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七年级下册数学二元一次方程讲解数学是一门非常重要的学科，在学习过程中，我们会遇到各种各样的数学问题。
其中，二元一次方程是一个非常常见和基础的数学问题。
掌握二元一次方程的解法，可以帮助我们更好地解决实际生活中的一些问题。
本文将详细介绍七年级下册数学二元一次方程的相关知识，包括基本概念、解题步骤和实例分析。
一、基本概念:1. 什么是二元一次方程？二元一次方程是指含有两个未知数的一次方程，通常表示为ax+by=c。
其中，a、b、c为已知的实数，x、y为未知数。
2. 二元一次方程的特点二元一次方程的特点有以下几个方面：- 方程中同时含有两个未知数- 方程中的未知数的次数均为1- 方程中的系数为已知实数二、解题步骤:消元法是解二元一次方程的常用方法。
其步骤如下：- 根据方程的特点，可以选择合适的消元方法，例如消去x的系数或y的系数。
- 通过等式的加减变换，将二元一次方程化简为只含有一个未知数的一次方程。
- 解得一个未知数后，代入原方程求解另一个未知数。
代入法也是解二元一次方程的常用方法。
其步骤如下：- 选择其中一个方程，将其中一个未知数表示为另一个方程中的未知数的函数。
- 将该表达式代入到另一个方程中，得到只含有一个未知数的一次方程。
- 解得一个未知数后，代入原方程求解另一个未知数。
三、实例分析:我们通过几个实际问题的例子，来详细分析解二元一次方程的步骤。
1. 实例一:小明今年6岁，他的母亲比他大20岁。
假设小明的年龄是x，母亲的年龄是y，我们可以列出一个二元一次方程来求解他们的年龄。
根据题目可以得到两个方程：x + y = 26 （1）y = x + 20 （2）我们可以使用消元法或代入法来解决这个方程组。
2. 实例二:某自行车商店卖出了8辆山地自行车和11辆公路自行车，总共卖了8500元。
已知山地自行车的价格是每辆800元，公路自行车的价格是每辆500元。
设山地自行车的销售量为x，公路自行车的销售量为y，我们可以列出一个二元一次方程来求解销售量。
2023年浙教版七下数学第一章平行线章节复习（学生版）一、知识梳理知识点1：平行线的定义1．定义：在同一平面内，不相交的两条直线叫做平行线，如果直线a与b平行，记作a ∥b．注意：(1)平行线的定义有三个特征：一是在同一个平面内；二是两条直线；三是不相交，三者缺一不可；(2)有时说两条射线平行或线段平行，实际是指它们所在的直线平行，两条线段不相交并不意味着它们就平行．(3)在同一平面内，两条直线的位置关系只有相交和平行两种．特别地，重合的直线视为一条直线，不属于上述任何一种位置关系．知识点2：同位角、内错角和同旁内角两条直线被第三条线所截，可得八个角，即“三线八角”，如图6所示。
（1）同位角：可以发现∠1与∠5都处于直线l的同一侧，直线a、b的同一方，这样位置的一对角就是同位角。
图中的同位角还有∠2与∠6，∠3与∠7，∠4与∠8。
（2）内错角：可以发现∠3与∠5都处于直线l的两旁，直线a、b的两方，这样位置的一对角就是内错角。
图中的内错角还有∠4与∠6。
（3）同旁内角：可以发现∠4与∠5都处于直线l的同一侧，直线a、b的两方，这样位置的一对角就是同旁内角。
图中的同旁内角还有∠3与∠6。
知识点3：平行公理及推论1．平行公理：经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行．2．推论：如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行．记作：如果a∥b，a∥c，那么a∥c注意：(1)平行公理特别强调“经过直线外一点”，而非直线上的点，要区别于垂线的第一性质．（2）“平行公理的推论”也叫平行线的传递性知识点4：平行线判定判定方法（1）：两条直线被第三条直线所截，如果同位角相等，那么这两条直线平行简单说成：同位角相等，两直线平行。
几何语言：∵∠1＝∠2∴ AB∥CD（同位角相等，两直线平行）判定方法（2）：两条直线被第三条直线所截，如果内错角相等，那么这两条直线平行．简单说成：内错角相等，两直线平行。
【第一章《平行线》复习】1.1、同位角、内错角、同旁内角：1、先看图中∠1和∠5，这两个角分别在直线AB、CD的上方，并且都在直线EF的右侧像这样位置相同的一对角叫做同位角。
在图(1)中，像这样具有类似位置关系的角还有吗？如果你仔细观察，会发现∠2与∠6，∠3与∠7，∠4与∠8也是同位角。
变式图形：图中的∠1与∠2都是同位角。
图形特征：在形如字母“F”的图形中有同位角。
2、再看∠3与∠5，这两个角都在直线AB、CD之间，且3在直线EF左侧，∠5在直线EF右侧，像这样的一对角叫做内错角。
同样，∠4与∠6也具有类似位置特征，∠4与∠6也是内错角。
变式图形：图中的∠1与∠2都是内错角。
图形特征：在形如“Z”的图形中有内错角。
3、在图(1)中，∠3和∠6也在直线AB、CD之间，但它们在直线EF的同一旁像这样的一对角，我们称它为同旁内角。
具有类似的位置特征的还有∠4与∠5，因此它们也是同旁内角。
变式图形：图中的∠1与∠2都是同旁内角。
图形特征：在形如“n”的图形中有同旁内角。
与两直线的位置关系与截线的位置关系同位角两直线同侧截线的同旁内错角两直线之间截线异侧同旁内角两直线之间截线同侧性质1：两条直线被第三条直线所截，如果两条直线平行，那么同位角相等。
简单说成：两直线平行，同位角相等。
几何语言：∵ AB//CD ∴ ∠PMA=∠MNC性质2：两条直线被第三条直线所截，如果两条直线平行，那么内错角相等。
简单说成：两直线平行，内错角相等。
几何语言：∵ AB//CD ∴ ∠BMN=∠CNM性质3：两条直线被第三条直线所截，如果两条直线平行，那么同旁内角互补。
简单说成：两直线平行，同旁内角互补。
几何语言：∵ AB//CD ∴ ∠AMN+∠CNM=180°1.3、平行线的判定： 几何符号语言：（1）∵ ∠3＝∠2 ∴ AB ∥CD （同位角相等，两直线平行） （2）∵ ∠1＝∠2 ∴ AB ∥CD （内错角相等，两直线平行）（3）∵ ∠4＋∠2＝180° ∴ AB ∥CD （同旁内角互补，两直线平行）1.4、两条平行线的距离如图，直线AB ∥CD ，EF ⊥AB 于E ，EF ⊥CD 于F ，则称线段EF 的长度为两平行线AB 与CD 间的距离。
注意：直线AB ∥CD ，在直线AB 上任取一点G ，过点G 作CD 的垂线段GH ，则垂线段GH 的长度也就是 直线AB 与CD 间的距离。
1.5、图像的平移1、图形的平移：一个图形沿某个方向移动，在移动的过程中，原图形上所有的点都沿同一个方向移动相等的距 离，这样的图形运动叫做图形的平移。
2、图形平移的性质：平移不改变图形的形状和大小。
一个图形和它经过平移所得的图形中，两组对应点的连线平行（或在同一条直线上）且相等。
【例题解析】1、正误判断（1）不相交的两条直线必定平行。
ABC DEF1 2 3 4AEGBCFHD（3）过一点可以且只可以画一条直线与已知直线平行。
2、平行线的判定如图，如果∠1=125°，∠2=55°，直线AB 、CD 平行吗？说说你的理由．3、平行线性质的运用1、如图，AB ∥CD ，BF ∥CE ，则∠B 与∠C 有什么关系？请说明理由。
2、如图1，直线AB 、CD 被EF 所截，∠1 =∠2，∠CNF =∠BME 。
求证：AB ∥CD ，MP ∥NQ ．3、如图，已知：∠A ＝∠1，∠C ＝∠2。
求证：求证：AB ∥CD 。
4、如图：∠AHF ＋∠FMD ＝180°，GH 平分∠AHM ，MN 平分∠DMH 。
求证：GH ∥MN 。
F2 AB CDQE 1P MN 图15、如图，.,,,BC AD E CFE F AE CD BAD AE CD AB ∥求证：，相交于与平分∥∠=∠∠【学生课堂练习巩固】1、如图，∠B=50°，CE ∥AB ，则∠ECD 的度数是( ) A ．40° B ．50° C ．60° D ．130°2、两条直线被第三条直线所截，下列各组角中一定相等的是 ( ) A ．同位角 B ．内错角 C ．对顶角 D ．同旁内角3、如图，a ∥b ，△ABC 的三个顶点分别在直线a ，b 上，若∠1=120°， ∠2=80°，则∠3的度数是( )A ．40°B ．60°C ．80°D ．120°4、三条直线a ，b ，c ，若a ∥c ，b ∥c ，则a 与b 的位置关系是( ) A ．a ⊥b B ．a ∥b C ．a ⊥b 或a ∥b D ．无法确定5、一零件如图所示，已知AB=4cm ，若将该零件水平向右平移4cm ，(∠ABC=90°)则图中阴影部分的面积是( )A ．8cm 2B ．16cm 2C ．20cm 2D ．无法计算6、直尺与三角板如图所示放置，下列结论：①∠1=∠2；②∠3=∠4； ③∠2+∠4=90°；④∠4+∠5=180°；其中正确的是____________(填序号)7、如图，矩形花坛的长为12m ，宽为8m ，中间有一各处宽均为2m 的小路，则种植花草部分(图中阴影部分) 的面积为_________； 1 BAC8、如图，△BEF 是由△ABC 平移所得，点A ，B ，E 在同一直线上，若∠C=20°， ∠ABC=68°，则∠CBF=__________度；9、如图，已知∠1=∠2=∠3=62°，则∠4=________°10、如图，已知AB ∥DE ∥CF ，若∠ABC=70°，∠CDE=130°，求∠BCD 的度数； 解：∵AB ∥CF ，且∠ABC=70° ( )∴∠BCF=∠_______=________°，( ) ∵DE ∥CF(已知)∴∠_______+∠________=180°，( ) 又∵∠CDE=130°， ∴∠DCB=_______°，∴∠BCD=∠_______－∠________=______°－_______°=______°11、如图，直线AB ，CD 分别与直线AC 相交于点A 、C ，与直线BD 相交于点B 、D ，若∠1=∠2，∠3=75°，求∠4；12、如图，已知CD ∥AB ，∠1=∠2，试说明∠3=∠4；【第二章 二元一次方程组】2.1二元一次方程含有两个未知数，且含有未知数的项的次数都是一次的方程叫做二元一次方程。
使二元一次方程两边的值相等的一对未知数的值，叫做二元一次方程的一个解。
【练习题1】1、方程x+4y=1，x 2+y=1，y+z=0，x ·y=1，3x y+=2y 中，二元一次方程共有（ ） A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．4个 x y第6题图第7题图B A CFDE A BCD2 134 第8题图第9题图A．y=223x-B．y=23x-13C．y=23x-2 D．y=2-23x3、已知12xy=⎧⎨=-⎩是二元一次方程x+ky=9的一个解，求k的值，并检验13xy=-⎧⎨=-⎩是不是这个方程的解．2.2二元一次方程组由两个二元一次方程组成，并且含有两个未知数的方程组，叫做二元一次方程组。
同时满足二元一次方程组中各个方程的解，叫做这个二元一次方程组的解。
【练习题2】1、已知下列五对数值：（）（1）80104121(2)(3)(4)(5)106131x x x x xy y y y y=-====-⎧⎧⎧⎧⎧⎨⎨⎨⎨⎨=-=-=-=-=⎩⎩⎩⎩⎩①哪几对数值是方程12x-y=6的解？②哪几对数值是方程2x+31y=-11的解？③指出方程组16223111x yx y⎧-=⎪⎨⎪+=-⎩的解．2、某班花了50元钱购买笔和讲义夹，每支笔6元，每个讲义夹4元，设买笔x支，买讲义夹y个，试用列表尝试法求出x、y的值．①② 2.3解二元一次方程组① 消元就是把二元一次方程组化为一元一次方程。
消元的方法是代入，这种解方程组的方法称为代入消元法， 简称代入法。
用代入消元法解二元一次方程组的一般步骤是：1.将方程组中的一个方程变形，使得一个未知数能用含有另一个未知数的代数式表示；2．用这个代数式代替另一个方程中相应的未知数，得到一个一元一次方程，求出一个未知数的值； 3.把这个未知数的值代入代数式，求另一个未知数的值； 4．写出方程组的解。
【练习题3】 1、用代入法解方程组52231x yx y -=⎧⎨-=⎩时，下列代入正确的是（ ）A ．2x-3x=1B ．2x-15x+3=1C ．2x-3（5x-2）=1D ．2x-15x-6=12、用代入法解方程组 34225x y x y +=⎧⎨-=⎩，使得代入后化简比较容易的变形是（ ）A ．由①得x=243y - B ．由①得y=234x- C ．由②得x=52y + D ．由②得y=2x-53、如果2151x x y y ==⎧⎧⎨⎨=-=-⎩⎩和是方程 mx+ny=15的两个解，求m ，n 的值．4、已知│4x+3y-5│+│x-2y-4│=0，求x ，y 的值．5、已知方程组31242x y x ay +=⎧⎨+=⎩有正整数解（a 为整数），求a 的值．②对于二元一次方程组，当两个方程组的同一个未知数的系数相同或是互为相反数时，可以通过把两个方程的两边进行相加或相减来消元，转化为一元一次方程求解。
通过将两个方程的两边进行相加或相减，消去其中一个未知数转化为一元一次方程。
这种解二元一次方程组的方法叫做加减消元法，简称加减法。
用加减法解二元一次方程组的一般步骤是：1.将其中一个未知数的系数转化为相同（或互为相反数）；2.通过相加（或相减）消去这个未知数，得到一个一元一次方程；3.解这个一元一次方程，得到这个未知数的值；4.将求得得未知数的值代入原方程组中的任一个方程，求得另一个未知数的值；5．写出方程组的解。
【练习题4】1、用加减法解方程组251528x yx y+=⎧⎨-=⎩时，•要使两个方程中同一个未知数的系数相等或互为相反数，有以下四种变形的结果：（1）102514101102554102(2)(3)(4) 10482510810416251040 x y x y x y x yx y x y x y x y+=+=+=+=⎧⎧⎧⎧⎨⎨⎨⎨-=-=-+=--=⎩⎩⎩⎩其中变形正确的是（）A．只有（1），（2） B．只有（1），（3） C．只有（2），（4） D．只有（3），（4）2、已知方程组53255451x y x yax y x by+=-=⎧⎧⎨⎨+=+=⎩⎩与有相同的解，则a，b的值为（）A．14614 ...2622 a a a aB C Db b b b==-=-=⎧⎧⎧⎧⎨⎨⎨⎨==-==⎩⎩⎩⎩3、在解关于x，y的方程组278ax bycx y+=⎧⎨-=⎩时，老师告诉同学们正确的解是32xy=⎧⎨=-⎩，小明由于看错了系数c，因而得到的解为22xy=-⎧⎨=⎩，试求a+b+c的值．4、求满足方程组35223x y kx y k+=+⎧⎨+=⎩且x、y的值之和等于2的k的值．。
