初一数学体系讲义第13讲 角的有关概念和性质

初一数学《角的认识》课件CONTENTS •角的定义与分类•角的性质与定理•角的运算与证明•与角相关的数学问题•拓展与应用角的定义与分类0101角是由两条有公共端点的射线组成的图形，这个公共端点叫做角的顶点，这两条射线叫做角的两条边。

02角也可以看作是由一条射线绕着它的端点旋转而形成的图形。

按度数分类锐角（0°<度数<90°）、直角（度数=90°）、钝角（90°<度数<180°）、平角（度数=180°）、周角（度数=360°）。

按边的位置关系分类相邻角、对顶角、同位角、内错角、同旁内角等。

角的大小比较使用量角器测量角的度数，通过度数大小来判断角的大小。

对于两个角度数相等的角，无论它们的边长和形状如何，都认为是相等的角。

对于两个角度数不等的角，度数大的角比度数小的角大。

角的性质与定理02角的大小与边的长短无关，只与两边叉开的大小有关。

角的大小可以度量，度量单位是度，用符号“°”表示。

角可以看作是一条射线绕着它的端点从一个位置旋转到另一个位置所形成的图形。

角的性质020103040506同位角相等，两直线平行。

内错角相等，两直线平行。

同旁内角互补，两直线平行。

两直线平行，同位角相等。

两直线平行，同旁内角互补。

角的定理角平分线的性质角平分线将一个角分为两个相等的角。

角平分线上的点到这个角的两边的距离相等。

在角的内部到角的两边距离相等的点在这个角的平分线上。

角的运算与证明0303角的加减法在实际问题中的应用通过实例了解角的加减法在实际问题中的应用，如角度的测量、方位角的计算等。

01角的和与差学习如何计算两个或多个角的和或差，理解角的基本运算规则。

02角的平分线掌握角的平分线的定义和性质，理解如何将一个角平分为两个相等的小角。

角的加减法1 2 3学习角的乘法运算规则，理解如何将一个角按一定比例放大或缩小。

角的概念与性质角是几何学中重要的基本概念之一。

它是由两条射线共享一个公共端点而形成的，常用小写字母来表示，例如a、b、c等。

本文将详细介绍角的概念、角的性质以及角的分类和应用。

一、角的概念角是由两条射线共享一个公共端点而形成的，这个公共端点被称为角的顶点。

两条射线被称为角的边，可以用直线、线段、射线表示。

通常情况下，角的顶点用大写字母表示。

二、角的性质1. 角的度量：角是一个数量，可以通过度数来度量。

圆周被等分为360份，每份为1度。

例如一个直角的度数为90度，一个平角的度数为180度。

2. 角的大小关系：两个角的大小比较通常有以下几种情况：a. 锐角：角的度数小于90度。

b. 直角：角的度数等于90度。

c. 钝角：角的度数大于90度。

d. 平角：角的度数等于180度。

3. 角的补角和余角：两个角的和等于90度时，称为互补角；两个角的和等于180度时，称为补角。

例如，两个角分别为40度和50度，它们互为补角。

4. 角的对应角：当一条直线穿过两条平行线时，它们之间形成四个对应角。

这些对应角的度数相等。

5. 角的平分线：一条直线将一个角分成两个相等的角，称为该角的平分线。

三、角的分类1. 锐角：度数小于90度的角为锐角。

2. 直角：度数等于90度的角为直角。

3. 钝角：度数大于90度但小于180度的角为钝角。

4. 平角：度数等于180度的角为平角。

四、角的应用角是几何学中非常重要的概念，它在现实生活中有广泛的应用。

以下是一些常见的应用场景：1. 建筑设计：在建筑设计中，角的概念被广泛应用，用来确定建筑物的布局和结构。

2. 地理测量：在地理测量中，利用角的概念可以测量地表的高度、角度和方向。

3. 电子工程：在电子工程中，角的概念用来计算电路中的相位差和信号间的夹角。

4. 游戏设计：在游戏设计中，角被用来确定角色的移动方向和操作方式。

总结：角是几何学中重要的基本概念之一，由两条射线共享一个公共端点而形成。

讲义【知识梳理】1．角的定义：定义1：有公共端点的两条射线组成的图形叫做角，这个公共端点叫做角的顶点，这两条射线叫做角的边．定义2：角也可以看作是一条射线绕着其端点，从起始位置旋转到终止位置所组成的图形．【注意】角的定义1是直接根据角的构成作出的静态定义，而定义2是以动态观点定义的，它强调角的形成过程．2．角的表示方法：角可用大写英文字母、阿拉伯数字或小写的希腊字母表示，具体的有四种表示方法．(1)用三个大写英文字母表示任一个角，如图①所示，记作AOB∠，其中O为角的顶点，A、B分别为角的两边上的点，“∠”是角的符号．(2)在一个顶点处只有．．一个角的角，我们也可以用一个表示顶点的大写字母表示O∠，如图①所示．(3)用小写希腊字母表示，记作α∠，如图①所示．(4)用数学表示单独的一个角，记作1∠，如图①所示．【注意】表示角时应注意以下问题：(1)用三个大写字母表示角时，一定要把顶点字母写在中间，边上的字母写在两侧；(2)在一个顶点处有两个及两个以上的角时，其中的任何一个角都不能用一个大写英文字母表示； (3)用小写希腊字母或数字不能表示超过一个以上的角. 3．方位角定义及其应用：定义：轮船、飞机等物体运动的方向与正北方向之间的夹角称为方位角，如图所示．【注意】(1)方位角的正方向与地图中一样，为上北下南，左西右东．(2)处于四个直角平分线上的方向，也分别被称为东南、东北、西南、西北．(3)对于其他方向要用到“偏”这个字，例如：北偏东20︒，这里的“偏”字相当于旋转的意思，北偏东20︒，就是以正北方向的射线为始边，绕中心顺时针旋转20︒所成的角的终边所在的方向．一般在表示方向时，始边是正北或正南方向的射线． 4．角的大小比较方法：角的大小比较一般有两种方法：(1) 度量法：用量角器量出角的度数（量法与小学学习方法相同）．通过比较度数的大 小来确定角的大小．若用量角器测得130∠=︒，245∠=︒，3045︒<︒，12∴∠<∠(2)叠合法：如下图所示，把一个角放在另一个角上，使它们的顶点重合，并将其中一边也重合，并使这两个角的另一边都放在这条边的同侧，就可以明显看出两个角的大小．如下图所示，先让顶点O 与E 重合，再让OA 边与EC 边重合，并且使另一边OB 、ED 在OA 的同侧；如果OB 与OD 重合，则表示这两个角相等，如图①，记作AOB COD ∠=∠．如图①所示，如果OD 落在AOB ∠的外部，则表示AOB ∠小于AOD ∠，记作AOB AOD ∠<∠． 如图①所示，如果OD 落在AOB ∠的内部，则表示AOB ∠大于AOD ∠，记作AOB AOD ∠>∠【例题精讲】例1. 如图，图中共有多少个角？【考点】角的概念与表示．【解析】以OA 为始边的角有AOB ∠、AOC ∠、AOD ∠、AOE ∠，共4个，以OB 为始边的角有BOC ∠、BOD ∠、BOE ∠，共3个，以OC 为始边的角有COD ∠、COE ∠共2 个，以OD 为始边的角有DOE ∠，共1个，所以共有432110+++=（个）． 【答案】10个．【教学建议】找角的个数与找线段方法一样，都按一定的方法分类，找角的个数可按顺时针方向数．也可按逆时针方向数．本题也可看作过点O 引出5条射线共54102⨯=个角，若过点O 引出n 条射，则共有()12n n -个角，这和线段的计数方法一样（注意，此处角指小于平角的角）.例2. 画出表示下列方向的射线：(1)南偏东25︒方向；(2)北偏西60︒方向；(3)东南方向；(4)南偏西80︒方向． 【考点】角的概念与表示，方位角．【解析】(1)以正南方向的射线为始边，逆时针逆转25︒，所成角的终边即为所求的射线，如图①所示． (2)以正北方向的射线为始边，逆时针旋转60︒，所成角的终边即为所求的射线，如图①所示． (3)以正南方向的射线为始边，逆时针旋转45︒，所成角的终边即为所求的射线，如隔①所示． (4)以正南方向的射线为始边，顺时针旋转80︒，所成角的终边即为所求的射线，如图①所示．【答案】略．【教学建议】教师需引导学生回顾角的表示和方位角的概念，在进行本题的解答，并且通过本题进一步正确理解方位角的概念，正确表示方位角．【巩固测试】1. 观察图所示各角，哪个角最大？有没有相等的角？用度量法比较角的大小，看看与观察的结果是否相同？【考点】角的大比较．【解析】估计1∠最大，2∠与3∠相等，测量：1150∠=︒，2330∠=∠=︒，460∠=︒． 由以上测量得到的数据可知，测量的结果与观察结果相同． 【答案】1∠最大，2∠与3∠相等．【教学建议】用度量法测量角的大小是常用的一种方法，但只为比较两个角的大小，靠观察也能判定．角的大小与边的长短无关，“开口”大的角就大，因此估计角的大小要从角的“开口”大小比较．2. 已知40AOB ∠>︒，用量角器画出AOC ∠,使40AOC ∠=︒，然后比较AOB ∠和BOC ∠的大小． 【考点】角的大比较．【解析】如图所示，当1AOC ∠在AOB ∠的内部时，1BOC AOB ∠<∠；当2AOC ∠在AOB ∠的外部时，2BOC AOB ∠>∠.【答案】略．【教学建议】因为40AOB ∠>︒，要画出40AOC ∠=︒，所以AOB AOC ∠>∠，又因为OA 是两个角的一条公共边，所以可能在AOB ∠的内部也可能在AOB ∠的外部.二、尺规作图 【知识梳理】 5．画相等的角： （1）度量法．①对中：将量角器的中心点与角的顶点重合； ①对线：将量角器的零度刻度线与角的一边重合；①读数：看角的另一边落在量角器的什么刻度线上，从而读数．（2）尺规法．6．角的和、差、倍的画法：（1）度量法：用量角器分别量出两个角的度数，根据角的和、差、倍的意义可以画出角度等于两个角和（或差）的角．（2）尺规作图法．利用尺规可以作一个角等于已知角，作两角的和的要领是“二合异侧”．作两个角的差的要领是“二合同侧”． 7．角平分线的概念及画法（作法）（1）概念：以一个角的顶点引出一条射线，把这个角分成两个相等的角，这条射线叫做这个角的平分线，如图所示．OC 是AOB ∠的平分线，这时，12AOC BOCAOB ∠=∠∠或2AOB AOC A BOC ∠=∠=∠. （2）画法．①利用量角器画图：量→算→画． ①利用直尺和圆规作图．8．余角、补角的定义．(1)余角的定义：如果两个角的和是一个直角，这两个角叫做互为余角，简称互余，其中的一个角叫做另一个角的余角．(2)补角的定义：如果两个角的和是一个平角，这两个角叫做互为补角．简称互补，其中的一个角叫做另一个角的补角． 9．余角、补角性质．(1)余角的性质：同角（或等角）的余角相等．(2)补角的性质：同角（或等角）的补角相等．【注意】(1)余角、补角是指两个角关系的概念，是相互的，我们不能单独说哪一个角是补角，哪一个角是余角，并且只和角的度数有关，和角的位置无关． (2)余角、补角的性质是证明两角相等的常用方法． 10．角的度量单位、角的换算及角的分类 (1)角的度量单位是：度、分、秒． 1度的160为1分，记作1'，即160'︒=．1分的160为1秒，记作1''，即160'''=． 【注意】①角度的度、分、秒是60进制，与时间的时、分、秒进制相同，角的度数换算有两种：一种是把度化成度、分、秒的形式；一种是把度、分、秒化成度的形式；②1︒的角是指将一个周角分成360等份，每一份就是1︒的角．1周角＝360︒，1平角＝180︒ (2)角的分类：小于90︒的角叫做锐角、等于90︒的角叫做直角、大于90︒小于180︒的角叫做钝角．【例题精讲】例1. 如图，已知β∠，用直尺、圆规作出COD ∠，使COD β∠=∠.【考点】画相等的角． 【解析】(1)作射线OC ；(2)以β∠的顶点为圆心、取定的长a 半径作弧，分别交β∠的两边于点E 、F （如图①）；① ①(3)以点O 为圆心、a 的长为半径作弧，交OC 于点M ； (4)以点M 为圆心、EF 的长为半径作弧，交前弧于点N ；(5)经过点N 作射线OD （如图①）．COD ∠就是所求作的角．【教学建议】教师需先引导学生回顾画相等的角的基本方法和过程，并通过本题进一步熟悉画相等的角的过程．例2. 已知α∠、β∠ (如图所示)，作一个角2AOB αβ∠=∠-∠【考点】画角的和、差、倍．【解析】2AOD ααα∠=∠+∠=∠（二合异侧），2AOB αβ∠=∠-∠ (二合同侧)． 保留作图痕迹线，了解作图的基本语句．结果如图所示．【教学建议】两个角的和、差、倍类同于有理数的和、差、倍，如2αβ∠-∠的度数，等于两个α∠的度数和再减去β∠的度数．例3. 如图已知α∠，β∠，用直尺和圆规求作一个γ∠，使得12γαβ∠=∠-∠（只需作出正确图形，保留作图痕迹，不必写出作法）【考点】画角的和、差、倍．【解析】如图所示，BCD ∠即为所求作的γ∠．【教学建议】本题先画出12β∠，再画12αβ∠-∠． 例4. 一个角的补角比它的余角的2倍多5︒，求这个角．【考点】余角与补角． 【解析】设这个角为α，则它的补角为180α︒-，余角为90α︒-，依题意得180α︒-＝2(90α︒-)＋5︒，18018025,5ααα︒-=︒-+︒=︒．所以这个角的度数为5︒． 【答案】5︒．【教学建议】这是一个角的补角与它余角的关系问题，可先从设定这个角入手，再把它的补角、余角用这个角表示出来，根据题意列出方程解决即可．例5.如图所示，已知：OC 是AOB ∠的角平分线，OD 是AOC ∠内的一条射线，已知AOD ∠比BOD ∠小30︒，求COD ∠的大小．【考点】余角与补角．【解析】因为OC 是AOB ∠的平分线（已知）．所以AOC BOC ∠=∠ (角平分线的意义) 设AOC BOC α∠=∠=，COD β∠=,根据题意，得BOD αβ∠=+，AOD αβ∠=-， 所以()()30αβαβ+--=︒．解方程，得15β=︒，即15COD ∠=︒．【答案】15COD ∠=︒．【教学建议】根据已知可设AOC BOC α∠=∠=，COD β∠=．则有BOD αβ∠=+，AOD αβ∠=-，利用等量关系，30BOD AOD ∠-∠=︒列出式子，即可解出β的度数．例6.如图所示，射线OB 和射线OE 分别是AOC ∠和DOF ∠的角平分线，已知BOE m ∠=︒，COD n ∠=︒，试用含有m ，n 的式子表示AOF ∠的度数．【考点】余角与补角．【解析】因为射线OB 和射线OE 分别是AOC ∠和DOF ∠的角平分线(已知)． 所以AOB BOC ∠=∠，DOE EOF ∠=∠（角平分线的意义）． 又因为AOF AOB BOC COD DOE EOF ∠=∠+∠+∠+∠+∠．所以222()AOF BOC DOE COD BOC DOE COD ∠=∠+∠+∠=∠+∠+∠. 又因为BOE m ∠=︒，COD n ∠=︒ (已知)． 所以BOC DOE BOE COD m n ∠+∠=∠-∠=-．所以()()222AOF BOC DOE COD m n n m n ∠=∠+∠+∠=-+=-． 【答案】2AOF m n ∠=-．【教学建议】AOF AOB BOC COD DOE EOF ∠=∠+∠+∠+∠+∠，而射线OB 和射线OE 分别是AOC ∠和DOF ∠的角平分线，因此2AOB BOC BOC ∠+∠=∠，2DOE EOF DOE ∠+∠=∠，那么22AOF BOC DOE COD ∠=∠=∠+∠．由于BOC DOE BOE COD m n ∠+∠=∠-∠=-．然后把相关角的式子分别代入，问题就解决了．【巩固测试】1. 如图所示，已知90AOC BOD ∠=∠=︒． (1)AOD ∠与BOC ∠有什么关系？为什么？ (2)若35DOC ∠=︒，则AOB ∠等于多少度？ (3)若150AOB ∠=︒，则DOC ∠等于多少度？【考点】余角与补角．【解析】(1) AOD ∠＝BOC ∠.理由如下：由已知90AOC BOD ∠=∠=︒，90AOD DOC ∠+∠=︒，90BOC DOC ∠+∠=︒所以AOD ∠＝BOC ∠ (同角的余角相等)． (2)由已知35DOC ∠=︒，所以903555AOD BOC ∠=∠=︒-︒=︒，所以553555145AOB AOD DOC BOC ∠=∠+∠+∠=︒+︒+︒=︒． (3)由已知90AOC BOD ∠=∠=︒，150AOB ∠=︒． 所以1509060AOD AOB BOD ∠=∠-∠=︒-︒=︒． 所以906030DOC AOC AOD ∠=∠-∠=︒-︒=︒.【答案】（1）AOD ∠＝BOC ∠；（2）145AOB ∠=；（3）30DOC ∠=︒．【教学建议】此类题比较常见，这个图形可以作为一个基本图形去记忆．第(3)小题也可以这样解：把DOC ∠看作是两个直角AOC ∠和BOD ∠的重叠部分，那么()18015030DOC AOC BOD AOB ∠=∠+∠-∠=︒-︒=︒.课堂练习一、选择题1. 如图，能用∠1，∠ACB ，∠C 三种方法表示同一个角的是（ ）2. 学校M 在小明家N 的北偏东30°的方向，那么小明上学要走的路线可能是（ ）ABCDMMNN MM NN3. 如图所示，已知①AOB ＝64°，OA 1平分①AOB ，OA 2平分①AOA 1，OA 3平分①AOA 2，OA 4平分①AOA 3，则①AOA 4的大小为（ ）AB C 1A B DCAB CAB CD111A BCD课后作业1、如图，∠AOC和∠BOD都是直角，如果∠AOB=1400，则∠DOC的度数是（）A、300B、400C、500D、6002、一副三角尺可拼成很多角，如下图是由一副三角尺拼成的2个图形，请你计算：在第一个图中：∠ACD= °，∠ABD= °；在第二个图中：∠BAG= °，∠AGC= °。

角的定义角是由两条有公共端点的射线组成的图形，这个公共端点叫做角的顶点，这两条射线叫做角的两条边。

角也可以看作是由一条射线绕着它的端点旋转而形成的图形，旋转开始时的射线叫做角的始边，旋转终止时的射线叫做角的终边。

01角的大小与角的两条边的长短无关，只与角的开口大小有关。

02角的大小可以用度、分、秒来表示，1度等于60分，1分等于60秒。

03角具有方向性，即角有正负之分，通常规定逆时针旋转形成的角为正角，顺时针旋转形成的角为负角。

角的基本性质角的大小比较可以使用量角器来测量角的大小，并进行比较。

对于两个角，如果它们的度数相等，则这两个角相等；如果它们的度数不相等，则这两个角不相等。

对于两个相等的角，如果其中一个角比另一个角大，则这个角叫做另一个角的余角。

01锐角小于90°的角，如30°、60°等。

02直角等于90°的角，记作Rt∠。

03钝角大于90°且小于180°的角，如120°、150°等。

锐角、直角、钝角0102等于180°的角，记作∠180°或平角。

等于360°的角，记作∠360°或周角。

平角周角平角、周角03是锐角的一种，也是等腰直角三角形的一个锐角。

45°角是锐角的一种，也是等边三角形的一个内角。

60°角即直角，是特殊角中唯一的一个直角，具有独特的性质和应用。

90°角特殊角：45°、60°、90°角度的基本单位，一个圆被等分为360度。

度1度等于60分，用于更精确的角度测量。

分1分等于60秒，用于高精度角度计算。

秒角度的度量单位当两个角共有一个端点和两条相交的直线时，它们的角度相加。

角度的加法角度的减法角度的乘法与除法用于计算两个角之间的差值。

通过乘以或除以一个常数来增大或减小角度。

030201角度的计算方法两个或多个角相加得到的总角度。