第六讲 空间中的计算(学生版)

第六讲空间中的计算【证明方法复习】一、知识点梳理：导学一、空间中角度的问题1.异面直线成角：(1)范围：；(2)方法：平移相交法；补全图形法；2.直线与平面成角：(1)范围：；(2)方法：转化线线夹角；构造三角形；3.二面角：(1)范围：；(2)方法：定义作图法；三垂线定理法；射影面积法：利用面积射影公式S射＝S原cosθ,其中θ为二面角的大小，此法不必画出二面角；导学二、空间中的距离问题1、空间距离主要有以下七种:(1)两点之间的距离.(2)点到直线的距离.(3)点到平面的距离.(4)两条平行直线之间的距离.(5)两条异面直线之间的距离.(6)平面的平行直线与平面之间的距离.(7)两个平行平面之间的距离.2、一般步骤：找出或作出相关的距离；证明它符合定义；归到某三角形或多边形中计算;作答.3、一般方法：（1）解三角形；（2）转化；（3）等积法。

二、精讲精炼【考点一】空间中的角度问题【例1】如图所示，ABCD是一个正四面体，E、F分别为BC和AD的中点.(1)求异面直线AE与CF所成的角余弦值；(2)求直线CF与平面BCD的夹角正切值；(3)求二面角A-BC-D的余弦值.【例2】已知如图，在正方体AC 1中，(1)求直线BC1与直线D1B1的成角大小；(2)求证：BC1⊥D1B；(3)求直线B1D与平面AB1D1的夹角正切值；(4)求二面角A1-B1D1-C1的余弦值；变式训练1.如图，在四棱锥ABCD P -中，底面ABCD 是矩形． 已知 ． (1)证明⊥AD平面PAB ； (2)求异面直线PC 与AD 所成的角的大小； (3)求二面角P-BD-A 的大小．2.设A 在平面BCD 内的射影是直角三角形BCD 的斜边BD 的中点O ， ，(1)求直线AC 与平面BCD 所成角的大小；(2)求二面角A BC D --的大小；(3)求异面直线AB 和CD 所成角的大小.【考点二】空间中的距离问题60,22,2,2,3=∠====PAB PD PA AD AB 1,2AC BC CD ===【例1】如图,正四面体ABCD 的棱长为1， (1)求异面直线AB 、CD 之间的距离； (2)求点A 到平面BCD 的距离； (3)求点E 到平面ACD 的距离.【例2】正三棱柱111C B A ABC -的底面边长为8，对角线101=C B ，D 、D 1分别是AC 、A 1C 1的中点。

长正方形周长和面积（二）知识纵横特殊图形计算方法：平移法1、角上去掉长方形，周长不变。

2、边上去掉长方形，还要加上两条短线段。

拼接与剪切：1、拼接时，相接的两条边不计算在新长方形周长内！2、剪切时，剪一刀增加两条边！例1如下图，用5个小正方形和1个大正方形拼成一个更大的正方形，若此最大正方形的周长为120厘米，则图中的5个小正方形面积之和为多少？试一试1、把7个完全相同的小长方形拼成下图。

已知每个小长方形的长是5厘米，求拼成的大长方形的周长？将边长是24厘米的大正方形剪成4个相同的小正方形，那么这4个小正方形的周长之和比原来的大正方形的周长增加了多少厘米？2、如下图所示，沿虚线将这个大长方形分成了九个小长方形，如果这九个小长方形的周长之和比大长方形的周长多34厘米，那么，大长方形的周长是多少厘米？下图所示阴影部分的面积是66平方厘米。

则图中正方形的面积是多少平方厘米？3、如图，长方形草坪长和宽各增加8米，面积就增加208平方米，求原草坪的周长？例2试一试例3试一试如下图，从长方形纸片ABCD 上剪去正方形ADFE，剩下的长方形EFCB 的周长是100厘米，线段AB 长多少厘米？4、下图中的阴影部分BCGF 是正方形，线段FH 长18厘米，线段AC 长24厘米，则长方形ADHE 的周长是多少厘米？如下图，正方形花坛（阴影部分）边长增加3米，面积就增加69平方米，求原花坛边长。

例4试一试例51、如图所示，用5个小正方形和1个大正方形拼成一个更大的正方形，若此最大正方形的周长为120厘米。

则图中的5个小正方形周长之和为多少厘米？2、下图的长方形长15厘米，宽10厘米，沿直线剪两刀，将其剪成三个或四个长方形，那么被剪成的若干个长方形的周长之和最大是多少？3、下图阴影部分是正方形，面积是64平方厘米，大长方形周长是50厘米。

大长方形的长为多少厘米？4、如图，正方形花坛（阴影部分）边长增加4米，则面积增加80平方米，求原花坛边长。

第6讲 分数应用题（一）【解题秘钥】把不同的数量当作单位“1”，得到的分率可以在一定的条件下转化。

如果甲是乙的a b ，乙是丙的c d ，则甲是丙的ac bd ；如果甲是乙的a b ，则乙是甲的b a；如果甲的a b 等于乙的c d ，则甲是乙的c d ÷a b ＝bc ad ，乙是甲的a b ÷a b ＝ad bc。

【经典例题】例题1：乙数是甲数的23 ，丙数是乙数的45，丙数是甲数的几分之几？练习11. 乙数是甲数的34 ，丙数是乙数的35，丙数是甲数的几分之几？2. 一根管子，第一次截去全长的14 ，第二次截去余下的12，两次共截去全长的几分之几？例题2：修一条8000米的水渠，第一周修了全长的14 ，第二周修的相当于第一周的45，第二周修了多少米？练习2用两种方法解答下面各题：1.一堆黄沙30吨，第一次用去总数的15，第二次用去的是第一次的114倍，第二次用去黄沙多少吨？2.大象可活80年，马的寿命是大象的12，长颈鹿的寿命是马的78，长颈鹿可活多少年？例题3：晶晶三天看完一本书，第一天看了全书的14，第二天看了余下的25，第二天比第一天多看了15页，这本书共有多少页？练习31.有一批货物，第一天运了这批货物的14，第二天运的是第一天的35，还剩90吨没有运。

这批货物有多少吨？2. 修路队在一条公路上施工。

第一天修了这条公路的14 ，第二天修了余下的23，已知这两天共修路1200米，这条公路全长多少米？例题4、男生人数是女生人数的45，女生人数是男生人数的几分之几？练习41． 停车场里有小汽车的辆数是大汽车的34，大汽车的辆数是小汽车的几分之几？2． 如果山羊的只数是绵羊的67，那么绵羊的只数是山羊的几分之几？例题5、甲数的13 等于乙数的14，甲数是乙数的几分之几，乙数是甲数的几倍？练习51. 甲数的34 等于乙数的25，甲数是乙数的几分之几？乙数是甲数的几分之几？2. 甲数的123 倍等于乙数的56，甲数是乙数的几分之几？乙数是甲乙两数和的几分之几？【作业】1．一个旅客从甲城坐火车到乙城，火车行了全程的一半时旅客睡着了。

人教版高中数学空间向量及其运算____________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________1 了解空间向量的概念，了解空间向量的基本定理及其意义，掌握空间向量的正交分解及其坐标表示；2 掌握空间向量的线性运算及其坐标表示；3 掌握空间向量的数量积及其坐标表示，能用向量的数量积判断向量的共线和垂直.1．空间向量的有关概念名称概念表示零向量模为0的向量0单位向量长度(模)为1的向量相等向量方向相同且模相等的向量a＝b相反向量方向相反且模相等的向量a的相反向量为－a共线向量表示空间向量的有向线段所在的直线互相平行或重合a∥b共面向量平行于同一个平面的向量2.共线向量、共面向量定理和空间向量基本定理(1)共线向量定理：(2)共面向量定理：(3)空间向量基本定理：3．空间向量的数量积及运算律(1)数量积及相关概念 ①两向量的夹角已知两个非零向量a ，b ，在空间任取一点O ，作OA →＝a ，OB →＝b ，则∠AOB 叫做向量a 与b 的夹角，记作〈a ，b 〉，其范围是0≤〈a ，b 〉≤π，若〈a ，b 〉＝π2，则称a 与b 互相垂直，记作a⊥b .②两向量的数量积已知空间两个非零向量a ，b ，则|a ||b |cos 〈a ，b 〉叫做向量a ，b 的数量积，记作a ·b ，即a ·b ＝|a ||b |cos 〈a ，b 〉．(2)空间向量数量积的运算律 ①结合律： ②交换律： ③分配律：4．空间向量的坐标表示及其应用设a ＝(a 1，a 2，a 3)，b ＝(b 1，b 2，b 3).向量表示 坐标表示 数量积 a ·b 共线 a ＝λb (b ≠0) 垂直 a ·b ＝0(a ≠0，b ≠0) 模|a |夹角〈a ，b 〉(a ≠0，b ≠0)规律方法：1.选定空间不共面的三个向量作基向量，并用它们表示出指定的向量，是用向量解决立体几何问题的基本要求．如本例用OA →，OB →，OC →表示OG →，MG →等，另外解题时应结合已知和所求观察图形，联想相关的运算法则和公式等，就近表示所需向量．[来源:](2.首尾相接的若干个向量的和，等于由起始向量的起点指向末尾向量的终点的向量．所以在求若干向量的和，可以通过平移将其转化为首尾相接的向量求和． 3.数量积的应用：(1)求夹角，设向量a ，b 所成的角为θ，则cos θ＝a ·b|a ||b |，进而可求两异面直线所成的角；(2)求长度(距离)，运用公式|a |2＝a ·a ，可使线段长度的计算问题转化为向量数量积的计算问题；(3)解决垂直问题，利用a ⊥b ⇔a ·b ＝0(a ≠0，b ≠0)，可将垂直问题转化为向量数量积的计算问题．类型一 空间向量的线性运算例１：如图3-1-6,已知平行六面体ABCD A B C D ''''-. 求证:2.AC AB AD AC '''++=练习１：如图所示，在平行六面体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，设AA →1＝a ，AB →＝b ，AD →＝c ，M ，N ，P 分别是AA 1，BC ，C 1D 1的中点，试用a ，b ，c 表示以下各向量：AP →,A 1N →练习2：【2015高考新课标2，理13】设向量a ，b 不平行，向量a b λ+与2a b +平行，则实数λ=_________．类型二 共线定理、共面定理的应用例2：射线AB 、AC 、AD 不共面,连结BC 、CD 、DB ,取AB 、BC 、CD 、DA 的中点E 、F 、G 、H ,如图3-1-20,试判断四边形EFGH 的图形形状,并用向量的方法证明.练习1：【2015江苏高考，6】已知向量a =)1,2(，b=)2,1(-, 若m a +n b =)8,9(-(R n m ∈,),则n m -的值为______.类型三 空间向量数量积的应用例3：已知空间四边形ABCD 的各边和对角线的长都等于a ，点M ，N 分别是AB ，CD 的中点．(1)求证：MN ⊥AB ，MN ⊥CD ； (2)求MN 的长；(3)求异面直线AN 与CM 所成角的余弦值．练习1：在平行六面体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，以顶点A 为端点的三条棱长度都为1，且两两夹角为60°.求BD →1与AC →夹角的余弦值．1．（2014·广东卷）已知向量a ＝(1，0，－1)，则下列向量中与a 成60°夹角的是( ) A ．(－1，1，0) B ．(1，－1，0) C ．(0，－1，1) D ．(－1，0，1)2．在下列命题中：①若向量a ，b 共线，则向量a ，b 所在的直线平行；②若向量a ，b 所在的直线为异面直线，则向量a ，b 一定不共面； ③若三个向量a ，b ，c 两两共面，则向量a ，b ，c 共面；④已知空间的三个向量a ，b ，c ，则对于空间的任意一个向量p 总存在实数x ，y ，z 使得p ＝x a ＋y b ＋z c .其中正确命题的个数是( ) A ．0 B ．1 C ．2 D ．33.在空间直角坐标系中，A (1，2，3)，B (－2，－1，6)，C (3，2，1)，D (4，3，0)，则直线AB 与CD 的位置关系是( )A ．垂直B ．平行C ．异面D ．相交但不垂直4.O 为空间任意一点，若OP →＝34OA →＋18OB →＋18OC →，则A ，B ，C ，P 四点( )A ．一定不共面B ．一定共面C ．不一定共面D ．无法判断_________________________________________________________________________________ _________________________________________________________________________________基础巩固（1）1．已知a ＝(－2，1，3)，b ＝(－1，2，1)，若a ⊥(a －λb )，则实数λ的值为( ) A ．－2 B ．－143C.145D ．22.已知空间四边形ABCD 的每条边和对角线的长都等于a ，点E ，F 分别是BC ，AD 的中点，则AE →·AF →的值为( )A ．a 2B.12a 2C.14a 2 D.34a 23．若向量c 垂直于不共线的向量a 和b ，d ＝λa ＋μb (λ，μ∈R ，且λμ≠0)，则( ) A ．c ∥d B ．c ⊥dC ．c 不平行于d ，c 也不垂直于dD ．以上三种情况均有可能4．已知{a ，b ，c }是空间的一个基底，{a ＋b ，a －b ，c }是空间的另一个基底，一向量p 在基底{a ，b ，c }下的坐标为(4，2，3)，则向量p 在基底{a ＋b ，a －b ，c }下的坐标是( )A ．(4，0，3)B ．(3，1，3)C ．(1，2，3)D ．(2，1，3)5.已知2a ＋b ＝(0，－5，10)，c ＝(1，－2，－2)，a ·c ＝4，|b |＝12，则以b ，c 为方向向量的两直线的夹角为________．6.已知a ＝(2，－1，3)，b ＝(－1，4，－2)，c ＝(7，5，λ)，若a ，b ，c 三个向量共面，则实数λ等于________．能力提升（2）7.在四面体OABC 中，OA →＝a ，OB →＝b ，OC →＝c ，D 为BC 的中点，E 为AD 的中点，则OE →＝________(用a ，b ，c 表示)．8.A ，B ，C ，D 是空间不共面四点，且AB →·AC →＝0，AC →·AD →＝0，AB →·AD →＝0，则△BCD 的形状是________三角形(填锐角、直角、钝角中的一个)．9.已知空间中三点A (－2，0，2)，B (－1，1，2)，C (－3，0，4)，设a ＝AB →，b ＝AC →. (1)若|c |＝3，且c ∥BC →，求向量c . (2)求向量a 与向量b 的夹角的余弦值．。

第6讲 最大与最小1碰到的各种优化问题、高效低耗问题，最终都表现为数学上的极值问题(小学阶段通常称为最大最小问题)。

最大最小问题涉及的知识多,灵活性强,解题时要善于综合运用所学的各种知识。

例1 从 1～9这9个自然数中选出 8 个填在下面 8 个“○”内,使算式的结果尽可能大,这个最大的结果是 。

[○÷○x(○+○)]-(○x ○+○-○)【思路点拨】 要使这个算式结果最大,就是要使前面中括号中的结果(被减数)最大,后面小括号内的结果(减数)最小。

如何使被减数尽可能大呢?使被除数尽可能大，除数尽可能小呀! “x ”后面的两个加数也要尽可能大。

后面小括号内的○x ○尽可能小。

例2 例把 1.5,3.7,6.5,2.9,4.6 分别填入下图中的 5 个“ ”内;再在每个“○”中填入和它相连的 3 个“ ”中的数的平均数;最后把 3 个“○”中的数的平均数填入下面的“△”中。

请找出一种填法,使“△”中的数尽可能大。

“△”中的数最大是多少?【思路点拨】这 5 个“ ”中的数,用的次数可不一样。

中间的“ ”中的数用了 3 次,靠着中间“ ”的两个“ ”中的数用了2次,最外边的两个“ ”中的数只用了1次。

根据题目中的意思，“△”内的数是:()()()3333÷++++++++e d c d c b c b a = 9232e d c b a +×+×+×+ (a,b,c,e,d 分别表示从左向右 5 个“ ”内填的数)。

要使“△”中的数尽可能大,应当在相加次数较多的“ ”内填较大的数。

例3 从多位数123456789101112……00中划去100个数字,使剩下的数字(顺序不变)组成的多位数最大。

【思路点拨】 从简单的问题入手,从而发现规律，例如可以先从十七位数12345678910111213中划去12个数字,使剩下的数字(顺序不变)组成的五位数最大。

应让9留下来占最高位一万位,然后,让后面8个数字在不改变顺序的前提下,较大数字占较高位。

第六讲加乘原理生活中常有这样的情况，就是在做一件事时，有几类不同的方法，在具体做的时候，只要采用一类中的一种方法就可以完成，并且几类方法是互不影响的。

在每一类方法中，又有几种可能的做法，那么考虑完成这件事所有可能的做法，就要用到加法原理来解决。

还有这样的一种情况就是在做一件事时，要分几步才能完成，而在完成每一步时，又有几种不同的方法，要知道完成这件事情共有多少种方法，就要用到乘法原理来解决。

加法原理：乘法原理：1.加法原理和乘法原理是计数方法中常用的重要原理，在应用时要注意它们的区别。

2.加法原理是把完成一件事的方法分成几类，每一类中的任何一种方法都能完成任务，所以完成任务的不同方法数等于各类方法数之和。

3.乘法原理是把一件事分几步完成，这几步缺一不可，所以完成任务的不同方法数等于各步方法数的乘积。

例1：一个盒子内装有5个小球，另一个盒子内装有9个小球，所有这些小球颜色各不相同。

问：①从两个盒子内任取一个小球，有多少种不同的取法？②从两个盒子内各取一个小球，有多少种不同的取法？例2：从1到399的所有自然数中，不含有数字3的自然数有多少个？例3:用5种颜色给图1的五个区域染色，相邻的区域染不同的颜色，每个区域染一种颜色。

问：共有多少种不同的染色方法？例4：学校羽毛球队有12名男队员，10名女队员。

（l）要挑选一名男队员和一名女队员组成一对男、女混合双打选手，有多少种不同的搭配方法？（2）该羽毛球队在比赛中获团体总分第一名，学校选一名运动员去领奖，有多少种选法？例5:找出图2中从A点出发，经过C点和D点到B点的最短路线，共有多少条？例6：现有壹元的人民币4张，贰元的人民币2张，伍元的人民币5张，如果从中至少取一张，至多取11张，那么共可以配成多少种不同的钱数？例7:由数字1、2、3、4、5、6、7、8、9可组成多少个①三位数？②三位偶数？③没有重复数字的三位偶数？④百位为9的没有重复数字的三位数？⑤百位为9的没有重复数字的三位偶数？A1．从0、1、2、3、4这五个数字中任取3个，可以组成______个无重复数字的三位数。

第6讲年、月、日知识点一：年、月、日及其关系、单位换算与计算两个日期或时刻之间的间隔叫时间．1世纪=100年，1平年=365天，1闰年=366天，1年=12月，1年=4季度，1、3、5、7、8、10、12月，每月31天，4、6、9、11月，每月30天，2月平年28天，闰年29天．平年和闰年的判断：公元年数可被4整除为闰年，但是整百的年数必须是可以被400整除的才是闰年．其他都是平年．知识点二：24时记时法的认识1.24时记时法：在一日（天）里，钟表上时针正好走2圈，共计24时。

所以为了简便而不易出错，经常采用从0时到24时的计时法，通常叫做24时计时法。

这种计时法的特点在于时针走第二圈时，还要算上上一圈的12时。

2.普通记时法与24时记时法的转换半夜12时，也叫0时，是一天的开始。

从0时到下午1时以前，两种计时法对时间的表示是相同的。

从下午1时起，24时计时法在表示时间时比普通计时法多12小时，普通计时法加12小时就是24时计时法，24时计时法减12小时就是普通计时法。

注意使用普通计时法表示时间时，前面要加上“下午”或“晚上”等限制词。

3. 计算经过的时间：计算从一个时刻到另一个时刻所经过的时间，可以根据钟表推算，也可以用终止时刻减去起始时刻，分不够时可以借1时当60分。

典例精讲【典例1】（2021春•连云港期中）一年中，天数一定相等的两个季度是（）A．第一季度和第三季度B．第二季度和第三季度C．第三季度和第四季度D．第一季度和第四季度【典例2】连续两个月至少共有（）天。

A．58B．59C．61【典例3】（2020•新泰市）每年的二月份最多只有4个星期日。

（判断对错）【典例4】三个小朋友进行骑自行车比赛，9：35三人同时从同一起点出发，下面是三个小朋友到达终点的时间．（1）谁获胜了？（2）他们分别用了多长时间？综合练习一．选择题1．（2020秋•德江县期末）小军7：20从家出发，7：45到学校，小军往返一次要（）A．25分钟B．35分钟C．50分钟2．（2021春•新沂市期中）下列年份中，第一季度有91天的有（）个．1644年、1800年、1984年、2005年、2008年、2020年、2100年A．6个B．5个C．4个D．3个3．（2021春•新沂市期中）下列节日，不在第三季度的是（）A．中国儿童节B．中国共产党的生日C．中国建军节D．中国教师节4．（2019秋•碑林区期末）小飞正上三年级，（）最接近他的年龄。

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远辉教育奥数班第六讲——乘法原理与加法原理主讲人：杨老师学生:四年级电话：62379828一、学习要点：Ⅰ乘法原理在日常生活中常常会遇到这样一些问题，就是在做一件事时，要分几步才能完成，而在完成每一步时,又有几种不同的方法，要知道完成这件事一共有多少种方法，就用我们将讨论的乘法原理来解决．例如某人要从北京到大连拿一份资料，之后再到天津开会．其中，他从北京到大连可以乘长途汽车、火车或飞机,而他从大连到天津却只想乘船．那么，他从北京经大连到天津共有多少种不同的走法？分析这个问题发现，某人从北京到天津要分两步走．第一步是从北京到大连，可以有三种走法,即:第二步是从大连到天津，只选择乘船这一种走法，所以他从北京到天津共有下面的三种走法:注意到 3×1=3．如果此人到大连后,可以乘船或飞机到天津，那么他从北京到天津则有以下的走法：共有六种走法，注意到3×2=6．在上面讨论问题的过程中,我们把所有可能的办法一一列举出来．这种方法叫穷举法．穷举法对于讨论方法数不太多的问题是很有效的．在上面的例子中,完成一件事要分两个步骤．由穷举法得到的结论看到，用第一步所有的可能方法数乘以第二步所有的可能方法数，就是完成这件事所有的方法数．一般地，如果完成一件事需要n个步骤,其中，做第一步有m1种不同的方法，做第二步有m2种不同的方法，…，做第n步有mn种不同的方法，那么,完成这件事一共有N=m1×m2×…×mn种不同的方法．这就是乘法原理．Ⅱ加法原理生活中常有这样的情况，就是在做一件事时，有几类不同的方法，而每一类方法中,又有几种可能的做法．那么，考虑完成这件事所有可能的做法,就要用我们将讨论的加法原理来解决．例如某人从北京到天津，他可以乘火车也可以乘长途汽车，现在知道每天有五次火车从北京到天津,有4趟长途汽车从北京到天津．那么他在一天中去天津能有多少种不同的走法？分析这个问题发现,此人去天津要么乘火车，要么乘长途汽车，有这两大类走法，如果乘火车，有5种走法，如果乘长途汽车，有4种走法．上面的每一种走法都可以从北京到天津，故共有5+4=9种不同的走法．在上面的问题中，完成一件事有两大类不同的方法．在具体做的时候,只要采用一类中的一种方法就可以完成．并且两大类方法是互无影响的，那么完成这件事的全部做法数就是用第一类的方法数加上第二类的方法数．一般地,如果完成一件事有k类方法,第一类方法中有m1种不同做法,第二类方法中有m2种不同做法，…,第k类方法中有mk种不同的做法,则完成这件事共有N=m1+m2+…+mk种不同的方法．这就是加法原理．二、典例剖析：Ⅰ乘法原理例1 某人到食堂去买饭，主食有三种，副食有五种，他主食和副食各买一种，共有多少种不同的买法？例2 右图中有7个点和十条线段，一只甲虫要从A点沿着线段爬到B点，要求任何线段和点不得重复经过．问：这只甲虫最多有几种不同的走法？例3 书架上有6本不同的外语书，4本不同的语文书，从中任取外语、语文书各一本,有多少种不同的取法？例4 王英、赵明、李刚三人约好每人报名参加学校运动会的跳远、跳高、100米跑、200米跑四项中的一项比赛，问：报名的结果会出现多少种不同的情形？例5由数字0、1、2、3组成三位数，问：①可组成多少个不相等的三位数？②可组成多少个没有重复数字的三位数？例6 由数字1、2、3、4、5、6共可组成多少个没有重复数字的四位奇数？例7 右图中共有16个方格，要把A、B、C、D四个不同的棋子放在方格里,并使每行每列只能出现一个棋子．问：共有多少种不同的放法?例8 现有一角的人民币4张，贰角的人民币2张,壹元的人民币3张，如果从中至少取一张，至多取9张，那么,共可以配成多少种不同的钱数？Ⅱ加法原理例1 学校组织读书活动，要求每个同学读一本书．小明到图书馆借书时，图书馆有不同的外语书150本，不同的科技书200本，不同的小说100本．那么，小明借一本书可以有多少种不同的选法?例2一个口袋内装有3个小球，另一个口袋内装有8个小球，所有这些小球颜色各不相同．问：①从两个口袋内任取一个小球，有多少种不同的取法？②从两个口袋内各取一个小球，有多少种不同的取法？例3 如右图,从甲地到乙地有4条路可走，从乙地到丙地有2条路可走,从甲地到丙地有3条路可走．那么,从甲地到丙地共有多少种走法？例4 如下页图，一只小甲虫要从A点出发沿着线段爬到B点,要求任何点和线段不可重复经过．问:这只甲虫有多少种不同的走法?例5 有两个相同的正方体，每个正方体的六个面上分别标有数字1、2、3、4、5、6．将两个正方体放到桌面上，向上的一面数字之和为偶数的有多少种情形？例6 从1到500的所有自然数中，不含有数字4的自然数有多少个?例7如下页左图，要从A点沿线段走到B,要求每一步都是向右、向上或者向斜上方．问有多少种不同的走法？模拟测试1．某罪犯要从甲地途经乙地和丙地逃到丁地,现在知道从甲地到乙地有3条路可以走，从乙地到丙地有2条路可以走，从丙地到丁地有4条路可以走．问，罪犯共有多少种逃走的方法?2．如右图，在三条平行线上分别有一个点，四个点，三个点(且不在同一条直线上的三个点不共线）．在每条直线上各取一个点，可以画出一个三角形．问：一共可以画出多少个这样的三角形？2．在自然数中，用两位数做被减数，用一位数做减数．共可以组成多少个不同的减法算式？3．一个篮球队，五名队员A、B、C、D、E，由于某种原因，C不能做中锋，而其余四人可以分配到五个位置的任何一个上．问：共有多少种不同的站位方法？5．由数字1、2、3、4、5、6、7、8可组成多少个①三位数？②三位偶数？③没有重复数字的三位偶数?④百位为8的没有重复数字的三位数？⑤百位为8的没有重复数字的三位偶数？6．某市的电话号码是六位数的，首位不能是0，其余各位数上可以是0～9中的任何一个，并且不同位上的数字可以重复．那么，这个城市最多可容纳多少部电话机？7．如右图，从甲地到乙地有三条路，从乙地到丙地有三条路，从甲地到丁地有两条路，从丁地到丙地有四条路，问：从甲地到丙地共有多少种走法？8．书架上有6本不同的画报和7本不同的书，从中最多拿两本（不能不拿)，有多少种不同的拿法？9．如下图中,沿线段从点A走最短的路线到B,各有多少种走法?10．在1～1000的自然数中，一共有多少个数字0？11．在1~500的自然数中，不含数字0和1的数有多少个?12．十把钥匙开十把锁，但不知道哪把钥匙开哪把锁，问：最多试开多少次，就能把锁和钥匙配起来？。