(2)回归方程的拟合优度

回归分析的“拟合优度”是啥'前⾯我们学习了回归分析的基本理论和⼤致操作，那么分析结果中都会提到⼀个“拟合优度”的指标，那么它到底是怎么来的？代表了什么，⼜怎么来判定拟合度？今天，⼩学僧就和⼤家⼀起来学习⼀下。

01. 拟合优度是什么？说起“拟合优度”，⽹上有这么个⼩段⼦，分享⼀下来乐呵乐呵暖个场吧！⼤学上统计学的课，我和室友去晚了只能坐前排。

前天游戏打得太晚，实在憋不住了他开始打瞌睡，我开始打呼噜。

⽼师听到呼噜声实在不能忍，就厉声叫到，“你起来解释⼀下拟合优度！”梦中惊醒，我镇定⼀下，想着后⾯还有⼥神呢咱可不能丢脸，决定⼀边拖⼀边等待⽀援，于是胳膊肘捅了捅室友说，“额，我和优度啊，额。

”整个教室楞了⼀下，然后笑翻了。

哈哈哈，如有雷同，请⾃⾏对号⼊座⼼中窃喜哈！下⾯⾔归正传，敲⿊板、划重点了啊！所谓“拟合优度”，是回归分析中⽤来检验样本数据点聚集在回归线周围的密集程度，⽤于评价回归⽅程对样本观测值的拟合程度。

02. 拟合优度是怎么来的？先举个统计学上的经典例⼦来说明⼀下哈！英国统计学家F.Galton研究⽗亲⾝⾼和其成年⼉⼦⾝⾼的关系时，从⼤量的样本观测值的散点图中，天才般地发现了⼀条贯穿其中的直线，这条直线能够描述⽗亲和成年⼉⼦⾝⾼之间的关系。

F.Galton把这种现象叫做“回归”，这条贯穿数据点的线称为“回归线”。

当然，F.Galton还发现，即便⽗亲⾝⾼都相同，他们的成年⼉⼦⾝⾼也不尽相同。

这就是说：成年⼉⼦⾝⾼的差异会受到两个因素的影响：⼀个是他⽗亲⾝⾼的影响；另⼀个是其他随机因素的影响。

那么，我们可以这么理解，即“回归⽅程”中的被解释变量y的各观测值之间的差异，也是由两个⽅⾯原因造成的：⼀是由解释变量x的不同取值造成的；⼆是由其他随机因素所造成的。

实际上，回归⽅程所反映的是：解释变量x的不同取值变化对被解释变量y的影响规律，因此其本质上揭⽰的是上述第⼀个原因。

统计学上，我们把这个因素引起的y的变差平⽅和称为“回归平⽅和”（regression sum of squares,SSR）。

spss复习题SPSS复习资料⼀、选择题1、SPSS数据⽂件的扩展名是（）。

.sav2、SPSS软件的三种运⾏管理⽅式：（）、（）和（）。

完全窗⼝菜单运⾏管理⽅式程序运⾏管理⽅式混合运⾏管理⽅式输出窗⼝的主要功能：（）。

显⽰和管理SPSS统计分析结果、报表和图形。

3、统计学依据数据的度量尺度将数据划分为三⼤类，（）、（）和（）。

定距型数据定类型数据定序型数据4、SPSS有两个基本窗⼝：（）和（）。

数据编辑窗⼝和结果输出窗⼝。

5、SPSS数据的组织⽅式有两种：（）和（）。

原始数据的组织⽅式和计数数据的组织⽅式5、常见的基本描述统计量有三⼤类：（）、（）和（）。

刻画集中趋势的统计量刻画离中趋势的统计量刻画分布形态的统计量6、数据编辑窗⼝的主要功能：（）、（）和（）。

定义SPSS数据的结构录⼊编辑管理待分析的数据。

7、填写下⾯的⽅差分析表ANOV A（）1252 522 18 298、SPSS对不同类型的变量应采⽤不同的相关系数来度量，常⽤的相关系数主要有（）、（）和（）。

Pearson简单相关系数、Spearman等级相关系数和Kendallτ相关系数等。

9、利⽤样本相关系数r进⾏变量间线性关系的分析,⼀般( ) 表⽰两变量有较强的线性关系; ( )表⽰两变量之间的线性关系较弱。

|r|>0.8表⽰两变量有较强的线性关系； |r|<0.3表⽰两变量之间的线性关系较弱10、利⽤样本相关系数r进⾏变量间线性关系的分析，r＝( ) 表⽰两变量存在完全正相关；r＝( ) 表⽰两变量存在完全负相关； r ＝（）表⽰两变量不相关。

r＝1表⽰两变量存在完全正相关；r＝-1表⽰两变量存在完全负相关；r＝0表⽰两变量不相关11、样本相关系数r的取值范围是（）。

在-1～+1之间12、对回归⽅程的检验主要包括（）、（）、（）和（）。

回归⽅程的拟合优度检验回归⽅程的显著性检验回归系数的显著性检验残差分析13、层次聚类有两种类型，分别是（）和（）。

第二、三章 回归方程复习题一、 单项选择题1、将内生变量的前期值作解释变量,这样的变量称为（ D ）。

A ．虚拟变量 B. 控制变量C ．政策变量 D. 滞后变量2、把反映某一总体特征的同一指标的数据，按一定的时间顺序和时间间隔排列起来，这样的数据称为（ B ）。

A ．横截面数据 B. 时间序列数据C ．修匀数据 D. 原始数据3、在简单线性回归模型中，认为具有一定概率分布的随机数量是( A )。

A ．内生变量 B. 外生变量C ．虚拟变量 D. 前定变量4、回归分析中定义的( B ) 。

A ．解释变量和被解释变量都是随机变量B ．解释变量为非随机变量，被解释变量为随机变量C ．解释变量和被解释变量都为非随机变量D ．解释变量为随机变量，被解释变量为非随机变量5、双对数模型μββ++=X Y ln ln ln 10中，参数β1的含义是（ C ）。

A ．Y 关于X 的增长率 B. Y 关于X 的发展速度C ．Y 关于X 的弹性 D. Y 关于X 的边际变化6、半对数模型i i i X Y μββ++=ln 10中，参数β1的含义是（ D ）。

A ．Y 关于X 的弹性 B. X 的绝对量变动，引起Y 的绝对量变动C ．Y 关于X 的边际变动 D. X 的相对变动，引起Y 的期望值绝对量变动7、在一元线性回归模型中，样本回归方程可表示为：（ C ）。

A ．t t t X Y μββ++=10 B. t t t t X Y E Y μ+=)|(C ．t t X Y 10ˆˆˆββ+= D. t t t X X Y E 10)|(ββ+= （其中t=1,2,…,n ）8、设OLS 法得到的样本回归直线为i i i e X Y ++=10ˆˆββ，以下说法不正确的是( D )。

A ．0=∑i e B. ),(Y X 在回归直线上C ．Y Y =ˆ D. 0),(≠i i e X COV9、同一时间，不同单位相同指标组成的观测数据称为（ B ）。

多元回归模型的拟合优度一、引言多元回归模型是社会科学、经济学等领域中常用的数据分析方法之一，其主要目的是探究自变量与因变量之间的关系。

在实际应用中，我们需要对多元回归模型的拟合优度进行评估，以判断模型是否可靠。

二、多元回归模型1. 多元回归模型的基本概念多元回归模型是一种通过多个自变量来预测因变量的统计模型。

其基本形式为：Y = β0 + β1X1 + β2X2 + …… + βkXk + ε其中，Y表示因变量，Xi表示第i个自变量，βi表示第i个自变量对应的系数，ε为误差项。

2. 多元回归模型的拟合优度多元回归模型的拟合优度反映了拟合数据点与实际数据点之间的差异程度。

常用指标包括R方值和调整R方值。

R方值（Coefficient of determination）是指通过样本数据所建立的回归方程所能解释因变量Y总波动中由自变量X所解释部分所占的比例。

其取值范围为0到1之间，越接近1说明拟合效果越好。

调整R方值（Adjusted R-squared）是在R方值的基础上进行调整，考虑了自变量个数对拟合优度的影响。

其取值范围也为0到1之间，越接近1说明拟合效果越好。

三、多元回归模型的拟合优度评估方法1. R方值和调整R方值R方值和调整R方值是评估多元回归模型拟合优度最常用的指标。

一般来说，当R方值大于0.7时，说明模型的拟合效果较好；当调整R 方值大于0.6时，也可以认为模型的拟合效果较好。

2. F检验F检验是另一种常用的评估多元回归模型拟合优度的方法。

其基本思想是比较回归平均平方与误差平均平方之间的比例是否显著大于1。

如果F统计量大于临界值，则可以认为模型显著；反之则不能。

3. t检验t检验主要用于判断每个自变量对因变量是否有显著影响。

如果t统计量大于临界值，则可以认为该自变量对因变量具有显著影响；反之则不能。

四、结论多元回归模型的拟合优度评估是数据分析过程中的重要环节。

常用的评估方法包括R方值、调整R方值、F检验和t检验等。

第二、三章 回归方程复习题一、 单项选择题1、将内生变量的前期值作解释变量,这样的变量称为（ D ）。

A ．虚拟变量 B. 控制变量 C ．政策变量 D. 滞后变量2、把反映某一总体特征的同一指标的数据，按一定的时间顺序和时间间隔排列起来，这样的数据称为（ B ）。

A ．横截面数据 B. 时间序列数据 C ．修匀数据 D. 原始数据3、在简单线性回归模型中，认为具有一定概率分布的随机数量是( A )。

A ．内生变量 B. 外生变量 C ．虚拟变量 D. 前定变量 4、回归分析中定义的(B ) 。

A ．解释变量和被解释变量都是随机变量B ．解释变量为非随机变量，被解释变量为随机变量C ．解释变量和被解释变量都为非随机变量D ．解释变量为随机变量，被解释变量为非随机变量5、双对数模型μββ++=X Y ln ln ln 10中，参数β1的含义是（ C ）。

A ．Y 关于X 的增长率 B. Y 关于X 的发展速度 C ．Y 关于X 的弹性 D. Y 关于X 的边际变化6、半对数模型i i i X Y μββ++=ln 10中，参数β1的含义是（ D ）。

A ．Y 关于X 的弹性 B. X 的绝对量变动，引起Y 的绝对量变动 C ．Y 关于X 的边际变动 D. X 的相对变动，引起Y 的期望值绝对量变动 7、在一元线性回归模型中，样本回归方程可表示为：（ C ）。

A ．t t t X Y μββ++=10 B. t t t t X Y E Y μ+=)|(C ．tt X Y 10ˆˆˆββ+= D. t t t X X Y E 10)|(ββ+= （其中t=1,2,…,n ） 8、设OLS 法得到的样本回归直线为ii i e X Y ++=10ˆˆββ，以下说法不正确的是( D )。

A ．0=∑ieB. ),(Y X 在回归直线上C ．Y Y=ˆ D. 0),(≠i i e X COV 9、同一时间，不同单位相同指标组成的观测数据称为（ B ）。

试题题库选择题：1. 下面是产品的单位成本与产量的散点图，由此可以得出单位成本与产量之间存在（）A. 正线性相关关系B. 负线性相关关系C. 非线性关系D. 函数关系知识点：一元线性回归难易度：12. 相面是对四组样本数据计算的相关系数，你认为哪一个是错误的（）A. -0.86B. 1C. 0D. 1.25知识点：一元线性回归难易度：13. 如果变量x与y之间存在负的线性相关关系，对两个变量建立一元线性回归方程，回归系数的取值（）A. 等于0B. 大于0C. 小于0D. 小于1知识点：方差分析与实验设计难易度：24. 如果相关系数r=0，则表明两个变量之间（）A. 相关程度很低B. 不存在线性相关关系C. 不存在任何关系D. 存在非线性相关关系知识点：一元线性回归难易度：15. 设产品产量与产品单位成本之间的线性相关系数为-0.82，且具有统计上的显著性，这说明二者之间存在着（）A. 较强的线性相关关系B. 较强的非线性相关关系C. 较弱的线性相关关系D. 较弱的非线性相关关系知识点：一元线性回归难易度：26. 出租汽车的行驶里程（单位：公里）与出租车司机的收入（单位：元）有一定的线性关系。

设收入为因变量，行驶里程为自变量，对两个变量进行回归得到的回归系数，其含义是（）A. 行驶里程每增加1公里，总收入就增加1.5元B. 行驶里程每增加1公里，收入平均增加1.5元C. 行驶里程每增加1.5公里，收入平均增加1元D. 要增加1元的收入，需要行驶1.5公里知识点：一元线性回归难易度：27. 在计算两个变量之间的线性相关系数时，假定（）A. 两个变量都是随机变量B. 两个变量都是非随机变量C. 一个变量是随机的，一个变量是非随机的D. 自变量是随机的，因变量是非随机的知识点：一元线性回归难易度：18. 在建立一元线性回归模型时，假定（）A. 两个变量都是随机变量B. 两个变量都是非随机变量C. 一个变量是随机的，一个变量是非随机的D. 自变量是事先给定的，因变量是随机的知识点：一元线性回归难易度：19. 在一元线性回归模型中，对有三个基本假定，即正态性、方差齐性和独立性。

课程名称回归方程拟合优度分析xy•一、回归方程的拟合优度回归方程对观测值的拟合程度因变量与所有自变量之间的总体关系回归方程所能解释的因变量变异性的程度•二、拟合优度测度指标• 1 判定系数（可决系数）• 2 估计标准误差•二、拟合程度测度指标• 1 判定系数判定系数的构造以一元线性回归方程为例：xy以一元线性回归方程为例：变差的分解(图示)xyy变差的分解(图示)xyy变差的分解xyyy −തy =തy −ොy +(ොy −തy)变差的分解y −തy =തy −ොy +(ොy −തy)离差平方和的分解xyy判定系数R21.回归平方和占总离差平方和的比例2.取值范围在[ 0 , 1 ] 之间3.R2 →1，回归方程拟合的越好；R2→0，回归方程拟合的越差多元线性回归方程用调整之后的判定系数തR2自变量越多R2越大，没有考虑自由度的影响，多元回归模型中，这样的回归模型并不是最优模型，需要进行调整，计算调整后的确判断系数。

തR2=1−SSE/(n−k−1)SST(n−1)估计标准误差1.实际观察值与回归估计值离差平方和的均方根2.反映实际观察值在回归直线周围的分散状况3.对误差项ε的标准差σ的估计，是在排除了x对y的线性影响后，y随机波动大小的一个估计量4.反映用估计的回归方程预测y时预测误差的大小S y=σ(y−ොy)2n−k−1=ESS2n−k−1谢谢观看。

用样本可决系数检验回归方程的拟合优度1、总离差平方和的分解拟合优度：是指回归直线对观测值的拟合程度。

显然若观测值离回归直线越近，则拟合程度越好，相对X 对Y 的解释程度越强；反之则拟合程度差。

TSS （总离差平方和）=RSS （回归平方和）+ E SS （残差平方和）∑ (Y i -Y -) 2= ∑ (ˆi Y -Y -) 2 + ∑ (Y i - ˆi Y )2 =∑ (ˆiY -Y -) 2 +∑ (ˆi u )2 自由度 1n - 1 2n - (为什么？)TSS 为总离差平方和，反映因变量波动的大小；RSS 为回归平方和，反映由模型中解释变量计算出来的拟合值ˆiY 的波动； ESS 为残差平方和，反映样本观测值与估计值偏离的大小，也是模型中因变量总的波动中不能通过回归模型解释的那部分。

被解释变量Y 总的变动（差异）＝解释变量X 引起的变动（差异）+除X 以外的其它因素引起的变动（差异）2、样本可决系数度量拟合优度的统计量是样本可决系数r 2（确定系数、判定系数）：r 2= RSS TSS = 1ESS TSS-=22ˆ()()i iY Y Y Y ----∑∑=22ˆi iy y∑∑=2212ˆi ix yβ∑∑=222()i i i i x y x y ∑∑∑所以r 2的取值范围是 [0，1]。

对于一组数据，TSS 是不变的，所以RSS ↑（↓），ESS ↓（↑）。

拟合优度r 2越大，自变量对因变量的解释程度越高，自变量引起的变动占总变动的百分比高。

观察点在回归直线附近越密集。

RSS ：旧指回归平方和（regression sum of squares ），现指残差平方和（sum of squared residuals ）ESS ：旧指残差平方和（error sum of squares 或sum of squared errors ），现指回归平方和（explained sum of squares ）3、样本相关系数定义：是变量X 与Y 之间线性相关程度的度量指标。