂集为P(A)={{},{a},{b},{a,b}}。

四、常见的集合类型1. 自然数集合（N）自然数集合包含了从1开始的所有正整数。

即N={1, 2, 3, …}。

2. 整数集合（Z）整数集合包含了正整数、负整数和零。

《集合》知识点总结《集合》知识点总结一、概述集合是数学中的一个基本概念，用于表示具有共同特性或满足特定条件的元素的组合。

集合的概念广泛应用于数学、计算机科学和物理学等多个领域。

二、表示与描述1、集合的表示方法：通常使用大括号 {} 或 set() 函数来表示集合。

2、常见集合类型：空集（{}）、子集（A）、满足特定条件的集合（如自然数集、有理数集等）。

三、运算和操作1、交集：表示两个或多个集合的公共元素，用符号“∩”表示。

2、并集：表示两个或多个集合的所有元素，用符号“∪”表示。

3、差集：表示在某个集合中去除另一个集合的元素后得到的集合，用符号“-”表示。

4、补集：表示在某个集合的基础上添加另一个集合的元素后得到的集合，用符号“⊕”表示。

四、基本概念和理论1、集合的大小：用势（cardinality）来表示一个集合中元素的数量。

2、子集：一个集合的所有元素都是另一个集合的元素，则称该集合是另一个集合的子集。

3、包含关系：如果一个集合包含另一个集合的所有元素，则称该集合包含另一个集合。

4、空集：不包含任何元素的集合称为空集。

空集是任何集合的子集。

5、全集：在某些情况下，需要指定一个包含所有元素的集合为全集。

五、应用实例1、在数学中，集合的概念被广泛应用于排列组合、图论等领域。

例如，排列组合中的排列、组合都是基于集合的概念。

2、在计算机科学中，集合经常用于数据结构和算法设计中，如哈希表、二叉搜索树等。

3、在物理学中，集合的概念被用于描述具有共同特性的物体或现象，如力场、磁场等。

六、总结集合是数学中的一个基本概念，它用于表示具有共同特性或满足特定条件的元素的组合。

掌握集合的基本运算和操作，理解集合的基本概念和理论，对于数学、计算机科学和物理学等多个学科的学习都具有重要意义。

通过了解集合的应用实例，我们可以更好地理解这个概念的实际意义。

随着数学和相关领域的发展，集合论已经成为一个独立的分支学科，为研究无穷、极限等问题提供了基础。

数学集合的知识点总结一、集合与元素1. 集合的概念集合是指具有特定共同属性的对象的总体，这些对象可以是数字、字母、符号、图形等。

集合用大括号{}表示，其中的元素通过逗号分隔。

2. 元素的概念集合中的每一个对象称为元素，元素可以是数字、字母、符号等。

如果一个元素属于某个集合，则可以用“∈”表示。

3. 空集不包含任何元素的集合称为空集，用∅表示。

4. 全集包含一切可能的元素的集合称为全集，常用符号U表示。

二、集合的运算1. 并集设A和B是两个集合，A和B的并集是由所有属于A或属于B的元素所组成的集合，用符号“∪”表示。

2. 交集设A和B是两个集合，A和B的交集是由同时属于A和属于B的元素所组成的集合，用符号“∩”表示。

3. 补集设A是全集U的一个子集，U中所有不属于A的元素构成的集合称为A关于全集U的补集，用符号“-”或“\”表示。

4. 差集设A和B是两个集合，A和B的差集是由属于A但不属于B的元素所组成的集合，用符号“-”表示。

5. 互补设A和B是全集U的两个子集，如果A∪B=U且A∩B=∅，则称A与B互补。

三、集合的关系和运算律1. 相等关系两个集合A和B相等，当且仅当A包含B的所有元素，且B包含A的所有元素。

2. 包含关系集合A包含于集合B，当且仅当A的所有元素都是B的元素。

3. 空集的关系任何集合都包含于全集，且全集包含于任何集合，空集是任何集合的子集。

4. 并集的结合律和交集的结合律设A、B、C是集合，那么(A∪B)∪C=A∪(B∪C)和(A∩B)∩C=A∩(B∩C)。

5. 并集与交集的分配律设A、B、C是集合，那么A∪(B∩C)=(A∪B)∩(A∪C)和A∩(B∪C)=(A∩B)∪(A∩C)。

四、集合的判定1. 属于一个集合如果某个元素属于一个集合，可以用“∈”表示。

2. 不属于一个集合如果某个元素不属于一个集合，可以用“∉”表示。

3. 集合的子集集合A是集合B的子集，当且仅当A中的所有元素都是B中的元素。

集合的全部知识点总结集合是数学中一个重要的概念，具有广泛的应用和深远的影响。

它是指具有某种特定性质的元素的整体。

在本文中，我们将对集合的定义、运算、关系、性质和应用等知识点进行总结。

一、集合的定义在数学中，集合是由一些确定的、互异的对象（称为元素）所组成的。

通常用大写字母表示集合，用小写字母表示集合中的元素。

例如，集合A={1,2,3,4,5}，表示A是由元素1、2、3、4、5组成的集合。

二、集合的运算1. 并集：定义：对于给定的两个集合A和B，它们的并集表示包含所有属于A或者属于B（或者同时属于A和B）元素的集合，用符号∪表示。

例如，A={1,2,3}，B={3,4,5}，则A∪B={1,2,3,4,5}。

2. 交集：定义：对于给定的两个集合A和B，它们的交集表示包含所有同时属于A和B的元素的集合，用符号∩表示。

例如，A={1,2,3}，B={3,4,5}，则A∩B={3}。

3. 差集：定义：对于给定的两个集合A和B，它们的差集表示包含属于A但不属于B的元素的集合，用符号\表示。

例如，A={1,2,3}，B={3,4,5}，则A\B={1,2}。

三、集合的关系1. 子集：定义：对于给定的两个集合A和B，如果A的所有元素都属于B，则称A是B的子集，用符号⊆表示。

如果A是B的子集且A与B不相等，则称A是B的真子集，用符号⊂表示。

例如，A={1,2}，B={1,2,3}，则A⊆B。

2. 相等：定义：对于给定的两个集合A和B，如果A是B的子集且B是A 的子集，则称A和B相等，用符号=表示。

例如，A={1,2,3}，B={1,2,3}，则A=B。

四、集合的性质1. 交换律：对于任意的集合A和B，有A∪B=B∪A，A∩B=B∩A。

2. 结合律：对于任意的集合A、B和C，有(A∪B)∪C=A∪(B∪C)，(A∩B)∩C=A∩(B∩C)。

3. 分配律：对于任意的集合A、B和C，有A∪(B∩C)=(A∪B)∩(A∪C)，A∩(B∪C)=(A∩B)∪(A∩C)。

2021年高三数学考点总动员01 集合的概念与运算文（含解析）【考点分类】热点一集合的概念1.【xx·福建卷】已知集合{a，b，c}＝{0，1，2}，且下列三个关系：①a≠2；②b＝2；③c≠0有且只有一个正确，则100a＋10b＋c等于________．2.【xx年普通高等学校统一考试试题大纲全国】设集合则个数为( )（A）3 （B）4 （C）5 （D）63.【xx年普通高等学校招生全国统一考试（江西卷）文科】若集合中只有一个元素，则=（）A．4 B． 2 C．0 D．0或4【答案】A【解析】试题分析：2集合中只有一个元素，或又当时集合中无元素，故选=40,0 4.0.∴∆-=∴==A a a a a A A考点：集合的表示法4.【xx年普通高等学校招生全国统一考试（福建卷）文科】若集合的子集个数为（）A．2B．3C．4D．165.【xx年普通高等学校统一考试江苏数学试题】集合共有个子集.【方法规律】1.解决元素与集合的关系问题，首先要正确理解集合的有关概念，元素属不属于集合，关键就看这个元素是否符合集合中代表元素的特性.2.集合元素具有三个特征：确定性、互异性、无序性；确定性用来判断符合什么条件的研究对象可组成集合；互异性是相同元素只写一次，在解决集合的关系或运算时，要注意验证互异性；无序性，即只要元素完全相同的两个集合是相等集合，与元素的顺序无关，可考虑与数列的有序性相比较.3.子集与真子集的区别与联系：集合A的真子集一定是其子集，而集合A的子集不一定是其真子集；若集合A有n个元素，则其子集个数为2n，真子集个数为2n－1.【解题技巧】1．集合的基本概念问题，主要考查集合元素的互异性与元素与集合的关系，解题的关键搞清集合元素的属性.2．对于含有字母的集合，要注意对字母的求值进行讨论，以便检验集合是否满足互异性．【易错点睛】1.要注意空集的特殊性，空集不含任何元素，空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集.例.若集合，，且，求实数m的值。

第1讲集合的概念和运算必记考点1．集合的基本概念(1)集合元素的三个特征：、、．(2)元素与集合的关系是属于或不属于关系，用符号或表示．（3)集合的表示法：列举法、描述法、图示法、区间法．(4）常用数集：N；N*(或N＋）；Z；Q;R.（5）集合的分类:按集合中元素个数划分，集合可以分为有限集、无限集、。

2．集合间的基本关系(1）子集:,则A ⊆B(或B⊇A）．(2）真子集：则AB(或BA）．若集合A中含有n个元素，则A的子集有2n个，A的真子集有2n－1个．（3）空集：空集是的子集,是的真子集．即∅⊆A，∅B（B≠∅)．(4）集合相等：若，则A＝B。

3．集合的基本运算及其性质(1)并集：A∪B＝．（2)交集：A∩B＝．（3)补集:∁U A＝，U为全集，∁U A表示A相对于全集U的补集．（4)集合的运算性质①A∪B＝A⇔B⊆A，A∩B＝A⇔A⊆B；②A∩A＝A，A∩∅＝∅；③A∪A＝A，A∪∅＝A；④A∩∁U A＝∅，A∪∁U A＝U，∁U(∁U A)＝A.考向一集合的基本概念【例1】►已知a∈R，b∈R，若＝{a2,a＋b,0｝，则a2014＋b2014＝________.【训练1】集合中含有的元素个数为(）．考向二集合间的基本关系【例2】已知集合A＝｛x｜0<x≤4},B＝(－∞，a),若A⊆B，则实数a的取值范围是________。

【训练2】已知集合A＝{x|－2≤x≤7}，B＝{x｜m＋1〈x<2m－1｝，若B⊆A，求实数m的取值范围．考向三集合的基本运算【例3】►（1）（2012·安徽）设集合A＝{x|－3≤2x－1≤3},集合B为函数y＝lg(x－1）的定义域，则A∩B＝（)．A．（1，2) B．[1,2］C．［1，2）D．(1,2]（2)（2012·山东）已知全集U＝｛0，1,2,3，4},集合A＝{1，2，3}，B＝｛2,4｝，则（∁U A）∪B为（)．A．{1，2,4} B．｛2,3，4}C．{0,2，4} D．{0,2,3，4}（3)设全集U＝{1，2,3，4，5,6｝，集合A＝{1，2，4｝，B＝{3,4，5}，则图中的阴影部分表示的集合为（)．A．｛5｝B．{4｝C．｛1,2｝D．{3，5} 基础演练1.已知集合A＝｛x｜x2－x－2<0}，B＝{x|－1<x<1｝，则(）．A．A B B．B AC．A＝B D．A∩B＝∅2．设全集U＝{1，2，3,4,5,6}，集合P＝{1,2，3,4｝，Q＝｛3，4，5｝，则P∩(∁U Q）＝（）．A．{1，2，3，4，6｝B．{1，2,3,4，5｝C．｛1，2,5｝D．{1，2｝3．设集合U＝｛x|x〈5，x∈N＊｝，M＝{x|x2－5x＋6＝0｝，则∁U M＝（)．A．｛1,4} B．{1，5｝C．{2,3} D．{3，4｝4。

新高考数学复习考点知识与题型专题讲解1 集合的概念考点知识讲解1 元素与集合1．元素与集合的概念(1)元素：一般地，把统称为元素．元素常用小写的拉丁字母a，b，c，…表示．(2)集合：把一些元素组成的叫做集合(简称为__)．集合通常用大写的拉丁字母A，B，C，…表示．(3)集合相等：只要构成两个集合的是一样的，就称这两个集合是相等的．(4)元素的特性：、、．答案：（1）研究对象（2）总体集（3）元素（4）确定性无序性互异性2．元素与集合的关系答案：∈∈NN*或N＋ZQR考点知识讲解2 集合的表示方法1．列举法把集合的元素出来，并用花括号“{}”括起来表示集合的方法叫做列举法．温馨提示：运用列举法表示集合，应注意：(1)元素间用“，”分隔，不能用其它符号代替；(2)元素不重复；(3)元素间无顺序；(4)“{}”表示“所有”、“整体”的含义，不能省略2．描述法(1)定义：用集合所含元素的表示集合的方法称为描述法．(2)书写形式：，其中x代表集合中的元素，p(x)为集合中元素所具备的共同特征．要注意竖线不能省略，同时表达要力求简练、明确．答案：一一列举共同特征{x|p(x)}题型一对集合含义的理解1．考察下列每组对象，能构成集合的是（）①中国各地最美的乡村；②直角坐标系中横、纵坐标相等的点；③不小于3的自然数；④2018年第23届冬季奥运会金牌获得者．A．③④B．②③④C．②③D．②④【答案】B【解析】①中“最美”标准不明确，不符合确定性，②③④中的元素标准明确，均可构成集合.故选：B.2．下列每组对象能构成一个集合是________(填序号).（1）某校2019年在校的所有高个子同学；（2）不超过20的非负数；（3）帅哥；（4）平面直角坐标系内第一象限的一些点；（5.【答案】（2）【解析】（1）“高个子”没有明确的标准，因此（1）不能构成集合. （2）任给一个实数x，可以明确地判断是不是“不超过20的非负数”，故“不超过20的非负数”能构成集合；（3）“帅哥”没有一个明确的标准，因此不能构成集合；（4）“一些点”无明确的标准，因此不能构成集合；（5）”不明确精确到什么程度，所以不能构成集合.故答案为：（2）题型二元素与集合的关系3．下面有四个语句:①集合N*中最小的数是0;②-a∉N，则a∈N;③a∈N，b∈N，则a+b的最小值是2;④x2+1=2x的解集中含有两个元素.其中说法正确的个数是（）A．0B．1C．2D．3【答案】A【解析】因为N*是不含0的自然数，所以①错误;取a∉N，∉N，所以②错误;对于③，当a =b =0时，a +b 取得最小值是0，而不是2，所以③错误; 对于④，解集中只含有元素1，故④错误. 故选：A4．下列各组中集合P 与Q ，表示同一个集合的是（ ）A ．P 是由元素1π构成的集合，Q 是由元素π，1，|构成的集合B ．P 是由π构成的集合，Q 是由3.141 59构成的集合C ．P 是由2，3构成的集合，Q 是由有序数对(2，3)构成的集合D ．P 是由满足不等式-1≤x ≤1的整数构成的集合，Q 是由方程x ()()1-1x x +=0的解构成的集合 【答案】AD【解析】由于A ，D 中P ，Q 的元素完全相同，所以P 与Q 表示同一个集合，而B ，C 中P ，Q 的元素不相同，所以P 与Q 不能表示同一个集合.故选：AD. 题型三 元素的特性的应用5．已知集合A ＝{x ∈Z|2x －4x －5<0}，B ＝{x|4x >2m }，若A∩B 有三个元素，则实数m 的取值范围是( )A ．[3，6)B ．[1，2)C ．[2，4)D ．(2，4] 【答案】C【解析】∵A ＝{x ∈Z|－1<x<5}＝{0，1，2，3，4}，B ＝{x|x>}，A∩B 有三个元素，∴1≤<2，即2≤m<4. 故答案为C6．设a ，b ∈R ，集合A 中含有0，b ，ba三个元素，集合B 中含有1，a ，a +b 三个元素，且集合A 与集合B 相等，则a +2b ＝（ ）A ．1B ．0C ．﹣1D ．不确定 【答案】A【解析】由题意可知a ≠0，则只能a +b ＝0，则有以下对应关系：01a b b a a b +=⎧⎪⎪=⎨⎪=⎪⎩①或01a b b a b a⎧⎪+=⎪=⎨⎪⎪=⎩②； 由①得a ＝﹣1，b ＝1，符合题意； ②无解；则a +2b ＝﹣1+2＝1． 故选：A题型四 用列举法表示集合 7．集合M ={61aN a ∈+，且a Z ∈}，用列举法表示集合M =______________ 【答案】{}0,1,2,5 【解析】61N a ∈+016a ∴<+≤，即15a -<≤ 又a Z ∈0a ∴=时，661N a =∈+；1a =时，631N a =∈+；2a =时，621N a =∈+； 3a =时，6312N a =∉+；4a =时，6615N a =∉+；5a =时，611N a =∈+ {}0,1,2,5M ∴=本题正确结果：{}0,1,2,5 8．根据要求写出下列集合.（1）已知{}25|50x x ax -∈--=，用列举法表示集合{}2|40x x x a --=. （2）已知集合16|8A N x N x ⎧⎫=∈∈⎨⎬-⎩⎭，用列举法表示集合A ．（3）已知方程组10240x y x y -+=⎧⎨+-=⎩，分别用描述法、列举法表示该集合.（4）已知集合B ={(x ，y )|2x +y -5=0，x ∈N ，y ∈N }，用列举法表示该集合. （5）用适当的方法表示坐标平面内坐标轴上的点集.【答案】（1）{2}；（2）{2，4，8，16}；（3）{(x ，y )|x =1，y =2}，{(1，2)}；（4）{(0，5)，(1，3)，(2，1)}；（5）{(x ，y )|xy =0}. 【解析】（1）{}25|50x x ax -∈--=，()()25550a ∴--⨯--=，解得4a =-，2440x x -+=的解为2x =，∴用列举法表示集合{}2|40x x x a --=为{}2；（2）168N x∈-，则8x -可取的值有1，2，4，8，16，x 的可能值有7，6，4，0，8-， x N ∈，7,6,4,0x ∴=，162,4,8,168x∴=-， {}2,4,8,16A ∴=；（3）方程组10240x y x y -+=⎧⎨+-=⎩的解为12x y =⎧⎨=⎩，∴用描述法表示该集合为(){},1,2x y x y ==，列举法表示该集合为(){}1,2；（4）当0x =时，5y =；当1x =时，3y =；当2x =时，1y =，∴用列举法表示该集合为()()(){}0,5,1,3,2,1；（5）坐标轴上的点满足0x =或0y =，即0xy =， 则该集合可表示为(){},0x y xy =.题型五 用描述法表示集合9．用列举法表示集合**{(,)|5,,}A x y x y x y =+=∈∈N N 是_____________________；用描述法表示“所有被4除余1的整数组成的集合”是_____________________． 【答案】()()()(){}1,42,33,24,1，，，{}41z x z x k k ∈=+∈，【解析】由题意{(1,4),(2,3),(3,2),(4,1)}A =，所有被4除余1的整数组成的集合为{|41,}x Z x k k Z ∈=+∈．故答案为：{(1,4),(2,3),(3,2),(4,1)}；{|41,}x Z x k k Z ∈=+∈ 题型六 集合表示方法的综合应用10. (1)用列举法表示集合A ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x|x ∈Z ，且86－x ∈N ＝________.(2)集合A ＝{x ∈R |kx 2－8x ＋16＝0}，若集合A 中只有一个元素，试求实数k 的值，并用列举法表示集合A .(1)解析 ∵x ∈Z 且86－x ∈N ，∴1≤6－x ≤8，－2≤x ≤5.当x ＝－2时，1∈N ；当x ＝－1时，87∉N ；当x＝0时，43∉N ；当x ＝1时，85∉N ；当x ＝2时，2∈N ；当x ＝3时，83∉N ；当x ＝4时，4∈N ；当x ＝5时，8∈N .综上可知A ＝{－2,2,4,5}． 答案 {－2,2,4,5} 1．下列集合中，结果是空集的是( ) A ．{x ∈R |x 2-1=0}B ．{x |x >6或x <1} C ．{(x ，y )|x 2+y 2=0}D ．{x |x >6且x <1} 【答案】D【解析】A 选项：21{|10}x R x ±∈∈-=，不是空集；B 选项：7∃∈{x |x >6或x <1}，不是空集；C 选项：(0,0)∈{(x ，y )|x 2+y 2=0}，不是空集；D 选项：不存在既大于6又小于1的数， 即：{x |x >6且x <1}=∅. 故选：D2．下面有四个语句:①集合N*中最小的数是0;②-a∉N，则a∈N;③a∈N，b∈N，则a+b的最小值是2;④x2+1=2x的解集中含有两个元素.其中说法正确的个数是（）A．0B．1C．2D．3【答案】A【解析】因为N*是不含0的自然数，所以①错误;取a∉N，∉N，所以②错误;对于③，当a=b=0时，a+b取得最小值是0，而不是2，所以③错误;对于④，解集中只含有元素1，故④错误.故选：A3．下列各组对象：①接近于0的数的全体；②比较小的正整数全体；③平面上到点O的距离等于1的点的全体；④正三角形的全体；.其中能构成集合的组数有（）A．2组B．3组C．4组D．5组【答案】A【解析】①“接近于0的数的全体”的对象不确定，不能构成集合；②“比较小的正整数全体”的对象不确定，不能构成集合；③“平面上到点O的距离等于1的点的全体”的对象是确定的，能构成集合；④“正三角形的全体”的对象是确定的，能构成集合；⑤的近似值的全体的对象”不确定，不能构成集合；故③④正确.故选：A.4．下列各组中集合P 与Q ，表示同一个集合的是（ ）A ．P 是由元素1π构成的集合，Q 是由元素π，1，|构成的集合B ．P 是由π构成的集合，Q 是由3.141 59构成的集合C ．P 是由2，3构成的集合，Q 是由有序数对(2，3)构成的集合D ．P 是由满足不等式-1≤x ≤1的整数构成的集合，Q 是由方程x ()()1-1x x +=0的解构成的集合 【答案】AD【解析】由于A ，D 中P ，Q 的元素完全相同，所以P 与Q 表示同一个集合，而B ，C 中P ，Q 的元素不相同，所以P 与Q 不能表示同一个集合.故选：AD. 5．下列各组中的M ，P 表示同一集合的是（ ） A ．M ={3，-1}，P ={(3，-1)} B ．M ={(3，1)}，P ={(1，3)} C ．M ={y |y =x -1}，P ={t |t =x -1}D ．集合M ={m |m +1≥5}，P ={y |y =x 2+2x +5，x ∈R } 【答案】CD【解析】在A 中，M ={3，-1}是数集，P ={(3，-1)}是点集，二者不是同一集合，故错误；在B 中，M ={(3，1)}，P ={(1，3)}表示的不是同一个点的集合，二者不是同一集合，故错误；在C 中，M ={y |y =x -1}={y |y ≥-1}，P ={t |t =x -1}={t |t ≥-1}，二者表示同一集合，故正确；在D 中，M ={m |m ≥4，m ∈R }，即M 中元素为大于或等于4的所有实数，P ={y |y =(x +1)2+4}，y =(x +1)2+4≥4，所以P 中元素也为大于或等于4的所有实数，故M ，P 表示同一集合，故正确． 故选：CD 6．定义集合运算(){}|,,AB z z xy x y x A y B ==+∈∈，集合{}{}0,1,2,3A B ==，则集合A B 所有元素之和为________【答案】18【解析】当0,2,0==∴=x y z 当1,2,6==∴=x y z 当0,3,0==∴=x y z 当1,3,12==∴=x y z 和为0+6+12=18 故答案为：187．下列命题正确的个数__ （1）很小的实数可以构成集合；（2）集合{y |y ＝x 2﹣1}与集合{（x ，y ）|y ＝x 2﹣1}是同一个集合； （3）1，361,,||,0.5242-，这些数组成的集合有5个元素； （4）集合{（x ，y ）|xy ≤0，x ，y ∈R }是指第二和第四象限内的点集． 【答案】0【解析】解：对于（1）很小的实数不满足集合中元素的确定性，所以（1）不正确．对于（2）集合{y |y ＝x 2﹣1}表示的是函数y ＝x 2﹣1的值域，而集合{（x ，y ）|y ＝x 2﹣1}表示的是y ＝x 2﹣1图象上的点，故（2）不正确；对于（3）：因为3624=，10.52-=，不满足集合中的元素是互异的，故（3）不正确； 对于（4）集合{（x ，y ）|xy ≤0，x ，y ∈R }是指第二和第四象限内的点集及两个坐标轴上的点，故（4）不正确， 故答案为：0.8．设A 是由一些实数构成的集合，若a ∈A ，则11a - ∈A ，且1∉A ， （1）若3∈A ，求A .（2）证明:若a ∈A ，则11A a -∈. 【答案】（1）123,,23A ⎧⎫=-⎨⎬⎩⎭;（2）证明见解析. 【解析】(1)因为3∈A ， 所以11132A =-∈-， 所以12131()2A =∈--， 所以13213A =∈-， 所以123,,23A ⎧⎫=-⎨⎬⎩⎭. (2)因为a ∈A ， 所以11A a∈-， 所以1111111a A a a a -==-∈---. 9．已知集合{}2320,,A x ax x x R a R =-+=∈∈.（1）若A 是空集，求a 的取值范围；（2）若A 中只有一个元素，求a 的值，并求集合A ；（3）若A 中至多有一个元素，求a 的取值范围 【答案】（1）9,8⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭；（2）当0a =时，23A ⎧⎫=⎨⎬⎩⎭；当98a =时，43A ⎧⎫=⎨⎬⎩⎭；（3）{}90,8⎡⎫⋃+∞⎪⎢⎣⎭. 【解析】（1）若A 是空集，则方程ax 2﹣3x +2＝0无解此时0,a ≠∆＝9-8a ＜0即a 98＞ 所以a 的取值范围为9,8⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭（2）若A 中只有一个元素则方程ax 2﹣3x +2＝0有且只有一个实根当a ＝0时方程为一元一次方程，满足条件当a ≠0，此时∆＝9﹣8a ＝0，解得：a 98=∴a ＝0或a 98= 当0a =时，23A ⎧⎫=⎨⎬⎩⎭；当98a =时，43A ⎧⎫=⎨⎬⎩⎭（3）若A 中至多只有一个元素，则A 为空集，或有且只有一个元素 由（1），（2）得满足条件的a 的取值范围是{}90,8⎡⎫⋃+∞⎪⎢⎣⎭.。

集合必背知识点总结一、集合的基本概念集合是指具有某种特定性质的对象的总体，这些对象叫做集合的元素。

在数学中，我们常用大写字母表示集合，用{}表示集合，例如A={a,b,c,d,e}表示由元素a,b,c,d,e组成的集合。

集合中不同元素的个数称为该集合的基数（或基数）。

二、集合的运算1. 并集设A和B是两个集合，所有属于集合A或属于集合B的元素所组成的集合叫做集合A和B的并集，记作A∪B。

表示如下：A∪B={x|x∈A或者x∈B}并集的性质：交换律：A∪B=B∪A结合律：A∪(B∪C)=(A∪B)∪C分配律：A∪(B∩C)=(A∪B)∩(A∪C)2. 交集设A和B是两个集合，所有既属于集合A又属于集合B的元素所组成的集合叫做集合A 和B的交集，记作A∩B。

表示如下：A∩B={x|x∈A并且x∈B}交集的性质：交换律：A∩B=B∩A结合律：A∩(B∩C)=(A∩B)∩C分配律：A∩(B∪C)=(A∩B)∪(A∩C)3. 补集设U是一个集合，A是U的一个子集，所有属于U而不属于A的元素组成的集合叫做集合A对于集合U的补集，记作A' 或者Ac4. 差集设A和B是两个集合，所有属于A而不属于B的元素所组成的集合叫做集合A和B的差集，记作A-B。

表示如下：A-B={x|x∈A并且x∉B}三、集合的表示方法1. 列举法直接将集合中的元素一一列举出来，用大括号括起来，中间用逗号隔开。

例如：A={1,2,3,4,5}2. 描述法把确定集合中元素的某种性质加以说明，用x∈U，x满足某种性质P来描述集合，大括号中的元素x都具有性质P。

例如：B={x|x是偶数，x∈Z}四、集合的基本定理1. 并集与交集之间的关系设A，B是集合，那么有如下的基本定理：A∪B = A∪(A∩B)A∩B = A∩(A∪B)2. 对于任意集合A,B和C有如下关系：交换律：A∪B = B∪A，A∩B = B∩A结合律：A∪(B∪C) = (A∪B)∪C，A∩(B∩C) = (A∩B)∩C分配律：A∪(B∩C) = (A∪B)∩(A∪C)，A∩(B∪C) = (A∩B)∪(A∩C)五、集合的应用集合常用于解决排列组合、概率统计等问题，在实际生活中也有广泛的应用。

数学集合的必备知识点一、集合的概念。

1. 定义。

- 集合是把一些确定的、不同的对象汇集在一起组成的一个整体。

这些对象称为集合的元素。

例如，一个班级里的所有学生可以组成一个集合，每个学生就是这个集合的元素。

- 通常用大写字母如A、B、C等来表示集合，用小写字母如a、b、c等来表示集合中的元素。

2. 元素与集合的关系。

- 属于（∈）：如果a是集合A的元素，就说a∈ A。

例如，若A = {1,2,3}，那么1∈ A。

- 不属于（∉）：如果a不是集合A的元素，就说a∉ A。

对于集合A={xx是正整数}，0∉ A。

3. 集合中元素的特性。

- 确定性：集合中的元素必须是确定的，不能模棱两可。

例如，“身材较高的人”不能构成一个集合，因为“身材较高”没有明确的标准；而“身高超过180cm的人”可以构成一个集合。

- 互异性：集合中的元素是互不相同的。

例如，集合A = {1,2,2,3}不符合集合元素的互异性，应写成A={1,2,3}。

- 无序性：集合中的元素没有顺序之分。

例如，{1,2,3}和{3,1,2}是同一个集合。

二、集合的表示方法。

1. 列举法。

- 把集合中的元素一一列举出来，写在大括号内。

例如，A={1,2,3}，B = {a,b,c}。

- 对于有限集，当元素个数较少时，列举法比较方便。

对于一些有规律的无限集，也可以用列举法表示一部分元素，然后用省略号表示其余元素。

例如，自然数集N={0,1,2,3,·s}。

2. 描述法。

- 用集合所含元素的共同特征来表示集合。

一般形式为{xp(x)}，其中x表示集合中的元素，p(x)是描述这些元素特征的条件。

例如，A={xx是大于2小于10的整数}，B={xx = 2n,n∈ Z}（表示所有偶数组成的集合）。

三、集合的分类。

1. 有限集。

- 含有有限个元素的集合。

例如，A={1,2,3}是有限集，它有3个元素。

2. 无限集。

- 含有无限个元素的集合。

如自然数集N、实数集R都是无限集。

集合（知识点）1、集合的概念（1）对象：我们可以感觉到的客观存在以及我们思想中的事物或抽象符号，都可以称作对象.（2）集合：把一些能够确定的不同的对象看成一个整体，就说这个整体是由这些对象的全体构成的集合.（3）元素：集合中每个对象叫做这个集合的元素.集合通常用大写的拉丁字母表示，如A、B、C、……元素通常用小写的拉丁字母表示，如a、b、c、……2、元素与集合的关系（1）属于：如果a是集合A的元素，就说a属于A，记作a∈Aa（2）不属于：如果a不是集合A的元素，就说a不属于A，记作A要注意“∈”的方向，不能把a∈A颠倒过来写.3、集合中元素的特性（1）确定性：给定一个集合，任何对象是不是这个集合的元素是确定的了.（2）互异性：集合中的元素一定是不同的.（3）无序性：集合中的元素没有固定的顺序.4、集合分类根据集合所含元素个属不同，可把集合分为如下几类：（1）把不含任何元素的集合叫做空集Ф（2）含有有限个元素的集合叫做有限集（3）含有无穷个元素的集合叫做无限集注：应区分Φ，}{Φ，}0{，0等符号的含义 5、常用数集（1）非负整数集（自然数集）：全体非负整数的集合.记作N （2）正整数集：非负整数集内排除0的集.记作N *或N + （3）整数集：全体整数的集合.记作Z （4）有理数集：全体有理数的集合.记作Q （5）实数集：全体实数的集合.记作R 注：（1）自然数集包括数0.（2）非负整数集内排除0的集.记作N *或N +，Q 、Z 、R 等其它数集内排除0的集，也这样表示，例如，整数集内排除0的集，表示成Z *6.集合的表示方法1、列举法：把集合中的元素一一列举出来，写在大括号内表示集合的方法. 例如，24所有正约数构成的集合可以表示为{1，2，3，4，6，8，12，24} 注：（1）大括号不能缺失.(2)有些集合种元素个数较多，元素又呈现出一定的规律，在不至于发生误解的情况下，亦可如下表示：从1到100的所有整数组成的集合：{1，2，3， (100)自然数集N ：{1，2，3，4，…,n ,…}（3）区分a 与{a }：{a }表示一个集合，该集合只有一个元素.a 表示这个集合的一个元素. （4）用列举法表示集合时不必考虑元素的前后次序.相同的元素不能出现两次.2、特征性质描述法： 在集合I 中，属于集合A 的任意元素x 都具有性质p(x)，而不属于集合A 的元素都不具有性质p(x),则性质p(x)叫做集合A 的一个特征性质，于是集合A 可以表示如下：{x ∈I | p (x ) }例如，不等式232>-x x 的解集可以表示为：}23|{2>-∈x x R x 或}23|{2>-x x x ，所有直角三角形的集合可以表示为：}|{是直角三角形x x注：（1）在不致混淆的情况下，也可以写成：{直角三角形}；{大于104的实数} （2）注意区别：实数集，{实数集}.二、集合间的基本关系1.“包含”关系—子集注意：B A ⊆有两种可能（1）A 是B 的一部分，；（2）A 与B 是同一集合。