2017届二轮复习 函数的图象与性质 专题训练(全国通用)
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专题训练(三)函数的图象与性质一、选择题
1．(2016·江西南昌二中模拟)已知a＝0.5－
1
3
，b＝
⎝
⎛
⎭
⎪
⎫3
5
－
1
3
，c＝
log2.51.5，则a，b，c的大小关系()
A．c<a<b B．c<b<a C．a<b<c D．b<a<c
答案：B解析：由幂函数y＝x －
1
3
单调递减可知a>b>1，c＝
log2.51.5<log2.52.5＝1，所以c<b<a，故选B.
2．(2016·山东章丘二模)已知函数f(x)＝log2(ax＋4)在(1,2]上单调递减，则实数a的值可以是()
A．1 B．－1
C．－2 D．－3
答案：B解析：∵f(x)在(1,2]上单调递减，∴a<0且2a＋4>0，则－2<a<0，故选B.
3．(2016·安徽亳州一中月考)函数y＝x cos x＋sin x的图象大致为()
答案：D 解析：由于函数y ＝x cos x ＋sin x 为奇函数， 故它的图象关于原点对称，所以排除选项B. 由当x ＝π
2时，y ＝1>0，
当x ＝π时，y ＝π×cos π＋sin π＝－π<0. 由此可排除选项A 和选项C. 故选D.
4．(2016·全国百校联盟质监)已知定义在R 上的偶函数f (x )在[0，
＋∞)上是增函数，不等式f (ax ＋1)≤f (x －2)对任意x ∈⎣⎢⎡⎦
⎥⎤
12，1恒成立，则实数a 的取值范围为( )
A ．[－5,1]
B ．[－5,0]
C ．[－2,1]
D ．[－2,0]
答案：D 解析：f (ax ＋1)≤f (x －2)⇔f (|ax ＋1|)≤f (|x －2|)⇔|ax ＋1|≤|x －2|.
∵x ∈⎣⎢⎡⎦
⎥⎤
12，1，∴|ax ＋1|≤2－x ，
∴x －2≤ax ＋1≤2－x ，∴1－3x ≤a ≤1
x －1， ∴－2≤a ≤0.
5．(2016·天津一中月考)定义在R 上的奇函数f (x )和定义在{x |x ≠0}
上的偶函数g (x )分别满足f (x )＝⎩⎨⎧
2x
－1，0≤x <1，
1x ，x ≥1，
g (x )＝log 2x (x >0)，
若存在实数a ，使得f (a )＝g (b )成立，则实数b 的取值范围是( )
A ．[－2,2] B.⎣⎢⎡⎭⎪⎫－12，0∪⎝ ⎛
⎦⎥⎤0，12 C.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－2，－12∪⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，2 D ．(－∞，－2]∪[2，＋∞)
答案：C 解析：分别作出函数f (x )和g (x )的图象如图，
若存在实数a ，使得f (a )＝g (b )成立，
则b 一定在函数g (x )使两个函数的函数值重合在区间内， ∵函数f (x )的最大值为1，最小值为－1， ∴log 2x ＝1，解得x ＝2， 由log 2(－x )＝1，解得x ＝－2， 故b 的取值范围是⎣
⎢⎡
⎦⎥⎤－2，－12∪⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，2.
二、填空题
6．(2016·江苏卷)函数y ＝
3－2x －x 2的定义域是________．
答案：[－3,1] 解析：3－2x －x 2≥0，解得－3≤x ≤1，因此定义域为[－3,1]．
7．(2016·福建四校联考)已知函数f (x )＝⎩
⎪⎨⎪⎧
x 2
－2，x <－1，
－1＋2x
，x ≥－1，若不等式f (x )>a 恒成立，则实数a 的取值范围是________．
答案：(－∞，－1] 解析：当x <－1，f (x )>－1；当x ≥－1，f (x )≥－1
2.故实数a 的取值范围是(－∞，－1]．
8．(2016·湖南四校联考)设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧
log 2x (x >0)，
g (x )(x <0)，若f (x )为奇函
数，则g ⎝ ⎛⎭
⎪⎫
－14的值为________．
答案：2 解析：g ⎝ ⎛⎭⎪⎫－14＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－14＝－f ⎝ ⎛⎭
⎪⎫14＝－log 21
4＝－log 22－2＝2.
9．(2016·云南昆明七校联考)已知函数f (x )＝x －1
x ＋1，g (x )＝x 2
－2ax ＋4，若对任意x 1∈[0,1]，存在x 2∈[1,3]使f (x 1)≥g (x 2)，则实数a 的取值范围是________．
答案：[5，＋∞) 解析：依题意得，当x ∈[0,1]时，f (x )＝x －
1
x ＋1单调递增，f (x )的最小值是f (0)＝－1，则要求存在x ∈[1,3]，关于x 的不等式x 2
－2ax ＋4≤－1，即a ≥12⎝ ⎛⎭⎪⎫
x ＋5x 有解，所以a ≥⎣⎢⎡⎦⎥⎤12⎝
⎛⎭⎪⎫x ＋5x min .
注意到当x ∈[1,3]时，12⎝ ⎛⎭⎪⎫
x ＋5x ≥x ·5x ＝5，
当且仅当x ＝5
x ，即x ＝5∈[1,3]时等号成立，此时⎣⎢⎡⎦⎥⎤12⎝
⎛
⎭⎪⎫x ＋5x min ＝5，所以a ≥5，则实数a 的
取值范围是[5，＋∞)．
三、解答题
10．定义在[－1,1]上的奇函数f (x )，已知当x ∈[－1,0]时，f (x )＝1
4x
－a
2x (a ∈R )．
(1)写出f (x )在[0,1]上的解析式； (2)求f (x )在[0,1]上的最大值．
解：(1)∵f (x )是定义在[－1,1]上的奇函数， ∴f (0)＝0，∴a ＝1，
∴当x ∈[－1,0]时，f (x )＝14x －1
2x . 设x ∈[0,1]，则－x ∈[－1,0]， ∴f (－x )＝14－x －1
2－x ＝4x －2x ，
∵f (x )是奇函数，∴f (－x )＝－f (x )， ∴f (x )＝2x －4x .
∴f (x )在[0,1]上的解析式为f (x )＝2x －4x . (2)f (x )＝2x －4x ，x ∈[0,1]，令t ＝2x ，t ∈[1,2]，
g (t )＝t －t 2
＝－⎝ ⎛⎭
⎪⎫t －122＋1
4.
∴g (t )在[1,2]上是减函数，
∴g (t )max ＝g (1)＝0，即x ＝0，f (x )max ＝0.
11．已知函数f (x )＝ax 2－2ax ＋2＋b (a ≠0)在区间[2,3]上有最大值5，最小值2.
(1)求a ，b 的值；
(2)若b <1，g (x )＝f (x )－2m x 在[2,4]上单调，求m 的取值范围． 解：(1)f (x )＝a (x －1)2＋2＋b －a .
①当a >0时，f (x )在[2,3]上为增函数，
故⎩⎪⎨⎪⎧ f (3)＝5，f (2)＝2⇒⎩⎪⎨⎪⎧ 9a －6a ＋2＋b ＝5，4a －4a ＋2＋b ＝2⇒⎩⎪⎨⎪⎧
a ＝1，
b ＝0.
②当a <0时，f (x )在[2,3]上为减函数，
故⎩⎪⎨⎪⎧
f (3)＝2，f (2)＝5⇒⎩⎪⎨⎪⎧
9a －6a ＋2＋b ＝2，4a －4a ＋2＋b ＝5⇒⎩⎪⎨⎪⎧
a ＝－1，
b ＝3. 故⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝1，b ＝0或⎩⎪⎨⎪⎧
a ＝－1，
b ＝3.
(2)∵b <1，∴a ＝1，b ＝0， 即f (x )＝x 2－2x ＋2，
g (x )＝x 2－2x ＋2－2m x ＝x 2－(2＋2m )x ＋2. 若g (x )在[2,4]上单调，
则2＋2m 2≤2或2m ＋2
2≥4，∴2m ≤2或2m ≥6， 即m ≤1或m ≥log 26.
故m 的取值范围是(－∞，1]∪[log 26，＋∞)．。
