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高三数学试卷：无锡高三年末数学调研试卷你还在为高中数学学习而苦恼吗?别担忧，看了高三数学试题：无锡高三期末数学调研试卷以后你会有专门大的收成：高三数学试题：无锡高三期末数学调研试卷无锡市2021年秋学期高三期末调研试卷数学命题单位：宜兴市教研室制卷单位：无锡市教研中心2021．1一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分．请把答案填写在答卷纸的相应位置上．1．设集合，若，则▲．2．已知复数对应的点位于第二象限，则实数的范畴为▲．3．若命题，使得为假命题，则实数的范畴▲．4．某算法的程序框图如图，若输入，则输出的结果为▲．5．某人午休醒来，发觉表停了，他打开收音机想收听电台整点报时，则他等待的时刻短于分钟的概率为▲．6．已知，则= ▲．7．已知向量，则▲已知曲线．8．设双曲线的渐近线方程为，则双曲线的离心率为▲．9．已知数列的前项和Sn=n27n, 且满足16＜ak+ak+1＜22, 则正整数k = ▲．10．在正方体中，M为的中点，AC、BD交于点O，则与平面AMC 成的角为▲度．11．y=x3+ax+1的一条切线方程为y=2x+1，则a= ▲．要练说，得练听。
听是说的前提，听得准确，才有条件正确仿照，才能不断地把握高一级水平的语言。
我在教学中，注意听说结合，训练幼儿听的能力，课堂上，我专门重视教师的语言，我对幼儿说话，注意声音清晰，高低起伏，抑扬有致，富有吸引力，如此能引起幼儿的注意。
当我发觉有的幼儿不用心听别人发言时，就随时夸奖那些静听的幼儿，或是让他重复别人说过的内容，抓住教育时机，要求他们用心听，用心记。
平常我还通过各种趣味活动，培养幼儿边听边记，边听边想，边听边说的能力，如听词对词，听词句说意思，听句子辩正误，听故事讲述故事，听谜语猜谜底，听智力故事，动脑筋，出主意，听儿歌上句，接儿歌下句等，如此幼儿学得生动爽朗，轻松愉快，既训练了听的能力，强化了经历，又进展了思维，为说打下了基础。
江苏省无锡市第一高级中学高三数学文下学期期末试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。
在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. 已知成等差数列，成等比数列，则等于（）A. B. C. D.或参考答案：B2. 在下列四个命题中①是幂函数；②“”是“”的充分不必要条件；③命题“存在，”的否定是：“任意，”④若，则函数只有一个零点。
其中错误的个数有（）个A．4 B．2 C．3 D．1参考答案：B略3. 为了解某地区中小学生的视力情况，拟从该地区的中小学生中抽取部分学生进行调查，事先已经了解到该地区小学、初中、高中三个学段学生的视力情况有较大差异，而男女生视力情况差异不大．在下面的抽样方法中，最合理的抽样方法是( )A．简单的随机抽样B．按性别分层抽样C．按学段分层抽样D．系统抽样参考答案：C【考点】分层抽样方法．【专题】阅读型．【分析】若总体由差异明显的几部分组成时，经常采用分层抽样的方法进行抽样．【解答】解：我们常用的抽样方法有：简单随机抽样、分层抽样和系统抽样，而事先已经了解到该地区小学、初中、高中三个学段学生的视力情况有较大差异，而男女生视力情况差异不大．了解某地区中小学生的视力情况，按学段分层抽样，这种方式具有代表性，比较合理．故选：C．【点评】本小题考查抽样方法，主要考查抽样方法，属基本题．4. 已知集合, 则∩（）A． B． C． D．参考答案：D略5. 点为不等式组表示的平面区域上一点，则取值范围为（A）（B）（C）（D）参考答案：B略6. 已知函数f(x)＝x2－cos x，则f(－0.5)，f(0)，f(0.6)的大小关系是()A．f(0)<f(－0.5)<f(0.6)B．f(－0.5)<f(0.6)<f(0)C．f(0)<f(0.6)<f(－0.5)D．f(－0.5)<f(0)<f(0.6)参考答案：A7. △ABC中，角A，B，C所对边的边长分别为a，b，c，若=，则△ABC一定是（）A．等腰三角形B．直角三角形C．等腰直角三角形D．等边三角形参考答案：A【考点】正弦定理；余弦定理．【专题】计算题；转化思想；分析法；解三角形．【分析】把已知的等式利用正弦定理化简，再利用同角三角函数间的基本关系得到tanA与tanB相等，根据A和B都为三角形的内角，得到A与B相等，根据等角对等边得到a=b，即三角形ABC为等腰三角形．【解答】解：根据正弦定理： =化简已知等式得： =，即tanA=tanB，由A和B都为三角形的内角，得到A=B，则△ABC一定为等腰三角形．故选：A．【点评】此题考查了三角函数中的恒等变换应用，以及正弦定理．学生做题时注意角度A和B都为三角形的内角这个条件．8. 《算法统宗》是明朝程大位所著数学名著，其中有这样一段表述：“远看巍巍塔七层，红光点点倍加增，共灯三百八十一”，其意大致为：有一七层宝塔，每层悬挂的红灯数为上一层的两倍，共有381盏灯，则塔从上至下的第三层有（）盏灯．A．14 B．12 C．8 D．10参考答案：B【考点】等比数列的前n项和．【分析】设第一层有a盏灯，则由题意知第一层至第七层的灯的盏数构成一个以a1为首项，以为公比的等比数列，由此能求出结果．【解答】解：设第一层有a盏灯，则由题意知第一层至第七层的灯的盏数构成一个以a1为首项，以为公比的等比数列，∴=381，解得a1=192，∴a5=a1×（）4=192×=12，故选：B．【点评】本题考查顶层有几盏灯的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意等比数列的性质的合理运用．9. 已知命题p1：函数在R上为增函数，p2：函数在R上为减函数，则在命题和中，真命题是 ( )A. B. C.D.参考答案：C略10. 下列命题正确的是（）A．命题“若，则”的逆否命题为真命题B．命题“若，则”的逆命题为真命题C．命题“”的否定是“”D．“”是“”的充分不必要条件参考答案：A二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11. 设直线与圆相交于A、B两点，且弦长，则=________。
江阴市普通高中2022年秋学期高三阶段测试卷数 学2023.1注意事项及说明：本卷考试时间为120分钟，全卷满分为150分．一、单项选择题：（本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求．请将答案填写在答题卡相应的位置上．．．．．．．．．．） 1．已知全集U =R ，集合{}10A x x =－＞，{}02B x x =<<，则()RA B =（ ）A ．{}01x x <≤B ．{}2x x ≤C ．{}1x x ≤D ．{}12x x ≤<2．已知i 为虚数单位，复数()()32i 1i z a =＋＋为纯虚数，则z =（ ）A ．0B ．12C ．2D ．53．给出下列四个命题，其中正确命题为（ ） A ．a b >是33a b >的充分不必要条件 B ．αβ>是cos cos αβ<的必要不充分条件 C ．0a =是函数()()32f x x axx =∈R ＋为奇函数的充要条件D ．()()23f f <是函数()f x =[)0,+∞上单调递增的既不充分也不必要条件4．为了给热爱朗读的师生提供一个安静独立的环境，某学校修建了若干“朗读亭”．如图所示，该朗读亭的外形是一个正六棱柱和正六棱锥的组合体，正六棱柱两条相对侧棱所在的轴截面为正方形，若正六棱锥与六棱柱的高的比值为1∶3，则正六棱锥与正六棱柱的侧面积之比为（ ）A B C ．19D ．1275．函数()233x xf x x --=的图象大致为（ ）A ．B ．C ．D ．6．已知一个等比数列的前n 项，前2n 项，前3n 项的和分别为P ，Q ，R ，则下列等式正确的是（ ） A ．P Q R +=B ．2Q PR =C ．()2P Q R Q +-=D ．()22P Q P Q R +=+7．在平面直角坐标系xOy 中，若满足()()x x k y k y -≤-的点(),x y 都在以坐标原点为圆心，2为半径的圆及其内部，则实数k 的取值范围是（ ）A ．k ≤≤B ．k ≤≤C ．k -≤≤D ．)(0,2⎡⎤⎣⎦8．设π6a =，cos1b =，1sin 3c =，这三个数的大小关系为（ ） A ．a b c << B ．c b a << C ．c a b << D ．a c b <<二、多项选择题：（本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对得5分，部分选对得2分，有选错得0分．请将答案填写在答题卡相应的位置上．．．．．．．．．．） 9．若0x >，0y >，且()1xy x y -+=，则下列结论正确的是（ ）A ．)21x y +≥ B ．)21xy ≥C ．)21x y +≤D ．)21xy ≤10．已知一只钟表的时针OA 与分针OB 长度分别为3和4，设0点为0时刻，△OAB 的面积为S ，时间t （单位：时），全科免费下载公众号《高中僧课堂》则以下说法中正确的选项是（ ）A ．时针OA 旋转的角速度为h π6rad/-B ．分针OB 旋转的角速度为2πrad/hC ．一小时内（即[)0,1t ∈时），AOB ∠为锐角的时长是511h D ．一昼夜内（即[)0,24t ∈时），S 取得最大值为44次11．甲箱中有5个红球，2个白球和3个黑球，乙箱中有4个红球，3个白球和3个黑球，先从甲箱中随机取出一球放入乙箱，分别以1A ，2A 和3A 表示由甲箱取出的球是红球，白球和黑球的事件；再从乙箱中随机取出一球，以B 表示由乙箱取出的球是红球的事件，则下列结论正确的是（ ） A ．事件B 与事件()1,2,3i A i =相互独立 B ．()1845P A B =C ．()13P B =D ．()2631P A B =12．已知P 为抛物线()2:20C y px p =>上的动点，()4,4Q -在抛物线C 上，过抛物线C 的焦点F 的直线l 与抛物线C 交于A ，B 两点，()4,3M -，()1,1N -，则（ ） A ．PM PF +的最小值为5B ．若线段AB 的中点为M ．则△NAB 的面积为C ．若NA NB ⊥，则直线的斜率为2D ．过点()1,2E 作两条直线与抛物线C 分别交于点G ，H ，满足直线GH 的斜率为1-，则EF 平分GEH ∠ 三、填空题：（本题共4小题，每小题5分，共20分．请将答案填写在答题卡相应的位置上．．．．．．．．．．） 13．在平面直角坐标系xOy 中，直线:210l y x =+与双曲线22221x y a b-=的一条渐近线平行，且双曲线的一个焦点在直线l 上，则双曲线的方程为__________．14．()()541213x x -+的展开式中x 的升幂排列的第3项为__________．15．已知函数()()()256ln f x a x x a =-+∈R ，曲线()f x 在点()()1,1f 处的切线与y 轴相交于点()0,6，则函数()f x 的极小值为__________．16．（第一空2分，第二空3分）已知向量()1,1m =，向量n 与向量m 的夹角为3π4，1m n ⋅=-，则向量n =__________；若向量n 与向量()1,0q =的夹角为π2，向量2πcos 2cos 32x p x ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭=-，，其中0x a <<，当n p ∈⎣⎭+时，实数a 的取值范围为__________． 四、解答题：（本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．请将答案填写在答题．．卡相应的位置上．．．．．．．．）17．（本题满分10分）已知在△ABC 中，AD 是∠BAC 的平分线，且交BC 于D ．（1）用正弦定理证明：AB BDAC DC=； （2）若120BAC ∠=︒，2AB =，1AC =，求BD ．18．（本题满分12分）已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且424S S =，()221*n n a a n =+∈N ． （1）求数列{}n a 的通项公式；（2）若13n n b -=，令n n n c a b =，求数列{}n a 的前n 项和n T ．19．（本题满分12分）天和核心舱是我国目前研制的最大航天器，同时也是我国空间站的重要组成部分．为了能顺利的完成航天任务，挑选航天员的要求非常严格．经过统计，在挑选航天员的过程中有一项必检的身体指标ξ服从正态分布()90,100N ，航天员在此项指标中的要求为110ξ≥．某学校共有2000名学生．为了宣传这一航天盛事，特意在本校举办了航天员的模拟选拔活动．学生首先要进行上述指标的筛查，对于符合要求的学生再进行4个环节选拔，且仅在通过一个环节后，才能进行到下一个环节的选拔．假设学生通过每个环节的概率均为14，且相互独立．（1）设学生甲通过筛查后在后续的4个环节中参与的环节数量为X ，请计算X 的分布列与数学期望； （2）请估计符合该项指标的学生人数（结果取整数）．以该人数为参加航天员选拔活动的名额，请计算最终通过学校选拔的人数Y 的期望值．参考数值：()0.6827P X μσμσ-<<+=，()220.9545P X a μσμ-<<+=，()33P X a μσμ-<<+0.9973=．20．（本题满分12分）如图，在四棱锥P ABCD -中，AP DP ⊥，1AE =，2AP =，DP =3CD =，AB CD ∥，AB ⊥平面P AD ，点M 满足()01AM AD λλ=<<．（1）若14λ=，求证：平面PBM ⊥平面PCM ；（2）设平面MPC 与平面PCD 的夹角为θ，若tan 6θ=，求λ的值． 21．（本题满分12分）在平面直角坐标系xOy 中，设曲线()1:10x yC a b a b+=>>所围成的封闭图形的面积为，曲线1C 上的点到原点O ．以曲线1C 与坐标轴的交点为顶点的椭圆记为2C ． （1）求椭圆2C 的标准方程：（2）设AB 是过椭圆2C 中心O 的任意弦，l 是线段AB 的垂直平分线，M 是l 上的点（与O 不重合），若M 是l 与椭圆2C 的交点，求△AMB 的面积的取值范围． 22．（本题满分12分） 已知函数()e xf x ax =-．（1）若()f x 有两个零点，求a 的取值范围；（2）若方程e ln x x ax a x =+有两个实数根1x ，2x ，且12x x ≠，证明：()1212ln 2ln x x x x a ++<．江阴市普通高中2022年秋学期高三阶段测试卷参考答案一、单项选择题：（本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求．请将答案填写在答题卡相应的位置上．．．．．．．．．．） 1．【答案】A【解析】{}1A x x =>，{}1A x x =≤R，{}02B x x =<<，(){}01A B x x =<≤R ，选A ．2．【答案】D【解析】()()()2i 1i 22i i 221i z a a a a a =-+=+-+=++-为纯虚数， ∴20a +=，∴2a =-，∴5z =，选D ． 3．【答案】C【解析】“a b >”是“33a b >”的充要条件，A 错．“αβ>”是“cos cos αβ<”的既不充分又不必要条件，B 错．0a =时，()3f x x =是奇函数，充分，()32x x x f a =+为奇函数，则0a =，则为充要条件，故答案选C ． 4．【答案】B【解析】设正六边形的边长为a ，设六棱柱的高为3b ，六棱锥的高为b ，正六棱柱的侧面积26318S ab ab =⋅⋅=，正六棱锥的母线长=11632S =⋅⋅=又∵正六棱柱两条相对侧棱所在的轴截面为正方形，则32b a =，∴23b a =1224183S S a a ==⋅，选B ． 5．【答案】C【解析】()()()233x xf x f x x ---==--，∴()f x 为奇函数关于原点对称，排除B ．0x >时，()0f x >，∴排除D ．()1133f =-，()()1271273319729f f -==->，排除A ，选C ． 6．【答案】D【解析】n S ，2n n S S -，32n n S S -成等比数列，()()2Q P P R Q -=-， ∴222O PO P PR PQ -+=-，∴()22Q P P R Q +=+，选D ．7．【答案】B【解析】()()x x k y k y --≤，则()220x y k x y +<+<，222222k k k x y ⎛⎫⎛⎫-+-≤ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，圆心,22k k ⎛⎫⎪⎝⎭，r =(),x y 都在224x y +≤，则两圆内切或内含．2≤，∴k ≤≤B ．8．【答案】C 【解析】πcos1sin 12⎛⎫=-⎪⎝⎭，∵1ππ01322<<-<，∴1πsin sin 132c b ⎛⎫<-⇒< ⎪⎝⎭11πsin 336c a =<<=，且0x >时，246cos 12!4!6!x x x x >-+-（泰勒展开式求导易证）∴111131πcos110.540.010.54224720247206>-+-=->-=>，∴b a >， ∴b a c >>，选C ．二、多项选择题：（本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对得5分，部分选对得2分，有选错得0分．请将答案填写在答题卡相应的位置上．．．．．．．．．．） 9．【答案】AB【解析】()214x y x y xy +++=≤，则2x y +≥，A 对，C 错．1xy x y -=+≥)21xy ≥，B 对，D 错，选AB ．10．【答案】ACD【解析】OA 旋转的角速度为πrad/h 6-，A 对．OB 旋转的角速度为2πrad/h -，B 错．11π2π6AOB t k ∠=-或112ππ2π6AOB t k ∠=-+，k ∈Z ，π0,2AOB ⎛⎫∠∈ ⎪⎝⎭ 则3011t <<或9111t <<，39501111111-+-=，C 对． 11π6sin6S t =的周期为611且每个周期仅岀现一次最大值 故最大值取得的次数为2444611=，D 对，选ACD ．11．【答案】BD 【解析】()149P A =，()229P A =，()33193P A == 先1A 发生，则乙袋中有4个红球3白球3黑球，()142105P B A ==，先2A 发生，则乙袋中有3个红球4白球3黑球，()2310P B A =，先3A 发生，则乙袋中有3个红球3白球4黑球，()3310P B A =．()()()1112485945P A B P B A P A ==⨯=，B 对．()()()22232110915P A B P B A P A ==⨯=，()()()33331110310P A B P B A P A ===⨯=，()()()()()()()112233311903P B P B A P A P B A P A P B A P A =++=≠，C 错．()()()11P A P B P A B ≠，A 错．()()()()()()2222326109313190P B A P A P A B P A B P B P B ⨯====，D 对．12．【答案】ACD【解析】()4,4Q -在抛物线()220y px p =>上，∴2p =，抛物线：24y x =，()1,0F ．对于A ，过点P 作抛物线的准线1x =-的垂线FD ，垂足为D ，由抛物线定义可知PF PD =，连接DM ，则PM PF PM PD DM +=+≥ M ，P ，D 三点共线时，PM PF +取最小值314+=，A 对．对于B ，∵()3,2M -为AB 中点，则6A B x x +=，28A B AB x x =++=∵()3,2M -，()1,0F 在直线l 上，1l k =-，∴:1l y x =-+， N 到直经l的距离2d ==12NAB S AB d =⋅=△B 错．对于C ，设:1l x my =+代入24y x =得2440y my --=， 令()11,A x y ，()22,B x y ，124y y m +=，124y y =-，()()11111,12,1NA x y my y =+-=+-，()222,1NB my y =+-()()()()()()()21212121222111215NA NB my my y y m y y m y y ⋅=+++--=++-++()()()22412145210m m m m =-++-+=-=，12m =，∴12l k m ==，C 对． 对于D ，()1,2E 在抛物线上且EF x ⊥轴，设233,4y G y ⎛⎫⎪⎝⎭，244,4y H y ⎛⎫⎪⎝⎭， 易知EG ，EH 斜率存在，323324214EG y k y y -==+-，442EH k y =+，3441GH k y y ==-+， 则344y y +=-，33440242EG EH k k y y +=+=+--+， 则EF 平分GEH ∠，D 对． 三、填空题：（本题共4小题，每小题5分，共20分．请将答案填写在答题卡相应的位置上．．．．．．．．．．） 13．【答案】221520x y -=【解析】由题意22225ba c c ab ⎧=⎪⎪=⎨⎪=+⎪⎩，∴5a b c ⎧=⎪⎪=⎨⎪=⎪⎩221520x y-=．14．【答案】226x -【解析】()512x -展开式第1r +项()()155C 2C 2r rr r r r T x x +=-=-()413x +展开式第1p +项()144C 3C 3ppp p p p T x x +==0r =，2p =，()00222254C 2C 354x x -=，1r =，1p =，()11112254C 2C 3120x x -=-， 2r =，0p =，()22002254C 2C 340x x -=，2222541204026x x x x -+=-．15．【答案】26ln3+【解析】切点()1,16a ，()()625f x a x x'=-+，68k a =- 切线：()()16681y a a x -=--过()0,6，∴12a =()265650x x f x x x x-+'=-+==，2x =或3，()f x 在()0,2，()2,3，()3,+∞，()()326ln3f x f ==+极小值．16．【答案】()0,1-；π2π,33⎛⎤⎥⎝⎦【解析】设(),n x y =，1m n x y ⋅=+=-，cos ,2m n m n m n⋅=== ∴10x y =-⎧⎨=⎩或01x y =⎧⎨=-⎩，∴()1,0n =-或()0,1-，n 与q 夹角的π2，则()0,1n =-∴π2πcos ,2cos 1cos ,cos 323x n p x x x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=--= ⎪ ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭ ∴()2222π114πcos cos 1cos 21cos 23223n p x x x x ⎡⎤⎛⎫⎛⎫+=+-=+++-⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦1111cos 2cos 22222x x x ⎛⎫=++- ⎪ ⎪⎝⎭11π1cos 221cos 2423x x x ⎛⎫=+=++ ⎪⎝⎭0x a <<，022x a <<，πππ22333x a <+<+，222n p ⎡+∈⎢⎣⎭，∴π1cos 21,32x ⎛⎫⎡⎫+∈- ⎪⎪⎢⎝⎭⎣⎭， ∴π5ππ233a <+≤，∴π2π33a <≤． 四、解答题：（本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．请将答案填写在答题卡相应的位置上．．．．．．．．．．） 17．【解析】（1）在ABD △和ACD △中，分别由正弦定理,sin sin ,sin sin AB BD ADB BAD AC CD ADC CAD ⎧=⎪⎪∠∠⇒⎨⎪=⎪∠∠⎩①② ∵sin sin ADB ADC ∠=∠，由AD 平分BAC BAD CAD ∠⇒∠=∠， ∴ AB BD AC DC⇒=①②． （2）∵2AB =，1AC =，120BAC ∠=︒，∴BC ==， ∵AD 平分BAC ∠，由（1）知2BD AB DC AC ==，∴23BD BC == 18．【解析】（1）设{}n a 公差为d ，∴()()1121441442221a d a d a a ⎧-+=⋅+⎪⎨⎪=+⎩ ∴111420112a d a a d d -=⎧=⎧⇒⎨⎨-=-=⎩⎩，∴()12121n a n n =+-=-． （2）()1213n n c n -=-⋅ ∴()()0122133353233213n n n T n n --=+⋅+⋅++-⋅+-⋅，①()()()12213333253233213n n n n T n n n --=+⋅++-⋅+-⋅+-⋅，②①-②()2121232323213n n n T n -⇒-=+⋅+⋅++⋅--⋅()()()()16132121332213223213n n n n n n T n n n -⋅--=+--⋅=---⋅=-⋅-- ∴()131n n T n =-⋅+．19．【解析】（1）X 的所有可能取值为1，2，3，4，()314P X ==，()13324416P X ==⨯=，()1133344464P X ==⨯⨯=，()1111444464P X ==⨯⨯= ∴X 的分布列如下：()48641664E X =+++=．（2）()()10.9545110260.022752P P ξξμ-≥=≥+==． ∴符合该项指标的学生人数为：20000.0227545.546⨯=≈人 每个学生通过投的概率对111114444256⨯⨯⨯=， ∴最终通过学校选拔人数1~46,256Y ⎛⎫ ⎪⎝⎭， ∴()4623256128E Y ==． 20．【解析】（1）证明：∵2PA =，PD =AP PD ⊥，∴4AD =． ∵14AM AD =，∴1AM =，而60PAD ∠=︒，∴PM =，∴PM AM ⊥． ∵AB ⊥平面P AD ，AB ⊂平面ABCD ，∴平面ABCD ⊥平面P AD 且平面ABCD 平面PAD AD =， 由PM ⊂平面P AD ，PM AD PM ⊥⇒⊥平面ABCD ，∴PM BM ⊥，且BM =CM =BC ==222BM CM BC +=，∴BM CM ⊥，又∵PMCM M =，∴BM ⊥平面PCM ． 又∵BM ⊂平面PBM ，∴平面PBM ⊥平面PCM ，或由2225PM BM PB +==，∴BM PM ⊥且BM CM BM ⊥⇒⊥平面PCM ， 所以平面PBM ⊥平面PCM ；（2）如图建系，∵AM AD λ=，∴4AM λ=，∴()0,4,0M λ，(P ，()3,4,0C ，()0,4,0D ，∴()3,44,0MC λ=-，(3,3,PC =，()3,0,0CD =-， 设平面MPC 与平面PCD 的一个法向量分别为()1111,,n x y z =，()2222,,n x y z =， ∴()())()11111134404141330x y n x y λλλ+-=⎧⎪⇒=--⎨+=⎪⎩(2222233030x y n x ⎧+=⎪⇒=⎨-=⎪⎩，∵tan θ=(1221cos 16n n n n θ⋅=== ()()238403220λλλλ-+=⇒--=，∵01λ<<，∴23λ=． 21．【解析】（1）曲线1C 围成的图形如图∴1222S a b =⋅⋅=封闭图形ab =3=，解得1a b ⎧=⎪⎨=⎪⎩， ∴椭圆2C 的标准方程为2218xy +=．（2）方法一：①若AB 斜率为0，则112AMB S =⋅=△ ②若AB 斜率不存在，则122AMB S =⋅⋅=△ ③若AB斜率存在且不为0，设AB 方程为y kx =()222281888y kx k x x y =⎧⇒+=⎨+=⎩，∴AB == ∵OM AB ⊥，OM ==∴1162ABM S =⋅==△ 令1k t k +=，2t ≥，∴ABM S ==△一方面ABM S <=△169ABM S ≥=△ 综上：AMB △面积的取值范围为16,9⎡⎢⎣． 方法二：设()00,A x y ，()00,M y x λλ-，不妨设0λ>，由A ，M 在椭圆上22002222001,81,8x y y x λλ⎧+=⎪⎪⇒⎨⎪+=⎪⎩①② ()2200AMB S x y λ=+△，而2200218y x λ+=，③ ①+③()220029118x y λ⇒+=+， 220028119x y λ⎛⎫+=+ ⎪⎝⎭且220028117x y λ⎛⎫-=- ⎪⎝⎭28181199AMB S λλλλ⎛⎫⎛⎫=⋅+=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭△ 由2220202241411189781414111197x y λλλλ⎧⎧⎛⎫⎛⎫++-≤⎪ ⎪ ⎪⎪≤⎪⎪⎝⎭⎝⎭⇒⎨⎨≤⎛⎫⎛⎫⎪⎪+--≤ ⎪ ⎪⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎩⎩解得4λ≤≤16899AMB S ⎛≤≤= ⎝⎭△综上：AMB △面积的取值范围为16,9⎡⎢⎣．22．【解析】（1）()e xf x a '=-． 当0a ≤时，()0f x '>，()f x 在R 上，()f x 不可能有两个零点；当0a >时，令()0ln f x x a '=⇒=且()f x 在(),ln a -∞上；()ln ,a +∞上， 要使()f x 有两个零点，首先必有()()min ln ln 0e f x f a a a a a ==-<⇒> 当e a >时，注意到()010f =>，()ln 0f a <，()2e 0a f a a =->， ∴()f x 在()0,ln a 和()ln ,a a 上各有一个零点1x ，2x 符合条件． 综上：实数a 的取值范围为()e,+∞．（2）由()ln e ln e ln x x x x ax a x a x x +=+⇒=+有两个实根1x ，2x ， ∴令ln x x t +=，∴e t at =有两个实根111ln t x x =+，222ln t x x =+， 要证：()1212ln 2ln x x x x a ++<只需证：122ln t t a +<由1212e e t t at at ⎧=⎨=⎩，结合①知1122,ln ln e ln ln ,t a t a t a t =+⎧>⇒⎨=+⎩①② ①+②()12122ln ln t t a t t ⇒+=+⇔证：()122ln ln 2ln a t t a +<，即证：121t t <而1211221212ln ln 101ln ln t t t t t t t t t t --=-⇒=>⇒<<-，证毕！。
无锡市秋学期高三期末调研试卷数学命题单位：宜兴市教研室 制卷单位：无锡市教研中心 ．1一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分．请把答案填写在答．卷纸的．．．相应．．位置上．．．． 1． 设集合{}{}25,log (3),,(,)R A a B a b a b =+=∈，若{}1AB =，则A B = ▲ ．2． 已知复数2(2)(1)i z m m =-+-对应的点位于第二象限，则实数m 的范围为 ▲ ．3． 若命题“R x ∃∈，使得2(1)10x a x +-+≤”为假命题，则实数a 的范围 ▲ ．4． 某算法的程序框图如图，若输入4,2,6a b c ===，则输出的结果为▲ ．5． 某人午休醒来，发觉表停了，他打开收音机想收听电台整点报时，则他等待的时间短于5分钟的概率为 ▲ ． 6． 已知3sin 6x π⎛⎫+= ⎪⎝⎭，则25sin sin 63x x ππ⎛⎫⎛⎫-+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭= ▲ ． 7． 已知向量(2,1),(1,0)a b =-=，则23a b -= ▲ 已知曲线． 8． 设双曲线的渐近线方程为230x y ±=，则双曲线的离心率为 ▲ ． 9． 已知数列{}n a 的前n 项和S n =n 2—7n, 且满足16＜a k +a k +1＜22, 则正整数k = ▲ ．注 意 事 项考生在答题前请认真阅读本注意事项及各题答题要求 1．本试卷共4页，包含填空题（第1题——第14题）、解答题（第15题——第20题）．本卷满分160分，考试时间为120分钟．考试结束后，请将答题卡交回．2．答题前，请您务必将自己的姓名、准考证号用0．5毫米黑色墨水的签字笔填写在试卷及答题卡的规定位置．3．请在答题卡上按照顺序在对应的答题区域内作答，在其他位置作答一律无效．作答必须用0．5毫米黑色墨水的签字笔．请注意字体工整，笔迹清楚．4． 如需作图，须用2B 铅笔绘、写清楚，线条、符号等须加黑、加粗．5． 请保持答题卡卡面清洁，不要折叠、破损．一律不准使用胶带纸、修正液、可擦洗的圆珠笔．10．在正方体1111ABCD A B C D -中，M 为1BB 的中点，AC 、BD 交于点O ，则1D O 与平面AMC 成的角为 ▲ 度．11．y=x 3+ax +1的一条切线方程为y =2x +1，则a = ▲ ． 12．不等式12sin x a y x+≥-+对一切非零实数,x y 均成立，则实数a 的范围为 ▲ ． 13．已知函数2()2f x x x =+，若存在实数t ，当[1,]x m ∈时，()3f x t x +≤恒成立，则实数m 的最大值为 ▲ ．14．已知函数f （x ）=|x 2－2|，若f （a ）≥f （b ），且0≤a ≤b ，则满足条件的点（a ，b ）所围成区域的面积为 ▲ ．二、解答题：本大题共6小题，共计90分．请在答题．．纸．指定区域．．．．内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．(本小题满分14分)在边长为6cm 的正方形ABCD 中，E 、F 分别为BC 、CD 的中点，M 、N 分别为AB 、CF 的中点，现沿AE 、AF 、EF 折叠，使B 、C 、D 三点重合，构成一个三棱锥． （1）判别MN 与平面AEF 的位置关系，并给出证明； （2）求多面体E -AFMN 的体积．16．(本小题满分14分)已知△ABC 中，||10AC =,||5AD =,115=,0CD AB =．（1）求AB AC -；（2）设BAC θ∠=，且已知4cos()5x θ+= ，02x π-<<，求sin x ．M NFB C D AF17．（本小题满分14分）已知 A 、B 两地相距2R ，以AB 为直径作一个半圆，在半圆上取一点C ，连接AC 、BC ，在三角形ABC 内种草坪（如图），M 、N 分别为弧AC 、弧BC 的中点，在三角形AMC 、三角形BNC 上种花，其余是空地．设花坛的面积为1S ，草坪的面积为2S ，取ABC θ∠=． （1） 用θ及R 表示1S 和2S ； （2） 求12S S 的最小值．18．(本小题满分16分)已知椭圆 2214x y +=的左顶点为A ，过A 作两条互相垂直的弦AM 、AN 交椭圆于M 、N 两点．（1） 当直线AM 的斜率为1时，求点M 的坐标；（2） 当直线AM 的斜率变化时，直线MN 是否过x 轴上的一定点，若过定点，请给出证明，并求出该定点，若不过定点，请说明理由．19．(本小题满分16分)已知数列{}n a 的首项135a =，13,1,2,21n n n a a n a +==+．（1）求证：数列11n a ⎧⎫-⎨⎬⎩⎭为等比数列； (2) 记12111n nS a a a =++，若100n S <，求最大的正整数n ．（3）是否存在互不相等的正整数,,m s n ，使,,m s n 成等差数列且1,1,1m s n a a a ---成等比数列，如果存在，请给出证明；如果不存在，请说明理由．20．(本小题满分16分)对于定义在区间D 上的函数()x f 和()x g ，如果对于任意D x ∈，都有()()1||≤-x g x f 成立，那么称函数()x f 在区间D 上可被函数()x g 替代．(1) 若()()x x g xx x f ln ,12=-=，试判断在区间[],1[e ]上()x f 能否被()x g 替代？ (2) 记()(),ln f x x g x x ==，证明()x f 在1(,)(1)m m m>上不能被()x g 替代；(3) 设x x x g ax x a x f +-=-=221)(,ln )(，若()x f 在区间],1[e 上能被()x g 替代，求实数a 的范围．无锡市秋学期高三期末考试试卷数学（理科加试卷）命题单位：宜兴市教研室 制卷单位：无锡市教研中心 ．1注意事项及说明: 本卷考试时间为30分钟， 全卷满分为40分．１．已知(1,0,2),(2,2,0),(0,1,2)OA OB OC ===，点M 在直线OC 上运动，当MA MB ⋅取最小时，求点M 的坐标．２．设在12个同类型的零件中有2个次品，现抽取3次进行检验，每次抽一个，并且取出不再放回，若以变量X 表示取出的次品个数．（1） 求X 的分布列；（2） 求X 的数学期望及方差．3.若二项式n+的展开式中的常数项为第五项． (1)求n 的值；(2)求展开式中系数最大的项．4．若15231n n -+⨯+()*N n ∈能被正整数m 整除，请写出m 的最大值，并给予证明．无锡市秋学期高三期末调研考试评分标准数 学一．填空题1．{}1,1,5- 2． 3．(1,3)- 4．6 5．1126．23+78．2或39．8 10．90 11．2 12．[]1,3 13．8 14．2π 二．解答题：15． （1）因翻折后B 、C 、D 重合（如图），所以MN 应是ABF ∆的一条中位线，………………3分则MN AF MN AEF MN AEF AF AEF ⎫⎪⊄⇒⎬⊂⎪⎭平面平面平面．………7分 （2）因为}AB BE AB AB AF⊥⇒⊥⊥平面BEF ，……………9分且6,3AB BE BF ===，∴9A BEF V -=，………………………………………11分 又3,4E AFMN AFMN E ABF ABC V S V S --∆== ∴274E AFMN V -=． (14)分16．（1）由已知115=，即115DB AD =，∵|5,AD =｜ ∴||11DB =，………………………………………………………………2分∵0CD AB =， ∴CD AB ⊥， ………………………………………………………3分 在Rt △BCD 中，222BC BD CD =+, 又222CD AC AD =-,∴2222196BC BD AC AD =+-=， …………………………5分∴|||14AB AC BC -==． …………………………………………………………………6分（2）在△ABC 中，21cos =∠BAC ， ∴3πθ=． (7)分AF即4cos()cos()35x x πθ+=+=，3sin()35x π+=±， ……………………………………9分而0,2633x x ππππ-<<-<+<， (10)分则1sin()sin()sin 2633x πππ-=-<+<=， ………………………………………………12分∴3sin()35x π+=，∴sin sin[()]33x x ππ=+-= ． ……………………………………14分17．（1）因为ABC θ∠=，则2sin ,2cos AC R BC R θθ==，则22212sin cos sin 22S AC BC R R θθθ=⋅==．………………………………………3分 设AB 的中点为O ，连MO 、NO ，则,MO AC NO BC ⊥⊥． 易得三角形AMC的面积为2sin (1cos )R θθ-， ……………………………………………5分三角形BNC的面积为2cos (1sin )R θθ-， …………………………………………………7分∴1S =2sin (1cos )R θθ-+2sin (1cos )R θθ-2(sin cos 2sin cos )R θθθθ=+-． ……………………………………………………8分（2）∵2122(sin cos 2sin cos )sin cos 12sin cos 2sin cos S R S R θθθθθθθθθθ+-+==-，………………………………10分令sin cos t θθ+=∈，则22sin cos 1t θθ=-．∴12211111S t S t t t=-=---． (12)分∴12S S 的最小值为1．…………………………………………………………………………14分18．（1）直线AM的斜率为1时，直线AM ：2y x =+， ……………………………………………1分代入椭圆方程并化简得：2516120x x ++=， ……………………………………………2分解之得1262,5x x =-=-，∴64(,)55M -． ……………………………………………………4分（2）设直线AM 的斜率为k ，则AM ：(2)y k x =+，则22(2),1,4y k x x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩ 化简得：2222(14)161640k x k x k +++-=．……………………………6分∵此方程有一根为2-，∴222814M k x k -=+， ………………………………………………………7分同理可得22284N k x k -=+．……………………………………………………………………………8分由（1）知若存在定点，则此点必为6(,0)5P -．…………………………………………………9分∵2222228(2)5146286445145M MPM k k y k k k k k x k -++===--+++，…………………………………………………11分同理可计算得2544PN kk k =-．……………………………………………………………………13分∴直线MN 过x 轴上的一定点6(,0)5P -． …………………………………………………………16分19．（1）∵112133n na a +=+，∴1111133n n a a +-=-，……………………………………………………2分 且∵1110a -≠，∴110()*N nn a -≠∈， …………………………………………………………3分 ∴数列11n a ⎧⎫-⎨⎬⎩⎭为等比数列． ………………………………………………………………………4分 （2）由（1）可求得11211()33n n a --=⨯，∴112()13n n a =⨯+．………………………………………5分 2121111112()333n n n S n a a a =+++=++++111133211313n n n n +-=+⋅=+--，………………7分若100n S <，则111003n n +-<，∴max 99n =．…………………………………………………9分（3）假设存在，则22,(1)(1)(1)m n s m n s a a a +=-⋅-=-， …………………………………………10分∵332nn na =+，∴2333(1)(1)(1)323232n m s n m s -⋅-=-+++．………………………………………12分化简得：3323m n s +=⋅，………………………………………………………………………………13分∵33223m n s+≥=⋅，当且仅当m n=时等号成立．………………………………………15分又,,m n s 互不相等，∴不存在． ………………………………………………………………………16分20．∵ ()x xx x g x f ln 12)(--=-， 令xxx x h ln 12)(--=，∵02221121)(222>-+=-+='xxx x x x h ，……………………………2分 ∴)(x h 在],1[e 上单调增，∴]112,21[)(---∈ee x h ．……………………………………………3分∴1)()(≤-x g x f ，即在区间[],1[e ]上()x f 能被()x g 替代．…………………………………4分 （2）令()()()ln t x f x g x x x =-=-．11()1x t x x x-'=-=，………………………………………………………………………………5分且当1x <时，()0t x '<；当1x >时，()0t x '>，…………………………………………………6分()(1)1t x t ∴≥=，即()()ln 1f x g x x x -=-≥，…………………………………………………7分∴()x f 在1(,)(1)m m m>上不能被()x g 替代． ……………………………………………………8分（3）∵()x f 在区间],1[e 上能被()x g 替代，即1)()(≤-x g x f 对于],1[e x ∈恒成立．∴121ln 2≤-+-x x ax x a ． 121ln 12≤-+-≤-x x ax x a ， ………………………………9分由（2）的知，当],1[e x ∈时，0ln >-x x 恒成立， ∴有①xx x x a ln 1212-+-≤ ，…………………………………………………………………………10分 令xx x x x F ln 121)(2-+-=， ∵22)ln ()121)(11()ln )(1()(x x x x x x x x x F -+-----='2)ln ()1ln 121)(1(x x x x x x ---+-=， 由（1）的结果可知111ln 02x x x+-->，……………………………………………………………11分 ∴)(x F '恒大于零，∴21≤a ．…………………………………………………………………………12分 ②xx x x a ln 1212---≥，…………………………………………………………………………………13分令xx x x x G ln 121)(2---=，∵22)ln ()121)(11()ln )(1()(x x x x x x x x x G -------='2)ln ()1ln 121)(1(x x x x x x -+-+-=， ∵11111ln 1ln 022x x x x x x+-+>+-->，…………………………………………………………14分∴)(x G '恒大于零，∴)1(2222---≥e e e a ， …………………………………………………………15分即实数a的范围为)1(222212---≥≥e e e a ． …………………………………………………………16分无锡市秋学期高三期末考试评分标准数学加试题1．设(,,2)OM OC o λλλ==，…………………………………………………………………………2分∴(1,,22)MA MO OA λλ=+=--， (3)分(2,2,2)MB MO OB λλ=+=--， ……………………………………………………………4分∴22(2)2(22)562MA MB λλλλλλ⋅=----=-+ ………………………………………6分2315()55λ=-+， …………………………………………………………………………8分∴当35λ=时，MA MB ⋅最小．此时36(0,,)55M ． ………………………………………………10分2．（1）X…………………………………………………………………………………………………………………6分 （2）6911()0121122222E X =⨯+⨯+⨯=， ……………………………………………………………8分2291115()122222444V X =⨯+⨯-=．…………………………………………………………………10分 3．（1）1rn r r r n T C -+=， ……………………………………………………………………１分x 的指数为032n r r --+=，…………………………………………………………………………２分3(n x+的展开式中的常数项为第五项，∴4r =，…………………………………………3分解得：10n =． ……………………………………………………………………………………４分（2）10110rr rr T C -+=，其系数为10102r r C -⋅．…………………………………………………５分设第1k +项的系数最大，则1019101010111101022,22,k k k k k k k kC C C C -+----⎧⋅≥⋅⎨⋅≥⋅⎩ ………………………………………………６分 化简得：2(1)10,112,k k k k +≥-⎧⎨-≥⎩ 即811,33k ≤≤∴3k =，………………………………………………８分即第四项系数最大，553766410215360T C xx --=⋅⋅=．…………………………………………………１０分4．当1n =时，1052318+⨯+=，∴8m ≤，……………………………………………………………2分下证1523 1.()*N n n n -+⨯+∈能被8整除． ……………………………………………………………3分1、当1n =时已证；…………………………………………………………………………………………4分2、假设当()*N n k k =∈时命题成立，即15231k k -+⨯+能被8整除．………………………………5分 则当1n k =+时，11523155631k k k k +-+⨯+=⋅+⋅+ ……………………………………………………6分11(5231)4(53)k k k k --=+⋅+++， ……………………………………………………7分∵15231k k -+⨯+能被8整除，而153k k -+为偶数， ∴14(53)k k -+也能被8整除．即当1n k =+时命题也成立．………………………………………………8分 由1、2得m的最大值为8． ………………………………………………………………………………10分。
2016年秋学期无锡市普通高中高三数学期末考试试卷一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，共70分）1、设集合{}0>=x x A ，{}21≤<-=x x B ，则=B A ． 2、已知复数iz -=12，其中i 为虚数单位，则复数z 的共轭复数为 ． 3、命题“422≥≥∀x x ,”的否定是 ．4、从3男2女共5名学生中任选2名参加座谈会，则选出的2人恰好为1男1女的概率 为 ．5、根据如图所示的伪代码可知，输出的结果为 ．6、已知向量),(),,(1112-==，若-与m +垂直，则实数m 的值为 ．7、设不等式表示⎪⎩⎪⎨⎧≤+≤-≥401y x y x x 表示的平面区域为M ，若直线2-=kx y 存在M 内的点，则实数k 的取值范围为 ．8、已知函数⎩⎨⎧<>-=032x x g x x f x ),(,)(是奇函数，则=-))((2g f ．9、设公比不为1的等比数列{}n a 满足81321-=a a a ，且342a a a ,,成等差数列，则数列{}n a 的前4项和为 ．10、设函数)cos(cos sin )(232π+-=x x x x f ，则函数)(x f 在区间],[20π上的单调增 区间为 ．11、已知圆锥的侧面展开图是一个圆心角︒120为且面积为π3的扇形，则该圆锥的体积等 于 ．12、设点P 是有公共焦点21F F ,的椭圆1C 与双曲线2C 的一个交点，且21PF PF ⊥，椭圆1C 的离心率为1e ，双曲线2C 的离心率为2e ，若123e e =，则=1e ．13、若函数)(x f 在区间)](,[n m n m <上的值域恰好是],[n m ，则称区间为],[n m 函数)(x f 的一个“等值映射区间”．下列函数：①12-=x y ；②x y 22log +=；③12-=xy ；④11-=x y ，其中存在唯一一个“等值映射区间”的函数有 个． 1←i 2-←S While 8<i 2+←i i S i S +←3 End Whlie int Pr S14、已知200>>>c b a ,,，且2=+b a ，则252-+-+c c ab c b ac 的最小值为 ． 二、解答题（本大题共6小题，共90分．解答应写出必要的文字说明、证明 或演算步骤）15、在ABC ∆中，角C B A ,,所对的边分别为c b a ,,，且122=++CB A cos sin ，D 为BC 上一点，且AC AB AD 4341+=． （1）求A sin 的值；（2）若524==b a ,，求AD 的长．16、在四棱锥ABCD P -中，底面ABCD 为矩形，⊥AP 平面PCD ，F E ,分别为AB PC , 的中点．（1）求证：平面⊥PAD 平面ABCD ；（2）求证：//EF 平面PAD ．17、某地拟在一个U 形水面)(︒=∠=∠90B A PABQ 上修一条堤坝EN （E 在AP 上，N 在BQ 上），围出一个封闭区域EABN ，用以种植水生植物．为美观起见，决定从AB上点M 处分别向点N E ,拉2条分隔线MN ME ,将所围区域分成3个部分（如图），每部 分种植不同的水生植物．已知︒=∠==90MEN BM EM a AB ,,，设所拉分隔线总长度 为l ．（1）设θ2=∠AME ，求用θ表示l 的函数表达式，并写出定义域；；（2）求l 的最小值．18、已知椭圆13422=+y x ，动直线l 与椭圆交于C B ,两点（点B 在第一象限）． （1）若点B 的坐标为),(231，求OBC ∆的面积的最大值；（2）设),(),,(2211y x C y x B ，且0321=+y y ，求当OBC ∆的面积最大时直线l 的方程．19、数列{}n a 的前n 项和为n S ，21=a ，)(r na S n n +=3（R ∈r ，*∈N n ）． （1）求r 的值及数列{}n a 的通项公式； （2）设nn a n b =（*∈N n ），记{}n b 的前n 项和为n T ． ①当*∈N n 时，n n T T -<2λ恒成立，求实数λ的取值范围； ②求证：存在关于n 的整式)(n g ，使得1111-⋅=+∑-=)()(n g T Tn n i i对一切2≥n ，*∈N n 都成立．20、已知函数)()(R ∈++=m mx x x f 12，x e x g =)(．（1）当],[20∈x 时，)()()(x g x f x F -=为增函数，求实数m 的取值范围； （2）若),(01-∈m ，设函数)()()(x g x f x G =，4541+-=x x H )(，求证：对任意],[,m x x -∈1121，)()(21x H x G ≤恒成立；2016年秋学期无锡市普通高中期末考试试卷高三数学（加试题）说明：解答时，应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 21.（本题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程设极坐标系的极点为直角坐标系的原点，极轴为x 轴的正半轴.已知曲线C 的极坐标方程为8sin ρθ=（1）求曲线C 的直角坐标方程； （2）设直线,2,x t y t =⎧⎨=+⎩（t 为参数）与曲线C 交于A,B 两点，求AB 的长.22.（本题满分10分）选修4-2：矩阵与变换 已知变换T 将平面上的点()11,,0,12⎛⎫ ⎪⎝⎭分别变换为点93,2,,442⎛⎫⎛⎫-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.设变换T 对应的矩阵为M.（1）求矩阵M ；（2）求矩阵M 的特征值.23.（本题满分10分）某小区停车场的收费标准为：每车每次停车时间不超过2小时免费，超过2小时的部分每小时收费1元（不足1小时的部分按1小时计算）.现有甲乙两人独立来停车场停车（各停车一次），且两人停车时间均不超过5小时.设甲、乙两人停车时间（小时）与取车概率如下表所示.（1）求甲、乙两人所付车费相同的概率；（2）设甲、乙两人所付停车费之和为随机变量ξ，求ξ的分布列和数学期望E ξ.24.（本题满分10分）如图，四棱锥P ABCD -中，PA ⊥平面ABCD ，四边形ABCD 为直角梯形，//,90,1,2,,,AD BC BAD CBA PA AB BC AD E F G ∠=∠=====分别为,,BC PD PC 的中点.（1）求EF 与DG 所成角的余弦值；（2）若M 为EF 上一点，N 为DG 上一点，是否存在MN,使得M N ⊥平面PBC?若存在，求出点M,N 的坐标；若不存在，请说明理由.。
江苏省无锡市第三高级中学高三数学理下学期期末试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。
在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. 在平面直角坐标系xOy中，已知点，动点P满足，其中，则点P落在三角形ABD里面的概率为( )A. B. C. D.参考答案：A【分析】以，为邻边做平行四边形，延长至E，使得，由已知即可判断P点位于平行四边形的内部（包含边界），再利用几何概型概率计算公式得解。
【详解】以，为邻边做平行四边形，延长至E，使得，∵，且，∴P点位于平行四边形内部（包含边界），则点P落在三角形里面的概率，故选：A.【点睛】本题主要考查了向量加法的平行四边形法则，还考查了向量的数乘运算，考查了几何概型概率计算及转化能力，属于难题。
2. 已知函数f（x）=ax2﹣1的图象在点A（1，f（1））处的切线l与直线8x﹣y+2=0平行，若数列{}的前n项和为S n，则S2015的值为( )A．B．C．D．参考答案：C【考点】数列的求和；利用导数研究曲线上某点切线方程．【专题】数形结合；转化思想；导数的概念及应用；等差数列与等比数列．【分析】函数f（x）=ax2﹣1的图象在点A（1， f（1））处的切线l与直线8x﹣y+2=0平行，可得f′（x）|x=1=（2ax）|x=1=2a=8，解得a．可得f（x）=4x2﹣1，==．利用“裂项求和”即可得出．【解答】解：∵函数f（x）=ax2﹣1的图象在点A（1，f（1））处的切线l与直线8x﹣y+2=0平行，∴f′（x）|x=1=（2ax）|x=1=2a=8，解得a=4．∴f（x）=4x2﹣1，f（n）=4n2﹣1．∴==．∴数列{}的前n项和为S n=+…+==．则S2015=．故选：C．【点评】本题考查了利用导数研究切线、“裂项求和”，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．3. 设x，y满足约束条件，若的最大值为6，则的最大值为（）A．B．2 C. 4 D．5参考答案：C4. 已知sin（α+）+cos（α﹣）=﹣，﹣＜α＜0，则cos（α+）等于（）A．﹣B．﹣C．D．参考答案：C【考点】三角函数的化简求值．【分析】利用和与差的正弦公式、诱导公式对已知等式进行变形转换，得到：sin（α+）+cos（α﹣）=sin（α+），然后再利用诱导公式将cos（α+）转化为﹣sin（α+）的形式，即可解答．【解答】解：∵sin（α+）+cos（α﹣）=sinαcos+cosαsin+sinα=sinα+cosα=（sinα+cosα）=sin（α+）=﹣，∴sin（α+）=﹣．又cos（α+）=cos（α++）=﹣sin（α+），∴cos（α+）=．故选：C．5. 函数的零点个数是(A)0 (B)l (C)2 (D)4参考答案：C略6. 观察下列等式：，，，记.根据上述规律，若，则正整数n的值为（）A. 8B. 7C. 6D. 5参考答案：D【分析】由规律得再解方程即可【详解】由已知等式规律可知，当时，可得.故选D【点睛】本题考查归纳推理，熟记等差数列求和公式是关键，考查观察转化能力，是基础题7.设全集且,,则等于A． B．C．D．参考答案：答案：C8. 如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某几何体的三视图，若该几何体的各个顶点在某一个球面上，则该球的表面积为（）A．B．12πC．48πD．参考答案：B【考点】LG：球的体积和表面积；L7：简单空间图形的三视图．【分析】判断几何体的特征，正方体中的三棱锥，利用正方体的体对角线得出外接球的半径求解即可．【解答】解：三棱锥补成正方体，棱长为2，三棱锥与正方体的外接球是同一球，半径为R==，∴该球的表面积为4π×3=12π，故选B．9. 设复数，，则（）A． B． C． D．参考答案：D10. 由0，1，2，3，4这5个数字组成没有重复数字且个位上的数字不能为1的3位数共有A．28个B．36个C．39个D．42个参考答案：C略二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11. 在△ABC中，已知,，BC边上的中线，则________．参考答案：【分析】根据图形，由中线长定理可得：，再利用余弦定理可得：解得的值，再次利用余弦定理求解出，根据同角三角函数关系解得．【详解】解：如图所示，由中线长定理可得：，由余弦定理得到：，即．联立成方程组，解得：，故由可得，．故答案为：【点睛】本题考查了余弦定理的知识，方程思想是解决本题的关键.12.数列所有项的和为，第二项及以后各项的和为，第三项及以后各项的和为，第项及以后各项的和为，若，，,…,,则等于．参考答案：13. 若双曲线的渐近线方程为，则双曲线的离心率为.参考答案：14. (坐标系与参数方程选做题) 圆C 的极坐标方程化为直角坐标方程为，该圆的面积为 ．参考答案： 1,将方程两边都乘以得:,化成直角坐标方程为.半径为1,面积为.15. 右图中的三个直角三角形是一个体积为20cm3的几何体的三视图，则h=______cm.参考答案：略16. 已知△ABC 三内角的正弦值等于△A 1B 1C 1的三内角的余弦值，角A 、B 、C 所对应的边为a 、b 、c ，且A 为钝角，a=2， b=2，则△ABC 的面积为__．参考答案：217. 某单位为了制定节能减排目标，先调查了用电量（单位：度）与气温（单位：）之间的关系，随机统计了某天的用电量与当天气温，并制作了对照表：由表中数据，得线性回归直线方程，当气温不低于时，预测用电量最多为 度. 参考答案：三、 解答题：本大题共5小题，共72分。
无锡市普通高中2019年秋学期高三期终调研考试卷数学 2020.1注意事项及说明：本卷考试时间为120分钟，全卷满分160分.一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分.不需要写出解答过程，请把答案直接填写在答题卡相应位置上.1.集合{|21,}A x x k k Z ==-∈，{1,2,3,4}B =，则A B =I _____. 答案：{1,3}解：因为21,k k Z -∈表示为奇数，故A B =I {1,3}2.已知复数z a bi =+(,)a b R ∈，且满足9iz i =+（其中i 为虚数单位），则a b +=____. 答案：-8解：2iz ai bi b ai =+=-+，所以1,9a b ==-，所以8a b +=-3.某校高二（4）班统计全班同学中午在食堂用餐时间，有7人用时为6分钟，有14人用时7分钟，有15人用时为8分钟，还有4人用时为10分钟，则高二（4）班全体同学用餐平均用时为____分钟. 答案：7.5 解：76+147+1584107.5714154⨯⨯⨯+⨯=+++4.函数()(1)3x f x a =--(1,2)a a >≠过定点________. 答案： (0,2)-解：由指数函数的性质，可得()(1)3x f x a =--过定点(0,2)-5.等差数列{}n a （公差不为0），其中1a ，2a ，6a 成等比数列，则这个等比数列的公比为_____. 答案：4解：设等差数列{}n a 的公差为d ，由题意得: 2216a a a =，则2111(+)(5)a d a a d =+ 整理得13d a =，2114a a d a =+=，所以21=4a a6.小李参加有关“学习强国”的答题活动，要从4道题中随机抽取2道作答，小李会其中的三道题，则抽到的2道题小李都会的概率为_____.答案：12解：23241=2CC7.在长方体1111ABCD A B C D-中，1AB=,2AD=，11AA=，E为BC的中点，则点A到平面1A DE的距离是______.答案：6解：1111211=323A ADES-=⨯⨯⨯⨯三棱锥，11623=2A DES∆=⨯⨯1161=33A A DES h-=⨯⨯三棱锥，解得6=h8.如图所示的流程图中，输出n的值为______.答案：49.圆22:(1)(2)4C x y++-=关于直线21y x=-的对称圆的方程为_____.答案：22(3)4x y-+=解：22:(1)(2)4C x y++-=的圆心为(1,2)-，关于21y x=-对称点设为(,)x y则有：2121222112y xyx+-⎧=⨯-⎪⎪⎨-⎪=-⎪+⎩，解得3xy=⎧⎨=⎩，所以对称后的圆心为(3,0)，故22(3)4x y-+=.10.正方形ABCD 的边长为2，圆O 内切与正方形ABCD ，MN 为圆O 的一条动直径，点P 为正方形ABCD 边界上任一点，则PM PN ⋅u u u u r u u u r的取值范围是______.答案：[0,1]11.双曲线22:143x y C -=的左右顶点为,A B ，以AB 为直径作圆O ，P 为双曲线右支上不同于顶点B 的任一点，连接PA 角圆O 于点Q ，设直线,PB QB 的斜率分别为12,k k ，若12k k λ=，则λ=_____.答案：34-12.对于任意的正数,a b ，不等式222(2)443ab a k b ab a +≤++恒成立，则k 的最大值为_____. 答案：2213.在直角三角形ABC 中，C ∠为直角，45BAC ∠>o ，点D 在线段BC 上，且13CD CB =,若1tan 2DAB ∠=，则BAC ∠的正切值为_____. 答案：314.函数22()|1|9f x x x kx =-+++在区间(0,3)内有且仅有两个零点，则实数k 的取值范围是_____.二、解答题：本大题共6小题，共计90分．请在答题卡指定区域．．．．．．．内作答．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤 15. （本小题满分14分）在ABC ∆中，角,,A B C 所对的分别为,,a b c ，向量(23,3)m a b c =-u r，向量(cos ,cos )n B C =r ，且m n u r r ∥.（1）求角C 的大小；（2）求sin +3sin()3y A B π=-的最大值.16. （本小题满分14分）在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是平行四边形，O 为其中心，PAD ∆为锐角三角形，且平面PAD ⊥底面ABCD ，E 为PD 的中点，CD DP ⊥. （1）求证：OE ∥平面PAB ； （2）求证：CD PA ⊥.17. （本小题满分14分）已知椭圆2222:1x y C a b+=(0)a b >>的左右焦点分别为12,F F ，焦距为4，且椭圆过点5(2,)3，过点2F 且不行与坐标轴的直线l 交椭圆与,P Q 两点，点Q 关于x 轴的对称点为R ，直线PR 交x 轴于点M . （1）求1PFQ ∆的周长； （2）求1PF M ∆面积的最大值.18. （本小题满分16分）一酒企为扩大生产规模，决定新建一个底面为长方形MNPQ的室内发酵馆，发酵馆内有一个无盖长方体发酵池，其底面为长方形ABCD(如图所示),其中AD≥AB.结合现有的生产规模，设定修建的发酵池容积为450米3,深2米.若池底和池壁每平方米的造价分别为200元和150元，发酵池造价总费用不超过65400元(1)求发酵池AD边长的范围;(2)在建发酵馆时，发酵池的四周要分别留出两条宽为4米和b米的走道(b为常数).问:发酵池的边长如何设计，可使得发酵馆古地面积最小.19.（本小题满分16分）已知{}n a ，{}n b 均为正项数列，其前n 项和分别为n S ，n T ，且112a=，11b =，22b =，当2n ≥，*n N ∈时，112n n S a -=-，2211112()2n n n n n n T T b T b b --+--=-+. （1）求数列{}n a ，{}n b 的通项公式； （2）设2(2)n nn n nb ac b b +=+，求数列{}n c 的前n 项和n P .20.（本小题满分16分）设函数()ln f x x ax =-，a R ∈，0a ≠. （1）求函数()f x 的单调区间；（2）若函数()0f x =有两个零点1x ，2x （12x x <）. （Ⅰ）求a 的取值范围； （Ⅱ）求证：12x x ⋅随着21x x 的增大而增大.附加题，共40分21．【选做题】本题包括A，B两小题，每小题10分，共计20分，解答时应写出文字说明，证明过程或演算步骤．A．选修4—2：矩阵与变换已知a，b R∈，矩阵A＝a bc d⎡⎤⎢⎥⎣⎦，若矩阵A属于特征值5的一个特征向量为11⎡⎤⎢⎥⎣⎦，点P(﹣2，1)在A对应的变换作用下得到点P′(﹣1，2)，求矩阵A．B．选修4—4：坐标系与参数方程已知曲线C1：4cos4sinxyθθ=⎧⎨=⎩，（其中θ为参数），以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为cos()233πρθ-=，设曲线C 1与曲线C2交于A，B两点，求AB的长．【必做题】第22题、第23题，每题10分，共计20分，解答时应写出文字说明，证明过程或演算步骤．22．（本小题满分10分）如图，矩形ABCD所在的平面垂直于平面AEB，O为AB的中点,∠AEB＝90°，∠EAB＝30°，AB＝23，AD＝3．（1）求异面直线OC与DE所成角的余弦值；（2）求二面角A—DE—C的正弦值．23．（本小题满分10分）对于任意的x ＞1，N n *∈，用数学归纳法证明：1nx x e n ->！．。
2021～2022学年高三年级期末试卷（无锡）数 学(满分：150分 考试时间：120分钟)一、 单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1. 已知集合A ＝{x |－3≤x ＜4}，B ＝{y |y ＝2x 2＋1，x ∈R }，则(∁R A )∩B ＝ ( ) A. [1，4) B. [4，＋∞)C. [－3，＋∞)D. (－∞，－3)∪[4，＋∞)2. 已知a ＋3i1＋i(i 为虚数单位，a ∈R )为纯虚数，则a ＝( )A. －1B. 1C. －3D. 33. 某年的足球联赛上，甲队每场比赛平均失球数是1.5个，全年比赛失球个数的标准差为1.4；乙队每场比赛平均失球数是2.3个，全年比赛失球个数的标准差为0.3，下列说法正确的是 ( )A. 甲、乙两队相比，乙队很少失球B. 甲队比乙队技术水平更稳定C. 平均来说，甲队比乙队防守技术好D. 乙队有时表现很差，有时表现又非常好4. 已知函数f (x )＝(x －1x)·ln |x |，则函数y ＝f (x )的图象可能是( )5. 已知点P 在圆x 2＋y 2＝1上，点A 的坐标为(－2，－1)，O 为坐标原点，则AO →·AP →的最小值等于 ( )A. 3B. 5－5C. 4D. 5＋ 56. 在正方体ABCDA 1B 1C 1D 1中，M 是正方形ABCD 的中心，则直线B 1M 与平面A 1C 1B 所成角的正弦值为 ( )A. 13B. 33C. 63D. 2237. 已知F 1，F 2是双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的左、右焦点，A 1，A 2是双曲线C的左、右顶点，点P 是双曲线C 左支上的一点，以A 1A 2为直径的圆与PF 2相切于点M ，若M 恰为PF 2的中点，则双曲线C 的渐近线方程为( )A. y ＝±2xB. y ＝±xC. y ＝±3xD. y ＝±2x8. 在△ABC 中，角A ，B ，C 所对应的边分别为a ，b ，c ，设△ABC 的面积为S ，则S a 2＋4bc 的最大值为 ( )A.216 B. 312 C. 316 D. 218二、 多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．9. 已知e b ＜e a ＜1则下列结论正确的是 ( )A. a 2＜b 2B. b a ＋ab＞2C. ab ＞b 2D. lg a 2＜lg (ab )10. 将一枚质地均匀的硬币先后抛掷两次，下列说法正确的有 ( ) A. 至少一次正面朝上的概率是34B. 恰有一次正面朝上的概率与恰有两次正面朝上的概率一样C. 一次正面朝上、一次反面朝上的概率是14D. 在第一次正面朝上的条件下，第二次正面朝上的概率是1211. 高斯被认为是历史上最重要的数学家之一，并享有“数学王子”之称．有这样一个函数就是以他名字命名的：设x ∈R ，用[x ]表示不超过x 的最大整数，则f (x )＝[x ]称为高斯函数，又称为取整函数．如：f (2.3)＝2，f (－3.3)＝－4.则下列结论正确的是 ( )A. 函数f (x )是R 上的单调递增函数B. 函数g (x )＝f (x )－23x 有2个零点C. f (x )是R 上的奇函数D. 对于任意实数a ，b ，都有f (a )＋f (b )≤f (a ＋b )12. 已知平面直角坐标系中两点A (x 1，y 1)和B (x 2，y 2)，用以下方式度量A ，B 两点距离：d (A ，B )＝|x 1－x 2|＋|y 1－y 2|，则下列说法正确的是 ( )A. 在平面直角坐标系中，A (－3，0)，N (2，0)，满足d (A ，N )＝d (A ，C )＋d (N ，C )的点C 的横坐标的取值范围是[－3，2]B. 在平面直角坐标系中，任意取三点A ，B ，C ，d (A ，B )≤d (A ，C )＋d (B ，C )恒成立C. 在平面直角坐标系中，点O 是坐标原点，则满足d (O ，P )＝1的点P (x ，y )所形成的图形是圆D. 在平面直角坐标系中，点M 在y 2＝4x 上，N (2，0)，则满足d (M ，N )＝3的点M 共有4个三、 填空题；本题共4小题，每小题5分，共20分．13. 若(x ＋a 3x)6的展开式中x 2的系数为160，则实数a 的值为________．14. 已知△ABC 是边长为1的等边三角形，点D 在边BC 上，且BD →＝13BC →，E 为AD 的中点，则|BE →|＝________．15. 设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若S 10＞S 11＞S 9，则满足S n ·S n ＋1＜0的正整数n 的值为________．16. 已知正四面体ABCD 的棱长为12，在平面BCD 内有一动点P ，且满足AP ＝63，则点P 的轨迹是________；设直线AP 与直线BC 所成的角为θ，则cos θ的取值范围是________．四、 解答题：本题共6小题，共70分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．17. (本小题满分10分)已知数列{a n }中，a 1＝2，a 2＝3，其前n 项和S n 满足S n ＋1＋S n －1＝2S n ＋1(n ≥2，n ∈N *). (1) 求数列{a n }的通项公式；(2) 若b n ＝log 2a n ·2nn ，求数列{b n }的前n 项和T n .18. (本小题满分12分)在△ABC中，角A，B，C所对应的边分别为a，b，c，已知a＝3，tan A＝3，________．请在①c sin A＝3cos C；② (sin A－sin B)2＝sin2C－sin A·sin B这两个条件中任选一个，补充在上面的横线中并加以解答．(1) 求角C的大小；(2) 求△ABC的面积．(注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．)19. (本小题满分12分)近日，中华人民共和国应急管理部公布了《高层民用建筑消防安全规定》．其中提到：在公共门厅等地停放电动车或充电，拒不改正的个人，最高可处以1 000元罚款．为了研究知晓规定是否与年龄有关，某市随机抽取125名市民进行抽样调查，得到如下2×2列联表：参考公式和数据：K2＝n（ad－bc）2（a＋b）（c＋d）（a＋c）（b＋d），其中n＝a＋b＋c＋d.(1) 根据以上统计数据，是否有99%的把握认为知晓规定与年龄有关？(2) 将上述调查所得的频率视为概率，现在从本地所有市民中，采用随机抽样的方法抽取4位市民，记被抽取的4位市民中知晓规定的人数为X，求X的分布列及数学期望．20. (本小题满分12分)如图，在多面体ABCDEF中，底面ABCD为菱形，∠BAD＝60°，ED⊥平面ABCD，FB⊥平面ABCD，DE＝AD＝2BF＝2.(1) 求证：CF∥平面ADE；(2) 求二面角AEFC的正弦值．21. (本小题满分12分)已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的离心率为12，点A (－1，32)在椭圆C 上，点P 是y 轴正半轴上的一点，过椭圆C 的右焦点F 和点P 的直线l 与椭圆C 交于M ，N 两点．(1) 求椭圆C 的标准方程；(2) 求PM ＋PN PF 的取值范围．22. (本小题满分12分)已知函数f (x )＝e x －1e x ＋1(e 为自然对数的底数).(1) 若不等式f (x )＞e －1e ＋1恒成立，求实数x 的取值范围；(2) 若不等式f (x )＜ax ＋13－a ln 2在x ∈(ln 2，＋∞)上恒成立，求实数a 的取值范围．2021～2022学年高三年级期末试卷(无锡)数学参考答案及评分标准1. B2. C3. C4. A5. B6. D7. D8. A9. ABD 10. AD 11. BD 12. ABD 13. 2 14.136 15. 20 16. 圆 [0，13] 17. 解：(1) 由题得S n ＋1－S n ＝S n －S n －1＋1(n ≥2)，即a n ＋1－a n ＝1(n ≥2).因为a 2－a 1＝1，所以a n ＋1－a n ＝1(n ≥1)，(3分)所以数列{a n }是以2为首项，1为公差的等差数列，则a n ＝n ＋1.(5分) (2) 由题b n ＝log 2(n ＋1n ·2n )＝log 2n ＋1n＋n ，T n ＝(log 221＋log 232＋…＋log 2n ＋1n )＋(1＋2＋3＋…＋n )＝log 2(21×32×…×n ＋1n )＋n （n ＋1）2＝log 2(n ＋1)＋n （n ＋1）2.(10分)18. 解：(1) 选择①，由正弦定理，得a sin C ＝c sin A . ∵c sin A ＝3cos C ，∴a sin C ＝a 2cos C ，∴ tan C ＝a ＝ 3.(3分) 又C ∈(0，π)，C ＝π3.(5分)选择②，由题意，角化边得a 2－2ab ＋b 2＝c 2－ab ， 整理得cos C ＝12.(3分)又C ∈(0，π)，C ＝π3.(5分)(2) ∵ tan A ＝3，∴ sin A ＝31010，cos A ＝1010.(7分)由正弦定理，得c ＝a sin C sin A ＝3×32×103＝102.(8分)在△ABC 中，sin B ＝sin (A ＋π3)＝30＋31020，(10分)∴S ＝12ac sin B ＝3（3＋1）8.(12分)19. 解：(1)K 2＝n （ad －bc ）2（a ＋b ）（c ＋d ）（a ＋c ）（b ＋d ）＝125×（16×66－9×34）225×100×75×50＝7.5>6.635，所以有99%的把握认为知晓规定与年龄有关．(4分)(2) 由2×2列联表可知，抽到知晓规定的市民的频率为25125＝15，将频率视为概率，即从市民中任意抽取到一名知晓规定的市民的概率为15.由于总体容量很大，故X 可视作服从二项分布，即X ～B (4，15), (6分)所以P (X ＝k )＝C k 4 (15)k (45)4－k(k ＝0，1，2，3，4). 从而X 的分布列为所以X 的数学期望为E (X )＝4×15＝45.(12分)20. (1) 证明：∵DE ⊥平面ABCD ，FB ⊥平面ABCD ，∴BF ∥DE . ∵BF ⊄平面ADE ，DE ⊂平面ADE ，∴BF ∥平面ADE . ∵ 四边形ABCD 为菱形，∴BC ∥AD .∵BC ⊄平面ADE ，AD ⊂平面ADE ，∴BC ∥平面ADE . ∵BF ∩BC ＝B ，BF ⊂平面BCF ，BC ⊂平面BCF ， ∴ 平面BCF ∥平面ADE .∵FC ⊂平面BCF .∴CF ∥平面ADE .(5分) (2) 解：取BC 的中点M ，连接BD . ∵ 四边形ABCD 为菱形，∠BAD ＝60°，∴△BCD 为等边三角形，∴DM ⊥BC . ∵AD ∥BC ，∴DM ⊥AD .∵ED ⊥平面ABCD ，∴DA ，DM ，DE 两两垂直．以{DA →，DM →，DE →}为正交基底建立空间直角坐标系Dxyz .(6分) ∴EC →＝(－1，3，－2)，EF →＝(1，3，－1). 设平面ECF 的法向量为n 1＝(x 1，y 1，z 1)， ∴n 1⊥EC →，n 1⊥EF →，∴⎩⎪⎨⎪⎧n 1·EC →＝－x 1＋3y 1－2z 1＝0，n 1·EF →＝x 1＋3y 1－z 1＝0，取x 1＝1，得z 1＝－2，y 1＝－3，∴ 平面ECF 的一个法向量n 1＝(1，－3，－2).(8分)又AE →＝(－2，0，2)，AF →＝(－1，3，1)，设平面AEF 的法向量为n 2＝(x 2，y 2，z 2). ∴⎩⎪⎨⎪⎧n 2·AE →＝－2x 2＋2z 2＝0，n 2·AF →＝－x 2＋3y 2＋z 2＝0，取x 2＝1，得y 2＝0，z 2＝1，∴平面AEF 的一个法向量为n 2＝(1，0，1).(10分)∴ cos 〈n 1，n 2〉＝n 1·n 2|n 1||n 2|＝1＋0－21＋3＋41＋1＝－14，sin 〈n 1，n 2〉＝1－cos 2〈n 1，n 2〉＝154，即二面角AEFC 的正弦值为154.(12分) 21．解：(1) 设椭圆C 的焦距为2c ，由已知可得⎩⎪⎨⎪⎧c a ＝12，1a 2＋94b 2＝1，a 2＝b 2＋c 2，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2，b ＝3，c ＝1， 所以椭圆C 的标准方程为x 24＋y 23＝1.(4分)(2) 由已知直线l 的斜率k 存在且k <0，设直线l 的方程为y ＝k (x －1)， 代入椭圆方程得(3＋4k 2)x 2－8k 2x ＋4k 2－12＝0，(*) 显然Δ>0恒成立，设M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)， 则x 1＋x 2＝8k 23＋4k 2，x 1·x 2＝4k 2－123＋4k 2.(6分)过点M ，N 作y 轴的垂线，垂足分别为M ′，N ′，设原点为O ， 则PM ＋PZPF＝|x 1|＋|x 2|.(7分) 因为点P (0，－k )是y 轴正半轴上的一点，当点P 在椭圆外时，－k >3， 所以k <－3，此时|x 1|＋|x 2|＝x 1＋x 2＝8k 23＋4k 2＝83k 2＋4.因为k 2>3，所以4<3k 2＋4<5，所以|x 1|＋|x 2|∈(85，2)；(9分)当点P 在椭圆内时，0<－k <3，所以－3<k <0， |x 1|＋|x 2|＝|x 1－x 2|＝（x 1＋x 2）2－4x 1·x 2＝（8k 23＋4k 2）2－4（4k 2－12）3＋4k 2＝12k 2＋13＋4k 2. 设k 2＋1＝t ，则k 2＝t 2－1，且1<t <2，所以|x 1|＋|x 2|＝12t 3＋4（t 2－1）＝12t 4t 2－1＝124t －1t.因为函数y ＝4x －1x 在(1，2)上单调递增，所以4t －1t ∈(3，152)，所以|x 1|＋|x 2|＝12t 4t 2－1＝124t －1t∈(85，4)；(11分)当点P 是椭圆上顶点时，－k ＝3，此时|x 1|＋|x 2|＝x 1＋x 2＝8k 23＋4k 2＝85.综上，PM ＋PN PF 的取值范围是[85，4).(12分)22. 解：(1) 因为f (x )＝e x －1e x ＋1＝1－2e x ＋1，则f ′(x )＝2e x（e x ＋1）2>0，所以f (x )在R 上单调递增，所以f (x )>e －1e ＋1＝f (1)的解为x >1.(3分)(2) 因为F (x )＝f (x )－(ax ＋13－a ln 2)＝e x －1e x ＋1－ax －13＋a ln 2，所以F ′(x )＝e x （e x ＋1）－e x （e x －1）（e x ＋1）2－a ＝－a e 2x ＋2（a －1）e x ＋a（e x ＋1）2.(4分)令e x＝t >0，则F ′(t )＝－at 2＋2（a －1）t ＋a（t ＋1）2(t >0).令g (t )＝at 2＋2(a －1)t ＋a ，t >0.① 当a <0时，因为g (0)＝a <0，且对称轴在y 轴左边，所以g (t )<0，所以F ′(t )>0， 即F ′(x )>0，所以当x ∈(ln 2，＋∞)时，存在F (3)>F (ln 2)＝0，不满足题意；(5分)② 当a ＝0时，x ∈(ln 2，＋∞)时，存在F (3)＝23－2e 3＋1>0，不满足题意；(6分)③ 当a >0时，因为Δ＝4(a －1)2－4a 2＝4－8a ，所以当a ≥12时，Δ≤0，所以g (t )≥0，所以F ′(t )≤0，且F (ln 2)＝0，当x ∈(ln 2，＋∞)时，F (x )<0，满足题意；(7分)当0<a <12时，Δ>0，此时g (t )有2个零点，设为t 1，t 2，且t 1<t 2，因为t 1＋t 2＝2a－2>0，t 1t 2＝1，所以0<t 1<1<t 2.因为F (x )在(－∞，ln t 1)，(ln t 2，＋∞)上单调递减，在(ln t 1，ln t 2)上单调递增，由题意，ln t 2≤ln 2，即t 2≤2，所以0<t 1<1<t 2≤2，(9分)所以方程at 2＋2(a －1)t ＋a ＝0在(0，2]上有不等的两根．因为0<t 1<1<t 2，只需g (2)≥0，解得a ∈[49，12).(11分)综上，当a ∈[49，＋∞)时，不等式f (x )<ax ＋13－a ln 2在x ∈(ln 2，＋∞)上恒成立．(12分)。
高三（上）期末数学试卷参考答案与试题解析一、填空题：（本大题共14小题，每小题5分，共70分．请将答案填入答题纸填空题的相应答题线上．）22．（5分）已知i是虚数单位，则等于﹣i ．=．3．（5分）某中学高中一年级有400人，高中二年级有320人，高中三年级有280人，现从中抽取一个容量为200人的样本，则高中二年级被抽取的人数为64 ．=，高中二年级有320×=644．（5分）右边的程序语句运行后，输出的S为17 ．5．（5分）在△ABC中，∠A=45°，∠C=105°，BC=，则AC的长度为 1 ．，=得：AC=6．（5分）（2005•湖北）已知向量不超过5，则k的取值范围是[﹣6，2] ．常用的方法有：①若已知，则=；②若已知表示的有向线段的两端点坐标，则=|AB|=③构造关于的方程，解方程求7．（5分）已知P：|x﹣a|＜4；q：（x﹣2）（3﹣x）＞0，若¬p是¬q的充分不必要条件，则a的取值范围为﹣1≤a≤6．8．（5分）已知变量x，y满足约束条件，表示平面区域M，若﹣4≤a≤t时，动直线x+y=a所经过的平面区域M的面积为7．则t= 2 ．所表示的区域×4×4=8，×2×1=7．9．（5分）（2013•南充一模）已知圆C1：（X+1）2+（y﹣1）2=1，圆C2与圆C1关于直线X﹣Y ﹣1=0对称，则圆C2的方程为（x﹣2）2+（y+2）2=1 ．10．（5分）等差数列{a n}的公差为﹣2，且a1，a3，a4成等比数列，则a20= ﹣30 ．=a=a11．（5分）（2011•郑州三模）如图，过抛物线y2=2px（p＞0）的焦点F的直线l交抛物线于点A、B，交其准线于点C，若|BC|=2|BF|，且|AF|=3，则此抛物线的方程为y2=3x．．，而，，且，可求得，，且，12．（5分）设函数．若f（x）+f′（x）是奇函数，则φ= ．（．故答案为：13．（5分）定义一个对应法则f：P（m，n）→p′（m，2|n|）．现有直角坐标平面内的点A （﹣2，6）与点B（6，﹣2），点M是线段AB上的动点，按定义的对应法则f：M→M′．当点M在线段AB上从点A开始运动到点B时，点M的对应点M′经过的路线的长度为8．=故答案为：14．（5分）已知关于x的函数y=（t∈R）的定义域为D，存在区间[a，b]⊆D，f（x）的值域也是[a，b]．当t变化时，b﹣a的最大值= ．，=）=﹣二、解答题：（本大题共6小题，共90分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．）15．（14分）已知向量，向量，函数•．（Ⅰ）求f（x）的最小正周期T；（Ⅱ）若方程f（x）﹣t=0在上有解，求实数t的取值范围．﹣）根据，可得∈，]），上的解，即可求出实数）∵，sinx+cosx，﹣•sinx+=sin sinxcosx+x=sin2xsin2x+=sin）=）∵﹣，）∈，），上有解，上有解，可得实数的表达式并上有解的问题，着重考查了平面向量数16．（14分）如图，四棱锥P﹣A BCD中，底面ABCD为菱形，BD⊥面PAC，A C=10，PA=6，cos∠PCA=，M是PC的中点．（Ⅰ）证明PC⊥平面BMD；（Ⅱ）若三棱锥M﹣BCD的体积为14，求菱形ABCD的边长．，cos∠PCA=S×CM=PC=4PA=3=17．（14分）要制作一个如图的框架（单位：米），要求所围成的总面积为19.5（米2），其中ABCD是一个矩形，EFCD是一个等腰梯形，梯形高h=AB，tan∠FED=，设AB=x米，BC=y米．（Ⅰ）求y关于x的表达式；（Ⅱ）如何设计x，y的长度，才能使所用材料最少？l=2y+6x=+AB=x EH=，=xy+（x+x+=xy+，∴y=，∴中，∵tan∠FED=，∴sin∠FED===）+2×（2×）+≥2当且仅当=18．（16分）如图，已知椭圆C：=1的离心率为，过椭圆C上一点P（2，1）作倾斜角互补的两条直线，分别与椭圆交于点A、B，直线AB与x轴交于点M，与y轴负半轴交于点N．（Ⅰ）求椭圆C的方程：（Ⅱ）若S△PMN=，求直线AB的方程．，椭圆过定点就能求出截距，则直线（Ⅰ）由题意：，∴）在椭圆上，所以②．的方程为；，由根与系数关系得，∴．．=方程为．．．解得（舍）=019．（16分）已知数列{a n}中，a1=2，n∈N+，a n＞0，数列{a n}的前n项和S n，且满足．（Ⅰ）求{S n}的通项公式；（Ⅱ）设{b k}是{S n}中的按从小到大顺序组成的整数数列．（1）求b3；（2）存在N（N∈N+），当n≤N时，使得在{S n}中，数列{b k}有且只有20项，求N的范围．=1+，找出使∈，必定有=1+为整数，则必须∈（=1+为整数，必定有20．（16分）已知函数f（x）=ax2+1，g（x）=x3+bx，其中a＞0，b＞0．（Ⅰ）若曲线y=f（x）与曲线y=g（x）在它们的交点P（2，c）处有相同的切线（P为切点），求a，b的值；（Ⅱ）令h（x）=f（x）+g（x），若函数h（x）的单调递减区间为[]，求：（1）函数h（x）在区间（一∞，﹣1]上的最大值M（a）；（2）若|h（x）|≤3，在x∈[﹣2，0]上恒成立，求a的取值范围．]+）单调递增，在（﹣，﹣减，在（﹣，+∞）上单调递增，[[（﹣（﹣a，﹣，∴﹣＜﹣，列表如下：），﹣﹣（﹣）单调递增，在（﹣，﹣）单调递减，在（﹣，+∞），即＜﹣，即（﹣时，即）﹣））单调递增，在（﹣，﹣减，在（﹣，+∞）上单调递增（﹣）（﹣）﹣，解得三、数学（加试）注意事项：本卷考试时间为30分钟，全卷满分为40分．21．（10分）如图，AB是圆O的直径，AC是弦，∠B AC的平分线AD交圆O于点D，DE⊥AC 且交AC的延长线于点E．求证：DE是圆O的切线．22．已知，点A在变换T：作用后，再绕原点逆时针旋转90°，得到点、B．若点B的坐标为（﹣3，4），求点A的坐标．：作用后，，则由，23．已知在极坐标系下，圆C：p=2cos（）与直线l：ρsin（）=，点M 为圆C上的动点．求点M到直线l距离的最大值．）（，即=24．已知|x+1|+|x﹣l|＜4的解集为M，若a，b∈M，证明：2|a+b|＜|4+ab|．1|=25．（10分）某银行的一个营业窗口可办理四类业务，假设顾客办理业务所需的时间互相独位顾客办理业务所需的时间（t），结果如下：（Ⅰ）求银行工作人员恰好在第6分钟开始办理第三位顾客的业务的概率；（Ⅱ）用X表示至第4分钟末已办理完业务的顾客人数，求X的分布列及数学期望．2 3 4 6；，=+，==26．（10分）已知函数f（x）=x2+1nx．（Ⅰ）求函数f（x）在区间[1，e]上的最大值、最小值；（Ⅱ）设g（x）=f（x），求证：[g（x）]n﹣g（x n）≥2n﹣2（n∈N+）．=x+，，上的最大值为，最小值为；．。
