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1.2.2 “非”(否定)1．了解逻辑联结词“非”的含义．2．会对含有量词的命题进行否定．1．“非”的含义逻辑联结词“非”(也称为“____”)的意义是由日常语言中的“______”“______”“_____”等抽象而来．【做一做1】下列词语与“非”的含义不同的是( )A．是 B．不是C．全盘否定 D．问题的反面2．命题p的否定(非p)一般地，对命题p加以否定，就得到一个新命题，记作______，读作“______”或“__________”．一般把如何由p的真假判定的真假总结为下表：p p真________真(1)p的否定是p，p的否定是p，即p与p是相互否定的．(2)命题“p且q”的否定是“p或q”；命题“p或q”的否定是“p且q”．【做一做2】已知命题p：函数y＝sin x是奇函数，写出命题p的否定，并判断其真假．3．存在性命题的否定存在性命题p：∃x∈A，p x；它的否定是p：__________.否定存在性命题时，首先把存在量词改为全称量词，再对性质p(x)进行否定．【做一做3】已知命题p：有些三角形是等腰三角形．写出命题p的非(否定)．4．全称命题的否定全称命题q：∀x∈A，q x；它的否定是p：__________.否定全称命题时，首先把全称量词改为存在量词，再对性质q(x)进行否定．【做一做4】已知命题q：矩形的对角线相等．写出命题q的非(否定)．省略全称量词的全称命题的否定．剖析：有的全称命题省略了全称量词，否定时要特别注意．例如，q：实数的绝对值是正数．将q写成：“实数的绝对值不是正数”就错了．原因是q是假命题，q也是假命题，这与q，q一个为真一个为假相矛盾．正确的否定应为：“存在一个实数的绝对值不是正数”．为了避免出错，可用真值表加以验证．(1)一般来说，全称命题的否定是一个存在性命题，存在性命题的否定是一个全称命题，因此在写其否定时，要把相应的全称量词改为存在量词，存在量词改为全称量词．原词语等于大于(＞)小于(＜)是都是否定词语不等于不大于不小于不是不都是原词语至多有一个至少有一个至多有n个否定词语至少有两个一个也没有至少有n＋1个原词语任意的任意两个所有的能否定词语某个某两个某些不能题型一p”形式的命题及其真假【例1】写出下列命题的否定，并判断其真假：(1)p：圆(x－1)2＋y2＝4的圆心是(1,0)；(2)q：50是7的倍数；(3)r：一元二次方程至多有两个解；(4)s：7＜8.分析：(1)“是”的否定词语为“不是”，利用命题的否定的定义写出p.因原命题是真命题，故其否定是假命题．(2)“是”的否定词语为“不是”．因原命题为假，故其否定为真．(3)“至多有两个”的否定词是“至少有三个”，利用命题的否定的定义写出该命题的否定r.因原命题为真，故其否定为假．(4)“小于”的否定词语是“不小于”．因原命题是真命题，故其否定为假．反思：解决此类问题要依据命题的否定形式进行否定．注意：常用词语的否定词语不能写错．题型二存在性命题与全称命题的否定【例2】写出下列命题的否定，并判断其真假：(1)p：∃x∈R，x2＋1＜0；(2)q：每一个对角互补的四边形有外接圆；(3)r：有些菱形的对角线互相垂直；(4)s：所有能被3整除的整数是奇数．分析：命题p，q是存在性命题，按存在性命题的否定形式进行否定即可．命题r，s是全称命题，按全称命题的否定形式进行否定即可．反思：(1)解决此类问题首先分清命题是存在性命题还是全称命题；然后按存在性命题和全称命题的否定形式进行否定．(2)全称命题的否定是一个存在性命题，存在性命题的否定是一个全称命题．题型三易错题型【例3】写出命题“菱形的对角线相等”的否定．错解：其否定是：菱形的对角线不相等．错因分析：没有注意到该命题是省略了全称量词的全称命题，从而没把全称量词改为存在量词．1命题“p”与命题“p”的真假关系是( )A．可能都是真命题B．一定是一真一假C．可能都是假命题D．不能判断2命题2≠3的形式是( )A．p B．p∨qC．p∧q D．以上答案都不正确3命题p：存在实数m，使方程x2＋mx＋1＝0有实数根，则p是( )A．存在实数m，使方程x2＋mx＋1＝0无实数根B．不存在实数m，使方程x2＋mx＋1＝0无实数根C．对任意的实数m，方程x2＋mx＋1＝0无实数根D．至多有一个实数m，方程x2＋mx＋1＝0无实数根4已知p，q是两个命题，且命题“p∧q”是假命题，则下列命题为真的是( ) A．p B．qC．p且q D．p或q5命题“存在x0∈R,2x0≤0”的否定是( )A．不存在x0∈R,2x0＞0B．存在x0∈R,2x0≥0C．对任意的x0∈R,2x0≤0D．对任意的x0∈R,2x0＞0答案：1．否定不是全盘否定问题的反面【做一做1】A2．p非p p的否定假假【做一做2】解：p：函数y＝sin x不是奇函数．假命题．3．∀x∈A，p(x)【做一做3】解：p：所有三角形都不是等腰三角形．4．∃x∈A，q(x)【做一做4】分析：此命题省略了全称量词“所有”，按全称命题的否定形式进行否定得到q：有些矩形的对角线不相等．解：q：有些矩形的对角线不相等．典型例题·领悟【例1】解：(1)p：圆(x－1)2＋y2＝4的圆心不是(1,0)．(假)(2)q：50不是7的倍数．(真)(3)r：一元二次方程至少有三个解．(假)(4)s：7≥8.(假)【例2】解：(1)p：∀x∈R，x2＋1≥0.(真)(2)q：有些对角互补的四边形没有外接圆．(假)(3)r：所有菱形的对角线不互相垂直．(假)(4)s：有些能被3整除的整数不是奇数．(真)【例3】正解：有些菱形的对角线不相等．随堂练习·巩固1．B 2．A 3．C4．D 由命题“p∧q”是假命题知p，q中至少有一个为假，但不能确定谁真谁假，故选项A，B，C错．命题“p∧q”是假命题，则其否定为真，从而选D.5．D 该命题是存在性命题，根据存在性命题的否定形式可知，选D.。
1.2 简单的逻辑联结词学习目标 1.了解“且”“或”作为逻辑联结词的含义，掌握“p∨q”“p∧q”命题的真假规律.2.了解逻辑联结词“非”的含义，能写出简单命题的“綈p”命题．知识点一p∧q思考1 观察三个命题：①5是10的约数；②5是15的约数；③5是10的约数且是15的约数，它们之间有什么关系？思考2 分析思考1中三个命题的真假？梳理(1)定义一般地，用逻辑联结词“且”把命题p和命题q联结起来，就得到一个新命题，记作“________”，读作“________”．(2)命题p∧q的真假判断命题p∧q的真假与命题p和命题q的真假有着必然的联系，我们将命题p、命题q以及命题p∧q的真假情况绘制成命题p∧q的真值表如下：p q p∧q真真真真假假假真假假假假命题p∧q知识点二p∨q思考1 观察三个命题：①3>2；②3＝2；③3≥2.它们之间有什么关系？思考2 思考1中的真假性是怎样的？梳理(1)定义一般地，用逻辑联结词“或”把命题p和命题q联结起来，就得到一个新命题，记作“________”，读作“________”．(2)命题p∨q的真假判断我们将命题p、命题q以及命题p∨q的真假情况绘制成命题p∨q的真值表如下：命题p∨q的真值表可以简单归纳为“一真则真，假假才假”．知识点三綈p思考观察下列两组命题，看它们之间有什么关系？并指出其真假：(1)p：5是25的算术平方根，q：5不是25的算术平方根；(2)p：y＝tan x是偶函数，q：y＝tan x不是偶函数．梳理(1)定义一般地，对一个命题p全盘否定，就得到一个新命题，记作“________”，读作“________”或“____________”．(2)命题綈p的真假判断因为命题p与命题綈p互为否定，所以它们的真假一定不同，真值表如下：p 綈p真假假真命题綈p类型一用逻辑联结词联结组成新命题例1 分别写出由下列命题构成的“p∨q”“p∧q”“綈p”形式的新命题：(1)p：π是无理数，q：e不是无理数；(2)p：方程x2＋2x＋1＝0有两个相等的实数根，q：方程x2＋2x＋1＝0两根的绝对值相等；(3)p：正△ABC的三内角都相等，q：正△ABC有一个内角是直角．反思与感悟解决这类问题的关键是正确理解“或”“且”“非”的定义，用“或”“且”“非”联结p、q构成新命题时，在不引起歧义的前提下，可把命题p、q中的条件或结论合并．跟踪训练1 指出下列命题分别由“p且q”“p或q”“非p”中的哪种形式构成，并写出其中的命题p，q：(1)两个角是45°的三角形是等腰直角三角形；(2)方程x2－3＝0没有有理根；(3)如果xy<0，则点P(x，y)的位置在第二、三象限．类型二含有逻辑联结词命题的真假例2 分别指出下列各组命题构成的“p∧q”“p∨q”“綈p”形式的命题的真假：(1)p：6<6，q：6＝6；(2)p：梯形的对角线相等，q：梯形的对角线互相平分；(3)p：函数y＝x2＋x＋2的图象与x轴没有公共点，q：不等式x2＋x＋2<0无解；(4)p：函数y＝cos x是周期函数，q：函数y＝cos x是奇函数．反思与感悟判断含逻辑联结词命题的真假的步骤(1)逐一判断命题p、q的真假．(2)根据“且”“或”“非”的含义判断“p∧q”“p∨q”“綈p”的真假．跟踪训练2 指出下列命题的形式及命题的真假：(1)48是16与12的公倍数；(2)方程x2＋x＋3＝0没有实数根；(3)相似三角形的周长相等或对应角相等．类型三用含逻辑联结词命题的真假求参数的范围例3 已知a>0，设命题p：函数y＝a x在R上单调递增；命题q：不等式x2－ax＋1>0对x∈R恒成立，若p∨q为真命题，(綈p)∨(綈q)也为真命题，求实数a的取值范围．反思与感悟由真值表可判断p∨q、p∧q、綈p命题的真假．反之，由p∨q，p∧q，綈p 命题的真假也可判断p、q的真假情况．一般求满足p假成立的参数的范围，应先求p真成立的参数的范围，再求其补集．跟踪训练3 已知p：方程x2＋mx＋1＝0有两个不等的负实数根；q：方程4x2＋4(m－2)x＋1＝0无实数根．若“p∨q”为真命题，且“p∧q”是假命题，求实数m的取值范围．1．把“x ≥5”改写为含有逻辑联结词的命题为____________________________________． 2．已知p ：∅⊆{0}，q ：{1}∈{1,2}．则在四个命题p ，q ，p ∧q ，p ∨q 中，真命题有________个．3．命题s 具有“p 或q ”的形式，已知“p 且r ”是真命题，那么s 是________命题．(填“假”“真”)4．已知命题p ：若实数x ，y 满足x 2＋y 2＝0，则x ，y 全为零；命题q ：若a ＞b ，则1a ＜1b.给出下列四个复合命题：①p 且q ；②p 或q ；③非p ；④非q . 其中真命题是________．(只填序号)5．分别判断由下列命题构成的“p 且q ”“p 或q ”“非p ”形式的命题的真假： (1)p ：函数y ＝x 2和函数y ＝2x 的图象有两个交点；q ：函数y ＝2x 是增函数；(2)p ：∅{0}；q ：0∈∅.1．正确理解逻辑联结词是解题的关键，日常用语中的“或”是两个中任选一个，不能都选，而逻辑联结词中的“或”是两个中至少选一个．2．若命题p为真，则“綈p”为假；若p为假，则“綈p”为真．类比集合知识，“綈p”就相当于集合p在全集U中的补集∁U p.因此(綈p)∧p为假，(綈p)∨p为真．3．命题的否定只否定结论，否命题既否定结论又否定条件，要注意区别．提醒：完成作业第1章§1.2答案精析问题导学知识点一思考1 命题③是将命题①②用“且”联结得到的新命题，“且”与集合运算中交集的定义A∩B＝{x|x∈A且x∈B}中“且”的意义相同，叫逻辑联结词，表示“并且”，“同时”的意思．思考2 命题①②③均为真．梳理(1)p∧q p且q知识点二思考1 命题③是命题①②用逻辑联结词“或”联结得到的新命题．思考2 ①③为真命题，②为假命题．梳理(1)p∨q p或q知识点三思考两组命题中，命题q都是命题p的否定．(1)中p真，q假．(2)中p假，q真．梳理(1)綈p非p p的否定题型探究例1 解(1)p∨q：π是无理数或e不是无理数；p∧q：π是无理数且e不是无理数；綈p：π不是无理数．(2)p∨q：方程x2＋2x＋1＝0有两个相等的实数根或两根的绝对值相等；p∧q：方程x2＋2x＋1＝0有两个相等的实数根且两根的绝对值相等；綈p：方程x2＋2x＋1＝0没有两个相等的实数根．(3)p∨q：正△ABC的三内角都相等或有一个内角是直角；p∧q：正△ABC的三内角都相等且有一个内角是直角；綈p：正△ABC的三个内角不都相等．跟踪训练1 解(1)“p且q”的形式．其中p：两个角是45°的三角形是等腰三角形，q：两个角是45°的三角形是直角三角形．(2)“非p”的形式．p：方程x2－3＝0有有理根．(3)“p或q”的形式．其中p：如果xy<0，则点P(x，y)的位置在第二象限，q：如果xy<0，则点P(x，y)的位置在第三象限．例2 解(1)∵p为假命题，q为真命题，∴p ∧q 为假命题，p ∨q 为真命题，綈p 为真命题． (2)∵p 为假命题，q 为假命题，∴p ∧q 为假命题，p ∨q 为假命题，綈p 为真命题． (3)∵p 为真命题，q 为真命题，∴p ∧q 为真命题，p ∨q 为真命题，綈p 为假命题． (4)∵p 为真命题，q 为假命题，∴p ∧q 为假命题，p ∨q 为真命题，綈p 为假命题．跟踪训练2 解 (1)这个命题是“p ∧q ”的形式．其中p ：48是16的倍数，是真命题；q ：48是12的倍数，是真命题，所以“48是16与12的公倍数”是真命题．(2)这个命题是“綈p ”的形式．其中p ：方程x 2＋x ＋3＝0有实数根，是假命题，所以命题“方程x 2＋x ＋3＝0没有实数根”是真命题．(3)这个命题是“p ∨q ”的形式．其中p ：相似三角形的周长相等，是假命题；q ：相似三角形的对应角相等，是真命题，所以“相似三角形的周长相等或对应角相等”是真命题． 例3 解 ∵y ＝a x在R 上为增函数， ∴命题p ：a >1.∵不等式x 2－ax ＋1>0在R 上恒成立， ∴应满足Δ＝a 2－4<0，即0<a <2， ∴命题q ：0<a <2.由p ∨q 为真命题，则p 、q 中至少有一个为真，由(綈p )∨(綈q )也为真，则綈p 、綈q 中至少有一个为真， ∴p 、q 中有一真、一假．①当p 真，q 假时，⎩⎪⎨⎪⎧a >1，a ≥2，∴a ≥2；②当p 假，q 真时，⎩⎪⎨⎪⎧0<a ≤1，0<a <2，∴0<a ≤1.综上可知，a 的取值范围为{a |a ≥2或0<a ≤1}．跟踪训练3 解 ∵方程x 2＋mx ＋1＝0有两个不等的负实数根， 设两根为x 1，x 2，则⎩⎪⎨⎪⎧x 1＋x 2＝－m <0，x 1x 2＝1>0，Δ＝m 2－4>0，得m >2，∴p ：m >2.又方程4x 2＋4(m －2)x ＋1＝0无实数根， ∴Δ＝16(m －2)2－4×4<0，得1<m <3， ∴q ：1<m <3.∵p ∨q 为真，p ∧q 为假， ∴p 与q 中一真一假．当p 真，q 假时，⎩⎪⎨⎪⎧m >2，m ≤1或m ≥3，∴m ≥3；当p 假，q 真时，⎩⎪⎨⎪⎧m ≤2，1<m <3，∴1<m ≤2.综上可知，m 的取值范围是(1,2]∪[3，＋∞)． 当堂训练1．“x >5或x ＝5” 2.2 3.真 4.②④ 5．解 (1)∵命题p 是真命题，命题q 是真命题， ∴p 且q 为真命题，p 或q 为真命题，非p 为假命题． (2)∵p 是真命题，q 是假命题，∴p 且q 为假命题，p 或q 为真命题，非p 为假命题．。
1．2.2 “非”(否定)学习目标 1.理解逻辑联结词“非”的含义，能写出简单命题的“綈p”命题.2.了解逻辑联结词“且”“或”“非”的初步应用.3.会对全称命题与存在性命题进行否定．知识点一逻辑联结词“非”1．命题的否定：对命题p加以否定，就得到一个新命题，记作綈p，读作“非p”或“p的否定”．2．命题綈p的真假：若p是真命题，则綈p必是假命题；若p是假命题，则綈p必是真命题．知识点二全称命题的否定写全称命题的否定的方法：(1)更换量词，将全称量词换为存在量词；(2)将结论否定．对于含一个量词的全称命题的否定，有下面的结论：全称命题p：∀x∈M，p(x)，它的否定綈p：∃x∈M，綈p(x)．全称命题的否定是存在性命题．知识点三存在性命题的否定写存在性命题的否定的方法：(1)将存在量词改写为全称量词；(2)将结论否定．对于含一个量词的存在性命题的否定，有下面的结论：存在性命题p：∃x∈M，p(x)，它的否定綈p：∀x∈M綈p(x)．存在性命题的否定是全称命题．1．写存在性命题的否定时，存在量词变为全称量词．( √)2．∃x∈M，p(x)与∀x∈M，綈p(x)的真假性相反．( √)3．命题“若a2>b2，则|a|>|b|”的否定为“若a2>b2，则|a|<|b|”．( ×)题型一“綈p”命题的构成与真假判断例1 写出下列命题的否定形式，并判断其否定的真假．(1)面积相等的三角形都是全等三角形；(2)若m2＋n2＝0，则实数m，n全为零；(3)若xy＝0，则x＝0或y＝0.解(1)面积相等的三角形不都是全等三角形，为真命题．(2)若m2＋n2＝0，则实数m，n不全为零，为假命题．(3)若xy＝0，则x≠0且y≠0，为假命题．反思感悟(1)对命题“p∧q”的否定，除将简单命题p，q否定外，还需将“且”变为“或”．对命题“p∨q”的否定，除将简单命题p，q否定外，还需将“或”变为“且”．(2)命题p与命题p的否定綈p的真假性相反．跟踪训练1 写出下列命题p的否定，并判断其真假．(1)p：偶数都能被2整除；(2)p：若x2＋y2＝0，则x＝y＝0；(3)p：2018＞2017.解(1)綈p：偶数不都能被2整除，命题p是真命题，綈p是假命题；(2)綈p：若x2＋y2＝0，则x≠0或y≠0，命题p是真命题，綈p是假命题；(3)綈p：2018≤2017，命题p是真命题，綈p是假命题．题型二全称命题和存在性命题的否定命题角度1 全称命题的否定例2 写出下列全称命题的否定：(1)任何一个平行四边形的对边都平行；(2)数列：1,2,3,4,5中的每一项都是偶数；(3)∀a，b∈R，方程ax＝b都有唯一解；(4)可以被5整除的整数，末位是0.解(1)其否定：存在一个平行四边形，它的对边不都平行．(2)其否定：数列：1,2,3,4,5中至少有一项不是偶数．(3)其否定：∃a，b∈R，使方程ax＝b的解不唯一或不存在．(4)其否定：存在被5整除的整数，末位不是0.反思感悟全称命题的否定是存在性命题，对省略全称量词的全称命题可补上量词后再进行否定．跟踪训练2 写出下列全称命题的否定：(1)p：每一个四边形的四个顶点共圆；(2)p：所有自然数的平方都是正数；(3)p：任何实数x都是方程5x－12＝0的根；(4)p：对任意实数x，x2＋1≥0.解(1)綈p：存在一个四边形，它的四个顶点不共圆．(2)綈p：有些自然数的平方不是正数．(3)綈p：存在实数x不是方程5x－12＝0的根．(4)綈p：存在实数x，使得x2＋1<0.命题角度2 存在性命题的否定例3 写出下列存在性命题的否定，并判断其否定的真假．(1)p：∃x>1，使x2－2x－3＝0；(2)p：有些素数是奇数；(3)p：有些平行四边形不是矩形．解(1)綈p：∀x>1，x2－2x－3≠0(假)．(2)綈p：所有的素数都不是奇数(假)．(3)綈p：所有的平行四边形都是矩形(假)．反思感悟存在性命题的否定是全称命题，写命题的否定时要分别改变其中的量词和判断词．即p：∃x∈M，p(x)成立⇒綈p：∀x∈M，綈p(x)成立．跟踪训练3 写出下列存在性命题的否定，并判断其否定的真假．(1)有些实数的绝对值是正数；(2)某些平行四边形是菱形；(3)∃x，y∈Z，使得2x＋y＝3.解(1)命题的否定是“不存在一个实数，它的绝对值是正数”，即“所有实数的绝对值都不是正数”．因此命题的否定是假命题．(2)命题的否定是“没有一个平行四边形是菱形”，即“每一个平行四边形都不是菱形”．由于菱形是平行四边形，因此命题的否定是假命题．(3)命题的否定是“∀x，y∈Z，2x＋y≠3”．当x＝0，y＝3时，2x＋y＝3，因此命题的否定是假命题．题型三全称命题、特称命题否定的应用例4 已知命题“对于任意x∈R，x2＋ax＋1≥0”是假命题，求实数a的取值范围．考点全称命题题点由命题的真假求参数的范围解因为全称命题“对于任意x∈R，x2＋ax＋1≥0”的否定形式为：“存在x∈R，x2＋ax＋1<0”．由“命题真，其否定假；命题假，其否定真”可知，这个否定形式的命题是真命题．由于函数f(x)＝x2＋ax＋1是开口向上的抛物线，借助二次函数的图象(图略)易知，Δ＝a2－4>0，解得a<－2或a>2.所以实数a的取值范围是(－∞，－2)∪(2，＋∞)．反思感悟(1)若全称命题为假命题，通常转化为其否定形式——存在性命题为真命题解决，同理，若存在性命题为假命题，通常转化为其否定形式——全称命题为真命题解决． (2)通常对于“至多”“至少”的命题，应采用逆向思维的方法处理，先考虑命题的否定，求出相应的集合，再求集合的补集，可避免繁杂的运算．跟踪训练4 已知命题p ：“至少存在一个实数x ∈[1,2]，使不等式x 2＋2ax ＋2－a >0成立”为真，试求参数a 的取值范围． 考点 存在量词的否定题点 由含量词的命题的真假求参数的范围解 由已知得綈p ：∀x ∈[1,2]，x 2＋2ax ＋2－a ≤0成立， 所以设f (x )＝x 2＋2ax ＋2－a ，则⎩⎪⎨⎪⎧f ，f ，所以⎩⎪⎨⎪⎧1＋2a ＋2－a ≤0，4＋4a ＋2－a ≤0，解得a ≤－3.因为綈p 为假，所以a >－3， 即a 的取值范围是(－3，＋∞).1．若p 是真命题，q 是假命题，则( ) A ．p ∧q 是真命题 B ．p ∨q 是假命题 C ．綈p 是真命题 D ．綈q 是真命题答案 D解析 因为p 是真命题，q 是假命题，所以p ∧q 为假命题，p ∨q 为真命题，綈p 为假命题，綈q 为真命题．故选D.2．设命题p ：∃n ∈N ，n 2>2n，则綈p 为( ) A ．∀n ∈N ，n 2>2nB ．∃n ∈N ，n 2≤2nC ．∀n ∈N ，n 2≤2nD ．∃n ∈N ，n 2＝2n答案 C解析 将命题p 的量词“∃”改为“∀”，“n 2>2n ”改为“n 2≤2n”． 3．对下列命题的否定说法错误的是( )A ．p ：能被2整除的数是偶数；綈p ：存在一个能被2整除的数不是偶数B ．p ：有些矩形是正方形；綈p ：所有的矩形都不是正方形C ．p ：有的三角形为正三角形；綈p ：所有的三角形不都是正三角形D ．p ：∃x ∈R ，x 2＋x ＋2≤0；綈p ：∀x ∈R ，x 2＋x ＋2>0 答案 C解析 “有的三角形为正三角形”为存在性命题，其否定为全称命题：“所有的三角形都不是正三角形”，故选C 错误．4．命题“对任意x ∈R ，都有x 2≥0”的否定为________．(填序号) ①对任意x ∈R ，都有x 2＜0 ②不存在x ∈R ，使得x 2＜0 ③存在x ∈R ，使得x 2≥0 ④存在x ∈R ，使得x 2＜0 答案 ④解析 全称命题的否定是存在性命题．5．已知命题“∀x ∈R ，x 2－5x ＋152a >0”的否定为假命题，则实数a 的取值范围是________．答案 ⎝ ⎛⎭⎪⎫56，＋∞ 解析 由题意知，∀x ∈R ，x 2－5x ＋152a >0是真命题，则Δ＝25－4×15a 2<0，得a >56.一、选择题1．有以下四个命题：(1)没有男生爱踢足球；(2)所有男生都不爱踢足球；(3)至少有一个男生不爱踢足球；(4)所有女生都爱踢足球．其中是命题“所有男生都爱踢足球”的否定是( )A ．(1)B ．(2)C ．(3)D ．(4) 答案 C2．命题“∃x ∈R ，x 3－2x ＋1＝0”的否定是( ) A ．∃x ∈R ，x 3－2x ＋1≠0 B ．不存在x ∈R ，x 3－2x ＋1≠0 C ．∀x ∈R ，x 3－2x ＋1＝0 D ．∀x ∈R ，x 3－2x ＋1≠0 答案 D3．命题“所有能被2整除的整数都是偶数”的否定是( ) A ．所有不能被2整除的整数都是偶数 B ．所有能被2整除的整数都不是偶数 C ．存在一个不能被2整除的整数是偶数 D ．存在一个能被2整除的整数不是偶数 答案 D解析 原命题为全称命题，其否定应为存在性命题，且结论否定．4．在一次跳伞训练中，甲、乙两位学员各跳一次，设命题p 是“甲降落在指定范围”，q 是“乙降落在指定范围”，则命题“至少有一位学员没有降落在指定范围”可表示为( ) A ．綈p )∨(綈q ) B.p ∨(綈q ) C ．(綈p )∧(綈q ) D ．p ∨q答案 A解析 “至少有一位学员没有落在指定范围”＝“甲没有落在指定范围”或“乙没有落在指定范围”＝(綈p )∨(綈q )．5．由命题“存在x ∈R ，使x 2＋2x ＋m ≤0”是假命题的m 的取值范围是(a ，＋∞)，则实数a 的值是( ) A ．0 B ．1 C ．2 D ．3答案 B解析 由题意知原命题的否定是真命题， 即∀x ∈R ，都有x 2＋2x ＋m >0是真命题． 由Δ＝4－4m <0，得m >1，∴a ＝1.6．已知命题p ：∃x ∈R ，使tan x ＝1，命题q ：x 2－3x ＋2<0的解集是{x |1<x <2}，下列结论：①命题“p ∧q ”是真命题；②命题“p ∧(綈q )”是假命题；③命题“(綈p )∨q ”是真命题；④命题“(綈p )∨(綈q )”是假命题，其中正确的是( ) A ．②③ B ．①②④ C ．①③④ D ．①②③④答案 D解析 当x ＝π4时，tan x ＝1，∴命题p 为真命题． 由x 2－3x ＋2<0得1<x <2，∴命题q 为真命题，∴p ∧q 为真，p ∧(綈q )为假，(綈p )∨q 为真，(綈p )∨(綈q )为假． 7．已知命题p ：∃x ∈R ，x 2＋1<2x ，命题q ：若mx 2－mx －1<0恒成立，则－4<m ≤0，那么( )A ．“綈p ”是假命题B ．“綈q ”是真命题C ．“p ∧q ”为真命题D ．“p ∨q ”为真命题答案 D解析 对于命题p ：x 2＋1－2x ＝(x －1)2≥0， 即对任意的x ∈R ，都有x 2＋1≥2x ， 因此命题p 是假命题．对于命题q ，若mx 2－mx －1<0恒成立， 则当m ＝0时，mx 2－mx －1<0恒成立； 当m ≠0时，由mx 2－mx －1<0恒成立，得⎩⎪⎨⎪⎧m <0，Δ＝m 2＋4m <0，即－4<m <0.故－4<m ≤0， 故命题q 是真命题．因此，“綈p ”是真命题，“綈q ”是假命题， “p ∧q ”是假命题，“p ∨q ”是真命题，故选D. 二、填空题8．命题“某些平行四边形是矩形”的否定是______________________________________． 答案 每一个平行四边形都不是矩形9．命题“∀x >0，x ＋1x≥1”的否定为________________________．考点 全称量词的否定 题点 含全称量词的命题的否定 答案 ∃x >0，x ＋1x<110．已知命题p ：∀x ∈R ，x 2－x ＋14<0，命题q ：∃x ∈R ，sin x ＋cos x ＝2，则p ∨q ，p ∧q ，綈p ，綈q 中是真命题的为________． 答案 p ∨q ，綈p解析 ∵x 2－x ＋14＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x －122≥0，∴p 为假命题．∵sin x ＋cos x ＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π4，∴q 为真命题．故p ∨q ，綈p 为真命题．11．由命题“存在x ∈R ，使x 2＋2x ＋m ≤0”是假命题，得m 的取值范围是(a ，＋∞)，则实数a 的值是________． 考点 存在量词的否定题点 由含量词的命题的真假求参数的范围 答案 1解析 因为“存在x ∈R ，使x 2＋2x ＋m ≤0”是假命题，所以“对任意x ∈R ，都有x 2＋2x ＋m >0”是真命题，因此Δ＝4－4m <0，即m >1，故a ＝1.三、解答题12．判断下列命题的真假，并写出它们的否定： (1)∀α，β∈R ，sin(α＋β)≠sin α＋sin β； (2)∃x ，y ∈Z,3x －4y ＝20；(3)在实数范围内，有些一元二次方程无解． 考点 含有一个量词的命题 题点 含一个量词的命题真假判断解 (1)当α＝β＝0时，sin(α＋β)＝sin α＋sin β，故命题为假命题． 命题的否定为：∃α，β∈R ，sin(α＋β)＝sin α＋sin β. (2)真命题．命题的否定为：∀x ，y ∈Z,3x －4y ≠20.(3)真命题．命题的否定为：在实数范围内，所有的一元二次方程都有解．13．已知p ：∀a ∈(0，b ](b ∈R 且b >0)，函数f (x )＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x a ＋π3的最小正周期不大于4π. (1)写出綈p ；(2)当綈p 是假命题时，求实数b 的最大值． 考点 简单逻辑联结词的综合应用题点 由含量词的复合命题的真假求参数的范围 解 (1)綈p ：∃a ∈(0，b ](b ∈R 且b >0)，函数f (x )＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x a ＋π3的最小正周期大于4π. (2)由于綈p 是假命题，所以p 是真命题， 所以∀a ∈(0，b ]，2π1a≤4π恒成立，解得0<a ≤2，所以0<b ≤2，所以实数b 的最大值是2.14．命题“∀n ∈N ＋，f (n )∈N ＋且f (n )≤n ”的否定形式是( ) A ．∀n ∈N ＋，f (n )∉N ＋且f (n )＞nB ．∀n ∈N ＋，f (n )∉N ＋或f (n )＞nC ．∃n ∈N ＋，f (n )∉N ＋且f (n )＞nD ．∃n ∈N ＋，f (n )∉N ＋或f (n )＞n 答案 D解析 全称量词“∀n ∈N ＋”改为存在量词“∃n ∈N ＋”．“f (n )∈N ＋且f (n )≤n ”的否定为“f (x )∉N ＋或f (n )＞n ”．15．已知命题p ：∀x ∈R ，ax 2＋2x ＋1≠0，q ：∃x ∈R ，ax 2＋ax ＋1≤0.若(綈p )∧(綈q )为真命题，求实数a 的取值范围． 考点 存在量词的否定题点 由含量词的命题的真假求参数的范围 解 因为(綈p )∧(綈q )为真命题，所以綈p 与綈q 都是真命题，从而p 与q 都是假命题．所以“关于x 的方程ax 2＋2x ＋1＝0有解”与“ax 2＋ax ＋1>0对一切x ∈R 恒成立”都是真命题．由关于x 的方程ax 2＋2x ＋1＝0有解，得a ＝0或⎩⎪⎨⎪⎧a ≠0，Δ＝4－4a ≥0，即a ＝0或a ≤1且a ≠0，所以a ≤1.由ax 2＋ax ＋1>0对一切x ∈R 恒成立，得a ＝0或⎩⎪⎨⎪⎧a >0，Δ＝a 2－4a <0，即a ＝0或0<a <4，所以0≤a <4.由⎩⎪⎨⎪⎧a ≤1，0≤a <4得0≤a ≤1，故实数a 的取值范围是[0,1]．。
1.2.2 “非”(否定)1．逻辑联结词“非”(1)命题的否定：一般地，对一个命题p加以否定，就得到一个新命题，记作綈p，读作“非p”或“p的否定”．(2)命题綈p的真假：若p是真命题，则綈p必是假命题；若p是假命题，则綈p必是真命题．思考1：观察下列两组命题，看它们之间有什么关系？逻辑联结词“非”的含义是什么？(1)p：5是25的算术平方根；q：5不是25的算术平方根．(2)p：y＝tan x是偶函数；q：y＝tan x不是偶函数．[提示]两组命题中，命题q都是命题p的否定．“非”与日常用语中的“非”含义一致，表示“否定”“不是”“问题的反面”等；也可以从集合的角度理解“非”：若命题p对应集合A，则綈p对应集合A在全集U中的补集∁U A.2．全称命题的否定[提示]不唯一，如“所有的菱形都是平行四边形”，它的否定是“并不是所有的菱形都是平行四边形”，也可以是“有些菱形不是平行四边形”．3．存在性命题的否定思考3：对省略量词的命题怎样否定？[提示]对于含有一个量词的命题，容易知道它是全称命题或存在性命题．一般地，省略了量词的命题是全称命题，可加上“所有的”或“对任意”，它的否定是存在性命题．反之，亦然．1．命题“平行线不相交”中( )A．没有使用任何一种逻辑联结词B．使用了逻辑联结词“非”C．使用了逻辑联结词“或”D．使用了逻辑联结词“且”B[“平行线不相交”表示平行线相交的否定，使用了逻辑联结词“非”，故选B.] 2．已知命题p：2＋2＝5，命题q：3>2，则下列判断正确的是( )A．“p或q”为假，“非q”为假B．“p或q”为真，“非q”为假C．“p且q”为假，“非p”为假D．“p且q”为真，“p或q”为假B[显然p假q真，故“p或q”为真，“p且q”为假，“非p”为真，“非q”为假，故选B.]3．已知p：∅⊆{0}，q：{1}∈{1,2}．由他们构成的新命题“p∧q”“p∨q”“綈p”中，真命题有( )A．1个B．2个C．3个D．4个A[容易判断命题p：∅⊆{0}是真命题，命题q：{1}∈{1,2}是假命题，所以p∧q是假命题，p∨q真命题，綈p是假命题，故选A.]4．命题“若a＜b，则2a＜2b”的否定为________．[答案]若a＜b，则2a≥2b(1)若x ，y 是奇数，则x ＋y 是偶数； (2)若xy ＝0，则x ＝0或y ＝0；(3)若一个数是质数，则这个数一定是奇数； (4)若两个角是对顶角，则这两个角相等．[解] (1)若x ，y 是奇数，则x ＋y 不是偶数，假命题． (2)若xy ＝0，则x ≠0且y ≠0，假命题．(3)若一个数是质数，则这个数不一定是奇数，真命题． (4)若两个角是对顶角，则这两个角不相等，假命题．(1)一些常用的正面叙述词语和它的否定词语的关系要熟悉，总结如下：命题p 为假，当命题綈p 为假时，命题p 为真．提醒：若命题p 是真命题，则綈p 是假命题；若命题p 是假命题，则綈p 是真命题．1．写出下列命题的否定，并判断真假． (1)p ：y ＝sin x 是周期函数； (2)p ：3<2；(3)p ：空集是集合A 的子集； (4)一元二次方程至多有两个解．[解] (1)綈p ：y ＝sin x 不是周期函数．命题p 是真命题，綈p 是假命题． (2)綈p ：3≥2.命题p 是假命题，綈p 是真命题．(3)綈p ：空集不是集合A 的子集．命题p 是真命题，綈p 是假命题． (4)綈p ：一元二次方程至少有三个解．命题p 是真命题，綈p 是假命题．不等式ax 2－ax ＋1>0的解集为R ，若“p ∨q ”与“綈q ”同时为真命题，求实数a 的取值范围．[解] 命题p ：方程x 2＋2ax ＋1＝0有两个大于－1的实数根，等价于 ⎩⎪⎨⎪⎧Δ＝4a 2－4≥0，x 1＋x 2＞－2，(x 1＋1)(x 2＋1)＞0，⇔⎩⎪⎨⎪⎧a 2－1≥0，－2a ＞－2，2－2a ＞0，解得a ≤－1.命题q ：关于x 的不等式ax2－ax ＋1＞0的解集为R ，等价于a ＝0或⎩⎪⎨⎪⎧a ＞0，Δ＜0.由于⎩⎪⎨⎪⎧a ＞0Δ＜0⇔⎩⎪⎨⎪⎧a ＞0，a 2－4a ＜0，解得0<a <4，所以0≤a <4.因为“p ∨q ”与“綈q ”同时为真命题，即p 真且q 假，所以⎩⎪⎨⎪⎧a ≤－1，a ＜0或a ≥4，解得a ≤－1.故实数a 的取值范围是(－∞，－1]．由真值表可判断p ∨q 、p ∧q 、綈p 命题的真假，反之，由p ∨q ，p ∧q ，綈p 命题的真假也可判断p 、q 的真假情况.一般求满足p 假成立的参数范围，应先求p 真成立的参数范围，再求其补集.2．已知命题p ：|m ＋1|≤2成立．命题q ：方程x 2－2mx ＋1＝0有实数根．若綈p 为假命题，p ∧q 为假命题，求实数m 的取值范围．[解] |m ＋1|≤2⇒－2≤m ＋1≤2⇒－3≤m ≤1， 即命题p ：－3≤m ≤1.方程x 2－2mx ＋1＝0有实数根⇒Δ＝(－2m )2－4≥0⇒m ≥1或m ≤－1， 即命题q ：m ≥1或m ≤－1.因为綈p 为假命题，p ∧q 为假命题，则p 为真命题，所以q 为假命题，綈q ：－1＜m ＜1.由⎩⎪⎨⎪⎧－3≤m ≤1，－1＜m ＜1，⇒－1＜m ＜1.即m 的取值范围是(－1,1)．1．全称命题和存在性命题有什么关系？[提示](1)结构关系的认识①全称命题中的全称量词表明给定范围内所有对象都具备某一性质，无一例外.②存在性命题中的存在量词却表明给定范围内的对象有例外．③两者正好构成了相反意义的表述，所以全称命题的否定是存在性命题，存在性命题的否定是全称命题．(2)真假性的认识全称命题的否定与全称命题的真假性相反；存在性命题的否定与存在性命题的真假性相反．2．全称命题与存在性命题的否定的关键是什么？[提示](1)全称命题的否定全称命题的否定是一个存在性命题，给出全称命题的否定时既要否定全称量词，又要否定性质，所以找出全称量词，明确命题所提供的性质是对全称命题否定的关键．(2)存在性命题的否定存在性命题的否定是一个全称命题，给出存在性命题的否定时既要否定存在量词，又要否定性质，所以找出存在量词，明确命题所提供的性质是对存在性命题否定的关键．【例3】写出下列命题的否定，并判断其否定的真假．(1)所有自然数的平方是正数；(2)任何实数x都是方程5x－12＝0的根；(3)对任意实数x，x2＋1≥0；(4)某些平行四边形是菱形；(5)∃x∈R,5x2＋1＜0；(6)∃x，y∈Z，使得2x＋y＝3.[思路探究] (1)全称命题的否定是存在性命题，否定全称命题时可分两步：第一步将全称量词“∀”改为存在量词“∃”，第二步将结论否定．(2)存在性命题的否定是全称命题，否定存在性命题时可分两步：第一步将存在量词“∃”改为全称量词“∀”，第二步将结论否定．[解] (1)命题的否定是“有些自然数的平方不是正数”．因为0是自然数，所以为真命题．(2)命题的否定是“存在实数x不是方程5x－12＝0的根”．真命题．(3)命题的否定是“存在实数x，使得x2＋1＜0”．假命题．(4)命题的否定是“没有一个平行四边形是菱形”，即“每一个平行四边形都不是菱形”．由于菱形是平行四边形，因此命题的否定是假命题．(5)命题的否定是“不存在x∈R，使5x2＋1＜0”，即“∀x∈R,5x2＋1≥0”.5x2＋1≥1≥0，因此命题的否定是真命题．(6)命题的否定是“∀x，y∈Z，2x＋y≠3”．当x＝0，y＝3时，2x＋y＝3，因此命题的否定是假命题．1．(变换条件)本例(4)改为“某些平行四边形是正方形”，写出该命题的否定并判断真假．[解] 命题的否定是“没有一个平行四边形是正方形”，即“每一个平行四边形都不是正方形”，假命题．2．(变换条件)本例(4)改为“某些菱形是平行四边形”，写出该命题的否定并判断真假．[解] 命题的否定是“没有一个菱形是平行四边形”，即“每一个菱形都不是平行四边形”，由于菱形是平行四边形，所以该命题为假命题．(1)否定全称命题时，首先把全称量词改为存在量词，再对性质进行否定.否定存在性命题时，首先把存在量词换为全称量词，再对性质进行否定.(2)全称命题和存在性命题的真假性与其否定的真假性相反.提醒：全称命题的否定是存在性命题，对省略全称量词的全称命题可补上量词后进行否定.1．思考辨析(1)全称命题与存在性命题的否定只需否定其结论，无需改写量词． ( )(2)“∀x∈R，x2－2x＋1≥0”的否定是“∃x∈R，x2－2x＋1＜0”．( )(3)“有些实数的绝对值是正数”的否定是“所有实数的绝对值都不是正数”．[提示](1)×先更换量词(全称量词换为存在量词，存在量词改为全称量词)，再将结论否定．(2)√(3)√2．已知U＝R，A⊆U，B⊆U，命题p：2∈A∪B，则綈p是( )A.2∉AB.2∈∁U BC.2∈A∩BD.2∈(∁U A)∩(∁U B)D[綈p：2∉A∪B，即2∈(∁U A)∩(∁U B)，故选D.]3．在一次跳高比赛前，甲、乙两名运动员各试跳了一次，设命题p表示“甲的试跳成绩超过2米”，命题q表示“乙的试跳成绩超过2米”，则命题(綈p)∨(綈q)表示( ) A．甲、乙恰有一人的试跳成绩没有超过2米B．甲、乙两人的试跳成绩都没有超过2米C．甲、乙至少有一人的试跳成绩超过2米D．甲、乙至少有一人的试跳成绩没有超过2米D[綈p表示“甲的试跳成绩不超过2米”，綈q表示“乙的试跳成绩不超过2米”，故(綈p)∨(綈q)表示“甲、乙至少有一人的试跳成绩没有超过2米”．]4．命题p：若m2＋n2＝0，则实数m，n全为零，则綈p：________，为________命题．(填“真”或“假”)若m2＋n2＝0，则m，n不全为零假[綈p：若m2＋n2＝0，则m，n不全为零，为假命题．]。
第1课时集合的概念［A 基础达标］1．现有以下说法，其中正确的是( )①接近于0的数的全体构成一个集合；②正方体的全体构成一个集合；③未来世界的高科技产品构成一个集合；④不大于3的所有自然数构成一个集合．A．①② B．②③C．③④ D．②④解析：选D。
在①中，接近于0的数的全体不能构成一个集合，故①错误;在②中,正方体的全体能构成一个集合，故②正确;在③中,未来世界的高科技产品不能构成一个集合，故③错误；在④中，不大于3的所有自然数能构成一个集合，故④正确．2．给出下列关系:①错误!∈R；②错误!∈Q；③－3∉Z；④－错误!∉N，其中正确的个数为（)A．1 B．2C．3 D．4解析：选B.错误!是实数,①正确；错误!是无理数，②错误;－3是整数,③错误;－错误!是无理数,④正确．故选B。
3．设A是方程2x2＋ax＋2＝0的解集，且2∈A，则实数a的值为( ）A．－5 B．－4C．4 D．5解析：选A。
因为2∈A，所以2×22＋2a＋2＝0，解得a＝－5。
4．设集合M是由不小于2错误!的数组成的集合，a＝错误!,则下列关系中正确的是（)A．a∈M B．a∉MC．a＝M D．a≠M解析:选B。
因为集合M是由不小于23的数组成的集合，a＝错误!，所以a不是集合M中的元素,故a∉M.5．由实数x,－x,|x｜，错误!,－错误!所组成的集合，最多含有（) A．2个元素B．3个元素C．4个元素D．5个元素解析：选A。
错误!＝|x|，－错误!＝－x.当x＝0时,它们均为0；当x>0时,它们分别为x,－x，x,x，－x；当x〈0时，它们分别为x，－x,－x，－x,－x。
通过以上分析，它们最多表示两个不同的数，故集合中元素最多含有2个．6．下列说法：①集合N与集合N＊是同一个集合；②集合N中的元素都是集合Z中的元素；③集合Q中的元素都是集合Z中的元素;④集合Q中的元素都是集合R中的元素．其中正确的有________．解析：因为集合N*表示正整数集，N表示自然数集，Z表示整数集，Q表示有理数集,R表示实数集，所以①③中的说法不正确,②④中的说法正确．答案：②④7．已知集合A是由偶数组成的，集合B是由奇数组成的，若a∈A，b∈B，则a＋b________A,ab________A．(填“∈"或“∉”)解析：因为a是偶数，b是奇数，所以a＋b是奇数，ab是偶数，故a＋b∉A，ab∈A.答案：∉∈8．若a，b∈R,且a≠0，b≠0,则错误!＋错误!的可能取值所组成的集合中元素的个数为________．解析：当a〉0且b>0时，错误!＋错误!＝2；当a·b<0时,错误!＋错误!＝0；当a<0且b<0时，错误!＋错误!＝－2。
