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第一章：量子力学的诞生

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曾谨言《量子力学导论》第二版的课后答案

曾谨言《量子力学导论》第二版的课后答案

)
[ (
) (
)
]
其 中 T 的 第 一 项 可 化 为 面 积 分 ， 而 在 无 穷 远 处 归 一 化 的 波 函 数 必 然 为 0 。 因 此
ℏ2 T= d 3 r∇ψ * ⋅ ∇ψ ∫ 2m
结合式（1） 、 （2）和（3） ，可知能量密度
（3）
w=
且能量平均值
ℏ2 ∇ψ * ⋅ ∇ψ + ψ *Vψ , 2m
第一章 1.1 设质量为 m 的粒子在一维无限深势阱中运动，
量子力学的诞生
⎧∞, x < 0, x > a V ( x) = ⎨ ⎩0, 0 < x < a
试用 de Broglie 的驻波条件，求粒子能量的可能取值。 解：据驻波条件，有
λ 2 ∴ λ = 2a / n a = n⋅
又据 de Broglie 关系
�
E = ∫ d 3r ⋅ w ，
（能量密度）
w=
ℏ2 ∇ψ *ψ + ψ *Vψ 2m ∂w � +∇⋅s = 0 ∂t
（b）证明能量守恒公式
2
⎞ ℏ 2 ⎛ ∂ψ * ∂ψ � ⎜ s =− ∇ψ + ∇ψ * ⎟ ⎜ ⎟ 2m ⎝ ∂ t ∂t ⎠
证： （a）粒子的能量平均值为（设ψ 已归一化）
= mh,
m = 1, 2 , 3 , ⋯
pϕ = mh ，
2 E m = pϕ / 2I = m 2 ℏ 2 / 2I ，
m = 1, 2 , 3 ,⋯
ödinger 方程 第二章 波函数与 Schr Schrö 2.1 设质量为 m 的粒子在势场 V ( r ) 中运动。 （a）证明粒子的能量平均值为

曾谨言量子力学课后答案

曾谨言量子力学课后答案

h2 2m
∇
2ψ
(rv,
t
)
+
[V1
(rv
)
+
iV2
(rv
)]ψ
(rv,
t
)
V1 与V2 为实函数。
4
（1）
（a）证明粒子的几率（粒子数）不守恒。
（b）证明粒子在空间体积τ 内的几率随时间的变化为
( ) d
dt
∫∫∫ τ
d
3 rψ
*ψ
=
−
h 2im
∫∫
S
ψ
*∇ψ
−ψ∇ψ *
v ⋅ dS +
2V2 h
（1） （2）
5
取（1）之复共轭：
−
ih
∂ψ * 1 ∂t
= −
h2 ∇2 2m
+
V
ψ
* 1
ψ
2
×
（3）
−ψ
* 1
×
（2）,得
（3）
对全空间积分：
( ) ( ) − ih
∂ ∂t
ψ *ψ 12
=
−
h2 2m
ψ
2
∇
2ψ
* 1
−ψ 1*∇ 2ψ
2
∫ ∫ [ ] − ih d dt
d
3 rψ
* 1
(rv,
d
3rψ
*
−
h2 2m
∇
2
ψ
(动能平均值)
=
−
h2 2m
∫
d
3
r
[∇
⋅
(ψ
*∇ψ
)
−
(∇ψ
*
)⋅
(∇ψ

[理学]《量子力学导论》习题答案曾谨言版_北京大学1

[理学]《量子力学导论》习题答案曾谨言版_北京大学1

第一章 量子力学的诞生1.1设质量为m 的粒子在一维无限深势阱中运动， ⎩⎨⎧<<><∞=ax ax x x V 0,0,0,)(试用de Broglie 的驻波条件，求粒子能量的可能取值。

解：据驻波条件，有 ),3,2,1(2=⋅=n n a λn a /2=∴λ （1）又据de Broglie 关系 λ/h p = （2） 而能量(),3,2,12422/2/2222222222==⋅===n ma n a m n h m m p E πλ （3）1.2设粒子限制在长、宽、高分别为c b a ,,的箱内运动，试用量子化条件求粒子能量的可能取值。

解：除了与箱壁碰撞外，粒子在箱内作自由运动。

假设粒子与箱壁碰撞不引起内部激发，则碰撞为弹性碰撞。

动量大小不改变，仅方向反向。

选箱的长、宽、高三个方向为z y x ,,轴方向，把粒子沿z y x ,,轴三个方向的运动分开处理。

利用量子化条件，对于x 方向，有()⎰==⋅ ,3,2,1,x x xn h n dx p即 h n a p x x =⋅2 （a 2：一来一回为一个周期）a h n p x x 2/=∴,同理可得， b h n p y y 2/=, c h n p z z 2/=,,3,2,1,,=z y x n n n粒子能量 ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛++=++=222222222222)(21c n b n a n mp p p m E z y x z y x n n n zy x π ,3,2,1,,=z y x n n n1.3设质量为m 的粒子在谐振子势2221)(x m x V ω=中运动，用量子化条件求粒子能量E 的可能取值。

提示：利用 )]([2,,2,1,x V E m p n nh x d p -===⋅⎰)(x V解：能量为E 的粒子在谐振子势中的活动范围为 a x ≤ （1） 其中a 由下式决定：221()2x a E V x m a ω===。

曾谨言量子力学导论(第二版)答案

曾谨言量子力学导论(第二版)答案

nx , ny , nz = 1, 2,3,
1.3 设质量为 m 的粒子在谐振子势V (x) = 1 mω 2 x 2 中运动，用量子化条件求粒子能量 E 的可能取值。 2
∫ 提示：利用 p ⋅ dx = nh, n = 1, 2, , p = 2m[E − V (x)]
V (x)
解：能量为 E 的粒子在谐振子势中的活动范围为
第一章 量子力学的诞生
1.1 设质量为 m 的粒子在一维无限深势阱中运动，
V
(
x)
=
⎧∞, ⎩⎨0,
x < 0, x > a 0< x<a
试用 de Broglie 的驻波条件，求粒子能量的可能取值。
解：据驻波条件，有 a = n ⋅ λ 2
(n = 1,2,3, )
∴λ = 2a / n
又据 de Broglie 关系 p = h / λ
（1） （2）
而能量
E = p 2 / 2m = 2 / 2mλ2 = h2n2 = π 2 2n2 2m ⋅ 4a 2 2ma 2
(n = 1, 2,3, )
（3）
1.2 设粒子限制在长、宽、高分别为 a, b, c 的箱内运动，试用量子化条件求粒子能量的可能取值。
解：除了与箱壁碰撞外，粒子在箱内作自由运动。假设粒子与箱壁碰撞不引起内部激发，则碰撞为弹性碰
2
2
a
1.4 设一个平面转子的转动惯量为 I，求能量的可能取值。
∫ 提示：利用
2π 0
pϕ dϕ
= nh,
n = 1, 2,
, pϕ 是平面转子的角动量。转子的能量 E = pϕ2 / 2I 。
解：平面转子的转角（角位移）记为ϕ 。

(完整word版)量子力学 第四版 卷一 (曾谨言 著)习题答案

(完整word版)量子力学 第四版 卷一 (曾谨言 著)习题答案

(完整word 版)量子力学 第四版 卷一 (曾谨言 著)习题答案 第一章量子力学的诞生1。

1设质量为m 的粒子在谐振子势2221)(x m x V ω=中运动，用量子化条件求粒子能量E 的可能取值。

提示：利用 )]([2,,2,1,x V E m p n nh x d p -===⋅⎰ )(x V解:能量为E 的粒子在谐振子势中的活动范围为 a x ≤ (1) 其中a 由下式决定：2221)(a m x V E a x ω===。

a - 0 a x 由此得 2/2ωm E a = ， (2)a x ±=即为粒子运动的转折点。

有量子化条件h n a m a m dx x a m dx x m E m dx p aaaa==⋅=-=-=⋅⎰⎰⎰+-+-222222222)21(22πωπωωω得ωωπm nm nh a 22==（3） 代入（2），解出 ,3,2,1,==n n E n ω （4）积分公式： c au a u a u du u a ++-=-⎰arcsin 22222221.2设粒子限制在长、宽、高分别为c b a ,,的箱内运动,试用量子化条件求粒子能量的可能取值。

解：除了与箱壁碰撞外，粒子在箱内作自由运动.假设粒子与箱壁碰撞不引起内部激发,则碰撞为弹性碰撞。

动量大小不改变，仅方向反向。

选箱的长、宽、高三个方向为z y x ,,轴方向,把粒子沿z y x ,,轴三个方向的运动分开处理。

利用量子化条件，对于x 方向，有()⎰==⋅ ,3,2,1,x x xn h n dx p即 h n a p x x =⋅2 （a 2：一来一回为一个周期）a h n p x x 2/=∴,同理可得, b h n p y y 2/=, c h n p z z 2/=，,3,2,1,,=z y x n n n粒子能量⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛++=++=222222222222)(21c n b n a n mp p p m E z y x z y x n n n zy x π,3,2,1,,=z y x n n n1.3设一个平面转子的转动惯量为I ，求能量的可能取值。

《量子力学导论》习题答案(曾谨言版-北京大学)1

《量子力学导论》习题答案(曾谨言版-北京大学)1

第一章 量子力学的诞生1.1设质量为m 的粒子在一维无限深势阱中运动， ⎩⎨⎧<<><∞=ax ax x x V 0,0,0,)(试用de Broglie 的驻波条件，求粒子能量的可能取值。

解：据驻波条件，有 ),3,2,1(2=⋅=n n a λn a /2=∴λ （1）又据de Broglie 关系 λ/h p = （2） 而能量(),3,2,12422/2/2222222222==⋅===n ma n a m n h m m p E πλ （3）1.2设粒子限制在长、宽、高分别为c b a ,,的箱内运动，试用量子化条件求粒子能量的可能取值。

解：除了与箱壁碰撞外，粒子在箱内作自由运动。

假设粒子与箱壁碰撞不引起内部激发，则碰撞为弹性碰撞。

动量大小不改变，仅方向反向。

选箱的长、宽、高三个方向为z y x ,,轴方向，把粒子沿z y x ,,轴三个方向的运动分开处理。

利用量子化条件，对于x 方向，有()⎰==⋅ ,3,2,1,x x xn h n dx p即 h n a p x x =⋅2 （a 2：一来一回为一个周期）a h n p x x 2/=∴,同理可得， b h n p y y 2/=, c h n p z z 2/=,,3,2,1,,=z y x n n n粒子能量 ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛++=++=222222222222)(21c n b n a n mp p p m E z y x z y x n n n zy x π ,3,2,1,,=z y x n n n1.3设质量为m 的粒子在谐振子势2221)(x m x V ω=中运动，用量子化条件求粒子能量E 的可能取值。

提示：利用 )]([2,,2,1,x V E m p n nh x d p -===⋅⎰)(x V解：能量为E 的粒子在谐振子势中的活动范围为 a x ≤ （1） 其中a 由下式决定：221()2x a E V x m a ω===。

《量子力学导论》习题答案(曾谨言版-北京大学)1

第一章 量子力学的诞生1.1设质量为m 的粒子在一维无限深势阱中运动， ⎩⎨⎧<<><∞=ax ax x x V 0,0,0,)(试用de Broglie 的驻波条件，求粒子能量的可能取值。

解：据驻波条件，有 ),3,2,1(2=⋅=n n a λn a /2=∴λ （1）又据de Broglie 关系 λ/h p = （2） 而能量(),3,2,12422/2/2222222222==⋅===n ma n a m n h m m p E πλ （3）1.2设粒子限制在长、宽、高分别为c b a ,,的箱内运动，试用量子化条件求粒子能量的可能取值。

解：除了与箱壁碰撞外，粒子在箱内作自由运动。

假设粒子与箱壁碰撞不引起内部激发，则碰撞为弹性碰撞。

动量大小不改变，仅方向反向。

选箱的长、宽、高三个方向为z y x ,,轴方向，把粒子沿z y x ,,轴三个方向的运动分开处理。

利用量子化条件，对于x 方向，有()⎰==⋅ ,3,2,1,x x xn h n dx p即 h n a p x x =⋅2 （a 2：一来一回为一个周期）a h n p x x 2/=∴,同理可得， b h n p y y 2/=, c h n p z z 2/=,,3,2,1,,=z y x n n n粒子能量 ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛++=++=222222222222)(21c n b n a n mp p p m E z y x z y x n n n zy x π ,3,2,1,,=z y x n n n1.3设质量为m 的粒子在谐振子势2221)(x m x V ω=中运动，用量子化条件求粒子能量E 的可能取值。

提示：利用 )]([2,,2,1,x V E m p n nh x d p -===⋅⎰)(x V解：能量为E 的粒子在谐振子势中的活动范围为 a x ≤ （1） 其中a 由下式决定：221()2x a E V x m a ω===。

量子力学基础教程

量子力学基础教程量子力学是一门研究微观世界的物理学科，它描述了微观粒子的行为和性质。

本文将为读者介绍量子力学的基础知识，帮助大家对这一领域有一个初步的了解。

第一章：量子力学的起源量子力学起源于20世纪初，当时科学家们发现传统物理学无法解释一些实验现象，例如黑体辐射和光电效应。

为了解决这些难题，一些科学家开始重新思考物质和能量的本质。

这些思考最终导致了量子力学的诞生。

第二章：波粒二象性量子力学的核心概念之一是波粒二象性。

在经典物理学中，我们认为光可以被看作是一种波动现象。

然而，量子力学揭示了光既可以表现出波动性，又可以表现出粒子性。

这种奇妙的特性不仅出现在光中，也出现在其他微观粒子（如电子和中子）中。

第三章：不确定性原理不确定性原理是量子力学的另一个重要概念。

它指出，在测量某个粒子的位置和动量时，我们无法同时获得精确的结果。

这意味着，我们无法完全预测微观粒子的行为。

不确定性原理的提出颠覆了经典物理学中确定性的观念，揭示了微观世界的混沌和难以捉摸的一面。

第四章：量子态和波函数量子态是描述微观粒子状态的数学概念。

它可以用波函数来表示，波函数是一个复数函数，描述了粒子的概率分布。

通过对波函数的测量，我们可以获得粒子的位置、动量等信息。

波函数的演化由薛定谔方程描述，它是量子力学的基本方程之一。

第五章：量子力学的应用量子力学在物理学和工程学的许多领域都有广泛的应用。

例如，它在原子物理学中用于解释原子的结构和性质；在材料科学中用于研究材料的电子结构和导电性；在量子计算中用于开发新型的计算机技术等等。

量子力学的应用正在不断拓展，为人类的科技发展带来了巨大的潜力。

结语：量子力学是一门复杂而奇妙的学科，它颠覆了传统物理学的观念，揭示了微观世界的独特规律。

本文介绍了量子力学的起源、波粒二象性、不确定性原理、量子态和波函数以及量子力学的应用。

希望通过这篇文章，读者对量子力学有了初步的了解，并能进一步探索这一神秘的学科。

量子力学导论(第二版)曾谨言+北京大学出版社+课后答案


nx , ny , nz = 1, 2,3,
1.3 设质量为 m 的粒子在谐振子势V (x) = 1 mω 2 x 2 中运动，用量子化条件求粒子能量 E 的可能取值。 2
∫ 提示：利用 p ⋅ dx = nh, n = 1, 2, , p = 2m[E − V (x)]
V (x)
解：能量为 E 的粒子在谐振子势中的活动范围为
2
2
a
1.4 设一个平面转子的转动惯量为 I，求能量的可能取值。
∫ 提示：利用
2π 0
pϕ dϕ
= nh,
n = 1, 2,
, pϕ 是平面转子的角动量。转子的能量 E = pϕ2 / 2I 。
解：平面转子的转角（角位移）记为ϕ 。
.
它的角动量 pϕ = I ϕ （广义动量）， pϕ 是运动惯量。按量子化条件
a 2 − x 2 dx
−a
2
−a
= 2mωa 2 ⋅ π = mωπ a 2 = nh 2
得 a 2 = nh = 2 n mωπ mω
（3）
代入（2），解出 En = n ω,
n = 1, 2,3,
（4）
∫ 积分公式：
a 2 − u 2 du = u a 2 − u 2 + a 2 arcsin u + c
−i
∂ψ ∂t
*
=
−
2
2m
∇ 2ψ
*
+
(V1
− iV2 )ψ
*
（2）
ψ * × （1）-ψ × （2）,得
( ) ( ) i
∂ ψ *ψ ∂t
2
= − ψ *∇ 2ψ −ψ∇2ψ * 2m
+ 2iψ *V2ψ

量子力学(全套) ppt课件


•2.电子的能量只是与光的频率有关，与光强无关，光
强只决定电子数目的多少。光电效应的这些规律是经典
理论无法解释的。按照光的电磁理论，光的能量只决定
于光的强度而与频率无关。
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10
（3）原子光谱，原子结构
氢原子光谱有许多分立谱线组成，这是很早就 发现了的。1885年瑞士巴尔末发现紫外光附近的 一个线系，并得出氢原子谱线的经验公式是：
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3Байду номын сангаас
§1 经典物理学的困难
(一）经典物理学的成功
19世纪末，物理学理论在当时看来已经发展到 相当完善的阶段。主要表现在以下两个方面：
(1) 应用牛顿方程成功的讨论了从天体到地上各种尺度的力 学客体体的运动，将其用于分子运动上，气体分子运动论， 取得有益的结果。1897年汤姆森发现了电子，这个发现表明 电子的行为类似于一个牛顿粒子。

1 n2

人们自然会提出如下三个问题：
1. 原子线状光谱产生的机制是什么？ 2. 光谱线的频率为什么有这样简单的规律？
nm
3. 光谱线公式中能用整数作参数来表示这一事实启发我们 思考： 怎样的发光机制才能认为原子P的PT课状件态可以用包含整数值的量来描写12 。
从前，希腊人有一种思想认为：


RH
C

1 22

1 n2

n 3,4,5,
其中RH 1.09677576 107 m 1是氢的Rydberg常数, C是光速。
•这就是著名的巴尔末公式（Balmer）。以后又发现了一
系列线系，它们都可以用下面公式表示：


RH
C
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8h 3 d exp( h / kT )d C3
Wien公式 d C1 3 exp(C 2 / T )d
•（2）当 v 很小（长波）时，因为 exp(hv /kT)-1 ≈ 1+(h v /kT)-1=(h v /kT)， 则 Planck 定律变为 Rayleigh-Jeans 公式。
（2）光电效应

光照射到金属上，有电子从金属上逸出的现象。 这种电子称之为光电子。试验发现光电效应有 两个突出的特点：
•1.临界频率v0 只有当光的频率大于某一定值 v0 时，才有光电子发射 出来。若光频率小于该值时，则不论光强度多大，照射时间多长，都没 有电子产生。光的这一频率v0称为临界频率。
8h 3 d C3 1 exp(h / kT ) 1 d
8h 3 kT 8 2 d d kTd C 3 h C3
Rayleigh Jeans
公式
d
8 kT 2 d 3 C
（二）光量子的概念
1 1 RH C 2 2 n 3,4,5, n 2 其中RH 1.09677576 107 m 1 是氢的Rydberg常数, C是光速。
•这就是著名的巴尔末公式（Balmer）。以后又发现了一系列线系，它们都可
以用下面公式表示：
1 1 RH C 2 2 n m
和光电效应理论
（ 1） （ 2） （ 3）

光子概念 光电效应理论 光子的动量
(1) 光子概念

第一个肯定光具有微粒性的是 Einstein，他认 为，光不仅是电磁波，而且还是一个粒子。 根 据他的理论，电磁辐射不仅在发射和吸收时以能 量 hν的微粒形式出现，而且以这种形式在空间 以光速 C 传播，这种粒子叫做光量子，或光子。 由相对论光的动量和能量关系 p = E/C = hv/C = h/λ提出了光子动量 p 与辐射波长λ（=C/v）的关系。
把光子的波动性和粒子性联系了起 来
• 虽然爱因斯坦对光电效应的解释是对Planck量子概念的极大支持， 但是Planck不同意爱因斯坦的光子假设，这一点流露在Planck推荐爱 因斯坦为普鲁士科学院院士的推荐信中。
“ 总而言之，我们可以说，在近代物理学结出硕果的那些重大 问题中，很难找到一个问题是爱因斯坦没有做过重要贡献的，在他的 各种推测中，他有时可能也曾经没有射中标的，例如，他的光量子假 设就是如此，但是这确实并不能成为过分责怪他的理由，因为即使在 最精密的科学中，也不可能不偶尔冒点风险去引进一个基本上全新的 概念 ”
§2 量子论的诞生
（一）Planck 黑体辐射定律 （二）光量子的概念和光电效应理论 （四）波尔（Bohr）的量子论

（三）Compton
散射 ——光的粒子性的进一步证实
§2 量子论的诞生



（一）Planck 黑体辐射定律 （二）光量子的概念和光电效应理论 （三）Compton 散射 ——光的粒子性的进一步证实 （四）波尔（Bohr）的量子论
Wien 线
0
5
1 (104 cm) 0
Wien 公式在短波部分与实验还相符合， 长波部分则明显不一致。
1. Wien 公式
从热力学出发加上一些特殊的假
设，得到一个分布公式：
1. Wien 公式
能 量 密 度
Wien 线
0
5
1 (104 cm) 0
Wien 公式在短波部分与实验还相符合， 长波部分则明显不一致。
辐射热平衡状态: 处于某一温度 T 下的腔 壁，单位面积所发射出的辐射能量和它所 吸收的辐射能量相等时，辐射达到热平衡 状态。
0
实验发现：
5
1 (104 cm) 0
热平衡时，空腔辐射的能量密度， 与辐射的波长的分布曲线，其形状和位置只 与黑体的绝对温度 T 有关而与黑体的形状和 材料无关。
能 量 密 度
n m
氢原子光谱 谱系 Lyman Balmer Paschen Brackett Pfund m 1 2 3 4 5 n 2,3,4,...... 3,4,5,...... 4,5,6,...... 5,6,7,...... 6,7,8,...... 区域 远紫外 可见 红外 远红外 超远红外
8h 3 1 d d 3 C exp(h / kT ) 1
•（1）当 v 很大（短波）时，因为 exp(hv /kT)-1 ≈ exp(hv /kT)， 于是 Planck 定律 化为 Wien 公式。
8h 3 d C3 1 exp(h / kT ) 1 d
•2. 电子的能量只是与光的频率有关，与光强无关，光强只决定电子数目 的多少。光电效应的这些规律是经典理论无法解释的。按照光的电磁理论， 光的能量只决定于光的强度而与频率无关。
（3）原子光谱，原子结构

氢原子光谱有许多分立谱线组成，这是很早就 发现了的。1885年瑞士巴尔末发现紫外光附近的 一个线系，并得出氢原子谱线的经验公式是：
第一章 量子力学的诞生
• §1 经典物理学的困难 §2 量子论的诞生 §3 实物粒子的波粒二象性
§1 经典物理学的困难

(一）经典物理学的成功

19 世纪末，物理学理论在当时看来已经发展到相当完善的阶 段。主要表现在以下两个方面：


(1) 应用牛顿方程成功的讨论了从天体到地上各种尺度的力 学客体体的运动，将其用于分子运动上，气体分子运动论， 取得有益的结果。1897年汤姆森发现了电子，这个发现表明 电子的行为类似于一个牛顿粒子。 (2) 光的波动性在1803年由杨的衍射实验有力揭示出来，麦 克斯韦在1864年发现的光和电磁现象之间的联系把光的波动 性置于更加坚实的基础之上。
（2）光电效应

光照射到金属上，有电子从金属上逸出的现象。 这种电子称之为光电子。试验发现光电效应有 两个突出的特点：
•1.临界频率v0 只有当光的频率大于某一定值 v0 时，才有光电子发射 出来。若光频率小于该值时，则不论光强度多大，照射时间多长，都没 有电子产生。光的这一频率v0称为临界频率。
8h 3 d C3 1 exp(h / kT ) 1 d
8h 3 kT 8 2 d d kTd C 3 h C3
Rayleigh Jeans
公式
d
8 kT 2 d 3 C
对 Planck 辐射定律的三点讨 论：
从前，希腊人有一种思想认为：
自然之美要由整数来表示。例如： 奏出动听音乐的弦的长度应具有波长的整数倍。


这些问题，经典物理学不能给于解释。首先，经典物理学不能 建立一个稳定的原子模型。根据经典电动力学，电子环绕原子 核运动是加速运动，因而不断以辐射方式发射出能量，电子的 能量变得越来越小，因此绕原子核运动的电子，终究会因大量 损失能量而“掉到”原子核中去，原子就“崩溃”了，但是， 现实世界表明，原子稳定的存在着。除此之外，还有一些其它 实验现象在经典理论看来是难以解释的，这里不再累述。 总之，新的实验现象的发现，暴露了经典理论的局限性，迫使 人们去寻找新的物理概念，建立新的理论，于是量子力学就在 这场物理学的危机中诞生。
1 1 RH C 2 2 n m
n m
人们自然会提出如下三个问题：

1. 2.
原子线状光谱产生的机制是什么？ 光谱线的频率为什么有这样简单的规律？
3.
பைடு நூலகம்
光谱线公式中能用整数作参数来表示这一事实启发我们 思考： 怎样的发光机制才能认为原子的状态可以用包含整数值的量来描写。

（一）Planck 黑体辐射定律

究竟是什么机制使空腔的原子产生出所观 察到的黑体辐射能量分布，对此问题的研 究导致了量子物理学的诞生。
•1900年１２月１４日Planck 提出： 如果空腔内的黑体辐射和腔壁原子处 于平衡，那么辐射的能量分布与腔壁原子 的能量分布就应有一种对应。作为辐射原 子的模型，Planck 假定：
8h 3 1 d d 3 C exp(h / kT ) 1
•（1）当 v 很大（短波）时，因为 exp(hv /kT)-1 ≈ exp(hv /kT)， 于是 Planck 定律 化为 Wien 公式。
8h 3 d C3 1 exp(h / kT ) 1 d
光电效应的两个典型特点的解释
1 V 2 h A 2
• 1. 临界频率v0
2. 光电子动能只决定于光 子的频率
上式亦表明光电子的能量只与光的频率 v 有关，光的强度只决定光子 的数目，从而决定光电子的数目。这样一来，经典理论不能解释的光电效应得到 了正确的说明。
由上式明显看出，能打出电子的光子的最小能量是光电子 V = 0 时由 该式所决定，即 hv -A = 0， v0 = A / h ， 可见，
8h 3 d exp( h / kT )d C3
Wien公式 d C1 3 exp(C 2 / T )d
•（2）当 v 很小（长波）时，因为 exp(hv /kT)-1 ≈ 1+(h v /kT)-1=(h v /kT)， 则 Planck 定律变为 Rayleigh-Jeans 公式。
•2. 电子的能量只是与光的频率有关，与光强无关，光强只决定电子数目 的多少。光电效应的这些规律是经典理论无法解释的。按照光的电磁理论， 光的能量只决定于光的强度而与频率无关。
（ 3）

光子的动量
V2 1 2 C 其中 0 是粒子的静止质量。 E
光子不仅具有确定的能量 E = hv， 而且具有动量。根据相对论知，速度 为 V 运动的粒子的能量由右式给出：