高考攻略 黄冈第二轮复习新思维 专题一 函数图象和性质

第4讲函数的图象与性质函数是中学数学中的重点内容，是描述变量之间依赖关系的重要数学模型．本章内容有两条主线：一是对函数性质作一般性的研究，二是研究几种具体的基本初等函数——一次函数、二次函数、指数函数、对数函数、幂函数．研究函数的问题主要围绕以下几个方面：函数的概念，函数的图象与性质，函数的有关应用等．函数的性质与图象【知识要点】函数的性质包括函数的定义域、值域及值的某些特征、单调性、奇偶性、周期性与对称性等等．本章着重研究后四个方面的性质．本节的重点在于理解与函数性质有关的概念，掌握有关判断、证明的基本方法以及简单的应用．数形结合是本节常用的思想方法．1．设函数y＝f(x)的定义域为D，如果对于D内的任意一个x，都有－x∈D，且f(－x)＝－f(x)，则这个函数叫做奇函数．设函数y＝g(x)的定义域为D，如果对于D内任意一个x，都有－x∈D，且g(－x)＝g(x)，则这个函数叫做偶函数．由奇函数定义可知，对于奇函数y＝f(x)，点P(x，f(x))与点P'(－x，－f(x))都在其图象上．又点P与点P'关于原点对称，我们可以得到：奇函数的图象是以坐标原点为对称中心的中心对称图形；通过同样的分析可以得到，偶函数的图象是以y轴为对称轴的轴对称图形．2．一般地，设函数y＝f(x)的定义域为A，区间M⊆A．如果取区间M中的任意两个值x1，x2，改变量∆x＝x2－x1＞0，则当∆y＝f(x2)－f(x1)＞0时，就称函数y＝f(x)在区间M上是增函数；当∆y＝f(x2)－f(x1)＜0时，就称函数y＝f(x)在区间M上是减函数．如果一个函数在某个区间M上是增函数或是减函数，就说这个函数在这个区间M上具有单调性，区间M称为单调区间．在单调区间上，增函数的图象是上升的，减函数的图象是下降的．3．一般的，对于函数f(x)，如果存在一个不为零的常数T，使得当x取定义域中的每一个值时，f(x＋T)＝f(x)都成立，那么就把函数y＝f(x)叫做周期函数，不为零的常数T 叫做这个函数的周期．4．一般的，对于函数f(x)，如果存在一个不为零的常数a，使得当x取定义域中的每一个值时，f(a＋x)＝f(a－x)都成立，则函数y＝f(x)的图象关于直线x＝a对称．【复习要求】1．理解函数的单调性、最大值、最小值及其几何意义；会用定义证明函数的单调性，会利用函数的单调性处理有关的不等式问题；2．了解函数奇偶性的含义．能判断简单函数的奇偶性．3．了解函数周期性的含义．4．了解函数单调性、奇偶性和周期性之间的联系，并能解决相关的简单问题．函 数【知识要点】要了解映射的概念，映射是学习、研究函数的基础，对函数概念、函数性质的深刻理解在很多情况下要借助映射这一概念．1、设A ，B 是两个非空集合，如果按照某种对应法则f ，对A 中的任意一个元素x ，在B 中有一个且仅有一个元素y 与x 对应，则称f 是集合A 到集合B 的映射．记作f ：A →B ，其中x 叫原象，y 叫象．2、设集合A 是一个非空的数集，对A 中的任意数x ，按照确定的法则f ，都有唯一确定的数y 与它对应，则这种映射叫做集合A 上的一个函数．记作y ＝f (x )，x ∈A ．其中x 叫做自变量，自变量取值的范围(数集A )叫做这个函数的定义域．所有函数值构成的集合{y ｜y ＝f (x )，x ∈A }叫做这个函数的值域．函数的值域由定义域与对应法则完全确定．3、函数是一种特殊的映射．其定义域和值域都是非空的数集，值域中的每一个元素都有原象．构成函数的三要素：定义域，值域和对应法则．其中定义域和对应法则是核心．【复习要求】1．了解映射的意义，对于给出对应关系的映射会求映射中指定元素的象与原象．2．能根据函数三要素判断两个函数是否为同一函数．3．掌握函数的三种表示法(列表法、图象法和解析法)，理解函数符号f (x )(对应法则)，能依据一定的条件求出函数的对应法则．4．理解定义域在三要素的地位，并会求定义域．【教材回归】1．函数的定义域和值域(1)求函数定义域的类型和相应方法若已知函数的解析式，则函数的定义域是使解析式有意义的自变量的取值范围．(2)常见函数的值域①一次函数y ＝kx ＋b (k ≠0)的值域为R ；②二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)：当a >0时，值域为⎣⎢⎡⎭⎪⎫4ac －b 24a ，＋∞，当a <0时，值域为⎝ ⎛⎦⎥⎤－∞，4ac －b 24a ；③反比例函数y ＝k x (k ≠0)的值域为{y ∈R |y ≠0}．【例题分析】1.函数f （x ）＝+的定义域为（ ） A ．[0，2）B ．（2，+∞）C ．（﹣∞，2）∪（2，+∞）D ．[0，2）∪（2，+∞）【考点】函数的定义域及其求法． 【专题】函数思想；转化法；函数的性质及应用；数学运算．【答案】D【分析】根据二次根式的性质以及分母不为0，求出函数的定义域即可．【解答】解：由题意得：，解得：， 故x ∈[0，2）∪（2，+∞），故选：D ．【点评】本题考查了求函数的定义域问题，考查二次根式的性质，是基础题．2.函数的定义域为（ ） A ．[﹣2，0] B ．（﹣2，0） C ．（﹣2，0] D ．（﹣2，+∞）【考点】函数的定义域及其求法．【专题】转化思想；定义法；函数的性质及应用；数学抽象．【答案】C【分析】根据函数成立的条件建立不等式关系进行求解即可．【解答】解：要使函数有意义，则1﹣log 2（x +2）≥0得log 2（x +2）≤1，即0＜x +2≤2，得﹣2＜x ≤0，即函数的定义域为（﹣2，0]，故选：C ．【点评】本题主要考查函数定义域的求解，结合根式成立的条件进行转化是解决本题的关键，是基础题．3.下列各函数中，值域为（0，+∞）的是（ ）A ．y ＝B ．C ．y ＝2﹣2x +1D ．【考点】函数的值域．【专题】函数思想；定义法；函数的性质及应用；数学抽象．【答案】C【分析】根据函数的性质分别求出函数的值域进行判断即可．【解答】解：x2+2x﹣3＝（x+1）2﹣4≥﹣4，∴y＝的值域是R，不满足条件．∵0≤1﹣2x＜1，则函数的值域为[0，1），不满足条件．y＝2﹣2x+1＞0，即函数的值域为（0，+∞），满足条件．y＝∈（0，1）∪（1，+∞），不满足条件．故选：C．【点评】本题主要考查函数值域的求解和判断，结合函数的性质求出函数的值域是解决本题的关键，是基础题．2．函数的奇偶性、周期性(1)奇偶性是函数在其定义域上的整体性质，对于定义域内的任意x(定义域关于原点对称)，都有f(－x)＝－f(x)成立，则f(x)为奇函数(都有f(－x)＝f(x)成立，则f(x)为偶函数)．(2)周期性是函数在其定义域上的整体性质，一般地，对于函数f(x)，如果对于定义域内的任意一个x的值，若f(x＋T)＝f(x)(T≠0)，则f(x)是周期函数，T是它的一个周期．【例题分析】1.下列函数中，是奇函数且在其定义域内单调递增的是（）A．y＝e x B．y＝x3C．y＝sin x D．y＝tan x【考点】函数单调性的性质与判断；函数奇偶性的性质与判断；奇偶性与单调性的综合．【专题】函数思想；定义法；函数的性质及应用；数学抽象．【答案】B【分析】分别判断函数的奇偶性和单调性是否满足条件即可．【解答】解：A．函数是非奇非偶函数，不满足条件．B．y＝x3是奇函数，在R上是增函数，满足条件．C．y＝sin x是奇函数，在定义域上不单调，不满足条件．D．y＝tan x是奇函数，在定义域上不单调，不满足条件．故选：B．【点评】本题主要考查函数奇偶性和单调性的判断，利用函数的奇偶性和单调性的性质是解决本题的关键，是基础题．2.下列函数中，既是偶函数，又在区间（0，+∞）上单调递减的函数为（）A．y＝cos x B．y＝﹣log2x C．y＝2x D．y＝x﹣2【考点】函数奇偶性的性质与判断；奇偶性与单调性的综合．【专题】计算题；函数思想；综合法；函数的性质及应用；数学运算．【答案】D【分析】可看出选项A的函数在（0，+∞）上没有单调性，选项B，C的函数都是非奇非偶函数，从而只能选D．【解答】解：y＝cos x在（0，+∞）上没有单调性；y＝﹣log2x和y＝2x都是非奇非偶函数；y＝x﹣2是偶函数，且在（0，+∞）上是减函数．故选：D．【点评】本题考查了偶函数和减函数的定义及判断，偶函数图象的对称性，考查了计算能力，属于基础题．3.下列函数既是偶函数，又在（0，+∞）上单调递增的是（）A．y＝x2+1 B．C．y＝3|x|D．【考点】函数奇偶性的性质与判断；奇偶性与单调性的综合．【专题】计算题；函数思想；综合法；函数的性质及应用；数学运算．【答案】AC【分析】判断每个选项函数的奇偶性，以及在（0，+∞）上的单调性即可．【解答】解：y＝x2+1和y＝3|x|都是偶函数，在（0，+∞）上都单调递增，∴AC正确；和都不是偶函数，∴BD错误．故选：AC．【点评】本题考查了偶函数的定义，二次函数和指数函数的单调性，考查了计算和推理能力，属于基础题．4.写出一个最小正周期为2的奇函数f（x）＝．【考点】奇函数、偶函数；函数的周期性．【专题】开放型；函数思想；定义法；函数的性质及应用；逻辑推理．【答案】sinπx【分析】先考虑熟悉的基本初等函数，再结合周期性和奇偶性即可得到答案．【解答】解：基本初等函数中的既为周期函数又为奇函数的是y＝sin x，又最小正周期为2，故函数可为f（x）＝sinπx．故答案为：f（x）＝sinπx．【点评】本题属于开放性问题，主要考查的是函数的奇偶性和周期性的应用，解题的关键了解基本初等函数的性质并能够进行灵活的应用．5.设函数f （x ）是定义在R 上的以5为周期的奇函数，若，则a 的取值范围是（ ）A ．（﹣2，3）B ．（﹣3，2）C ．（﹣∞，3）∪（2，+∞）D ．（﹣2，0）∪（3，+∞） 【考点】函数奇偶性的性质与判断；奇偶性与单调性的综合；函数的周期性．【专题】计算题；函数的性质及应用．【答案】A【分析】根据函数是以5为周期的奇函数，得f （2）＝f （﹣3），结合函数为奇函数，得f （﹣3）＝﹣．由此结合f （2）＞1建立关于a 的不等式，解之可得a 的取值范围． 【解答】解：∵函数f （x ）以5为周期，∴f （2）＝f （﹣3），又∵函数是奇函数 ∴f （﹣3）＝﹣因此，f （2）＝f （﹣3）＝＞0，即（a +2）（a ﹣3）＜0，解之得﹣2＜a ＜3．故选：A ．【点评】本题在已知函数为奇函数且是周期函数的情况下，解关于a 的不等式，考查了函数的奇偶性和周期性，以及不等式的解法等知识，属于基础题．3．关于函数周期性、对称性的结论(1)函数的周期性①若函数f (x )满足f (x ＋a )＝f (x －a )，则f (x )为周期函数，2a 是它的一个周期； ②若函数f (x )满足f (x ＋a )＝1f (x )，则f (x )为周期函数，2a 是它的一个周期； ③若函数f (x )满足f (x ＋a )＝－f (x )，则f (x )为周期函数，2a 是它的一个周期．(2)函数图象的对称性①若函数y ＝f (x )满足f (a ＋x )＝f (b －x )，则函数f (x )的图象关于直线x ＝a ＋b 2对称．②若函数y ＝f (x )满足f (a ＋x )＝－f (b －x )，则函数f (x )的图象关于点⎝⎛⎭⎪⎫a ＋b 2，0对称． 【例题分析】 1.函数y ＝f （x ）与函数y ＝f （﹣x ）的图象关于（ ）对称A ．x 轴B ．y 轴C ．坐标原点D ．不能确定【考点】奇偶函数图象的对称性．【专题】计算题；转化思想；综合法；函数的性质及应用；数学运算．【答案】B【分析】利用图象关于x ＝0的对称特点分别判断．【解答】解：因为函数y ＝f （x ）关于x ＝0对称的函数为y ＝f （﹣x ），所以函数y ＝f （x ）与函数y ＝f （﹣x ）的图象关于y 轴对称．故选：B ．【点评】本题主要考查几种常见函数的对称关系，要求熟练掌握这些对称对应函数的变化．2.下列函数中，其图象与函数y ＝ln （x +1）的图象关于直线x ＝1对称的是（ ）A ．y ＝ln （1﹣x ）B ．y ＝ln （3﹣x ）C ．y ＝ln （1+x ）D ．y ＝ln （3+x ）【考点】奇偶函数图象的对称性．【专题】计算题；方程思想；转化思想；综合法；函数的性质及应用；数学运算．【答案】B【分析】根据题意，设y ＝g （x ）的图象与函数y ＝ln （x +1）的图象关于直线x ＝1对称，分析可得g （x ）＝f （2﹣x ），结合f （x ）的解析式分析可得答案．【解答】解：根据题意，设y ＝g （x ）的图象与函数y ＝ln （x +1）的图象关于直线x ＝1对称，则有g （x ）＝f （2﹣x ），即g （x ）＝ln [（2﹣x ）+1]＝ln （3﹣x ），故选：B ．【点评】本题考查函数图象的对称性，注意关于直线x ＝1对称的函数的性质．3.函数f （x ）＝的图象关于（ ） A ．y 轴对称B ．x 轴对称C ．坐标原点对称D ．直线y ＝x 对称【考点】奇偶函数图象的对称性． 【专题】整体思想；综合法；函数的性质及应用；数学运算．【答案】A【分析】根据条件判断函数的奇偶性即可判断函数的图象关系．【解答】解：∵函数f （x ）＝，定义域为：{x |x ≠±1}关于原点对称，且f （﹣x ）＝＝＝f （x ），∴函数f （x ）＝为偶函数，图象关于y 轴对称，故选：A ． 【点评】本题主要考查函数图象的对称，根据函数奇偶性和图象之间的关系是解决本题的关键．4．函数的单调性函数的单调性是函数在其定义域上的局部性质．①单调性的定义的等价形式：设任意x 1，x 2∈[a ，b ]，且x 1≠x 2，那么(x 1－x 2)[f (x 1)－f (x 2)]>0⇔f (x 1)－f (x 2)x 1－x 2>0⇔f (x )在[a ，b ]上是增函数； (x 1－x 2)[f (x 1)－f (x 2)]<0⇔f (x 1)－f (x 2)x 1－x 2<0⇔f (x )在[a ，b ]上是减函数． ②若函数f (x )和g (x )都是减函数，则在公共定义域内，f (x )＋g (x )是减函数；若函数f (x )和g (x )都是增函数，则在公共定义域内，f (x )＋g (x )是增函数；根据同增异减判断复合函数y ＝f (g (x ))的单调性．【例题分析】1.若a ＝3e ，b ＝e 3，c ＝π3，其中e 为自然对数的底数，则（ ）A ．a ＜b ＜cB ．b ＜a ＜cC ．a ＜c ＜bD ．b ＜c ＜a【考点】函数的单调性及单调区间；函数单调性的性质与判断．【专题】计算题；方程思想；转化思想；函数的性质及应用；数学运算．【答案】A【分析】根据题意，由幂函数＝x 3的单调性可得b ＜c ，对于，求出其导数，分析可得在[1，+∞）单调递减，由此可得，变形得a ＜b ，综合可得答案． 【解答】解：根据题意，因为函数y ＝x 3在R 上单调递增，所以b ＜c ；对于，其导数y ′＝，在区间（1，+∞）上，y ′＜0，则在[1，+∞）单调递减，故，即3e＜e3，从而得a＜b，故a＜b＜c，故选：A．【点评】本题考查函数单调性的性质以及应用，注意常见函数的单调性，属于基础题．2.已知函数f（x）是定义在[2，+∞）的单调递增函数，若f（2a2﹣5a+4）＜f（a2+a+4），则实数a的取值范围是（）A．B．[2，6）C．D．（0，6）【考点】函数的单调性及单调区间；函数单调性的性质与判断．【专题】计算题；方程思想；转化思想；转化法；函数的性质及应用；数学运算．【答案】C【分析】由函数的定义域和单调性可得2≤2a2﹣5a+4＜a2+a+4，再求出a的取值范围．【解答】解：函数f（x）是定义在[2，+∞）的单调递增函数，若f（2a2﹣5a+4）＜f（a2+a+4），则2≤2a2﹣5a+4＜a2+a+4，解得0＜a≤或2≤x＜6，所以实数a的取值范围为（0，]∪[2，6），故选：C．【点评】本题考查了根据函数的单调性求参数的范围，考查了转化思想，属于基础题．3若函数f（x）对∀x1，x2∈（1，+∞），（x1≠x2），不等式＜1成立，则称f（x）在（1，+∞）上为“平方差减函数”，则下列函数中是“平方差减函数”的有（）A．f（x）＝﹣2x+1 B．f（x）＝x2+2x+1C．f（x）＝x2﹣log2x D．f（x）＝x2﹣x+【考点】函数的单调性及单调区间；函数单调性的性质与判断．【专题】计算题；方程思想；转化思想；综合法；函数的性质及应用；数学运算．【答案】ACD【分析】根据题意，设g（x）＝f（x）﹣x2，分析可得g（x）在[1，+∞）为减函数与f （x）在（1，+∞）上为“平方差减函数”等价，据此分析选项，即可得答案．【解答】解：根据题意，设g（x）＝f（x）﹣x2，若f（x）在（1，+∞）上为“平方差减函数”，则对∀x1，x2∈（1，+∞），（x1≠x2），不等式＜1成立，则有﹣1＝＝×＝＜0，则有＜0，则函数g（x）＝f（x）﹣x2在[1，+∞）为减函数，反之，若函数g（x）＝f（x）﹣x2在[1，+∞）为减函数，则有＝（x1+x2）＜0，即f（x）在（1，+∞）上为“平方差减函数”，分析选项：对于A，f（x）＝﹣2x﹣1，g（x）＝f（x）﹣x2＝﹣x2﹣2x﹣1，为开口向下，对称轴为x＝﹣1的二次函数，g（x）在区间[1，+∞）为减函数，则f（x）在（1，+∞）上为“平方差减函数”；对于B，f（x）＝x2+2x+1，g（x）＝f（x）﹣x2＝2x+1，g（x）在区间[1，+∞）为增函数，则f（x）在（1，+∞）上不是“平方差减函数”；对于C，f（x）＝x2﹣log2x，g（x）＝f（x）﹣x2＝﹣log2x，g（x）在区间[1，+∞）为减函数，则f（x）在（1，+∞）上为“平方差减函数”；对于D，f（x）＝x2﹣x+，g（x）＝f（x）﹣x2＝﹣x+，g（x）在区间[1，+∞）为减函数，则f（x）在（1，+∞）上为“平方差减函数”；故选：ACD．【点评】本题考查函数的单调性的判断，注意分析“平方差减函数”的定义，属于基础题．5.函数的图象1．作函数图象有两种基本方法：一是描点法；二是图象变换法，其中图象变换有平移变换、伸缩变换、对称变换．2．利用函数图象可以判断函数的单调性、奇偶性，作图时要准确画出图象的特点．【例题分析】1.函数（e为自然对数的底数）的部分图象大致为（）A．B．C．D．【考点】函数的图象与图象的变换．【专题】数形结合；数形结合法；函数的性质及应用；直观想象．【答案】A【分析】根据条件判断函数的奇偶性，结合函数值的符号，即可排除错误选项．【解答】解：函数的定义域为{x|x≠±1}，f（﹣x）＝＝﹣＝﹣f（x），则f（x）是奇函数，图象关于原点对称，排除BD，当0＜x＜1时，f（x）＞0，排除C，故选：A．【点评】本题主要考查函数图象的识别和判断，通常利用函数的奇偶性和对称性，以及函数值的符号，利用排除法解决此类题目，是基础题．2.托马斯说：“函数是近代数学思想之花．”根据函数的概念判断：下列对应关系是集合M＝{﹣1，2，4}到集合N＝{1，2，4，16}的函数的是（）A．y＝2x B．y＝x+2 C．y＝x2D．y＝2x【考点】函数的概念及其构成要素．【专题】对应思想；定义法；函数的性质及应用；数学抽象．【答案】C【分析】根据函数的定义，分别进行判断即可．【解答】解：A．当x＝﹣1时，y＝﹣2，没有对应值，不满足条件．B．当x＝4时，y＝x+2＝6，没有对应值，不满足条件．C．满足条件D．当x＝﹣1时，y＝，没有对应值，不满足条件．故选：C．【点评】本题主要考查函数的概念，利用函数的对应性是解决本题的关键，是基础题．【易错点】1．解决函数问题时要注意函数的定义域，要树立定义域优先原则．2．解决分段函数问题时，要注意与解析式对应的自变量的取值范围．3．求函数单调区间时，多个单调区间之间不能用符号“∪”和“或”连接，可用“和”连接或用“，”隔开．单调区间必须是“区间”，而不能用集合或不等式代替．4．判断函数的奇偶性，要注意定义域必须关于原点对称，有时还要对函数式化简整理，但必须注意使定义域不受影响．。

专题一：三角函数与解三角形 第1讲 三角函数的图象与性质一：高考定位 三角函数的图象与性质是高考考查的重点和热点内容，主要从以下两个方面进行考查：1.三角函数的图象，涉及图象变换问题以及由图象确定解析式问题，主要以选择题、填空题的形式考查；2.利用三角函数的性质求解三角函数的值、参数、最值、值域、单调区间等，主要以解答题的形式考查.二：真 题 感 悟1.(2020全国1理7)设函数f (x )＝cos(ωx ＋π6)在[－π，π]的图象大致如下图，则f (x )的最小正周期为( )A ．10π9B ．7π6C ．4π3D ．3π22.(2020山东、海南10)（多选）下图是函数y ＝sin(ωx ＋φ)的部分图象，则sin(ωx ＋φ)＝( )A ．sin(x ＋π3)B ．sin(π3－2x )C ．cos(2x ＋π6)D ．cos(5π6－2x )3.(2020全国3文5)已知sin θ＋sin(θ＋π3)＝1，则sin(θ＋π6)＝( )A ．12B ．33C ．23D ．224.(2019·全国Ⅱ卷)下列函数中，以π2为周期且在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，π2单调递增的是( )A.f (x )＝|cos 2x |B.f (x )＝|sin 2x |C.f (x )＝cos|x |D.f (x )＝sin|x |5.(2020·江苏卷)将函数y ＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π4的图象向右平移π6个单位长度，则平移后的图象中与y 轴最近的对称轴的方程是________.6.(2020·北京卷)若函数f (x )＝sin(x ＋φ)＋cos x 的最大值为2，则常数φ的一个取值为__________.7.(2019·全国Ⅰ卷)函数f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋3π2－3cos x 的最小值为________.8.(2020全国3理9)已知2tan θ–tan(θ＋π4)＝7，则tan θ＝( )A ．–2B ．–1C ．1D ．29.(2020全国3理16)关于函数f (x )＝sin x ＋1sin x 有如下四个命题：①f (x )的图象关于y 轴对称． ②f (x )的图象关于原点对称． ③f (x )的图象关于直线x ＝π2对称．④f (x )的最小值为2．其中所有真命题的序号是__________．三：考 点 整 合1.常用的三种函数的图象与性质(下表中k ∈Z ) 函数y ＝sin xy ＝cos xy ＝tan x图象递增 区间 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2k π－π2，2k π＋π2 [2k π－π，2k π]⎝ ⎛⎭⎪⎫k π－π2，k π＋π2 递减 区间 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2k π＋π2，2k π＋3π2 [2k π，2k π＋π]奇偶性 奇函数 偶函数 奇函数 对称 中心(k π，0)⎝ ⎛⎭⎪⎫k π＋π2，0 ⎝ ⎛⎭⎪⎫k π2，0对称轴 x ＝k π＋π2 x ＝k π 周期性2π2ππ2.三角函数的常用结论(1)y ＝A sin(ωx ＋φ)，当φ＝k π(k ∈Z )时为奇函数；当φ＝k π＋π2(k ∈Z )时为偶函数；对称轴方程可由ωx ＋φ＝k π＋π2(k ∈Z )求得. (2)y ＝A cos(ωx ＋φ)，当φ＝k π＋π2(k ∈Z )时为奇函数；当φ＝k π(k ∈Z )时为偶函数；对称轴方程可由ωx ＋φ＝k π(k ∈Z )求得. (3)y ＝A tan(ωx ＋φ)，当φ＝k π(k ∈Z )时为奇函数. 3.三角函数的两种常见变换 (1)y ＝sin x ――——————————→向左(φ＞0)或向右(φ＜0)平移|φ|个单位y ＝sin(ωx ＋φ)――——————————→纵坐标变为原来的A 倍横坐标不变y ＝A sin(ωx ＋φ)(A ＞0，ω＞0).y ＝sin ωx ―————————————―→向左(φ＞0)或向右(φ＜0)平移|φω|个单位y ＝sin(ωx ＋φ)————————————―→纵坐标变为原来的A 倍横坐标不变 y ＝A sin(ωx ＋φ)(A ＞0，ω＞0). 四：热点解析热点一 三角函数的定义与同角关系式1.已知512sin ,cos ,1313αα==-，则角α的终边与单位圆的交点坐标是（ ） A ．512(,)1313- B ．512(,)1313- C ．125(,)1313- D ．125(,)1313-2.(2018全国1文11)已知角α的顶点为坐标原点，始边与x 轴的非负半轴重合，终边上有两点A (1，a )，B (2，b )，且cos2α＝23，则|a －b |＝( )A ．15B ．55C ．255D ．13.若sin α＝－513，且α为第四象限角，则tan α的值等于_____________．4.已知tan α＝2，则sin αcos α＋cos 2α2sin αcos α＋sin 2α＝，sin 2α－2sin αcos α＋2＝ ．5.已知sin α＋cos α＝15，α∈(0，π)，则cos α－sin α＝ ，tan α＝ ．探究提高1．三角函数求值(1) 知一求其余三角函数值；(2)关于sin α与cos α的齐次式，同除cos α或cos 2α，如果不是齐次，借助1＝sin 2α＋cos 2α构造齐次．(3)sin α＋cos α，sin α－cos α，sin αcos α间关系式注意 根据角的范围确定三角函数值正负．无法确定正负时可根据三角函数值的正负(或与特殊角的三角函数值)缩小角的范围．6．如图，在直角坐标系xOy 中，角α的顶点是原点，始边与x 轴正半轴重合，终边交单位圆于点A ，且(,)62ππα∈. 将角α的终边按逆时针方向旋转3π，交单位圆于点B ，记A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2).（1）若113x =，求2x ；（2）分别过A ，B 作x 轴的垂线，垂足依次为C ，D ，记△AOC 的面积为S 1，△BOD 的面积为S 2，若122S S =，求角α的值.7.如图，在平面直角坐标系xOy 中，312A ⎫⎪⎪⎝⎭为单位圆上一点，射线OA 绕点O 按逆时针方向旋转θ后交单位圆于点B ，点B 的纵坐标y 关于θ的函数为()y fθ=.（1）求函数()y f θ=的解析式，并求223f f ππ⎛⎫⎛⎫+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭；（2）若1()3f θ=，求s inα＋s inα－s inαcosαinα和cosα tan αsin2α7cos sin 36ππθθ⎛⎫⎛⎫--+⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭的值.热点二 三角函数的图象辨析(2019全国1理5)函数f (x )=sin x ＋xcos x ＋x 2在[－π，π]的图象大致为( )A ．B ．C ．D ．(2019全国1文5)函数f (x )＝sin x ＋xcos x ＋x 2在[－π，π]的图象大致为( )A ．B ．C ．D ．3.(2017全国1文8)函数y ＝sin2x1－cos x的部分图象大致为( )A ．B ．C ．D ．12．（2020·天津和平区·高一期末）如图是函数()2sin()0,||2f x x πωϕωϕ⎛⎫=+>< ⎪⎝⎭的部分图象，则ω和ϕ的值分别为（ ）A ．2,6πB ．2,3π-C ．1,6πD ．1,3π-2.已知函数y ＝A sin(ωx ＋φ)(A >0，ω>0)的图象求解析式时，常采用待定系数法，由图中的最高点、最低点或特殊点求A ；由函数的周期确定ω；确定φ常根据“五点法”中的五个点求解，一般把第一个“零点”作为突破口，可以从图象的升降找准第一个“零点”的位置.2．（多选）已知函数()()()2sin 0,||f x x ωϕωϕπ=+><的部分图象如图所示，则（ ）A ．2ω=B ．3πϕ=C ．若123x x π+=，则()()12f x f x =D ．若123x x π+=，则()()120f x f x +=3．（多选）函数()sin(2)0,||2f x A x A πϕϕ⎛⎫=+><⎪⎝⎭部分图象如图所示，对不同x 1，x 2∈[a ，b ]，若f （x 1）＝f （x 2），有f （x 1+x 2）3=，则（ ）A ．a +b ＝πB ．2b a π-=C ．3πϕ=D ．()3f a b +=热点四 三角函数的性质1.已知函数sin(2)()22y x ϕϕππ=+-<<的图象关于直线3x π=对称，则ϕ的值是 ．2.已知函数y ＝A sin(2x ＋φ)的对称轴为x ＝π6，则φ的值为 ．3.已知函数y ＝cos(2x ＋φ)为奇函数，则φ的值为 ．4.将函数()π()2sin 26f x x =+的图象至少向右平移 个单位，所得图象恰关于坐标原点对称．5.若函数()sin()(0,0)f x A x A ωϕω=+>>的图象与直线y m =的三个相邻交点的横坐标分别是6π，3π，23π，则实数ω的值为 ．6.已知函数()sin()(030)f x x ωϕωϕ=+<<<<π，．若4x π=-为函数()f x 的一个零点，3x π=为函数()f x 图象的一条对称轴，则ω的值为 ．探究提高：三角函数对称问题方法：对于函数y ＝A sin(ωx ＋φ)或y ＝A cos(ωx ＋φ) 若x ＝x 0为对称轴⇔f (x 0)＝±A ． 若(x 0，0)为中心对称点⇔f (x 0)＝0．推论：对于函数y ＝A sin(ωx ＋φ)或y ＝A cos(ωx ＋φ)若函数y ＝f (x )为偶函数⇔f (0)＝±A ．若函数y ＝f (x )为奇函数⇔f (0)＝0．7.将函数()π()sin 6f x x ω=-（0ω>）的图象向左平移π3个单位后，所得图象关于直线πx =对称，则ω的最小值为 ． 8.对于函数()12sin 3()42f x x x R π⎛⎫=-++∈ ⎪⎝⎭，有以下四种说法： ①函数的最小值是32-②图象的对称轴是直线()312k x k Z ππ=-∈ ③图象的对称中心为,0()312k k Z ππ⎛⎫-∈⎪⎝⎭④函数在区间7,123ππ⎡⎤--⎢⎥⎣⎦上单调递增． 其中正确的说法的个数是（ ） A ．1B ．2C ．3D ．49.下列命题正确的是（ ）A ．函数sin ||y x =是偶函数又是周期函数B ．函数y =是奇函数C ．函数tan 6y ax π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的最小正周期是a π D ．函数cos(sin )y x =是奇函数10.设函数()()2sin 3f x x x R π⎛⎫=+∈ ⎪⎝⎭，下列结论中错误的是（ ） A ．()f x 的一个周期为2π吗 B ．()f x 的最大值为2 C ．()f x 在区间263ππ⎛⎫⎪⎝⎭，上单调递减 D ．3f x π⎛⎫+ ⎪⎝⎭的一个零点为 6x π=热点四 三角函数性质与图象的综合应用1.若动直线x a =与函数())12f x x π=+与()cos()12g x x π=+的图象分别交于M 、N 两点，则||MN 的最大值为（ ）A B ．1C ．2D ．32．设函数()()2sin 0,2f x x πωφφφ⎛⎫=+><⎪⎝⎭的部分图象如图.若对任意的()()2x R f x f t x ∈=-，恒成立，则实数t 的最小正值为____.3．（多选）已知函数，f （x ）＝2sin x -a cos x 的图象的一条对称轴为6x π=-，则（ ）A ．点(,0)3π是函数，f （x ）的一个对称中心B ．函数f （x ）在区间(,)2ππ上无最值C ．函数f （x ）的最大值一定是4D ．函数f （x ）在区间5(,)66ππ-上单调递增4．已知函数()sin cos f x x a x =+的图象关于直线6x π=对称，1x 是()f x 的一个极大值点，2x 是()f x 的一个极小值点，则12x x +的最小值为______．。

)
A．y＝4ex
B．y＝2ex
C．y＝4ex＋4e 解析：因为 y＝x＋ex 1，
D．y＝2ex＋34e
y′＝ex（x＋（1）x＋－1e）x（2x＋1）′＝（x＋xex1）2，
故函数在点(1，2e)处的切线斜率 k＝4e，
专题六 函数与导数
切线方程为 y－2e＝4e(x－1)，即 y＝4ex＋4e. 故选 C. 答案：C
专题六 函数与导数
4．(2023·全国甲卷)已知函数 f(x)＝e－(x－1)2.记 a＝f( 22)，b＝f( 23)，c＝f( 26)，
则( )
A．b>c>a
B．b>a>c
C．c>b>a
D．c>a>b
解析：令 g(x)＝－(x－1)2，则 g(x)的开口向下，对称轴为 x＝1，
因为 26－1－(1－ 23)＝
专题六 函数与导数
设 g(a)＝a2－ln a－12，a>0， 则 g′(a)＝2a－1a＝2a2a－1， 令 g′(a)＝0 得，a＝ 22， 当 a∈(0， 22)时，g′(a)<0，g(a)单调递减，当 a∈( 22，＋∞)时，g′(a)>0，g(a) 单调递增， 所以 g(a)≥g( 22)＝12－ln 22－12＝－ln 22>0，
专题六 函数与导数
类型二 基本初等函数、函数与方程 1．(多选题)(2023·新课标卷Ⅰ)噪声污染问题越来越受到重视．用声压级来度量 声音的强弱，定义声压级 Lp＝20×lgpp0，其中常数 p0(p0>0)是听觉下限阈值，p 是实际声压．下表为不同声源的声压级：
声源 燃油汽车 混合动力汽车 电动汽车
6＋ 2

专题一集合、常用逻辑用语、不等式、函数与导数第二讲函数图象与性质高考导航对于函数性质的考查往往综合多个性质，一般借助的载体为二次函数、指数函数、对数函数或者由基本的初等函数复合而成，尤其在函数单调性、奇偶性和周期性等性质的综合问题上应重点加强训练．2．对于函数图象的考查比较灵活，涉及知识点较多，且每年均有创新，试题的考查突出表现在三方面，一是在解决与性质相关的问题中使用函数图象，体现数形结合思想方法；二是给出一个较复杂函数的解析式求其对应的图象；三是根据所给的图象来判断函数的内在信息.1．(2017·山东卷)设函数y＝4－x2的定义域为A，函数y＝ln(1－x)的定义域为B，则A∩B＝()A．(1,2) B．(1,2]C．(－2,1) D．[－2,1)[解析]由4－x2≥0得－2≤x≤2，由1－x>0得x<1，故A∩B＝{x|－2≤x≤2}∩{x|x<1}＝{x|－2≤x<1}，故选D.[答案]D2．(2015·福建卷)下列函数为奇函数的是()A．y＝x B．y＝|sin x|C．y＝cos x D．y＝e x－e－x[解析]A项中的函数为非奇非偶函数，B项和C项中的函数是偶函数，D项中的函数满足奇函数的定义，故选D.[答案]D3．(2017·全国卷Ⅰ)函数f(x)在(－∞，＋∞)单调递减，且为奇函数．若f(1)＝－1，则满足－1≤f(x－2)≤1的x的取值范围是() A．[－2,2]B．[－1,1]C．[0,4]D．[1,3][解析]∵f(x)为奇函数，∴f(－1)＝－f(1)＝1.于是－1≤f(x－2)≤1等价于f(1)≤f(x－2)≤f(－1)．又f(x)在(－∞，＋∞)上单调递减，∴－1≤x－2≤1，∴1≤x≤3.故选D.[答案]D4．(2016·全国卷Ⅰ)函数y＝2x2－e|x|在[－2,2]的图象大致为()[解析]f (2)＝2×22－e 2＝8－e 2，因为0<8－e 2<1，所以0<f (2)<1，排除选项A ，B.当0≤x ≤2时，y ′＝4x －e x ，在平面直角坐标系中分别作出当0≤x ≤2时函数y 1＝4x ，y 2＝e x 的图象，如图所示．可知，当0≤x ≤x 0时，e x >4x ，y ′<0，即y ＝2x 2－e |x |单调递减；当x 0<x ≤2时，4x >e x ，y ′>0，即y ＝2x 2－e |x |单调递增，故选D.[答案]D5．(2016·四川卷)已知函数f (x )是定义在R 上的周期为2的奇函数，当0<x <1时，f (x )＝4x，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－52＋f (1)＝________.[解析]因为f (x )是定义在R 上的奇函数，所以f (0)＝0，f (x )＝－f (－x )，又f (x ＋2)＝f (x )，所以f (－1)＝－f (1)＝f (1)，因此f (1)＝0.又f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－52＝f ⎝⎛⎭⎪⎫－12＝－f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝－2，故f ⎝⎛⎭⎪⎫－52＋f (1)＝－2. [答案]－2考点一 函数及其表示1．函数的三要素定义域、值域和对应关系是确定函数的三要素，是一个整体，研究函数问题务必遵循“定义域优先”的原则．2．分段函数若函数在其定义域内，对于自变量的不同取值区间，有着不同的对应法则，这样的函数通常叫做分段函数．分段函数虽然由几部分组成，但它表示的是一个函数．[对点训练]1．(2017·广东深圳一模)函数y ＝－x 2－x ＋2ln x 的定义域为( ) A ．(－2,1) B ．[－2,1] C ．(0,1) D ．(0,1][解析]由题意得⎩⎪⎨⎪⎧－x 2－x ＋2≥0，x >0，ln x ≠0，解得0<x <1，故选C.[答案]C2．已知函数y ＝f (x ＋2)的定义域是[－2,5)，则y ＝f (3x －1)的定义域为( )A ．[－7,14)B ．(－7,14]C.⎝ ⎛⎦⎥⎤13，83D.⎣⎢⎡⎭⎪⎫13，83 [解析]因为函数y ＝f (x ＋2)的定义域是[－2,5)，所以－2≤x <5，所以0≤x ＋2<7，所以函数f (x )的定义域为[0,7)，对于函数y ＝f (3x －1)，0≤3x －1<7，解得13≤x <83，故y ＝f (3x －1)的定义域是⎣⎢⎡⎭⎪⎫13，83，故选D.[答案]D3．(2017·赣中南五校联考)函数f (x )＝x ＋2x －1的值域为________．[解析]由题意得2x －1≥0，解得x ≥12，又∵f (x )＝x ＋2x －1在⎣⎢⎡⎭⎪⎫12，＋∞上为增函数，∴当x ＝12时，f (x )取最小值，f (x )min ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝12，且f (x )无最大值．∴f (x )的值域为⎣⎢⎡⎭⎪⎫12，＋∞.[答案]⎣⎢⎡⎭⎪⎫12，＋∞4．(2017·福建厦门一模)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧(1－2a )x ＋3a ，x <1，2x －1，x ≥1的值域为R ，则实数a 的取值范围是________．[解析]当x ≥1时，f (x )＝2x －1≥1，∵函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧(1－2a )x ＋3a ，x <1，2x －1，x ≥1的值域为R ，∴当x <1时，(1－2a )x ＋3a 必须取遍(－∞，1)内的所有实数，则⎩⎪⎨⎪⎧1－2a >0，1－2a ＋3a ≥1，解得0≤a <12. [答案]⎣⎢⎡⎭⎪⎫0，12(1)函数定义域问题的3种类型①已知函数的解析式：定义域是使解析式有意义的自变量的取值范围，只需构建不等式(组)求解即可．②抽象函数：根据f[g(x)]中g(x)的范围与f(x)中x的范围相同求解．③实际问题或几何问题：除要考虑解析式有意义外，还应使实际问题有意义．(2)函数值域问题的4种常用方法公式法、分离常数法、图象法、换元法．考点二函数的图象及其应用1．作图常用描点法和图象变换法，图象变换法常用的有平移变换、伸缩变换和对称变换．2．识图从图象与轴的交点及左、右、上、下分布范围、变化趋势、对称性等方面找准解析式与图象的对应关系．3．用图在研究函数性质特别是单调性、最值、零点时，要注意用好其与图象的关系，结合图象研究．但是，在利用图象求交点个数或解的个数时，作图要十分准确，否则容易出错．角度1：以具体函数的解析式选择图象或知图象选解析式【例1－1】(2017·全国卷Ⅰ)函数y＝sin2x1－cos x的部分图象大致为()[思维流程]看条件――→奇偶性单调性析选项――→特殊点、线得结果[解析]由题意，令函数f (x )＝sin2x1－cos x，其定义域为{x |x ≠2k π，k∈Z }，又f (－x )＝sin (－2x )1－cos (－x )＝－sin2x 1－cos x ＝－f (x )，所以f (x )＝sin2x1－cos x为奇函数，其图象关于原点对称，故排除B ；因为f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＝sinπ1－cos π2＝0，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫3π4＝sin 3π21－cos 3π4＝－11＋22<0，所以排除A ；f (π)＝sin2π1－cosπ＝0，排除D.故选C.[答案]C角度2：利用函数的图象研究函数的性质(特别是单调性、最值、零点)、方程解的问题及解不等式、比较大小等【例1－2】 (2017·杭州五校联盟诊断)若直角坐标平面内两点P ，Q 满足条件：①P ，Q 都在函数y ＝f (x )的图象上；②P ，Q 关于原点对称，则称(P ，Q )是函数y ＝f (x )的一个“伙伴点组”(点组(P ，Q )与(Q ，P )看作同一个“伙伴点组”)．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧kx －1，x >0，－ln (－x )，x <0有两个“伙伴点组”，则实数k 的取值范围是( )A ．(－∞，0)B ．(0,1) C.⎝⎛⎭⎪⎫0，12D ．(0，＋∞)[思维流程]理解伙伴点组→当x <0时，作y ＝f (x )的对称图形→画y ＝kx －1与y ＝ln x (x >0)图象→由相切时的k 值求范围[解析]依题意，“伙伴点组”的点满足：都在y ＝f (x )的图象上，且关于坐标原点对称．可作出函数y ＝－ln(－x )(x <0)关于原点对称的函数y ＝ln x (x >0)的图象，使它与直线y ＝kx －1(x >0)的交点个数为2.当直线y＝kx－1与y＝ln x的图象相切时，设切点为(m，ln m)，又y＝ln x的导数为y′＝1 x，则km－1＝ln m，k＝1m，解得m＝1，k＝1，可得函数y＝ln x(x>0)的图象过(0，－1)点的切线的斜率为1，结合图象可知k∈(0,1)时两函数图象有两个交点．[答案]B识别函数图象应关注的5点(1)根据函数的定义域判断图象的左右位置，根据函数的值域判断图象的上下位置．(2)根据函数的单调性判断图象的变化趋势．(3)根据函数的奇偶性判断图象的对称性．(4)根据函数的周期性判断图象的循环往复．(5)取特殊值代入进行检验．[对点训练]1．[角度1](2017·贵州七校联考)已知函数f(x)的图象如图所示，则f(x)的解析式可以是()A ．f (x )＝ln|x |xB ．f (x )＝e xx C ．f (x )＝1x 2－1 D ．f (x )＝x －1x[解析]由函数图象可知，函数f (x )为奇函数，应排除B 、C.若函数为f (x )＝x －1x ，则x →＋∞时，f (x )→＋∞，排除D ，故选A.[答案]A2．[角度2](2017·福建漳州八校联考)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x －1，x >0，x 2＋x ，x ≤0，若函数g (x )＝f (x )－m 有三个零点，则实数m 的取值范围是________．[解析]令g (x )＝f (x )－m ＝0，得f (x )＝m ，则函数g (x )＝f (x )－m 有三个零点等价于函数f (x )与y ＝m 的图象有三个不同的交点，作出函数f (x )的图象如图：当x ≤0时，f (x )＝x 2＋x ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋122－14≥－14，若函数f (x )与y ＝m 的图象有三个不同的交点，则－14<m ≤0，即实数m 的取值范围是⎝ ⎛⎦⎥⎤－14，0.[答案]⎝ ⎛⎦⎥⎤－14，0 考点三 函数的性质及其应用1．函数的单调性单调性是函数的一个局部性质，一个函数在不同的区间上可以有不同的单调性．判定函数的单调性常用定义法、图象法及导数法．2．函数的奇偶性(1)奇函数的图象关于原点对称，偶函数的图象关于y 轴对称． (2)确定函数的奇偶性，务必先判断函数的定义域是否关于原点对称．(3)对于偶函数而言，有f (－x )＝f (x )＝f (|x |)． 3．函数的周期性对f (x )定义域内任一自变量的值x ： (1)若f (x ＋a )＝－f (x )，则T ＝2a ； (2)若f (x ＋a )＝1f (x )，则T ＝2a ；(3)若f (x ＋a )＝－1f (x )，则T ＝2a .(a >0)4．函数的对称性(1)若函数y ＝f (x )满足f (a ＋x )＝f (a －x )，即f (x )＝f (2a －x )，则f (x )的图象关于直线x ＝a 对称．(2)若函数y ＝f (x )满足f (a ＋x )＝－f (a －x )，即f (x )＝－f (2a －x )，则f (x )的图象关于点(a,0)对称．(3)若函数y ＝f (x )满足f (a ＋x )＝f (b －x )，则函数f (x )的图象关于直线x ＝a ＋b2对称．角度1：确认函数的单调性、奇偶性、周期性、对称性及最值【例2－1】 (2017·北京卷)已知函数f (x )＝3x－⎝ ⎛⎭⎪⎫13x，则f (x )( )A ．是奇函数，且在R 上是增函数B ．是偶函数，且在R 上是增函数C ．是奇函数，且在R 上是减函数D ．是偶函数，且在R 上是减函数[解析]易知函数f (x )的定义域关于原点对称．∵f (－x )＝3－x－⎝ ⎛⎭⎪⎫13－x ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13x－3x ＝－f (x )，∴f (x )为奇函数．又∵y ＝3x在R 上是增函数，y ＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫13x在R 上是增函数，∴f (x )＝3x－⎝ ⎛⎭⎪⎫13x在R 上是增函数．故选A.[答案]A 角度2：综合应用函数的性质求值(取值范围)、比较大小等，常与不等式相结合[思维流程]f (x )是R 上的偶函数且在(－∞，0)上单调递增――→对称性f (x )在(0，＋∞)上单调递减→脱去“f ”→解关于a的不等式[解析]解法一：因为f (x )是定义在R 上的偶函数，且在区间(－∞，0)上单调递增，所以f (x )在区间(0，＋∞)上单调递减．又f (2|a －1|)>f (－2)，f (－2)＝f (2)，故0<2|a －1|<2，则|a －1|<12，所以12<a <32.解法二：依题意，令f (x )＝－|x |， 由f (2|a －1|)>f (－2)，得－|2|a －1||>－|－2|， 则|a －1|<12，解得12<a <32.[答案]⎝ ⎛⎭⎪⎫12，32函数3个性质的应用要领(1)奇偶性：具有奇偶性的函数在关于原点对称的区间上其图象、函数值、解析式和单调性联系密切，研究问题时可转化到只研究部分(一半)区间上，这是简化问题的一种途径．尤其注意偶函数f (x )的性质：f (|x |)＝f (x )．(2)单调性：可以比较大小，求函数最值，解不等式，证明方程根的唯一性．(3)周期性：利用周期性可以转化函数的解析式、图象和性质，把不在已知区间上的问题，转化到已知区间上求解．【易错提醒】 在确定函数的奇偶性和单调性时，不能忽略函数的定义域．[对点训练]1．[角度1]下列函数在其定义域内既是奇函数，又是增函数的是( )A ．y ＝x 2＋2B ．y ＝－4x 3C ．y ＝－x ＋1x D ．y ＝x |x |[解析]∵函数y ＝x 2＋2是偶函数，∴选项A 不满足题意；∵x 增大时，－4x 3减小，即y 减小，∴y ＝－4x 3为减函数，∴选项B 不满足题意；y ＝－x ＋1x 在定义域内不单调，∴选项C 不满足题意；y ＝x |x |为奇函数，且y ＝x |x |＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2，x ≥0，－x 2，x <0.∵y ＝x 2在[0，＋∞)上单调递增，y ＝－x 2在(－∞，0)上单调递增，且y ＝x 2与y ＝－x 2在x ＝0处的函数值都为0，∴y ＝x |x |在定义域内是增函数．故选D.[答案]D2．[角度2](2016·山东卷)已知函数f (x )的定义域为R .当x <0时，f (x )＝x 3－1；当－1≤x ≤1时，f (－x )＝－f (x )；当x >12时，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋12＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －12.则f (6)＝( )A ．－2B ．－1C ．0D ．2[解析]由题意可知，当－1≤x ≤1时，f (x )为奇函数，且当x >12时，f (x ＋1)＝f (x )，所以f (6)＝f (5×1＋1)＝f (1)．而f (1)＝－f (－1)＝－[(－1)3－1]＝2，所以f (6)＝2.故选D.[答案]D热点课题2 函数图象辨析[感悟体验]1．(2017·长沙模拟)如图，圆O 的半径为1，A 是圆上的定点，P 是圆上的动点，角x 的始边为射线OA ，终边为射线OP ，过点P 作直线OA 的垂线，垂足为M .将点M 到直线OP 的距离表示成x 的函数f (x )，则y ＝f (x )在[0，π]的图象大致为( )[解析]由题意知，f (x )＝|cos x |·sin x ，当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2时，f (x )＝cos x ·sin x ＝12sin2x ；当x ∈⎝ ⎛⎦⎥⎤π2，π时，f (x )＝－cos x ·sin x ＝－12sin2x ，故选B.[答案]B2．(2017·南昌二模)如图，正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1的棱长为1，E ，F 分别是棱A 1B 1，CD 的中点，点M 是EF 上的动点(不与E ，F 重合)，FM ＝x ，过点M 、直线AB 的平面将正方体分成上下两部分，记下面那部分的体积为V (x )，则函数V (x )的大致图象是( )[解析]当x ∈⎝ ⎛⎦⎥⎤0，22时，V (x )增长的速度越来越快，即变化率越来越大；当x ∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫22，2时，V (x )增长的速度越来越慢，即变化率越来越小，故选C.[答案]C。