2018届中考总复习数学：第14课时二次函数的实际应用(Word版含答案)

火速出击第14讲二次函数的实际应用【试试火力】:1.（2017甘肃天水）如图是抛物线y1=ax2+bx+c（a≠0）的图象的一部分，抛物线的顶点坐标是A（1，3），与x轴的一个交点是B（4，0），直线y2=mx+n（m ≠0）与抛物线交于A，B两点，下列结论：①abc＞0；②方程ax2+bx+c=3有两个相等的实数根；③抛物线与x轴的另一个交点是（﹣1，0）；④当1＜x＜4时，有y2＞y1；⑤x（ax+b）≤a+b，其中正确的结论是②⑤．（只填写序号）2.（2017?温州）小明家的洗手盆上装有一种抬启式水龙头（如图1），完全开启后，水流路线呈抛物线，把手端点A，出水口B和落水点C恰好在同一直线上，点A至出水管BD的距离为12cm，洗手盆及水龙头的相关数据如图2所示，现用高10.2cm的圆柱型水杯去接水，若水流所在抛物线经过点D和杯子上底面中心E，则点E到洗手盆内侧的距离EH为24﹣82cm．3.（2017年江苏扬州）农经公司以30元/千克的价格收购一批农产品进行销售，为了得到日销售量p（千克）与销售价格x（元/千克）之间的关系，经过市场调查获得部分数据如下表：30 35 40 45 50销售价格x（元/千克）日销售量p（千克）600 450 300 150 0（1）请你根据表中的数据，用所学过的一次函数、二次函数、反比例函数的知识确定p与x之间的函数表达式；（2）农经公司应该如何确定这批农产品的销售价格，才能使日销售利润最大？（3）若农经公司每销售1千克这种农产品需支出a元（a＞0）的相关费用，当40≤x≤45时，农经公司的日获利的最大值为2430元，求a的值．（日获利=日销售利润﹣日支出费用）4.（2017浙江湖州）湖州素有鱼米之乡之称，某水产养殖大户为了更好地发挥技术优势，一次性收购了20000kg淡水鱼，计划养殖一段时间后再出售．已知每天放养的费用相同，放养10天的总成本为30.4万元；放养20天的总成本为30.8万元（总成本=放养总费用+收购成本）．【出处：21教育名师】（1）设每天的放养费用是a万元，收购成本为b万元，求a和b的值；（2）设这批淡水鱼放养t天后的质量为m（kg），销售单价为y元/kg．根据以往经验可知：m与t的函数关系为；y与t的函数关系如图所示．①分别求出当0≤t≤50和50＜t≤100时，y与t的函数关系式；②设将这批淡水鱼放养t天后一次性出售所得利润为W元，求当t为何值时，W 最大？并求出最大值．（利润=销售总额﹣总成本）【把握火苗】火点1实物抛物线步骤①建立平面直角坐标系；②利用①法确定抛物线的解析式；③利用二次函数的性质解决实际问题.桥梁、隧道、体育运动等常见类型【易错提示】当题目中没有给出坐标系时，坐标系选取的不同，所得解析式也不同.火点2二次函数在销售问题中的应用步骤①读懂题意，借助销售问题中的利润等公式寻找②；②确定函数解析式；③确定二次函数的③，解决实际问题.【易错提示】在求二次函数最值时，要注意实际问题中自变量的取值的限制对最值的影响.火点3二次函数在面积问题中的应用步骤①根据几何知识探求图形的④；②根据面积关系式确定函数解析式；③确定二次函数的⑤，解决问题.火点4灵活选用适当的函数模型步骤①由题目条件在坐标系中描出点的坐标；②根据点的坐标判断⑥；③由⑦确定函数解析式；④将其他各点或对应值代入所求解析式，检验函数类型确定得是否正确；⑤利用所求函数的性质解决问题.【易错提示】建立函数模型解决实际问题时，题目中没有明确函数类型时，要对求出的函数解析式进行验证，防止出现错解.【掌握火候】1.二次函数在实际生活中有着广泛的应用，解题时可采用列表、画图象等方法辅助思考.2.应用二次函数知识求实际问题的最大值或最小值时，一定要考虑顶点(横坐标、纵坐标)的取值是否在自变量的取值范围之内.【突破火点】燃点1 实物抛物线例1如图，排球运动员站在点O 处练习发球，将球从O 点正上方2 m 的A 处发出，把球看成点，其运行的高度y(m)与运行的水平距离x(m)满足关系式y=a(x-6)2+h.已知球网与O 点的水平距离为9 m ，高度为 2.43 m ，球场的边界距O 点的水平距离为18 m.(1)当h=2.6时，求y 与x 的关系式(不要求写出自变量x 的取值范围)；(2)当h=2.6时，球能否越过球网？球会不会出界？请说明理由；(3)若球一定能越过球网，又不出边界，求h 的取值范围.【思路点拨】(1)根据h=2.6和函数图象经过点(0，2)，确定二次函数的解析式；(2)令x=9，求y 值，若y ≥2.43，则球能过网，反之则不能.令y=0，求x 值.若x ≤18，则球不出界，反之就会出界；或者令x=18求y ，若y ＞0则出界，否则不出界;(3)把二次函数化为只含有字母系数h 的形式.然后令x=9时y ＞2.43，且当x=18时y ≤0，从而确定h 的取值范围. 【解析】∵点(0，2)在y=a(x-6)2+h 的图象上，∴2=a (0-6)2+h ，a=236h，函数可写成y=236h(x-6)2+h.(1)当h=2.6时，y 与x 的关系式是y=-160(x-6)2+2.6；(2)球能越过球网，球会出界. 理由：当x=9时，y=-160×(9-6)2+2.6=2.45＞2.43，所以球能过球网；当y=0时，-160(x-6)2+2.6=0，解得x 1=6+239＞18，x 2=6-239(舍去)，故球会出界.另解：当x=18时，y=-160×(18-6)2+2.6=0.2＞0，所以球会出界.(3)由球能越过球网可知，当x=9时，y=24h+h＞2.43，①由球不出边界可知，当x=18时，y=8-3h≤0，②由①、②知h≥83，所以h的取值范围是h≥83.方法归纳：利用二次函数解决实物抛物线形问题时，要把实际问题中的已知条件转化为点的坐标，代入解析式求解，最后根据求解的结果转化为实际问题的答案. 燃点2二次函数在销售问题中的应用例2（2017湖北荆州）荆州市某水产养殖户进行小龙虾养殖．已知每千克小龙虾养殖成本为6元，在整个销售旺季的80天里，销售单价p（元/千克）与时间第t（天）之间的函数关系为：，日销售量y（千克）与时间第t（天）之间的函数关系如图所示：（1）求日销售量y与时间t的函数关系式？（2）哪一天的日销售利润最大？最大利润是多少？（3）该养殖户有多少天日销售利润不低于2400元？（4）在实际销售的前40天中，该养殖户决定每销售1千克小龙虾，就捐赠m（m ＜7）元给村里的特困户．在这前40天中，每天扣除捐赠后的日销售利润随时间t的增大而增大，求m的取值范围．【考点】HE：二次函数的应用．【分析】（1）根据函数图象，利用待定系数法求解可得；（2）设日销售利润为w，分1≤t≤40和41≤t≤80两种情况，根据“总利润=每千克利润×销售量”列出函数解析式，由二次函数的性质分别求得最值即可判断；（3）求出w=2400时x的值，结合函数图象即可得出答案；（4）依据（2）中相等关系列出函数解析式，确定其对称轴，由1≤t≤40且销售利润随时间t的增大而增大，结合二次函数的性质可得答案．【解答】解：（1）设解析式为y=kt+b，将（1，198）、（80，40）代入，得：，解得：，∴y=﹣2t+200（1≤x≤80，t为整数）；（2）设日销售利润为w，则w=（p﹣6）y，①当1≤t≤40时，w=（t+16﹣6）（﹣2t+200）=﹣（t﹣30）2+2450，∴当t=30时，w最大=2450；②当41≤t≤80时，w=（﹣t+46﹣6）（﹣2t+200）=（t﹣90）2﹣100，∴当t=41时，w最大=2301，∵2450＞2301，∴第30天的日销售利润最大，最大利润为2450元．（3）由（2）得：当1≤t≤40时，w=﹣（t﹣30）2+2450，令w=2400，即﹣（t﹣30）2+2450=2400，解得：t1=20、t2=40，由函数w=﹣（t﹣30）2+2450图象可知，当20≤t≤40时，日销售利润不低于2400元，而当41≤t≤80时，w最大=2301＜2400，∴t的取值范围是20≤t≤40，∴共有21天符合条件．（4）设日销售利润为w，根据题意，得：w=（t+16﹣6﹣m）（﹣2t+200）=﹣t2+（30+2m）t+2000﹣200m，其函数图象的对称轴为t=2m+30，∵w随t的增大而增大，且1≤t≤40，∴由二次函数的图象及其性质可知2m+30≥40，解得：m≥5，又m＜7，∴5≤m＜7．方法归纳：本题最后问的是售价，而关系中给出的是涨价，一定要分清二者的关系，这是一个易错点.这类题一般设涨价或者降价为x元，得二次函数关系式.最后将结果化到售价即可.燃点3 二次函数在面积问题中的应用例3 （2017?温州）小黄准备给长8m，宽6m的长方形客厅铺设瓷砖，现将其划分成一个长方形ABCD区域Ⅰ（阴影部分）和一个环形区域Ⅱ（空白部分），其中区域Ⅰ用甲、乙、丙三种瓷砖铺设，且满足PQ∥AD，如图所示．（1）若区域Ⅰ的三种瓷砖均价为300元/m2，面积为S（m2），区域Ⅱ的瓷砖均价为200元/m2，且两区域的瓷砖总价为不超过12000元，求S的最大值；（2）若区域Ⅰ满足AB：BC=2：3，区域Ⅱ四周宽度相等①求AB，BC的长；②若甲、丙两瓷砖单价之和为300元/m2，乙、丙瓷砖单价之比为5：3，且区域Ⅰ的三种瓷砖总价为4800元，求丙瓷砖单价的取值范围．【考点】C9：一元一次不等式的应用；HE：二次函数的应用；LB：矩形的性质．【分析】（1）根据题意可得300S+（48﹣S）200≤12000，解不等式即可；（2）①设区域Ⅱ四周宽度为a，则由题意（6﹣2a）：（8﹣2a）=2：3，解得a=1，由此即可解决问题；②设乙、丙瓷砖单价分别为5x元/m2和3x元/m2，则甲的单价为（300﹣3x）元/m2，由PQ∥AD，可得甲的面积=矩形ABCD的面积的一半=12，设乙的面积为s，则丙的面积为（12﹣s），由题意12（300﹣3x）+5x?s+3x?（12﹣s）=4800，解得s=600??，由0＜s＜12，可得0＜600??＜12，解不等式即可；【解答】解：（1）由题意300S+（48﹣S）200≤12000，解得S≤24．∴S的最大值为24．（2）①设区域Ⅱ四周宽度为a，则由题意（6﹣2a）：（8﹣2a）=2：3，解得a=1，∴AB=6﹣2a=4，CB=8﹣2a=6．②设乙、丙瓷砖单价分别为5x元/m2和3x元/m2，则甲的单价为（300﹣3x）元/m2，∵PQ∥AD，∴甲的面积=矩形ABCD的面积的一半=12，设乙的面积为s，则丙的面积为（12﹣s），由题意12（300﹣3x）+5x?s+3x?（12﹣s）=4800，解得s=600??，∵0＜s＜12，∴0＜600??＜12，∴0＜x＜50，∴丙瓷砖单价3x的范围为0＜3x＜150元/m2．【点评】本题考查不等式的应用、矩形的性质等知识，解题的关键是理解题意，学会构建方程或不等式解决实际问题，属于中考常考题型．方法归纳：解几何图形最值问题常用的方法是要先求出面积的表达式，发现是二次函数就可以利用配方法或利用顶点公式求最值，但要注意x的取值范围.燃点4 灵活选用适当的函数模型例题4：科幻小说《实验室的故事》中，有这样一个情节：科学家把一种珍奇的植物分别放在不同温度的环境中，经过一天后，测试出这种植物高度的增长情况(如下表).温度x/℃，-4-20244.5,植物每天高度增长量y/mm,414949412519.75,由这些数据，科学家推测出植物每天高度增长量y是温度x的函数，且这种函数是反比例函数、一次函数和二次函数中的一种.(1)请你选择一种适当的函数，求出它的函数关系式，并简要说明不选择另外两种函数的理由；(2)温度为多少时，这种植物每天高度增长最大？(3)如果实验室温度保持不变，在10天内要使该植物高度增长量的总和超过250 mm，那么实验室的温度x应该在哪个范围内选择？直接写出结果.【思路点拨】(1)利用自变量可取0，排除反比例函数；利用三点不共线，排除一次函数；(2)把二次函数解析式整理成顶点式形式，再根据二次函数的最值问题解答；(3)利用二次函数与一元一次方程以及一元二次不等式关系求解.【解析】(1)选择二次函数，因为当x=0时，y=49，所以c=49.所以设y=ax2+bx+49，得424949,424941.a b a b 解得1,2.a b∴y 关于x 的函数关系式是y=-x 2-2x+49. 不选另外两个函数的理由：∵点(0，49)不可能在反比例函数图象上，∴y 不是x 的反比例函数；∵点(-4，41)，(-2，49)，(2，41)不在同一直线上，∴y 不是x 的一次函数. (2)由(1)，得y=-x 2-2x+49=-(x+1)2+50. ∵a=-1＜0，∴当x=-1时，y 有最大值为50，即当温度为-1 ℃时，这种植物每天高度增长量最大.(3)∵10天内要使该植物高度增长量的总和超过250 mm ，∴平均每天该植物高度增长量超过25 mm ，当y=25时，-x 2-2x+49=25，整理，得x 2+2x-24=0，解得x 1=-6，x 2=4，∴在10天内要使该植物高度增长量的总和超过250 mm ，实验室的温度应保持在-6 ℃＜x ＜4 ℃.方法归纳：此题是一道二次函数的实际应用问题.解题的关键是根据题意构建二次函数模型，然后根据二次函数的性质求解即可.燃点5二次函数与三角形的综合例题5：（2017深圳）如图，抛物线y=ax 2+bx+2经过点A （﹣1，0），B （4，0），交y 轴于点C ；（1）求抛物线的解析式（用一般式表示）；（2）点D 为y 轴右侧抛物线上一点，是否存在点D 使S △ABC =S △ABD ？若存在请直接给出点D 坐标；若不存在请说明理由；（3）将直线BC 绕点B 顺时针旋转45°，与抛物线交于另一点E ，求BE 的长．【考点】HF：二次函数综合题．【分析】（1）由A、B的坐标，利用待定系数法可求得抛物线解析式；（2）由条件可求得点D到x轴的距离，即可求得D点的纵坐标，代入抛物线解析式可求得D点坐标；（3）由条件可证得BC⊥AC，设直线AC和BE交于点F，过F作FM⊥x轴于点M，则可得BF=BC，利用平行线分线段成比例可求得F点的坐标，利用待定系数法可求得直线BE解析式，联立直线BE和抛物线解析式可求得E点坐标，则可求得BE的长．【解答】解：（1）∵抛物线y=ax2+bx+2经过点A（﹣1，0），B（4，0），∴，解得，∴抛物线解析式为y=﹣x2+x+2；（2）由题意可知C（0，2），A（﹣1，0），B（4，0），∴AB=5，OC=2，∴S△ABC=AB?OC=×5×2=5，∵S△ABC=S△ABD，∴S△ABD=×5=，设D（x，y），∴AB?|y|=×5|y|=，解得|y|=3，当y=3时，由﹣x2+x+2=3，解得x=1或x=2，此时D点坐标为（1，3）或（2，3）；当y=﹣3时，由﹣x2+x+2=﹣3，解得x=﹣2（舍去）或x=5，此时D点坐标为（5，﹣3）；综上可知存在满足条件的点D，其坐标为（1，3）或（2，3）或（5，﹣3）；（3）∵AO=1，OC=2，OB=4，AB=5，∴AC==，BC==2，∴AC2+BC2=AB2，∴△ABC为直角三角形，即BC⊥AC，如图，设直线AC与直线BE交于点F，过F作FM⊥x轴于点M，由题意可知∠FBC=45°，∴∠CFB=45°，∴CF=BC=2，∴=，即=，解得OM=2， =，即=，解得FM=6，∴F（2，6），且B（4，0），设直线BE解析式为y=kx+m，则可得，解得，∴直线BE解析式为y=﹣3x+12，联立直线BE和抛物线解析式可得，解得或，∴E（5，﹣3），∴BE==．燃点6二次函数与四边形的综合例题6：（2017山东烟台）如图1，抛物线y=ax2+bx+2与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，AB=4，矩形OBDC的边CD=1，延长DC交抛物线于点E．（1）求抛物线的解析式；（2）如图2，点P是直线EO上方抛物线上的一个动点，过点P作y轴的平行线交直线EO于点G，作PH⊥EO，垂足为H．设PH的长为l，点P的横坐标为m，求l与m的函数关系式（不必写出m的取值范围），并求出l的最大值；（3）如果点N是抛物线对称轴上的一点，抛物线上是否存在点M，使得以M，A，C，N为顶点的四边形是平行四边形？若存在，直接写出所有满足条件的点M的坐标；若不存在，请说明理由．【考点】HF：二次函数综合题．【分析】（1）由条件可求得A、B的坐标，利用待定系数法可求得抛物线解析式；（2）可先求得E点坐标，从而可求得直线OE解析式，可知∠PGH=45°，用m 可表示出PG的长，从而可表示出l的长，再利用二次函数的性质可求得其最大值；（3）分AC为边和AC为对角线，当AC为边时，过M作对称轴的垂线，垂足为F，则可证得△MFN≌△AOC，可求得M到对称轴的距离，从而可求得M点的横坐标，可求得M点的坐标；当AC为对角线时，设AC的中点为K，可求得K的横坐标，从而可求得M的横坐标，代入抛物线解析式可求得M点坐标．【解答】解：（1）∵矩形OBDC的边CD=1，∴OB=1，∵AB=4，∴OA=3，∴A（﹣3，0），B（1，0），把A、B两点坐标代入抛物线解析式可得，解得，∴抛物线解析式为y=﹣x2﹣x+2；（2）在y=﹣x2﹣x+2中，令y=2可得2=﹣x2﹣x+2，解得x=0或x=﹣2，∴E（﹣2，2），∴直线OE解析式为y=﹣x，由题意可得P（m，﹣ m2﹣m+2），∵PG∥y轴，∴G（m，﹣m），∵P在直线OE的上方，∴PG=﹣m2﹣m+2﹣（﹣m）=﹣m2﹣m+2=﹣（m+）2+，∵直线OE解析式为y=﹣x，∴∠PGH=∠COE=45°，∴l=PG= [﹣（m+）2+]=﹣（m+）2+，∴当m=﹣时，l有最大值，最大值为；（3）①当AC为平行四边形的边时，则有MN∥AC，且MN=AC，如图，过M作对称轴的垂线，垂足为F，设AC交对称轴于点L，则∠ALF=∠ACO=∠FNM，在△MFN和△AOC中∴△MFN≌△AOC（AAS），∴MF=AO=3，∴点M到对称轴的距离为3，又y=﹣x2﹣x+2，∴抛物线对称轴为x=﹣1，设M点坐标为（x，y），则|x+1|=3，解得x=2或x=﹣4，当x=2时，y=﹣，当x=﹣4时，y=，∴M点坐标为（2，﹣）或（﹣4，﹣）；②当AC为对角线时，设AC的中点为K，∵A（﹣3，0），C（0，2），∴K（﹣，1），∵点N在对称轴上，∴点N的横坐标为﹣1，设M点横坐标为x，∴x+（﹣1）=2×（﹣）=﹣3，解得x=﹣2，此时y=2，∴M（﹣2，2）；综上可知点M的坐标为（2，﹣）或（﹣4，﹣）或（﹣2，2）．燃点7二次函数与圆的综合例题7：（2017绥化）在平面直角坐标系中，直线y=﹣x+1交y轴于点B，交x 轴于点A，抛物线y=﹣x2+bx+c经过点B，与直线y=﹣+1交于点C（4，﹣2）．（1）求抛物线的解析式；（2）如图，横坐标为m的点M在直线BC上方的抛物线上，过点M作ME∥y轴交直线BC于点E，以ME为直径的圆交直线BC于另一点D，当点E在x轴上时，求△DEM的周长．（3）将△AOB绕坐标平面内的某一点按顺时针方向旋转90°，得到△A1O1B1，点A，O，B的对应点分别是点A1，O1，B1，若△A1O1B1的两个顶点恰好落在抛物线上，请直接写出点A1的坐标．【考点】HF：二次函数综合题．【分析】（1）利用待定系数法求抛物线的解析式；（2）如图1，A与E重合，根据直线y=﹣x+1求得与x轴交点坐标可得OA的长，由勾股定理得AB的长，利用等角的三角函数得：sin∠ABO=，cos∠ABO==，则可得DE和DM的长，根据M的横坐标代入抛物线的解析式可得纵坐标，即ME的长，相加得△DEM的周长；（3）由旋转可知：O1A1⊥x轴，O1B1⊥y轴，设点A1的横坐标为x，则点B1的横坐标为x+1，所以点O1，A1不可能同时落在抛物线上，分以下两种情况：①如图2，当点O1，B1同时落在抛物线上时，根据点O1，B1的纵坐标相等列方程可得结论；②如图3，当点A1，B1同时落在抛物线上时，根据点B1的纵坐标比点A1的纵坐标大，列方程可得结论．【解答】解：（1）∵直线y=﹣x+1交y轴于点B，∴B（0，1），∵抛物线y=﹣x2+bx+c经过点B和点C（4，﹣2）．∴，解得：，∴抛物线的解析式为：y=﹣x2+x+1；（2）如图1，∵直线y=﹣x+1交x轴于点A，当y=0时，﹣ x+1=0，x=，∴A（，0），∴OA=，在Rt△AOB中，∵OB=1，∴AB=，∴sin∠ABO=，cos∠ABO==，∵ME∥x轴，∴∠DEM=∠ABO，∵以ME为直径的圆交直线BC于另一点D，∴∠EDM=90°，∴DE=ME?cos∠DEM=ME，DM=ME?sin∠DEM=ME，当点E在x轴上时，E和A重合，则m=OA=，当x=时，y=﹣×+×+1=；∴ME=，∴DE==，DM==，∴△DEM的周长=DE+DM+ME=++=；（3）由旋转可知：O1A1⊥x轴，O1B1⊥y轴，设点A1的横坐标为x，则点B1的横坐标为x+1，∵O1A1⊥x轴，∴点O1，A1不可能同时落在抛物线上，分以下两种情况：①如图2，当点O1，B1同时落在抛物线上时，点O1，B1的纵坐标相等，∴﹣=﹣（x+1）2+（x+1）+1，解得：x=，此时点A1的坐标为（，），②如图3，当点A1，B1同时落在抛物线上时，点B1的纵坐标比点A1的纵坐标大，﹣=﹣（x+1）2+（x+1）+1，解得：x=﹣，此时A1（﹣，），综上所述，点A1（，）或（﹣，）．【冰火不容】1. （2017浙江义乌）某农场拟建一间矩形种牛饲养室，饲养室的一面靠现有墙（墙足够长），已知计划中的建筑材料可建围墙的总长为50m．设饲养室长为x （m），占地面积为y（m2）．（1）如图1，问饲养室长x为多少时，占地面积y最大？（2）如图2，现要求在图中所示位置留2m宽的门，且仍使饲养室的占地面积最大，小敏说：“只要饲养室长比（1）中的长多2m就行了．”请你通过计算，判断小敏的说法是否正确．2. （2017?营口）夏季空调销售供不应求，某空调厂接到一份紧急订单，要求在10天内（含10天）完成任务，为提高生产效率，工厂加班加点，接到任务的第一天就生产了空调42台，以后每天生产的空调都比前一天多2台，由于机器损耗等原因，当日生产的空调数量达到50台后，每多生产一台，当天生产的所有空调，平均每台成本就增加20元．（1）设第x天生产空调y台，直接写出y与x之间的函数解析式，并写出自变量x的取值范围．（2）若每台空调的成本价（日生产量不超过50台时）为2000元，订购价格为每台2920元，设第x天的利润为W元，试求W与x之间的函数解析式，并求工厂哪一天获得的利润最大，最大利润是多少．3. （2017张家界）已知抛物线c1的顶点为A（﹣1，4），与y轴的交点为D（0，3）．（1）求c1的解析式；（2）若直线l1：y=x+m与c1仅有唯一的交点，求m的值；（3）若抛物线c1关于y轴对称的抛物线记作c2，平行于x轴的直线记作l2：y=n．试结合图形回答：当n为何值时，l2与c1和c2共有：①两个交点；②三个交点；③四个交点；（4）若c2与x轴正半轴交点记作B，试在x轴上求点P，使△PAB为等腰三角形．4.（2017湖北随州）某水果店在两周内，将标价为10元/斤的某种水果，经过两次降价后的价格为8.1元/斤，并且两次降价的百分率相同．（1）求该种水果每次降价的百分率；（2）从第一次降价的第1天算起，第x天（x为整数）的售价、销量及储存和损耗费用的相关信息如表所示．已知该种水果的进价为 4.1元/斤，设销售该水果第x（天）的利润为y（元），求y与x（1≤x＜15）之间的函数关系式，并求出第几天时销售利润最大？时间x（天） 1≤x＜9 9≤x＜15 x≥15售价（元/斤）第1次降价后的价格第2次降价后的价格销量（斤） 80﹣3x 120﹣x储存和损耗费用（元）40+3x 3x2﹣64x+400（3）在（2）的条件下，若要使第15天的利润比（2）中最大利润最多少127.5元，则第15天在第14天的价格基础上最多可降多少元？5. （2017甘肃张掖）如图，已知二次函数y=ax2+bx+4的图象与x轴交于点B（﹣2，0），点C（8，0），与y轴交于点A．（1）求二次函数y=ax2+bx+4的表达式；（2）连接AC，AB，若点N在线段BC上运动（不与点B，C重合），过点N作NM ∥AC，交AB于点M，当△AMN面积最大时，求N点的坐标；（3）连接OM，在（2）的结论下，求OM与AC的数量关系．6. （2017四川眉山）如图，抛物线y=ax2+bx﹣2与x轴交于A、B两点，与y 轴交于C点，已知A（3，0），且M（1，﹣）是抛物线上另一点．（1）求a、b的值；（2）连结AC，设点P是y轴上任一点，若以P、A、C三点为顶点的三角形是等腰三角形，求P点的坐标；（3）若点N是x轴正半轴上且在抛物线内的一动点（不与O、A重合），过点N 作NH∥AC交抛物线的对称轴于H点．设ON=t，△ONH的面积为S，求S与t之间的函数关系式．7.（2017四川南充）如图1，已知二次函数y=ax2+bx+c（a、b、c为常数，a≠0）的图象过点O（0，0）和点A（4，0），函数图象最低点M的纵坐标为﹣，直线l的解析式为y=x．（1）求二次函数的解析式；（2）直线l沿x轴向右平移，得直线l′，l′与线段OA相交于点B，与x轴下方的抛物线相交于点C，过点C作CE⊥x轴于点E，把△BCE沿直线l′折叠，当点E恰好落在抛物线上点E′时（图2），求直线l′的解析式；（3）在（2）的条件下，l′与y轴交于点N，把△BON绕点O逆时针旋转135°得到△B′ON′，P为l′上的动点，当△PB′N′为等腰三角形时，求符合条件的点P的坐标．8.（2017贵州）如图，⊙M的圆心M（﹣1，2），⊙M经过坐标原点O，与y轴交于点A，经过点A的一条直线l解析式为：y=﹣x+4与x轴交于点B，以M 为顶点的抛物线经过x轴上点D（2，0）和点C（﹣4，0）．（1）求抛物线的解析式；（2）求证：直线l是⊙M的切线；（3）点P为抛物线上一动点，且PE与直线l垂直，垂足为E，PF∥y轴，交直线l于点F，是否存在这样的点P，使△PEF的面积最小？若存在，请求出此时点P的坐标及△PEF面积的最小值；若不存在，请说明理由．【展示火情】【试试火力】1.（2017甘肃天水）如图是抛物线y1=ax2+bx+c（a≠0）的图象的一部分，抛物线的顶点坐标是A（1，3），与x轴的一个交点是B（4，0），直线y2=mx+n（m ≠0）与抛物线交于A，B两点，下列结论：①abc＞0；②方程ax2+bx+c=3有两个相等的实数根；③抛物线与x轴的另一个交点是（﹣1，0）；④当1＜x＜4时，有y2＞y1；⑤x（ax+b）≤a+b，其中正确的结论是②⑤．（只填写序号）【考点】HC：二次函数与不等式（组）；H4：二次函数图象与系数的关系；HA：抛物线与x轴的交点．【分析】根据二次函数的性质、方程与二次函数的关系、函数与不等式的关系一一判断即可．【解答】解：由图象可知：a＜0，b＞0，c＞0，故abc＜0，故①错误．观察图象可知，抛物线与直线y=3只有一个交点，故方程ax2+bx+c=3有两个相等的实数根，故②正确．根据对称性可知抛物线与x轴的另一个交点是（﹣2，0），故③错误，观察图象可知，当1＜x＜4时，有y2＜y1，故④错误，因为x=1时，y1有最大值，所以ax2+bx+c≤a+b+c，即x（ax+b）≤a+b，故⑤正确，所以②⑤正确，故答案为②⑤．2.（2017?温州）小明家的洗手盆上装有一种抬启式水龙头（如图1），完全开启后，水流路线呈抛物线，把手端点A，出水口B和落水点C恰好在同一直线上，点A至出水管BD的距离为12cm，洗手盆及水龙头的相关数据如图2所示，现用高10.2cm 的圆柱型水杯去接水，若水流所在抛物线经过点D 和杯子上底面中心E ，则点E 到洗手盆内侧的距离EH 为24﹣82cm ．【考点】HE ：二次函数的应用．【专题】153：代数几何综合题．【分析】先建立直角坐标系，过A 作AG ⊥OC 于G ，交BD 于Q ，过M 作MP ⊥AG 于P ，根据△ABQ ∽△ACG ，求得C （20，0），再根据水流所在抛物线经过点D （0，24）和B （12，24），可设抛物线为y=ax 2+bx+24，把C （20，0），B （12，24）代入抛物线，可得抛物线为y=﹣320x 2+95x+24，最后根据点E 的纵坐标为10.2，得出点E 的横坐标为6+82，据此可得点E 到洗手盆内侧的距离．【解答】解：如图所示，建立直角坐标系，过A 作AG ⊥OC 于G ，交BD 于Q ，过M 作MP ⊥AG 于P ，由题可得，AQ=12，PQ=MD=6，故AP=6，AG=36，∴Rt △APM 中，MP=8，故DQ=8=OG ，∴BQ=12﹣8=4，由BQ ∥CG 可得，△ABQ ∽△ACG ，∴????????=????????，即4????=1236，∴CG=12，OC=12+8=20，∴C （20，0），又∵水流所在抛物线经过点D （0，24）和B （12，24），∴可设抛物线为y=ax 2+bx+24，把C （20，0），B （12，24）代入抛物线，可得24=144??+12??+24 0=400??+20??+24，解得??=-320??=95，∴抛物线为y=﹣320x2+95x+24，又∵点E的纵坐标为10.2，∴令y=10.2，则10.2=﹣320x2+95x+24，解得x1=6+82，x2=6﹣82（舍去），∴点E的横坐标为6+82，又∵ON=30，∴EH=30﹣（6+82）=24﹣82．故答案为：24﹣82．【点评】本题以水龙头接水为载体，考查了二次函数的应用以及相似三角形的应用，在运用数学知识解决问题过程中，关注核心内容，经历测量、运算、建模等数学实践活动为主线的问题探究过程，突出考查数学的应用意识和解决问题的能力，蕴含数学建模，引导学生关注生活，利用数学方法解决实际问题．3.（2017年江苏扬州）农经公司以30元/千克的价格收购一批农产品进行销售，为了得到日销售量p（千克）与销售价格x（元/千克）之间的关系，经过市场调查获得部分数据如下表：销售价格x（元/千克）30 35 40 45 50日销售量p（千克）600 450 300 150 0（1）请你根据表中的数据，用所学过的一次函数、二次函数、反比例函数的知识确定p与x之间的函数表达式；（2）农经公司应该如何确定这批农产品的销售价格，才能使日销售利润最大？（3）若农经公司每销售1千克这种农产品需支出a元（a＞0）的相关费用，当40≤x≤45时，农经公司的日获利的最大值为2430元，求a的值．（日获利=日销售利润﹣日支出费用）【考点】HE：二次函数的应用．【分析】（1）首先根据表中的数据，可猜想y与x是一次函数关系，任选两点求表达式，再验证猜想的正确性；（2）根据题意列出日销售利润w与销售价格x之间的函数关系式，根据二次函数的性质确定最大值即可；（3）根据题意列出日销售利润w与销售价格x之间的函数关系式，并求得抛物线的对称轴，再分两种情况进行讨论，依据二次函数的性质求得a的值．【解答】解：（1）假设p与x成一次函数关系，设函数关系式为p=kx+b，则，解得：k=﹣30，b=1500，∴p=﹣30x+1500，检验：当x=35，p=450；当x=45，p=4150；当x=50，p=0，符合一次函数解析式，∴所求的函数关系为p=﹣30x+1500；（2）设日销售利润w=p（x﹣30）=（﹣30x+1500）（x﹣30）即w=﹣30x2+2400x﹣45000，∴当x=﹣=40时，w有最大值3000元，故这批农产品的销售价格定为40元，才能使日销售利润最大；（3）日获利w=p（x﹣30﹣a）=（﹣30x+1500）（x﹣30﹣a），即w=﹣30x2+x﹣，对称轴为x=﹣=40+a，①若a＞10，则当x=45时，w有最大值，即w=2250﹣150a＜2430（不合题意）；。

二次函数专题一，二次函数实际应用问题（经济类）1．某商家投资销售一种进价为每盏30元的护眼台灯，销售过程中发现，每月销售量y （盏）与销售单价x （元）之间的关系可近似的看作一次函数：10700y x =-+，在销售过程中销售单价不低于成本价，而每件的利润不高于成本价的60%．（1）要使每月获得的利润为3000元，那么每月的销售单价定为多少元？ （2）当销售单价定为多少元时，每月可获得最大利润？每月的最大利润是多少？2．某水果批发商场经销一种水果，如果每干克盈利10元，每天可售出500千克，经市场调查发现．在进货价不变的情况下，若每千克涨价一元．日销售量将减少20千克．（1）现要保证每天盈利6000元，同时又要让顾客得到实惠，则每千克应涨价多少元？ （2）若该商场单纯从经济角度看，那么每千克应涨价多少元，能使商场获利最多．3．东莞某镇斥资打造夜市网红街，王阿姨在这夜市做起了地摊生意，他以每件40元的价格购进一种商品，在销售过程中发现这种商品每天的销售量y （件）与每件的销售单价x （元）满足一次函数关系：y ＝﹣2x +140（x ＞40）．（1）若设每天的利润为w 元，请求出w 与x 的函数关系式；（2）若每天的销售量不少于44件，则销售单价定为多少元时，此时利润最大，最大利润是多少？ 4．某经销商经销一种封面为建党100周年的笔记本，每本进价为3元，按每本5元出售，每天可售出30本．调查发现这种笔记本销售单价每提高1元，每天的销售量就会减少3本． （1）当销售单价定为多少元时，该经销商每天销售这笔记本的销售利润为105元？（2）当销售单价定为多少元时，才能使该经销商每天销售这种笔记本所得的利润最大？最大利润是多少元？5．524红薯富含膳食纤维，维生素（A ，B ，C ，D ，E ）以及钾，铁等10余种微量元素，被营养学专家称为营养均衡的保健食品，深受广大消费者喜爱.某土特产批发店以30元/箱的价格进货.根据市场调查发现，批发价定位48元/箱时，每天可销售500箱，为保证市场占有率，决定降价销售，发现每箱降价1元，每天可增加销量50箱． （1）写出每天的利润w 与降价x 元的函数关系式； （2）当降价多少元时，每天可获得最大利润，为多少？ （3）要使每天的利润为9750元，并让利于民，应降价多少元？6．2022年冬奥会即将在北京召开，某网络经销商销售以冬奥会为主题的文化衫，平均每天可售出30件，每件盈利40元．为了尽快减少库存、增加盈利，该经销商采取了降价措施，经过一段时间的销售发现，销售单价每降低1元，平均每天可多售出3件．（1）若降价x元，则平均每天销售数量为件（用含x的代数式表示）；（2）若该经销商每天获得利润1800元，则每件商品应降价多少元？（3）若每件盈利不少于24元，不多于36元，求该经销商每天获得的最高利润和最低利润分别为多少？二，二次函数几何综合（线段类）7．如图，已知直线y＝﹣23x+2与x轴交于点A，与y轴交于点B，抛物线y＝﹣23x2+bx+c经过A、B两点．（1）求这条抛物线的表达式；（2）直线x＝t与该抛物线交于点C，与线段AB交于点D（点D与点A、B不重合），与x轴交于点E，联结AC、BC．①当DECD＝AEOE时，求t的值；①当CD平分①ACB 时，求ABC的面积．8．已知抛物线y＝ax2+bx+3交y轴于点A，交x轴于点B(﹣3，0)和点C(1，0)，顶点为点M．（1）请求出抛物线的解析式和顶点M的坐标；（2）如图1，点E为x 轴上一动点，若AME的周长最小，请求出点E的坐标；（3）点F为直线AB上一个动点，点P 为抛物线上一个动点，若BFP为等腰直角三角形，请直接写出点P的坐标．9．如图，抛物线y=x2+bx+c与x轴交于A(-1，0)，B(3，0)两点，过点A的直线l交抛物线于点C(2，m)．（1）求抛物线的解析式．（2）点P是线段AC上一个动点，过点P作x轴的垂线交抛物线于点E，求线段PE最大时点P 的坐标．10．综合与探究如图，已知点B （3，0），C （0，-3），经过B ．C 两点的抛物线y =x 2-bx +c 与x 轴的另一个交点为A ．（1）求抛物线的解析式;（2）点D 在抛物线的对称轴上，当△ACD 的周长最小时，求点D 的坐标．（3）若点E （2，-3），在坐标平面内是否存在点P ，使以点A ，B ，E ，P 为顶点的四边形是平行四边形?若存在，请直接写出点P 的坐标；若不存在，请说明理由． 11．综合与探究如图，已知抛物线24y ax bx =++经过(1,0)A -，(4,0)B 两点，交y 轴于点C ．（1）求抛物线的解析式，连接BC ，并求出直线BC 的解析式；（2）请在抛物线的对称轴上找一点P ，使AP PC +的值最小，此时点P 的坐标是 （3）点Q 在第一象限的抛物线上，连接CQ ，BQ ，求出①BCQ 面积的最大值．（4）点M 为x 轴上一动点，在抛物线上是否存在一点N ，使得以A 、C 、M 、N 四点为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求出点N 的坐标；若不存在，请说明理由．12．如图，抛物线2y x bx c =-++与x 轴交于A ，B 两点（点A 在点B 的左边），与y 轴交于点C ，点D 为抛物线的顶点，B ，C 两点的坐标分别为（3，0）和（0，3）． （1）直线BC 的解析式为________． （2）求抛物线所对应的函数解析式．（3）①顶点D 的坐标为________；①当0≤x ≤4时，二次函数的最大值为_______，最小值为__________．（4）若点M 是第一象限的抛物线上的点，过点M 作x 轴的垂线交BC 于点N ，求线段MN 的最大值．13．如图，已知抛物线2134y x bx =-++与x 轴交于A 、B 两点，与y 轴交于点C ，若已知B 点的坐标为B （6，0）．（1）求抛物线的解析式及其对称轴；（2）在此抛物线的对称轴上是否存在一点P ，使得PAC 的周长最小？若存在，请求出点P 的坐标；若不存在，请说明理由.（3）M 为线段BC 上方抛物线上一点，N 为线段BC 上的一点，若MN ①y 轴，求MN 的最大值；答案第1页，共2页参考答案1．（1）40元；（2）48元时， 3960元 2．（1）涨价5元（2）当涨价为152元时，利润最大，最大利润为6125元 3．（1）w ＝﹣2x 2+220x ﹣5600（x ＞40）（2）销售单价定为48元时，利润最大，最大利润是352元4．（1）10元或8元；（2）每本售价定为9元时，利润最大，最大利润是108元 5．（1）()2504009000018w x x x =-++≤≤，（2）当降价4元时，每天可获得最大利润，最大利润为9800（3）应降价5元 6．（1）（30+3x ）（2）每件商品应降价20元（3）该经销商每天获得的最高利润和最低利润分别为1875元，1512元7．（1）224233y x x =-++（2）①2；①548．（1）y =-x 2-2x +3；顶点M 的坐标为（-1，4）；（2）点E （-37，0）；（3）点P 的坐标为（2，-5）或（1，0）．9．（1）223y x x =--；（2）P 13(,)22-10．（1）223y x x =--；（2）点D 的坐标为()1,2-；（3）存在，1(2,3)P --，2(6,3)P -，3(0,3)P ．答案第2页，共2页11．（1）234y x x =-++；直线BC 的解析式为4y x =-+；（2）35,22P ⎛⎫⎪⎝⎭；（3）8；（4）存在，()3,4或4⎫-⎪⎪⎝⎭或4⎫-⎪⎪⎝⎭．12．（1）3y x =-+ ；（2）2y x 2x 3=-++ ；（3）①()1,4D；①4，-5；（4）9413．（1）抛物线解析式为2134y x x =-++，抛物线对称轴为直线2x =；（2）当P 点坐标为（2，2）时，使得①P AC 的长最小；（3）94。

备考2022年中考数学一轮复习-函数_二次函数_二次函数的实际应用-几何问题-综合题专训及答案二次函数的实际应用-几何问题综合题专训1、(2018长春.中考真卷) 如图，在平面直角坐标系中，矩形ABCD的对称中心为坐标原点O，AD⊥y轴于点E（点A在点D的左侧），经过E、D两点的函数y=﹣x2+mx+1（x≥0）的图象记为G1，函数y=﹣x2﹣mx﹣1（x＜0）的图象记为G 2，其中m是常数，图象G1、G2合起来得到的图象记为G．设矩形ABCD的周长为L．（1）当点A的横坐标为﹣1时，求m的值；（2）求L与m之间的函数关系式；（3）当G2与矩形ABCD恰好有两个公共点时，求L的值；（4）设G在﹣4≤x≤2上最高点的纵坐标为y0，当≤y≤9时，直接写出L的取值范围．2、(2020余杭.中考模拟) 如图，在平面直角坐标系中，直线y＝﹣x+2分别交x 轴、y轴于点A、B.点C的坐标是（﹣1，0），抛物线y＝ax2+bx﹣2经过A、C 两点且交y轴于点D.点P为x轴上一点，过点P作x轴的垂线交直线AB于点M，交抛物线于点Q，连结DQ，设点P的横坐标为m（m≠0）.（1）求点A的坐标.（2）求抛物线的表达式.（3）当以B、D、Q，M为顶点的四边形是平行四边形时，求m的值.3、(2015宁德.中考真卷) 已知抛物线y=x2+bx+c与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，O是坐标原点，点A的坐标是（﹣1，0），点C的坐标是（0，﹣3）（1）求抛物线的函数表达式.（2）求直线BC的函数表达式和∠ABC的度数.（3）P为线段BC上一点，连接AC，AP，若∠ACB=∠PAB，求点P的坐标.4、(2014河南.中考真卷) 如图，抛物线y=﹣x2+bx+c与x轴交于点A（﹣1，0），B（5，0）两点，直线y=﹣x+3与y轴交于点C，与x轴交于点D．点P是x 轴上方的抛物线上一动点，过点P作PF⊥x轴于点F，交直线CD于点E．设点P 的横坐标为m．（1）求抛物线的解析式；（2）若PE=5EF，求m的值；（3）若点E′是点E关于直线PC的对称点，是否存在点P，使点E′落在y轴上？若存在，请直接写出相应的点P的坐标；若不存在，请说明理由．5、(2018东莞.中考模拟) 已知抛物线y= x2+1（如图所示）．（1）填空：抛物线的顶点坐标是（，），对称轴是；（2）如图1，已知y轴上一点A（0，2），点P在抛物线上，过点P作PB⊥x 轴，垂足为B．若△PAB是等边三角形，求点P的坐标；（3）如图，在第二问的基础上，在抛物线上有一点C（x，y），连接AC、OC、BC、PC，当△OAC的面积等于△BCP的面积时，求C的横坐标．6、(2018湛江.中考模拟) 如图，在矩形ABCD中，AB=6cm，BC=8cm．如果点E由点B出发沿BC方向向点C匀速运动，同时点F由点D出发沿DA方向向点A匀速运动，它们的速度分别为2cm/s和1cm/s．FQ⊥BC，分别交AC、BC于点P和Q，设运动时间为t（s）（0＜t＜4）．（1）连结EF、DQ，若四边形EQDF为平行四边形，求t的值；（2）连结EP，设△EPC的面积为ycm2，求y与t的函数关系式，并求y的最大值；（3）若△EPQ与△ADC相似，请直接写出t的值．7、(2017南山.中考模拟) 如图，抛物线y=﹣x2+（m﹣1）x+m（m＞1）与x轴交于A、B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C（0，3）．（1）求抛物线的解析式；（2）点D和点C关于抛物线的对称轴对称，点你F在直线AD上方的抛物线上，FG⊥AD 于G，FH∥x轴交直线AD于H，求△FGH的周长的最大值；（3）点M是抛物线的顶点，直线l垂直于直线AM，与坐标轴交于P、Q两点，点R在抛物线的对称轴上，使得△PQR是以PQ为斜边的等腰直角三角形，求直线l的解析式．8、(2019贵港.中考模拟) 如图，抛物线y＝ax2+bx+c经过A（1，0）、B（4，0）、C（0，3）三点.（1）求该抛物线的解析式；（2）如图，在抛物线的对称轴上是否存在点P，使得四边形PAOC的周长最小？若存在，求出四边形PAOC周长的最小值；若不存在，请说明理由.（3）在（2）的条件下，点Q是线段OB上一动点，当△BPQ与△BAC相似时，求点Q的坐标.9、(2017贵港.中考真卷) 如图，抛物线y=a（x﹣1）（x﹣3）与x轴交于A，B两点，与y轴的正半轴交于点C，其顶点为D．（1）写出C，D两点的坐标（用含a的式子表示）；（2）设S△BCD ：S△ABD=k，求k的值；（3）当△BCD是直角三角形时，求对应抛物线的解析式．10、(2013遵义.中考真卷) 如图，已知抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）的顶点坐标为（4，﹣），且与y轴交于点C（0，2），与x轴交于A，B两点（点A在点B的左边）．（1）求抛物线的解析式及A、B两点的坐标；（2）在（1）中抛物线的对称轴l上是否存在一点P，使AP+CP的值最小？若存在，求AP+CP的最小值，若不存在，请说明理由；（3）以AB为直径的⊙M相切于点E，CE交x轴于点D，求直线CE的解析式．11、(2018乌鲁木齐.中考真卷) 在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=﹣x2+bx+c 经过点A（﹣2，0），B（8，0）．（1）求抛物线的解析式；（2）点C是抛物线与y轴的交点，连接BC，设点P是抛物线上在第一象限内的点，PD⊥BC，垂足为点D．①是否存在点P，使线段PD的长度最大？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由；②当△PDC与△COA相似时，求点P的坐标．12、(2019兰州.中考模拟) 如图，在平面直角坐标系xOy中，△ABC是等腰直角三角形，∠BAC＝90°，A(1，0)，B(0，2)，二次函数y＝x2+bx﹣2的图象经过C 点.（1）求二次函数的解析式；（2）平移该二次函数图象的对称轴所在直线l，若直线l恰好将△ABC的面积分为1：2两部分，请求出此时直线l与x轴的交点坐标；（3）将△ABC以AC所在直线为对称轴翻折180°，得到△AB′C，那么在二次函数图象上是否存在点P，使△PB′C是以B′C为直角边的直角三角形？若存在，请求出P点坐标；若不存在，请说明理由.13、(2020青浦.中考模拟) 如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，对称轴为直线x=2，点A的坐标为（1，0）．（1）求该抛物线的表达式及顶点坐标；（2）点P为抛物线上一点（不与点A重合），联结PC．当∠PCB=∠ACB时，求点P的坐标；（3）在（2）的条件下，将抛物线沿平行于轴的方向向下平移，平移后的抛物线的顶点为点D，点P关于x轴的对应点为点Q，当OD⊥DQ时，求抛物线平移的距离．14、(2020营口.中考模拟) 如图，已知抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)的顶点坐标为Q(2，-1)，且与y轴交于点C(0，3)，与x轴交于A，B两点(点A在点B的右侧)，点P是该抛物线上的一动点，从点C沿抛物线向点A运动(点P与A不重合)，过点P作PD∥y轴，交AC于点D.（1）求该抛物线的函数关系式；（2）当△ADP是直角三角形时，求点P的坐标；（3）在题(2)的结论下，若点E在x轴上，点F在抛物线上，问是否存在以A、P、E、F为顶点的平行四边形？若存在，求点F的坐标；若不存在，请说明理由.15、(2021中.中考模拟) 如图，已知边长为10的正方形是边上一动点（与不重合），连结是延长线上的点，过点E作的垂线交的角平分线于点F，若．（1）求证：；（2）若，求的面积；（3）请直接写出为何值时，的面积最大．二次函数的实际应用-几何问题综合题答案1.答案：2.答案：3.答案：4.答案：5.答案：6.答案：7.答案：8.答案：9.答案：10.答案：11.答案：12.答案：13.答案：14.答案：15.答案：。

中考數學真題彙編:二次函數一、選擇題1. 已知學校航模組設計製作の火箭の升空高度h（m）與飛行時間t（s）滿足函數運算式h＝﹣t2＋24t＋1．則下列說法中正確の是（）A. 點火後9s和點火後13sの升空高度相同B. 點火後24s火箭落於地面C. 點火後10sの升空高度為139mD. 火箭升空の最大高度為145m【答案】D2. 關於二次函數，下列說法正確の是（）A . 圖像與軸の交點座標為 B. 圖像の對稱軸在軸の右側C. 當時，の值隨值の增大而減小D. の最小值為-3【答案】D3. 如圖,函數和( 是常數,且)在同一平面直角坐標系の圖象可能是（）A. B. C. D.【答案】B4.二次函數の圖像如圖所示，下列結論正確是( )A. B. C. D. 有兩個不相等の實數根【答案】C5. 給出下列函數：①y=﹣3x+2；②y= ；③y=2x2；④y=3x，上述函數中符合條作“當x＞1時，函數值y隨引數x增大而增大“の是（）A. ①③B. ③④C. ②④D. ②③【答案】B6.若拋物線y=x2+ax+b與x軸兩個交點間の距離為2，稱此拋物線為定弦拋物線。

已知某定弦拋物線の對稱軸為直線x=1，將此拋物線向左平移2個單位，再向下平移3個單位，得到の拋物線過點（）A. （-3，-6）B. （-3，0）C. （-3，-5）D. （-3，-1）【答案】B7. 如圖，若二次函數y=ax2+bx+c（a≠0）圖象の對稱軸為x=1，與y軸交於點C，與x軸交於點A、點B（﹣1，0），則①二次函數の最大值為a+b+c；②a﹣b+c＜0；③b2﹣4ac＜0；④當y＞0時，﹣1＜x＜3，其中正確の個數是（）A. 1B. 2C. 3D. 4 【答案】B8. 若拋物線與軸兩個交點間の距離為2，稱此拋物線為定弦拋物線，已知某定弦拋物線の對稱軸為直線，將此拋物線向左平移2個單位，再向下平移3個單位，得到の拋物線過點( )A. B. C. D.【答案】B9.如圖是二次函數（，，是常數，）圖象の一部分，與軸の交點在點和之間，對稱軸是.對於下列說法：①；②；③；④（為實數）；⑤當時，，其中正確の是（）A. ①②④B. ①②⑤C. ②③④D. ③④⑤【答案】A10.如圖，二次函數y=ax2+bxの圖象開口向下，且經過第三象限の點P．若點Pの橫坐標為-1，則一次函數y=（a-b）x+bの圖象大致是（）A. B. C. D.【答案】D11.四位同學在研究函數（b，c是常數）時，甲發現當時，函數有最小值；乙發現是方程の一個根；丙發現函數の最小值為3；丁發現當時，．已知這四位同學中只有一位發現の結論是錯誤の，則該同學是（）A. 甲B. 乙C. 丙D. 丁【答案】B12.如圖所示,△DEF中,∠DEF=90°,∠D=30°,DF=16,B是斜邊DF上一動點,過B作AB⊥DF於B,交邊DE(或邊EF)於點A,設BD=x,△ABDの面積為y,則y與x之間の函數圖象大致為（）A. （B.C. D. （【答案】B二、填空題13.已知二次函數，當x＞0時，y隨xの增大而________（填“增大”或“減小”）【答案】增大14.右圖是拋物線型拱橋，當拱頂離水面2m時，水面寬4m，水面下降2m，水面寬度增加________m。

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第一部分考点研究第三单元函数第14课时二次函数的实际应用浙江近9年中考真题精选（2009-2017）类型一几何类(温州2015。

15，绍兴2考)第1题图1. (2015温州15题5分）某农场拟建两间矩形饲养室,一面靠现有墙（墙足够长)，中间用一道墙隔开，并在如图所示的三处各留1 m宽的门,已知计划中的材料可建墙体(不包括门)总长为27 m，则能建成的饲养室总占地面积最大为______m2。

2．（2017绍兴21题10分）某农场拟建一间矩形种牛饲养室，饲养室的一面靠现有墙（墙足够长)，已知计划中的建筑材料可建围墙的总长为50 m．设饲养室长为x（m)，占地面积为y(m2）．(1)如图①，问饲养室长x为多少时，占地面积y最大？（2)如图②,现要求在图中所示位置留2 m宽的门,且仍使饲养室的占地面积最大．小敏说：“只要饲养室长比（1）中的长多2 m就行了．”请你通过计算,判断小敏的说法是否正确．第2题图类型二抛物线类(台州2考，温州2017.16，绍兴2012。

12)第3题图3．（2012绍兴12题5分）教练对小明推铅球的录像进行技术分析,发现铅球行进高度y（m)与水平距离x（m)之间的关系为y＝－错误!(x－4）2＋3，由此可知铅球推出的距离是________m。

第十四章 二次函数的应用<2018北海,7，3分）7．已知二次函数y ＝x2－4x ＋5的顶点坐标为： < ）A ．<－2，－1）B ．<2，1）C ．<2，－1）D ．<－2，1）【解读】二次函数的顶点坐标公式为<ab ac a b 44,22--），分别把a ，b ，c 的值代入即可。

【答案】B【点评】本题考查的是二次函数顶点公式，做题时要灵活把握，求纵坐标时，也可以把横坐标的值代入到函数中，求y 值即可，属于简单题型。

FFTgWddgrK <2018山东省滨州，1，3分）抛物线234y x x =--+ 与坐标轴的交点个数是< ）A ．3B ．2C ．1D ．0【解读】抛物线解读式234x x --+，令x=0，解得：y=4，∴抛物线与y 轴的交点为<0，4），令y=0，得到2340x x --+=，即2340x x +-=，分解因式得：(34)(1)0x x +-= ，解得：143x =- , 21x =，FFTgWddgrK ∴抛物线与x 轴的交点分别为<43-，0），<1，0）， 综上，抛物线与坐标轴的交点个数为3．【答案】选A【点评】本题考查抛物线的性质，需要数形结合，解出交点，即可求出交点的个数．此题也可用一元二次方程根的判别式判定与x 轴的交点个数，与y 轴的交点就是抛物线中C 的取值．FFTgWddgrK ( 2018年四川省巴中市,8,3>对于二次函数y=2(x+1><x-3）下列说法正确的是< ）A.图象开口向下B.当x＞1时,y随x的增大而减小C.x＜1时，y随x的增大而减小D.图象的对称轴是直线x= - 1【解读】y=2(x+1><x-3）可化为y=(x－1>2-8,此抛物线开口向上,可排除A,对称轴是直线x=1可排除D,根据图象对称轴右侧部分, y随x的增大而减小,即x＜1时,故选C.FFTgWddgrK【答案】C【点评】本题考查将二次函数关系式化成顶点式的方法及图象性质. 12．<2018湖南衡阳市，12，3）如图为二次函数y=ax2+bx+c<a≠0）的图象，则下列说法：FFTgWddgrK①a＞0 ②2a+b=0 ③a+b+c＞0 ④当﹣1＜x＜3时，y＞0其中正确的个数为< ）A．1B．2C．3D．4解读：由抛物线的开口方向判断a与0的关系，由x=1时的函数值判断a+b+c＞0，然后根据对称轴推出2a+b与0的关系，根据图象判断﹣1＜x＜3时，y的符号．FFTgWddgrK答案：解：①图象开口向下，能得到a＜0；②对称轴在y轴右侧，x==1，则有﹣=1，即2a+b=0；③当x=1时，y＞0，则a+b+c＞0；④由图可知，当﹣1＜x＜3时，y＞0．故选C．点评：本题主要考查图象与二次函数系数之间的关系，会利用对称轴的范围求2a 与b 的关系，以及二次函数与方程之间的转换，根的判别式的熟练运用．FFTgWddgrK <2018呼和浩特，9，3分）已知:M 、N 两点关于y 轴对称，且点M 在双曲线12y x =上，点N 在直线y=x+3上，设点M 的坐标为<a,b ），则二次函数y= –abx2+(a+b>xFFTgWddgrKA. 有最大值，最大值为 –92B. 有最大值，最大值为92C. 有最小值，最小值为92D. 有最小值，最小值为 –92 【解读】M(a,b>，则N(–a,b>，∵M 在双曲线上，∴ab=12；∵N 在直线上，∴b=–a+3,即a+b=3；FFTgWddgrK ∴二次函数y= –abx2+(a+b>x= –12x2+3x= –12(x –3>2+92，∴有最大值，最大值为92【答案】B【点评】本题考查了轴对称的性质，利用点在函数图象上，把点代入的解读式中求得ab 和a+b 的值。

第三单元函数第14课时二次函数的实际应用基础达标训练1. (2017芜湖繁昌县模拟)某企业是一家专门生产季节性产品的企业，当产品无利润时，企业会自动停产，经过调研预测，它一年中每月获得的利润y(万元)和月份n之间满足函数关系式y＝－n2＋14n－24，则企业停产的月份为()A. 2月和12月B. 2月至12月C. 1月D. 1月、2月和12月2. 某广场有一喷水池，水从地面喷出，如图，以水平地面为x轴，出水点为原点，建立平面直角坐标系，水在空中划出的曲线是抛物线y＝－x2＋4x(单位：米)的一部分，则水喷出的最大高度是()A. 1米B. 2米C. 3米D. 4米第2题图3 某旅游景点的收入受季节的影响较大，有时候出现赔本的经营状况．因此，公司规定：若无利润时，该景点关闭．经跟踪测算，该景点一年中月利润W(万元)与月份x之间满足二次函数W＝－x2＋16x－48，则该景点一年中处于关闭状态有()个月.A. 5B. 6C. 7D. 84. 为了美观，在加工太阳镜时将下半部分轮廓制作成抛物线的形状(如图所示)，对应的两条抛物线关于y轴对称，AE∥x轴，AB＝4cm，最低点C在x轴上，高CH ＝1cm ，BD ＝2cm ，则右轮廓DFE 所在抛物线的解析式为( )第4题图A. y ＝14(x ＋3)2B. y ＝14(x －3)2C. y ＝－14(x ＋3)2D. y ＝－14(x －3)25. 一个足球被从地面向上踢出，它距地面的高度h (m)与足球被踢出后经过的时间t (s)之间具有函数关系h ＝at 2＋19.6t .已知足球被踢出后经过4 s 落地，则足球距地面的最大高度是________．6. (12分)经市场调查，某种商品在第x 天的售价与销量的相关信息如下表，已知该商品的进价为每件30元，设销售该商品每天的利润为y 元．(1)求出y 与x 的函数关系式；(2)问销售该商品第几天时，当天销售利润最大？最大利润是多少？(3)该商品销售过程中，共有多少天日销售利润不低于4800元？直接写出答案. 时间x (天)1≤x <40 40≤x ≤80 售价(元/件)x ＋50 90 每天销量(件) 180－2x7. (12分)(2017阜阳颍州区三模)如图，抛物线表示的是某企业年利润y (万元)与新招员工数x (人)的函数关系，当新招员工200人时，企业的年利润到最大值900万元．(1)求出y 与x 的函数关系式；(2)为了响应国家号召，增加更多的就业机会，又要保证企业的年利润为800万元，那么企业应新招员工多少人？(3)该企业原有员工400人，那么应招新员工多少人(x>0)时才能使人均创造的年利润与原来的相同，此时的总利润是多少万元？第7题图8. (12分)如图，在一个矩形空地ABCD上修建一个矩形花坛AMPQ，要求点M 在AB上，点Q在AD上，点P在对角线BD上．若AB＝6米，AD＝4米，设AM 的长为x米，矩形AMPQ的面积为S平方米．(1)求S与x的函数关系式；(2)当x为何值时，S有最大值？请求出最大值．第8题图9. (12分)如图，四边形ABCD是边长为60cm的正方形硬纸片，剪掉阴影部分所示的四个全等的等腰直角三角形，再沿虚线折起，使得A、B、C、D四个点重合于图中的点P，正好形成一个底面是正方形的长方体包装盒．(1)若折叠后长方体底面正方形的面积为1250 cm2，求长方体包装盒的高；(2)设剪掉的等腰直角三角形的直角边长为x(cm)，长方体的侧面积为S(cm2)，求S与x的函数关系式，并求x为何值时，S的值最大．第9题图10. (12分)(2017荆门)我市雷雷服饰有限公司生产了一款夏季服装，通过实体商店和网上商店两种途径进行销售，销售一段时间后，该公司对这种商品的销售情况，进行了为期30天的跟踪调查．其中实体商店的日销售量y1(百件)与时间t(t为整数，单位：天)的部分对应值如下表所示；网上商店的日销售量y2(百件)与时间t(t 为整数，单位：天)的关系如下图所示．时间t(天)0510********日销售量y1025*********(百件)(1)请你在一次函数、二次函数和反比例函数中，选择合适的函数能反映y1与t 的变化规律，并求出y1与t的函数关系式及自变量t的取值范围；(2)求y2与t的函数关系式，并写出自变量t的取值范围；(3)在跟踪调查的30天中，设实体商店和网上商店的日销售总量为y(百件)，求y与t的函数关系式；当t为何值时，日销售总量y达到最大，并求出此时的最大值．第10题图11. (12分)(2017亳州利辛县一模)某电子科技公司开发一种新产品，公司对经营的盈亏情况每月最后一天结算1次．在1～12月份中，公司前x个月累计获得的总利润y(万元)与销售时间x(月)之间满足二次函数关系式y＝a(x－h)2＋k，二次函数y＝a(x－h)2＋k的一部分图象如图所示，点A为抛物线的顶点，且点A、B、C 的横坐标分别为4、10、12，点A、B的纵坐标分别为－16、20.(1)试确定函数关系式y＝a(x－h)2＋k;(2)分别求出前9个月公司累计获得的利润以及10月份一个月内所获得的利润；(3)在前12个月中，哪个月该公司一个月内所获得的利润最多？最多利润是多少万元？第11题图12. (12分)(2017宿州埇桥区二模)某大学生利用业余时间参与了一家网店经营，销售一种成本为30元/件的文化衫，根据以往的销售经验，他整理出这种文化衫的售价y1(元/件)，销量y2(件)与第x(1≤x＜90)天的函数图象如图所示[销售利润＝(售价－成本)×销量] .(1)求y1与y2的函数表达式；(2)求每天的销售利润w与x的函数关系表达式；(3)销售这种文化衫的第多少天，每天销售利润最大，最大利润是多少？第12题图教材改编题1. (沪科九上P57A组复习题第8题改编)如图是窗子的形状，它是由矩形上面加一个半圆构成，第1题图已知窗框的用料是6m，要使窗子能透过最多的光线，则AB的长为________m.2. (人教九上P50探究第2题改编)某商场购进一批单价为20元的日用商品，如果以单价30元销售，那么半月内可销售出400件．根据销售经验，提高销售单价会导致销售量的减少，即销售单价每提高1元，销售量相应减少20件．当销售单价是________元时，才能在半月内获得最大利润．答案基础达标训练1. D 【解析】由题意知，利润y 和月份n 之间的函数关系式为y ＝－n 2＋14n －24，∴y ＝－(n －2)(n －12)，当n ＝1时，y ＜0，当n ＝2时，y ＝0，当n ＝12时，y ＝0，故停产的月份是1月、2月、12月. 故选D.2. D 【解析】∵y ＝－x 2＋4x ＝－(x －2)2＋4，∴当x ＝2时，最大高度为4米．3. A 【解析】由W ＝－x 2＋16x －48，令W ＝0，则x 2－16x ＋48＝0，解得x ＝12或4，∴不等式－x 2＋16x －48＞0的解为4＜x ＜12，∴该景点一年中处于关闭状态有5个月．4. B 【解析】∵高CH ＝1 cm ，BD ＝2 cm ，而点B ，D 关于y 轴对称，∴D 点坐标为(1，1)，∵AB ∥x 轴，AB ＝4 cm ，最低点C 在x 轴上，∴点A ，点B 关于直线CH 对称，∴左边抛物线的顶点C 的坐标为(－3，0)，∴右边抛物线的顶点F 的坐标为(3，0)，设右边抛物线的解析式为y ＝a (x －3)2，把D (1，1)代入得1＝a ×(1－3)2，解得a ＝14，故右边抛物线的解析式为y ＝14(x －3)2. 5. 19.6 m 【解析】对于二次函数h ＝at 2＋19.6t ，点(0，0)和(4，0)在其图象上， ∴16a ＋19.6×4＝0，解得a ＝－4.9，∴抛物线的解析式为h ＝－4.9t 2＋19.6t ， ∴当t ＝2时，h 取最大值，其最大值为－4.9×22＋19.6×2＝19.6 m.6. 解：(1)当1≤x ＜40时，y ＝(180－2x )(x ＋50－30)＝－2x 2＋140x ＋3600；当40≤x ≤80时，y ＝(180－2x )(90－30)＝－120x ＋10800.综上可得，y ＝⎩⎪⎨⎪⎧－2x 2＋140x ＋10800（1≤x ＜40）－120x ＋10800（40≤x≤80）； (2)当1≤x ＜40时，二次函数y ＝2x 2＋140x ＋3600开口向下，且二次函数对称轴为x ＝－1402x （－2）＝35， ∴当x ＝35时，y 最大＝－2×352＋140×35＋3600＝6050；当40≤x ≤80时，y 随x 的增大而减小，∴当x ＝40时，y 最大＝6000.综上所述，该商品第35天时，当天销售利润最大，最大利润是6050元；(3)共有41天日销售利润不低于4800元．【解法提示】当1≤x ＜40时，y ＝－2x 2＋140x ＋3600≥4800，解得10≤x ≤60，因此利润不低于4800元的天数是10≤x ＜40，共30天；当40≤x ≤80时，y ＝－120x ＋10800≥4800，解得x ≤50，因此利润不低于4800元的天数是40≤x ≤50，共11天，∴该商品在销售过程中，共41天日销售利润不低于4800元．7. 解：(1)设y 与x 的函数关系式为y ＝a (x －200)2＋900，将(0，500)代入，得a (0－200)2＋900＝500，解得a ＝－1100，∴y ＝－1100(x －200)2＋900；(2)由题意得－1100(x －200)2＋900＝800，解得x 1＝100，x 2＝300，∴为增加更多的就业机会，该企业应招新员工300人；(3)由题意得－1100（x －200）2＋900x ＋400＝500400， 整理得x 2－275x ＝0，解得x 1＝0(舍)，x 2＝275，经检验x ＝275是原分式方程的解，∴当x ＝275时，y ＝－1100(x －200)2＋900＝843.75(万元)．答：应招新员工275人时才能使人均创造的年利润与原来的相同，此时的总利润是843.75万元．8. 解：(1)∵四边形AMPQ 是矩形，∴PQ ＝AM ＝x.∵PQ ∥AB ，∴△PQD ∽△BAD ，∴DQ DA ＝PQ BA ，∵AB ＝6，AD ＝4，∴DQ ＝23x ，∴AQ ＝4－23x ，∴S ＝AQ·AM ＝(4－23x )x ＝－23x 2＋4x (0<x <6)；(2)S ＝－23x 2＋4x ＝－23(x －3)2＋6.∵－23<0，∴S 有最大值，∴当x ＝3时，S 有最大值为6.答：当AM 的长为3米时，矩形AMPQ 的面积最大，最大面积为6平方米．9. 解：(1)设剪掉阴影部分的每个等腰直角三角形的腰长为x cm ，由题意得(60－2x 2×2)2＝1250. 解得x 1＝52，x 2＝552(舍去)，答：长方体包装盒的高为5 2 cm ；【一题多解】如解图，由已知得底面正方形的边长为1250＝25 2 cm ，第9题解图∴AN ＝252×22＝25，∴PN ＝60－25×2＝10，∴PQ ＝10×22＝5 2 cm.答：长方体包装盒的高为5 2 cm.(2)由题意得，S ＝4×2×60－2x 2×x ＝－4x 2＋1202x.∵a ＝－4<0，∴当x ＝－12022×（－4）＝15 2 时，S 有最大值． 10. 解：(1)根据观察可设y 1＝at 2＋bt ＋c ，将(0，0)，(5，25)，(10，40)代入得⎩⎪⎨⎪⎧c ＝025a ＋5b ＝25100a ＋10b ＝40， 解得⎩⎨⎧a ＝－15b ＝6c ＝0， ∴y 1与t 的函数关系式为y 1＝－15t 2＋6t (0≤t ≤30为整数)；(2)①当0≤t ≤10时，设y 2＝kt .∵(10，40)在其图象上，∴10k ＝40，∴k ＝4，∴y 2与t 的函数关系式为y 2＝4t(0≤t ≤10)；②当10＜t ≤30时，设y 2＝mt ＋n ，将(10，40)、(30，60)代入得，⎩⎪⎨⎪⎧10m ＋n ＝4030m ＋n ＝60， 解得⎩⎪⎨⎪⎧m ＝1n ＝30， ∴y 2与t 的函数关系式为y 2＝t ＋30.∴综上可得：y 2＝⎩⎪⎨⎪⎧4t （0≤t≤10且为整数）t ＋30 （10＜t≤30且为整数）； (3)依题意有y ＝y 1＋y 2，当0≤t ≤10时，y ＝－15t 2＋6t ＋4t ＝－15t 2＋10t ＝－15(t －25)2＋125，∴当t ＝10时，y max ＝80.当10＜t ≤30时，y ＝－15t 2＋6t ＋t ＋30＝－15t2＋7t ＋30＝－15(t －352)2＋3654.∵t 为整数，∴当t ＝17或18时，y max ＝91.2，∵91.2＞80，∴当t ＝17或18时，y 最大，且y max ＝91.2(百件)．11. 解：(1)根据题意可设y ＝a (x －4)2－16，当x ＝10时，y ＝20,∴a (10－4)2－16＝20，解得a ＝1，所求函数关系式为y ＝(x －4)2－16；(2)当x ＝9时，y ＝(9－4)2－16＝9，∴前9个月公司累计获得的利润为9万元，又由题意可知，当x ＝10时，y ＝20，而20－9＝11，∴10月份一个月内所获得的利润11万元；(3)设在前12个月中，第n 个月该公司一个月内所获得的利润为s(万元)，则有s ＝(n －4)2－16－[(n －1－4)2－16]＝2n －9，∵s 是关于n 的一次函数，且2＞0，s 随着n 的增大而增大， 而n 的最大值为12，∴当n ＝12时，s ＝15，∴第12月份该公司一个月内所获得的利润最多，最多利润是15万元．12. 解：(1)当1≤x <50时，设y 1＝kx ＋b ，将(1，41)、(50，90)代入，得⎩⎪⎨⎪⎧k ＋b ＝4150k ＋b ＝90，解得⎩⎪⎨⎪⎧k ＝1b ＝40，∴y 1＝x ＋40，当50≤x <90时，y 1＝90，故y 1与x 的函数关系式为y 1＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋40（1≤x<50）90（50≤x<90）；设y 2与x 的函数关系式为y 2＝mx ＋n (1≤x <90)，将(50，100)、(90，20)代入，得⎩⎪⎨⎪⎧50m ＋n ＝10090m ＋n ＝20，解得⎩⎪⎨⎪⎧m ＝－2n ＝200，故y 2与x 的函数关系式为y 2＝－2x ＋200(1≤x <90)；(2)由(1)知，当1≤x <50时，w ＝(x ＋40－30)(－2x ＋200)＝－2x 2＋180x ＋2000；当50≤x <90时，w ＝(90－30)(－2x ＋200)＝－120x ＋12000；综上所述，w ＝⎩⎪⎨⎪⎧－2x 2＋180x ＋2000（1≤x<50）－120x ＋12000（50≤x<90）；(3)当1≤x <50时，∵w ＝－2x 2＋180x ＋2000＝－2(x －45)2＋6050，∴当x ＝45时，w 取得最大值，最大值为6050元；当50≤x <90时，w ＝－120x ＋12000，∵－120<0，w 随x 的增大而减小，∴当x ＝50时，w 取得最大值，最大值为6000元；综上，当x ＝45时，w 取得最大值6050元．答：销售这种文化衫的第45天，每天销售利润最大，最大利润是6050元． 教材改编题1. 128＋π【解析】∵窗框的用料是6 m ，∴假设半圆半径为x ，AD ＝2x ，AB ＝6－πx －4x 2，∴窗子的面积为S ＝2x ·6－πx －4x 2＋12πx 2＝(－π2－4)x 2＋6x ，∴当x ＝68＋π时，此时面积最大，∴AD ＝128＋π，AB ＝128＋π. 2. 35 【解析】根据题意设销售单价提高x 元时，半月内获得利润为y 元，根据题意可得y ＝(30＋x －20)(400－20x )＝－20x 2＋200x ＋4000＝－20(x －5)2＋4500，即当x ＝5元时，半月获得利润最大，最大利润为4500元，此时销售单价为30＋5＝35元．。

专题提升(八)二次函数在实际生活中的应用【经典母题】某超市销售一种饮料，每瓶进价为9元，经市场调查表明，当售价在10元到14元之间(含10元，14元)浮动时，每瓶售价每增加0.5元，日均销量减少40瓶；当售价为每瓶12元时，日均销量为400瓶．问销售价格定为每瓶多少元时，所得日均毛利润(每瓶毛利润＝每瓶售价－每瓶进价)最大？最大日均毛利润为多少元？解：设售价为每瓶x元时，日均毛利润为y元，由题意，得日均销售量为400－40[(x－12)÷0.5]＝1 360－80x，y＝(x－9)(1 360－80x)＝－80x2＋2 080x－12 240(10≤x≤14)．－b2a＝－2 0802×（－80）＝13，∵10≤13≤14，∴当x＝13时，y取最大值，y最大＝－80×132＋2 080×13－12 240＝1 280(元)．答：售价定为每瓶13元时，所得日均毛利润最大，最大日均毛利润为1 280元．【思想方法】本题是一道复杂的市场营销问题，在建立函数关系式时，应注意自变量的取值范围，在这个取值范围内，需了解函数的性质(最大最小值，变化情况，对称性，特殊点等)和图象，然后依据这些性质作出结论．【中考变形】1．[2017·锦州]某商店购进一批进价为20元/件的日用商品，第一个月，按进价提高50%的价格出售，售出400件，第二个月，商店准备在不低于原售价的基础上进行加价销售，根据销售经验，提高销售单价会导致销售量的减少．销售量y(件)与销售单价x(元)的关系如图Z8－1所示．(1)图中点P所表示的实际意义是__当售价定为35元/件时，销售量为300件__；销售单价每提高1元时，销售量相应减少__20__件；(2)请直接写出y与x之间的函数表达式：__y＝20x＋1_000__；自变量x的取值范围为__30≤x≤50__；(3)第二个月的销售单价定为多少元时，可获得最大利润？最大利润是多少？ 解：(1)图中点P 所表示的实际意义是：当售价定为35元/件时，销售量为300件；第一个月的该商品的售价为20×(1＋50%)＝30(元)，销售单价每提高1元时，销售量相应减少数量为(400－300)÷(35－30)＝20(件)．(2)设y 与x 之间的函数表达式为y ＝kx ＋b ，将点(30，400)，(35，300)代入，得⎩⎨⎧400＝30k ＋b ，300＝35k ＋b ，解得⎩⎨⎧k ＝－20，b ＝1 000， ∴y 与x 之间的函数表达式为y ＝－20x ＋1 000.当y ＝0时，x ＝50，∴自变量x 的取值范围为30≤x ≤50.(3)设第二个月的利润为W 元，由已知得W ＝(x －20)y ＝(x －20)(－20x ＋1 000)＝－20x 2＋1 400x －20 000 ＝－20(x －35)2＋4 500，∵－20＜0，∴当x ＝35时，W 取最大值4 500.答：第二个月的销售单价定为35元时，可获得最大利润，最大利润是4 500元．2．[2016·宁波一模]大学生自主创业，集资5万元开品牌专卖店，已知该品牌商品成本为每件a 元，市场调查发现日销售量y (件)与销售价x (元/件)之间存在一次函数关系，如下表所示：若该店某天的销售价定为110元/件，雇有3名员工，则当天正好收支平衡(即支出＝商品成本＋员工工资＋应支付的其他费用)．已知员工的工资为每人每天100元，每天还应支付其他费用200元(不包括集资款)．(1)求日销售量y (件)与销售价x (元/件)之间的函数关系式；(2)该店现有2名员工，试求每件服装的销售价定为多少元时，该服装店每天的毛利润最大(毛利润＝销售收入－商品成本－员工工资－应支付的其他费用)；(3)在(2)的条件下，若每天毛利润全部积累用于一次性还款，而集资款每天应按其万分之二的利率支付利息，则该店最少需要多少天(取整数)才能还清集资款？解：(1)由表可知，y 是关于x 的一次函数，设y ＝kx ＋b ，将x ＝110，y ＝50；x ＝115，y ＝45分别代入，得⎩⎨⎧110k ＋b ＝50，115k ＋b ＝45，解得⎩⎨⎧k ＝－1，b ＝160， ∴y ＝－x ＋160(0＜x ≤160)；(2)由已知可得50×110＝50a ＋3×100＋200，解得a ＝100.设每天的毛利润为W 元，则W ＝(x －100)(－x ＋160)－2×100－200＝－x 2＋260x －16 400＝－(x －130)2＋500，∴当x ＝130时，W 取最大值500.答：每件服装的销售价定为130元时，该服装店每天的毛利润最大，最大毛利润为500元；(3)设需t 天才能还清集资款，则500t ≥50 000＋0.000 2×50 000t ，解得t ≥102249.∵t 为整数，∴t 的最小值为103天．答：该店最少需要103天才能还清集资款．3．[2017·青岛]青岛市某大酒店豪华间实行淡季、旺季两种价格标准，旺季每间价格比淡季上涨1.下表是去年该酒店豪华间某两天的相关记录：(1)该酒店豪华间有多少间？旺季每间价格为多少元？(2)今年旺季来临，豪华间的间数不变，经市场调查发现，如果豪华间仍旧实行去年旺季的价格，那么每天都客满；如果价格继续上涨，那么每增加25元，每天未入住房间数增加1间．不考虑其他因素，该酒店将豪华间的价格上涨多少元时，豪华间的日总收入最高？最高日总收入是多少元？(注：上涨价格需为25的倍数)解：(1)设淡季每间的价格为x 元，依题意得 40 000x ⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋13＝24 000x ＋10，解得x ＝600， ∴酒店豪华间有40 000x ⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋13＝40 000600×⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋13＝50(间)， 旺季每间价格为x ＋13x ＝600＋13×600＝800(元)．答：该酒店豪华间有50间，旺季每间价格为800元；(2)设该酒店豪华间的价格上涨x 元，日总收入为y 元，y ＝(800＋x )⎝ ⎛⎭⎪⎫50－x 25＝－125(x －225)2＋42 025， ∴当x ＝225时，y 取最大值42 025.答：该酒店将豪华间的价格上涨225元时，豪华间的日总收入最高，最高日总收入是42 025元．4．某公司经营杨梅业务，以3万元/t 的价格向农户收购杨梅后，分拣成A ，B 两类，A 类杨梅包装后直接销售，B 类杨梅深加工再销售．A 类杨梅的包装成本为1万元/t ，根据市场调查，它的平均销售价格y (万元/t)与销售数量x (x ≥2)(t)之间的函数关系式如图Z8－2，B 类杨梅深加工总费用s (单位：万元)与加工数量t (单位：t)之间的函数关系是s ＝12＋3t ，平均销售价格为9万元/t.图Z8－2(1)直接写出A 类杨梅平均销售价格y 与销售量x 之间的函数关系式；(2)第一次该公司收购了20 t 杨梅，其中A 类杨梅x t ，经营这批杨梅所获得的毛利润为W 万元(毛利润＝销售总收入－经营总成本)．①求W 关于x 的函数关系式；②若该公司获得了30万元毛利润，问：用于直接销售的A 类杨梅有多少吨？(3)第二次该公司准备投人132万元资金，请设计一种经营方案，使公司获得最大毛利润，并求出最大毛利润．解：(1)y ＝⎩⎨⎧－x ＋14（2≤x ＜8），6（x ≥8）； (2)∵销售A 类杨梅x t ，则销售B 类杨梅(20－x )t.①当2≤x ＜8时，W ＝x (－x ＋14)＋9(20－x )－3×20－x －[12＋3(20－x )]＝－x 2＋7x ＋48， 当x ≥8时，W ＝6x ＋9(20－x )－3×20－x －[12＋3(20－x )]＝－x ＋48，∴函数表达式为W ＝⎩⎨⎧－x 2＋7x ＋48（2≤x ＜8），－x ＋48（x ≥8）；②当2≤x ＜8时，－x 2＋7x ＋48＝30，解得x 1＝9，x 2＝－2，均不合题意， 当x ≥8时，－x ＋48＝30，解得x ＝18.答：当毛利润达到30万元时，直接销售的A 类杨梅有18 t ；(3)设该公司用132万元共购买m t 杨梅，其中A 类杨梅为x t ，B 类杨梅为(m －x )t ，购买费用为3m 万元．由题意，得3m ＋x ＋[12＋3(m －x )]＝132，化简，得3m ＝x ＋60.①当2≤x ＜8时，W ＝x (－x ＋14)＋9(m －x )－132，把3m ＝x ＋60代入，得 W ＝－(x －4)2＋64，当x ＝4时，有最大毛利润64万元．此时，m ＝643，m －x ＝523；②当x ≥8时，W ＝6x ＋9(m －x )－132，由3m ＝x ＋60，得W ＝48，当x ≥8时，毛利润总为48万元．答：综上所述，购买杨梅共643 t ，且其中直销A 类杨梅4 t ，B 类杨梅523 t ，公司能获得最大毛利润64万元．【中考预测】某衬衣店将进价为30元的一种衬衣以40元售出，平均每月能售出600件，调查表明：这种衬衣售价每上涨1元，其销售量将减少10件．(1)写出月销售利润y(元)与售价x(元/件)之间的函数关系式；(2)当销售价定为45元时，计算月销售量和销售利润；(3)衬衣店想在月销售量不少于300件的情况下，使月销售利润达到10 000元，销售价应定为多少？(4)当销售价定为多少元时会获得最大利润？求出最大利润．解：(1)由题意可得月销售利润y与售价之间的函数关系式为y＝(x－30)[600－10(x－40)]＝－10x2＋1 300x－30 000；(2)当x＝45时，600－10(x－40)＝550(件)，y＝－10×452＋1 300×45－30 000＝8 250(元)；(3)令y＝10 000，代入(1)中函数关系式，得10 000＝－10x2＋1 300x－30 000，解得x1＝50，x2＝80.当x＝80时，600－10(80－40)＝200＜300(不合题意，舍去)，故销售价应定为50元；(4)y＝－10x2＋1 300x－30 000＝－10(x－65)2＋12 250，∴x＝65时，y取最大值12 250.答：当销售价定为65元时会获得最大利润，最大利润为12 250元．。

二次函数实际应用类型一 销售问题1. 鄂州某个体商户购进某种电子产品的进价是50元/个，根据市场调研发现售价是80元/个时，每周可卖出160个，若销售单价每个降低2元，则每周可多卖出20个．设销售价格每个降低x 元(x 为偶数)，每周销售量为y 个．(1)求销售量y 个与降价x 元之间的函数关系式；(2)设商户每周获得的利润为W 元，当销售单价定为多少元时，每周销售利润最大，最大利润是多少元？(3)若商户计划下周利润不低于5200元的情况下，他至少要准备多少元进货成本？解：(1)∵当售价为80元/个时，每周可卖出160个，售价每降低2元，每周可多卖出20个， ∴y ＝x2·20＋160＝10x ＋160；(2)根据题意得：W ＝(80－50－x )(10x ＋160)＝－10x 2＋140x ＋4800， 化为顶点式得W ＝－10(x －7)2＋5290，∵x 为偶数，∴当x 为6或8元，即定价为80－6＝74或80－8＝72元时，利润最大，最大利润为5280元； (3)若要利润不低于5200元，则当利润为5200元时， 代入(2)中的函数关系式得－10(x －7)2＋5290＝5200， 解得x 1＝10，x 2＝4， ∵y ＝10x ＋160，10>0， ∴y 随x 的增大而增大，∴销量y 的最小值为y 最小＝4×10＋160＝200，所需资金为200×50＝10000(元)． 答：他至少要准备10000元进货成本．2. 一个批发商销售成本为20元/千克的某产品，根据物价部门规定：该产品每千克售价不得超过90元．在销售过程中发现销售量y (千克)与售价x (元/千克)满足一次函数关系，对应关系如下表：(1)求y 与x 的函数关系式；(2)该批发商若想获得4000元的利润，应将售价定为每千克多少元？(3)该产品每千克售价为多少元时，批发商获得的利润w (元)最大？此时的最大利润为多少元？解：(1)设y 与x 的函数关系式为y ＝kx ＋b (k ≠0)，根据题意得⎩⎪⎨⎪⎧50k ＋b ＝10060k ＋b ＝90，解得⎩⎪⎨⎪⎧k ＝－1b ＝150，故y 与x 的函数关系式为y ＝－x ＋150； (2)根据题意得(－x ＋150)(x －20)＝4000， 解得x 1＝70，x 2＝100>90(不合题意，舍去)，故该批发商若想获得4000元的利润，应将售价定为每千克70元； (3)w 与x 的函数关系式为： w ＝(－x ＋150)(x －20) ＝－x 2＋170x －3000 ＝－(x －85)2＋4225， ∵－1<0，且20≤x ≤90，∴当x ＝85时，利润最大，利润最大值是4225.∴该产品每千克售价为85元时，批发商获得的利润w (元)最大，此时的最大利润为4225元．3. 某公司开发出一种高科技电子节能产品，投资2500万一次性购买整套生产设备，此外生产每件产品需成本20元，每年还需投入500万广告费，该商品的年销售量y (万件)与售价x (元/件)之间的函数关系如图所示：第3题图(1)求y 与x 之间的函数关系式，并写出x 的取值范围；(2)若该公司第一年即可盈利，那么该商品的售价应为多少时，第一年盈利最大，此时最大利润是多少？(3)在(2)的前提下，即在第一年盈利最大时，第二年公司重新确定产品定价，能否使两年共盈利3500万元？若能，求第二年产品售价；若不能，说明理由．解：(1)设y 关于x 的函数关系式为y ＝kx ＋b ， 将点(30，120)，(70，80)代入，得⎩⎪⎨⎪⎧30k ＋b ＝12070k ＋b ＝80， 解得⎩⎪⎨⎪⎧k ＝－1b ＝150，∴y 关于x 的函数关系式为y ＝－x ＋150(30≤x ≤70)； (2)设盈利w 万元，根据题意得 w ＝(x －20)(－x ＋150)－2500－500 ＝－(x －85)2＋1225， ∵30≤x ≤70，∴当售价为70元/件时，第一年盈利最大，最大盈利为1000万元； (3)能．根据题意得第二年的投入费用为每件20元的生产成本及500万元的广告费， 根据题意有(x －20)(－x ＋150)－500＝3500－1000， 整理得x 2－170x ＋6000＝0， 解得x ＝50或x ＝120(舍去)． 故第二年产品售价为50元．类型二 抛物线型4. 把一个足球垂直于水平地面向上踢，时间为t (秒)时该足球距离地面的高度h (米)，适用公式h ＝20t －5t 2(0≤t ≤4)．(1)当t ＝3时，求足球距离地面的高度； (2)当足球距离地面的高度为10米时，求t 的值；(3)若存在实数t 1和t 2(t 1≠t 2)，当t ＝t 1或t 2时，足球距离地面的高度都为m (米)，求m 的取值范围．解：(1)当t ＝3时，h ＝20t －5t 2＝20×3－5×9＝15(米)， ∴此时足球距离地面的高度为15米； (2)∵h ＝10，∴20t －5t 2＝10，即t 2－4t ＋2＝0，解得t ＝2＋2或t ＝2－2，∴经过2＋2或2－2秒时，足球距离地面的高度为10米；(3)∵m ≥0，由题意得t 1和t 2是方程20t －5t 2＝m 的两个不相等的实数根，移项得5t 2－20t ＋m ＝0， ∴b 2－4ac ＝(－20)2－20m ＞0， ∴m ＜20，∴m 的取值范围是0≤m ＜20.5. 如图，杂技团进行杂技表演，演员从跷跷板右端A 处弹跳到人梯顶端椅子B 处，其身体(看成一点)的路线是抛物线y ＝－13x 2＋2x ＋4的一部分．第5题图(1)求演员弹跳离地面的最大高度；(2)已知在一次表演中，人梯高BC ＝4米，人梯到起跳点A 的水平距离是6米，问这次表演是否成功？请说明理由．解：(1)将二次函数y ＝－13x 2＋2x ＋4化成y ＝－13(x －3)2＋7，∴当x ＝3时，y 有最大值，y 最大＝7，答：演员弹跳离地面的最大高度是7米； (2)能成功表演．理由是：当x ＝6时，y ＝－13×62＋2×6＋4＝4.即点B (6，4)在抛物线y ＝－13x 2＋2x ＋4上，因此，表演能成功．6. 为备战2016年里约奥运会，中国女排的姑娘们刻苦训练，为国争光．如图，已知排球场的长度OD 为18米，位于球场中线处球网的高度AB 为2.43米，一队员站在点O 处发球，排球从点O 的正上方1.8米的C 点向正前方飞出，当排球运行至离点O 的水平距离OE 为7米时，到达最高点G ，建立如图所示的平面直角坐标系．(1)当球上升的最大高度为3.2米时，求排球飞行的高度y (单位：米)与水平距离x (单位：米)的函数关系式；(不要求写自变量x 的取值范围)(2)在(1)的条件下，对方距球网0.5米的点F 处有一队员，她起跳 后的最大高度为3.1米，问这次她是否可以拦网成功？请通过计算说明； (3)若队员发球既要过球网，又不出边界，问排球飞行的最大高度h 的取值范围是多少？(排球压线属于没出界)第6题图解：(1)依题可知，排球飞行轨迹线顶点为G (7，3.2)且过C (0，1.8)．设排球运动轨迹方程为y ＝a (x －7)2＋3.2，则1.8＝a (0－7)2＋3.2， 解得a ＝－135，∴所求函数关系式为y ＝－135(x －7)2＋3.2，即y ＝－135x 2＋25x ＋95；(2)把x ＝(18÷2＋0.5)＝9.5，代入y ＝－135x 2＋25x ＋95得，y ≈3.0＜3.1.∴她可以成功拦住；(3)设排球飞行的高度y 与水平距离x 的函数关系式为：y ＝a (x －7)2＋h ， 当排球正好过网时，将点B (9，2.43)和C (0，1.8)代入解析式得：⎩⎪⎨⎪⎧a （9－7）2＋h ＝2.43a （0－7）2＋h ＝1.8，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－0.014h ＝2.486， 此时二次函数解析式为y ＝－0.014(x －7)2＋2.486， 则球要过网时，h ≥2.486；当排球不出边界时，将点C (0，1.8)和D (18，0)代入解析式得：⎩⎪⎨⎪⎧a （18－7）2＋h ＝0a （0－7）2＋h ＝1.8，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－0.025h ＝3.025. 此时二次函数解析式为y ＝－0.025(x －7)2＋3.025. 球不出边界时，h ≥3.025.综上所述，若球既要过球网，又不出边界，排球飞行的最大高度h 的取值范围是h ≥3.025.类型三 面积问题7. 如图，在一个矩形空地ABCD 上修建一个矩形花坛AMPQ ，要求点M 在AB 上，点Q 在AD 上，点P 在对角线BD 上．若AB ＝6 米，AD ＝4 米，设AM 的长为x 米，矩形AMPQ 的面积为S 平方米．(1)求S 与x 的函数关系式；(2)当x 为何值时，S 有最大值？请求出最大值．第7题图解：(1)∵四边形AMPQ 是矩形，∴PQ ＝AM ＝x . ∵PQ ∥AB ，∴△PQD ∽△BAD ，∴DQ DA ＝PQBA ，∵AB ＝6，AD ＝4，∴DQ ＝23x ，∴AQ ＝4－23x ，∴S ＝AQ ·AM ＝(4－23x )x ＝－23x 2＋4x (0<x <6)；(2)S ＝－23x 2＋4x ＝－23(x －3)2＋6.∵－23<0，∴S 有最大值，当x ＝3时，S 有最大值为6.答：当AM 的长为3米时，矩形AMPQ 的面积最大，最大面积为6平方米．8. 某中学课外兴趣活动小组准备围建一个矩形苗圃园，其中一边靠墙，另外三边用长为30米的篱笆围成．已知墙长为18米(如图所示)，设这个苗圃园垂直于墙的一边的长为x 米．(1)若苗圃园的面积为72平方米，求x ；(2)若平行于墙的一边长不小于8米，这个苗圃园的面积有最大值和最小值吗？如果有，求出最大值和最小值，如果没有，请说明理由；(3)当这个苗圃园的面积不小于100平方米时，直接写出x 的取值范围．第8题图解：(1)由题意知，苗圃园与墙平行的一边长为(30－2x )米，可列方程 x (30－2x )＝72，即x 2－15x ＋36＝0. 解得x 1＝3，x 2＝12.∵30－2x ≤18，即x ≥6， ∴x ＝3舍去，故x ＝12；(2)依题意得8≤30－2x ≤18，解得6≤x ≤11. 面积S ＝x (30－2x )＝－2(x －152)2＋2252(6≤x ≤11)．①当x ＝152时，S 有最大值，S 最大＝2252；②当x ＝11时，S 有最小值，S 最小＝11×(30－22)＝88；(3)x 的取值范围是6≤x ≤10. 【解法提示】由(1)知，x ≥6， 由题意得x (30－2x )≥100， 即－x 2＋15x －50≥0， 解得5≤x ≤10， 又∵x ≥6，∴x 的取值范围是6≤x ≤10.9. 如图，四边形ABCD 是边长为60 cm 的正方形硬纸片，剪掉阴影部分所示的四个全等的等腰直角三角形，再沿虚线折起，使得A 、B 、C 、D 四个点重合于图中的点P ，正好形成一个底面是正方形的长方体包装盒．(1)若折叠后长方体底面正方形的面积为1250 cm 2，求长方体包装盒的高；(2)设剪掉的等腰直角三角形的直角边长为x (cm)，长方体的侧面积为S (cm 2)，求S 与x 的函数关系式，并求x 为何值时，S 的值最大．第9题图解：(1)设剪掉阴影部分的每个等腰直角三角形的腰长为x cm ，由题意得：(60－2x2×2)2＝1250.解得x 1＝52，x 2＝552(舍去)， 答：长方体包装盒的高为5 2 cm ；【一题多解】如解图，由已知得底面正方形的边长为1250＝25 2 cm ， ∴AN ＝252×22＝25，∴PN ＝60－25×2＝10， ∴PQ ＝10×22＝5 2 cm. 答：长方体包装盒的高为5 2 cm.第9题解图(2)由题意得，S ＝4×2×60－2x2×x ＝－4x 2＋1202x . ∵a ＝－4<0，∴当x ＝－12022×（－4）＝15 2 时，S 有最大值．类型四 其他问题10. 青岛市某大酒店豪华间实行淡季、旺季两种价格标准，旺季每间价格比淡季上涨13.下表是去年该酒店豪华间某两天的相关记录：(1)该酒店豪华间有多少间？旺季每间价格为多少元？(2)今年旺季来临，豪华间的间数不变．经市场调查发现，如果豪华间仍旧实行去年旺季价格，那么每天都客满；如果价格继续上涨，那么每增加25元，每天未入住房间数增加1间．不考虑其他因素，该酒店将豪华间的价格上涨多少元时，豪华间的日总收入最高？最高日总收入是多少元？解：(1)设该酒店有豪华间a 间，则： 40000a ＝24000a －10(1＋13)，解得a ＝50， 经检验a ＝50既是原分式方程的解，也符合题意， ∴旺季每间价格为：40000÷50＝800(元)．答：该酒店豪华间有50间，旺季每间价格为800元； (2)设该酒店豪华间上涨x 元，日总收入为w 元，则： w ＝(x ＋800)(50－x 25)＝－125x 2＋18x ＋40000＝－125(x －225)2＋42025，答：当每间价格上涨225元时，日总收入最高，最高总收入为42025元．11. 某电子科技公司开发一种新产品，公司对经营的盈亏情况每月最后一天结算1次．在1～12月份中，公司前x 个月累计获得的总利润y (万元)与销售时间x (月)之间满足二次函数关系式y＝a(x－h)2＋k，二次函数y＝a(x－h)2＋k的一部分图象如图所示，点A为抛物线的顶点，且点A、B、C的横坐标分别为4、10、12，点A、B的纵坐标分别为－16、20.(1)试确定函数关系式y＝a(x－h)2＋k；(2)分别求出前9个月公司累计获得的利润以及10月份一个月内所获得的利润；(3)在前12个月中，哪个月该公司一个月内所获得的利润最多？最多利润是多少万元？第11题图解：(1)根据题意可设：y＝a(x－4)2－16，当x＝10时，y＝20，∴a(10－4)2－16＝20，解得a＝1，∴所求函数关系式为：y＝(x－4)2－16；(2)当x＝9时，y＝(9－4)2－16＝9，∴前9个月公司累计获得的利润为9万元．又∵当x＝10时，y＝20，而20－9＝11，∴10月份一个月内所获得的利润为11万元；(3)设在前12个月中，第n个月该公司一个月内所获得的利润为s(万元)，则有：s＝(n－4)2－16－[(n－1－4)2－16]＝2n－9，∵s是关于n的一次函数，且2>0，∴s随着n的增大而增大，而n的最大值为12，∴当n＝12时，s＝15，∴第12个月该公司一个月内所获得的利润最多，最多利润是15万元．12. 国家为支持大学生创业，提供小额无息贷款，学生王芳享受政策无息贷款36000元用来代理品牌服装的销售．已知该品牌服装进价每件40元，日销售量y(件)与销售价x(元/件)之间的关系如图所示(实线)，付员工的工资每人每天82元，每天应支付其他费用106元．(1)求日销售y(件)与销售价x (元/件)之间的函数关系式；(2)若暂不考虑还贷，当某天的销售价为48元/件时，收支恰好平衡(收入＝支出)，求该店员工人数；(3)若该店只有2名员工，则该店至少需要多少天才能还清贷款，此时，每件服装的价格应定为多少元？第12题图解：(1)当40≤x ≤58时，设y 与x 的函数关系式为y ＝k 1x ＋b 1，由图象经过(40，60)、(58，24)两点可得：⎩⎪⎨⎪⎧60＝40k 1＋b 124＝58k 1＋b 1，解得⎩⎪⎨⎪⎧k 1＝－2b 1＝140. ∴y ＝－2x ＋140；当58＜x ≤71时，设y 与x 的函数关系式为y ＝k 2x ＋b 2，由图象经过(58，24)、(71，11)两点，可得：⎩⎪⎨⎪⎧24＝58k 2＋b 211＝71k 2＋b 2，解得⎩⎪⎨⎪⎧k 2＝－1b 2＝82. ∴y ＝－x ＋82. 综上所述：y ＝⎩⎪⎨⎪⎧－2x ＋140 （40≤x ≤58）－x ＋82 （58<x ≤71）； (2)设人数为a ，当x ＝48时，y ＝－2×48＋140＝44， 则(48－40)×44＝106＋82a ， 解得：a ＝3.答：该店员工人数为3人； (3)设每日的收入为W 元，当40≤x ≤58时，W ＝(x －40)(－2x ＋140)＝－2(x －55)2＋450， ∴当x ＝55时，W 取得最大值450；当58＜x ≤71时，W ＝(x －40)(－x ＋82)＝－(x －61)2＋441， ∴当x ＝61时，W 取得最大值441.综上可知，当x ＝55时，W 取得最大值450. 设需要b 天，该店还清贷款，则： (450－106－82×2)b ≥36000， 解得b ≥200.答：该店至少需要200天才能还清贷款，此时，每件服装的价格应定为55元．。

第三单元函数第十四课时二次函数的实际应用1. (8分)(2017眉山)东坡某烘焙店生产的蛋糕礼盒分为六个档次，第一档次(即最低档次)的产品每天生产76件，每件利润10元．调查表明：生产提高一个档次的蛋糕产品，该产品每件利润增加2元．(1)若生产的某批次蛋糕每件利润为14元，此批次蛋糕属第几档次产品；(2)由于生产工序不同，蛋糕产品每提高一个档次，一天产量会减少4件，若生产的某档次产品一天的总利润为1080元，该烘焙店生产的是第几档次的产品？2. (8分)(2017济宁)某商店经销一种双肩包，已知这种双肩包的成本价为每个30元，市场调查发现，这种双肩包每天的销售量y(单位：个)与销售单价x(单位：元)有如下关系：y＝－x＋60(30≤x≤60)．设这种双肩包每天的销售利润为w元．(1)求w与x之间的函数解析式；(2)这种双肩包销售单价定为多少元时，每天的销售利润最大？最大利润是多少元？(3)如果物价部门规定这种双肩包的销售单价不高于48元，该商店销售这种双肩包每天要获得200元的销售利润，销售单价应定为多少元？3. (8分)(2017成都)随着地铁和共享单车的发展，“地铁＋单车”已成为很多市民出行的选择．李华从文化宫站出发，先乘坐地铁，准备在离家较近的A，B，C，D，E中的某一站出地铁，再骑共享单车回家．设他出地铁的站点与文化宫的距离为x(单位：千米)，乘坐地铁的时间y1(单位：分钟)是关于x的一次函数，其关系如下表：地铁站 A B C D Ex(千米) 8 9 10 11.5 13y1(分钟) 18 20 22 25 28 (1)求y1关于x的函数表达式；(2)李华骑单车的时间y2(单位：分钟)也受x的影响，其关系可以用y2＝12x2－11x＋78来描述．请问：李华应选择在哪一站出地铁，才能使他从文化宫站回到家所需要的时间最短？并求出最短时间．4. (8分)(2017青岛)青岛市某大酒店豪华间实行淡季、旺季两种价格标准，旺季每间价格比淡季上涨13.下表是去年该酒店豪华间某两天的相关记录：淡季旺季未入住房间数10 0日总收入(元) 24000 40000(1)该酒店豪华间有多少间？旺季每间价格为多少元？(2)今年旺季来临，豪华间的间数不变．经市场调查发现，如果豪华间仍旧实行去年旺季价格，那么每天都客满；如果价格继续上涨，那么每增加25元，每天未入住房间数增加1间．不考虑其他因素，该酒店将豪华间的价格上涨多少元时，豪华间的日总收入最高？最高日总收入是多少元？5. (9分)(2017河北)某厂按用户的月需求量x(件)完成一件产品的生产，其中x>0.每件的售价为18万元，每件的成本y(万元)是基础价与浮动价的和，其中基础价保持不变，浮动价与月需要量x(件)成反比．经市场调研发现，月需求量x与月份n(n为整数，1≤n≤12)符合关系式x＝2n2－2kn＋9(k＋3)(k为常数)，且得到了表中的数据．月份n(月) 1 2成本y(万元/件) 11 12需求量x(件/月) 120 100(1)求y与x满足的关系式，请说明一件产品的利润能否是12万元；(2)求k，并推断是否存在某个月既无盈利也不亏损；(3)在这一年12个月中，若第m个月和第(m＋1)个月的利润相差最大，求m.6. (9分)(2017南雅中学一模)九年级(3)班数学兴趣小组经过市场调查整理出某种商品在第x天(1≤x≤90，且x为整数)的售价与销售量的相关信息如下，已知商品的进价为30元/件，设该商品的售价为y(单位：元/件)，每天的销售量为p(单位：件)，每天的销售利润为w(单位：元).时间x(天) 1 30 60 90每天销售量p(件) 198 140 80 20(1)求出w与x的函数关系式；(2)问销售该商品第几天时，当天的销售利润最大？并求出最大利润；(3)该商品在销售过程中，共有多少天每天的销售利润不低于5600元？请直接写出结果．第6题图答案1. 解：(1)当每件蛋糕利润是14元时，提高了(14－10)÷2＝2个档次，∵提高2个档次，∴此批次蛋糕属第3档次产品；(2)设烘焙店生产的是第x 档次的产品，则每件的利润为10＋2(x －1)，每天的产量为76－4(x －1)，由题意可得[10＋2(x －1)][76－4(x －1)]＝1080， 整理得8x 2－128x ＋440＝0，解得x 1＝5，x 2＝11(∵11＞6，不符合题意，舍去)， 答：该烘焙店生产的是第5档次的产品．2. 解：(1)w ＝(x －30)·y ＝(x －30)·(－x ＋60)＝－x 2＋90x －1800， ∴w 与x 的函数关系式为w ＝－x 2＋90x －1800(30≤x ≤60)； (2)w ＝－x 2＋90x －1800＝－(x －45)2＋225， ∴当x ＝45时，w 有最大值，w 最大值为225，答：销售单价定为45元时，每天销售利润最大，最大销售利润225元； (3)当w ＝200时，可列方程－(x －45)2＋225＝200， 解得x 1＝40，x 2＝50， ∵50＞48，∴x 2＝50(不符合题意，应舍去)，答：该商店销售这种双肩包每天想要获得200元的销售利润，销售单价应定为40元．3. 解：(1)设一次函数为y 1＝kx ＋b (k ≠0)， 将x ＝8，y ＝18和x ＝9，y ＝20代入， 得⎩⎨⎧8k ＋b ＝189k ＋b ＝20，解得⎩⎨⎧k ＝2b ＝2， ∴y 1与x 的函数关系式为y 1＝2x ＋2；(2)设李华从文化宫乘地铁和骑单车回家共需y 分钟， ∵y 2＝12x 2－11x ＋78，∴y ＝y 1＋y 2＝12x 2－9x ＋80＝12(x －9)2＋792， ∵12>0，∴当x ＝9时，y 最小＝792(分钟)，答：李华应选择在B 站出地铁，才能使他从文化宫回到家的时间最短，最短时间为792分钟．4. 解：(1)设该酒店有豪华间a 间，则： 40000a ＝24000a －10(1＋13)， 解得a ＝50，经检验a ＝50是原方程的解，符合题意， ∴旺季每间＝40000÷50＝800(元)，答：该酒店豪华间有50间，旺季每间价格为800元； (2)设该酒店豪华间上涨x 元，日总收入为w 元，则w ＝(x ＋800)(50－x 25)＝－125x 2＋18x ＋40000＝－125(x －225)2＋42025， ∵－125＜0，∴当x ＝225时，w 有最大值，此时w max ＝42025，答：当每间价格上涨225元时，日总收入最高，最高总收入为42025元． 5. 解：(1)由题意，设y ＝a ＋bx ，由表中数据，得⎩⎪⎨⎪⎧11＝a ＋b12012＝a ＋b 100，解得⎩⎨⎧a ＝6b ＝600，∴y ＝6＋600x ，由题意，若12＝18－(6＋600x )， 则600x ＝0，∵x >0，∴600x >0， ∴一件产品的利润不可能是12万元；(2)将n ＝1，x ＝120代入x ＝2n 2－2kn ＋9(k ＋3)，得120＝2－2k ＋9k ＋27， 解得k ＝13，将n ＝2，x ＝100代入x ＝2n 2－2kn ＋9(k ＋3)，得100＝8－4k ＋9(k ＋3)， 解得k ＝13，由题意，得18＝6＋600x ，解得x ＝50， ∴50＝2n 2－26n ＋144，即n 2－13n ＋47＝0， ∵b 2－4ac ＝(－13)2－4×1×47<0， ∴方程无实根，∴不存在某个月既无盈利也不亏损；(3)∵第m 个月的利润为W m ＝x(18－y )＝18x －x(6＋600x )＝12(x －50)＝12(2m 2－26m ＋144－50)＝24(m 2－13m ＋47)，∴第(m ＋1)个月的利润为W m ＋1＝24[(m ＋1)2－13(m ＋1)＋47]＝24(m 2－11m ＋35)，若W m ≥W m ＋1，W m －W m ＋1＝48(6－m )，m 取1时，W m －W m ＋1＝240，利润相差最大；若W m <W m ＋1，W m ＋1－W m ＝48(m －6)，m ＋1≤12，m 取11时，W m ＋1－W m ＝240，利润相差最大， ∴m ＝1或m ＝11.6. 解：(1)当1≤x ≤50时，设商品的售价y 与时间x 的函数关系式为y ＝kx ＋b (k 、b 为常数且k ≠0)，∵y ＝kx ＋b 经过点(0，40)、(50，90)，代入得 ∴⎩⎨⎧b ＝4050k ＋b ＝90，解得⎩⎨⎧k ＝1b ＝40， ∴售价y 与时间x 的函数关系式为y ＝x ＋40； 当50＜x ≤90时，y ＝90， ∴售价y 与时间x 的函数关系式为 y ＝⎩⎨⎧x ＋40（1≤x≤50，且x 为整数）90 （50＜x≤90，且x 为整数），由数据可知每天的销售量p 与时间x 成一次函数关系，设每天的销售量p 与时间x 的函数关系式为p ＝mx ＋n (m 、n 为常数，且m ≠0)， ∵p ＝mx ＋n 经过点(60，80)、(30，140)，代入得， ∴⎩⎨⎧60m ＋n ＝8030m ＋n ＝140，解得⎩⎨⎧m ＝－2n ＝200， ∴p ＝－2x ＋200(1≤x ≤90，且x 为整数)，当1≤x ≤50时，w ＝(y －30)·p ＝(x ＋40－30)(－2x ＋200)＝－2x 2＋180x ＋2000； 当50＜x ≤90时，w ＝(90－30)(－2x ＋200)＝－120x ＋12000， 综上所述，每天的销售利润w 与时间x 的函数关系式是w ＝⎩⎨⎧－2x2＋180x ＋2000（1≤x≤50，且x 为整数）－120x ＋12000（50＜x≤90，且x 为整数）； (2)当1≤x ≤50时，w ＝－2x 2＋180x ＋2000＝－2(x －45)2＋6050， ∵a ＝－2＜0且1≤x ≤50，∴当x ＝45时，w 取最大值，最大值为6050元，当50＜x ≤90时，w ＝－120x ＋12000，∵k ＝－120＜0，w 随x 增大而减小， ∴当x ＝50时，w 取最大值，最大值为6000元， ∵6050＞6000，∴当x ＝45时，w 最大，最大值为6050元，答：销售第45天时，当天获得的销售利润最大，最大利润是6050元； (3)24天．【解法提示】当1≤x ≤50时，令w ＝－2x 2＋180x ＋2000≥5600，即－2x 2＋180x －3600≥0， 解得30≤x ≤60， ∵1≤x ≤50， ∴30≤x ≤50， ∴50－30＋1＝21(天)，当50＜x ≤90时，令w ＝－120x ＋12000≥5600，即－120x ＋6400≥0， 解得x ≤5313，∵50＜x ≤90，x 为整数， ∴50＜x ≤53，53－50＝3(天)， 综上可知：21＋3＝24(天)，答：该商品在销售过程中，共有24天每天的销售利润不低于5600元．。

中考数学复习----《二次函数之实际应用》知识点总结与专项练习题（含答案解析）知识点总结1.利用二次函数解决利润问题在商品经营活动中，经常会遇到求最大利润，最大销量等问题。

解此类题的关键是通过题意，确定出二次函数的解析式，然后确定其最大值，实际问题中自变量的取值要使实际问题有意义，因此在求二次函数的最值时，一定要注意自变量的取值范围。

2.几何图形中的最值问题几何图形中的二次函数问题常见的有：几何图形中面积的最值，用料的最佳方案以及动态几何中的最值的讨论。

3.构建二次函数模型解决实际问题利用二次函数解决抛物线形的隧道、大桥和拱门等实际问题时，要恰当地把这些实际问题中的数据落实到平面直角坐标系中的抛物线上，从而确定抛物线的解析式，通过解析式可解决一些测量问题或其他问题。

练习题1、（2022•自贡）九年级2班计划在劳动实践基地内种植蔬菜，班长买回来8米长的围栏，准备围成一边靠墙（墙足够长）的菜园，为了让菜园面积尽可能大，同学们提出了围成矩形、等腰三角形（底边靠墙）、半圆形这三种方案，最佳方案是（）A．方案1B．方案2C．方案3D．方案1或方案2【分析】分别计算三个方案的菜园面积进行比较即可．【解答】解：方案1：设AD＝x米，则AB＝（8﹣2x）米，则菜园面积＝x（8﹣2x）＝﹣2x2+8x＝﹣2（x﹣2）2+8，当x＝2时，此时菜园最大面积为8米2；方案2：解法一：如图，过点B作BH⊥AC于H，则BH≤AB＝4，∵S△ABC＝•AC•BH，∴当BH＝4时，△ABC的面积最大为×4×4＝8；解法二：过点A作AD⊥BC于D，设CD＝x，AD＝y，则x2+y2＝16，∴S＝•BC•AD＝•2x•y＝xy，∵（x﹣y）2＝x2+y2﹣2xy≥0，∴16﹣2xy≥0，∴xy≤8，∴当且仅当x＝y＝2时，菜园最大面积＝8米2；方案3：半圆的半径＝米，∴此时菜园最大面积＝＝米2＞8米2；故选：C ． 2、（2022•襄阳）在北京冬奥会自由式滑雪大跳台比赛中，我国选手谷爱凌的精彩表现让人叹为观止，已知谷爱凌从2m 高的跳台滑出后的运动路线是一条抛物线，设她与跳台边缘的水平距离为xm ，与跳台底部所在水平面的竖直高度为ym ，y 与x 的函数关系式为y ＝2213212++−x x （0≤x ≤20.5），当她与跳台边缘的水平距离为 m 时，竖直高度达到最大值．【分析】把抛物线解析式化为顶点式，由函数的性质求解即可．【解答】解：y ＝x 2+x +2＝﹣（x ﹣8）2+4，∵﹣＜0， ∴当x ＝8时，y 有最大值，最大值为4，∴当她与跳台边缘的水平距离为8m 时，竖直高度达到最大值．故答案为：8．3、（2022•黔西南州）如图，是一名男生推铅球时，铅球行进过程中形成的抛物线．按照图中所示的平面直角坐标系，铅球行进高度y （单位：m ）与水平距离x （单位：m ）之间的关系是y ＝﹣121x 2+32x +35，则铅球推出的水平距离OA 的长是 m ．【分析】根据题目中的函数解析式和图象可知，OA 的长就是抛物线与x 轴正半轴的交点的横坐标的值，然后令y ＝0求出相应的x 的值，即可得到OA 的长．【解答】解：∵y ＝﹣x 2+x +，∴当y＝0时，0＝﹣x2+x+，解得x1＝﹣2，x2＝10，∴OA＝10m，故答案为：10．4、（2022•南通）根据物理学规律，如果不考虑空气阻力，以40m/s的速度将小球沿与地面成30°角的方向击出，小球的飞行高度h（单位：m）与飞行时间t（单位：s）之间的函数关系是h＝﹣5t2+20t，当飞行时间t为s时，小球达到最高点．【分析】把二次函数解析式化为顶点式，即可得出结论．【解答】解：h＝﹣5t2+20t＝﹣5（t﹣2）2+20，∵﹣5＜0，∴当t＝2时，h有最大值，最大值为20，故答案为：2．5、（2022•聊城）某食品零售店新上架一款冷饮产品，每个成本为8元，在销售过程中，每天的销售量y（个）与销售价格x（元/个）的关系如图所示，当10≤x≤20时，其图象是线段AB，则该食品零售店每天销售这款冷饮产品的最大利润为元（利润＝总销售额﹣总成本）．【分析】利用待定系数法求一次函数解析式，然后根据“利润＝单价商品利润×销售量”列出二次函数关系式，从而根据二次函数的性质分析其最值．【解答】解：当10≤x≤20时，设y＝kx+b，把（10，20），（20，10）代入可得：，解得，∴每天的销售量y（个）与销售价格x（元/个）的函数解析式为y＝﹣x+30，设该食品零售店每天销售这款冷饮产品的利润为w元，w＝（x﹣8）y＝（x﹣8）（﹣x+30）＝﹣x2+38x﹣240＝﹣（x﹣19）2+121，∵﹣1＜0，∴当x＝19时，w有最大值为121，故答案为：121．6、（2022•广安）如图是抛物线形拱桥，当拱顶离水面2米时，水面宽6米，水面下降米，水面宽8米．【分析】根据已知建立直角坐标系，进而求出二次函数解析式，再根据通过把x＝4代入抛物线解析式得出y，即可得出答案．【解答】解：以水面所在的直线AB为x轴，以过拱顶C且垂直于AB的直线为y轴建立平面直角坐标系，O为原点，由题意可得：AO＝OB＝3米，C坐标为（0，2），通过以上条件可设顶点式y＝ax2+2，把A点坐标（﹣3，0）代入抛物线解析式得，9a+2＝0，解得：a＝﹣，所以抛物线解析式为y＝﹣x2+2，当x＝4时，y＝﹣×16+2＝﹣，∴水面下降米，故答案为：．7、（2022•新疆）如图，用一段长为16m的篱笆围成一个一边靠墙的矩形围栏（墙足够长），则这个围栏的最大面积为m2．【分析】设与墙垂直的一边长为xm，然后根据矩形面积列出函数关系式，从而利用二次函数的性质分析其最值．【解答】解：设与墙垂直的一边长为xm，则与墙平行的一边长为（16﹣2x）m，∴矩形围栏的面积为x（16﹣2x）＝﹣2x2+16x＝﹣2（x﹣4）2+32，∵﹣2＜0，∴当x＝4时，矩形有最大面积为32m2，故答案为：32．8、（2022•甘肃）如图，以一定的速度将小球沿与地面成一定角度的方向击出时，小球的飞行路线是一条抛物线．若不考虑空气阻力，小球的飞行高度h（单位：m）与飞行时间t （单位：s）之间具有函数关系：h＝﹣5t2+20t，则当小球飞行高度达到最高时，飞行时间t＝s．【分析】把一般式化为顶点式，即可得到答案．【解答】解：∵h＝﹣5t2+20t＝﹣5（t﹣2）2+20，且﹣5＜0，∴当t＝2时，h取最大值20，故答案为：2．9、（2022•连云港）如图，一位篮球运动员投篮，球沿抛物线y＝﹣0.2x2+x+2.25运行，然后准确落入篮筐内，已知篮筐的中心离地面的高度为 3.05m，则他距篮筐中心的水平距离OH是m．【分析】根据所建坐标系，水平距离OH就是y＝3.05时离他最远的距离．【解答】解：当y＝3.05时，3.05＝﹣0.2x2+x+2.25，x2﹣5x+4＝0，（x﹣1）（x﹣4）＝0，解得：x1＝1，x2＝4，故他距篮筐中心的水平距离OH是4m．故答案为：4．10、（2022•南充）如图，水池中心点O处竖直安装一水管，水管喷头喷出抛物线形水柱，喷头上下移动时，抛物线形水柱随之竖直上下平移，水柱落点与点O在同一水平面．安装师傅调试发现，喷头高2.5m时，水柱落点距O点2.5m；喷头高4m时，水柱落点距O 点3m．那么喷头高m时，水柱落点距O点4m．【分析】由题意可知，在调整喷头高度的过程中，水柱的形状不发生变化，则当喷头高2.5m时，可设y＝ax2+bx+2.5，将（2.5，0）代入解析式得出2.5a+b+1＝0；喷头高4m时，可设y＝ax2+bx+4；将（3，0）代入解析式得9a+3b+4＝0，联立可求出a和b的值，设喷头高为h时，水柱落点距O点4m，则此时的解析式为y＝ax2+bx+h，将（4，0）代入可求出h．【解答】解：由题意可知，在调整喷头高度的过程中，水柱的形状不发生变化，当喷头高2.5m时，可设y＝ax2+bx+2.5，将（2.5，0）代入解析式得出6.25a+2.5b+2.5＝0，整理得2.5a+b+1＝0①；喷头高4m时，可设y＝ax2+bx+4；将（3，0）代入解析式得9a+3b+4＝0②，联立可求出a＝﹣，b＝，设喷头高为h时，水柱落点距O点4m，∴此时的解析式为y＝﹣x2+x+h，将（4，0）代入可得﹣×42+×4+h＝0，解得h＝8．故答案为：8．。