14第四章-1二次函数与耐克函数

《二次函数》全章复习与巩固—知识讲解（基础）【学习目标】1．通过对实际问题情境的分析确定二次函数的表达式，并体会二次函数的意义；2．会用描点法画出二次函数的图象，能从图象上认识二次函数的性质；3．会根据公式确定图象的顶点、开口方向和对称轴(公式不要求记忆和推导)，并能解决简单的实际问题；4．会利用二次函数的图象求一元二次方程的近似解.【知识网络】【要点梳理】要点一、二次函数的定义一般地，如果是常数，，那么叫做的二次函数.要点诠释：如果y=ax2+bx+c(a,b,c是常数，a≠0)，那么y叫做x的二次函数．这里，当a=0时就不是二次函数了，但b、c可分别为零，也可以同时都为零．a 的绝对值越大，抛物线的开口越小.要点二、二次函数的图象与性质1.二次函数由特殊到一般，可分为以下几种形式：①；②；③；④，其中；⑤.（以上式子a≠0）(轴)当(轴)(，)2.抛物线的三要素：开口方向、对称轴、顶点.(1)的符号决定抛物线的开口方向：当时，开口向上；当时，开口向下；相等，抛物线的开口大小、形状相同.(2)平行于轴(或重合)的直线记作.特别地，轴记作直线.3.抛物线20()y ax bx c a=++≠中，,,a b c的作用：(1)决定开口方向及开口大小，这与中的完全一样.(2)和共同决定抛物线对称轴的位置.由于抛物线的对称轴是直线，故：①时，对称轴为轴；②(即、同号)时，对称轴在轴左侧；③(即、异号)时，对称轴在轴右侧.(3)的大小决定抛物线与轴交点的位置.当时，，∴抛物线与轴有且只有一个交点(0，)：①，抛物线经过原点；②，与轴交于正半轴；③，与轴交于负半轴.以上三点中，当结论和条件互换时，仍成立.如抛物线的对称轴在轴右侧，则.4.用待定系数法求二次函数的解析式：(1)一般式：（a≠0）.已知图象上三点或三对、的值，通常选择一般式.(2)顶点式：（a≠0）.已知图象的顶点或对称轴，通常选择顶点式.(可以看成的图象平移后所对应的函数.)(3)“交点式”：已知图象与轴的交点坐标、，通常选用交点式：（a≠0）.(由此得根与系数的关系：).要点诠释：求抛物线2y ax bx c =++（a≠0）的对称轴和顶点坐标通常用三种方法：配方法、公式法、代入法，这三种方法都有各自的优缺点，应根据实际灵活选择和运用．要点三、二次函数与一元二次方程的关系 函数，当时，得到一元二次方程，那么一元二次方程的解就是二次函数的图象与x 轴交点的横坐标，因此二次函数图象与x 轴的交点情况决定一元二次方程根的情况.(1)当二次函数的图象与x 轴有两个交点，这时，则方程有两个不相等实根；(2)当二次函数的图象与x 轴有且只有一个交点，这时，则方程有两个相等实根；(3)当二次函数的图象与x 轴没有交点，这时，则方程没有实根.要点诠释：二次函数图象与x 轴的交点的个数由的值来确定.(1)当二次函数的图象与x 轴有两个交点，这时，则方程有两个不相等实根；(2)当二次函数的图象与x 轴有且只有一个交点，这时，则方程有两个相等实根； (3)当二次函数的图象与x 轴没有交点，这时，则方程没有实根.要点四、利用二次函数解决实际问题利用二次函数解决实际问题，要建立数学模型，即把实际问题转化为二次函数问题，利用题中存在的公式、内含的规律等相等关系，建立函数关系式，再利用函数的图象及性质去研究问题.在研究实际问题时要注意自变量的取值范围应具有实际意义.利用二次函数解决实际问题的一般步骤是： (1)建立适当的平面直角坐标系；(2)把实际问题中的一些数据与点的坐标联系起来； (3)用待定系数法求出抛物线的关系式；(4)利用二次函数的图象及其性质去分析问题、解决问题. 要点诠释：常见的问题：求最大(小)值(如求最大利润、最大面积、最小周长等)、涵洞、桥梁、抛物体、抛物线的模型问题等.解决这些实际问题关键是找等量关系，把实际问题转化为函数问题，列出相关的函数关系式.【典型例题】类型一、求二次函数的解析式1．已知二次函数的图象经过原点及点11,24⎛⎫-- ⎪⎝⎭，且图象与x 轴的另一交点到原点的距离为1，则该二次函数的解析式为____ ____． 【答案】 21133y x x =-+或2y x x =+． 【解析】 正确找出图象与x 轴的另一交点坐标是解题关键．由题意知另一交点为(1，0)或(-1，0)． 因此所求抛物线的解析式有两种． 设二次函数解析式为2y ax bx c =++．则有0,1114420c a b c a b c =⎧⎪⎪-=-+⎨⎪++=⎪⎩，或0,111,4420,c a b c a b c =⎧⎪⎪-=-+⎨⎪-+=⎪⎩解之13130a b c ⎧=-⎪⎪⎪=⎨⎪=⎪⎪⎩，或1,1,0.a b c =⎧⎪=⎨⎪=⎩因此所求二次函数解析式为21133y x x =-+或2y x x =+． 【点评] 此题容易出错漏解的错误．举一反三：【变式】已知：抛物线y=x 2+bx+c 的对称轴为x=1，交x 轴于点A 、B(A 在B 的左侧)，且AB=4，交y 轴于点C.求此抛物线的函数解析式及其顶点M 的坐标. 【答案】∵对称轴x=1，且AB=4∴抛物线与x 轴的交点为：A(-1，0)，B(3，0)bb=-212c=-31b c 0⎧-=⎧⎪∴∴⎨⎨⎩⎪-+=⎩∴y=x 2-2x-3为所求,∵x=1时y=-4 ∴M(1，-4) ∵对称轴x=1，且AB=4∴抛物线与x 轴的交点为：A(-1，0)，B(3，0)bb=-212c=-31b c 0⎧-=⎧⎪∴∴⎨⎨⎩⎪-+=⎩∴y=x 2-2x-3为所求,∵x=1时y=-4 ， ∴M(1，-4).类型二、根据二次函数图象及性质判断代数式的符号2．二次函数2y ax bx c =++的图象如图1所示，反比例函数ay x=与正比例函数y ＝(b+c)x 在同一坐标系中的大致图象可能是( )．【答案】B ；【解析】由2y ax bx c =++的图象开口向上得a ＞0，又02ba->，∴ b ＜0． 由抛物线与y 轴负半轴相交得c ＜0． ∵ a ＞0，∴ ay x=的图象在第一、三象限． ∵ b+c ＜0，∴ y ＝(b+c)x 的图象在第二、四象限． 同时满足ay x=和()y b c x =+图象的只有B ． 【点评】由图1得到a 、b 、c 的符号及其相互关系，去判断选项的正误.类型三、数形结合3．如图所示是二次函数2y ax bx c =++图象的一部分，其对称轴为直线x ＝1，若其与x 轴一交点为(3，0)，则由图象可知，不等式20ax bx c ++>的解集是________．【思路点拨】根据抛物线的对称性和抛物线与x 轴的交点A 的坐标可知，抛物线与x 轴的另一个交点的坐标，观察图象可得不等式20ax bx c ++>的解集.【答案】x ＞3或x ＜-1；【解析】根据抛物线的对称性和抛物线与x 轴的交点A(3，0)知，抛物线与x 轴的另一个交点为(-1，0)，观察图象可知，不等式20ax bx c ++>的解集就是2y ax bx c =++函数值，y ＞0时，x 的取值范围．当x ＞3或x ＜-1时，y ＞0，因此不等式20ax bx c ++>的解集为x ＞3或x ＜-1．【点评】弄清20ax bx c ++>与2y ax bx c =++的关系，利用数形结合在图象上找出不等式20ax bx c ++>的解集．类型四、函数与方程4．已知抛物线c x x y ++=221与x 轴没有交点． ①求c 的取值范围； ②试确定直线1+=cx y 经过的象限，并说明理由．【答案与解析】（1）∵抛物线与x 轴没有交点，∴⊿＜0，即1－2c ＜0，解得c ＞12(2)∵c ＞12，∴直线y=12x ＋1随x 的增大而增大， ∵b=1，∴直线y=12x ＋1经过第一、二、三象限.【点评】抛物线c x x y ++=221与x 轴没有交点，⊿＜0，可求c 的取值范围.举一反三：【变式1】无论x 为何实数，二次函数的图象永远在x 轴的下方的条件是( )A ．B ．C ．D ．【答案】二次函数的图象与x 轴无交点，则说明y=0时，方程无解，即．又图象永远在x 轴下方，则． 答案：B【变式2】对于二次函数，我们把使函数值等于0的实数x 叫做这个函数的零点， 则二次函数(m 为实数)的零点的个数是( )A ．1B ．2C ．0D ．不能确定 【答案】当y=0时，，，即二次函数的零点个数是2．故选B.类型五、分类讨论5．已知点A(1，1)在二次函数22y x ax b =-+的图象上．(1)用含a 的代数式表示b ；(2)如果该二次函数的图象与x 轴只有一个交点，求这个二次函数的图象的顶点坐标． 【思路点拨】(1)将A(1，1)代入函数解析式．(2)由△＝b 2-4ac ＝0求出a ． 【答案与解析】(1)因为点A(1，1)在二次函数22y x ax b =-+的图象上，所以1＝1-2a+b ，所以b ＝2a ． (2)根据题意，方程220x ax b -+=有两个相等的实数根，所以2244480a b a a -=-=， 解得a ＝0或a ＝2．当a ＝0时，y ＝x 2，这个二次函数的图象的顶点坐标是(0，0)． 当a ＝2时，2244(2)y x x x =-+=-，这个二次函数的图象的顶点坐标为(2，0)．所以，这个二次函数的图象的顶点坐标为(0，0)或(2，0)．【点评】二次函数2y ax b c =++(0)a ≠的图象与x 轴只有一个交点时，方程20ax bx c ++=有两个相等的实数根，所以240b ac =-=△．类型六、二次函数与实际问题6．为了扩大内需，让惠于农民，丰富农民的业余生活，鼓励送彩电下乡，国家决定对购买彩电的农户实行政府补贴．规定每购买一台彩电，政府补贴若干元，经调查某商场销售彩电台数y(台)与补贴款额x(元)之间大致满足图1所示的一次函数关系．随着补贴款额x 的不断增大，销售量也不断增大，但每台彩电的收益z(元)会相应降低且z 与x 之间也大致满足图2所示的一次函数关系．(1)在政府出台补贴措施前，该商场销售彩电的总收益额为多少元?(2)在政府补贴政策实施后，分别求出该商场销售彩电台数y 和每台家电的收益z 与政府补贴款额x 之间的函数关系式；(3)要使该商场销售彩电的总收益ω(元)最大，政府应将每台补贴款额x 定为多少?并求出总收益ω的最大值． 【思路点拨】(2)依题意设y ＝k 1x+800，z ＝k 2x+200．分别将(400，1200)和(200，160)代入两式求出k 1、k 2； (3)由题意ω＝yz ． 【答案与解析】(1)在政府出台补贴措施前，该商场销售家电的总收益为800×200＝160 000(元)．(2)依题意可设y ＝k 1x+800，z ＝k 2x+200，则有 400k 1+800＝1200，200k 2+200＝160， 解得k 1＝1，215k =-，所以y ＝x+800，12005z x =-+． (3)211(800)200(100)16200055yz x x x ω⎛⎫==+-+=--+ ⎪⎝⎭．政府应将每台补贴款额x 定为100元，总收益有最大值，其最大值为162000元．【点评】求最大值问题一般需列出二次函数关系式．《二次函数》全章复习与巩固—巩固练习（基础）【巩固练习】 一、选择题1．将二次函数2y x =的图象向右平移1个单位，再向上平移2个单位后，所得图象的函数表达式是( )． A ．2(1)2y x =-+ B ．2(1)2y x =++ C ．2(1)2y x =-- D ．2(1)2y x =+- 2．二次函数2y ax bx c =++的图象如图所示，则一次函数24y bx b ac =+-与反比例函数a b cy x++= 在同一坐标系内的图象大致为（ ）．3．抛物线2y x bx c =++图象向右平移2个单位长度，再向下平移3个单位长度，所得图象的解析式为223y x x =--，则b 、c 的值为( )．A ．b ＝2，c ＝2B ．b ＝2，c ＝0C ．b ＝-2，c ＝-1D ．b ＝-3，c ＝2 4. 抛物线的图象如图所示，根据图象可知，抛物线的解析式可能是（ ）A ．22y x x =-- B ．211122y x x =-++ C ．211122y x x =--+ D ．22y x x =-++ 5．已知二次函数2(0)y ax bx c a =++≠的图象如图所示，有下列结论：①240b ac ->；②abc ＞0；③8a+c ＞0；④9a+3b+c ＜0．其中，正确结论的个数是( )． A ．1 B ．2 C ．3 D ．4第4题 第5题6．已知点(1x ，1y )，(2x ，2y )(两点不重合)均在抛物线21y x =-上，则下列说法正确的是( )． A ．若12y y =，则12x x = B ．若12x x =-，则12y y =- C ．若120x x <<，则12y y > D ．若120x x <<，则12y y > 7．在反比例函数ay x=中，当0x >时，y 随x 的增大而减小，则二次函数2y ax ax =-的图象大致是图中的( )．8．已知二次函数2y ax bx c =++(其中0a >，0b >，0c <)，关于这个二次函数的图象有如下说法：①图象的开口一定向上；②图象的顶点一定在第四象限；③图象与x 轴的交点至少有一个在y 轴的右侧． 以上说法正确的有( )．A ．0个B ．1个C ．2个D ．3个二、填空题9．已知抛物线2(0)y ax bx c a =++>的对称轴为直线1x =，且经过点1(1,)y -，2(2,)y ，试比较1y 和2y 的大小：1y ________2y （填“＞”，“＜”或“＝”）．10．抛物线2y x bx c =-++的图象如图所示，则此抛物线的解析式为___ _____．11．抛物线22(2)6y x =--的顶点为C ，已知y ＝-kx+3的图象经过点C ，则这个一次函数图象与两坐标轴所围成的三角形面积为________．12．已知二次函数22y x x m =-++的部分图象如图所示，则关于x 的一元二次方程220x x m -++=的解为________．第10题 第12题 第13题13．如图所示的抛物线是二次函数2231y ax x a =-+-的图象，那么a 的值是________．14．烟花厂为扬州“4·18”烟花三月经贸旅游节特别设计制作了一种新型礼炮，这种礼炮的升空高度h(m)与飞行时间t(s)的关系式是252012h t t =-++，若这种礼炮在点火升空到最高点处引爆，则从点火升空到引爆需要的时间为________．15．已知抛物线2y ax bx c =++经过点A(-1，4)，B(5，4)，C(3，-6)，则该抛物线上纵坐标为-6的另一个点的坐标是________．16．若二次函数26y x x c =-+的图象过A(-1，y 1)、B(2，y 2)、C(3，y 3)三点，则y 1、y 2、y 3大小关系是 .三、解答题17．杂技团进行杂技表演，演员从跷跷板右端A 处弹跳到人梯顶端椅子B 处，其身体运动(看成一点)的路线是抛物线23315y x x =-++的一部分，如图所示．(1)求演员弹跳离地面的最大高度；(2)已知人梯高BC ＝3.4米，在一次表演中，人梯到起跳点A 的水平距离是4米，问这次表演是否成功?请说明理由．18. 如图所示，要设计一个等腰梯形的花坛，花坛上底长120米，下底长180米，上、下底相距80米，在两腰中点连线(虚线)处有一条横向甬道，上、下底之间有两条纵向甬道，各甬道的宽度相等，设甬道的宽为x 米．(1)用含x 的式子表示横向甬道的面积；(2)当三条甬道的面积是梯形面积的八分之一时，求甬道的宽；(3)根据设计的要求，甬道的宽不能超过6米．如果修建甬道的总费用(万元)与甬道的宽度成正比例关系，比例系数是5.7，花坛其余部分的绿化费用为每平方米0.02万元，那么当甬道的宽度为多少米时，所建花坛的总费用最少?最少费用是多少万元?19．为迎接第四届世界太阳城大会，德州市把主要路段路灯更换为太阳能路灯．已知太阳能路灯售价为5000元/个，目前两个商家有此产品．甲商家用如下方法促销：若购买路灯不超过100个，按原价付款；若一次购买100个以上，且购买的个数每增加一个，其价格减少10元，但太阳能路灯的售价不得低于3500元/个．乙店一律按原价的80%销售．现购买太阳能路灯x 个，如果全部在甲商家购买，则所需金额为y 1元；如果全部在乙商家购买，则所需金额为y 2元．--- (1)分别求出y 1、y 2与x 之间的函数关系式；(2)若市政府投资140万元，最多能购买多少个太阳能路灯?20. 王亮同学善于改进学习方法，他发现对解题过程进行回顾反思，效果会更好．某一天他利用了30分钟时间进行自主学习．假设他用于解题的时间x(单位：分钟)与学习收益量)y 的关系如图1所示，用于回顾反思的时间x(单位：分钟)与学习收益量y 的关系如图2所示(其中OA 是抛物线的一部分，A 为抛物线的顶点)，且用于回顾反思的时间不超过用于解题的时间．(1)求王亮解题的学习收益量y 与用于解题的时间x 之间的函数关系式，并写出自变量x 的取值范围；(2)求王亮回顾反思的学习收益量y 与用于回顾反思的时间x 之间的函数关系式；(3)王亮如何分配解题和回顾反思的时间，才能使这30分钟的学习收益总量最大?(注：学习收益总量＝解题的学习收益量+回顾反思的学习收益量)【答案与解析】一、选择题1.【答案】A ；【解析】2y x =向右平移1个单位后，顶点为（1，0），再向上平移2个单位后，顶点为（1，2），开口方向及大小不变，所以1a =，即2(1)2y x =-=． 2.【答案】D ；【解析】由上图可知0a >，0c <，02b a->，∴ 0b <．0a b c ++<．240b ac ->， ∴ 反比例函数图象在第二、四象限内，一次函数图象经过第一、二、四象限，因此选D ．3.【答案】B ；【解析】2223(1)4y x x x =--=--，把抛物线2(1)4y x =--向左平移2个单位长度，再向上平移3个单位长度后得抛物线2(1)1y x =+-，∴ 222(1)12y x bx c x x x =++=+-=+，∴ b ＝2，c ＝0．因此选B ．4.【答案】D ；【解析】由图象知，抛物线与x 轴两交点是（-1，0），（2，0），又开口方向向下，所以0a <，抛物线与y 轴交点纵坐标大于1．显然A 、B 、C 不合题意，故选D ．5.【答案】D ；【解析】抛物线与x 轴交于两点，则0b <．由图象可知a ＞0，c ＜0，则b ＜0，故abc ＞0．当x ＝-2时，y ＝4a-2b+c ＞0．∵ 12b x a=-=，∴ b ＝-2a ，---∴ 4a-(-2a)×2+c ＞0，即8a+c ＞0．当x ＝3时，y ＝9a+3b+c ＜0，故4个结论都正确．6.【答案】D ；【解析】画出21y x =-的图象，对称轴为0x =，若12y y =，则12x x =-；若12x x =-，则12y y =；若120x x <<，则21y y >；若120x x <<，则12y y >．7．【答案】A ； 【解析】因为a y x=，当0x >时，y 随x 增大而减小，所以a ＞0，因此抛物线2(1)y ax ax a x x =-=- 开口向上，且与x 轴相交于（0，0）和（1，0）．8．【答案】C ；【解析】∵ 0a >，0b >，∴ 抛物线开口向上，02b x a=-<，因此抛物线顶点在y 轴的左侧， 不可能在第四象限；又0c <， 120c x x a=<·，抛物线与x 轴交于原点的两侧， 因此①③是正确的．二、填空题9．【答案】＞； 【解析】根据题意画出抛物线大致图象，找出x ＝-1，x ＝2时的函数值，比较其大小，易如12y y >．10．【答案】223y x x =-++；【解析】由题意和图象知抛物线与x 轴两交点为（3，0）、（-1，0），∴ 抛物线解析式为(3)(1)y x x =--+，即223y x x =-++．11．【答案】1；【解析】92k =，932y x =-+，与坐标轴交点为(0，3)，2,03⎛⎫ ⎪⎝⎭． 12．【答案】 x 1＝3或x 2＝-1 ；【解析】由二次函数22y x x m =-++部分图象知，与x 轴的一个交点为(3，0)．代入方程得m ＝3，解方程得x 1＝3或x 2＝-1．13．【答案】-1；【解析】因为抛物线过原点，所以210a -=，即1a =±，又抛物线开口向下，所以a ＝-1．14．【答案】4s ； 【解析】204(s)522t =-=⎛⎫⨯- ⎪⎝⎭． 15．【答案】(1，-6)；【解析】常规解法是先求出关系式，然后再求点的坐标，但此方法繁琐耗时易出错，仔细分析就会注意到：A 、B 两点纵坐标相同，它们关于抛物线对称轴对称，由A(-1，4)，B(5，4)得，对称轴1522x -+==，而抛物线上纵坐标为-6的一点是(3，-6)，所以它关于x ＝2的对称点是(1，-6)．故抛物线上纵坐--- 标为-6的另一点的坐标是(1，-6)．16．【答案】y 1＞y 3＞y 2． 【解析】因为抛物线的对称轴为6323x -==⨯．而A 、B 在对称轴左侧，且y 随x 的增大而减小， ∵ -1＜2，∴ y 1＞y 2，又C 在对称轴右侧，且A 、B 、C 三点到对称轴的距离分别为2，1y 1＞y 3＞y 2．三、解答题17.【答案与解析】 (1)2233519315524y x x x ⎛⎫=-++=--+ ⎪⎝⎭． ∵ 305-<，∴ 函数的最大值是194． ∴ 演员弹跳离地面的最大高度是194米． (2)当x ＝4时，234341 3.45y BC =-⨯+⨯+==． ∴ 这次表演成功．18.【答案与解析】(1)横向甬道的面积为1201801502x +=(m 2)． (2)依题意：2112018028015028082x x x +⨯+-=⨯⨯， 整理得21557500x x -+=，解得x 1＝5，x 2＝150(不合题意，舍去)．∴ 甬道的宽为5米． (3)设建花坛的总费用为y 万元，则21201800.0280(1601502) 5.72y x x x x +⎡⎤=⨯⨯-+-+⎢⎥⎣⎦． ∴ y ＝0.04x 2-0.5x+240．当0.5 6.25220.04b x a =-==⨯时，y 的值最小． ∵ 根据设计的要求，甬道的宽不能超过6 m ．∴ 当x ＝6m 时，总费用最少，为0.04×62-0.5×6+240＝238.44(万元)．19.【答案与解析】(1)由题意可知，当x ≥100时，因为购买个数每增加一个，其价格减少10元，但售价不得低于3500元/个，所以5000350010025010x -≤+=，即100≤x ≤250时，购买一个需5000-10(x-100)元． 故y 1＝6000x-10x 2；当x ＞250时，购买一个需3500元．故y 1＝3500x ．所以215000(0100),600010(100250),3500(250),x x y x xx x x ≤≤⎧⎪=-<≤⎨⎪>⎩--- y 2＝5000×80%x ＝4000x ．(2)当0＜x ≤100时，y 1＝5000x ≤500000＜1400000；当100＜x ≤250时，y 1＝6000x-10x 2＝-10(x-300)2+900000＜1400000；所以，由3500x ＝1400000，得x ＝400．由4000x ＝1400000，得x ＝350．故选择甲商家，最多能购买400个路灯．20.【答案与解析】(1)设y ＝kx ，把(2，4)代入，得k ＝2，所以y ＝2x ，自变量x 的取值范围是：0≤x ≤30．(2)当0≤x ＜5时，设y ＝a(x-5)2+25，把(0，0)代入，得25a+25＝0，a ＝-1，所以22(5)2510y x x x =--+=-+．当5≤x ≤15时，y ＝25．即210(05),25(515).x x x y x ⎧-+≤<=⎨≤≤⎩(3)设王亮用于回顾反思的时间为x(0≤x ＜5)分钟，学习收益总量为Z ，则他用于解题的时间为(30-x)分钟．当0≤x ＜5时，222102(30)860(4)76Z x x x x x x =-++-=-++=--+．所以当x ＝4时，76Z =最大．当5≤x ≤15时，Z ＝25+2(30-x)＝-2x+85．因为Z 随x 的增大而减小，所以当x ＝5时，75Z =最大．综合所述，当x ＝4时，76Z =最大，此时30-x ＝26．即王亮用于解题的时间为26分钟，用于回顾反思的时间为4分钟时．学习收益总量最大．。

二次函数知识点总结二次函数知识点总结：二次函数是形如y=ax^2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）的函数。

需要强调的是，和一元二次方程类似，二次项系数a≠0，而b，c可以为零。

二次函数的定义域是全体实数。

二次函数y=ax^2+bx+c的结构特征包括等号左边是函数，右边是关于自变量x的二次式，x的最高次数是2.a，b，c是常数，a是二次项系数，b是一次项系数，c是常数项。

二次函数的基本形式为y=ax^2.其中，a的绝对值越大，抛物线的开口越小。

具体而言，a的符号决定开口方向，顶点坐标为（0，0），对称轴为y轴。

当a>0时，抛物线开口向上，当a<0时，抛物线开口向下。

对于y=ax^2+c形式的二次函数，其顶点坐标为（0，c），对称轴为y轴。

对于y=a(x-h)^2形式的二次函数，其顶点坐标为（h，0），对称轴为x=h。

当a>0时，抛物线开口向上，当a<0时，抛物线开口向下。

对于y=a(x-h)^2+k形式的二次函数，其顶点坐标为（h，k），对称轴为x=h。

当a>0时，抛物线开口向上，当a0时，向上平移|k|个单位，当k<0时，向下平移|k|个单位。

剔除下面文章的格式错误，删除明显有问题的段落,然后再小幅度的改写每段话。

二次函数的平移规律二次函数的平移规律可以概括为“左加右减，上加下减”。

具体来说，如果将二次函数y=ax^2+k向右平移h个单位，则解析式变为y=a(x-h)^2+k；如果向左平移h个单位，则解析式变为y=a(x+h)^2+k。

同样地，如果向上平移k个单位，则解析式变为y=a(x-h)^2+k；如果向下平移k个单位，则解析式变为y=a(x-h)^2-k。

二次函数y=ax^2+bx+c与y=a(x-h)^2+k的比较二次函数y=ax^2+bx+c和y=a(x-h)^2+k是两种不同的表达形式。

通过配方法，我们可以将前者转化为后者，即b^2-4ac=4a(k-c)，h=-b/2a，k=c-b^2/4a。

初中二次函数基础知识二次函数是初中数学中的重要内容之一。

它的图像呈现出一条弯曲的曲线，通常被称为抛物线。

二次函数的标准形式可以表示为y = ax^2 + bx + c，其中a、b和c是实数，且a不等于0。

我们来了解一下二次函数的图像特点。

当a大于0时，抛物线开口向上，当a小于0时，抛物线开口向下。

b的值决定了抛物线的位置，c的值则是抛物线与y轴的交点。

我们来看一下二次函数的顶点。

二次函数的顶点坐标为（h，k），其中h = -b/2a，k = f(h)。

顶点是抛物线的最高点或最低点，也是抛物线的对称轴与x轴的交点。

接下来，我们来讨论一下二次函数的零点。

零点也叫根，即函数图像与x轴的交点。

二次函数的零点可以通过解方程ax^2 + bx + c = 0来求得。

当Δ = b^2 - 4ac大于0时，方程有两个不相等的实根；当Δ等于0时，方程有两个相等的实根；当Δ小于0时，方程无实根。

在实际应用中，二次函数有着广泛的应用。

例如，抛物线的形状可以用来描述物体的抛射轨迹。

在物理学中，二次函数可以用来描述自由落体运动的高度随时间的变化规律。

在经济学中，二次函数可以用来描述成本、收益等与产量的关系。

二次函数还有一些特殊情况。

当a等于1时，二次函数的形式简化为y = x^2 + bx + c，这种形式被称为单项式二次函数。

当c等于0时，二次函数的形式简化为y = ax^2 + bx，这种形式被称为不完全二次函数。

在学习二次函数时，我们还需要掌握一些常见的二次函数图像变换。

例如，当二次函数的系数a的绝对值大于1时，抛物线的开口会变窄；当a的绝对值小于1时，抛物线的开口会变宽。

当二次函数中的x有平移时，抛物线会在x轴方向上发生平移。

总结起来，初中二次函数的基础知识包括了抛物线的图像特点、顶点和零点的求解方法，以及二次函数在实际应用中的意义。

通过掌握这些知识，我们可以更好地理解和应用二次函数，为进一步学习高中数学打下坚实的基础。

“耐克” 函数及其性质 1()f x x x=+对于函数和来说，大家并不陌生，掌握的也不错。

但对于函数()f x x =1()f x x =1()f x x x =+来说，看起来简单，掌握就不那么容易了,其图象形如“耐克”商标，由此得名“耐克”函数。

下面我们就研究其函数的一些性质（定义域，值域，图像，对称性，单调性，奇偶性） 1()f x x x=+（1）定义域：()()x -,00,∈∞+∞ （2）奇偶性:首先函数定义域关于原点对称，又,故f(x)为奇函数，11f(-x)=-x+=-(x+)=-f(x)-x x所以函数的图像（如下）关于原点对称(对称性)（3） 图像如下：图像为双曲线，分两支；中心对称图形，以直线和为渐近线，在第一象限形状就y x =0x =是个“耐克”的形状。

（4）值域：1）当时:利用均值定当且即x>010x >1() 2.f x x x =+≥=1x x=1x =时，等号成立；()2f x ∴≥2）当时: ,利用均值定理: 0x <10,0x x->->当且仅当即时，等号成立。

1()() 2.f x f x x x -=-=-+≥=-1x x-=-1x =- 综上知，函数的值域为(-∞,-2]∪[2,+∞).()2f x ∴≤-()f x （5）单调性：由于奇函数在对称区间上的单调性相同，故只研究当x ﹥0时的单调性：1)定义法：任取且 则令()12,0,x x ∈+∞12x x <()()()()()212121212121212121211111()111A f x f x x x x x x x x x x x x x x x x x x x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-=+-+=-+- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭-⎛⎫=--=- ⎪⎝⎭只有正负不定，故只要限定在某个范围内取值210x x >> 21210,0x x x x ∴->>211x x -12,x x 即可，因此有：当 时，，此时.1121x x ≤<2110x x ->0A >当时，,此时.021201x x <<<211x x <0A <由上可知，函数在 (0,1)上单调递减，在[1,+∞)上单调递增.又由函数在对称区间上单调性相同知，f(x)在(-∞,-1]上单调递增,在(-1,0)上单调递减.2)导数法： 则当时，1()f x x x =+'21()1f x x∴=-()(),11,x ∈-∞-+∞ 当时，,故函数在(-∞,-1)和[1,+∞)上'21()10f x x =->()()1,00,1x ∈- '21()10f x x=-<单调递增.在(-∞,-1]和(0,1)上单调递减.同样可研究其他函数： 1.函数的性质： 1()f x x x=-（1）定义域：()()x -,00,∈∞+∞ （2）奇偶性:定义域关于原点对称,又,故f(x)为奇函()11()f x x x f x x x ⎛⎫-=--=--=- ⎪-⎝⎭数，所以函数的图像（如下）关于原点对称(对称性)（3）图像如下：图像亦为双曲线，以直线以直线和为渐近线。

二次函数讲解范文二次函数是一种基本的函数形式，其形式为 f(x) = ax^2 + bx + c，其中 a、b、c 是实数，而 x 则是变量。

下面将从定义、性质和图像三个方面进行讲解。

一、定义：二次函数是一个包含二次项的多项式函数。

其中二次项的指数是2，因此二次函数的最高次项为二次项。

二次函数的定义域是所有实数，即对于任何实数x，函数都有良好定义。

二、性质：1.顶点：二次函数的顶点是其图像的最低点或最高点。

二次函数的顶点坐标可以通过公式(-b/2a,f(-b/2a))计算得出。

其中(-b/2a)是二次函数的对称轴的x坐标。

2.对称轴：二次函数的对称轴是通过顶点且垂直于x轴的一条直线。

对称轴的方程可以通过公式x=-b/2a计算得出。

3.开口方向：二次函数的a的符号决定了它的开口方向。

当a大于0时，二次函数向上开口，也就是图像开口朝上；当a小于0时，二次函数向下开口，图像开口朝下。

4.零点：二次函数的零点是使得函数值等于0的 x 值。

它们可以通过求解二次方程 ax^2 + bx + c = 0 得出。

二次函数的零点的个数和性质与判别式有关。

当判别式大于0时，函数有两个不相等的实根；当判别式等于0时，函数有一个实根；当判别式小于0时，函数没有实根。

5.增减性：二次函数在开口向上的区间内是递增的，在开口向下的区间内是递减的。

开口向上的二次函数在顶点处达到最小值，开口向下的二次函数在顶点处达到最大值。

三、图像：根据二次函数的性质，我们可以画出二次函数的图像。

为了画出二次函数的图像，我们可以按照以下步骤进行：1.计算顶点坐标：使用公式(-b/2a,f(-b/2a))计算出顶点坐标。

2.计算对称轴：使用公式x=-b/2a计算出对称轴的方程。

3.选择$x$值并计算$y$值：选择一些$x$值，并计算相应的$y$值。

可以使用顶点坐标和对称轴的方程来简化计算。

4.画出点并绘制曲线：将计算得到的点绘制在坐标纸上，并连接它们以得到函数的图像。