数学九年级下册教案-5.2 二次函数的图像和性质3-苏科版

《二次函数的图像和性质》教案1教学目标1.会用描点法画出二次函数的图象，能通过图象和关系式认识二次函数的性质．2.会运用配方法确定二次函数图象的顶点、开口方向和对称轴．重点难点重点：二次函数的图象与性质. 难点：二次函数的图象与性质.教学过程由前面的知识，我们知道，函数22x y =的图象，向上平移2个单位，可以得到函数222+=x y 的图象；函数22x y =的图象，向右平移3个单位，可以得到函数2)3(2-=x y 的图象，那么函数22x y =的图象，如何平移，才能得到函数2)3(22+-=x y 的图象呢？实践与探索1．在同一直角坐标系中，画出下列函数的图象．221x y =，2)1(21-=x y ，2)1(212--=x y ，并指出它们的开口方向、对称轴和顶点坐标．解:列表．描点、连线，画出这三个函数的图象，如图所示．它们的开口方向都向，对称轴分别为____，顶点坐标分别为____．请同学们完成填空，并观察三个图象之间的关系．回顾与反思二次函数的图象的上下平移，只影响二次函数2)(h x a y -=+k 中k 的值；左右平移，只影响h 的值，抛物线的形状不变，所以平移时，可根据顶点坐标的改变，确定平移前、后的函数关系式及平移的路径．此外，图象的平移与平移的顺序无关．探索你能说出函数2)(h x a y -=+k (a 、h 、k 是常数，a ≠0)的图象的开口方向、对称轴和顶点坐标吗？试填写下表．2)(h x a y -=+k 开口方向对称轴顶点坐标 0>a0<a2．把抛物线c bx x y ++=向上平移2个单位，再向左平移4个单位，得到抛物线2x y =，求b 、c 的值．分析抛物线2x y =的顶点为(0，0)，只要求出抛物线c bx x y ++=2的顶点，根据顶点坐标的改变，确定平移后的函数关系式，从而求出b 、c 的值．解c bx x y ++=2c b b bx x +-++=442224)2(22b c b x -++=． 向上平移2个单位，得到24)2(22+-++=b c b x y ，再向左平移4个单位，得到24)42(22+-+++=b c b x y ，其顶点坐标是)24,42(2+---b c b ，而抛物线2x y =的顶点为(0，0)，则⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+-=--0240422b c b解得⎩⎨⎧=-=148c b探索把抛物线c bx x y ++=2向上平移2个单位，再向左平移4个单位，得到抛物线2x y =，也就意味着把抛物线2x y =向下平移2个单位，再向右平移4个单位，得到抛物线c bx x y ++=2．那么，本题还可以用更简洁的方法来解，请你试一试．巩固练习1．将抛物线1)4(22--=x y 如何平移可得到抛物线22x y =( ) A ．向左平移4个单位，再向上平移1个单位 B ．向左平移4个单位，再向下平移1个单位 C ．向右平移4个单位，再向上平移1个单位 D ．向右平移4个单位，再向下平移1个单位 2．把抛物线223x y -=向左平移3个单位，再向下平移4个单位，所得的抛物线的函数关系式为_____．3．抛物线22121x x y -+=可由抛物线221x y -=向平移个单位，再向平移个单位而得到．本课小结1．通过本课的学习，你有什么收获？ 2．你对本节课还有什么不明白的？ 布置作业教材第18页练习第1题，20页第6题．《二次函数的图像和性质》教案2教学目标1．通过探究、归纳、类比，用配方法把二次函数化成2)(h x a y -=+k 的形式，从而确定开口方向、对称轴和顶点坐标；2．使学生掌握用图象或配方确定抛物线的开口方向、对称轴和顶点坐标； 3．体会先确定顶点坐标再对称取值画出的抛物线的对称美．重点难点重点用描点法画出二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 的图象和通过配方确定抛物线的开口方向、对称轴和顶点坐标．难点利用配方法将二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 化成ab ac a b x a y 44)2(22-++=． 教学设计 (一)情境引入1．你能说出二次函数y ＝－4(x －2)2＋1图象的开口方向、对称轴、顶点坐标和增减性吗？2．不画图象，你能直接说出函数的图象的开口方向、对称轴和顶点坐标吗？ (二)实践探索1问题通过配方，确定抛物线的开口、对称轴、顶点坐标和增减性，再描点画图． 解6422++-=x x y []8)1(261)1(26)112(26)2(22222+--=+---=+-+--=+--=x x x x x x因此，抛物线开口向下，对称轴是直线x =1，顶点坐标为(1，8)．当x ＜1时，函数值y 随x 的增大而增大；当x ＞1时，函数值y 随x 的增大而减小；当x ＝1时，函数取得最大值，最大值y ＝8由对称性列表：回顾与反思(1)列表时选值，应以对称轴x =1为中心，函数值可由对称性得到．(2)描点画图时，要根据已知抛物线的特点，一般先找出顶点，并用虚线画对称轴，然后再对称描点，最后用平滑曲线顺次连结各点．(三)实践探索2问题为了方便找到对称轴、顶点坐标，我们面对形如c bx ax y ++=2的函数该如何处理？x … -2-10 1 2 3 4…y… -10 0 686-10 …y ＝ax 2＋bx ＋c ＝a (x 2＋bax )＋c ＝a [x 2＋bax ＋(2b a )2－(2b a )2]＋c＝a [x 2＋b a x ＋(2b a )2]＋c －24b a ＝a (x ＋2b a )2＋244ac b a-当a ＞0时，开口向上，当a ＜0时，开口向下．对称轴是x ＝－2b a ，顶点坐标是(－2b a ，244ac b a-)变式训练1．x 为任意实数，求二次函数y =x 2+2x +3取值范围． 2．如何画出美观的二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)图象？ 本课小结1．通过本课的学习，你有什么收获？2．二次函数的三种表达形式：(还有一种暂时未学) 一般式：y ＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)；顶点式：k h x a y +-=2)(3．形如y ＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)的二次函数的开口方向、顶点坐标、对称轴如何确定？增减性如何判断？4．你对本节课还有什么不明白的？ 布置作业教材第20页7、8、9题．。

苏科版数学九年级下册5.2《二次函数的图象和性质》教学设计4）一. 教材分析苏科版数学九年级下册5.2《二次函数的图象和性质》是本节课的主要内容。

教材从学生已有的知识出发，通过观察、实验、探究等活动，引导学生认识二次函数的图象和性质，从而加深对二次函数的理解。

本节课的内容对于学生来说是比较抽象的，需要通过大量的实践活动来理解和掌握。

二. 学情分析学生在学习本节课之前，已经学习了二次函数的定义和标准式，对于二次函数有一定的了解。

但是，对于二次函数的图象和性质，大部分学生可能会感到比较抽象和难以理解。

因此，在教学过程中，需要引导学生通过观察、实验、探究等活动，来理解和掌握二次函数的图象和性质。

三. 教学目标1.理解二次函数的图象和性质，能够熟练地运用二次函数的图象和性质解决实际问题。

2.培养学生的观察能力、实验能力和探究能力。

3.提高学生对数学的兴趣和信心。

四. 教学重难点1.二次函数的图象和性质的理解和掌握。

2.如何运用二次函数的图象和性质解决实际问题。

五. 教学方法1.观察法：引导学生观察二次函数的图象，从而理解二次函数的性质。

2.实验法：让学生通过实际操作，探究二次函数的性质。

3.探究法：引导学生通过问题探究，深入理解二次函数的图象和性质。

4.讲解法：对于一些难以理解的概念和性质，采用讲解法进行解释。

六. 教学准备1.PPT课件：制作相关的PPT课件，以便于教学。

2.练习题：准备一些相关的练习题，以便于巩固所学知识。

3.教学工具：准备一些教学工具，如黑板、粉笔等。

七. 教学过程1.导入（5分钟）通过一个实际问题，引入二次函数的图象和性质。

例如：一个抛物线形的水池，求水池的深度。

2.呈现（10分钟）利用PPT课件，呈现二次函数的图象和性质。

通过观察和讲解，让学生理解二次函数的图象和性质。

3.操练（10分钟）让学生通过实际操作，探究二次函数的性质。

可以让学生用尺子和圆规，画出二次函数的图象，并观察其性质。

教学目标：1.了解二次函数的定义和基本性质。

2.掌握二次函数的图像、顶点坐标和轴对称性。

3.能够利用二次函数的性质解决实际问题。

教学重点：1.掌握二次函数的图像和平移、伸缩与翻折变换。

2.理解二次函数顶点的坐标和轴对称性。

教学难点：1.能够利用二次函数的性质解决实际问题。

教学准备：1.教师准备PPT、教辅材料和实例题。

教学过程：Step 1：引入知识（接近教材内容，激发学生学习兴趣）（10分钟）教师出示一张瓶盖的图片，问学生如何用函数的形式描述这张瓶盖的形状。

引导学生思考并提出可能答案。

Step 2：二次函数的定义（15分钟）1.教师给出二次函数的定义，并进行解释。

2.教师通过实例图形展示不同二次函数的图像变化情况，引导学生感受二次函数图像的特点。

Step 3：二次函数的图像及性质（30分钟）1.教师通过PPT展示二次函数图像的基本形状，并结合实例讲解二次函数图像的平移、伸缩和翻折变换。

2.提醒学生注意区分顶点坐标、轴对称性和对称轴等概念，并通过题目演示讲解。

Step 4：练习与巩固（25分钟）1.教师出示一些练习题，让学生进行思考并解答。

2.学生完成课堂练习册上的相应习题，教师巡视并指导解题思路。

3.整理解题方法，强调要注意题目中给出的信息和要求。

4.针对一些较难的题目，教师进行讲解，并展示详细解题过程。

Step 5：运用二次函数解决实际问题（20分钟）1.教师出示几个实际问题，要求学生利用二次函数的性质进行解答。

2.学生个别或小组合作进行探究，然后进行展示和讨论，教师对不同答案进行引导和总结。

Step 6：拓展应用（15分钟）教师提供一些拓展应用题，让学生进行思考和解答，并进行讲解和总结。

Step 7：归纳和小结（10分钟）1.教师巩固学生对二次函数的基本概念和性质的理解，合理安排回顾本节课的重点内容。

2.学生复述、总结本节课所学重点内容，并和教师一起检查答案。

教学反思：通过本节课的教学，我发现学生对二次函数的定义和图像变化有了一定的理解。

学习目标：1.经历探索二次函数y=ax2+k(a≠0)，y=a(x-h)2(a≠0)的图象作法和性质的过程；2.能够理解函数y=ax2+k(a≠0)、y=a(x-h)2与y=ax2的图象的关系，知道a、h对二次函数的图象的影响；3.能正确说出函数y=ax2+k(a≠0)、y=a(x-h)2的图象的性质.教学过程：一、探索二次函数y=ax2+k(a≠0)的图象和性质。

(2)在下图的直角坐标系中，描点并画出函数2y x=和21y x=+的图象；2.思考：函数y=x2+1的图象与y=x2的图象有什么关系？（1）形状相同吗?（2）相同自变量的值所对应的两个函数值有何关系？（3）从点的位置看，函数y=x2+1的图象与函数y=x2的图象的位置有什么关系？3.归纳：图象向上移还是向下移,移多少个单位长度,有什么规律吗?函数y=ax2 (a≠0)和函数y=ax2+ k (a≠0)的图象形状，只是位置不同；当k >0时，函数y=ax2+ k的图象可由y=ax2的图象向平移个单位得到；当k〈0时，函数y=ax2+c的图象可由y=ax2的图象向平移个单位得到。

二、探索二次函数y=a(x-h)2(a≠0)的图象作法和性质：1.操作：在上图右边直角坐标系中，描点并画出函数y=(x+3)2的图象；2.思考：函数y=(x+3)2的图象与y=x2的图象有什么关系？（1）形状相同吗?（2）从表格中的数值看，函数y=(x+3)2的函数值与函数y=x2的函数值相等时，它们所对应的自变量的值有什么关系?（3）从点的位置看，函数y=(x+3)2的图象与函数y=x 2的图象的位置有什么关系？它是轴对称图形吗?它的对称轴和顶点坐标分别是什么?3.结论:函数y=(x+3)2的图象可以由函数y=x 2的图像沿x 轴向 平移 个单位长度得到,所以它是 ,这条抛物线的对称轴是 ，顶点坐标是 ,当x 时,y 随x 的增大而增大,当x 时,y 随x 的增大而减小.4.①抛物线y=-3(x-1)2可以看作是抛物线y=-3x 2沿x 轴 平移了 个单位;抛物线y=-3(x+1)2可以看作是抛物线y=-3x 2沿x 轴 平移了 个单位. ②图象向左平移还是向右平移,移多少个单位长度,有什么规律吗?三、例题：1.函数y=4x 2+5的图象可由y=4x 2的图象向 平移 个单位得到；y=4x 2-11的图象可由 y=4x 2的图象向 平移 个单位得到。

二次函数的性质之对称教学目标：（1） 进一步深化理解二次函数图像抛物线的对称性，并学会利用其对称性解决相关问题。

（2） 在探究抛物线对称性问题的过程中，培养学生数形结合思想和函数、方程思想。

教学重点：掌握抛物线的对称性的特点，并灵活运用此性质解决问题。

教学过程：引例：一门迫击炮炮弹的飞行高度y 与飞行时间t 满足二次函数关系，若发射后5秒爆炸，则问何时炮弹飞行弹道最高点？抛一个小球后1.1秒后达到最高点，如果间隔1秒同样抛第二个小球，试问从抛第一个小球开始计时何时两球高度相同？一 二次函数图像抛物线是轴对称图形。

对称轴可以表示为（1）2(0)y ax bx c a =++≠的对称轴为直线2b x a =-（2）2()(0)y a x h k a =-+≠的对称轴为直线 x h = 导出结论（3）12()()(0)y a x x x x a =--≠的对称轴为直线122x x x +=二 探究二次函数图像抛物线上对称点的性质与条件抛物线上任一对对称点A 、B ，点A 在B 的左侧（A x < B x ）① 离对称轴距离相等 ⇔ A 、B 为对称点 ⇔ 纵坐标相等（B A x h h x -=-即2A B x x h += ） （A B y y =） ② 开口向上的抛物线上离对称轴较近的点其纵坐标较小；开口向下的抛物线上离对称轴较远的点其纵坐标较小。

三 基础题型演练：（1）2112y x x =-+ 的对称轴为直线 1x = ；2(1)3y x =-++的对称轴为直线 1x =- ；4(1)(3)y x x =-+的对称轴为直线 1x =-（2）如图，对称轴平行于y 轴的抛物线与x 轴交于（1，0），（3，0）两点，则它的对称轴为直线 2x = ． （3）如图是二次函数y =ax 2+bx +c 图象的一部分，其对称轴为直线x =1，若其与x 轴一交点为A （3，0），则由图象可知，方程ax 2+bx +c =0的根是31x x ==-或 ．（4）如图，已知抛物线y =x 2+bx +c 的对称轴为x =2，点A ，B 均在抛物线上，且AB 与x 轴平行，其中点A 的坐标为（0，3），则点B 的坐标为 （4,3） ．（5）已知点A （4，y 1），B （，y 2），C （-2，y 3）都在二次函数y =（x -2）2-m 的图象上，则y 1，y 2，y 3的大小关系为2y <1y <3y （2） (4) （3）（6）已知抛物线y =ax 2+2ax +m （a <0）经过点（-4，y 1）、（-2，y 2），（1，y 3），则y 1、y 2、y 3的大小关系是 1y <3y <2y四 重点例题提升例1：已知点A （x 1，5），B （x 2，5），（x 1≠x 2）都在抛物线y =a （x -2）2+3上，则x 1+x 2= ______ ，当x =时，y = ______ ．变式训练：若x m = 或x n =时（m n ≠ ），代数式223x x -+ 的值相等，求当x m n =+时代数式223x x -+的值。