2013届高三人教B版理科数学一轮复习课时作业(21)三角函数y=Asin(ωx+φ)的图象与性质及三角函数模型

"备战2013高考数学第一轮复习配套课时作业 4.4 函数y=Asin 的图象及三角函数模型的简单应用 新人教B 版 "1.将函数y=sin(6x+)4π的图象上各点向右平移8π个单位,则得到新函数的解析式为( )A.y=sin (6)2x π-B.y=sin (6)2x π+C.y=sin 5(6)8x π+D.y=sin (6)8x π+【答案】 A【解析】 新函数解析式为y=sin [6()]84x ππ-+=sin (6)2x π-,故选A.2.为了得到函数y=2sin ()(36x x π+∈R )的图象,只需把函数y=2sin (x x ,∈R )的图象上所有的点( )A.向左平移6π个单位长度,再把所得各点的横坐标缩短到原来的13倍(纵坐标不变)B.向右平移6π个单位长度,再把所得各点的横坐标缩短到原来的13倍(纵坐标不变)C.向左平移6π个单位长度,再把所得各点的横坐标伸长到原来的3倍(纵坐标不变)D.向右平移6π个单位长度,再把所得各点的横坐标伸长到原来的3倍(纵坐标不变)【答案】 C【解析】 将函数y=2sinx 的图象向左平移6π个单位得到函数y=2sin(x+)6π的图象,将函数y=2sin ()6x π+图象上各点横坐标变为原来的3倍(纵坐标不变),则得到函数y=2sin 1()36x π+的图象,故选C.3.已知函数f(x)=sin ()(0)3x πωω+>的最小正周期为π,则该函数图象( ) A.关于直线3x π=对称B.关于直线4x π=对称C.关于点4(0)π,对称D.关于点(0)3π,对称【答案】 D【解析】 根据函数f(x)的最小正周期为π,可得f(x)=sin(2x+)3π.当3x π=时()03f π,=,所以该函数图象关于点(0)3π,对称;当4x π=时1()42f π,=.故选D.4.若函数f(x)=sin (0)x ωω>在区间[0]3π,上为单调增函数,在区间[]32ππ,上为单调减函数,则Ω=( ) A.3 B.2C.32D.23【答案】 C【解析】 根据函数f(x)=sin (0)x ωω>在区间[0]3π,上为单调增函数,在区间[]32ππ,上为单调减函数,可知232k ωππ=+π(k ∈Z ),可知选项C 中32ω=符合.课后作业夯基基础巩固1.将函数y=sin (2)4x π+的图象上各点的纵坐标不变,横坐标伸长到原来的2倍,再向右平移4π个单位,所得到的图象解析式是( ) A.y=sinx B.y=cosx C.y=sin4x D.y=cos4x【答案】 A【解析】 y=sin (2)4x π+横坐标伸长到原来的2倍纵坐标不变y=sin(x+)4π向右平移4π个单位y=sin ()44x ππ-+=sinx.2.若函数f(x)=sin ()(x ωϕ+|ϕ|<)2π的图象(部分)如图所示,则f(x)的解析式为( )A.f(x)=sin 1()26x π+B.f(x)=sin (2)3x π+C.f(x)=sin 1()23x π+D.f(x)=sin (2)6x π+【答案】 A【解析】 由4T =π,得T=4π,∴12ω=.又函数图象过点(3π-,0),可得6πϕ=.3.若函数y=Asin ()x m ωϕ++的最大值为4,最小值为0,最小正周期为2π,直线3x π=是其图象的一条对称轴,则它的解析式是( ) A.y=4sin (4)6x π+B.y=2sin (2)23x π++C.y=2sin (4)23x π++D.y=2sin (4)26x π++【答案】 D【解析】 由题意得 40A m A m +=,⎧⎨-+=,⎩ ∴ 22A m =,⎧⎨=.⎩∵2T π=,∴24Tπω==. ∴y=2sin (4)2x ϕ++.∵3x π=是其对称轴,∴sin (4)13πϕ⨯+=±.∴432k ππϕ+=+π(k ∈Z ).∴k ϕ=π5(6k π-∈Z ).当k=1时6πϕ,=.4.已知函数f(x)=2sin ()(x ωϕ+其中0ω>,|ϕ|2)π<的最小正周期是π,且(0)3f =,则( )A.126πωϕ=,=B.123πωϕ=,=C.26πωϕ=,=D.23πωϕ=,=【答案】 D【解析】 ∵函数()(0f x ω>,|ϕ|)2π<的最小正周期为π,∴2T πω==π.∴2ω=.∵f(0)=2sin 3ϕ=, 即sin 3(2ϕ=|ϕ|)2π<,∴3πϕ=,故选D.5.设0ω>,函数y=sin ()23x πω++的图象向右平移43π个单位后与原图象重合,则ω的最小值是( ) A.23B.43C.32D.3【答案】 C【解析】 由题意知243T ππω=≤,∴32ω≥,即ω的最小值为32.6.若函数f(x)=2sin ()x ωϕ+对任意x 都有()6f x π+=6(f π-x),则()6f π等于( )A.2或0B.-2或2C.0D.-2或0 【答案】 B【解析】 由66()()f x f x ππ+=-可知6x π=是函数f(x)的一条对称轴.又∵f(x)=2sin ()x ωϕ+在对称轴处取得最值, ∴选B.7.已知(0x ∈,π],关于x 的方程2sin ()3x a π+=有两个不同的实数解,则实数a 的取值范围为( ) A.[32]-, B.[32], C.(32], D.(32),【答案】 D【解析】 令12y =sin ()(03x x π+,∈,π2]y a ,=,作出1y 的图象如图所示:若关于x 的方程2sin ()3x a π+=在(0,π]上有两个不同的实数解,则1y 与2y 应有两个不同的交点,所以3<a<2.8.为得到函数y=cos (2)3x π+的图象,只需将函数y=sin2x 的图象( )A.向左平移512π个单位长度B.向右平移512π个单位长度C.向左平移56π个单位长度D.向右平移56π个单位长度【答案】 A【解析】 y=cos 3(2)x π+=sin[(2)]23x ππ++ =sin 5(2)6x π+.由题意知要得到函数y=sin 5(2)6x π+的图象只需将函数y=sin2x 的图象向左平移512π个单位长度.9.已知函数y=Asin ()x n ωϕ++的最大值为4,最小值是0,最小正周期是2π,直线3x π=是其图象的一条对称轴,若A>0002πωϕ,>,<<,则函数解析式为.【答案】 y=2sin (4)26x π++【解析】 由题设得,A 224n ω=,=,=,且当3x π=时,sin 4(3π+)ϕ=1±,故6πϕ=.故所求解析式为y=2sin (4)26x π++.10.给出下列六种图象变换方法:(1)图象上所有点的纵坐标不变,横坐标缩短到原来的12;(2)图象上所有点的纵坐标不变,横坐标伸长到原来的2倍; (3)图象向右平移3π个单位;(4)图象向左平移3π个单位;(5)图象向右平移23π个单位;(6)图象向左平移23π个单位.请用上述变换中的两种变换,将函数y=sinx 的图象变换到函数y=sin ()23x π+的图象,那么这两种变换正确的标号是(要求按变换先后顺序填上一种你认为正确的标号即可). 【答案】 (4)(2)或(2)(6) 【解析】y=sinx(4)y=sin()3x π+(2)y=sin()23x π+,或y=sinx(2)y=sin 12x (6)y=sin 21[()]23m x π+=sin ()23x π+.11.已知函数f(x)=2sin (2)(x ϕ+|ϕ|)2π<图象的一部分如图所示,则ϕ= .【答案】 3π【解析】 由题图可知6(0)π,-,为三角函数五点作图法的第一个点,所以2()06πϕ⨯-+=,解得3πϕ=.12.已知函数f(x)=3sin 6()(x πω-ω>0)和g(x)=2cos(2x+)1ϕ+的图象的对称轴完全相同.若[0]2x π∈,,则f(x)的取值范围是 .【答案】 32[3]-,【解析】 由题知g(x)=2cos (2)1x ϕ++的周期22T π==π.若f(x)=3sin ()6x πω-的对称轴与g(x)的对称轴完全相同,则f(x)的周期T 也应该是π,故2πω=||π2ω,=±.又∵0ω>,∴2ω=.∴f(x)=3sin 6(2)x π-.若[0]2x π∈,,则2[0x ∈,π5]2[]666x πππ,-∈-,.∴sin 1(2)[1]62x π-∈-,.∴f(x)=3sin 3(2)[3]62x π-∈-,.13.已知函数y=3sin 1()24x π-,(1)用五点法作出函数的图象;(2)说明此图象是由y=sinx 的图象经过怎么样的变化得到的; (3)求此函数的振幅、周期和初相;(4)求此函数图象的对称轴方程、对称中心. 【解】 (1)列表:描点、连线,如图所示:(2)方法一:”先平移,后伸缩”.先把函数y=sinx 的图象上所有点向右平移4π个单位,得到函数y=sin ()4x π-的图象;再把函数y=sin(x-)4π的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变),得到函数y=sin 1()24x π-的图象,最后将函数y=sin 1()24x π-的图象上所有点的纵坐标伸长到原来的3倍(横坐标不变),就得到函数y=3sin 1()24x π-的图象.方法二:”先伸缩,后平移”.先把函数y=sinx 的图象上所有点的横坐标伸长为原来的2倍(纵坐标不变),得到函数y=sin 12x 的图象;再把函数y=sin 12x 图象上所有的点向右平移2π个单位,得到函数y=sin 1[(2x -)]2π=msin ()24x π-的图象,最后将函数y=sin (2x -)4π的图象上所有点的纵坐标伸长到原来的3倍(横坐标不变),就得到函数y=3sin 1(2x -)4π的图象.(3)周期22412T ππω===π,振幅A=3,初相是4π-.(4)令1242x k ππ-=+π(k ∈Z ),得x=2k π32+π(k ∈Z ),此为对称轴方程.令124x k π-=π(k ∈Z ),得22x k π=+π(k ∈Z ). 故对称中心为(2k π20)(k π+,∈Z ).14.(2012安徽合肥检测)已知函数f(x)=sin 23x ωsin x ω⋅sin ()22x πω++cos 2x x ω,∈R (0)ω>的图象在y 轴右侧的部分第一个最高点的横坐标为6π. (1)求ω;(2)若将函数f(x)的图象向右平移6π个单位后,再将得到的图象上各点横坐标伸长到原来的4倍,纵坐标不变,得到函数y=g(x)的图象,求函数g(x)的最大值及单调递减区间. 【解】 3(1)()2f x =122x ω+cos 322x ω+=sin 3(2)62x πω++.令262x ππω+=,将6x π=代入可得1ω=.(2)由(1)得f(x)=sin 3(2)62x π++.经过题设的变化得到的函数 g(x)=sin 31()262x π-+.当x=4k π43k π+,∈Z 时,函数g(x)取得最大值52.令2k π12226x k ππ+≤-≤π3(2k π+∈Z ),即[4x k ∈π443k π+,π10]3k π+,∈Z 为函数g(x)的单调递减区间.拓展延伸15.已知某海滨浴场的海浪高度y(米)是时间(024t t ≤≤,单位:小时)的函数,记作y=f(t),下表是某日各时的浪高数据.经长期观测,y=f(t)的曲线可近似地看成是函数y=Acos t b ω+的图象.(1)根据以上数据,求出函数y=Acos t b ω+的最小正周期T 、振幅A 及函数表达式;(2)依据规定,当海浪高度高于1米时才对冲浪爱好者开放,请依据(1)的结论,判断一天内的上午8:00至晚上20:00之间,有多长时间可供冲浪者进行运动? 【解】 (1)由题中表中数据,知周期T=12, ∴22126T πππω===.由t=0,y=1.5,得A+b=1.5. 由t=3,y=1.0,得b=1.0. ∴A=0.5,b=1,∴振幅为12. ∴12y =cos 16t π+.(2)由题知,当y>1时才可对冲浪者开放. ∴12cos 116t π+>,∴cos 06t π>.∴2k π226t k ππ-<<π2k π+,∈Z ,即12k-3123t k k <<+,∈Z .∵024t ≤≤,故可令k 分别为0、1、2,得 03t ≤<或9<t<15或2124t <≤.∴在规定时间的上午8:00至晚上20:00之间,有6个小时时间可供冲浪者运动,即上午9:00至下午15:00.。

第四节 函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的图像及三角函数的简单应用[考纲传真] 1.了解函数y ＝A sin F (ωx ＋φ)的物理意义；能画出函数的图像，了解参数A ，ω，φ对函数图像变化的影响.2.会用三角函数解决一些简单实际问题，体会三角函数是描述周期变化现象的重要函数模型．(对应学生用书第45页)[基础知识填充]1．函数y ＝A sin (ωx ＋φ)中各量的物理意义y ＝A sin(ωx ＋φ)(A ＞0，ω＞0，x ≥0)，表示一个振动量时振幅 周期 频率 相位 初相AT ＝2πω f ＝1T ＝ω2πωx ＋φ φx－φωπ2－φω π－φω32π－φω 2π－φωωx ＋φ 0 π2 π 3π2 2π y ＝A sin(ωx ＋φ)A－A先平移后伸缩 先伸缩后平移⇓ ⇓[知识拓展]1．由y ＝sin ωx 到y ＝sin(ωx ＋φ)(ω＞0，φ＞0)的变换中，应向左平移φω个单位长度，而非φ个单位长度．2．函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的对称轴由ωx ＋φ＝k π＋π2，k ∈Z 确定；对称中心由ωx ＋φ＝k π，k ∈Z 确定其横坐标．[基本能力自测]1．(思考辨析)判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)利用图像变换作图时“先平移，后伸缩”与“先伸缩，后平移”中平移的单位长度一致．( )(2)将y ＝3sin 2x 的图像左移π4个单位后所得图像的解析式是y ＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π4.( ) (3)函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)的图像的两个相邻对称轴间的距离为一个周期．( ) (4)函数y ＝A cos(ωx ＋φ)的最小正周期为T ，那么函数图像的两个相邻对称中心之间的距离为T2.( )[答案] (1)× (2)× (3)× (4)√2．(2016·四川高考)为了得到函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π3的图像，只需把函数y ＝sin x 的图像上所有的点( )A ．向左平行移动π3个单位长度B ．向右平行移动π3个单位长度C ．向上平行移动π3个单位长度D ．向下平行移动π3个单位长度A [把函数y ＝sin x 的图像上所有的点向左平行移动π3个单位长度就得到函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π3的图像．]3．(2017·山东高考)函数y ＝3sin 2x ＋cos 2x 的最小正周期为( ) A ．π2B ．2π3C ．πD ．2πC [y ＝3sin 2x ＋cos 2x ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6，T ＝2π2＝π. 故选C ．]4．将函数y ＝sin(2x ＋φ)的图像沿x 轴向左平移π8个单位后，得到一个偶函数的图像，则φ的一个可能取值为( )A ．3π4B ．π4C ．0D ．－π4B [把函数y ＝sin(2x ＋φ)沿x 轴向左平移π8个单位后得到函数y ＝sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋φ2＋π8＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋φ＋π4为偶函数，则φ的一个可能取值是π4.]5．(教材改编)电流I (单位：A)随时间t (单位：s)变化的函数关系式是I ＝5sin ⎝⎛⎭⎪⎫100πt ＋π3，t ∈[0，＋∞)，则电流I 变化的初相、周期分别是________．【导学号：00090097】π3，150 [由初相和周期的定义，得电流I 变化的初相是π3，周期T ＝2π100π＝150.](对应学生用书第46页)函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的图像及变换(1)(2017·全国卷Ⅰ)已知曲线C 1：y ＝cos x ，C 2：y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋2π3，则下面结论正确的是( )A ．把C 1上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线 向右平移π6个单位长度，得到曲线C 2B ．把C 1上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线 向左平移π12个单位长度，得到曲线C 2C ．把C 1上各点的横坐标缩短到原来的12倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移π6个单位长度，得到曲线C 2D ．把C 1上各点的横坐标缩短到原来的12倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移π12个单位长度，得到曲线C 2D [因为y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋2π3＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋2π3－π2＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6，所以曲线C 1：y ＝cos x 上各点的横坐标缩短到原来的12倍，纵坐标不变，得到曲线y ＝cos 2x ，再把得到的曲线y＝cos 2x 向左平移π12个单位长度，得到曲线y ＝cos 2⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π12＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6. 故选D ．](2)已知函数f (x )＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫12x －π4，x ∈R .①画出函数f (x )在一个周期的闭区间上的简图；②将函数y ＝sin x 的图像作怎样的变换可得到f (x )的图像？ [解] ①列表取值：xπ2 32π 52π 72π 92π 12x －π40 π2 π 32π 2π f (x )3－3描出五个关键点并用光滑曲线连接，得到一个周期的简图．②先把y ＝sin x 的图像向右平移π4个单位，然后把所有点的横坐标扩大为原来的2倍，再把所有点的纵坐标扩大为原来的3倍，得到f (x )的图像．[规律方法] 1.变换法作图像的关键是看x 轴上是先平移后伸缩还是先伸缩后平移，对于后者可利用ωx ＋φ＝ω⎝⎛⎭⎪⎫x ＋φω确定平移单位．2．用“五点法”作图，关键是通过变量代换，设z ＝ωx ＋φ，由z 取0，π2，π，32π，2π来求出相应的x ，通过列表，描点得出图像．如果在限定的区间内作图像，还应注意端点的确定．[变式训练1] (1)(2016·全国卷Ⅰ)将函数y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6的图像向右平移14个周期后，所得图像对应的函数为( ) A ．y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π4B ．y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3C ．y ＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π4 D ．y ＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π3(2)(2018·长春模拟)要得到函数f (x )＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3的图像，只需将函数g (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3的图像( )【导学号：00090098】A ．向左平移π2个单位长度B ．向右平移π2个单位长度C ．向左平移π4个单位长度D ．向右平移π4个单位长度(1)D (2)C [(1)函数y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6的周期为π，将函数y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6的图像向右平移14个周期即π4个单位长度，所得图像对应的函数为y ＝2sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π4＋π6＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π3，故选D ．(2)f (x )＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋5π6，故把g (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3的图像向左平移π4个单位，即得函数f (x )＝sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π4＋π3的图像，即得到函数f (x )＝cos ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π3的图像，故选C ．]求函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的解析式(1)(2016·全国卷Ⅱ)函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的部分图像如图3­4­1所示，则( )图3­4­1A ．y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6B ．y ＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π3C ．y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π6D ．y ＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π3 (2)已知函数y ＝A sin(ωx ＋φ)＋b (A ＞0，ω＞0)的最大值为4，最小值为0，最小正周期为π2，直线x ＝π3是其图像的一条对称轴，则下面各式中符合条件的解析式为( )A ．y ＝4sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫4x ＋π6B ．y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3＋2C ．y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫4x ＋π3＋2D ．y ＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫4x ＋π6＋2 (1)A (2)D [(1)由图像知T 2＝π3－⎝ ⎛⎭⎪⎫－π6＝π2，故T ＝π，因此ω＝2ππ＝2.又图像的一个最高点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫π3，2，所以A ＝2，且2×π3＋φ＝2k π＋π2(k ∈Z )，故φ＝2k π－π6(k ∈Z )，结合选项可知y ＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π6.故选A ．(2)由函数y ＝A sin(ωx ＋φ)＋b 的最大值为4，最小值为0，可知b ＝2，A ＝2.由函数的最小正周期为π2，可知2πω＝π2，得ω＝4.由直线x ＝π3是其图像的一条对称轴，可知4×π3＋φ＝k π＋π2，k ∈Z ，从而φ＝k π－5π6，k ∈Z ，故满足题意的是y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫4x ＋π6＋2.][规律方法] 确定y ＝A sin(ωx ＋φ)＋b (A ＞0，ω＞0)的步骤和方法 (1)求A ，b ：确定函数的最大值M 和最小值m ，则A ＝M －m2，b ＝M ＋m2；(2)求ω：确定函数的周期T ，则可得ω＝2πT；(3)求φ：常用的方法有：①代入法：把图像上的一个已知点代入(此时A ，ω，b 已知)或代入图像与直线y ＝b 的交点求解(此时要注意交点在上升区间上还是在下降区间上)．②五点法：确定φ值时，往往以寻找“五点法”中的某一个点为突破口．“第一点”(即图像上升时与x 轴的交点)时ωx ＋φ＝0；“第二点”(即图像的“峰点”)时ωx ＋φ＝π2；“第三点”(即图像下降时与x 轴的交点)时ωx ＋φ＝π；“第四点”(即图像的“谷点”)时ωx ＋φ＝3π2；“第五点”时ωx ＋φ＝2π.[变式训练2] (2017·石家庄一模)函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)(A ＞0，ω＞0)的部分图像如图3­4­2所示，则f ⎝⎛⎭⎪⎫11π24的值为( )图3­4­2A ．－62 B ．－32C ．－22D ．－1D [由图像可得A ＝2，最小正周期T ＝4⎝ ⎛⎭⎪⎫7π12－π3＝π，则ω＝2πT ＝2.又f ⎝ ⎛⎭⎪⎫7π12＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫7π6＋φ＝－2，解得φ＝－5π3＋2k π(k ∈Z )，即k ＝1，φ＝π3，则f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫11π24＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫11π12＋π3＝2sin 5π4＝－1，故选D ．]函数y ＝A sin(ωx ＋φ)图像与性质的应用(2016·天津高考)已知函数f (x )＝4tan x sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－x ·cos ⎝⎛⎭⎪⎫x －π3－ 3.(1)求f (x )的定义域与最小正周期；(2)讨论f (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π4，π4上的单调性．【导学号：00090099】[解] (1)f (x )的定义域为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪x ≠π2＋k π，k ∈Z. 2分f (x )＝4tan x cos x cos ⎝⎛⎭⎪⎫x －π3－ 3＝4sin x cos ⎝⎛⎭⎪⎫x －π3－ 3＝4sin x ⎝ ⎛⎭⎪⎫12cos x ＋32sin x － 3＝2sin x cos x ＋23sin 2x － 3 ＝sin 2x ＋3(1－cos 2x )－ 3 ＝sin 2x －3cos 2x ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3.所以f (x )的最小正周期T ＝2π2＝π.6分(2)令z ＝2x －π3，则函数y ＝2sin z 的单调递增区间是⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π2＋2k π，π2＋2k π，k ∈Z . 由－π2＋2k π≤2x －π3≤π2＋2k π，得－π12＋k π≤x ≤5π12＋k π，k ∈Z .8分设A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π4，π4，B ＝x ⎪⎪⎪－π12＋k π≤x ≤5π12＋k π，k ∈Z ，易知A ∩B ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π12，π4.所以当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π4，π4时，f (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π12，π4上是增加的，在⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π4，－π12上是减少的.12分[规律方法] 讨论函数的单调性，研究函数的周期性、奇偶性与对称性，都必须首先利用辅助角公式，将函数化成一个角的一种三角函数． [变式训练3] 设函数f (x )＝32－3sin 2ωx －sin ωx cos ωx (ω＞0)，且y ＝f (x )图像的一个对称中心到最近的对称轴的距离为π4.(1)求ω的值；(2)求f (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤π，3π2上的最大值和最小值． [解] (1)f (x )＝32－3sin 2ωx －sin ωx cos ωx ＝32－3·1－cos 2ωx 2－12sin 2ωx ＝32cos 2ωx －12sin 2ωx ＝－sin ⎝⎛⎭⎪⎫2ωx －π3.3分因为图像的一个对称中心到最近的对称轴的距离为π4，又ω＞0，所以2π2ω＝4×π4，因此ω＝1.5分 (2)由(1)知f (x )＝－sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3.6分当π≤x ≤3π2时，5π3≤2x －π3≤8π3，所以－32≤sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π3≤1，则－1≤f (x )≤32. 10分故f (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤π，3π2上的最大值和最小值分别为32，－1.12分三角函数模型的简单应用某实验室一天的温度(单位：℃)随时间t (单位：h)的变化近似满足函数关系：f (t )＝10－3cos π12t －sin π12t ，t ∈[0,24)．(1)求实验室这一天的最大温差；(2)若要求实验室温度不高于11 ℃，则在哪段时间实验室需要降温？ [解] (1)因为f (t )＝10－2⎝ ⎛⎭⎪⎫32cos π12t ＋12sin π12t ＝10－2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π12t ＋π3，2分又0≤t ＜24，所以π3≤π12t ＋π3＜7π3，－1≤sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π12t ＋π3≤1.4分当t ＝2时，sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π12t ＋π3＝1；当t ＝14时，sin ⎝⎛⎭⎪⎫π12t ＋π3＝－1. 于是f (t )在[0,24)上取得最大值12，取得最小值8.故实验室这一天最高温度为12 ℃，最低温度为8 ℃，最大温差为4 ℃.6分 (2)依题意，当f (t )＞11时实验室需要降温．由(1)得f (t )＝10－2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π12t ＋π3，故有10－2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π12t ＋π3＞11，即sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π12t ＋π3＜－12.9分又0≤t ＜24，因此7π6＜π12t ＋π3＜11π6，即10＜t ＜18.故在10时至18时实验室需要降温.12分[规律方法] 1.三角函数模型在实际中的应用体现在两个方面：一是用已知的模型去分析解决实际问题，二是把实际问题抽象转化成数学问题，建立三角函数模型解决问题，其关键是合理建模．2．建模的方法是认真审题，把问题提供的“条件”逐条地“翻译”成“数学语言”，这个过程就是数学建模的过程．[变式训练4] (2015·陕西高考)如图3­4­3，某港口一天6时到18时的水深变化曲线近似满足函数y ＝3sin ⎝⎛⎭⎪⎫π6x ＋φ＋k .据此函数可知，这段时间水深(单位：m)的最大值为( )图3­4­3A ．5B ．6C ．8D ．10C [根据图像得函数的最小值为2，有－3＋k ＝2，k ＝5，最大值为3＋k ＝8.]。

课时作业(二十一)A[第21讲 三角函数y ＝A sin ωx ＋φ的图象与性质及三角函数模型的简单应用][时间：45分钟 分值：100分]基础热身1．已知函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫ωx ＋π3(ω>0)的最小正周期为π，则该函数的图象( ) A ．关于点⎝ ⎛⎭⎪⎫π3，0对称 B ．关于直线x ＝π4对称 C ．关于点⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，0对称 D ．关于直线x ＝π3对称 2．函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π3的图象的对称轴方程可以为( ) A ．x ＝π12 B ．x ＝5π12C ．x ＝π3D ．x ＝π63．[2011·北京海淀区二模] 若函数y ＝sin x ＋π3的图象上所有点的横坐标扩大到原来的2倍，纵坐标不变，则得到的图象所对应的函数解析式为( )A ．y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ＋π6B ．y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ＋π3C ．y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋2π3D ．y ＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π3 4．如图K21－1，单摆的摆线离开平衡位置的位移S (cm)和时间t (s)的函数关系是S ＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫πx ＋π4，t ∈[0，＋∞)，则摆球往复摆动一次所需要的时间是________s. 能力提升5．[2010·陕西卷] 对于函数f (x )＝2sin x cos x ，下列选项中正确的是( )A ．f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，π2上是递增的 B ．f (x )的图象关于原点对称 C ．f (x )的最小正周期为2π D ．f (x )的最大值为26．[2011·珠海二模] 函数y ＝cos 2⎝⎛⎭⎪⎫x －π2是( )A ．最小正周期是π的偶函数B ．最小正周期是π的奇函数C ．最小正周期是2π的偶函数D ．最小正周期是2π的奇函数7．[2011·昆明质检] 用“五点法”画函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)的简图时，若所得五个点的横坐标从小到大依次为x 1，x 2，x 3，x 4，x 5，且x 1＋x 5＝3π2，则x 2＋x 4等于( )A.π2 B ．π C.3π2D ．2π 8．函数f (x )＝sin(ωx ＋φ)(x ∈R ，ω>0,0≤φ≤2π)的部分图象如图K21－2所示，则( )A ．ω＝π2，φ＝π4B ．ω＝π3，φ＝π6C ．ω＝π4，φ＝π4D ．ω＝π4，φ＝5π49．[2011·福州质检] 函数y ＝sin x －cos x 的图象可由y ＝sin x ＋cos x 的图象向右平移( )A.3π2个单位长度得到 B ．π个单位长度得到 C.π4个单位长度得到 D.π2个单位长度得到 10．[2011·淄博模拟] 将函数y ＝sin(ωx ＋φ)⎝ ⎛⎭⎪⎫ω>0，π2<φ<π的图象，向右最少平移4π3个单位长度，或向左最少平移2π3个单位长度，所得到的函数图象均关于原点中心对称，则ω＝________.11．已知函数y ＝A sin(ωx ＋φ)＋n 的最大值为4，最小值是0，最小正周期是π2，直线x ＝π3是其图象的一条对称轴，若A ＞0，ω＞0,0＜φ＜π2，则函数解析式为________．12．给出下面的3个命题：①函数y ＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π3的最小正周期是π2； ②函数y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －3π2在区间⎣⎢⎡⎭⎪⎫π，3π2上单调递增；③x ＝5π4是函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋5π2的图象的一条对称轴． 其中正确命题的序号是________．13．一个物体相对于某一固定位置的位移y (cm)和时间x (s)之间的一组对应值如下表所示：x 之间的关系，则其函数解析式为________________．14．(10分)已知函数f (x )＝3sin2x ＋2cos 2x .(1)将f (x )的图象向右平移π12个单位长度，再将周期扩大一倍，得到函数g (x )的图象，求g (x )的解析式；(2)求函数f (x )的最小正周期和单调递增区间．15．(13分)已知直线y ＝2与函数f (x )＝2sin 2ωx ＋23sin ωx cos ωx －1(ω>0)的图象的两个相邻交点之间的距离为π.(1)求f (x )的解析式，并求出f (x )的单调递增区间；(2)将函数f (x )的图象向左平移π4个单位长度得到函数g (x )的图象，求函数g (x )的最大值及g (x )取得最大值时x 的取值集合．难点突破16．(12分)已知复数z 1＝sin x ＋λi ，z 2＝m ＋(m －3cos x )i(λ，m ，x ∈R )，且z 1＝z 2.(1)若λ＝0，且0<x <π，求x 的值；(2)设f (x )＝λcos x ，求f (x )的最小正周期和单调递增区间．课时作业(二十一)A【基础热身】1．A [解析] 由已知，ω＝2，所以f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3，因为f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＝0，所以函数图象关于点⎝ ⎛⎭⎪⎫π3，0中心对称，故选A. 2．A [解析] 由2x ＋π3＝k π＋π2(k ∈Z )得x ＝k π2＋π12(k ∈Z )，当k ＝0时，x ＝π12，故选A.3．B [解析] 把图象上所有点的横坐标扩大到原来的2倍，即周期变为原来的2倍，则ω变为原来的12，故选B.4．2 [解析] 摆球往复摆动一次所需的时间即为函数的周期，又函数S 的周期为T ＝2ππ＝2，故摆球往复摆动一次所需要的时间是2 s. 【能力提升】5．B [解析] f (x )＝2sin x cos x ＝sin2x ，则f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，π2上是递减的，A 错；f (x )的最小正周期为π，最大值为1，C 、D 错，故选B.6．A [解析] y ＝cos 2⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π2＝sin 2x ＝1－cos2x 2，则最小正周期是T ＝2π2＝π，且是偶函数，故选A.7．C [解析] 根据“五点法”的规则知，x 1，x 2，x 3，x 4，x 5依次成等差数列，所以x 2＋x 4＝x 1＋x 5＝3π2，故选C.8．C [解析] 由图象可知函数的最小正周期是8，根据最小正周期T ＝2πω可得ω＝π4，排除A 、B ，再根据0≤φ≤2π且当x ＝1时y ＝1，可知φ＝π4，故选C. 9．D [解析] 把函数解析式化为y ＝sin x ＋cos x ＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π4，y ＝sin x －cos x ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π4＝2sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝⎛⎭⎪⎫x －π2＋π4，故选D.10.12[解析] 因为函数的相邻两对称轴之间距离或相邻两对称点之间距离是函数周期的一半，则有T 2＝4π3－⎝ ⎛⎭⎪⎫－2π3＝2π，故T ＝4π，即2πω＝4π，ω＝12.11．y ＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫4x ＋π6＋2 [解析] 由题设得，A ＝2，n ＝2，ω＝4，且当x ＝π3时，sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫43π＋φ＝±1，则φ＝π6， ∴所求解析式为y ＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫4x ＋π6＋2. 12．①② [解析] 因为函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π3的最小正周期为π，则函数y ＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3的最小正周期是π2；因为函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫x －3π2＝cos x ，则函数y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －3π2在区间⎣⎢⎡⎭⎪⎫π，3π2上单调递增；函数y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋5π2＝cos2x ，由2x ＝k π，k ∈Z ，得x ＝k π2，k ∈Z ，则x ＝5π4不是函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋5π2的图象的一条对称轴，故正确的命题是①②. 13．y ＝4sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫5π2x －π2(答案不唯一) [解析] 由散点图选用函数模型y ＝A sin(ωx＋φ)，则A ＝4，T ＝0.8，∴ω＝2πT ＝5π2，即y ＝4sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫5π2x ＋φ， 把最高点坐标(0.4,4)代入解析式，得4＝4sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫5π2×0.4＋φ，即sin(π＋φ)＝1， ∴π＋φ＝π2＋2k π，k ∈Z ，由五点作图法，可知π＋φ＝π2，即φ＝－π2，∴描述该物体的位移y 和时间x 之间的函数解析式为y ＝4sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫5π2x －π2.14．[解答] (1)依题意f (x )＝3sin2x ＋2·cos2x ＋12＝3sin2x ＋cos2x ＋1＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π6＋1， 将f (x )的图象向右平移π12个单位长度，得到函数f 1(x )＝2sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π12＋π6＋1＝2sin2x ＋1的图象，该函数的周期为π，若将其周期变为2π，则得g (x )＝2sin x ＋1.(2)函数f (x )的最小正周期为T ＝π，当2k π－π2≤2x ＋π6≤2k π＋π2(k ∈Z )时，函数单调递增，解得k π－π3≤x ≤k π＋π6(k ∈Z )，∴函数的单调递增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π－π3，k π＋π6(k ∈Z )． 15．[解答] (1)f (x )＝2sin 2ωx ＋23sin ωx cos ωx －1＝1－cos2ωx ＋3sin2ωx －1＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2ωx －π6， 由题意可知函数的最小正周期T ＝2π2ω＝π(ω>0)，所以ω＝1，所以f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π6， 令2k π－π2≤2x －π6≤2k π＋π2其中k ∈Z ，解得k π－π6≤x ≤k π＋π3，其中k ∈Z ，即f (x )的递增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π－π6，k π＋π3，k ∈Z .(2)g (x )＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π4＝2sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π4－π6＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3， 则g (x )的最大值为2，此时有2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3＝2，即sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π3＝1， 即2x ＋π3＝2k π＋π2，其中k ∈Z ，解得x ＝k π＋π12，k ∈Z ，所以当g (x )取得最大值时x 的取值集合为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪x ＝k π＋π12，k ∈Z .【难点突破】16．[解答] (1)当λ＝0时，由z 1＝z 2，得m ＝sin x 且m －3cos x ＝0， ∴sin x －3cos x ＝0，∴tan x ＝3，∵0<x <π，∴x ＝π3.(2)由z 1＝z 2得⎩⎨⎧m ＝sin x ，λ＝m －3cos x ，∴λ＝sin x －3cos x ，f (x )＝λcos x ＝(sin x －3cos x )cos x ＝sin x cos x －3cos x cos x ＝12sin2x －32(1＋cos2x ) ＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π3－32，∴f (x )的最小正周期T ＝π；由2k π－π2≤2x －π3≤2k π＋π2(k ∈Z )，得k π－π12≤x ≤k π＋5π12(k ∈Z )，∴f (x )的单调递增区间是⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π－π12，k π＋5π12k ∈Z .。

学案4 函数y＝Asin(ωx＋φ)的图象及三角函数模型的简单应用班级______ 姓名__________导学目标：1.了解函数y＝A sin(ωx＋φ)的物理意义；能画出y＝A sin(ωx＋φ)的图象，了解参数A，ω，φ对函数图象变化的影响.2.了解三角函数是描述周期变化现象的重要函数模型，会用三角函数解决一些简单实际问题．【自主梳理】1．用五点法画y＝A sin(ωx＋φ)一个周期内的简图用五点法画y＝A sin(ωx＋φ)一个周期内的简图时，要找五个特征点．如下表所示．2.图象变换：函数y＝A sin(ωx＋φ) (A>0，ω>0)的图象可由函数y＝sin x的图象作如下变换得到：（1）相位变换：y＝sin x y＝sin(x＋φ)，把y＝sin x图象上所有的点向____(φ>0)或向____(φ<0)平行移动__________个单位．特别注意：由y＝sinωx→y＝sin(ωx＋φ)，是把y＝sinωx图象上所有的点向____(φ>0)或向____(φ<0)平行移动__________个单位．（2）周期变换：y＝sin (x＋φ)→y＝sin(ωx＋φ)，把y＝sin(x＋φ)图象上各点的横坐标____(0<ω<1)或____(ω>1)到原来的________倍(纵坐标不变)．（3）振幅变换：y＝sin (ωx＋φ)→y＝A sin(ωx＋φ)，把y＝sin(ωx＋φ)图象上各点的纵坐标______(A>1)或______(0<A<1)到原来的____倍(横坐标不变)．3．当函数y＝A sin(ωx＋φ) (A>0，ω>0)，x∈(－∞，＋∞)表示一个振动量时，则____叫做振幅，T＝________叫做周期，f＝______叫做频率，________叫做相位，____叫做初相．函数y＝A cos(ωx＋φ)的最小正周期为__________．y＝A tan(ωx＋φ)的最小正周期为________． 【自我检测】1．要得到函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π4的图象，可以把函数y ＝sin 2x 的图象( )A ．向左平移π8个单位B ．向右平移π8个单位C ．向左平移π4个单位D ．向右平移π4个单位2．已知函数f (x )＝sin(ωx ＋π4)(x ∈R ，ω>0)的最小正周期为π，为了得到函数g (x )＝cos ωx的图象，只要将y ＝f (x )的图象 ( )A ．向左平移π8个单位长度B ．向右平移π8个单位长度C ．向左平移π4个单位长度D ．向右平移π4个单位长度3．函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π3的一条对称轴方程是 ( )A ．x ＝π6B ．x ＝π3C ．x ＝π12D ．x ＝5π124．已知函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫ωx ＋π4 (x ∈R ，ω>0)的最小正周期为π.将y ＝f (x )的图象向左平移|φ|个单位长度，所得图象关于y 轴对称，则φ的一个值是 ( )A.π2B.3π8C.π4D.π85．若动直线x ＝a 与函数f (x )＝sin x 和g (x )＝cos x 的图象分别交于M 、N 两点，则|MN |的最大值为 ( )A ．1B.2C.3D ．2探究点一 三角函数的图象及变换【例1】 已知函数y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3。

课时作业(二十一) 第21讲 简单的三角恒等变换时间：35分钟 分值：80分基础热身1．2011·江门质检 已知sin10°＝a ，则sin70°等于( )A ．1－2a 2B ．1＋2a 2C ．1－a 2D ．a 2－12．若α是第二象限角，sin α2＝45，则sin α的值为( ) A.925 B.2125 C.2425 D ．－24253．2011·绍兴一模 函数y ＝cos ⎝⎛⎭⎫π2－x cos(π＋x )＋32cos2x 的值域为( ) A.⎣⎡⎦⎤－12，12 B.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－32，32 C ．－1,1 D ．－2,24．2011·杭州质检 设α为第四象限的角，若sin3αsin α＝135，则tan2α＝________. 能力提升5．2011·合肥二模 已知sin ⎝⎛⎭⎫π4＋α＝14，则sin2α的值是( ) A.78 B.158C ．－158D ．－786．函数f (x )＝2cos 2x －3sin2x (x ∈R )的最小正周期和最大值分别为( )A ．2π，3B ．2π，1C ．π，3D ．π，17．2011·开封二模 已知tan α＝4，则1＋cos2α＋8sin 2αsin2α的值为( ) A ．4 3 B.654 C ．4 D.2338．2011·濮阳二模 已知θ为△ABC 的一个内角，且sin θ＋cos θ＝m ，若m ∈(0,1)，则关于△ABC 的形状的判断，正确的是( )A ．锐角三角形B ．钝角三角形C ．直角三角形D ．前三种形状都有可能9．计算：3tan12°－34cos 212°sin12°－2sin12°＝________. 10．2011·济宁质检 已知tan π4＋θ＝3，则sin2θ－2cos 2θ＝________. 11．已知函数f (x )＝sin 2ωx ＋3sin ωx ·cos ωx ，x ∈R ，又f (α)＝－12，f (β)＝12，若|α－β|的最小值为3π4，则正数ω的值为________． 12．(13分)2011·重庆卷 设函数f (x )＝sin x cos x －3cos(x ＋π)cos x (x ∈R )．(1)求f (x )的最小正周期；(2)若函数y ＝f (x )的图像按b ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，32平移后得到函数y ＝g (x )的图像，求y ＝g (x )在⎣⎡⎦⎤0，π4上的最大值．难点突破13．(12分)已知函数f (x )＝32sin πx ＋12cos πx ，x ∈R . (1)求函数f (x )的最大值和最小值；(2)设函数f (x )在－1,1上的图像与x 轴的交点从左到右分别为M 、N ，图像的最高点为P ，求与的夹角的余弦．课时作业(二十一)【基础热身】1．A 解析 sin 70°＝sin (90°－20°)＝cos 20°＝1－2sin 210°＝1－2a 2.2．C 解析 ∵2k π＋π2＜α＜2k π＋π，∴k π＋π4＜α2＜k π＋π2.又sin α2＝45＞0，∴α2在第一象限， ∴cos α2＝1－sin 2α2＝35， ∴sin α＝2sin α2·cos α2＝2425. 3．C 解析 y ＝cos ⎝⎛⎭⎫π2－x cos (π＋x)＋32cos 2x ＝sin x(－cos x)＋32cos 2x ＝－12sin 2x ＋32cos 2x ＝cos ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6， 则函数的最大值是1，最小值是－1，值域为－1,1．4．－34 解析 sin 3αsin α＝sin (2α＋α)sin α＝sin 2αcos α＋cos 2αsin αsin α＝135， ∴2cos 2α＋cos 2α＝135，即2cos 2α－1＋cos 2α＝85， ∴cos 2α＝45. ∵2k π－π2<α<2k π，k ∈Z ，∴4k π－π<2α<4k π， 又∵cos2α＝45>0，∴2α为第四象限的角． ∴sin2α＝－1－cos 22α＝－35，∴tan2α＝－34. 【能力提升】5．D 解析 sin2α＝－cos ⎝⎛⎭⎫π2＋2α＝－cos2⎝⎛⎭⎫π4＋α ＝－⎣⎡⎦⎤1－2sin 2⎝⎛⎭⎫π4＋α＝2×⎝⎛⎭⎫142－1＝－78. 6．C 解析 f (x )＝2cos 2x －3sin2x ＝cos2x －3sin2x ＋1＝2sin ⎝⎛⎭⎫π6－2x ＋1，所以函数f (x )的最小正周期为T ＝π，最大值为3.7．B 解析 原式＝2cos 2α＋8sin 2α2sin αcos α＝1＋4tan 2αtan α＝1＋4×424＝654. 8．B 解析 m ＝sin θ＋cos θ＝2sin ⎝⎛⎭⎫θ＋π4∈(0,1)，所以0<sin ⎝⎛⎭⎫θ＋π4<22.因为θ为△ABC 的一个内角，所以3π4<θ＋π4<π，即π2<θ<3π4. 9．－4 3 解析3tan12°－34cos 212°sin12°－2sin12°＝3sin12°－3cos12°2cos24°sin12°cos12° ＝23sin(12°－60°)12sin48°＝－4 3. 10．－45解析 解法一：sin2θ－2cos 2θ＝sin2θ－cos2θ－1，sin2θ＝－cos2⎝⎛⎭⎫θ＋π4＝－1－tan 2⎝⎛⎭⎫θ＋π41＋tan 2⎝⎛⎭⎫θ＋π4＝45， cos2θ＝sin2⎝⎛⎭⎫θ＋π4＝2tan ⎝⎛⎫θ＋π41＋tan 2⎝⎛⎭⎫θ＋π4＝35， ∴原式＝45－35－1＝－45. 解法二：tan ⎝⎛⎭⎫π4＋θ＝3，1＋tan θ1－tan θ＝3，解得tan θ＝12， sin2θ－2cos 2θ＝2sin θcos θ－2cos 2θsin 2θ＋cos 2θ＝2tan θ－2tan 2θ＋1＝－45. 11.13 解析 f (x )＝1－cos2ωx 2＋32sin2ωx ＝32sin2ωx －12cos2ωx ＋12＝sin ⎝⎛⎭⎫2ωx －π6＋12. 又由f (α)＝－12，f (β)＝12，且|α－β|的最小值为3π4，可知T ＝3π，于是ω＝13. 12．解答 (1)f (x )＝12sin2x ＋3cos 2x ＝12sin2x ＋32(1＋cos2x ) ＝12sin2x ＋32cos2x ＋32＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3＋32. 故f (x )的最小正周期为T ＝2π2＝π. (2)依题意g (x )＝f ⎝⎛⎭⎫x －π4＋32＝sin ⎣⎡⎦⎤2⎝⎛⎫x －π4＋π3＋32＋32＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －π6＋ 3. 当x ∈⎣⎡⎦⎤0，π4时，2x －π6∈⎣⎡⎦⎤－π6，π3，g (x )为增函数， 所以g (x )在⎣⎡⎦⎤0，π4上的最大值为g ⎝⎛⎭⎫π4＝332. 【难点突破】 13．解答 (1)∵f (x )＝32sin πx ＋12cos πx ＝sin ⎝⎛⎭⎫πx ＋π6，x ∈R ， ∴－1≤sin ⎝⎛⎭⎫πx ＋π6≤1， ∴函数f (x )的最大值和最小值分别为1，－1.(2)解法1：令f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫πx ＋π6＝0， 得πx ＋π6＝k π，k ∈Z ，∵x ∈－1,1，∴x ＝－16或x ＝56， ∴M ⎝⎛⎭⎫－16，0，N ⎝⎛⎭⎫56，0. 由sin ⎝⎛⎭⎫πx ＋π6＝1，且x ∈－1,1得x ＝13， ∴P ⎝⎛⎭⎫13，1， ∴＝⎝⎛⎭⎫－12，－1，＝⎝⎛⎭⎫12，－1， ∴cos 〈，〉＝＝35. 解法2：过点P 作PA ⊥x 轴于A ，则|PA |＝1，由三角函数的性质知|MN |＝12T ＝1， |PM |＝|PN |＝12＋⎝⎛⎭⎫122＝52， 由余弦定理得，cos 〈，〉＝|PM |2＋|PN |2－|MN |22|PM |·|PN |＝54×2－12×54＝35. 解法3：过点P 作PA ⊥x 轴于A ，则|PA |＝1，由三角函数的性质知|MN |＝12T ＝1， |PM |＝|PN |＝12＋⎝⎛⎭⎫122＝52， 在Rt △PAM 中，cos ∠MPA ＝|PA ||PM |＝152＝255. ∵PA 平分∠MPN ，∴cos ∠MPN ＝cos2∠MPA ＝2cos 2∠MPA －1＝2×⎝ ⎛⎭⎪⎫2552－1＝35.。