江苏省启东中学2020届高考数学二轮专题强化训练6 Word版缺答案

（6）数列1、九连环是我国从古至今广泛流传的一种益智游戏．在某种玩法中，用n a 表示解下*(9,N)n n n ∈≤个圆环所需的移动最少次数，{}n a 满足11a =,且1121,22,n n n a a a ---⎧=⎨+⎩n 为偶,则解下4个圆环所需的最少移动次数为( ) A.7B.10C.12D.222、已知数列{}n a 满足2*123111()23n a a a L a n n n N n++++=+∈，设数列{}n b 满足：121n n n n b a a ++=，数列{}n a 的前n 项和为n T ，若*()1n n T n N n λ<∈+恒成立，则实数λ的取值范围为( )A.1[,)4+∞B.1(,)4+∞ C.3[,)8+∞ D.3(,)8+∞3、已知n S 为等差数列{}n a 的前n 项和333,3S a ==,则1011a =( ) A.2019B. 1010C. 2018D. 10114、记n S 为等差数列{}n a 的前n 项和,已知9772,10S a ==,则（ ）A .3n a n =+B .24n a n =-C .21722n S n n =+ D .2n S n n =-5、设n S 是等差数列{}n a 的前n 项和，若4553a a =，则42SS 的值为（ ）A.65B.103C.145 D.536、已知等比数列{}n a 满足123a a +=,236a a +=,则7a 等于( ) A.64 B.81C.128D.2437、等比数列{}n a 中,若259,243,a a ==则{}n a 的前4项和为( )A. 81B. 120C. 168D. 1928、已知等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，342aa =，11a =，则4S =（ ）A.31B.15C.8D.79、设函数()y f x =的定义域为D ，若任取12,x x D ∈，当122x x +=时，12()()2f x f x b +=,则称点(,)a b 为函数()y f x =图象的对称中心.研究函数3()sin 1f x x x =++的某一个对称中心，并利用对称中心的上述定义，可得到()()()()20152014...20142015f f f f -+-+++=( )A. 0B. 4030C. 4028D. 403110、数列234534561,,,,...2222，12n n +，…的前n 项之和为n S ，则n S 的值等于（ ）A.32nn -B.1132n n -+- C.332nn +-D.432nn +-11、在等差数列{}n a 中，已知38a a 10，+=则573a a ___+= 12、设等比数列{}n a 的公比12q =，前n 项和为n S ，则44Sa =______________.13、已知等比数列{}n a 的首项为32,公比为12-,前n 项和为n S ,则当*n N ∈时, 1n n S S -的最大值与最小值之和为__________. 14、已知数列{}n a 的前n 项和为n S ,若*)n a n N ∈,则2009S 的值为______．15、若数列{}n a 的前项和为1,0n S a >且22(N )n n n S a a n *=+∈．(1).求数列{}n a 的通项公式； (2).若0n a >，令121(1)(1)n n n n n b a a -+=-+，求数列{}n b 的前项和n T ，并比较n T 与1的大小关系.答案以及解析1答案及解析： 答案：A 解析：2答案及解析：答案：D 解析：3答案及解析： 答案：A 解析：4答案及解析： 答案：AC解析：因为972S =,所以5972a =,即58a =.因为710a =,所以75175a a d -==-,则()553n a a n d n =+-=+，()()1243172222n nn a a n n S n n +++===+5答案及解析： 答案：C解析：设等差数列{}n a 的公差为d ，由4253a a =，得11353a d a d +=+，得12a d =，则4121461425S a d S a d +==+.故选C.6答案及解析： 答案：A解析：由2312()36a a q a a q +=+==,得2q =,由121(1)3a a a q +=+=,得11a =,∴67264a ==,故选A.7答案及解析： 答案：B解析：公式532a 243q 27a 9===,3q =,21a a 3q ==,443(13)S 12013-==-8答案及解析：答案：B 解析：9答案及解析：答案：D 解析：10答案及解析：答案：C 解析：11答案及解析： 答案：20 解析：12答案及解析： 答案：15解析：设数列{}n a 的首项为1a ，则14411(1)1521812a S a -==-，341111()28a a a ==， ∴ 14411581518a S a a ==13答案及解析： 答案：14解析：由等比数列前n 项和公式可得112nn S ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭令n t S =,当n 为奇数时, 112nn S ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭单调递减,故132n S S ≤=当n 为偶数时, 112nn S ⎛⎫=- ⎪⎝⎭单调递增, 234n S S ≥=则3342n S ≤≤,即3342t ≤≤令1()f t t t =-,易知函数()f t 单调递增,则75()126f t -≤≤ 故1n n S S -的最大值与最小值之和为7511264-+=14答案及解析：解析：15答案及解析：答案：(1).当1n =时，21112S a a =+，则11a = 当2n ≥时，2211122n n n n n n n a a a a a S S ---++=-=-， 即11()(1)0n n n n a a a a --+--=，由10a >可得11n n a a -=+或10n n a a -+= 则n a n =或1(1)n n a -=-. (2).0n a >Q111212111(1)(1)(1)()(1)(1)1n n n n n n n n b a a n n n n ---++=-=-=-++++11111111(1)()()...(1)()223341n n T n n -∴=+-+++-+-++111(1)1n n -=+-+ 当n 为奇数时,1111n T n =+>+ 当n 为偶数时，1111n T n =-<+ 解析：。

专题强化训练61. 已知函数f （x ）=x 2﹣2alnx （a ∈R ），g （x ）=2ax ．（1）求函数f （x ）的极值；（2）若a ＞0，函数h （x ）=f （x ）﹣g （x ）有且只有一个零点，求实数a 的值；（3）若0＜a ＜1，对于区间[1，2]上的任意两个不相等的实数x 1，x 2，都有|f （x 1）﹣f （x 2）|＞|g （x 1）﹣g （x 2）|成立，求a 的取值范围．2.已知函数f （x ）=x 2+ax+blnx （a ，b ∈R ）．（1）若b=1且f （x ）在x=1处取得极值，求实数a 的值及单调区间；（2）若b=﹣1，f （x ）≥0对x ＞0恒成立，求a 的取值范围；（3）若a+b ≥﹣2且f （x ）在（0，+∞）上存在零点，求b 的取值范围．3.设函数()ln f x x =，1()3a g x ax x-=+-（a R ∈）. （1）当2a =时，解关于x 的方程()0x g e =（其中e 为自然对数的底数）；（2）求函数()()()x f x g x ϕ=+的单调增区间；（3）当1a =时，记()()()h x f x g x =⋅，是否存在整数λ，使得关于x 的不等式2()h x λ≥ 有解？若存在，请求出λ的最小值；若不存在，请说明理由.（参考数据：ln 20.6931≈，ln3 1.0986≈）江苏省启东中学高三数学二轮专题强化训练2020.1题型四函数与导数强化训练(2)1. 若函数f （x ）=x （lnx ﹣a ）（a 为实常数）．（1）当a=0时，求函数f （x ）在x=1处的切线方程；（2）设g （x ）=|f （x ）|．①求函数g （x ）的单调区间；②若函数h （x ）=的定义域为[1，e 2]，求函数h （x ）的最小值m （a ）．2.已知函数21()ln 2f x ax x =+，()g x bx =-，设()()()h x f x g x =-. （1）若()f x 在22x =处取得极值，且(1)(1)2f g '=--，求函数h (x )的单调区间； （2）若0a =时函数h (x )有两个不同的零点x 1,x 2.①求b 的取值范围；②求证：1221x x e >.3.已知函数f （x ）=+． （1）求函数f （x ）的定义域和值域；（2）设F （x ）=•[f 2（x ）﹣2]+f （x ）（a 为实数），求F （x ）在a ＜0时的最大值g （a ）；（3）对（2）中g （a ），若﹣m 2+2tm+≤g （a ）对a ＜0所有的实数a 及t ∈[﹣1，1]恒成立，求实数m 的取值范围．江苏省启东中学高三数学二轮专题强化训练2020.1题型四函数与导数强化训练(3)1. 过点P（﹣1，0）作曲线f（x）=e x的切线l．（1）求切线l的方程；（2）若直线l与曲线y=（a∈R）交于不同的两点A（x1，y1），B（x2，y2），求证： x1+x2＜﹣4．2. 已知函数f（x）=alnx﹣ax﹣3（a∈R）．（1）当a＞0时，求函数f（x）的单调区间；（2）若函数y=f（x）的图象在点（2，f（2））处的切线的倾斜角为45°，且函数g（x）=x2+nx+mf′（x）（m，n∈R）当且仅当在x=1处取得极值，其中f′（x）为f（x）的导函数，求m的取值范围；（3）若函数y=f（x）在区间（，3）内的图象上存在两点，使得在该两点处的切线相互垂直，求a的取值范围．3. 设函数()()21ln 2 2 f x x a x x a R =+--+∈，. （1）当1a =时，求函数()f x 的单调区间及所有零点；（2）设()()()112233 A x y B x y C x y ，，，，，为函数()()()()211ln g x f x x x x =+---图象上 三个不同的点，且1232x x x +=.问：是否存在实数a ，使得函数()g x 在点C 处的切线与直线AB 平行？若存在，求出所有满足条件的实数a 的值；若不存在，请说明理由.江苏省启东中学高三数学二轮专题强化训练2020.1题型四函数与导数强化训练(4)1.设R a ∈，函数e e x e ex x f (],,0(,)(2∈=为自然对数的底数），a x ax x g --=ln 2)(， （1） 求实数)(x f 的值域；（2） 若的最小值；成立，求实数使a x g x 0)(],21,0(≤∈∃ （3） 若对于]00)()(],,0(00e x f x g x e x ，在（的方程关于=-∈∀总有两个不等实根，求实数a 的取值范围。

i ←1While i < 6 i ←i + 2 S ←2i + 3End While（第3题）启东中学高三数学第二次质量检测 数学学科参考答案及评分建议一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分．1． 已知集合{} 03 4 A =，，，{} 102 3 B =-，，，，则A B = ▲ ． 【答案】{}03，2． 已知复数3i1iz -=+，其中i 为虚数单位，则复数z 的模是 ▲ ．3． 根据如图所示的伪代码，可知输出的结果S 是 ▲ ．【答案】174． 现有1 000根某品种的棉花纤维，从中随机抽取50根，纤维长度（单位：mm ）的数据分组及各组的频数见右上表，据此估计这1 000根中纤维长度不小于37.5 mm 的根数是 ▲ ．【答案】1805． 100张卡片上分别写有1，2，3，…，100．从中任取1张，则这张卡片上的数是6的倍数的概率是 ▲ ． 【答案】4（或0.16）6． 在平面直角坐标系xOy 中，已知抛物线24y x =上一点P 到焦点的距离为3，则点P 的横坐标是 ▲ ．【答案】2（第4题）7． 现有一个底面半径为3 cm ，母线长为5 cm 的圆锥状实心铁器，将其高温融化后铸成一个实心铁球（不计损耗），则该铁球的半径是 ▲ cm ．8． 函数()f x =的定义域是 ▲ ．【答案】[]22-，9． 已知{}n a 是公差不为0的等差数列，n S 是其前n 项和．若2345a a a a =，927S =，则1a 的值是 ▲ ． 【答案】5-10．在平面直角坐标系xOy 中，已知圆1C ：()()22481x y -+-=，圆2C ：()()22669x y -++=．若圆心在x 轴上的圆C 同时平分圆1C 和圆2C 的圆周，则圆C 的方程是 ▲ ． 【答案】2281x y +=11．如图，在平面四边形ABCD 中，O 为BD 的中点，且3OA =，5OC =．若·=-7， 则·的值是 ▲ ．【答案】912．在△ABC 中，已知2AB =，226AC BC -=，则tan C 的最大值是 ▲ ．13．已知函数20()1 0x m x f x x x -+<⎧=⎨-⎩≥，，，，其中0m >．若函数()()1y f f x =-有3个不同的零点，则m 的取值范围是 ▲ ． 【答案】(01)，14．已知对任意的x ∈R ，()()3sin cos 2sin2 3 a x x b x a b ++∈R ≤，恒成立，则当a b +取得最小值时，a 的值是 ▲ ． 【答案】45- 二、解答题：本大题共6小题，共计90分． 15．（本小题满分14分）(第11题)已知()πsin α+=，()ππα∈，．求：（1）cos α的值； （2）()πsin 24α-的值．解：（1）法一：因为()ππ2α∈，，所以()π3π5π444α+∈，，又()πsin 4α+，所以()πcos 4α+=． (3)分所以()ππcos cos αα⎡⎤=+-⎢⎥⎣⎦()()ππππcos cos sin sin 4444αα=+++=35=-． …… 6分法二：由()πsin 4α+得，ππsin cos cos sin 44αα+， 即1sin cos 5αα+=． ① (3)分又22sin cos 1αα+=. ②由①②解得3cos 5α=-或cos α=45． 因为()ππ2α∈，，所以3cos 5α=-． (6)分（2）因为()ππ2α∈，，3cos 5α=-，所以4sin 5α． …… 8分所以()4324sin22sin cos 25525ααα==⨯⨯-=-， ()2237cos22cos 12525αα=-=⨯-=-． (12)分所以()πππsin 2sin 2cos cos2sin ααα-=-()()2472525=--=． …… 14分16．（本小题满分14分）如图，在直三棱柱111ABC A B C -中，AC BC ⊥，A 1B 与AB 1交于点D ，A 1C 与AC 1交于点E ．求证：（1）DE ∥平面B 1BCC 1； （2）平面1A BC ⊥平面11A ACC ． 证明：（1）在直三棱柱111ABC A B C -中，四边形A 1ACC 1为平行四边形． 又E 为A 1C 与AC 1的交点，所以E 为A 1C 的中点． …… 2分同理，D 为A 1B 的中点，所以DE ∥BC ． …… 4分又BC ⊂平面B 1BCC 1，DE ⊄平面B 1BCC 1，所以DE ∥平面B 1BCC 1． (7)分（2）在直三棱柱111ABC A B C -中，1AA ⊥平面ABC ，又BC ⊂平面ABC ，所以1AA BC ⊥． …… 9分又AC BC ⊥，1AC AA A = ，1AC AA ⊂，平面11A ACC ，所以BC ⊥平面11A ACC ． …… 12分C 1ACA 1B 1 D(第16题)E因为BC ⊂平面1A BC ，所以平面1A BC ⊥平面11A ACC ． …… 14分17．（本小题满分14分）如图，在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆2222 1 (0)y x a b a b+=>>的离心率为23，C 为椭圆上位于第一象限内的一点．（1）若点C 的坐标为()523，，求a ，b 的值；（2）设A 为椭圆的左顶点，B 为椭圆上一点，且=12，求直线AB 的斜率．解：（1）因为椭圆的离心率为23，23=，即2259b a =．①又因为点C ()523，在椭圆上，所以2242519a b +=． ② …… 3分由①②解得2295a b ==，． 因为0a b >>，所以3a b =， …… 5分（2）法一：由①知，2259b a =，所以椭圆方程为2222915y x a a+=，即222595x y a +=． 设直线OC 的方程为x my =()0m >，11()B x y ，，22()C x y ，．由222595x my x y a=⎧⎨+=⎩，得2222595m y y a +=， 所以222559a y m =+．因为20y >，所以2y ． …… 8分因为=12，所以//AB OC ．可设直线AB 的方程为x m y a =-．(第17题)由222595x my a x y a=-⎧⎨+=⎩，得22(59)100m y amy +-=， 所以0y =或21059am y m =+，得121059am y m =+． (11)分因为=12，所以()()11221122x a y x y +=，，，于是212y y =，22059am m =+()0m >，所以m =． 所以直线AB的斜率为1m =． (14)分法二：由（1）可知，椭圆方程为222595x y a +=，则(0)A a -，． 设11()B x y ，，22()C x y ，．由=12，得()()112211x a y x y +=，，，所以121x x a =-，121y y =． …… 8分因为点B ，点C 都在椭圆222595x y a +=上， 所以()()22222222225951595.22x y a y x a a ⎧+=⎪⎨-+=⎪⎩，解得24a x =，2y =， (12)分所以直线AB的斜率22y k x == …… 14分18．（本小题满分16分）一缉私艇巡航至距领海边界线l （一条南北方向的直线）3.8海里的A 处，发现在其北偏东30°方向相距4海里的B 处有一走私船正欲逃跑，缉私艇立即追击．已知缉私艇的最 大航速是走私船最大航速的3倍．假设缉私艇和走私船均按直线方向以最大航速航行．（1）若走私船沿正东方向逃离，试确定缉私艇的追击方向，使得用最短时间在领海内拦截成功；（参考数据：sin17°≈5.7446）（2）问：无论走私船沿何方向逃跑，缉私艇是否总能在领海内成功拦截？并说明理由． 解：（1）设缉私艇在C 处与走私船相遇（如图甲），依题意，3AC BC =． …… 2分 在△ABC 中，由正弦定理得，sin sin BC BAC ABC AC ∠=∠sin1203==因为sin17°17BAC ∠=°． 从而缉私艇应向北偏东47 方向追击． …… 5分在△ABC 中，由余弦定理得，2224cos1208BC AC BC+-= ，解得BC = 1.68615≈． 又B 到边界线l 的距离为3.84sin30 1.8-= ．因为1.68615 1.8<，所以能在领海上成功拦截走私船． …… 8分（2）如图乙，以A 为原点，正北方向所在的直线为y 轴建立平面直角坐标系xOy ． 则(2B ，，设缉私艇在()P x y ，处（缉私艇恰好截住走私船的位置）与走私 船相遇，则3PA PB=3=．整理得，()(229944x y -+=， …… 12分所以点()P x y ，的轨迹是以点(94为圆心，32为半径的圆． 因为圆心(94到领海边界线l ： 3.8x =的距离为1.55，大于圆半径32，所以缉私艇能在领海内截住走私船． (14)A BC图甲北(第18题)分答：（1）缉私艇应向北偏东47 方向追击；（2）缉私艇总能在领海内成功拦截走私船． …… 16分19．（本小题满分16分）已知函数1()ef x =，()lng x x =，其中e 为自然对数的底数．（1）求函数()()y f x g x =在x =1处的切线方程；（2）若存在12x x ，()12x x ≠，使得[]1221()()()()g x g x f x f x λ-=-成立，其中λ为常数，求证：e λ>；（3）若对任意的(]01x ∈，，不等式()()(1)f x g x a x -≤恒成立，求实数a 的取值范围．解：（1）因为ln ()()e x xy f x g x ==，所以()211e ln e ln e e x x x x x xx x y ⋅-⋅-'==，故11e x y ='=． 所以函数()()y f x g x =在x =1处的切线方程为1(1)ey x =-，即e 10x y --=． (2)分（2）由已知等式[]1221()()()()g x g x f x f x λ-=-得1122()()()()g x f x g x f x λλ+=+．记()()()ln e p x g x f x x λλ=+=+，则e ()e x xx p x x λ-'=． …… 4分假设e λ≤．① 若λ≤0，则()0p x '>，所以()p x 在()0+∞，上为单调增函数．又12()()p x p x =，所以12x x =，与12x x ≠矛盾． …… 6分② 若0e λ<≤，记()e x r x x λ=-，则()e x r x λ'=-．令()0r x '=，解得0ln x λ=．当0x x >时，()0r x '>，()r x 在()0x +∞，上为单调增函数；当00x x <<时，()0r x '<，()r x 在()00x ，上为单调减函数． 所以0()()=1ln )0r x r x λλ-≥（≥，所以()0p x '≥， 所以()p x 在()0+∞，上为单调增函数．又12()()p x p x =，所以12x x =，与12x x ≠矛盾．综合①②，假设不成立，所以e λ>． …… 9分（3）由()()(1)f x g x a x -≤得ln e (1)x x a x --≤0． 记ln e (1)x F x x a x --()=，0x <≤1， 则()211e e e x x xF x ax x a x x '-=-()=．① 当1e a ≤时，因为211e exx ≥，e 0x x >，所以0F x '()≥， 所以F x ()在(]0+∞，上为单调增函数，所以(1)F x F ()≤=0，故原不等式恒成立． …… 12分 ② 法一：当1e a >时，由（2）知e e x x ≥，3211e e a x F x a x x x-'-=()≤， 当()1e 1a x -<<时，0F x '<()，()F x 为单调减函数， 所以(1)F x F >()=0，不合题意． 法二：当1ea >时，一方面1=1e 0F a '-<()．另一方面，111e x a ∃=<，()()111121111e e e e 10F x a x x a x a a x x '-=-=->()≥．所以01(1)x x ∃∈，，使0=0F x '()，又F x '()在(0)+∞，上为单调减函数， 所以当01x x <<时，0F x '<()，故F x ()在0(1)x ，上为单调减函数， 所以(1)F x F >()=0，不合题意．综上，1ea ≤． (16)分20．（本小题满分16分）设数列{}n a 的前n 项和为S n ()*n ∈N ，且满足：①12 a a ≠；②()()()22112n n r n p S n n a n n a +-=++--，其中r p ∈R ，，且0r ≠．（1）求p 的值；（2）数列{}n a 能否是等比数列？请说明理由； （3）求证：当r =2时，数列{}n a 是等差数列． 解：（1）n =1时，211(1)220r p S a a -=-=， 因为12a a ≠，所以20S ≠，又0r ≠，所以p =1． …… 2分（2）{}n a 不是等比数列．理由如下： 假设{}n a 是等比数列，公比为q ，当n =2时，326rS a =，即211(1)6ra q q a q ++=，所以2(1)6r q q q ++=， （i ） (4)分当n =3时，431212+4rS a a =，即2321112(1)124ra q q q a q a +++=+， 所以232(1)62r q q q q +++=+， （ii ） (6)分由（i ）（ii ）得q =1，与12a a ≠矛盾，所以假设不成立．故{}n a 不是等比数列． …… 8分（3）当r =2时，易知3122a a a +=．由22112(1)()(2)n n n S n n a n n a +-=++--，得2n ≥时，11(1)(1)(2)211n n n n a n n a S n n +++-=+--， ① 112(1)(2)(1)(2)2n n n n a n n a S n n++++-+=+，② ②-①得，2112(1)(2)(1)(2)21(1)n n n n n a n n a n n a a n n n n +++++-+=-+--， …… 11分即11121(1)(2)()(1)()2()1n n n n n a a n n a a a a n n ++++-+--=--， 211112()(2)()()11n n n a a n a a n a a n n n ++-+--=-+-， 即()2111111121n n n n a a a a n a a a a n n n n +++-----=-+- ()111(1)2212n n n n a a a a n n ----=-⨯--=……()3121(1)3202223121n n a a a a -⨯⋅⋅⋅⨯--=-=⨯⨯⋅⋅⋅⨯--， 所以11121121n n a a a a a a n n ----==⋅⋅⋅=--，令21a a -=d ，则1n a a d -=(2)n ≥． (14)分所以1(1)(2)n a a n d n =+-≥. 又1n =时，也适合上式， 所以*1(1)()n a a n d n =+-∈N ． 所以*1()n n a a d n +-=∈N ．所以当r =2时，数列{}n a 是等差数列． (16)分数学Ⅱ（附加题）21．【选做题】本题包括A 、B 、C 、D 四小题，请选定其中两题，并在相应的答题区域内作．．．．．．．．．．．．．．．．．．答．． 若多做，则按作答的前两题评分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．A ．[选修4-1：几何证明选讲]（本小题满分10分）如图，已知△ABC 内接于⊙O ，连结AO 并延长交⊙O 于点D ，ACB ADC ∠=∠． 求证：2AD BC AC CD⋅=⋅．证明：连结OC ．因为ACB ADC ∠=∠，ABC ADC ∠=∠，所以ACB ABC ∠=∠．3分因为OC =OD ，所以OCD ADC ∠=∠． 所以ACB OCD ∠=∠．所以△ABC ∽△ODC ． …… 8分所以AC BC OC CD=，即AC CD OC BC ⋅=⋅．因为12OC AD =，所以2AD BC AC CD ⋅=⋅． (10)分B ．[选修4-2：矩阵与变换]（本小题满分10分）设矩阵A 满足：A 1206⎡⎤=⎢⎥⎣⎦1203--⎡⎤⎢⎥⎣⎦，求矩阵A 的逆矩阵1-A ． 解：法一：设矩阵a b c d ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦A ，则1206a b c d ⎡⎤⎡⎤=⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦1203--⎡⎤⎢⎥⎣⎦， 所以1a =-，262a b +=-，0c =，263c d +=． …… 4分解得0b =，12d =，所以10102-⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎣⎦A ． …… 6分根据逆矩阵公式得，矩阵11002--⎡⎤=⎢⎥⎣⎦A ． (10)分法二：在A 1206⎡⎤=⎢⎥⎣⎦1203--⎡⎤⎢⎥⎣⎦两边同时左乘逆矩阵1-A 得， （第21—A 题）1206⎡⎤=⎢⎥⎣⎦1-A 1203--⎡⎤⎢⎥⎣⎦． …… 4分设1-=A a b c d ⎡⎤⎢⎥⎣⎦，则1206⎡⎤=⎢⎥⎣⎦a b c d ⎡⎤⎢⎥⎣⎦1203--⎡⎤⎢⎥⎣⎦，所以1a -=，232a b -+=，0c -=，236c d -+=． (6)分解得1a =-，0b =，0c =，2d =，从而11002--⎡⎤=⎢⎥⎣⎦A ． …… 10分C ．[选修4-4：坐标系与参数方程]（本小题满分10分）在平面直角坐标系xOy中，已知直线32x y ⎧=-⎪⎨⎪=⎩，（l 为参数）与曲线218x t y t ⎧=⎪⎨⎪=⎩，（t 为参数）相交于A ，B 两点，求线段AB 的长．解：法一：将曲线218x t y t⎧=⎪⎨⎪=⎩，（t 为参数）化为普通方程为28y x =． (3)分将直线32x y ⎧=-⎪⎨⎪=⎩，（l 为参数）代入28y x =得，2240l -+=， (6)分解得1l =2l =则12l l -=所以线段AB的长为 …… 10分法二：将曲线218x t y t⎧=⎪⎨⎪=⎩，（t 为参数）化为普通方程为28y x =， (3)分将直线32x y ⎧=-⎪⎨⎪=⎩，（l 为参数）化为普通方程为302x y -+=， (6)分由28302y x x y ⎧=⎪⎨-+=⎪⎩，得，122x y ⎧=⎪⎨⎪=⎩，或926.x y ⎧=⎪⎨⎪=⎩， 所以AB (10)分D ．[选修4-5：不等式选讲]（本小题满分10分）设x y z ，，均为正实数，且1xyz =，求证：333111xy yz zx x y y z z x ++++≥． 证明：因为x y z ，，均为正实数，且1xyz =，所以122xy yz x y +=≥，122yz xz y z +=≥，3122xz xy z z x +=≥． …… 8分所以111xy yz zx x y y z z x ++++≥． …… 10分【必做题】第22、23题，每小题10分，共计20分．请在答题卡指定区域．．．．．．．内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 22．（本小题满分10分）某乐队参加一户外音乐节，准备从3首原创新曲和5首经典歌曲中随机选择4首进行演唱．（1）求该乐队至少演唱1首原创新曲的概率；（2）假定演唱一首原创新曲观众与乐队的互动指数为a （a 为常数），演唱一首经典歌曲观众与乐队的互动指数为2a ．求观众与乐队的互动指数之和X 的概率分布及数学期望．解：（1）设“至少演唱1首原创新曲”为事件A ，则事件A 的对立事件A 为：“没有1首原创新曲被演唱”．所以()4548C 13()1114C P A P A =-=-=．答：该乐队至少演唱1首原创新曲的概率为1314． (4)分（2）设随机变量x 表示被演唱的原创新曲的首数，则x 的所有可能值为0，1，2，3． 依题意，()24X ax a x =+-，故X 的所有可能值依次为8a ，7a ，6a ，5a ．则458C 1(8)(0)C P X a P x =====，133548C C 3(7)(1)7C P X a P x =====，223548C C3(6)(2)7C P X a P x =====，313548C C 1(5)(3)14C P X a P x =====．从而X 的概率分布为： (8)分所以X 的数学期望()133191876514771414E X a a a a a =⨯+⨯+⨯+⨯=． (10)分23．（本小题满分10分）设*2n n ∈N ≥，．有序数组()12n a a a ⋅⋅⋅，，，经m 次变换后得到数组()12m m m n bb b ⋅⋅⋅，，，，，，，其中11i i i b a a +=+，，111m i m i m i b b b --+=+，，，（i =1，2，⋅⋅⋅，n ），11n a a +=，1111m n m b b -+-=，，(2)m ≥．例如：有序数组()123，，经1次变换后得到数组()122331+++，，，即()354，，；经第2次变换后得到数组()897，，． （1）若 (12)i a i i n ==⋅⋅⋅，，，，求35b ，的值； （2）求证：0C mjm i i j m j b a +==∑，，其中i =1，2，⋅⋅⋅，n ．（注：当i j kn t +=+时，*k ∈N ，t =1，2，⋅⋅⋅，n ，则i j t a a +=．）解：（1）依题意，()12345678n ⋅⋅⋅，，，，，，，，， 经1次变换为：()35791113151n ⋅⋅⋅+，，，，，，，，， 经2次变换为：()812162024284n ⋅⋅⋅+，，，，，，，， 经3次变换为：()202836445212n ⋅⋅⋅+，，，，，，， 所以3552b =，． …… 3分（2）下面用数学归纳法证明对*m ∈N ，0C mjm i i j m j b a +==∑，，其中12i n =⋅⋅⋅，，，． （i ）当1m =时，11110C j i i i i j j b a a a ++==+=∑，，其中12i n =⋅⋅⋅，，，，结论成立； （ii ）假设*()m k k =∈N 时，k i b =，0C kji jk j a+=∑，其中12i n =⋅⋅⋅，，，． …… 5分则1m k =+时，11k i k i k i b b b ++=+，，，10C C kkjj i j ki j k j j a a +++===+∑∑1101C C kk j j i j ki j k j j a a +-++===+∑∑()0111C C C C kj j ki ki j k k i k k j a a a -+++==+++∑0111111C C C kj k i k i j k i k k j a a a +++++++==++∑ 110C k j i j k j a +++==∑，所以结论对1m k =+时也成立．由（i ）（ii ）知，*m ∈N ，0C mjm i i j m j b a +==∑，，其中12i n =⋅⋅⋅，，，． …… 10分。

第 6 讲复合函数的导数1.(2019 南统统州、海门联考,23)已知函数f1(x)=sin ??2,x∈R,记f n+1(x) 为f n(x)的导数,n∈N*.(1) 求f2(x), f3(x);(2) 猜想f n(x),n∈N*的表达式,并证明你的猜想.2.(2019 苏州检测,23)(1) 设x>-1,试比较ln(1+x) 与x 的大小;??1 (2) 能否存在常数a∈N,使得a<∑????=1 (1 + 1??)??<a+1 对随意大于 1 的自然数n 都建立?若存在,试求出a 的值并证明你的结论;若不存在,请说明原因.答案精解精析1.分析 (1)f 1(x)=sin ?? 2,f 2(x)= 1 ??2cos 2,f 3(x)=- 1 4sin ?? 2 .(2) 猜想: f n (x)= 1 2??-1sin ( ??- 1 2 π+ ??2) .下边用数学概括法证明 :①当 n=1 时, f 1(x)=sin ??2 ,结论建立;②假定 n=k(k ≥1 且 k ∈N *)时,结论建立 ,即 f k (x)= 1 2 ??-1sin ( ??-1 2 π+ ??2 ).当 n=k+1 时, f k+1(x)=f' k (x)1 = 21 ??-1 ×2??-1×co (s 2π+ ??2 )1=2 ??sin ( ??-1 2π+ π 2 + ?? 2) 1=2 (??+1) -1sin[(??+1) - 1 2π+ ??2]. 因此当 n=k+1 时,结论建立.综上,由①② 可知,对随意的 n ∈N *,f n (x)= 1 2??-1sin ( ??-1 2 π+ ??2) .2.分析 (1) 设 f(x)=x-ln(1+x), f '(x)=1- 1 ?? 1+??=??+1,当 x ∈(-1,0)时, f '(x)<0, f(x) 单一递减;当 x ∈(0,+ ∞时), f '(x)>0, f(x) 单一递加.故函数 f(x) 有最小值 f(0)=0,则 ln(1+x) ≤x 恒建立.(2) 关于(1 + 1 ??)??,取 m=1,2,3,4 进行验算: (1 +1 1) 1 =2, (1 + 1 2)2 9=4=2.25, (1 +1 3) 3 64 27= ≈2.37,(1 + 1 4) 4 625 256 =≈2.44, 猜想: ① 2<(1 + 1 ??)?? <3,m=2,3,4,5,⋯.?? 1②存在 a=2,使得 a< ∑ ????=1 (1 + 1 ??)?? <a+1 恒建立.证法一:对 m ∈N,且 m>1,有(1 +1??)?? = C ?0?+C ?1?( 1??) + C ?? 2( 2 ( 1??)2+⋯+C ?? (1 ??) ?? +⋯+ C ?? (1 ??) ?? ??(??-1)=1+1+ 2!(1 ??)2 ??(??-1) ⋯(??-??+1)+⋯+ · ??!(1??)?? ??(??-1) ⋯2×1+⋯+??!(1??)?? 1 =2+ 2! (1 - 1 1??) +⋯+ ·(1 -??!1 ??) (1 -2 ??) ⋯(1 - ??-1 1 ?? ) +⋯+??! (1 - 1 ??)⋯(1-??- 1 1 1 11 1111?? ) <2+2!+3!+⋯+??+!⋯+??!<2+2×1+3×2+⋯+??(?-?1) +⋯+??(??-1) =2+(1 -1 2) +(1 2 -13) +⋯+(1 ??-1 - 1??)+⋯+(1??-1 -11??) =3-??<3,又由于C ???? (?? (1??)?? >0(k=2,3,4,⋯,m), 因此 2< (1 +1??)?? <3,??进而有 2n< ∑??=1(1 +1 ??)?? <3n 建立, ?? 1即 2<∑????=1(1 +1??)?? <2+1,?? 1因此存在 a=2,使得 a<∑?? ??=1(1 +1??)?? <a+1 恒建立.证法二:由(1) 知:当 x ∈(0,1] 时, ln(1+x)<x,1设 x=??,k=1,2,3,4,⋯,则 ln (1 + 11??) <??,因此 kln (1 +1??) <1,即 ln (1 + 1 ??) ?? <1,因此(1 + 1 ??)??<e<3,当 k ≥2 时,由二项式定理得 :(1 + 1 ??) ?? =C ?? 0+C ?1?( 0+C ?1?( 1 ??) +C ?? 2 ( 2 ( 1 ??) 2 +⋯+C ?? ??( ??( 1 ??) ?? > C ?? 0+C ?1?( 0+C ?1?( 1 ??) =2, 即 2<(1 + 1 ??) ??<3 对随意大于 1 的自然数 k 恒建立,??进而有 2n< ∑??=1(1 + 1 ??) ????1<3n 建立,即 2< ∑????=1(1 +1 ??)?? <2+1,??1因此存在a=2,使得a<∑????=1 (1 + 1??)??<a+1 恒建立.。

专题能力训练18 排列、组合与二项式定理专题能力训练第42页一、能力突破训练1.某电视台的一个综艺栏目对含甲、乙在内的六个不同节目排演出顺序,第一个节目只能排甲或乙,最后一个节目不能排甲,则不同的排法共有( ) A.192种 B.216种 C.240种 D.288种 答案:B解析:完成这件事,可分两类:第一类,第一个节目排甲,其余位置有A 55=120种不同的排法;第二类,第一个节目排乙,最后一个节目有4种排法,其余位置有A 44=24种不同的排法.所以共有A 55+4A 44=216种不同的排法. 2.已知(x 2+1x )n的展开式的各项系数和为32,则展开式中x 4的系数为( )A.5B.40C.20D.10答案:D解析:令x=1,得2n=32,所以n=5,则C 5r (x 2)5-r ·(1x )r=C 5r x 10-3r.令10-3r=4,得r=2,所以展开式中x 4的系数为C 52=10.3.已知(1+x )n 的展开式中第4项与第8项的二项式系数相等,则奇数项的二项式系数和为( ) A.212 B.211 C.210 D.29 答案:D解析:由条件知C n 3=C n 7,解得n=10.所以(1+x )10中二项式系数和为210,其中奇数项的二项式系数和为210-1=29.4.若(x 6+x √x )n的展开式中含有常数项,则n 的最小值等于( )A.3B.4C.5D.6 答案:C解析:展开式的通项为T r+1=C n r (x 6)n-r (x √x )r=C n r x 6n -152r .因为展开式中含常数项,所以6n-152r=0成立,即n=54r.当r=4时,n 有最小值5.故选C. 5.(x 2+1x 2-2)3展开式中的常数项为( ) A.-8B.-12C.-20D.20答案:C解析:因为(x 2+1x 2-2)3=(x -1x )6, 所以T r+1=C 6r x 6-r (-1x )r=(-1)r C 6r x 6-2r,所以当r=3时为常数项,且常数项为-C 63=-20.6.某学校组织演讲比赛,准备从甲、乙等八名同学中选派四名同学参加,要求甲、乙两名同学至少有一人参加.若甲、乙同时参加,他们的演讲顺序不能相邻,则不同的演讲顺序的种数为( )A.1 860B.1 320C.1 140D.1 020答案:C解析:根据甲、乙两名同学中实际参与演讲比赛的人数进行分类计数:第一类,甲、乙两名同学中实际参与演讲比赛的恰有一人,满足题意的不同的演讲顺序的种数为C21·C63·A44=960;第二类,甲、乙两名同学中实际参与演讲比赛的恰有两人,满足题意的不同的演讲顺序的种数为C22·C62·A22·A32=180.因此满足题意的不同的演讲顺序的种数为960+180=1140.故选C.7.若二项式(3-x)n(n∈N*)中所有项的系数之和为a,所有项的系数的绝对值之和为b,则ba +ab的最小值为()A.2B.52C.136D.92答案:B解析:令x=1,a=2n;令x=-1,b=4n,则ba +ab=2n+12n.令t=2n,t≥2,则ba+a b =2n+12n=t+1t≥2+12=52.故选B.8.在某市记者招待会上,需要接受本市甲、乙两家电视台记者的提问,两家电视台均有记者5人,主持人需要从这10名记者中选出4名记者提问,且这4人中,既有甲电视台记者,又有乙电视台记者,且甲电视台的记者不可以连续提问,则不同的提问方式的种数为()A.1 200B.2 400C.3 000D.3 600答案:B解析:若4人中,有甲电视台记者1人,乙电视台记者3人,则不同的提问方式总数是C51C53A44=1200;若4人中,有甲电视台记者两人,乙电视台记者两人,则不同的提问方式总数是C52C52A22A32=1200;若4人中,有甲电视台记者3人,乙电视台记者1人,则不符合主持人的规定,故所有不同提问方式的总数为1200+1200=2400.9.在(1+x)6(1+y)4的展开式中,记x m y n项的系数为f(m,n),则f(3,0)+f(2,1)+f(1,2)+f(0,3)=()A.45B.60C.120D.210答案:C解析:∵(1+x)6展开式的通项为T r+1=C6r x r(r=0,1,2,…,6),(1+y)4展开式的通项为T h+1=C4ℎy h(h=0,1,2,…,4),∴(1+x)6(1+y)4展开式的通项可以为C6r C4ℎx r y h,∴f(m,n)=C6m C4n.∴f(3,0)+f(2,1)+f(1,2)+f(0,3)=C63+C62C41+C61C42+C43=20+60+36+4=120.故选C.10.本次模拟考试结束后,班级要排一张语文、数学、英语、物理、化学、生物六科试卷讲评顺序表.若化学排在生物前面,数学与物理不相邻且都不排在最后,则不同的排法共有()A.72种B.144种C.288种D.360种答案:B解析:第一步,排语文、英语、化学、生物4种,且化学排在生物前面,有A 442=12种排法;第二步将数学和物理插入前4科除最后位置外的4个空当中的2个,有A 42=12种排法,所以不同的排法共有12×12=144种.11.(x-y )(x+y )8的展开式中x 2y 7的系数为 .(用数字填写答案) 答案:-20解析:(x+y )8的通项为T r+1=C 8r x 8-r y r(r=0,1,…,8).当r=7时,T 8=C 87xy 7=8xy 7,当r=6时,T 7=C 86x 2y 6=28x 2y 6, 所以(x-y )(x+y )8的展开式中含x 2y 7的项为x ·8xy 7-y ·28x 2y 6=-20x 2y 7,故系数为-20. 12.已知(1+3x )n 的展开式中含有x 2项的系数是54,则n= . 答案:4解析:二项展开式的通项T r+1=C n r (3x )r =3r ·C n r ·x r ,令r=2,得32·C n 2=54,解得n=4.13.从2名女生,4名男生中选3人参加科技比赛,且至少有1名女生入选,则不同的选法共有 种.(用数字填写答案) 答案:16解析:(方法一)①当3人中恰有1名女生时,有C 21C 42=12种选法.②当3人中有2名女生时,有C 22C 41=4种选法. 故不同的选法共有12+4=16种.(方法二)6人中选3人共有C 63种选法,当3人全是男生时有C 43种选法,所以至少有1名女生入选时有C 63−C 43=16种选法. 14.在(√x 3-2x )n的二项式中,所有项的二项式系数之和为256,则常数项等于 . 答案:112解析:由二项式定理,得所有项的二项式系数之和为2n , 由题意,得2n =256,所以n=8. 二项式展开式的通项为T r+1=C 8r (√x 3)8-r (-2x )r=(-2)r C 8r x 83-43r,求常数项则令83−43r=0,所以r=2,所以T 3=112.15.在一次医疗救助活动中,需要从A 医院某科室的6名男医生、4名女医生中分别抽调3名男医生、2名女医生,且男医生中唯一的主任医师必须参加,则不同的选派方案共有 种.(用数字作答) 答案:60解析:首先选派男医生中唯一的主任医师,然后从5名男医生、4名女医生中分别抽调2名男医生、2名女医生,故不同的选派方案有C 52C 42=10×6=60种. 故答案为60.16.将6位志愿者分成4组,其中两个组各两人,另两个组各1人,分赴全运会的四个不同场馆服务,不同的分配方案有 种.(用数字作答) 答案:1 080解析:先将6位志愿者分组,共有C 62·C 42A 22种方法;再把各组分到不同场馆,共有A 44种方法.由分步乘法计数原理知,不同的分配方案共有C 62C 42A 22·A 44=1080种.17.已知多项式(x+1)3(x+2)2=x 5+a 1x 4+a 2x 3+a 3x 2+a 4x+a 5,则a 4= ,a 5= . 答案:16 4解析:由二项式展开式可得通项公式为C 3r x 3-r ·C 2m x 2-m 2m,分别取r=3,m=1和r=2,m=2可得a 4=4+12=16,令x=0可得a 5=13×22=4.18.从6男2女共8名学生中选出队长1人,副队长1人,普通队员2人组成4人服务队,要求服务队中至少有1名女生,共有 种不同的选法.(用数字作答) 答案:660解析:由题意可得,总的选择方法为C 84C 41C 31种方法,其中不满足题意的选法有C 64C 41C 31种方法,则满足题意的选法有C 84C 41C 31−C 64C 41C 31=660种.19.某高三毕业班有40名同学,同学之间两两彼此给对方仅写一条毕业留言,则全班一共写了 条毕业留言.(用数字作答) 答案:1 560解析:该问题是一个排列问题,故共有A 402=40×39=1560条毕业留言.二、思维提升训练20.将2名教师、4名学生分成2个小组,分别安排到甲、乙两地参加社会实践活动,每个小组由1名教师和2名学生组成,不同的安排方案共有( ) A.12种 B.10种 C.9种 D.8种 答案:A解析:将4名学生均分为2个小组共有C 42C 22A 22=3种分法,将2个小组的同学分给2名教师带有A 22=2种分法,最后将2个小组的人员分配到甲、乙两地有A 22=2种分法, 故不同的安排方案共有3×2×2=12种.21.某学校安排甲、乙、丙、丁四位同学参加数学、物理、化学竞赛,要求每位同学仅报一科,每科至少有一位同学参加,且甲、乙不能参加同一学科,则不同的安排方法有( ) A.36种 B.30种 C.24种 D.6种 答案:B解析:首先从四个人中选择两个人作为一组,其余两个人各自一组分派到三个竞赛区,共有C 42·A 33种方法,再将甲、乙参加同一学科的种数A 33排除,继而所求的安排方法有C 42·A 33−A 33=30种,故答案为B.22.若x 4(x+3)8=a 0+a 1(x+2)+a 2(x+2)2+…+a 12(x+2)12,则log 2(a 1+a 3+a 5+…+a 11)等于( ) A.27 B.28 C.7 D.8 答案:C解析:令x=-1,得a 0+a 1+a 2+…+a 12=28,① 令x=-3,得a 0-a 1+a 2-a 3+…+a 12=0.② 由①-②,得2(a 1+a 3+…+a 11)=28, ∴a 1+a 3+…+a 11=27,∴log2(a1+a3+…+a11)=7.23.用a代表红球,b代表蓝球,c代表黑球.由加法计数原理及乘法计数原理,从1个红球和1个蓝球中取出若干个球的所有取法可由(1+a)(1+b)的展开式1+a+b+ab表示出来,如:“1”表示一个球都不取、“a”表示取出一个红球、而“ab”则表示把红球和蓝球都取出来.依此类推,下列各式中,其展开式可用来表示从5个无区别的红球、5个无区别的蓝球、5个有区别的黑球中取出若干个球,且所有的蓝球都取出或都不取出的所有取法种数是()A.(1+a+a2+a3+a4+a5)(1+b5)(1+c)5B.(1+a5)(1+b+b2+b3+b4+b5)(1+c)5C.(1+a)5(1+b+b2+b3+b4+b5)(1+c5)D.(1+a5)(1+b)5(1+c+c2+c3+c4+c5)答案:A解析:本题可分三步:第一步,分别取0,1,2,3,4,5个红球,共有1+a+a2+a3+a4+a5种取法;第二步,取0个或5个蓝球,有1+b5种取法;第三步,取5个有区别的黑球,有(1+c)5种取法.所以共有(1+a+a2+a3+a4+a5)(1+b5)(1+c)5种取法.故选A.24.1-90C101+902C102-903C103+…+(-1)k90k C10k+…+9010C1010除以88的余数是()A.-1B.1C.-87D.87答案:B解析:∵1-90C101+902C102+…+(-1)k90k C10k+…+9010C1010=(1-90)10=8910=(88+1)10=8810+C101889 +…+C10988+1,又前10项均能被88整除,∴余数是1.25.某人根据自己的爱好,希望从{W,X,Y,Z}中选两个不同字母,从{0,2,6,8}中选3个不同数字拟编车牌号,要求前3位是数字,后两位是字母,且数字2不能排在首位,字母Z和数字2不能相邻,则满足要求的车牌号有()A.198个B.180个C.216个D.234个答案:A解析:不选2时,有A33A42=72个不同的车牌号;选2,不选Z时,有C21C32A22A32=72个不同的车牌号;选2,选Z时,2在数字的中间,有A32C21C31=36个不同的车牌号;当2在数字的第三位时,有A32A31=18个不同的车牌号.根据分类加法计数原理,知共有72+72+36+18=198个不同的车牌号,故选A.26.若A,B,C,D四人站成一排照相,A,B相邻的排法总数为k,则二项式(1-xk )k的展开式中含x2项的系数为.答案:1124解析:由题意知k=A22A33=12,所以T r+1=C12r(-x12)r=C12r(-112)rx r.因为r=2,所以含x2项的系数为C1221122=66×1122=1124.27.已知二项式(x-ax )6的展开式中x2的系数为A,常数项为B,且B=4A,求a的值.解:展开式的通项为T r+1=C6r x6-r·(-ax )r=(-a)r C6r x6-2r.令6-2r=2,得r=2,A=a2C62=15a2;令6-2r=0,得r=3,B=-a3C63=-20a3.将其代入B=4A,得a=-3.28.在6名内科医生和4名外科医生中,内科主任和外科主任各1名,现要组成5人医疗小组送医下乡,根据下列条件,分别求出各有多少种不同的选派方法.(1)有3名内科医生和两名外科医生;(2)既有内科医生,又有外科医生;(3)至少有1名主任参加;(4)既有主任,又有外科医生.解:(1)先选内科医生有C63种选法,再选外科医生有C42种选法,故选派方法的种数为C63·C42=120.(2)既有内科医生,又有外科医生,正面思考应包括四种情况,内科医生去1人,2人,3人,4人,易得出选派方法的种数为C61·C44+C62·C43+C63·C42+C64·C41=246.若从反面考虑,则选派方法的种数为C105−C65=246.(3)分两类:一是选1名主任有C21·C84种方法;二是选两名主任有C22·C83种方法,故至少有1名主任参加的选派方法的种数为C21·C84+C22·C83=196.若从反面考虑:至少有1名主任参加的选派方法的种数为C105−C85=196.(4)若选外科主任,则其余可任选,有C94种选法.若不选外科主任,则必选内科主任,且剩余的4人不能全选内科医生,有(C84−C54)种选法.故有选派方法的种数为C94+C84−C54=191.。

[基础达标]1．(2019·徐州质检)已知集合A＝{x|y＝x}，B＝{x∈Z|－2≤x≤4}，则A∩B等于________．[解析] A＝{x|x≥0}，B＝{－2，－1，0，1，2，3，4}，所以A∩B＝{0，1，2，3，4}．[答案] {0，1，2，3，4}2．(2019·江苏名校高三入学摸底)随着学习任务的加重，学生的运动时间正在不断减少，导致体质下降、视力下降等．某中学为了解学生每周平均运动时间的情况，收集到该校200名学生的样本数据，将他们的每周平均运动时间(单位：小时)按[0，2)，[2，4)，[4，6)，[6，8)，[8，10)，[10，12]分为6组进行统计，得到如图所示的频率分布直方图，则这200名学生中有________名学生的每周平均运动时间不少于8小时．[解析] 根据频率分布直方图可知，(2a＋0．075＋0．100＋0．125＋0．150)×2＝1，解得a ＝0．025，所以这200名学生中每周平均运动时间不少于8小时的学生数为(0．025＋0．075)×2×200＝40．[答案] 403．(2019·江苏名校联考)已知F 是双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的左焦点，E 是该双曲线的右顶点，过点F 且垂直于x 轴的直线与双曲线交于A ，B 两点，若△ABE 是锐角三角形，则该双曲线的离心率e 的取值范围为________．[解析] 由题意得E (a ，0)，不妨设A ⎝⎛⎭⎫－c ，b 2a ，B ⎝⎛⎭⎫－c ，－b2a ，显然△ABE 是等腰三角形，故当△ABE 是锐角三角形时，∠AEB ＜90°，从而b 2a ＜a ＋c ，化简得c 2－ac －2a 2＜0，即e 2－e－2＜0，解得－1＜e ＜2，又e ＞1，故1＜e ＜2．[答案] (1，2)4．投掷两颗骰子，得到其向上的点数分别为m 和n ，则复数(m ＋n i)2为纯虚数的概率为________．[解析] 因为(m ＋n i)2＝(m 2－n 2)＋2mn i 为纯虚数，所以n 2＝m 2，故m ＝n ，则可以取1、2、…、6，共6种可能，所以P ＝636＝16．[答案] 165．阅读如图的流程图，若使输出的结果不大于37，则输入的整数i 的最大值为________ ．[解析] 直接计算知：S ＝2，5，10，19，36，69；n ＝1，2，3，4，5，6；故i 的最大值为5．[答案] 56．(2019·常州模拟)双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0) 的离心率为2，则b 2＋13a 的最小值为________．[解析] 由于已知双曲线的离心率是2，故2＝ca ＝a 2＋b 2a 2＝1＋⎝⎛⎭⎫b a 2，解得b a＝3，所以b 2＋13a 的最小值是233．[答案]2337．四棱锥P -ABCD 的底面ABCD 为正方形，且PD 垂直于底面ABCD ，PN →＝13PB →，则三棱锥P ­ANC 与四棱锥P ­ABCD 的体积比为________．[解析] 因为PN →＝13PB →，所以V P ­ANC ＝12V B ­ANC ＝12V N ­ABC ＝12×23V P ­ABC ＝12×23×12V P ­ABCD ．所以V P ­ANC ∶V P ­ABCD ＝1∶6． [答案] 1∶68．(2019·盐城市高三模拟)已知实数x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ≥1x ＋y ≤5x －y ≤－2，则2y －12x ＋3的最大值为________．[解析] 已知约束条件所表示的平面区域为图中的△ABC 及其内部，而2y －12x ＋3＝y －12x ＋32表示点P ⎝⎛⎭⎫－32，12与阴影部分(含边界)内的点的连线的斜率．由图可知，当取点C (1，4)时，斜率最大，⎝ ⎛⎭⎪⎫2y －12x ＋3max＝75．[答案] 759．已知m ，n ，k 是正数，且满足mnk (m ＋n ＋k )＝36，则(m ＋n )(m ＋k )的最小值是________． [解析] (m ＋n )(m ＋k )＝nk ＋m (m ＋n ＋k )≥2mnk （m ＋n ＋k ）＝12．[答案] 1210．定义在R 上的函数f (x )，m ，n ∈R ，f (m ＋n 2)＝f (m )＋2f 2(n )，则f (2 014)＝________． [解析] 令n ＝1，则有f (m ＋1)＝f (m )＋2f 2(1)， 再令m ＝n ＝0可得f (0)＝0，又令m ＝0，n ＝1可得f (1)＝0或f (1)＝12，故f (m ＋1)－f (m )＝0或f (m ＋1)－f (m )＝12，所以f (2 014)＝0或1 007． [答案] 0或1 00711．(2019·苏州检测)在△ABC 中，tan A ∶tan B ∶tan C ＝1∶2∶3，则ACAB ＝________．[解析] 令tan A ＝t ≠0，则tan B ＝2t ，tan C ＝3t ，则3t ＝tan C ＝－tan(A ＋B )＝－tan A ＋tan B1－tan A tan B ＝－3t1－2t 2，故t ＝1，因此tan B ＝2⇒sin B ＝255，tan C ＝3⇒sin C ＝31010，所以AC AB ＝sin B sin C ＝223．[答案]22312．函数f (x )＝ax 2＋x －a ，x ∈[－1，1]的最大值不大于1，则实数a 的取值范围为________． [解析] 当a ≥0时显然满足，当a <0时，应有⎩⎪⎨⎪⎧a <0，|－12a |≥1，或⎩⎨⎧－1<－12a <1，f ⎝⎛⎭⎫－12a ≤1．可得－12≤a <0，综上实数a 的取值范围为⎣⎡⎭⎫－12，＋∞． [答案] ⎣⎡⎭⎫－12，＋∞ 13．(2019·金华十校联考)三角形OAB 是以OB 为斜边的等腰直角三角形，OB ＝2，OC →＝OA →＋(1－λ)OB →，若λ2>1，则OC →·AB →的范围是________．[解析] 以O 为原点，射线OA 为x 轴正半轴建立直角坐标系． 则由题可得OA →＝(1，0)，OB →＝(1，1)，OC →＝(2－λ，1－λ)，OC →·AB →＝1－λ，又λ2>1可得1－λ∈(－∞，0)∪(2，＋∞)． [答案] (－∞，0)∪(2，＋∞)14．(2019·苏锡常镇高三模拟)函数f (x )＝ ⎩⎪⎨⎪⎧x 2－x ，x ＞0，12－⎪⎪⎪⎪12＋x ，x ≤0，若关于x 的方程f (x )＝kx －k 至少有两个不相等的实数根，则实数k 的取值范围为________． [解析] 作出函数f (x )的图象如图所示，易知直线y ＝kx －k 过点(1，0)，结合f (x )的图象知当y ＝kx －k 过点⎝⎛⎭⎫－12，12时，直线y ＝kx －k 的斜率最小，且k min ＝－13．当直线y ＝kx －k 与y ＝x 2－x (x＞0)的图象相切时有一个交点，此时k ＝y ′|x ＝1＝1，数形结合知，函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2－x ，x ＞0，12－⎪⎪⎪⎪12＋x ，x ≤0与直线y ＝kx －k 至少有两个不同的交点时，k 的取值范围为⎣⎡⎭⎫－13，1∪(1，＋∞)，即关于x的方程f (x )＝kx －k 至少有两个不相等的实数根时，实数k 的取值范围为⎣⎡⎭⎫－13，1∪(1，＋∞)． [答案] ⎣⎡⎭⎫－13，1∪(1，＋∞) [能力提升]1．命题“若一个数是负数，则它的平方是正数”的逆命题是____________________． [解析] 因为一个命题的逆命题是将原命题的条件与结论进行交换，因此逆命题为：“若一个数的平方是正数，则它是负数”．[答案] 若一个数的平方是正数，则它是负数2．(2019·淮安模拟)设全集U ＝{1，3，5，7}，集合M ＝{1，a －5}，M ⊆U ，∁U M ＝{5，7}，则实数a ＝________．[解析] 由a －5＝3，得a ＝8． [答案] 83．某工厂生产了某种产品3 000件，它们来自甲、乙、丙三条生产线．为检查这批产品的质量，决定采用分层抽样的方法进行抽样．若从甲、乙、丙三条生产线抽取的个数分别为a ，b ，c ，且a ，b ，c 构成等差数列，则乙生产线生产了________件产品．[解析] 因为a ，b ，c 构成等差数列，根据分层抽样的原理，所以甲、乙、丙三条生产线生产的产品数也成等差数列，其和为3 000件，所以乙生产线生产了1 000件产品．[答案] 1 0004．(2019·扬州模拟)若f (x )＝a sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π4＋3sin ⎝⎛⎭⎫x －π4是偶函数，则实数a ＝________． [解析] 由f (x )是偶函数可知，f (－x )＝f (x )对任意的x ∈R 恒成立，即a sin ⎝⎛⎭⎫－x ＋π4＋3sin ⎝⎛⎭⎫－x －π4＝a sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π4＋3sin ⎝⎛⎭⎫x －π4，化简得2a ＝－6，a ＝－3． [答案] －35．从分别写有0，1，2，3，4的五张卡片中取出一张卡片，记下数字后放回，再从中取出一张卡片．两次取出的卡片上的数字之和恰好等于4的概率是________．[解析] 从分别写有0，1，2，3，4的五张卡片中取出两张卡片的结果有5×5＝25种，卡片上数字之和恰好等于4的结果有(0，4)，(1，3)，(2，2)，(3，1)，(4，0)，所以数字和恰好等于4的概率是P ＝15．[答案] 156．(2019·泰州模拟)如图，函数y ＝f (x )的图象在点P 处的切线方程为y ＝－x ＋5，则f (3)－f ′(3)＝________．[解析] 函数y ＝f (x )的解析式未知，但可以由切线y ＝－x ＋5的方程求出f (3)＝2，而f ′(3)＝k 切＝－1，故f (3)－f ′(3)＝3．[答案] 37．定义某种新运算⊗：S ＝a ⊗b 的运算原理如图所示， 则5⊗4－3⊗6＝________．[解析] 由题意知5⊗4＝5×(4＋1)＝25，3⊗6＝6×(3＋1)＝24，所以5⊗4－3⊗6＝1． [答案] 18．(2019·南通市高三模拟)已知边长为6的正三角形ABC ，BD →＝12BC →，AE →＝13AC →，AD 与BE 交于点P ，则PB →·PD →的值为________．[解析] 由题意可得点D 为BC 的中点，以点D 为坐标原点，BC ，AD 所在直线分别为x ，y 轴建立如图所示的平面直角坐标系，则D (0，0)，A (0，33)，B (－3，0)，C (3，0)，E (1，23)，直线BE ：y ＝32(x ＋3)与AD (y 轴)的交点为P ⎝⎛⎭⎫0，332，所以PB →·PD →＝⎝⎛⎭⎫－3，－332·⎝⎛⎭⎫0，－332＝274．[答案]2749．有三个球和一个正方体，第一个球与正方体的各个面相切，第二个球与正方体的各条棱相切，第三个球过正方体的各个顶点，则这三个球的表面积之比为________________________________________________________________________．[解析] 不妨设正方体的棱长为1，则这三个球的半径依次为12，22，32，从而它们的表面积之比为1∶2∶3．[答案] 1∶2∶310．在△ABC 中，若AB →·AC →＝8，|AB →－2AC →|＝6，则△ABC 面积的最大值为________． [解析] 在△ABC 中，延长AC 到D ，使AC ＝CD ，所以AD →＝2AC →，由已知可得AB →·AD →＝16，|AB →－AD →|＝6．以边BD 所在直线为x 轴，边BD 的中点为坐标原点建立平面直角坐标系，由|AB →－AD →|＝6，得|BD →|＝6，所以B (－3，0)，D (3，0)，设A (x ，y )，由AB →·AD →＝16，得x 2＋y 2＝25(y ≠0)，则0<|y |≤5，所以S △ABC ＝12S △ABD ＝14BD ·|y |，所以0<S △ABC ≤152，即△ABC 面积的最大值为152．[答案]15211．双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的左、右焦点分别是F 1，F 2，过F 1作倾斜角为30°的直线交双曲线右支于M 点，若MF 2垂直于x 轴，则双曲线的离心率e ＝________．[解析] 如图，在Rt △MF 1F 2中，∠MF 1F 2＝30°，F 1F 2＝2c ，所以MF 1＝2c cos 30°＝433c ， MF 2＝2c ·tan 30°＝233c ．所以2a ＝MF 1－MF 2＝433c －233c ＝233c ，故e ＝ca ＝3．[答案] 312．在平面直角坐标系中，点集A ＝{(x ，y )|x 2＋y 2≤1}，B ＝{(x ，y )|x ≤4，y ≥0，3x －4y ≥0}，则点集Q ＝{(x ，y )|x ＝x 1＋x 2，y ＝y 1＋y 2，(x 1，y 1)∈A ，(x 2，y 2)∈B }所表示的区域的面积为________．[解析] 如图所示，点集Q 是由三段圆弧以及连结它们的三条切线围成的区域，其面积为： S △OPQ ＋S 矩形OABP ＋S 矩形PCDQ ＋S 矩形OFEQ ＋π＝12×4×3＋(5＋3＋4)×1＋π＝18＋π．[答案] 18＋π13．(2019·丽水模拟)已知函数f (x )＝x 3＋(a －1)x 2＋3x ＋b 的图象与x 轴有三个不同的交点，且交点的横坐标分别可作为抛物线、椭圆、双曲线的离心率，则实数a 的取值范围是________．[解析] 由题意知，三个交点分别为(1，0)，(x 1，0)，(x 2，0)，且0＜x 1＜1＜x 2． 由f (1)＝0可知b ＝－a －3，所以f (x )＝x 3＋(a －1)x 2＋3x ＋b ＝(x －1)(x 2＋ax ＋a ＋3)，故x 2＋ax ＋a ＋3＝0的两根分别在(0，1)，(1，＋∞)内．令g (x )＝x 2＋ax ＋a ＋3，则⎩⎪⎨⎪⎧g （0）>0，g （1）<0，得－3＜a ＜－2． [答案] (－3，－2)14．定义函数f (x )＝[x [x ]]，其中[x ]表示不超过x 的最大整数， 如：[1．5]＝1，[－1．3]＝－2．当x ∈[0，n )(n ∈N *)时，设函数f (x )的值域为A ，记集合A 中的元素个数为a n ，则式子a n ＋90n的最小值为______． [解析] 当x ∈[0，1)时，f (x )＝[x [x ]]＝[x ·0]＝0； 当x ∈[1，2)时，f (x )＝[x [x ]]＝[x ·1]＝[x ]＝1；当x ∈[2，3)时，再将[2，3)等分成两段，x ∈⎣⎡⎭⎫2，52时，f (x )＝[x [x ]]＝[x ·2]＝[2x ]＝4；x ∈⎣⎡⎭⎫52，3时，f (x )＝[x [x ]]＝[x ·2]＝[2x ]＝5．类似地，当x ∈[3，4)时，还要将[3，4)等分成三段，又得3个函数值；将[4，5)等分成四段，得4个函数值，如此下去．当x ∈[0，n )(n ∈N *)时，函数f (x )的值域中的元素个数为a n ＝1＋1＋2＋3＋4＋…＋(n －1)＝1＋n （n －1）2，于是a n ＋90n ＝n 2＋91n －12＝12⎝⎛⎭⎫n ＋182n －12，所以当n ＝13或n ＝14时，a n ＋90n的最小值为13． [答案] 13。